Mecánica de Fluidos · tema 12

Ecuación de Bernoulli

Cinco hipótesis, tres formas de escribirla y las cuatro que se pueden levantar. Con la bomba, la turbina y la potencia.

Es la ecuación que sostiene la segunda mitad de la asignatura. No es una ley nueva: es la conservación de la energía escrita para un flujo, y sale de integrar la de Euler sobre una línea de corriente bajo cinco hipótesis.

Saber cuáles son esas cinco no es erudición: el examen consiste casi siempre en levantar alguna de ellas, y hay que saber cuál se está levantando y qué término aparece a cambio.

De Euler a Bernoulli, en cinco pasos

Partiendo de la ecuación de Euler, $\vec{R} - \frac{1}{\rho}\nabla P = \vec{a}$ :

Fluido perfecto ( $\mu = 0$ ): ya está supuesto en Euler.
Campo gravitatorio, con $\vec{R} = -\nabla U$ y $U = gz$ .
Proyección sobre la línea de corriente $s$ , con $\vec{a} = \frac{\partial v}{\partial s}v + \frac{\partial v}{\partial t}$ .
Flujo permanente: desaparece $\partial v/\partial t$ , y queda $-d(gz) - \frac{1}{\rho}dP = v\,dv$ .
Flujo incompresible: $\rho$ sale de la integral.

\boxed{g\,z + \frac{P}{\rho} + \frac{v^{2}}{2} = \text{cte}}

Tres formas, y la que se usa

Dividiendo por $g$ o multiplicando por $\rho$ , la misma ecuación cambia de unidades:

forma	expresión	unidades
energía/masa	$\dfrac{P}{\rho}+gz+\dfrac{v^{2}}{2}$	J/kg
energía/peso	$\dfrac{P}{\gamma}+z+\dfrac{v^{2}}{2g}$	m (mcl)
energía/volumen	$P+\gamma z+\rho\dfrac{v^{2}}{2}$	J/m³ = Pa

En esta asignatura se usa siempre la segunda, porque todos sus términos son metros de columna de líquido y se pueden dibujar en el esquema de la instalación. Sus nombres:

$z$ — cota geométrica
$z + P/\gamma$ — cota piezométrica
$z + P/\gamma + v^{2}/2g$ — Bernoulli o altura total

Y $P/\gamma$ es la presión estática, $v^{2}/2g$ la dinámica.

La constante de Bernoulli es de cada línea de corriente

$K(s)$ depende de la línea de corriente: dos partículas que van por caminos distintos no tienen por qué tener la misma altura total.

Salvo en un caso, y es el que salva casi todos los problemas: si todas las líneas de corriente parten de la superficie libre de un depósito, allí tienen la misma cota, la misma presión y velocidad prácticamente nula, así que arrancan con el mismo Bernoulli. Entonces la constante es común a todo el flujo y se puede aplicar la ecuación entre dos puntos cualesquiera.

Por eso los enunciados empiezan tantas veces con «desde un depósito abierto de grandes dimensiones».

Las cuatro hipótesis que se pueden levantar

La del campo gravitatorio se cumple siempre. Las otras cuatro se relajan así:

Gases: si la variación de presión es pequeña —un 2 o 3 % de la absoluta—, la densidad apenas cambia y el gas se trata como incompresible. Es el caso de los ventiladores.
Flujo no permanente: si las variaciones con el tiempo son lentas, se aplica Bernoulli en cada instante. Así se resuelve el vaciado de un depósito grande.
Líneas de corriente distintas: resuelto arriba con el depósito.
Fluido real: esta es la importante.

Bernoulli generalizada: las pérdidas

Un fluido real tiene viscosidad, la viscosidad genera esfuerzos cortantes y esos esfuerzos disipan energía. La altura total ya no se conserva: se pierde por el camino.

\boxed{B_1 - h_{f_{1\to2}} = B_2} \qquad\text{con}\qquad h_f = k\,\frac{v^{2}}{2g}

Las pérdidas son proporcionales a la energía cinética: a más velocidad, muchas más pérdidas. Esa forma $k\,v^{2}/2g$ es la que desarrollan los temas 18 y 19.

Y si en el camino hay una máquina, aparece su término:

\text{bomba:}\quad B_E + H_m = B_S \qquad\qquad \text{turbina:}\quad B_E - H_T = B_S

$H_m$ es la altura manométrica —energía por unidad de peso que la bomba entrega al flujo— y $H_T$ la altura neta que la turbina le quita.

El dibujo es la ecuación: la distancia entre el conducto y la piezométrica es la presión, y entre la piezométrica y Bernoulli, la velocidad. Donde el tubo se estrecha, la segunda crece a costa de la primera. Y la línea de Bernoulli nunca sube salvo que haya una bomba.

Potencia

Multiplicando el Bernoulli (energía por unidad de peso) por el peso que pasa por segundo ( $\gamma Q$ ):

\boxed{\text{Pot} = B\,\gamma\,Q}

De ahí, tres casos que se usan constantemente:

Chorro por una boquilla: $\text{Pot} = \gamma Q\,\dfrac{v^{2}}{2g}$
Potencia perdida entre dos puntos: $\text{Pot} = \gamma Q\,h_{f_{1\to2}}$
Bomba: potencia hidráulica $= H_m\gamma Q$ , y el rendimiento

\eta = \frac{\text{Pot útil}}{\text{Pot bruta}}

que en una bomba es hidráulica entre absorbida, y en una turbina, mecánica entre neta. La distinción importa: en la bomba la útil está en el fluido y en la turbina, en el eje.

Practica lo que acabas de leer

El chorro de un depósito, y la potencia que lleva

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

El chorro de un depósito, y la potencia que lleva

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito abierto de grandes dimensiones tiene una boquilla de $50\ \text{mm}$ de diámetro situada $5\ \text{m}$ por debajo de la superficie libre. El chorro sale a la atmósfera.

a) Calcular la velocidad de salida, suponiendo fluido perfecto.

b) Calcular el caudal.

c) Calcular la potencia que lleva el chorro.

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ y $\gamma = 9800\ \text{N/m}^{3}$ .

La velocidad de salida, el caudal y la potencia del chorro.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se aplica Bernoulli entre la superficie libre (1) y la salida de la boquilla (2). ¿Qué vale cada término?
02
La velocidad de salida
COMP2
¿A qué velocidad sale el chorro?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal
COMP2
¿Qué caudal sale por la boquilla?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La potencia del chorro
COMP2
¿Qué potencia lleva ese chorro?
Tu respuesta al paso 4una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli entre la superficie y la boquilla, con $v_1\approx0$ , $P_1 = P_2 = 0$ manométricas.
2. Queda $H = v^{2}/2g$ , de donde $v = \sqrt{2gH} = 9{,}9\ \text{m/s}$ .
3. $Q = vA = 19{,}44\ \text{l/s}$ .
4. $\text{Pot} = \gamma Q\,v^{2}/2g = 952\ \text{W}$ .
5. Es aplicable la misma constante de Bernoulli a todas las líneas de corriente porque todas arrancan en la superficie libre.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Una bomba, su altura manométrica y la potencia que consume

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una bomba eleva $30\ \text{l/s}$ de agua entre dos depósitos abiertos, salvando un desnivel de $22\ \text{m}$ . Las pérdidas de carga en las tuberías son $h_f = 3\ \text{m}$ .

a) ¿Qué altura manométrica debe dar la bomba?

b) ¿Cuál es su potencia hidráulica?

c) Si su rendimiento es del $70\ \%$ , ¿qué potencia consume?

Tomar $\gamma = 9800\ \text{N/m}^{3}$ .

La altura manométrica, la potencia hidráulica y la absorbida.

