Ciencia de Materiales · tema 03

Estructura de los sólidos cristalinos

Las celdas FCC, BCC y HC, la densidad teórica, los índices de Miller, los defectos, las dislocaciones y cómo se endurece un metal.

Es el tema más largo de la asignatura —tres partes, cuatro semanas— y el que explica los demás. El tema 2 medía cómo se deforma un metal; este dice por qué: porque sus átomos están ordenados en una red, esa red tiene defectos, y uno de esos defectos, la dislocación, es lo que se mueve cuando el metal se deforma plásticamente. Y de ahí sale la única idea que hay detrás de todas las formas de endurecer un metal: ponerle obstáculos a las dislocaciones.

Toda la parte numérica sale de un modelo muy sencillo, el de esferas rígidas: cada átomo es una bola maciza de radio $R$ , y las bolas vecinas se tocan.

La celda unidad

Un sólido es cristalino cuando sus átomos siguen un patrón que se repite en las tres dimensiones —orden de largo alcance— y amorfo cuando ese orden solo existe entre vecinos. Los metales y muchos cerámicos son cristalinos; algunos polímeros son semicristalinos; el vidrio es amorfo.

El patrón que se repite más pequeño es la celda unidad, casi siempre un paralelepípedo. Su geometría la dan seis parámetros de red: las longitudes de sus aristas, $a$ , $b$ y $c$ , y los ángulos entre ellas, $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ . Las combinaciones posibles dan siete sistemas cristalinos, y según dónde estén los átomos dentro de la celda, catorce redes de Bravais.

De cada estructura interesan cuatro números:

los átomos por celda, contando qué parte de cada átomo cae dentro;
el parámetro de red, la arista, en función del radio $R$ ;
el índice de coordinación, cuántos vecinos toca cada átomo;
el factor de empaquetamiento atómico, la fracción del volumen de la celda que ocupan las esferas: $\text{F.E.A.} = \frac{\text{volumen de los átomos de la celda}}{\text{volumen de la celda}}$

Las tres estructuras de los metales

El enlace metálico no tiene dirección preferida, y por eso los metales se empaquetan mucho. Casi todos cristalizan en una de estas tres:

Cúbica centrada en las caras, FCC —cobre, aluminio, plata, oro—: átomos en los vértices del cubo y en el centro de cada cara.
Cúbica centrada en el cuerpo, BCC —cromo, hierro, wolframio—: átomos en los vértices y uno en el centro del cubo.
Hexagonal compacta, HC: átomos en los vértices y los centros de las dos bases de un prisma hexagonal, y tres más en un plano a media altura.

	FCC	BCC	HC
átomos por celda	4	2	6
parámetro de red	$a = 4R/\sqrt{2}$	$a = 4R/\sqrt{3}$	$a = 2R$
índice de coordinación	12	8	12
empaquetamiento	0,74	0,68	0,74

Los átomos por celda salen de repartir: un átomo de un vértice lo comparten ocho celdas, uno de una cara dos, y uno del interior no lo comparte nadie. En FCC son $8 \cdot \tfrac{1}{8} + 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 4$ ; en BCC, $8 \cdot \tfrac{1}{8} + 1 = 2$ . Y el parámetro de red sale de mirar por dónde se tocan los átomos, que es lo que dibuja la figura. El 0,74 de FCC y HC es el máximo posible para esferas iguales.

Las dos celdas, con el mismo radio atómico. En FCC la bola del centro de la cara toca a las cuatro de los vértices, y la diagonal de la cara mide cuatro radios; en BCC la bola del centro del cubo toca a las ocho de los vértices, y es la diagonal del cubo la que mide cuatro radios. Por eso, con átomos del mismo tamaño, la celda BCC es más pequeña y está menos llena.

Contar los átomos que se ven

Una celda FCC dibujada tiene catorce bolas —ocho en los vértices y seis en las caras— y le pertenecen cuatro. Cada bola de un vértice es de ocho celdas a la vez, y cada una de una cara, de dos. Contar las catorce multiplica la densidad por más de tres, y el resultado no avisa: sale un número con unidades de densidad perfectamente normales.

Polimorfismo, y la densidad teórica

Un mismo material puede tener más de una estructura según la presión y la temperatura: es el polimorfismo, y en un elemento se llama alotropía. El carbono es grafito en condiciones normales y diamante a presiones enormes. El hierro puro es BCC a temperatura ambiente y pasa a FCC a 912 °C, y como las dos estructuras no se llenan igual, el cambio va acompañado de un cambio de volumen: el ejemplo de clase da un 8 % más al pasar de FCC a BCC.

Conocida la estructura, la densidad sale sin medir nada:

\rho = \frac{n\,A}{V_c\,N_A}

con $n$ los átomos por celda, $A$ el peso atómico, $V_c$ el volumen de la celda y $N_A = 6{,}023\cdot 10^{23}$ el número de Avogadro. Para el cobre, FCC con $R = 0{,}128$ nm, sale $8{,}89\ \text{g/cm}^{3}$ , frente a los $8{,}94$ que se miden.

Los cerámicos: iones de dos tamaños

En un cerámico hay al menos dos elementos, y su enlace va de casi del todo iónico a casi del todo covalente según la diferencia de electronegatividad. El porcentaje de carácter iónico lo dice: 89 % en el fluoruro de calcio, 67 % en el cloruro sódico, 51 % en la sílice, 12 % en el carburo de silicio.

En los predominantemente iónicos, la estructura la deciden dos cosas: que el cristal sea eléctricamente neutro, y los tamaños relativos de los iones. El catión es casi siempre el pequeño, y la estructura es estable si todos los aniones que lo rodean lo tocan. El número de coordinación —cuántos aniones rodean a cada catión— lo fija el cociente de radios:

$r_{\text{catión}}/r_{\text{anión}}$	coordinación	geometría
menos de 0,1	2	lineal
0,1 a 0,2	3	triangular
0,2 a 0,4	4	tetraédrica
0,4 a 0,7	6	octaédrica
0,7 a 1,0	8	cúbica

El cloruro sódico da 0,564 y es octaédrico; el cloruro de cesio, 0,939 y cúbico. Hay estructuras AX, con tantos cationes como aniones; AmXp, como la fluorita, $\text{CaF}_2$ ; y AmBnXp, con dos cationes, como la perovskita del titanato de bario. Y la densidad se calcula igual que en los metales, con las unidades de fórmula por celda $n'$ y los pesos atómicos de todos los iones:

\rho = \frac{n'\,(\Sigma A_C + \Sigma A_A)}{V_c\,N_A}

Direcciones y planos: los índices de Miller

Para nombrar una dirección o un plano dentro de la red se usan los índices de Miller, tres enteros referidos a unos ejes con el origen en un vértice de la celda y las aristas como unidades.

Una dirección es un vector. Se toman sus proyecciones sobre los tres ejes, se multiplican o dividen hasta dejar los enteros más pequeños, y se escriben entre corchetes: $[u\,v\,w]$ . Un índice negativo lleva una barra encima, $[1\overline{1}0]$ . $[100]$ y $[200]$ son la misma dirección; las equivalentes por simetría forman una familia, que se escribe $\langle u\,v\,w\rangle$ .

Un plano se nombra por dónde corta a los ejes, y el procedimiento tiene cuatro pasos:

las intersecciones con los ejes, en unidades de arista —si el plano es paralelo a un eje, lo corta en el infinito—;
sus inversos —el de infinito es cero—;
se reducen a los enteros más pequeños;
se escriben entre paréntesis: $(h\,k\,l)$ .

Un plano que corta en $\tfrac{1}{2}$ , $1$ y $\tfrac{3}{4}$ tiene inversos $2$ , $1$ y $\tfrac{4}{3}$ ; multiplicando por tres, $(6\,3\,4)$ . En el sistema hexagonal se usan cuatro índices, los de Miller-Bravais.

Reducir las intersecciones en vez de sus inversos

En un plano, el paso que se salta es invertir. Un plano que corta en $x = 1$ , es paralelo a $y$ y corta en $z = \tfrac{1}{2}$ es el $(1\,0\,2)$ : inversos $1$ , $0$ y $2$ . Si se reducen las intersecciones directamente sale $(2\,0\,1)$ , que es otro plano. En una dirección, en cambio, no se invierte nada: las proyecciones ya son los índices.

Densidades lineal y planar

Planos con los mismos índices pueden estar poblados de forma distinta según la estructura. La densidad lineal es la fracción de la longitud de una dirección que ocupan los átomos centrados en ella, y la densidad planar, la fracción del área de un plano que ocupan los átomos centrados en él. La dirección $[100]$ de BCC tiene $DL = 2R/a = 0{,}866$ ; el plano $(110)$ de FCC, $DP = 0{,}555$ .

Importan por una razón que aparece en la tercera parte del tema: la deformación plástica se produce en los planos y direcciones más densos.

Monocristales, policristales y amorfos

Si la disposición es perfecta en toda la muestra, es un monocristal. La mayoría de los sólidos cristalinos son policristalinos: muchos cristales pequeños, los granos, cada uno con su orientación, separados por límites de grano. Un monocristal suele ser anisótropo —sus propiedades dependen de la dirección en que se miden— y un policristal o un amorfo, isótropo.

Los defectos

Un cristal perfecto casi no existe, y los defectos deciden muchas propiedades. Se clasifican por sus dimensiones.

