tal cual cayó — sin cambiar un número

Cálculo · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2023-2024

1 de julio de 2024 · 10 ejercicios · 100 puntos

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Una ecuación con cinco soluciones, y la que casi todo el mundo pierdeNúmeros complejos1 + 7 + 2 = 10 pts
Sea $z\in\mathbb{C}$ . Resolver la ecuación
$i\,z^{5}\,\overline{z}=-\left|z\right|$
Todas las soluciones.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El cuadrado de la derivada, leído solo en el dibujoEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 2 + 7 = 10 pts
Sea $f(x)$ la función dos veces derivable en $\left(a,b\right)$ cuya gráfica se muestra en la figura. Consideremos la función $h(x)=\left(f'(x)\right)^{2}$ .

a) Estudiar el crecimiento de $h(x)$ .

b) Estudiar la existencia de extremos locales de $h(x)$ .

Figura redibujada del enunciado. La curva sube desde a hasta un máximo, baja hasta un mínimo y vuelve a subir con fuerza hasta b. No hay escala: lo único que se puede leer son los signos.

El crecimiento de h y sus extremos, razonados sobre el dibujo.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 22 puntos por calcular
- COMP 47 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El polinomio de una integral que no se sabe resolverEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 3 de la función
$f(x)=\int_{0}^{x}e^{z^{2}}\,dz$
b) ¿La función $f(x)$ definida en el apartado anterior tiene puntos de inflexión?
El polinomio de orden 3 y los puntos de inflexión.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La ventana de arco, y la proporción que sale sin depender del perímetroEstudio local de funciones reales de una variable real1 + 7 + 2 = 10 pts
Una ventana tiene forma rectangular y su parte superior es semicircular. Supongamos que el perímetro de la ventana es un valor prefijado $P$ . ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la ventana para que su área sea máxima?
Las dimensiones que maximizan el área.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una parábola, su tangente, y el recinto que dejan en el primer cuadranteIntegración0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la función $y=4x^{2}$ . Consideremos el dominio $D$ situado en el primer cuadrante y limitado por la gráfica de la función y la gráfica de su recta tangente que es paralela a la recta $y=8x$ .

a) Dibujar el dominio $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Calcular el volumen del sólido engendrado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.
El dibujo, el área y el volumen.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El cuenco rematado en punta, y su centro de gravedadIntegral múltiple0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ , $x^{2}+y^{2}\le\left(z-2\right)^{2}$ , $z\le2$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Calcular el área de la superficie de $S$ .

c) Sabiendo que la densidad en cada punto es constante calcular las coordenadas del centro de gravedad de $S$ .
El dibujo, el área y el centro de gravedad.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una curva que no te dan, y un área que síIntegral curvilínea1 + 7 + 2 = 10 pts
Calcular el valor de la integral curvilínea $I=\displaystyle\int_{L_{1}}-y\,dx+x\,dy$ desde el punto $\left(-2,0\right)$ hasta el punto $\left(2,0\right)$ sabiendo que el área sombreada de la figura vale $A=10$ .

Figura redibujada del enunciado. Arriba, la semicircunferencia de radio dos marcada como L2; abajo, la curva L1, que el enunciado no describe. Lo único que se sabe de ella es que va de (−2,0) a (2,0) y que encierra, con la de arriba, un área de diez.

El valor de la integral a lo largo de L1.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres ecuaciones, tres etiquetas, y solo una que resolverEcuaciones diferenciales0 + 7 + 3 = 10 pts
Clasificar las siguientes EDOs indicando cuál es homogénea, cuál lineal y cuál exacta (comprobando las tres EDOs). Resolver la EDO exacta:

a) $y'=\dfrac{e^{2}-yx^{2}}{\ln x}$

b) $\dfrac{2y^{3}\cos\left(2x\right)}{3}+\left(y^{2}\operatorname{sen} \left(2x\right)+y^{2}\right)y'=0$

c) $-y^{2}dx+\left(x^{2}+xy\ln\left(x/y\right)\right)dy=0$
La clasificación de las tres, comprobada, y la solución de la exacta.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una fuerza que no existe hasta el segundo tresTransformada de Laplace1 + 7 + 2 = 10 pts
Resolver la EDO
$\left\{ \begin{aligned} y''(t)+2y'(t)&=f(t)\\ y(0)=y'(0)&=0 \end{aligned} \right. \qquad\text{donde}\qquad f(t)= \begin{cases} 0 & 0\le t<3\\ \cos\left(t-3\right) & t\ge3 \end{cases}$
La solución.
- COMP 11 punto por reconocer
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 42 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una escalera de dos peldaños, ampliada impar, y Leibniz otra vezIntroducción al análisis de Fourier0 + 7 + 3 = 10 pts
Sea la función
$f(t)= \begin{cases} 2 & 0<t<1\\ 1 & 1\le t<2 \end{cases}$
a) Obtener la ampliación impar y periódica, $F(t)$ , de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función $f(t)$ y la función ampliada $F(t)$ .

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $F(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=1$ , $t=2$ , $t=100.5$ y $t=18.5$ .