01
Reconocer el camino
COMP1
Aplicando Bernoulli generalizada entre las dos superficies libres, ¿qué queda?
02
La altura manométrica
COMP2
¿Qué altura tiene que dar la bomba?
Tu respuesta al paso 2una altura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia hidráulica
COMP2
¿Qué potencia entrega al agua?
Tu respuesta al paso 3una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La potencia consumida
COMP2
Con un rendimiento del $70\ \%$ , ¿cuánta potencia absorbe?
Tu respuesta al paso 4una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli generalizada con bomba: $B_1 + H_m - h_f = B_2$ .
2. En las dos superficies libres $P = 0$ y $v \approx 0$ , así que $B_1 = z_1$ y $B_2 = z_2$ .
3. $H_m = 22+3 = 25\ \text{m}$ .
4. $\text{Pot}_h = \gamma Q H_m = 7{,}35\ \text{kW}$ .
5. $\text{Pot}_{\text{abs}} = 7{,}35/0{,}7 = 10{,}5\ \text{kW}$ , y la diferencia, $3{,}15\ \text{kW}$ , se pierde en el motor y en la propia bomba.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.1 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El aire que se ensancha, y no frena lo que parece

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por un conducto fluye aire. En la sección A el diámetro es de 100 mm, la temperatura 15 ºC, la presión 3 kg/cm² y la velocidad 25 m/s. En la sección B el diámetro es de 200 mm, la temperatura −5 ºC y la presión 1,5 kg/cm². Se pide:

a) Velocidad en la sección B.

b) Caudal en peso.

Dato: constante del aire $R_{aire} = 287{,}14$ m·N/(kg·K).

La velocidad en la sección ancha y el caudal en peso de la conducción.

01
Reconocer el camino
COMP1
El conducto pasa de 100 a 200 mm, o sea que la sección se cuadruplica. Sin calcular nada, ¿qué le pasa a la velocidad?
02
La densidad en la sección A
COMP2
Con $\rho = p/(R\,T)$ y $p_{atm} = 1{,}033$ kg/cm², ¿cuánto vale la densidad del aire en A? Cuidado con dos cosas a la vez.
Tu respuesta al paso 2la densidad en kg/m³ — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad en B
COMP2
En B la densidad sale 3,23 kg/m³. Con el gasto másico conservado, ¿cuál es la velocidad en la sección B, en m/s?
Tu respuesta al paso 3la velocidad en m/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal en peso
COMP2
¿Cuál es el caudal en peso, en N/s?
Tu respuesta al paso 4el caudal en peso, en N/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Lo que se conserva entre A y B es el gasto másico, $\rho A V$ , porque no entra ni sale aire por las paredes del conducto.
2. El gasto volumétrico no se conserva: $Q_A = 0{,}196$ m³/s y $Q_B = 0{,}291$ m³/s. El aire ocupa un 48 % más de sitio en B porque está a menos presión y más frío.
3. Las densidades salen de la ley de los gases con la presión absoluta —hay que sumar la atmosférica a la lectura del manómetro— y la temperatura en kelvin: 4,78 y 3,23 kg/m³.
4. Con eso, $V_B = V_A(\rho_A/\rho_B)(A_A/A_B) = 9{,}26$ m/s: la sección divide por cuatro y la expansión multiplica por 1,48.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.2 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La pieza en Y, y el flujo que se reparte

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por la pieza en Y de la figura circula agua a 20 ºC ( $\rho = 1000$ kg/m³). El flujo en peso (entrante) en la sección 1 es de 5300 N/s, y la velocidad en la sección 3 es de 5 m/s. Calcular:

a) Velocidad en la sección 1.

b) Flujo másico saliente en la sección 3.

c) Velocidad en la sección 2.

d) Flujo volumétrico en la sección 2.

Los tres diámetros a escala. Lo que entra por 1 sale repartido entre 2 y 3, y la sección 2, aunque se lleva menos masa, es la que tiene más velocidad.

La velocidad en 1, el flujo másico en 3, y la velocidad y el caudal en 2.

01
Reconocer el camino
COMP1
El dato de entrada es un flujo en peso, 5 300 N/s. ¿Qué es, y qué hay que hacer con él antes de aplicar la continuidad?
02
La velocidad de entrada
COMP2
Velocidad en la sección 1, de 450 mm de diámetro.
Tu respuesta al paso 2una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Lo que sale por 3
COMP2
Flujo másico saliente por la sección 3, de 200 mm, a 5 m/s.
Tu respuesta al paso 3un flujo másico con su unidad (kg/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La velocidad en 2
COMP2
Velocidad en la sección 2, de 300 mm.
Tu respuesta al paso 4una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El caudal en 2
COMP2
Flujo volumétrico por la sección 2.
Tu respuesta al paso 5un caudal con su unidad (m³/s o l/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de la bifurcación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El flujo en peso se convierte en másico dividiendo entre g: 5 300 N/s son 540,8 kg/s.
2. En cada sección el flujo másico es ρ V A, y lo que sale por 2 y por 3 suma lo que entra por 1.
3. Como el agua es incompresible, el caudal en volumen se reparte igual que el másico: Q2 = m2/ρ.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.3 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La bomba entre dos depósitos, y las pérdidas en dos unidades

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el sistema mostrado en la figura adjunta, la bomba BC debe bombear un caudal de 160 l/s de un aceite de densidad relativa 0,762 hacia el recipiente D. Sabiendo que la pérdida de energía entre A y B es 2,6 mca y entre C y D es de 6,5 mcaceite, se pide:

a) Potencia útil de la bomba.

Las tres cotas a escala: 15, 3 y 60 m. La altura que la bomba tiene que dar es la diferencia entre las dos láminas libres más las dos pérdidas, y la cota de la propia bomba no entra.

La potencia útil de la bomba.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos pérdidas vienen en unidades distintas: 2,6 mca (metros de columna de agua) y 6,5 m de aceite. ¿Cómo se juntan en el Bernoulli, que se escribe en metros de aceite?
02
La altura que da la bomba
COMP2
Altura manométrica $H_m$ de la bomba, en metros de aceite.
Tu respuesta al paso 2una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia útil
COMP2
Potencia útil de la bomba.
Tu respuesta al paso 3una potencia con su unidad (W o kW) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de la bomba. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli entre las dos láminas libres, en metros de aceite: 15 − 3,41 + Hm − 6,5 = 60.
2. Los 2,6 mca se pasan a aceite dividiendo entre 0,762, porque los mismos pascales son más altura de un líquido más ligero.
3. Potencia útil = γ Q Hm con el γ del aceite, 7 468 N/m³: 65,6 kW.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.4 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La red que se resuelve desde el final

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El abastecimiento de agua a un núcleo parte de un depósito A ubicado en la cota 300, el cual suministra agua a un sistema de riego a través de una boquilla, a un depósito presurizado E y a un depósito abierto F, tal como muestra la figura. Se pide:

a) Caudales circulantes por las tuberías 1, 2, 3, 4 y 5.

Datos: Factor de paso de 1 = 500; pérdida de potencia en 2 = 4.900 W; $h_{f3}$ = 3 mca; pérdida de carga en 4 = 514,71 Torr; pérdida de potencia en 5 = 490 W; diámetro de salida de la boquilla = 65,5 mm.

La red entera. Se resuelve de derecha a izquierda: los depósitos E y F fijan la cota de energía en D, de ahí sale la de N, y solo entonces se pueden repartir los caudales.

Los caudales por las cinco tuberías.

01
Reconocer el camino
COMP1
Ninguna tubería da su caudal directamente. ¿Por dónde se empieza, y por qué?
02
La energía en el nudo D
COMP2
Cota de energía en D, en mca. La pérdida de la tubería 4 son 514,71 Torr y F está en la cota 250.
Tu respuesta al paso 2una altura de energía con su unidad (m o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal de la tubería 5
COMP2
Caudal por la tubería 5, que va de D al depósito presurizado E (cota 210, presión 30 mca) y disipa 490 W.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal de la tubería 1
COMP2
Caudal por la tubería 1, de 400 mm. El «factor de paso» $K_1 = 500$ significa $h_{f1} = K_1 V_1^{2}/2g$ .
Tu respuesta al paso 4un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El caudal del riego
COMP2
Caudal por la tubería 2, la del riego. Su pérdida vale $h_{f2} = 4\,900/(\gamma Q_2)$ y la boquilla descarga a la atmósfera en la cota 200 por un diámetro de 65,5 mm, así que $B_C = 200 + V_C^{2}/2g$ .
Tu respuesta al paso 5un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el reparto de caudales. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En el nudo N: lo que entra por 1 sale por 2 y por 3, así que Q3 = 157,4 − 111 = 46,4 l/s.
2. En el nudo D: Q3 se reparte entre 4 y 5, así que Q4 = 46,4 − 2,95 = 43,5 l/s.
3. La red se resuelve desde F hacia atrás porque allí la energía es conocida y las pérdidas de 4 y de 3 son datos que no dependen del caudal.

