tal cual cayó — sin cambiar un número

Mecánica de Fluidos · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2023-2024

30 de mayo de 2024 · 8 ejercicios

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

La capilaridad entre dos tubos, donde Jurin no sirvePropiedades físicas de los fluidos
Se tienen dos tubos concéntricos, uno exterior de sección cuadrada (de lado $b$ ) y otro interior circular (de diámetro $D$ ). Hay un fluido en el hueco que queda entre ambos.

a) Dibujar la superficie libre del fluido sabiendo que moja al sólido, determinando las fuerzas que condicionan su subida o bajada.

b) Deducir la expresión válida para determinar el ascenso capilar de cualquier fluido.

c) Obtener el ascenso capilar para $D = 2\ \text{mm}$ y $b = 3\ \text{mm}$ , sabiendo que el fluido es un alcohol con una tensión superficial de $3{,}31\cdot 10^{-3}\ \text{J/m}^{2}$ , una densidad de $790\ \text{kg/m}^{3}$ y un ángulo de contacto de $0°$ .
La expresión del ascenso capilar en esta sección y su valor numérico.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La pieza con dos boquillas, y quién pone de verdad la fuerzaAplicaciones de la cantidad de movimiento
Al final de un tubo que transporta agua hay una pieza especial con dos boquillas: una en el punto B, situada a la altura del eje de la tubería principal y con el chorro horizontal hacia delante, y otra en el punto C, cuyo chorro sale hacia atrás y hacia abajo formando $\alpha = 60°$ con la vertical.

Determinar la fuerza —dirección y módulo— del flujo sobre la pieza especial. No considerar pérdidas de carga, diferencias de cota ni el peso del agua.

Datos: $p_A = 13{,}5\ \text{bar}$ ; $\phi_A = 125\ \text{mm}$ ; $\phi_B = 10\ \text{mm}$ ; $v_A = 0{,}8\ \text{m/s}$ ; $c_{c,A} = 1$ ; $c_{c,B} = 0{,}6$ ; $c_{c,C} = 0{,}7$ .
El módulo y la dirección de la fuerza sobre la pieza.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos manómetros redundantes, y cómo saber cuál mienteHidrostática
Dentro de una cámara cerrada C hay dos depósitos presurizados: el A, con aire encima de una columna de líquido $s_1$ de altura $h_1$ , y el B, con aire encima de una columna de $s_3$ de altura $h_3$ . Los dos están comunicados por el fondo a través de un tramo con líquido $s_2$ que asciende $h_2$ .

Un manómetro Bourdon de presiones absolutas $P_1$ , conectado al aire de A, mide $3{,}57\ \text{kg/cm}^{2}$ . Sobre el aire de B hay dos manómetros redundantes, $P_2$ y $P_3$ , y en una revisión se descubre que uno de los dos lee mal.

Un manómetro en U con líquido $s_4$ une la cámara C con el exterior y da una lectura $R$ , y un barómetro de mercurio mide la atmósfera exterior, $H$ .

a) Justificar razonadamente cuál de los manómetros mide incorrectamente.

b) Calcular la presión absoluta en la cámara C (bar).

c) Calcular la densidad relativa del líquido $s_4$ .

Datos: $s_1 = 1{,}2$ ; $s_2 = 13{,}6$ ; $s_3 = 8$ ; $h_1 = 60\ \text{cm}$ ; $h_2 = 40\ \text{cm}$ ; $h_3 = 1{,}5\ \text{m}$ ; $R = 39{,}6\ \text{cm}$ ; $H = 400\ \text{mm}$ ; $P_2 = 1{,}16\cdot 10^{5}$ Pa; $P_3 = 1{,}54\cdot 10^{5}$ Pa.
Cuál de los dos manómetros falla, la presión absoluta de la cámara y la densidad del líquido s4.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La compuerta ABC, y el prisma que no es un triánguloFuerzas sobre superficies
La compuerta ABC de un depósito cerrado está articulada en A y tiene un tope en C. Su profundidad es de $2\ \text{m}$ y el fluido tiene $s = 1{,}5$ .

De arriba abajo: A está en la coronación; $1\ \text{m}$ más abajo empieza el líquido; B está $2\ \text{m}$ por debajo de la lámina; y de B a C hay $2{,}5\ \text{m}$ ocupados por una parte semicilíndrica que sobresale hacia el fluido. El metro superior está ocupado por aire, sobre el que un vacuómetro $P_1$ marca $14{,}7\ \text{kPa}$ .

a) Dibujar los prismas de presiones acotados.

b) Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre la compuerta ABC.

c) Calcular la reacción en el tope C.

