Mecánica de Fluidos · tema 02

Propiedades físicas de los fluidos

Viscosidad y ley de Newton, compresibilidad, capilaridad y cavitación. Las cuatro propiedades que deciden qué fórmula se usa después.

Un fluido se define por lo que hace bajo un esfuerzo cortante: se deforma de manera continua, por pequeño que sea el esfuerzo. Un sólido se deforma un poco y se planta; un fluido no se planta nunca. Esa frase, que parece de diccionario, es la que justifica la propiedad central del tema.

Porque si el fluido no deja de deformarse, lo que se puede medir no es cuánto se ha deformado, sino a qué velocidad lo hace. Y la constante que relaciona el esfuerzo con esa velocidad es la viscosidad.

La ley de Newton de la viscosidad

Entre dos placas, una fija y otra que se mueve, el fluido no desliza sobre ninguna: la capa en contacto con cada placa va a la velocidad de esa placa. Eso obliga a que haya un gradiente de velocidad entre las dos, y ese gradiente es proporcional al esfuerzo que hay que hacer:

\tau = \frac{dF}{dA} = \mu\,\frac{dv}{dy}

La constante $\mu$ es la viscosidad dinámica (o absoluta). Los fluidos que cumplen esta ley —agua, aire, casi todos los del examen— se llaman newtonianos.

Sus unidades son la primera trampa del tema:

sistema	unidad	equivalencia
Internacional	poiseuille (Pl) = Pa·s = N·s/m²	—
Cegesimal	poise (P) = dyn·s/cm²	1 Pl = 10 P
Técnico	UTM/(m·s)	—

Y se usa mucho el centipoise, porque el agua a 15 °C tiene justo $\mu = 1\ \text{cP} = 10^{-3}\ \text{Pl}$ . Es un buen número de referencia: si te sale una viscosidad de agua mil veces mayor, has perdido un factor por el camino.

El poise no es el pascal por segundo

Es su décima parte. $1\ \text{P} = 0{,}1\ \text{Pl}$ , y la mitad de los enunciados de la colección dan la viscosidad en poises justamente porque es la unidad del sistema cegesimal, no del SI.

El error no se nota en el resultado intermedio —sale un número plausible— y aparece al final multiplicado por diez. La comprobación: el agua tiene $0{,}001\ \text{Pl}$ y los aceites, entre $0{,}01$ y $1\ \text{Pl}$ . Una viscosidad de $1{,}5\ \text{Pl}$ es un aceite espeso; una de $15\ \text{Pl}$ es casi un sólido, y probablemente son 15 poises.

La viscosidad cinemática es la dinámica dividida por la densidad:

\nu = \frac{\mu}{\rho}

Tiene dimensiones $L^{2}T^{-1}$ —no lleva masa— y se mide en m²/s o en stokes ( $1\ \text{St} = 1\ \text{cm}^{2}/\text{s} = 10^{-4}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ). Para el agua a 15 °C vale $10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ , que es $1\ \text{cSt}$ .

Aparece en cuanto hay flujo, porque es la que entra en el número de Reynolds. Cuál de las dos pide el enunciado se sabe por las unidades del resultado, y por eso conviene escribirlas siempre.

El gradiente no es el mismo arriba que abajo, porque los huecos son distintos. Por eso la fuerza total no se calcula con «la» separación: se calcula dos veces y se suma. Es el ejercicio 1.2 de la colección, y el fallo habitual es usar solo el hueco que da el enunciado en primer lugar.

Con la temperatura, líquidos y gases hacen lo contrario

En un líquido la viscosidad se debe a las fuerzas de cohesión entre moléculas. Al calentar, la cohesión se debilita: la viscosidad baja. Es el aceite del motor, que fluye mejor caliente.
En un gas se debe al intercambio de cantidad de movimiento entre moléculas. Al calentar, se mueven más y chocan más: la viscosidad sube.

No es un detalle de cultura general: en un problema de conducción con aceite caliente, tomar la viscosidad de la tabla a 20 °C puede cambiar el régimen de laminar a turbulento y con él toda la pérdida de carga.

Compresibilidad: el módulo de elasticidad volumétrico

Un líquido se puede tratar como incompresible casi siempre, y este tema sirve para saber cuándo no. Si al aplicar $dp$ el volumen disminuye $-dV$ :

\frac{dV}{V} = -\alpha\,dp \qquad\Longrightarrow\qquad E = \frac{1}{\alpha} = \frac{-dp}{dV/V} = \frac{dp}{d\rho/\rho}

$\alpha$ es el coeficiente de compresibilidad cúbica y su inverso $E$ es el módulo de elasticidad volumétrico, que tiene unidades de presión. En los líquidos se considera constante hasta unos 300 bar; para el agua ronda los $2.100\ \text{MPa}$ .

Y en un gas comprimido isotérmicamente, $E = p$ : el módulo no es una propiedad del gas, es la presión a la que está.

La forma integrada, que es la que piden los exámenes

Lo de arriba está escrito en diferenciales, y un enunciado nunca da un $dp$ : da un salto de presión entero, de 1 a 300 bar. Integrando entre los dos estados con $\alpha$ constante:

\frac{V}{V_{0}} = e^{-\alpha\,\Delta p} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{\rho}{\rho_{0}} = e^{\Delta p/E}

y la merma de volumen es $\Delta V = V_{0}\left(1 - e^{-\alpha\Delta p}\right)$ .

Esta es la forma que hay que usar, no la lineal. Está extendido escribir $\Delta V = -V_{0}\,\alpha\,\Delta p$ , que es el primer término del desarrollo en serie de la exponencial y vale para saltos pequeños. Las soluciones oficiales de esta asignatura salen con la exponencial, así que con la lineal el resultado se aparta lo justo para no coincidir con el boletín — y eso, en un ejercicio que solo pide un número, es la diferencia entre acertar y no.

