Mecánica de Fluidos · tema 15

Aplicaciones de la cantidad de movimiento

Codos, álabes y chorros. Cinco pasos que se siguen siempre en el mismo orden, y el álabe móvil, que es una turbina Pelton.

Este tema es de peso alto y se resuelve siempre igual. El propio temario lo plantea como un método de cinco pasos, y merece la pena seguirlos en ese orden aunque parezca que se puede ir más rápido:

Elegir el volumen de control: el trozo de fluido donde cambia el vector velocidad.
Elegir los ejes.
Analizar las fuerzas exteriores: de volumen y de superficie.
Calcular velocidades y caudales a la entrada y a la salida.
Aplicar el teorema por componentes.

\sum\vec{F}_{\text{ext}} = \rho\left(\sum_{\text{salen}} Q_i\vec{v}_i - \sum_{\text{entran}} Q_i\vec{v}_i\right)

Fuerzas sobre un codo

Un codo cambia la dirección del flujo, así que hay que sujetarlo. Con un codo de $90°$ en horizontal, entrada en $+x$ y salida en $+y$ :

\text{eje } x:\quad p_1A_1 + R_x = \rho Q(0 - v_1) \qquad \text{eje } y:\quad -p_2A_2 + R_y = \rho Q(v_2 - 0)

$R_x$ y $R_y$ son lo que el codo hace sobre el fluido; la fuerza sobre el codo es la opuesta, y es la que hay que aguantar con anclajes.

Y el término que domina es el de presión. En un codo de $200\ \text{mm}$ con $80\ \text{l/s}$ a $3\ \text{bar}$ : la presión aporta $9{,}4\ \text{kN}$ por rama y la cantidad de movimiento, $0{,}2$ . Por eso los codos de las conducciones llevan macizos de hormigón y no tornillos.

Teoría general de los álabes

Un álabe es una superficie curva que desvía un chorro. Al cambiar la cantidad de movimiento del chorro, el chorro empuja al álabe.

Cuatro hipótesis, y la primera es la que hace todo lo demás fácil:

Sin rozamiento entre chorro y álabe ( $h_f = 0$ ).
El chorro incide tangencialmente, sin choque.
La diferencia de cotas entre entrada y salida es despreciable.
El chorro está a presión atmosférica en todo el recorrido.

Con eso, Bernoulli entre entrada y salida deja $v_1 = v_2 = v$ : el módulo de la velocidad no cambia, solo su dirección. Ese es el resultado que hay que recordar.

Álabe fijo

Si el chorro se desvía un ángulo $\theta$ respecto de su dirección original:

\boxed{F_x = \rho\,Q\,v\,(1-\cos\theta)} \qquad \boxed{F_y = \rho\,Q\,v\,\sin\theta}

y el módulo de la resultante tiene una forma muy limpia:

|F| = 2\rho\,Q\,v\,\sin\frac{\theta}{2}

Tres casos que conviene tener memorizados como comprobación:

desviación	$F_x$	comentario
$\theta = 0°$	$0$	no desvía, no hay fuerza
$\theta = 90°$	$\rho Q v$	el caso del codo
$\theta = 180°$	$2\rho Q v$	el doble: la cuchara de una Pelton

Los tres álabes reciben el mismo chorro. El primero no lo desvía y no recibe nada; el segundo lo gira 90° y recibe una fuerza; el tercero lo devuelve por donde vino y recibe el doble. La razón es de contabilidad vectorial: la cantidad de movimiento del chorro cambia de signo, así que la variación vale dos veces su valor inicial.

Con 180° la fuerza es el doble, no la misma

Es el resultado que más sorprende y el que más cae. Al devolver el chorro por donde vino, su cantidad de movimiento pasa de $+\rho Q v$ a $-\rho Q v$ : la variación es $2\rho Q v$ , no $\rho Q v$ .

Por eso las cucharas de una turbina Pelton son dobles y muy curvadas: para acercarse todo lo posible a los 180° y sacar el doble de fuerza del mismo chorro.

El aviso de notación: las diapositivas escriben la misma fórmula con el ángulo medido desde otro eje, y allí es $F_x = \rho Q v(\cos\alpha+1)$ con $\alpha = 180° - \theta$ . Las dos dicen lo mismo; lo que hay que fijar antes de sustituir es respecto de qué se mide el ángulo del dibujo.

Álabe móvil

Si el álabe se mueve con velocidad $u$ en la dirección del chorro, lo que empuja es la velocidad relativa $v-u$ :

F_x = \rho\,Q'\,(v-u)(1-\cos\theta) \qquad\qquad \text{Pot} = F_x\cdot u

Y aquí hay que distinguir dos casos, porque el caudal que aprovecha el álabe no es el mismo:

Un álabe suelto se escapa del chorro, así que solo intercepta $Q' = A(v-u)$ . La potencia lleva entonces un factor $(v-u)^{2}u$ , y su máximo está en $\boxed{u = v/3}$ .
Una rueda de álabes —una turbina— tiene siempre una cuchara en el chorro, así que aprovecha todo el caudal, $Q' = Av$ . La potencia va con $(v-u)u$ y el máximo está en $\boxed{u = v/2}$ .

El segundo es el criterio de diseño de las Pelton del tema 23: la rueda gira a la mitad de la velocidad del chorro. Y con $\theta = 180°$ y $u = v/2$ el rendimiento teórico llega al 100 %, porque el agua sale de la cuchara con velocidad absoluta nula: ha entregado toda su energía cinética.

Confundir los dos casos es un error clásico, y se detecta comprobando si el enunciado habla de un álabe o de una rueda.

Y el resto de aplicaciones del temario

El programa cierra con hélices propulsoras e hipótesis de Rankine, propulsión a chorro, mecánica del cohete, ensanchamiento brusco y aspersores. Todos son el mismo teorema con otro volumen de control:

Ensanchamiento brusco: aplicando cantidad de movimiento y Bernoulli a la vez sale la pérdida de carga $h_f = (v_1-v_2)^{2}/2g$ —la fórmula de Borda-Carnot—, que es la única pérdida localizada que se puede deducir en vez de tabular. Vuelve en el tema 19. El paso que decide la deducción es uno solo, y es el que se falla: la presión que actúa sobre la corona del ensanchamiento es $p_1$ , no $p_2$ , porque el fluido de esa zona muerta está a la presión de aguas arriba.
Propulsión: el empuje es $\dot m\,\Delta v$ , la misma ecuación mirada desde el vehículo.

Practica lo que acabas de leer

La fuerza sobre un álabe, y por qué 180 grados da el doble

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

La fuerza sobre un álabe, y por qué 180 grados da el doble

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un chorro de agua de $30\ \text{l/s}$ y $20\ \text{m/s}$ incide tangencialmente sobre un álabe fijo que lo desvía un ángulo $\theta$ respecto de su dirección original.

a) Calcular la fuerza sobre el álabe si $\theta = 90°$ .

b) Calcular la fuerza si $\theta = 180°$ .

Despreciar el rozamiento; $\rho = 1000\ \text{kg/m}^{3}$ .

Las componentes de la fuerza en los dos casos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sin rozamiento y a presión atmosférica, ¿qué le pasa al módulo de la velocidad al atravesar el álabe?
02
La fuerza con noventa grados
COMP2
Con $\theta = 90°$ , ¿cuánto vale la componente $F_x$ ?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza con ciento ochenta grados
COMP2
Y si el álabe devuelve el chorro por donde vino, ¿cuánto vale $F_x$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli con las cuatro hipótesis del álabe deja $v_1 = v_2 = v$ .
2. TCM en $x$ : $F_x = \rho Q(v - v\cos\theta) = \rho Qv(1-\cos\theta)$ .
3. Con $\theta = 90°$ : $F_x = F_y = 600\ \text{N}$ , resultante $848{,}5\ \text{N}$ .
4. Con $\theta = 180°$ : $F_x = 1200\ \text{N}$ y $F_y = 0$ .
5. En general, el módulo vale $2\rho Qv\sin(\theta/2)$ , que en $180°$ da el máximo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

El álabe que se mueve, y a qué velocidad conviene que gire

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El mismo chorro del ejercicio anterior ( $v = 20\ \text{m/s}$ , sección $A = 15\ \text{cm}^{2}$ ) incide sobre una rueda de álabes que desvían el chorro $180°$ . La rueda avanza con velocidad $u$ en la dirección del chorro.

a) Escribir la potencia entregada en función de $u$ .

b) ¿Para qué $u$ es máxima, y cuánto vale?

