Mecánica de Fluidos · tema 18

Pérdidas de carga en conductos cerrados

Darcy-Weisbach, las cinco fórmulas del coeficiente de frotamiento y cómo se usa el ábaco de Moody en los tres tipos de problema.

Este es el tema que arregla Bernoulli. Bernoulli decía $B_1 = B_2$ ; con viscosidad, lo que hay es

B_1 - h_f = B_2

y todo el tema consiste en calcular ese $h_f$ . Es de peso alto, aparece en casi todos los exámenes dentro de un problema mayor, y el 90 % del trabajo se reduce a una fórmula y a saber qué expresión usar para un coeficiente.

La ecuación de Darcy-Weisbach

Sale de un balance de fuerzas sobre un trozo de conducto de longitud $L$ , sección $A$ y perímetro mojado $P$ . Las cuatro fuerzas que actúan:

p_1A - p_2A + \gamma A L\sin\alpha = \tau\,L\,P

Con $\sin\alpha = \Delta z/L$ y dividiendo por el volumen $AL$ :

\frac{\Delta p}{L} + \gamma\,\frac{\Delta z}{L} = \tau\,\frac{P}{A}

Ahora entran dos cosas. La primera es de Prandtl: en flujo turbulento la tensión de cortadura es proporcional a la densidad y al cuadrado de la velocidad, $\tau = \lambda\rho v^{2}/2$ . La segunda es la definición de radio hidráulico, $R_H = A/P$ . Y la tercera, Bernoulli con pérdidas entre las dos secciones, que con régimen uniforme —misma velocidad en las dos— deja $\Delta p + \gamma\Delta z = \gamma h_f$ .

Juntándolo todo:

h_f = \lambda\,\frac{L}{R_H}\,\frac{v^{2}}{2g}

que es Darcy-Weisbach para sección cualquiera. En un tubo circular el radio hidráulico vale

R_H = \frac{A}{P} = \frac{\pi D^{2}/4}{\pi D} = \frac{D}{4}

y llamando $f = 4\lambda$ al coeficiente de frotamiento queda la forma que se usa siempre:

\boxed{\,h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^{2}}{2g}\,}

El radio hidráulico de un tubo lleno es D/4, no D/2

Es el despiste más caro del tema porque duplica el resultado y el número sigue pareciendo razonable.

$R_H$ no es un radio: es área partido por perímetro mojado, y en un tubo circular lleno eso da $D/4$ , la mitad del radio geométrico. Que se llame «radio» es un accidente histórico.

Dos consecuencias prácticas:

En un conducto no circular se usa $h_f = \dfrac{f}{4R_H}\dfrac{L\,v^{2}}{2g}$ , y el $f$ se obtiene igual que siempre entrando en Moody con $Re = v\,(4R_H)/\nu$ y con $\varepsilon/(4R_H)$ . Es decir: se sustituye $D$ por $4R_H$ en todas partes, no por $R_H$ .
En un canal, que no va lleno, el perímetro mojado es solo la parte que toca agua. Eso es el tema 21.

El coeficiente $f$ es adimensional y, como ya salió del análisis dimensional en el tema 16, depende de dos cosas y solo dos:

f = f\!\left(Re,\ \frac{\varepsilon}{D}\right)

donde $\varepsilon$ es el espesor medio de la rugosidad del material, tabulado en el cuadro nº 20 de «Cuadros y ábacos», y $\varepsilon/D$ es la rugosidad relativa.

Liso, semirrugoso y rugoso: no es el tubo, es el flujo

Aquí se cobra la idea del tema 17. Pegada a la pared hay siempre una subcapa laminar, cuyo espesor es inversamente proporcional al Reynolds. Comparándola con la altura de las rugosidades:

si	el tubo se comporta como	y entonces
$\delta_{sl} \gg \varepsilon$	liso	$f = f(Re)$
$\delta_{sl} \approx \varepsilon$	semirrugoso	$f = f(Re,\ \varepsilon/D)$
$\delta_{sl} \ll \varepsilon$	rugoso	$f = f(\varepsilon/D)$

Un tubo no es liso ni rugoso: se comporta como uno u otro según a qué velocidad vaya el fluido. La rugosidad relativa es fija; lo que cambia es la subcapa que la tapa.

Y las fronteras entre los tres comportamientos son valores del Reynolds, obtenidos experimentalmente:

\text{lisa} \to \text{semirrugosa:}\quad Re' = \frac{23}{\varepsilon/D} \qquad\qquad \text{semirrugosa} \to \text{rugosa:}\quad Re'' = \frac{560}{\varepsilon/D}

Con una tubería de rugosidad relativa $0{,}001$ , por ejemplo, eso son $Re' = 23.000$ y $Re'' = 560.000$ : entre esos dos valores está en la franja semirrugosa, que es donde cae la mayoría de los problemas reales.

En los ábacos se usa además una tercera versión de la segunda frontera, $Re'' = 200/\big((\varepsilon/D)\sqrt{f}\,\big)$ , que es la que aparece dibujada como línea de trazos.

De dónde salen el 23 y el 560

«Obtenidos experimentalmente» es verdad y es insuficiente: parecen dos constantes caídas del cielo, y no lo son. Salen de comparar la rugosidad con el espesor de la subcapa laminar.

La subcapa tiene espesor $\delta = 5\nu/v^{*}$ , donde $v^{*} = v\sqrt{f/8}$ es la velocidad de fricción. Dividiendo por el diámetro y metiendo el Reynolds:

\frac{\delta}{D} = \frac{5\sqrt{8}}{Re\sqrt f} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\varepsilon}{\delta} = \frac{(\varepsilon/D)\,Re\,\sqrt f}{14{,}14}

Nikuradse midió dónde está cada frontera con ese cociente: por debajo de $\varepsilon/\delta \approx 0{,}3$ la capa tapa los picos y el tubo se comporta como liso; por encima de $\approx 6$ los picos la atraviesan y se comporta como rugoso. Sustituyendo $Re' = 23/(\varepsilon/D)$ en la expresión de arriba sale $0{,}7\sqrt f$ , que con los $f$ del ábaco ronda justamente 0,3; y con $Re''$ , unos 6.

Y aquí conviene ser preciso, porque la versión bonita es falsa. Medido sobre el ábaco entero, $\varepsilon/\delta$ en la primera frontera va de 0,17 a 0,61, y en la segunda de 3,6 a 10,6: no son constantes. En las rugosidades habituales —de $10^{-4}$ a $10^{-2}$ — sí se quedan en 0,22-0,33 y 4,6-6,7. Es decir: el 23 y el 560 son la versión en Reynolds de un criterio sobre la subcapa, redondeada para no tener que iterar. Los rangos están medidos en tests/fisica/moody.test.ts, no estimados.

