tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2022-2023

3 de julio de 2023 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El seno de un complejo, y una suma de distancias que es una elipseNúmeros complejos0 + 7 + 3 = 10 pts
a) Escribir en forma binómica $\operatorname{sen}\left(\pi+i\ln 2\right)$ .

b) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición $\left|z-\left(1+i\right)\right|+\left|z-\left(1-i\right)\right|=4$ .
El seno en binómica y el lugar geométrico, dibujado.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
De la velocidad a la posición, sin integrar hasta el finalEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 6 + 3 = 10 pts
La velocidad de un objeto que se desplaza en línea recta viene dada por la función $v(t)=\left(1-t\right)\left(t-3\right)$ cm/s para $t\ge0$ . Si la función $x(t)$ describe la posición del objeto en cada instante $t$ :

a) Analizar el crecimiento/decrecimiento y los extremos de la función $x(t)$ .

b) Analizar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de la función $x(t)$ .

c) Si la posición del objeto en $t=0$ es $x(0)=2$ cm, hacer un esbozo del gráfico de la función $x(t)$ en el intervalo $\left[0,5\right]$ .
El estudio completo de x y su esbozo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 26 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un punto que parece extremo y no lo es, y un valor absoluto dentro de una integralEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Deducir si la curva $x\cos y+y\operatorname{sen}x=0$ tiene un extremo local en el punto $\left(\pi,\frac{\pi}{2}\right)$ .

b) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función
$f(x)=\int_{0}^{x}\left|z-1\right|\,dz$
Si hay extremo, y el polinomio.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una chapa parabólica, y el rectángulo más grande que cabe dentroIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Una chapa de acero tiene la forma del dominio limitado por las condiciones $y\le 4-x^{2}$ , $y\ge1$ .

a) Dibujar la chapa.

b) Calcular el área de la chapa.

c) Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede construirse en la chapa sabiendo que uno de los lados está sobre la recta $y=1$ .
El dibujo, el área y las dimensiones del rectángulo.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un cilindro con el fondo abollado, y una densidad que no es constanteIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le1$ , $z\ge1-x^{2}-y^{2}$ , $z\le4$ .

a) Dibujar el sólido $S$ y calcular su volumen.

b) Sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto al eje OZ plantear el cálculo de las coordenadas del centro de masa de $S$ . Plantear las integrales (funciones y límites) sin hacer el cálculo.
El dibujo, el volumen y las integrales del centro de masa, planteadas.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos segundos miembros, y solo uno resuenaEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO
$y''+25y=13e^{x}+2\cos 5x$
La solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación con la incógnita dentro de una integralTransformada de Laplace0 + 7 + 3 = 10 pts
Resolver la siguiente ecuación integral utilizando la transformada de Laplace:
$y(t)=t+\int_{0}^{t}\operatorname{sen}\left(t-u\right)y(u)\,du$
La función y(t).
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una rampa desplazada hacia abajo, ampliada parIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la función $f(t)=t-2\pi$ , $t\in\left(0,\pi\right)$ .

a) Obtener la ampliación par y periódica de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función ampliada.

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\dfrac{\pi}{2}$ .

e) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}$ .
Los cinco apartados.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 3 de julio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El seno de un complejo, y una suma de distancias que es una elipse

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Escribir en forma binómica $\operatorname{sen}\left(\pi+i\ln 2\right)$ .

b) Calcular y representar geométricamente los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición $\left|z-\left(1+i\right)\right|+\left|z-\left(1-i\right)\right|=4$ .

El seno en binómica y el lugar geométrico, dibujado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice geométricamente la condición del apartado b)?
02
La parte imaginaria del seno
COMP2
¿Cuál es la parte imaginaria de $\operatorname{sen}\left(\pi+i\ln 2\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El semieje menor
COMP2
En la elipse del apartado b), ¿cuánto vale $b^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los dos puntos son $\left(1,1\right)$ y $\left(1,-1\right)$ , y la suma constante de distancias vale $4$ : es la definición de elipse con esos focos.
2. El centro es el punto medio de los focos, $\left(1,0\right)$ ; la constante es el eje mayor, $2a=4$ ; y la separación de los focos es $2c=2$ .
3. De $b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$ y con el eje mayor vertical sale $\frac{\left(x-1\right)^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1$ .

