Preparar la convocatoria de Mecánica de Fluidos

Unidades, presiones y pérdidas de carga

no da puntos — los sostiene todos4 escalones

Cae 1 de 11 años

No lo pide con estas palabras. Lo pide dentro de otros ejercicios, con «la lectura del vacuómetro es de 0,4 kg/cm²», «tomar la rugosidad del cuadro n.º 20» y «la presión manométrica final, la densidad final y el coeficiente de compresibilidad».

Ninguno de estos tres asuntos tiene un ejercicio propio en las once convocatorias finales —cero de once para las unidades, uno de once para las pérdidas de carga— y aun así están dentro de casi todos. Bombeo cae en 11 de 11 y no se resuelve sin Darcy; canales cae en 10 de 11 y no se resuelve sin el cuadro n.º 26; conducciones cae en 7 de 11 y son pérdidas de la primera línea a la última. Eso es exactamente lo que define un suelo, y por eso va delante aunque no puntúe.

El kilogramo que no es una masa

A distinguir el kilogramo masa del kilopondio, y a no perder el factor g cuando el enunciado dice «pesa 50 kg».

leerEl kilogramo que no es una masa

El apartado explica por qué la escuela sigue usando la unidad técnica, y de dónde sale el 9,8 que aparece en todas las conversiones del cuadro.

ejemploEl mismo cuerpo, dos planetas y tres números
El ejemplo de entrada. Un solo cuerpo, dos planetas y tres números, para separar masa de peso antes de tocar nada más.
prácticaUn cuerpo que pesa cincuenta kilos donde la gravedad es otra
prácticaArmstrong, que perdió masa pero no la que parece
prácticaDinas, decanewtons y la gravedad de la Luna
Dinas y decanewtons. Es el que más se parece a lo que hace un enunciado de examen cuando cambia de sistema sin avisar.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

El mismo cuerpo, dos planetas y tres números

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un bidón de aceite tiene una masa de $200\ \text{kg}$ .

a) ¿Cuánto pesa en la Tierra, en newtons?

b) ¿Cuánto pesa en la Luna ( $g = 1{,}61\ \text{m/s}^{2}$ )?

c) ¿Cuál es su masa en la Luna?

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ en la Tierra.

Los dos pesos y la masa, cada uno con su unidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada: ¿cuál de las tres respuestas se sabe sin hacer ninguna cuenta?
02
El peso en la Tierra
COMP2
¿Cuánto pesa el bidón en la Tierra?
Tu respuesta al paso 2un peso, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El peso en la Luna
COMP2
¿Y en la Luna?
Tu respuesta al paso 3un peso, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La masa es un dato del cuerpo: $200\ \text{kg}$ en los dos sitios.
2. El peso es una fuerza, $W = m\,g$ , y se mide en newtons.
3. En la Tierra: $200 \cdot 9{,}8 = 1960\ \text{N}$ , que son $200\ \text{kp}$ .
4. En la Luna: $200 \cdot 1{,}61 = 322\ \text{N}$ , que son $32{,}9\ \text{kp}$ .
5. Comprobación de sentido: menos gravedad, menos peso, misma masa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Decir cuánto pesa en newtons un cuerpo de 50 kg en la Luna y cuánta masa tiene, sin dudar cuál de los dos números cambia.

Las seis formas de escribir la misma presión

A convertir entre pascales, mca, mm de mercurio, bar, kg/cm² y atmósferas, y a saber cuándo un dato es absoluto y cuándo relativo.

leerLas unidades, que son medio examen

El título del apartado no es una figura retórica. Contadas sobre los enunciados de las dieciséis convocatorias: el bar aparece en catorce, los metros de columna de agua en trece, el pascal en once y el kg/cm² en diez.

prácticaUn depósito con tres manómetros, y seis unidades de presión
Un depósito con tres manómetros y la misma presión escrita seis veces. Es el ejercicio de referencia de todo el bloque.
prácticaCuántos metros de keroseno son dos mil pascales
El paso que más se falla, porque una columna de líquido depende del líquido y la costumbre es pensarla en agua.
prácticaUn barómetro con aire dentro, y cómo se corrige

nivel: practicaEjercicio 2.3 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Estática de los fluidos y fuerzas sobre superficies · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Un depósito con tres manómetros, y seis unidades de presión

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Basándose en la figura adjunta, calcular:

a) Presión que marca el mano-vacuómetro 1 (kg/cm²).

b) Presión absoluta del aire B (bar).

c) Presión que marca el manómetro 2 (kPa).

d) Si $h = 0{,}75\ \text{m}$ , calcular la presión de vapor del mercurio encerrado en la parte superior del barómetro de Hg (baria).

Hay un depósito dentro de otro, y cada aparato mide contra algo distinto: el 3 contra el aire B que lo rodea, el 2 en absolutas, y el mano-vacuómetro 1 contra la atmósfera del final del tubo. Ordenar quién mide contra quién es la mitad del ejercicio; la otra mitad son las seis unidades.

Datos: el mano-vacuómetro 1 mide presiones manométricas; el manómetro 2 mide presiones absolutas; el manómetro 3 mide manométricas; presión de la atmósfera exterior $= 750\ \text{Torr}$ ; presión del manómetro $3 = 7\ \text{mca}$ . Del mano-vacuómetro 1 baja un tramo de $0{,}5\ \text{m}$ y otro de $1{,}8\ \text{m}$ de un líquido de $s = 3{,}5$ .

Las cuatro presiones, cada una en la unidad que pide su apartado.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado a) da negativo. ¿Qué significa eso, y es un error?
02
El mano-vacuómetro 1
COMP2
¿Qué marca, en kg/cm²?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La presión absoluta del aire B
COMP2
Con la atmosférica de $750\ \text{Torr}$ , ¿cuál es la presión absoluta de B en bar?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El manómetro 2
COMP2
El manómetro 2 mide absolutas y está bajo el aire A, con el manómetro 3 marcando $7\ \text{mca}$ manométricos respecto de B. ¿Cuánto marca, en kPa?
Tu respuesta al paso 4una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución, incluido el apartado d). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $p_1/\gamma = -0{,}5-1{,}8\cdot3{,}5 = -6{,}8\ \text{mca} = -0{,}68\ \text{kg/cm}^{2}$ .
2. b) $p_{\text{atm}} = 750\ \text{Torr} = 10{,}2\ \text{mca}$ , y $p_B^{\text{abs}} = 10{,}2-6{,}8 = 3{,}4\ \text{mca} = 0{,}3332\ \text{bar}$ .
3. c) $p_2^{\text{abs}} = 7+3{,}4 = 10{,}4\ \text{mca} = 101{,}92\ \text{kPa}$ .
4. d) En el barómetro: $p_A^{\text{abs}} - h\cdot13{,}6 = p_v(\text{Hg})$ , o sea $10{,}4 - 0{,}75\cdot13{,}6 = 0{,}2\ \text{mca}$ .
5. d) $0{,}2\ \text{mca} = 1960\ \text{Pa} = 19\,600\ \text{baria}$ , porque $1\ \text{baria} = 0{,}1\ \text{Pa}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Escribir 0,4 kg/cm² en las otras cinco unidades de memoria, y decir sin pensarlo si el número que te acaban de dar es absoluto o manométrico.

Darcy, Moody y los cuadros de la escuela

A calcular una pérdida de carga por Darcy-Weisbach, a entrar al ábaco de Moody por los dos lados y a decidir en qué régimen está el flujo antes de elegir fórmula.

leerEl ábaco de Moody

Y el apartado «Liso, semirrugoso y rugoso», dos más arriba, que es el que evita el error de creer que el régimen lo decide el tubo.

ejemploLas dos fronteras, y por qué casi todo cae en semirrugoso
El ejemplo de entrada. Las dos fronteras del ábaco y por qué casi todos los problemas caen en la zona de en medio.
prácticaGlicerina por un tubo de cobre, y la potencia que se pierde
prácticaPetróleo entre dos depósitos, y cómo entrar al ábaco sin la velocidad
Cuando no se conoce la velocidad no se puede entrar por Reynolds. Este enseña la otra puerta del ábaco.
prácticaUna conducción que se ha ido incrustando, y los tres tipos a la vez
Los tres tipos de problema en el mismo enunciado, que es como caen en el examen.
prácticaFuel-oil entre dos puntos con presión y cota conocidas
prácticaCada cuánto hay que volver a bombear el aceite
prácticaEl Big Inch, y qué pasa cuando la bomba envejece
El Big Inch, y qué le pasa a un oleoducto cuando la bomba envejece. Es el más largo de los tres y el que más se parece a un apartado de examen.
examenLa tubería que se ha ido corroyendo, y los tres regímenes
El mejor del cuadernillo para el ábaco. La misma tubería recorre turbulencia completa, transición y régimen liso en tres apartados.
examenEl alcohol entre A y B, y hacia dónde va en realidad

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Las dos fronteras, y por qué casi todo cae en semirrugoso

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una tubería de acero comercial de $100\ \text{mm}$ de diámetro circula agua a $20\ °\text{C}$ ( $\nu = 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ).

La rugosidad de diseño del acero comercial y soldado es $\varepsilon = 0{,}006\ \text{cm}$ (cuadro n.º 20 de «Cuadros y ábacos»).

a) Calcular la rugosidad relativa.

b) Calcular la frontera $Re' = 23/(\varepsilon/D)$ , entre comportamiento liso y semirrugoso.

c) Calcular la velocidad a la que la tubería deja de comportarse como hidráulicamente lisa.

La rugosidad relativa, la primera frontera y la velocidad que le corresponde.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es lo que hace que una tubería se comporte como lisa o como rugosa?
02
La rugosidad relativa
COMP2
¿Cuánto vale $\varepsilon/D$ ?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La primera frontera
COMP2
¿Para qué número de Reynolds deja la tubería de comportarse como lisa?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad correspondiente
COMP2
¿A qué velocidad del agua se alcanza esa frontera?
Tu respuesta al paso 4una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $\varepsilon/D = 6\cdot 10^{-4}$ , las dos fronteras caen en $Re' = 38.333$ y $Re'' = 9{,}33\cdot 10^{5}$ .
2. En agua eso son $0{,}38$ y $9{,}3$ m/s: por encima de cuarenta centímetros por segundo la tubería ya no es lisa.
3. Como las conducciones de agua trabajan entre 1 y 3 m/s, esta tubería está casi siempre en la franja semirrugosa, y por eso casi todos los problemas se resuelven con Colebrook-White.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dado un tramo con su caudal, su material y su diámetro, dar la pérdida sin preguntar nada más — sabiendo de qué cuadro sale la rugosidad y por qué el régimen elige la fórmula.

Continuidad, y de qué se habla cuando se dice «permanente»

A clasificar un flujo con los cuatro criterios y a aplicar continuidad, que es la ecuación que se usa sin nombrarla en todos los bloques de abajo.

leerLos cuatro criterios para clasificar un flujo

«Permanente» y «uniforme» no son sinónimos, y el examen aprovecha la confusión más de una vez.

ejemploPermanente, uniforme, o las dos cosas
Permanente, uniforme, o las dos cosas. Cuatro casos y ninguna cuenta.
ejemploQué pasa con la velocidad al estrechar la tubería
ejemploUn gas que acelera en una tubería que no cambia de sección
Un gas acelera sin que la tubería cambie de sección, y eso obliga a escribir continuidad en masa y no en volumen.
ejemploCuánto pesa el término que separa a Euler de Navier-Stokes
Cuánto pesa el término que separa a Euler de Navier-Stokes. Es la justificación de que en el resto de la asignatura se ignore.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Permanente, uniforme, o las dos cosas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar los siguientes flujos como permanentes o no, y como uniformes o no:

a) Agua por una tubería recta de sección constante, con caudal fijo.

b) Agua por un difusor (sección creciente), con caudal fijo.

c) Agua por una tubería recta justo después de abrir una válvula.

d) Un depósito que se vacía por un orificio, sin reponer el nivel.

Y responder: ¿en cuál de ellos hay aceleración, y de qué tipo?

La clasificación de los cuatro casos y dónde hay aceleración.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué derivada define cada término?
02
Cuántos de los cuatro son permanentes
COMP2
De los cuatro casos, ¿cuántos son de flujo permanente?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Permanente y uniforme: nada cambia ni con el tiempo ni a lo largo del tubo. Sin aceleración.
2. b) Permanente y no uniforme: la velocidad cambia al avanzar. Hay aceleración convectiva.
3. c) No permanente y uniforme: la velocidad es la misma en todo el tubo pero crece con el tiempo. Hay aceleración local.
4. d) No permanente y no uniforme: cambia con el tiempo (el nivel baja) y con la posición (el orificio estrecha). Hay las dos aceleraciones.
5. La mayoría de los problemas de la asignatura son del tipo a) y b): por eso se puede quitar siempre el término $\partial/\partial t$ .

Resolución completa

caso	permanente	uniforme	aceleración
a) tubería recta, caudal fijo	sí	sí	ninguna
b) difusor, caudal fijo	sí	no	convectiva
c) tras abrir la válvula	no	sí	local
d) depósito que se vacía	no	no	las dos

\vec{a} = \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial s}\,v}_{\text{convectiva: falta si es uniforme}} + \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{\text{local: falta si es permanente}}

La idea que hay que llevarse, porque reaparece en Bernoulli. Un flujo permanente sí puede acelerar. Lo hace cuando el conducto cambia de sección: la partícula se acelera al avanzar aunque en cada punto la velocidad sea siempre la misma. Sin eso, un venturímetro no tendría sentido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Decir de un flujo si es permanente, uniforme, las dos cosas o ninguna, y escribir continuidad en masa cuando la densidad cambia.

lo tienes cuando:

Pasar de kg/cm² a mca, a bar y a pascales sin mirar nada; recorrer un manómetro de varios ramales sin perder un signo; y sacar el factor de fricción del ábaco de Moody y de las cinco fórmulas sabiendo cuál toca en cada régimen.

Análisis dimensional y semejanza

cae los 11 años — nunca ha faltado4 escalones

Cae 11 de 11 años

«Obtener los parámetros adimensionales del sistema» y «¿se puede lograr una semejanza dinámica absoluta? Razonar la respuesta». Con esas palabras, y luego el paso del modelo al prototipo.

Uno de los dos bloques que han caído en las once convocatorias finales sin una sola excepción —el otro es bombeo—, y además en dos de los cinco parciales: trece ejercicios. De los dos va este primero, y no por frecuencia sino por dependencia: se puede resolver el día uno, sin saber nada de pérdidas ni de bombas, mientras que bombeo no se empieza sin el suelo entero.

El teorema de Vaschy-Buckingham, paso a paso

A contar variables y magnitudes fundamentales, elegir las repetidas y montar la tabla de exponentes hasta despejar cada grupo.

leerEl teorema de Vaschy-Buckingham

ejemploCinco variables, dos parámetros, y uno de ellos es Reynolds
El ejemplo de entrada. Cinco variables, dos parámetros, y uno de ellos resulta ser Reynolds sin haberlo buscado.
examenBuckingham con seis variables, y la tabla de potencias
Seis variables y la tabla de potencias entera. Es el enunciado que pide el procedimiento completo, sin atajos.
examenEl vertedero en V, deducido sin resolver ninguna integral
La ley del vertedero triangular deducida sin resolver ninguna integral. Enseña para qué sirve de verdad el teorema.
examenEl morro del avión en el túnel, y los dos números que no caben juntos

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Cinco variables, dos parámetros, y uno de ellos es Reynolds

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La caída de presión $\Delta p$ en un tramo de tubería depende de la velocidad media $v$ , del diámetro $D$ , de la densidad $\rho$ y de la viscosidad dinámica $\mu$ del fluido:

\Delta p = f(v,\, D,\, \rho,\, \mu)

a) Determinar cuántos parámetros adimensionales describen el fenómeno.

b) Tomando $\rho$ , $v$ y $D$ como variables repetidas, obtener el parámetro que contiene a $\mu$ , es decir $\pi = \rho^{a}\,v^{b}\,D^{c}\,\mu$ .

c) Calcular su valor para agua a $20\ °\text{C}$ ( $\nu = 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ) circulando a $2\ \text{m/s}$ por un tubo de $50\ \text{mm}$ .

El número de parámetros, el exponente de la densidad y el Reynolds.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántos parámetros adimensionales describen este fenómeno?
02
El exponente de la densidad
COMP2
En $\pi = \rho^{a}\,v^{b}\,D^{c}\,\mu$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El número de Reynolds
COMP2
¿Cuánto vale $Re = \dfrac{vD}{\nu}$ en las condiciones del enunciado?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con cinco variables y tres magnitudes fundamentales, el teorema $\pi$ garantiza dos parámetros adimensionales.
2. El que contiene a $\mu$ sale $\mu/\rho v D$ , que es el inverso de Reynolds; elevar un $\pi$ a $-1$ da otro $\pi$ igual de válido.
3. El otro parámetro es $\Delta p/\rho v^{2}$ , el número de Euler, y la ley del fenómeno es $Eu = \phi(Re)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dadas seis variables, escribir los tres grupos adimensionales en menos de diez minutos y comprobar uno de ellos por dimensiones.