Puntuales. Una vacante es una posición de la red sin su átomo; todos los cristales las tienen, y su número crece con la temperatura siguiendo a Arrhenius, $N_v = N\,e^{-Q_v/RT}$ —cerca de la fusión, una por cada 10 000 átomos—. Un autointersticial es un átomo metido en un hueco entre otros, y es mucho menos frecuente porque distorsiona mucho. Las impurezas forman disoluciones sólidas: sustitucionales, si el átomo extraño ocupa el sitio de uno del metal, o intersticiales, si se mete en un hueco. Así se hacen las aleaciones.

Lineales: las dislocaciones. Una dislocación de cuña es el borde de un semiplano extra de átomos metido en la red; una helicoidal es la distorsión que produce un esfuerzo de cortadura, y deja los planos en rampa; y casi todas las reales son mixtas.

Interfaciales. Las superficies externas, los límites de grano, los límites de macla —un límite en el que un lado es la imagen especular del otro—, los defectos de apilamiento y los límites de fase.

El tamaño de grano se mide comparando con las cartas de la ASTM a 100 aumentos: el índice $n$ da $N = 2^{\,n-1}$ granos por pulgada cuadrada, y a mayor índice, grano más fino. Un enfriamiento rápido da muchos granos y finos; uno lento, pocos y gruesos. Y el grano fino suele ser más duro y resistente.

En los cerámicos, las vacantes y los intersticiales tienen que respetar la neutralidad: un defecto Frenkel es un catión que deja su sitio y se mete en un hueco; un defecto Schottky, un catión y un anión que faltan a la vez.

Las dislocaciones son la deformación plástica

La resistencia de un cristal perfecto sería muchísimo mayor que la que se mide. La diferencia la explican las dislocaciones: al aplicar un esfuerzo de cortadura, la dislocación avanza por la red rompiendo y rehaciendo enlaces de uno en uno, como una oruga, y cuando sale por el borde deja un escalón. Eso es deformar plásticamente.

Las dislocaciones no se mueven igual en todas direcciones. Lo hacen en un sistema de deslizamiento: un plano de alta densidad planar y, dentro de él, una dirección de alta densidad lineal. Los metales FCC y BCC tienen muchos sistemas y son dúctiles; los HC tienen pocos y son frágiles. Es el aluminio y el magnesio del tema 1, explicados.

Aunque se tire de una probeta en una dirección, sobre cada sistema actúa una tensión de cortadura resuelta:

\tau_R = \sigma\,\cos\phi\,\cos\lambda

con $\phi$ el ángulo entre la tracción y la normal al plano de deslizamiento, y $\lambda$ el ángulo entre la tracción y la dirección de deslizamiento. El metal empieza a fluir cuando la del sistema mejor orientado alcanza la tensión de cortadura resuelta crítica:

\sigma_y = \frac{\tau_{crss}}{(\cos\phi\,\cos\lambda)_{\text{máx}}}

En celdas cúbicas, el coseno del ángulo entre dos direcciones sale del producto escalar de sus índices partido por el producto de sus módulos.

El ángulo φ es con la normal, no con el plano

$\phi$ se mide entre la tracción y la normal al plano de deslizamiento, y en una celda cúbica la normal al plano $(h\,k\,l)$ es la dirección $[h\,k\,l]$ . Medirlo contra el propio plano cambia un coseno por un seno y da otra tensión resuelta. Y antes de calcular conviene comprobar que la dirección está dentro del plano: el producto escalar de sus índices tiene que ser cero.

Cómo se endurece un metal

Si deformar es mover dislocaciones, endurecer es impedir que se muevan. Y casi siempre se paga igual: al subir la resistencia baja la ductilidad.

Afinando el grano. Cada límite de grano es un obstáculo, porque la dislocación tiene que cambiar de dirección para pasar al grano vecino. Con más límites, más obstáculos. El límite elástico sigue la relación de Hall-Petch, $\sigma_y = \sigma_0 + k_y\,d^{-1/2}$ , con $d$ el diámetro medio del grano.

Con disolución sólida. Los átomos de soluto distorsionan la red a su alrededor y frenan a las dislocaciones: una aleación es más dura que el metal puro, y más cuanto más soluto lleva.

Deformando en frío. Al deformar plásticamente un metal a una temperatura baja respecto a su fusión, se crean dislocaciones nuevas, se estorban unas a otras y el metal se vuelve más duro y resistente. Es el trabajo en frío —la laminación, la forja, el trefilado, la extrusión—, y se mide con la reducción de sección:

\%\,T.F. = \frac{A_0 - A_f}{A_0}\cdot 100

Al aumentar el trabajo en frío suben el límite elástico y la resistencia a la tracción, y baja la ductilidad. Una barra de cobre que pasa de 15,2 a 12,2 mm de diámetro lleva un 35,6 % de trabajo en frío.

El recocido: recuperación, recristalización y crecimiento de grano

Lo que el trabajo en frío hace, un tratamiento térmico lo deshace. Al calentar un metal deformado pasan tres cosas, por este orden:

recuperación: se libera parte de la energía de las dislocaciones y algunas se aniquilan;
recristalización: aparecen granos nuevos, sin deformar y con pocas dislocaciones, que sustituyen a los deformados. La temperatura de recristalización es la que la completa en una hora, suele estar entre un tercio y la mitad de la temperatura absoluta de fusión, y baja cuanto más trabajo en frío lleva el metal;
crecimiento de grano: si se sigue a temperatura alta, los granos nuevos crecen para reducir el área total de límite de grano.

Deformar por encima de la temperatura de recristalización es trabajo en caliente; por debajo, en frío. Y la jugada que aparece en los problemas es combinarlos: si llevar una pieza de golpe a su tamaño final pide tanto trabajo en frío que la deja sin ductilidad, se deforma una parte, se recuece para recristalizar y se termina con un segundo trabajo en frío más suave.

Las curvas que usan los problemas de trabajo en frío de la colección son estas:

El límite elástico, la resistencia a la tracción y la ductilidad de un acero, un latón y un cobre, frente al porcentaje de trabajo en frío. Las dos primeras suben y la tercera cae: lo que se gana en resistencia se pierde en ductilidad. Es la figura 1 de la colección, redibujada.

Lo mismo en un aluminio, con la resistencia en línea continua y el alargamiento en discontinua, y al lado su temperatura de recristalización, que baja cuanto más trabajo en frío lleva el metal. Es la figura 2 de la colección, redibujada.

Practica lo que acabas de leer

Los átomos que son de la celda, y los que solo se ven

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre el recuento de átomos por celda del Tema 3 de la asignatura. No es de examen ni del boletín.

Los átomos que son de la celda, y los que solo se ven

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una celda FCC dibujada muestra un átomo en cada uno de los 8 vértices del cubo y otro en el centro de cada una de sus 6 caras. Una celda BCC muestra uno en cada vértice y uno en el centro del cubo. ¿Cuántos átomos pertenecen a cada celda?

Los átomos por celda de FCC y de BCC.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué parte de un átomo de un vértice pertenece a la celda?
02
Los átomos de una celda FCC
COMP2
¿Cuántos átomos pertenecen a una celda FCC?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los átomos de una celda BCC
COMP2
¿Y a una celda BCC?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el recuento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En una red cúbica, en cada vértice se juntan ocho celdas, y en cada cara, dos.
2. Así, un átomo de un vértice aporta un octavo a la celda, uno de una cara la mitad y uno del interior, uno entero.
3. FCC tiene 4 átomos por celda y BCC, 2: por eso, con el mismo radio, FCC está más llena.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre los índices de Miller de un plano del Tema 3 de la asignatura. No es de examen ni del boletín.

Los índices de un plano, con el paso que se salta

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un plano de una celda cúbica corta al eje $x$ en $x = 1$ , es paralelo al eje $y$ y corta al eje $z$ en $z = \tfrac{1}{2}$ , todo en unidades de arista. ¿Cuáles son sus índices de Miller?

Los índices de Miller del plano.

01
Reconocer el camino
COMP1
El plano es paralelo al eje $y$ . ¿Qué índice le corresponde en ese eje?
02
Los índices de Miller
COMP2
¿Cuáles son los índices $(h, k, l)$ del plano?
Tu respuesta al paso 2tres enteros entre paréntesis, separados por comas: (h, k, l) — componentes separadas por comas
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el procedimiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se buscan las intersecciones con los ejes: 1, infinito y un medio.
2. Se toman sus inversos: 1, 0 y 2.
3. Ya son enteros, así que no hay que reducir: el plano es el (1 0 2).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.1 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La cúbica simple, vecinos y hueco

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Suponiendo un metal de estructura cristalina cúbica simple con los átomos localizados en los vértices del cubo y tocándose entre sí a lo largo de las aristas del cubo (ver figura).

a) ¿Cuál es el número de coordinación para esta estructura cristalina?

b) Calcula el factor de empaquetamiento atómico.

La figura, descrita: un cubo con una esfera centrada en cada uno de sus ocho vértices; las caras del cubo cortan las esferas, y cada esfera toca a sus vecinas a lo largo de las aristas.

