tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2018-2019

27 de junio de 2019 · 8 ejercicios · 80 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Un arco capaz, y una elipse que no existeNúmeros complejos0 + 8 + 2 = 10 pts
a) Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:
$\arg\left(\frac{z+i}{z-i}\right)=\frac{\pi}{4}$
b) Obtener, sin calcular, el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición $\left|z-\left(i+1\right)\right|+\left|z-\left(i-1\right)\right|=1$ .
Los dos lugares geométricos, y el primero dibujado.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos parámetros que salen del supremo, del ínfimo y de un saltoSucesiones y series numéricas1 + 3 + 6 = 10 pts
Dados $a,b\in\mathbb{R}$ , se considera la sucesión de término general
$x_{n}=\begin{cases} \dfrac{-a}{n} & \text{si } n<10\\[4pt] b\left(-1\right)^{n} & \text{si } n\ge10 \end{cases}$
a) Determinar $a$ y $b$ sabiendo que el valor $M=3$ es el supremo de $\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , el valor $m=-2$ es el ínfimo de $\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ y que $\left|x_{10}-x_{9}\right|=\dfrac{7}{3}$ .

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento de la sucesión $\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ y su convergencia.
Los valores de a y b, y el comportamiento de la sucesión.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 23 puntos por calcular
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El rectángulo más grande que cabe bajo una parábolaEstudio local de funciones reales de una variable real0 + 8 + 2 = 10 pts
Sea la función $y\left(x\right)=4x-x^{2}$ , $0\le x\le4$ . Hallar los vértices del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de $y\left(x\right)$ y el eje de abscisas, sabiendo que dos vértices consecutivos están sobre el eje OX.
Los cuatro vértices del rectángulo de área máxima.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos tangentes que se cruzan, y el hueco que dejanIntegración0 + 9 + 1 = 10 pts
a) Calcular las rectas tangentes de la función $f\left(x\right)=x^{2}+4$ en los puntos de abscisas $x=-2$ y $x=2$ .

b) Calcular el área del recinto $D$ limitado por la gráfica de la función $f\left(x\right)$ y las rectas tangentes obtenidas en el apartado anterior.

c) Calcular el volumen generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.
Las dos tangentes, el área que encierran con la parábola y el volumen al girar.
- COMP 29 puntos por calcular
- COMP 41 punto por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Seis mapas de nivel, y dos números para elegir el tuyoFunciones reales de varias variables reales4 + 0 + 6 = 10 pts
Las gráficas (1) a (6) muestran diagramas de curvas de nivel de seis diferentes funciones de dos variables $F\left(x,y\right)$ . Observa que en cada curva de nivel se indica la correspondiente cota de $z$ .

Los seis diagramas de curvas de nivel del enunciado, redibujados. En cada curva se indica su cota. Los tres primeros son circunferencias centradas en el origen; los tres últimos, familias de la misma parábola desplazada.

Sean los siguientes valores de derivadas parciales de las funciones $F\left(x,y\right)$ en el punto $P\left(1,0\right)$ . Con estos datos, decir en cada caso (a), b), c), d), e), f)) qué diagrama de curvas de nivel (1, 2, 3, 4, 5 ó 6) le corresponde a la función que tiene esos valores de derivadas parciales en $P\left(1,0\right)$ . Razona tu respuesta.

$F_{x}\left(1,0\right)$ $F_{y}\left(1,0\right)$
a) $2$ $-1$
b) $-2$ $0$
c) $8$ $0$
d) $-2$ $1$
e) $4$ $0$
f) $-8$ $4$
El diagrama que corresponde a cada uno de los seis casos, razonado.
- COMP 14 puntos por reconocer
- COMP 46 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un campo en el espacio que no depende del caminoIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea la integral $\displaystyle\int_{AB}\left(yz+y-1\right)dx+\left(xz+x\right)dy +\left(xy+3z^{2}\right)dz$ con $A\left(0,2,0\right)$ y $B\left(\sqrt2,1,1\right)$ .

a) Estudiar si la integral depende del camino recorrido.

b) Calcular, si existe, la función potencial $f\left(x,y,z\right)$ .

c) Calcular el valor de la integral.
Si depende del camino, la función potencial y el valor.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La EDO cuyo segundo miembro ya era soluciónEcuaciones diferenciales0 + 8 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO $y''-3y'+2y=2xe^{x}$ .
La solución general.
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Un sistema acoplado que sale en espiralTransformada de Laplace0 + 8 + 2 = 10 pts
Utilizando la transformada de Laplace resolver el sistema
$\begin{cases} x'\left(t\right)=x\left(t\right)+2y\left(t\right)\\ y'\left(t\right)=-2x\left(t\right)+y\left(t\right)\\ x\left(0\right)=1;\;y\left(0\right)=0 \end{cases}$
Las dos funciones x(t) e y(t).
- COMP 28 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 27 de junio de 2019 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un arco capaz, y una elipse que no existe

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular y representar gráficamente el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican la siguiente condición:

\arg\left(\frac{z+i}{z-i}\right)=\frac{\pi}{4}

b) Obtener, sin calcular, el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z$ que verifican la condición $\left|z-\left(i+1\right)\right|+\left|z-\left(i-1\right)\right|=1$ .