El simulador de abajo enseña las dos cosas a la vez. Arriba, el ábaco, que es la contabilidad. Abajo, la pared del tubo con sus picos y la subcapa encima, que es la física. Sube el Reynolds y verás adelgazar la capa hasta que los picos emergen — y en ese mismo instante, arriba, el punto cruza $Re''$ y la curva se aplana.

El ábaco de Moody, y la subcapa que hay debajo

mueve el Reynolds y mira las dos cosas a la vez

número de Reynolds 10⁵

rugosidad relativa ε/D 0,001

el ejercicio de junio de 2021

se comporta comosemirrugosoColebrook-White

coeficiente f0,0220si Re sube un 1 %, f baja 0,15 %

ε / δ1,4los picos, frente a la subcapa

las dos fronterasRe′ 2,3·10⁴ · Re″ 5,6·10⁵estás entre las dos

Los tres botones son los tres apartados del ejercicio 4 del tercer parcial de junio de 2021: el mismo tubo de 250 mm corroído, nuevo y en polietileno. Que las tres respuestas del examen sean tres puntos de esta figura es todo lo que hay que entender del tema.

Las cinco fórmulas, y cuándo se usa cada una

régimen	comportamiento	fórmula	quién	$h_f$ va con
laminar, $Re<2000$	(da igual)	$f = \dfrac{64}{Re}$	Hagen-Poiseuille	$v$
$2000<Re<4000$	zona crítica	no se trabaja aquí	—	—
turbulento, liso, $Re \le 10^{5}$	$Re<Re'$	$f = \dfrac{0{,}316}{Re^{0{,}25}}$	Blasius	$v^{1{,}75}$
turbulento, liso, $Re > 10^{5}$	$Re<Re'$	$\dfrac{1}{\sqrt f} = -2\log\dfrac{2{,}51}{Re\sqrt f}$	Karman-Prandtl	—
turbulento, semirrugoso	$Re'<Re<Re''$	$\dfrac{1}{\sqrt f} = -2\log\left(\dfrac{2{,}51}{Re\sqrt f} + \dfrac{\varepsilon/D}{3{,}71}\right)$	Colebrook-White	—
turbulento, rugoso	$Re>Re''$	$f = \dfrac{0{,}25}{\left[\log\dfrac{3{,}71}{\varepsilon/D}\right]^{2}}$	Karman-Prandtl	$v^{2}$

Tres lecturas que ahorran mucho tiempo:

En laminar, la rugosidad no interviene. Ni aparece. Un tubo de fundición oxidada y uno de vidrio pierden lo mismo si el Reynolds es el mismo.
Las dos de en medio son implícitas: $f$ aparece a los dos lados y hay que iterar, o leer el ábaco. Las otras dos son directas.
En rugoso, $f$ ya no depende del Reynolds. Por eso las curvas del ábaco se aplanan a la derecha, y por eso ahí $h_f$ va exactamente con $v^{2}$ .

Y una advertencia de notación que ahorra un susto: la fórmula de rugoso aparece escrita de otra manera en las soluciones oficiales, como

\frac{1}{\sqrt f} = 1{,}14 + 2\log_{10}\frac{D}{\varepsilon}

que es exactamente la misma —sale de la de la tabla sacando el logaritmo de $3{,}71$ — pero deja $f$ despejado en un paso y sin elevar al cuadrado. Es la que conviene usar cuando el problema pide la rugosidad en vez del coeficiente, porque en turbulencia completa $\varepsilon$ se despeja sin iterar. Si un resultado del boletín no cuadra por un 1 %, mira primero si estabas usando Colebrook donde el punto ya estaba en la zona plana.

Existen además expresiones explícitas aproximadas, de Swamee y Jain (P.S.A.K.), que sustituyen a las implícitas con muy buena precisión:

f = \frac{0{,}25}{\left[\log\left(\dfrac{\varepsilon/D}{3{,}71} + \dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}

y la misma sin el primer sumando para tubería lisa. Son útiles cuando no se tiene el ábaco delante, aunque en el examen de esta asignatura el ábaco se reparte.

El ábaco de Moody

Moody, 1944. No aporta física nueva: dibuja en papel logarítmico las cinco fórmulas de arriba para que no haya que iterar. En ordenadas, $f$ ; en abscisas, $Re$ ; y la rugosidad relativa como familia de curvas.

El ábaco no es un dibujo: son las cinco fórmulas puestas juntas. La recta de la izquierda es Hagen-Poiseuille; la franja roja es la zona crítica, donde no se diseña; la curva negra es la tubería lisa, que baja sin parar; y las curvas de rugosidad se despegan de ella —antes cuanto más rugosas— hasta quedar horizontales. A partir de ahí el tubo es hidráulicamente rugoso: el Reynolds deja de importar y la pérdida va exactamente con el cuadrado de la velocidad.

Los tres tipos de problema

Todo problema de tuberías es una combinación de estos tres, y lo primero que hay que hacer al leer un enunciado es decidir cuál es, porque el método cambia:

tipo	datos	incógnita	cómo
I	$Q$ , $L$ , $D$ , $\varepsilon$ , $\nu$	$h_f$	directo
II	$h_f$ , $L$ , $D$ , $\varepsilon$ , $\nu$	$Q$	por la entrada de arriba, o iterando
III	$h_f$ , $L$ , $Q$ , $\varepsilon$ , $\nu$	$D$	iterando siempre

Tipo I — directo

El más frecuente. Con los datos se calcula $v = Q/A$ , después $Re$ y $\varepsilon/D$ ; con esos dos se entra en Moody y sale $f$ ; y con Darcy-Weisbach, $h_f$ . Sin iterar.

Ejemplo (ejercicio 6.1 de la colección). Glicerina a 30 °C ( $\nu = 1{,}9\cdot10^{-4}$ , $s = 1{,}547$ ), 12 l/s por un tubo de cobre de 100 m y 100 mm:

v = \frac{0{,}012}{\pi\,0{,}1^{2}/4} = 1{,}53\ \text{m/s} \qquad Re = \frac{1{,}53\cdot 0{,}1}{1{,}9\cdot 10^{-4}} = 804

Laminar, así que ni se mira la rugosidad: $f = 64/804 = 0{,}0796$ , y

h_f = 0{,}0796\cdot\frac{100}{0{,}1}\cdot\frac{1{,}53^{2}}{2\cdot 9{,}8} = 9{,}5\ \text{m de columna de glicerina}

Tipo II — el truco de la entrada de arriba

Aquí falta la velocidad, así que no se puede calcular ni el Reynolds. Pero hay un caso en el que no hace falta iterar, y es el que más cae:

Si $h_f$ es un dato numérico, el producto $Re\sqrt f$ se puede calcular sin conocer $v$ , porque la velocidad se cancela:

\sqrt f = \frac{1}{v}\sqrt{\frac{h_f\,D\,2g}{L}} \qquad Re = \frac{vD}{\nu} \qquad\Longrightarrow\qquad Re\sqrt f = \frac{D}{\nu}\sqrt{\frac{h_f\,D\,2g}{L}}

Y $Re\sqrt f$ es justamente la escala de arriba del ábaco de Moody. Se entra por ahí, se corta con la curva de $\varepsilon/D$ , se lee $f$ , y de ahí sale $v$ .