El número de coordinación y el factor de empaquetamiento atómico de la cúbica simple.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular el F.E.A. hay que saber cuántos átomos pertenecen a la celda. En la cúbica simple, ¿cuántos son?
02
El número de coordinación
COMP2
¿Con cuántos átomos está en contacto cada átomo de la red?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El factor de empaquetamiento
COMP2
¿Cuánto vale el F.E.A.? Da la fracción, no el porcentaje.
Tu respuesta al paso 3un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué casi ningún metal cristaliza así. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En la cúbica simple cada átomo toca a seis vecinos y las esferas ocupan el 52 % del volumen.
2. La FCC y la HC llegan a doce vecinos y al 74 %, y la BCC a ocho y al 68 %.
3. El enlace metálico no es direccional, así que un metal gana estabilidad rodeándose de cuantos más vecinos mejor.
4. Luego la cúbica simple, con casi la mitad del volumen vacío, es la que menos favorece al enlace metálico.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.2 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Los parámetros de red del hierro

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El hierro a $20\ \text{°C}$ presenta estructura BCC con átomos de radio atómico $0{,}124\ \text{nm}$ . Calcula los parámetros de red de la celda unidad del hierro.

La arista de la celda y sus ángulos.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la BCC, ¿a lo largo de qué línea se tocan los átomos?
02
La arista
COMP2
¿Cuánto mide la arista $a$ de la celda, en nanómetros?
Tu respuesta al paso 2un número, en nm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los parámetros de red son las tres aristas $a$ , $b$ , $c$ y los tres ángulos $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .
2. La celda BCC es cúbica, así que $a = b = c$ y $\alpha = \beta = \gamma = 90°$ .
3. Con $a = 4R/\sqrt{3}$ sale $a = 0{,}286\ \text{nm}$ , y con eso quedan dados los seis.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.3 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La arista a partir del radio, en cuatro metales

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula el valor de $a$ de los siguientes metales, conocido el radio atómico.

Metal	Estructura cristalina	Radio atómico (nm)
Potasio	BCC	0,238
Tugsteno	BCC	0,141
Iridio	FCC	0,135
Aluminio	FCC	0,143

La arista de la celda de cada uno de los cuatro metales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Dos metales son BCC y dos FCC. ¿Qué cambia en la cuenta de uno a otro?
02
El potasio, BCC
COMP2
¿Cuánto vale $a$ para el potasio, en nm?
Tu respuesta al paso 2un número, en nm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El tungsteno, BCC
COMP2
¿Y para el tungsteno, en nm?
Tu respuesta al paso 3un número, en nm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El iridio, FCC
COMP2
¿Cuánto vale $a$ para el iridio, en nm?
Tu respuesta al paso 4un número, en nm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El aluminio, FCC
COMP2
¿Y para el aluminio, en nm?
Tu respuesta al paso 5un número, en nm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena lo que dicen los cuatro resultados. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En la BCC los átomos se tocan por la diagonal del cubo, así que $a = 4R/\sqrt{3} \approx 2{,}31\,R$ .
2. En la FCC se tocan por la diagonal de la cara, así que $a = 2\sqrt{2}\,R \approx 2{,}83\,R$ .
3. Por eso, con radios casi iguales —0,141 y 0,143 nm—, el aluminio FCC tiene una arista mayor que la del tungsteno BCC.

Resolución completa

Las dos relaciones. El contacto entre esferas está en una diagonal que mide cuatro radios:

BCC, diagonal del cubo: $\sqrt{3}\,a = 4R$ , luego $a = 4R/\sqrt{3}$ .
FCC, diagonal de la cara: $\sqrt{2}\,a = 4R$ , luego $a = 2\sqrt{2}\,R$ .

Los cuatro metales.

Metal	Estructura	R (nm)	a (nm)
Potasio	BCC	0,238	0,550
Tugsteno	BCC	0,141	0,326
Iridio	FCC	0,135	0,382
Aluminio	FCC	0,143	0,404

Los cuatro coinciden con el listado. El error que conviene vigilar es aplicar a los cuatro la misma fórmula: la tabla cambia de estructura a mitad, y la fórmula tiene que cambiar con ella.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.4 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El volumen de la celdilla, hexagonal y cúbica

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula el volumen de la celdilla unidad de los siguientes metales.

Metal	Estructura cristalina	Ctes de red (nm)
Berilio	HCP	$a = 0{,}229$ y $c = 0{,}358$
Magnesio	HCP	$a = 0{,}321$ y $c = 0{,}521$
Cobre	FCC	$a = 0{,}362$
Wolframio	BCC	$a = 0{,}316$

El volumen de la celdilla unidad de los cuatro metales, en nm³.

01
Reconocer el camino
COMP1
La celdilla HCP de estas transparencias es el prisma hexagonal entero. ¿Cuánto vale el área de su base?
02
El berilio, HCP
COMP2
¿Cuánto vale el volumen de la celdilla del berilio, en nm³?
Tu respuesta al paso 2un número, en nm³ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El magnesio, HCP
COMP2
¿Y el del magnesio, en nm³?
Tu respuesta al paso 3un número, en nm³ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El cobre, FCC
COMP2
¿Y el del cobre, en nm³?
Tu respuesta al paso 4un número, en nm³ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El wolframio, BCC
COMP2
¿Y el del wolframio, en nm³?
Tu respuesta al paso 5un número, en nm³ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En las celdas cúbicas, FCC o BCC, el volumen es $a^{3}$ y la estructura no cambia la cuenta.
2. En la HCP la celdilla es un prisma hexagonal: base de seis triángulos equiláteros por altura $c$ .
3. De ahí $V = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c$ , y con ella el berilio da 0,049 nm³ y el magnesio 0,139.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.5 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado no publica resultado para este ejercicio: los cuatro valores son nuestros, comprobados con la fórmula general de cada estructura y con los datos de la tabla.

El F.E.A. de cuatro metales, y el dato que sobra

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula el F.E.A. de las celdillas unidad de los siguientes metales.

Metal	Estructura cristalina	Ctes de red (nm)
Cromo	BCC	$a = 0{,}289$
Tántalo	BCC	$a = 0{,}330$
Platino	FCC	$a = 0{,}393$
Plata	FCC	$a = 0{,}409$

El factor de empaquetamiento atómico de los cuatro metales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de hacer cuatro cuentas: ¿depende el F.E.A. del valor de la arista?
02
El radio del cromo
COMP2
Para hacer la cuenta con números, ¿cuánto vale el radio atómico del cromo, en nm?
Tu respuesta al paso 2un número, en nm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El F.E.A. del cromo
COMP2
Con dos átomos por celda, ¿cuánto vale el F.E.A. del cromo?
Tu respuesta al paso 3un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El F.E.A. del platino
COMP2
El platino es FCC. ¿Cuánto vale su F.E.A.?
Tu respuesta al paso 4un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El F.E.A. es un cociente de volúmenes, y en el modelo de esferas rígidas el radio es proporcional a la arista.
2. Por eso sale el mismo para todos los metales de una estructura: 0,68 en la BCC y 0,74 en la FCC.
3. Cromo y tántalo dan 0,68; platino y plata, 0,74, con aristas distintas en los cuatro.

Resolución completa

El atajo. En el modelo de esferas rígidas el radio es una fracción fija de la arista, así que el F.E.A. no depende de $a$ :

\text{BCC:}\ \ \frac{2\cdot\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{3}a}{4}\right)^{3}}{a^{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} = 0{,}680 \qquad \text{FCC:}\ \ \frac{4\cdot\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2\sqrt{2}}\right)^{3}}{a^{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = 0{,}740

Los cuatro metales.

Metal	Estructura	a (nm)	R (nm)	F.E.A.
Cromo	BCC	0,289	0,1251	0,68
Tántalo	BCC	0,330	0,1429	0,68
Platino	FCC	0,393	0,1389	0,74
Plata	FCC	0,409	0,1446	0,74

El listado no publica resultado para este ejercicio. Los dos valores son los que dan las transparencias para cada estructura, y las cuatro cuentas con números llegan a ellos. Lo que el ejercicio enseña de verdad es a reconocer un dato que sobra.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.6 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La densidad del molibdeno

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El molibdeno tiene una estructura cristalina BCC, un radio atómico de $0{,}1363\ \text{nm}$ y un peso atómico de $95{,}94\ \text{g/mol}$ . Calcula su densidad.

La densidad teórica del molibdeno, en g/cm³.

01
Reconocer el camino
COMP1
La densidad es la masa de los átomos de la celda entre su volumen. ¿Qué dos cosas de la BCC hacen falta?
02
La arista
COMP2
¿Cuánto mide la arista de la celda, en nm?
Tu respuesta al paso 2un número, en nm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La densidad
COMP2
¿Cuánto vale la densidad del molibdeno?
Tu respuesta al paso 3una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la cuenta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La masa de la celda son dos átomos: $2\cdot 95{,}94/N_A$ gramos.
2. El volumen de la celda es $a^{3}$ , con $a = 4R/\sqrt{3}$ pasada a centímetros.
3. El cociente da 10,21 g/cm³, muy cerca de la densidad medida del molibdeno.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.7 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El radio del paladio, a partir de la densidad

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula el radio de un átomo de paladio sabiendo que el Pd tiene una estructura cristalina FCC, una densidad de $12{,}0\ \text{g/cm}^{3}$ y un peso atómico de $106{,}4\ \text{g/mol}$ .

El radio atómico del paladio, en centímetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
Es la fórmula de la densidad leída al revés. ¿Qué se despeja primero?
02
La arista
COMP2
¿Cuánto mide la arista de la celda, en centímetros?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El radio
COMP2
¿Cuánto vale el radio del átomo de paladio?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el despeje. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De $\rho = 4A/(a^{3}N_A)$ sale $a^{3} = 5{,}889\cdot 10^{-23}$ cm³.
2. La raíz cúbica da $a = 3{,}890\cdot 10^{-8}$ cm.
3. En la FCC los átomos se tocan por la diagonal de la cara, así que $R = a/(2\sqrt{2}) = 1{,}38\cdot 10^{-8}$ cm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.8 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El volumen de la celdilla del circonio

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El circonio tiene una estructura cristalina HC y una densidad de $6{,}51\ \text{g/cm}^{3}$ . Si su peso atómico es $91{,}2\ \text{g/mol}$ . ¿Cuál es el volumen de la celdilla unidad en metros cúbicos?