Tomar $\rho = 1000\ \text{kg/m}^{3}$ .

La expresión de la potencia y su máximo.

01
Reconocer el camino
COMP1
En una rueda de álabes, ¿qué caudal aprovecha la máquina?
02
La velocidad óptima
COMP2
¿A qué velocidad debe avanzar la rueda para dar potencia máxima?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia máxima
COMP2
¿Cuánta potencia entrega en ese punto?
Tu respuesta al paso 3una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Lo que empuja es la velocidad relativa $v-u$ , no la absoluta.
2. En una rueda el caudal aprovechado es $Av$ , todo el del chorro.
3. $\text{Pot} = 2\rho Av(v-u)u$ , que es máxima en $u = v/2$ .
4. Con $u = 10\ \text{m/s}$ : $\text{Pot} = 6\ \text{kW}$ .
5. Y ese máximo coincide con la potencia cinética del chorro, $\tfrac12\rho Av^{3} = 6\ \text{kW}$ : rendimiento teórico del 100 %, porque el agua sale con velocidad absoluta nula.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.3 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El chorro contra la placa inclinada, y cómo se reparte

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un orificio en pared delgada de 150 mm de diámetro, situado a una profundidad de 7,5 m sobre la pared de un depósito, descarga un caudal de 180 l/s de agua. El chorro incide sobre una pantalla plana, inclinada 60º con la horizontal. Para mantener dicha pantalla en esa posición hay que aplicar frente al chorro una fuerza de 180 kg en dirección perpendicular a la pantalla.

Suponiendo constante la altura del depósito, calcular:

a) Coeficientes de los orificios $C_c$ , $C_v$ y $C_d$ .

b) Reparto de caudales en la pantalla.

Nota: Suponer nulo el rozamiento en la placa.

El chorro llega horizontal y la placa está a 60° de la horizontal, así que el ángulo entre los dos es también de 60°. La fuerza que sujeta la placa es perpendicular a ella, y por eso solo equilibra la componente normal del chorro.

Los tres coeficientes del orificio y cómo se reparte el caudal en la placa.

01
Reconocer el camino
COMP1
La placa no tiene rozamiento. ¿Qué se sigue de eso para las velocidades de las dos láminas que salen?
02
El coeficiente de gasto
COMP2
Coeficiente de gasto $C_d$ del orificio, de 150 mm y a 7,5 m de profundidad, que descarga 180 l/s.
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad real, que la delata la fuerza
COMP2
Velocidad real del chorro. La fuerza perpendicular que sujeta la placa es de 180 kg y el chorro llega formando 60º con ella.
Tu respuesta al paso 3una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Los otros dos coeficientes
COMP2
Coeficiente de contracción $C_c$ del orificio.
Tu respuesta al paso 4un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El reparto de caudales
COMP2
Caudal de la lámina que sube por la placa, en l/s. En la dirección de la placa no hay fuerza, porque no hay rozamiento.
Tu respuesta al paso 5un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de la placa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La profundidad da la velocidad teórica y con ella el caudal teórico; comparado con el real, sale Cd = 0,84.
2. La fuerza que sujeta la placa es perpendicular a ella, así que equilibra solo la componente normal del chorro y de ahí sale la velocidad real.
3. Sin rozamiento no hay fuerza en la dirección de la placa, y esa ecuación da la diferencia de caudales de las dos láminas.

Resolución completa

La idea: la placa es un aparato de medida. No se conoce la velocidad real del chorro, pero la fuerza que hay que hacer para sujetar la placa la delata, y con ella salen los tres coeficientes.

Lo que se puede calcular sin la fuerza (parte de a).

V_{1t} = \sqrt{2g \cdot 7{,}5} = 12{,}12\ \text{m/s} \qquad Q_{1t} = 214{,}3\ \text{l/s} \qquad C_d = \frac{180}{214{,}3} = 0{,}84

Lo que da la fuerza. La placa no tiene rozamiento, así que solo puede empujar perpendicularmente. En esa dirección, la cantidad de movimiento entrante es $\rho Q V\sin 60°$ y la saliente es nula:

1\,764 = 1\,000 \cdot 0{,}180 \cdot V_1 \cdot \sin 60° \;\Longrightarrow\; V_1 = 11{,}32\ \text{m/s}

C_v = \frac{11{,}32}{12{,}12} = 0{,}933 \qquad C_c = \frac{0{,}84}{0{,}933} = 0{,}90

El reparto (b). En la dirección de la placa no hay ninguna fuerza, y las tres velocidades son iguales porque no hay pérdidas ni desnivel:

0 = Q_2V - Q_3V - Q_1V\cos 60° \;\Longrightarrow\; Q_2 - Q_3 = Q_1\cos 60° = 90\ \text{l/s}

Con $Q_2 + Q_3 = 180$ : 135 l/s hacia arriba y 45 hacia abajo.

Los dos hábitos que este problema instala. El primero: en una placa lisa, el líquido conserva el módulo de su velocidad y solo cambia de dirección; por eso la ecuación tangencial se convierte en un reparto de caudales. El segundo: el reparto es $Q_2/Q_1 = (1+\cos\theta)/2$ , que vale 1/2 cuando el chorro llega perpendicular —y entonces se parte por la mitad— y tiende a 1 cuando el chorro llega casi rasante. Aquí, con 60º, sale tres cuartos contra un cuarto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.4 · Colección de Problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La fuerza sobre un codo de noventa grados

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una tubería de $60\ \text{cm}$ de diámetro que transporta $900\ \text{l/s}$ de un aceite de peso específico relativo $0{,}85$ tiene un codo de $90°$ en un plano horizontal. La pérdida de carga en el codo es de $1{,}10\ \text{mc}$ de aceite y la presión a la entrada es de $3\ \text{kg/cm}^{2}$ . Se pide:

a) Fuerza resultante ejercida por el aceite sobre el codo.

El módulo de la fuerza que el aceite ejerce sobre el codo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El diámetro no cambia y el codo es horizontal. ¿Qué se deduce de la pérdida de carga?
02
La componente en la dirección de entrada
COMP2
¿Cuánto vale la componente de la fuerza en el eje de entrada?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La resultante
COMP2
¿Cuál es el módulo de la fuerza sobre el codo?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con diámetro constante y codo horizontal, la pérdida de carga se ve entera como caída de presión: de 3 a $2{,}91\ \text{kg/cm}^{2}$ .
2. Cada eje lleva su fuerza de presión más su flujo de cantidad de movimiento: $85{,}6$ y $83{,}0\ \text{kN}$ .
3. La resultante es su composición vectorial, $119{,}2$ kN, a unos $44°$ de la dirección de entrada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.5 · Colección de Problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un codo que además estrecha, y las dos componentes de su anclaje

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un aceite de peso específico relativo $0{,}75$ fluye por un codo convergente en posición horizontal de $120°$ , entre planos que pasan por las secciones extremas. El diámetro aguas abajo es de $600\ \text{mm}$ y la presión de $0{,}8\ \text{kg/cm}^{2}$ . El diámetro aguas arriba es de $750\ \text{mm}$ y el caudal de $100\ \text{m}^{3}/\text{min}$ . Despreciando las pérdidas de energía debidas al codo, se pide:

a) Componentes de la fuerza (paralela y normal a la velocidad de aguas abajo) necesaria para soportar el codo.

Nota: se despreciarán las energías de posición.