Si $h_f$ no es constante —depende de la propia velocidad, por ejemplo porque hay pérdidas menores o un término cinético— entonces sí hay que iterar: se supone $f = 0{,}03$ (el centro del eje), se saca $v$ con Darcy-Weisbach, se calcula $Re$ , se lee un $f$ nuevo y se compara. Con un 5 % de diferencia se da por bueno, y no suelen hacer falta más de tres vueltas.

Tipo III — iterar siempre

Sin el diámetro no hay ninguna de las tres entradas al ábaco: ni $Re$ , ni $\varepsilon/D$ , ni $Re\sqrt f$ . Se supone $f$ , se despeja $D$ de Darcy-Weisbach, se calculan $Re$ y $\varepsilon/D$ , se lee $f$ y se repite.

Los metros de pérdida de carga son metros de columna del fluido que circula, no de agua

$h_f$ sale de dividir presión entre el peso específico del fluido del problema, así que sus unidades son «metros de columna de ese líquido». En el ejemplo de arriba son 9,5 metros de columna de glicerina, no de agua.

Importa en dos sitios:

Al convertir a presión: $\Delta p = \gamma\,h_f$ , con $\gamma = s\cdot 9800$ , no con 9800 a secas.
Al calcular la potencia perdida, que es lo que suelen pedir:
$\text{Pot} = \gamma\,Q\,h_f$
En el ejemplo, $1{,}547\cdot 9800\cdot 0{,}012\cdot 9{,}5 = 1{,}73\ \text{kW}$ . Usando 9800 saldría 1,12 kW, un 35 % menos, y el número seguiría pareciendo perfectamente creíble.

Flujo compresible

El temario cierra con el cálculo de pérdidas en flujo compresible isotermo, que es el caso de una conducción larga de gas. La diferencia de fondo: al perder presión el gas se expande, así que la densidad y la velocidad cambian a lo largo del tubo y $v$ ya no se puede sacar fuera de la integral. Lo que sí se conserva es el gasto másico, como se vio en el tema 10.

En las convocatorias de 2020-2026 no ha caído ningún problema numérico de pérdidas en compresible; lo que sí aparece es la pregunta conceptual de qué se conserva y qué no.

Practica lo que acabas de leer

Las dos fronteras, y por qué casi todo cae en semirrugoso

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Las dos fronteras, y por qué casi todo cae en semirrugoso

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una tubería de acero comercial de $100\ \text{mm}$ de diámetro circula agua a $20\ °\text{C}$ ( $\nu = 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ).

La rugosidad de diseño del acero comercial y soldado es $\varepsilon = 0{,}006\ \text{cm}$ (cuadro n.º 20 de «Cuadros y ábacos»).

a) Calcular la rugosidad relativa.

b) Calcular la frontera $Re' = 23/(\varepsilon/D)$ , entre comportamiento liso y semirrugoso.

c) Calcular la velocidad a la que la tubería deja de comportarse como hidráulicamente lisa.

La rugosidad relativa, la primera frontera y la velocidad que le corresponde.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es lo que hace que una tubería se comporte como lisa o como rugosa?
02
La rugosidad relativa
COMP2
¿Cuánto vale $\varepsilon/D$ ?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La primera frontera
COMP2
¿Para qué número de Reynolds deja la tubería de comportarse como lisa?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad correspondiente
COMP2
¿A qué velocidad del agua se alcanza esa frontera?
Tu respuesta al paso 4una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $\varepsilon/D = 6\cdot 10^{-4}$ , las dos fronteras caen en $Re' = 38.333$ y $Re'' = 9{,}33\cdot 10^{5}$ .
2. En agua eso son $0{,}38$ y $9{,}3$ m/s: por encima de cuarenta centímetros por segundo la tubería ya no es lisa.
3. Como las conducciones de agua trabajan entre 1 y 3 m/s, esta tubería está casi siempre en la franja semirrugosa, y por eso casi todos los problemas se resuelven con Colebrook-White.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.1 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Glicerina por un tubo de cobre, y la potencia que se pierde

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una tubería horizontal de cobre de $100\ \text{m}$ de longitud y $100\ \text{mm}$ de diámetro, circula un caudal de $12\ \text{l/s}$ de glicerina a $30\ °\text{C}$ ( $s = 1{,}547$ ). Determinar la potencia consumida en pérdida de carga.

Datos de tablas: $\nu_{\text{glicerina a }30°} = 1{,}9\cdot 10^{-4}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ; $\varepsilon_{\text{cobre}} = 0{,}00015\ \text{cm}$ .

La potencia consumida en pérdidas de carga.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de buscar nada en el ábaco: ¿qué hay que calcular primero?
02
El número de Reynolds
COMP2
¿Qué número de Reynolds tiene la glicerina?
Tu respuesta al paso 2un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La pérdida de carga
COMP2
¿Cuánto vale $h_f$ ?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La potencia perdida
COMP2
¿Qué potencia se consume en esas pérdidas?
Tu respuesta al paso 4una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $v = 1{,}53$ m/s y la viscosidad de la glicerina, el Reynolds es 804: régimen laminar.
2. En laminar $f = 64/Re$ y la rugosidad del cobre que da el enunciado no interviene en ningún momento.
3. Darcy-Weisbach da $h_f = 9{,}5$ metros de columna de glicerina, y la potencia es $\gamma Q h_f$ con el peso específico del propio fluido.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.2 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Petróleo entre dos depósitos, y cómo entrar al ábaco sin la velocidad

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Mediante una tubería de $150\ \text{m}$ de longitud y $200\ \text{mm}$ de diámetro de fundición, se transporta petróleo crudo a $20\ °\text{C}$ ( $s = 0{,}86$ ), desde el depósito de almacenamiento A hasta el de servicio B, presurizado. Se quiere conocer el caudal circulante. Despreciar las pérdidas menores.

Datos: $z_A = 80\ \text{m}$ , $z_B = 30\ \text{m}$ , $p_A = p_{\text{atm}}$ , $p_B = 2\ \text{bar}$ , $\nu = 8{,}4\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ , $\varepsilon_{\text{fundición}} = 0{,}026\ \text{cm}$ .

El caudal que circula por la tubería.