El volumen de la celdilla unidad del circonio, en m³.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántos átomos lleva la celdilla HC de las transparencias, el prisma hexagonal entero?
02
La masa de la celdilla
COMP2
¿Cuánta masa hay dentro de una celdilla?
Tu respuesta al paso 2una masa, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El volumen
COMP2
¿Cuál es el volumen de la celdilla, en metros cúbicos?
Tu respuesta al paso 3un volumen, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la cuenta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La celdilla HC lleva seis átomos, así que su masa es $6\cdot 91{,}2/N_A$ gramos.
2. Dividida por la densidad da el volumen, en cm³ porque la densidad venía en g/cm³.
3. Multiplicado por $10^{-6}$ queda en m³: $1{,}396\cdot 10^{-28}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.9 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

FCC o BCC, decidido con la densidad

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El rodio, Rh, tiene un radio atómico de $1{,}345\cdot 10^{-8}\ \text{cm}$ y una densidad de $12{,}41\ \text{g/cm}^{3}$ . Determina si tiene estructura cristalina FCC o BCC. Peso atómico: $102{,}91\ \text{g/mol}$ .

Si el rodio es FCC o BCC, con la cuenta que lo decide.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se decide entre las dos estructuras?
02
La densidad si fuera FCC
COMP2
Suponiendo que es FCC, ¿qué densidad tendría?
Tu respuesta al paso 2una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La densidad si fuera BCC
COMP2
Y suponiendo que es BCC, ¿qué densidad tendría?
Tu respuesta al paso 3una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la decisión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con la hipótesis FCC la densidad teórica sale 12,41 g/cm³, igual que la medida.
2. Con la BCC sale 11,40 g/cm³, un 8 % por debajo.
3. Luego el rodio es FCC.

Resolución completa

Las dos hipótesis. Cada estructura fija el número de átomos y la arista:

	n	a	$\rho$ teórica
FCC	4	$2\sqrt{2}\,R = 3{,}804\cdot 10^{-8}$ cm	12,41 g/cm³
BCC	2	$4R/\sqrt{3} = 3{,}106\cdot 10^{-8}$ cm	11,40 g/cm³

Con $\rho = n\,A/(a^{3}N_A)$ y $N_A = 6{,}023\cdot 10^{23}$ .

La decisión. La densidad medida es 12,41 g/cm³, que es exactamente la de la hipótesis FCC. El rodio es FCC, como dice el listado.

Fíjate en que las dos densidades no están muy lejos, un 8 %. Por eso conviene hacer las dos cuentas con cuidado: con un redondeo brusco de la arista la diferencia se puede comer.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.10 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una celda que no es cúbica

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Esta es la celda unidad de un hipotético metal:

a) ¿A qué sistema cristalino pertenece esta celda unidad?

b) ¿Cómo se llama esta estructura cristalina?

c) Calcula la densidad del material sabiendo que su peso atómico es $114\ \text{g/mol}$ .

La figura, descrita: un prisma recto de base cuadrada, con las dos aristas de la base de $0{,}30\ \text{nm}$ (sobre los ejes $x$ e $y$ ) y la altura de $0{,}40\ \text{nm}$ (sobre el eje $z$ ). Los tres ángulos entre aristas están marcados como de 90°. Hay un átomo en cada uno de los ocho vértices y otro en el centro del prisma.

El sistema cristalino, el nombre de la estructura y la densidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Tres ángulos de 90°, dos aristas de 0,30 nm y una de 0,40. ¿Qué sistema cristalino es?
02
Los átomos de la celda
COMP2
¿Cuántos átomos pertenecen a la celda?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La densidad
COMP2
¿Cuánto vale la densidad del material?
Tu respuesta al paso 3una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta a los tres apartados. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Dos aristas iguales, una distinta y tres ángulos rectos: sistema tetragonal.
2. b) Con un átomo en cada vértice y otro en el centro, es la estructura tetragonal centrada en el cuerpo.
3. c) Dos átomos en $0{,}036\ \text{nm}^{3}$ dan una densidad de 10,5 g/cm³.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.11 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El titanato de bario, densidad y empaquetamiento

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula la densidad ( $\text{g/cm}^{3}$ ) del titanato de bario ( $\text{BaTiO}_3$ ) y su factor de empaquetamiento atómico.

Datos: $A_{\text{Ba}} = 137{,}3\ \text{g/mol}$ , $A_{\text{Ti}} = 47{,}8\ \text{g/mol}$ , $A_{\text{O}} = 16\ \text{g/mol}$ , $a = 0{,}434\ \text{nm}$ , $r_{\text{Ti}^{4+}} = 0{,}071\ \text{nm}$ , $r_{\text{Ba}^{2+}} = 0{,}113\ \text{nm}$ , $r_{\text{O}^{2-}} = 0{,}140\ \text{nm}$ .

La figura, descrita: una celda cúbica con un ion $\text{Ba}^{2+}$ en cada vértice, un ion $\text{Ti}^{4+}$ en el centro del cubo y un ion $\text{O}^{2-}$ en el centro de cada una de las seis caras.

La densidad del titanato de bario y su factor de empaquetamiento, en porcentaje.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas unidades de fórmula $\text{BaTiO}_3$ hay en la celda?
02
La densidad
COMP2
¿Cuánto vale la densidad del titanato de bario?
Tu respuesta al paso 2una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El factor de empaquetamiento
COMP2
¿Qué porcentaje del volumen de la celda ocupan los iones?
Tu respuesta al paso 3un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura del resultado. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La celda contiene exactamente una unidad de fórmula: un bario, un titanio y tres oxígenos.
2. Con ella, la densidad sale 4,73 g/cm³ y los iones ocupan el 51,4 % del volumen.
3. Es menos que el 74 % de una FCC metálica porque los iones son de tamaños muy distintos y no encajan como esferas iguales.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.12 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El empaquetamiento de la espinela, sin saber cuántas fórmulas caben

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La celda unidad del compuesto $\text{MgO}\cdot\text{Fe}_2\text{O}_3$ tiene una simetría cúbica con una longitud de lado igual a $0{,}836\ \text{nm}$ . Si la densidad de este material es de $4{,}52\ \text{g/cm}^{3}$ , determina su factor de empaquetamiento atómico.

Datos: $A_{\text{Fe}} = 55{,}85\ \text{g/mol}$ , $A_{\text{O}} = 16\ \text{g/mol}$ , $A_{\text{Mg}} = 24{,}32\ \text{g/mol}$ , $r_{\text{Fe}^{3+}} = 0{,}069\ \text{nm}$ , $r_{\text{O}^{2-}} = 0{,}140\ \text{nm}$ , $r_{\text{Mg}^{2+}} = 0{,}072\ \text{nm}$ .

El factor de empaquetamiento atómico, en porcentaje.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para el F.E.A. hay que saber cuántos iones hay en la celda, y el enunciado no lo dice. ¿De dónde sale?
02
Las unidades de fórmula
COMP2
¿Cuántas unidades de fórmula $\text{MgFe}_2\text{O}_4$ hay en la celda?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El factor de empaquetamiento
COMP2
Con ocho fórmulas por celda, ¿qué porcentaje del volumen ocupan los iones?
Tu respuesta al paso 3un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La densidad, el volumen de la celda y la masa molar dan el número de unidades de fórmula: 7,95, es decir ocho.
2. Ocho fórmulas son 8 iones de magnesio, 16 de hierro y 32 de oxígeno.
3. Sus volúmenes, entre el de la celda, dan un F.E.A. del 68,9 %.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.13 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El empaquetamiento de la alúmina, en celda hexagonal

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La celda unidad de la alúmina, $\text{Al}_2\text{O}_3$ , tiene una simetría hexagonal con los siguientes parámetros de red: $a = 0{,}4759\ \text{nm}$ y $b = 1{,}2989\ \text{nm}$ . Si su densidad es de $3{,}99\ \text{g/cm}^{3}$ , calcula su factor de empaquetamiento atómico.

Datos: $A_{\text{Al}} = 27\ \text{g/mol}$ , $A_{\text{O}} = 16\ \text{g/mol}$ , $r_{\text{Al}^{3+}} = 0{,}053\ \text{nm}$ , $r_{\text{O}^{2-}} = 0{,}140\ \text{nm}$ .

El factor de empaquetamiento atómico de la alúmina, en porcentaje.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado llama $b$ al segundo parámetro. En una celda hexagonal, ¿qué es ese 1,2989 nm?
02
El volumen de la celda
COMP2
¿Cuánto vale el volumen de la celda hexagonal, en nm³?
Tu respuesta al paso 2un número, en nm³ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Las unidades de fórmula
COMP2
¿Cuántas unidades de fórmula $\text{Al}_2\text{O}_3$ hay en la celda?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El factor de empaquetamiento
COMP2
¿Qué porcentaje del volumen de la celda ocupan los iones?
Tu respuesta al paso 4un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El segundo parámetro es la altura del prisma hexagonal, y con él el volumen de la celda es 0,7643 nm³.
2. La densidad da dieciocho fórmulas por celda: 36 aluminios y 54 oxígenos.
3. Sus volúmenes entre el de la celda dan un F.E.A. del 84 %.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.14 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La magnesia, una sal gema con otros iones

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Considera la estructura de la celda unidad del mineral óxido de magnesio o magnesia:

a) ¿De qué tipo de estructura cristalina se trata?

b) ¿Es un material cerámico con alto o bajo carácter iónico? ¿Por qué?

c) Calcula su densidad sabiendo que los pesos atómicos del Mg y el O son 24 y 16 g/mol, respectivamente, y los radios iónicos: $r_{\text{Mg}^{2+}} = 0{,}072\ \text{nm}$ y $r_{\text{O}^{2-}} = 0{,}140\ \text{nm}$ .

