Mecánica de Fluidos · tema 17

Efectos de la viscosidad en flujos

Dónde vuelve la viscosidad después de dieciséis temas ignorándola, y las dos ideas que hacen falta para el ábaco de Moody.

La viscosidad se definió en el tema 2 y desde entonces no ha aparecido. No fue un olvido: en estática no produce ningún efecto, y en dinámica se ha venido suponiendo fluido perfecto —viscosidad nula— para poder llegar a Euler y de ahí a Bernoulli.

Ese es el precio que Bernoulli lleva pagado: dice que la energía se conserva, y en una tubería real no se conserva. Este tema levanta esa hipótesis, y los dos siguientes calculan cuánta energía se pierde.

Lo que hay que sacar de aquí son dos ideas, y las dos son la base del ábaco de Moody:

el número de Reynolds decide el régimen, y
junto a la pared siempre hay una película laminar, aunque el resto del flujo sea turbulento.

Flujo interno y flujo externo

Dos familias, y no se resuelven igual:

Interno: completamente limitado por superficies sólidas. Tuberías, toberas, difusores, válvulas, ensanchamientos. El régimen lo decide el Reynolds y poco más. Es lo que ocupa el resto de la asignatura.
Externo: un cuerpo sumergido en un fluido sin fronteras, que se supone de extensión infinita. Un ala, un casco, un pilar de puente.

En flujo externo la teoría trabaja partiendo el campo en dos zonas: una capa delgada pegada al cuerpo donde la viscosidad importa —la capa límite— y todo lo demás, donde el fluido se puede tratar como ideal. Esa partición es de Prandtl y es lo que reconcilia los dieciséis temas anteriores con la realidad: Bernoulli seguía valiendo, pero solo fuera de la capa límite.

La experiencia de Reynolds

En 1883 Osborne Reynolds montó un tubo de vidrio horizontal alimentado desde un depósito, con una válvula al final para regular el caudal, e inyectó un filete de colorante dentro.

Con caudal pequeño, el filete se mantenía recto y sin mezclarse: flujo laminar.
Al abrir la válvula, el filete empezaba a ondularse.
Con más caudal aún, el filete se rompía bruscamente y el color se difundía por todo el tubo: flujo turbulento.

Lo que buscaba no era el colorante, era el grupo adimensional. Ya había deducido de las ecuaciones diferenciales que dos flujos son dinámicamente semejantes si comparten $\rho v L/\mu$ , y por eso ese cociente lleva su nombre:

Re = \frac{\rho\,v\,L}{\mu} = \frac{v\,L}{\nu}

En tuberías, $L$ es el diámetro y $v$ la velocidad media.

Los números críticos, y cuáles importan

Reynolds llegó a $Re = 12.000$ sin que apareciera turbulencia. Investigadores posteriores, con su mismo equipo, dejando el agua quieta varios días y evitando vibraciones, llegaron a 40.000.

Esos números no sirven para nada práctico, y conviene entender por qué: una instalación real tiene codos, soldaduras, vibraciones y un bombeo detrás, y con esas irregularidades la turbulencia aparece muchísimo antes. Son un récord de laboratorio, no un dato de diseño.

Los que se usan son los otros dos, los que salen bajando el caudal desde turbulento:

	régimen	qué manda
$Re < 2000$	laminar	las fuerzas viscosas. Se cumple la ley de Newton
$2000 < Re < 4000$	indeterminado	ni una cosa ni otra: zona crítica
$Re > 4000$	turbulento	la turbulencia anula casi del todo la viscosidad. No se cumple la ley de Newton

La zona crítica no es «más o menos laminar»: es una zona en la que no se diseña

Entre 2000 y 4000 el flujo no está entre dos cosas, va saltando de una a otra. Y el salto se realimenta solo, que es lo que hace el fenómeno interesante — se llama intermitencia y se explica entero con Bernoulli:

En una tubería alimentada por un depósito de nivel constante, la altura disponible $H$ se reparte entre energía cinética y pérdida de carga, y es fija. Si el flujo se pone turbulento, la pérdida crece —pasa a ir con $v^{1{,}75}$ o $v^{2}$ en vez de con $v$ —, así que a la velocidad le queda menos altura y baja; al bajar la velocidad baja el Reynolds y el flujo vuelve a laminar; con la pérdida laminar, más pequeña, la velocidad sube y vuelve a hacerse turbulento. Y otra vez.

