Ciencia de Materiales · tema 02

Propiedades mecánicas

Tensión y deformación, la ley de Hooke y el coeficiente de Poisson, qué queda al descargar, las cinco propiedades de tracción, la dureza y la fatiga.

De los temas que entran en el examen, este es el que más problemas pone, y casi todos salen de lo mismo: dos cocientes y una recta. La tensión es una fuerza repartida sobre una sección; la deformación, un alargamiento repartido sobre una longitud; y mientras el material es elástico, las dos van unidas por una constante. Lo difícil no es la cuenta. Es saber en qué zona de la curva estás, y qué pasa cuando dejas de tirar.

Fuerza, tensión y deformación

Cuando una fuerza actúa sobre un material, lo que el material «siente» no es la fuerza sino la tensión, la fuerza por unidad de sección, y su respuesta es la deformación. En un ensayo de tracción, con la fuerza perpendicular a la sección inicial de la probeta:

\sigma = \frac{F}{A_0} \qquad \varepsilon = \frac{l_i - l_0}{l_0} = \frac{\Delta l}{l_0}

$F$ en newtons y $A_0$ en milímetros cuadrados dan la tensión en megapascales, porque $1\ \text{MPa} = 1\ \text{N/mm}^{2}$ . La deformación es adimensional —un alargamiento partido por una longitud—, y a menudo se da en porcentaje.

En compresión se usan las mismas fórmulas con el convenio de signos: la fuerza de compresión es negativa, así que la tensión y el alargamiento también lo son. En cortadura la fuerza es paralela a la sección y la deformación es un ángulo: $\tau = F/A_0$ y $\gamma = \tan\theta$ . La torsión es cortadura producida por un par.

La deformación es una respuesta a la tensión, no a la fuerza. La misma fuerza estira el doble una barra con la mitad de sección. Por eso los materiales se comparan por tensiones, nunca por cargas.

«La carga está en kilos»

Varios enunciados dan la carga como una masa —«una carga de 2500 kg», «3,5 t»—, y la fórmula de la tensión pide newtons. Hay que multiplicar por la gravedad: 2500 kg son $2500 \cdot 9{,}8 = 24\,500\ \text{N}$ . Meter los 2500 tal cual da una tensión diez veces menor, y el resultado no avisa: sale un número perfectamente razonable.

La zona elástica: la ley de Hooke

Con tensiones bajas, tensión y deformación son proporcionales:

\sigma = E\,\varepsilon

$E$ es el módulo elástico o módulo de Young, la pendiente de la zona recta de la curva tensión-deformación, y mide la rigidez del material: cuanto mayor, menos se deforma bajo la misma tensión. Algunos valores, en megapascales:

material	$E$ (MPa)
polietileno, nailon	1.400
aleaciones de magnesio	42.000
vidrio, aleaciones de aluminio	70.000
latón	105.000
acero	200.000

El módulo está ligado a la energía de los enlaces, y por eso sigue el orden de las familias: los cerámicos son los más rígidos, luego los metales y muy por detrás los polímeros. Disminuye al subir la temperatura. Y es una propiedad del material que casi no se deja tocar: el procesado mueve mucho el límite elástico o la ductilidad, pero apenas mueve el módulo.

La deformación elástica es reversible: dura mientras dura la tensión, y al descargar se recupera. En la mayoría de materiales hay además una parte que tarda en recuperarse —la anelasticidad—, despreciable en los metales y muy importante en los polímeros, que por eso se llaman viscoelásticos.

Poisson: el diámetro que encoge

Cuando una probeta se estira en la dirección $z$ , se estrecha en las dos direcciones perpendiculares. El coeficiente de Poisson compara las dos deformaciones:

\nu = -\frac{\varepsilon_x}{\varepsilon_z} = -\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_z}

El signo menos está para que $\nu$ salga positivo: en tracción el diámetro disminuye, $\varepsilon_x < 0$ , mientras la longitud aumenta, $\varepsilon_z > 0$ . En compresión es al revés, y $\nu$ sigue siendo positivo. La deformación lateral se calcula con el diámetro, $\varepsilon_x = \Delta d/d_0$ .

En cortadura la constante es el módulo de cortadura o de Coulomb, $\tau = G\,\gamma$ , y para un material isótropo —con las mismas propiedades en todas direcciones— las tres constantes elásticas no son independientes:

E = 2G\,(1+\nu)

El ejemplo de clase lo recorre entero hacia atrás: una probeta de latón de 10 mm de diámetro debe estrecharse $2{,}5\cdot 10^{-3}$ mm. Eso es $\varepsilon_x = -2{,}5\cdot 10^{-4}$ ; con $\nu = 0{,}35$ , $\varepsilon_z = 7{,}14\cdot 10^{-4}$ ; con $E = 10{,}1\cdot 10^{4}$ MPa, $\sigma = 72{,}1$ MPa; y sobre una sección de $78{,}5\ \text{mm}^{2}$ , una fuerza de 5663 N.

El signo del cambio de diámetro

En tracción el diámetro baja, así que $\Delta d$ es negativo, y la colección lo escribe con su signo: «−0,007 mm». Olvidar el signo en $\varepsilon_x$ da un coeficiente de Poisson negativo, que no existe en ningún material de este curso: es la señal de que algo se ha escrito al revés.

Cuando deja de ser elástica, y qué queda al descargar

Pasada cierta tensión —en la mayoría de los metales, con deformaciones del orden de 0,005— la tensión deja de ser proporcional a la deformación: se rompen enlaces y se forman otros, y la deformación pasa a ser plástica, permanente. La ley de Hooke deja de valer.

Lo que no deja de valer es esto, y es la clave de medio tema:

\text{deformación total} = \text{deformación plástica} + \text{deformación elástica}

Si se carga una pieza por encima de su límite elástico y luego se descarga, la parte elástica se recupera —y se recupera siguiendo una recta paralela a la zona elástica, con la misma pendiente $E$ — y la plástica se queda.

Un material que fluye a 100 MPa sin endurecer, con un módulo de 70 GPa, cargado hasta una deformación total de 0,004 y descargado. Al soltar, la pieza recorre hacia abajo una recta paralela a la elástica: recupera la parte elástica, 100/70 000 = 0,00143, y se queda con el resto. Una barra de 250 mm estirada hasta 251 vuelve a 250,64, no a 250. Es el problema 2.16.

Las cinco propiedades de tracción

De la curva tensión-deformación de un ensayo de tracción salen cinco propiedades, y cada una es una lectura distinta de la misma curva.

Límite elástico. La tensión que el material soporta sin deformarse plásticamente. Cuando la curva se aparta de la recta de forma gradual y el punto exacto no se puede fijar, se sigue un convenio: se traza una paralela a la zona elástica desde una deformación de 0,002, y la tensión donde corta a la curva es el límite elástico. Para hormigones y algunas fundiciones se usa 0,005.
Resistencia a la tracción. La tensión máxima de la curva. Hasta ahí la probeta se deforma de manera uniforme; a partir de ahí aparece la estricción, un cuello donde se concentra toda la deformación y donde acabará rompiendo.
Ductilidad. Cuánta deformación plástica aguanta hasta romper. Se mide como alargamiento relativo o como reducción de área: $\%EL = \frac{l_f - l_0}{l_0}\cdot 100 \qquad \%AR = \frac{A_0 - A_f}{A_0}\cdot 100$ Un material es frágil si rompe con menos de un 5 % de alargamiento.
Resiliencia. La energía que absorbe por unidad de volumen mientras se deforma elásticamente, el área bajo la recta hasta el límite elástico: $U_r = \tfrac{1}{2}\,\sigma_y\,\varepsilon_y = \frac{\sigma_y^{2}}{2E}$
Tenacidad. La energía total que absorbe hasta romper: el área bajo la curva entera.

La curva de un latón real, con esas lecturas marcadas:

La curva tensión-deformación de un latón, la de los problemas 2.25 y 2.26. En el recuadro, el tramo inicial ampliado y la paralela desde 0,002 que da el límite elástico, 250 MPa; arriba, la resistencia a la tracción, 450 MPa, en el máximo de la curva. La pendiente del recuadro es el módulo elástico, y solo vale en ese primer tramo recto.

Dúctil no es lo mismo que tenaz

La ductilidad es cuánto se estira; la tenacidad, cuánta energía se traga, que es el área bajo la curva y depende también de a qué tensión se estira. Un material muy dúctil pero poco resistente puede ser poco tenaz, y un composite con ductilidad media puede ser muy tenaz. Son dos preguntas distintas sobre la misma curva, y el examen las distingue.

Tensión y deformación reales

La curva nominal parece decir que, pasada la resistencia máxima, el material aguanta menos. No es así: lo que pasa es que la sección se estrecha en el cuello, y la tensión nominal sigue dividiendo por la sección inicial. La tensión real y la deformación real se calculan con la sección y la longitud instantáneas:

\sigma_T = \frac{F}{A_i} \qquad \varepsilon_T = \ln\frac{l_i}{l_0}

Si el volumen no cambia durante el ensayo, $A_i\,l_i = A_0\,l_0$ , y se pasan de unas a otras sin medir la sección:

\sigma_T = \sigma\,(1+\varepsilon) \qquad \varepsilon_T = \ln(1+\varepsilon)

La dureza, y otros ensayos

La dureza es la resistencia de un material a que otro cuerpo lo deforme localmente —una abolladura, una raya—. La primera escala fue la de Mohs, que ordena los minerales por cuál raya a cuál, del talco (1) al diamante (10). Los ensayos modernos clavan una punta con una fuerza controlada y miden la huella:

Brinell: punta esférica, se mide el diámetro de la huella;
Rockwell: punta cónica, se mide la profundidad;
Vickers y Knoop: punta piramidal, se mide el diámetro.

