Mecánica de Fluidos · tema 09

Fundamentos del movimiento de fluidos

Los tipos de flujo, Euler frente a Lagrange y el volumen de control. El vocabulario con el que están escritos los temas siguientes.

Hasta aquí el fluido estaba quieto. A partir de ahora se mueve, y eso obliga a fijar un vocabulario antes de escribir una sola ecuación: qué tipo de flujo es, desde dónde se mira y sobre qué región se hacen los balances.

Este tema no se examina solo. Pero cada hipótesis que aquí se define es la que permite que las ecuaciones de los temas 10, 12 y 14 tengan la forma sencilla que tienen — y el examen sí pregunta por qué se pueden aplicar.

Los cuatro criterios para clasificar un flujo

Por el número de dimensiones que se estudian: unidimensional (solo la dirección principal, como en un conducto), bidimensional o tridimensional.

Por cómo se intercambia cantidad de movimiento entre moléculas:

Laminar: el fluido se mueve en capas que deslizan una sobre otra, sin intercambio, y cumpliendo la ley de Newton $\tau = \mu\,dv/dy$ . Pide mucha viscosidad y poca velocidad, y es lo inusual.
Turbulento: las partículas siguen trayectorias erráticas y sí intercambian cantidad de movimiento. Es el caso frecuente. Se puede escribir una ley parecida, $\tau = \eta\,dv/dy$ , donde $\eta$ es la viscosidad de remolino y engloba la del fluido más el efecto del intercambio.

Las pérdidas de carga son mayores en turbulento, y esa frase es la que conecta este tema con el 18.

Por cómo varía la velocidad en el espacio:

\text{uniforme:}\quad \frac{\partial \vec{v}}{\partial s}\Big|_t = 0 \qquad\qquad \text{no uniforme:}\quad \frac{\partial \vec{v}}{\partial s}\Big|_t \ne 0

Un codo no es uniforme aunque no cambie la sección, porque cambia la dirección del vector.

Por cómo varía en el tiempo:

\text{permanente:}\quad \frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial P}{\partial t} = 0

Un depósito que se vacía manteniendo el nivel constante da flujo permanente; si el nivel baja, no lo es.

Uniforme y permanente no son lo mismo, y se confunden siempre

Son dos derivadas distintas: uniforme es que no cambie con la posición ( $\partial/\partial s$ ), permanente es que no cambie con el tiempo ( $\partial/\partial t$ ).

Un flujo puede ser cualquiera de las cuatro combinaciones:

	uniforme	no uniforme
permanente	tubería recta de sección constante, caudal fijo	codo o difusor con caudal fijo
no permanente	tubería recta al abrir una válvula	depósito que se vacía por un difusor

Casi todos los problemas de la asignatura son permanentes, y muchos no son uniformes. Cuando el enunciado dice «régimen permanente» está autorizando a quitar los términos con $\partial/\partial t$ , no los otros.

Y por la compresibilidad: incompresible cuando las variaciones de densidad son despreciables, compresible cuando no. El ejemplo de compresible que sí aparece en la asignatura es el golpe de ariete (tema 20).

Euler y Lagrange: dos formas de mirar

Lagrange sigue a cada partícula: sus coordenadas son función del tiempo y de dónde estaba al principio. Es lo que se hace en mecánica del sólido, y en fluidos se usa en el análisis diferencial y en simulación.
Euler fija un punto del espacio y mira qué pasa allí: qué presión, qué densidad y qué velocidad tiene la partícula que ocupa ese punto en cada instante.

En esta asignatura se usa Euler, porque va con el análisis integral y con los volúmenes de control.

Línea de corriente, tubo de corriente, trayectoria

La línea de corriente es la curva tangente al vector velocidad en cada punto. La trayectoria es el camino que recorre una partícula concreta.

Si el régimen es permanente, las dos coinciden. Si no lo es, no tienen por qué, y ahí está la diferencia entre lo que se ve en una foto y lo que se ve en un vídeo.

El tubo de corriente es la superficie formada por las líneas de corriente que pasan por una curva cerrada. Su propiedad útil: por su pared lateral no entra ni sale fluido, porque la velocidad es tangente a ella. Por eso se puede tratar como una tubería aunque no haya tubo.

La aceleración tiene dos partes

En flujo unidimensional, con $\vec{v} = f(s,t)$ :

\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial s}\,v}_{\text{convectiva}} + \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{\text{local}}

La local es la variación con el tiempo: desaparece si el flujo es permanente.
La convectiva es la variación al avanzar: desaparece si el flujo es uniforme.

Y de aquí sale una idea que no es obvia: en una tobera con caudal constante el flujo es permanente y aun así hay aceleración, porque el fluido se acelera al estrecharse el paso. La aceleración convectiva es la que explica que la velocidad cambie sin que nada cambie con el tiempo.

El cronómetro puesto en un punto fijo de la tobera no ve nada cambiar: el flujo es permanente y la aceleración local es cero. Pero una partícula que atraviesa la tobera pasa de 2 a 8 m/s, y esa aceleración es real. Es la convectiva, y existe porque el flujo no es uniforme. Confundir las dos condiciones es el error del tema: son independientes, y un flujo puede ser permanente y acelerado a la vez.