Un ejemplo del orden de magnitud: comprimir agua de 1 a 300 bar —es decir $\Delta p = 29{,}9$ MPa— con $E = 2.100$ MPa da $\Delta V/V_{0} = 1{,}414\ \%$ con la exponencial y $1{,}424\ \%$ con la lineal. La diferencia es pequeña porque el salto es pequeño comparado con $E$ ; en cuanto el enunciado sube la presión o baja el módulo, se separan.

Tensión superficial y capilaridad

En el interior de un líquido cada molécula es atraída por igual en todas direcciones. En la superficie no: falta la mitad de las vecinas, y el resultado es que la superficie se comporta como una membrana en tensión. La tensión superficial $\sigma$ es la fuerza por unidad de longitud de esa membrana, y solo depende de la temperatura.

En un tubo estrecho, esa fuerza sostiene una columna de líquido. Igualando la componente vertical con el peso:

2\pi R\,\sigma\cos\theta = \rho\,g\,\pi R^{2} h \qquad\Longrightarrow\qquad h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho\,g\,R}

Si el líquido moja ( $\theta < 90°$ , agua y vidrio) el menisco es cóncavo y el líquido sube; si no moja ( $\theta > 90°$ , mercurio y vidrio) es convexo y baja. La ley de Jurin resume la dependencia: $h\cdot D$ es constante para una pareja líquido-sólido dada.

Y una forma de la fórmula que ahorra tiempo cuando el tubo no es circular —porque el examen lo pone cuadrado o en corona—: lo que sube la columna sale de comparar perímetro mojado con área,

h = \frac{\sigma\,P\cos\theta}{\rho\,g\,A}

que para un círculo devuelve la de arriba y para un cuadrado de lado $L$ da $h = 4\sigma\cos\theta/(\rho g L)$ .

De dónde sale el ángulo de contacto, cuando el enunciado no lo da

Hay exámenes que no dan el ángulo de contacto: dan la fuerza de adhesión —la que el sólido ejerce sobre las moléculas del líquido pegadas a la pared— y la de cohesión —la que el resto del líquido ejerce sobre ellas— y piden deducirlo. La construcción es siempre la misma y conviene tenerla dibujada:

La adhesión $F_{a}$ es perpendicular a la pared y apunta hacia ella.
La cohesión $F_{c}$ apunta hacia el interior del líquido, a 45° de la pared, porque esa es la dirección de la masa que tira.
La superficie libre se coloca perpendicular a la resultante de las dos.

Proyectando la cohesión sobre los dos ejes —sus dos componentes valen $F_{c}/\sqrt{2}$ — y midiendo $\theta$ desde la pared:

\cos\theta = \frac{F_{a} - F_{c}/\sqrt{2}} {\sqrt{\left(F_{a} - F_{c}/\sqrt{2}\right)^{2} + \left(F_{c}/\sqrt{2}\right)^{2}}}

La lectura física está en el numerador. Si la adhesión gana a la componente de cohesión que tira hacia dentro, el coseno es positivo, $\theta < 90°$ y el líquido moja; si pierde, el coseno es negativo y el líquido se retrae. El caso frontera, $F_{a} = F_{c}/\sqrt{2}$ , da exactamente 90° — un menisco plano, ni ascenso ni descenso.

Presión de vapor y cavitación

La presión de vapor es aquella a la que el líquido hierve a una temperatura dada. Sube con la temperatura, y es siempre absoluta: darla en manométrica no significa nada.

Cuando en algún punto de una instalación la presión baja hasta la de vapor, el líquido se evapora ahí mismo: es la cavitación. Las burbujas viajan a zonas de más presión y colapsan, con microchorros que alcanzan presiones puntuales enormes y erosionan el material. Da ruido, vibración y agujeros en los álabes.

Aquí solo se define. Vuelve en el tema 25, y ahí es media pregunta de examen: la altura máxima a la que se puede colocar una bomba sale precisamente de exigir que la presión en la aspiración no baje de la de vapor.

Practica lo que acabas de leer

Una placa, un hueco y la ley de Newton

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Una placa, un hueco y la ley de Newton

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una placa de $0{,}4\ \text{m}^{2}$ se desliza sobre una superficie fija a $1{,}5\ \text{m/s}$ , separada de ella por una película de aceite de $2\ \text{mm}$ de espesor y viscosidad dinámica $\mu = 0{,}2\ \text{Pl}$ .

Suponiendo que el perfil de velocidades es lineal, calcular la fuerza necesaria para mantener el movimiento y la potencia disipada.

La fuerza de arrastre y la potencia, con sus unidades.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice «perfil de velocidades lineal». ¿Qué permite hacer esa hipótesis?
02
El gradiente de velocidad
COMP2
¿Cuánto vale $dv/dy$ ?
Tu respuesta al paso 2una velocidad de deformación, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza
COMP2
Con la ley de Newton, ¿qué fuerza hay que hacer?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Perfil lineal: $dv/dy = v/y = 1{,}5/0{,}002 = 750\ \text{s}^{-1}$ .
2. Ley de Newton: $\tau = \mu\,dv/dy = 0{,}2 \cdot 750 = 150\ \text{Pa}$ .
3. La fuerza es la tensión por el área: $F = 150 \cdot 0{,}4 = 60\ \text{N}$ .
4. Potencia disipada: $P = F\,v = 60 \cdot 1{,}5 = 90\ \text{W}$ .
5. Comprobación dimensional: $\text{Pl} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{s}^{-1} = \text{Pa·s} \cdot \text{m}^{2}/\text{s} = \text{N}$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.2 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

La placa que roza por las dos caras

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas $32\ \text{mm}$ y el espacio entre ellas está lleno con un líquido cuya viscosidad es de $0{,}15\ \text{Poise}$ . Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, se pide:

a) ¿Qué fuerza en daN se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y $0{,}5\ \text{m}^{2}$ de área a la velocidad constante de $20\ \text{cm/s}$ , si la placa dista $10\ \text{mm}$ de una de las superficies?

b) ¿Cuál es la potencia disipada en watio? Razónese todo lo que se haga.

La fuerza en decanewtons y la potencia en vatios.

