Mecánica de Fluidos · tema 01

Introducción a la Mecánica de Fluidos

Unidades y dimensiones, densidad y peso específico. Y el kilogramo que a veces es masa y a veces es fuerza.

Este tema parece de relleno y no lo es. No enseña ninguna ley de la mecánica de fluidos: enseña en qué unidades se escribe todo lo demás, y ese es el sitio por donde se pierden más puntos en el examen de esta asignatura.

La razón es concreta y tiene nombre: en los enunciados de esta escuela conviven tres sistemas de unidades, y el mismo símbolo —«kg»— significa una cosa en uno y otra en otro. Un ejercicio que empieza «un cuerpo pesa 50 kg» no está diciendo lo que parece.

Dimensión y unidad, que no son lo mismo

La dimensión es la medida por la que una variable física se expresa cuantitativamente; la unidad es la forma de asignarle un número. La presión tiene dimensión $ML^{-1}T^{-2}$ siempre, y se puede escribir en pascales, en bares o en metros de columna de agua.

Las dimensiones primarias en mecánica de fluidos son masa, longitud, tiempo y temperatura. Todo lo demás es secundario, es decir, se escribe en función de esas cuatro:

magnitud	dimensión	SI	cegesimal	técnico
fuerza	$MLT^{-2}$	N	dyn	kp
presión	$ML^{-1}T^{-2}$	Pa	baria	kg/m²
energía	$ML^{2}T^{-2}$	J	erg	kp·m
potencia	$ML^{2}T^{-3}$	W	erg/s	kp·m/s
densidad	$ML^{-3}$	kg/m³	g/cm³	UTM/m³
viscosidad dinámica	$ML^{-1}T^{-1}$	Pl	P (poise)	UTM/(m·s)

Dos conversiones que hay que tener a mano porque los enunciados las usan sin avisar: $1\ \text{dyn}=10^{-5}\ \text{N}$ y $1\ \text{P}=0{,}1\ \text{Pl}$ , es decir, un poise es una décima de poiseuille. El poise aparece en la mitad de los problemas de viscosidad de la colección.

El kilogramo que no es una masa

En el Sistema Técnico la dimensión fundamental no es la masa: es la fuerza. Su unidad es el kilopondio, y se escribe «kp» —o «kg», que es lo que hace la mitad de los enunciados—.

1\ \text{kp} = 9{,}8\ \text{N}

Un kilopondio es el peso de un kilogramo masa en la Tierra. Por eso los dos se escriben igual y por eso el enunciado «un cuerpo pesa 50 kg» significa 50 kilopondios, o sea 490 N, no 50 kilogramos de masa.

«Pesa 50 kg» no dice que su masa sea 50 kg

Dice que su peso es 50 kp. En la Tierra la masa sale igual —50 kg— y por eso el error no se nota nunca… hasta que el problema ocurre en otro planeta.

En el ejercicio 1.1 de la colección, el cuerpo pesa 50 kg en un planeta con $g=3{,}5\ \text{m/s}^{2}$ . Quien lea «masa = 50 kg» calculará un volumen de $0{,}02\ \text{m}^{3}$ ; la respuesta es $0{,}056\ \text{m}^{3}$ , casi el triple:

W = 50\ \text{kp} = 490\ \text{N} \quad\Rightarrow\quad m = \frac{W}{g} = \frac{490}{3{,}5} = 140\ \text{kg}

La comprobación que lo caza: si el planeta tiene menos gravedad que la Tierra y el peso en kp es el mismo, la masa tiene que ser mayor. Un número que sale igual al del enunciado es la señal de que se ha confundido peso con masa.

Y en esta asignatura se usa $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ , no $9{,}81$ : es lo que emplean el libro de problemas y las soluciones oficiales, y con tres cifras significativas la diferencia se ve.

Densidad, peso específico y la densidad relativa

Tres formas de decir «cuánto pesa esto para lo que ocupa», y el examen las mezcla en la misma frase:

\rho = \frac{m}{V} \qquad \gamma = \frac{\text{Peso}}{V} = \rho\,g \qquad s = \frac{\rho_{\text{sustancia}}}{\rho_{\text{patrón}}}

La densidad $\rho$ es masa entre volumen, en kg/m³.
El peso específico $\gamma$ es peso entre volumen, en N/m³. Depende de la gravedad; la densidad no.
La densidad relativa $s$ compara con el agua a 4 °C ( $1000\ \text{kg/m}^{3}$ ) y es adimensional.

Por qué el examen da siempre la densidad relativa y nunca la densidad: al ser adimensional, es la misma en cualquier sistema de unidades, así que el enunciado no tiene que comprometerse con ninguno. El primer paso de casi todos los problemas de esta asignatura es deshacer eso.

