Mecánica de Fluidos · tema 14
Teorema de la cantidad de movimiento
La segunda ley de Newton escrita para un volumen de control. Una ecuación vectorial que se resuelve por componentes.
este tema trae un simuladorBernoulli dice cómo se reparte la energía; este teorema dice qué fuerza hace falta. Son preguntas distintas y hacen falta las dos: con Bernoulli se calculan presiones y velocidades, y con la cantidad de movimiento, la fuerza que el fluido ejerce sobre un codo, un álabe o una placa.
De Newton al volumen de control
Se parte de y se hacen tres hipótesis: flujo permanente, unidimensional e incompresible. Escribiendo la aceleración como variación de cantidad de movimiento:
Durante , el volumen de control pierde el trozo que sale y gana el que entra; la parte central no cambia porque el flujo es permanente, así que esa parte se cancela y queda solo la diferencia entre lo que sale y lo que entra:
y con densidad constante, en la forma que se usa:
La suma de las fuerzas exteriores sobre el volumen de control es el flujo de cantidad de movimiento que sale menos el que entra. Vale para líquidos y para gases.
Es una ecuación vectorial: los signos los pone el eje, no el sentido físico
El error que más apartados cuesta en este tema no es de física, es de contabilidad.
- Cada velocidad entra con el signo de su proyección sobre el eje. Un chorro que sale hacia aporta , aunque «salga».
- Salidas menos entradas, no «lo que se mueve menos lo que está quieto».
- Y en el primer miembro van todas las fuerzas exteriores: las de presión en las secciones de entrada y salida, el peso si cuenta, y la reacción del sólido.
La forma de no equivocarse es mecánica: dibujar los ejes, escribir una columna por eje, y poner cada término con su signo antes de sustituir ningún número.
Las fuerzas que hay que contar
En el primer miembro entran, por este orden de olvido:
- Las fuerzas de presión sobre las secciones de entrada y salida, , siempre perpendiculares a ellas y hacia dentro del volumen.
- La reacción del sólido sobre el fluido, que es la incógnita habitual. La fuerza sobre el sólido es su opuesta.
- El peso del fluido contenido, si el problema no es horizontal.
La primera es la que se olvida, y suele ser la mayor: en un codo de a , el término de presión vale y el de cantidad de movimiento, . Cuarenta y seis veces más.
Las fuerzas de presión sobre las secciones apuntan siempre hacia dentro del volumen de control, y son las que más se olvidan pese a ser casi siempre las mayores. El segundo miembro es lo que sale menos lo que entra, con el signo de cada proyección.
Coeficiente de corrección
La ecuación se ha escrito con la velocidad media, pero el flujo real tiene un perfil de velocidades. La corrección se hace con un coeficiente que multiplica al término de cantidad de movimiento — análogo al que corrige la energía cinética en Bernoulli.
En régimen turbulento, que es el habitual, vale entre y : se toma 1 salvo que el enunciado diga lo contrario.
Momento cinético
Tomando momentos respecto a un punto en vez de fuerzas, sale el teorema del momento de la cantidad de movimiento:
Es el que se usa en las turbomáquinas del tema 22, donde lo que interesa no es la fuerza sobre un álabe sino el par en el eje.
Practica lo que acabas de leer
La fuerza sobre un codo, y cuál de los dos términos manda
Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».
Hacer el ejercicio →La fuerza sobre un codo, y cuál de los dos términos manda
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Por un codo de situado en un plano horizontal, de de diámetro constante, circulan de agua. El manómetro a la entrada marca , y se desprecian las pérdidas.
a) Calcular la velocidad del agua.
b) Calcular la fuerza que el agua ejerce sobre el codo.
Tomar .
La velocidad y la resultante sobre el codo, con su dirección.
- 01
Reconocer el camino
COMP1¿Qué fuerzas exteriores hay que meter en el primer miembro del TCM?
Bernoulli y el TCM son ecuaciones distintas y las presiones entran en las dos. En el TCM la presión aparece como fuerza sobre las secciones del volumen de control, .
