Mecánica de Fluidos · tema 16

Análisis dimensional y teoría de modelos

Cómo se reducen diez variables a cuatro números, y por qué casi nunca se puede ensayar un modelo con semejanza completa.

Hasta aquí, cada tema ha traído una ecuación que se resuelve. Este no. Este tema sirve para los problemas que no se pueden resolver: la resistencia de un casco, la sustentación de un ala, el desagüe de una presa. Ahí no hay fórmula, hay laboratorio.

Y el laboratorio es caro. El análisis dimensional es la herramienta que reduce el número de experimentos, y la teoría de modelos, la que permite ensayar con una maqueta y creerse el resultado.

Por qué funciona

Toda magnitud física se escribe como producto de potencias de tres fundamentales: masa $M$ , longitud $L$ y tiempo $T$ . La fuerza es $MLT^{-2}$ , la densidad $ML^{-3}$ , la viscosidad dinámica $ML^{-1}T^{-1}$ .

De ahí sale el principio de homogeneidad dimensional: en una ecuación física real, todos los sumandos tienen la misma ecuación de dimensiones. Si no la tienen, la ecuación está mal aunque el número salga.

Compruébalo en Bernoulli, que ya conoces:

\frac{p}{\rho} + \frac{v^{2}}{2} + gz = \text{cte.}

término	dimensiones	resultado
$p/\rho$	$\dfrac{ML^{-1}T^{-2}}{ML^{-3}}$	$L^{2}T^{-2}$
$v^{2}/2$	$(LT^{-1})^{2}$	$L^{2}T^{-2}$
$gz$	$LT^{-2}\cdot L$	$L^{2}T^{-2}$

Los tres iguales. Esa comprobación es gratis y caza la mitad de los errores de álgebra: si al despejar te queda un sumando con otras dimensiones, no sigas.

El teorema de Vaschy-Buckingham

También se le llama teorema $\pi$ , por la letra con la que se nombran los grupos adimensionales que produce.

Si un fenómeno depende de $n$ variables físicas y en ellas intervienen $m$ magnitudes fundamentales, el fenómeno queda descrito por

\boxed{n - m \text{ parámetros adimensionales } \pi}

En mecánica $m = 3$ casi siempre ( $M$ , $L$ , $T$ ). Así que un problema con diez variables se estudia con siete números, y uno con seis, con tres. La función que los relaciona la sigue teniendo que dar el experimento — el teorema no adivina física, solo dice cuántos botones hay que girar.

El procedimiento, en seis pasos

Listar todas las variables que intervienen. Si sobra una, saldrá un $\pi$ que el experimento demostrará irrelevante; si falta una, el resultado es falso y nada lo avisa.
Elegir las fundamentales: $M$ , $L$ , $T$ .
Escribir la ecuación de dimensiones de cada variable, en tabla.
Elegir las variables repetidas, tantas como fundamentales.
Combinar las repetidas con cada una de las restantes y resolver el sistema de exponentes, un $\pi$ por variable no repetida.
Comprobar que cada $\pi$ sale adimensional.

Las variables repetidas no se eligen a gusto: hay dos condiciones

El apartado que más se falla de este tema es el 4, y en los exámenes de esta escuela viene enunciado al revés a propósito: te dan una lista de repetidas y te piden justificar si es posible usarla.

Las dos condiciones:

Entre las repetidas tienen que aparecer todas las magnitudes fundamentales. Si ninguna lleva masa, no hay forma de que la $M$ de las demás se cancele.
Dos repetidas no pueden diferenciarse solo en el exponente. Un diámetro ( $L$ ) y un volumen ( $L^{3}$ ) no valen como pareja: dan la misma información y el sistema queda indeterminado.

Ejemplo real, de junio de 2020: se propone usar $\mu$ , $\varepsilon$ y $c$ como repetidas. $\mu = ML^{-1}T^{-1}$ aporta la masa, $\varepsilon = L$ la longitud y $c = LT^{-1}$ el tiempo. Sí se puede, aunque los $\pi$ que salgan no tengan los nombres de siempre.

Y ese es el otro aviso: los $\pi$ no son únicos. Cambiando las repetidas salen otros, igual de válidos. Un $\pi$ elevado a cualquier potencia, o el producto de dos, sigue siendo adimensional — por eso $\rho v D/\mu$ y $\mu/\rho v D$ son el mismo número mirado del derecho y del revés, y se le llama Reynolds al primero por convenio.

Los cinco números, y qué manda en cada caso

Cada parámetro es un cociente de fuerzas. Saber cuál es cuál importa más que la fórmula, porque es lo que decide qué se puede despreciar:

número	fórmula	compara	manda cuando
Reynolds	$Re = \dfrac{\rho v D}{\mu}$	inercia / viscosidad	casi siempre, y sobre todo en flujo en carga
Froude	$Fr = \dfrac{v^{2}}{gL}$	inercia / gravedad	hay superficie libre: canales, presas, cascos
Euler	$Eu = \dfrac{\Delta p}{\rho v^{2}}$	presión / inercia	la caída de presión es el objeto del estudio
Weber	$We = \dfrac{\rho v^{2}L}{\sigma}$	inercia / tensión superficial	gotas, sprays, capilares. Cuanto menor, más importa
Mach	$Ma = \dfrac{v}{c}$	inercia / compresibilidad	gases rápidos. Por debajo de $0{,}3$ el flujo es incompresible

Y uno derivado de Euler que ya conoces del tema 2: el número de cavitación, $Ca = \dfrac{p - p_v}{\rho v^{2}}$ , con la presión de vapor como referencia.

Dos lecturas que conviene fijar. El Reynolds elevado es turbulento y el bajo, laminar. El Weber es al revés que los demás: cuanto más pequeño, más pesa la tensión superficial, así que un Weber grande es permiso para ignorarla.

Semejanza: tres, y cada una exige la anterior

Para trasladar el resultado del modelo al prototipo no basta con que se parezcan:

Geométrica — correspondencia punto a punto. A los puntos que se corresponden se les llama homólogos, y toda longitud está en la misma proporción $\lambda$ . Si las máquinas fueran esculturas, con esto bastaría.
Cinemática — puntos homólogos en posiciones homólogas en instantes homólogos, con velocidades de igual dirección y sentido y módulos en proporción constante. Las líneas de corriente son las mismas a escala. Exige la geométrica, porque las fronteras del cuerpo son las que dibujan las líneas de corriente.
Dinámica — puntos homólogos sometidos a fuerzas homólogas: los triángulos de fuerzas son paralelos. Exige las dos anteriores.

Y la traducción al análisis dimensional es lo que hace útil todo lo de arriba:

Hay semejanza dinámica absoluta cuando todos los parámetros adimensionales valen lo mismo en modelo y en prototipo.

Con un matiz que ahorra trabajo en el examen: como la ley del fenómeno los relaciona, basta igualar todos menos uno; el que sobra se iguala solo. Por eso, si se igualan Reynolds y Froude, el número de Euler ya sale igual, y con él todos sus derivados.

La pregunta que cae siempre: ¿es posible la semejanza absoluta?

Aparece en casi todas las convocatorias, vale entre el 5 y el 15 %, y no se responde con una fórmula sino contando grados de libertad. El razonamiento es siempre el mismo: cada número que se iguala impone una relación entre las escalas; si las relaciones se contradicen, no hay semejanza absoluta.