01
Reconocer el camino
COMP1
Faltan la velocidad y el caudal, así que no se puede calcular el Reynolds. ¿Qué se hace?
02
La pérdida de carga disponible
COMP2
¿Cuánto vale $h_f$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La entrada de arriba del ábaco
COMP2
¿Cuánto vale el producto $Re\sqrt f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El caudal
COMP2
Con $\varepsilon/D = 0{,}0013$ y ese valor, el ábaco —o Colebrook-White— da $f = 0{,}0227$ . ¿Qué caudal circula?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli entre las dos superficies libres da la pérdida de carga disponible, $h_f = 26{,}27$ m de columna de petróleo.
2. Como $h_f$ es constante, el producto $Re\sqrt f$ se calcula sin conocer la velocidad y sirve de entrada por la escala superior del ábaco.
3. Cortando con la curva $\varepsilon/D = 0{,}0013$ se lee $f = 0{,}0227$ , y de ahí $v = 5{,}5$ m/s y $Q = 173$ l/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.4 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El fuel que cambia de régimen con el termostato

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se dispone de un depósito nodriza despresurizado para alimentar el quemador de una caldera de vapor que funciona con fuel-oil (s = 0,82), en el cual se calienta el fuel, manteniéndose las temperaturas entre 30 y 60 °C ( $\nu_{30} = 2\cdot 10^{-4}$ m²/s; $\nu_{60} = 2\cdot 10^{-5}$ m²/s) utilizando unos termostatos que conectan las resistencias calefactoras. Mediante una bomba, a través de una tubería de fundición de 100 m de longitud y 50 mm de diámetro, se impulsa el fluido hasta el quemador. Se pide:

Datos: factor de paso del quemador K = 0,5 (con la energía cinética a la salida)

Del depósito abierto al quemador: orificio de borda, bomba, dos codos y una válvula de compuerta. La superficie del fuel está en la cota 3 y la boca del quemador en la 5.

a) El diámetro del quemador si el caudal mínimo necesario es de 5 l/s y se desea una presión dinámica a la salida del quemador de 328 kPa. Se disponen de quemadores de 10, 15, 20 mm de diámetro. Elegir el más cercano.

b) Expresión analítica de la altura de la instalación (Hm_i) en función del coeficiente de frotamiento f y de la velocidad en la tubería V.

c) Potencia útil de la bomba para que en las condiciones más desfavorables llegue al quemador el caudal mínimo de 5 l/s.

d) Caudal circulante cuando la temperatura del fuel sea de 60 °C. Considerar que se mantiene constante la potencia útil de la bomba.

e) Analizar posibles anomalías en su funcionamiento y formas de solución.

El diámetro del quemador, la potencia útil de la bomba a 30 °C, el caudal a 60 °C y la anomalía que aparece entre las dos temperaturas.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado c) habla de «las condiciones más desfavorables». Entre 30 y 60 °C, ¿cuál es la desfavorable para la bomba?
02
La velocidad a la salida del quemador
COMP2
Velocidad de salida del quemador para que la presión dinámica sea de 328 kPa. El fuel tiene s = 0,82.
Tu respuesta al paso 2una velocidad con su unidad (m/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia útil en el caso desfavorable
COMP2
Potencia útil que debe aportar la bomba para llevar 5 l/s al quemador con el fuel a 30 °C. La altura de la instalación es $Hm_i = 2 + (187{,}875 + 2000f)\,V^{2}/2g$ .
Tu respuesta al paso 3una potencia con su unidad (W o kW) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal con el fuel caliente
COMP2
Caudal circulante a 60 °C, manteniendo constante la potencia útil de la bomba. La rugosidad relativa de la tubería de fundición es $\varepsilon/D = 0{,}0052$ .
Tu respuesta al paso 4un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la anomalía que aparece entre las dos temperaturas. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A 30 °C el Reynolds vale 637: flujo laminar, con f = 64/Re.
2. A 60 °C, con los 5,655 l/s que sale, el Reynolds es 7200: flujo turbulento, y f se lee en el ábaco.
3. Entre las dos, el termostato hace pasar el flujo por la zona crítica —entre 2000 y 4000— donde el coeficiente de fricción no está definido.
4. Ahí aparece la intermitencia: el caudal salta de un valor a otro sin que nadie toque nada.
5. La solución es subir la temperatura mínima o la potencia de la bomba, para que el Reynolds no baje nunca de 4000.

V [m/s]	Re	f	Hm_i	Hm_B
3,00	7500	0,0397	124,7	110,9
2,85	7125	0,0400	113,0	116,7
2,88	7200	0,0399	115,3	115,5

Resolución completa

El quemador manda en la aritmética

Lo primero que sorprende de este problema es cuánto pesa un agujero de 15 mm. La presión dinámica pedida a la salida —328 kPa— fija la velocidad de salida:

\frac{p_{din}}{\gamma} = \frac{328\,000}{0{,}82\cdot 9800} = 40{,}816\ \text{mcfuel} \;\Longrightarrow\; V_{quem} = 28{,}28\ \text{m/s}

y con los 5 l/s, d = 15 mm. Pero ese diámetro reaparece en todo lo demás, porque la continuidad dice $V_{quem} = (50/15)^{2}V_{tub} = 11{,}11\,V_{tub}$ , y esa relación entra al cuadrado en las pérdidas.

b) La altura de la instalación, término a término

Bernoulli entre la superficie del depósito (cota 3, abierto, velocidad nula) y la boca del quemador (cota 5, a la atmósfera):

Hm_i = 2 + \sum K_i\,\frac{V_{tub}^{2}}{2g} + (1 + K_{quem})\frac{V_{quem}^{2}}{2g} + f\,\frac{L}{D}\,\frac{V_{tub}^{2}}{2g}

Los factores de paso salen del Cuadro nº 24 de la Escuela: orificio de borda 1, codo de radio medio 0,75 —hay dos— y válvula de compuerta abierta 0,19. Suman 2,69. Y el quemador aporta $(1+0{,}5)\cdot 11{,}11^{2} = 185{,}19$ , con la energía cinética de salida incluida. En total:

Hm_i = 2 + (187{,}875 + 2000f)\,\frac{V_{tub}^{2}}{2g}

Fíjate en el reparto: de los 187,875, 185 son el quemador. Los dos codos, la válvula y el orificio de borda juntos son el 1,4 % de las pérdidas locales. Estrechar de 50 a 15 mm cuesta más que toda la instalación.

c) A 30 °C el fuel es un jarabe

V = 2{,}546\ \text{m/s} \qquad Re = \frac{2{,}546\cdot 0{,}05}{2\cdot 10^{-4}} = 637

637 es laminar sin discusión, y ahí no se va al ábaco: $f = 64/Re$ da 0,1005. Con eso $Hm_i = 130{,}63$ mcfuel y

P_{util} = 130{,}63\cdot 5\cdot 10^{-3}\cdot 8036 = 5{,}249\ \text{kW}

d) A 60 °C hay que iterar

Al calentarse el fuel su viscosidad cae un orden de magnitud, la pérdida de carga baja y la instalación pide menos altura. La bomba, a potencia constante, responde dando más caudal. Como el caudal es desconocido, no se conoce ni la velocidad, ni el Reynolds, ni f: hay que cortar las dos curvas.

	instalación	bomba
ecuación	$Hm_i = 2 + (187{,}875 + 2000f)V^{2}/2g$	$Hm_B = 0{,}6531/Q$
forma	crece con Q	cae con Q

Iterando sobre V hasta que las dos coincidan sale V = 2,88 m/s, Re = 7200, f ≈ 0,040 y Q = 5,655 l/s. Un 13 % más de caudal por calentar el fuel, con la misma bomba.

e) La anomalía está en medio, no en los extremos

Y aquí está la lección del problema. Los dos casos calculados funcionan: a 30 °C llega el caudal mínimo y a 60 °C llega de sobra. Pero el Reynolds pasa de 637 a 7200, y por el camino cruza la zona crítica, entre 2000 y 4000, donde el flujo no es ni laminar ni turbulento y el coeficiente de fricción no está definido.