Eso es, y las de presión son las que casi siempre se olvidan —además de ser aquí las que mandan, unas cuarenta y seis veces mayores que el término de cantidad de movimiento—.
El peso es vertical y el codo está en un plano horizontal, así que no tiene componente en los ejes del problema. Si el codo estuviera en vertical, sí habría que contarlo.
- 02
La velocidad
COMP2¿A qué velocidad circula el agua?
una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudHas usado o similar. El área es , y .
Has usado sin dividir entre 4: el área sale cuatro veces mayor y la velocidad, cuatro veces menor.
v = Q/A con A = π·0,2²/4.
Desarrollo
- 03
La resultante sobre el codo
COMP2¿Cuál es el módulo de la fuerza que el agua ejerce sobre el codo?
una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudEsa es una de las dos componentes. La resultante de dos fuerzas iguales y perpendiculares es veces mayor: .
Solo has contado el término de cantidad de movimiento ( en cada eje). Falta el de presión, , que aquí es cuarenta y seis veces mayor.
Cada componente vale p·A + ρ·Q·v, y la resultante es √2 veces una de ellas.
Desarrollo
Dirigida hacia fuera de la esquina, a : es la que tiene que aguantar el macizo de anclaje.
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena la solución. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
El módulo de la velocidad no cambia, pero su dirección sí, y la cantidad de movimiento es un vector: pasar de a es un cambio grande. Además está el término de presión, que aquí es el dominante y existe aunque el fluido ni se moviera.
El razonamiento, en orden
, la misma a la entrada y a la salida porque el diámetro no cambia.
Sin pérdidas y en horizontal, Bernoulli deja .
Eje : ; eje : .
Cada componente de la fuerza sobre el codo vale .
Resultante a , hacia fuera de la esquina.
Resolución completa
Cuál de los dos términos manda, y por qué importa. Aquí la presión aporta y la cantidad de movimiento : cuarenta y seis veces menos. Quien se deje el término no comete un error del 2 %, se equivoca por completo. Y al revés: en un chorro libre, donde , el único término es el de cantidad de movimiento.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
El aspersor, y el par que hay que hacer para que no gire
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Un aspersor de riego tiene dos brazos de de radio, cada uno terminado en una tobera de de diámetro que descarga perpendicular al brazo. El agua entra por el eje con un caudal total de .
a) ¿Qué par hay que aplicar en el eje para mantenerlo quieto?
b) Si se suelta y no hubiera rozamiento, ¿a qué velocidad angular giraría en régimen permanente?
Densidad del agua: .
El par para mantenerlo quieto y la velocidad angular sin rozamiento.
- 01
Reconocer el camino
COMP1¿Por qué aquí no basta con el teorema de la cantidad de movimiento?
Lo es: entra y sale el mismo caudal en todo momento. Lo que cambia no es el régimen, es la pregunta — un par, no una fuerza.
Bernoulli hace falta para otras cosas, pero aquí la velocidad de salida sale de la continuidad —caudal partido por área— y el par, del teorema de momentos. Ninguna de las dos lo necesita.
Eso es. La versión de fuerzas diría que las dos toberas se compensan —salen en sentidos opuestos— y daría fuerza neta cero, que es verdad y no es lo que se pregunta. Al tomar momentos, los dos chorros se suman en vez de cancelarse, porque sus brazos también son opuestos.
- 02
La velocidad de salida
COMP2¿A qué velocidad sale el agua por cada tobera?
una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudHas metido el caudal entero por una tobera. El aspersor tiene dos brazos y el agua se reparte: por cada uno pasa la mitad.
Has repartido el caudal entre dos y además usado el área de las dos toberas juntas: lo has dividido dos veces. Cada tobera ve la mitad del caudal a través de su sección.
Continuidad, con la mitad del caudal y el área de una tobera de 5 mm.
Desarrollo
- 03
El par
COMP2¿Qué par hay que hacer en el eje para que no gire?
un momento, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudHas contado un solo brazo. Los dos empujan en el mismo sentido de giro —sus velocidades son opuestas y sus brazos también—, así que los pares se suman.