La dureza Brinell, con la carga $P$ en kilogramos y los diámetros de la punta y de la huella en milímetros:

HB = \frac{2P}{\pi D\left(D - \sqrt{D^{2}-d^{2}}\right)}

El ensayo de flexión es mixto: una cara de la probeta trabaja a compresión y la otra a tracción. Y los ensayos de impacto —el péndulo, la caída de bola, la tracción a alta velocidad— miden la energía para romper a gran velocidad, que es otra forma de medir la tenacidad.

La fatiga

Un material sometido a cargas cíclicas, repetidas, acaba rompiendo con tensiones menores que las que lo romperían si fueran estáticas, menores incluso que su límite elástico. Eso es la fatiga, y es la primera causa de rotura de los metales —alrededor del 90 % de los casos—. Su peligro es que llega sin aviso: la rotura tiene aspecto frágil aunque el metal sea dúctil, porque apenas hay deformación plástica antes de romper.

Practica lo que acabas de leer

De la fuerza a la tensión, y de la tensión al alargamiento

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre la ley de Hooke del Tema 2 de la asignatura. No es de examen ni del boletín.

De la fuerza a la tensión, y de la tensión al alargamiento

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra de acero de $20\ \text{mm}$ de diámetro y $2\ \text{m}$ de longitud soporta una carga de tracción de $31{,}4\ \text{kN}$ . Con $E = 200\ \text{GPa}$ , y suponiendo que la deformación es elástica, calcula la tensión en la barra y su alargamiento.

La tensión y el alargamiento de la barra.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para la tensión hace falta una sección. ¿Cuál?
02
La tensión
COMP2
¿Qué tensión soporta la barra?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El alargamiento
COMP2
¿Cuánto se alarga la barra?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fuerza se reparte sobre la sección transversal: eso da una tensión de unos 100 MPa.
2. En la zona elástica la deformación es la tensión partida por el módulo, 5·10⁻⁴.
3. Y el alargamiento es esa deformación por la longitud inicial: un milímetro en dos metros.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre la recuperación elástica del Tema 2 de la asignatura. No es de examen ni del boletín.

Lo que se queda estirado al soltar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra de $200\ \text{mm}$ de un material con $E = 100\ \text{GPa}$ y límite elástico de $200\ \text{MPa}$ , que una vez pasado ese límite se deforma sin que aumente la tensión, se estira hasta medir $201\ \text{mm}$ . Después se descarga. ¿Cuánto se queda estirada?

El alargamiento permanente después de descargar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al descargar, ¿qué parte de la deformación se recupera?
02
La deformación que se recupera
COMP2
¿Cuánto se acorta la barra al descargar?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El alargamiento permanente
COMP2
¿Cuánto se queda estirada la barra después de descargar?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena lo que le pasa a la barra. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La barra se estira hasta una deformación total de 0,005, más que los 0,002 del límite elástico.
2. Al descargar recupera la parte elástica, 0,002, por una recta paralela a la zona elástica.
3. Se queda con la parte plástica: 0,003, o sea 0,6 mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.1 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La deformación de una barra de acero

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra de $10\ \text{mm}$ de diámetro de un acero es sometida a una carga de tracción de $50000\ \text{N}$ . Sabiendo que el módulo elástico, $E$ , es de $200\ \text{GPa}$ , calcula la deformación elástica que experimenta la probeta.

La deformación elástica de la barra, que es un número sin unidades.

01
Reconocer el camino
COMP1
Te dan una fuerza y te piden una deformación. ¿Qué hay que calcular antes de usar la ley de Hooke?
02
La tensión en la barra
COMP2
¿Qué tensión soporta la barra?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La deformación
COMP2
¿Cuánto vale la deformación elástica $\varepsilon$ ?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades, por ejemplo 1.5e-3 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La sección inicial es $\pi d^{2}/4 = 78{,}54\ \text{mm}^{2}$ , y con ella la tensión vale $636{,}6\ \text{MPa}$ .
2. Con $E = 200000\ \text{MPa}$ , la ley de Hooke da $\varepsilon = \sigma/E = 3{,}18\cdot 10^{-3}$ .
3. La deformación es adimensional —milímetros entre milímetros—, y no depende de la longitud de la barra.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.2 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La elongación de una pieza de cobre

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una pieza de cobre de $305\ \text{mm}$ de longitud inicial se ensaya a tracción con una tensión de $276\ \text{MPa}$ . Suponiendo que toda la deformación causada es elástica, calcula la elongación de la pieza. Módulo elástico del Cu: $11\cdot 10^{4}\ \text{MPa}$ .

El alargamiento de la pieza, en milímetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
Esta vez el enunciado da directamente la tensión. ¿Qué dos relaciones llevan de ella al alargamiento?
02
La elongación
COMP2
¿Cuánto se alarga la pieza?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Toda la deformación es elástica, así que vale la ley de Hooke: $\varepsilon = \sigma/E = 2{,}51\cdot 10^{-3}$ .
2. El alargamiento es la deformación por la longitud inicial: $\Delta l = 2{,}51\cdot 10^{-3}\cdot 305 = 0{,}765\ \text{mm}$ .
3. Al retirar la tensión, la pieza vuelve a sus $305\ \text{mm}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.3 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La longitud inicial de una probeta de níquel

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se aplica una carga de $8900\ \text{N}$ a una probeta cilíndrica de níquel de $10{,}2\ \text{mm}$ de diámetro y se requiere que únicamente sufra deformación elástica (módulo elástico $= 20{,}7\cdot 10^{4}\ \text{MPa}$ ). ¿Cuál es la longitud de la probeta antes de la deformación, si el alargamiento elástico máximo es de $0{,}22\ \text{mm}$ ?

La longitud inicial de la probeta, en milímetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
Aquí la incógnita es la longitud inicial. ¿Por dónde se llega a ella?
02
La deformación
COMP2
¿Cuánto vale la deformación elástica de la probeta?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades, por ejemplo 5e-4 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La longitud inicial
COMP2
¿Qué longitud tenía la probeta?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La deformación unitaria depende de la tensión y del módulo, no de la longitud, así que se calcula primero: $\varepsilon = 5{,}26\cdot 10^{-4}$ .
2. Como $\Delta l = \varepsilon\,l_0$ , la longitud que corresponde a un alargamiento de $0{,}22\ \text{mm}$ es $l_0 = 0{,}22/\varepsilon \approx 418\ \text{mm}$ .
3. Una probeta más larga, con la misma carga, se alargaría más de $0{,}22\ \text{mm}$ : $418\ \text{mm}$ es la longitud máxima.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.4 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un hilo de titanio, en pulgadas y libras

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Consideramos un hilo cilíndrico de titanio con un diámetro de $0{,}12\ \text{in}$ (pulgadas) y una longitud de $1000$ pulgadas. ¿Qué alargamiento experimentará cuando se le aplica una carga de $112\ \text{lb}_\text{f}$ (libras)? Supón que la deformación es elástica. Dato: Módulo elástico del Ti: $15{,}5\cdot 10^{6}\ \text{psi}$ (libras por pulgada cuadrada).

El alargamiento del hilo, en pulgadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Todo viene en unidades anglosajonas. ¿Hace falta pasarlo al Sistema Internacional?
02
El alargamiento
COMP2
¿Cuánto se alarga el hilo?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad (in, o mm si lo conviertes) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Libras, pulgadas y psi forman un sistema coherente, así que se trabaja sin convertir.
2. La tensión es $112/(\pi\cdot 0{,}12^{2}/4) = 9903\ \text{psi}$ .
3. La deformación vale $9903/15{,}5\cdot 10^{6} = 6{,}39\cdot 10^{-4}$ , y por mil pulgadas de hilo da $0{,}639\ \text{in}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.5 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La tensión de una carga dada en kilos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra metálica de $1{,}25\ \text{cm}$ de diámetro está sometida a una carga de $2500\ \text{kg}$ . Calcula la tensión que soporta la barra en MPa.

La tensión en la barra, en megapascales.

01
Reconocer el camino
COMP1
La carga viene en kilogramos. ¿Qué hay que hacer con ella?
02
La tensión
COMP2
¿Qué tensión soporta la barra?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La carga de 2500 kg es una masa; la fuerza sobre la barra es su peso, $24500\ \text{N}$ .
2. Con el diámetro en milímetros, $A_0 = 122{,}7\ \text{mm}^{2}$ , y newtons entre milímetros cuadrados son megapascales.
3. $\sigma = 24500/122{,}7 \approx 200\ \text{MPa}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.6 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El diámetro que permite un alargamiento dado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra metálica cilíndrica de módulo $E = 20{,}7\cdot 10^{4}\ \text{MPa}$ y límite elástico de $310\ \text{MPa}$ va a ser sometida a una carga de $11000\ \text{N}$ . Si la longitud de la barra es de $510\ \text{mm}$ , ¿cuál debe ser el diámetro para permitir un alargamiento de $0{,}38\ \text{mm}$ ?

El diámetro de la barra, en milímetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da un límite elástico y un alargamiento. ¿Cuál de los dos fija el diámetro?
02
La tensión que corresponde al alargamiento
COMP2
¿Qué tensión produce un alargamiento de $0{,}38\ \text{mm}$ en esta barra?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro
COMP2
¿Qué diámetro debe tener la barra?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El alargamiento permitido fija la deformación, $\varepsilon = 0{,}38/510 = 7{,}45\cdot 10^{-4}$ .
2. Con Hooke, esa deformación pide una tensión de $154{,}2\ \text{MPa}$ , que está por debajo del límite elástico: la hipótesis elástica se sostiene.
3. La sección que da esa tensión con $11000\ \text{N}$ es $71{,}3\ \text{mm}^{2}$ , es decir un diámetro de $9{,}53\ \text{mm}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.7 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El módulo de cortadura de una aleación de magnesio

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

A una probeta de una aleación de magnesio con sección rectangular ( $h = 10\ \text{mm}$ ) se le realiza un ensayo de cortadura. En el ensayo se mide un desplazamiento reversible, bajo una tensión de cortadura de $\tau = 18\ \text{MPa}$ , de $\Delta x = 0{,}01\ \text{mm}$ en la dirección de la tensión. Calcula el valor del módulo de cortadura o módulo de Coulomb.