Ahí aparece la intermitencia: el flujo salta de un régimen al otro y el caudal con él, sin que nadie haya tocado nada. Como el termostato hace subir y bajar la temperatura constantemente, la instalación pasaría por esa zona una y otra vez.

Las soluciones son las dos que caben: subir la temperatura mínima de trabajo, o subir la potencia de la bomba, de modo que el Reynolds nunca baje de 4000 y todo el intervalo quede en régimen turbulento.

Merece la pena quedarse con el método: comprobar los dos extremos de un rango es lo que se hace casi siempre, y aquí no basta. El fallo vive justo en medio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.5 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El keroseno y la instalación que envejece

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En una instalación de trasvase de keroseno desde el depósito de almacenamiento al depósito de consumo, se quiere instalar una bomba para que circule un caudal de 40 l/s de keroseno a 20 °C, de s = 0,802. La tubería, de 300 m de longitud, es de fundición, de 150 mm de diámetro, y consta de una válvula de retención (DN 75) una válvula de compuerta y 3 codos comerciales de radio medio. El depósito de consumo está presurizado siendo 2,5 kg/cm² la presión que indica el manómetro. Se pide:

Del depósito abierto de la cota 50 al depósito presurizado de la cota 65. Por el camino, una salida de ángulos vivos, la bomba, una válvula de retención, una de compuerta y tres codos.

a) Calcular la potencia de la bomba a instalar, suponiendo un rendimiento del 75 %.

b) Al cabo de 5 años y por necesidades de consumo es necesario incrementar la presión del depósito a 3 kg/cm². Por otra parte, la bomba ha disminuido su rendimiento al 70 % y tanto la tubería como las piezas especiales han envejecido. Se pide calcular el nuevo caudal circulante.

Nota: Utilizar el método de los factores de paso. El envejecimiento se tendrá en cuenta tanto para la tubería como para las piezas especiales, aplicando el mismo coeficiente para ambos.

La potencia de la bomba a instalar y el caudal que quedará a los cinco años.

01
Reconocer el camino
COMP1
El manómetro del depósito de consumo marca 2,5 kg/cm². ¿Cuántos metros de columna de keroseno son?
02
La potencia de la bomba
COMP2
Potencia de la bomba a instalar con un rendimiento del 75 %. El keroseno a 20 °C tiene $\nu = 2{,}2\cdot 10^{-6}$ m²/s y la fundición $\varepsilon = 0{,}026$ cm.
Tu respuesta al paso 2una potencia con su unidad (W o kW) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal a los cinco años
COMP2
Caudal circulante cinco años después, con el depósito a 3 kg/cm², el rendimiento de la bomba en el 70 % y un envejecimiento del 5 % en las pérdidas de carga. La bomba sigue consumiendo la misma potencia.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué el caudal baja de 40 a 35 l/s. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La bomba sigue consumiendo 25,2 kW, pero con el rendimiento en el 70 % solo entrega 17,6 kW al fluido en vez de 18,9.
2. La instalación pide más: la presión del depósito sube de 31,17 a 37,41 m de columna de keroseno, seis metros más de altura estática.
3. Y las pérdidas de carga crecen un 5 % por el envejecimiento, tanto en la tubería como en las piezas.
4. Los tres efectos van en el mismo sentido, así que el punto de funcionamiento se desplaza hacia caudales menores: 35,2 l/s.

Q [l/s]	V [m/s]	Re	f	Hm_i	Hm_B
35,0	1,98	1,35·10⁵	0,024	63,62	64,13
35,2	1,99	1,36·10⁵	0,024	63,75	63,75

Resolución completa

Lo que hay que leer antes de calcular

Este problema tiene tres datos que no están en el enunciado y hay que ir a buscarlos a los cuadros de la Escuela:

Los factores de paso (Cuadro nº 24): salida de depósito con ángulos vivos 0,5; codo comercial de radio medio 0,75, y hay tres; válvula de retención DN 75 1,5; válvula de compuerta abierta 0,19; entrada a depósito 1. Suman 5,44.
La viscosidad del keroseno a 20 °C (ábaco de viscosidades): $2{,}2\cdot 10^{-6}$ m²/s.
La rugosidad de la fundición (Cuadro nº 20): 0,026 cm.

Y una conversión que se traga a mucha gente: 2,5 kg/cm² son 25 metros de columna de agua, y al pasarlos a columna de keroseno hay que dividir entre 0,802, no multiplicar. Salen 31,17 m. Un líquido más ligero necesita más altura para dar la misma presión.

a) La bomba a instalar

Bernoulli entre las dos superficies libres, con el depósito de consumo presurizado:

50 - h_f + Hm_B = 65 + 31{,}172 \;\Longrightarrow\; Hm_B = 46{,}172 + h_f

Con V = 2,263 m/s, Re = 1,543·10⁵ y $\varepsilon/D = 0{,}0017$ , el ábaco da f = 0,024 (zona semilisa), y

h_f = (2000\cdot 0{,}024 + 5{,}44)\frac{2{,}263^{2}}{19{,}6} = 13{,}96\ \text{m}

Hm_B = 60{,}14\ \text{mck} \qquad P = \frac{60{,}14\cdot 0{,}04\cdot 7859{,}6}{0{,}75} = 25{,}2\ \text{kW}

Merece la pena mirar el reparto de esos 60 metros: 46,2 son altura estática —15 de desnivel y 31,2 de presión en el depósito— y solo 14 son fricción. Y de los 14, los 48 puntos de $f\,L/D$ se comen 12,5 y las cinco piezas especiales 1,4. En una tubería de 300 m, los accesorios son el 10 % de las pérdidas.

b) Cinco años después

Han cambiado tres cosas y las tres empujan en la misma dirección:

	antes	después
presión del depósito	31,17 mck	37,41 mck
rendimiento	75 %	70 %
pérdidas	$h_{f0}$	$1{,}05\,h_{f0}$

La instalación pide $Hm_i = 52{,}41 + (2100f + 5{,}71)V^{2}/2g$ y la bomba, consumiendo los mismos 25,2 kW, entrega $Hm_B = 2{,}244/Q$ . No se conoce ni V, ni Re, ni f, así que se itera sobre Q hasta que las dos alturas coincidan. Sale Q = 35,2 l/s.