Has usado 0,40 m de brazo, que es el diámetro del aspersor. El brazo de cada chorro es su distancia al eje: el radio.
con el caudal total, o el doble de : es lo mismo.
Desarrollo
Siete newton-metro es lo que hay que aguantar con la mano para que un aspersor de riego no se mueva. Y fíjate en de dónde sale: no de la presión, sino del cambio de dirección de la cantidad de movimiento. El agua entra por el eje sin momento —su brazo es cero— y sale con todo el que tiene.
- 04
La velocidad de giro sin rozamiento
COMP2Si se suelta y no hubiera rozamiento, ¿a qué velocidad angular giraría, en rad/s?
un número, en radianes por segundo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Si no gira, el par no es cero y sigue acelerando: justo lo contrario. Sin rozamiento, el aspersor no puede quedarse quieto — lo que tiene que llegar a cero es el momento, no la velocidad.
Has multiplicado por el radio en vez de dividir. Comprueba las unidades: metros por segundo entre metros dan radianes por segundo; metros por segundo por metros, no.
Sin rozamiento, el par tiene que ser cero. ¿Qué velocidad tiene que tener el agua vista desde el suelo para que su momento sea nulo?
Desarrollo
Sin rozamiento el régimen permanente exige par nulo, y el par es nulo cuando el agua sale sin componente tangencial vista desde fuera: la velocidad relativa al brazo y la del brazo se cancelan.
Es decir 1.459 rpm, una barbaridad — y esa es la lección: un aspersor real gira a unas decenas de vueltas por minuto porque el rozamiento se come casi todo el par. El caso sin rozamiento no es un resultado que valga para el jardín; es el que enseña qué está equilibrando el rozamiento.
- 05
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
El momento es cero, no la fuerza. El agua sigue cambiando de dirección al recorrer los brazos y sigue empujándolos; lo que pasa es que sus dos empujes ya no producen giro neto. Confundir «momento nulo» con «fuerza nula» es el mismo error que confundir la primera parte del ejercicio con la segunda: son dos teoremas distintos aplicados al mismo volumen de control.
El razonamiento, en orden
Con el aspersor quieto, los dos chorros salen a 30,56 m/s y cada uno tiene un brazo de 0,20 m respecto del eje.
Sus momentos se suman en vez de cancelarse, porque velocidad y brazo cambian de signo a la vez: el par total es 7,33 N·m.
Si se suelta sin rozamiento, acelera hasta que el agua sale sin componente tangencial absoluta, y entonces el par se anula.
Resolución completa
a) El par con el aspersor quieto.
El caudal se reparte entre los dos brazos, así que por cada tobera pasan l/s:
Y el teorema del momento de la cantidad de movimiento, con el agua entrando por el eje —brazo cero, momento cero— y saliendo perpendicular al brazo:
b) Sin rozamiento. El régimen permanente exige par nulo, y eso pasa cuando la velocidad absoluta del agua a la salida no tiene componente tangencial:
Lo que hay que llevarse. Dos cosas, y la primera es la que hace falta para el tema 22.
- Tomar momentos cambia qué se cancela. Con fuerzas, los dos chorros opuestos dan resultante cero; con momentos, se suman. Por eso una turbomáquina se estudia con este teorema y no con el anterior: lo que interesa de un rodete no es la fuerza sobre un álabe, es el par en el eje.
- El caso sin rozamiento es un límite, no una predicción. Da 1.459 rpm y ningún aspersor gira así. Sirve para saber contra qué está luchando el rozamiento, que es exactamente para lo que se usan estos límites en toda la asignatura.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
La pieza de dos boquillas, y lo que aguanta la brida
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Una pieza especial consta de dos boquillas de diámetro 22 mm, que descargan a la atmósfera cada una un caudal de 9 l/s. Esta pieza está unida en B a una tubería de hierro galvanizado de 125 mm de diámetro. Tanto la tubería principal como la pieza especial se encuentran apoyadas en un plano horizontal. Se pide, despreciando las pérdidas de carga en la pieza especial:
a) Presión en B (Pa).
b) Esfuerzos (Fuerzas , ) que se producen en la unión.