01
Reconocer el camino
COMP1
La placa está a $10\ \text{mm}$ de una superficie. ¿Y de la otra?
02
La fuerza total
COMP2
Sumando las dos contribuciones, ¿qué fuerza hay que hacer?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia disipada
COMP2
¿Cuánta potencia se disipa?
Tu respuesta al paso 3una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $0{,}15\ \text{P} = 0{,}015\ \text{Pl}$ ; $v = 0{,}2\ \text{m/s}$ ; $l_1 = 0{,}01\ \text{m}$ y $l_2 = 0{,}022\ \text{m}$ .
2. Cada cara aporta $\mu A v/l$ : los dos gradientes son distintos porque los huecos lo son.
3. $F = 0{,}0075\,(20+9{,}09) = 0{,}218\ \text{N}$ , que en decanewtons son $0{,}0218\ \text{daN}$ .
4. $P = F v = 0{,}0436\ \text{W}$ .
5. El espesor de la placa no interviene porque el enunciado dice que es muy pequeño.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.3 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Tres cilindros coaxiales, y dos huelgos que frenan a la vez

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se requiere un par de torsión de $4\ \text{N}\cdot\text{m}$ para hacer girar el cilindro intermedio de la figura a $30\ \text{rpm}$ . Los cilindros 1 y 2 están fijos. Todos los cilindros tienen $450\ \text{mm}$ de longitud. Despreciar los efectos de extremo y el espesor del cilindro intermedio ( $e = 0$ ). Calcular la viscosidad dinámica del aceite.

Datos: $R = 0{,}15\ \text{m}$ ; $e_1 = e_2 = 3\ \text{mm}$ .

El cilindro que gira tiene aceite por dentro y por fuera, así que el par que hay que vencer es la suma de dos rozamientos, no uno. Y los dos huelgos miden lo mismo pero los radios no, de modo que las dos áreas tampoco: por eso no basta con multiplicar por dos.

La viscosidad dinámica del aceite.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas superficies del cilindro intermedio están frenándolo?
02
La viscosidad
COMP2
¿Cuánto vale la viscosidad dinámica del aceite?
Tu respuesta al paso 2una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cilindro intermedio arrastra aceite por sus dos caras, y como su espesor es nulo, las dos tienen el mismo radio y la misma área.
2. Cada cara aporta $\tau = \mu V/e$ sobre $2\pi R L$ , y el par de cada una es esa fuerza por $R$ .
3. Igualando la suma de los dos pares a los 4 N·m sale $\mu = 0{,}20$ Pl, es decir 2 poises.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.4 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El cojinete, con dos superficies frenando a la vez

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene el cojinete que muestra la figura, que consta de dos cilindros coaxiales con un aceite de densidad relativa $0{,}95$ entre ambos. Se pide:

a) Viscosidad dinámica del aceite. b) Viscosidad cinemática del aceite. c) Potencia disipada en el proceso. d) Velocidad angular de deformación del aceite.

Datos: velocidad de giro del cilindro exterior $= 90$ rpm; ídem del interior $= 0$ ; par de torsión $= 0{,}04$ mkg.

Media sección, con el eje a la izquierda. El cilindro exterior gira y el interior está quieto; el aceite, en verde, llena los dos huelgos. Por eso el par tiene dos sumandos, el de la superficie lateral y el de la base. Los dos huelgos van dibujados mucho más anchos de lo que son —0,2 y 1 milímetro contra 50 de radio— porque a escala no se verían.

La viscosidad dinámica y cinemática, la potencia disipada y la velocidad angular de deformación.

01
Reconocer el camino
COMP1
El par medido, $0{,}04$ mkg, vence la resistencia del aceite. ¿Sobre qué superficies?
02
Reconocer el camino
COMP1
En la superficie lateral, ¿de qué depende el momento resistente?
03
La viscosidad dinámica
COMP2
Con $\omega = 3\pi$ rad/s y $M_T = 0{,}392$ m·N, ¿cuánto vale la viscosidad dinámica del aceite?
Tu respuesta al paso 3una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La viscosidad cinemática
COMP2
¿Y la viscosidad cinemática, en stokes?
Tu respuesta al paso 4un número en stokes, sin la unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La potencia disipada
COMP2
¿Cuánta potencia se está disipando en el aceite?
Tu respuesta al paso 5una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El par medido tiene que vencer dos resistencias, la de la superficie lateral y la de la base, así que $M_T = M_1 + M_2$ .
2. En la lateral la velocidad es la misma en todo el contorno, así que el momento sale sin integrar: tensión por área por brazo.
3. En la base la velocidad crece con el radio, así que hay que integrar en $r$ y sale $2\pi R^{4}/(4y_2)$ .
4. Con los dos momentos escritos en función de $\mu$ , la igualdad $M_T = M_1 + M_2$ deja una sola incógnita y se despeja.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.5 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El módulo de elasticidad a partir de un cambio de densidad

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un líquido, al aumentar su presión en $0{,}5\ \text{kg/cm}^{2}$ su densidad aumenta en un $0{,}02\ \%$ . ¿Cuánto vale su módulo de elasticidad volumétrico en kPa?

El módulo de elasticidad volumétrico, en kilopascales.

01
Reconocer el camino
COMP1
El dato es un aumento de densidad, no una reducción de volumen. ¿Cambia algo?
02
El módulo de elasticidad
COMP2
¿Cuánto vale $K$ , en kilopascales?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con la masa constante, el aumento relativo de densidad es igual a la disminución relativa de volumen.
2. Integrando la definición con $K$ constante sale $\Delta p = K\ln(\rho_2/\rho_1)$ , y con $\rho_2/\rho_1 = 1{,}0002$ el logaritmo vale prácticamente $0{,}0002$ .
3. Resulta $K = 2500\ \text{kg/cm}^{2}$ , que en kilopascales son $2{,}45\cdot 10^{5}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.6 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Cuánta agua cabe de más cuando el depósito también cede

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito de acero se dilata un $1\ \%$ en volumen cuando la presión interior aumenta en $700\ \text{kg/cm}^{2}$ . A la presión absoluta de $1\ \text{kg/cm}^{2}$ contiene $500$ kg de agua. Se pide:

a) ¿Cuánta masa de agua habrá que añadir para aumentar la presión en $700\ \text{kg/cm}^{2}$ ?