Los dos lugares geométricos, y el primero dibujado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dice geométricamente la condición del apartado a)?
02
El radio del arco
COMP2
¿Cuál es el radio de la circunferencia que contiene el arco?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El centro
COMP2
¿Dónde está el centro de esa circunferencia?
Tu respuesta al paso 3forma binómica, por ejemplo 1 o 1+0i — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La condición dice que la suma de las distancias de $z$ a $1+i$ y a $-1+i$ vale $1$ .
2. La distancia entre esos dos puntos es $2$ , y la desigualdad triangular obliga a que la suma sea siempre $\ge2$ .
3. Como $1<2$ , no hay ningún $z$ que cumpla la condición: el lugar geométrico es el conjunto vacío.

Resolución completa

a) El argumento de un cociente es una diferencia de ángulos.

\arg\left(\frac{z+i}{z-i}\right) =\arg\left(z-\left(-i\right)\right)-\arg\left(z-i\right)

Y esa diferencia es, literalmente, el ángulo bajo el cual se ve el segmento que une $-i$ con $i$ desde el punto $z$ . La condición dice que ese ángulo vale $\frac{\pi}{4}$ siempre: eso es un arco capaz.

El radio, por el teorema del ángulo inscrito. La cuerda mide $2$ y el ángulo inscrito es $\frac{\pi}{4}$ :

\text{cuerda}=2R\operatorname{sen}\alpha \;\Longrightarrow\; 2=2R\frac{\sqrt2}{2} \;\Longrightarrow\; R=\sqrt2

El centro está en la mediatriz de la cuerda —el eje real— a distancia $\sqrt{R^{2}-1}=1$ del origen. Quedan dos candidatos, $1$ y $-1$ , y el signo del ángulo elige:

centro	en $z=$	$\arg$ del cociente
$1$	$1+\sqrt2$	$+\frac{\pi}{4}$ ✓
$-1$	$-1-\sqrt2$	$-\frac{\pi}{4}$ ✗

Y falta decir qué trozo. El ángulo central que abarca la cuerda es $2\alpha=\frac{\pi}{2}$ , así que la cuerda parte la circunferencia en un arco de $90°$ y otro de $270°$ . Los puntos del arco grande la ven bajo $\frac{\pi}{4}$ ; los del pequeño, bajo $\frac{3\pi}{4}$ .

\boxed{\;\text{el arco mayor de }\left|z-1\right|=\sqrt2, \text{ sin los extremos }\pm i\;}

Los extremos se quitan porque en $z=i$ el cociente no está definido y en $z=-i$ vale $0$ , que no tiene argumento. El arco vive entero en el semiplano $x>0$ .

El arco capaz. Los puntos del arco grueso ven la cuerda de −i a i bajo un ángulo de π/4; los del arco a trazos, bajo 3π/4. Los extremos ±i se excluyen porque allí el cociente no está definido.

b) La que no existe. La condición es «suma de distancias a dos puntos fijos = constante», que es la definición de elipse. Pero antes de escribir ninguna ecuación conviene mirar los números:

	valor
focos	$1+i$ y $-1+i$
distancia entre ellos, $2c$	$2$
suma pedida, $2a$	$1$

La desigualdad triangular dice que para cualquier punto $z$ del plano

\left|z-F_{1}\right|+\left|z-F_{2}\right|\ge\left|F_{1}-F_{2}\right|=2

con igualdad solo en el segmento que los une. Como se pide que la suma valga $1$ , y $1<2$ :

\boxed{\;\text{el lugar geométrico es el conjunto vacío}\;}

La desigualdad triangular: el camino que pasa por z nunca es más corto que el segmento recto entre los focos, que mide 2. Pedir que sume 1 es pedir un atajo que no existe.

Por qué el enunciado dice «sin calcular». Si uno se lanza a la ecuación de la elipse, sale $a=\frac12$ , $c=1$ y $b^{2}=a^{2}-c^{2}=-\frac34$ : un semieje al cuadrado negativo. Es el mismo resultado, pero contado al revés y después de tres cambios de variable. La versión buena es la de una línea, y da los dos puntos de COMP 4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 27 de junio de 2019 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos parámetros que salen del supremo, del ínfimo y de un salto

COMP 11 punto por reconocer
COMP 23 puntos por calcular
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dados $a,b\in\mathbb{R}$ , se considera la sucesión de término general

x_{n}=\begin{cases} \dfrac{-a}{n} & \text{si } n<10\\[4pt] b\left(-1\right)^{n} & \text{si } n\ge10 \end{cases}

a) Determinar $a$ y $b$ sabiendo que el valor $M=3$ es el supremo de $\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ , el valor $m=-2$ es el ínfimo de $\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ y que $\left|x_{10}-x_{9}\right|=\dfrac{7}{3}$ .

b) Estudiar el crecimiento/decrecimiento de la sucesión $\left\{x_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ y su convergencia.

