Mecánica de Fluidos · tema 03

Leyes generales de la estática de los fluidos

La presión es la misma en todas las direcciones, y su gradiente equilibra a las fuerzas de volumen. De aquí salen los temas 4 a 8.

Este tema no se examina por sí solo: es la ecuación que usan los cinco siguientes. Todo lo que en el tema 4 se llama hidrostática, en el 7 fuerzas sobre compuertas y en el 8 empuje sale de dos ideas que se demuestran aquí en media página cada una.

Tres clases de fuerza, y solo dos importan

Superficiales: actúan en la frontera por contacto directo. La principal es la presión.
Volumétricas: se reparten por el volumen y actúan sin contacto — la gravedad, y en el tema 5 también la inercia.
Interiores: las que se hacen entre sí las partículas del fluido. Se cancelan dos a dos y no aparecen en los balances.

Una fuerza sobre una superficie tiene una componente normal ( $\sigma$ ) y dos tangenciales ( $\tau$ ). Y aquí está la razón de que la estática sea fácil: en un fluido en reposo no hay tangenciales. Si las hubiera, el fluido se deformaría —esa es su definición, tema 2— y ya no estaría en reposo. Queda solo la componente normal, que es la presión.

La presión en un punto es la misma en todas las direcciones

La presión promedio sobre una superficie plana es $P = F_n/S$ , y la presión en un punto es el límite cuando esa superficie se encoge alrededor del punto:

p_i = \lim_{\delta A_i \to 0} \frac{F_n}{\delta A_i}

Principio de isotropía: en un punto, un fluido en reposo tiene la misma presión en todas las direcciones. Se demuestra con una cuña de fluido de lados $\Delta x$ , $\Delta y$ y espesor $\Delta z$ , sobre la que actúan solo las presiones de sus caras y su propio peso:

\sum F_x = p_x\,\Delta y\,\Delta z - p_s\,\Delta s\,\Delta z\,\sin\theta = 0

\sum F_y = p_y\,\Delta x\,\Delta z - p_s\,\Delta s\,\Delta z\,\cos\theta - \frac{\gamma\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z}{2} = 0

Con $\Delta x = \Delta s\cos\theta$ y $\Delta y = \Delta s\sin\theta$ , las dos ecuaciones se simplifican. Y al tomar el límite, el término del peso desaparece: es un infinitésimo de tercer orden ( $\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$ ) frente a los de las presiones, que son de segundo. Queda

\boxed{p_x = p_y = p_s}

y como el ángulo $\theta$ era arbitrario, vale para cualquier dirección.

La presión no tiene dirección; la fuerza que produce, sí

Que la presión sea la misma en todas las direcciones no significa que las fuerzas sobre una compuerta se cancelen. La presión es un escalar; la fuerza que ejerce sobre una superficie es $\vec{F} = p\,S\,\vec{n}$ , y esa lleva la dirección de la normal a la superficie.

Por eso una compuerta inclinada recibe una fuerza perpendicular a ella y no vertical, y por eso en el tema 7 hay que descomponer. La isotropía dice que el valor de $p$ no depende de cómo orientes la superficie; no dice que la fuerza no dependa.

La ecuación fundamental de la estática

Tomando un cubo diferencial de fluido y sumando las fuerzas de presión sobre sus caras opuestas, la resultante por unidad de volumen en cada eje es $-\partial p/\partial x$ , $-\partial p/\partial y$ , $-\partial p/\partial z$ ; es decir, $-\nabla p$ . Si además actúa una fuerza de volumen $\vec{R}$ por unidad de masa, el equilibrio exige

-\nabla p + \rho\,\vec{R} = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\vec{R} = \frac{1}{\rho}\,\nabla p}

Léela así: el gradiente de presión apunta en la dirección de la fuerza de volumen, y crece tanto más deprisa cuanto más denso sea el fluido. Con la gravedad como única fuerza de volumen, eso es «la presión aumenta hacia abajo, a razón de $\rho g$ por metro» — que es el tema 4 entero.

Por qué este tema es corto y aun así hay que leerlo: los cinco siguientes no introducen física nueva, particularizan esta ecuación. Si en un examen no recuerdas la fórmula del tema 6, se deduce de aquí en tres líneas.