Datos: densidad del agua $1000\ \text{kg/m}^{3}$ ; módulo de elasticidad volumétrico del agua $K = 21\,000\ \text{kg/cm}^{2}$ .

La masa de agua que hay que añadir.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué cabe más agua después de subir la presión?
02
La densidad final
COMP2
¿Qué densidad tiene el agua a la presión final?
Tu respuesta al paso 2una densidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La masa que hay que añadir
COMP2
¿Cuánta agua hay que meter?
Tu respuesta al paso 3una masa, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la definición de $K$ , integrando entre los dos estados, sale $\rho = \rho_0 e^{\Delta p/K}$ .
2. El volumen inicial de agua es la masa inicial partida por la densidad inicial, $0{,}5$ m³.
3. El depósito se dilata un 1 %, así que el volumen disponible pasa a ser $0{,}505$ m³.
4. La masa final es la densidad final por el volumen final, y la diferencia con los 500 kg es lo que hay que añadir.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.7 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Por qué un termómetro más estrecho marca de menos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una fábrica de termómetros de mercurio tara sus aparatos con un termómetro patrón, que dispone de una varilla de $5$ mm de diámetro interior. Sin embargo, con el fin de ahorrar mercurio, los termómetros comerciales que fabrica los realiza con tan sólo $1$ mm de diámetro. Se pide:

a) Estudiar si dichos termómetros miden con algún error y en qué sentido se produce. b) En caso afirmativo, calcular el error que se produciría en el termómetro si un grado equivaliera a $5$ mm de columna.

Datos: tensión superficial del mercurio $\sigma_{Hg} = 0{,}52\ \text{N/m}$ ; peso específico relativo del mercurio $s_{Hg} = 13{,}6$ .

Nota: se supondrán nulas las fuerzas de adhesión entre mercurio y tubo.

Si hay error, en qué sentido, y cuántos grados vale.

01
Reconocer el camino
COMP1
El mercurio no moja el vidrio. ¿Qué le hace eso a la columna dentro del capilar?
02
La depresión en el tubo patrón
COMP2
¿Cuánto baja la columna en el termómetro patrón, el de $5$ mm?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El error, en grados
COMP2
Si $5$ mm de columna son un grado, ¿de cuántos grados es el error del termómetro comercial?
Tu respuesta al paso 3un número de grados, sin la unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El mercurio no moja el vidrio, así que la capilaridad baja la columna en vez de subirla.
2. La depresión vale $H = 4\sigma\cos 45°/(\gamma D)$ , o sea que va con el inverso del diámetro.
3. El termómetro patrón, de 5 mm, también está deprimido, y la escala se taró con él ya deprimido.
4. El error es la diferencia entre las dos depresiones, 8,83 mm, que a 5 mm por grado son 1,8 °C de menos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.8 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El capilar cerrado por arriba, y el aire que no deja subir al agua

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un tubo capilar de longitud $L$ y diámetro $D$ , inicialmente lleno de aire en condiciones ambientales y cerrado por un extremo, se introduce por su extremo abierto en un depósito con un líquido, el cual asciende por el tubo comprimiendo el aire atrapado, alcanzándose un estado de equilibrio en el que la tensión superficial se equilibra con la sobrepresión creada por la compresión y la fuerza gravitatoria. Se pide:

a) Expresiones de la altura $H$ y la sobrepresión $P$ creadas, suponiendo que la longitud de tubo introducido en el depósito es despreciable. Suponer el proceso de compresión del aire isotermo y despreciar fuerzas de cohesión frente a las fuerzas de adhesión.

b) Valores numéricos de $H$ y $P$ con los datos que se adjuntan.

Datos: densidad relativa del líquido $s = 1$ ; tensión superficial $\sigma = 75\ \text{dyn/cm}$ ; $L = 20$ cm; $D = 0{,}01$ mm; $p_a = 1$ atm; $T_a = 288$ K.

Las expresiones de H y P, y sus valores numéricos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tiene este capilar que no tenga uno abierto por arriba?
02
Reconocer el camino
COMP1
El aire se comprime de forma isoterma. ¿Qué ecuación le corresponde?
03
La altura que sube el líquido
COMP2
¿Cuánto sube el líquido dentro del capilar?
Tu respuesta al paso 3una altura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La sobrepresión del aire
COMP2
¿Cuánta sobrepresión ha alcanzado el aire atrapado, en metros de columna de agua?
Tu respuesta al paso 4una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En equilibrio, la tensión superficial en el contorno sostiene el peso de la columna y vence la sobrepresión del aire: $\gamma H + P = 4\sigma/D$ .
2. El aire encerrado pasa de ocupar $L$ a ocupar $L-H$ , y como el proceso es isotermo, $p_0L = (p_0+P)(L-H)$ .
3. Sustituyendo $P$ en la primera queda una ecuación de segundo grado en $H$ .
4. Con $H$ conocida, la sobrepresión sale de la propia isoterma, $P = p_0H/(L-H)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.11 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

De dinas por centímetro cuadrado a centipoises

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una tensión cortante de $4\ \text{dyn/cm}^{2}$ causa una deformación angular de $1\ \text{rad/s}$ a un fluido newtoniano. ¿Cuál es la viscosidad del fluido expresada en centipoises?

La viscosidad dinámica en centipoises.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es exactamente la «deformación angular» de $1\ \text{rad/s}$ ?
02
La viscosidad
COMP2
¿Cuánto vale la viscosidad, en centipoises?
Tu respuesta al paso 2una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La velocidad angular de deformación y el gradiente de velocidad son el mismo número, porque el radián es adimensional.
2. Convirtiendo la tensión al SI, $4\ \text{dyn/cm}^{2} = 0{,}4$ Pa, y dividiendo entre $1\ \text{s}^{-1}$ sale $0{,}4$ Pl.
3. En centipoises son 400, que es el orden de un aceite ligero: unas cuatrocientas veces el agua.