Resolución completa

a) El seno de un complejo. La fórmula sale del seno de una suma con argumento imaginario:

\operatorname{sen}\left(a+bi\right) =\operatorname{sen}a\cos\left(bi\right)+\cos a\operatorname{sen}\left(bi\right) =\operatorname{sen}a\cosh b+i\cos a\operatorname{senh}b

Con $a=\pi$ , $b=\ln2$ , y usando que $\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ y $\operatorname{senh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ :

\cosh\left(\ln2\right)=\frac{2+\frac12}{2}=\frac54, \qquad \operatorname{senh}\left(\ln2\right)=\frac{2-\frac12}{2}=\frac34

Y como $\operatorname{sen}\pi=0$ y $\cos\pi=-1$ :

\boxed{\;\operatorname{sen}\left(\pi+i\ln 2\right)=-\frac34\,i\;}

Un imaginario puro, y no por casualidad: el seno de un real más un imaginario tiene parte real proporcional a $\operatorname{sen}a$ , que aquí se anula.

b) La elipse. La condición dice que la suma de las distancias de $z$ a $1+i$ y a $1-i$ vale siempre $4$ . Eso es la definición de elipse:

dato	valor
focos	$\left(1,1\right)$ y $\left(1,-1\right)$
centro	$\left(1,0\right)$ , el punto medio
$2a$	$4$ , la constante del enunciado
$2c$	$2$ , la distancia entre focos
$b^{2}$	$a^{2}-c^{2}=3$

Los focos están en vertical, así que el eje mayor es el vertical:

\boxed{\;\frac{\left(x-1\right)^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1\;}

La elipse de centro (1,0), con el eje mayor vertical de semieje dos y el menor horizontal de semieje raíz de tres. Los dos focos están dentro, sobre el eje mayor, a distancia uno del centro.

La comprobación de un punto. El extremo derecho es $\left(1+\sqrt3,0\right)$ . Sus distancias a los focos valen las dos $\sqrt{3+1}=2$ , y suman $4$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 3 de julio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

De la velocidad a la posición, sin integrar hasta el final

COMP 11 punto por reconocer
COMP 26 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La velocidad de un objeto que se desplaza en línea recta viene dada por la función $v(t)=\left(1-t\right)\left(t-3\right)$ cm/s para $t\ge0$ . Si la función $x(t)$ describe la posición del objeto en cada instante $t$ :

a) Analizar el crecimiento/decrecimiento y los extremos de la función $x(t)$ .

b) Analizar la concavidad/convexidad y los puntos de inflexión de la función $x(t)$ .

c) Si la posición del objeto en $t=0$ es $x(0)=2$ cm, hacer un esbozo del gráfico de la función $x(t)$ en el intervalo $\left[0,5\right]$ .

El estudio completo de x y su esbozo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación hay entre $v$ y $x$ , y qué permite hacer?

El máximo

COMP2

¿En qué instante alcanza $x$ su máximo?

Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

$v=\left(1-t\right)\left(t-3\right)$ se anula en $t=1$ y $t=3$ , y su signo es

tramo	$\left(1-t\right)$	$\left(t-3\right)$	$v=x'$	$x$
$\left(0,1\right)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$\left(1,3\right)$	$-$	$-$	$+$	crece
$\left(3,\infty\right)$	$-$	$+$	$-$	decrece

Mínimo en $t=1$ y máximo en $t=3$ .

03
La posición en el máximo
COMP2
¿Cuánto vale $x(3)$ , en centímetros?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como $v=x'$ , el crecimiento de $x$ lo da el signo de $v$ : decrece hasta $t=1$ , crece hasta $t=3$ y vuelve a decrecer. Mínimo en $1$ y máximo en $3$ .
2. La concavidad la da $x''=v'=4-2t$ : convexa hasta $t=2$ y cóncava después, con inflexión en $t=2$ , que es donde la velocidad es máxima.
3. Integrando y usando $x(0)=2$ sale $x(t)=-\frac{t^{3}}{3}+2t^{2}-3t+2$ , con $x(1)=\frac23$ , $x(2)=\frac43$ , $x(3)=2$ y $x(5)=-\frac{14}{3}$ .