La presión en B y las dos componentes del esfuerzo en la unión.
- 01
Reconocer el camino
COMP1La pieza está apoyada en un plano horizontal y las cotas de las tres secciones son iguales. ¿Qué simplifica eso?
Las velocidades son iguales, sí, pero no por eso: es porque las dos boquillas tienen el mismo diámetro y el mismo caudal. Que estén a la misma cota es lo que quita los términos del Bernoulli.
No se anulan: se anularían si salieran en direcciones opuestas. Aquí una descarga hacia arriba del dibujo y la otra hacia la izquierda, o sea perpendiculares, y cada una carga un eje distinto.
Eso es. El dibujo es una planta, no un alzado: las «alturas» de la figura son distancias horizontales. El peso es perpendicular al plano del problema y no aparece en ni en ; y como , el Bernoulli solo relaciona presión y velocidad.
- 02
La presión en la brida
COMP2Presión manométrica en B, en pascales. Por la tubería de 125 mm entran 18 l/s y cada boquilla de 22 mm descarga 9.
una presión con su unidad (Pa, kPa o mca) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudHas tomado los 22 mm como radio. La boquilla mide 22 mm de diámetro, y como la velocidad va al cuadrado, ese descuido multiplica la presión por dieciséis.
Has restado las velocidades antes de elevarlas al cuadrado. El Bernoulli resta los cuadrados: , no . Aquí se lleva un 12 %.
Has metido en la boquilla los 18 l/s enteros. Como la velocidad va al cuadrado, doblar el caudal cuadruplica la presión.
Bernoulli de B a una boquilla, con la misma cota y presión nula a la salida: .
Desarrollo
- 03
El esfuerzo en el eje del tubo
COMP2Componente del esfuerzo en la unión, en newtons. El eje x es el de la tubería de entrada, y la boquilla 2 descarga en sentido contrario a él.
una fuerza con su unidad (N o kN) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudEsa es solo la fuerza de presión, . Falta el término de cantidad de movimiento: la boquilla 2 escupe hacia atrás y el chorro de entrada frena, y las dos cosas suman otros 240 N.
Has restado el término de cantidad de movimiento en vez de sumarlo. La boquilla 2 sale en , así que su cantidad de movimiento saliente es negativa y aumenta el esfuerzo.
Ese es . En el eje x manda la presión de la brida, que es dieciséis veces mayor.
, con .
Desarrollo
El signo dice que la pieza empuja al fluido hacia ; sobre la brida, la reacción son 3 666 N hacia .
- 04
El esfuerzo transversal
COMP2Componente del esfuerzo en la unión, en newtons. La boquilla 1 descarga en el sentido .
una fuerza con su unidad (N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudHas contado las dos boquillas en el eje y. Solo la 1 descarga en esa dirección; la 2 sale en y carga el otro eje.
Has metido la fuerza de presión también en y. La brida es perpendicular al eje x: su presión empuja solo en x.
En y no hay presión aplicada ni caudal entrante: .
Desarrollo
- 05
Justificar el argumento
COMP4Ordena el planteamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Salen 3 666 N y 213 N: diecisiete veces distintos. El caudal se reparte igual, pero en el eje x actúa además la fuerza de presión de la brida, 3 426 N, que no tiene equivalente en y. Los términos de cantidad de movimiento sí son parecidos: 240 N contra 213.
El razonamiento, en orden
Bernoulli da la presión en B, porque de la brida a las boquillas no hay pérdidas ni cambio de cota.
El volumen de control encierra la pieza: sus fuerzas exteriores son la presión de la brida y la reacción del apoyo sobre el fluido.
En x la ecuación lleva la presión, la salida de la boquilla 2 en sentido negativo y la entrada por B; en y, solo la salida de la boquilla 1.
Resolución completa
Primero, leer bien la figura. Es una planta: el plano del dibujo es horizontal, así que arriba y abajo del papel son direcciones horizontales y el peso queda fuera del problema. Las tres secciones están a la misma cota.