Los cinco números, y cuál manda en cada caso

A reconocer Reynolds, Froude, Mach, Weber y Euler en un grupo que acabas de despejar, y a decir cuál gobierna el fenómeno.

leerLos cinco números, y qué manda en cada caso

prácticaEl pilar del puente, y por qué aquí manda Froude
Hay superficie libre, así que manda Froude. Es el caso que más se confunde con el de una tubería.
prácticaDos tuberías, dos líquidos, y el mismo flujo
examenReynolds y Froude a la vez, con la gravedad de siempre

Lo tienes cuando

Ver un ensayo descrito en tres líneas y decir qué número hay que igualar, con el motivo físico, antes de escribir ninguna cuenta.

La pregunta que cae siempre — ¿es posible la semejanza absoluta?

A demostrar que dos números no se pueden igualar a la vez, y a escribir la condición que tendría que cumplir el fluido del modelo para que sí se pudiera.

leerLa pregunta que cae siempre: ¿es posible la semejanza absoluta?

El apartado lleva la deducción general, que es la que permite contestar sin rehacer el álgebra en cada examen.

prácticaEl canal, y el líquido que haría falta para la homología
El líquido que haría falta para la homología, y por qué no existe. La respuesta es el número, no la excusa.
prácticaEl submarino a escala, y la velocidad que nadie puede dar
examenCuando Mach y Reynolds se pelean por la escala
examenEl submarino autónomo, y la semejanza que no se puede cumplir
examenEl canal de Donostia a Barcelona, y la semejanza que no puede ser
examenEl túnel que necesita diez bares y solo tiene seis
Aquí la semejanza sí se puede comprar — presurizando el túnel—, y el examen pregunta cuánto cuesta.

nivel: practicaEjercicio 5.15 · Colección de Problemas, capítulo 5 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal, y el líquido que haría falta para la homología

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se dispone de un canal, que denominamos prototipo, que funciona con un líquido cuya viscosidad cinemática es $4{,}7\cdot 10^{-5}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ . Se desea experimentar con un modelo reducido a escala $1/5$ , deseándose conocer la viscosidad del líquido que deberá emplearse para que haya homología, así como la relación de velocidades y caudales entre el prototipo y modelo.

La viscosidad cinemática del líquido del modelo y las dos relaciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide homología, que es semejanza completa. ¿Qué significa eso aquí?
02
La viscosidad del líquido del modelo
COMP2
¿Qué viscosidad cinemática debe tener el líquido del modelo?
Tu respuesta al paso 2una viscosidad cinemática, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La relación de caudales
COMP2
¿Cuánto vale $Q_p/Q_m$ ?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Un canal tiene superficie libre, así que la semejanza completa exige igualar Froude y Reynolds a la vez.
2. Froude fija la relación de velocidades en $\lambda^{1/2}$ , y metida en Reynolds obliga a $\nu_m/\nu_p = \lambda^{3/2}$ .
3. Como aquí el líquido del modelo es la incógnita y no está impuesto, la condición se puede satisfacer y la homología es alcanzable.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Contestar la pregunta en dos líneas y con la condición escrita, no con un «no es posible» a secas, que es lo que puntúa cero.

Las escalas, que son lo que se calcula

A pasar velocidad, caudal, fuerza, potencia y tiempo del modelo al prototipo con la escala geométrica y el número que se conserva.

leerLas escalas, que son lo que se calcula

prácticaUna presa ensayada a escala 1 a 49
prácticaUna bomba ensayada con aire, y a qué velocidad tiene que girar
examenLa maniobra de la compuerta, a escala uno a doce
examenLa bomba en otro planeta, y la gravedad que hace falta
La gravedad deja de ser un dato y pasa a ser incógnita. Es la vuelta de tuerca que más veces ha caído.
examenEl módulo que aterriza en Marte, con variables repetidas raras
examenDos turbobombas semejantes, y qué número se puede respetar
examenEl aerosol del aula, y la válvula que da igual con qué fluido

Lo tienes cuando

Dado un ensayo a escala 1:12 con Froude, dar la escala de tiempos y la de fuerzas sin buscarlas, y justificar el exponente.

lo tienes cuando:

Montar la tabla de exponentes de Buckingham con seis variables sin equivocarte de repetidas, y contestar en dos líneas por qué Reynolds y Froude no se pueden cumplir a la vez en la Tierra.

Instalaciones de bombeo

cae los 11 años — 16 ejercicios4 escalones

Cae 11 de 11 años

«Deducir la expresión analítica de la curva característica de la instalación», con esas palabras, en seis de los doce enunciados. Y detrás, «punto de funcionamiento de la instalación de bombeo», «cota máxima a la que debe instalarse la turbobomba» y la pérdida que hay que generar en la válvula.

Cae en las once convocatorias finales y en dos de los cinco parciales —dieciséis ejercicios, el bloque más numeroso del corpus— y además es casi siempre el más largo del examen. Va el segundo y no el primero porque necesita el suelo entero: sin Darcy y sin los cuadros no se escribe ni la primera línea de la curva de la instalación.

Del enchufe al agua, escalón por escalón

A recorrer la cadena de rendimientos en los dos sentidos y a no confundir potencia útil, potencia en el eje y potencia absorbida.

leerLa cadena de rendimientos

ejemploDel enchufe al agua, escalón por escalón
El ejemplo de entrada. Del enchufe al agua, un escalón cada vez, sin ninguna instalación alrededor que distraiga.
examenLas máquinas hidráulicas de corrido, y lo que cuesta fallar
Un test donde fallar cuesta lo mismo que acertar. Sirve para medir si el vocabulario está o no está.
examenLa central de tres turbinas, y lo poco que se lleva el rozamiento

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Del enchufe al agua, escalón por escalón

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una turbobomba impulsa $40\ \text{l/s}$ de agua con una altura manométrica de $45\ \text{m}$ . Sus rendimientos son: hidráulico $\eta_m = 0{,}85$ , volumétrico $\eta_v = 0{,}95$ y orgánico $\eta_o = 0{,}92$ .

a) Calcular la potencia útil.

b) Calcular el rendimiento global.

c) Calcular la potencia que la bomba pide al motor.

La potencia útil, el rendimiento global y la potencia absorbida.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $P_u = \gamma\,H\,Q$ , ¿qué altura y qué caudal hay que meter?
02
La potencia útil
COMP2
¿Qué potencia recibe el agua?
Tu respuesta al paso 2una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El rendimiento global
COMP2
¿Cuál es el rendimiento global de la bomba? (en tanto por uno)
Tu respuesta al paso 3un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La potencia absorbida
COMP2
¿Qué potencia le pide la bomba al motor?
Tu respuesta al paso 4una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La potencia útil se calcula con las magnitudes útiles: 9800 por 45 por 0,04, es decir 17,64 kW.
2. Los tres rendimientos son escalones en serie del mismo camino, así que se multiplican: 0,743.
3. La absorbida es la útil dividida entre el global, 23,74 kW, y es mayor porque incluye todo lo que se pierde por el camino.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la potencia absorbida de una bomba a partir del caudal, la altura y los tres rendimientos, y decir cuál de ellos falta si el enunciado solo da dos.

La curva de la instalación y el punto de funcionamiento

A escribir la curva de la instalación como altura geométrica más un término en Q al cuadrado, y a cortarla con la curva de la bomba.

leerLa curva característica de la instalación

Y el apartado siguiente, «El punto de funcionamiento», que es donde se hace el corte.

ejemploDónde acaba trabajando la bomba, y lo que cuesta cerrar una válvula
El ejemplo de entrada. Dónde acaba trabajando la bomba, y lo que cuesta de verdad cerrar una válvula.
prácticaUna instalación de bombeo de principio a fin
examenLa curva de la bomba, deducida de dos puntos de funcionamiento
Aquí la curva de la bomba no la dan: hay que deducirla de dos puntos de funcionamiento. Cae más de lo que parece.
examenEl bombeo a una boquilla, y la válvula que se cierra
examenLa boquilla que alimentan dos depósitos, con la bomba a potencia fija

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Dónde acaba trabajando la bomba, y lo que cuesta cerrar una válvula

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una instalación de bombeo de agua tiene por curva característica

H_{mi} = 42 + 8\cdot 10^{-4}\,Q^{2}

y la bomba elegida,

H_b = 70 - 2{,}5\cdot 10^{-3}\,Q^{2}

con $H$ en metros y $Q$ en l/s. El rendimiento de la bomba en la zona de trabajo es del $78\ \%$ .

a) Calcular el caudal y la altura del punto de funcionamiento.

b) Calcular la potencia absorbida.

c) El proceso solo necesita $70\ \text{l/s}$ . Calcular la pérdida de carga que debe introducir la válvula de regulación.

El punto de funcionamiento, la potencia absorbida y la pérdida de la válvula.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué el punto de funcionamiento es la intersección de las dos curvas?
02
El caudal
COMP2
¿Qué caudal circula?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura
COMP2
¿Qué altura manométrica corresponde a ese caudal?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La potencia absorbida
COMP2
¿Qué potencia pide la bomba al motor?
Tu respuesta al paso 4una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La pérdida de la válvula
COMP2
Para bajar a 70 l/s, ¿qué pérdida tiene que introducir la válvula?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Igualando las dos curvas sale el punto de funcionamiento: 92,1 l/s y 48,8 m, que la bomba da y la instalación necesita a la vez.
2. Ahí la potencia absorbida es de 56,5 kW, un 28 % más que la que llega al agua.
3. Para bajar a 70 l/s hay que cerrar una válvula que disipe 11,8 m, es decir 8,1 kW tirados a la basura.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Escribir la curva de una instalación con dos tramos y una boquilla en menos de cinco minutos, y localizar el punto de funcionamiento con la curva de la bomba dada por tres puntos.

Cómo se mueve el punto de funcionamiento

A predecir adónde se va el punto si cierras una válvula, presurizas un depósito, subes el nivel o pones dos bombas en paralelo.

leerCómo se mueve el punto de funcionamiento

prácticaLa bomba que empuja cuesta abajo, y aun así hace falta
El caso que rompe la intuición: el agua baja y aun así hace falta bomba.
prácticaLa caldera, el agua a 75 grados y la válvula que hay que cerrar
examenBombear hacia abajo, y la válvula que hay que cerrar después
examenDos bombas en paralelo, y unos metros de columna que no son de agua
Dos bombas en paralelo, y unos metros de columna que no son de agua. Las dos trampas del bloque en el mismo enunciado.
examenEl circuito cerrado donde presurizar el depósito no sirve de nada
En un circuito cerrado presurizar el depósito no sirve de nada, y el examen pregunta precisamente eso.
examenLa misma boquilla con la bomba apagada y encendida
examenLa red de cuatro barrios, y el diámetro que fija el más lejano

Lo tienes cuando

Decir, sin calcular, en qué dirección se mueve el punto ante cada una de las cuatro maniobras — y luego calcularlo.

Cavitación y NPSH

A calcular el NPSH disponible de una aspiración y a compararlo con el requerido para decidir la cota máxima de la bomba.

leerCavitación y NPSH

ejemploHasta qué altura se puede subir la bomba antes de que cavite
El ejemplo de entrada. Hasta qué altura se puede subir la bomba antes de que empiece a cavitar.
prácticaLa instalación completa, y la bomba que acaba cavitando
examenHasta dónde puede subir la bomba sobre el nivel del agua
examenLa bomba de mejor rendimiento es la que hay que descartar
La bomba de mejor rendimiento es la que hay que descartar. El enunciado está montado para castigar el atajo.
examenElegir la bomba entre tres, y la que cavita
examenElegir la bomba entre tres modelos, y ajustar la válvula para que el nivel no se mueva

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Hasta qué altura se puede subir la bomba antes de que cavite

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una bomba aspira agua a $20\ °\text{C}$ de un pozo, con su eje $4\ \text{m}$ por encima de la lámina libre. La tubería de aspiración pierde $1{,}8\ \text{m}$ al caudal de trabajo.

El fabricante da un $NPSH_{\text{requerido}} = 2{,}8\ \text{mca}$ en ese punto.

Datos: presión atmosférica $10\ \text{mca}$ , presión de vapor del agua a 20 °C $0{,}24\ \text{mca}$ (absoluta).

a) Calcular el NPSH disponible.

b) Calcular el NPSH de seguridad y decidir si la instalación es aceptable.

c) Calcular la cota máxima a la que podría montarse la bomba.

El NPSH disponible, el de seguridad y la cota máxima admisible.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué depende cada uno de los dos NPSH?
02
El NPSH disponible
COMP2
¿Cuánto vale el NPSH disponible?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El NPSH de seguridad
COMP2
¿Cuánto margen queda frente a la cavitación?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La cota máxima
COMP2
¿A qué altura máxima sobre el pozo podría montarse la bomba, aplicando el criterio $NPSH_{\text{disp}} > 1{,}3\,NPSH_{\text{req}}$ ?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El NPSH disponible es de la instalación: atmosférica menos tensión de vapor, menos cota, menos pérdidas de aspiración. Aquí 3,96 mca.
2. El requerido lo da el fabricante y es de la máquina: 2,8 mca. El margen es la diferencia, 1,16 mca.
3. Con el criterio de 1,3 veces el requerido, la cota máxima es de 4,32 m: la instalación cumple, pero con poco margen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dada una aspiración con su longitud, su material y la temperatura del agua, decir la cota máxima de la bomba y de dónde sale cada término del NPSH disponible.

lo tienes cuando:

Escribir la curva de la instalación de una red que no has visto antes, cortarla con la de la bomba, decidir si cavita y ajustar la válvula para mover el punto adonde te pidan.

Flujo en canales

10 de 11 años — Manning y la óptima4 escalones

Cae 10 de 11 años

«Calcular la pendiente exacta del canal en milésimas y la velocidad», «seleccionar el diámetro comercial mínimo a instalar» y «¿cuál deberá ser la berma de seguridad del canal?». Con esas palabras.

Cae en 10 de las 11 convocatorias finales y en uno de los cinco parciales: once ejercicios. Va detrás de bombeo porque comparte con él la mecánica de resolver por tanteo, pero delante de todo lo demás porque su rendimiento es casi el mismo y su temario es mucho más corto: un solo tema.

Chezy y Manning

A aplicar Manning con el coeficiente que toca del cuadro n.º 26, y a entender por qué el radio hidráulico va elevado a dos tercios.

leerManning

prácticaEl canal rectangular y la media caña, con los mismos datos
Los mismos datos en dos secciones. Es la forma más rápida de ver qué parte del resultado la pone la geometría.
examenEl canal, su berma de seguridad y el material que hay que buscar

nivel: practicaEjercicio 8.7 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal rectangular y la media caña, con los mismos datos

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un canal rectangular de cemento sin acabado (coeficiente de Manning $n = 0{,}014$ ) tiene $2{,}5\ \text{m}$ de ancho. La pendiente de la solera es de $1{,}5$ milésimas. Se pide:

a) Calado o altura del agua para un caudal de $6\ \text{m}^{3}/\text{s}$ .

b) Si la sección del canal fuese semicircular y fuese a sección llena, calcular el diámetro.

c) ¿Cuál de las dos opciones es mejor? ¿Por qué?

El calado del canal rectangular, el diámetro del semicircular y cuál conviene.

01
Reconocer el camino
COMP1
En Manning, $Q = \frac{1}{n}A\,R_H^{2/3}\sqrt{J}$ . ¿Qué es $R_H$ en un canal rectangular con el agua a calado $h$ ?
02
El calado del canal rectangular
COMP2
¿Qué calado alcanza el agua con $6\ \text{m}^{3}/\text{s}$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro de la media caña
COMP2
¿Qué diámetro necesita la sección semicircular a sección llena?
Tu respuesta al paso 3un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Cuánto se ahorra con la media caña
COMP2
¿Qué porcentaje de perímetro mojado ahorra la media caña respecto del rectángulo? (solo el número)
Tu respuesta al paso 4un porcentaje, solo el número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el mismo material, la misma pendiente y el mismo caudal, el rectángulo necesita 3,00 m² de sección y 4,90 m de perímetro mojado.
2. La media caña de 2,68 m necesita 2,83 m² y 4,21 m: un 6 % menos de área y un 14 % menos de perímetro.
3. Menos perímetro es menos rozamiento y menos área es menos excavación y menos hormigón, así que la media caña es mejor por las dos razones a la vez.

$h$	$A$	$P$	$R_H$	$Q$
1,00	2,50	4,50	0,556	4,66
1,20	3,00	4,90	0,612	5,99
1,21	3,03	4,92	0,615	6,06

Resolución completa

a) El calado. Manning con $A = 2{,}5h$ y $P = 2{,}5 + 2h$ no se despeja: hay que iterar. Con $h = 1{,}2$ m sale $Q = 5{,}99$ m³/s, que es el caudal pedido.

b) El diámetro. A sección llena el semicírculo deja todo en función de $D$ , porque $A = \pi D^{2}/8$ y $R_H = D/4$ :

Q = 0{,}4311\,D^{8/3} = 6 \;\Longrightarrow\; D = 2{,}68\ \text{m}

Aquí sí hay despeje directo, y es la razón de que las secciones circulares se calculen más rápido que las rectangulares.

c) Cuál es mejor, con números.