Resolución completa

La idea, y es la que ahorra medio ejercicio. El enunciado da la derivada de lo que se estudia: $v=x'$ . Así que

\text{crecimiento de }x\;\longleftrightarrow\;\text{signo de }v, \qquad \text{concavidad de }x\;\longleftrightarrow\;\text{signo de }v'

y los apartados a) y b) se contestan sin integrar.

a) Crecimiento. $v=\left(1-t\right)\left(t-3\right)$ se anula en $1$ y en $3$ :

tramo	$v=x'$	$x$
$\left(0,1\right)$	$-$	decrece
$\left(1,3\right)$	$+$	crece
$\left(3,5\right)$	$-$	decrece

Mínimo relativo en $t=1$ y máximo relativo en $t=3$ .

b) Concavidad.

x''=v'=\frac{d}{dt}\left(-t^{2}+4t-3\right)=4-2t

Positiva hasta $t=2$ —convexa— y negativa después —cóncava—. Punto de inflexión en $t=2$ , que es además donde la velocidad alcanza su máximo: el instante en que el objeto va más rápido hacia adelante.

c) El esbozo. Ahora sí hace falta integrar:

x(t)=\int\left(-t^{2}+4t-3\right)dt=-\frac{t^{3}}{3}+2t^{2}-3t+C

y $x(0)=2$ da $C=2$ . Los valores que ordenan el dibujo:

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$5$
$x$	$2$	$\frac23$	$\frac43$	$2$	$-\frac{14}{3}$

La posición baja de dos a dos tercios, vuelve a subir hasta dos en el instante tres, y a partir de ahí cae con fuerza. El punto de inflexión, en el instante dos, es donde la subida es más rápida.

Lo que cuenta el dibujo. El objeto retrocede un poco, se para, vuelve exactamente al punto de partida en $t=3$ — $x(3)=x(0)=2$ — y a partir de ahí se va sin volver. Esa coincidencia no es casual: significa que el área bajo $v$ entre $1$ y $3$ compensa exactamente la de entre $0$ y $1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 3 de julio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un punto que parece extremo y no lo es, y un valor absoluto dentro de una integral

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Deducir si la curva $x\cos y+y\operatorname{sen}x=0$ tiene un extremo local en el punto $\left(\pi,\frac{\pi}{2}\right)$ .

b) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función

f(x)=\int_{0}^{x}\left|z-1\right|\,dz

Si hay extremo, y el polinomio.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que comprobar antes de derivar en el apartado a)?
02
La pendiente en el punto
COMP2
¿Cuánto vale $y'$ en $\left(\pi,\frac{\pi}{2}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente cuadrático
COMP2
En $P_{2}(x)=x+kx^{2}$ para la función del apartado b), ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(0)=0$ por definición, y por el teorema fundamental $f'(x)=\left|x-1\right|$ .
2. Cerca del origen, $x<1$ , así que $\left|x-1\right|=1-x$ : $f'(0)=1$ y $f''(0)=-1$ .
3. Luego $P_{2}(x)=x-\frac{x^{2}}{2}$ , y de hecho eso coincide con $f$ en todo el intervalo $\left[0,1\right]$ , porque allí el integrando es un polinomio de grado uno.

Resolución completa

a) El punto que no es extremo.

Lo primero, comprobar que el punto está en la curva:

\pi\cos\frac\pi2+\frac\pi2\operatorname{sen}\pi=0+0=0\quad\checkmark

Ahora la derivación implícita, tratando $y$ como función de $x$ :

\cos y-x\operatorname{sen}y\cdot y'+y'\operatorname{sen}x+y\cos x=0

y'\left(\operatorname{sen}x-x\operatorname{sen}y\right) =-\cos y-y\cos x

En $\left(\pi,\frac\pi2\right)$ el numerador vale $0+\frac\pi2=\frac\pi2$ y el denominador $0-\pi=-\pi$ :

\boxed{\;y'=-\frac12\ne0\;}

Y con eso está contestado: no hay extremo local. Un extremo exige tangente horizontal, y aquí la tangente baja con pendiente un medio.

Lo que hay que decir y no calcular. No hace falta la segunda derivada para nada. La condición necesaria de extremo es $y'=0$ , y ya falla.

b) El polinomio. Por el teorema fundamental,

f(0)=0,\qquad f'(x)=\left|x-1\right|

Cerca del origen $x<1$ , así que $\left|x-1\right|=1-x$ , y de ahí

f'(0)=1,\qquad f''(0)=-1

\boxed{\;P_{2}(x)=x-\frac{x^{2}}{2}\;}

Y una casualidad que conviene entender. En todo el intervalo $\left[0,1\right]$ el integrando es $1-z$ , un polinomio de grado uno, así que la integral es exactamente $x-\frac{x^{2}}{2}$ : el polinomio de Taylor no aproxima, coincide. Deja de hacerlo al pasar $x=1$ , que es justo donde el valor absoluto hace esquina y $f''$ deja de existir.