La figura del listado muestra un bloque de altura $h$ con la base fija. Sobre su cara superior, de área $S$ , actúa una fuerza $F$ paralela a ella; esa cara se desplaza $\Delta x$ en la dirección de $F$ , y las caras laterales se inclinan un ángulo $\theta$ respecto de la vertical.

El módulo de cortadura G, en megapascales.

01
Reconocer el camino
COMP1
En cortadura, ¿qué papel hace la deformación y cómo se calcula?
02
La deformación angular
COMP2
¿Cuánto vale $\gamma$ ?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo de Coulomb
COMP2
¿Cuánto vale $G$ ?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad (en MPa) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El desplazamiento es reversible, así que la deformación es elástica y vale $\tau = G\,\gamma$ .
2. La deformación angular es $\gamma = \Delta x/h = 0{,}01/10 = 10^{-3}$ .
3. $G = 18/10^{-3} = 18000\ \text{MPa}$ , que es $18\ \text{GPa}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.8 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El coeficiente de Poisson a partir del diámetro

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta cilíndrica de $10\ \text{mm}$ de diámetro se deforma elásticamente por tracción. Así, para una carga de $14996{,}5\ \text{N}$ se obtiene una disminución del diámetro de $7\cdot 10^{-3}\ \text{mm}$ . Siendo el módulo elástico del material de $10^{5}\ \text{MPa}$ , calcula el coeficiente de Poisson.

El coeficiente de Poisson, que es un número sin unidades.

01
Reconocer el camino
COMP1
El coeficiente de Poisson compara dos deformaciones. ¿Cuáles, y de dónde sale cada una?
02
La deformación axial
COMP2
¿Cuánto vale $\varepsilon_z$ , la deformación en la dirección de la carga?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades, por ejemplo 1.5e-3 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de Poisson
COMP2
¿Cuánto vale $\nu$ ?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La deformación axial sale de la carga: $\sigma = 190{,}9\ \text{MPa}$ y $\varepsilon_z = \sigma/E = 1{,}909\cdot 10^{-3}$ .
2. La transversal sale del diámetro: $\varepsilon_x = -7\cdot 10^{-3}/10 = -7\cdot 10^{-4}$ .
3. $\nu = -\varepsilon_x/\varepsilon_z = 0{,}367$ , un valor típico de un metal.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.9 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La longitud inicial tras una compresión

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se deforma por compresión una probeta cilíndrica de una aleación metálica. Los diametros inicial y final de la probeta son $30{,}00$ y $30{,}04\ \text{mm}$ , respectivamente, y la longitud al final del ensayo es de $105{,}20\ \text{mm}$ . Calcula la longitud inicial de la probeta, suponiendo que toda la deformación ha sido elástica. Datos: $E = 65{,}5\cdot 10^{3}\ \text{MPa}$ y $G = 25{,}4\cdot 10^{3}\ \text{MPa}$ .

La longitud inicial de la probeta, en milímetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para pasar del cambio de diámetro al cambio de longitud hace falta el coeficiente de Poisson, y el enunciado no lo da. ¿De dónde sale?
02
El coeficiente de Poisson
COMP2
¿Cuánto vale $\nu$ ?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La deformación axial
COMP2
¿Cuánto vale la deformación en la dirección de la carga, $\varepsilon_z$ , con su signo?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La longitud inicial
COMP2
¿Qué longitud tenía la probeta antes del ensayo?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad y dos decimales — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El material es isótropo, así que $E = 2G(1+\nu)$ da $\nu = 0{,}289$ .
2. El diámetro crece, luego $\varepsilon_x = +1{,}33\cdot 10^{-3}$ , y la deformación axial es $\varepsilon_z = -\varepsilon_x/\nu = -4{,}61\cdot 10^{-3}$ .
3. La longitud final es $l_0(1+\varepsilon_z)$ , y de ahí $l_0 = 105{,}69\ \text{mm}$ , mayor que la final, como debe ser en compresión.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.10 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El alargamiento y el cambio de diámetro de un acero

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta cilíndrica de acero de $15{,}2\ \text{mm}$ de diámetro y $250\ \text{mm}$ de longitud se deforma elásticamente con una fuerza de $48900\ \text{N}$ . Determina el alargamiento en la dirección de la fuerza aplicada y el cambio de diámetro de la probeta. Datos: $E = 20{,}7\cdot 10^{4}\ \text{MPa}$ ; $\nu = 0{,}35$ .

El alargamiento y el cambio de diámetro, en milímetros y con su signo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Una vez tienes la deformación axial, ¿cómo se llega al cambio de diámetro?
02
El alargamiento
COMP2
¿Cuánto se alarga la probeta?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El cambio de diámetro
COMP2
¿Cuánto cambia el diámetro? Da el resultado con su signo.
Tu respuesta al paso 3una longitud con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión es $269{,}5\ \text{MPa}$ y la deformación axial, $1{,}302\cdot 10^{-3}$ .
2. Multiplicada por la longitud, da un alargamiento de $0{,}325\ \text{mm}$ .
3. La deformación transversal es $-\nu$ veces la axial, y por el diámetro da $\Delta d = -0{,}007\ \text{mm}$ : la probeta adelgaza.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.11 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El diámetro final a tracción y a compresión

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra de $10\ \text{mm}$ de diámetro de una aleación de aluminio es sometida a una carga de tracción de $6\ \text{kN}$ . Calcula el diámetro final si la deformación es totalmente elástica. Igualmente calcula el diámetro final de la barra si se somete a una carga de compresión de $6\ \text{kN}$ . Datos: $E = 70\ \text{GPa}$ , $\nu = 0{,}33$ .

El diámetro final en los dos casos, en milímetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
La misma carga, una vez tirando y otra empujando. ¿Qué cambia entre los dos casos?
02
El cambio de diámetro a tracción
COMP2
¿Cuánto cambia el diámetro con la carga de tracción? Da el resultado con su signo.
Tu respuesta al paso 2una longitud con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro final a tracción
COMP2
¿Qué diámetro tiene la barra bajo la carga de tracción?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad y al menos tres decimales — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El diámetro final a compresión
COMP2
¿Y bajo la carga de compresión de $6\ \text{kN}$ ?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad y al menos tres decimales — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión es $76{,}4\ \text{MPa}$ en valor absoluto, igual en los dos casos, y la deformación axial, $1{,}09\cdot 10^{-3}$ .
2. La transversal es $\nu$ veces la axial y de signo contrario, así que el diámetro cambia $3{,}6\cdot 10^{-3}\ \text{mm}$ .
3. A tracción el diámetro baja a $9{,}996\ \text{mm}$ y a compresión sube a $10{,}004\ \text{mm}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.12 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La carga máxima sin deformación plástica en un latón

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para un latón con un módulo elástico de $10{,}3\cdot 10^{4}\ \text{MPa}$ la deformación plástica comienza para una tensión de $345\ \text{MPa}$ .

a) ¿Cuál es la carga máxima que se le puede aplicar a una probeta de $130\ \text{mm}^{2}$ de sección sin que sufra deformación plástica?

b) Si la longitud inicial de la probeta es de $76\ \text{mm}$ , ¿Cuál es el alargamiento máximo sin que sufra deformación plástica?

La carga máxima en newtons y el alargamiento máximo en milímetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
«La deformación plástica comienza para una tensión de 345 MPa.» ¿Qué propiedad es esa?
02
La carga máxima
COMP2
¿Qué carga máxima admite la probeta sin plastificar?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El alargamiento máximo
COMP2
¿Cuánto se alarga la probeta de $76\ \text{mm}$ justo al llegar al límite elástico?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La plasticidad empieza en $345\ \text{MPa}$ , que es el límite elástico del latón.
2. La carga que produce esa tensión en $130\ \text{mm}^{2}$ es $44850\ \text{N}$ , la máxima sin deformación permanente.
3. Hasta ahí vale Hooke: $\varepsilon = 345/103000$ , y en $76\ \text{mm}$ eso son $0{,}2546\ \text{mm}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.13 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado de los apartados a) y b), contra el que está contrastado el desarrollo; el c) no lo publica.

Una barra de acero y una carga de setenta toneladas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra cilíndrica de $40\ \text{mm}$ de diámetro y $0{,}50\ \text{m}$ de longitud es elongada a tracción:

a) ¿Cuál será el alargamiento que presenta la barra al aplicarle una carga de $400\ \text{kN}$ ?

b) ¿Qué carga máxima podrá aplicarse a la barra sin experimentar deformación plástica?

c) ¿Podrá soportar una carga de $70\ \text{t}$ ? Razona la respuesta.

Datos: $E = 20{,}7\cdot 10^{4}\ \text{MPa}$ ; límite elástico: $450\ \text{MPa}$ ; resistencia a tracción: $550\ \text{MPa}$ ; resistencia a fractura: $500\ \text{MPa}$ .