Las dos componentes de la fuerza de anclaje del codo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El codo es «de $120°$ entre planos que pasan por las secciones extremas». ¿Cuánto se desvía el flujo?
02
La presión aguas arriba
COMP2
¿Qué presión hay aguas arriba, en metros de columna de aceite?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La componente normal
COMP2
¿Cuánto vale la componente normal a la velocidad de aguas abajo?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La componente paralela
COMP2
¿Y la componente paralela a la velocidad de aguas abajo?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. « $120°$ entre planos» significa que la corriente gira $60°$ : es el suplementario.
2. Al converger, la velocidad sube de 3,77 a 5,89 m/s y la presión de entrada resulta mayor que la de salida.
3. Las componentes son $37{,}0\ \text{kN}$ normal y $8{,}2$ paralela a la velocidad de salida.

Resolución completa

Lo primero es el ángulo. « $120°$ entre planos que pasan por las secciones extremas» significa que la corriente gira $60°$ . Es la misma trampa de notación que en los álabes del tema, y equivocarse aquí arruina todo lo demás.

Después, Bernoulli, porque el codo converge y el enunciado solo da la presión de salida:

\frac{p_1}{\gamma} = 10{,}67 + \frac{5{,}89^{2}-3{,}77^{2}}{19{,}6} = 11{,}71\ \text{mcl}

Y el balance por componentes, con la salida en $+x$ :

	presión	cantidad de mov.	total
paralela	$-19{,}0 + 22{,}2$	$+5{,}0$	$8{,}2\ \text{kN}$
normal	$-32{,}9$	$-4{,}1$	$37{,}0\ \text{kN}$

La componente normal es cuatro veces y media la paralela, y eso es lo que hay que anclar. Un codo no tira hacia delante: tira hacia fuera de la curva, que es donde hay que poner el macizo.

Y fíjate en la fila de la paralela: los dos términos de presión casi se cancelan —19,0 contra 22,2— así que ahí la cantidad de movimiento, que normalmente es despreciable, aporta más de la mitad del resultado. Cuál de los dos términos manda depende de la dirección que se mire.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.6 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La pieza en Y, y sus dos salidas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un caudal de 600 l/s de agua fluye por una tubería de 45 cm de diámetro que se bifurca en dos, de 15 cm y 30 cm de diámetro, como indica la figura adjunta. Se pide:

a) Esfuerzos Fx y Fy a que está sometida la pieza en Y.

La entrada sube vertical y la Y se abre en dos ramas de tamaños muy distintos. Los anchos van a escala: la rama estrecha se lleva el 40 % del caudal con la cuarta parte de la sección.

Las dos componentes de la fuerza que el agua ejerce sobre la pieza en Y.

01
Reconocer el camino
COMP1
Por la rama de 15 cm salen 240 l/s y por la de 30 cm, 360. ¿Qué ocurre con las presiones en las dos salidas?
02
La presión en la rama estrecha
COMP2
Presión manométrica en la salida de la rama 2, la de 15 cm, sin considerar pérdidas.
Tu respuesta al paso 2una presión con su unidad (kPa, Pa o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La componente horizontal
COMP2
Componente horizontal Fx de la fuerza que el agua ejerce sobre la pieza. La rama 2 forma 60° con la horizontal y la 3, 45°.
Tu respuesta al paso 3una fuerza con su unidad (kN o N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La componente vertical
COMP2
Componente vertical Fy de la fuerza sobre la pieza.
Tu respuesta al paso 4una fuerza con su unidad (kN o N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena de dónde viene la fuerza sobre la Y. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por la entrada llegan 17,85 kN hacia arriba: 15,6 de presión sobre los 1590 cm² de la sección de 45 cm y 2,3 de cantidad de movimiento.
2. Por la rama estrecha salen 3,49 kN, casi todo cantidad de movimiento, porque su presión ha caído a 12,9 kPa.
3. Por la rama ancha salen 8,35 kN, y ahí es al revés: 6,5 son de presión y 1,8 de cantidad de movimiento.
4. Restando cada salida en su dirección quedan 4,16 kN hacia la izquierda y 8,93 hacia arriba.

	$pA$	$\dot m V$	total
1 (45 cm)	15 586 N	2264 N	17 850 N
2 (15 cm)	228 N	3260 N	3487 N
3 (30 cm)	6513 N	1834 N	8347 N

Resolución completa

Dos salidas que no se parecen en nada

La Y reparte 600 l/s en 240 y 360, pero las secciones son de 15 y 30 cm: un factor de cuatro en área. El resultado es que la rama pequeña, con menos caudal, va casi al triple de velocidad.

	D	Q	V	p
1	45 cm	600 l/s	3,77 m/s	98,0 kPa
2	15 cm	240 l/s	13,58 m/s	12,9 kPa
3	30 cm	360 l/s	5,09 m/s	92,1 kPa

Las presiones de salida salen de Bernoulli, y la de la rama estrecha queda en nada: casi toda la presión de entrada se ha convertido en velocidad.

El balance, sección a sección

En cada boca lo que empuja es $pA + \dot m V$ , y esos dos términos se reparten de forma muy distinta según la rama:

	$pA$	$\dot m V$
1	15 586 N	2264 N
2	228 N	3260 N
3	6513 N	1834 N

En la rama estrecha manda la cantidad de movimiento; en la ancha, la presión. Y contra la intuición, la rama estrecha empuja más que la ancha en cantidad de movimiento, aunque lleve menos caudal: 3260 N contra 1834.

El resultado

Con la entrada vertical, la rama 2 a 60° de la horizontal y la 3 a 45°:

F_x = -4{,}16\ \text{kN} \qquad F_y = +8{,}93\ \text{kN}

o sea 4,16 kN hacia la izquierda y 8,93 hacia arriba, 9,85 kN en total.

El error que no se ve

Los 60° están medidos desde la horizontal. Tomarlos desde la vertical da 2,88 y 10,20 kN: números perfectamente plausibles, del mismo orden, que nadie detectaría revisando. Cuando un enunciado da un ángulo con una figura, merece la pena escribir explícitamente respecto de qué se ha medido antes de sustituir; es la clase de error que solo aparece al comparar con la solución.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.8 · Colección de Problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La pieza en Y, y las diecisiete toneladas que hay que anclar

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene una pieza en Y en posición vertical, por la que circula agua. Sus tres ramas están en el mismo plano vertical:

1, por la que entra el agua, con su eje a $30°$ sobre la horizontal y viniendo de arriba a la derecha: $Q_1 = 250\ \text{l/s}$ , $D_1 = 300\ \text{mm}$ , $P_1 = 3{,}5\ \text{kg/cm}^{2}$ .
2, vertical y hacia abajo: $Q_2 = 150\ \text{l/s}$ , $D_2 = 250\ \text{mm}$ .
3, con su eje a $60°$ sobre la horizontal y saliendo hacia arriba a la izquierda: $D_3 = 200\ \text{mm}$ .

Se pide:

a) Esfuerzos en dirección vertical y horizontal a que está sometida.

b) Resultante de la fuerza en módulo, dirección y sentido.

Nota: despréciense la gravedad, las pérdidas de carga y las energías de posición.

Las dos componentes del esfuerzo sobre la pieza y su resultante.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de plantear el teorema de la cantidad de movimiento, ¿qué hay que tener y de dónde sale?
02
El caudal de la tercera rama
COMP2
¿Qué caudal sale por la rama 3?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

El esfuerzo horizontal

COMP2

¿Cuánto vale la componente horizontal de la fuerza sobre la pieza?

Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

Desarrollo

Velocidades: $v_1 = 3{,}537$ , $v_2 = 3{,}056$ , $v_3 = 3{,}183$ m/s. Con Bernoulli desde 1 (sin cota ni pérdidas): $p_2 = 344{,}6$ kPa y $p_3 = 344{,}2$ kPa frente a los $343$ kPa de la rama 1.