Nota: despreciar el peso de la compuerta. Centroide del semicírculo: $4R/(3\pi)$ .
Las dos componentes de la fuerza hidrostática y la reacción en el tope.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El tiempo de vaciado, y por qué el segundo cuarto tarda másAplicaciones de Bernoulli. Aparatos de medida
Se dispone de un depósito abierto de sección rectangular $30\times 25\ \text{cm}$ y altura $1\ \text{m}$ , con un orificio de salida de diámetro $25\ \text{mm}$ situado a $h_0 = 200\ \text{mm}$ sobre el fondo. El factor de paso de la salida es $k = 0{,}11$ .

a) Deducir la expresión del tiempo de vaciado.

b) El depósito está inicialmente lleno y tarda $16\ \text{s}$ en vaciar un cuarto del volumen que contiene. Deducir, sin calcular, si vaciar otro cuarto llevará un tiempo mayor, menor o igual.

c) Calcular el coeficiente de contracción del orificio.
La expresión del tiempo de vaciado, el razonamiento sobre el segundo cuarto y el coeficiente de contracción.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La curva de la bomba, deducida de dos puntos de funcionamientoInstalaciones de bombeo
Se emplea una bomba para elevar agua de un depósito abierto bajo tierra ( $z = -6\ \text{m}$ ) a otro depósito abierto cuya superficie libre está a cota $24\ \text{m}$ . Todas las tuberías son de hierro galvanizado.

En la aspiración hay una válvula de pie con filtro ( $k = 2{,}5$ ) y la salida del depósito es de ángulos redondeados ( $k = 0{,}05$ ). En la impulsión hay tres codos de $90°$ de radio medio ( $k = 0{,}75$ cada uno), una válvula de compuerta abierta ( $k = 0{,}19$ ) y la entrada al depósito ( $k = 1$ ).

aspiración impulsión
$L$ (m) 15 50
$D$ (mm) 150 125

a) Expresión analítica de la curva característica de la instalación, empleando Hazen-Williams.

Si el caudal del punto de funcionamiento es de $80\ \text{l/s}$ :

b) Deducir la expresión $H_{mb} = A - B\,Q^{2}$ de la bomba, sabiendo que al cerrar parcialmente la válvula —generando $8\ \text{m}$ de pérdidas— el caudal disminuye un $10\ \%$ .

c) Si en lugar de cerrar la válvula se presuriza uno de los depósitos para obtener el mismo punto del apartado b), deducir la nueva curva de la instalación.
La curva de la instalación, la de la bomba deducida de dos puntos y la curva al presurizar.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El canal de Donostia a Barcelona, y la semejanza que no puede serAnálisis dimensional y teoría de modelos
Se quiere diseñar un sistema de canales y bombas que conducirán el agua de Donostia a Barcelona. El caudal $Q$ que llevará el canal depende del diámetro $D$ , la viscosidad absoluta $\mu$ , la densidad $\rho$ , la gravedad $g$ , el coeficiente de rugosidad de Manning $n$ , la pendiente $J$ , la longitud $L$ y la velocidad $v$ .

a) Obtener los parámetros adimensionales del sistema, con $L$ , $\rho$ y $v$ como variables repetidas.

El canal será semicircular, de $10\ \text{m}$ de diámetro, de hormigón en bruto, con una pendiente de 1 milésima, y siempre irá completamente lleno. El modelo será semicircular de $46{,}75\ \text{cm}$ de diámetro y transportará agua en las mismas condiciones de presión y temperatura.

b) ¿Se puede lograr una semejanza dinámica absoluta? Razonar la respuesta.
Los parámetros adimensionales y si la semejanza absoluta es posible.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El codo, y cómo se mide su longitud equivalenteFlujo permanente en conductos cerrados
Por un tubo vertical que baja de 1 a A, un codo de $90°$ de A a B, y un tramo horizontal de B a 2, circula un caudal $Q$ de un fluido de $s = 1{,}2$ y $\mu = 7{,}2\cdot 10^{-3}\ \text{Pl}$ . Todo el sistema es de fundición asfaltada, con $20\ \text{mm}$ de diámetro interior y una longitud física total de $L = 0{,}75\ \text{m}$ que no incluye la longitud equivalente del codo.

Las pérdidas de carga entre la entrada (1) y la salida (2) son $h_{f,1\text{-}2} = 1\ \text{mca}$ .

Entre la entrada (A) y la salida (B) del codo hay una diferencia de cota $H = 10\ \text{cm}$ , y un manómetro en U con líquido manométrico $s_m = 1{,}0$ conectado entre ambos puntos da una lectura $R = 30\ \text{cm}$ .

Calcular el caudal circulante $Q$ (l/s) y la longitud equivalente del codo.
El caudal y la longitud equivalente del codo.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Convocatoria ordinaria, 30 de mayo de 2024 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica los resultados pero no la resolución.

La capilaridad entre dos tubos, donde Jurin no sirve

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tienen dos tubos concéntricos, uno exterior de sección cuadrada (de lado $b$ ) y otro interior circular (de diámetro $D$ ). Hay un fluido en el hueco que queda entre ambos.

a) Dibujar la superficie libre del fluido sabiendo que moja al sólido, determinando las fuerzas que condicionan su subida o bajada.

b) Deducir la expresión válida para determinar el ascenso capilar de cualquier fluido.

c) Obtener el ascenso capilar para $D = 2\ \text{mm}$ y $b = 3\ \text{mm}$ , sabiendo que el fluido es un alcohol con una tensión superficial de $3{,}31\cdot 10^{-3}\ \text{J/m}^{2}$ , una densidad de $790\ \text{kg/m}^{3}$ y un ángulo de contacto de $0°$ .