El caso clásico, Froude y Reynolds a la vez, con el mismo fluido en modelo y prototipo. Llamando $\lambda = L_m/L_p$ :

Fr_m = Fr_p \;\Longrightarrow\; \frac{v_m}{v_p} = \lambda^{1/2} \qquad\qquad Re_m = Re_p \;\Longrightarrow\; \frac{v_m}{v_p} = \frac{1}{\lambda}

Las dos condiciones piden velocidades distintas, y solo coinciden en un sitio:

\lambda^{1/2} = \lambda^{-1} \;\Longrightarrow\; \lambda^{3/2} = 1 \;\Longrightarrow\; \boxed{\lambda = 1}

El modelo tendría que ser del tamaño del prototipo, que es lo mismo que decir que no hay modelo. La condición no deja ningún grado de libertad.

Con el mismo fluido, igualar Reynolds obliga al modelo a ir más rápido cuanto más pequeño sea, e igualar Froude, más despacio. Las dos exigencias solo se encuentran cuando la escala vale uno, y entonces ya no hay modelo. Esa es la razón de que la semejanza restringida no sea una chapuza, sino el caso normal.

Las tres salidas

Cuando la respuesta es «no es posible», el examen sigue pidiendo qué se hace. Hay tres caminos y conviene tenerlos separados:

Cambiar de fluido. La condición conjunta obliga a $\nu_m/\nu_p = \lambda^{3/2}$ . Con $\lambda = 1/49$ eso pide un fluido 343 veces menos viscoso que el agua, y ese fluido no está en el almacén. A veces sí sale: a escala $1/4$ hace falta $\lambda^{3/2} = 1/8$ , y eso lo cumple el mercurio.
Cambiar la densidad sin cambiar el fluido. Es la salida elegante de los túneles aerodinámicos. La velocidad del sonido y la viscosidad de un gas dependen mucho de la temperatura y muy poco de la presión, así que presurizando el túnel se sube $\rho$ —y con ella el Reynolds— sin tocar el Mach. Cae tal cual en la convocatoria de junio de 2023.
Renunciar a un número: la semejanza restringida. Es lo que se hace casi siempre, y la elección no es libre.

Qué número se conserva no se elige: lo decide el tipo de flujo

Es la regla operativa del tema entera, y es corta:

Flujo en carga —aislado de la atmósfera, tuberías y máquinas—: la variación de cota se agrupa con la presión, así que la gravedad no manda. Se conserva Reynolds y se tira Froude.
Flujo en superficie libre —canales, presas, cascos, vertederos—: la presión es la atmosférica en todo el contorno y la que varía es la cota. Se conserva Froude y se tira Reynolds.

Elegir al revés es el error caro de este tema, porque el número sale, el problema queda completo y todo lo posterior está mal. La forma de no equivocarse es preguntarse una sola cosa antes de escribir nada: ¿el fluido toca la atmósfera?

Las escalas, que son lo que se calcula

Con la semejanza geométrica, toda longitud va con $\lambda$ y toda área con $\lambda^{2}$ . Lo demás depende del número que se haya conservado. Bajo Froude, que es el caso de canales y presas:

magnitud	escala	de dónde sale
longitud	$\lambda$	semejanza geométrica
velocidad	$\lambda^{1/2}$	$v^{2}/gL$ constante
tiempo	$\lambda^{1/2}$	$L/v$
caudal	$\lambda^{5/2}$	$v\cdot A$
fuerza	$\lambda^{3}$	$\rho v^{2}L^{2}$ , con el mismo fluido

Y el número de Euler, al ser función de los anteriores, sale igual solo. De ahí la relación que se usa para pasar presiones y pérdidas de carga:

\frac{\Delta p_m}{\Delta p_p} = \frac{v_m^{2}}{v_p^{2}} \qquad\qquad \frac{h_{f,m}}{h_{f,p}} = \frac{v_m^{2}}{v_p^{2}}

La fuerza va con la escala al cubo, y en el boletín viene en kilopondios

Dos avisos que cuestan puntos en el mismo apartado.

El primero es de orden de magnitud: la fuerza escala con $\lambda^{3}$ , no con $\lambda^{2}$ . Es tentador razonar «la fuerza es presión por área, luego $\lambda^{2}$ », pero la presión también cambia — va con $v^{2}$ , es decir con $\lambda$ —, y $\lambda\cdot\lambda^{2} = \lambda^{3}$ . A escala $1/49$ eso son 117.649 veces, no 2.401.

El segundo es de unidades, y es de esta escuela: las soluciones del boletín dan las fuerzas en kg, que aquí son kilopondios. Los 2,5 kg medidos en el modelo de la presa se convierten en 294.122,5 kp en el prototipo, y eso son 2,88 MN. Si el enunciado pide newtons, falta multiplicar por 9,8; si pide kg y das newtons, el número es diez veces mayor y parece un error de escala cuando es de unidades.

Lo que no cambia con la escala

Cierra el tema una idea que se usa poco y vale mucho: una magnitud adimensional vale lo mismo en el modelo que en el prototipo cuando hay semejanza. Un rendimiento, un coeficiente de descarga, un factor de fricción, un ángulo.

Por eso en el ejercicio del cuerpo flotante el rendimiento medido en la maqueta —69,67 %— es directamente el del barco, sin escalar nada. Cuando un apartado pide «el rendimiento del prototipo» y te ves montando escalas, para: la respuesta es el número que ya tienes.

Practica lo que acabas de leer

Cinco variables, dos parámetros, y uno de ellos es Reynolds

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Cinco variables, dos parámetros, y uno de ellos es Reynolds

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La caída de presión $\Delta p$ en un tramo de tubería depende de la velocidad media $v$ , del diámetro $D$ , de la densidad $\rho$ y de la viscosidad dinámica $\mu$ del fluido:

\Delta p = f(v,\, D,\, \rho,\, \mu)

a) Determinar cuántos parámetros adimensionales describen el fenómeno.

b) Tomando $\rho$ , $v$ y $D$ como variables repetidas, obtener el parámetro que contiene a $\mu$ , es decir $\pi = \rho^{a}\,v^{b}\,D^{c}\,\mu$ .

c) Calcular su valor para agua a $20\ °\text{C}$ ( $\nu = 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ) circulando a $2\ \text{m/s}$ por un tubo de $50\ \text{mm}$ .