	$p_iA_i$ (N)	dirección	$x$
1 (entra)	24.245	$(-\cos30, -\sin30)$	$-20.997$
2 (sale)	16.916	$(0,+1)$	$0$
3 (sale)	10.813	$(+\cos60, -\sin60)$	$+5.407$

\sum (pA)_x = -15{,}59\ \text{kN} \qquad \Delta(\rho Q v)_x = +0{,}61\ \text{kN}

F_x = 0{,}61 + 15{,}59 = 16{,}2\ \text{kN}

04
El esfuerzo vertical
COMP2
¿Y la componente vertical?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La resultante
COMP2
¿Cuál es el módulo de la fuerza total sobre la pieza?
Tu respuesta al paso 5una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por continuidad, $Q_3 = 250 - 150 = 100$ l/s, y con las secciones salen $v_1 = 3{,}54$ , $v_2 = 3{,}06$ y $v_3 = 3{,}18$ m/s.
2. Bernoulli desde la rama 1 da $p_2 = 344{,}6$ y $p_3 = 344{,}2$ kPa: apenas kilopascal y medio por encima de la entrada, porque las velocidades son parecidas.
3. Sumando presiones y cantidad de movimiento salen 16,2 kN horizontales y 4,83 verticales, es decir 16,9 kN a 16,6° de la horizontal.

	$p_iA_i$ (N)	$y$
1 (entra)	24.245	$-12.123$
2 (sale)	16.916	$+16.916$
3 (sale)	10.813	$-9.364$

Resolución completa

Por qué hace falta Bernoulli antes del teorema. El balance de cantidad de movimiento pide todas las fuerzas que actúan sobre el volumen de control, y en las tres bocas hay una fuerza de presión. Solo se da la de la rama 1, así que las otras dos hay que calcularlas. Sin pérdidas y sin cotas,

p_i = p_1 + \frac{\rho}{2}\left(v_1^{2} - v_i^{2}\right)

y salen $344{,}6$ y $344{,}2$ kPa frente a $343$ : la presión apenas cambia, porque las tres velocidades andan por 3 m/s. Pero eso no significa que las fuerzas sean parecidas: cada una se multiplica por su sección, y las secciones sí son muy distintas.

rama	$D$	$A$	$v$	$p$	$pA$
1	300 mm	0,0707 m²	3,54 m/s	343,0 kPa	24,25 kN
2	250 mm	0,0491 m²	3,06 m/s	344,6 kPa	16,92 kN
3	200 mm	0,0314 m²	3,18 m/s	344,2 kPa	10,81 kN

El balance. Con $x$ hacia la derecha e $y$ hacia arriba, cada boca aporta su $pA$ dirigida hacia dentro de la pieza, y el flujo de cantidad de movimiento aporta $\rho Q v$ saliente menos entrante:

F_x = 16{,}2\ \text{kN} \qquad F_y = 4{,}83\ \text{kN} \qquad |F| = 16{,}9\ \text{kN}\ \text{a}\ 16{,}6°

Lo que hay que ver en el reparto. De los 16,2 kN horizontales, 15,59 los ponen las presiones y 0,61 la cantidad de movimiento: el 96 % es presión. Y de los 4,83 verticales, 4,57 y 0,26. Es la situación normal en una conducción a presión, y explica por qué los anclajes de las piezas especiales se dimensionan por la presión de prueba y no por el caudal.

Al revés ocurre en un chorro libre —el álabe de una Pelton, la placa del ejercicio 4.10—, donde la presión es la atmosférica en todas las caras, se cancela, y todo el esfuerzo lo pone la cantidad de movimiento. Los dos casos límite del mismo teorema.

Y el orden de magnitud. Diecisiete kilonewtons son casi dos toneladas empujando una pieza que cabe en un armario. Una Y de fundición sin anclar se sale de la tubería: por eso las derivaciones llevan macizos de hormigón, y por eso este cálculo es de proyecto y no de examen solamente.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.9 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La caja negra de cuatro tuberías

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene la caja negra de la figura. Por todas las tuberías circula agua y todas las tuberías están en el mismo plano. Se pide:

a) Componentes $R_x$ y $R_y$ de la fuerza que se requiere para mantener la caja en equilibrio.

Los ángulos del 2 y el 4 se miden desde los bordes verticales de la caja y el del 3 desde el borde inferior. Leerlos mal es el fallo caro del problema: cambia el signo de una componente.

Las dos componentes de la fuerza que mantiene la caja en equilibrio.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se dan cuatro caudales pero no se dice cuáles entran y cuáles salen. ¿Cómo se averigua?
02
La sección de la tubería de entrada
COMP2
Sección de la tubería 1, en cm², a partir de su caudal y su velocidad.
Tu respuesta al paso 2un área con su unidad (cm² o m²) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La componente horizontal
COMP2
Componente $R_x$ de la fuerza necesaria para mantener la caja en equilibrio, en newtons. Tómese la caja sin pérdidas, de modo que la carga de Bernoulli se conserva entre las cuatro secciones.
Tu respuesta al paso 3una fuerza con su unidad (N), con signo — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La componente vertical
COMP2
Componente $R_y$ , en newtons.
Tu respuesta al paso 4una fuerza con su unidad (N), con signo — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el planteamiento de la caja. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La continuidad decide qué entra y qué sale antes de escribir ninguna ecuación: 21 + 33 contra 24 + 30.
2. Las áreas salen de Q/V, y con la carga de Bernoulli común se obtienen las cuatro presiones.
3. Las presiones empujan hacia dentro del volumen de control por cada sección, y sus proyecciones dominan el resultado.

Resolución completa

Lo primero, y sin escribir una ecuación: quién entra y quién sale. Los cuatro caudales solo admiten una partición que cumpla la continuidad:

21 + 33 = 54 = 24 + 30

Entran la 1 y la 3; salen la 2 y la 4. Las otras dos combinaciones dan 45 contra 63 y 51 contra 57.

Después, los ángulos, que es donde está el fallo caro. El de la tubería 2 y el de la 4 se miden desde los bordes verticales de la caja; el de la 3, desde el borde inferior. Así que las direcciones salientes son:

tubería	dirección	velocidad
1	$(0,-1)$ , entrando	4,5
2	$(\sin 60°, \cos 60°) = (0{,}866,\ 0{,}5)$	3,6
3	$(0{,}5,\ -0{,}866)$ , entrando	3
4	$(-0{,}707,\ -0{,}707)$	1,8

Las presiones. Con las secciones $A = Q/V$ —46,67; 66,67; 110 y 166,67 cm²— y la carga común $B = 16{,}033$ mca, las presiones son 147 000, 150 645, 152 625 y 155 505 Pa. Cada una empuja hacia dentro del volumen de control, y sus proyecciones suman $(123{,}5;\ 2\,098)$ N.

El balance. Los términos de cantidad de movimiento suman $(86{,}2;\ 13{,}8)$ N, así que

R_x = 86{,}2 - 123{,}5 = -37{,}4\ \text{N} \qquad R_y = 13{,}8 - 2\,098 = -2\,085\ \text{N}

Lo que domina, y no es lo que uno espera. En el eje y, la cantidad de movimiento aporta 14 N y las presiones 2 098: el 99,3 %. Un problema que se titula «de cantidad de movimiento» está decidido casi por completo por las presiones, porque las velocidades son pequeñas —entre 1,8 y 4,5 m/s— y las presiones grandes, 15 metros de columna. La cantidad de movimiento solo manda cuando el fluido va rápido; en una conducción normal, mandan las presiones.