La expresión del ascenso capilar en esta sección y su valor numérico.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no vale aquí la fórmula de Jurin, $h = 4\sigma\cos\theta/(\gamma D)$ ?
02
El perímetro mojado de la sección
COMP2
¿Cuánto vale el contorno sobre el que actúa la tensión superficial?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El ascenso capilar
COMP2
¿Cuánto sube el alcohol?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión superficial actúa sobre todo el contorno mojado, que aquí son los dos: $4b$ del cuadrado y $\pi D$ del círculo.
2. Su componente vertical, $\sigma\cos\theta\,(4b+\pi D)$ , sostiene el peso de la columna, $\gamma h\,(b^{2}-\pi D^{2}/4)$ .
3. Despejando sale $h = 4\sigma\cos\theta(4b+\pi D)/[\gamma(4b^{2}-\pi D^{2})]$ , y con los datos, 1,334 mm.

Resolución completa

Por qué Jurin no vale. La fórmula $h = 4\sigma\cos\theta/(\gamma D)$ no es una ley: es el equilibrio de fuerzas resuelto para un tubo circular. Su $4/D$ es, escrito de otra forma, el cociente entre el perímetro $\pi D$ y el área $\pi D^{2}/4$ . Cambiada la sección hay que recalcularlo.

El equilibrio. La componente vertical de la tensión superficial sostiene el peso de la columna:

\sigma\cos\theta\,\underbrace{(4b + \pi D)}_{\text{contorno mojado}} = \gamma\,h\,\underbrace{\left(b^{2}-\frac{\pi D^{2}}{4}\right)} _{\text{sección del hueco}}

La expresión y el número.

h = \frac{4\sigma\cos\theta\,(4b+\pi D)}{\gamma\,(4b^{2}-\pi D^{2})} = 1{,}334\ \text{mm}

La comparación que da sentido al resultado. En un tubo circular de 2 mm el mismo alcohol subiría 0,855 mm. Aquí sube un 56 % más, y la razón está en el cociente perímetro/área:

	perímetro	área	$P/A$
tubo circular $D = 2$	6,28 mm	3,14 mm²	2,00 mm⁻¹
hueco cuadrado-círculo	18,28 mm	5,86 mm²	3,12 mm⁻¹

Y la regla general que sale de aquí: el ascenso capilar de cualquier sección vale

h = \frac{\sigma\cos\theta}{\gamma}\,\frac{P}{A}

Todo lo demás —Jurin incluido— son casos particulares de esa expresión. Es la misma estructura que el radio hidráulico del tema 19, y por el mismo motivo: un fenómeno de contorno frente a un fenómeno de volumen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Convocatoria ordinaria, 30 de mayo de 2024 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica los resultados pero no la resolución.

La pieza con dos boquillas, y quién pone de verdad la fuerza

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Al final de un tubo que transporta agua hay una pieza especial con dos boquillas: una en el punto B, situada a la altura del eje de la tubería principal y con el chorro horizontal hacia delante, y otra en el punto C, cuyo chorro sale hacia atrás y hacia abajo formando $\alpha = 60°$ con la vertical.

Determinar la fuerza —dirección y módulo— del flujo sobre la pieza especial. No considerar pérdidas de carga, diferencias de cota ni el peso del agua.

Datos: $p_A = 13{,}5\ \text{bar}$ ; $\phi_A = 125\ \text{mm}$ ; $\phi_B = 10\ \text{mm}$ ; $v_A = 0{,}8\ \text{m/s}$ ; $c_{c,A} = 1$ ; $c_{c,B} = 0{,}6$ ; $c_{c,C} = 0{,}7$ .

El módulo y la dirección de la fuerza sobre la pieza.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los chorros salen a la atmósfera. ¿Con qué velocidad?
02
La velocidad de salida
COMP2
¿A qué velocidad salen los chorros?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal por la boquilla B
COMP2
¿Qué caudal sale por B?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El módulo de la fuerza
COMP2
¿Qué fuerza soporta la pieza?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La inclinación de la resultante
COMP2
¿Cuántos grados se separa de la horizontal? (solo el número)
Tu respuesta al paso 5un ángulo en grados, solo el número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los chorros salen a 51,97 m/s, que es lo que da Bernoulli con los 13,5 bar de A.
2. Por B salen 2,449 l/s y por C los 7,369 restantes, y sus flujos de cantidad de movimiento valen 127 y 383 N.
3. La fuerza sobre la pieza son 16 780 N a 0,65° de la horizontal, de los que 16 567 los pone la presión sobre la brida.

Resolución completa

La velocidad de salida. Con 13,5 bar y sin pérdidas ni cotas, Bernoulli da $v = 51{,}97$ m/s en las dos boquillas: la velocidad depende de la carga, no del diámetro. Por eso el enunciado puede permitirse no dar $\phi_C$ .

El reparto de caudal. Por A entran $9{,}817$ l/s. Por B salen $c_{c,B}A_Bv = 2{,}449$ , y los $7{,}369$ restantes se van por C. El diámetro de C no hace falta: la continuidad lo fija.