Resolución completa

Dos conversiones y una definición.

\tau = 4\ \text{dyn/cm}^{2} = 0{,}4\ \text{Pa} \qquad \frac{du}{dy} = 1\ \text{s}^{-1} \qquad \mu = \frac{\tau}{du/dy} = 0{,}4\ \text{Pl}

Y en centipoises, $0{,}4\ \text{Pl} = 4\ \text{P} = 400\ \text{cP}$ .

La cadena de unidades, que es lo único difícil del ejercicio:


$1\ \text{dyn}$	$10^{-5}\ \text{N}$
$1\ \text{dyn/cm}^{2}$	$0{,}1\ \text{Pa}$
$1\ \text{Pl} = 1\ \text{Pa}\cdot\text{s}$	$10\ \text{P}$
$1\ \text{P}$	$100\ \text{cP}$

El centipoise es tan usado porque el agua a 20 °C tiene exactamente 1 cP. Ese es el ancla que conviene memorizar: cualquier resultado en centipoises se lee de inmediato como «tantas veces más viscoso que el agua». Aquí, cuatrocientas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.12 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

De la viscosidad dinámica a la cinemática, pasando por los stokes

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un punto en un flujo viscoso, la tensión cortante es de $35\ \text{kPa}$ y el gradiente de velocidad es de $6000\ \text{m/s}\cdot\text{m}$ . Si la densidad relativa del líquido es $0{,}93$ . ¿Cuál es la viscosidad cinemática (en Stoke)?

La viscosidad cinemática en stokes.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hay que calcular primero, y por qué no se puede ir directo a la cinemática?
02
La viscosidad dinámica
COMP2
¿Cuánto vale $\mu$ ?
Tu respuesta al paso 2una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La viscosidad cinemática, en stokes
COMP2
Con $\rho = 930\ \text{kg/m}^{3}$ , ¿cuánto vale $\nu$ en stokes?
Tu respuesta al paso 3una viscosidad cinemática, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\mu = \tau/(dv/dy) = 35\,000/6000 = 5{,}833\ \text{Pl}$ .
2. $\rho = s\,\rho_{\text{agua}} = 0{,}93 \cdot 1000 = 930\ \text{kg/m}^{3}$ .
3. $\nu = \mu/\rho = 6{,}272\cdot10^{-3}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ .
4. En stokes: $\times 10^{4} = 62{,}7\ \text{St}$ .
5. Comprobación dimensional: $\text{Pl}/(\text{kg/m}^{3}) = \text{m}^{2}/\text{s}$ , sin masa ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.13 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Del rozamiento medido a la viscosidad del fluido

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una placa situada a $0{,}5\ \text{mm}$ de otra fija, se mueve a $0{,}25\ \text{m/s}$ y requiere una fuerza por unidad de superficie de $2\ \text{N/m}^{2}$ , para mantener esta velocidad. Calcúlese la viscosidad absoluta del fluido situado entre las dos placas, en unidades del sistema internacional, así como la velocidad de deformación angular de dicho fluido.

La viscosidad absoluta en unidades del SI y la velocidad de deformación angular.

01
Reconocer el camino
COMP1
El dato es «una fuerza por unidad de superficie de 2 N/m²». ¿Qué es esa magnitud en la ley de Newton?
02
La velocidad de deformación angular
COMP2
¿Cuánto vale el gradiente de velocidad?
Tu respuesta al paso 2una velocidad de deformación angular, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La viscosidad absoluta
COMP2
Despejando de la ley de Newton, ¿cuál es $\mu$ ?
Tu respuesta al paso 3una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «Fuerza por unidad de superficie» es la tensión cortante: $\tau = 2\ \text{Pa}$ .
2. El espesor en metros: $0{,}5\ \text{mm} = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ .
3. $dv/dy = 0{,}25/5\cdot10^{-4} = 500\ \text{s}^{-1}$ , que es la velocidad de deformación angular pedida.
4. $\mu = \tau/(dv/dy) = 2/500 = 0{,}004\ \text{Pl}$ .
5. En unidades cegesimales serían $0{,}04\ \text{P}$ , porque $1\ \text{Pl} = 10\ \text{P}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.14 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La viscosidad a partir de la potencia disipada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cilindro de $140\ \text{mm}$ de radio interior gira concéntricamente en el interior de otro de $146\ \text{mm}$ de radio. La longitud de ambos es de $40\ \text{cm}$ . Se pide:

a) Viscosidad del aceite existente en el huelgo.

Datos: potencia disipada $= 6{,}12\ \text{W}$ ; velocidad de giro del cilindro interior $= 50\ \text{rpm}$ ; ídem del exterior $= 0$ .

La viscosidad del aceite del huelgo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El dato es la potencia, no el par. ¿Cómo entra en la cuenta?
02
La viscosidad
COMP2
¿Cuánto vale la viscosidad del aceite, en poises?
Tu respuesta al paso 2una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La velocidad periférica del cilindro que gira es $\omega R = 0{,}733$ m/s, con $R$ el radio interior.
2. El huelgo es la diferencia de radios, 6 mm, y en él el perfil de velocidades se supone lineal.
3. La potencia disipada es $\mu (V/e)(2\pi R L)V$ , y despejando sale $\mu = 1{,}94$ P.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.15 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un cilindro que desliza por su propio peso, y qué fluido lo frena

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cilindro macizo de acero ( $s = 7{,}8$ ) de diámetro $D = 70\ \text{mm}$ desliza gracias a su propio peso, por el interior de un tubo de diámetro interior $D_t = 71\ \text{mm}$ , formando un ángulo con la horizontal de $60°$ . Se pide:

a) Calcular la $\mu$ (Pl) del fluido existente en el huelgo si la velocidad alcanzada por el cilindro es de $2\ \text{m/s}$ . Suponer que la única resistencia existente es la que produce el fluido que se encuentra en el huelgo.

b) Utilizando los ábacos de viscosidad: ¿de qué fluido puede tratarse?, ¿a qué temperatura se encuentra?