Consecuencia de ingeniería, que es lo que se pregunta: en esa franja no se trabaja. No porque no se sepa calcular, sino porque el caudal real oscila y cualquier número que se calcule es una media de dos estados distintos.

Un ejemplo que fija el orden de magnitud

Un tubo de $40\ \text{mm}$ , y dos fluidos:

fluido	$\nu$ (m²/s)	velocidad a la que deja de ser laminar
agua a 20 °C	$10^{-6}$	$0{,}05\ \text{m/s}$
aceite	$10^{-4}$	$5\ \text{m/s}$

Cinco centímetros por segundo. En la práctica, el agua en una conducción va siempre en régimen turbulento, y el laminar queda para aceites, para tubos capilares y para el laboratorio. Eso explica que el resto de la asignatura se dedique casi entero al turbulento.

La capa límite

Prandtl, 1904. La idea de partida es la condición de no deslizamiento: el fluido en contacto con un sólido tiene exactamente su velocidad. Si la pared está quieta, ahí el fluido está quieto.

Alejándose de la pared, la velocidad crece hasta alcanzar la de la corriente libre. Esa región donde la velocidad cambia es la capa límite, y su espesor $\delta$ se define, por convenio, como la distancia a la que el fluido va al 99 % de la velocidad libre.

Dentro de la capa hay tensión de cortadura, porque hay gradiente de velocidad:

\tau = \mu\,\frac{du}{dy} \quad\text{(laminar)} \qquad\qquad \tau = \eta\,\frac{du}{dy} \quad\text{(turbulenta)}

y en la segunda $\eta$ no es una propiedad del fluido, es la viscosidad de turbulencia o de remolino: depende del flujo, no del líquido.

La capa límite también cambia de régimen

Sobre una placa plana, la capa empieza laminar en el borde de ataque y va engordando. Cuando alcanza cierto espesor se vuelve inestable y pasa a turbulenta. La transición se produce, medida experimentalmente, para

Re_x = \frac{v\,x}{\nu} \quad\text{entre } 5\cdot 10^{5} \text{ y } 10^{6}

donde $x$ es la distancia desde el borde de ataque, no el diámetro. Es el mismo número con otra longitud característica, y confundir las dos es el error de bulto del tema.

La subcapa laminar existe siempre, y es la que decide todo el tema 18

Aquí está la idea que hay que llevarse, porque sin ella el tema 18 no se entiende:

Por muy turbulento que sea el flujo, pegada a la pared queda una película donde el régimen es laminar. El motivo es geométrico antes que físico: la turbulencia es movimiento transversal, y a un milímetro de la pared no cabe movimiento transversal. La pared lo prohíbe.

Esa película se llama subcapa laminar, y su espesor es inversamente proporcional al número de Reynolds: cuanto más rápido va el flujo, más fina es.

Y de ahí sale el tema siguiente entero. Las rugosidades de la pared miden lo que miden. Si la subcapa las tapa, el fluido no las ve y el tubo se comporta como liso; si el Reynolds sube y la subcapa adelgaza hasta que las rugosidades asoman, el mismo tubo pasa a comportarse como rugoso.

Por eso en el tema 18 se dice que un tubo no es liso o rugoso: se comporta como uno u otro según a qué velocidad vaya el fluido.

Los perfiles de velocidad

En una tubería, el perfil no es el mismo desde la entrada. El fluido entra casi plano; el rozamiento frena las capas de la pared y, por continuidad, la zona central se acelera. La capa límite crece hasta llenar el conducto, y a partir de esa sección el régimen está dinámicamente establecido: el perfil ya no cambia con la distancia.