La figura, descrita: una celda cúbica con iones $\text{O}^{2-}$ (esferas grandes) en los ocho vértices y en los centros de las seis caras, e iones $\text{Mg}^{2+}$ (esferas pequeñas) en los centros de las doce aristas y en el centro del cubo.

El tipo de estructura, el carácter iónico y la densidad de la magnesia.

01
Reconocer el camino
COMP1
a) ¿Qué estructura es?
02
Reconocer el camino
COMP1
b) ¿Alto o bajo carácter iónico?
03
La arista
COMP2
¿Cuánto mide la arista de la celda, en nm?
Tu respuesta al paso 3un número, en nm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La densidad
COMP2
c) ¿Cuánto vale la densidad de la magnesia?
Tu respuesta al paso 4una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cociente de radios, 0,514, da coordinación 6: estructura tipo NaCl, con cuatro unidades de fórmula por celda.
2. Catión y anión se tocan a lo largo de la arista, así que $a = 2\,(r_{\text{Mg}} + r_{\text{O}}) = 0{,}424$ nm.
3. Con cuatro fórmulas de 40 g/mol, la densidad sale 3,5 g/cm³.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.15 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Los índices de Miller de cuatro direcciones

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribe los índices de Miller de las siguientes direcciones cristalográficas:

La figura, descrita: una celda cúbica con el origen en el vértice donde se cortan los ejes $x$ , $y$ , $z$ , y la arista como unidad. Las cuatro flechas van de un punto a otro de la celda:

Dirección	sale de	llega a
A (azul)	el vértice del eje $x$ , $(1, 0, 0)$	el extremo del eje $z$ , $(0, 0, 1)$
B (negra)	el punto medio de la arista inferior de la cara $y = 1$ , $(1/2, 1, 0)$	el vértice $(1, 0, 1)$
C (roja)	un punto de la arista superior trasera, $(0, 3/4, 1)$	el vértice del eje $x$ , $(1, 0, 0)$
D (verde)	el origen, $(0, 0, 0)$	el punto medio de la arista vertical trasera derecha, $(0, 1, 1/2)$

Los índices de Miller de las direcciones A, B, C y D.

01
Reconocer el camino
COMP1
Una flecha que no sale del origen, ¿cómo se convierte en índices?
02
La dirección A
COMP2
¿Cuáles son los índices de la dirección A?
Tu respuesta al paso 2tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
03
La dirección B
COMP2
¿Cuáles son los índices de la dirección B?
Tu respuesta al paso 3tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
04
La dirección C
COMP2
¿Cuáles son los índices de la dirección C?
Tu respuesta al paso 4tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
05
La dirección D
COMP2
¿Cuáles son los índices de la dirección D?
Tu respuesta al paso 5tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se leen en la figura el punto de salida y el de llegada, con la arista como unidad.
2. Se resta llegada menos salida: son las proyecciones del vector sobre los tres ejes.
3. Se multiplican por el número más pequeño que las deje enteras, y los negativos se escriben con una barra encima.

Resolución completa

El método. Punto final menos punto inicial, y los enteros más pequeños con esa proporción. Los negativos llevan la barra encima.

	salida	llegada	resta	índices
A	$(1, 0, 0)$	$(0, 0, 1)$	$(-1, 0, 1)$	$[\overline{1}\,0\,1]$
B	$(1/2, 1, 0)$	$(1, 0, 1)$	$(1/2, -1, 1)$	$[1\,\overline{2}\,2]$
C	$(0, 3/4, 1)$	$(1, 0, 0)$	$(1, -3/4, -1)$	$[4\,\overline{3}\,\overline{4}]$
D	$(0, 0, 0)$	$(0, 1, 1/2)$	$(0, 1, 1/2)$	$[0\,2\,1]$

Los cuatro coinciden con el listado. Los puntos de salida y llegada están leídos de su figura, que aquí va descrita; en el examen la lectura es la mitad del ejercicio, así que conviene comprobarla: C sale a tres cuartos de la arista superior trasera, no a la mitad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.16 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Los índices de Miller de doce planos

paso 1 de 8

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Escribe los índices de Miller de los siguientes planos cristalográficos:

La figura, descrita: doce celdas cúbicas, de la a) a la l), cada una con un plano sombreado. El origen está en el vértice donde se cortan los ejes $x$ , $y$ , $z$ , y la arista es la unidad. Para cada plano se dan los vértices del polígono que dibuja dentro de la celda:

Plano	vértices del polígono sombreado
a	(1, 1, 1), (0, 2/3, 1), (0, 1, 0)
b	(1, 0, 0), (1, 0, 1), (0, 1/3, 1), (0, 1/3, 0)
c	(1, 0, 1/3), (0, 0, 1/3), (0, 1, 0), (1, 1, 0)
d	(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 1)
e	(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1/2), (1, 0, 1/2)
f	(1, 1/2, 1), (0, 1/2, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0)
g	(0, 0, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)
h	(0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1/2)
i	(0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1/3, 0), (0, 1/3, 0)
j	(1/2, 0, 1), (1/2, 1, 1), (1, 1, 1/2), (1, 0, 1/2)
k	(0, 0, 1), (1/2, 1, 1), (0, 1, 0)
l	(2/3, 0, 1), (1, 1/2, 1), (1, 1/2, 0), (2/3, 0, 0)

Los índices de Miller de los doce planos.

01
Reconocer el camino
COMP1
El plano d pasa por el origen. ¿Qué se hace?
02
El plano b
COMP2
Con el origen en su sitio, ¿cuáles son los índices del plano b?
Tu respuesta al paso 2tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
03
El plano a
COMP2
El listado lleva el origen al vértice $(0, 1, 1)$ . Desde allí, ¿cuáles son los índices del plano a?
Tu respuesta al paso 3tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
04
El plano d
COMP2
Lleva el origen al vértice $(0, 0, 1)$ . ¿Cuáles son los índices del plano d?
Tu respuesta al paso 4tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
05
El plano h
COMP2
Lleva el origen al vértice $(0, 1, 0)$ . ¿Cuáles son los índices del plano h?
Tu respuesta al paso 5tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
06
El plano j
COMP2
Lleva el origen al vértice $(1, 0, 1)$ . ¿Cuáles son los índices del plano j, ya reducidos?
Tu respuesta al paso 6tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
07
El plano l
COMP2
Lleva el origen al vértice $(1, 0, 0)$ . ¿Cuáles son los índices del plano l?
Tu respuesta al paso 7tres índices entre paréntesis, separados por comas, con su signo — componentes separadas por comas
08
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Si el plano pasa por el origen, se lleva el origen a otro vértice de la celda.
2. Se leen los cortes con los tres ejes, con su signo; un plano paralelo a un eje lo corta en el infinito.
3. Se toman los inversos —el de infinito es cero— y se pasan a los enteros más pequeños.

Resolución completa

El método. Cortes con los ejes, inversos, enteros más pequeños. Si el plano pasa por el origen, se mueve el origen. Con el origen en su sitio o en otro vértice pueden salir los mismos índices con todos los signos cambiados, y es el mismo plano.

Plano	origen	cortes	índices	listado
a	$(0, 1, 1)$	$1,\ -\tfrac{1}{3},\ -1$	$(1\,\overline{3}\,\overline{1})$	igual
b	$(0, 0, 0)$	$1,\ \tfrac{1}{3},\ \infty$	$(1\,3\,0)$	igual
c	$(0, 0, 0)$	$\infty,\ 1,\ \tfrac{1}{3}$	$(0\,1\,3)$	igual
d	$(0, 0, 1)$	$1,\ \infty,\ -1$	$(1\,0\,\overline{1})$	igual
e	$(1, 0, 1)$	$-1,\ \infty,\ -\tfrac{1}{2}$	$(\overline{1}\,0\,\overline{2})$	igual
f	$(0, 1, 1)$	$\infty,\ -\tfrac{1}{2},\ -1$	$(0\,\overline{2}\,\overline{1})$	igual
g	$(0, 0, 1)$	$1,\ 1,\ -1$	$(1\,1\,\overline{1})$	igual
h	$(0, 1, 0)$	$1,\ -1,\ \tfrac{1}{2}$	$(1\,\overline{1}\,2)$	igual
i	$(0, 0, 0)$	$\infty,\ \tfrac{1}{3},\ 1$	$(0\,3\,1)$	igual
j	$(1, 0, 1)$	$-\tfrac{1}{2},\ \infty,\ -\tfrac{1}{2}$	$(\overline{1}\,0\,\overline{1})$	$(\overline{2}\,0\,\overline{2})$
k	$(0, 1, 1)$	$\tfrac{1}{2},\ -1,\ -1$	$(2\,\overline{1}\,\overline{1})$	igual
l	$(1, 0, 0)$	$-\tfrac{1}{3},\ \tfrac{1}{2},\ \infty$	$(\overline{3}\,2\,0)$	igual

En a, e, f, k y l el listado no usa el origen de los ejes aunque el plano no pase por él. Con el origen en su sitio salen $(\overline{1}\,3\,1)$ , $(1\,0\,2)$ , $(0\,2\,1)$ , $(\overline{2}\,1\,1)$ y $(3\,\overline{2}\,0)$ : los mismos planos, con todos los signos cambiados.