La presión en B (a). Bernoulli de la brida a cualquiera de las dos boquillas, sin pérdidas y con presión nula a la salida:
Los esfuerzos (b). Volumen de control encerrando la pieza; fuerzas exteriores, la presión de la brida y la acción del apoyo:
Sobre la brida: N y N.
Lo que hay que retener: quién manda en cada eje. En x el esfuerzo lo pone casi entero la presión —3 426 de 3 666 N, el 93 %— y la cantidad de movimiento solo añade 240. En y no hay presión aplicada, así que los 213 N son cantidad de movimiento pura. Por eso una brida de este tipo falla a tracción longitudinal mucho antes que a cortadura, y por eso los cálculos que solo miran el chorro se quedan cortos por un factor quince.
Dos erratas del boletín, avisadas. En su desarrollo escribe «» donde ha calculado 3 426,3 —una transposición de cifras— y más abajo «» donde antes había obtenido 1,47. Ninguna de las dos afecta al resultado final, que publica bien: 3 666 N y 213 N.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
La cinta de grava, y el peso que lleva encima
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Sobre la banda transportadora que se mueve a una velocidad de 5 m/s, se depositan 2 m³/s de grava. La grava tiene un peso específico de 20 kN/m³. Ésta deja la tolva a una velocidad de 1 m/s y a continuación tiene una caída libre de una altura media de m, tal como indica la figura. Calcular:
a) La componente horizontal y vertical de la fuerza que ejerce la grava sobre la banda transportadora.
Nota: despreciar la fricción de los rodillos.
Las dos componentes de la fuerza que la grava ejerce sobre la banda.
- 01
Reconocer el camino
COMP1El volumen de control es la grava que hay encima de la cinta. ¿Qué entra y qué sale de él, y en qué dirección?
Con 1 m/s sale de la tolva, pero después cae dos metros libremente y llega bastante más rápido: m/s.
La cinta sí es horizontal, pero la grava no llega por ella: llega cayendo desde la tolva, dos metros más arriba. Esa velocidad vertical es la que carga los rodillos hacia abajo.
Eso es. La grava entra por arriba con la velocidad que trae de la caída y sale por el extremo arrastrada por la cinta. Su cantidad de movimiento gira 90°, y eso exige fuerza en los dos ejes.
- 02
La velocidad con la que aterriza
COMP2Velocidad con la que la grava llega a la cinta, tras dejar la tolva a 1 m/s y caer 2 m.
una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudTe has dejado la velocidad inicial. Sale de la tolva ya con 1 m/s; hay que componerla con la de caída, y en energía eso significa sumar los cuadrados.
Has sumado la velocidad inicial a la de caída directamente. Las velocidades no se suman: se suman las alturas de velocidad, y por eso va .
Caída libre: .
Desarrollo
- 03
La componente horizontal
COMP2Componente horizontal de la fuerza que la grava ejerce sobre la banda, en newtons.
una fuerza con su unidad (N o kN) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudHas usado el peso específico como si fuera densidad. El gasto másico es kg/s, no 40 000.
Ese es el gasto másico en kg/s, no la fuerza. Falta multiplicarlo por la velocidad de salida.
Has usado la velocidad de llegada, 6,34 m/s, en el eje horizontal. Esa es vertical: en x lo que cuenta es la velocidad con la que la grava sale, la de la cinta.
En el eje x no entra cantidad de movimiento —la grava llega cayendo—, así que con .
Desarrollo
- 04
El peso que la cinta soporta
COMP2Peso de la grava que hay en cada instante sobre la cinta, de 3 m de longitud, en newtons.
un peso con su unidad (N o kN) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudHas multiplicado el peso específico por el caudal sin más. Eso es un peso por segundo, no un peso: hay que multiplicarlo por el tiempo que la grava tarda en recorrer la cinta, s.
Has multiplicado el peso específico por el caudal y por la longitud, sin dividir entre la velocidad. El volumen sobre la cinta es , y esa división es la que da los metros cúbicos.
