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Road to IngenieríaMecánica de Fluidos · tema 11

Mecánica de Fluidos · tema 11

Ecuaciones fundamentales de la dinámica

De dónde salen Euler y Navier-Stokes, y por qué toda la asignatura se puede hacer sin resolverlas.

Este tema es corto y es el esqueleto de todo lo que viene. Aquí aparecen las ecuaciones generales del movimiento de un fluido, y lo primero que conviene decir es que no se van a resolver: en esta asignatura se usan para saber de dónde vienen Bernoulli y las pérdidas de carga, y qué se ha tirado por el camino para llegar a ellas.

Las fuerzas que actúan sobre un fluido

Tres clases, y la clasificación importa porque cada una entra en las ecuaciones por un sitio distinto:

  • Externas superficiales: actúan sobre las fronteras, por contacto directo. El ejemplo principal es la presión.
  • Externas volumétricas: se distribuyen por todo el volumen y actúan sin contacto. La gravedad, y las electromagnéticas.
  • Internas: las que las partículas de fluido ejercen entre sí. Son las viscosas, y son las que se desprecian al suponer fluido perfecto.

La ecuación de Euler

Sale de la ecuación fundamental de la estática del tema 3 con una sola modificación. En estática, la resultante por unidad de masa es nula:

F⃗−1ρ grad p=0\vec F - \frac{1}{\rho}\,\text{grad}\,p = 0

En dinámica, esa misma resultante es lo que acelera al fluido:

F⃗−1ρ grad p=a⃗\boxed{\vec F - \frac{1}{\rho}\,\text{grad}\,p = \vec a}

Eso es la ecuación de Euler, o ecuación fundamental de la dinámica de los fluidos perfectos. Es la segunda ley de Newton por unidad de masa, escrita para un fluido, y su hipótesis es una sola: μ=0\mu = 0, viscosidad nula.

Esta ecuación de Euler no es la de las turbomáquinas ni la de Bernoulli

Hay tres cosas distintas que llevan el nombre de Euler en esta asignatura, y conviene separarlas ya:

dóndequé es
tema 11F⃗−1ρgrad p=a⃗\vec F - \frac{1}{\rho}\text{grad}\,p = \vec a: la ley de Newton para un fluido perfecto
tema 12integrarla a lo largo de una línea de corriente da Bernoulli
tema 22la ecuación de Euler de las turbomáquinas, HE=(u2cu2−u1cu1)/gH_E = (u_2c_{u2}-u_1c_{u1})/g, que sale del momento cinético y no de aquí

La primera y la segunda están emparentadas: Bernoulli es esta ecuación integrada, con hipótesis añadidas. La tercera no tiene nada que ver — comparte apellido, no genealogía.

Y hay un cuarto: el número de Euler del tema 16, Δp/ρv2\Delta p/\rho v^{2}.

Cuántas ecuaciones hacen falta

Un detalle de contabilidad que explica por qué esto no se resuelve a mano. Para describir un flujo hay que conocer, en cada punto y en cada instante, seis funciones:

u(x,y,z,t)v(x,y,z,t)w(x,y,z,t)p(x,y,z,t)T(x,y,z,t)ρ(x,y,z,t)u(x,y,z,t) \quad v(x,y,z,t) \quad w(x,y,z,t) \quad p(x,y,z,t) \quad T(x,y,z,t) \quad \rho(x,y,z,t)

las tres componentes de la velocidad más presión, temperatura y densidad. Seis incógnitas piden seis ecuaciones, y salen justas:

de dóndecuántas
la ecuación de Euler, por componentes3
la ecuación de continuidad (tema 10)1
la ecuación de estado, f(p,ρ,T)=0f(p,\rho,T)=01
el tipo de proceso termodinámico (isotermo, adiabático, isoentrópico)1

Seis y seis. El sistema está cerrado, y sin embargo es irresoluble a mano salvo en casos triviales: son ecuaciones en derivadas parciales acopladas y no lineales.

Por eso esta asignatura trabaja como trabaja: con volúmenes de control y balances integrales —masa, energía, cantidad de movimiento— en vez de con el campo punto a punto. Es la decisión que se tomó en el tema 9 al elegir el método de Euler frente al de Lagrange, y aquí se ve el motivo.

Si el fluido es real, hay viscosidad, y aparecen las fuerzas internas. La ecuación de Euler gana un término:

F⃗−1ρ grad p+ν∇2v⃗=a⃗\boxed{\vec F - \frac{1}{\rho}\,\text{grad}\,p + \nu\nabla^{2}\vec v = \vec a}

con ν=μ/ρ\nu = \mu/\rho la viscosidad cinemática y

∇2v⃗=∂2u∂x2i⃗+∂2v∂y2j⃗+∂2w∂z2k⃗\nabla^{2}\vec v = \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\vec i + \frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}\vec j + \frac{\partial^{2}w}{\partial z^{2}}\vec k

Son las ecuaciones de Navier-Stokes, la ecuación fundamental de la dinámica de los fluidos reales. Y la diferencia con Euler es exactamente un sumando: ν∇2v⃗\nu\nabla^{2}\vec v, el término viscoso.