Resolución completa

La idea entera: se empieza por donde no hay incógnitas. En F la lámina está abierta y quieta, así que su energía es su cota, 250 mca. Y las pérdidas de las tuberías 4 y 3 son datos fijos, no funciones del caudal. Eso permite subir hasta D y hasta A sin saber todavía ningún caudal.

De F hacia atrás.

h_{f4} = 0{,}51471 \cdot 13{,}6 = 7\ \text{mca} \qquad B_D = 250 + 7 = 257\ \text{mca}

h_{f5} = B_D - B_E = 257 - (210 + 30) = 17\ \text{mca} \qquad Q_5 = \frac{490}{9\,800 \cdot 17} = 2{,}95\ \text{l/s}

h_{f1} = 300 - 3 - 7 - 250 = 40\ \text{mca} \qquad V_1 = \sqrt{\frac{2g \cdot 40}{500}} = 1{,}252\ \text{m/s} \qquad Q_1 = 157{,}4\ \text{l/s}

El riego, que es el único que da una ecuación no lineal. La energía en N ya se conoce: $300 - 40 = 260$ mca. De N a C se pierde $h_{f2} = 4\,900/(\gamma Q_2) = 0{,}5/Q_2$ , y en C queda la cota más la altura de velocidad de la boquilla:

4\,493{,}5\,Q_2^{3} - 60\,Q_2 + 0{,}5 = 0 \;\Longrightarrow\; Q_2 = 111\ \text{l/s}

Y los dos nudos. $Q_3 = Q_1 - Q_2 = 46{,}4$ l/s y $Q_4 = Q_3 - Q_5 = 43{,}5$ l/s. Los cinco coinciden con el boletín.

Dos avisos. El primero, el factor de paso: $K_1 = 500$ multiplica la altura de velocidad, no el caudal al cuadrado; con la otra lectura salen 283 l/s por la tubería 1 y toda la red se descuadra. El segundo, la cúbica del riego tiene dos raíces positivas, 111 l/s y 8,4 l/s, y las dos cumplen la ecuación. La segunda corresponde a una tubería que se come 60 de los 260 m disponibles: es matemática válida y física absurda, y conviene saber que está ahí para no quedarse con ella si el método numérico arranca cerca de cero.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.10 · Colección de Problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Hacia dónde va el flujo cuando la presión y la cota discrepan

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un punto $A$ de una tubería que transporta aceite de densidad relativa $0{,}9$ , el diámetro es $150\ \text{mm}$ y la presión $0{,}7\ \text{kg/cm}^{2}$ . En otro punto $B$ de la misma conducción, situado $5\ \text{m}$ más alto que el anterior, de $300\ \text{mm}$ de diámetro, su presión vale $-0{,}2\ \text{kg/cm}^{2}$ para un caudal de $28\ \text{l/s}$ . Se pide:

a) Determinar la dirección del flujo.

En qué sentido circula el aceite.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué decide el sentido del flujo en una conducción?
02
El Bernoulli en A
COMP2
¿Cuánto vale la energía total en $A$ , en metros de columna de aceite?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El Bernoulli en B
COMP2
¿Y en $B$ ?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sentido del flujo lo decide la energía total, porque el rozamiento solo puede hacerla disminuir.
2. En $A$ vale 7,906 mcl y en $B$ , 2,786: la diferencia son 5,12 m de pérdida de carga entre los dos puntos.
3. Por tanto el aceite circula de $A$ a $B$ , subiendo cinco metros y perdiendo presión por el camino.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.11 · Colección de Problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Qué presión hay antes de una boquilla de manguera

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una manguera de $75\ \text{mm}$ de diámetro termina en una boquilla de $35\ \text{mm}$ de diámetro. Si el caudal fluyente es $20\ \text{l/s}$ de agua, despreciando las pérdidas, se pide:

a) Presión aguas arriba de la boquilla.

La presión en la manguera, justo antes de la boquilla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué presión hay a la salida de la boquilla?
02
La presión
COMP2
¿Qué presión hay aguas arriba de la boquilla?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El chorro sale a la atmósfera, así que su presión manométrica es nula y toda la energía de presión se ha vuelto cinética.
2. La boquilla multiplica la velocidad por $(75/35)^{2} = 4{,}59$ , y la altura cinética por su cuadrado, más de veinte veces.
3. La presión necesaria aguas arriba es la diferencia de alturas cinéticas: 21 mca, es decir algo más de 2 bar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.12 · Colección de Problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

A qué distancia hay que poner las bombas de un oleoducto

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una tubería horizontal de $60\ \text{cm}$ de diámetro transporta $440\ \text{l/s}$ de un aceite de densidad relativa $0{,}825$ . A lo largo de la conducción hay instaladas cuatro bombas iguales, siendo las presiones a la entrada y salida de cada una $-0{,}56$ y $25\ \text{kg/cm}^{2}$ respectivamente. Si la pérdida de carga es de $60\ \text{mcl}$ cada $1.000\ \text{m}$ , se pide:

a) Distancia existente entre las bombas.

La distancia entre dos bombas consecutivas.

01
Reconocer el camino
COMP1
La tubería es horizontal y de diámetro constante. ¿Qué simplifica eso?
02
La caída de presión disponible
COMP2
¿Cuántos metros de columna de aceite se pueden perder entre dos bombas?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La distancia
COMP2
¿Qué distancia hay entre bombas?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con la tubería horizontal y de sección constante, toda la pérdida de carga se traduce en caída de presión.
2. Entre la salida de una bomba y la entrada de la siguiente hay $25{,}56\ \text{kg/cm}^{2}$ , es decir 309,8 metros de columna de aceite.
3. A 60 mcl por kilómetro, eso da 5.164 m entre bombas: unos cinco kilómetros.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.13 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Bomba, turbina y calentador en la misma línea

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene la instalación de la figura donde circulan 10 l/s de un aceite de densidad relativa 0,8. El depósito A tiene una presión de 20 mca en su cota superior. El depósito B tiene una presión de 20 mcl, igualmente, en su cota más alta. La bomba tiene una potencia bruta de 80 kW con un rendimiento del 0,6. La turbina tiene una potencia útil de 20 kW con un rendimiento del 0,8. La máquina calorífica absorbe 0,8 kcal/s. Por último la pérdida de carga en la conducción es de 5 mca. Despreciando las energías cinéticas, se pide:

a) Cota x del depósito B.

Del depósito de abajo al de arriba pasando por tres máquinas: una que da energía al aceite, otra que se la quita y una tercera que le quita calor. Es un esquema, no está a escala.

La cota x de la lámina del depósito B.

