Mecánica de Fluidos · tema 10

Conservación de la masa. Continuidad

Una ecuación con cuatro formas, según lo que se pueda suponer. La que se usa en casi todos los problemas del curso.

El tema más corto de la asignatura y uno de los que más se usa: la masa no se crea ni se destruye, y de esa frase salen las relaciones entre velocidades y secciones que aparecen en todos los problemas de dinámica.

Las cuatro formas de la misma ecuación

Aplicando la conservación de la masa a un volumen de control, y quitando hipótesis una a una:

1 · Expresión general. La masa que entra menos la que sale es lo que se acumula dentro.

2 · Flujo permanente. Si nada cambia con el tiempo, dentro no se acumula nada: lo que entra sale.

\dot{m}_1 = \dot{m}_2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \rho_1 Q_1 = \rho_2 Q_2

3 · Permanente e incompresible. Si además la densidad es la misma, se cancela y lo que se conserva es el caudal:

\boxed{Q = A_1 v_1 = A_2 v_2}

4 · Gases. Cuando la densidad cambia, hay que quedarse en la forma másica:

\dot{m} = \rho_1 v_1 A_1 = \rho_2 v_2 A_2

Esta es la que se usa con aire comprimido, y la que explica que en un conducto de sección constante un gas pueda acelerarse: si se expande, $\rho$ baja y $v$ tiene que subir.

En un gas se conserva el gasto, no el caudal

Es el error que separa un problema de agua de uno de aire.

En un líquido, $\rho$ es la misma en los dos puntos, así que se conserva el caudal $Q$ y también el gasto $\dot m$ .
En un gas, solo se conserva el gasto $\dot m = \rho v A$ . El caudal volumétrico cambia: el mismo kilo de aire ocupa el doble si la presión se reduce a la mitad.

La pista del enunciado: si da presiones o temperaturas distintas en los dos puntos, la densidad cambia y hay que ir por la forma másica.

Por qué la sección manda al cuadrado

En un conducto circular, $A = \pi D^{2}/4$ , así que

\frac{v_2}{v_1} = \frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^{2}

Reducir el diámetro a la mitad cuadruplica la velocidad. Esa relación es la que hace funcionar el venturímetro del tema 13 y la que hace que una boquilla dispare el chorro.

Las dos tuberías tienen la misma sección de principio a fin, así que con un líquido no pasa nada: misma densidad, mismo caudal, misma velocidad. Con un gas que pierde la mitad de su presión, la densidad se reduce a la mitad y la velocidad se duplica para que el gasto másico siga siendo el mismo. Por eso la pista del enunciado es la presión: si cambia, hay que ir por la forma másica.

Y en una bifurcación

La continuidad no exige dos secciones: exige que todo lo que entra al volumen de control salga por algún sitio.

Q_{\text{entra}} = \sum Q_{\text{sale}}

En una derivación en «T», el caudal de la tubería principal es la suma de los de las ramas. Es la primera ecuación que se escribe en los problemas de redes del tema 19, y allí se llama «ley de nudos» — la misma idea que en un circuito eléctrico.

Practica lo que acabas de leer

Un gas que acelera en una tubería que no cambia de sección

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Un gas que acelera en una tubería que no cambia de sección

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una tubería de $100\ \text{mm}$ de diámetro constante circula aire comprimido. En el punto 1 la densidad es $6\ \text{kg/m}^{3}$ y la velocidad $12\ \text{m/s}$ . Aguas abajo, en el punto 2, el aire se ha expandido hasta $2{,}4\ \text{kg/m}^{3}$ .

a) Calcular el gasto másico.

b) Calcular la velocidad en el punto 2.

c) ¿Se conserva el caudal volumétrico?

Régimen permanente.

El gasto, la velocidad en 2, y si el caudal se conserva.

01
Reconocer el camino
COMP1
La sección no cambia y la velocidad sí. ¿Contradice eso la continuidad?
02
El gasto másico
COMP2
¿Cuánta masa pasa por segundo?
Tu respuesta al paso 2un caudal másico, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad aguas abajo
COMP2
Con la misma sección y $\rho_2 = 2{,}4\ \text{kg/m}^{3}$ , ¿cuál es $v_2$ ?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En régimen permanente lo que se conserva es el gasto: $\dot m = \rho v A$ , el mismo en 1 y en 2.
2. $\dot m = 6\cdot12\cdot7{,}854\cdot10^{-3} = 0{,}5655\ \text{kg/s}$ .
3. Con $A$ igual: $v_2 = v_1\rho_1/\rho_2 = 30\ \text{m/s}$ .
4. El caudal no se conserva: pasa de $0{,}094$ a $0{,}236\ \text{m}^{3}/\text{s}$ , dos veces y media más.
5. Con un líquido la respuesta habría sido otra: densidad constante, y entonces sí $v_2 = v_1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Conservación de la masa. Continuidad

Las cuatro formas de la misma ecuación

Por qué la sección manda al cuadrado

Y en una bifurcación

Reconocer el camino

El gasto másico

La velocidad aguas abajo

Justificar el argumento