La viscosidad del fluido del huelgo y su identificación en el ábaco.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado no da la longitud del cilindro. ¿Es un olvido?
02
La viscosidad
COMP2
¿Cuánto vale la viscosidad dinámica del fluido del huelgo?
Tu respuesta al paso 2una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cilindro baja a velocidad constante, así que la componente del peso paralela al plano iguala a la fuerza viscosa del huelgo.
2. El huelgo es radial, medio milímetro, y la longitud del cilindro se cancela entre el peso y el área lateral.
3. Sale $\mu = 0{,}290$ Pl, que en el ábaco de viscosidades corresponde a glicerina a unos 30 °C.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.16 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El espesor de la película que aguanta un cuerpo en un plano inclinado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuerpo de $40\ \text{kg}$ de peso resbala sobre un plano inclinado $30°$ con la horizontal, apoyándose en una de sus caras planas de $1800\ \text{cm}^{2}$ de superficie. Para una viscosidad de $1\ \text{P}$ y una velocidad de $1{,}5\ \text{m/s}$ , determinar el espesor de la película lubricante y la potencia absorbida en el deslizamiento, en kW.

El espesor de la película y la potencia absorbida.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice «40 kg de peso». ¿Qué fuerza hay que usar?
02
El espesor
COMP2
¿Qué espesor tiene la película lubricante?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia absorbida
COMP2
¿Qué potencia se disipa en el deslizamiento?
Tu respuesta al paso 3una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A velocidad constante, la componente del peso paralela al plano —196 N— iguala a la fuerza viscosa de la película.
2. De $F = \mu (v/e) A$ sale el espesor, 0,138 mm, con la viscosidad en Pl y el área en m².
3. La potencia disipada es esa fuerza por la velocidad, 294 W, y se convierte íntegramente en calor en la película.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.17 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El mismo esquema del 1.16, con la incógnita cambiada

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una pieza cúbica de $30\ \text{cm}$ de arista y $20\ \text{kg}$ de peso desliza hacia abajo sobre una película de aceite existente en un plano inclinado $20°$ con la horizontal, con una velocidad de $25\ \text{m/s}$ . Si el espesor de la película es de $0{,}03\ \text{mm}$ , se pide:

a) Viscosidad dinámica en el SI.

b) Ídem en el sistema CGS.

La viscosidad dinámica en poiseuilles y en poises.

01
Reconocer el camino
COMP1
De la arista del cubo, ¿qué se usa?
02
La viscosidad en el SI
COMP2
¿Cuánto vale la viscosidad dinámica, en poiseuilles?
Tu respuesta al paso 2una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Y en el sistema CGS
COMP2
¿Cuánto vale esa misma viscosidad en poises?
Tu respuesta al paso 3una viscosidad dinámica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A velocidad constante, la componente del peso paralela al plano —67 N— iguala a la fuerza viscosa sobre la cara apoyada.
2. Con $A = 0{,}09$ m², $v = 25$ m/s y $e = 3\cdot 10^{-5}$ m sale $\mu = 8{,}94\cdot 10^{-4}$ Pl, es decir $8{,}94\cdot 10^{-3}$ P.
3. Ese valor es del orden de la viscosidad del agua, así que el «aceite» del enunciado es muy poco viscoso.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.18 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El par que hay que vencer en el huelgo de una polea

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una polea de $50\ \text{mm}$ de diámetro interior gira alrededor de un eje a $400\ \text{rpm}$ , existiendo un huelgo radial entre ambos de $0{,}075\ \text{mm}$ . Se pide:

a) El par necesario para vencer la resistencia del aceite existente en el huelgo.

b) Potencia disipada.

c) Velocidad angular de deformación del fluido.

Datos: viscosidad dinámica del aceite $= 1\ \text{P}$ ; longitud de la polea $= 10\ \text{cm}$ .

El par, la potencia disipada y la velocidad angular de deformación.

01
Reconocer el camino
COMP1
El huelgo es de $0{,}075\ \text{mm}$ y el radio, de $25\ \text{mm}$ . ¿Qué permite eso?
02
La velocidad angular de deformación
COMP2
¿Cuánto vale el gradiente de velocidad en el huelgo?
Tu respuesta al paso 2una velocidad de deformación, en inversos de segundo — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El par
COMP2
¿Qué par hay que aplicar para vencer la resistencia del aceite?
Tu respuesta al paso 3un momento, en newton por metro — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La potencia disipada
COMP2
¿Qué potencia se pierde en el huelgo?
Tu respuesta al paso 4una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el huelgo trescientas veces menor que el radio, el perfil se toma lineal y $du/dy = \omega R/e = 13.963\ \text{s}^{-1}$ .
2. De ahí $\tau = 1396$ Pa sobre un área lateral de $0{,}0157$ m², es decir 21,9 N, y un par de $0{,}548\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
3. La potencia disipada es $M\omega = 23$ W, y sale igual calculándola como $F v$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.19 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un eje y un cilindro girando en sentidos contrarios

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un eje de $50\ \text{mm}$ de diámetro gira a $1.000\ \text{rpm}$ en el interior de un cilindro de $52\ \text{mm}$ de diámetro interior y $200\ \text{mm}$ de longitud, que gira a su vez, en el sentido contrario al eje, a $350\ \text{rpm}$ . El espacio entre el eje y el cilindro está ocupado por un lubricante de viscosidad dinámica de $0{,}125\ \text{P}$ . Se pide:

a) Potencia disipada por la resistencia ofrecida por el lubricante.