En $x=1{,}5$ , por ejemplo, la función vale $0{,}625$ y el polinomio $0{,}375$ : un cuarenta por ciento de error. El desarrollo es local, y aquí se ve exactamente dónde acaba su validez.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 3 de julio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una chapa parabólica, y el rectángulo más grande que cabe dentro

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una chapa de acero tiene la forma del dominio limitado por las condiciones $y\le 4-x^{2}$ , $y\ge1$ .

a) Dibujar la chapa.

b) Calcular el área de la chapa.

c) Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede construirse en la chapa sabiendo que uno de los lados está sobre la recta $y=1$ .

El dibujo, el área y las dimensiones del rectángulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de plantear el apartado c), ¿qué se puede afirmar del rectángulo óptimo sin hacer ninguna cuenta?
02
Los cortes
COMP2
¿En qué abscisa positiva se cortan la parábola y la recta?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de la chapa?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El rectángulo
COMP2
¿Cuál es el área del rectángulo máximo?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría, el rectángulo óptimo está centrado en el eje $Y$ : si su esquina superior derecha es $\left(x,4-x^{2}\right)$ , la base mide $2x$ y la altura $\left(4-x^{2}\right)-1=3-x^{2}$ .
2. $A(x)=6x-2x^{3}$ y $A'=6-6x^{2}$ se anula en $x=1$ , con $A''=-12x<0$ : es máximo.
3. Sale base $2$ y altura $2$ , o sea un cuadrado de área $4$ , frente a los $4\sqrt3\approx6{,}93$ de la chapa entera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 3 de julio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un cilindro con el fondo abollado, y una densidad que no es constante

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido limitado por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le1$ , $z\ge1-x^{2}-y^{2}$ , $z\le4$ .

a) Dibujar el sólido $S$ y calcular su volumen.

b) Sabiendo que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto al eje OZ plantear el cálculo de las coordenadas del centro de masa de $S$ . Plantear las integrales (funciones y límites) sin hacer el cálculo.

El dibujo, el volumen y las integrales del centro de masa, planteadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Densidad proporcional a la distancia al eje OZ». ¿Cómo se escribe eso en cilíndricas?
02
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen de $S$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La masa
COMP2
Con $\delta=k\rho$ , ¿cuánto vale $M/k$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría de revolución —el sólido y la densidad solo dependen de $\rho$ y de $z$ —, $\overline x=\overline y=0$ sin integrar nada.
2. La masa es $M=k\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{1-\rho^{2}}^{4} \rho\cdot\rho\,dz\,d\rho\,d\theta$ : un $\rho$ de la densidad y otro del jacobiano.
3. Y el momento es $\int z\,\delta\,dV =k\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{1-\rho^{2}}^{4} z\,\rho^{2}\,dz\,d\rho\,d\theta$ , con lo que $\overline z=\frac{\int z\,\delta\,dV}{M}$ .

Resolución completa

a) El sólido. Un cilindro de radio $1$ cortado por arriba en $z=4$ y por abajo por el paraboloide invertido $z=1-\rho^{2}$ , que en el centro llega a $z=1$ y en el borde a $z=0$ . Un vaso con el fondo abombado hacia dentro.

La sección que contiene el eje. Las paredes son verticales en el radio uno, la tapa es plana a la altura cuatro, y el fondo es la parábola que baja de uno en el centro a cero en el borde.

El volumen. Cada columna vertical va de $z=1-\rho^{2}$ hasta $z=4$ , o sea que mide $3+\rho^{2}$ :

V=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\left(3+\rho^{2}\right)\rho\,d\rho\, d\theta=2\pi\left(\frac32+\frac14\right) =\boxed{\;\frac{7\pi}{2}\approx11{,}00\;}

La comprobación. El cilindro completo mediría $4\pi\approx12{,}57$ , y el paraboloide le quita $\frac{\pi}{2}\approx1{,}57$ . La resta cuadra ✓.

b) El centro de masa, planteado. La densidad es $\delta=k\rho$ — «distancia al eje $OZ$ » es exactamente la coordenada radial, y esa es la razón de trabajar en cilíndricas.

Dos coordenadas salen sin integrar: el sólido es de revolución y la densidad también lo es, así que

\overline x=\overline y=0

Y la tercera:

M=k\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{1-\rho^{2}}^{4} \rho\cdot\rho\;dz\,d\rho\,d\theta

\overline z=\frac{1}{M}\;k\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\!\! \int_{1-\rho^{2}}^{4} z\,\rho\cdot\rho\;dz\,d\rho\,d\theta

Fíjate en el doble $\rho$ : uno viene de la densidad y otro del jacobiano de las cilíndricas. Perder uno de los dos es el error más frecuente del apartado, y como el enunciado solo pide plantear, es exactamente lo que se corrige.