Los valores de a y b, y el comportamiento de la sucesión.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es el supremo de un conjunto de números reales?
02
El parámetro a
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El parámetro b
COMP2
¿Cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $a=-3$ , el primer tramo es $x_{n}=\frac{3}{n}$ para $n\le9$ , estrictamente decreciente de $3$ a $\frac13$ .
2. Con $b=-2$ , a partir de $n=10$ la sucesión alterna $-2,\,2,\,-2,\,2,\dots$
3. La subsucesión de los pares tiende a $-2$ y la de los impares a $2$ : como los dos límites son distintos, la sucesión no converge.

Resolución completa

a) Lo que aporta cada tramo.

tramo	términos	qué valores toma
$n=1,\dots,9$	$\frac{-a}{n}$	nueve valores en progresión $\frac{-a}{1},\dots,\frac{-a}{9}$
$n\ge10$	$b\left(-1\right)^{n}$	solo dos: $b$ y $-b$

El ínfimo, $-2$ , tiene que venir del segundo tramo. Si $-a>0$ el primer tramo es todo positivo, y entonces lo más pequeño de todo es $-\left|b\right|$ :

-\left|b\right|=-2\;\Longrightarrow\;\left|b\right|=2

El supremo, $3$ , tiene que venir del primero, porque el segundo no pasa de $2$ . El mayor del primer tramo es $x_{1}=-a$ :

-a=3\;\Longrightarrow\;\boxed{\;a=-3\;}

El salto desempata el signo de $b$ . Con $a=-3$ es $x_{9}=\frac39=\frac13$ y $x_{10}=b\left(-1\right)^{10}=b$ :

\left|b-\tfrac13\right|=\tfrac73 \;\Longrightarrow\; b=\tfrac83\ \text{o}\ b=-2

y solo $b=-2$ tiene módulo $2$ :

\boxed{\;b=-2\;}

La comprobación de los tres datos a la vez, que es lo que hay que escribir en el examen:

dato	comprobación
$\sup=3$	$x_{1}=3$ , y ningún término lo supera. Además se alcanza: es máximo
$\inf=-2$	$x_{10}=-2$ , y ninguno baja de ahí. También se alcanza: es mínimo
$\left\\|x_{10}-x_{9}\right\\|$	$\left\\|-2-\frac13\right\\|=\frac73$ ✓

Los nueve primeros términos bajan de 3 a 1/3; el décimo salta a −2 y desde ahí la sucesión alterna −2 y 2 para siempre. El supremo y el ínfimo se alcanzan, así que además son máximo y mínimo.

b) Crecimiento y convergencia. La sucesión queda

x_{n}=\begin{cases} \frac{3}{n} & n\le9\\ -2\left(-1\right)^{n} & n\ge10 \end{cases} \qquad 3,\;\tfrac32,\;1,\;\dots,\;\tfrac13,\;-2,\;2,\;-2,\;2,\dots

Decrece de $n=1$ a $n=10$ : el tramo $\frac3n$ es decreciente, y además $x_{9}=\frac13>-2=x_{10}$ .
A partir de $n=10$ no es monótona: alterna $-2$ y $2$ para siempre.
Está acotada: $-2\le x_{n}\le3$ , con las dos cotas alcanzadas.
No converge. Los pares valen $-2$ y los impares $2$ , así que hay dos subsucesiones con límites distintos. Como el límite de una sucesión, si existe, es único y toda subsucesión hereda el límite, la existencia de dos subsucesiones con límites distintos lo prohíbe.

\liminf x_{n}=-2,\qquad \limsup x_{n}=2

Lo que este ejercicio está midiendo. Seis de sus diez puntos son COMP 4 y solo tres de cálculo, y se ve por qué: las cuentas son dos divisiones. Lo que puntúa es distinguir supremo de máximo, saber que la monotonía de un tramo finito no dice nada sobre la convergencia, y citar el teorema por su nombre al negarlo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 27 de junio de 2019 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El rectángulo más grande que cabe bajo una parábola

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $y\left(x\right)=4x-x^{2}$ , $0\le x\le4$ . Hallar los vértices del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de $y\left(x\right)$ y el eje de abscisas, sabiendo que dos vértices consecutivos están sobre el eje OX.

Los cuatro vértices del rectángulo de área máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el rectángulo tiene que ser simétrico respecto de $x=2$ ?
02
La semianchura óptima
COMP2
Si la base va de $2-t$ a $2+t$ , ¿para qué $t$ es máxima el área?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
¿Cuánto vale esa área?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La parábola $y=4x-x^{2}$ corta al eje en $x=0$ y $x=4$ , y su vértice está en $\left(2,4\right)$ .
2. Por simetría el rectángulo se escribe con base de $2-t$ a $2+t$ y altura $4-t^{2}$ , así que $A\left(t\right)=8t-2t^{3}$ .
3. $A'\left(t\right)=8-6t^{2}$ se anula en $t=\frac{2}{\sqrt3}$ , y $A''<0$ confirma que es máximo.