Dos avisos. El primero: el enunciado no dice que la caja no tenga pérdidas, pero sin esa suposición no hay forma de conocer las presiones de las secciones 2, 3 y 4, y el problema no cierra. Es una hipótesis obligada, y conviene escribirla. El segundo: el boletín publica $-37{,}3$ y $-2\,048{,}3$ N. La primera coincide; la segunda difiere un 1,8 %, que no hemos sabido reproducir con ninguna variante razonable del planteamiento y que atribuimos a un redondeo de las presiones intermedias.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.10 · Colección de Problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un chorro contra una placa inclinada, y cómo se reparte el agua

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un chorro de agua de $50\ \text{mm}$ de diámetro incide sobre una placa cuadrada, la cual forma $30°$ con la dirección del chorro. La velocidad del agua en el chorro es de $18\ \text{m/s}$ e incide en la placa en su centro de gravedad. Despreciando el rozamiento y el peso de la placa, se pide:

a) Fuerza $P$ que hay que aplicar en el extremo para mantener la placa en equilibrio.

b) Reparto de caudales.

(La placa está articulada en uno de sus extremos y la fuerza $P$ se aplica en el opuesto; el chorro incide en el punto medio.)

La fuerza en el extremo y los dos caudales que salen de la placa.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sin rozamiento, ¿en qué dirección es la fuerza sobre la placa?
02
La fuerza en el extremo
COMP2
¿Qué fuerza $P$ hay que aplicar?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal mayor
COMP2
¿Qué caudal se va por la rama grande?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sin rozamiento la fuerza es normal a la placa, y vale $\rho Q v\sin 30° = 318$ N.
2. Como el chorro incide en el centro y $P$ se aplica en el extremo, basta la mitad: 159 N.
3. El reparto sale de conservar la cantidad de movimiento paralela a la placa: 32,98 y 2,37 l/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.11 · Colección de Problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El ensanchamiento brusco, deducido, y con aire dentro

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por un conducto de $60\ \text{cm}$ de diámetro circula aire a una presión absoluta $p = 0{,}7\ \text{kg/cm}^{2}$ , $T = 5\ °\text{C}$ y $v = 60\ \text{m/s}$ . El conducto sufre un ensanchamiento brusco pasando a tener $75\ \text{cm}$ de diámetro. Considerando el gas como incompresible, se pide:

a) Pérdidas en el ensanchamiento brusco.

b) Diferencia de presiones en el ensanchamiento.

La pérdida de carga y la diferencia de presiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la pérdida de un ensanchamiento brusco se puede deducir y la de un codo no?
02
La pérdida de carga
COMP2
¿Cuánto vale la pérdida en el ensanchamiento?
Tu respuesta al paso 2una longitud, en metros de columna de aire — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La diferencia de presiones
COMP2
¿Cuánto sube la presión, en centímetros de columna de agua?
Tu respuesta al paso 3un número en centímetros de columna de agua — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La continuidad da $v_2 = 38{,}4$ m/s, y la pérdida del ensanchamiento es $(v_1-v_2)^{2}/2g = 23{,}8$ m de aire.
2. Bernoulli con esa pérdida deja $84{,}6$ m de columna de aire de recuperación de presión.
3. Con la densidad del aire en esas condiciones, eso son solo $7{,}3$ cm de columna de agua.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.12 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La turbina que delata un deflector

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Desde un gran depósito, el agua fluye por un tubo y una turbina y al salir de ésta incide sobre una lámina deflectora de 90º como se muestra en la figura. Si el chorro ejerce un empuje horizontal de 891,8 N sobre el deflector; se pide:

a) Potencia desarrollada por la turbina.

El deflector gira el chorro noventa grados, así que el empuje horizontal que recibe es exactamente lo que costaba pararlo. Ese dato, medido, es lo único que permite conocer el caudal.

La potencia desarrollada por la turbina.

01
Reconocer el camino
COMP1
No se conoce ni el caudal ni la velocidad. ¿Cómo los da el empuje medido sobre el deflector?
02
La velocidad del chorro
COMP2
Velocidad del chorro que sale de la turbina, en una tubería de 15,3 cm, si empuja el deflector con 891,8 N.
Tu respuesta al paso 2una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia
COMP2
Potencia desarrollada por la turbina, con el depósito a 30 m.
Tu respuesta al paso 3una potencia con su unidad (W o kW) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El deflector de 90º convierte una medida de fuerza en una medida de caudal, porque F = ρAV² con una sola incógnita.
2. La velocidad del chorro, 6,96 m/s, dice cuánta energía se lleva el agua al salir: 2,47 m de los 30 disponibles.
3. Lo que queda, 27,53 m, es lo que la turbina ha extraído, y multiplicado por γQ da la potencia.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.14 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El disco que flota sobre un chorro

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El disco mostrado en la figura se mantiene estable mediante un alambre y tiene libertad para moverse verticalmente cuando incide un chorro de agua en la cara inferior. El disco pesa 30 N, la velocidad y diámetro iniciales del chorro son 10 m/s y 30 mm respectivamente. Se pide:

a) Altura $h$ hasta la cual se elevará y permanecerá en equilibrio el disco.

Nota: la influencia que pudiera tener el alambre no se tendrá en cuenta en los cálculos.

El chorro va frenando al subir, así que el disco encuentra su sitio donde el empuje que recibe iguala exactamente a su peso. Más arriba empujaría menos y caería; más abajo, más y subiría.

La altura de equilibrio del disco.

01
Reconocer el camino
COMP1
El disco sube hasta que se queda quieto. ¿Qué cambia con la altura y qué no?
02
El caudal del chorro
COMP2
Caudal que lanza la boquilla, de 30 mm y 10 m/s.
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad con la que llega al disco
COMP2
Velocidad del chorro justo debajo del disco, para que su empuje equilibre los 30 N de peso.
Tu respuesta al paso 3una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La altura de equilibrio
COMP2
Altura $h$ a la que se queda el disco.
Tu respuesta al paso 4una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del disco. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El caudal es el mismo a cualquier altura; lo que cambia es la velocidad, que se frena al subir.
2. En el disco el chorro se desvía a los lados, así que pierde todo su momento vertical y el empuje vale ρQV.
3. Igualando ese empuje al peso sale la velocidad de llegada, y de la caída libre, la altura.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.15 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La placa agujereada, y la parte del chorro que la atraviesa

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La placa circular de la figura tiene un diámetro de 50 cm, disponiendo en su centro un orificio de 5 cm de diámetro. Un chorro incide en la placa normalmente a ella y en su centro, alcanzándola con una velocidad de 30 m/s. Se pide:

a) Caudal que atraviesa el orificio.

b) Espesor de la lámina de agua en el extremo exterior de la placa.

c) Fuerza que el chorro efectúa sobre la placa.

Datos: coeficientes del orificio: $C_v$ = 0,97; $C_c$ = 0,8.

Nota: se supondrá que la placa carece de rozamiento.

El chorro se parte en dos caminos: lo que cabe por el orificio sigue recto, y el resto se abre en una lámina que resbala hasta el borde. Los dos se llevan cantidad de movimiento, y por eso la placa recibe menos de lo que recibiría entera.

El caudal del orificio, el espesor de la lámina en el borde y la fuerza sobre la placa.

01
Reconocer el camino
COMP1
El chorro que llega tiene 100 mm y el orificio 5 cm. ¿Qué parte del caudal lo atraviesa?
02
Lo que atraviesa el orificio
COMP2
Caudal que pasa por el orificio de 5 cm, con $C_v$ = 0,97 y $C_c$ = 0,8.
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El espesor en el borde
COMP2
Espesor de la lámina de agua en el extremo exterior de la placa, de 50 cm de diámetro, en milímetros. El chorro que llega es de 100 mm.
Tu respuesta al paso 3un espesor con su unidad (mm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza sobre la placa
COMP2
Fuerza que el chorro ejerce sobre la placa, en newtons. La lámina sale paralela a la placa y el orificio deja escapar su chorro con $C_v$ veces la velocidad de llegada.
Tu respuesta al paso 4una fuerza con su unidad (N o kN) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el balance de la placa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El orificio se comporta como cualquier otro: deja pasar Cc·Cv·A·V, un 78 % de lo que daría su área desnuda.
2. Lo que no pasa se abre en lámina y sale por la circunferencia del borde, y de ahí sale su espesor.
3. La lámina sale perpendicular al chorro, así que no aporta cantidad de movimiento en la dirección de éste.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.17 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La tobera doble, y los pernos que la sujetan

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la figura adjunta se muestra una tobera doble que proporciona un caudal conjunto de 0,5 m³/s, siendo los diámetros respectivos de 30, 12 y 10 cm. Se pide:

a) Fuerza de tracción producida en el conjunto de los pernos de unión entre la tobera y la tubería a la que se encuentra unida.

b) Esfuerzo cortante en el conjunto de dichos pernos.