Y el resultado, aunque no se pida. Haciendo las cuentas, $M=\frac{12\pi k}{5}$ y el momento vale $\frac{184\pi k}{35}$ , de donde

\overline z=\frac{46}{21}\approx2{,}19

Está por encima de la mitad de la altura, que sería $2$ si el fondo fuera plano. Tiene sentido: el fondo curvo quita material por abajo, y la densidad $k\rho$ carga el peso hacia el borde, que es donde el sólido es más alto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 3 de julio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos segundos miembros, y solo uno resuena

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO

y''+25y=13e^{x}+2\cos 5x

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de los dos términos del segundo miembro resuena con la homogénea?
02
La parte exponencial
COMP2
En la particular $y_{p}=Ae^{x}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La parte que resuena
COMP2
La particular del coseno es $y_{p}=Cx\operatorname{sen}5x$ . ¿Cuánto vale $C$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}+25=0$ tiene raíces imaginarias puras $\pm5i$ , así que la homogénea es $C_{1}\cos5x+C_{2}\operatorname{sen}5x$ .
2. El $13e^{x}$ no resuena, porque $1$ no es raíz: su particular es $\frac12 e^{x}$ .
3. El $2\cos5x$ sí resuena, así que su particular lleva un factor $x$ delante: sale $\frac{x}{5}\operatorname{sen}5x$ .

Resolución completa

La homogénea. $r^{2}+25=0$ da $r=\pm5i$ , raíces imaginarias puras:

y_{h}=C_{1}\cos 5x+C_{2}\operatorname{sen}5x

Dos segundos miembros, y el principio de superposición. Se resuelve cada uno por su lado y las particulares se suman.

El primero, $13e^{x}$ : no resuena. El exponente es $1$ y las raíces son $\pm5i$ , así que la propuesta normal vale:

y_{p_{1}}=Ae^{x} \;\Longrightarrow\; A+25A=13 \;\Longrightarrow\; A=\frac12

El segundo, $2\cos5x$ : resuena. $\cos5x$ está en la homogénea, así que la propuesta $B\cos5x+C\operatorname{sen}5x$ se anularía al sustituir. Hay que multiplicar por $x$ :

y_{p_{2}}=x\left(B\cos5x+C\operatorname{sen}5x\right)

Derivando dos veces, los términos con $x$ se cancelan contra el $25y$ y queda

y_{p_{2}}''+25y_{p_{2}}=-10B\operatorname{sen}5x+10C\cos5x=2\cos5x

de donde $B=0$ y $C=\frac15$ .

\boxed{\;y=C_{1}\cos5x+C_{2}\operatorname{sen}5x +\frac{e^{x}}{2}+\frac{x}{5}\operatorname{sen}5x\;}

Cómo se ve la resonancia en la solución. El término $\frac{x}{5}\operatorname{sen}5x$ oscila con amplitud creciente: el $x$ de delante lo hace crecer sin límite. Físicamente es un oscilador empujado justo a su frecuencia propia, y es lo que rompe los puentes. La exponencial, en cambio, aporta un término que crece pero sin oscilar.

La comprobación, en un punto. Con $x=1$ : la parte particular vale $\frac{e}{2}+\frac{\operatorname{sen}5}{5}$ , y al sustituirla en $y''+25y$ sale $13e+2\cos5=35{,}905$ , que es exactamente el segundo miembro ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 3 de julio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con la incógnita dentro de una integral

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la siguiente ecuación integral utilizando la transformada de Laplace:

y(t)=t+\int_{0}^{t}\operatorname{sen}\left(t-u\right)y(u)\,du

La función y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es esa integral?
02
La transformada despejada
COMP2
Despejando, $Y(s)=\dfrac{s^{2}+1}{s^{n}}$ . ¿Cuánto vale $n$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La solución en un instante
COMP2
¿Cuánto vale $y(3)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La integral es la convolución $\operatorname{sen}t*y$ , y su transformada es el producto $\frac{1}{s^{2}+1}\,Y$ .
2. Transformando la ecuación entera: $Y=\frac{1}{s^{2}}+\frac{Y}{s^{2}+1}$ , y despejando $Y=\frac{s^{2}+1}{s^{4}}$ .
3. Separando, $Y=\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s^{4}}$ , y antitransformando término a término sale $y(t)=t+\frac{t^{3}}{6}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 3 de julio de 2023 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una rampa desplazada hacia abajo, ampliada par

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $f(t)=t-2\pi$ , $t\in\left(0,\pi\right)$ .

a) Obtener la ampliación par y periódica de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función ampliada.