El balance.

término	valor
$p_AA_A$ (presión en la brida)	16 567 N
$\rho Q_Bv$ (chorro B)	127 N
$\rho Q_Cv$ (chorro C)	383 N
$\rho Q_Av_A$ (entrada)	8 N

|R| = 16\,780\ \text{N} \qquad \beta = 0{,}65°

Y ahí está la lección. El 99 % de la fuerza la pone la presión sobre la brida de entrada, no el chorro. El anclaje de esta pieza se dimensiona por la presión de prueba de la conducción, y el efecto de todo el caudal es inclinar la resultante menos de un grado.

Compáralo con un álabe de Pelton, donde la presión es atmosférica en todas las caras, se cancela, y todo el esfuerzo lo pone la cantidad de movimiento. Son los dos casos límite del mismo teorema, y saber en cuál se está es lo primero que hay que decidir.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Convocatoria ordinaria, 30 de mayo de 2024 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica los resultados pero no la resolución.

Dos manómetros redundantes, y cómo saber cuál miente

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dentro de una cámara cerrada C hay dos depósitos presurizados: el A, con aire encima de una columna de líquido $s_1$ de altura $h_1$ , y el B, con aire encima de una columna de $s_3$ de altura $h_3$ . Los dos están comunicados por el fondo a través de un tramo con líquido $s_2$ que asciende $h_2$ .

Un manómetro Bourdon de presiones absolutas $P_1$ , conectado al aire de A, mide $3{,}57\ \text{kg/cm}^{2}$ . Sobre el aire de B hay dos manómetros redundantes, $P_2$ y $P_3$ , y en una revisión se descubre que uno de los dos lee mal.

Un manómetro en U con líquido $s_4$ une la cámara C con el exterior y da una lectura $R$ , y un barómetro de mercurio mide la atmósfera exterior, $H$ .

a) Justificar razonadamente cuál de los manómetros mide incorrectamente.

b) Calcular la presión absoluta en la cámara C (bar).

c) Calcular la densidad relativa del líquido $s_4$ .

Datos: $s_1 = 1{,}2$ ; $s_2 = 13{,}6$ ; $s_3 = 8$ ; $h_1 = 60\ \text{cm}$ ; $h_2 = 40\ \text{cm}$ ; $h_3 = 1{,}5\ \text{m}$ ; $R = 39{,}6\ \text{cm}$ ; $H = 400\ \text{mm}$ ; $P_2 = 1{,}16\cdot 10^{5}$ Pa; $P_3 = 1{,}54\cdot 10^{5}$ Pa.

Cuál de los dos manómetros falla, la presión absoluta de la cámara y la densidad del líquido s4.

01
Reconocer el camino
COMP1
$P_2$ y $P_3$ están dentro de la cámara C y miden presiones relativas. ¿Cómo se decide cuál miente?
02
La presión absoluta del aire de B
COMP2
Recorriendo la instalación desde A, ¿qué presión absoluta hay en el aire de B?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La presión de la cámara
COMP2
¿Qué presión absoluta hay en la cámara C?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La densidad del líquido manométrico
COMP2
¿Cuánto vale $s_4$ ?
Tu respuesta al paso 4un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Recorriendo desde A —bajando por $s_1$ , subiendo por $s_2$ y por $s_3$ — el aire de B está a 1,86 bar absolutos.
2. Cada manómetro da entonces una presión de cámara distinta: 0,70 bar con $P_2$ y 0,32 con $P_3$ .
3. El manómetro en U desempata: con 0,70 bar sale $s_4 = 4{,}3$ , plausible; con 0,32 saldría un peso específico negativo, que es imposible. Miente $P_3$ .

Resolución completa

El recorrido. Desde el aire de A, cuya presión absoluta da el Bourdon, se llega al aire de B sumando y restando columnas:

p_B = p_A + \gamma_1h_1 - \gamma_2h_2 - \gamma_3h_3 = 1{,}86\ \text{bar}

Solo la primera suma —bajar por el líquido de A— y las otras dos restan, porque el fluido asciende en los dos tramos.

Los dos candidatos. $P_2$ y $P_3$ están dentro de la cámara, así que miden respecto de ella. Cada uno da una presión de cámara distinta:

	lectura	$p_C$ resultante
$P_2$	116 kPa	70,0 kPa = 0,70 bar
$P_3$	154 kPa	32,0 kPa = 0,32 bar

El desempate. El manómetro en U une la cámara con el exterior, que el barómetro sitúa en 53,3 kPa. Con 0,70 bar la cámara está por encima del exterior y el líquido $s_4$ sale de

\gamma_4 = \frac{70\,004 - 53\,312}{0{,}396} = 42\,141\ \text{N/m}^{3} \;\Longrightarrow\; s_4 = 4{,}30

Con 0,32 bar la cámara estaría por debajo del exterior, la lectura del manómetro en U tendría el signo contrario al dibujado, y el peso específico saldría negativo. Miente $P_3$ .

Lo que este ejercicio enseña sobre la redundancia. Dos aparatos que se contradicen dicen que algo falla, pero no cuál. Para eso hace falta un tercer camino independiente, y aquí lo es: el manómetro en U no pasa por ninguno de los dos depósitos. Es exactamente la misma estructura que el Pitot averiado de un avión, donde dos sistemas redundantes discrepan y hay que decidir cuál creer.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Convocatoria ordinaria, 30 de mayo de 2024 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica los resultados pero no la resolución.