La tubería sube inclinada treinta grados respecto de la vertical y se abre en dos toberas: una hacia la izquierda y otra hacia arriba. Los pernos de la brida trabajan a tracción a lo largo del eje y a cortante en perpendicular.

La tracción y el cortante que soportan los pernos de la brida.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos toberas descargan a la atmósfera y están prácticamente a la misma cota. ¿Cómo se reparte entre ellas el caudal?
02
La velocidad de los chorros
COMP2
Velocidad de salida de los dos chorros, con 0,5 m³/s repartidos entre las toberas de 12 y 10 cm.
Tu respuesta al paso 2una velocidad con su unidad (m/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La presión antes de la tobera
COMP2
Presión manométrica en la sección A, justo antes de la brida.
Tu respuesta al paso 3una presión con su unidad (kPa, bar o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La tracción en los pernos
COMP2
Fuerza de tracción en el conjunto de los pernos, es decir la componente de la fuerza en la dirección del eje de la tubería.
Tu respuesta al paso 4una fuerza con su unidad (kN o N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El cortante en los pernos
COMP2
Esfuerzo cortante en el conjunto de los pernos, es decir la componente perpendicular al eje.
Tu respuesta al paso 5una fuerza con su unidad (kN o N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena de dónde sale la fuerza sobre los pernos. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por la sección A entra el agua empujando con la presión, $p_AA_1 = 22{,}3$ kN, más su cantidad de movimiento, 3,5 kN: 25,8 kN en la dirección del eje.
2. Por las toberas sale cantidad de movimiento: 7,7 kN hacia la izquierda y 5,3 kN hacia arriba, que se restan de lo anterior.
3. La suma vectorial da 26,7 kN, que la brida tiene que sujetar.
4. Proyectada sobre el eje son 25,05 kN de tracción, y en perpendicular 9,34 kN de cortante.

término	valor
$p_A A_1$	22 291 N
$\dot m V_1$	3537 N
$\dot m_2 V$	7699 N
$\dot m_3 V$	5346 N

Resolución completa

Primero, cómo se reparte el caudal

Las dos toberas descargan a la atmósfera, a la misma cota y desde el mismo interior. Sin pérdidas, Bernoulli les da la misma altura cinética, así que salen con la misma velocidad y el reparto lo hacen las áreas:

V = \frac{Q}{A_2 + A_3} = \frac{0{,}5}{0{,}019164} = 26{,}09\ \text{m/s}

Q_2 = 295{,}1\ \text{l/s} \qquad Q_3 = 204{,}9\ \text{l/s}

Es un reparto de 59 a 41, no de 55 a 45: las áreas van con el cuadrado del diámetro.

La presión que hay que vencer

\frac{p_A}{\gamma} = \frac{26{,}09^{2} - 7{,}07^{2}}{19{,}6} = 32{,}18\ \text{m} \;\Longrightarrow\; p_A = 315{,}4\ \text{kPa}

Tres atmósferas largas, y toda esa presión empuja sobre la sección de 30 cm: 22,3 kN solo de presión, antes de contar ninguna cantidad de movimiento.

El balance, con cuidado con los signos

Sobre el conjunto tobera + agua actúan la presión de entrada y los flujos de cantidad de movimiento. Con el eje a 30° de la vertical:

	módulo	dirección
$p_AA_1 + \dot mV_1$	25 828 N	eje, (0,5; 0,866)
$\dot m_2V$	7699 N	sale a la izquierda
$\dot m_3V$	5346 N	sale hacia arriba

\vec F = (20\,613;\ 17\,021)\ \text{N} \qquad |\vec F| = 26{,}73\ \text{kN}

Y por qué se pide separada

Un perno no trabaja igual a tracción que a cortante: el acero aguanta mucho más lo primero que lo segundo, y por eso el enunciado pide las dos componentes por separado en vez del módulo.

T = 25{,}05\ \text{kN} \qquad C = 9{,}34\ \text{kN}

El 94 % de la fuerza va por el eje —que es lo que se quiere, porque es para lo que sirve una brida— y el 9,34 kN de cortante es el que decide cuántos pernos hacen falta. Si la tobera se hubiera montado con el eje horizontal, la geometría sería otra y el reparto también.

Un aviso sobre el ángulo

Los 30° están medidos desde la vertical. Tomarlos desde la horizontal cambia el seno por el coseno y deja el cortante en 4,43 kN, menos de la mitad. Es el error más caro de este problema, y no se ve al revisar: los dos números salen plausibles.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.18 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La placa que oscila, y el coseno que se cancela

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Tal como se muestra en la figura, un chorro plano de un fluido de densidad $\rho$ y velocidad $V$ , incide sobre una placa plana de dimensiones 1x1 cm², que puede oscilar sobre un eje horizontal 0. Considerando el chorro horizontal y despreciando los rozamientos, se pide:

a) Reparto de caudales salientes de la placa.

b) Posición de equilibrio de la placa, definida por su ángulo $\alpha$ con la vertical.

Nota: explíquese detalladamente el proceso seguido en la resolución.

Datos: área del chorro = 10 cm²; V = 30 m/s; h = 60 cm; L = 90 cm; peso de la placa = 240 kg; densidad del fluido = 1000 kg/m³.

La cota de 60 cm es vertical, no a lo largo de la placa. Por eso, cuanto más se inclina la placa, más lejos del eje la golpea el chorro: el brazo crece justo lo que la fuerza disminuye.

El reparto de caudales y el ángulo de equilibrio.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al inclinarse la placa, la fuerza normal del chorro disminuye ( $\rho QV\cos\alpha$ ) pero su brazo respecto de O aumenta. ¿Cuánto aumenta?
02
La fuerza del chorro
COMP2
Cantidad de movimiento del chorro, $\rho\,Q\,V$ , en newtons. El chorro tiene 10 cm² de sección y va a 30 m/s.
Tu respuesta al paso 2una fuerza con su unidad (N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El ángulo de equilibrio
COMP2
Ángulo $\alpha$ de la placa con la vertical, en grados. Pesa 240 kg y mide 90 cm.
Tu respuesta al paso 3un número, en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El caudal de la lámina que sube
COMP2
Caudal de la lámina que sale hacia arriba de la placa, en l/s, con el ángulo de equilibrio.
Tu respuesta al paso 4un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de la placa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La placa es lisa, así que solo recibe fuerza normal, y el reparto de caudales sale de la ecuación tangencial: Q0(1 ± sen α)/2.
2. El momento del chorro respecto de O es la fuerza normal por su brazo, y el brazo es h/cos α porque la cota está medida en vertical.
3. Al multiplicar fuerza por brazo, el coseno se cancela: el momento del chorro NO depende del ángulo.

Resolución completa

El truco del problema, y es de geometría. La cota $h = 60$ cm está medida en vertical desde el eje, no a lo largo de la placa. Así que cuando la placa se inclina un ángulo $\alpha$ , el punto donde el chorro la golpea se aleja del eje: está a $h/\cos\alpha$ medido sobre la placa.

Y entonces pasa esto. La fuerza normal del chorro vale $\rho QV\cos\alpha$ —disminuye al inclinarse— y su brazo vale $h/\cos\alpha$ —aumenta—. Al multiplicar, el coseno se cancela:

M_{chorro} = \rho\,Q\,V\cos\alpha \cdot \frac{h}{\cos\alpha} = \rho\,Q\,V\,h = 900 \cdot 0{,}60 = 540\ \text{N}\cdot\text{m}

El momento del chorro no depende del ángulo. El del peso sí:

M_{peso} = G\,\frac{L}{2}\sin\alpha = 2\,352 \cdot 0{,}45 \cdot \sin\alpha = 1\,058{,}4\,\sin\alpha

El equilibrio (b).