	área	perímetro mojado	$R_H$
rectángulo $2{,}5\times 1{,}2$	3,00 m²	4,90 m	0,612 m
media caña $D = 2{,}68$	2,83 m²	4,21 m	0,670 m

La media caña gana en las tres columnas: menos área —menos excavación y menos material—, menos perímetro —menos rozamiento— y más radio hidráulico, que es la otra cara de lo mismo.

Y el detalle que hace honesta la comparación. El rectángulo del enunciado está prácticamente en su óptimo: la sección rectangular óptima cumple $b = 2h$ , y aquí $2{,}5 \approx 2\cdot 1{,}2$ . Así que no se está comparando el semicírculo con un rectángulo mal hecho, sino con el mejor rectángulo posible. El 14 % de ahorro es real y es el techo de lo que se puede ganar cambiando la forma.

Por qué entonces se siguen haciendo canales rectangulares. Porque un encofrado plano es mucho más barato que una media caña de dos metros y medio de diámetro, y porque un rectángulo se limpia con una pala. El 14 % hidráulico se paga en obra, y esa es una decisión que el cálculo no toma.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Calcular el caudal de un canal trapecial dado el calado, la pendiente y el material, sin consultar la fórmula.

La sección hidráulicamente óptima

A deducir la relación entre ancho y calado que hace máximo el caudal, y a decir cuánto se gana de verdad con ella.

leerLa sección hidráulicamente óptima

ejemploEl semicuadrado, y cuánto se gana de verdad con él
El ejemplo de entrada. El semicuadrado, y la respuesta honesta a «¿cuánto se gana?», que es menos de lo que uno espera.
prácticaLa óptima, la media caña, cuál es mejor, y el calado real
examenLa sección óptima de un canal rectangular, deducida
Pide la deducción, no el resultado. Es COMP4 con la forma de un problema de cálculo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

El semicuadrado, y cuánto se gana de verdad con él

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere conducir $3\ \text{m}^{3}/\text{s}$ por un canal rectangular de hormigón en bruto ( $n = 0{,}015$ ) con una pendiente de 1 milésima.

a) Calcular el calado y la solera de la sección hidráulicamente óptima.

b) Calcular la velocidad del agua.

c) Si esa misma sección se construyera con el doble de pendiente, ¿qué caudal transportaría?

Las dimensiones de la sección óptima, su velocidad y el caudal con doble pendiente.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la sección de mínimo perímetro mojado es también la de mínima área?
02
El calado óptimo
COMP2
¿Cuál es el calado de la sección óptima?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad
COMP2
¿A qué velocidad circula el agua?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Con el doble de pendiente
COMP2
Manteniendo la misma sección, ¿qué caudal llevaría con $J = 2$ milésimas?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción, que es la que cayó en junio de 2023. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De Manning, $A^{5/3}/P^{2/3}$ es constante para $Q$ , $n$ y $J$ dados, luego $A = kP^{2/5}$ : el área es mínima cuando lo es el perímetro.
2. En un rectángulo, eliminando la solera queda $P = A/h + 2h$ , y anulando la derivada respecto al calado sale $A = 2h^{2}$ .
3. Como $A = bh$ , eso significa $b = 2h$ : la sección óptima es el semicuadrado, con $R_H = h/2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Deducir b = 2y para el rectángulo en papel, sin recordarla, y explicar en una frase por qué el semicírculo es la óptima absoluta.

Los tres tipos de problema

A reconocer si te piden el caudal, el calado o la pendiente, y a saber cuál de los tres obliga a tantear.

leerLos tres tipos de problema

prácticaDiseñar un canal para doce metros cúbicos por segundo
prácticaDimensionar la media caña, y volver atrás a por el calado
Dimensionar la media caña y volver atrás a por el calado real. El camino de ida y vuelta que pide el examen.
prácticaEl canal de desagüe, y elegir las tres variables a la vez
examenTres canales encadenados, y el diámetro que hay que redondear
examenLa red de canales hecha con losas cuadradas
El ramal que lleva la mitad de caudal arranca setenta metros más alto, porque su calado está limitado. Una limitación de calado se paga en cota.

Lo tienes cuando

Ver un enunciado y decir en diez segundos cuál de los tres tipos es y si vas a tener que tantear.

Las secciones que no tienen fórmula

A escribir el área y el perímetro mojado de una sección cualquiera —circular parcial, en V, un hexágono, una calzada— desde la geometría, sin buscar una fórmula que no existe.

leerSección circular parcialmente llena

prácticaEl canal en V, donde no hay fórmula que recordar
No hay fórmula que recordar, y ese es el punto del ejercicio.
prácticaLa acequia del foso, y el 70 % de qué
examenEl canal de arena, y el rectángulo que lo sustituye
De aquí sale un dato del cuadro n.º 26 que se olvida: el coeficiente de Manning de la arena es 0,020.
examenMedio hexágono con un semicírculo encima
examenEl canal con un acuerdo circular, y el perímetro que hay que ir sumando
examenLa calzada como canal, y desde dónde se mide la altura
examenEl canal con berma, y la pared que se levanta en invierno
examenEl aliviadero de dos rampas, y las dos formas de redondear
examenDos vertederos en el mismo canal, y dos alturas distintas

nivel: practicaEjercicio 8.15 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal en V, donde no hay fórmula que recordar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un canal abierto en forma de V, siendo el ángulo $90°$ , transporta $45\ \text{l/s}$ cuando la profundidad es de $h = 230\ \text{mm}$ . Calcular la pendiente del canal en milésimas.

Dato: coeficiente de Manning $n = 0{,}013$ .

La pendiente del canal, en milésimas.

01
Reconocer el camino
COMP1
En una V de $90°$ con el vértice abajo y calado $h$ , ¿cuánto valen el área y el perímetro mojados?
02
El radio hidráulico
COMP2
¿Cuánto vale $R_H$ con $h = 230\ \text{mm}$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La pendiente
COMP2
¿Cuál es la pendiente del canal, en milésimas? (solo el número)
Tu respuesta al paso 3un número en milésimas, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $90°$ de abertura, $A = h^{2} = 0{,}0529$ m² y $P = 2h\sqrt2 = 0{,}65$ m.
2. El radio hidráulico es $h/(2\sqrt2) = 0{,}081$ m, apenas un tercio del calado.
3. De ahí $v = 0{,}85$ m/s y una pendiente de 3,47 milésimas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dibujar una sección compuesta, marcar qué parte del contorno está mojada y cuál no, y escribir las dos expresiones sin equivocarte de arco.

lo tienes cuando:

Dimensionar un canal de sección que no habías visto nunca: escribir su área y su perímetro mojado en función de una variable, meterlos en Manning y despejar por tanteo.

Fuerzas sobre superficies y sobre cuerpos

10 de 11 años — la compuerta y Arquímedes6 escalones

Cae 10 de 11 años

«Dibujar los prismas de presiones acotados» —esas cinco palabras, en cinco de las once finales y en un parcial—, y detrás «calcular las componentes horizontal y vertical de la fuerza», «calcular la reacción en el tope C» y «¿para qué valor de h empezará a abrirse la compuerta?».

Sumados los dos temas caen en 10 de las 11 convocatorias finales y en dos de los cinco parciales: doce ejercicios. Van juntos porque el examen los mezcla en el mismo enunciado más veces que los separa: el bloque que ancla una tubería submarina es Arquímedes y prisma de presiones a la vez.

La superficie plana inclinada y el centro de presión

A calcular la fuerza sobre una compuerta plana y a situar el centro de presión por debajo del centro de gravedad, con su distancia.

leerSuperficie plana inclinada

ejemploUna compuerta vertical, y dónde se aplica la fuerza
El ejemplo de entrada. Una compuerta vertical y la pregunta que de verdad importa: dónde se aplica la fuerza.
ejemploLa misma compuerta, ahora inclinada sesenta grados
La misma compuerta a sesenta grados, para separar lo que cambia de lo que no.
prácticaHasta dónde puede subir el agua antes de abrir la compuerta
examenLa compuerta que se abre sola a los cuatro metros

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Una compuerta vertical, y dónde se aplica la fuerza

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito de agua tiene en su pared vertical una compuerta rectangular de $2\ \text{m}$ de ancho, cuyo borde superior está a $1\ \text{m}$ de profundidad y el inferior a $3\ \text{m}$ .

a) Calcular la fuerza hidrostática sobre la compuerta.

b) Calcular la profundidad a la que se aplica.

Tomar $\gamma = 9800\ \text{N/m}^{3}$ y presiones manométricas.

La resultante y la profundidad del centro de presión.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para la resultante, ¿qué presión hay que usar?
02
La resultante
COMP2
¿Cuánto vale la fuerza sobre la compuerta?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El centro de presión
COMP2
¿A qué profundidad se aplica esa fuerza?
Tu respuesta al paso 3una profundidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A = 4\ \text{m}^{2}$ y $H_G = 2\ \text{m}$ , la profundidad del centro de la compuerta.
2. $F = \gamma H_G A = 78{,}4\ \text{kN}$ , que es también el volumen del prisma de presiones.
3. $I_G = bh^{3}/12 = 1{,}333\ \text{m}^{4}$ , respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
4. $Y_P = I_G/(Y_G A) + Y_G = 2{,}167\ \text{m}$ .
5. Comprobación: el centro de presión cae entre el centroide ( $2\ \text{m}$ ) y el borde inferior ( $3\ \text{m}$ ).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la fuerza y la profundidad del centro de presión de una compuerta inclinada de memoria, y explicar por qué el centro de presión sube al subir el agua.

El prisma de presiones cuando no es un triángulo

A construir el prisma de presiones con aire presurizado o con vacuómetro encima, donde deja de ser un triángulo y pasa a ser un rectángulo con signo más dos triángulos.

leerEl prisma de presiones

prácticaUna compuerta con agua a un lado y aceite presurizado al otro
examenLa compuerta ABC, y el prisma que no es un triángulo
El prisma no es un triángulo, y el error típico consiste en dibujarlo como si lo fuera.
examenLa compuerta con vacuómetro, y el plano piezométrico que se hunde
El plano piezométrico se hunde por debajo de la compuerta. Vale la pena dibujarlo antes de escribir nada.

nivel: practicaEjercicio 2.24 · Colección de Problemas, capítulo 2 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Una compuerta con agua a un lado y aceite presurizado al otro

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La compuerta $AB$ de la figura tiene $1{,}20\ \text{m}$ de anchura normal al dibujo y está articulada en $A$ . Se pide:

a) Fuerza horizontal que debe aplicarse en $B$ , en módulo y sentido, para que la compuerta se mantenga en equilibrio.

La compuerta tiene agua a un lado y aceite al otro, y encima de cada uno un aire que no está a la atmosférica: uno en depresión, medido por el vacuómetro, y el otro por el manómetro en U. Los dos prismas de presiones arrancan de un valor que hay que calcular antes, y ese es el ejercicio.

La fuerza horizontal que hay que aplicar en B, con su sentido.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay dos manómetros y ninguno mide la compuerta. ¿Para qué sirven?
02
La presión del aire de la derecha
COMP2
¿Qué presión tiene el aire sobre el aceite?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza en B
COMP2
¿Qué fuerza horizontal hay que aplicar en $B$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El manómetro de la derecha da $4{,}5$ mca de aire sobre el aceite, y el de la izquierda, $-1{,}5$ mca sobre el agua.
2. Con eso, el aceite empuja la compuerta con más fuerza que el agua, pese a ser más ligero y tener mucha menos altura.
3. Tomando momentos respecto de $A$ , hace falta aplicar $2223$ daN en $B$ hacia la derecha.

Resolución completa

Los dos manómetros son el problema. Sin ellos, mirando el dibujo, cualquiera diría que los $5{,}4\ \text{m}$ de agua ganan a los $1{,}8\ \text{m}$ de aceite ligero. Con ellos, la cuenta se da la vuelta.

\text{izquierda: } p_{\text{aire}} = -0{,}15\ \frac{\text{kg}}{\text{cm}^{2}} = -1{,}5\ \text{mca} \qquad \text{derecha: } p_{\text{aire}} = 3\cdot 1{,}5 = +4{,}5\ \text{mca}

Las presiones sobre la compuerta, que va de $A$ (superficie del aceite, a 3,6 m bajo la del agua) a $B$ (fondo):

	en $A$	en $B$
agua	$2{,}1$ mca	$3{,}9$ mca
aceite	$4{,}5$ mca	$5{,}85$ mca

El aceite gana en todos los puntos. Tomando momentos respecto de la articulación:

F = \frac{M_{\text{aceite}} - M_{\text{agua}}}{1{,}8} = \frac{102{,}9 - 62{,}9}{1{,}8} = 22{,}2\ \text{kN} = 2223\ \text{daN} \;\text{hacia la derecha}

Lo que hay que llevarse es que el sentido de la fuerza no se puede adivinar mirando el dibujo. Aquí el lado con menos fluido y más ligero es el que más empuja, porque su aire está a cuatro metros y medio de columna de agua mientras que el otro está en depresión. Seis metros de columna de diferencia entre los dos aires, contra tres y pico que aporta la geometría.

Y la disciplina que lo hace fácil: escribir la presión en $A$ y en $B$ por los dos lados antes de integrar nada, en una tabla de cuatro casillas. Con esa tabla delante, el signo del resultado ya se ve.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dibujar el prisma de una compuerta con dos fluidos y aire encima, y descomponerlo en figuras cuyo área y centroide sepas de memoria.

Superficies curvas — las dos componentes

A separar la componente horizontal —la de la proyección vertical— de la vertical —el peso del volumen de líquido que descansa encima, real o imaginario—.

leerSuperficies curvas: dos componentes

prácticaUn cuarto de cilindro, y por qué se abre sin fuerza
Un cuarto de cilindro que se abre sin fuerza. El resultado sale exactamente cero, y eso no es casualidad.
prácticaUna compuerta que no recibe fuerza y aun así hay que sujetar
examenLa compuerta de cuarto de cilindro, y hasta dónde aguanta el agua
examenEl cuarto de círculo con un fluido a cada lado

nivel: practicaEjercicio 2.29 · Colección de Problemas, capítulo 2 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un cuarto de cilindro, y por qué se abre sin fuerza

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la compuerta de la figura, formada por un cuarto de cilindro de $2\ \text{m}$ de radio y $2\ \text{m}$ de longitud normal al plano del dibujo, se pide:

a) Componente horizontal de la fuerza ejercida por el agua.

b) Componente vertical.

c) Fuerza $F$ necesaria para abrirla en el supuesto de despreciar su peso.

Dato: distancia del centro de gravedad de un cuarto de círculo a los radios que lo limitan $= 4R/3\pi$ .

La componente vertical es el peso del volumen de agua que descansaría sobre el arco, y aquí ese volumen es imaginario: el agua está debajo, no encima. Por eso apunta hacia arriba, y por eso el resultado del apartado c) es exactamente cero.

Las dos componentes de la fuerza del agua y la fuerza necesaria para abrir.

01
Reconocer el camino
COMP1
En una superficie curva, ¿cómo se calcula cada componente?
02
La componente horizontal
COMP2
¿Cuánto vale la componente horizontal?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La componente vertical
COMP2
¿Y la componente vertical?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza para abrirla
COMP2
¿Qué fuerza hace falta para abrir la compuerta, en newtons?
Tu respuesta al paso 4un número en newtons — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La componente horizontal se calcula sobre la proyección vertical del arco: 156,8 kN.
2. La vertical es el peso del agua que hay encima del arco —prisma más cuarto de círculo—: 179,2 kN.
3. Como cada presión elemental es radial, todas pasan por $O$ y la resultante también: su momento es nulo y $F = 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Sombrear el volumen que pesa sobre una superficie curva sin equivocarte de lado, y justificar el signo de la componente vertical cuando el líquido está debajo.

La subpresión, y la presa que vuelca

A incluir la subpresión del terreno en el equilibrio de una presa y a comprobar el vuelco y el deslizamiento.

leerLa subpresión

prácticaDimensionar una presa al vuelco, con el hielo apretando
prácticaLa compuerta que abre la subpresión, no el empuje
Lo que abre la compuerta no es el empuje, es lo que empuja desde abajo. Es el error típico del apartado entero.
prácticaEl aliviadero automático, con sus cuatro momentos y su contrapeso
examenLa presa con dos leyes, y el terreno que empuja desde abajo

Lo tienes cuando

Escribir los cuatro momentos de una presa —empuje, peso, subpresión y lo que haya encima— respecto del pie de aguas abajo, con sus brazos.