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $f(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=0$ y $t=\dfrac{\pi}{2}$ .

e) Obtener la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}$ .

Los cinco apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la ampliación par de $f(t)=t-2\pi$ en $\left(-\pi,0\right)$ ?
02
El término constante
COMP2
¿Cuánto vale $\dfrac{a_{0}}{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en el origen
COMP2
¿Cuánto vale $S(0)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado e). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al ser $F$ par, todos los $b_{n}$ se anulan, y los cosenos salen $a_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\left(-1\right)^{n}-1}{n^{2}}$ : cero si $n$ es par y $-\frac{4}{\pi n^{2}}$ si es impar.
2. Con eso, $S(t)=-\frac{3\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n\ \text{impar}} \frac{\cos nt}{n^{2}}$ .
3. Evaluando en $t=0$ , donde $F$ vale $-2\pi$ y es continua: $-2\pi=-\frac{3\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum\frac{1}{n^{2}}$ , y de ahí la suma vale $\frac{\pi^{2}}{8}$ .

Resolución completa

a) y b) La ampliación. La par cumple $F(-t)=F(t)$ , así que en $\left(-\pi,0\right)$ hay que poner $-t-2\pi$ :

F(t)=\left|t\right|-2\pi\quad\text{en }\left(-\pi,\pi\right), \qquad\text{periódica de periodo }2\pi

Una uve con el vértice en $\left(0,-2\pi\right)$ y los extremos en $-\pi$ .

A la izquierda la función del enunciado, una rampa que sube de menos dos pi a menos pi entre cero y pi. A la derecha la ampliación par repetida: una sierra de uves toda por debajo del eje, sin ningún salto.

Fíjate en que no salta en ningún sitio: la ampliación par nunca salta en el origen, y en $\pm\pi$ las dos ramas llegan al mismo valor $-\pi$ . Eso hace trivial el apartado d).

c) La serie. Al ser par, todos los $b_{n}$ se anulan.

\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left(t-2\pi\right)dt =-\frac{3\pi}{2}

a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left(t-2\pi\right)\cos nt\,dt =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\left(-1\right)^{n}-1}{n^{2}}

—el término $-2\pi\cos nt$ se integra a cero, porque $\operatorname{sen}\left(n\pi\right)=0$ —. Así que $a_{n}=0$ para $n$ par y $-\frac{4}{\pi n^{2}}$ para $n$ impar:

\boxed{\;S(t)=-\frac{3\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos\left(\left(2n+1\right)t\right)}{\left(2n+1\right)^{2}}\;}

d) Los dos puntos. Los dos son de continuidad, así que $S$ y $F$ coinciden:

punto	$F$	$S$
$t=0$	$-2\pi$	$-2\pi$
$t=\frac\pi2$	$-\frac{3\pi}{2}$	$-\frac{3\pi}{2}$

Y eso es lo que hay que justificar: con una ampliación par no hay saltos, así que Dirichlet no cambia nada. Con la impar habría sido otra historia.

e) La suma. Evaluando en $t=0$ , donde todos los cosenos valen $1$ :

-2\pi=-\frac{3\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}}

\frac{4}{\pi}\sum=-\frac{3\pi}{2}+2\pi=\frac{\pi}{2} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2n+1\right)^{2}} =\frac{\pi^{2}}{8}\;}

Y una cosa que conviene ver. El $-2\pi$ del enunciado solo mueve el término constante: los $a_{n}$ con $n\ge1$ no lo notan, porque la integral de una constante por un coseno sobre un periodo es cero. La misma función con $+\pi$ en vez de $-2\pi$ —que es justo lo que cayó en la extraordinaria de 2024-2025— tiene los mismos coeficientes salvo $a_{0}$ , y da la misma suma.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2022-2023

Reconocer el camino

La parte imaginaria del seno

El semieje menor

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El máximo

La posición en el máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pendiente en el punto

El coeficiente cuadrático

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Los cortes

El área

El rectángulo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

La masa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La parte exponencial

La parte que resuena

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La transformada despejada

La solución en un instante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término constante

El valor en el origen

Justificar el argumento