La compuerta ABC, y el prisma que no es un triángulo

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La compuerta ABC de un depósito cerrado está articulada en A y tiene un tope en C. Su profundidad es de $2\ \text{m}$ y el fluido tiene $s = 1{,}5$ .

De arriba abajo: A está en la coronación; $1\ \text{m}$ más abajo empieza el líquido; B está $2\ \text{m}$ por debajo de la lámina; y de B a C hay $2{,}5\ \text{m}$ ocupados por una parte semicilíndrica que sobresale hacia el fluido. El metro superior está ocupado por aire, sobre el que un vacuómetro $P_1$ marca $14{,}7\ \text{kPa}$ .

a) Dibujar los prismas de presiones acotados.

b) Calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza hidrostática sobre la compuerta ABC.

c) Calcular la reacción en el tope C.

Nota: despreciar el peso de la compuerta. Centroide del semicírculo: $4R/(3\pi)$ .

Las dos componentes de la fuerza hidrostática y la reacción en el tope.

01
Reconocer el camino
COMP1
El metro superior de la compuerta está en contacto con el aire del depósito. ¿Cómo es la presión ahí?
02
La profundidad del plano piezométrico
COMP2
¿Cuántos metros por debajo de la lámina queda el plano de presión nula?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

La componente horizontal

COMP2

¿Cuánto vale la resultante horizontal sobre ABC?

Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

Desarrollo

tramo	prisma	fuerza
aire, 1 m	rectángulo $-14{,}7$ kPa	$-29{,}4$ kN
líquido, de 0 a 1 m bajo la lámina	triángulo negativo	$-14{,}7$ kN
líquido, de 1 a 4,5 m	triángulo positivo	$+180{,}1$ kN

F_H = -29{,}4 - 14{,}7 + 180{,}1 = 135{,}98\ \text{kN}\ (\rightarrow)

04
La componente vertical
COMP2
¿Y la vertical, sobre la parte semicilíndrica?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

La reacción en el tope

COMP2

¿Qué reacción soporta el tope C?

Tu respuesta al paso 5una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

Desarrollo

fuerza	brazo desde A	momento
$-29{,}4$ kN (aire)	0,50 m	$-14{,}7$
$-14{,}7$ kN (triángulo negativo)	1,33 m	$-19{,}6$
$+180{,}1$ kN (triángulo positivo)	4,33 m	$+780{,}3$
$+72{,}16$ kN (vertical)	0,53 m	$-38{,}3$

R_C = \frac{746{,}0 - 38{,}3}{5{,}5} = 128{,}68\ \text{kN}\ (\leftarrow)

06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El vacuómetro hunde el plano piezométrico 1 m bajo la lámina, es decir justo hasta B.
2. El prisma tiene tres trozos —rectángulo de aire, triángulo negativo y triángulo positivo— y su resultante son 135,98 kN hacia fuera.
3. La vertical es el empuje del semicilindro, 72,16 kN hacia arriba, y no depende del vacuómetro.

Resolución completa

Lo que hace distinto a este ejercicio. No es el vacuómetro —eso ya sale en otros— sino que la compuerta tiene aire por encima del líquido. En el aire la presión es constante; en el líquido crece. El prisma de presiones no es un triángulo: son tres trozos.

El plano piezométrico. $14{,}7$ kPa en columna del fluido de $s = 1{,}5$ son exactamente $1$ m, así que el plano de presión nula cae 1 m bajo la lámina, es decir en B. El enunciado está construido para que caiga ahí.

La horizontal.

tramo	prisma	fuerza
aire (1 m)	rectángulo de $-14{,}7$ kPa	$-29{,}4$ kN
líquido, primer metro	triángulo negativo	$-14{,}7$ kN
líquido, 3,5 m restantes	triángulo positivo	$+180{,}1$ kN
	total	$135{,}98$ kN $(\rightarrow)$

Tratar el aire como si tuviera gradiente da 121,3 kN; olvidarlo del todo da 165,4. Los dos errores son de más del 10 %.

La vertical. El semicilindro de $R = 1{,}25$ m desplaza $2{,}454\ \text{m}^{2}$ por metro de profundidad, y

F_V = \gamma\,b\,\frac{\pi R^{2}}{2} = 72{,}16\ \text{kN}\ (\uparrow)

y no depende del vacuómetro en absoluto: las dos mitades del semicírculo están simétricas respecto de su centro, así que cualquier presión uniforme se cancela y solo queda el empuje del volumen. Es una comprobación cómoda cuando la parte curva es media circunferencia.

El tope. Momentos respecto de A, con la vertical restando porque su brazo la lleva hacia el fluido:

R_C = \frac{746{,}0 - 38{,}3}{5{,}5} = 128{,}68\ \text{kN}\ (\leftarrow)

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 5 · Convocatoria ordinaria, 30 de mayo de 2024 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica los resultados pero no la resolución.