01
Reconocer el camino
COMP1
La turbina da 20 kW útiles con un rendimiento de 0,8. ¿Cuánta energía le quita al aceite?
02
La altura que aporta la bomba
COMP2
Altura manométrica que la bomba comunica al aceite, con 80 kW brutos y un rendimiento de 0,6.
Tu respuesta al paso 2una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura que quita la turbina
COMP2
Altura que la turbina resta al aceite.
Tu respuesta al paso 3una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La cota del depósito B
COMP2
Cota x de la lámina del depósito B. El calentador absorbe 0,8 kcal/s del aceite y la conducción pierde 5 mca.
Tu respuesta al paso 4una cota con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el balance de energía de la instalación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El aceite parte de la cota 10 con 25 m de columna de presión: 35 m de energía.
2. La bomba le añade 612,2 m, la turbina le quita 318,9 y el calentador otros 42,7.
3. La conducción se lleva 6,25 m más, que son los 5 mca del enunciado pasados a columna de aceite.
4. Quedan 279,4 m de energía, de los que 20 son presión en B: la lámina está en la cota 259,4.

dato	dado	en columna de aceite
presión en A	20 mca	25 m
presión en B	20 mcl	20 m
pérdida de carga	5 mca	6,25 m

Resolución completa

Tres máquinas, tres signos

El problema es un balance de energía con tres aparatos, y lo único que hay que tener claro es hacia dónde va cada uno:

máquina	qué hace	rendimiento
bomba	da al fluido	consume 80, entrega 48
turbina	quita al fluido	extrae 25, entrega 20
calentador	quita al fluido	absorbe 0,8 kcal/s

Y el rendimiento va siempre en el sentido de que la máquina pierda: la bomba entrega menos de lo que consume, la turbina extrae más de lo que entrega. Multiplicar donde hay que dividir convierte cualquiera de las dos en una máquina que crea energía.

Las conversiones, que son la mitad del problema

El fluido es aceite de s = 0,8, así que $\gamma = 7840$ N/m³. Pero el enunciado da dos cosas en columna de agua:

dato	dado	en columna de aceite
presión en A	20 mca	25 m
pérdida de carga	5 mca	6,25 m
presión en B	20 mcl	20 m

Un aceite más ligero necesita más columna para la misma presión: se divide entre 0,8. Las dos juntas suman seis metros y cuarto, y como van en sentidos contrarios mueven el resultado 3,75 m: de 255,6 a 259,4.

Las alturas de las máquinas

Con $\gamma Q = 78{,}4$ N/s:

Hm_B = \frac{48\,000}{78{,}4} = 612{,}2\ \text{m} \qquad H_T = \frac{25\,000}{78{,}4} = 318{,}9\ \text{m}

H_{calor} = \frac{0{,}8\cdot 4187}{78{,}4} = 42{,}7\ \text{m}

Los tres números son enormes, y no es un error: con un caudal de solo 10 l/s, cualquier potencia de decenas de kilovatios se traduce en centenares de metros de columna. La energía por unidad de peso se dispara cuando el peso que pasa por segundo es pequeño.

El balance

\underbrace{10 + 25}_{\text{en A}} + 612{,}2 - 318{,}9 - 42{,}7 - 6{,}25 = x + 20 \;\Longrightarrow\; x = 259{,}4\ \text{m}

Merece la pena mirar el reparto de lo que la bomba aporta: de sus 612 metros, 319 se los lleva la turbina, 43 el calentador y 6 la conducción. Solo 244 acaban convertidos en altura útil. La conducción, que es de lo que suele ir un problema de fluidos, es aquí el término más pequeño de los cuatro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.14 · Colección de Problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un sifón con boquilla, primero ideal y luego con pérdidas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito cuya lámina de agua está en la cota $4{,}5$ descarga a través de una boquilla $S$ , por medio del sifón $BCD$ . La cota superior $z_C = 6\ \text{m}$ y la inferior $z_S = 2\ \text{m}$ .

El sifón es una tubería de $D = 50\ \text{mm}$ . El factor de paso de pérdidas de carga entre $B$ y $C$ es $K_{BC} = 1$ y entre $C$ y $D$ es $K_{CD} = 1{,}2$ . El factor de paso adimensional de la boquilla, con la energía cinética a la salida, es $K_{\text{boquilla}} = 0{,}1$ . Se pide:

a) $Q$ (l/s) y presión $p_C$ (mca), si se considera el agua fluido perfecto.

b) $Q$ (l/s) y presión $p_C$ (mca), en el caso de fluido viscoso.

c) Calcular la cota $z_C$ a la que debería estar el punto $C$ para que empiece la cavitación, manteniendo todos los demás parámetros invariables. Calcular asimismo el $Q$ circulante.

Datos: $D_{\text{boquilla}} = 25\ \text{mm}$ ; $D_{\text{tubería}} = 50\ \text{mm}$ ; $p_v/\gamma = 1\ \text{mca}$ (absoluta); $p_{\text{atm}} = 10\ \text{mca}$ .

El caudal y la presión en C con y sin pérdidas, y la cota límite de cavitación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los factores de paso multiplican a $v^{2}/2g$ . ¿A qué velocidad, la de la tubería o la de la boquilla?
02
El caudal con fluido perfecto
COMP2
¿Qué caudal circula si se desprecian las pérdidas?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal con pérdidas
COMP2
¿Y teniendo en cuenta las pérdidas?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La cota límite del vértice
COMP2
¿A qué cota tendría que estar $C$ para que empezara la cavitación?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El caudal lo fija Bernoulli entre la lámina y la salida: la cota del vértice no interviene en él.
2. Con pérdidas, el caudal baja de 3,436 a 3,089 l/s, un 10 %, y la presión en $C$ pasa de $-1{,}656$ a $-1{,}753$ mca.
3. El vértice podría subir hasta la cota 13,25 antes de cavitar, con el mismo caudal circulando.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.15 · Colección de Problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El caudal máximo de un sifón antes de que cavite

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un sifón que permite la salida del agua de un recipiente de grandes dimensiones está constituido por un tubo de $10\ \text{cm}$ de diámetro, en el cual la línea central superior se encuentra $4\ \text{m}$ por encima de la superficie libre del depósito. Se pide:

a) Caudal máximo que puede obtenerse con este dispositivo sin que se produzca cavitación.

b) Cota de salida del sifón con relación al nivel superior del depósito.

Dato: tensión de vapor máxima del líquido $= 1\ \text{mca}$ (presión absoluta); $p_{\text{atm}} = 1\ \text{bar}$ .

Nota: la cavitación teórica se produce en aquel punto en que su presión es equivalente a la tensión de vapor máxima del líquido que fluye.

El caudal máximo sin cavitación y la cota de salida del sifón.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde está el punto crítico de un sifón y por qué?
02
El caudal máximo
COMP2
¿Qué caudal máximo admite el sifón?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La cota de salida
COMP2
¿A qué cota, respecto del nivel del depósito, tiene que estar la salida?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad (y con su signo) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El punto crítico es el vértice: allí la cota y la velocidad restan presión a la vez, y allí es donde puede alcanzarse la tensión de vapor.
2. Con $1\ \text{mca}$ absolutos de límite y la atmosférica en 10,2, la presión manométrica máxima admisible en el vértice es $-9{,}2$ mca.
3. De ahí sale $v = 10{,}1$ m/s y $Q = 79{,}3$ l/s, y la salida tiene que estar 5,2 m por debajo del depósito.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.16 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El nudo que se resuelve desde la boquilla

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Conocida la instalación esquematizada en la figura, se pide:

a) Velocidad de salida del agua por la boquilla.

b) Caudales circulantes por cada tubería.

c) Altura manométrica de la bomba.

d) Potencia bruta de la bomba, si su rendimiento es 0,75.

Datos: $h_{f1}$ = 0,5 mcl cuyo $s$ = 1,5; pérdida de potencia en 2 = 4 kW; $h_{f3} = 30\,V_3^{2}/2g$ ; $P_D$ = 24,5 kPa; $P_E$ = 3,2 kg/cm² (entrada a la boquilla); diámetro de la boquilla = 30 mm; diámetro de la tubería 3 = 100 mm.

Las tres cotas a escala. La boquilla es lo único de la instalación donde se conocen a la vez la presión y la salida a la atmósfera: por eso el problema empieza por el final.