Los gases: la ecuación de estado

Cuando el fluido es un gas, la densidad no es un dato: depende de la presión y de la temperatura, y se calcula. De la ley de los gases ideales $p\,V = n\,R\,T$ , sustituyendo el número de moles por la masa, sale la forma que se usa aquí:

p = \rho\,R^{*}T

donde $R^{*} = R/M$ es la constante del gas dividida por su masa molecular. Para el aire, $R^{*} = 287\ \text{J/(kg·K)}$ ; la universal es $R = 8{,}314\ \text{J/(mol·K)}$ .

Dos avisos que valen puntos: la temperatura va en kelvin, siempre; y la presión, en absoluta, no en manométrica. Los dos errores se cazan igual — mirando si el resultado tiene sentido físico— pero es más rápido no cometerlos.

Y el gradiente, que aparece en el tema 3

El programa cierra el tema con gradiente, divergencia, laplaciana y rotacional. Aquí solo hace falta saber qué es el primero, porque la ecuación fundamental de la estática se escribe con él:

\operatorname{grad} f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{\imath} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{\jmath} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k}

Se aplica a una función escalar y devuelve un vector: el que apunta hacia donde la función crece más deprisa. Cuando el tema 3 diga que la presión cumple $\nabla p = \rho\,\vec{g}$ , estará diciendo que la presión crece en la dirección en que tira la gravedad, y a un ritmo que vale $\rho g$ .

Practica lo que acabas de leer

El mismo cuerpo, dos planetas y tres números

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

El mismo cuerpo, dos planetas y tres números

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un bidón de aceite tiene una masa de $200\ \text{kg}$ .

a) ¿Cuánto pesa en la Tierra, en newtons?

b) ¿Cuánto pesa en la Luna ( $g = 1{,}61\ \text{m/s}^{2}$ )?

c) ¿Cuál es su masa en la Luna?

Tomar $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ en la Tierra.

Los dos pesos y la masa, cada uno con su unidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada: ¿cuál de las tres respuestas se sabe sin hacer ninguna cuenta?
02
El peso en la Tierra
COMP2
¿Cuánto pesa el bidón en la Tierra?
Tu respuesta al paso 2un peso, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El peso en la Luna
COMP2
¿Y en la Luna?
Tu respuesta al paso 3un peso, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La masa es un dato del cuerpo: $200\ \text{kg}$ en los dos sitios.
2. El peso es una fuerza, $W = m\,g$ , y se mide en newtons.
3. En la Tierra: $200 \cdot 9{,}8 = 1960\ \text{N}$ , que son $200\ \text{kp}$ .
4. En la Luna: $200 \cdot 1{,}61 = 322\ \text{N}$ , que son $32{,}9\ \text{kp}$ .
5. Comprobación de sentido: menos gravedad, menos peso, misma masa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.1 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Un cuerpo que pesa cincuenta kilos donde la gravedad es otra

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuerpo pesa $50\ \text{kg}$ en un planeta cuya gravedad es $3{,}5\ \text{m/s}^{2}$ siendo su densidad $2.500\ \text{kg/m}^{3}$ . Se pide:

a) Volumen y masa del cuerpo.

b) Peso del cuerpo en la tierra.

Nota: Realícese el problema en el sistema internacional (SI).

El volumen y la masa, y el peso en la Tierra.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice «pesa 50 kg». ¿Qué significa exactamente?
02
La masa del cuerpo
COMP2
Con el peso en newtons y la gravedad del planeta, ¿cuál es la masa?
Tu respuesta al paso 2una masa, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El volumen
COMP2
Con esa masa y la densidad del enunciado, ¿qué volumen ocupa?
Tu respuesta al paso 3un volumen, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «Pesa 50 kg» son $50\ \text{kp}$ , o sea $490\ \text{N}$ .
2. $m = W/g = 490/3{,}5 = 140\ \text{kg}$ , y la masa no depende del planeta.
3. $V = m/\rho = 140/2500 = 0{,}056\ \text{m}^{3}$ .
4. En la Tierra: $W = m\,g = 140 \cdot 9{,}8 = 1372\ \text{N}$ .
5. Comprobación: en la Tierra pesa $140\ \text{kp}$ , más que los $50\ \text{kp}$ del planeta, porque allí la gravedad es menor.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.9 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Propiedades de los fluidos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Armstrong, que perdió masa pero no la que parece

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Neil Armstrong, primer hombre que pisó la luna, pesaba antes de partir para la luna $78\ \text{kg}$ y en el viaje perdió una masa de $2\ \text{kg}$ . Se pide:

a) Peso de Armstrong en el momento de pisar la luna.

b) Masa del mismo en dicho momento.