Resolución completa

El recinto. $y=4x-x^{2}=x\left(4-x\right)$ es una parábola hacia abajo que corta al eje en $x=0$ y $x=4$ , con vértice en $\left(2,4\right)$ . El recinto es la campana que queda entre ella y el eje.

Por qué la base va centrada. Si la base va de $p$ a $q$ , los dos vértices de arriba están en $\left(p,h\right)$ y $\left(q,h\right)$ , y para que el rectángulo quepa hace falta

h\le\min\left(y\left(p\right),y\left(q\right)\right)

Fijada la anchura $q-p$ , ese mínimo es tanto mayor cuanto más centrada esté la base respecto del eje de simetría $x=2$ . Así que en el óptimo $p=2-t$ y $q=2+t$ , y los dos vértices de arriba están sobre la parábola.

La función a maximizar.

y\left(2\pm t\right)=4\left(2\pm t\right)-\left(2\pm t\right)^{2}=4-t^{2}

A\left(t\right)=\underbrace{2t}_{\text{base}}\cdot \underbrace{\left(4-t^{2}\right)}_{\text{altura}}=8t-2t^{3}, \qquad t\in\left[0,2\right]

El máximo.

A'\left(t\right)=8-6t^{2}=0 \;\Longrightarrow\; t=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}, \qquad A''\left(t\right)=-12t<0

En los extremos $A\left(0\right)=A\left(2\right)=0$ , así que el interior gana.

Los vértices. Con $t=\frac{2\sqrt3}{3}\approx1{,}1547$ y altura $4-\frac43=\frac83$ :

\boxed{\; \left(2-\tfrac{2\sqrt3}{3},\,0\right),\quad \left(2+\tfrac{2\sqrt3}{3},\,0\right),\quad \left(2+\tfrac{2\sqrt3}{3},\,\tfrac83\right),\quad \left(2-\tfrac{2\sqrt3}{3},\,\tfrac83\right) \;}

es decir, aproximadamente $\left(0{,}845;0\right)$ , $\left(3{,}155;0\right)$ , $\left(3{,}155;2{,}667\right)$ y $\left(0{,}845;2{,}667\right)$ , con área $\frac{32\sqrt3}{9}\approx6{,}16$ .

El rectángulo de área máxima está centrado en el vértice de la parábola. Sus dos esquinas de arriba, marcadas, están sobre la curva a altura 8/3, y ocupa el 57,7 % del recinto.

La comprobación que da confianza. El recinto entero mide

\int_{0}^{4}\left(4x-x^{2}\right)dx=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3} \approx10{,}67

y el rectángulo se queda con $\frac{6{,}16}{10{,}67}=57{,}7\,\%$ . Que sea poco más de la mitad es razonable para un rectángulo inscrito en una campana; si hubiera salido más del $100\,\%$ , o menos del $30\,\%$ , habría que volver atrás.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 27 de junio de 2019 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos tangentes que se cruzan, y el hueco que dejan

COMP 29 puntos por calcular
COMP 41 punto por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular las rectas tangentes de la función $f\left(x\right)=x^{2}+4$ en los puntos de abscisas $x=-2$ y $x=2$ .

b) Calcular el área del recinto $D$ limitado por la gráfica de la función $f\left(x\right)$ y las rectas tangentes obtenidas en el apartado anterior.

c) Calcular el volumen generado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

Las dos tangentes, el área que encierran con la parábola y el volumen al girar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Una vez calculadas las dos tangentes, ¿qué forma tiene el recinto $D$ ?
02
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de $D$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen al girar $D$ alrededor de OX?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del volumen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tangentes son $y=4x$ y $y=-4x$ , y en $\left[0,2\right]$ la parábola va por encima de $y=4x$ .
2. En $\left[0,2\right]$ los dos bordes son positivos, así que la sección al girar es una corona de radio exterior $x^{2}+4$ y radio interior $4x$ .
3. La diferencia de cuadrados se factoriza: $\left(x^{2}+4\right)^{2}-16x^{2}=\left(x^{2}-4\right)^{2}$ , y la integral sale sola.

Resolución completa

a) Las tangentes. $f\left(x\right)=x^{2}+4$ , $f'\left(x\right)=2x$ .

punto	$f$	$f'$	tangente
$x=2$	$8$	$4$	$y=8+4\left(x-2\right)=4x$
$x=-2$	$8$	$-4$	$y=8-4\left(x+2\right)=-4x$

\boxed{\;y=4x\quad\text{y}\quad y=-4x\;}

Las dos pasan por el origen. Que el término independiente se cancele no es casualidad: la parábola $x^{2}+c$ tiene todas sus tangentes cortando al eje OY en $-c$ … y aquí, además, las dos se cruzan justo en $\left(0,0\right)$ porque los puntos de tangencia son simétricos.

b) El área. En $\left[0,2\right]$ la diferencia entre la parábola y la tangente derecha es un cuadrado perfecto —lo es siempre, y esa es la definición algebraica de tangencia—:

\left(x^{2}+4\right)-4x=x^{2}-4x+4=\left(x-2\right)^{2}\ge0

A=2\int_{0}^{2}\left(x-2\right)^{2}dx =2\left[\frac{\left(x-2\right)^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =\boxed{\;\frac{16}{3}\approx5{,}33\;}

Las dos tangentes tocan la parábola en (−2, 8) y (2, 8) y se cortan en el origen. El recinto D es lo que queda entre ellas y la curva.

c) El volumen. El recinto está por encima del eje OX salvo en el punto $\left(0,0\right)$ , así que al girar cada sección es una corona:

	radio
exterior, lo que genera la parábola	$x^{2}+4$
interior, lo que genera la tangente	$4x$

V=2\pi\int_{0}^{2}\left[\left(x^{2}+4\right)^{2}-\left(4x\right)^{2}\right]dx

El atajo que ahorra media página. Es una diferencia de cuadrados:

\left(x^{2}+4\right)^{2}-\left(4x\right)^{2} =\left(x^{2}+4-4x\right)\left(x^{2}+4+4x\right) =\left(x-2\right)^{2}\left(x+2\right)^{2} =\left(x^{2}-4\right)^{2}

V=2\pi\int_{0}^{2}\left(x^{4}-8x^{2}+16\right)dx =2\pi\left(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32\right) =2\pi\cdot\frac{256}{15}

\boxed{\;V=\frac{512\pi}{15}\approx107{,}23\;}

Por qué se multiplica por dos y no se divide. El recinto es simétrico respecto del eje OY, pero el giro es alrededor de OX. La mitad izquierda genera un sólido en $x<0$ y la derecha otro en $x>0$ : son piezas distintas del mismo cuerpo, y las dos suman. La simetría que permitiría dividir sería la del propio eje de giro, y esa ya está usada al escribir $\pi R^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 27 de junio de 2019 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · Los seis diagramas están redibujados en SVG a partir del original, porque las figuras de terceros se redibujan y no se recortan. El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Seis mapas de nivel, y dos números para elegir el tuyo

COMP 14 puntos por reconocer
COMP 46 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Las gráficas (1) a (6) muestran diagramas de curvas de nivel de seis diferentes funciones de dos variables $F\left(x,y\right)$ . Observa que en cada curva de nivel se indica la correspondiente cota de $z$ .

Los seis diagramas de curvas de nivel del enunciado, redibujados. En cada curva se indica su cota. Los tres primeros son circunferencias centradas en el origen; los tres últimos, familias de la misma parábola desplazada.

Sean los siguientes valores de derivadas parciales de las funciones $F\left(x,y\right)$ en el punto $P\left(1,0\right)$ . Con estos datos, decir en cada caso (a), b), c), d), e), f)) qué diagrama de curvas de nivel (1, 2, 3, 4, 5 ó 6) le corresponde a la función que tiene esos valores de derivadas parciales en $P\left(1,0\right)$ . Razona tu respuesta.

	$F_{x}\left(1,0\right)$	$F_{y}\left(1,0\right)$
a)	$2$	$-1$
b)	$-2$	$0$
c)	$8$	$0$
d)	$-2$	$1$
e)	$4$	$0$
f)	$-8$	$4$

El diagrama que corresponde a cada uno de los seis casos, razonado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación hay entre el gradiente y las curvas de nivel?
02
El caso c)
COMP2
¿Qué diagrama corresponde al caso c), con $F_{x}=8$ y $F_{y}=0$ ?
Tu respuesta al paso 2el número del diagrama, del 1 al 6 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El caso f)
COMP2
¿Qué diagrama corresponde al caso f), con $F_{x}=-8$ y $F_{y}=4$ ?
Tu respuesta al paso 3el número del diagrama, del 1 al 6 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del emparejamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Si $F_{y}\left(1,0\right)=0$ el gradiente en $P$ es horizontal, y eso solo pasa en los mapas de circunferencias: los casos b), c) y e) van a los diagramas (1), (2) y (3).
2. Dentro de esos tres, el signo de $F_{x}$ separa el (1) —cotas negativas, decrecientes hacia fuera— de los otros dos, y el módulo separa el (2), con cotas $4r^{2}$ , del (3), con $2r^{2}$ .
3. Los casos a), d) y f) tienen $F_{y}\neq0$ , así que van a los mapas de parábolas, y el signo de $F_{y}$ dice hacia dónde crecen las cotas.

Resolución completa

La idea, en una frase. El gradiente es perpendicular a la curva de nivel, apunta hacia donde la función crece, y su módulo mide lo apretadas que están las curvas. Con eso, cada par de números elige su mapa sin calcular nada.