Caudal y gasto

Q = v\,A \quad [\text{m}^{3}/\text{s}] \qquad\qquad \dot{m} = \rho\,v\,A = \rho\,Q \quad [\text{kg/s}]

El caudal es volumen por unidad de tiempo; el gasto o flujo másico es masa por unidad de tiempo. En un líquido los dos se conservan; en un gas, solo el segundo.

Sistema y volumen de control

Sistema: una masa fija que se sigue en su movimiento, $dm/dt = 0$ .
Volumen de control: una región fija del espacio, $d\forall/dt = 0$ , por la que el fluido entra y sale.

El teorema del transporte de Reynolds es el puente entre los dos: permite escribir para un volumen de control las leyes que la física enuncia para una masa. Es la razón de que se pueda aplicar « $F = ma$ » a un codo por el que pasa agua sin seguir a ninguna partícula.

Y el resumen con el que el propio tema se cierra, que conviene tener presente todo el resto de la asignatura: de aquí en adelante se estudian flujos unidimensionales, uniformes, permanentes e incompresibles, analizados de forma integral sobre volúmenes de control.

Practica lo que acabas de leer

Qué pasa con la velocidad al estrechar la tubería

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Qué pasa con la velocidad al estrechar la tubería

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una tubería de $200\ \text{mm}$ de diámetro circula un caudal de agua de $50\ \text{l/s}$ . La tubería se estrecha hasta $100\ \text{mm}$ .

a) Calcular la velocidad en cada tramo.

b) Calcular el gasto másico.

c) ¿Cuántas veces mayor es la velocidad en el tramo estrecho?

Las dos velocidades, el gasto másico y la razón entre velocidades.

01
Reconocer el camino
COMP1
El diámetro se reduce a la mitad. ¿Qué le pasa a la velocidad?
02
La velocidad en el tramo ancho
COMP2
¿Qué velocidad lleva el agua en la tubería de $200\ \text{mm}$ ?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El gasto másico
COMP2
¿Cuál es el flujo másico de agua?
Tu respuesta al paso 3un caudal másico, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Continuidad en flujo incompresible y permanente: $Q = A_1v_1 = A_2v_2$ .
2. $A_1 = 0{,}0314\ \text{m}^{2}$ y $A_2 = 0{,}00785\ \text{m}^{2}$ , la cuarta parte.
3. $v_1 = 1{,}59\ \text{m/s}$ y $v_2 = 6{,}37\ \text{m/s}$ : cuatro veces más.
4. $\dot m = \rho Q = 50\ \text{kg/s}$ , el mismo en los dos tramos.
5. El flujo es no uniforme en el estrechamiento —la velocidad cambia con la posición— y aun así permanente, porque no cambia con el tiempo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Permanente, uniforme, o las dos cosas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar los siguientes flujos como permanentes o no, y como uniformes o no:

a) Agua por una tubería recta de sección constante, con caudal fijo.

b) Agua por un difusor (sección creciente), con caudal fijo.

c) Agua por una tubería recta justo después de abrir una válvula.

d) Un depósito que se vacía por un orificio, sin reponer el nivel.

Y responder: ¿en cuál de ellos hay aceleración, y de qué tipo?

La clasificación de los cuatro casos y dónde hay aceleración.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué derivada define cada término?
02
Cuántos de los cuatro son permanentes
COMP2
De los cuatro casos, ¿cuántos son de flujo permanente?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Permanente y uniforme: nada cambia ni con el tiempo ni a lo largo del tubo. Sin aceleración.
2. b) Permanente y no uniforme: la velocidad cambia al avanzar. Hay aceleración convectiva.
3. c) No permanente y uniforme: la velocidad es la misma en todo el tubo pero crece con el tiempo. Hay aceleración local.
4. d) No permanente y no uniforme: cambia con el tiempo (el nivel baja) y con la posición (el orificio estrecha). Hay las dos aceleraciones.
5. La mayoría de los problemas de la asignatura son del tipo a) y b): por eso se puede quitar siempre el término $\partial/\partial t$ .

Resolución completa

caso	permanente	uniforme	aceleración
a) tubería recta, caudal fijo	sí	sí	ninguna
b) difusor, caudal fijo	sí	no	convectiva
c) tras abrir la válvula	no	sí	local
d) depósito que se vacía	no	no	las dos

\vec{a} = \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial s}\,v}_{\text{convectiva: falta si es uniforme}} + \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{\text{local: falta si es permanente}}

La idea que hay que llevarse, porque reaparece en Bernoulli. Un flujo permanente sí puede acelerar. Lo hace cuando el conducto cambia de sección: la partícula se acelera al avanzar aunque en cada punto la velocidad sea siempre la misma. Sin eso, un venturímetro no tendría sentido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Fundamentos del movimiento de fluidos

Los cuatro criterios para clasificar un flujo

Euler y Lagrange: dos formas de mirar

Línea de corriente, tubo de corriente, trayectoria

La aceleración tiene dos partes

Caudal y gasto

Sistema y volumen de control

Reconocer el camino

La velocidad en el tramo ancho

El gasto másico

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántos de los cuatro son permanentes

Justificar el argumento