El número de parámetros, el exponente de la densidad y el Reynolds.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántos parámetros adimensionales describen este fenómeno?
02
El exponente de la densidad
COMP2
En $\pi = \rho^{a}\,v^{b}\,D^{c}\,\mu$ , ¿cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El número de Reynolds
COMP2
¿Cuánto vale $Re = \dfrac{vD}{\nu}$ en las condiciones del enunciado?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con cinco variables y tres magnitudes fundamentales, el teorema $\pi$ garantiza dos parámetros adimensionales.
2. El que contiene a $\mu$ sale $\mu/\rho v D$ , que es el inverso de Reynolds; elevar un $\pi$ a $-1$ da otro $\pi$ igual de válido.
3. El otro parámetro es $\Delta p/\rho v^{2}$ , el número de Euler, y la ley del fenómeno es $Eu = \phi(Re)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.3 · Colección de Problemas, capítulo 5 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Una presa ensayada a escala 1 a 49

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea estudiar una presa mediante un modelo a escala $1{:}49$ , en donde se mide la velocidad del agua (modelo) y resulta ser $0{,}4\ \text{m/s}$ . El caudal máximo desaguado (prototipo) por la presa es de $500\ \text{m}^{3}/\text{s}$ . En el modelo se midió la fuerza ejercida sobre la presa, resultando ser de $2{,}5\ \text{kg}$ . Se pide calcular:

a) Escalas de velocidades, caudales y fuerzas en función de la escala de longitud $\lambda$ .

b) Caudal que tiene que circular en el modelo, en l/s.

c) Velocidad del agua en la presa, en m/s.

d) Fuerza ejercida sobre la presa, en N.

e) ¿Qué condiciones tiene que satisfacer el fluido para que la semejanza sea completa?

Las escalas y los tres valores del prototipo, más la condición del fluido.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué número adimensional hay que igualar entre modelo y prototipo?
02
El caudal del modelo
COMP2
¿Qué caudal tiene que circular por el modelo?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad en la presa real
COMP2
¿A qué velocidad circula el agua en el prototipo?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza sobre la presa, en newtons
COMP2
¿Qué fuerza soporta la presa real?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado e). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Para la semejanza completa haría falta, además de Froude, la igualdad de Reynolds, que aquí no se ha impuesto.
2. Igualando los dos, $\nu_p/\nu_m = \lambda^{-3/2} = 49^{3/2} = 343$ , es decir un fluido 343 veces menos viscoso que el agua.
3. Como no existe un líquido así de disponible, se recurre a la semejanza restringida y se conserva solo Froude, con buenos resultados prácticos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.15 · Colección de Problemas, capítulo 5 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal, y el líquido que haría falta para la homología

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se dispone de un canal, que denominamos prototipo, que funciona con un líquido cuya viscosidad cinemática es $4{,}7\cdot 10^{-5}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ . Se desea experimentar con un modelo reducido a escala $1/5$ , deseándose conocer la viscosidad del líquido que deberá emplearse para que haya homología, así como la relación de velocidades y caudales entre el prototipo y modelo.

La viscosidad cinemática del líquido del modelo y las dos relaciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide homología, que es semejanza completa. ¿Qué significa eso aquí?
02
La viscosidad del líquido del modelo
COMP2
¿Qué viscosidad cinemática debe tener el líquido del modelo?
Tu respuesta al paso 2una viscosidad cinemática, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La relación de caudales
COMP2
¿Cuánto vale $Q_p/Q_m$ ?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Un canal tiene superficie libre, así que la semejanza completa exige igualar Froude y Reynolds a la vez.
2. Froude fija la relación de velocidades en $\lambda^{1/2}$ , y metida en Reynolds obliga a $\nu_m/\nu_p = \lambda^{3/2}$ .
3. Como aquí el líquido del modelo es la incógnita y no está impuesto, la condición se puede satisfacer y la homología es alcanzable.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.13 · Colección de Problemas, capítulo 5 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Una bomba ensayada con aire, y a qué velocidad tiene que girar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una bomba centrífuga girando a $1200\ \text{rpm}$ bombea un aceite lubricante a $15\ °\text{C}$ . Se va a ensayar un modelo de la bomba que utiliza aire a $20\ °\text{C}$ . Si el diámetro del modelo es 3 veces mayor que el del prototipo, ¿a qué velocidad debe girar el modelo?

Datos: $\nu_{\text{aceite}} = 1{,}8\cdot 10^{-4}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ; $\nu_{\text{aire}} = 1{,}5\cdot 10^{-5}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ .

La velocidad de giro del modelo, en rpm.

01
Reconocer el camino
COMP1
Una bomba es flujo en carga. ¿Qué se iguala, y con qué velocidad?
02
La velocidad de giro del modelo
COMP2
¿A qué velocidad debe girar el modelo?
Tu respuesta al paso 2una velocidad de giro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Una bomba es flujo en carga, así que la semejanza dinámica se consigue igualando el número de Reynolds.
2. Con la velocidad de punta $nD$ , el Reynolds de la máquina es $nD^{2}/\nu$ , y de ahí $n_m = n_p (D_p/D_m)^{2}(\nu_m/\nu_p)$ .
3. Los dos factores empujan en el mismo sentido —el modelo es más grande y su fluido menos viscoso—, así que sale mucho más lento: $11{,}11$ rpm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.1 · Colección de problemas, capítulo 5 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La hélice, y de dónde salen Froude y Reynolds

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La fuerza axial de una hélice completamente sumergida en agua depende de: $D$ (diámetro de la hélice), $V$ (velocidad de desplazamiento), $\rho$ (densidad del fluido), $n$ (velocidad de rotación), $g$ (aceleración de la gravedad) y $\mu$ (viscosidad dinámica del fluido).

a) Calcular los parámetros $\pi$ adimensionales, eligiendo como variables repetidas las indicadas en los primeros lugares, siempre que sea posible.

Los parámetros adimensionales del problema, y qué números conocidos son.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de plantear ninguna ecuación de exponentes: ¿cuántos parámetros adimensionales van a salir?
02
El exponente de la densidad en el primer parámetro
COMP2
Se plantea $\pi_1 = F\,D^{\alpha} V^{\beta} \rho^{\gamma}$ . Con $[F] = MLT^{-2}$ y $[\rho] = ML^{-3}$ , la ecuación de la masa es $1 + \gamma = 0$ . ¿Cuánto vale $\gamma$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El exponente del diámetro en el primer parámetro
COMP2
Con $\gamma = -1$ y, de la ecuación del tiempo, $-2-\beta = 0 \Rightarrow \beta = -2$ , la ecuación de la longitud es $1 + \alpha + \beta - 3\gamma = 0$ . ¿Cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El exponente de la velocidad en el parámetro de la gravedad
COMP2
Ahora $\pi_3 = g\,D^{\alpha}V^{\beta}\rho^{\gamma}$ , con $[g] = LT^{-2}$ . La ecuación del tiempo es $-2-\beta = 0$ . ¿Cuánto vale $\beta$ ?
Tu respuesta al paso 4un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión del problema. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cuatro parámetros son $\pi_1 = F/\rho D^{2}V^{2}$ , $\pi_2 = nD/V$ , $\pi_3 = gD/V^{2}$ y $\pi_4 = \mu/\rho V D$ .
2. $\pi_3$ y $\pi_4$ se presentan invertidos —y el tercero además elevado a $1/2$ — porque así son el número de Froude $V/\sqrt{gD}$ y el número de Reynolds $\rho V D/\mu$ , que es como los tiene tabulados todo el mundo.
3. $\pi_2 = nD/V$ es el cociente entre la velocidad de punta de pala y la de avance: en hélices se le llama grado de avance, y es el que dice si la hélice está mordiendo agua o patinando.
4. La relación final, en vez de siete variables, es $F/\rho D^{2}V^{2} = \phi(nD/V,\ \mathrm{Fr},\ \mathrm{Re})$ : tres entradas en lugar de seis.

Resolución completa

Siete variables que se convierten en cuatro grupos.