El plano j no coincide. El listado imprime $(\overline{2}\,0\,\overline{2})$ , que es el resultado antes de reducir. Las transparencias del tema reducen siempre —un corte en $1/2$ da inversos $2\ 0\ 0$ y se escribe $(1\,0\,0)$ —, así que aquí se da $(\overline{1}\,0\,\overline{1})$ , que con el origen en su sitio es $(1\,0\,1)$ . Los puntos del polígono están comprobados en la figura: el plano corta por su punto medio las dos aristas de la cara superior paralelas al eje $x$ , y también las dos aristas verticales de la cara de delante.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.17 · Tema 3, «Estructuras cristalinas. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Densidades lineales y planares en la FCC y la BCC

paso 1 de 10

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determina las densidades lineales y planares en los siguientes casos:

a) $[110]$ y $[111]$ en la estructura FCC.

b) $[110]$ y $[111]$ en la estructura BCC.

c) $(100)$ y $(111)$ en la estructura FCC.

d) $(100)$ y $(110)$ en la estructura BCC.

Las ocho densidades, como fracción de longitud o de área ocupada.

01
Reconocer el camino
COMP1
En estas transparencias, ¿qué es la densidad lineal de una dirección?
02
FCC, dirección [110]
COMP2
¿Cuánto vale la densidad lineal de la dirección $[110]$ en la FCC?
Tu respuesta al paso 2un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
FCC, dirección [111]
COMP2
¿Y la de la dirección $[111]$ en la FCC?
Tu respuesta al paso 3un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
BCC, dirección [110]
COMP2
¿Cuánto vale la densidad lineal de la dirección $[110]$ en la BCC?
Tu respuesta al paso 4un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
BCC, dirección [111]
COMP2
¿Y la de la dirección $[111]$ en la BCC?
Tu respuesta al paso 5un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
FCC, plano (100)
COMP2
¿Cuánto vale la densidad planar del plano $(100)$ en la FCC?
Tu respuesta al paso 6un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
FCC, plano (111)
COMP2
¿Y la del plano $(111)$ en la FCC?
Tu respuesta al paso 7un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
08
BCC, plano (100)
COMP2
¿Cuánto vale la densidad planar del plano $(100)$ en la BCC?
Tu respuesta al paso 8un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
09
BCC, plano (110)
COMP2
¿Y la del plano $(110)$ en la BCC?
Tu respuesta al paso 9un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
10
Justificar el argumento
COMP4
Ordena lo que dicen los ocho números. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En la FCC la dirección llena es la $[110]$ y el plano más denso, el $(111)$ , con un 90,7 %.
2. En la BCC la dirección llena es la $[111]$ y el plano más denso, el $(110)$ , con un 83,3 %.
3. Son justo las direcciones y los planos por donde se deslizan los átomos en la deformación plástica.

Resolución completa

Las relaciones de partida. FCC: $a = 2\sqrt{2}\,R$ . BCC: $a = 4R/\sqrt{3}$ . Solo cuentan los átomos centrados en la recta o en el plano, y por la fracción que cae dentro.

	caso	átomos	longitud o área	densidad
a	FCC $[110]$	2 diámetros	$\sqrt{2}\,a = 4R$	1,000
a	FCC $[111]$	1 diámetro	$\sqrt{3}\,a = 2\sqrt{6}\,R$	0,408
b	BCC $[110]$	1 diámetro	$\sqrt{2}\,a$	0,612
b	BCC $[111]$	2 diámetros	$\sqrt{3}\,a = 4R$	1,000
c	FCC $(100)$	2 círculos	$a^{2} = 8R^{2}$	0,785
c	FCC $(111)$	2 círculos	$\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2} = 4\sqrt{3}\,R^{2}$	0,907
d	BCC $(100)$	1 círculo	$a^{2} = 16R^{2}/3$	0,589
d	BCC $(110)$	2 círculos	$\sqrt{2}\,a^{2}$	0,833

Siete coinciden con el listado a la tercera cifra.

La $[111]$ de la FCC. El listado imprime 0,410, y la cuenta exacta es $1/\sqrt{6} = 0{,}408$ . Es el mismo planteamiento —dos radios entre la diagonal del cubo— con un redondeo de más en algún paso intermedio. La casilla acepta los dos.

Lo que hay que llevarse. Las direcciones que salen 1,000 son las de contacto de cada estructura, y los planos más densos son los de deslizamiento. Eso conecta este ejercicio con la parte 3 del tema: una dislocación se mueve por donde los átomos están más juntos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaProblema 1 · Tema 3, parte 2, «Defectos cristalinos. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La densidad de una aleación, con el soluto en sus dos sitios

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La aleación de dos metales hipotéticos A-B presenta una estructura FCC con parámetro de red $a = 0{,}358\ \text{nm}$ . Si la concentración másica del elemento B es del $0{,}8\ \%$ , calcula la densidad de la aleación en dos casos:

a) La aleación es substitucional.

b) La aleación es intersticial.

Datos: $M(\text{A}) = 56\ \text{g/mol}$ , $M(\text{B}) = 12\ \text{g/mol}$ .

*NOTA: Las relaciones entre átomos en las soluciones intersticiales serían aceptables si se utilizan 4/100 y 10/100 (en lugar de 4/96 y 10/90), ya que no se especifica.

La densidad de la aleación si B sustituye a A y si B se mete en los huecos.

01
Reconocer el camino
COMP1
La red es FCC y el parámetro es el mismo en los dos casos. ¿Qué cambia en la celda entre el apartado a) y el b)?
02
De porcentaje en masa a porcentaje atómico
COMP2
La celda se llena con átomos, no con gramos. ¿Qué porcentaje de los átomos de la aleación son de B?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La densidad de la aleación substitucional
COMP2
Los 4 nudos de la celda FCC se reparten entre A y B según esa fracción atómica. ¿Cuánto vale la densidad?
Tu respuesta al paso 3una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La densidad de la aleación intersticial
COMP2
Ahora los 4 nudos son de A y los átomos de B van en los huecos, a razón de 3,63 átomos de B por cada 96,37 de A. ¿Cuánto vale la densidad?
Tu respuesta al paso 4una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La celda se llena con átomos, así que primero se pasa el 0,8 % en masa a fracción atómica: un 3,63 % de los átomos son de B.
2. En la sustitucional los 4 nudos se reparten entre A y B, la celda pierde masa porque B es más ligero, y la densidad sale 7,88.
3. En la intersticial los 4 nudos siguen siendo de A y B se añade en los huecos, así que la densidad sube hasta 8,17.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaProblema 2 · Tema 3, parte 2, «Defectos cristalinos. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado no publica resultado de este problema; el desarrollo es nuestro.

Un lingote de cromo que pesa más de lo que debería

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un laboratorio recibe un lingote metálico de $294{,}92\ \text{g}$ y $2\times 2\times 10\ \text{cm}$ , sin defecto macroscópico. El único dato del lingote es la etiqueta que dice “Cr-BCC”.

a) ¿Qué tipo de defectos dirías que tiene? ¿Por qué?

b) Posteriormente, el laboratorio recibe información de que tiene un $10\ \%$ de impurezas intersticiales. ¿Dichas impurezas de qué átomos son? ¿Por qué?

Datos: $M(\text{Cr}) = 52{,}01\ \text{g/mol}$ , $R(\text{Cr}) = 0{,}1249\ \text{nm}$ .

*NOTA: Las relaciones entre átomos en las soluciones intersticiales serían aceptables si se utilizan 4/100 y 10/100 (en lugar de 4/96 y 10/90), ya que no se especifica.

Qué defectos tiene el lingote y de qué átomos son sus impurezas intersticiales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Del lingote solo sabes la masa, las medidas y la etiqueta. ¿Qué comparación te dice qué defectos tiene?
02
La densidad de la celda perfecta
COMP2
¿Cuánto vale la densidad teórica del cromo BCC, sin ningún defecto?
Tu respuesta al paso 2una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Reconocer el camino
COMP1
El lingote tiene $294{,}92/40 = 7{,}373\ \text{g/cm}^{3}$ , un 2,4 % más que la celda perfecta. ¿Qué defectos lo explican?
04
La masa molar de la impureza
COMP2
Hay un 10 % de átomos intersticiales. ¿Qué masa molar sale para ese átomo?
Tu respuesta al paso 4una masa molar en g/mol, sin la unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La celda BCC perfecta de cromo tiene una densidad de 7,20 g/cm³, y el lingote tiene 7,373.
2. Hay más masa de la que cabe en una red perfecta, así que sobran átomos: intersticiales, o sustitucionales más pesados que el Cr.
3. Con un 10 % de intersticiales, cada celda lleva 2·10/90 = 0,22 átomos extra, y la masa que sobra da entre 11 y 13 g/mol.
4. Es un átomo pequeño, de los que caben en los huecos, y con esa masa el que encaja es el carbono.