Arquímedes y los cuerpos sumergidos

A plantear el equilibrio de un cuerpo que flota o que está sumergido entre dos líquidos, con el empuje de cada uno.

leerArquímedes, deducido

ejemploCuánto se hunde un bloque que flota
El ejemplo de entrada. Cuánto se hunde un bloque, y de dónde sale el empuje sin recitar el principio.
prácticaLa escala de un hidrómetro, y por qué no es lineal
La escala de un hidrómetro no es lineal, y el ejercicio hace ver por qué.
prácticaCuánto puede pesar la carcasa de un globo de hidrógeno
prácticaDos campanas de buceo, con el aire que se comprime dentro
examenEl cuerpo que flota entre dos líquidos, con siete bares encima
examenEl balancín con un prisma y una esfera, cada uno en su fluido
examenLa gabarra que se hundió al llegar al agua dulce
Se hundió al pasar de agua salada a agua dulce. Es el ejercicio que mejor explica para qué sirve la densidad relativa.
examenEl bloque que sujeta la tubería submarina, y los datos que sobran
examenEl globo aerostático, y a qué temperatura hay que calentar el aire

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Cuánto se hunde un bloque que flota

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un bloque de madera de densidad relativa $s = 0{,}6$ y dimensiones $0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}4\ \text{m}$ flota en agua con su cara de $0{,}5\times0{,}5$ horizontal.

a) ¿Cuánto pesa?

b) ¿Qué volumen queda sumergido?

c) ¿Cuál es el calado, es decir, la altura sumergida?

Tomar $\gamma_{\text{agua}} = 9800\ \text{N/m}^{3}$ .

El peso, el volumen sumergido y el calado.

01
Reconocer el camino
COMP1
El bloque flota en equilibrio. ¿Qué relación hay entre empuje y peso?
02
El peso
COMP2
¿Cuánto pesa el bloque?
Tu respuesta al paso 2un peso, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El calado
COMP2
¿Qué altura del bloque queda bajo el agua?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $V = 0{,}1\ \text{m}^{3}$ y $W = s\gamma V = 588\ \text{N}$ .
2. Flota en equilibrio: $E = W$ , y $E = \gamma V_{\text{sum}}$ .
3. $V_{\text{sum}} = 588/9800 = 0{,}06\ \text{m}^{3}$ , el 60 % del total.
4. Calado $= V_{\text{sum}}/A_{\text{base}} = 0{,}24\ \text{m}$ , y sobresalen $0{,}16\ \text{m}$ .
5. Con caras paralelas, la fracción sumergida coincide con la densidad relativa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Resolver un cuerpo que flota en la interfaz de dos líquidos dando el calado en cada uno, y comprobar el resultado por pesos.

Tensiones en tuberías — la fórmula de Barlow

A calcular el espesor de un tubo o de una esfera a presión y a justificar por qué la esfera necesita la mitad.

leerTensiones en tuberías: la fórmula de Barlow

nivel: practicaEjercicio 2.45 · Colección de Problemas, capítulo 2 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El espesor de una esfera a presión, y por qué es la mitad que un tubo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene una esfera hueca de $10\ \text{cm}$ de diámetro interior sometida a una presión interna de $50\ \text{kg/cm}^{2}$ . Se pide:

a) Espesor de la pared si la tensión admisible de trabajo es $2\ \text{kg/mm}^{2}$ .

El espesor de la pared de la esfera.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por dónde se corta una esfera para plantear el equilibrio?
02
El espesor
COMP2
¿Qué espesor debe tener la pared?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Aislando media esfera, la presión empuja sobre el círculo diametral y la pared resiste sobre la corona de espesor $e$ .
2. Igualando, $e = pD/4\sigma$ , que es la mitad del espesor que necesitaría un tubo del mismo diámetro y presión.
3. Con los datos, y pasando todo a $\text{kg/mm}^{2}$ , sale $e = 6{,}25$ mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Deducir Barlow cortando el tubo por un diámetro, sin recordar la fórmula, y decir qué cambia al hacerlo con una esfera.

lo tienes cuando:

Ante una superficie curva con dos fluidos y aire encima, dibujar el prisma de presiones, sacar las dos componentes con su punto de aplicación y cerrar el equilibrio de momentos.

Cantidad de movimiento aplicada

9 de 11 años — codos y álabes5 escalones

Cae 9 de 11 años

«Fuerza que el fluido ejerce sobre el conjunto (módulo, dirección y sentido)», y en los de álabe «¿a qué velocidad debe desplazarse el álabe para que la potencia sea máxima?».

Cae en 9 de las 11 convocatorias finales y en dos de los cinco parciales: once ejercicios. Va después de los tres primeros huecos porque, a diferencia de ellos, se puede resolver casi entero con dos fórmulas bien entendidas, así que rinde más por hora al final que al principio.

El volumen de control y las fuerzas que hay que contar

A elegir el volumen de control y a enumerar sin olvidos las fuerzas que actúan sobre él: presiones en las caras, peso, y la reacción del anclaje.

leerLas fuerzas que hay que contar

ejemploLa fuerza sobre un codo, y cuál de los dos términos manda
El ejemplo de entrada. Cuál de los dos términos manda, el de presión o el de cantidad de movimiento, y por cuánto.
prácticaLa fuerza sobre un codo de noventa grados
prácticaUn codo que además estrecha, y las dos componentes de su anclaje
prácticaLa pieza en Y, y las diecisiete toneladas que hay que anclar
La pieza en Y, y las diecisiete toneladas que hay que anclar. Es el que hace ver la escala real de estas fuerzas.
examenEl codo que da la vuelta entera, y la boquilla que acelera nueve veces
examenLa pieza con dos boquillas, y quién pone de verdad la fuerza
El examen pregunta quién pone de verdad la fuerza, y la respuesta no es la que uno diría de entrada.
examenEl cabezal de la ducha, y lo que aguanta su fijación

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

La fuerza sobre un codo, y cuál de los dos términos manda

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por un codo de $90°$ situado en un plano horizontal, de $200\ \text{mm}$ de diámetro constante, circulan $80\ \text{l/s}$ de agua. El manómetro a la entrada marca $3\ \text{bar}$ , y se desprecian las pérdidas.

a) Calcular la velocidad del agua.

b) Calcular la fuerza que el agua ejerce sobre el codo.

Tomar $\rho = 1000\ \text{kg/m}^{3}$ .

La velocidad y la resultante sobre el codo, con su dirección.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué fuerzas exteriores hay que meter en el primer miembro del TCM?
02
La velocidad
COMP2
¿A qué velocidad circula el agua?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La resultante sobre el codo
COMP2
¿Cuál es el módulo de la fuerza que el agua ejerce sobre el codo?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $v = Q/A = 2{,}546\ \text{m/s}$ , la misma a la entrada y a la salida porque el diámetro no cambia.
2. Sin pérdidas y en horizontal, Bernoulli deja $p_2 = p_1$ .
3. Eje $x$ : $p A + R_x = \rho Q(0-v)$ ; eje $y$ : $-pA + R_y = \rho Q(v-0)$ .
4. Cada componente de la fuerza sobre el codo vale $pA+\rho Qv = 9{,}63\ \text{kN}$ .
5. Resultante $13{,}62\ \text{kN}$ a $45°$ , hacia fuera de la esquina.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Anclar un codo reductor de 60° dando módulo y dirección, y decir qué fracción del total pone el término de presión.

Los álabes, fijos y móviles

A calcular la fuerza sobre un álabe fijo y sobre uno que se mueve, y a encontrar la velocidad que hace máxima la potencia.

leerTeoría general de los álabes

ejemploLa fuerza sobre un álabe, y por qué 180 grados da el doble
El ejemplo de entrada, y de paso la razón de que 180 grados dé exactamente el doble.
ejemploEl álabe que se mueve, y a qué velocidad conviene que gire
examenEl álabe que huye del chorro, y el que va a su encuentro
examenLos alerones de un fórmula 1, que son álabes fijos
examenEl carro con el álabe, y por qué no se mueve
El apartado que se responde sin una sola cuenta: si el depósito y el carro se unen, el conjunto no se mueve.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

La fuerza sobre un álabe, y por qué 180 grados da el doble

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un chorro de agua de $30\ \text{l/s}$ y $20\ \text{m/s}$ incide tangencialmente sobre un álabe fijo que lo desvía un ángulo $\theta$ respecto de su dirección original.

a) Calcular la fuerza sobre el álabe si $\theta = 90°$ .

b) Calcular la fuerza si $\theta = 180°$ .

Despreciar el rozamiento; $\rho = 1000\ \text{kg/m}^{3}$ .

Las componentes de la fuerza en los dos casos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sin rozamiento y a presión atmosférica, ¿qué le pasa al módulo de la velocidad al atravesar el álabe?
02
La fuerza con noventa grados
COMP2
Con $\theta = 90°$ , ¿cuánto vale la componente $F_x$ ?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza con ciento ochenta grados
COMP2
Y si el álabe devuelve el chorro por donde vino, ¿cuánto vale $F_x$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli con las cuatro hipótesis del álabe deja $v_1 = v_2 = v$ .
2. TCM en $x$ : $F_x = \rho Q(v - v\cos\theta) = \rho Qv(1-\cos\theta)$ .
3. Con $\theta = 90°$ : $F_x = F_y = 600\ \text{N}$ , resultante $848{,}5\ \text{N}$ .
4. Con $\theta = 180°$ : $F_x = 1200\ \text{N}$ y $F_y = 0$ .
5. En general, el módulo vale $2\rho Qv\sin(\theta/2)$ , que en $180°$ da el máximo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la potencia de un álabe móvil en función de su velocidad y demostrar dónde está el máximo, sin recordar que es un tercio.

Chorros que se parten y placas inclinadas

A repartir un chorro que choca contra una placa inclinada y a resolver una bifurcación con dos ángulos distintos.

leerFuerzas sobre un codo

nivel: practicaEjercicio 4.10 · Colección de Problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un chorro contra una placa inclinada, y cómo se reparte el agua

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un chorro de agua de $50\ \text{mm}$ de diámetro incide sobre una placa cuadrada, la cual forma $30°$ con la dirección del chorro. La velocidad del agua en el chorro es de $18\ \text{m/s}$ e incide en la placa en su centro de gravedad. Despreciando el rozamiento y el peso de la placa, se pide:

a) Fuerza $P$ que hay que aplicar en el extremo para mantener la placa en equilibrio.

b) Reparto de caudales.

(La placa está articulada en uno de sus extremos y la fuerza $P$ se aplica en el opuesto; el chorro incide en el punto medio.)

La fuerza en el extremo y los dos caudales que salen de la placa.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sin rozamiento, ¿en qué dirección es la fuerza sobre la placa?
02
La fuerza en el extremo
COMP2
¿Qué fuerza $P$ hay que aplicar?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal mayor
COMP2
¿Qué caudal se va por la rama grande?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sin rozamiento la fuerza es normal a la placa, y vale $\rho Q v\sin 30° = 318$ N.
2. Como el chorro incide en el centro y $P$ se aplica en el extremo, basta la mitad: 159 N.
3. El reparto sale de conservar la cantidad de movimiento paralela a la placa: 32,98 y 2,37 l/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Repartir un chorro entre las dos ramas de una placa inclinada justificando el reparto, y encontrar el ángulo que hace máxima la fuerza.

El ensanchamiento brusco, deducido

A deducir la pérdida de Borda-Carnot con el teorema de la cantidad de movimiento, en vez de copiarla de una tabla.

leerY el resto de aplicaciones del temario

nivel: practicaEjercicio 4.11 · Colección de Problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El ensanchamiento brusco, deducido, y con aire dentro

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por un conducto de $60\ \text{cm}$ de diámetro circula aire a una presión absoluta $p = 0{,}7\ \text{kg/cm}^{2}$ , $T = 5\ °\text{C}$ y $v = 60\ \text{m/s}$ . El conducto sufre un ensanchamiento brusco pasando a tener $75\ \text{cm}$ de diámetro. Considerando el gas como incompresible, se pide:

a) Pérdidas en el ensanchamiento brusco.

b) Diferencia de presiones en el ensanchamiento.

La pérdida de carga y la diferencia de presiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la pérdida de un ensanchamiento brusco se puede deducir y la de un codo no?
02
La pérdida de carga
COMP2
¿Cuánto vale la pérdida en el ensanchamiento?
Tu respuesta al paso 2una longitud, en metros de columna de aire — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La diferencia de presiones
COMP2
¿Cuánto sube la presión, en centímetros de columna de agua?
Tu respuesta al paso 3un número en centímetros de columna de agua — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La continuidad da $v_2 = 38{,}4$ m/s, y la pérdida del ensanchamiento es $(v_1-v_2)^{2}/2g = 23{,}8$ m de aire.
2. Bernoulli con esa pérdida deja $84{,}6$ m de columna de aire de recuperación de presión.
3. Con la densidad del aire en esas condiciones, eso son solo $7{,}3$ cm de columna de agua.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Deducir la expresión de la pérdida por ensanchamiento brusco en papel, diciendo en qué cara se aplica la presión de entrada.

Cuando lo que se pide es un par, no una fuerza

A tomar momentos respecto de un eje en vez de sumar fuerzas, y a ver por qué dos chorros opuestos dan resultante nula y par no nulo.

leerMomento cinético

El apartado más corto del tema y el que conecta con el 22: una turbomáquina no se estudia por la fuerza sobre un álabe, se estudia por el par en el eje.

ejemploEl aspersor, y el par que hay que hacer para que no gire
El aspersor de riego, y nuestro. Un solo ejercicio, y es todo lo que hay: la colección no trae ni uno de momento cinético. Enseña las dos cosas que el examen podría pedir —el par con el eje frenado y la velocidad de giro sin rozamiento— y avisa del error que las une: momento nulo no es fuerza nula.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre el teorema del momento de la cantidad de movimiento del tema 14. Ese apartado era la única parte de los temas 14 y 15 que solo se podía leer: no tenía ningún ejercicio, ni de la colección ni nuestro. No es de examen.

El aspersor, y el par que hay que hacer para que no gire

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un aspersor de riego tiene dos brazos de $0{,}20\ \text{m}$ de radio, cada uno terminado en una tobera de $5\ \text{mm}$ de diámetro que descarga perpendicular al brazo. El agua entra por el eje con un caudal total de $1{,}2\ \text{l/s}$ .

a) ¿Qué par hay que aplicar en el eje para mantenerlo quieto?

b) Si se suelta y no hubiera rozamiento, ¿a qué velocidad angular giraría en régimen permanente?

Densidad del agua: $1000\ \text{kg/m}^{3}$ .

El par para mantenerlo quieto y la velocidad angular sin rozamiento.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué aquí no basta con el teorema de la cantidad de movimiento?
02
La velocidad de salida
COMP2
¿A qué velocidad sale el agua por cada tobera?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El par
COMP2
¿Qué par hay que hacer en el eje para que no gire?
Tu respuesta al paso 3un momento, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La velocidad de giro sin rozamiento
COMP2
Si se suelta y no hubiera rozamiento, ¿a qué velocidad angular giraría, en rad/s?
Tu respuesta al paso 4un número, en radianes por segundo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el aspersor quieto, los dos chorros salen a 30,56 m/s y cada uno tiene un brazo de 0,20 m respecto del eje.
2. Sus momentos se suman en vez de cancelarse, porque velocidad y brazo cambian de signo a la vez: el par total es 7,33 N·m.
3. Si se suelta sin rozamiento, acelera hasta que el agua sale sin componente tangencial absoluta, y entonces el par se anula.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «¿qué par hay que hacer para que no gire?» tomes momentos desde el principio, y que no confundas el par nulo del régimen permanente con que el agua deje de empujar.

lo tienes cuando:

Dibujar el volumen de control, poner las cuatro clases de fuerza que cruzan su frontera y proyectar en dos ejes sin perder un signo.

Estática, manómetros y micromanómetros

8 de 11 años — el micromanómetro5 escalones

Cae 8 de 11 años

«Representar esquemáticamente el micromanómetro», «deducir la expresión para el cálculo de la presión de vacío», «seleccionar los dos fluidos más adecuados para obtener la mayor sensibilidad» y «calcular el grado de sensibilidad del micromanómetro».

Cae en 8 de las 11 convocatorias finales y en dos de los cinco parciales: once ejercicios. El diseño de micromanómetros por sí solo aparece en cuatro de los once años, siempre con la misma pregunta.

La ecuación fundamental y el gradiente

A saber a qué ritmo sube la presión en cada fluido y a decidir cuándo el peso de una columna de gas se puede despreciar.

leerLa ecuación fundamental

ejemploA qué ritmo sube la presión en el agua y en el aire
El ejemplo de entrada. El agua y el aire, y los cuatro órdenes de magnitud que los separan.
ejemploQué dice exactamente el principio de isotropía
prácticaEl indicador de gasolina que miente porque hay agua en el fondo
El indicador miente porque hay agua en el fondo. La ecuación fundamental aplicada a un fallo real.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

A qué ritmo sube la presión en el agua y en el aire

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La ecuación fundamental de la estática, con la gravedad como única fuerza de volumen, se reduce a

\frac{dp}{dz} = -\rho\,g

(con $z$ hacia arriba). Calcular a qué ritmo varía la presión con la profundidad en agua ( $\rho = 1000\ \text{kg/m}^{3}$ ) y en aire ( $\rho = 1{,}2\ \text{kg/m}^{3}$ ), y comparar.

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .

El gradiente de presión en cada fluido, y cuántas veces mayor es uno que otro.