La capa de grava viaja a 5 m/s, así que tarda en cruzar la cinta y el volumen que hay encima es .
Desarrollo
- 05
La componente vertical
COMP2Componente vertical de la fuerza que la grava ejerce sobre la banda, en newtons.
una fuerza con su unidad (N o kN) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudTe has dejado el peso de la grava que hay encima. La cinta aguanta dos cosas a la vez: el impacto de la que cae y el peso de la que ya está.
Ese es solo el peso. Falta el impacto de la que va cayendo, que son otros 25 879 N: más que el peso.
Has usado la velocidad de la tolva, 1 m/s, en vez de la de llegada. La grava cae dos metros y llega a 6,34.
, es decir .
Desarrollo
- 06
Justificar el argumento
COMP4Ordena el balance de la cinta. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Los términos de cantidad de movimiento sí son parecidos —25 879 contra 20 408— pero en el eje y se suma además el peso de la grava que hay encima, 24 000 N, que no tiene equivalente horizontal. El resultado es 49 879 frente a 20 408: dos veces y media.
El razonamiento, en orden
El volumen de control es la grava que está sobre la cinta: entra por arriba cayendo a 6,34 m/s y sale por el extremo a 5 m/s en horizontal.
En el eje x no hay cantidad de movimiento entrante, así que la fuerza es solo la de la grava que sale: 20 408 N.
En el eje y hay que sumar dos cosas distintas: el peso de la grava que hay encima y el frenado de la que cae.
Resolución completa
Un problema de fluidos sin fluido, y por eso enseña. La grava no es agua, pero el teorema de la cantidad de movimiento no pregunta qué es lo que se mueve: solo necesita un gasto y unas velocidades de entrada y salida.
La velocidad de llegada. La grava sale de la tolva a 1 m/s y cae 2 m:
El eje horizontal. La grava llega cayendo, así que no aporta cantidad de movimiento en x; toda la que sale hay que dársela:
El eje vertical, donde hay dos cosas. Primero el peso de la grava que está encima en cada instante: la capa cruza los 3 m en 0,6 s, así que hay 1,2 m³ sobre la cinta y pesan 24 000 N. Y después el frenado de la que cae:
Sobre la banda, por reacción: 20 408 N en el sentido del movimiento y 49 879 N hacia abajo.
Lo que conviene mirar. El impacto de la grava que cae, 25 879 N, es mayor que el peso de toda la que hay encima, 24 000. Los rodillos de una cinta de este tipo no se dimensionan por lo que transportan: se dimensionan por lo que reciben, y por eso las tolvas se colocan lo más bajas posible. Bajar la caída de 2 m a 0,5 m dejaría en 3,3 m/s y el impacto en 13 500 N, casi la mitad.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
El cono y el codo, en plano vertical
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
En una instalación de una tubería ha sido necesario colocar en un plano vertical un cono de reducción y un codo de 45°. La presión en el punto anterior al comienzo de la reducción es de 2 kg/cm². Se pide:
a) Componentes en la dirección vertical y horizontal, y la resultante de la fuerza que comunica el agua al conjunto.
Datos: caudal = 20 l/s. D₁ = 200 mm, D₂ = D₃ = 100 mm; z₂ − z₁ = 0,50 m, z₃ − z₁ = 1,0 m.
Nota: téngase en cuenta el peso y las energías cinéticas.
Las dos componentes y la resultante de la fuerza que el agua ejerce sobre el conjunto.
- 01
Reconocer el camino
COMP1La presión en la salida, ¿cómo es respecto de los 2 kg/cm² de la entrada?
Sin pérdidas se conserva la energía, no la presión. Aquí la energía se reparte de otra forma: menos presión, más velocidad y más cota.
Eso es. La aceleración de 0,64 a 2,55 m/s cuesta 3,0 kPa y el metro de subida cuesta 9,8: en total 12,8 kPa menos. El desnivel pesa tres veces más que la aceleración, aunque el diámetro se reduzca a la mitad.