Resolución completa

La celda perfecta. En la BCC los átomos se tocan por la diagonal del cubo, así que $a = 4R/\sqrt{3} = 0{,}2884\ \text{nm}$ y $a^{3} = 2{,}400\cdot 10^{-23}\ \text{cm}^{3}$ . Con 2 átomos por celda:

\rho_{\text{teórica}} = \frac{2\cdot 52{,}01}{6{,}022\cdot 10^{23}\cdot 2{,}400\cdot 10^{-23}} = 7{,}20\ \text{g/cm}^{3}

a) El lingote. $\rho = 294{,}92/(2\cdot 2\cdot 10) = 7{,}373\ \text{g/cm}^{3}$ , un 2,4 % más que la celda perfecta. El enunciado descarta los defectos macroscópicos, y las vacantes restarían masa. Sobran átomos: son defectos puntuales que añaden masa, átomos intersticiales o impurezas sustitucionales más pesadas que el cromo.

b) La impureza. Un mol de celdas del lingote pesa $7{,}373\cdot 14{,}45 = 106{,}55\ \text{g}$ , de los que el cromo pone $104{,}02$ . Sobran $2{,}53\ \text{g}$ , repartidos entre $2\cdot 10/90 = 0{,}222$ átomos de impureza por celda:

M_X = \frac{2{,}53}{0{,}222} = 11{,}4\ \text{g/mol}

Con la relación 10/100 de la nota sale 12,7. Los átomos pequeños que ocupan huecos intersticiales son H, B, C, N y O, y los únicos con una masa entre 11 y 13 son el boro, 10,8, y el carbono, 12,0. Es carbono: es el único que encaja con las dos relaciones de la nota, y es el intersticial clásico en los metales BCC, el mismo que el acero lleva en el hierro.

El listado no publica el resultado. Conviene saber que el número es delicado: con la relación 10/90 el 11,4 cae justo a medio camino entre el boro y el carbono, y redondear el parámetro de red a 0,2884 lo acerca al boro. La conclusión se apoya en la relación 10/100, que la nota admite, y en cuál de los dos es el intersticial habitual.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.18 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La cortadura resuelta en un monocristal BCC

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se ensaya un monocristal BCC en su dirección $[010]$ bajo una tensión de tracción de $52\ \text{MPa}$ .

a) Calcula la tensión de cortadura resuelta en el plano $(110)$ y en la dirección $[111]$ .

b) Suponiendo que el deslizamiento ocurre en el sistema mencionado y sabiendo que la tensión de cortadura resuelta crítica es de $30\ \text{MPa}$ , calcula la tensión de tracción necesaria para que comience la deformación plástica.

La tensión de cortadura resuelta a 52 MPa y la tracción que hace deslizar el cristal.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $\tau_R = \sigma\cos\phi\cos\lambda$ , ¿qué ángulos son $\phi$ y $\lambda$ ?
02
La tensión de cortadura resuelta
COMP2
Con la tracción de $52\ \text{MPa}$ en $[010]$ , ¿cuánto vale $\tau_R$ en el sistema del enunciado?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La tracción que hace deslizar
COMP2
Si $\tau_{\text{crss}} = 30\ \text{MPa}$ , ¿qué tracción hace falta para que empiece la deformación plástica?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La normal a (110) es la dirección [110], y forma 45° con la tracción [010], así que cos φ = 1/√2.
2. La dirección de deslizamiento, [1̄11] en la figura, forma con [010] un ángulo de coseno 1/√3.
3. A 52 MPa la cortadura resuelta vale 21,2 MPa, por debajo de los 30 críticos: el cristal todavía no desliza.
4. Para que deslice hace falta σ = 30/0,408 = 73,5 MPa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.19 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La cortadura resuelta en un FCC, con una barra perdida

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula la tensión de cortadura resuelta para un monocristal con estructura FCC en el plano $(111)$ y dirección $[101]$ , cuando se aplica un esfuerzo de tracción de $0{,}069\ \text{MPa}$ en la dirección $[001]$ .

La tensión de cortadura resuelta en el sistema del enunciado.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada, ¿está la dirección $[101]$ contenida en el plano $(111)$ ?
02
El ángulo phi
COMP2
¿Cuánto vale el ángulo $\phi$ entre la normal al plano $(111)$ y la tracción, en grados?
Tu respuesta al paso 2un ángulo en grados, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La tensión de cortadura resuelta
COMP2
¿Cuánto vale $\tau_R$ ?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La normal al plano (111) es la dirección [111], y con la tracción [001] forma φ = 54,7°.
2. [101] no está en (111); la dirección que sí está es [1̄01], o su opuesta [101̄], y forma 45° con [001].
3. τ = 0,069 · cos 54,7° · cos 45° = 0,069 · 0,408 = 0,0282 MPa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.20 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El radio que tenía antes del trabajo en frío

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una probeta cilíndrica de cobre que ha sido trabajada en frío presenta una ductilidad del 15 %. Tras el trabajo en frío tiene un radio de $6{,}4\ \text{mm}$ . ¿Cuál era el radio inicial de la probeta? (Ver figura 1).

El radio de la probeta antes del trabajo en frío.

01
Reconocer el camino
COMP1
La ductilidad no se calcula: se lee. ¿Qué te dice el 15 % de alargamiento?
02
El trabajo en frío que corresponde al 15 %
COMP2
En el panel de ductilidad de la figura 1, ¿con qué porcentaje de trabajo en frío baja el cobre a un 15 % de alargamiento?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio inicial
COMP2
Con ese trabajo en frío, ¿qué radio tenía la probeta antes?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En el panel de ductilidad de la figura 1, la curva del cobre pasa por el 15 % con un 20 % de trabajo en frío.
2. El trabajo en frío compara secciones: (πr₀² − πr²)/πr₀² = 0,20.
3. Despejando, r₀ = 6,4/√0,8 = 7,16 mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.21 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El trabajo en frío de una placa laminada

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

¿Cuál es el porcentaje de trabajo en frío, para que una placa de dimensiones $1\ \text{cm} \times 6\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ se lamine hasta obtener un espesor de $0{,}5\ \text{cm}$ ?

El porcentaje de trabajo en frío del laminado.

01
Reconocer el camino
COMP1
$\%\,\text{T.F.} = \dfrac{A_0 - A_f}{A_0}\cdot 100$ . En una placa que pasa por los rodillos, ¿qué área es $A$ ?
02
El porcentaje de trabajo en frío
COMP2
El ancho se mantiene en 6 cm. ¿Qué porcentaje de trabajo en frío supone bajar el espesor de 1 a 0,5 cm?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El largo de la placa laminada
COMP2
¿Cuánto mide de largo la placa después del laminado?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El trabajo en frío se mide con la sección que cruza los rodillos, espesor por ancho, antes y después.
2. El ancho no cambia, así que el porcentaje sale del espesor: de 1 a 0,5 cm es un 50 %.
3. El volumen se conserva, así que la placa pasa de 20 a 40 cm de largo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.22 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una placa de cobre que no llega de una vez

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Indica si una placa de cobre de dimensiones $1\ \text{cm} \times 6\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ se puede laminar hasta tener unas dimensiones de $0{,}1\ \text{cm} \times 6\ \text{cm} \times 200\ \text{cm}$ . (Ver figura 1).

Si el cobre admite ese laminado, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué decide si esta placa se puede laminar hasta 0,1 cm?
02
El trabajo en frío pedido
COMP2
Con el ancho constante, ¿qué trabajo en frío supone pasar de 1 a 0,1 cm de espesor?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Lo que le queda al cobre al final de la figura
COMP2
La figura 1 llega hasta un 65 % de trabajo en frío. ¿Qué ductilidad le queda ahí al cobre?
Tu respuesta al paso 3un porcentaje de alargamiento, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El ancho no cambia, así que el trabajo en frío sale del espesor: (1 − 0,1)/1 = 90 %.
2. La figura 1 acaba hacia el 65 %, y ahí al cobre le queda menos de un 4 % de alargamiento.
3. Un 90 % queda fuera de la figura, con la ductilidad agotada: de una sola vez, la placa rompería antes de llegar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.23 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El espesor de partida de una tira de cobre

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

¿Cuál debe ser el espesor inicial de una tira de cobre de $6\ \text{cm}$ de anchura, si tras el trabajo en frío, el límite elástico tiene que ser mayor de $40000\ \text{psi}$ y la ductilidad al menos del 5 % EL? El espesor tras el trabajo en frío es de $0{,}1\ \text{cm}$ . (Ver figura 1).

El intervalo de espesores iniciales que cumplen las dos condiciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay dos condiciones. ¿Qué límite pone cada una sobre el trabajo en frío?
02
El trabajo en frío mínimo
COMP2
¿Con qué trabajo en frío llega el cobre a un límite elástico de 40 000 psi?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El trabajo en frío máximo
COMP2
¿Con qué trabajo en frío baja la ductilidad del cobre al 5 %?
Tu respuesta al paso 3un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El espesor inicial mínimo
COMP2
Con el trabajo en frío mínimo, ¿de qué espesor hay que partir para acabar en 0,1 cm?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El espesor inicial máximo
COMP2
Y con el trabajo en frío máximo, ¿de qué espesor se parte?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. 40 000 psi son 275,8 MPa, y el cobre llega a ese límite elástico con un 27 % de trabajo en frío.
2. La ductilidad del cobre baja al 5 % con un 43 % de trabajo en frío; con más, se queda corta.
3. El trabajo en frío tiene que quedar entre el 27 % y el 43 %.
4. Con e₀ = 0,1/(1 − T.F.), el espesor inicial va de 0,136 a 0,176 cm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.24 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Hilar, recocer y volver a hilar un acero

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra cilíndrica de acero tiene un diámetro inicial de $15{,}2\ \text{mm}$ , y se quiere trabajar en frío mediante hilado. La resistencia a la tracción del material trabajado en frío debe ser de $840\ \text{MPa}$ como mínimo, mientras que la ductilidad debe ser como mínimo del 12 % (alargamiento relativo porcentual). Además, el diámetro de la sección final debe ser de $10\ \text{mm}$ . ¿Cómo puede trabajarse? (Ver figura 1).