El recuento, primero. Siete variables ( $F, D, V, \rho, n, g, \mu$ ) y tres magnitudes fundamentales ( $M, L, T$ ) dan $7-3 = 4$ parámetros. Vale la pena hacerlo antes de calcular: si al final salen otros tantos, hay un error de exponentes.

Las variables repetidas son las tres primeras que se pueden: $D$ , $V$ y $\rho$ . La condición es que entre las tres cubran las tres magnitudes fundamentales y ninguna sea combinación de las otras dos —una longitud, una velocidad y una densidad la cumplen— y que no esté entre ellas la incógnita, que aquí es la fuerza.

Los cuatro sistemas. Cada parámetro se plantea como la variable que falta multiplicada por las tres repetidas elevadas a exponentes, y se impone que las tres magnitudes se cancelen:

	$M$	$L$	$T$	resultado
$\pi_1 = F D^{\alpha}V^{\beta}\rho^{\gamma}$	$1+\gamma=0$	$1+\alpha+\beta-3\gamma=0$	$-2-\beta=0$	$F/\rho D^{2}V^{2}$
$\pi_2 = n\,D^{\alpha}V^{\beta}\rho^{\gamma}$	$\gamma=0$	$\alpha+\beta=0$	$-1-\beta=0$	$nD/V$
$\pi_3 = g\,D^{\alpha}V^{\beta}\rho^{\gamma}$	$\gamma=0$	$1+\alpha+\beta=0$	$-2-\beta=0$	$gD/V^{2}$
$\pi_4 = \mu\,D^{\alpha}V^{\beta}\rho^{\gamma}$	$1+\gamma=0$	$-1+\alpha+\beta-3\gamma=0$	$-1-\beta=0$	$\mu/\rho V D$

La forma en que se presentan. Un parámetro adimensional sigue siéndolo si se invierte o se eleva a una potencia, así que se le da la forma reconocible:

\pi_3^{-1/2} = \frac{V}{\sqrt{gD}} = \mathrm{Fr} \qquad \pi_4^{-1} = \frac{\rho V D}{\mu} = \mathrm{Re}

\frac{F}{\rho D^{2} V^{2}} = \phi\!\left(\frac{nD}{V},\ \mathrm{Fr},\ \mathrm{Re}\right)

Lo que hay que llevarse, y no es el álgebra. Froude y Reynolds no se han elegido: han salido. Reynolds aparece en cuanto la lista incluye la viscosidad, y Froude en cuanto incluye la gravedad. Eso da un criterio práctico para cualquier ensayo: mira qué variables has metido en la lista y sabrás qué semejanzas vas a tener que respetar. Y al revés — si en un problema de tubería en carga la gravedad no interviene, Froude no sale, y no hay que forzarlo.

Aquí salen los dos a la vez, y ese es el problema real de las hélices de superficie: conservar Froude y Reynolds simultáneamente en un modelo a escala es imposible con el mismo fluido, así que hay que decidir cuál se respeta y corregir el otro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.2 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

La tubería de gas ensayada con agua, y la velocidad que sale disparada

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quieren determinar las pérdidas de carga lineales en una tubería de $1$ m de diámetro cuando circula un gas de densidad $\rho = 31{,}85\ \text{kg/m}^{3}$ y viscosidad $\mu = 0{,}0015$ Po, siendo su velocidad media $V = 25$ m/s, mediante una tubería modelo. En el modelo el fluido circulante es agua a $20°$ y el caudal de $4000$ l/min.

a) Determinar la escala geométrica y la escala de pérdidas de carga, siendo la densidad del agua $\rho = 1000\ \text{kg/m}^{3}$ y la viscosidad absoluta del agua $\mu = 1$ cPo.

La escala geométrica y la de pérdidas de carga.

01
Reconocer el camino
COMP1
Es un flujo en carga, sin superficie libre. ¿Qué semejanza hay que imponer?
02
El Reynolds del prototipo
COMP2
¿Cuánto vale el número de Reynolds en la tubería de gas?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El diámetro del modelo
COMP2
Con $4000$ l/min de agua y ese mismo Reynolds, ¿qué diámetro tiene la tubería modelo?
Tu respuesta al paso 3un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La escala de pérdidas de carga
COMP2
¿Cuántas veces mayores son las pérdidas de carga en el modelo que en el prototipo?
Tu respuesta al paso 4un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al ser flujo en carga, la semejanza dinámica pide igualdad de número de Reynolds además de la geométrica.
2. El Reynolds del prototipo sale directo de sus datos: $5{,}31\cdot 10^{6}$ .
3. En el modelo la velocidad no es dato: depende del diámetro a través del caudal, así que al imponer el Reynolds queda una sola incógnita.
4. Las pérdidas de carga van con el cuadrado de la velocidad, así que su escala es $(331{,}6/25)^{2} = 176$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.4 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El buque a escala un cuarto, y el fluido que haría falta

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La resistencia $F$ al avance y el comportamiento de un cuerpo flotante depende de las siguientes variables: gravedad $g$ , longitud característica $L$ , densidad del fluido $\rho$ , viscosidad dinámica del mismo $\mu$ y velocidad $V$ .

a) Deducir los parámetros $\pi$ adimensionales que intervienen en el fenómeno y la ley adimensional de dicho fenómeno.

b) Se quiere hacer un ensayo con un modelo a escala $1/4$ de un prototipo que se prevé que pesará $1000$ kg y navegará en agua dulce a $20\ °$ C con una velocidad de $20$ km/h. ¿Cómo podrá realizarse el ensayo? ¿Qué fluido se empleará? ¿Cuál debe ser el peso del modelo?

c) Si la resistencia media en el modelo es de $50$ kg y la potencia que consume de $2{,}66$ CV, determinar la resistencia al avance y el rendimiento del prototipo.

Nota: variables repetidas $\rho$ , $L$ , $V$ .

Los tres grupos, el fluido y el peso del modelo, y la resistencia y el rendimiento del prototipo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Un cuerpo flotante: navega en la superficie. ¿Qué grupos van a intervenir?
02
La velocidad del modelo
COMP2
Con escala $1/4$ e igualdad de Froude, ¿a qué velocidad hay que arrastrar el modelo?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La viscosidad que hace falta
COMP2
Con esa velocidad ya fijada, ¿qué viscosidad cinemática necesita el fluido del modelo? El agua del prototipo tiene $\nu = 9{,}5\cdot 10^{-7}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ .
Tu respuesta al paso 3una viscosidad cinemática, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La resistencia del prototipo
COMP2
Si en el modelo se mide una resistencia de $50$ kg, ¿cuánto vale en el prototipo?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El rendimiento
COMP2
Con $2{,}66$ CV consumidos y $50$ kg de resistencia a $2{,}78$ m/s, ¿cuál es el rendimiento?
Tu respuesta al paso 5un porcentaje, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al haber superficie libre y viscosidad a la vez, la semejanza absoluta exige igualar Froude y Reynolds.
2. Froude no deja elegir: fija la velocidad del modelo en la mitad de la del prototipo.
3. Con la velocidad ya fijada, Reynolds solo se puede cumplir cambiando de fluido, y pide $\nu' = \nu/8$ .
4. El fluido que tiene esa viscosidad es el mercurio a 25 °C, y con él el modelo debe pesar 212,5 kg.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.5 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Los tres grupos de una turbomáquina, deducidos y no memorizados

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La experiencia y la experimentación demuestran que la diferencia de presiones entre la salida y la entrada de una turbomáquina depende del caudal $Q$ turbinado, de la velocidad de giro de la máquina $n$ , de la densidad del fluido $\rho$ , de la viscosidad cinemática $\nu$ del líquido turbinado y del diámetro del rodete de la turbina $D$ .

a) Hallar los parámetros adimensionales de los que dependerá el fenómeno físico, si se toman como variables repetidas $\rho$ , $n$ y $D$ .