El alargamiento con 400 kN, la carga máxima elástica y si la barra aguanta 70 t.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da tres tensiones. Para decidir si la barra rompe bajo una carga fija, ¿con cuál hay que comparar?
02
El alargamiento con 400 kN
COMP2
¿Cuánto se alarga la barra con $400\ \text{kN}$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La carga máxima sin deformación plástica
COMP2
¿Qué carga máxima admite la barra sin plastificar?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La tensión con 70 toneladas
COMP2
¿Qué tensión produce una carga de $70\ \text{t}$ en la barra?
Tu respuesta al paso 4una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Setenta toneladas pesan $686000\ \text{N}$ , que en esta sección dan $546\ \text{MPa}$ .
2. Como $546 > 450\ \text{MPa}$ , la barra pasa el límite elástico y queda deformada permanentemente.
3. Como $546 < 550\ \text{MPa}$ , no llega a la tensión máxima que puede soportar: la barra aguanta la carga sin romperse.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.14 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un cable de acero con un cuerpo colgado

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuerpo de $50\ \text{kg}$ se suspende de un cable de acero de $4\ \text{m}$ de longitud y $2\ \text{mm}$ de diámetro. Se sabe que el límite elástico del acero es de $250\ \text{N/mm}^{2}$ , que el módulo de Young es de $2\cdot 10^{5}\ \text{N/mm}^{2}$ y que el coeficiente de Poisson es $0{,}28$ .

a) Calcula el alargamiento del cable y contracción transversal del mismo.

b) Determina el módulo de elasticidad que debería tener el cable si fuese de otro material, para reducir a la mitad la deformación (longitudinal) bajo la misma carga.

c) Si se duplicara la carga en el cable de acero original, ¿qué sucedería? ¿Qué área debería de tener la sección del cable para que bajo esa carga trabajara en régimen elástico?

El alargamiento y la contracción del cable, el módulo necesario y el área mínima con la carga doble.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular el alargamiento, ¿qué hay que comprobar?
02
El alargamiento del cable
COMP2
¿Cuánto se alarga el cable?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La contracción transversal
COMP2
¿Cuánto cambia el diámetro del cable? Da el resultado con su signo.
Tu respuesta al paso 3una longitud con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El módulo que reduce la deformación a la mitad
COMP2
¿Qué módulo de elasticidad haría falta para que la misma carga deformara el cable la mitad?
Tu respuesta al paso 4una tensión, en MPa o en N/mm2 — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La tensión con la carga doble
COMP2
Si se duplica la carga en el cable original, ¿qué tensión soporta?
Tu respuesta al paso 5una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
El área mínima con la carga doble
COMP2
¿Qué sección mínima tendría que tener el cable para trabajar en régimen elástico con la carga doble?
Tu respuesta al paso 6un área, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el doble de carga la tensión pasa a $312\ \text{MPa}$ , por encima del límite elástico de $250\ \text{N/mm}^{2}$ .
2. El cable se deforma plásticamente: al quitar la carga no vuelve a sus 4 m.
3. Para seguir en régimen elástico hace falta una sección de al menos $980/250 = 3{,}92\ \text{mm}^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.15 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una varilla colgada, y la que la sustituiría

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un acero tiene un módulo de elasticidad de $200\ \text{GPa}$ y un límite elástico de $360\ \text{MPa}$ . Una varilla de este material de $12\ \text{mm}^{2}$ de sección y $80\ \text{cm}$ de longitud se cuelga verticalmente con una carga en el extremo de $1800\ \text{N}$ .

a) ¿Recuperará la varilla la longitud inicial cuando se le quite la carga?

b) Calcula el alargamiento en estas condiciones.

c) Determina el diámetro mínimo de una barra de este material que sometida a una carga de $5104\ \text{N}$ no experimente deformación permanente.

d) Si se quisiera reducir a la mitad la elongación bajo carga utilizando una varilla similar, pero de otro material en las mismas condiciones empleadas con la varilla de acero, ¿qué valor mínimo de módulo de elasticidad tendría que tener este nuevo material?

Si recupera su longitud, el alargamiento, el diámetro mínimo y el módulo necesario.

01
Reconocer el camino
COMP1
Apartado a): ¿qué decide si la varilla recupera su longitud al quitar la carga?
02
La tensión en la varilla
COMP2
¿Qué tensión soporta la varilla?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El alargamiento
COMP2
¿Cuánto se alarga la varilla?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El diámetro mínimo con 5104 N
COMP2
¿Qué diámetro mínimo necesita una barra de este acero para aguantar $5104\ \text{N}$ sin deformación permanente?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El módulo del material sustituto
COMP2
¿Qué módulo mínimo necesita el nuevo material para que la varilla se alargue la mitad en las mismas condiciones?
Tu respuesta al paso 5una tensión, con su unidad (en MPa) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión es $150\ \text{MPa}$ , por debajo de $360$ : la varilla recupera su longitud al descargarla.
2. En régimen elástico el alargamiento es $150\cdot 800/200000 = 0{,}6\ \text{mm}$ .
3. Para $5104\ \text{N}$ sin deformación permanente hace falta una sección de $14{,}18\ \text{mm}^{2}$ , es decir $4{,}25\ \text{mm}$ de diámetro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.16 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La barra que se queda más larga al descargarla

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un material hipotético presenta un comportamiento mecánico elástico-plástico. En la región elástica, el valor del límite elástico es $100\ \text{MPa}$ y el del módulo de Young es $70\ \text{GPa}$ . Después, comienza la región plástica y el material logra una deformación de hasta 8 veces el valor de la deformación elástica máxima sin aumentar la tensión. Finalmente, tiene lugar la fractura.

a) Representa gráficamente el comportamiento mecánico del material.

b) Indica en qué región del gráfico debería estar el material trabajando en el caso de ser parte de la estructura de un edificio.

c) Una barra de este material, de $2{,}5\ \text{cm}$ de diámetro y $250\ \text{mm}$ de longitud, se somete a un ensayo de tracción hasta alcanzar una longitud de $251\ \text{mm}$ . Calcula la longitud final de la barra después de la descarga. Grafica el proceso.

d) Si esa misma barra, de $2{,}5\ \text{cm}$ de diámetro y $250\ \text{mm}$ de longitud, se hubiera sometido a una carga de tracción de $4000\ \text{kg}$ , ¿qué longitud hubiera alcanzado antes y después de la descarga? Grafica el proceso.

La deformación elástica máxima, la longitud tras descargar la barra estirada hasta 251 mm y las dos longitudes de la barra cargada con 4000 kg.

01
Reconocer el camino
COMP1
La barra del apartado c) se estira hasta $251\ \text{mm}$ y después se le quita la carga. ¿Qué camino sigue en el diagrama al descargar?
02
La deformación elástica máxima
COMP2
¿Cuánto vale la deformación en el límite elástico, $\varepsilon_y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número adimensional — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Lo que se queda al descargar
COMP2
La barra del apartado c) llega a $251\ \text{mm}$ y se descarga. ¿Cuánto más larga que al principio se queda?
Tu respuesta al paso 3un alargamiento, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La barra cargada con 4000 kg
COMP2
Con la carga de $4000\ \text{kg}$ del apartado d), ¿cuánto se alarga la barra mientras está cargada?
Tu respuesta al paso 4un alargamiento, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué las dos barras terminan distinto. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La barra del apartado d) trabaja a 79,9 MPa, por debajo del límite elástico: se alarga 0,29 mm y al descargar vuelve a medir 250,00 mm.
2. La del apartado c) llega a una deformación de 0,004, que está en la meseta plástica, a 100 MPa.
3. Al descargarla recupera solo la parte elástica, 0,357 mm, y se queda en 250,64 mm.
4. Por eso, en la estructura de un edificio el material tiene que trabajar en la región elástica, por debajo de 100 MPa.

Resolución completa

a) El diagrama. Dos tramos rectos. Primero una recta desde el origen de pendiente $E = 70\ \text{GPa}$ hasta el límite elástico:

\varepsilon_y = \frac{100}{70\,000} = 1{,}429\cdot 10^{-3}

Después, una horizontal a $100\ \text{MPa}$ —la meseta plástica, que deforma sin aumentar la tensión— hasta la fractura, en $8\,\varepsilon_y = 0{,}0114$ . Si se lee que el 8 cuenta solo la parte plástica, la fractura queda en $9\,\varepsilon_y = 0{,}0129$ ; no cambia ninguno de los apartados siguientes.

b) El edificio. En la región elástica, el primer tramo, por debajo de $100\ \text{MPa}$ . Una estructura que plastifica se queda deformada para siempre.

c) Estirada hasta 251 mm. $\varepsilon = 1/250 = 0{,}004$ , en plena meseta. Al descargar se baja por una recta paralela a la elástica y se recupera $\varepsilon_y$ :

l_f = 251 - 250\cdot 1{,}429\cdot 10^{-3} = 251 - 0{,}357 = 250{,}64\ \text{mm}

En el gráfico: subida por la recta, avance por la meseta hasta 0,004 y bajada paralela a la recta hasta $\varepsilon = 0{,}00257$ con tensión nula.

El listado da 250,65 mm porque redondea $\varepsilon_y$ a $0{,}0014$ antes de multiplicar: $250\cdot 0{,}0014 = 0{,}35$ . Sin redondear salen 250,64 mm. La diferencia son siete milésimas de milímetro, y la casilla acepta los dos.

d) Con 4000 kg. El peso es $39\,200\ \text{N}$ y la sección $490{,}9\ \text{mm}^{2}$ :

\sigma = 79{,}9\ \text{MPa} < 100 \qquad \Delta l = \frac{79{,}9}{70\,000}\cdot 250 = 0{,}285\ \text{mm}

Con carga mide $250{,}29\ \text{mm}$ y al descargar vuelve a $250{,}00\ \text{mm}$ : en el gráfico sube y baja por la misma recta, sin llegar a la meseta.