01
Reconocer el camino
COMP1
El signo menos de la ecuación con $z$ hacia arriba. ¿Qué está diciendo?
02
El gradiente en agua
COMP2
¿Cuánto aumenta la presión por cada metro de profundidad en agua?
Tu respuesta al paso 2una presión por unidad de longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Cuántas veces más que en el aire
COMP2
¿Cuántas veces mayor es el gradiente en el agua que en el aire?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las conclusiones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con la gravedad como única fuerza de volumen, $\nabla p = \rho\,\vec{g}$ , que en vertical es $dp/dz = -\rho g$ .
2. En agua: $9800\ \text{Pa}$ por metro, es decir casi $0{,}1\ \text{bar/m}$ .
3. En aire: $11{,}76\ \text{Pa}$ por metro, unas 833 veces menos.
4. Por eso en un depósito de gas la presión se toma uniforme: dos metros de aire son 24 Pa, despreciables frente a las presiones del problema.
5. Y por eso en un manómetro los tramos de aire no se cuentan, pero los de líquido sí.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Decir de memoria cuánto sube la presión por metro en agua, en mercurio y en aire, y justificar cuándo el aire se puede ignorar.

Absoluta, manométrica y el barómetro

A moverte entre presión absoluta y manométrica sin confundirte, y a decir qué le pasa a cada aparato si cambia la atmósfera.

leerAbsoluta y manométrica

prácticaUn depósito con tres manómetros, y seis unidades de presión
La rampa. Un depósito con tres aparatos —mano-vacuómetro, manómetro y barómetro de mercurio— y seis unidades distintas. Aquí no hay ninguna pregunta capciosa: solo convertir, y saber qué mide cada aparato.
examenSube la atmósfera y solo se mueve uno de los tres manómetros
Sube la atmósfera y solo se mueve uno de los tres. Es la pregunta que separa entender de recordar, y con el ejercicio de colección delante ya se sabe qué lee cada uno.
examenDos depósitos, un gas que no pesa y un barómetro en la misma figura

Lo tienes cuando

Ante tres aparatos en la misma figura, decir cuál lee absoluta y cuál relativa, y qué marca cada uno si la atmósfera sube 20 mbar.

Recorrer un manómetro sin equivocarse

A bajar y subir por los ramales de un manómetro sumando y restando columnas, con un criterio de signo que no falle.

leerRecorrer un manómetro sin equivocarse

ejemploRecorrer un tubo en U, tramo a tramo
El ejemplo de entrada. Tramo a tramo, con el criterio de signo escrito antes de empezar.
prácticaUn manómetro dentro de otro depósito, y contra qué mide cada uno
examenUn manómetro dentro de un depósito presurizado
examenDos manómetros redundantes, y cómo saber cuál miente
Dos aparatos redundantes y uno que miente. Se descubre con un tercer camino, y ese es el método del bloque entero.
examenEl laboratorio submarino, y hasta dónde puede bajar

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Recorrer un tubo en U, tramo a tramo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito cerrado contiene agua. De su parte inferior sale un tubo que baja $0{,}4\ \text{m}$ hasta un manómetro en U con mercurio ( $s = 13{,}6$ ), cuya otra rama está abierta a la atmósfera. El mercurio de la rama abierta está $15\ \text{cm}$ más alto que el de la rama del depósito.

Calcular la presión manométrica del aire encerrado sobre el agua, en mca y en bar.

Tomar $\gamma_{\text{agua}} = 9800\ \text{N/m}^{3}$ .

La presión manométrica del aire, en metros de columna de agua y en bares.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se recorre desde la superficie libre del mercurio (atmósfera, presión cero manométrica) hasta el aire del depósito. ¿Con qué signos?
02
Lo que aportan los 15 cm de mercurio
COMP2
¿A cuántos metros de columna de agua equivalen $15\ \text{cm}$ de mercurio?
Tu respuesta al paso 2una presión en columna de agua, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La presión del aire
COMP2
Restando el tramo de agua, ¿cuál es la presión manométrica del aire?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el recorrido. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte de la rama abierta: presión manométrica $0$ .
2. Bajando los $15\ \text{cm}$ de mercurio se suma $0{,}15\cdot13{,}6 = 2{,}04\ \text{mca}$ .
3. Subiendo los $0{,}4\ \text{m}$ de agua hasta el depósito se resta $0{,}4\ \text{mca}$ .
4. Resultado: $1{,}64\ \text{mca} = 0{,}161\ \text{bar}$ de presión manométrica del aire.
5. La presión es la misma en todo el aire del depósito, porque en un gas la variación con la altura es despreciable.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Cerrar un manómetro de cuatro ramales a la primera y comprobarlo recorriéndolo en sentido contrario.

Diseñar un micromanómetro

A elegir la pareja de líquidos y la geometría que dan la sensibilidad pedida, y a traducirla al ángulo equivalente de un tubo inclinado.

leerLos aparatos, y qué mide cada uno

prácticaUn manómetro con un ensanchamiento, y el nivel que casi no se mueve
El ensanchamiento hace que un nivel casi no se mueva, y de ahí sale toda la sensibilidad del aparato.
examenEl micromanómetro que multiplica la lectura por diez
examenEl micromanómetro, y qué líquido hay que elegir
examenQué pareja de líquidos iguala a un tubo inclinado de cuatro grados
examenEl micromanómetro que hay que diseñar eligiendo los líquidos

nivel: practicaEjercicio 2.2 · Colección de Problemas, capítulo 2 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un manómetro con un ensanchamiento, y el nivel que casi no se mueve

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un manómetro está formado por un tubo en U de $5\ \text{mm}$ de diámetro. Contiene aceite ( $s = 0{,}85$ ) y mercurio ( $s = 13{,}6$ ), estando las dos ramas en posición vertical. La rama derecha termina en un ensanchamiento de $\varnothing = 25\ \text{mm}$ . Este ensanchamiento contiene solo aceite, y la superficie de separación entre aceite y mercurio se encuentra en esta parte de la derecha, de $5\ \text{mm}$ de diámetro. La rama izquierda solo contiene Hg, estando su parte superior abierta a la atmósfera.

Si la rama derecha se conecta a un depósito que contiene gas a presión, se observa que la superficie de separación aceite-Hg desciende $2\ \text{cm}$ . Calcular la presión del gas en Pa si la superficie del aceite permanece en la zona ensanchada.

La presión del gas, en pascales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si la interfaz baja 2 cm, ¿cuánto sube el nivel del aceite en el ensanchamiento?
02
El ascenso en el ensanchamiento
COMP2
¿Cuánto sube el aceite en la parte ancha?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La presión del gas
COMP2
¿Qué presión tiene el gas?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El volumen que abandona la rama de 5 mm reaparece en el ensanchamiento, y como la sección es 25 veces mayor, el nivel solo sube 0,8 mm.
2. Al bajar la interfaz 2 cm, el mercurio de la rama abierta sube otros 2: la diferencia de niveles de mercurio cambia en 4 cm.
3. Recorriendo el manómetro, el gas tiene que levantar esos 4 cm de mercurio menos lo que aporta la columna de aceite: 0,526 mca, o sea 5158 Pa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar el intervalo de densidades del segundo líquido para una sensibilidad pedida, y el ángulo del tubo inclinado que haría lo mismo.

Pascal y la prensa hidráulica

A resolver una prensa o un gato con su palanca, y a decidir en qué orden suben varios émbolos que comparten bomba.

leerPascal, y la prensa hidráulica

prácticaEl gato hidráulico, que empieza por una palanca
examenTres coches, una sola bomba, y quién sube primero
Tres coches y una bomba. Suben de uno en uno, y el orden lo decide el peso, no la geometría.

nivel: practicaEjercicio 2.1 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Estática de los fluidos y fuerzas sobre superficies · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El gato hidráulico, que empieza por una palanca

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un gato hidráulico tiene las dimensiones que se muestran en la figura adjunta. Si se ejerce una fuerza $F$ de $100\ \text{N}$ en la palanca del gato, se pide:

a) Presión ejercida en $A_1$ expresada en bar.

b) Carga $F_2$ que puede soportar el gato expresado en daN.

Hay dos multiplicaciones seguidas y conviene no mezclarlas: primero la palanca, que convierte 100 N en 33/3 veces más sobre el émbolo pequeño, y después Pascal, que reparte esa presión sobre una sección once veces mayor. El error típico es aplicar solo una de las dos.

La presión en el émbolo pequeño, en bares, y la carga que soporta el grande, en decanewtons.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de Pascal hay un paso que no es de fluidos. ¿Cuál?
02
La presión en el émbolo pequeño
COMP2
Con $F_1 = 1100\ \text{N}$ sobre un émbolo de $1{,}5\ \text{cm}$ de diámetro, ¿qué presión hay?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La carga que soporta
COMP2
Por Pascal, $P_2 = P_1$ . ¿Qué carga soporta el émbolo de $5\ \text{cm}$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en la palanca: $F\cdot0{,}33 = F_1\cdot0{,}03$ , luego $F_1 = 1100\ \text{N}$ .
2. $P_1 = F_1/A_1 = 62{,}2\ \text{bar}$ , con $A_1 = \pi\varnothing_1^{2}/4$ .
3. Teorema de Pascal: la presión se transmite íntegra, $P_2 = P_1$ .
4. $F_2 = P_2 A_2 = 12\,222\ \text{N} = 1222{,}2\ \text{daN}$ .
5. Multiplicación total: $\times11$ por la palanca y $\times11{,}1$ por las áreas, de $100\ \text{N}$ a más de doce mil.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la fuerza en el émbolo grande de un gato con palanca, y predecir el orden de subida de tres cargas distintas.

lo tienes cuando:

Recorrer un manómetro de cuatro ramales y tres líquidos sin perder un signo, y diseñar un micromanómetro eligiendo las densidades para una sensibilidad pedida.

Propiedades del fluido

8 de 11 años — viscosidad y capilaridad4 escalones

Cae 8 de 11 años

«La expresión del ascenso capilar en un tubo de sección…», «calcular el módulo de elasticidad volumétrico», «la potencia disipada por el fluido situado en el huelgo entre dos…» y «la relación existente entre las fuerzas de adhesión y las fuerzas de cohesión».

Cae en 8 de las 11 convocatorias finales y en dos de los cinco parciales: diez ejercicios. Va aquí y no antes porque es el bloque con más ejercicios de colección del corpus —veintiuno— y conviene llegar a él con tiempo de hacerlos, no con prisa.

La ley de Newton de la viscosidad

A relacionar la fuerza de rozamiento con el gradiente de velocidad, y a moverte entre poises, stokes y unidades del SI.

leerLa ley de Newton de la viscosidad

ejemploUna placa, un hueco y la ley de Newton
El ejemplo de entrada. Una placa, un hueco, y la ley aplicada una sola vez para que se vea entera.
prácticaLa placa que roza por las dos caras
La placa roza por las dos caras, y los dos huelgos no son iguales. Es el primer sitio donde se falla.
prácticaDel rozamiento medido a la viscosidad del fluido
prácticaDe la viscosidad dinámica a la cinemática, pasando por los stokes
prácticaDe dinas por centímetro cuadrado a centipoises

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Una placa, un hueco y la ley de Newton

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una placa de $0{,}4\ \text{m}^{2}$ se desliza sobre una superficie fija a $1{,}5\ \text{m/s}$ , separada de ella por una película de aceite de $2\ \text{mm}$ de espesor y viscosidad dinámica $\mu = 0{,}2\ \text{Pl}$ .

Suponiendo que el perfil de velocidades es lineal, calcular la fuerza necesaria para mantener el movimiento y la potencia disipada.

La fuerza de arrastre y la potencia, con sus unidades.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice «perfil de velocidades lineal». ¿Qué permite hacer esa hipótesis?
02
El gradiente de velocidad
COMP2
¿Cuánto vale $dv/dy$ ?
Tu respuesta al paso 2una velocidad de deformación, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza
COMP2
Con la ley de Newton, ¿qué fuerza hay que hacer?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Perfil lineal: $dv/dy = v/y = 1{,}5/0{,}002 = 750\ \text{s}^{-1}$ .
2. Ley de Newton: $\tau = \mu\,dv/dy = 0{,}2 \cdot 750 = 150\ \text{Pa}$ .
3. La fuerza es la tensión por el área: $F = 150 \cdot 0{,}4 = 60\ \text{N}$ .
4. Potencia disipada: $P = F\,v = 60 \cdot 1{,}5 = 90\ \text{W}$ .
5. Comprobación dimensional: $\text{Pl} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{s}^{-1} = \text{Pa·s} \cdot \text{m}^{2}/\text{s} = \text{N}$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la fuerza que frena una placa entre dos huelgos distintos, y convertir el resultado a poises y a centistokes sin tabla.

Cuando la geometría no es una placa plana

A aplicar la ley de Newton en cilindros coaxiales, poleas y discos que giran, donde la velocidad depende del radio.

leerLa ley de Newton de la viscosidad

El mismo apartado, releído con la pregunta «¿qué es aquí el gradiente?» en la cabeza.

prácticaTres cilindros coaxiales, y dos huelgos que frenan a la vez
prácticaEl par que hay que vencer en el huelgo de una polea
prácticaUn eje y un cilindro girando en sentidos contrarios
prácticaUn disco que gira sobre una película, donde el radio ya no es constante
Aquí el radio deja de ser constante y hay que integrar. Es el techo del escalón.
prácticaLa viscosidad a partir de la potencia disipada
prácticaUn cilindro que desliza por su propio peso, y qué fluido lo frena
prácticaEl espesor de la película que aguanta un cuerpo en un plano inclinado
prácticaEl mismo esquema del 1.16, con la incógnita cambiada
examenEl aceite que sostiene quinientas cincuenta toneladas
examenEl perfil parabólico, y el cortante punto a punto
El cortante punto a punto de un perfil parabólico. Enlaza este bloque con el de conducciones.

Lo tienes cuando

Escribir el par que hay que vencer en un huelgo cilíndrico, y decir en qué casos hace falta integrar y en cuáles basta con el radio medio.

Compresibilidad y el módulo de elasticidad

A usar la forma exponencial de la compresibilidad —la que usa la escuela— y a relacionar el módulo con el coeficiente.

leerCompresibilidad: el módulo de elasticidad volumétrico

El apartado insiste en la forma exponencial y no en la lineal, y no es un detalle: las soluciones oficiales solo salen con ella.

nivel: practicaEjercicio 1.21 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Cuánto se comprime el alcohol, y qué módulo tiene

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Cuando se somete un volumen de alcohol de $0{,}02892\ \text{m}^{3}$ a una presión de $51000\ \text{kPa}$ , éste se contrae a $0{,}02770\ \text{m}^{3}$ . Calcúlese la elasticidad (en MPa).

El módulo de elasticidad volumétrico en megapascales.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es exactamente el módulo de elasticidad volumétrico?
02
La deformación volumétrica unitaria
COMP2
¿Cuánto vale $\Delta V/V$ , en tanto por ciento?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo
COMP2
¿Cuál es el módulo de elasticidad volumétrico?
Tu respuesta al paso 3un módulo de elasticidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\Delta V = 0{,}02892-0{,}02770 = 0{,}00122\ \text{m}^{3}$ .
2. $\Delta V/V = 0{,}00122/0{,}02892 = 0{,}0422$ , adimensional.
3. $\Delta p = 51000\ \text{kPa} = 51\ \text{MPa}$ .
4. $E = 51/0{,}0422 = 1209\ \text{MPa}$ .
5. Comprobación de orden de magnitud: el agua tiene $2100\ \text{MPa}$ , y el alcohol es más compresible que el agua, así que menos módulo tiene sentido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la presión final de un depósito al que le han quitado 50 ml, con la fórmula exponencial, y decir cuánto se equivocaría la lineal.

Tensión superficial y capilaridad

A deducir el ascenso capilar de una sección cualquiera igualando el peso de la columna con la tensión repartida en el perímetro mojado.

leerTensión superficial y capilaridad

prácticaEl ascenso capilar, con la tensión superficial en kilopondios
Jurin en su forma más simple, y con la tensión superficial todavía en kilopondios.
prácticaUn capilar de sección cuadrada, y por qué sube lo mismo
Un capilar cuadrado sube lo mismo que uno circular del mismo lado, y el ejercicio explica por qué.
prácticaUna corona circular, y el ángulo de contacto deducido
examenLa capilaridad entre dos tubos, donde Jurin no sirve
Aquí Jurin no sirve. Hay que volver al equilibrio de fuerzas, y esa es la única forma de aprobar el apartado.
examenLa capilaridad en un tubo rectangular, y el ángulo que sale de dos fuerzas
De aquí sale la construcción adhesión-cohesión que hace falta en la ordinaria de 2025: la adhesión perpendicular a la pared, la cohesión a 45°, y la superficie libre perpendicular a la resultante.
examenLa savia que sube treinta metros, y el vaso que hace falta
examenEl piezómetro que miente, y cuánto de los veintidós centímetros es capilaridad
examenSeis afirmaciones, y las seis falsas por motivos distintos
Seis afirmaciones sobre propiedades y las seis falsas, cada una por un motivo distinto. Barre el bloque entero y es el mejor repaso final que tiene.

nivel: practicaEjercicio 1.25 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El ascenso capilar, con la tensión superficial en kilopondios

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Introducido un tubo capilar de sección circular en agua, se pide:

a) Deducir la expresión que proporciona la elevación del agua en el tubo capilar, suponiendo que el líquido moja totalmente al sólido.

b) Aplicarlo al caso en que el diámetro del tubo sea de $5\ \text{mm}$ .