Los tres parámetros adimensionales del fenómeno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de montar ninguna matriz: ¿cuántos parámetros adimensionales van a salir?
02
El exponente de la velocidad de giro
COMP2
En el grupo que contiene $\Delta p$ , escrito como $\pi_1 = \Delta p \cdot \rho^{a} n^{b} D^{c}$ , ¿cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El exponente del diámetro en el grupo del caudal
COMP2
En $\pi_2 = Q \cdot \rho^{a} n^{b} D^{c}$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Reconocer el camino
COMP1
Los dos primeros grupos no son nuevos. ¿De qué te suenan?
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Hay seis variables y tres dimensiones fundamentales, así que el teorema de Vaschy-Buckingham anuncia tres grupos.
2. Con $\rho$ , $n$ y $D$ como repetidas, cada grupo se forma con una de las tres variables restantes y las tres repetidas elevadas a exponentes por determinar.
3. Imponiendo que cada grupo sea adimensional salen tres ecuaciones —una por dimensión— y tres exponentes.
4. Salen $\Delta p/(\rho n^{2}D^{2})$ , $Q/(nD^{3})$ y $\nu/(nD^{2})$ , y los dos primeros son los parámetros de Rateau.

	ecuación	sale
$M$	$1 + a = 0$	$a = -1$
$T$	$-2 - b = 0$	$b = -2$
$L$	$-1 - 3a + c = 0$	$c = -2$

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.6 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El proyectil rápido, y de dónde sale el número de Mach

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La resistencia $F$ sobre un proyectil de alta velocidad depende de la velocidad $V$ del proyectil, de la densidad del fluido $\rho$ , de la velocidad del sonido $a$ , del diámetro del proyectil $D$ y de la viscosidad del fluido $\mu$ .

a) Encontrar los parámetros adimensionales que definen el fenómeno físico, mediante el teorema de $\pi$ . Hágase el problema por el método rápido.

Los tres parámetros adimensionales, tomando la velocidad del sonido como repetida.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado incluye la velocidad del sonido entre las variables. ¿Qué está diciendo con eso?
02
El exponente de la velocidad del sonido
COMP2
En $\pi_1 = F \cdot \rho^{x} a^{y} D^{z}$ , ¿cuánto vale $y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El tercer grupo
COMP2
El tercer grupo es $\mu/(\rho\,a\,D)$ . ¿Qué número adimensional conocido es su inverso?
Tu respuesta al paso 3escribe 1 si es un Reynolds, 2 si es un Froude, 3 si es un Weber — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Seis variables y tres dimensiones dan tres grupos adimensionales.
2. Con $\rho$ , $a$ y $D$ como repetidas, los tres grupos se forman con $F$ , $V$ y $\mu$ .
3. Sale $F/(\rho a^{2}D^{2})$ , el número de Mach $V/a$ y un Reynolds construido sobre la velocidad del sonido.
4. La ley adimensional queda $F/(\rho a^{2}D^{2}) = f(M,\ 1/Re_a)$ .

	ecuación	sale
$M$	$1 + x = 0$	$x = -1$
$T$	$-2 - y = 0$	$y = -2$
$L$	$1 - 3x + y + z = 0$	$z = -2$

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.7 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Los mismos π con otras repetidas, y la rugosidad de protagonista

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La ecuación que expresa la ley de resistencia para la circulación de un fluido por tuberías es la siguiente:

F\!\left(\rho,\ \mu,\ \varepsilon,\ V,\ D,\ \frac{dp}{dx}\right) = 0

a) Aplicar el teorema de Buckingham para la determinación de los parámetros adimensionales. Tómese como sistema de variables repetidas $\mu$ , $\varepsilon$ , $\rho$ .

Los tres parámetros adimensionales con esas variables repetidas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las repetidas son $\mu$ , $\varepsilon$ y $\rho$ , no las de siempre. ¿Qué cambia eso?
02
Cuántos grupos
COMP2
¿Cuántos parámetros adimensionales salen?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El exponente de la rugosidad en el grupo del gradiente
COMP2
En $\pi_2 = \dfrac{dp}{dx}\cdot\mu^{x}\varepsilon^{y}\rho^{z}$ , ¿cuánto vale $y$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Seis variables y tres dimensiones dan tres grupos.
2. Con $\mu$ , $\varepsilon$ y $\rho$ repetidas, los grupos se forman con $V$ , $dp/dx$ y $D$ .
3. Salen $V\varepsilon\rho/\mu$ , $(dp/dx)\rho\varepsilon^{3}/\mu^{2}$ y $D/\varepsilon$ .
4. El tercero, $D/\varepsilon$ , es el inverso de la rugosidad relativa de siempre.

	ecuación	sale
$T$	$-2 - x = 0$	$x = -2$
$M$	$1 + x + z = 0$	$z = 1$
$L$	$-2 - x + y - 3z = 0$	$y = 3$

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.8 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Los cuatro grupos de una hélice, y por qué son cuatro y no tres

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La potencia $P$ obtenida en una hélice depende de la densidad del aire $\rho$ , el diámetro de la hélice $D$ , la velocidad de la corriente $v$ , la velocidad de rotación de la hélice $n$ , la viscosidad dinámica del aire $\mu$ y la velocidad del sonido $a$ .

a) Encontrar los parámetros adimensionales que definan el fenómeno físico.

Los cuatro parámetros adimensionales, con ρ, D y n como repetidas.

01
Cuántos grupos
COMP2
¿Cuántos parámetros adimensionales van a salir?
Tu respuesta al paso 1un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
02
El exponente del diámetro en el grupo de la potencia
COMP2
En $\pi_1 = P\cdot\rho^{x}D^{y}n^{z}$ , ¿cuánto vale $y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reconocer el camino
COMP1
Los otros tres grupos son $v/(Dn)$ , $\mu/(\rho D^{2}n)$ y $a/(Dn)$ . ¿Qué tienen en común?
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Siete variables y tres dimensiones fundamentales dan cuatro grupos.
2. Con $\rho$ , $D$ y $n$ como repetidas, cada una de las cuatro variables restantes forma su grupo.
3. El de la potencia sale $P/(\rho D^{5}n^{3})$ , que es el coeficiente de potencia de cualquier máquina de flujo.
4. Los otros tres comparan la velocidad de la corriente, la del sonido y la viscosidad con la velocidad de punta de pala $Dn$ .

	ecuación	sale
$M$	$1 + x = 0$	$x = -1$
$T$	$-3 - z = 0$	$z = -3$
$L$	$2 - 3x + y = 0$	$y = -5$

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El empuje de una hélice, y la ley adimensional entera

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El empuje producido por una hélice cualquiera de un conjunto de hélices de aeroplano, geométricamente semejantes, se determina experimentalmente a partir de un ensayo en un túnel aerodinámico con un modelo.