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}$ .
Los cinco apartados.
- COMP 27 puntos por calcular
- COMP 43 puntos por justificar
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación con cinco soluciones, y la que casi todo el mundo pierde

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $z\in\mathbb{C}$ . Resolver la ecuación

i\,z^{5}\,\overline{z}=-\left|z\right|

Todas las soluciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué forma conviene escribir $z$ para atacar esto?
02
El módulo
COMP2
De la ecuación de módulos, $\rho^{6}=\rho$ . ¿Cuál es el valor no nulo de $\rho$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El primer argumento
COMP2
Con $\rho=1$ , ¿cuál es la solución de la ecuación de argumentos con $k=0$ ? Da el resultado como múltiplo de $\pi$ , es decir, contesta $\theta/\pi$ .
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En polar, $i\,z^{5}\overline z$ tiene módulo $\rho^{6}$ y argumento $4\theta+\frac\pi2$ ; y $-\left|z\right|$ tiene módulo $\rho$ y argumento $\pi$ .
2. De los módulos, $\rho^{6}=\rho$ , o sea $\rho=0$ o $\rho=1$ . La solución $\rho=0$ hay que tratarla aparte, porque un complejo de módulo cero no tiene argumento.
3. Con $\rho=1$ , $4\theta+\frac\pi2=\pi+2k\pi$ da $\theta=\frac\pi8+\frac{k\pi}2$ , y $k=0,1,2,3$ agota los valores distintos: cuatro soluciones en la circunferencia unidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · La figura está redibujada del original · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El cuadrado de la derivada, leído solo en el dibujo

COMP 11 punto por reconocer
COMP 22 puntos por calcular
COMP 47 puntos por justificar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f(x)$ la función dos veces derivable en $\left(a,b\right)$ cuya gráfica se muestra en la figura. Consideremos la función $h(x)=\left(f'(x)\right)^{2}$ .

a) Estudiar el crecimiento de $h(x)$ .

b) Estudiar la existencia de extremos locales de $h(x)$ .

Figura redibujada del enunciado. La curva sube desde a hasta un máximo, baja hasta un mínimo y vuelve a subir con fuerza hasta b. No hay escala: lo único que se puede leer son los signos.

El crecimiento de h y sus extremos, razonados sobre el dibujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que mirar en el dibujo para saber cómo crece $h$ ?
02
Reconocer el camino
COMP1
En el máximo de $f$ , ¿qué le pasa a $h$ ?
03
El número de extremos
COMP2
¿Cuántos extremos locales tiene $h$ en $\left(a,b\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $h'=2f'f''$ , así que el signo de $h'$ es el producto de los signos de la pendiente y de la curvatura de $f$ .
2. Del dibujo: $f'>0$ hasta el máximo, $f'<0$ entre el máximo y el mínimo, y $f'>0$ después; y $f''<0$ hasta la inflexión y $f''>0$ a partir de ella.
3. Multiplicando los signos, $h$ decrece, crece, decrece y crece: tres cambios, o sea dos mínimos —en los extremos de $f$ , con $h=0$ — y un máximo, en la inflexión.

Resolución completa

Lo primero, y decide el ejercicio: no hay nada que calcular. La función no viene dada por una fórmula, así que la respuesta se lee en el dibujo. Siete de los diez puntos son de explicación.

La derivada de $h$ .

h(x)=\left(f'(x)\right)^{2} \;\Longrightarrow\; h'(x)=2f'(x)\,f''(x)

El signo de $h'$ es el producto de dos signos que se leen en la gráfica: la pendiente y la curvatura.

Lo que dice el dibujo. Llamemos $c_{1}$ al máximo de $f$ , $d$ a la inflexión y $c_{2}$ al mínimo.

tramo	$f'$	$f''$	$h'=2f'f''$	$h$
$\left(a,c_{1}\right)$	$+$	$-$	$-$	decrece
$\left(c_{1},d\right)$	$-$	$-$	$+$	crece
$\left(d,c_{2}\right)$	$-$	$+$	$-$	decrece
$\left(c_{2},b\right)$	$+$	$+$	$+$	crece

a) El crecimiento, entonces: $h$ decrece, crece, decrece y crece.

b) Los extremos, que salen de la tabla sin más:

en $c_{1}$ y en $c_{2}$ , mínimos locales, y los dos con $h=0$ ;
en $d$ , máximo local.

Y la lectura que no cuesta ninguna cuenta. $h=\left(f'\right)^{2}$ nunca es negativa, así que allí donde $f'$ se anula, $h$ toca su suelo: los extremos de $f$ son mínimos de $h$ , con valor cero. Y $h$ es grande donde la pendiente de $f$ es grande en valor absoluto, que en un tramo entre dos extremos es justo la inflexión.

Dicho de una vez: $h$ mide lo empinada que está $f$ . Es cero donde $f$ está horizontal y máxima donde $f$ está más inclinada. Escribir esa frase y justificarla vale los siete puntos de COMP 4.

Un detalle de rigor. Que $h$ tenga un mínimo en $c_{1}$ no se deduce del criterio de la segunda derivada —habría que derivar $h$ dos veces y no hay fórmula—, sino del cambio de signo de $h'$ , que es el criterio de la primera. Con una función dada solo por su dibujo, ese es el único criterio disponible.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · Es el mismo enunciado, palabra por palabra, que el ejercicio 2 de la tercera evaluación de 2020-2021 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El polinomio de una integral que no se sabe resolver

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcular el polinomio de McLaurin de orden 3 de la función

f(x)=\int_{0}^{x}e^{z^{2}}\,dz

b) ¿La función $f(x)$ definida en el apartado anterior tiene puntos de inflexión?