Una secuencia de hilado y recocido que deje la barra en 10 mm con las dos propiedades.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Se puede llegar de 15,2 a 10 mm en una sola pasada?
02
El trabajo en frío de una sola pasada
COMP2
¿Qué trabajo en frío supondría ir de 15,2 a 10 mm de una vez?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El tope de la última pasada
COMP2
La última pasada es la que fija las propiedades. ¿Hasta qué trabajo en frío conserva el acero un 12 % de ductilidad?
Tu respuesta al paso 3un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El diámetro antes de la última pasada
COMP2
Si la última pasada es de un 22 %, en el centro de esa ventana, ¿con qué diámetro tiene que llegar la barra a ella?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El trabajo en frío de la primera pasada
COMP2
¿Qué trabajo en frío lleva la primera pasada, de 15,2 mm a ese diámetro?
Tu respuesta al paso 5un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De 15,2 a 10 mm de una vez es un 57 % de trabajo en frío, y la ductilidad del acero se quedaría por debajo del 12 %.
2. Las propiedades finales solo dependen de la última pasada, que tiene que quedar entre un 21 % (840 MPa) y un 23 % (12 % EL).
3. Con un 22 % final, la barra tiene que llegar a la última pasada con 11,3 mm; de 15,2 a 11,3 mm es un 44,5 %.
4. Se hila un 44,5 %, se recuece para devolverle la ductilidad, y se hila el 22 % final.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.25 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una barra de cobre medida en pulgadas

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

A una barra de cobre de $0{,}5$ pulgadas de diámetro se le desea disminuir el diámetro hasta $0{,}3$ pulgadas. ¿Qué propiedades mecánicas se podrían esperar? (Ver figura 1).

El límite elástico, la resistencia a la tracción y la ductilidad del cobre trabajado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué porcentaje hay que buscar en el eje de abajo de la figura 1?
02
El trabajo en frío
COMP2
¿Qué trabajo en frío supone pasar de 0,5 a 0,3 pulgadas?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El límite elástico
COMP2
Con un 64 % de trabajo en frío, ¿qué límite elástico tiene el cobre?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La resistencia a la tracción
COMP2
¿Y qué resistencia a la tracción?
Tu respuesta al paso 4una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La ductilidad
COMP2
¿Y qué ductilidad le queda?
Tu respuesta al paso 5un porcentaje de alargamiento, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El trabajo en frío va con las secciones, y las pulgadas se van: (0,25 − 0,09)/0,25 = 64 %.
2. Con un 64 %, la curva del cobre da un límite elástico de unos 350 MPa.
3. Y una resistencia a la tracción de unos 385 MPa, con un alargamiento de alrededor del 4 %.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.26 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Poisson en un latón, y un cobre que tiene que aguantar lo mismo

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Calcula la fuerza de tracción que hay que aplicar a una barra cilíndrica de latón recocido de $6{,}4\ \text{mm}$ de diámetro, si la deformación es totalmente elástica, para conseguir una reducción de diámetro de $4{,}25\cdot 10^{-3}\ \text{mm}$ , sabiendo que el coeficiente de Poisson, el módulo elástico y el límite elástico de este latón son $0{,}35$ , $10\cdot 10^{4}\ \text{MPa}$ y $200\ \text{MPa}$ , respectivamente.

b) Si se quisiera trabajar también con cobre, ¿cuánto habría que trabajar en frío una barra cilíndrica de este metal para que, bajo las condiciones del apartado anterior, no sufriera deformación plástica? ¿Cuál sería entonces el diámetro de partida necesario? ¿Cuál sería la ductilidad del cobre una vez trabajado? [ $\sigma_y$ (Cu) = 160 MPa, ver figura 1]

La fuerza sobre el latón, y el trabajo en frío, el diámetro de partida y la ductilidad del cobre.

01
Reconocer el camino
COMP1
El dato es una reducción de diámetro, una deformación lateral. ¿Cómo se llega de ahí a la fuerza?
02
La tensión en el latón
COMP2
¿Qué tensión produce esa reducción de diámetro?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza
COMP2
¿Qué fuerza de tracción hay que aplicar?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El trabajo en frío del cobre
COMP2
La barra de cobre tiene que acabar con 6,4 mm y aguantar la misma fuerza sin deformarse plásticamente. ¿Qué trabajo en frío mínimo necesita?
Tu respuesta al paso 4un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El diámetro de partida
COMP2
¿De qué diámetro tiene que partir la barra de cobre para acabar en 6,4 mm con ese trabajo en frío?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
La ductilidad del cobre trabajado
COMP2
¿Qué ductilidad tiene el cobre con ese 7 % de trabajo en frío?
Tu respuesta al paso 6un porcentaje de alargamiento, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La deformación lateral es 4,25·10⁻³/6,4 = 6,64·10⁻⁴, y la axial, entre ν, 1,90·10⁻³.
2. σ = 10⁵ · 1,90·10⁻³ = 189,7 MPa, por debajo de los 200 MPa del latón: la hipótesis elástica se cumple.
3. F = 189,7 · π · 3,2² = 6104 N.
4. El cobre recocido cede a 160 MPa; para aguantar 189,7 necesita al menos un 7 % de trabajo en frío, partiendo de 6,63 mm.
5. Con ese 7 %, al cobre le queda un 31 % de alargamiento.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.27 · Tema 3, «Dislocaciones y mecanismos de endurecimiento. Problemas» · Ciencia de Materiales, UPV/EHU, curso 2025-2026. El listado publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una lámina de aluminio que se lamina dos veces

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere producir una lámina de aluminio para el recubrimiento del fuselaje de un avión comercial. Como el material de suministro tiene un espesor de $5\ \text{mm}$ , se piensa en operaciones de laminado para su producción, manteniendo el ancho de las láminas constantes.

a) Calcula el porcentaje de trabajo en frío de la primera operación de laminado para llegar a un espesor de $2\ \text{mm}$ .

b) ¿Cuál será la resistencia a tracción máxima y la ductilidad en términos de alargamiento relativo?

c) ¿Cuál será la temperatura de recristalización del material después del laminado?

d) El material se mantiene a 200 °C durante una hora. Se lamina de nuevo hasta un $1\ \text{mm}$ de espesor. ¿Cuál será la nueva resistencia a la tracción?

El trabajo en frío, las propiedades tras el laminado, la temperatura de recristalización y la resistencia final.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la gráfica de la izquierda de la figura 2 hay dos curvas. La discontinua es el alargamiento. ¿En qué eje se lee?
02
El trabajo en frío del primer laminado
COMP2
¿Qué trabajo en frío supone bajar de 5 a 2 mm con el ancho constante?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La resistencia a la tracción tras el laminado
COMP2
Con un 60 % de trabajo en frío, ¿qué resistencia a la tracción da la figura 2?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El alargamiento tras el laminado
COMP2
¿Y qué alargamiento relativo, en la curva discontinua?
Tu respuesta al paso 4un porcentaje de alargamiento, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La temperatura de recristalización
COMP2
¿Qué temperatura de recristalización tiene el aluminio después de un 60 % de trabajo en frío?
Tu respuesta al paso 5una temperatura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué le pasa a la lámina laminada al 60 % si se mantiene una hora a 200 °C?
07
La resistencia tras el segundo laminado
COMP2
Recristalizada la lámina, se lamina de 2 a 1 mm. ¿Qué resistencia a la tracción tiene al final?
Tu respuesta al paso 7una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
08
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De 5 a 2 mm con el ancho constante es un 60 % de trabajo en frío.
2. Con un 60 %, la figura 2 da unos 378 MPa de resistencia y alrededor de un 1 % de alargamiento.
3. La temperatura de recristalización tras un 60 % es de unos 178 °C.
4. A 200 °C durante una hora la lámina recristaliza y vuelve a estar como sin trabajar.
5. El segundo laminado, de 2 a 1 mm, es un 50 %, y la resistencia queda en unos 366 MPa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Estructura de los sólidos cristalinos

La celda unidad

Las tres estructuras de los metales

Polimorfismo, y la densidad teórica

Los cerámicos: iones de dos tamaños

Direcciones y planos: los índices de Miller

Densidades lineal y planar

Monocristales, policristales y amorfos

Los defectos

Las dislocaciones son la deformación plástica

Cómo se endurece un metal

El recocido: recuperación, recristalización y crecimiento de grano

Reconocer el camino

Los átomos de una celda FCC

Los átomos de una celda BCC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Los índices de Miller

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El número de coordinación

El factor de empaquetamiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La arista

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El potasio, BCC

El tungsteno, BCC

El iridio, FCC

El aluminio, FCC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El berilio, HCP

El magnesio, HCP

El cobre, FCC

El wolframio, BCC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El radio del cromo

El F.E.A. del cromo

El F.E.A. del platino

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La arista

La densidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La arista

El radio

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La masa de la celdilla

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La densidad si fuera FCC

La densidad si fuera BCC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Los átomos de la celda

La densidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La densidad

El factor de empaquetamiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Las unidades de fórmula

El factor de empaquetamiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen de la celda

Las unidades de fórmula

El factor de empaquetamiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Reconocer el camino

La arista

La densidad