Cuando las fuerzas derivan de un potencial

La gravedad deriva de un potencial: la energía potencial por unidad de masa es $U = g\,z$ , y entonces

\nabla U = g\,\vec{k} \qquad\text{mientras que}\qquad \vec{R} = -g\,\vec{k} = -\nabla U

(el peso apunta hacia abajo, el gradiente del potencial hacia arriba). Sustituyendo en la ecuación fundamental:

-\nabla U = \frac{1}{\rho}\,\nabla p

Esta forma tiene una consecuencia inmediata que se usará constantemente: las superficies de presión constante son superficies equipotenciales. Con la gravedad sola, eso significa que son horizontales — y de ahí sale, sin más cuentas, que la superficie libre de un líquido en reposo es plana y que dos puntos a la misma cota tienen la misma presión.

Practica lo que acabas de leer

A qué ritmo sube la presión en el agua y en el aire

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

A qué ritmo sube la presión en el agua y en el aire

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La ecuación fundamental de la estática, con la gravedad como única fuerza de volumen, se reduce a

\frac{dp}{dz} = -\rho\,g

(con $z$ hacia arriba). Calcular a qué ritmo varía la presión con la profundidad en agua ( $\rho = 1000\ \text{kg/m}^{3}$ ) y en aire ( $\rho = 1{,}2\ \text{kg/m}^{3}$ ), y comparar.

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .

El gradiente de presión en cada fluido, y cuántas veces mayor es uno que otro.

01
Reconocer el camino
COMP1
El signo menos de la ecuación con $z$ hacia arriba. ¿Qué está diciendo?
02
El gradiente en agua
COMP2
¿Cuánto aumenta la presión por cada metro de profundidad en agua?
Tu respuesta al paso 2una presión por unidad de longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Cuántas veces más que en el aire
COMP2
¿Cuántas veces mayor es el gradiente en el agua que en el aire?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las conclusiones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con la gravedad como única fuerza de volumen, $\nabla p = \rho\,\vec{g}$ , que en vertical es $dp/dz = -\rho g$ .
2. En agua: $9800\ \text{Pa}$ por metro, es decir casi $0{,}1\ \text{bar/m}$ .
3. En aire: $11{,}76\ \text{Pa}$ por metro, unas 833 veces menos.
4. Por eso en un depósito de gas la presión se toma uniforme: dos metros de aire son 24 Pa, despreciables frente a las presiones del problema.
5. Y por eso en un manómetro los tramos de aire no se cuentan, pero los de líquido sí.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Qué dice exactamente el principio de isotropía

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito contiene agua en reposo. En un punto situado a $2\ \text{m}$ de profundidad se colocan tres placas diminutas: una horizontal, una vertical y una inclinada $45°$ , todas de $1\ \text{cm}^{2}$ .

a) ¿Qué presión soporta cada una?

b) ¿Qué fuerza recibe cada una, y en qué dirección?

Presión atmosférica en la superficie; trabajar en presiones manométricas y con $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .

La presión sobre cada placa y la fuerza sobre cada una, con su dirección.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué presión soporta cada placa?
02
La presión
COMP2
¿Cuánto vale la presión manométrica a $2\ \text{m}$ ?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza sobre cada placa
COMP2
¿Qué fuerza recibe cada placa de $1\ \text{cm}^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las conclusiones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Isotropía: la presión en un punto es la misma en todas las direcciones, $19\,600\ \text{Pa}$ para las tres placas.
2. La fuerza sobre cada una vale $F = pS = 1{,}96\ \text{N}$ , el mismo módulo.
3. Pero cada fuerza es perpendicular a su placa: vertical sobre la horizontal, horizontal sobre la vertical, y a $45°$ sobre la inclinada.
4. Es decir: la presión es un escalar y la fuerza, un vector cuya dirección la pone la superficie.
5. Por eso en el tema 7 una compuerta inclinada exige descomponer en horizontal y vertical.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Leyes generales de la estática de los fluidos

Tres clases de fuerza, y solo dos importan

La presión en un punto es la misma en todas las direcciones

La ecuación fundamental de la estática

Cuando las fuerzas derivan de un potencial

Reconocer el camino

El gradiente en agua

Cuántas veces más que en el aire

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La presión

La fuerza sobre cada placa

Justificar el argumento