El polinomio de orden 3 y los puntos de inflexión.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuánto vale $f(0)$ ?
02
La tercera derivada
COMP2
¿Cuánto vale $f'''(0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El polinomio en un punto
COMP2
¿Qué vale $P_{3}\left(\frac12\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por el teorema fundamental, $f'(x)=e^{x^{2}}$ , y de ahí $f''(x)=2x\,e^{x^{2}}$ .
2. La exponencial nunca se anula, así que $f''$ se anula solo donde se anula el factor $2x$ : en $x=0$ .
3. Y ahí cambia de signo —negativa a la izquierda, positiva a la derecha—, luego $x=0$ es punto de inflexión, y el único.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

La ventana de arco, y la proporción que sale sin depender del perímetro

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una ventana tiene forma rectangular y su parte superior es semicircular. Supongamos que el perímetro de la ventana es un valor prefijado $P$ . ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la ventana para que su área sea máxima?

Las dimensiones que maximizan el área.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si el radio del semicírculo es $r$ , ¿cuánto mide el perímetro?
02
El radio óptimo
COMP2
Con $P=10$ , ¿cuánto vale el radio que maximiza el área?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El área máxima
COMP2
Con $P=10$ , ¿cuánto vale el área máxima?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El perímetro es $2h+2r+\pi r=P$ , sin el lado de arriba del rectángulo, y de ahí $h=\frac{P-\left(2+\pi\right)r}{2}$ .
2. El área es $A=2rh+\frac{\pi r^{2}}{2}$ , y sustituyendo queda $A(r)=Pr-2r^{2}-\frac{\pi r^{2}}{2}$ , una parábola hacia abajo.
3. $A'=P-\left(4+\pi\right)r=0$ da $r=\frac{P}{4+\pi}$ , y al sustituir sale $h=\frac{P}{4+\pi}$ también: la altura del rectángulo es igual al radio.

Resolución completa

El planteamiento, que es donde se pierde el ejercicio. El perímetro no incluye el lado de arriba del rectángulo: por ahí la ventana no tiene marco, se encuentra con el semicírculo. Con $r$ el radio del semicírculo y $h$ la altura del rectángulo —cuya base mide $2r$ —:

P=\underbrace{2h}_{\text{laterales}}+\underbrace{2r}_{\text{base}} +\underbrace{\pi r}_{\text{arco}}

Y el área es la del rectángulo más la del semicírculo:

A=2rh+\frac{\pi r^{2}}{2}

Una variable, no dos. Despejando $h=\frac{P-2r-\pi r}{2}$ y sustituyendo:

A(r)=r\left(P-2r-\pi r\right)+\frac{\pi r^{2}}{2} =Pr-2r^{2}-\frac{\pi r^{2}}{2}

El máximo.

A'(r)=P-4r-\pi r=0 \;\Longrightarrow\; \boxed{\;r=\frac{P}{4+\pi}\;}

Y es máximo sin discusión: $A$ es una parábola con $A''=-\left(4+\pi \right)<0$ .

La sorpresa, y es la respuesta que el ejercicio busca. Sustituyendo ese radio en $h$ :

h=\frac{P-\left(2+\pi\right)\frac{P}{4+\pi}}{2} =\frac{P}{2}\cdot\frac{4+\pi-2-\pi}{4+\pi} =\frac{P}{4+\pi}=r

La altura del rectángulo es igual al radio. Es decir: la base mide $2r$ y la altura $r$ , o sea que el rectángulo es el doble de ancho que de alto — y esa proporción no depende de $P$ para nada. Cualquier ventana de arco óptima tiene la misma forma; lo único que cambia es la escala.

El área que sale.

A_{\max}=\frac{P^{2}}{2\left(4+\pi\right)}\approx0{,}0700\,P^{2}

Para comparar, con el mismo perímetro: un cuadrado encierra $\frac{P^{2}}{16}=0{,}0625P^{2}$ y un círculo $\frac{P^{2}}{4\pi}= 0{,}0796P^{2}$ . La ventana de arco queda en medio, más cerca del círculo — que es exactamente lo que uno esperaría de una figura que es medio círculo y medio rectángulo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del PRIMER PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una parábola, su tangente, y el recinto que dejan en el primer cuadrante

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función $y=4x^{2}$ . Consideremos el dominio $D$ situado en el primer cuadrante y limitado por la gráfica de la función y la gráfica de su recta tangente que es paralela a la recta $y=8x$ .

a) Dibujar el dominio $D$ .

b) Calcular el área de $D$ .

c) Calcular el volumen del sólido engendrado al girar el recinto $D$ alrededor del eje OX.

El dibujo, el área y el volumen.