Lo que enseña

Un 12 % menos de caudal, y ninguno de los tres culpables es espectacular por sí solo. Es la forma habitual de degradarse de una instalación: nadie nota el día en que dejó de dar 40 l/s.

Y ojo con la tentación de repartir la culpa por proporciones. El caudal no baja «un 5 % por el envejecimiento y otro tanto por el rendimiento»: sale de cortar dos curvas, las dos no lineales, y la única forma de saberlo es iterar. Lo que sí se puede afirmar es la dirección: los tres efectos suben la curva de la instalación o bajan la de la bomba, y cualquiera de esas dos cosas mueve el corte hacia la izquierda.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.6 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Una conducción que se ha ido incrustando, y los tres tipos a la vez

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una conducción de acero comercial para traída de agua a una fábrica ha funcionado holgadamente desde su establecimiento por simple gravedad, hasta un determinado momento en que no es capaz de suministrar el caudal inicial debido a una incrustación calcárea uniforme a lo largo de toda la conducción. Teniendo en cuenta los datos abajo reseñados, se pide:

a) Caudal inicial en el instante de la implantación.

b) Rugosidad de la tubería suponiendo que el diámetro interior ( $800\ \text{mm}$ ) no varía, y que conduce $500\ \text{l/s}$ solamente.

c) Esta rugosidad calculada se valora como excesiva, por lo que cabría suponer que el diámetro se ha reducido considerablemente por las incrustaciones calcáreas. Suponiendo una rugosidad de la tubería comercial con las incrustaciones de $\varepsilon = 0{,}5\ \text{cm}$ , calcular el diámetro útil (mm) de la tubería para el transporte del caudal de $500\ \text{l/s}$ .

Datos: agua a $10\ °\text{C}$ ( $\nu = 1{,}2\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ); diferencia de cotas piezométricas en los extremos de la conducción $= 10\ \text{m}$ ; diámetro inicial de la tubería de acero comercial $D = 800\ \text{mm}$ ; longitud equivalente total $= 1000\ \text{m}$ .

Nota: utilizar en la resolución el ábaco de Moody o las expresiones que lo definen.

El caudal inicial, la rugosidad aparente y el diámetro útil real.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los tres apartados son de los tres tipos de problema del tema. ¿Cuál es cada uno?
02
El caudal inicial
COMP2
¿Qué caudal circulaba cuando la tubería era nueva?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La rugosidad que haría falta
COMP2
Si el diámetro no hubiera cambiado, ¿qué rugosidad explicaría que solo pasen $500\ \text{l/s}$ ?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

El diámetro útil que queda

COMP2

Con $\varepsilon = 0{,}5\ \text{cm}$ , ¿qué diámetro útil le queda a la tubería?

Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud

Desarrollo

Con $Q = 0{,}5$ y $h_f = 10$ :

10 = f\,\frac{1000}{D}\,\frac{(0{,}6366/D^{2})^{2}}{19{,}6} = \frac{20{,}68\,f}{D^{5}} \;\Longrightarrow\; D = 1{,}156\,f^{1/5}

$f$ supuesto	$D$ (m)	$V$ (m/s)	$Re$	$\varepsilon/D$	$f$ obtenido
0,030	0,573	1,936	$9{,}2\cdot 10^{5}$	0,0087	0,0362
0,0362	0,595	1,796	$8{,}9\cdot 10^{5}$	0,0084	0,0358
0,0358	0,594	1,805	$8{,}9\cdot 10^{5}$	0,0084	0,0358

D = 594\ \text{mm}

05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nueva, la conducción llevaba 1802 l/s por gravedad con los mismos 10 m de carga.
2. Si el diámetro no hubiera cambiado, explicar los 500 l/s exigiría una rugosidad de 165 mm, que es absurda: sería una quinta parte del diámetro.
3. Por eso el apartado c) cambia de hipótesis: con una rugosidad creíble de 5 mm, lo que ha pasado es que el diámetro útil ha bajado a 594 mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.8 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La ducha de campo, y los líderes

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los alumnos de Mecánica de Fluidos de la EUP de Donostia-San Sebastián construyen una ducha de campo con una cisterna de 220 l, como se muestra en la figura. La mayoría de los alumnos se duchan con agua a 12 °C (S₁ = 1), pero los líderes calientan el agua a 35 °C (S₂ = 0,99). Ambas duchas emplean una tubería de cobre de 15 mm de diámetro interior. El nivel en el tanque está 1 m por encima de las 2 descargas B y C.

La cisterna reparte por dos caminos. El de la izquierda, corto, va directo a la ducha fría; el de la derecha pasa por el hornillo y es dos metros más largo, con el doble de codos.

a) Indicar las longitudes equivalentes de las piezas colocadas en la tubería 1 y los factores de paso de las colocadas en la tubería 2.

b) Calcular el caudal Q₁ que llega a la ducha de los alumnos (Hazen-Williams, método de longitud equivalente).

c) Calcular el caudal Q₂ que llega a la ducha de los líderes (Moody, método de los factores de paso).

Datos. Tubería 1: salida depósito tipo Borda; 2 codos bruscos 90°; longitud L₁ = 7 m; D₁ = 15 mm. Tubería 2: salida depósito tipo Borda; 4 codos bruscos 90°; longitud L₂ = 9 m; D₂ = 15 mm. Material de las tuberías: cobre.

La longitud equivalente de la tubería 1, y los dos caudales de ducha.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide la tubería 1 por longitudes equivalentes y la 2 por factores de paso. ¿En qué se diferencian los dos métodos?
02
La longitud equivalente de la tubería 1
COMP2
Longitud equivalente total de la tubería 1, sabiendo que el Cuadro nº 23 da 0,45 m para la salida de depósito tipo Borda y 1 m por cada codo brusco de 90°.
Tu respuesta al paso 2una longitud con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal de la ducha fría
COMP2
Caudal Q₁ que llega a la ducha de los alumnos, por Hazen-Williams. El cobre tiene $C_{HW} = 140$ , y como 15 mm no está tabulado se usa $J = 1{,}2117\cdot 10^{10}/(C^{1{,}852}D^{4{,}87}) = 2{,}4055$ , con D en mm y Q en l/s.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal de la ducha caliente
COMP2
Caudal Q₂ que llega a la ducha de los líderes, por Darcy-Weisbach. El agua a 35 °C tiene $\nu = 7\cdot 10^{-7}$ m²/s y el cobre $\varepsilon/D = 0{,}0001$ .
Tu respuesta al paso 4un caudal con su unidad (l/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué los líderes se duchan peor. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos duchas tienen el mismo metro de altura disponible y el mismo diámetro: lo único que las diferencia es el camino.
2. La tubería 2 es dos metros más larga y lleva cuatro codos en vez de dos, así que pierde más.
3. Con 0,1651 contra 0,1798 l/s, la ducha caliente recibe un 8 % menos de agua.
4. Y calentar el agua no lo compensa: bajar la viscosidad de 12 a 35 °C ayuda un poco, pero no llega a tapar los dos metros y los dos codos de más.

f supuesto	V [m/s]	Re	f calculado
0,0250	0,9543	20 450	0,0264
0,0264	0,9360	20 056	0,0266
0,0266	0,9343	20 021	0,0266

Resolución completa

Dos caminos y un metro de altura

El problema es una comparación disfrazada. Los dos circuitos salen de la misma cisterna, tienen el mismo diámetro y disponen del mismo metro de desnivel. Lo único que cambia es el camino —7 m y 2 codos contra 9 m y 4 codos— y la temperatura del agua. Al final, el que tiene el camino corto gana.

a) Las piezas, contadas de dos maneras

Tubería 1, por longitudes equivalentes (Cuadro nº 23): salida de depósito tipo Borda 0,45 m, codo brusco de 90° 1 m por codo.