Dato: Gravedad lunar $= 1{,}61\ \text{m/s}^{2}$ .

El peso en la Luna y la masa en ese momento.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado mezcla las dos magnitudes a propósito: «pesaba 78 kg» y «perdió una masa de 2 kg». ¿Cuál es la masa de partida?
02
La masa al llegar
COMP2
¿Cuál es su masa al pisar la Luna?
Tu respuesta al paso 2una masa, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El peso en la Luna
COMP2
¿Cuánto pesa allí?
Tu respuesta al paso 3un peso, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «Pesaba 78 kg» en la Tierra: $78\ \text{kp}$ , y por tanto $m = 78\ \text{kg}$ .
2. Pierde $2\ \text{kg}$ de masa: al llegar tiene $76\ \text{kg}$ .
3. Peso en la Luna: $76 \cdot 1{,}61 = 122{,}36\ \text{N}$ .
4. En kilopondios serían $12{,}5\ \text{kp}$ : allí «pesa» doce kilos y medio de los de la báscula.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.10 · Colección de Problemas, capítulo 1 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Dinas, decanewtons y la gravedad de la Luna

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Si un fluido tiene una densidad de $1225\ \text{kg/m}^{3}$ , se pide:

a) El volumen de una determinada cantidad de fluido cuyo peso fuese $10^{7}\ \text{dyn}$ .

b) El peso en daN de $5\ \text{m}^{3}$ de dicho fluido.

c) La masa en kg de una determinada cantidad de fluido que en la Luna pesase $250\ \text{N}$ .

Dato: gravedad lunar $= 1{,}61\ \text{m/s}^{2}$ .

El volumen, el peso en decanewtons y la masa a partir del peso lunar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los tres apartados dan un peso y piden masa o volumen, o al revés. ¿Qué hay que tener claro antes de empezar?
02
El volumen del apartado a)
COMP2
¿Qué volumen ocupa el fluido que pesa $10^{7}\ \text{dyn}$ ?
Tu respuesta al paso 2un volumen, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El peso del apartado b)
COMP2
¿Cuánto pesan $5\ \text{m}^{3}$ de ese fluido, en decanewtons?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La masa del apartado c)
COMP2
¿Qué masa tiene el fluido que en la Luna pesa $250\ \text{N}$ ?
Tu respuesta al paso 4una masa, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las conclusiones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La densidad liga masa y volumen; para pasar de un peso a una masa hay que dividir por la gravedad del lugar.
2. En a), $10^{7}$ dinas son 100 N, que son 10,2 kg y $8{,}33\cdot 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ .
3. En c), los 250 N están medidos en la Luna, así que la masa es $250/1{,}61 = 155{,}3$ kg.

Resolución completa

Tres apartados y una sola idea: la densidad relaciona masa y volumen, así que cada vez que aparece un peso hay que atravesar la gravedad — y la del sitio correcto.

a) $10^{7}\ \text{dyn} = 100\ \text{N}$ → $m = 10{,}20\ \text{kg}$ → $V = 8{,}33\cdot 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ .

b) $m = 6125\ \text{kg}$ → $W = 60\,025\ \text{N} = 6002{,}5\ \text{daN}$ .

c) $m = 250/1{,}61 = 155{,}3\ \text{kg}$ .

Las tres unidades de fuerza del ejercicio, que es lo que hay que llevarse:

	en newtons
$1\ \text{dyn}$	$10^{-5}$
$1\ \text{daN}$	$10$
$1\ \text{kp}$	$9{,}8$

La dina y el decanewton no aparecen porque sí: el enunciado los usa porque en la práctica industrial siguen apareciendo, y porque distinguirlos obliga a escribir las unidades en cada paso en vez de arrastrar números pelados.

Y el apartado c) es una trampa amable. Da la gravedad lunar y no da la terrestre, precisamente para que se vea que la masa se obtiene con la gravedad del lugar donde se pesó. Esa masa es después la misma en cualquier sitio: es el peso el que cambia.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Introducción a la Mecánica de Fluidos

Dimensión y unidad, que no son lo mismo

El kilogramo que no es una masa

Densidad, peso específico y la densidad relativa

Los gases: la ecuación de estado

Y el gradiente, que aparece en el tema 3

Reconocer el camino

El peso en la Tierra

El peso en la Luna

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La masa del cuerpo

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La masa al llegar

El peso en la Luna

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen del apartado a)

El peso del apartado b)

La masa del apartado c)

Justificar el argumento