01
El punto de tangencia
COMP2
¿En qué abscisa la tangente a $y=4x^{2}$ tiene pendiente $8$ ?
Tu respuesta al paso 1un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
02
Reconocer el camino
COMP1
Una parábola y su tangente solo se tocan en un punto. Entonces, ¿qué cierra el recinto $D$ ?
03
El área
COMP2
¿Cuánto vale el área de $D$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al girar alrededor de OX, cada sección es un disco de $0$ a $\frac12$ —donde la tangente aún no ha salido del eje— y una corona de $\frac12$ a $1$ .
2. De $0$ a $\frac12$ el radio es $4x^{2}$ y aporta $\pi\int_{0}^{1/2}16x^{4}dx=\frac{\pi}{10}$ .
3. De $\frac12$ a $1$ hay que restar el hueco de la recta: $\pi\int_{1/2}^{1}\left[16x^{4}-\left(8x-4\right)^{2}\right]dx =\frac{13\pi}{30}$ , y el total es $\frac{8\pi}{15}$ .

Resolución completa

La tangente. $y'=8x$ , y la pendiente pedida es $8$ , así que $x=1$ y el punto de tangencia es $\left(1,4\right)$ :

y=8x-4

Corta al eje $X$ en $x=\frac12$ , y ese corte es el que cierra el recinto.

a) El dominio. Una parábola y su tangente solo se tocan en un punto, así que por sí solas no encierran nada. Lo que cierra $D$ es la restricción al primer cuadrante: por debajo de $x=\frac12$ la tangente se hunde bajo el eje, y el borde de abajo pasa a ser el propio eje.

Tres lados: la parábola por arriba desde el origen hasta el punto de tangencia, la tangente por abajo desde ese punto hasta el corte con el eje en un medio, y el trozo de eje que cierra hasta el origen.

b) El área. Área bajo la parábola menos el triángulo bajo la tangente:

A=\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx-\underbrace{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot4} _{\text{triángulo}}=\frac{4}{3}-1=\boxed{\;\frac13\;}

c) El volumen. Al girar alrededor de OX el sólido se parte en dos tramos:

V=\underbrace{\pi\int_{0}^{1/2}\left(4x^{2}\right)^{2}dx}_{\text{discos}} +\underbrace{\pi\int_{1/2}^{1}\left[\left(4x^{2}\right)^{2} -\left(8x-4\right)^{2}\right]dx}_{\text{coronas}}

La primera:

\pi\int_{0}^{1/2}16x^{4}dx=\pi\cdot\frac{16}{5}\cdot\frac{1}{32} =\frac{\pi}{10}

La segunda, con $\int_{1/2}^{1}16x^{4}=\frac{31}{10}$ y $\int_{1/2}^{1}\left(64x^{2}-64x+16\right)=\frac83$ :

\pi\left(\frac{31}{10}-\frac{8}{3}\right)=\frac{13\pi}{30}

\boxed{\;V=\frac{\pi}{10}+\frac{13\pi}{30}=\frac{8\pi}{15}\approx1{,}676\;}

El error que este apartado tiende. Restar las funciones antes de elevarlas al cuadrado. La corona tiene área $\pi R^{2}-\pi r^{2}$ , y eso no es $\pi\left(R-r\right)^{2}$ . La diferencia entre las dos cuentas aquí es de casi el treinta por ciento.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · Es el mismo sólido que el del ejercicio 3 de la ordinaria de 2013-2014 y el 1 del segundo parcial de la de 2021-2022, con el vértice en 2 en vez de en 6 · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El cuenco rematado en punta, y su centro de gravedad

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $S$ el sólido definido por las condiciones $x^{2}+y^{2}\le z$ , $x^{2}+y^{2}\le\left(z-2\right)^{2}$ , $z\le2$ .

a) Dibujar el sólido $S$ .

b) Calcular el área de la superficie de $S$ .

c) Sabiendo que la densidad en cada punto es constante calcular las coordenadas del centro de gravedad de $S$ .

El dibujo, el área y el centro de gravedad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuáles son las dos coordenadas del centro de gravedad que se pueden contestar sin integrar?
02
Dónde se cortan
COMP2
¿A qué altura se cortan el paraboloide y el cono?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El volumen
COMP2
¿Cuánto vale el volumen de $S$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La altura del centro de gravedad
COMP2
¿A qué altura está el centro de gravedad?
Tu respuesta al paso 4en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La superficie tiene dos trozos: el casquete de paraboloide desde el vértice hasta el corte, y la superficie lateral del cono desde el corte hasta la punta.
2. El del paraboloide es $2\pi\int_{0}^{1}\rho\sqrt{1+4\rho^{2}}\,d\rho =\frac{\pi\left(5\sqrt5-1\right)}{6}\approx5{,}33$ .
3. El del cono es $\pi R g$ con $R=1$ y generatriz $g=\sqrt2$ , o sea $\sqrt2\,\pi\approx4{,}44$ . En total, unas $9{,}77$ unidades.

Resolución completa

a) Qué sólido es. El mismo cuerpo que ya ha caído dos veces —el ejercicio 3 de la ordinaria de 2013-2014 y el 1 del segundo parcial de la de 2021-2022— pero con el vértice del cono en $z=2$ en vez de en $z=6$ . Dentro del paraboloide y dentro del cono, con la punta hacia arriba.