El tiempo de vaciado, y por qué el segundo cuarto tarda más

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se dispone de un depósito abierto de sección rectangular $30\times 25\ \text{cm}$ y altura $1\ \text{m}$ , con un orificio de salida de diámetro $25\ \text{mm}$ situado a $h_0 = 200\ \text{mm}$ sobre el fondo. El factor de paso de la salida es $k = 0{,}11$ .

a) Deducir la expresión del tiempo de vaciado.

b) El depósito está inicialmente lleno y tarda $16\ \text{s}$ en vaciar un cuarto del volumen que contiene. Deducir, sin calcular, si vaciar otro cuarto llevará un tiempo mayor, menor o igual.

c) Calcular el coeficiente de contracción del orificio.

La expresión del tiempo de vaciado, el razonamiento sobre el segundo cuarto y el coeficiente de contracción.

01
Reconocer el camino
COMP1
El orificio está a 20 cm del fondo. ¿Qué carga impulsa la salida?
02
La carga al empezar y al acabar el primer cuarto
COMP2
¿Cuánta carga queda sobre el orificio tras vaciar el primer cuarto del volumen?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El coeficiente de contracción
COMP2
¿Cuánto vale $c_c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La velocidad de salida es $c_v\sqrt{2gz}$ , con $z$ la carga sobre el orificio.
2. El segundo cuarto se vacía con la lámina más baja, así que $z$ es menor y la velocidad también.
3. Menos velocidad es menos caudal, y como hay que evacuar el mismo volumen, el segundo cuarto tarda más.

Resolución completa

a) La expresión. El caudal que sale vacía el depósito:

-ab\,\frac{dz}{dt} = c_vc_cA_o\sqrt{2gz} \;\Longrightarrow\; t = \frac{2ab}{c_vc_cA_o\sqrt{2g}}\left(\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}\right)

con $z$ medida desde el orificio, que es lo que decide el ejercicio: el agua que queda por debajo no participa.

b) El razonamiento, sin calcular. La velocidad de salida va con $\sqrt z$ . El segundo cuarto se evacua con la lámina más baja, luego con menos velocidad, luego con menos caudal; y como el volumen a evacuar es el mismo, tarda más. Ese es todo el argumento y no hace falta ningún número.

c) El coeficiente. Las cargas son $0{,}80$ y $0{,}55$ m —no 1,00 y 0,75, que son alturas sobre el fondo—, y el factor de paso da $c_v = 1/\sqrt{1{,}11} = 0{,}949$ :

c_c = 0{,}695

Y una comprobación del apartado b) con números, ya que se tienen.

cuarto	de	a	$\sqrt{z_1}-\sqrt{z_2}$	tiempo
1.º	0,80	0,55	0,153	16,0 s
2.º	0,55	0,30	0,194	20,3 s
3.º	0,30	0,05	0,324	33,9 s

El último cuarto tarda más del doble que el primero, y el depósito nunca llega a vaciarse del todo: se para cuando la lámina alcanza el orificio, con 15 litros dentro. Los dos hechos salen de la misma raíz cuadrada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 6 · Convocatoria ordinaria, 30 de mayo de 2024 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica los resultados pero no la resolución.

La curva de la bomba, deducida de dos puntos de funcionamiento

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se emplea una bomba para elevar agua de un depósito abierto bajo tierra ( $z = -6\ \text{m}$ ) a otro depósito abierto cuya superficie libre está a cota $24\ \text{m}$ . Todas las tuberías son de hierro galvanizado.

En la aspiración hay una válvula de pie con filtro ( $k = 2{,}5$ ) y la salida del depósito es de ángulos redondeados ( $k = 0{,}05$ ). En la impulsión hay tres codos de $90°$ de radio medio ( $k = 0{,}75$ cada uno), una válvula de compuerta abierta ( $k = 0{,}19$ ) y la entrada al depósito ( $k = 1$ ).

	aspiración	impulsión
$L$ (m)	15	50
$D$ (mm)	150	125

a) Expresión analítica de la curva característica de la instalación, empleando Hazen-Williams.

Si el caudal del punto de funcionamiento es de $80\ \text{l/s}$ :

b) Deducir la expresión $H_{mb} = A - B\,Q^{2}$ de la bomba, sabiendo que al cerrar parcialmente la válvula —generando $8\ \text{m}$ de pérdidas— el caudal disminuye un $10\ \%$ .

c) Si en lugar de cerrar la válvula se presuriza uno de los depósitos para obtener el mismo punto del apartado b), deducir la nueva curva de la instalación.

La curva de la instalación, la de la bomba deducida de dos puntos y la curva al presurizar.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado b) da dos puntos por los que pasa la bomba y pide su curva. ¿Cuáles son esos dos puntos?
02
La altura piezométrica
COMP2
¿Cuál es el término independiente de la curva de la instalación?
Tu respuesta al paso 2una altura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura de la instalación en el punto de funcionamiento
COMP2
¿Cuánta altura pide la instalación a $80\ \text{l/s}$ ?
Tu respuesta al paso 3una altura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La altura a caudal nulo de la bomba
COMP2
¿Cuánto vale $A$ en $H_{mb} = A - B\,Q^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 4una altura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La curva al presurizar
COMP2
Si en vez de cerrar la válvula se presuriza un depósito, ¿cuál es el nuevo término independiente?
Tu respuesta al paso 5una altura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La instalación pide $30 + 1{,}58\cdot 10^{-3}Q^{2} + 5{,}8\cdot 10^{-3}Q^{1{,}852}$ , es decir 59,52 m a 80 l/s.
2. Cerrando la válvula la curva sube 8 m y el corte baja a 72 l/s, donde la bomba da 62,16 m.
3. Con esos dos puntos, la curva de la bomba es $73{,}41 - 2{,}17\cdot 10^{-3}Q^{2}$ .