Dato: tensión superficial del agua $\sigma = 0{,}0074\ \text{kg/m}$ .

La deducción de la fórmula y la altura para un tubo de 5 mm.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Moja totalmente» fija un dato de la fórmula. ¿Cuál?
02
La tensión superficial en unidades del SI
COMP2
El dato viene en kg/m, o sea kilopondios por metro. ¿Cuánto vale en N/m?
Tu respuesta al paso 2una tensión superficial, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura de ascenso
COMP2
Con $D = 5\ \text{mm}$ , ¿cuánto sube el agua?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción y el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fuerza de tensión superficial actúa a lo largo del perímetro de contacto: $F = \sigma\,(2\pi R)\cos\theta$ .
2. El peso de la columna levantada es $W = \rho\,g\,(\pi R^{2}h)$ .
3. Igualando las dos y despejando: $h = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{\rho g R} = \dfrac{4\sigma\cos\theta}{\rho g D}$ .
4. Con mojado total, $\cos\theta = 1$ .
5. Números: $\sigma = 0{,}07252\ \text{N/m}$ y $D = 0{,}005\ \text{m}$ dan $h = 5{,}92\ \text{mm}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dado un hueco de sección cualquiera, escribir el ascenso como tensión por perímetro dividido por peso específico por área, y justificar cada uno de los cuatro términos.

lo tienes cuando:

Sacar una viscosidad de un montaje que no habías visto, comprimir un líquido con la fórmula exponencial y deducir el ascenso capilar de una sección cualquiera desde el equilibrio de fuerzas.

Conducciones — pérdidas menores, series y paralelo

7 de 11 años — series, paralelo y el nudo5 escalones

Cae 7 de 11 años

«Energía por unidad de volumen del nudo N», «sentido y valor del caudal», «el diámetro exacto del conducto» y «diámetro comercial del conducto, sabiendo que los diámetros van de…».

Cae en 7 de las 11 convocatorias finales y en dos de los cinco parciales: once ejercicios. Va detrás de bombeo aunque bombeo lo necesite, y eso es deliberado: el escalón de la curva de la instalación ya obliga a montar una conducción entera, así que quien llega aquí llega con medio bloque hecho.

Pérdidas menores y longitud equivalente

A contabilizar codos, válvulas y entradas por los dos métodos —el coeficiente y la longitud equivalente— y a saber cuánto pesan de verdad.

leerPérdidas menores

ejemploLos dos métodos, y cuánto pesan de verdad las pérdidas menores
El ejemplo de entrada. Los dos métodos sobre la misma instalación, y la respuesta a si se pueden despreciar.
prácticaCargar el camión de alcohol, con cuatro codos y dos válvulas
examenEl codo, y cómo se mide su longitud equivalente
examenEl factor de paso de la válvula, y las dos cotas que sobran
El factor de paso es adimensional, y por eso vale igual con agua que con mercurio. Dos cotas del enunciado sobran.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Los dos métodos, y cuánto pesan de verdad las pérdidas menores

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un tramo de tubería de acero de $150\ \text{mm}$ de diámetro y $45\ \text{m}$ de longitud lleva agua a $2\ \text{m/s}$ . Su coeficiente de frotamiento es $f = 0{,}022$ .

La instalación tiene además cuatro codos de 90° con factor de paso $K = 0{,}3$ cada uno, y una válvula cuya longitud equivalente es $L_e = 12\ \text{m}$ .

a) Calcular la pérdida del tramo recto.

b) Calcular la pérdida total.

c) Determinar qué porcentaje del total son las pérdidas menores.

Las dos pérdidas y el peso de las menores sobre el total.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Se pueden despreciar aquí las pérdidas menores?
02
La pérdida del tramo recto
COMP2
¿Cuánto pierde el tramo recto?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La pérdida total
COMP2
Sumando los codos y la válvula, ¿cuánto pierde la instalación?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El peso de las menores
COMP2
¿Qué porcentaje del total son las pérdidas menores? (solo el número)
Tu respuesta al paso 4un porcentaje, solo el número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La regla de los mil diámetros pide 150 m de separación entre piezas, y toda la conducción mide 45: las menores no se pueden despreciar.
2. Con los codos por factor de paso y la válvula por longitud equivalente, las puntuales suman 0,604 m frente a 1,347 del tramo recto.
3. Eso es el 31 % del total, así que despreciarlas habría infravalorado la pérdida en casi un tercio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Sumar las pérdidas menores de una instalación con seis accesorios por los dos métodos y decir cuánto se aparta un resultado del otro.

La línea piezométrica y la de altura total

A dibujar las dos líneas sobre un perfil y a leer en ellas dónde el fluido va a cavitar.

leerLínea piezométrica y línea de altura total

prácticaUn sifón de keroseno, y la presión imposible del punto alto
La presión imposible del punto alto se ve antes en el dibujo que en la cuenta.
examenLa turbina de la montaña, y el diámetro que sale de una pérdida

nivel: practicaEjercicio 6.3 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un sifón de keroseno, y la presión imposible del punto alto

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere hacer circular keroseno a $20\ °\text{C}$ ( $s = 0{,}77$ ) desde la cota $z_A = 240\ \text{m}$ a un depósito situado en la cota $z_B = 232\ \text{m}$ , mediante una conducción que pasa por un punto C, de cota $z_C = 247\ \text{m}$ . Se pide:

a) Caudal circulante suponiendo funcionamiento correcto.

b) Comprobar anomalías en el funcionamiento del sistema.

Para resolver estas anomalías se instala una válvula de mariposa que origina una pérdida singular localizada al final del tramo 2, cerca de B. Calcular en las condiciones límite de funcionamiento, es decir, en el mismo comienzo de la cavitación:

c) El nuevo caudal circulante.

d) Factor de paso necesario de la válvula de mariposa.

Datos: diámetro de la conducción constante, $500\ \text{mm}$ ; tubería de fundición ( $\varepsilon = 0{,}026\ \text{cm}$ ); presión atmosférica $10\ \text{mca}$ ; presión de vapor del keroseno (absoluta) $0{,}0183\ \text{kg/cm}^{2}$ ; longitud del tramo (1) A-C, $130\ \text{m}$ ; longitud del tramo (2) C-B, $35\ \text{m}$ ; $\nu = 2{,}2\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ .

El caudal, la presión en C, el caudal límite y el factor de paso de la válvula.

01
Reconocer el camino
COMP1
Bernoulli entre A y B da el caudal sin problema. ¿Por qué el enunciado pide además «comprobar anomalías»?
02
El caudal, suponiendo que todo va bien
COMP2
¿Qué caudal circularía?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La presión en el punto alto
COMP2
¿Qué presión manométrica sale en C, expresada en metros de columna de agua?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad (y con su signo) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal en el límite de la cavitación
COMP2
Con la válvula instalada, ¿qué caudal circula cuando en C se alcanza justo la presión de vapor?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El factor de paso de la válvula
COMP2
¿Qué factor de paso $K$ debe tener la válvula de mariposa?
Tu respuesta al paso 5un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli entre A y B da 8 m de pérdida disponible y un caudal de 1,03 m³/s, pero no dice nada de lo que ocurre en el punto alto.
2. En C la presión saldría de −11,33 mca, por debajo del cero absoluto: imposible, así que ese caudal no existe y la instalación cavita.
3. Poniendo una válvula cerca de B se frena el flujo, y con menos velocidad la presión en C sube hasta ser posible: el límite es justo la presión de vapor.

$f$ supuesto	$v$ (m/s)	$Re$	$f$ obtenido
0,025	3,88	$8{,}8\cdot 10^{5}$	0,0174
0,0174	4,52	$1{,}03\cdot 10^{6}$	0,0173
0,0173	4,53	$1{,}03\cdot 10^{6}$	0,0173

Resolución completa

a) El caudal, si todo fuera bien. Los dos depósitos están abiertos, y Bernoulli entre A y B deja $h_f = 240 - 232 = 8$ mc keroseno. Como es constante, se usa la entrada de arriba del ábaco:

Re\sqrt f = 1{,}57\cdot 10^{5} \qquad \frac{\varepsilon}{D} = 0{,}00052 \qquad\Longrightarrow\qquad f = 0{,}01725

v = 5{,}25\ \text{m/s} \qquad Q = 1{,}03\ \text{m}^{3}/\text{s}

b) La anomalía. Bernoulli de A a C:

\frac{p_C}{\gamma} = -7 - 1{,}40 - 6{,}30 = -14{,}71\ \text{mc keroseno} = -11{,}33\ \text{mca}

Once metros de columna de agua por debajo de la atmosférica es más de lo que hay. La presión absoluta saldría negativa, que no existe. Mucho antes de llegar ahí el keroseno alcanza su presión de vapor, hierve, se rompe la vena líquida y el sifón deja de trasegar. El caudal del apartado a) es un número correcto de una instalación que no funciona.

c) El caudal límite. Se impone que en C se alcance exactamente la presión de vapor. En manométrica son $-12{,}75$ mc keroseno, y Bernoulli de A a C queda

5{,}75 = \frac{v^{2}}{2g}\,(260f + 1)

con dos incógnitas y ninguna entrada al ábaco: hay que iterar. Partiendo de $f = 0{,}025$ , en dos vueltas converge a $f = 0{,}0173$ y $v = 4{,}53$ m/s, es decir $Q = 889$ l/s.

d) La válvula. Con ese caudal la tubería pierde 5,97 m de los 8 disponibles, así que la válvula tiene que disipar los 2,03 restantes:

K = \frac{2g\,h_f}{v^{2}} = 1{,}94

Dónde va la válvula, que es la pregunta de fondo. Aguas abajo del punto alto. Una pérdida colocada antes de C aparece restando en el Bernoulli de A a C y empeoraría la depresión; puesta después, no entra en esa ecuación y sin embargo frena el caudal de toda la conducción. Es la misma idea que la válvula de regulación a la salida de una bomba.

Una nota sobre los números del boletín. La solución oficial redondea $f$ a 0,0172 y publica 891 l/s y $K = 1{,}93$ ; iterando hasta converger salen 889 l/s y 1,94. La diferencia es del 0,3 %, muy por debajo de lo que se puede leer en el ábaco a ojo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dibujar las dos líneas de una instalación con bomba, turbina y un punto alto, y marcar en el dibujo dónde está el problema.

Serie, paralelo, y el depósito que aporta

A resolver ramales en serie y en paralelo, y a decidir por tanteo si el depósito intermedio recibe o aporta caudal.

leerTuberías en serie y en paralelo

prácticaDos tuberías en serie, y cuál de las dos manda
examenLa red donde el segundo depósito no recibe, sino que aporta
El segundo depósito no recibe: aporta. Es el apartado que decide el ejercicio y el que más veces se resuelve al revés.
examenDos ramales en paralelo, uno con bomba, y todo laminar
examenLos dos ramales que llevan el mismo caudal, y la longitud que lo consigue
examenLa embotelladora de diez boquillas, y el depósito que ayuda
El consumo lo fijan diez boquillas iguales, y el depósito intermedio acaba aportando lo que a la bomba le falta.

nivel: practicaEjercicio 6.19 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Dos tuberías en serie, y cuál de las dos manda

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los depósitos A y C están conectados por el siguiente sistema de tuberías de fibrocemento en serie: la tubería (A-B) de $50\ \text{cm}$ de diámetro y $1800\ \text{m}$ de longitud y la (B-C) de diámetro desconocido y $600\ \text{m}$ de longitud. La diferencia de altura entre las superficies libres de los depósitos es de $25\ \text{m}$ . Se pide:

a) Diámetro de la tubería BC para que el caudal de agua que circula entre A y C sea mayor de $180\ \text{l/s}$ .

b) Caudal que circularía entre A y C si la tubería BC fuese de $350\ \text{mm}$ de diámetro.

El diámetro comercial de la tubería BC, y el caudal si fuera de 350 mm.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos tuberías están en serie. ¿Qué se conserva y qué se suma?
02
El caudal con una BC de 250 mm
COMP2
Con la tubería BC de $250\ \text{mm}$ , ¿qué caudal circula?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro que hay que instalar
COMP2
¿Qué diámetro comercial hay que poner en BC?
Tu respuesta al paso 3un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal con una BC de 350 mm
COMP2
Si la tubería BC fuese de $350\ \text{mm}$ , ¿cuánto pasaría?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En serie circula el mismo caudal por las dos tuberías, y las dos pérdidas suman los 25 m de desnivel.
2. Con BC de 250 mm pasan 165 l/s, por debajo de los 180 pedidos; el diámetro exacto sería 259, y el comercial siguiente, 300.
3. Ensanchando BC de 250 a 350 mm el caudal pasa de 165 a 335 l/s: se dobla cambiando diez centímetros en la cuarta parte del recorrido.

tramo	$D$	$L$	$V$	$f$	$h_f$
AB	0,50	1800	0,84	0,0157	2,04
BC	0,25	600	3,36	0,0166	22,96

tramo	$D$	$L$	$V$	$f$	$h_f$
AB	0,50	1800	1,73	0,0148	8,16
BC	0,35	600	3,54	0,0154	16,84

Resolución completa

Qué significa «en serie». El mismo caudal por las dos tuberías, y las pérdidas sumándose:

25 = f_{AB}\,\frac{1800}{0{,}5}\,\frac{V_{AB}^{2}}{2g} + f_{BC}\,\frac{600}{D_{BC}}\,\frac{V_{BC}^{2}}{2g}

Hay dos incógnitas escondidas —el caudal y el coeficiente de cada tramo— así que se itera: se supone $Q$ , se calculan las dos pérdidas y se corrige.

a) El diámetro. Con BC de 250 mm salen 165 l/s, que no llegan a los 180 pedidos. El diámetro exacto que daría justo 180 es 259 mm, y como las tuberías se fabrican de 50 en 50, hay que subir a 300 mm —con los que pasan 251 l/s—. Redondear hacia abajo dejaría la instalación por debajo de lo especificado, que es justamente lo que no se puede hacer.

b) Con 350 mm. Rehaciendo la iteración, $Q = 335$ l/s.

Lo que enseña el reparto de pérdidas. Con BC de 250 mm:

	longitud	pérdida
AB (500 mm)	1800 m, el 75 %	2,04 m, el 8 %
BC (250 mm)	600 m, el 25 %	22,96 m, el 92 %

Tres cuartas partes de la conducción producen un doceavo de la pérdida. La razón está en el exponente: a igualdad de caudal, $h_f \propto 1/D^{5}$ , así que doblar el diámetro divide la pérdida por 32. En una conducción en serie manda el tramo más estrecho, y el resto casi no cuenta — que es por lo que un estrangulamiento local puede arruinar una traída de kilómetros.

Sobre el número publicado. El boletín da 335 l/s en el apartado b); iterando Colebrook-White hasta converger salen 340. La diferencia es del 1,6 %, del orden de lo que se lee en el ábaco.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Plantear las tres ecuaciones de un nudo con tres depósitos, suponer un sentido, resolver y comprobar el signo — y rehacerlo si sale al revés.

Hazen-Williams, y el coeficiente que no es del material

A usar la fórmula de Hazen-Williams y a sacar su coeficiente del cuadro n.º 25, que va por bandas de rugosidad relativa y no por material.

leerHazen-Williams

Esta es la trampa más cara del tema. El mismo PVC toma 140 a 150 mm y otro valor a otro diámetro, porque lo que manda es la relación entre rugosidad y diámetro.

ejemploEl mismo PVC, dos diámetros y dos coeficientes
La rampa. El mismo PVC con dos diámetros y dos coeficientes distintos, que es la única idea del escalón. Aquí no se despeja nada: se lee el cuadro y se ve lo que cuesta leerlo mal.
examenEl diámetro que hay que despejar, y el comercial que toca
Y ahora sí, con el coeficiente por incógnita dentro de un diámetro que también lo es.
examenElegir la bomba entre tres, y la que cavita

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas de la asignatura; los datos son nuestros y el cuadro n.º 25 es el del temario.

El mismo PVC, dos diámetros y dos coeficientes

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una conducción de PVC de rugosidad absoluta $\varepsilon = 0{,}007\ \text{mm}$ transporta agua. Se pide:

a) El coeficiente de Hazen-Williams que le corresponde si el diámetro es de 150 mm, y el que le corresponde si es de 500 mm.

b) La pérdida de carga en un tramo de 1.200 m del tubo de 150 mm cuando circulan 40 l/s.

El coeficiente de Hazen-Williams de cada diámetro y la pérdida de carga del tramo pequeño.