\sqrt z=2-z \;\Longrightarrow\; z^{2}-5z+4=0 \;\Longrightarrow\; z=1\ \text{(y }4\text{, fuera)},\qquad \rho=1

La sección que contiene el eje. El cuenco parabólico sube desde el origen hasta la altura uno, donde el radio vale uno, y desde ahí el cono se cierra en punta en la altura dos.

b) El área. Dos superficies curvas y ninguna cara plana.

A_{\text{parab}}=2\pi\int_{0}^{1}\rho\sqrt{1+4\rho^{2}}\,d\rho =\frac{\pi}{6}\left(5\sqrt5-1\right)\approx5{,}33

A_{\text{cono}}=\pi R g=\pi\cdot1\cdot\sqrt2=\sqrt2\,\pi\approx4{,}44

\boxed{\;A=\frac{\pi\left(5\sqrt5-1\right)}{6}+\sqrt2\,\pi\approx9{,}77\;}

c) El centro de gravedad. Dos coordenadas salen sin integrar:

\overline x=\overline y=0 \qquad\text{por simetría de revolución}

Y la tercera, con discos horizontales:

V=\pi\int_{0}^{1}z\,dz+\pi\int_{1}^{2}\left(2-z\right)^{2}dz =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}

\int z\,dV=\pi\int_{0}^{1}z^{2}dz+\pi\int_{1}^{2}z\left(2-z\right)^{2}dz =\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{12}=\frac{3\pi}{4}

\boxed{\;\overline z=\frac{3\pi/4}{5\pi/6}=\frac{9}{10}=0{,}9\;}

La segunda integral, con el cambio que la deja en nada. Con $u=2-z$ se convierte en $\int_{0}^{1}\left(2-u\right)u^{2}du=\frac23-\frac14 =\frac{5}{12}$ . Sin el cambio hay que desarrollar el cuadrado y multiplicar por $z$ .

La comprobación de sentido. El centroide sale en $0{,}9$ , o sea por debajo de la altura del corte, que es $1$ . Tiene que ser así: tres cuartas partes del volumen están en el cuenco, que va de $0$ a $1$ . Y compara con el mismo sólido a escala seis, el de 2013-2014, donde salía $\frac{25}{8}=3{,}125$ sobre una altura total de $6$ : la proporción es $0{,}52$ allí y $0{,}45$ aquí. No es la misma, y no tiene por qué serlo — el paraboloide $z=\rho^{2}$ no escala igual que el cono.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · La figura está redibujada del original · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una curva que no te dan, y un área que sí

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el valor de la integral curvilínea $I=\displaystyle\int_{L_{1}}-y\,dx+x\,dy$ desde el punto $\left(-2,0\right)$ hasta el punto $\left(2,0\right)$ sabiendo que el área sombreada de la figura vale $A=10$ .

Figura redibujada del enunciado. Arriba, la semicircunferencia de radio dos marcada como L2; abajo, la curva L1, que el enunciado no describe. Lo único que se sabe de ella es que va de (−2,0) a (2,0) y que encierra, con la de arriba, un área de diez.

El valor de la integral a lo largo de L1.

01
Reconocer el camino
COMP1
De $L_{1}$ solo se conocen sus extremos. ¿Por qué se puede calcular la integral igualmente?
02
La circulación completa
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\oint$ sobre la frontera completa, recorrida en sentido positivo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El camino de arriba
COMP2
¿Cuánto vale la integral a lo largo de $L_{2}$ , recorrida de $\left(2,0\right)$ a $\left(-2,0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La frontera de la región, recorrida en sentido positivo, es $L_{1}$ de $\left(-2,0\right)$ a $\left(2,0\right)$ seguida de $L_{2}$ de $\left(2,0\right)$ a $\left(-2,0\right)$ : por abajo de izquierda a derecha y por arriba de vuelta.
2. Green da $\oint=\iint_{R}2\,dA=2\cdot10=20$ , y no hace falta conocer la forma de $L_{1}$ porque el integrando es constante.
3. Sobre $L_{2}$ la integral vale $4\pi$ , así que $I=20-4\pi\approx7{,}43$ .

Resolución completa

El truco del enunciado, y hay que verlo antes de escribir nada. De $L_{1}$ no se dice nada: ni fórmula, ni parametrización, ni siquiera de qué tipo de curva es. Lo único que se da es el área encerrada. Eso solo puede significar una cosa: Green, y que la integral doble dependa nada más que del área.

Y así es:

P=-y,\qquad Q=x \;\Longrightarrow\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1+1=2

Una constante. Por eso el área basta.

Cerrar el camino. La frontera de la región, recorrida en sentido positivo —dejándola a la izquierda—, es $L_{1}$ de $\left(-2,0\right)$ a $\left(2,0\right)$ , y después $L_{2}$ de vuelta:

\oint_{\partial R}=I+\int_{L_{2}}^{\,(2,0)\to(-2,0)}

\oint_{\partial R}=\iint_{R}2\,dA=2\cdot 10=20

El arco. $L_{2}$ es la semicircunferencia de radio $2$ , y con $x=2\cos\theta$ , $y=2\operatorname{sen}\theta$ , $\theta$ de $0$ a $\pi$ —que es justo de $\left(2,0\right)$ a $\left(-2,0\right)$ —:

-y\,dx+x\,dy=4\operatorname{sen}^{2}\theta\,d\theta +4\cos^{2}\theta\,d\theta=4\,d\theta

El integrando se simplifica a una constante, y

\int_{L_{2}}=4\pi

El resultado.