La potencia disipada en el lubricante.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos superficies giran, y en sentidos contrarios. ¿Qué velocidad entra en el gradiente?
02
La potencia disipada
COMP2
¿Qué potencia disipa el lubricante?
Tu respuesta al paso 2una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El huelgo es radial y vale 1 mm, la mitad de la diferencia de diámetros.
2. Al girar en sentidos contrarios, la velocidad relativa entre las dos caras es la suma de módulos, 3,57 m/s, y con ella $\tau = 44{,}6$ Pa.
3. La potencia total es la suma de la que gasta cada superficie contra el lubricante: 3,67 W el eje y 1,39 W el cilindro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.20 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un disco que gira sobre una película, donde el radio ya no es constante

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El dispositivo mostrado en la figura consiste en un eje que hace girar un disco de $5\ \text{cm}$ de diámetro a $60\ \text{rpm}$ . El disco se coloca a $2\ \text{mm}$ de un límite sólido. Entre el disco y el límite hay un aceite de viscosidad $0{,}01\ \text{Pl}$ . Se pide:

a) Expresión razonada de la ley de Newton de la viscosidad.

b) Momento que hay que aplicar para vencer la resistencia del aceite.

c) Potencia consumida.

El espesor de la película es constante, pero la velocidad no: en el eje vale cero y en el borde vale ωR. Por eso este no es el problema de la placa plana con otra forma — hay que integrar el par sobre el radio, y ahí es donde aparece la cuarta potencia.

El momento a aplicar y la potencia consumida.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué este caso no se resuelve con $M = \tau A R$ , como los cilindros?
02
El momento
COMP2
¿Qué momento hay que aplicar?
Tu respuesta al paso 2un momento, en newton por metro — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia
COMP2
¿Qué potencia consume?
Tu respuesta al paso 3una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En un disco la velocidad de arrastre vale $\omega r$ , así que el esfuerzo cortante crece linealmente con el radio.
2. El momento de un anillo es $\tau\,(2\pi r\,dr)\,r$ , y al integrar aparece $r^{3}$ : el resultado es $\pi\mu\omega R^{4}/2e$ .
3. Con los datos sale $M = 1{,}93\cdot 10^{-5}$ N·m y $P = 1{,}21\cdot 10^{-4}$ W: cantidades diminutas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.21 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Cuánto se comprime el alcohol, y qué módulo tiene

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Cuando se somete un volumen de alcohol de $0{,}02892\ \text{m}^{3}$ a una presión de $51000\ \text{kPa}$ , éste se contrae a $0{,}02770\ \text{m}^{3}$ . Calcúlese la elasticidad (en MPa).

El módulo de elasticidad volumétrico en megapascales.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es exactamente el módulo de elasticidad volumétrico?
02
La deformación volumétrica unitaria
COMP2
¿Cuánto vale $\Delta V/V$ , en tanto por ciento?
Tu respuesta al paso 2un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo
COMP2
¿Cuál es el módulo de elasticidad volumétrico?
Tu respuesta al paso 3un módulo de elasticidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\Delta V = 0{,}02892-0{,}02770 = 0{,}00122\ \text{m}^{3}$ .
2. $\Delta V/V = 0{,}00122/0{,}02892 = 0{,}0422$ , adimensional.
3. $\Delta p = 51000\ \text{kPa} = 51\ \text{MPa}$ .
4. $E = 51/0{,}0422 = 1209\ \text{MPa}$ .
5. Comprobación de orden de magnitud: el agua tiene $2100\ \text{MPa}$ , y el alcohol es más compresible que el agua, así que menos módulo tiene sentido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.22 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El módulo de elasticidad de un gas es su propia presión

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

¿Cómo variará el módulo de elasticidad si se varía la presión, manteniendo la $T$ constante? ¿Cuál es el módulo de elasticidad volumétrico de un gas al someterlo a un proceso de compresión isotermo, cuando la presión absoluta es de $0{,}4\ \text{MPa}$ ?

Cómo depende K de la presión en un gas isotermo, y su valor.

01
Reconocer el camino
COMP1
En un proceso isotermo de gas ideal, ¿qué relación liga presión y volumen?
02
El módulo
COMP2
¿Cuánto vale $K$ a $0{,}4\ \text{MPa}$ absolutos?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En un isotermo de gas ideal $pV$ es constante, y derivando sale $-V\,dp/dV = p$ .
2. Es decir, el módulo de elasticidad de un gas isotermo es su propia presión: $K = p = 0{,}4$ MPa.
3. Y por tanto crece linealmente con la presión: cuanto más comprimido está el gas, más cuesta seguir comprimiéndolo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.23 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El módulo del agua pesando el depósito antes y después

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene un depósito de acero, supuesto rígido, de $5.000\ \text{l}$ de capacidad, cuyo peso cuando está vacío es de $7.000\ \text{kg}$ . El mismo depósito pesa $12.036{,}7\ \text{kg}$ después de llenarlo de agua a $150$ atmósferas de presión. Se pide:

a) Módulo de elasticidad volumétrico del agua.

Dato: $1\ \text{atm} = 10.336\ \text{kg/m}^{2}$ .

El módulo de elasticidad volumétrico del agua.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se deduce de que quepan 5036,7 kg de agua en 5000 litros?
02
El módulo del agua
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de elasticidad volumétrico del agua, en $\text{kg/cm}^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número en kilopondios por centímetro cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El agua que ha entrado son 5.036,7 kg, que a presión normal ocuparían 5,0367 m³ y han cabido en los 5 m³ del depósito.
2. La compresión relativa es $0{,}0367/5{,}0367 = 7{,}29\cdot 10^{-3}$ , y el salto de presión, 149 atm.
3. Dividiendo sale $K \approx 21.100\ \text{kg/cm}^{2}$ , es decir unos $2{,}1\cdot 10^{9}$ Pa: el valor tabulado del agua.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.24 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Cuando el depósito también se deforma

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un depósito metálico sometido a una presión interior de $30\ \text{MPa}$ contiene $2.000\ \text{kg}$ de agua, ocupando todo su volumen. Si el depósito se ha dilatado un $0{,}5\ \%$ en volumen al someterle a tal presión, se pide:

a) La cantidad de agua que se verterá cuando el depósito se despresurice.

Dato: módulo de elasticidad volumétrico del agua $K = 2.100\ \text{MPa}$ .