De la estática a Bernoulli, y qué hipótesis se añade en cada pasoUna cadena de cuatro cajas. La primera es la ecuación de la estática, con la resultante igual a cero. Añadiendo la aceleración se llega a la ecuación de Euler, válida para fluido perfecto. Añadiendo el término viscoso se llega a Navier-Stokes, válida para fluido real. Y volviendo atrás, integrando Euler a lo largo de una línea de corriente con flujo permanente e incompresible, se llega a Bernoulli. Una flecha señala que las pérdidas de carga de los temas 18 y 19 son la forma de devolverle a Bernoulli el término viscoso que se le quitó.estáticaresultante = 0+ aEulerfluido perfecto+ viscosoNavier-Stokesfluido realintegrar en una línea de corrienteBernoullitema 12B₁ − h_f = B₂temas 18 y 19La pérdida de carga es la forma práctica de devolverle a Bernoulli el términoviscoso que se le quitó: lo que Navier-Stokes lleva dentro, medido a ojo.

Las cuatro ecuaciones son la misma con distinta cantidad de hipótesis encima. Bernoulli es Euler integrado, y por tanto arrastra la hipótesis de fluido perfecto; el término que se le quitó es justamente el que los temas 18 y 19 devuelven en forma de pérdida de carga, medida con un ábaco en vez de calculada con un laplaciano. Toda la segunda mitad de la asignatura es esa reparación.

Que el término viscoso sea diminuto en el centro no significa que se pueda ignorar

Es la trampa conceptual del tema, y se ve comparando los dos términos.

El cociente entre el término viscoso y el de inercia de Navier-Stokes es, en orden de magnitud, el inverso del número de Reynolds. Con agua a 2 m/s por una tubería de 100 mm, Re=200.000Re = 200.000, así que el viscoso vale unas cinco millonésimas del inercial.

Y sin embargo, esa tubería pierde carga, y toda la pérdida es viscosa.

La resolución de la aparente contradicción es la capa límite del tema 17: la estimación anterior usa la escala del diámetro, y ahí el gradiente de velocidad es pequeño. Pegado a la pared, en una película de una décima de milímetro, la velocidad pasa de cero a casi la máxima: el gradiente es mil veces mayor, y con él el término viscoso.

De ahí la partición de Prandtl, que es la idea que reconcilia este tema con la realidad: Euler vale fuera de la capa límite, Navier-Stokes hace falta dentro. Y como resolver Navier-Stokes en la capa límite no está al alcance de esta asignatura, lo que se hace es medir su efecto y llamarlo hfh_f.

Y por qué esto no se resuelve

Vale la pena decirlo con todas las letras, porque explica la forma del resto de la asignatura.

Navier-Stokes son ecuaciones en derivadas parciales, no lineales y acopladas. No hay solución analítica general —de hecho, demostrar que siempre existe solución suave es uno de los problemas del milenio— y solo se resuelven a mano en casos con mucha simetría, como el flujo laminar entre placas o el de Hagen-Poiseuille del tema 18, que es de los pocos resultados exactos que se usarán.

Para todo lo demás quedan dos caminos, y esta asignatura recorre el segundo:

  • resolverlas numéricamente —lo que hoy se llama CFD—, que es otra asignatura;
  • renunciar al detalle punto a punto y trabajar con balances integrales sobre un volumen de control: masa (tema 10), energía (tema 12) y cantidad de movimiento (tema 14), con los efectos viscosos metidos a posteriori como pérdidas medidas.

Este tema es, sobre todo, la justificación de esa renuncia. Conviene tenerla presente: cada vez que en los temas siguientes aparezca un coeficiente experimental —CdC_d, ff, KK, nn— está tapando un trozo de Navier-Stokes que nadie ha resuelto.

Practica lo que acabas de leer

Cuánto pesa el término que separa a Euler de Navier-Stokes

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Cuánto pesa el término que separa a Euler de Navier-Stokes

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una tubería de 100 mm100\ \text{mm} circula agua a 20 °C20\ °\text{C} (ν=10−6 m2/s\nu = 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}) a 2 m/s2\ \text{m/s}.

Comparando los términos de Navier-Stokes en órdenes de magnitud, el cociente entre el término viscoso y el de inercia es aproximadamente 1/Re1/Re.

a) Calcular el número de Reynolds.

b) Estimar el peso del término viscoso frente al de inercia.

c) Repetir con glicerina (ν=1,9⋅10−4 m2/s\nu = 1{,}9\cdot 10^{-4}\ \text{m}^{2}/\text{s}) en la misma tubería y a la misma velocidad.

Los dos Reynolds y los dos cocientes, y qué significan.

  1. 01

    Reconocer el camino

    COMP1

    ¿Qué distingue exactamente a la ecuación de Euler de las de Navier-Stokes?

  2. 02

    El Reynolds del agua

    COMP2

    ¿Qué número de Reynolds tiene el agua?

    un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
  3. 03

    El peso del término viscoso

    COMP2

    ¿Cuántas millonésimas del término de inercia representa el viscoso? (escribe solo el número de millonésimas)

    un número, contado en millonésimas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
  4. 04

    Y con glicerina

    COMP2

    ¿Cuántas millonésimas vale ese cociente para la glicerina?

    un número, contado en millonésimas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
  5. 05

    Justificar el argumento

    COMP4

    Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.

    1. Ve eligiendo las piezas en orden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Entrena COMP1 · COMP2 · COMP4

Adaptado del Tema 11 de Mecánica de Fluidos · Departamento de Ingeniería Energética, UPV/EHU