Paso 1 · quién tiene $F_{y}=0$ . En $P\left(1,0\right)$ , sobre el eje OX. Si las curvas de nivel son circunferencias centradas en el origen, la tangente en $\left(1,0\right)$ es vertical, así que el gradiente es horizontal y $F_{y}=0$ . Eso deja emparejados de golpe dos grupos de tres:

$F_{y}=0$	mapas circulares	b), c), e) ↔ (1), (2), (3)
$F_{y}\neq0$	mapas de parábolas	a), d), f) ↔ (4), (5), (6)

Paso 2 · leer la ley de cada mapa circular. Basta con mirar en qué radio cae cada cota:

mapa	cotas y radios	ley	$\nabla F\left(1,0\right)$
(1)	$-1$ en $r=1$ , $-4$ en $r=2$	$F=-\left(x^{2}+y^{2}\right)$	$\left(-2,0\right)$
(2)	$1$ en $r=0{,}5$ , $4$ en $r=1$ , $9$ en $r=1{,}5$	$F=4\left(x^{2}+y^{2}\right)$	$\left(8,0\right)$
(3)	$2$ en $r=1$ , $4$ en $r=\sqrt2$ , $6$ en $r=\sqrt3$	$F=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$	$\left(4,0\right)$

El (1) es el único con cotas negativas, y por eso es el único con $F_{x}<0$ . Entre el (2) y el (3), el que tiene las curvas más apretadas tiene el gradiente mayor.

Paso 3 · los mapas de parábolas. Los tres son familias $y=x^{2}+k$ ; lo que cambia es cómo se etiquetan.

mapa	cota de la parábola de vértice $k$	ley	$\nabla F\left(1,0\right)$
(4)	$c=k$	$F=y-x^{2}$	$\left(-2,1\right)$
(5)	$c=-k$	$F=x^{2}-y$	$\left(2,-1\right)$
(6)	$c=4k$	$F=4\left(y-x^{2}\right)$	$\left(-8,4\right)$

El (4) y el (5) tienen el mismo dibujo con las cotas invertidas; el (6) tiene el mismo dibujo otra vez, pero las cotas van de cuatro en cuatro por unidad de vértice, y por eso su gradiente es cuatro veces mayor.

El resultado.

\boxed{\; \text{a)}\to(5),\quad \text{b)}\to(1),\quad \text{c)}\to(2),\quad \text{d)}\to(4),\quad \text{e)}\to(3),\quad \text{f)}\to(6) \;}

La comprobación que cierra el ejercicio. Los seis casos y los seis mapas se emparejan uno a uno, sin repetir ninguno y sin dejar ninguno libre. Eso no está garantizado por el enunciado, así que cuando sale es la mejor prueba de que la lectura es correcta: si dos casos hubieran caído en el mismo mapa, habría un error en alguna de las leyes.

Cómo se escribe esto en el examen. Seis de los diez puntos son COMP 4: no basta con la lista final. Hay que decir, para cada emparejamiento, cuál de las tres propiedades del gradiente lo decide —dirección, sentido o módulo—, y eso son seis frases cortas, no seis números.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 27 de junio de 2019 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un campo en el espacio que no depende del camino

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la integral $\displaystyle\int_{AB}\left(yz+y-1\right)dx+\left(xz+x\right)dy +\left(xy+3z^{2}\right)dz$ con $A\left(0,2,0\right)$ y $B\left(\sqrt2,1,1\right)$ .

a) Estudiar si la integral depende del camino recorrido.

b) Calcular, si existe, la función potencial $f\left(x,y,z\right)$ .

c) Calcular el valor de la integral.

Si depende del camino, la función potencial y el valor.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se comprueba que una integral de línea en el espacio no depende del camino?
02
El término que solo depende de z
COMP2
En la función potencial $f=xyz+xy-x+g\left(z\right)$ , ¿cuál es el coeficiente de $z^{3}$ en $g\left(z\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor de la integral
COMP2
¿Cuánto vale la integral de $A$ a $B$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta, o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tres igualdades cruzadas se cumplen: $P_{y}=Q_{x}=z+1$ , $P_{z}=R_{x}=y$ y $Q_{z}=R_{y}=x$ .
2. El campo es polinómico en todo $\mathbb{R}^{3}$ , que es simplemente conexo, así que ser irrotacional basta para ser conservativo.
3. Integrando $P$ respecto de $x$ y ajustando con las otras dos componentes sale $f=xyz+xy-x+z^{3}$ .

Resolución completa

a) ¿Depende del camino? El campo es

\vec F=\left(\underbrace{yz+y-1}_{P},\; \underbrace{xz+x}_{Q},\; \underbrace{xy+3z^{2}}_{R}\right)

En el espacio hay que comprobar tres igualdades, no una:


$P_{y}=z+1$	$Q_{x}=z+1$ ✓
$P_{z}=y$	$R_{x}=y$ ✓
$Q_{z}=x$	$R_{y}=x$ ✓

Es decir, $\operatorname{rot}\vec F=\vec 0$ . Y como el campo es polinómico —definido y de clase $C^{1}$ en todo $\mathbb{R}^{3}$ , que es simplemente conexo—, irrotacional implica conservativo:

\boxed{\;\text{la integral no depende del camino}\;}

La hipótesis del dominio hay que decirla. Sin ella el resultado es falso: el campo $\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}},0\right)$ es irrotacional y no es conservativo, porque su dominio tiene el eje OZ quitado.

b) El potencial, integrando en cadena.

f_{x}=yz+y-1 \;\Longrightarrow\; f=xyz+xy-x+g\left(y,z\right)

f_{y}=xz+x+g_{y}=xz+x \;\Longrightarrow\; g_{y}=0 \;\Longrightarrow\; g=g\left(z\right)

f_{z}=xy+g'\left(z\right)=xy+3z^{2} \;\Longrightarrow\; g\left(z\right)=z^{3}+C

\boxed{\;f\left(x,y,z\right)=xyz+xy-x+z^{3}+C\;}

Cada paso reduce lo que queda por determinar: primero una función de dos variables, luego de una, luego una constante. Si en el segundo paso hubiera quedado algo con $x$ , el campo no sería conservativo y habría un error antes.

c) El valor. Regla de Barrow para campos conservativos: la integral es el incremento del potencial entre los extremos, y la constante $C$ se va.

f\left(A\right)=f\left(0,2,0\right)=0

f\left(B\right)=f\left(\sqrt2,1,1\right) =\sqrt2+\sqrt2-\sqrt2+1=\sqrt2+1

\boxed{\;I=\sqrt2+1\approx2{,}4142\;}

Por qué el $\sqrt2$ del enunciado no complica nada. Parece puesto para asustar, y de hecho dos de los tres términos con $\sqrt2$ se cancelan entre sí: $xyz+xy-x$ en $B$ vale $\sqrt2+\sqrt2-\sqrt2$ . El resultado lo decide el $z^{3}$ , que no lleva $x$ . Es una señal de que el enunciado está construido, no improvisado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 27 de junio de 2019 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La EDO cuyo segundo miembro ya era solución

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO $y''-3y'+2y=2xe^{x}$ .

La solución general.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no sirve probar con $y_{p}=\left(Ax+B\right)e^{x}$ ?
02
El coeficiente de x²
COMP2
Con $y_{p}=\left(Ax^{2}+Bx\right)e^{x}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de x
COMP2
¿Y cuánto vale $B$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La característica $r^{2}-3r+2=0$ tiene raíces $r=1$ y $r=2$ , así que $y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}$ .
2. Como el $1$ del segundo miembro coincide con una raíz simple, se ensaya $y_{p}=x\left(Ax+B\right)e^{x}$ , multiplicando por $x$ una sola vez.
3. Sustituyendo sale $A=-1$ y $B=-2$ , o sea $y_{p}=-\left(x^{2}+2x\right)e^{x}$ .

Resolución completa

La homogénea.

r^{2}-3r+2=\left(r-1\right)\left(r-2\right)=0 \;\Longrightarrow\; r=1,\;r=2

y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}

La trampa del enunciado. El segundo miembro es $2xe^{x}$ , y ese $e^{x}$ es exactamente una de las soluciones de la homogénea. Si se ensaya $y_{p}=\left(Ax+B\right)e^{x}$ , la parte $Be^{x}$ se anula sola al sustituir y el sistema queda sin solución. Hay resonancia, y la regla es multiplicar por $x^{k}$ con $k$ la multiplicidad de esa raíz. Aquí $r=1$ es simple, así que $k=1$ :

y_{p}=x\left(Ax+B\right)e^{x}=\left(Ax^{2}+Bx\right)e^{x}

Las derivadas. Conviene sacar $e^{x}$ factor común y trabajar solo con el polinomio:

y_{p}'=\left[Ax^{2}+\left(2A+B\right)x+B\right]e^{x}

y_{p}''=\left[Ax^{2}+\left(4A+B\right)x+\left(2A+2B\right)\right]e^{x}

La sustitución, término a término:

grado	$y_{p}''$	$-3y_{p}'$	$+2y_{p}$	total
$x^{2}$	$A$	$-3A$	$2A$	$0$
$x$	$4A+B$	$-6A-3B$	$2B$	$-2A$
$1$	$2A+2B$	$-3B$	$0$	$2A-B$

Que el coeficiente de $x^{2}$ salga cero solo no es casualidad: es la firma de la resonancia, y sirve de comprobación de que las derivadas están bien.