El volumen de agua que rebosará al despresurizar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al despresurizar, ¿por qué sobra agua?
02
El agua vertida
COMP2
¿Cuánta agua se vierte?
Tu respuesta al paso 2un volumen, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A 30 MPa el agua tiene una densidad de $1014{,}5\ \text{kg/m}^{3}$ , así que los 2.000 kg ocupan $1{,}9714\ \text{m}^{3}$ .
2. Ese es el volumen del depósito dilatado; sin dilatar son $1{,}9616\ \text{m}^{3}$ .
3. El agua relajada ocupa $2{,}000\ \text{m}^{3}$ , así que sobran 38,4 litros: casi un 2 % del contenido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.25 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El ascenso capilar, con la tensión superficial en kilopondios

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Introducido un tubo capilar de sección circular en agua, se pide:

a) Deducir la expresión que proporciona la elevación del agua en el tubo capilar, suponiendo que el líquido moja totalmente al sólido.

b) Aplicarlo al caso en que el diámetro del tubo sea de $5\ \text{mm}$ .

Dato: tensión superficial del agua $\sigma = 0{,}0074\ \text{kg/m}$ .

La deducción de la fórmula y la altura para un tubo de 5 mm.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Moja totalmente» fija un dato de la fórmula. ¿Cuál?
02
La tensión superficial en unidades del SI
COMP2
El dato viene en kg/m, o sea kilopondios por metro. ¿Cuánto vale en N/m?
Tu respuesta al paso 2una tensión superficial, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura de ascenso
COMP2
Con $D = 5\ \text{mm}$ , ¿cuánto sube el agua?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción y el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fuerza de tensión superficial actúa a lo largo del perímetro de contacto: $F = \sigma\,(2\pi R)\cos\theta$ .
2. El peso de la columna levantada es $W = \rho\,g\,(\pi R^{2}h)$ .
3. Igualando las dos y despejando: $h = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{\rho g R} = \dfrac{4\sigma\cos\theta}{\rho g D}$ .
4. Con mojado total, $\cos\theta = 1$ .
5. Números: $\sigma = 0{,}07252\ \text{N/m}$ y $D = 0{,}005\ \text{m}$ dan $h = 5{,}92\ \text{mm}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.26 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un capilar de sección cuadrada, y por qué sube lo mismo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se introduce un tubo capilar de sección cuadrada de $1{,}5\ \text{mm}$ de lado en un vaso que contiene alcohol. Se pide:

a) Altura a la que ascenderá el alcohol por el tubo, en el supuesto de que las fuerzas de cohesión del líquido sean despreciables frente a las de adhesión entre líquido y sólido.

Datos: tensión superficial del alcohol $\sigma = 0{,}023\ \text{N/m}$ ; densidad relativa del mismo $s = 0{,}9$ .

La altura de ascenso del alcohol en el capilar.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Cohesión despreciable frente a adhesión». ¿Qué significa eso para el ángulo de contacto?
02
El ascenso
COMP2
¿Hasta qué altura sube el alcohol?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión superficial tira hacia arriba a lo largo de todo el perímetro mojado, y ese tirón sostiene el peso de la columna levantada.
2. Con sección cuadrada, $P/A = 4L/L^{2} = 4/L$ , así que $h = 4\sigma/\gamma L$ .
3. Sale 6,95 mm, y es exactamente la misma expresión que la del tubo circular con $D$ en lugar de $L$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.27 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Una corona circular, y el ángulo de contacto deducido

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un tubo de sección transversal en forma de corona circular ( $\varnothing_{\max} = 10\ \text{mm}$ y $\varnothing_{\min} = 6\ \text{mm}$ ) se introduce en un recipiente que contiene un líquido de densidad relativa $s = 0{,}78$ y tensión superficial $\sigma = 0{,}0223\ \text{N/m}$ . Sabiendo que la relación entre los módulos de las fuerzas de adhesión y cohesión es de $5/4$ , deducir y calcular:

a) Si el líquido moja o no moja al sólido, calculando el ángulo que forma la superficie del líquido con el sólido.

b) La expresión que dé el ascenso o descenso del líquido por la sección capilar de la corona circular.

c) Calcular dicho ascenso o descenso para los datos indicados.

El ángulo de contacto, la expresión del ascenso y su valor.

01
Reconocer el camino
COMP1
En una corona circular, ¿cuál es el perímetro mojado?
02
El ángulo de contacto
COMP2
¿Qué ángulo forma la superficie del líquido con el sólido?
Tu respuesta al paso 2un ángulo en grados, solo el número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El ascenso
COMP2
¿Cuánto asciende el líquido por la corona?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Componiendo la adhesión —perpendicular a la pared— con la cohesión —a 45° hacia el líquido— sale una resultante inclinada 37,52° respecto de la vertical.
2. La superficie libre es perpendicular a esa resultante, así que forma 52,48° con la pared: menor de 90°, luego moja.
3. Para la corona, $P/A$ se simplifica a $4/(D_{\max}-D_{\min})$ , y el ascenso resulta de 1,78 mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Propiedades físicas de los fluidos

La ley de Newton de la viscosidad

Con la temperatura, líquidos y gases hacen lo contrario

Compresibilidad: el módulo de elasticidad volumétrico

La forma integrada, que es la que piden los exámenes

Tensión superficial y capilaridad

De dónde sale el ángulo de contacto, cuando el enunciado no lo da

Presión de vapor y cavitación

Reconocer el camino

El gradiente de velocidad

La fuerza

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La fuerza total

La potencia disipada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La viscosidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Reconocer el camino

La viscosidad dinámica

La viscosidad cinemática

La potencia disipada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El módulo de elasticidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La densidad final

La masa que hay que añadir

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La depresión en el tubo patrón

El error, en grados

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Reconocer el camino

La altura que sube el líquido

La sobrepresión del aire

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La viscosidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La viscosidad dinámica

La viscosidad cinemática, en stokes

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad de deformación angular

La viscosidad absoluta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La viscosidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La viscosidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El espesor

La potencia absorbida

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La viscosidad en el SI

Y en el sistema CGS

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de deformación

El par

La potencia disipada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La potencia disipada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El momento

La potencia

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La deformación volumétrica unitaria