El plano es vertical y la salida está un metro más arriba: esa cota se paga con presión, y en este caso es el término dominante.
- 02
La presión en la salida
COMP2Presión manométrica en la sección 3, un metro por encima de la entrada.
una presión con su unidad (kPa, Pa o kg/cm²) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudTe has dejado la cota. La salida está un metro más arriba, y ese metro cuesta 9,8 kPa: aquí es el término mayor de los dos.
Has sumado la altura cinética en vez de restarla, o has puesto la cota con el signo cambiado. Subiendo y acelerando, la presión solo puede bajar.
.
Desarrollo
De los 12,8 kPa que se pierden, 9,8 son la cota y solo 3,0 la aceleración.
- 03
La componente horizontal
COMP2Componente horizontal de la fuerza que el agua ejerce sobre el conjunto.
una fuerza con su unidad (kN o N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudNo has proyectado. Los 1489 N de la salida van a 45°, así que su componente horizontal es N.
Has usado una presión de salida demasiado alta, probablemente por dejarte el metro de cota en el Bernoulli.
Solo la salida tiene componente horizontal: la entrada es vertical y el peso también.
Desarrollo
En la salida, presión más cantidad de movimiento:
y como el chorro sale a 45° hacia la izquierda, la reacción sobre la pieza tiene componente horizontal
- 04
La componente vertical
COMP2Componente vertical de la fuerza, contando el peso del agua contenida en la pieza.
una fuerza con su unidad (kN o N) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudTe has dejado el peso del agua, que el enunciado pide contar expresamente: 13 litros son 128 N, un 2,5 % del total.
Te has dejado la salida entera. Por la sección 3 se van 1489 N, de los que 1053 son verticales.
.
Desarrollo
Por la entrada:
El peso: el cono es un tronco de 0,5 m de altura entre radios de 100 y 50 mm, o sea 9,16 litros, y el codo sube otro medio metro con 100 mm, unos 3,93 litros más. En total 13,1 litros, 128 N.
Y la resultante, N = 5,10 kN, inclinada 78° respecto de la horizontal.
- 05
Justificar el argumento
COMP4Ordena qué manda en esta fuerza. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Es al revés: con 20 l/s la cantidad de movimiento es de 13 N a la entrada y 51 a la salida, frente a los 6158 y 1438 de presión. La presión manda por dos órdenes de magnitud. Con un caudal grande y poca presión sería al contrario.
El razonamiento, en orden
Por la entrada llegan 6170 N: 6158 de presión sobre los 314 cm² de la sección de 200 mm y solo 13 de cantidad de movimiento.
Por la salida se van 1489 N, de los que 1438 son presión: aunque la sección se ha reducido a la cuarta parte, la presión apenas ha bajado.
El peso del agua contenida, 128 N, resta en vertical y no aparece en horizontal.
La resultante son 5,10 kN, casi vertical: la pieza tira hacia arriba y un poco hacia la derecha.
Resolución completa
Dos términos muy desiguales
Antes de calcular nada conviene ver el orden de magnitud. Con 20 l/s en una tubería de 200 mm, la velocidad es de 0,64 m/s: prácticamente nada. Con 2 kg/cm² de presión, en cambio, sobre los 314 cm² de la sección salen 6158 N.
| presión | cantidad de movimiento | |
|---|---|---|
| entrada | 6158 N | 13 N |
| salida | 1438 N | 51 N |
La presión manda por dos órdenes de magnitud. Este es un problema de empuje de presión con una corrección de cantidad de movimiento, no al revés.
La presión de salida
Y aquí hay otra sorpresa de la misma clase: de los 12,8 kPa que se pierden, 9,8 son el metro de subida y solo 3,0 la aceleración. El cono reduce el diámetro a la mitad —la velocidad se multiplica por cuatro— y aun así pesa menos que un metro de altura.
El peso, que el enunciado pide contar
El cono está completamente determinado: un tronco de 0,5 m entre radios de 100 y 50 mm son 9,16 litros. Del codo el enunciado solo dice que sube otro medio metro con 100 mm de diámetro; tomándolo como un tramo de esa longitud salen 3,93 litros más.