Resolución completa

a) La curva. Dos términos:

H_{mi} = 30 + \underbrace{1{,}58\cdot 10^{-3}Q^{2}}_{\text{cinco }k} + \underbrace{5{,}8\cdot 10^{-3}Q^{1{,}852}}_{\text{Hazen-Williams}}

Los cinco factores de paso van cada uno con la altura cinética de su tramo —los dos de la aspiración con los 150 mm, los tres de la impulsión con los 125— y suman $1{,}58\cdot 10^{-3}$ .

Y el detalle que hace valioso este ejercicio. El término de Hazen-Williams solo sale si el mismo hierro galvanizado toma $C_{HW} = 130$ en la tubería de 150 mm y $120$ en la de 125. Eso es imposible si el coeficiente fuera del material: lo que decide es $\varepsilon/D$ , que vale $10^{-3}$ y $1{,}2\cdot 10^{-3}$ y cae en dos bandas distintas del cuadro n.º 25. Este examen es la comprobación de que la tabla va por rugosidad relativa y no por material.

b) La bomba, deducida. Lo que rara vez se hace: en vez de leer la curva de un catálogo, se deduce de dos puntos de funcionamiento. Al cerrar la válvula la instalación pide 8 m más a cada caudal, así que el nuevo corte, $(72;\ 62{,}16)$ , está en la misma curva de la bomba que el viejo, $(80;\ 59{,}52)$ . Dos ecuaciones, dos incógnitas:

H_{mb} = 73{,}41 - 2{,}17\cdot 10^{-3}\,Q^{2}

c) Presurizando. Los 8 m que ponía la válvula los pone ahora la presión del depósito, y el término independiente pasa de 30 a 38:

H_{mi} = 38 + 1{,}58\cdot 10^{-3}Q^{2} + 5{,}8\cdot 10^{-3}Q^{1{,}852}

La comparación de las dos maniobras, que es lo que el apartado c) quiere que se vea: las dos llevan al mismo punto y la bomba consume lo mismo. La diferencia es dónde va a parar la energía. Estrangulando se disipa en calor dentro de la válvula; presurizando queda como presión en el depósito de llegada, disponible para el uso siguiente. Es el mismo caudal por el mismo dinero, pero con un producto distinto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 7 · Convocatoria ordinaria, 30 de mayo de 2024 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica los resultados pero no la resolución.

El canal de Donostia a Barcelona, y la semejanza que no puede ser

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere diseñar un sistema de canales y bombas que conducirán el agua de Donostia a Barcelona. El caudal $Q$ que llevará el canal depende del diámetro $D$ , la viscosidad absoluta $\mu$ , la densidad $\rho$ , la gravedad $g$ , el coeficiente de rugosidad de Manning $n$ , la pendiente $J$ , la longitud $L$ y la velocidad $v$ .

a) Obtener los parámetros adimensionales del sistema, con $L$ , $\rho$ y $v$ como variables repetidas.

El canal será semicircular, de $10\ \text{m}$ de diámetro, de hormigón en bruto, con una pendiente de 1 milésima, y siempre irá completamente lleno. El modelo será semicircular de $46{,}75\ \text{cm}$ de diámetro y transportará agua en las mismas condiciones de presión y temperatura.

b) ¿Se puede lograr una semejanza dinámica absoluta? Razonar la respuesta.

Los parámetros adimensionales y si la semejanza absoluta es posible.

01
Reconocer el camino
COMP1
De las nueve variables, dos ya son adimensionales. ¿Cuáles y qué consecuencia tiene?
02
Cuántos parámetros
COMP2
¿Cuántos parámetros adimensionales describen el fenómeno? (solo el número)
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La relación de viscosidades que haría falta
COMP2
Igualando $\pi_3$ y $\pi_4$ a la vez, la viscosidad del modelo tiene que ser $\lambda^{-3/2}$ veces la del prototipo. ¿Cuánto vale $\lambda^{3/2}$ ? (solo el número)
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nueve variables y tres magnitudes fundamentales dan seis parámetros, entre ellos el inverso de Reynolds y el de Froude al cuadrado.
2. Igualar los dos a la vez obliga a $\nu_m/\nu_p = \lambda^{-3/2}$ , y con $\lambda = 21{,}39$ eso son 99 veces menos viscosidad.
3. El modelo usa agua en las mismas condiciones, así que $\nu_m/\nu_p = 1$ : la semejanza absoluta es imposible.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 8 · Convocatoria ordinaria, 30 de mayo de 2024 · Mecánica de Fluidos, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica los resultados pero no la resolución.