La velocidad de la boquilla, los tres caudales, la altura de la bomba y su potencia bruta.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay tres tuberías y ningún caudal dado. ¿Por qué se puede empezar por la boquilla?
02
La velocidad del chorro
COMP2
Velocidad de salida por la boquilla, de 30 mm, sabiendo que en E —en la tubería de 100 mm, justo antes— la presión es de 3,2 kg/cm².
Tu respuesta al paso 2una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El Bernoulli en el nudo
COMP2
Altura de Bernoulli en el nudo C, en mca.
Tu respuesta al paso 3una altura con su unidad (m o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Los tres caudales
COMP2
Caudal por la tubería 2, que sube al depósito D y disipa 4 kW.
Tu respuesta al paso 4un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La bomba
COMP2
Potencia bruta de la bomba, con rendimiento 0,75.
Tu respuesta al paso 5una potencia con su unidad (W o kW) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el recorrido del problema. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La boquilla es el punto de partida: presión conocida a un lado y atmósfera al otro dan la velocidad del chorro, 25,15 m/s, y con ella el caudal de la tubería 3.
2. Subiendo por la 3 hasta el nudo se llega a BC = 50,10 mca, y esa es la cifra que ata las otras dos ramas.
3. La rama de D da su caudal por la potencia disipada, y la suma de las dos ramas es lo que pasa por la bomba.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.17 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Dos depósitos a la misma altura que no aportan lo mismo

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos depósitos A y B, de altura constante, abastecen mediante las tuberías 1 y 2 a la tubería maestra 3, suministradora, a su vez, de la turbina T. A la salida de ésta el agua sale al exterior a través de una boquilla E, de 100 mm de diámetro. Se pide:

a) Caudal $Q_2$ que aporta el depósito B.

b) Caudal $Q_3$ que se suministra a la turbina.

c) Altura puesta a disposición de la turbina.

d) Potencia útil de la turbina si su rendimiento es 0,9.

e) Presión que indicará el manómetro D situado a la salida de la turbina.

Datos: Pérdidas en 1 = 1 kW; Factor de paso de 2 = 13,328; factor de paso de 3 = 9,8; $Q_1$ = 50 l/s; $D_1$ = 200 mm; $D_2$ = 150 mm; $D_3$ = 300 mm.

Nota: Despréciense las pérdidas en la boquilla.

Las dos láminas están a la misma altura, cien metros sobre la boquilla. Por eso los dos depósitos pierden lo mismo hasta el nudo — y por eso el que tiene la tubería más estrecha aporta menos caudal.

El caudal de B, el de la maestra, la altura y potencia de la turbina y la presión a su salida.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos láminas están a la misma cota y las dos tuberías llegan al mismo nudo. ¿Qué se sigue de eso?
02
La pérdida que comparten
COMP2
Pérdida de carga en la tubería 1, en mca. Disipa 1 kW llevando 50 l/s.
Tu respuesta al paso 2una altura con su unidad (m o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal del depósito B
COMP2
Caudal $Q_2$ que aporta el depósito B, por una tubería de 150 mm con factor de paso 13,328.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La altura de la turbina
COMP2
Altura puesta a disposición de la turbina, en mca. La boquilla, de 100 mm, descarga a la atmósfera en la cota 10 y sus pérdidas se desprecian.
Tu respuesta al paso 4una altura con su unidad (m o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La potencia y el manómetro
COMP2
Presión que indicará el manómetro D, a la salida de la turbina, en kPa. Está sobre la tubería de 300 mm, en la cota 10.
Tu respuesta al paso 5una presión con su unidad (kPa, Pa o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de la instalación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos láminas están a la misma cota, así que las dos ramas pierden lo mismo hasta el nudo: 2,04 mca cada una.
2. Con esa pérdida y su factor de paso, la tubería 2 aporta 30,6 l/s, y la maestra lleva 80,6.
3. La turbina aprovecha lo que queda tras descontar las pérdidas y la energía cinética que el chorro se lleva por la boquilla.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.18 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La bomba que dice su propio caudal

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por la instalación de la figura circula un combustible de peso específico relativo $s = 0{,}8$ , que mediante una bomba suministra combustible a un quemador pulverizador C. La bomba instalada es de 100 kW de potencia bruta, con un rendimiento del 75 %. Los manómetros instalados a la entrada y salida de la bomba, A y S, marcan 0,6 y 9,6 kg/cm², respectivamente. Se pide:

a) Caudales circulantes por todas las tuberías indicando los sentidos de circulación.

b) Cota del quemador C.

c) Presión que marcará el manómetro del depósito presurizado D expresada en kg/cm² y en kPa.

Datos:

Potencia perdida en la tubería 4 (desde la bomba hasta C) = 5,15 kW.
Pérdida de carga en la tubería 3 (desde N hasta la bomba) = 5,35 mca.
Potencia perdida en la tubería 1 = 6,3 kW.
Factor de paso de la tubería 2 = 8.
Cotas expresadas en metros.
Diámetro del quemador = 50 mm.

Las cotas a escala. Los dos manómetros de la bomba son el punto de partida: su diferencia es la altura que la bomba da, y con la potencia sale el caudal sin haber tocado todavía ninguna tubería.

Los cuatro caudales con sus sentidos, la cota del quemador y la presión del depósito D.

01
Reconocer el camino
COMP1
No se conoce ningún caudal. ¿Qué se puede calcular primero con lo que hay?
02
El caudal que bombea
COMP2
Caudal por la bomba, en l/s. Sus manómetros marcan 0,6 y 9,6 kg/cm² y entrega el 75 % de sus 100 kW.
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El Bernoulli en el nudo
COMP2
Altura de Bernoulli en el nudo N, en metros de columna de combustible. La bomba está en la cota 25 y la tubería 3, de 250 mm, pierde 5,35 mca.
Tu respuesta al paso 3una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal de la tubería 2
COMP2
Caudal por la tubería 2, de 100 mm y factor de paso 8, que comunica el nudo con el depósito abierto E, en la cota 37.
Tu respuesta al paso 4un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La cota del quemador
COMP2
Cota Z del quemador C, que pulveriza a la atmósfera por una boquilla de 50 mm.
Tu respuesta al paso 5una cota con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
La presión del depósito D
COMP2
Presión que marca el manómetro de D, en kPa. Su lámina está en la cota 22 y la tubería 1 pierde 6,3 kW llevando 103,8 l/s.
Tu respuesta al paso 6una presión con su unidad (kPa o kg/cm²) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el recorrido del problema. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los dos manómetros de la bomba dan su altura, 112,5 m de combustible, y con la potencia útil sale el caudal: 85 l/s.
2. Bajando por la tubería 3 hasta el nudo se llega a BN = 39,34 m, y ese número reparte el resto.
3. Como BN supera la cota de E, la tubería 2 sale del nudo y llena el depósito abierto: de los 103,8 l/s que trae la 1, 18,8 se van a E y 85 al quemador.

Resolución completa

Por dónde se entra. No hay ningún caudal dado, y las tres potencias perdidas dan productos $Q \cdot h_f$ con las dos incógnitas dentro. El único sitio donde hay una altura medida es la bomba: sus dos manómetros.

H_m = (9{,}6 - 0{,}6)\cdot\frac{10}{0{,}8} = 112{,}5\ \text{m} \qquad Q = \frac{75\,000}{7\,840 \cdot 112{,}5} = 85\ \text{l/s}

Hacia atrás, hasta el nudo.

B_A = 25 + 7{,}5 + 0{,}15 = 32{,}65 \qquad B_N = 32{,}65 + \frac{5{,}35}{0{,}8} = 39{,}34\ \text{m}

El reparto (a). Como $B_N = 39{,}34 > 37$ , la tubería 2 sale del nudo y llena el depósito abierto E:

h_{f2} = 2{,}34\ \text{m} \qquad Q_2 = 18{,}8\ \text{l/s} \qquad Q_1 = 85 + 18{,}8 = 103{,}8\ \text{l/s}

Sentidos: de D al nudo por la 1; del nudo a E por la 2; del nudo a la bomba por la 3; y de la bomba al quemador por la 4.

El quemador (b).

B_S = 145{,}15 \qquad h_{f4} = 7{,}73 \qquad \frac{V_C^{2}}{2g} = 95{,}63 \qquad Z = 41{,}8\ \text{m}

El boletín publica 41,75; la diferencia son cinco centímetros de redondeo.