01
Reconocer el camino
COMP1
El cuadro n.º 25 da el coeficiente $C_{HW}$ por bandas. ¿Qué es lo que decide en qué banda cae una tubería?
02
El coeficiente del tubo de 150 mm
COMP2
Calcula la rugosidad relativa del tubo de 150 mm y busca su banda en el cuadro. ¿Qué $C_{HW}$ le toca?
Tu respuesta al paso 2un número, el del cuadro — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La pérdida del tramo
COMP2
Con ese coeficiente, ¿cuánto se pierde en los 1.200 m de tubo de 150 mm con 40 l/s?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El material fija la rugosidad absoluta, que aquí vale 0,007 mm y no cambia con el diámetro.
2. El cuadro n.º 25 no entra por la rugosidad absoluta sino por la relativa, y en ella el diámetro divide.
3. A 150 mm la relativa es 4,67·10⁻⁵ y toca 140; a 500 mm es 1,40·10⁻⁵ y toca 150.
4. Tomar 150 en el tubo pequeño baja la pérdida calculada de 36,1 a 31,8 m, un 12 % menos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Elegir el coeficiente de Hazen-Williams de un tramo calculando antes su rugosidad relativa, y saber decir por qué el material solo no basta.

Régimen laminar y la capa límite

A decidir el régimen con Reynolds, a usar el perfil parabólico del laminar y a situar la transición en una placa.

leerLa experiencia de Reynolds

ejemploA qué velocidad deja de ser laminar el agua, y a cuál el aceite
El ejemplo de entrada. El agua y el aceite, y los dos órdenes de magnitud que hay entre sus velocidades críticas.
ejemploDónde se vuelve turbulenta la capa límite de una placa
prácticaUn capilar de mercurio, y la pérdida por metro en régimen laminar

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

A qué velocidad deja de ser laminar el agua, y a cuál el aceite

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por un tubo de $40\ \text{mm}$ de diámetro circula primero agua a $20\ °\text{C}$ ( $\nu = 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ) y después un aceite ( $\nu = 10^{-4}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ).

a) Clasificar el régimen del aceite cuando circula a $1\ \text{m/s}$ .

b) Calcular, para cada fluido, la velocidad a la que el flujo deja de ser laminar.

El régimen del aceite y las dos velocidades críticas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con los mismos tubo y velocidad, ¿por qué el aceite puede ir laminar y el agua no?
02
El Reynolds del aceite
COMP2
¿Qué número de Reynolds tiene el aceite a $1\ \text{m/s}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad crítica del agua
COMP2
¿A qué velocidad deja el agua de ser laminar en ese mismo tubo?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El régimen lo fija el Reynolds, y con el mismo tubo y la misma velocidad solo cambia con la viscosidad cinemática del fluido.
2. El agua deja de ser laminar a 5 cm/s y el aceite a 5 m/s: cien veces más, tantas como veces más viscoso es.
3. De ahí que en las conducciones de agua reales el régimen sea siempre turbulento, y que el laminar quede para aceites y tubos capilares.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la velocidad a la que un fluido deja de ser laminar en un tubo dado, y decir qué cambia en la fórmula de la pérdida al cruzarla.

lo tienes cuando:

Resolver una red de tres conductos que se juntan en un nudo, decidiendo por tanteo el sentido del ramal intermedio, y cerrar el balance de caudales.

Bernoulli, medidores y vaciado

7 de 11 años — Pitot, venturi y vaciado5 escalones

Cae 7 de 11 años

«Deducir la expresión para el vaciado», «densidad relativa del líquido manométrico del conjunto» y «deducir la expresión del coeficiente de velocidad del orificio». Casi siempre una deducción y después su valor.

Cae en 7 de las 11 convocatorias finales y en dos de los cinco parciales: nueve ejercicios. Va el último de los huecos grandes porque es el que más se apoya en lo anterior: un venturímetro es Bernoulli más un manómetro, y los dos ya están.

Bernoulli generalizada, y la potencia

A meter pérdidas, bomba y turbina en la ecuación de Bernoulli y a calcular la potencia que va con cada una.

leerBernoulli generalizada: las pérdidas

Y el apartado «Potencia», que es donde se decide si multiplicas por el rendimiento o divides.

ejemploEl chorro de un depósito, y la potencia que lleva
El ejemplo de entrada. Un chorro que sale de un depósito, y la potencia que lleva encima.
ejemploUna bomba, su altura manométrica y la potencia que consume
prácticaHacia dónde va el flujo cuando la presión y la cota discrepan
La presión dice una cosa y la cota la contraria. Manda la altura piezométrica, y hay que decirlo con esas palabras.
prácticaQué presión hay antes de una boquilla de manguera
prácticaA qué distancia hay que poner las bombas de un oleoducto

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

El chorro de un depósito, y la potencia que lleva

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito abierto de grandes dimensiones tiene una boquilla de $50\ \text{mm}$ de diámetro situada $5\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre. El chorro sale a la atmósfera.

a) Calcular la velocidad de salida, suponiendo fluido perfecto.

b) Calcular el caudal.

c) Calcular la potencia que lleva el chorro.

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ y $\gamma = 9800\ \text{N/m}^{3}$ .

La velocidad de salida, el caudal y la potencia del chorro.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se aplica Bernoulli entre la superficie libre (1) y la salida de la boquilla (2). ¿Qué vale cada término?
02
La velocidad de salida
COMP2
¿A qué velocidad sale el chorro?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal
COMP2
¿Qué caudal sale por la boquilla?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La potencia del chorro
COMP2
¿Qué potencia lleva ese chorro?
Tu respuesta al paso 4una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli entre la superficie y la boquilla, con $v_1\approx0$ , $P_1 = P_2 = 0$ manométricas.
2. Queda $H = v^{2}/2g$ , de donde $v = \sqrt{2gH} = 9{,}9\ \text{m/s}$ .
3. $Q = vA = 19{,}44\ \text{l/s}$ .
4. $\text{Pot} = \gamma Q\,v^{2}/2g = 952\ \text{W}$ .
5. Es aplicable la misma constante de Bernoulli a todas las líneas de corriente porque todas arrancan en la superficie libre.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Decidir hacia dónde va el fluido entre dos puntos con presión y cota distintas, y justificarlo con la altura piezométrica.

Pitot y Prandtl

A separar presión estática, dinámica y total, y a sacar la velocidad de la diferencia entre dos tomas.

leerPitot y Prandtl

ejemploLa velocidad que marca un tubo de Pitot
examenEl Pitot y el piezómetro, y el líquido que el agua se llevaría
Hay que deducir la densidad del líquido manométrico, y comprobar después que ese líquido no serviría con agua.
examenEl Pitot del avión, y la avería que no se nota hasta que cambia todo
La avería no se nota hasta que el avión cambia de altura. Es COMP4 disfrazado de aeronáutica.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

La velocidad que marca un tubo de Pitot

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una tubería circula agua. Un tubo de Pitot combinado con un piezómetro marca una diferencia de $15\ \text{cm}$ en un manómetro de mercurio ( $s_0 = 13{,}6$ ).

Calcular la velocidad del agua en ese punto.

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .

La velocidad del agua.

01
Reconocer el camino
COMP1
El Pitot mide la presión total y el piezómetro la estática. ¿Qué representa su diferencia?
02
La velocidad
COMP2
¿A qué velocidad circula el agua?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En la boca del Pitot el fluido se estanca: $v = 0$ , y el tubo marca $P/\gamma + v^{2}/2g$ .
2. El piezómetro marca solo $P/\gamma$ , porque su toma es paralela al flujo y no lo frena.
3. La diferencia entre los dos es $v^{2}/2g$ .
4. Recorriendo el manómetro, esa diferencia vale $R\left(s_0/s - 1\right) = 0{,}15\cdot12{,}6 = 1{,}89\ \text{mca}$ .
5. $v = \sqrt{2g\cdot1{,}89} = 6{,}09\ \text{m/s}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la velocidad de un Pitot con líquido manométrico distinto del fluido, y decir qué mide cada una de las dos tomas.

Venturímetros y diafragmas

A escribir el caudal de un aparato deprimógeno desde Bernoulli y continuidad, y a manejar su coeficiente de descarga.

leerAparatos deprimógenos

ejemploEl caudal que mide un venturímetro
prácticaUn venturímetro vertical, y por qué su lectura no sabe que lo es
Un venturímetro vertical lee lo mismo que uno horizontal, y el ejercicio hace ver por qué su lectura no sabe que lo es.
prácticaCalibrar un diafragma con tres aparatos a la vez
examenDos manómetros sobre el mismo venturímetro, y cuánto lee cada uno
examenEl venturímetro que primero dice hacia dónde va el fluido
examenUn venturímetro calibrado con un Pitot
examenEl diafragma, y qué líquido manométrico mide las variaciones más finas

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

El caudal que mide un venturímetro

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En una tubería de $300\ \text{mm}$ por la que circula agua se instala un venturímetro con garganta de $150\ \text{mm}$ . El manómetro diferencial de mercurio ( $s_0 = 13{,}6$ ) marca $R = 25\ \text{cm}$ .

a) Calcular el caudal teórico.

b) Calcular el caudal real si el coeficiente del venturímetro es $C_v = 0{,}98$ .

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .

El caudal teórico y el real.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la fórmula del venturímetro aparece $\sqrt{1-(A_2/A_1)^{2}}$ en el denominador. ¿Por qué?
02
La velocidad en la garganta
COMP2
¿Cuál es la velocidad teórica en la garganta?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal real
COMP2
Con $C_v = 0{,}98$ , ¿cuál es el caudal real?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli entre la tubería y la garganta, más continuidad, más hidrostática en el manómetro.
2. La lectura del manómetro da $R(s_0/s-1) = 0{,}25\cdot12{,}6 = 3{,}15\ \text{mca}$ de diferencia de alturas piezométricas.
3. $v_{2t} = \sqrt{2g\cdot3{,}15}/\sqrt{1-0{,}25^{2}} = 8{,}115\ \text{m/s}$ .
4. $Q_t = v_{2t}A_2 = 143{,}4\ \text{l/s}$ y $Q_r = 0{,}98\,Q_t = 140{,}5\ \text{l/s}$ .
5. En un venturímetro $C_c = 1$ , así que su único coeficiente es el de velocidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Deducir la expresión del caudal de un venturímetro en cuatro líneas, y decir por qué la lectura no depende de la inclinación.

Torricelli, los tres coeficientes y el vaciado

A distinguir contracción, velocidad y descarga, y a integrar el tiempo de vaciado de un depósito.

leerTorricelli, y los tres coeficientes

Y «Vaciado de depósitos», que es donde está la integral y la razón de que el segundo cuarto tarde más que el primero.

ejemploUn orificio, sus coeficientes y cuánto tarda en vaciarse el depósito
El ejemplo de entrada. Los tres coeficientes y el vaciado, en el mismo depósito.
prácticaUn sifón con boquilla, primero ideal y luego con pérdidas
prácticaEl caudal máximo de un sifón antes de que cavite
prácticaDel orificio al vertedero, y quién manda el caudal
examenEl coeficiente de velocidad, medido por lo que se pierde
examenEl tiempo de vaciado, y por qué el segundo cuarto tarda más
El razonamiento sobre por qué el segundo cuarto tarda más vale tanto como la integral.
examenEl vaciado que cambia de sección a mitad de camino

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Un orificio, sus coeficientes y cuánto tarda en vaciarse el depósito

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito abierto de $6\ \text{m}^{2}$ de sección tiene en el fondo un orificio de $80\ \text{mm}$ de diámetro, con $C_v = 0{,}98$ y $C_c = 0{,}62$ . El nivel inicial es de $4\ \text{m}$ .

a) Calcular el caudal real que sale al principio.

b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse por completo.

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .

El caudal real inicial y el tiempo de vaciado.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado b) dice «se vacía», así que el nivel baja. ¿Se puede usar Bernoulli?
02
El caudal real inicial
COMP2
¿Qué caudal sale con el nivel en $4\ \text{m}$ ?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El tiempo de vaciado
COMP2
¿Cuánto tarda en vaciarse del todo?
Tu respuesta al paso 3un tiempo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Torricelli da la velocidad teórica, $v_t = \sqrt{2gh}$ , que con $h = 4\ \text{m}$ vale $8{,}85\ \text{m/s}$ .
2. El caudal real lleva los dos coeficientes: $C_d = C_vC_c = 0{,}608$ , y sale $27{,}04\ \text{l/s}$ .
3. Para el vaciado: $Q_r\,dt = -A_{\text{dep}}dh$ , y se integra entre $4\ \text{m}$ y $0$ .
4. $t = 1775\ \text{s}$ , unos treinta minutos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Integrar el tiempo de vaciado de un depósito de sección variable, y explicar sin cuentas por qué la segunda mitad tarda más.

Vertederos

A usar la ley del vertedero rectangular y la del triangular, y a saber de dónde sale el exponente cinco medios.

leerAparatos deprimógenos

nivel: practicaEjercicios 3.32 y 3.33 · Colección de Problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El mismo canal con vertedero rectangular y con vertedero en V

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

3.32. Un vertedero horizontal en un canal, cuya anchura es de $4\ \text{m}$ , tiene una altura sobre la solera del canal $H = 1{,}2\ \text{m}$ . La profundidad aguas arriba es de $1{,}6\ \text{m}$ . Estímese el caudal si el vertedero fuera:

a) De pared delgada ( $C_{\text{vertedero}} = 0{,}6$ ).

b) De pared gruesa.

3.33. Un vertedero triangular con ángulo $\alpha = 90°$ tiene hasta el vértice una altura $H = 1{,}2\ \text{m}$ . La profundidad del flujo aguas arriba es de $1{,}6\ \text{m}$ . Calcúlese el caudal.

Los caudales de los tres vertederos, con la misma carga.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es la «carga» de un vertedero y cuánto vale aquí?
02
El vertedero rectangular de pared delgada
COMP2
¿Qué caudal pasa por el vertedero rectangular de pared delgada?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El vertedero triangular
COMP2
Y con el vertedero en V de $90°$ y la misma carga, ¿cuánto pasa?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comparación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con la misma carga de $0{,}4\ \text{m}$ , el vertedero rectangular de 4 m deja pasar $1{,}79\ \text{m}^{3}/\text{s}$ y el de pared gruesa, $1{,}72$ .
2. El triangular de 90° deja pasar solo $0{,}143$ : doce veces menos.
3. La diferencia viene del exponente: $h^{3/2}$ en el rectangular y $h^{5/2}$ en el triangular, porque en este la anchura también crece con la carga.

Resolución completa

La carga es lo único que interviene, y es lo que sobresale del umbral: $h = 1{,}6 - 1{,}2 = 0{,}4\ \text{m}$ . La altura del umbral sobre la solera no aparece en ninguna fórmula.

vertedero	fórmula	caudal
rectangular, pared delgada	$\frac{2}{3}Cb\sqrt{2g}\,h^{3/2}$	$1{,}79\ \text{m}^{3}/\text{s}$
rectangular, pared gruesa	$1{,}705\,b\,h^{3/2}$	$1{,}72$
triangular de 90°	$\frac{8}{15}C\sqrt{2g}\tan\frac{\alpha}{2}h^{5/2}$	$0{,}143$

Los dos rectangulares dan casi lo mismo —un 4 % de diferencia— y eso es tranquilizador: el tipo de coronación afecta poco. Lo que cambia el resultado en un factor doce es la forma de la abertura.

Y el exponente es la razón de todo. En un vertedero rectangular la anchura de la lámina es fija, así que el caudal va con $h^{3/2}$ . En un triangular la anchura crece proporcionalmente a la altura, y eso añade una potencia: $h^{5/2}$ .

La consecuencia práctica está en la sensibilidad. Para medir un caudal pequeño, el triangular es mucho mejor: como el caudal cae tan deprisa con la carga, un caudal reducido produce una lámina que todavía se puede leer con precisión. Para caudales grandes pasa lo contrario, y ahí se usa el rectangular.

Por eso los aforadores de laboratorio y de pequeños arroyos son triangulares, y los de canal de riego, rectangulares.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la lámina sobre un vertedero triangular para un caudal dado, y justificar el exponente sin integrar.

lo tienes cuando:

Escribir la expresión del caudal de cualquiera de los cinco aparatos desde Bernoulli y continuidad, sin recordar ninguna fórmula cerrada.

Turbinas y tipos de máquina

4 de 11 años — teoría, y una vez con cuentas2 escalones

Cae 4 de 11 años

«Elementos de que consta la turbina Pelton», «¿por qué se denomina la turbina Pelton turbina de acción?», «función del distribuidor en las turbinas Francis y Kaplan» y ocho huecos que rellenar sobre turbomáquinas. Casi siempre son preguntas cortas; una vez de las cuatro es una central entera.

Cuatro de las 11 convocatorias finales, y no todas iguales: tres son vocabulario y criterio —cinco preguntas cortas, una tabla de acción y reacción, ocho huecos con descuento por fallo— y la cuarta, la central de tres turbinas de 2024-2025, es un problema completo con sus pérdidas. Va detrás de los huecos grandes porque tres de sus cuatro apariciones se resuelven sin tocar la calculadora y valen poco, pero por delante del golpe de ariete, que ha caído una sola vez.