\boxed{\;I=20-4\pi\approx7{,}434\;}

Por qué el arco da $4\pi$ y no otra cosa. Para este campo concreto, $\frac12\oint$ mide el área encerrada; sobre un arco centrado en el origen lo que mide es el doble del área del sector barrido. Aquí el sector es medio disco de radio $2$ , de área $2\pi$ , y $2\cdot 2\pi=4\pi$ ✓. Es una comprobación de diez segundos que no exige repetir la integral.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres ecuaciones, tres etiquetas, y solo una que resolver

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar las siguientes EDOs indicando cuál es homogénea, cuál lineal y cuál exacta (comprobando las tres EDOs). Resolver la EDO exacta:

a) $y'=\dfrac{e^{2}-yx^{2}}{\ln x}$

b) $\dfrac{2y^{3}\cos\left(2x\right)}{3}+\left(y^{2}\operatorname{sen} \left(2x\right)+y^{2}\right)y'=0$

c) $-y^{2}dx+\left(x^{2}+xy\ln\left(x/y\right)\right)dy=0$

La clasificación de las tres, comprobada, y la solución de la exacta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de las tres es la lineal?
02
La comprobación de la exacta
COMP2
En la b), con $M=\frac{2y^{3}\cos 2x}{3}$ , ¿cuánto vale $M_{y}$ en el punto $x=0$ , $y=1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La constante de la solución
COMP2
La solución de la exacta es $y^{3}\left(\operatorname{sen}2x+1\right) =C$ . ¿Cuánto vale $C$ para la curva que pasa por $\left(\frac\pi4,1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución de la exacta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como $M_{y}=N_{x}=2y^{2}\cos 2x$ , existe un potencial $F$ con $F_{x}=M$ y $F_{y}=N$ .
2. Integrando $F_{x}=\frac{2y^{3}\cos 2x}{3}$ respecto de $x$ sale $F=\frac{y^{3}\operatorname{sen}2x}{3}+g(y)$ , con una función de $y$ como constante de integración.
3. Derivando eso respecto de $y$ e igualando a $N$ queda $g'(y)=y^{2}$ , o sea $g=\frac{y^{3}}{3}$ , y la solución es $y^{3}\left(\operatorname{sen}2x+1\right)=C$ .

Resolución completa

La clasificación, comprobada una a una.

a) Lineal. Multiplicando por $\ln x$ :

y'\ln x+x^{2}y=e^{2} \;\Longrightarrow\; y'+\frac{x^{2}}{\ln x}\,y=\frac{e^{2}}{\ln x}

Forma estándar $y'+p(x)y=q(x)$ : la incógnita aparece a la primera potencia y no multiplica a su derivada. Y no es exacta ni homogénea, porque los coeficientes no son homogéneos del mismo grado.

b) Exacta. Con $M=\frac{2y^{3}\cos 2x}{3}$ y $N=y^{2}\operatorname{sen}2x+y^{2}$ :

M_{y}=2y^{2}\cos 2x, \qquad N_{x}=2y^{2}\cos 2x

Coinciden en todo punto, que es la condición.

c) Homogénea. Con $M=-y^{2}$ y $N=x^{2}+xy\ln\left(x/y\right)$ , sustituyendo $x\to tx$ , $y\to ty$ : el logaritmo no cambia —porque $\frac{tx}{ty}=\frac xy$ — y los dos coeficientes quedan multiplicados por $t^{2}$ . Homogéneos de grado $2$ .

Y no es exacta: $M_{y}=-2y$ mientras que $N_{x}=2x+y\ln\left(x/y\right)+y$ .

La exacta, resuelta. Se busca $F$ con $F_{x}=M$ y $F_{y}=N$ :

F=\int\frac{2y^{3}\cos 2x}{3}\,dx =\frac{y^{3}\operatorname{sen}2x}{3}+g(y)

La «constante» de integración es una función de $y$ , porque al derivar respecto de $x$ cualquier cosa que solo dependa de $y$ se anula. Ahora se impone la otra condición:

F_{y}=y^{2}\operatorname{sen}2x+g'(y)=y^{2}\operatorname{sen}2x+y^{2} \;\Longrightarrow\; g'(y)=y^{2} \;\Longrightarrow\; g(y)=\frac{y^{3}}{3}

F=\frac{y^{3}\operatorname{sen}2x}{3}+\frac{y^{3}}{3}=C'

\boxed{\;y^{3}\left(\operatorname{sen}2x+1\right)=C\;}

La comprobación, que cuesta veinte segundos. Derivando implícitamente $y^{3}\left(\operatorname{sen}2x+1\right)=C$ :

2y^{3}\cos 2x+3y^{2}\left(\operatorname{sen}2x+1\right)y'=0

Dividiendo entre $3$ sale exactamente la ecuación del enunciado ✓.