\sin\alpha = \frac{540}{1\,058{,}4} = 0{,}5102 \;\Longrightarrow\; \alpha = 30{,}68°

El reparto (a). El chorro es horizontal y la placa forma $\alpha$ con la vertical, así que entre los dos hay $90° - \alpha$ y la componente tangencial va con $\sin\alpha$ :

Q_2 = \frac{Q_0(1+\sin\alpha)}{2} = 22{,}65\ \text{l/s} \qquad Q_3 = \frac{Q_0(1-\sin\alpha)}{2} = 7{,}35\ \text{l/s}

El boletín publica las dos expresiones y 30,67º.

Por qué el equilibrio es estable, y por qué no era evidente. Un momento constante contra otro que crece con $\sin\alpha$ se cortan una sola vez; y si la placa se pasa, el peso gana y la devuelve. Pero ojo al límite: como $\sin\alpha \leq 1$ , existe un chorro capaz de tumbar la placa del todo, y es el que cumple $\rho QVh > G L/2$ , aquí 1 058 N·m. Con este caudal harían falta $V = 42$ m/s en vez de 30.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.19 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El grano que pesa más mientras cae

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un granjero desea comprar 675 kg de grano en bruto en la cooperativa local. El grano se coloca en su camioneta mediante una tolva cuyo diámetro de salida es 0,3 m. El operador de la tolva establece el pago observando la masa total de la camioneta, indicada por una balanza, como función del tiempo. El flujo del grano de la tolva ( $\dot m = 40$ kg/s) se suspende cuando la escala de la balanza indica la masa total de 675 kg. Si la $\rho_{grano} = 600$ kg/m³, determinar la carga útil a pagar.

Nota: la balanza se tara cuando el camión está vacío.

El grano cae de la tolva a la caja, y la balanza va marcando. La pregunta es qué está midiendo exactamente mientras el chorro sigue cayendo.

La carga útil que el granjero tiene que pagar, en newtons.

01
Reconocer el camino
COMP1
Mientras el grano está cayendo, ¿qué mide la balanza?
02
La velocidad del chorro
COMP2
Velocidad con la que el grano sale de la tolva, con $\dot m = 40$ kg/s, $\rho = 600$ kg/m³ y una boca de 0,3 m.
Tu respuesta al paso 2una velocidad con su unidad (m/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La carga útil
COMP2
Carga útil que hay que pagar, en newtons, cuando la balanza marca 675 kg. Conviene guardar cuatro cifras.
Tu respuesta al paso 3una fuerza con su unidad (N o kN) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué la balanza engaña. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El chorro llega a la caja con 0,943 m/s y sale de ella en reposo, así que pierde toda su cantidad de movimiento.
2. Esa pérdida por unidad de tiempo es una fuerza, $\dot m\,V = 37{,}7$ N, que el grano ejerce hacia abajo sobre la caja.
3. La balanza tiene que soportar esa fuerza además del peso, así que marca de más mientras el chorro cae.
4. Al parar la tolva en la marca de 675 kg, lo que hay dentro son 671,2 kg: la diferencia es medio por ciento, y a favor del granjero.

Resolución completa

Una balanza no pesa: mide fuerza

El truco de este problema está en distinguir dos cosas que en reposo son la misma y en movimiento no. Una balanza no mide masa ni peso: mide la fuerza vertical que recibe. Cuando encima solo hay algo quieto, esa fuerza es el peso y no hay diferencia. Cuando encima hay un chorro que está frenándose, hay algo más.

La fuerza del chorro

El grano sale de la tolva a

V = \frac{\dot m}{\rho A} = \frac{40}{600\cdot\pi\,0{,}3^{2}/4} = 0{,}943\ \text{m/s}

y llega a la caja con esa velocidad —el enunciado no da altura de caída, así que no se considera—. Dentro se detiene. Tomando como volumen de control todo lo que se apoya en la balanza, la cantidad de movimiento que entra por unidad de tiempo es $\dot m V$ y la que sale es cero, de modo que

F_{balanza} = W + \dot m\,V = W + 40\cdot 0{,}943 = W + 37{,}7\ \text{N}

El pago

La balanza marca 675 kg, es decir 6615 N. De esos, 37,7 no son grano:

W = 6615 - 37{,}7 = 6577\ \text{N}

o sea 671,2 kg de grano. El granjero paga por 675 y se lleva 671,2 — o al revés, según quién mire la báscula—.

Cuánto importa, y de qué depende

El error es del 0,57 %. Sobre 675 kg son 3,8 kg, y a precio de grano en bruto no es una fortuna; sobre una tolva que carga camiones todo el día, sí.

Y conviene ver de qué depende, porque no es evidente. Sustituyendo $V = \dot m/(\rho A)$ :

\dot m\,V = \frac{\dot m^{2}}{\rho\,A}

El error va con el cuadrado del caudal másico y con la inversa del área de la boca. Cargar a la mitad de ritmo lo divide por cuatro; usar una boca del doble de diámetro lo divide por cuatro también. Y no depende en absoluto de la altura desde la que se descargue, mientras el grano no coja velocidad por el camino.

La forma limpia de eliminarlo es más sencilla que todo eso: parar la tolva y leer la báscula después, con todo quieto. Es lo que hace cualquiera que sepa lo que está midiendo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.20 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La placa inclinada, y hacia dónde apunta la fuerza que la sujeta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un chorro de agua incide sobre una placa inclinada 60º con respecto de la horizontal como indica la figura adjunta. Si la velocidad del chorro es de 12 m/s y su sección 0,009 m², calcular la fuerza necesaria (módulo, dirección y sentido) para mantener la placa en reposo en la posición indicada, así como el reparto de caudales. Despreciar el rozamiento en la placa.

La placa no tiene rozamiento, así que solo puede recibir y devolver fuerza en la dirección perpendicular a ella. La que hay que hacer para sujetarla tiene por fuerza esa misma dirección.

El módulo, dirección y sentido de la fuerza, y el reparto de caudales.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide la fuerza con su dirección y sentido. Sin rozamiento, ¿qué dirección puede tener?
02
La fuerza
COMP2
Módulo de la fuerza necesaria para mantener la placa en reposo, en newtons.
Tu respuesta al paso 2una fuerza con su unidad (N o kN) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La lámina grande
COMP2
Caudal de la lámina que sube por la placa, en l/s.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sin rozamiento, la placa solo puede ejercer fuerza perpendicular a sí misma, y las dos láminas salen paralelas a ella con la misma velocidad del chorro.
2. La ecuación en la dirección normal da la fuerza, ρQV·sen 60° = 1 122 N, porque las láminas no aportan nada en esa dirección.
3. La ecuación en la dirección de la placa no tiene ninguna fuerza, así que se convierte en el reparto de caudales: 81 y 27 l/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.21 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El cuenco que tapa un agujero, y hasta cuánta agua aguanta

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un chorro de 150 mm de diámetro incide sobre una placa, tal como se indica en la figura adjunta. La placa cubre el agujero de 125 mm de diámetro. ¿Cuál es la $H$ máxima que se puede mantener sin que haya fuga?

El cuenco no desvía el chorro noventa grados: se lo devuelve hacia atrás. Por eso empuja más que una placa plana, y eso es justo lo que se necesita para tapar el agujero.

La altura máxima de agua que el cuenco puede retener.