L_{eq} = 7 + 0{,}45 + 2\cdot 1 = 9{,}45\ \text{m}

Tubería 2, por factores de paso (Cuadro nº 24): salida Borda K = 1, codo brusco de 90° K = 1,13 por codo.

\sum K = 1 + 4\cdot 1{,}13 = 5{,}52

Conviene fijarse en la salida tipo Borda, que es la que más pierde de todas las entradas a una tubería: el tubo se mete dentro del depósito y la vena se contrae de golpe. El Cuadro nº 24 la pone por encima de la salida con ángulos vivos y muy por encima de la redondeada.

Y una advertencia sobre las referencias: el boletín cita «ábaco nº 20» y «cuadro nº 21», que en la edición actual de Cuadros y ábacos son el nº 23 —longitudes equivalentes— y el nº 24 —coeficientes K—. Los valores son los mismos; la numeración cambió.

b) La ducha de los alumnos

Bernoulli entre la superficie de la cisterna y la salida de la ducha, con la única altura disponible siendo el metro de desnivel:

1 = h_f + \frac{V_B^{2}}{2g} \qquad h_f = J\,L_{eq}\,Q_1^{1{,}852}

El diámetro de 15 mm no está en el cuadro de Hazen-Williams, así que se usa la expresión:

J = \frac{1{,}2117\cdot 10^{10}}{140^{1{,}852}\cdot 15^{4{,}87}} = 2{,}4055

y con $V_B = 5{,}66\,Q_1$ queda

1{,}634\,Q_1^{2} + 22{,}732\,Q_1^{1{,}852} - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; Q_1 = 0{,}18\ \text{l/s}

0,18 l/s son 11 litros por minuto, así que la cisterna de 220 l da para unos veinte minutos de ducha. Y el reparto del metro de altura es lo que hay que mirar: 0,947 m se pierden en fricción y solo 0,053 m salen como velocidad. Esta ducha es casi toda pérdida de carga.

c) La ducha de los líderes

Aquí se pide Darcy-Weisbach y factores de paso:

1 = (600f + 6{,}52)\frac{V^{2}}{2g}

—el 600 es $L/D = 9/0{,}015$ , el 5,52 son las piezas y el 1 que falta es la energía cinética de salida—. Con $\varepsilon/D = 0{,}0001$ la frontera de tubería lisa está en $Re' = 23/(\varepsilon/D) = 230\,000$ , muy por encima del Reynolds de este flujo, así que la tubería se comporta como lisa y vale Blasius. Iterando: f = 0,0266, V = 0,9343 m/s, Q₂ = 0,1651 l/s.

Quién gana, y por qué

	tubería 1	tubería 2
longitud	7 m	9 m
codos	2	4
temperatura	12 °C	35 °C
caudal	0,1798 l/s	0,1651 l/s

Un 8 % menos para los líderes. Y la temperatura juega a su favor —el agua caliente es menos viscosa y roza menos—, pero no le llega para compensar dos metros más de tubo y dos codos más.

La tentación es explicarlo por la densidad: el agua caliente pesa menos. No es eso. Bernoulli aquí está escrito en metros de columna del propio fluido, y con la cisterna abierta y la ducha a la atmósfera el metro de desnivel vale un metro para los dos, sea cual sea la densidad. Lo que la temperatura cambia es la viscosidad.

Y una advertencia de método: los dos caudales están calculados con fórmulas distintas porque el enunciado lo pide así. Hazen-Williams es empírica y solo vale para agua; Darcy-Weisbach es general. Comparar dos números obtenidos por caminos distintos siempre pide un poco de prudencia, aunque aquí la diferencia de método es mucho menor que la diferencia de camino.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.9 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un capilar de mercurio, y la pérdida por metro en régimen laminar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene un tubo de $1\ \text{mm}$ de diámetro por el que fluye mercurio a $20\ °\text{C}$ , siendo el número de Reynolds de $1600$ . Se pide:

a) Pérdida de energía piezométrica por metro de conducto.

(Del ábaco de viscosidades, $\nu_{Hg} = 1{,}2\cdot 10^{-7}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ; $s_{Hg} = 13{,}6$ .)

La pérdida de presión por metro de tubo.

01
Reconocer el camino
COMP1
El dato es el Reynolds, no la velocidad. ¿Qué se puede decir de entrada?
02
La pérdida por metro
COMP2
¿Cuánta presión se pierde por metro de tubo, en kPa/m?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $Re = 1600$ el flujo es laminar, así que $f = 64/Re = 0{,}04$ y la rugosidad no interviene.
2. La velocidad sale del propio Reynolds, $v = Re\,\nu/D = 0{,}192$ m/s.
3. Darcy-Weisbach con $L = 1$ m da $0{,}075$ m de columna de mercurio, que son 10 kPa por metro de tubo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.10 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Cada cuánto hay que volver a bombear el aceite

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se bombean por una tubería de $0{,}5\ \text{m}$ de diámetro interior de acero roblonado con $\varepsilon = 0{,}5\ \text{cm}$ , $100\ \text{l/s}$ de un aceite de viscosidad $0{,}1$ Poises y peso específico relativo $0{,}85$ . Si las bombas utilizadas generan una altura útil equivalente a $8\ \text{kg/cm}^{2}$ , se pide:

a) Distancia a que deberían situarse dos estaciones de bombeo consecutivas.

La separación entre dos estaciones de bombeo consecutivas.