Con esos 13,1 litros —128 N— se reproducen los tres resultados publicados a la vez, lo que es una buena señal de que la hipótesis es la que el boletín usó. Aun así conviene dejarla dicha: la geometría exacta del codo no está en el enunciado.
El resultado
La resultante va casi vertical, a 78° de la horizontal. Tiene sentido: la entrada, que es de donde viene casi toda la fuerza, es vertical, y lo que la desvía es una salida que se lleva solo la cuarta parte.
Y el peso, esos 128 N, es el 2,5 % de la componente vertical. Un 2,5 % no cambia el dimensionamiento de un anclaje, pero el enunciado pide contarlo y hay que contarlo: la costumbre de despreciar el peso viene de los problemas en plano horizontal, donde efectivamente no entra.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
La reacción de un chorro comparada con lo que aguantaba el tapón
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Un depósito cilíndrico de de altura y de diámetro está lleno de agua y tiene un orificio situado a de la superficie libre de la misma, siendo su diámetro de y los coeficientes de gasto y velocidad y . Se pide:
a) Reacción que produce el chorro que fluye por el orificio.
b) Relación entre la fuerza (calculada) y la fuerza (estática) aplicada sobre un tapón que impide la salida del chorro.
La reacción del chorro y su relación con la fuerza estática del tapón.
- 01
Reconocer el camino
COMP1Hay dos coeficientes, y . ¿Para qué sirve cada uno?
Los dos son del orificio. Corrigen dos efectos distintos del mismo chorro: que la vena se estrecha y que el fluido pierde algo de velocidad al pasar.
Exacto, y es lo que hace que este ejercicio no se pueda resolver con un solo coeficiente. El caudal sale con y la velocidad con ; multiplicarlos da la reacción.
Están relacionados —— pero no son el mismo. Aquí el de contracción implícito es .
- 02
La reacción del chorro
COMP2¿Qué reacción produce el chorro?
una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitudHas usado el área geométrica del orificio para el caudal, sin el coeficiente de gasto. Solo el 60 % de esa sección lleva agua de verdad.
Ese es el resultado en kilopondios con la etiqueta de newtons — o casi: la reacción son , que en newtons son . Cuidado con el orden de magnitud.
, con y .
Desarrollo
- 03
La relación con la fuerza estática
COMP2¿Cuánto vale ?
un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Has dividido al revés. La reacción del chorro es mayor que la fuerza que aguantaba el tapón, y ese es el resultado que hace interesante el problema.
Ese sería el valor teórico ideal, con : . Los coeficientes reales lo bajan a 1,18.
La fuerza estática es con el área geométrica del orificio.
Desarrollo
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
Con coeficientes perfectos la relación sería 2, no 1: . Es un resultado clásico y sorprendente, y los coeficientes reales solo lo bajan a 1,18.
El razonamiento, en orden
La reacción del chorro es , y necesita los dos coeficientes: para el caudal y para la velocidad.
Sale N, mientras que el tapón que impedía la salida soportaba solo .
Es decir, al destapar el orificio el empuje aumenta un 18 %, no disminuye.
Resolución completa
La reacción. Con los dos coeficientes en su sitio:
La comparación, que es lo que el enunciado busca:
Al quitar el tapón, el depósito empuja más, no menos. Es contraintuitivo: parece que si el agua sale, la fuerza debería desaparecer. Lo que ocurre es que el tapón soportaba la presión hidrostática sobre su área, y el chorro en movimiento devuelve una reacción mayor.
El caso ideal lo explica. Con ,
exactamente el doble. Los coeficientes reales —que reducen el caudal un 40 % y la velocidad un 2 %— lo bajan a 1,18, pero el resultado cualitativo se mantiene: el chorro empuja más que la presión estática que lo produce.
Es el mismo factor 2 que aparece en el álabe de 180° del tema 15, y por la misma razón: la cantidad de movimiento se cuenta dos veces, una en la velocidad y otra en el caudal, y las dos crecen con .
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.