El empuje $F$ depende de la velocidad de rotación $n$ , de la velocidad de avance $V$ , del diámetro de la hélice $D$ , de la viscosidad del aire $\mu$ , de la densidad $\rho$ y de la velocidad del sonido $a$ .

a) Hallar los parámetros adimensionales y la función que los relaciona, tomando como variables repetidas $\rho$ , $n$ y $D$ .

Los cuatro grupos y la ley adimensional que los relaciona.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide «los parámetros y la función que los relaciona». ¿Qué añade eso?
02
El exponente del diámetro en el grupo del empuje
COMP2
En $\pi_1 = F\cdot\rho^{x}n^{y}D^{z}$ , ¿cuánto vale $z$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reconocer el camino
COMP1
El ejercicio 5.14 usaba $R = \rho V^{2}D^{2}f(VD/\nu,\ V/(ND))$ para la misma hélice. ¿Contradice a este?
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Siete variables y tres dimensiones dan cuatro grupos.
2. Con $\rho$ , $n$ y $D$ repetidas, el del empuje sale $F/(\rho n^{2}D^{4})$ .
3. Los otros tres son $V/(nD)$ , $\mu/(\rho nD^{2})$ y $a/(nD)$ .
4. Queda $F/(\rho n^{2}D^{4}) = f\!\left(V/(nD),\ \mu/(\rho nD^{2}),\ a/(nD)\right)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.10 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Siete grupos para una tubería, y por qué el tema 18 usa solo dos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar de qué parámetros $\pi$ adimensionales depende la pérdida de carga en una tubería, sabiendo que la caída de presión es función del diámetro $D$ , la longitud $L$ , la rugosidad $\varepsilon$ , la velocidad media $V$ , la viscosidad del fluido que circula $\mu$ , la densidad del mismo $\rho$ , la tensión superficial $\sigma$ , la gravedad $g$ y el módulo de elasticidad volumétrico $K$ .

a) De los parámetros que se obtengan, indicar su nombre y la relación de fuerzas a que equivale.

Nota: tómense como variables repetidas $\rho$ , $V$ , $D$ .

Los siete parámetros adimensionales, con su nombre y la relación de fuerzas de cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Diez variables y tres dimensiones. ¿Cuántos grupos salen?
02
El grupo de la gravedad
COMP2
En $\pi = g\cdot\rho^{x}V^{y}D^{z}$ , ¿cuánto vale $y$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reconocer el camino
COMP1
El tema 18 dice que el coeficiente de frotamiento depende solo de $Re$ y de $\varepsilon/D$ . Aquí han salido siete grupos. ¿Se contradicen?
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura de los siete grupos. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $L/D$ y $\varepsilon/D$ son puramente geométricos: no llevan ninguna magnitud física dentro.
2. $\Delta p/(\rho V^{2})$ es el número de Euler, y compara las fuerzas de presión con las de inercia. Es la incógnita.
3. $\mu/(\rho V D)$ es el inverso del Reynolds, que compara las viscosas con las de inercia; $gD/V^{2}$ , el inverso del cuadrado del Froude, que compara la gravedad con la inercia.
4. $K/(\rho V^{2})$ es el inverso del Cauchy, que compara las elásticas con las de inercia, y solo cuenta si el fluido es compresible.

Resolución completa

Cuántos. Diez variables y tres dimensiones: siete grupos.

Los siete, con $\rho$ , $V$ y $D$ como repetidas, y lo que significa cada uno:

grupo	nombre	compara
$L/D$	—	geometría
$\varepsilon/D$	rugosidad relativa	geometría
$\Delta p/(\rho V^{2})$	Euler	presión / inercia
$\mu/(\rho V D)$	inverso de Reynolds	viscosas / inercia
$gD/V^{2}$	inverso de Froude $^{2}$	gravedad / inercia
$\sigma/(\rho V^{2}D)$	inverso de Weber	tensión superficial / inercia
$K/(\rho V^{2})$	inverso de Cauchy	elásticas / inercia

Y ahora la parte que importa, porque el tema 18 resuelve este mismo problema con dos grupos y no con siete:

el Euler no es un dato, es la incógnita: se despeja a un lado;
el Froude necesita superficie libre, y una tubería llena no la tiene;
el Weber necesita una interfaz entre dos fluidos, y tampoco la hay;
el Cauchy necesita compresibilidad, y un líquido no la tiene a estas presiones;
y $L/D$ no desaparece: sale factorizado, y es la $L/D$ que Darcy-Weisbach lleva delante.

Quedan $Re$ y $\varepsilon/D$ , que es exactamente $f = f(Re,\ \varepsilon/D)$ — el ábaco de Moody.

Lo que hay que llevarse. El análisis dimensional dice de qué puede depender un fenómeno; decidir cuáles de esos grupos intervienen de verdad es un paso aparte, y es física, no álgebra. Los siete grupos de aquí y los dos del tema 18 no se contradicen: los cinco que faltan se han descartado uno a uno, con motivo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.11 · Colección de Problemas, capítulo 5 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El submarino a escala, y la velocidad que nadie puede dar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un modelo de submarino a escala $1{:}15$ va a ser ensayado en un canal hidrodinámico de agua salada. Si el submarino se mueve a una velocidad de 12 millas por hora, ¿a qué velocidad deberá ser arrastrado el modelo para que exista semejanza dinámica?

La velocidad de arrastre del modelo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El submarino navega completamente sumergido. ¿Qué número adimensional hay que igualar?
02
La velocidad del modelo
COMP2
¿A cuántas millas por hora hay que arrastrar el modelo? (solo el número)
Tu respuesta al paso 2una velocidad en millas por hora, solo el número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sumergido no hay superficie libre, así que la gravedad no interviene y la semejanza dinámica es la de Reynolds.
2. Con el mismo fluido en modelo y prototipo, igualar Reynolds obliga a que la velocidad crezca en la misma proporción en que el tamaño decrece.
3. De ahí las 180 millas por hora: unos 80 m/s en un canal de agua, que no es un ensayo realizable.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.14 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

La hélice, y por qué no se pueden cumplir las dos semejanzas a la vez

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para estudiar las características de una hélice de $4$ m de diámetro, girando a $100$ rpm, se realiza una maqueta semejante geométricamente, de $0{,}50$ m de diámetro. En estas condiciones, despreciando la gravedad, se sabe que la fuerza de propulsión de la hélice puede expresarse bajo la forma

R = \rho\,V^{2}D^{2}\,f\!\left(\frac{VD}{\nu},\ \frac{V}{ND}\right)

Se pide:

a) Demostrar que, si la maqueta se mueve en el mismo fluido que el prototipo, la semejanza dinámica completa es imposible. Considerar inapropiada $N_m > 4000$ rpm.

b) Despreciando la viscosidad, si se hace girar la maqueta a $360$ rpm, la fuerza de propulsión es de $23$ kg, el par aplicado $2{,}27$ mkg y la velocidad $V = 9$ km/h, determinar estos valores en el prototipo.

Por qué la semejanza completa es imposible, y la velocidad, fuerza y par del prototipo.