El codo, y cómo se mide su longitud equivalente

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por un tubo vertical que baja de 1 a A, un codo de $90°$ de A a B, y un tramo horizontal de B a 2, circula un caudal $Q$ de un fluido de $s = 1{,}2$ y $\mu = 7{,}2\cdot 10^{-3}\ \text{Pl}$ . Todo el sistema es de fundición asfaltada, con $20\ \text{mm}$ de diámetro interior y una longitud física total de $L = 0{,}75\ \text{m}$ que no incluye la longitud equivalente del codo.

Las pérdidas de carga entre la entrada (1) y la salida (2) son $h_{f,1\text{-}2} = 1\ \text{mca}$ .

Entre la entrada (A) y la salida (B) del codo hay una diferencia de cota $H = 10\ \text{cm}$ , y un manómetro en U con líquido manométrico $s_m = 1{,}0$ conectado entre ambos puntos da una lectura $R = 30\ \text{cm}$ .

Calcular el caudal circulante $Q$ (l/s) y la longitud equivalente del codo.

El caudal y la longitud equivalente del codo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El líquido manométrico ( $s_m = 1{,}0$ ) es más ligero que el que circula ( $s = 1{,}2$ ). ¿Qué significa eso?
02
La pérdida en el codo
COMP2
¿Cuánta carga se pierde en el codo?
Tu respuesta al paso 2una altura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal
COMP2
¿Qué caudal circula?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La longitud equivalente del codo
COMP2
¿Cuántos milímetros de tubo recto equivale el codo?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El manómetro invertido da $R(1-s_m/s) = 0{,}05$ m de pérdida en el codo.
2. El «1 mca» de pérdida total son $0{,}833$ m de columna del fluido, de los que $0{,}783$ corresponden al tubo recto.
3. Con esos 0,783 m en 0,75 m de tubo de 20 mm sale $Q = 1{,}027$ l/s, y con ellos el codo equivale a 47,9 mm de tubo.

Resolución completa

Dos incógnitas y dos medidas. El caudal y la longitud equivalente del codo salen de dos datos independientes: la pérdida total entre 1 y 2 y la lectura del manómetro entre A y B. Ninguno basta solo.

El manómetro invertido. El líquido manométrico es más ligero que el que circula, así que el menisco se coloca arriba y la lectura se interpreta al revés:

h_{f,\text{codo}} = R\left(1-\frac{s_m}{s}\right) = 0{,}05\ \text{m}

Treinta centímetros de lectura para cinco de pérdida: la amplificación es justo la razón de usar un manométrico ligero cuando la diferencia es pequeña. Y la diferencia de cota $H$ no interviene, porque un manómetro mide diferencias de cota piezométrica, que ya la incluyen.

La conversión que decide el resultado. Los «1 mca» de pérdida total son metros de columna de agua, es decir una presión. En columna del fluido de $s = 1{,}2$ son $0{,}833$ m. Usarlos sin convertir da 1,138 l/s en vez de 1,027: un 11 % de error que no se delata.

El caudal. Restando el codo quedan $0{,}783$ m para los 0,75 m de tubo recto, y con $\varepsilon/D = 6\cdot 10^{-3}$ y $\nu = 6\cdot 10^{-6}$ la iteración converge a

f = 0{,}0383 \qquad v = 3{,}27\ \text{m/s} \qquad Q = 1{,}027\ \text{l/s}

La longitud equivalente.

L_{eq} = \frac{h_{f,\text{codo}}\,D\,2g}{f\,v^{2}} = 47{,}9\ \text{mm}

Y lo que ese número enseña. Cuarenta y ocho milímetros son dos diámetros y medio, cuando lo habitual para un codo de 90° son veinte o treinta. No es que este codo sea especialmente bueno: es que el tubo con el que se compara es especialmente malo. Con $\varepsilon/D = 6\cdot 10^{-3}$ y $Re = 10\,900$ , el coeficiente de frotamiento es $0{,}038$ —el doble de lo corriente— así que hacen falta muy pocos milímetros de tubo para perder lo mismo que el codo.

La longitud equivalente de un accesorio no es una propiedad del accesorio: es una equivalencia con una tubería concreta, y cambia con el material, el diámetro y hasta el caudal. Por eso las tablas la dan en diámetros ( $L_{eq}/D$ ) y no en metros, y por eso el método de los factores de paso, que no depende de la tubería, es más limpio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2023-2024

Reconocer el camino

El perímetro mojado de la sección

El ascenso capilar

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad de salida

El caudal por la boquilla B

El módulo de la fuerza

La inclinación de la resultante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La presión absoluta del aire de B

La presión de la cámara

La densidad del líquido manométrico

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La profundidad del plano piezométrico

La componente horizontal

La componente vertical

La reacción en el tope

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La carga al empezar y al acabar el primer cuarto

El coeficiente de contracción

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La altura piezométrica

La altura de la instalación en el punto de funcionamiento

La altura a caudal nulo de la bomba

La curva al presurizar

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántos parámetros

La relación de viscosidades que haría falta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pérdida en el codo

El caudal

La longitud equivalente del codo

Justificar el argumento