Por qué el examen pide clasificar las tres y resolver solo una. Porque lo que se evalúa es el árbol de decisión, no la técnica: reconocer que la a) es lineal, la b) exacta y la c) homogénea es lo que separa un ejercicio de cinco minutos de uno de media hora por el camino equivocado. Y «comprobando las tres» significa que hay que escribir las derivadas cruzadas, no solo afirmar la etiqueta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una fuerza que no existe hasta el segundo tres

COMP 11 punto por reconocer
COMP 27 puntos por calcular
COMP 42 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resolver la EDO

\left\{ \begin{aligned} y''(t)+2y'(t)&=f(t)\\ y(0)=y'(0)&=0 \end{aligned} \right. \qquad\text{donde}\qquad f(t)= \begin{cases} 0 & 0\le t<3\\ \cos\left(t-3\right) & t\ge3 \end{cases}

La solución.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se escribe $f(t)$ en una sola fórmula?
02
El factor del retraso
COMP2
En $Y(s)=e^{-as}\cdot\dfrac{1}{\left(s+2\right)\left(s^{2}+1\right)}$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de la exponencial
COMP2
Descomponiendo $\dfrac{1}{\left(s+2\right)\left(s^{2}+1\right)} =\dfrac{A}{s+2}+\dfrac{Bs+C}{s^{2}+1}$ , ¿cuánto vale $A$ ?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $y(0)=y'(0)=0$ la transformada de la izquierda es $\left(s^{2}+2s\right)Y$ , y la de la derecha $e^{-3s}\frac{s}{s^{2}+1}$ .
2. Despejando, la $s$ del numerador se cancela con la del denominador y queda $Y=\frac{e^{-3s}}{\left(s+2\right)\left(s^{2}+1\right)}$ .
3. La antitransformada del cociente es $g(t)=\frac15 e^{-2t}-\frac15\cos t+\frac25\operatorname{sen}t$ , y el $e^{-3s}$ la retrasa: $y(t)=g(t-3)\,u(t-3)$ .

Resolución completa

Escribir la fuerza en una línea. El enunciado la da a trozos, y con el escalón se convierte en un producto:

f(t)=\cos\left(t-3\right)u\left(t-3\right) \;\Longrightarrow\; \mathcal{L}\{f\}=e^{-3s}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}

Fíjate en que el argumento del coseno lleva el mismo $t-3$ que el escalón: por eso la regla del retraso se aplica directamente y no hay que reescribir nada.

Transformar. Con las dos condiciones iniciales nulas, $\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y$ y $\mathcal{L}\{y'\}=sY$ :

\left(s^{2}+2s\right)Y=e^{-3s}\frac{s}{s^{2}+1}

Y=\frac{e^{-3s}\,s}{s\left(s+2\right)\left(s^{2}+1\right)} =\frac{e^{-3s}}{\left(s+2\right)\left(s^{2}+1\right)}

La $s$ se cancela, y con ella desaparece un factor de las fracciones simples. Vale la pena mirarlo antes de descomponer: ahorra un término.

La vuelta. Apartando el $e^{-3s}$ :

\frac{1}{\left(s+2\right)\left(s^{2}+1\right)} =\frac{1/5}{s+2}+\frac{-\frac15 s+\frac25}{s^{2}+1}

g(t)=\frac{1}{5}e^{-2t}-\frac{1}{5}\cos t+\frac{2}{5}\operatorname{sen}t

Y el retraso, al final.

\boxed{\;y(t)=u\left(t-3\right)\left[\frac{e^{-2\left(t-3\right)}}{5} -\frac{\cos\left(t-3\right)}{5} +\frac{2\operatorname{sen}\left(t-3\right)}{5}\right]\;}

Lo que dice la solución, en palabras. Hasta el segundo tres el sistema está en reposo: $y\equiv0$ , porque parte del reposo y no hay fuerza. A partir de ahí arranca, y la respuesta tiene dos partes: un transitorio $\frac15 e^{-2t'}$ que se apaga en un par de segundos, y un régimen permanente $-\frac15\cos t'+\frac25\operatorname{sen}t'$ que oscila con la misma frecuencia que la fuerza.

La comprobación en el arranque. En $t=3$ la solución vale $\frac15-\frac15+0=0$ ✓, y su derivada también: el sistema entra en movimiento suavemente, sin salto ni esquina. Tenía que ser así, porque la fuerza es finita.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 del SEGUNDO PARCIAL · Convocatoria extraordinaria, 1 de julio de 2024 · Cálculo, UPV/EHU · El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una escalera de dos peldaños, ampliada impar, y Leibniz otra vez

COMP 27 puntos por calcular
COMP 43 puntos por justificar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la función

f(t)= \begin{cases} 2 & 0<t<1\\ 1 & 1\le t<2 \end{cases}

a) Obtener la ampliación impar y periódica, $F(t)$ , de la función $f(t)$ .

b) Dibujar la función $f(t)$ y la función ampliada $F(t)$ .

c) Calcular la serie de Fourier, $S(t)$ , de $F(t)$ .

d) Calcular los valores de $S(t)$ y $f(t)$ en los puntos $t=1$ , $t=2$ , $t=100.5$ y $t=18.5$ .

e) Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}$ .

Los cinco apartados.