01
Reconocer el camino
COMP1
El agua sale del cuenco hacia atrás, formando 30º con la vertical. ¿Qué factor multiplica a $\rho QV$ en la fuerza sobre el cuenco?
02
El chorro que llega
COMP2
Caudal del chorro, de 150 mm, que sale de un depósito con 3 m de carga y $C_d = 1$ .
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza del cuenco
COMP2
Fuerza horizontal con que el chorro empuja el cuenco contra el muro, en newtons.
Tu respuesta al paso 3una fuerza con su unidad (N o kN) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La altura que puede retener
COMP2
Altura $H$ máxima del agua al otro lado del muro, sabiendo que el agujero tiene 125 mm.
Tu respuesta al paso 4una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del cuenco. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los 3 m de carga dan la velocidad del chorro y, con los 150 mm, su caudal: 135,5 l/s.
2. El cuenco devuelve el agua hacia atrás, así que hay que anular lo que llega y dar además lo que sale: el factor es 1 + cos 60° = 1,5.
3. En el límite, esa fuerza iguala a la que el agua de detrás hace sobre el área del agujero, y de ahí sale H.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.22 · Colección de problemas, capítulo 4 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La placa que mide el nivel del depósito

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una placa cuadrada de 12,7 kg de masa, de espesor uniforme y 300 mm de lado, está suspendida de forma que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal, por su extremo superior «0». Un chorro horizontal que sale de un depósito lleno de agua, incide perpendicularmente sobre la placa 200 mm por debajo del extremo superior de la placa, cuando la misma está en posición vertical, desviándola un ángulo de 40º. Sabiendo que el diámetro del orificio es de 30 mm y que los coeficientes de velocidad y contracción son 0,97 y 0,7 respectivamente. Se pide:

a) Altura $H$ que alcanza la lámina de agua sobre el orificio en dichas condiciones, es decir cuando el depósito está lleno, así como la velocidad y el caudal del chorro.

b) Si el depósito se va vaciando, determinar la relación entre la cota $z$ de la lámina de agua sobre el orificio en cada instante y el ángulo de inclinación $\theta$ de la placa sobre la que incide el chorro.

c) Tiempo necesario para que la placa, al ir disminuyendo el ángulo de inclinación al variar el nivel del depósito, alcance $\theta$ = 20º, siendo la sección transversal del depósito 2 m².

d) Los ensayos realizados en el depósito anterior se quieren utilizar para construir un embalse a escala $\lambda$ = 10. Determinar la velocidad y el caudal de salida del agua por los aliviaderos de fondo de la presa (orificios de desagüe de la presa) cuando el embalse se encuentre lleno.

La cota de 200 mm es vertical y fija: el chorro entra siempre a la misma altura. Lo que cambia al inclinarse la placa es el punto de ella que está a esa altura, y por tanto el brazo.

La altura, velocidad y caudal iniciales; la ley z(θ); el tiempo hasta 20º; y la velocidad y caudal del embalse a escala 10.

01
Reconocer el camino
COMP1
El momento del chorro respecto del eje O es $\rho QV\cos\theta \cdot \dfrac{h}{\cos\theta}$ . ¿Qué se sigue de que el coseno se cancele?
02
La cantidad de movimiento del chorro
COMP2
Valor de $\rho\,Q\,V$ del chorro, en newtons, con la placa a 40º.
Tu respuesta al paso 2una fuerza con su unidad (N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad y la altura
COMP2
Altura $H$ de la lámina sobre el orificio, en metros.
Tu respuesta al paso 3una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La ley que relaciona nivel y ángulo
COMP2
La relación es $z = k\,\sin\theta$ . ¿Cuánto vale $k$ , en metros?
Tu respuesta al paso 4un número, en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El tiempo hasta los 20 grados
COMP2
Tiempo que tarda la placa en pasar de 40º a 20º, en segundos, con un depósito de 2 m² de sección.
Tu respuesta al paso 5un tiempo con su unidad (s o min) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
El embalse a escala 10
COMP2
Caudal de salida por los aliviaderos de fondo del embalse, en m³/s, con $\lambda = 10$ y el embalse lleno.
Tu respuesta al paso 6un caudal con su unidad (m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el recorrido del problema. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El momento del chorro no depende del ángulo, porque el coseno de la fuerza se cancela con el del brazo; el del peso sí, y crece como sen θ.
2. Igualarlos convierte a la placa en un indicador de nivel: z = 10,23·sen θ, una relación que no depende del tiempo.
3. El vaciado se integra con Torricelli, y la placa pasa de 40º a 20º en 21 minutos y tres cuartos.

Resolución completa

Lo que hace este problema distinto: la placa es un instrumento. Como el momento del chorro no depende del ángulo —el coseno de la fuerza se cancela con el del brazo, igual que en el 4.18— igualarlo al del peso da una relación directa entre el nivel del depósito y la inclinación de la placa. La placa mide el nivel.

El punto de partida (a). Con $\theta = 40°$ :

\rho\,Q\,V = \frac{W\,(L/2)\sin 40°}{h} = \frac{124{,}46 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}643}{0{,}2} = 60{,}0\ \text{N}

V = \sqrt{\frac{60{,}0}{\rho\,C_cA}} = 11{,}01\ \text{m/s} \qquad Q = 5{,}45\ \text{l/s} \qquad H = \frac{(V/C_v)^{2}}{2g} = 6{,}58\ \text{m}

La ley del instrumento (b). Sustituyendo $V = C_v\sqrt{2gz}$ queda la $z$ a la primera potencia:

z = \frac{W\,L/2}{2g\,\rho\,C_cA\,C_v^{2}\,h}\,\sin\theta = 10{,}23\,\sin\theta

El vaciado (c). $z$ baja de 6,58 a 3,50 m:

t = \frac{2A_{dep}}{C_cA\,C_v\sqrt{2g}}\left(\sqrt{6{,}58}-\sqrt{3{,}50}\right) = 1\,306\ \text{s} = 21\ \text{min}\ 46\ \text{s}

El salto a la presa (d). Un embalse está gobernado por la gravedad, así que la semejanza es de Froude:

V_p = 11{,}01\sqrt{10} = 34{,}8\ \text{m/s} \qquad Q_p = 5{,}45\cdot 10^{-3}\,10^{5/2} = 1{,}72\ \text{m}^{3}\text{/s}

Los siete resultados coinciden con el boletín.

Por qué el instrumento no es lineal, y qué se saca de eso. La ley es $z \propto \sin\theta$ , no $z \propto \theta$ . Entre 0º y 20º un grado de giro son 18 cm de nivel; entre 70º y 90º, solo 6. La escala se aprieta justo cuando el depósito está lleno, que es donde peor se lee. Es el problema de todo indicador de este tipo, y la razón de que las escalas de los manómetros de émbolo se graben con divisiones desiguales.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Aplicaciones de la cantidad de movimiento

Fuerzas sobre un codo

Teoría general de los álabes

Álabe fijo

Álabe móvil

Y el resto de aplicaciones del temario

Reconocer el camino

La fuerza con noventa grados

La fuerza con ciento ochenta grados

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad óptima

La potencia máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de gasto

La velocidad real, que la delata la fuerza

Los otros dos coeficientes

El reparto de caudales

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente en la dirección de entrada

La resultante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La presión aguas arriba

La componente normal

La componente paralela

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La presión en la rama estrecha

La componente horizontal

La componente vertical

Justificar el argumento

Dos salidas que no se parecen en nada

El balance, sección a sección

El resultado

El error que no se ve

Reconocer el camino

El caudal de la tercera rama

El esfuerzo horizontal

El esfuerzo vertical

La resultante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La sección de la tubería de entrada

La componente horizontal

La componente vertical

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La fuerza en el extremo

El caudal mayor

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pérdida de carga

La diferencia de presiones

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad del chorro

La potencia

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal del chorro

La velocidad con la que llega al disco

La altura de equilibrio

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Lo que atraviesa el orificio

El espesor en el borde

La fuerza sobre la placa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad de los chorros

La presión antes de la tobera

La tracción en los pernos

El cortante en los pernos

Justificar el argumento

Primero, cómo se reparte el caudal

La presión que hay que vencer

El balance, con cuidado con los signos