El depósito D (c).

h_{f1} = 7{,}74\ \text{m} \qquad B_D = 47{,}08 \qquad p_D = 196{,}6\ \text{kPa} = 2{,}01\ \text{kg/cm}^{2}

Lo que hay que ver, y no es un número. El quemador está en la cota 41,8 y la bomba entrega 112,5 m: parecería que sobra energía de largo. No sobra: el 70 % de lo que la bomba pone se lo lleva el chorro en velocidad, porque pulverizar exige salir a 43 m/s por una boquilla de 50 mm. Un quemador es, en balance de energía, mucho más parecido a una lanza de incendios que a una tubería de riego.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.19 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Dos bombas que confluyen en un nudo

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el esquema de la figura se muestra un sistema de bombeo donde las bombas $B_1$ y $B_2$ elevan un caudal $Q_3 = 15$ l/s de un hidrocarburo de densidad $\rho = 860$ kg/m³, de los depósitos A y B al depósito C. Calcular:

a) La altura útil o manométrica que aporta la bomba $B_1$ si un caudalímetro a la salida del depósito A marca 5 l/s y se sabe que la potencia total absorbida por la bomba $B_1$ es de 2320 W, con un rendimiento $\eta_{B1} = 0{,}8$ .

b) Bernoulli en el nudo N en unidades de energía por unidad de peso.

c) La potencia perdida en la tubería 1, debido a la viscosidad del hidrocarburo.

d) El factor de paso (adimensional) de pérdidas de carga de la tubería 2, si se desea instalar una bomba ( $B_2$ ) que aporte al fluido una altura útil o manométrica de 30 mc hidrocarburo.

e) La pérdida de carga en la tubería 3, en mc agua.

Datos: $K_1$ (tubería 1) = 79; $\varnothing_1$ = 80 mm; $\varnothing_2$ = 100 mm; $\varnothing_3$ = 125 mm.

Las tres cotas a escala. C está cerrado y presurizado, así que su energía no es su cota: los 0,86 kilos añaden diez metros más de hidrocarburo.

La altura de B1, el Bernoulli en N, la potencia perdida en 1, el factor de paso de 2 y la pérdida de 3.

01
Reconocer el camino
COMP1
El depósito C está cerrado y su manómetro marca 0,86 kg/cm². ¿Cuánto vale su altura de Bernoulli, en metros de columna de hidrocarburo?
02
La altura de la primera bomba
COMP2
Altura manométrica de $B_1$ , en metros de columna de hidrocarburo. Absorbe 2320 W con rendimiento 0,8 y por ella pasan 5 l/s.
Tu respuesta al paso 2una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La pérdida de la tubería 1
COMP2
Pérdida de carga en la tubería 1, en metros de columna de hidrocarburo. Es de 80 mm y su factor de paso vale 79.
Tu respuesta al paso 3una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El Bernoulli en el nudo
COMP2
Altura de Bernoulli en el nudo N, en metros de columna de hidrocarburo.
Tu respuesta al paso 4una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El factor de paso de la tubería 2
COMP2
Factor de paso $K_2$ de la tubería 2, de 100 mm, si $B_2$ aporta 30 mch. Por ella pasan los 10 l/s que faltan.
Tu respuesta al paso 5un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
La pérdida de la tubería 3, en agua
COMP2
Pérdida de carga en la tubería 3, expresada en metros de columna de agua.
Tu respuesta al paso 6una altura con su unidad (m o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del sistema. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El caudalímetro reparte el problema: 5 l/s por la rama de A y los 10 restantes por la de B, porque en N confluyen los dos.
2. La rama de A está entera resuelta: cota, bomba y pérdida dan el Bernoulli de N, 60,05 mch, y ese número es el que ata las otras dos ramas.
3. El depósito C, presurizado, tiene un Bernoulli de 50 mch aunque su cota sea 40, y por eso la tubería 3 solo puede perder 10,05 mch.

Resolución completa

El reparto de caudales, que es lo primero. Por la rama de A pasan los 5 l/s del caudalímetro, y como en N confluyen las dos y salen 15, por la rama de B pasan 10. Eso ya divide el problema en tres tramos independientes.

La rama de A, entera (a, c y b). La bomba entrega $0{,}8 \cdot 2\,320 = 1\,856$ W útiles a 5 l/s de un líquido de $\gamma = 8\,428$ N/m³:

H_{m1} = \frac{1\,856}{8\,428 \cdot 0{,}005} = 44{,}04\ \text{mch} \qquad h_{f1} = 79\,\frac{0{,}995^{2}}{19{,}6} = 3{,}99\ \text{mch}

P_{perdida,1} = \gamma\,Q_1 h_{f1} = 8\,428 \cdot 0{,}005 \cdot 3{,}99 = 168\ \text{W} \qquad B_N = 20 + 44{,}04 - 3{,}99 = 60{,}05\ \text{mch}

La rama de B (d). Con $B_N$ conocido, la ecuación se vuelve inmediata:

h_{f2} = 35 + 30 - 60{,}05 = 4{,}95\ \text{mch} \qquad K_2 = \frac{4{,}95}{1{,}273^{2}/19{,}6} = 60

La tubería 3 (e). Aquí está la única trampa del problema: C no está abierto.

B_C = 40 + 10 = 50\ \text{mch} \qquad h_{f3} = 60{,}05 - 50 = 10{,}05\ \text{mch} = 8{,}65\ \text{mca}

Los cinco coinciden con el boletín: 44,04 mch; 60,04 mch; 168,56 W; 60; 8,6 mca.

La coincidencia que conviene ver, para no aprendérsela mal. El manómetro de C marca 0,86 kg/cm², que son 8,6 mca; y como el hidrocarburo tiene $s = 0{,}86$ , esos 8,6 metros de agua son exactamente 10 metros de hidrocarburo. Es una casualidad del enunciado —los dos 0,86 no tienen nada que ver entre sí— y está puesta para que se note quién convierte y quién copia el número.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.20 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Una turbina, una bomba y un nudo que recibe por los dos lados

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene la instalación de la figura con el fin de vehicular agua desde un depósito superior A a uno inferior B, ambos abiertos a la atmósfera, pasando por una turbina de Potencia bruta = 40 kW. A continuación se puede observar una instalación de bombeo, teniendo la bomba una $Pot_B^{bruta}$ = 80 kW y $\eta_B$ = 75 %. Se pide:

a) Caudal que llega al depósito inferior (B).

b) Suponiendo que el caudal bombeado sea Q = 210 l/s, hallar la altura manométrica o útil de la bomba.

c) Bernoulli en el nudo N.

d) Caudal que sale por la boquilla de riego y el de la tubería 6, indicando el sentido del flujo.

e) Diámetro de la boquilla.

f) Potencia del chorro a la salida de la boquilla.

Datos: $h_{f1}$ = 0,3 kg/cm²; $h_{f2}$ = 2,75 mcl (s = 0,8); $K_3$ = 4; $\varnothing_3$ = 400 mm; $Pot_4^{perdida}$ = 2 kW; $P_D$ = 294 kPa; $K_{boquilla}$ = 0,1; $K_5$ = 8; $\varnothing_5$ = 450 mm; $Pot_6^{perdida}$ = 3 kW. Las cotas vienen expresadas en metros.

Las cuatro cotas a escala. El depósito D está cerrado y sus 294 kilopascales lo colocan, en energía, por encima del nudo: por eso la tubería 6 no sale de N, entra en él.

El caudal turbinado, la altura de la bomba, el Bernoulli en N, los caudales de la boquilla y de la 6 con su sentido, el diámetro de la boquilla y la potencia del chorro.