Acción y reacción, y qué turbina toca

A clasificar una máquina hidráulica y a elegir la turbina adecuada a partir de la velocidad específica.

leerLa velocidad específica dice qué máquina toca

ejemploDos aprovechamientos de la misma potencia y dos turbinas distintas
El ejemplo de entrada. Dos aprovechamientos de la misma potencia que piden dos turbinas distintas.
ejemploDimensionar la Pelton, con el óptimo del tema 15
La Pelton dimensionada con el óptimo del tema 15, que es el mismo álabe móvil de antes con otro nombre.
ejemploLa altura de Euler de un rodete centrífugo
La altura de Euler de un rodete centrífugo, que es lo que hay detrás de la curva que en bombeo se daba hecha.
ejemploEl caudal de una bomba de émbolo sale de la geometría
examenCinco preguntas cortas sobre turbinas y bombas
examenAcción y reacción, fila por fila
examenOcho huecos de turbomáquinas, y por qué conviene dejar alguno en blanco
Ocho huecos, y una cuenta que no está en la teoría: cada fallo resta lo mismo que suma un acierto, así que dejar en blanco lo que no sabes seguro es la jugada. Era el único ejercicio de las once convocatorias finales que esta ruta no enlazaba desde ningún bloque.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Dos aprovechamientos de la misma potencia y dos turbinas distintas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se estudian dos aprovechamientos hidroeléctricos, los dos con un grupo que gira a $600\ \text{rpm}$ y un rendimiento global de $0{,}88$ :

A: salto neto $320\ \text{m}$ , caudal $1{,}2\ \text{m}^{3}/\text{s}$ .
B: salto neto $30\ \text{m}$ , caudal $12\ \text{m}^{3}/\text{s}$ .

a) Comprobar que las dos potencias son casi iguales.

b) Calcular el número de Camerer de cada uno y decidir qué turbina corresponde.

Recordar que $n_s = N\,P_e^{1/2}/H_n^{5/4}$ con la potencia en CV.

Las dos potencias, las dos velocidades específicas y el tipo de turbina de cada una.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si las dos instalaciones dan casi la misma potencia, ¿por qué no sirve la misma turbina?
02
La potencia del aprovechamiento A
COMP2
¿Qué potencia da el aprovechamiento A, en CV?
Tu respuesta al paso 2una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad específica de A
COMP2
¿Cuál es el número de Camerer del aprovechamiento A?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad específica de B
COMP2
¿Y la del aprovechamiento B?
Tu respuesta al paso 4un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos instalaciones dan prácticamente la misma potencia, 3312 y 3105 kW, repartida de forma opuesta entre salto y caudal.
2. El número de Camerer de A es 29,8, dentro de la banda 5–36: corresponde una Pelton, con admisión por puntos y sin tubo difusor.
3. El de B es 555, dentro de 400–700: corresponde una Hélice o Kaplan, de reacción, con admisión total y tubo difusor.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Escribir la tabla de acción y reacción de memoria —seis filas, dos familias— y elegir turbina con la velocidad específica calculada, no intuida.

La central entera, y las dos líneas de alturas

A recorrer los seis elementos de una central en el orden en que los ve el agua, a sacar la altura neta de la bruta descontando lo que se pierde, y a trazar cualitativamente la línea de alturas totales y la piezométrica de una instalación con válvula y turbina.

leerLas líneas de alturas de la instalación entera

ejemploLa altura neta de una central, y dónde acaba cada línea
El ejemplo de entrada. Una sola resta, y detrás la pregunta que el examen hace de verdad: qué hace cada línea al llegar al inyector.
examenLa central de tres turbinas, y lo poco que se lleva el rozamiento
La misma cuenta con tres turbinas en paralelo y las pérdidas calculadas de verdad. Aquí el rozamiento son 2,66 m sobre un salto de 340: sirve para ver que afinarlo no decide nada, y que lo que decide es no equivocarse de salto.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

La altura neta de una central, y dónde acaba cada línea

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una central toma agua de un embalse cuya lámina está en la cota $700\ \text{m}$ y la lleva por una tubería forzada hasta la casa de máquinas, en la cota $210\ \text{m}$ . La tubería pierde $14\ \text{m}$ por rozamiento y hay una válvula parcialmente cerrada que se lleva otros $20\ \text{m}$ . El agua sale por el inyector de una turbina Pelton.

a) Calcular la altura neta que aprovecha la turbina.

b) Decir dónde termina cada una de las dos líneas de alturas.

La altura neta, y qué hace cada línea al llegar al inyector.

01
Reconocer el camino
COMP1
En un tramo de tubería de diámetro constante, ¿qué separa la línea de alturas totales de la piezométrica?
02
La altura neta
COMP2
¿Cuántos metros de altura neta le quedan a la turbina?
Tu respuesta al paso 2en metros — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el trazado. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El salto bruto es la diferencia de láminas: $700-210 = 490$ m.
2. La tubería se lleva 14 m y la válvula 20, así que la altura neta es de 456 m.
3. La línea de alturas totales baja con pendiente suave por el rozamiento y cae en vertical al pasar la válvula.
4. La piezométrica va por debajo de la total, separada por la altura cinética, y las dos son paralelas mientras el diámetro no cambie.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la altura neta de una central a partir de las cotas y las pérdidas, y dibujar las dos líneas sabiendo dónde caen en vertical, dónde son paralelas y dónde se separan.

lo tienes cuando:

Rellenar de memoria la tabla que separa acción de reacción, y decir qué turbina toca dados el salto y el caudal, con la velocidad específica calculada.

Golpe de ariete

1 de 11 finales — pero 2 de 5 parciales3 escalones

Cae 1 de 11 años

«Valor de la sobrepresión generada por golpe de ariete, en mca», «tensión de tracción a la que se somete la tubería de acero» y «razonar cuál será la presión mínima que alcanzará el flujo aguas abajo».

Es el bloque con el número más bajo de todo el examen final —una sola vez en once años— y aun así está aquí, y no eliminado, por dos motivos medidos. Uno: en los parciales cae en dos de cinco, así que quien prepara un parcial tiene que adelantarlo hasta arriba. Y dos: cuando cae, cae entero, con sus tres o cuatro apartados encadenados.

De qué depende la celeridad

A calcular la celeridad de la onda con el módulo del líquido y la elasticidad de la tubería, y a ver cuánto la baja un material flexible.

leerDe qué depende la celeridad

ejemploLa misma tubería en acero y en PVC, y el mismo cierre
El ejemplo de entrada. La misma tubería en acero y en PVC, con el mismo cierre, y dos resultados que no se parecen.
prácticaTres metros de tubo, y el golpe de ariete entero
prácticaLa columna que oscila en un tubo en U

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

La misma tubería en acero y en PVC, y el mismo cierre

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una conducción de $800\ \text{m}$ de longitud, $300\ \text{mm}$ de diámetro interior y $10\ \text{mm}$ de espesor lleva agua a $2\ \text{m/s}$ . Una válvula en su extremo se cierra en $2\ \text{s}$ .

Calcular la sobrepresión por golpe de ariete en dos supuestos:

a) La tubería es de acero ( $k = 0{,}5$ ).

b) La tubería es de PVC ( $k = 33$ ).

Usar la fórmula de Allievi para la celeridad, $a = 9900/\sqrt{48{,}3 + k\,D/e}$ .

La celeridad y la sobrepresión en cada material, clasificando el cierre.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de tocar ninguna fórmula de golpe, ¿qué hay que calcular?
02
La celeridad en el acero
COMP2
¿Cuánto vale la celeridad de la onda en la tubería de acero?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La sobrepresión en el acero
COMP2
Con $T_c = 2\ \text{s}$ , ¿qué sobrepresión aparece en la tubería de acero?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La sobrepresión en el PVC
COMP2
Y con la misma conducción en PVC y el mismo cierre de 2 s, ¿cuánto vale la sobrepresión?
Tu respuesta al paso 4una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El PVC es cuatro veces más flexible en términos de celeridad: 307 m/s frente a los 1244 del acero.
2. Con el mismo cierre de 2 s, en acero resulta lento (Michaud) y en PVC rápido (Allievi), porque la clasificación depende de la celeridad.
3. Aun aplicando Allievi, que es la fórmula del golpe completo, el PVC sufre 62,7 mca frente a los 163,3 del acero con la fórmula más suave.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Dar la celeridad de una conducción de acero y de una de PVC con los mismos datos, y explicar cuál de los dos términos la domina.

Cierre lento o rápido — la clasificación lo decide todo

A comparar el tiempo de cierre con el periodo 2L/a, elegir entre Allievi y Michaud, y diseñar una maniobra que no rompa el tubo.

leerCierre lento o rápido: la clasificación lo decide todo

prácticaLa misma válvula cerrada en cuatro segundos y en dos
La misma válvula a los dos lados de la frontera. Es la forma más rápida de ver que la clasificación no es un trámite.
prácticaLos dos casos límite, y de dónde sale Allievi
prácticaCuánto tiene que durar el cierre, y el límite que no se puede pedir
prácticaComprobar el cierre que hay, y diseñar el que hace falta
prácticaLa tubería forzada de Villariño, y sus quinientos metros de golpe
examenEl sifón que cavita arriba, y el ariete que mide la tubería
Aquí el ariete se usa al revés: sirve para medir la longitud de la tubería.
examenEl canal, la tubería forzada y la válvula que se quiere cerrar antes
examenLa válvula que se cierra sola cuando se va la luz

nivel: practicaEjercicio 7.3 · Colección de Problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La misma válvula cerrada en cuatro segundos y en dos

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una conducción de $1200\ \text{m}$ de longitud y $400\ \text{mm}$ de diámetro se transporta un caudal de $200\ \text{l/s}$ de agua. Se conoce que la tubería, de $8\ \text{mm}$ de espesor, es de acero cuyo módulo de elasticidad es de $2\cdot 10^{7}\ \text{N/cm}^{2}$ . Si se cierra una válvula dispuesta en su extremo final se desea conocer la sobrepresión producida por golpe de ariete:

a) Si el cierre se efectúa en $4\ \text{s}$ .

b) Si el cierre se realiza en $2\ \text{s}$ .

La sobrepresión en cada uno de los dos tiempos de cierre.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da el módulo de elasticidad, no el coeficiente $k$ . ¿Cómo se pasa de uno al otro?
02
La celeridad
COMP2
¿Cuál es la celeridad de la onda?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El cierre en cuatro segundos
COMP2
¿Qué sobrepresión aparece si la válvula se cierra en 4 s?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El cierre en dos segundos
COMP2
¿Y si se cierra en 2 s?
Tu respuesta al paso 4una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $k = 0{,}5$ y $D/e = 50$ , la celeridad es de 1156 m/s y el periodo de ida y vuelta, $T = 2L/a = 2{,}08$ s.
2. Cerrando en 4 s el cierre es lento y Michaud da 97,4 mca; en 2 s es rápido y Allievi da 187,8 mca.
3. Al pasar de 4 a 2 segundos el golpe casi se duplica, y a partir de 2,08 s hacia abajo ya no crece más: 187,8 mca es el techo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Decir en treinta segundos si un cierre es lento o rápido, y dar el tiempo mínimo que habría que exigir para no pasar de una sobrepresión dada.

De la sobrepresión a la tensión del material

A pasar de la sobrepresión del golpe a la tensión de tracción que soporta la pared del tubo, y a resolver el caso incómodo: cuando lo que se pide es el espesor, y el espesor aparece en los dos lados de la ecuación.

leerTensiones en tuberías: la fórmula de Barlow

prácticaDel golpe de ariete a la tensión que aguanta el tubo
El paso directo, y el que conviene hacer primero: la sobrepresión ya está calculada y solo hay que llevarla a la pared.
prácticaEl espesor que depende de sí mismo
prácticaLa válvula de retención que recibe el golpe

Lo tienes cuando

Dar la tensión de tracción de una tubería de acero a partir de la sobrepresión que has calculado, sin volver a mirar de dónde sale el 2 del denominador.

lo tienes cuando:

Clasificar un cierre como lento o rápido comparando su duración con 2L/a, y dar la sobrepresión con la fórmula que corresponde a cada caso.

El simulacro

a reloj, y sin la solución al lado4 referencias

Ocho o nueve ejercicios de temas distintos, de una sentada. Los cuadros y ábacos se reparten con el examen — eso sí lo dicen los propios enunciados, que citan «Documentación: Anexo I».

Los bloques de arriba entrenan cada hueco por separado, y el examen no va por separado: va contra el reloj y saltando de tema en tema. Estas son las cuatro convocatorias más completas del corpus, elegidas porque son las que menos ejercicios tienen declarados fuera- 2024 ordinaria está entera, y las dos de 2023 y la de 2022 también.

examen2023-2024 · 30 de mayo de 2024
Ocho de ocho transcritos, sin un solo hueco. Es el simulacro más limpio del corpus y el que conviene hacer primero.
examen2022-2023 · 1 de junio de 2023
Nueve de nueve. Recorre estática, cantidad de movimiento, canales, conducciones y bombeo en el mismo examen.
examen2022-2023 · 26 de junio de 2023
Nueve de nueve. Su ejercicio 1 trae la construcción de adhesión y cohesión que hace falta en otras dos convocatorias.
examen2021-2022 · 2 de junio de 2022
Once ejercicios, el examen más largo de los once años. Sirve para medir el ritmo, aunque no dé tiempo a terminarlo.

lo tienes cuando:

Hacer una convocatoria completa de una sentada y sin abrir la resolución, y después contar cuántos apartados habrías dado por buenos sin serlo.

El formulario

lo que hay que llevar en la cabeza7 referencias

Nada. Es lo que el examen da por sabido sin decirlo, y lo que hay que poder escribir sin buscarlo.

Va el último porque es repaso, no aprendizaje: ninguno de estos apartados se entiende leyéndolo aquí por primera vez. Y va, en vez de no ir, porque el examen reparte los cuadros pero no las fórmulas, y con ocho o nueve ejercicios por delante la diferencia entre terminar y no terminar suele estar en cuánto tiempo se pierde buscando.

leerLas unidades, que son medio examen
Las seis conversiones. Si hay que memorizar una sola cosa de toda la asignatura, es esta tabla.
leerTres formas, y la que se usa
Las tres formas de Bernoulli y cuál se usa en cada sitio, que es lo que decide si la ecuación sale en metros o en pascales.
leerLas cinco fórmulas, y cuándo se usa cada una
Las cinco fórmulas de pérdida con su rango de validez. Elegir mal aquí invalida el resto del ejercicio.
leerManning
Manning y los coeficientes del cuadro n.º 26, incluido el de la arena, que es 0,020 y no está en las diapositivas.
leerEl golpe máximo: Allievi
Allievi, Michaud y el periodo 4L/a. Las tres se olvidan juntas.
leerLa cadena de rendimientos
El orden de los rendimientos, que decide si se multiplica o se divide.
leerLos cinco números, y qué manda en cada caso
Los cinco números adimensionales con su expresión y su significado físico, que es lo que pide el primer apartado casi siempre.

lo tienes cuando:

Escribir de memoria, en una cara de folio: Bernoulli generalizada, Darcy, Manning, Allievi, la cadena de rendimientos y las seis conversiones de presión.

Preparar la convocatoria de Mecánica de Fluidos

Unidades, presiones y pérdidas de carga

El kilogramo que no es una masa

Reconocer el camino

El peso en la Tierra

El peso en la Luna

Justificar el argumento

Las seis formas de escribir la misma presión

Reconocer el camino

El mano-vacuómetro 1

La presión absoluta del aire B

El manómetro 2

Justificar el argumento

Darcy, Moody y los cuadros de la escuela

Reconocer el camino

La rugosidad relativa

La primera frontera

La velocidad correspondiente

Justificar el argumento

Continuidad, y de qué se habla cuando se dice «permanente»

Reconocer el camino

Cuántos de los cuatro son permanentes

Justificar el argumento

Análisis dimensional y semejanza

El teorema de Vaschy-Buckingham, paso a paso

Reconocer el camino

El exponente de la densidad

El número de Reynolds

Justificar el argumento

Los cinco números, y cuál manda en cada caso

La pregunta que cae siempre — ¿es posible la semejanza absoluta?

Reconocer el camino

La viscosidad del líquido del modelo

La relación de caudales

Justificar el argumento

Las escalas, que son lo que se calcula

Instalaciones de bombeo

Del enchufe al agua, escalón por escalón

Reconocer el camino

La potencia útil

El rendimiento global

La potencia absorbida

Justificar el argumento

La curva de la instalación y el punto de funcionamiento

Reconocer el camino

El caudal

La altura

La potencia absorbida

La pérdida de la válvula

Justificar el argumento

Cómo se mueve el punto de funcionamiento

Cavitación y NPSH

Reconocer el camino

El NPSH disponible

El NPSH de seguridad

La cota máxima

Justificar el argumento

Flujo en canales

Chezy y Manning

Reconocer el camino

El calado del canal rectangular

El diámetro de la media caña

Cuánto se ahorra con la media caña

Justificar el argumento

La sección hidráulicamente óptima

Reconocer el camino

El calado óptimo

La velocidad

Con el doble de pendiente

Justificar el argumento

Los tres tipos de problema

Las secciones que no tienen fórmula

Reconocer el camino

El radio hidráulico

La pendiente

Justificar el argumento

Fuerzas sobre superficies y sobre cuerpos

La superficie plana inclinada y el centro de presión

Reconocer el camino

La resultante