01
Reconocer el camino
COMP1
La función está dada en $\left(0,2\right)$ . ¿Cuál es el periodo de la ampliación impar?
02
El primer coeficiente
COMP2
¿Cuánto vale $b_{1}$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor en el punto grande
COMP2
¿Cuánto vale $S\left(18{,}5\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado e). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Para $n$ impar, $\cos\frac{n\pi}{2}=0$ y $\left(-1\right)^{n}=-1$ , así que $b_{n}=\frac{6}{n\pi}$ .
2. Y $\operatorname{sen}\frac{n\pi}{2}$ vale $0$ para $n$ par y $\left(-1\right)^{\left(n-1\right)/2}$ para $n$ impar, así que al evaluar en $t=1$ solo sobreviven los impares, con signos alternados.
3. En $t=1$ hay un salto de $2$ a $1$ , así que $S(1)=\frac32$ , y de $\frac{6}{\pi}\sum\frac{\left(-1\right)^{k}}{2k+1}=\frac32$ sale que la suma vale $\frac\pi4$ .

Resolución completa

a) y b) La ampliación. La impar cumple $F(-t)=-F(t)$ , así que en $\left(-2,0\right)$ se copia con el signo cambiado:

F(t)= \begin{cases} -1 & -2<t\le-1\\ -2 & -1<t<0\\ 2 & 0<t<1\\ 1 & 1\le t<2 \end{cases} \qquad\text{y periódica de periodo }T=4

A la izquierda la función del enunciado, dos peldaños entre cero y dos. A la derecha la ampliación impar repetida: cuatro peldaños por periodo, con saltos en todos los enteros y en el origen.

Los saltos, que hay que localizar antes de seguir: en $t=0$ salta de $-2$ a $2$ , en $t=\pm1$ salta entre $2$ y $1$ , y en $t=\pm2$ entre $1$ y $-1$ . Esos son los puntos donde después habrá que aplicar Dirichlet.

c) La serie. Al ser impar, todos los $a_{n}$ se anulan y basta integrar en medio periodo:

b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)\operatorname{sen}\frac{n\pi t}{L}\,dt \quad\text{con }L=2 =\int_{0}^{2}f(t)\operatorname{sen}\frac{n\pi t}{2}\,dt

=\int_{0}^{1}2\operatorname{sen}\frac{n\pi t}{2}dt +\int_{1}^{2}\operatorname{sen}\frac{n\pi t}{2}dt =\frac{2}{n\pi}\left[2-\cos\frac{n\pi}{2}-\left(-1\right)^{n}\right]

\boxed{\;S(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi} \left[2-\cos\frac{n\pi}{2}-\left(-1\right)^{n}\right] \operatorname{sen}\frac{n\pi t}{2}\;}

Desglosado: $b_{n}=\frac{6}{n\pi}$ si $n$ es impar, $\frac{2}{n\pi}$ si $n\equiv2\pmod 4$ , y $0$ si $n$ es múltiplo de $4$ .

d) Los cuatro puntos.

punto	reduce a	qué hay ahí	$S$	$f$
$1$	$1$	salto de $2$ a $1$	$\frac32$	$1$
$2$	$2$	salto de $1$ a $-1$	$0$	no definido
$100{,}5$	$0{,}5$	continuo	$2$	$2$
$18{,}5$	$-1{,}5$	continuo	$-1$	—

En $t=100{,}5$ : $100{,}5-25\cdot4=0{,}5$ . En $t=18{,}5$ : $18{,}5-4\cdot4=2{,}5$ , que todavía se sale del periodo básico, así que $2{,}5-4=-1{,}5$ , y por ser impar $F=-f\left(1{,}5\right)=-1$ .

La respuesta al «justificando», que es lo que puntúa: en los dos primeros puntos $S$ y $f$ no coinciden, porque son saltos y la serie se va a la media; en los dos últimos sí, porque son puntos de continuidad. Y $f(2)$ ni siquiera está definida — la función del enunciado vive en $\left(0,2\right)$ —, mientras que $S(2)=0$ sí existe.

e) La suma. Evaluando en $t=1$ : $\operatorname{sen}\frac{n\pi}{2}$ mata todos los pares y deja $\left(-1\right)^{k}$ en los impares $n=2k+1$ , donde $b_{n}=\frac{6}{n\pi}$ :

S(1)=\frac{6}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{k}}{2k+1}

Y $S(1)=\frac{2+1}{2}=\frac32$ por Dirichlet. Entonces

\boxed{\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1} =\frac{\pi}{4}\;}

El detalle que decide este apartado. Si en el lado izquierdo se pone $f(1)=1$ en vez de $\frac32$ , la suma sale $\frac{\pi}{6}$ — un número perfectamente plausible y equivocado. Hay que mirar si el punto elegido es un salto antes de igualar, y aquí lo es.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2023-2024

Reconocer el camino

El módulo

El primer argumento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Reconocer el camino

El número de extremos

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tercera derivada

El polinomio en un punto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El radio óptimo

El área máxima

Justificar el argumento

El punto de tangencia

Reconocer el camino

El área

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde se cortan

El volumen

La altura del centro de gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La circulación completa

El camino de arriba

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La comprobación de la exacta

La constante de la solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El factor del retraso

El coeficiente de la exponencial

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer coeficiente

El valor en el punto grande

Justificar el argumento