01
Reconocer el camino
COMP1
El depósito D está a la cota 10 y su manómetro marca 294 kPa, mientras que el nudo N tendrá poco más de 32 m de energía. ¿Hacia dónde circula el agua por la tubería 6?
02
El caudal que turbina
COMP2
Caudal que llega al depósito B. La turbina tiene 40 kW de potencia bruta, y la pérdida de la tubería 2 está dada en metros de un líquido de $s = 0{,}8$ .
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura de la bomba
COMP2
Altura manométrica de la bomba, con 80 kW brutos, rendimiento 0,75 y 210 l/s.
Tu respuesta al paso 3una altura con su unidad (m o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El Bernoulli en el nudo
COMP2
Altura de Bernoulli en el nudo N, en mca.
Tu respuesta al paso 4una altura con su unidad (m o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Lo que aporta la tubería 6
COMP2
Caudal por la tubería 6, que pierde 3 kW.
Tu respuesta al paso 5un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
El diámetro de la boquilla
COMP2
Diámetro de la boquilla de riego, que descarga a la atmósfera en la cota 15 y cuya pérdida es $0{,}1\,V_b^{2}/2g$ .
Tu respuesta al paso 6un diámetro con su unidad (mm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el recorrido de la instalación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La turbina se resuelve sola: entre las dos láminas de A y B solo hay cotas y pérdidas conocidas, y su potencia bruta da el caudal.
2. Con el caudal bombeado y las pérdidas de la 3 y la 4, el nudo N queda en 32,61 mca, y ese número decide todo lo que viene después.
3. D, presurizado, tiene 40 mca: aporta 41,4 l/s al nudo, así que por la boquilla salen 251,4.

Resolución completa

Tres bloques independientes, y en este orden. La turbina se resuelve sola; después la bomba; y solo entonces el nudo, que es donde se juntan las tres tuberías que quedan.

La turbina (a). Entre las dos láminas libres:

30 - 3 - H_t - 2{,}2 = 5 \;\Longrightarrow\; H_t = 19{,}8\ \text{mca} \qquad Q = \frac{40\,000}{9\,800 \cdot 19{,}8} = 206{,}1\ \text{l/s}

Ojo a las dos unidades del enunciado: $0{,}3$ kg/cm² son 3 mca, y los 2,75 metros de un líquido de $s = 0{,}8$ son 2,2 mca.

La bomba y el nudo (b y c).

H_m = \frac{0{,}75 \cdot 80\,000}{9\,800 \cdot 0{,}210} = 29{,}15\ \text{mca} \qquad B_N = 5 - 0{,}57 + 29{,}15 - 0{,}97 = 32{,}61\ \text{mca}

El sentido de la tubería 6 (d), que es la pregunta con trampa. D está cerrado: sus 294 kPa son 30 mca, que sobre la cota 10 dan 40 mca de Bernoulli, siete metros y medio por encima del nudo. Así que la 6 no sale de N: entra.

Q_6 = \frac{3\,000}{9\,800 \cdot 7{,}39} = 41{,}4\ \text{l/s} \qquad Q_{boquilla} = 210 + 41{,}4 = 251{,}4\ \text{l/s}

La boquilla (e y f).

1{,}1\,\frac{V_b^{2}}{2g} = 32{,}61 - 1{,}02 - 15 = 16{,}59 \;\Longrightarrow\; \frac{V_b^{2}}{2g} = 15{,}08\ \text{m} \qquad d = 136{,}5\ \text{mm}

P_{chorro} = \gamma\,Q\,\frac{V_b^{2}}{2g} = 9\,800 \cdot 0{,}2514 \cdot 15{,}08 = 37{,}15\ \text{kW}

Los seis coinciden con el boletín.

Lo que este problema enseña y no se olvida. Que el sentido de circulación no se supone: se calcula. Un depósito más bajo puede alimentar a uno más alto si está presurizado, y aquí pasa exactamente eso. Si se hubiera dado por hecho que la 6 sale del nudo, el caudal de la boquilla habría salido 168,6 l/s en vez de 251,4, y con él el diámetro y la potencia: tres apartados arrastrando el mismo error de lectura.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.21 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El combustible repartido en tres servicios

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene la instalación de la figura con el fin de vehicular un combustible de peso específico relativo s = 0,8 desde el depósito inferior A, abierto a la atmósfera, hacia 3 servicios: un depósito superior abierto (C), un quemador que alimenta una caldera de vapor (D) y un depósito presurizado (E). Teniendo en cuenta los datos indicados, se pide:

a) Bernoulli en el nudo N (BN) en mcl y en J/m³.

b) Potencia útil que suministra la bomba, en kW.

c) Caudal Q4, en l/s.

d) Presión a la entrada de la boquilla (PF) en kg/cm².

e) Sentido de circulación del flujo en 5.

f) Potencia perdida en la tubería 5, en W por metro de tubería.

Datos: Q1 = 12 l/s; Q3 = 5 l/s; D4 = 75 mm; Dboquilla = 25 mm; PE = 0,7 mcHg (700 Torr); L5 = 34 m.

Pérdidas: Tubería 1 = 1,6 mca; Tubería 2 = 1 kg/cm²; Tubería 3 = 313,6 W; Tubería 4: K4 = 130; Boquilla: Kboquilla = 1,1.

Una bomba y tres servicios que se reparten lo que sube. Las cotas van en metros; los círculos numeran las tuberías y los dos manómetros marcan dónde se mide la presión.

La carga en el nudo, la potencia de la bomba, el caudal del quemador, la presión antes de la boquilla y qué hace la tubería 5.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay tres ramas saliendo de N y ningún caudal conocido en dos de ellas. ¿Por cuál se empieza para obtener la carga del nudo?
02
La carga en el nudo
COMP2
Bernoulli en el nudo N, en metros de columna de líquido.
Tu respuesta al paso 2una altura de carga con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia útil de la bomba
COMP2
Potencia útil que suministra la bomba, en kW.
Tu respuesta al paso 3una potencia con su unidad (kW o W) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal del quemador
COMP2
Caudal Q4 que va al quemador, en litros por segundo.
Tu respuesta al paso 4un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La presión antes de la boquilla
COMP2
Presión a la entrada de la boquilla, en kg/cm².
Tu respuesta al paso 5una presión con su unidad (kg/cm², mca o kPa) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta sobre la tubería 5. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En E la presión son 0,7 m de mercurio, que son 9,52 mca y, en columna de este combustible, 11,9 m.
2. Su cota piezométrica es entonces 40 más 11,9, o sea 51,9 mcl, por debajo de los 63 del nudo.
3. Luego el flujo va de N a E, y por continuidad lleva 12 menos 5 menos 4,07, es decir 2,93 l/s.
4. Con 11,1 mcl de pérdida repartidos en 34 m, se disipan 7,5 W por cada metro de tubería.

Resolución completa

Una instalación que hay que resolver por el sitio correcto

Del nudo N salen tres ramas y en dos de ellas no se conoce el caudal. Si se intenta empezar por la bomba, aparecen dos incógnitas a la vez —la altura de la bomba y la carga del nudo— y no se sale. La entrada está en la rama 3, que es la única con los dos extremos determinados: la lámina de C en la cota 55 y una pérdida que se calcula con el caudal dado.

a) La carga del nudo, a partir de una potencia

La pérdida de la tubería 3 viene dada en vatios, que es una forma inhabitual y muy útil de darla: se pasa a metros dividiendo por el peso que atraviesa la tubería cada segundo.

\gamma = 0{,}8\cdot 1000\cdot 9{,}8 = 7840\ \text{N/m}^{3} \qquad h_{f3} = \frac{313{,}6}{7840\cdot 0{,}005} = 8\ \text{mcl}

B_N = 55 + 8 = 63\ \text{mcl} = 493\,920\ \text{J/m}^{3}

Los J/m³ no son un adorno del enunciado: son lo que Bernoulli mide de verdad, energía por unidad de volumen. Los metros aparecen al dividir por $\gamma$ , y por eso siempre son metros de un líquido concreto. En este problema esa distinción decide dos apartados.

b) La bomba, y el peligro de las unidades

Las dos pérdidas del tramo de impulsión vienen en unidades de agua —1,6 mca y 1 kg/cm²— y el balance se está escribiendo en columna de combustible. Como el combustible pesa un 20 % menos, la misma pérdida de presión necesita más metros:

h_{f1} = 2\ \text{mcl} \qquad h_{f2} = 12{,}5\ \text{mcl}

H_b = 33 + 2 + 12{,}5 = 47{,}5\ \text{mcl} \qquad P = 7840\cdot 0{,}012\cdot 47{,}5 = 4468{,}8\ \text{W}

es decir 4,47 kW. Quien sume 1,6 y 10 sin convertirlas se queda en 4,20 kW, un 6 % por debajo. No es un error grande en el número, pero es un error de concepto que en otro problema puede ser enorme.

c) y d) El quemador, donde manda la sección

La boquilla es de 25 mm y la tubería de 75: la sección es nueve veces menor y la velocidad nueve veces mayor, así que la altura de velocidad se multiplica por 81. Los dos términos de la boquilla —su pérdida y la energía que se lleva el chorro— pesan juntos

(1{,}1 + 1)\cdot 81 = 170{,}1

contra los 130 de toda la tubería 4. Una pieza de dos centímetros y medio consume más carga que la conducción entera, y no porque su $K$ sea grande —vale 1,1— sino por el cambio de sección.