Lo que hay que llevarse. Deformación permanente = deformación total − deformación elástica recuperable. La descarga no devuelve la barra a su origen: la devuelve a su origen menos lo que ha plastificado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.17 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El acero, y qué harían los otros tres con la misma carga

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta cilíndrica de acero de $160\ \text{mm}$ de longitud y $12\ \text{mm}$ de diámetro se deforma por efecto de una fuerza de $30000\ \text{N}$ . ¿Cuál es el alargamiento producido? Calcula la reducción de diámetro. ¿Cuáles de los materiales de la tabla soportarán deformación plástica bajo la misma carga? ¿Cuáles mayor elongación que el acero? ¿Y mayor reducción en diámetro? Razona las respuestas.

Material	Módulo Young (MPa · $10^{3}$ )	Lím. elástico (MPa)	Resist. máx. (MPa)	Coeficiente de Poisson
Aleación aluminio	69	255	420	0,33
Aleación titanio	107	827	862	0,36
Latón	101	345	420	0,35
Acero	205	550	700	0,27

El alargamiento y el cambio de diámetro de la probeta de acero, y qué materiales plastifican, se alargan más o estrechan más.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las cuatro probetas reciben la misma carga con la misma sección. ¿Qué hay que comparar para saber cuál se deforma plásticamente?
02
La tensión
COMP2
¿Qué tensión soporta la probeta?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El alargamiento del acero
COMP2
¿Cuánto se alarga la probeta de acero?
Tu respuesta al paso 3un alargamiento, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El cambio de diámetro
COMP2
¿Cuánto cambia el diámetro? Dalo con su signo, $\Delta d = d_f - d_0$ .
Tu respuesta al paso 4un cambio de longitud con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comparación con los otros tres materiales. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las cuatro probetas soportan la misma tensión, 265,3 MPa, porque la carga y la sección son las mismas.
2. Solo la aleación de aluminio tiene el límite elástico por debajo, 255 MPa: es la única que se deforma plásticamente.
3. Las otras tres tienen un módulo menor que el acero, así que con la misma tensión se alargan más.
4. Y tienen además un coeficiente de Poisson mayor, así que su diámetro se reduce más.

Resolución completa

La tensión, común a las cuatro.

A_0 = \frac{\pi\cdot 12^{2}}{4} = 113{,}1\ \text{mm}^{2} \qquad \sigma = \frac{30\,000}{113{,}1} = 265{,}3\ \text{MPa}

El acero. Está por debajo de sus 550 MPa, así que vale Hooke:

\varepsilon_z = \frac{265{,}3}{205\,000} = 1{,}294\cdot 10^{-3} \qquad \Delta l = \varepsilon_z\,l_0 = 0{,}207\ \text{mm}

\Delta d = -\nu\,\varepsilon_z\,d_0 = -0{,}27\cdot 1{,}294\cdot 10^{-3}\cdot 12 = -4{,}19\cdot 10^{-3}\ \text{mm}

El listado da $-4{,}18\cdot 10^{-3}$ ; la diferencia es de redondeo, un 0,3 %, y la casilla acepta los dos.

Los otros tres, con la misma tensión.

material	¿plastifica?	$\Delta l$ (mm)	$\Delta d$ (mm)
aluminio	sí, 265 > 255	más de 0,615	más de 0,0152
titanio	no	0,397	0,0107
latón	no	0,420	0,0110
acero	no	0,207	0,0042

Plastifica la aleación de aluminio. Se alargan más que el acero todos, porque todos tienen menor módulo; y el aluminio, que además plastifica, más todavía de lo que dice Hooke. Y estrechan más todos, porque a mayor alargamiento se suma un Poisson mayor.

Lo que hay que llevarse. Tres columnas, tres preguntas: el límite elástico decide si plastifica, el módulo cuánto se alarga y el Poisson cuánto adelgaza. Mezclarlas es el error que este ejercicio busca.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.18 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Seis metales, y ninguno vale

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta cilíndrica metálica de $12{,}7\ \text{mm}$ de diámetro y $254\ \text{mm}$ de longitud presenta únicamente deformación elástica al ser sometida a una carga de tracción de $3{,}5\ \text{t}$ . Si el alargamiento debe ser menor de $0{,}08\ \text{mm}$ . ¿Cuáles de los metales de la tabla serían adecuados? Además, si la máxima disminución del diámetro que puede sufrir es de $1{,}2\times 10^{-3}\ \text{mm}$ . ¿Cuáles de los metales de la tabla serían adecuados y por qué?

Metal	Límite elástico (MPa)	Módulo elástico (MPa · $10^{3}$ )	Coeficiente de Poisson
Aleación aluminio	250	70	0,33
Latón	345	100	0,35
Cobre	207	110	0,35
Aleación magnesio	170	45	0,29
Acero	550	206	0,27
Aleación titanio	850	105	0,36

Qué metales cumplen la condición de alargamiento y cuáles la de disminución del diámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para la condición del alargamiento, ¿cuál es la forma más rápida de revisar los seis metales?
02
La tensión
COMP2
¿Qué tensión soporta la probeta con las $3{,}5\ \text{t}$ ?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El módulo que haría falta
COMP2
¿Qué módulo elástico mínimo necesitaría el metal para alargarse menos de $0{,}08\ \text{mm}$ ?
Tu respuesta al paso 3un módulo elástico, en MPa y con la unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Lo que estrecha el acero
COMP2
El acero es el que menos estrecha: mayor módulo y menor Poisson. ¿Cuánto disminuye su diámetro?
Tu respuesta al paso 4una disminución, en positivo y con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué no vale ninguno. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión es 270,8 MPa: el aluminio, el cobre y el magnesio ni siquiera se quedan en la zona elástica.
2. Para alargarse menos de 0,08 mm haría falta un módulo de 860 GPa, y el mayor de la tabla es el del acero, 206 GPa.
3. El acero, que es el que menos estrecha, pierde 4,5·10⁻³ mm de diámetro: casi cuatro veces lo permitido.

Resolución completa

La tensión. $F = 3500\cdot 9{,}8 = 34\,300\ \text{N}$ sobre $126{,}7\ \text{mm}^{2}$ :

\sigma = 270{,}8\ \text{MPa}

Aluminio, cobre y magnesio tienen el límite elástico por debajo: plastifican y quedan fuera desde el principio.

El alargamiento. El que cumpla necesita

E \ge \frac{\sigma}{0{,}08/254} = 8{,}60\cdot 10^{5}\ \text{MPa} = 860\ \text{GPa}

y ninguno se acerca. Material a material, con Hooke:

metal	$\Delta l$ (mm)	disminución de $d$ (mm)
latón	0,688	$1{,}20\cdot 10^{-2}$
acero	0,334	$4{,}51\cdot 10^{-3}$
titanio	0,655	$1{,}18\cdot 10^{-2}$

El diámetro. Todos pasan del $1{,}2\cdot 10^{-3}$ permitido, incluido el acero. La respuesta es la del listado: ninguno, por las dos condiciones.

Lo que hay que llevarse. Cuando todos los candidatos soportan la misma tensión, cada condición se convierte en un umbral sobre una sola columna: el alargamiento, sobre el módulo; el estrechamiento, sobre $\nu/E$ . Una cuenta por condición, y no seis.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.19 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La tabla en psi, y el único que cumple

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta de $380\ \text{mm}$ de longitud y $10\ \text{mm}$ de diámetro se somete a tracción. Si la probeta no debe sufrir deformación plástica ni un alargamiento superior a $0{,}9\ \text{mm}$ al aplicarle una carga de $24500\ \text{N}$ , ¿cuáles de los metales de la siguiente tabla podrían ser adecuados? Razona tu respuesta. ( $1\ \text{psi} = 0{,}007\ \text{MPa}$ ).

Material	$E$ (psi) · $10^{6}$	Límite elástico (psi)	Resistencia a tracción (psi)
Aleación de aluminio	10	37000	61000
Latón	14,6	50000	61000
Cobre	16	30000	40000
Acero	30	65000	80000

Qué metales no se deforman plásticamente y cuáles, además, se alargan 0,9 mm o menos.

01
Reconocer el camino
COMP1
La tabla está en psi y la carga en newtons. ¿Qué haces antes de comparar nada?
02
La tensión
COMP2
¿Qué tensión soporta la probeta?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El alargamiento del latón
COMP2
El latón no plastifica. ¿Cuánto se alarga?
Tu respuesta al paso 3un alargamiento, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento que deja solo al acero. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión es 311,9 MPa. El aluminio (259 MPa) y el cobre (210 MPa) tienen el límite elástico por debajo: plastifican.
2. Quedan el latón (350 MPa) y el acero (455 MPa), que trabajan en la zona elástica.
3. El latón, con 102 200 MPa de módulo, se alarga 1,16 mm, más de los 0,9 permitidos.
4. El acero, con 210 000 MPa, se alarga 0,56 mm: es el único que cumple las dos condiciones.

Resolución completa

La tabla en MPa. Con $1\ \text{psi} = 0{,}007\ \text{MPa}$ :

material	$E$ (MPa)	límite elástico (MPa)
aluminio	70 000	259
latón	102 200	350
cobre	112 000	210
acero	210 000	455

La tensión.

\sigma = \frac{24\,500}{\pi\cdot 5^{2}} = 311{,}9\ \text{MPa}

Sin deformación plástica. Aluminio y cobre tienen el límite por debajo de 311,9: fuera.

Alargamiento de 0,9 mm como mucho. Haría falta

E \ge \frac{311{,}9}{0{,}9/380} = 131\,700\ \text{MPa}

El latón se queda en 102 200 y se alarga 1,16 mm; el acero, con 210 000, se alarga 0,56 mm. Solo cumple el acero, que es el resultado del listado.