El perfil establecido es distinto según el régimen, y la diferencia tiene consecuencias:

Laminar: parábola. La velocidad en el eje es el doble de la media.
Turbulento: logarítmico, y en la práctica casi plano. Casi toda la variación ocurre dentro de la subcapa laminar, en una franja finísima.

En laminar la velocidad varía por toda la sección y la del eje es el doble de la media. En turbulento el perfil es casi plano y toda la caída ocurre dentro de la subcapa laminar, que en una tubería de 100 mm mide una décima de milímetro. Por eso en turbulento se puede trabajar con la velocidad media sin corregir casi nada — los coeficientes alfa y beta de los temas 12 y 14 valen prácticamente 1.

Lo que este tema tiene en el programa y no en el material

El apartado 17.4 del temario oficial —«Resistencia sobre cuerpos sumergidos. Coeficientes de resistencia y de sustentación»— no está en los apuntes ni en las diapositivas de la asignatura, y la colección de problemas tampoco trae ningún ejercicio de flujo externo sobre cuerpos.

Se dice aquí en vez de rellenarlo por nuestra cuenta, que sería inventar lo que esta escuela enseña. Lo que sí aparece en examen son los coeficientes $C_D$ y $C_L$ como parámetros adimensionales dentro de un problema de teoría de modelos —el ala en el túnel aerodinámico—, y eso está en el tema 16, «Análisis dimensional y teoría de modelos».

Practica lo que acabas de leer

A qué velocidad deja de ser laminar el agua, y a cuál el aceite

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

A qué velocidad deja de ser laminar el agua, y a cuál el aceite

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por un tubo de $40\ \text{mm}$ de diámetro circula primero agua a $20\ °\text{C}$ ( $\nu = 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ) y después un aceite ( $\nu = 10^{-4}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ).

a) Clasificar el régimen del aceite cuando circula a $1\ \text{m/s}$ .

b) Calcular, para cada fluido, la velocidad a la que el flujo deja de ser laminar.

El régimen del aceite y las dos velocidades críticas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con los mismos tubo y velocidad, ¿por qué el aceite puede ir laminar y el agua no?
02
El Reynolds del aceite
COMP2
¿Qué número de Reynolds tiene el aceite a $1\ \text{m/s}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad crítica del agua
COMP2
¿A qué velocidad deja el agua de ser laminar en ese mismo tubo?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El régimen lo fija el Reynolds, y con el mismo tubo y la misma velocidad solo cambia con la viscosidad cinemática del fluido.
2. El agua deja de ser laminar a 5 cm/s y el aceite a 5 m/s: cien veces más, tantas como veces más viscoso es.
3. De ahí que en las conducciones de agua reales el régimen sea siempre turbulento, y que el laminar quede para aceites y tubos capilares.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Dónde se vuelve turbulenta la capa límite de una placa

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sobre una placa plana de $2\ \text{m}$ de longitud incide aire a $20\ °\text{C}$ ( $\nu = 1{,}5\cdot 10^{-5}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ) con una velocidad de $10\ \text{m/s}$ , paralelo a la placa.

Tomando $Re_x = 5\cdot 10^{5}$ como valor de transición, calcular a qué distancia del borde de ataque la capa límite pasa de laminar a turbulenta.

La distancia al borde de ataque donde la capa límite cambia de régimen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué longitud característica lleva el Reynolds en este problema?
02
La abscisa de transición
COMP2
¿A qué distancia del borde de ataque transita la capa límite?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En flujo externo la longitud característica es la distancia $x$ recorrida sobre la placa, así que el Reynolds crece a lo largo de ella.
2. Con $Re_x = 5\cdot 10^{5}$ la transición cae en $x = 0{,}75$ m, y como la placa mide 2 m, sobre ella conviven los dos regímenes.
3. A partir de esa abscisa la capa es turbulenta, pero pegada a la placa se forma una subcapa laminar, porque la pared impide el movimiento transversal.