13 = 300{,}1\,\frac{v_4^{2}}{2g} \;\Longrightarrow\; Q_4 = 4{,}07\ \text{l/s}

Y con eso la presión justo antes de la boquilla:

\frac{p_F}{\gamma} = 63 - 5{,}63 - 50 - 0{,}04 = 7{,}33\ \text{mcl}

que son 5,86 mca, o sea 0,586 kg/cm².

e) y f) La tubería 5, que hay que mirar dos veces

La pregunta del sentido tiene truco. E está presurizado y el nudo no, así que la intuición dice que el flujo saldría de E. Pero lo que decide es la cota piezométrica, que suma cota y presión:

H_E = 40 + \frac{0{,}7\cdot 13{,}6}{0{,}8} = 40 + 11{,}9 = 51{,}9\ \text{mcl}

Contra los 63 del nudo, E queda once metros por debajo: el flujo va de N a E. La presión de E es real —11,9 m de columna de combustible— pero no compensa los diez metros que le faltan de cota.

El caudal sale de la continuidad, sin más cuentas hidráulicas: $12 - 5 - 4{,}07 = 2{,}93$ l/s. Y la potencia disipada por metro:

\frac{P}{L} = \frac{\gamma\,Q_5\,h_{f5}}{L_5} = \frac{7840\cdot 0{,}00293\cdot 11{,}1}{34} = 7{,}5\ \text{W/m}

Esa cifra es la que un proyectista mira: 7,5 W por metro es calor que se queda en el suelo y factura que se paga. En los 34 metros son 255 W permanentes, un 5,7 % de todo lo que entrega la bomba, gastados en una sola rama que lleva la cuarta parte del caudal.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.25 · Colección de problemas, capítulo 3 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El depósito de dos líquidos que se vacía

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el depósito de la figura el tubo de descarga tiene un factor de paso de 1,5. Se pide:

a) Deducir la expresión de la velocidad de salida del agua.

b) Caudal del agua que fluye en las condiciones de la figura.

c) Deducir la expresión que permita conocer el tiempo de vaciado del depósito.

d) Tiempo que tardará en descender el nivel de los líquidos 0,5 m, suponiendo constante la presión del aire.

Aire a presión sobre gasolina y gasolina sobre agua, y un tubo de 25 mm que descarga al aire libre. Las alturas están a escala; el tubo, no, porque a escala no se vería.

El caudal de salida y el tiempo que tarda el nivel en bajar medio metro.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se suman el aire, la gasolina y el agua para saber la energía disponible en el tubo de descarga?
02
El caudal de salida
COMP2
Caudal que sale por el tubo de 25 mm en las condiciones de la figura, con Cc = 1 y factor de paso 1,5.
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El tiempo de bajada
COMP2
Tiempo que tarda el nivel en descender 0,5 m, suponiendo constante la presión del aire.
Tu respuesta al paso 3un tiempo con su unidad (s o min) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué el vaciado va tan igualado al principio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La carga en el tubo son 17,32 m, de los que 15 los pone el aire y solo 2,32 los dos líquidos.
2. Al bajar el nivel medio metro, la carga pasa de 17,32 a 16,82 m: menos de un 3 %.
3. Como la velocidad va con la raíz de la carga, cae un 1,5 % escaso, de 11,65 a 11,48 m/s.
4. Por eso el resultado exacto, 69,16 s, se parece tanto al que saldría suponiendo el caudal constante, 68,66 s.

Resolución completa

Todo a metros de columna de agua

Lo primero es sumar bien. En el tubo de descarga hay tres cosas empujando: el aire comprimido, la gasolina y el agua. Como el fluido que sale es agua, todo se pasa a metros de columna de agua:

	aporta
aire, 1,5 kg/cm²	15,000 m
gasolina, 1,2 m con s = 0,68	0,816 m
agua, 1,5 m	1,500 m
total	17,316 m

La gasolina flota, pero eso no la exime de pesar: su peso se transmite íntegro al agua de debajo. Lo que sí cambia es que cada metro suyo vale 0,68 metros de agua.

a) y b) La velocidad y el caudal

El tubo tiene un factor de paso de 1,5, y además el agua sale con velocidad. De la carga disponible, una parte se pierde en el tubo y otra se va como energía cinética:

H = (1 + K)\frac{V^{2}}{2g} \;\Longrightarrow\; V = \sqrt{\frac{2gH}{1+K}} = 11{,}65\ \text{m/s}

Q = 11{,}65\cdot 4{,}909\cdot 10^{-4} = 5{,}72\ \text{l/s}

Ese $1 + K$ del denominador es el error más frecuente del problema. Con solo K saldría 7,38 l/s y sin nada, 9,04.

c) y d) El tiempo

Al vaciarse, la gasolina baja con el nivel sin cambiar de espesor: lo que adelgaza es la capa de agua. Con $h$ la altura de agua que queda, $H = 15{,}816 + h$ , y el balance de volumen da

t = \frac{A_t}{C_c\,a}\sqrt{\frac{1+K}{2g}}\cdot 2\left[\sqrt{H_i} - \sqrt{H_f}\right]

La relación de áreas es exactamente 1600 —un metro contra 25 milímetros—, y entre 1,5 y 1,0 m de agua salen 69,16 s.

Por qué el resultado se parece tanto al caso trivial

Si uno supusiera el caudal constante e igual al inicial, saldrían 68,66 s: un 0,7 % menos. Y no es casualidad.

La carga son 17,32 m, de los que 15 los pone el aire. Al bajar el nivel medio metro, la carga solo cae a 16,82 —menos de un 3 %— y la velocidad, que va con la raíz, cae un 1,5 %. Con una variación tan pequeña, la integral y la aproximación casi coinciden.

Eso también dice cuál es la pieza que manda: el aire es el 87 % de la carga. Sin él, la descarga iría a 4,26 m/s en vez de 11,65, y el mismo medio metro tardaría dos veces y media más. Un depósito presurizado no se vacía como uno abierto, y la diferencia no es un matiz.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Ecuación de Bernoulli

De Euler a Bernoulli, en cinco pasos

Tres formas, y la que se usa

Las cuatro hipótesis que se pueden levantar

Bernoulli generalizada: las pérdidas

Potencia

Reconocer el camino

La velocidad de salida

El caudal

La potencia del chorro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La altura manométrica

La potencia hidráulica

La potencia consumida

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La densidad en la sección A

La velocidad en B

El caudal en peso

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad de entrada

Lo que sale por 3

La velocidad en 2

El caudal en 2

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La altura que da la bomba

La potencia útil

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La energía en el nudo D

El caudal de la tubería 5

El caudal de la tubería 1

El caudal del riego

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El Bernoulli en A

El Bernoulli en B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La presión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La caída de presión disponible

La distancia

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La altura que aporta la bomba

La altura que quita la turbina

La cota del depósito B

Justificar el argumento

Tres máquinas, tres signos

Las conversiones, que son la mitad del problema

Las alturas de las máquinas

El balance

Reconocer el camino

El caudal con fluido perfecto

El caudal con pérdidas

La cota límite del vértice

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal máximo

La cota de salida

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad del chorro

El Bernoulli en el nudo

Los tres caudales

La bomba

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pérdida que comparten

El caudal del depósito B

La altura de la turbina

La potencia y el manómetro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal que bombea