Lo que hay que llevarse. Una tabla en unidades inglesas no cambia el método, pero añade dos sitios donde equivocarse: el factor de conversión y el multiplicador escondido en el encabezado. El segundo es el que más se olvida.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.20 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Tres condiciones, y el peso para desempatar

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra cilíndrica de $120\ \text{mm}$ de longitud y $15\ \text{mm}$ de diámetro se deforma bajo una carga de $30000\ \text{N}$ . Si no debe sufrir deformación plástica y además el alargamiento nunca debe superar los $0{,}22\ \text{mm}$ , ¿cuáles de los materiales de la tabla serían adecuados? Y si además, la máxima disminución del diámetro que puede sufrir es de $1{,}2\times 10^{-2}\ \text{mm}$ , ¿cuáles de los materiales de la tabla serían adecuados? Y si además el peso es un factor muy importante, ¿qué material elegirías?

Material	Módulo elástico (MPa · $10^{3}$ )	Límite elástico (MPa)	Poisson	Densidad (g/cm³)
Aleación aluminio	70	250	0,33	2,80
Aleación titanio	105	850	0,36	4,50
Acero	205	550	0,27	7,86

Qué materiales cumplen cada condición y cuál se elige si el peso importa.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay tres condiciones y, al final, un criterio de peso. ¿En qué orden se aplican?
02
La tensión
COMP2
¿Qué tensión soporta la barra?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El alargamiento del aluminio
COMP2
¿Cuánto se alarga la barra si es de aleación de aluminio?
Tu respuesta al paso 3un alargamiento, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Lo que estrecha el titanio
COMP2
¿Cuánto disminuye el diámetro de la barra de titanio?
Tu respuesta al paso 4una disminución, en positivo y con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Lo que pesa la barra de titanio
COMP2
¿Cuánto pesa la barra si es de titanio?
Tu respuesta al paso 5una masa, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la elección. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión, 169,8 MPa, está por debajo de los tres límites elásticos: ninguno plastifica.
2. El aluminio se alarga 0,291 mm, más de 0,22: se descarta.
3. Titanio y acero estrechan 8,7·10⁻³ y 3,4·10⁻³ mm, los dos por debajo de 1,2·10⁻² mm: siguen los dos.
4. Si el peso importa, gana el titanio: 95 g frente a los 167 del acero.

Resolución completa

La tensión.

\sigma = \frac{30\,000}{\pi\cdot 7{,}5^{2}} = 169{,}8\ \text{MPa}

Los tres límites (250, 850 y 550 MPa) están por encima: ninguno plastifica.

Las dos condiciones de deformación.

material	$\Delta l$ (mm)	disminución de $d$ (mm)
aluminio	0,291	$1{,}20\cdot 10^{-2}$
titanio	0,194	$8{,}73\cdot 10^{-3}$
acero	0,099	$3{,}35\cdot 10^{-3}$

El aluminio pasa de 0,22 mm: se descarta. Titanio y acero cumplen las dos. El aluminio, de paso, se queda justo en el borde del diámetro — $1{,}2005\cdot 10^{-2}$ —, pero ya estaba fuera.

El peso. Con la misma barra, de $21{,}21\ \text{cm}^{3}$ , el titanio pesa 95 g y el acero 167 g. Se elige el titanio, que es el resultado del listado.

Lo que hay que llevarse. Las condiciones eliminan; el criterio de peso ordena lo que queda. Aplicarlos al revés lleva directo al aluminio, que es el más ligero y el único que no sirve.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.21 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El límite elástico que necesita un muelle

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para poder ser empleado como muelle un acero debe presentar un módulo de resiliencia mínimo de $2{,}07\ \text{MPa}$ . ¿Cuál será entonces el valor mínimo de límite elástico? Dato: $E=205\cdot 10^{3}\ \text{MPa}$ .

El límite elástico mínimo del acero.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es el módulo de resiliencia en el diagrama tensión-deformación?
02
El límite elástico mínimo
COMP2
¿Qué límite elástico mínimo necesita el acero?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Un muelle trabaja solo en la zona elástica, y la energía que devuelve por unidad de volumen es el módulo de resiliencia.
2. Con el tramo elástico recto, esa área es un triángulo de base $\varepsilon_y$ y altura $\sigma_y$ , es decir $\sigma_y^{2}/2E$ .
3. Despejando sale 921 MPa, y es un mínimo: con más límite elástico la resiliencia crece con el cuadrado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.22 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Las dos medidas de la ductilidad

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta de $12{,}8\ \text{mm}$ de diámetro y $50{,}8\ \text{mm}$ de longitud se somete a tracción hasta rotura. En el punto de rotura el diámetro es de $6{,}6\ \text{mm}$ y la longitud de $72{,}14\ \text{mm}$ . Calcula la ductilidad en forma de reducción porcentual de área y alargamiento porcentual relativo.

La reducción de área y el alargamiento, en porcentaje.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Con qué se calculan las dos medidas de la ductilidad?
02
La reducción de área
COMP2
¿Cuánto vale la reducción de área, en porcentaje?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El alargamiento relativo
COMP2
¿Cuánto vale el alargamiento porcentual relativo?
Tu respuesta al paso 3un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena lo que dicen los dos números. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La probeta se ha alargado un 42 % respecto de su longitud inicial.
2. En la sección de rotura queda un 26,6 % del área: se ha perdido el 73,4 %.
3. Las dos medidas están muy por encima del 5 % que separa lo frágil de lo dúctil: es un material muy dúctil.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.23 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado no publica resultado: es un ejercicio de dibujo, y cada curva se ha contrastado con las definiciones de las transparencias del tema.

Seis curvas sin un solo número

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dibuja el diagrama tensión-deformación característico de un material:

a) Rígido, resistente, tenaz y dúctil.

b) Elástico y tenaz.

c) Rígido, resistente y frágil.

d) Rígido, poco resistente y frágil.

e) Elástico, poco resistente y frágil.

f) Elástico y resiliente.

La forma de cada una de las seis curvas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de dibujar, ¿en qué parte de la curva se ve que un material es «rígido»?
02
Lo que la pendiente hace con la resiliencia
COMP2
Dos materiales tienen el mismo límite elástico, y uno tiene la mitad de módulo de Young que el otro: es el más «elástico». ¿Por cuánto se multiplica su módulo de resiliencia respecto del otro?
Tu respuesta al paso 2un número, el factor — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena cómo es cada curva. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Recta empinada, curva alta y muy larga: mucha área debajo, y rompe tras una gran deformación plástica.
2. c) y d) Recta empinada que rompe poco después del límite elástico; la c) alta y la d) baja.
3. e) Recta tendida y baja, y rotura casi al acabar la recta.
4. f) Recta tendida que llega a un límite elástico alto: mucha área bajo el tramo elástico.

Resolución completa

Cómo se lee cada adjetivo. Cada uno vive en una parte distinta de la curva:

adjetivo	dónde se ve
rígido / elástico	pendiente del tramo recto: alta / baja
resistente / poco resistente	altura máxima de la curva
dúctil / frágil	deformación a la que rompe: mucha / poca
tenaz	área bajo toda la curva
resiliente	área bajo el tramo elástico

Las seis curvas.

a) Recta muy empinada, que sube alto y sigue una zona plástica larga antes de romper. Mucha área: es tenaz porque es resistente y dúctil a la vez.

b) Recta tendida, y después una zona plástica larga a una tensión apreciable, de modo que el área total sea grande.

c) Recta muy empinada que llega muy alto y rompe casi al acabar, sin zona plástica apreciable.

d) Igual de empinada que la c), pero rompe mucho antes, a poca tensión.

e) Recta tendida y corta: rompe a poca tensión y enseguida.

f) Recta tendida que llega a un límite elástico alto. Como $U_r = \sigma_y^{2}/2E$ , módulo bajo y límite alto dan mucha área bajo el tramo elástico.

Lo que hay que llevarse. El diagrama tiene cinco lecturas —pendiente, altura, longitud y dos áreas— y cada adjetivo es una sola de ellas. El error típico es mezclar las dos que más se parecen: dúctil es longitud, tenaz es área.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.24 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La tensión real en el cuello de rotura

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta cilíndrica de acero de $12{,}8\ \text{mm}$ ( $0{,}505\ \text{plg}$ ) de diámetro se somete a tracción hasta rotura, siendo su resistencia a tracción en rotura de $460\ \text{MPa}$ ( $167000\ \text{psi}$ ). Si el diámetro de la probeta en el punto de rotura es de $10{,}7\ \text{mm}$ ( $0{,}422\ \text{plg}$ ), indica:

a) Ductilidad (porcentaje de disminución de área).

b) Tensión real de rotura.

La reducción de área y la tensión real en el punto de rotura.

01
Reconocer el camino
COMP1
La tensión real de rotura, ¿con qué se calcula?
02
La reducción de área
COMP2
¿Cuánto vale la disminución de área, en porcentaje?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La tensión real de rotura
COMP2
¿Cuánto vale la tensión real en el punto de rotura?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué la tensión real sale mayor. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La carga en la rotura es una sola, 59 190 N: la de los 460 MPa sobre la sección inicial.
2. En el cuello la sección es 89,9 mm², un 30 % menos que los 128,7 mm² iniciales.
3. La misma carga sobre menos área da más tensión: 658 MPa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.25 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Cuatro lecturas de la curva de un latón

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dada la curva $\sigma$ - $\varepsilon$ para el latón, calcula:

a) El módulo elástico.

b) El límite elástico para una deformación de $0{,}002$ .

c) La carga máxima que puede soportar una probeta de $12{,}8\ \text{mm}$ de diámetro.

d) El máximo incremento de longitud que puede soportar una probeta de longitud inicial $254\ \text{mm}$ , al ser sometida a una tensión de $345\ \text{MPa}$ .

El módulo, el límite elástico, la carga máxima y el alargamiento a 345 MPa, leídos en la curva.