01
Reconocer el camino
COMP1
La ley adimensional tiene dos grupos. ¿Qué exige la semejanza dinámica completa?
02
El régimen que exigiría la semejanza completa
COMP2
Con el mismo fluido en los dos, ¿a cuántas rpm habría que girar la maqueta para cumplir los dos grupos?
Tu respuesta al paso 2una velocidad de giro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad del prototipo
COMP2
Despreciando ya la viscosidad, con la maqueta a $360$ rpm y $9$ km/h, ¿a qué velocidad va el prototipo?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza de propulsión del prototipo
COMP2
¿Y la fuerza?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La semejanza dinámica completa exige que coincidan los dos grupos, $VD/\nu$ y $V/(ND)$ .
2. Con el mismo fluido, igualar Reynolds obliga a que el modelo vaya $\lambda$ veces más rápido que el prototipo.
3. Metiendo esa velocidad en el segundo grupo, el régimen del modelo sale $\lambda^{2}$ veces el del prototipo: 6400 rpm.
4. 6400 rpm está por encima del límite de 4000, así que el ensayo con semejanza completa no es realizable.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.16 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

A qué velocidad cavita el torpedo si baja doce metros más

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Al acelerar el agua desde el reposo hasta una velocidad determinada la presión desciende, hasta el punto de poder producirse la cavitación. Esto ocurre, por ejemplo, en la región de bajas presiones asociadas a los torbellinos de punta de pala en una hélice de barco.

Por esta razón, cuando un torpedo se mueve $8$ m por debajo de la superficie del agua del mar con una velocidad de $21$ m/s, analizando el flujo relativo del agua respecto al torpedo se produce un descenso de presión que produce cavitación.

Recordando que el estudio de un fenómeno en la investigación experimental en mecánica de fluidos está definido por la expresión $Eu = f(Fr,\ Re,\ M)$ y que el número de Euler es $Eu = \Delta p/(\rho v^{2})$ , hallar:

a) Si los efectos de viscosidad, gravedad y compresibilidad son despreciables, ¿a qué velocidad se producirá cavitación cuando se mueva a $20$ m de profundidad?

b) Si se quieren tener en cuenta los efectos de la viscosidad, ¿a qué escala se debería construir el modelo del torpedo que, moviéndose a $20$ m de profundidad, fuese dinámicamente semejante al prototipo, que se mueve a $8$ m?

c) Con este modelo, ¿se puede asegurar la semejanza absoluta?

Datos: $p_v = 2400$ Pa (absoluta); $p_{atm} = 101$ kPa; $\rho_{agua} = 1025\ \text{kg/m}^{3}$ .

La velocidad de cavitación a 20 m, la escala del modelo y si hay semejanza absoluta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el $\Delta p$ que hay que meter en el número de Euler?
02
La velocidad a veinte metros
COMP2
¿A qué velocidad cavitará el torpedo a $20$ m de profundidad?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La escala del modelo
COMP2
Si además hay que igualar el Reynolds, ¿qué escala $L_p/L_m$ tiene el modelo?
Tu respuesta al paso 3una relación de escala, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
El apartado c) pregunta si hay semejanza absoluta. Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La semejanza absoluta exigiría igualar a la vez Euler, Reynolds, Froude y Mach.
2. Euler y Reynolds sí se han igualado: son los que han fijado la velocidad y la escala.
3. Mach no interviene, porque a estas velocidades el agua no se comporta como compresible.
4. Como flujo en carga la semejanza vale, pero teniendo en cuenta el número de Froude, no.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.17 · Colección de Problemas, capítulo 5 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Dos tuberías, dos líquidos, y el mismo flujo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Agua a $15{,}6\ °\text{C}$ fluye a $3{,}66\ \text{m/s}$ a través de una tubería de $15{,}2\ \text{cm}$ . Para que exista semejanza hidráulica:

a) ¿A qué velocidad debe fluir el keroseno ( $s = 0{,}77$ ) a $10\ °\text{C}$ por una tubería de $30{,}5\ \text{cm}$ ?

b) ¿Qué diámetro de tubería se utilizaría si la velocidad del keroseno fuera de $19{,}2\ \text{m/s}$ ?

c) Si la caída de presión $\Delta P$ en el agua es $0{,}5$ bar, ¿cuál será la caída de presión (en metros de columna de keroseno) en la tubería donde fluye keroseno en el caso b?

Datos: $\nu_{\text{agua}}(15{,}6\ °\text{C}) = 1{,}07\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ (cuadro n.º 8); $\nu_{\text{keroseno}}(10\ °\text{C}) = 3{,}0\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ (ábaco de viscosidades).

La velocidad, el diámetro y la caída de presión del keroseno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Aquí no hay maqueta ni prototipo: son dos tuberías reales con dos líquidos distintos. ¿Qué significa entonces «semejanza hidráulica»?
02
La velocidad del keroseno
COMP2
¿A qué velocidad debe fluir el keroseno por la tubería de $30{,}5\ \text{cm}$ ?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro para 19,2 m/s
COMP2
Si el keroseno fuera a $19{,}2\ \text{m/s}$ , ¿qué diámetro haría falta?
Tu respuesta al paso 3un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La caída de presión
COMP2
¿Cuántos metros de columna de keroseno cae la presión en el caso b?
Tu respuesta al paso 4una altura de columna, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Semejanza hidráulica en tubería es igualdad de Reynolds: $VD/\nu$ vale lo mismo en los dos flujos.
2. Con eso, el keroseno en el tubo de 30,5 cm tiene que ir a 5,11 m/s, y si se le obliga a ir a 19,2 el tubo baja a 8,11 cm.
3. Y como los dos flujos son semejantes, sus números de Euler coinciden: la caída de presión escala con $\rho V^{2}$ y sale de 140,4 m de columna de keroseno.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.18 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

El vertedero a escala 1:20, con la ley de Froude

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un vertedero en pared gruesa se investiga en el laboratorio con un modelo geométricamente semejante, construido a escala $1{:}20$ . Determinar:

a) La carga necesaria en el vertedero modelo $h_m$ si en el prototipo es de $3$ m. b) El caudal en el prototipo, si en el modelo es $0{,}19\ \text{m}^{3}/\text{s}$ . c) La carga de presión sobre el vertedero prototipo, si en el modelo se obtuvo una presión de vacío de $200$ mm de columna de agua.

En vista del poco efecto de la viscosidad, el modelo se probó de acuerdo con la ley de Froude.

La carga del modelo, el caudal del prototipo y su carga de presión.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se ensaya con la ley de Froude y no con la de Reynolds?
02
El caudal del prototipo
COMP2
Con $0{,}19\ \text{m}^{3}/\text{s}$ en el modelo, ¿cuánto pasa por el prototipo?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La carga de presión del prototipo
COMP2
En el modelo se midió una presión de vacío de $200$ mm de columna de agua. ¿Cuánto vale en el prototipo?
Tu respuesta al paso 3una carga de presión en metros de columna de agua, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al haber superficie libre manda la gravedad, así que el ensayo se hace con igualdad de número de Froude.
2. Las longitudes escalan con $\lambda$ , así que la carga del modelo es $3/20 = 0{,}15$ m.
3. Por Froude, las velocidades escalan con $\sqrt{\lambda}$ , y el caudal —área por velocidad— con $\lambda^{5/2}$ .
4. La carga de presión, al ser una longitud, escala con $\lambda$ : $-0{,}2\cdot 20 = -4$ m.