-2A=2,\qquad 2A-B=0 \;\Longrightarrow\; A=-1,\quad B=-2

\boxed{\;y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}-\left(x^{2}+2x\right)e^{x}\;}

La comprobación. Con $y_{p}=-\left(x^{2}+2x\right)e^{x}$ :

y_{p}'=-\left(x^{2}+4x+2\right)e^{x}, \qquad y_{p}''=-\left(x^{2}+6x+6\right)e^{x}

y_{p}''-3y_{p}'+2y_{p} =-e^{x}\left[\left(x^{2}+6x+6\right)-3\left(x^{2}+4x+2\right) +2\left(x^{2}+2x\right)\right]

=-e^{x}\left[-2x\right]=2xe^{x}\;\checkmark

Una nota sobre el $-2x$ del corchete. Que sobreviva justo un término de grado 1 es lo que hace que $A$ y $B$ estén determinados y que el ensayo de grado 2 sea el correcto: ni sobra ni falta un grado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO CUATRIMESTRAL · Convocatoria extraordinaria, 27 de junio de 2019 · Cálculo. Industriales, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Un sistema acoplado que sale en espiral

COMP 28 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando la transformada de Laplace resolver el sistema

\begin{cases} x'\left(t\right)=x\left(t\right)+2y\left(t\right)\\ y'\left(t\right)=-2x\left(t\right)+y\left(t\right)\\ x\left(0\right)=1;\;y\left(0\right)=0 \end{cases}

Las dos funciones x(t) e y(t).

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué queda al transformar las dos ecuaciones?
02
El cuadrado completado
COMP2
Al despejar sale $X=\dfrac{s-1}{\left(s-1\right)^{2}+a}$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la segunda función
COMP2
En $y\left(t\right)=c\,e^{t}\operatorname{sen}2t$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Transformando con las condiciones iniciales: $\left(s-1\right)X-2Y=1$ y $2X+\left(s-1\right)Y=0$ .
2. El determinante es $\left(s-1\right)^{2}+4$ , así que $X=\frac{s-1}{\left(s-1\right)^{2}+4}$ e $Y=\frac{-2}{\left(s-1\right)^{2}+4}$ .
3. El desplazamiento $s\to s-1$ en la variable transformada es un factor $e^{t}$ en la función, así que $x=e^{t}\cos2t$ e $y=-e^{t}\operatorname{sen}2t$ .

Resolución completa

Transformar las dos ecuaciones. Con $\mathcal{L}\left\{x'\right\}=sX-x\left(0\right)$ y $x\left(0\right)=1$ , $y\left(0\right)=0$ :

\begin{cases} sX-1=X+2Y\\ sY-0=-2X+Y \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} \left(s-1\right)X-2Y=1\\ 2X+\left(s-1\right)Y=0 \end{cases}

Resolver el sistema. El determinante es

\Delta=\left(s-1\right)^{2}-\left(-2\right)\cdot2=\left(s-1\right)^{2}+4

y por Cramer

X=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix}1&-2\\0&s-1\end{vmatrix} =\frac{s-1}{\left(s-1\right)^{2}+4}, \qquad Y=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix}s-1&1\\2&0\end{vmatrix} =\frac{-2}{\left(s-1\right)^{2}+4}

Antitransformar. Las dos están ya en forma de tabla, con $\omega=2$ y desplazamiento $s\to s-1$ :

	transformada	función
$x$	$\frac{s-1}{\left(s-1\right)^{2}+2^{2}}$	$e^{t}\cos2t$
$y$	$-\frac{2}{\left(s-1\right)^{2}+2^{2}}$	$-e^{t}\operatorname{sen}2t$

\boxed{\;x\left(t\right)=e^{t}\cos2t, \qquad y\left(t\right)=-e^{t}\operatorname{sen}2t\;}

Las comprobaciones, que valen dos puntos y se hacen en un minuto:

qué	cuenta
$x\left(0\right)$	$1\cdot1=1$ ✓
$y\left(0\right)$	$-1\cdot0=0$ ✓
$x'=x+2y$	$e^{t}\cos2t-2e^{t}\operatorname{sen}2t$ por los dos lados ✓
$y'=-2x+y$	$-2e^{t}\cos2t-e^{t}\operatorname{sen}2t$ por los dos lados ✓

La trayectoria (x(t), y(t)) del sistema. Gira en sentido horario con periodo π —eso lo fija la parte imaginaria 2 de las raíces— y se aleja como eᵗ, que es lo que fija la parte real 1.

Qué está diciendo la solución. El par $\left(x,y\right)$ es $e^{t}\left(\cos2t,\,-\operatorname{sen}2t\right)$ : un punto que gira en sentido horario con velocidad angular $2$ mientras su distancia al origen crece como $e^{t}$ . Es una espiral que se escapa.

Los dos números que la gobiernan son las raíces del denominador, $s=1\pm2i$ :

la parte real $+1$ fija el ritmo al que crece la amplitud — $e^{t}$ —,
la parte imaginaria $2$ fija la velocidad de giro, con periodo $\pi$ .

Si el sistema fuese $x'=-x+2y$ , $y'=-2x-y$ , las raíces serían $-1\pm2i$ y la misma espiral iría hacia dentro. El acoplamiento cruzado con signos opuestos — $+2y$ arriba, $-2x$ abajo— es lo que produce la rotación; los términos diagonales, lo que produce el crecimiento.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2018-2019

Reconocer el camino

El radio del arco

El centro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El parámetro a

El parámetro b

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La semianchura óptima

El área máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caso c)

El caso f)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El término que solo depende de z

El valor de la integral

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de x²

El coeficiente de x

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El cuadrado completado

El coeficiente de la segunda función

Justificar el argumento