01
Reconocer el camino
COMP1
El módulo elástico es la pendiente del tramo recto. ¿Dónde se lee en la «Curva tensión-deformación de un latón» de este tema?
02
El módulo elástico
COMP2
Lee un punto de la recta del recuadro. ¿Cuánto vale el módulo elástico?
Tu respuesta al paso 2un módulo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El límite elástico
COMP2
Traza desde $\varepsilon = 0{,}002$ una paralela a la recta elástica. ¿A qué tensión corta la curva del recuadro?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La carga máxima
COMP2
La resistencia a la tracción, el máximo de la curva, está rotulada como 450 MPa. ¿Qué carga máxima soporta la probeta de 12,8 mm de diámetro?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El alargamiento a 345 MPa
COMP2
¿Qué deformación tiene la curva a 345 MPa, y cuánto se alarga entonces la probeta de 254 mm?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El módulo es la pendiente de la recta del recuadro: 150 MPa entre 0,0016, unos 93,8 GPa.
2. El límite elástico sale de la paralela trazada desde 0,002: corta la curva a 250 MPa.
3. La carga máxima es la resistencia a la tracción por el área inicial: 450 · π · 6,4² = 5,79·10⁴ N.
4. A 345 MPa la curva está en el punto A, con ε ≈ 0,06, y la probeta se alarga 0,06 · 254 = 15,2 mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.26 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una probeta del mismo latón, en zona elástica

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Supongamos un latón que presenta la curva $\sigma$ - $\varepsilon$ del ejercicio 2.25. Una probeta de $10\ \text{mm}$ de diámetro y $101{,}6\ \text{mm}$ de longitud se somete a tracción con una carga de $10000\ \text{N}$ . Si el coeficiente de Poisson es de $0{,}35$ calcula:

a) alargamiento de la probeta,

b) disminución del diámetro.

El alargamiento de la probeta y cuánto baja su diámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de usar la ley de Hooke con el módulo del 2.25, ¿qué hay que comprobar?
02
La tensión
COMP2
¿Qué tensión soporta la probeta de 10 mm con 10 000 N?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El alargamiento
COMP2
Con el módulo del 2.25, $E = 93{,}8\ \text{GPa}$ , ¿cuánto se alarga la probeta de 101,6 mm?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La disminución del diámetro
COMP2
Con $\nu = 0{,}35$ , ¿cuánto se reduce el diámetro de 10 mm?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. σ = 10 000/(π · 5²) = 127,3 MPa, por debajo de los 250 MPa del límite elástico: la probeta trabaja en zona elástica.
2. ε = 127,3/93 800 = 1,36·10⁻³, y Δl = ε · 101,6 = 0,138 mm.
3. La deformación lateral es −ν ε = −4,75·10⁻⁴, y el diámetro baja 4,75·10⁻³ mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.27 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado no publica el resultado; los valores son nuestros, calculados con los datos de la tabla.

La curva de la aleación de magnesio, punto a punto

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta de una aleación de magnesio de sección rectangular $3{,}2\ \text{mm} \times 19{,}1\ \text{mm}$ se deforma a tracción. Construye la curva tensión-deformación a partir de los datos de la tabla y calcula:

Carga (N)	Longitud (mm)
0	63,5
1380	63,53
2780	63,58
5630	63,63
7430	63,7
8140	63,75
9870	64,14
12850	65,41
14100	66,68
14340	67,92
13830	69,22
12500	70,49

a) Módulo elástico.

b) Límite elástico a deformación de $0{,}002$ .

c) Resistencia a tracción de la aleación.

d) Alargamiento relativo porcentual.

e) ¿Cuáles serán las nuevas dimensiones de la sección al soportar $8000\ \text{N}$ , si su coeficiente de Poisson es de $0{,}29$ ?

El módulo, el límite elástico, la resistencia a tracción, el alargamiento y las dimensiones de la sección bajo 8000 N.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se pasa de la tabla a la curva tensión-deformación?
02
El módulo elástico
COMP2
¿Cuánto vale el módulo elástico? Tómalo del tramo recto del principio.
Tu respuesta al paso 2un módulo, en MPa y con la unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El límite elástico
COMP2
Con la paralela al tramo elástico trazada por $\varepsilon = 0{,}002$ , ¿cuánto vale el límite elástico?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La resistencia a tracción
COMP2
¿Cuánto vale la resistencia a tracción?
Tu respuesta al paso 4una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El alargamiento relativo
COMP2
¿Cuánto vale el alargamiento relativo porcentual?
Tu respuesta al paso 5un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
El lado ancho bajo 8000 N
COMP2
Con $8000\ \text{N}$ , ¿cuánto cambia el lado de $19{,}1\ \text{mm}$ ? Dalo con su signo.
Tu respuesta al paso 6un cambio de longitud con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura de la curva. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El tramo recto da un módulo de unos 45 GPa; los dos primeros puntos, medidos a la centésima de milímetro, dispersan mucho.
2. La paralela trazada por 0,002 corta la curva a unos 139 MPa: ese es el límite elástico.
3. La carga máxima, 14 340 N, da la resistencia a tracción: 234,6 MPa.
4. Con 8000 N la tensión es 130,9 MPa, por debajo del límite elástico, así que las nuevas dimensiones salen de Hooke y Poisson.

carga (N)	$\sigma$ (MPa)	$\varepsilon$	$\sigma/\varepsilon$ (GPa)
1380	22,6	0,00047	47,8
2780	45,5	0,00126	36,1
5630	92,1	0,00205	45,0
7430	121,6	0,00315	38,6
8140	133,2	0,00394	33,8

Resolución completa

La curva. Sección $A_0 = 3{,}2\cdot 19{,}1 = 61{,}12\ \text{mm}^{2}$ y $l_0 = 63{,}5\ \text{mm}$ :

carga (N)	$\sigma$ (MPa)	$\varepsilon$
1380	22,6	0,00047
2780	45,5	0,00126
5630	92,1	0,00205
7430	121,6	0,00315
8140	133,2	0,00394
9870	161,5	0,0101
12850	210,2	0,0301
14100	230,7	0,0501
14340	234,6	0,0696
13830	226,3	0,0901
12500	204,5	0,1101

a) Módulo. Del tramo recto, $E \approx 45\ \text{GPa}$ . Los datos no dan más precisión: una regresión con los cuatro primeros puntos sale 40 GPa, y el primer punto solo, 48.

b) Límite elástico. La paralela $\sigma = 45\,000(\varepsilon - 0{,}002)$ corta la curva entre 8140 y 9870 N: $\sigma_y \approx 139\ \text{MPa}$ .

c) Resistencia a tracción. $R_m = 14\,340/61{,}12 = 234{,}6\ \text{MPa}$ .

d) Alargamiento. $\%EL = (70{,}49 - 63{,}5)/63{,}5 = 11{,}0\ \%$ ; descontando la recuperación elástica en la rotura, 10,6 %.

e) La sección con 8000 N. $\sigma = 130{,}9\ \text{MPa}$ , en zona elástica, con una deformación transversal de

\varepsilon_x = -0{,}29\cdot\frac{130{,}9}{45\,000} = -8{,}44\cdot 10^{-4}

y la sección pasa a $3{,}197 \times 19{,}084\ \text{mm}$ .

Lo que hay que llevarse. Unos datos reales no dan un módulo de cuatro cifras. Cuando las longitudes se miden a la centésima, los primeros puntos son los menos fiables; se usa el más alejado que siga en la recta, y conviene decir con qué punto se ha hecho.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.28 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado no publica el resultado; los valores son nuestros, calculados con los datos de la tabla.

La probeta de cobre, del primer punto a la rotura

paso 1 de 8

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la siguiente tabla se presentan los datos obtenidos al ensayar una probeta estándar de cobre de $1{,}3\ \text{cm}$ de diámetro:

Carga (N)	Longitud (cm)	Carga (N)	Longitud (cm)
0	5,08	46700	5,1816
13350	5,0842	53400	5,7404
26700	5,0884	55150	6,35 (carga max.)
33360	5,0905	50700	7,67 (rotura)
40000	5,1028

La longitud final de la probeta es $7{,}65\ \text{cm}$ y su diámetro $0{,}95\ \text{cm}$ . Dibuja la curva tensión-deformación ( $\sigma$ - $\varepsilon$ ) y calcula el límite elástico a $0{,}2\ \%$ de deformación, la resistencia a tracción, el módulo elástico, el alargamiento relativo (%), la reducción de área (%), la tensión nominal y real en el punto de fractura.

El límite elástico, la resistencia a tracción, el módulo, el alargamiento, la reducción de área y las tensiones nominal y real en la fractura.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al final hay dos longitudes: 7,67 cm en la rotura y 7,65 cm de longitud final. ¿Cuál va en el alargamiento relativo?
02
El módulo elástico
COMP2
¿Cuánto vale el módulo elástico?
Tu respuesta al paso 2un módulo, en MPa y con la unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El límite elástico al 0,2 %
COMP2
¿Cuánto vale el límite elástico con el criterio del 0,2 %?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La resistencia a tracción
COMP2
¿Cuánto vale la resistencia a tracción?
Tu respuesta al paso 4una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El alargamiento relativo
COMP2
¿Cuánto vale el alargamiento relativo, en porcentaje?
Tu respuesta al paso 5un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
La reducción de área
COMP2
¿Cuánto vale la reducción de área, en porcentaje?
Tu respuesta al paso 6un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
La tensión real en la fractura
COMP2
¿Cuánto vale la tensión real en el punto de fractura?
Tu respuesta al paso 7una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
08
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura del ensayo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Hasta 33 360 N tensión y deformación son proporcionales: el módulo es 121,7 GPa.
2. La paralela por 0,002 corta la curva junto al punto de 40 000 N: el límite elástico es de unos 301 MPa.
3. El máximo, 55 150 N, da la resistencia a tracción: 415,5 MPa.
4. En la fractura la nominal baja a 382 MPa y la real sube a 715 MPa, porque la sección del cuello es un 47 % menor.

carga (N)	$\sigma$ (MPa)	$\varepsilon$	$\sigma/\varepsilon$ (GPa)
13350	100,6	0,000827	121,7
26700	201,2	0,001654	121,7
33360	251,3	0,002067	121,6
40000	301,4	0,004488	67,1

Resolución completa

La curva. $A_0 = \pi\cdot 6{,}5^{2} = 132{,}7\ \text{mm}^{2}$ y $l_0 = 50{,}8\ \text{mm}$ :

carga (N)	$\sigma$ (MPa)	$\varepsilon$
13350	100,6	0,00083
26700	201,2	0,00165
33360	251,3	0,00207
40000	301,4	0,00449
46700	351,8	0,0200
53400	402,3	0,130
55150	415,5	0,250
50700	382,0	0,510

Módulo elástico. Los tres primeros puntos dan el mismo cociente: $E = 121{,}7\ \text{GPa}$ .