Resolución completa

La ley que toca. Hay superficie libre, así que manda la gravedad y el ensayo se hace con igualdad de Froude. La viscosidad se desprecia, y el enunciado lo dice expresamente.

Las tres respuestas, cada una con su exponente:

magnitud	escala	resultado
carga $h$	$\lambda$	$3/20 = 0{,}15$ m
caudal $Q$	$\lambda^{5/2}$	$0{,}19\cdot 1788{,}9 = 339{,}9$ m³/s
carga de presión	$\lambda$	$-0{,}2\cdot 20 = -4$ m c. de agua

Lo que hay que llevarse. El exponente no se memoriza, se reconstruye: las longitudes van con $\lambda$ ; las velocidades, por Froude, con $\sqrt\lambda$ ; y el caudal, que es área por velocidad, con $\lambda^{2}\cdot\lambda^{1/2} = \lambda^{5/2}$ . Una carga de presión, por mucho que salga de un ensayo de caudales, sigue siendo una longitud.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.19 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Análisis dimensional y semejanza de modelos · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Seis grupos para un canal, y el líquido que hay que buscar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea estudiar la caída de presión de un fluido ( $\nu = 4{,}7\cdot 10^{-5}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ) a lo largo de un canal de sección semicircular de diámetro $D$ . Se sabe que dicha caída depende de las siguientes variables: densidad del fluido circulante $\rho$ , velocidad media del flujo $V$ , longitud del canal $L$ , rugosidad de las paredes $\varepsilon$ , diámetro del canal $D$ , gravedad $g$ , viscosidad absoluta $\mu$ y calado $h$ .

\Delta p = f(\rho,\ V,\ L,\ \varepsilon,\ D,\ g,\ \mu,\ h)

Aplicando el análisis dimensional:

a) ¿Cuántos parámetros adimensionales intervienen en el fenómeno? b) Obtener dichos parámetros. Variables repetidas: $\rho$ , $D$ y $V$ . c) Determinar la viscosidad cinemática del fluido a utilizar en el ensayo del modelo para obtener la semejanza absoluta. Dato: $\lambda = D_{prototipo}/D_{modelo} = 10$ .

Razónese todo lo que se haga.

El número de grupos, los grupos, y la viscosidad cinemática del fluido del modelo.

01
Cuántos grupos
COMP2
¿Cuántos parámetros adimensionales salen?
Tu respuesta al paso 1un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
02
Reconocer el camino
COMP1
Este canal tiene un grupo que la tubería del ejercicio 5.10 no tenía: $h/D$ . ¿Por qué aparece aquí?
03
La viscosidad del fluido del modelo
COMP2
Para semejanza absoluta con $\lambda = 10$ , ¿qué viscosidad cinemática hace falta en el modelo?
Tu respuesta al paso 3una viscosidad cinemática, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La semejanza absoluta exige cumplir a la vez todos los grupos que intervienen, y aquí eso son Froude y Reynolds.
2. Froude no deja elegir la velocidad del modelo: la fija en $\lambda^{-1/2}$ veces la del prototipo.
3. Con la velocidad ya fijada, Reynolds solo se puede cumplir cambiando el fluido.
4. De ahí $\nu_m = \nu_p\,\lambda^{-3/2} = 1{,}486\cdot 10^{-6}$ m²/s, muy cerca del agua fría.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.20 · Colección de Problemas, capítulo 5 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El pilar del puente, y por qué aquí manda Froude

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un pilar o columna rectangular de un puente sobre un río tiene un espesor de $1{,}20\ \text{m}$ y $3{,}65\ \text{m}$ de ancho, para una altura media en el río de $2{,}75\ \text{m}$ . Se ha realizado el experimento en un modelo a escala $1/16$ , con una velocidad de $0{,}76\ \text{m/s}$ , obteniéndose una fuerza que actúa sobre el pilar de $0{,}409\ \text{kg}$ . Se pide:

a) Determinar los valores correspondientes a la velocidad y fuerza en el prototipo.

b) En el modelo se observó una onda estacionaria de $4{,}9\ \text{cm}$ de altura al frente del pilar y se desea conocer la altura que tendrá en el prototipo.

c) De acuerdo con la definición de coeficiente de arrastre $C_R = F_R/(A\rho V^{2}/2)$ , determinar dicho coeficiente en el pilar en el modelo y el prototipo.

d) ¿Se verifica la semejanza u homología total? Razona la contestación.

Velocidad y fuerza en el prototipo, la altura de la onda, los coeficientes de arrastre y si hay homología total.

01
Reconocer el camino
COMP1
El pilar atraviesa la superficie del río y delante de él se forma una onda. ¿Qué número gobierna el ensayo?
02
La velocidad del río
COMP2
¿A qué velocidad corresponde el ensayo en el prototipo?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza sobre el pilar real
COMP2
¿Qué fuerza soporta el pilar del puente?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El coeficiente de arrastre
COMP2
¿Cuánto vale $C_R$ en el prototipo? Toma como área frontal el espesor por el calado, $1{,}20\cdot 2{,}75$ .
Tu respuesta al paso 4un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con superficie libre manda Froude, así que la velocidad escala con $\sqrt{16} = 4$ y la fuerza con $16^{3} = 4096$ .
2. El río va a 3,04 m/s, el pilar aguanta 16,4 kN y la onda estacionaria mide 78,4 cm, dieciséis veces la del modelo.
3. El coeficiente de arrastre sale 1,076 en los dos, que es lo que confirma que los dos flujos son semejantes en Froude.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Análisis dimensional y teoría de modelos

Por qué funciona

El teorema de Vaschy-Buckingham

El procedimiento, en seis pasos

Los cinco números, y qué manda en cada caso

Semejanza: tres, y cada una exige la anterior

La pregunta que cae siempre: ¿es posible la semejanza absoluta?

Las tres salidas

Las escalas, que son lo que se calcula

Lo que no cambia con la escala

Reconocer el camino

El exponente de la densidad

El número de Reynolds

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal del modelo

La velocidad en la presa real

La fuerza sobre la presa, en newtons

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La viscosidad del líquido del modelo

La relación de caudales

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad de giro del modelo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El exponente de la densidad en el primer parámetro

El exponente del diámetro en el primer parámetro

El exponente de la velocidad en el parámetro de la gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El Reynolds del prototipo

El diámetro del modelo

La escala de pérdidas de carga

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad del modelo

La viscosidad que hace falta

La resistencia del prototipo

El rendimiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El exponente de la velocidad de giro

El exponente del diámetro en el grupo del caudal

Reconocer el camino

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El exponente de la velocidad del sonido

El tercer grupo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántos grupos

El exponente de la rugosidad en el grupo del gradiente

Justificar el argumento

Cuántos grupos

El exponente del diámetro en el grupo de la potencia

Reconocer el camino

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El exponente del diámetro en el grupo del empuje

Reconocer el camino

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El grupo de la gravedad

Reconocer el camino

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad del modelo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El régimen que exigiría la semejanza completa

La velocidad del prototipo

La fuerza de propulsión del prototipo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad a veinte metros

La escala del modelo

Justificar el argumento

Reconocer el camino