Límite elástico al 0,2 %. La paralela corta la curva casi en el punto de 40 000 N: $\sigma_y \approx 301\ \text{MPa}$ .

Resistencia a tracción. $55\,150/132{,}7 = 415{,}5\ \text{MPa}$ .

Alargamiento relativo. Con la longitud final, no con la de rotura: $(7{,}65 - 5{,}08)/5{,}08 = 50{,}6\ \%$ .

Reducción de área. $1 - (0{,}95/1{,}3)^{2} = 46{,}6\ \%$ .

Tensiones en la fractura. Nominal, $50\,700/132{,}7 = 382\ \text{MPa}$ ; real, $50\,700/70{,}9 = 715\ \text{MPa}$ .

Lo que hay que llevarse. Las dos longitudes finales del enunciado no son redundantes: 7,67 cm es con carga y 7,65 sin ella, y su diferencia, 0,02 cm, es la recuperación elástica en la rotura. Y la tensión real casi dobla a la nominal, que es lo que la estricción esconde.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.29 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado no publica el resultado; los valores son nuestros, calculados con los datos de la tabla.

El aluminio cuyos datos parecen de acero

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta cilíndrica de aluminio de $12{,}8\ \text{mm}$ de diámetro y $50{,}80\ \text{mm}$ de longitud se somete a tracción. Los datos carga-alargamiento se indican en la siguiente tabla:

a) Representa la curva $\sigma$ - $\varepsilon$ .

b) Calcula el módulo elástico.

c) Calcula el límite elástico para una deformación de $0{,}002$ .

d) Calcula la resistencia a tracción.

e) ¿Cuanto vale la ductilidad en forma de alargamiento relativo porcentual?

f) Calcula el módulo de resiliencia.

Carga (N)	Longitud (mm) · $10^{3}$	Carga (N)	Longitud (mm) · $10^{3}$
12700	50825	119400	51562
25400	50851	128300	51816
38100	50876	149700	52832
50800	50902	159000	53848
76200	50952	160400	54356
89100	51003	159500	54864
92700	51054	151500	55880
102500	51181	124700	56642
107800	51308	Rotura

El módulo, el límite elástico, la resistencia a tracción, el alargamiento y el módulo de resiliencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
La columna de longitudes está multiplicada por $10^{3}$ . ¿Qué longitud es el 50825 del primer punto?

El módulo elástico

COMP2

¿Cuánto vale el módulo elástico?

Tu respuesta al paso 2un módulo, en MPa y con la unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

Desarrollo

$A_0 = \pi\cdot 6{,}4^{2} = 128{,}7\ \text{mm}^{2}$ y $l_0 = 50{,}80\ \text{mm}$ :

carga (N)	$\sigma$ (MPa)	$\varepsilon$	$\sigma/\varepsilon$ (GPa)
12700	98,7	0,00049	200,6
25400	197,4	0,00100	196,6
38100	296,1	0,00150	197,9
50800	394,8	0,00201	196,6
76200	592,2	0,00299	197,9
89100	692,4	0,00400	173,3

Recto hasta 76 200 N. La regresión de esos cinco puntos da $E = 197{,}6\ \text{GPa}$ .

03
El límite elástico
COMP2
Con la paralela por $\varepsilon = 0{,}002$ , ¿cuánto vale el límite elástico?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La resistencia a tracción
COMP2
¿Cuánto vale la resistencia a tracción?
Tu respuesta al paso 4una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La ductilidad
COMP2
¿Cuánto vale el alargamiento relativo porcentual?
Tu respuesta al paso 5un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
El módulo de resiliencia
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de resiliencia?
Tu respuesta al paso 6una energía por unidad de volumen, en MPa y con la unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura del ensayo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Hasta 76 200 N el cociente entre tensión y deformación se mantiene en unos 198 GPa: ese es el tramo elástico.
2. La paralela por 0,002 corta la curva entre 92 700 y 102 500 N, a unos 744 MPa.
3. La carga máxima, 160 400 N, da 1246,5 MPa, y la probeta rompe tras alargarse un 11,5 %.
4. Con el límite elástico y el módulo, la resiliencia es $\sigma_y^{2}/2E = 1{,}40\ \text{MPa}$ .

Resolución completa

La curva. Longitudes entre mil, $l_0 = 50{,}80\ \text{mm}$ y $A_0 = \pi\cdot 6{,}4^{2} = 128{,}7\ \text{mm}^{2}$ . Algunos puntos:

carga (N)	$\sigma$ (MPa)	$\varepsilon$
76200	592,2	0,0030
92700	720,4	0,0050
102500	796,6	0,0075
128300	997,1	0,020
160400	1246,5	0,070
124700	969,1	0,115

b) Módulo. Recto hasta 76 200 N: $E = 197{,}6\ \text{GPa}$ .

c) Límite elástico. La paralela por 0,002 corta la curva a $\sigma_y = 744\ \text{MPa}$ .

d) Resistencia a tracción. $160\,400/128{,}7 = 1246{,}5\ \text{MPa}$ .

e) Ductilidad. $(56{,}642 - 50{,}80)/50{,}80 = 11{,}5\ \%$ , tomando el último punto medido como la rotura.

f) Resiliencia. $744^{2}/(2\cdot 197\,600) = 1{,}40\ \text{MPa}$ .

Estos datos no son de un aluminio. Una aleación de aluminio tiene unos 70 GPa de módulo y una resistencia de unos cientos de MPa. Aquí salen 198 GPa y 1250 MPa, que son las cifras de un acero de alta resistencia: parecen los datos de un ensayo de acero con el nombre del material cambiado. El ejercicio pide calcular con la tabla, y así se ha hecho; el aviso es para que el número no te haga dudar de tu cuenta.

Lo que hay que llevarse. Las propiedades se leen del ensayo, no del nombre de la probeta. Si el módulo que sale no se parece al de las tablas, primero se revisan las unidades —aquí, el $10^{3}$ del encabezado—, y si están bien, manda el dato.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.30 · Tema 2, «Propiedades mecánicas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La huella de la bola Brinell, y al revés

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un penetrador Brinnel de $10\ \text{mm}$ de diámetro crea una huella de $2{,}5\ \text{mm}$ sobre un acero al aplicarle una carga de $1000\ \text{kg}$ . Calcula la dureza Brinell de dicho acero. ¿Cuál será el diámetro de la huella si al aplicarle una carga de $500\ \text{kg}$ presenta una dureza Brinell de $300$ ?

HB = \frac{2P}{\pi D\left(D - \sqrt{D^{2} - d^{2}}\right)}

$P$ : carga aplicada (kg)
$D$ : diámetro de la punta (mm)
$d$ : diámetro de la huella (mm)
$h$ : altura de la huella (mm)

La dureza Brinell del acero y el diámetro de la segunda huella.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con la misma bola y la misma carga, ¿qué indica una huella más grande?
02
La dureza del acero
COMP2
¿Cuánto vale la dureza Brinell del acero con la huella de $2{,}5\ \text{mm}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La segunda huella
COMP2
Con $500\ \text{kg}$ y una dureza de $300$ , ¿qué diámetro tiene la huella?
Tu respuesta al paso 3un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena lo que dice cada cifra. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. HB es la carga entre la superficie del casquete que deja la bola, y por eso una huella mayor da menos dureza.
2. Con 1000 kg y una huella de 2,5 mm, el acero tiene HB = 200,5.
3. Para que 500 kg den HB = 300, el casquete tiene que medir 500/300 = 1,67 mm², y eso es una huella de 1,45 mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Propiedades mecánicas

Fuerza, tensión y deformación

La zona elástica: la ley de Hooke

Poisson: el diámetro que encoge

Cuando deja de ser elástica, y qué queda al descargar

Las cinco propiedades de tracción

Tensión y deformación reales

La dureza, y otros ensayos

La fatiga

Reconocer el camino

La tensión

El alargamiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La deformación que se recupera

El alargamiento permanente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión en la barra

La deformación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La elongación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La deformación

La longitud inicial

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El alargamiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión que corresponde al alargamiento

El diámetro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La deformación angular

El módulo de Coulomb

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La deformación axial

El coeficiente de Poisson

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de Poisson

La deformación axial

La longitud inicial

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El alargamiento

El cambio de diámetro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El cambio de diámetro a tracción

El diámetro final a tracción

El diámetro final a compresión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La carga máxima

El alargamiento máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El alargamiento con 400 kN

La carga máxima sin deformación plástica

La tensión con 70 toneladas

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El alargamiento del cable

La contracción transversal

El módulo que reduce la deformación a la mitad

La tensión con la carga doble

El área mínima con la carga doble

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión en la varilla

El alargamiento

El diámetro mínimo con 5104 N