01
Reconocer el camino
COMP1
La bomba da «una altura útil equivalente a $8\ \text{kg/cm}^{2}$ », y el fluido es un aceite de densidad relativa $0{,}85$ . ¿Cuántos metros de columna de aceite son?
02
La altura útil, en metros de aceite
COMP2
¿A cuántos metros de columna de aceite equivalen los $8\ \text{kg/cm}^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El coeficiente de frotamiento
COMP2
¿Cuánto vale $f$ ? La viscosidad cinemática es $\nu = \mu/\rho = 0{,}01/850$ .
Tu respuesta al paso 3un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La separación entre estaciones
COMP2
¿Qué longitud de tubería consume exactamente la altura que da una estación?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La bomba da $8\ \text{kg/cm}^{2}$ , que en columna de aceite son $94{,}12$ m, no 80.
2. Con $Re = 21.645$ y $\varepsilon/D = 0{,}01$ el flujo es semirrugoso y $f = 0{,}0405$ .
3. Toda esa altura se gasta en rozamiento, y con ella la tubería recorre unos 87 km antes de necesitar otra estación.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.11 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Cien metros de tubo de cinco milímetros

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la instalación esquematizada de la figura circula un fluido de viscosidad $\nu = 2{,}5\cdot 10^{-6}$ m²/s. Determinar:

a) Caudal circulante.

b) Comprobar que el flujo es laminar.

c) Longitud l a partir de la cual no se puede asegurar que el flujo es laminar.

Datos: Diámetro del tubo D = 5 mm. Presión en sección 1: $p_1 = 0{,}1$ kg/cm². s = 0,8. No considerar las pérdidas de carga menores.

Cien metros de tubo que bajan un metro. La pendiente va muy exagerada para poder dibujarla, y la longitud l es lo que se pregunta, así que lo que mide en el dibujo no significa nada.

El caudal, el régimen del flujo y hasta dónde se puede garantizar que es laminar.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice que no se consideren las pérdidas menores. ¿Qué más se puede despreciar aquí, y por qué?
02
La velocidad en el tubo
COMP2
Velocidad del fluido en el tubo de 5 mm. La presión en 1 es 0,1 kg/cm² y el fluido tiene s = 0,8.
Tu respuesta al paso 2una velocidad con su unidad (m/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El Reynolds, que hay que comprobar
COMP2
Número de Reynolds del flujo, para confirmar que la hipótesis laminar era buena.
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena qué pasa a lo largo del tubo con el régimen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El caudal es el mismo en toda la tubería, así que la velocidad media y el Reynolds valen lo mismo en cualquier sección: 138.
2. Lo que sí cambia con la distancia es el perfil de velocidades: a la entrada es casi uniforme y la capa límite va creciendo desde la pared.
3. Hasta que esa capa límite llena el conducto, el flujo está en transición y el perfil todavía no es la parábola de Poiseuille.
4. Y la propia capa límite deja de ser laminar cuando su Reynolds local, medido con la distancia recorrida, alcanza el valor crítico.

Resolución completa

Un capilar de cien metros

Lo primero es hacerse una idea del tamaño. Un tubo de 5 mm y 100 m de largo tiene una relación $L/D$ de 20 000. Con un desnivel de un metro y una presión de 0,1 kg/cm², lo que sale es un goteo: 1,35 cm³ por segundo, menos de cinco litros a la hora.

a) El caudal

La altura motriz es la presión de la sección 1 más el desnivel, todo en metros de columna del fluido:

H = \frac{p_1}{\gamma} + \Delta z = \frac{1\ \text{mca}}{0{,}8} + 1 = 1{,}25 + 1 = 2{,}25\ \text{m}

Las alturas cinéticas se desprecian, y con razón: la velocidad va a salir de 0,069 m/s, así que $V^{2}/2g = 2{,}4\cdot 10^{-4}$ m. Cuatro órdenes de magnitud por debajo.

Suponiendo laminar, $f = 64/Re$ , y Darcy-Weisbach se convierte en Hagen-Poiseuille:

h_f = f\,\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g} = \frac{64\nu}{VD}\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g} = \frac{32\,\nu\,L\,V}{g\,D^{2}}

Igualando a 2,25 m sale V = 0,0689 m/s y Q = 1,35·10⁻³ l/s.

b) La comprobación

Re = \frac{0{,}0689\cdot 0{,}005}{2{,}5\cdot 10^{-6}} = 138

Laminar sin discusión, así que la hipótesis se sostiene. Y conviene mirar el coeficiente de fricción que sale: $f = 64/138 = 0{,}46$ , veinte veces el de una tubería industrial normal.

c) Y aquí hay que declarar un desacuerdo

La pregunta —«longitud l a partir de la cual no se puede asegurar que el flujo es laminar»— no se refiere al Reynolds del flujo, que vale 138 en todas las secciones y no depende de la distancia. Se refiere a la capa límite: según los apuntes de la Escuela (tema 17), a la entrada del tubo el perfil es casi uniforme y desde la pared crece una capa límite laminar que va engordando; su transición a turbulenta se produce cuando el Reynolds local, medido con la distancia recorrida,

Re_x = \frac{V\,x}{\nu}

alcanza el valor crítico.

El problema está en cuál es ese valor crítico, y aquí las dos fuentes de la asignatura no dicen lo mismo:

criterio	l
$Re_x = 3\cdot 10^{5}$	10,88 m
$Re_x = 5\cdot 10^{5}$ (mínimo de los apuntes)	18,14 m
$Re_x = 10^{6}$ (máximo de los apuntes)	36,28 m

El resultado publicado en el boletín, 10,78 m, se reproduce tomando $Re_x = 3\cdot 10^{5}$ —da 10,88 m, un 1 % de diferencia, que es lo que cabe en redondear el caudal—. Pero los apuntes de la Escuela dicen textualmente que la transición «se verifica para un número de Reynolds que oscila entre 500.000 y 1.000.000», lo que llevaría a 18,1 m como mínimo.

No hay forma de resolver la contradicción desde dentro del enunciado, así que se deja dicha: el método es el de arriba, y el número depende del criterio de transición que se adopte. Si en el examen se pide este apartado, lo prudente es escribir la expresión $l = Re_{x,cr}\,\nu/V$ , decir qué valor crítico se está usando y por qué, y dar el número que salga.

Lo que sí queda firme, y es lo que la pregunta quiere enseñar: el Reynolds del conducto y el Reynolds de la capa límite son dos números distintos. El primero decide el régimen del flujo desarrollado y no depende de la distancia; el segundo decide cuándo la capa límite deja de ser laminar y crece con ella.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.13 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El Big Inch, y qué pasa cuando la bomba envejece

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El «Big Inch» es un oleoducto de acero comercial de $600\ \text{mm}$ de diámetro interior, proyectado para transportar un caudal de $47\,000\ \text{m}^{3}$ de petróleo crudo por día, en funcionamiento constante y estaciones de bombeo cada $80\ \text{km}$ . Se pide:

a) Potencia bruta necesaria en cada estación ( $\eta = 75\ \%$ ).

b) Caudal circulante si al cabo de cierto tiempo el rendimiento de las bombas ha bajado al $70\ \%$ y el coeficiente de frotamiento de la tubería ha aumentado en un $10\ \%$ , habiendo conseguido mantener constante la potencia bruta de la bomba.

Datos: peso específico relativo $= 0{,}86$ ; temperatura $= 10\ °\text{C}$ ; supóngase la conducción horizontal. La viscosidad cinemática del crudo a esa temperatura se lee en el ábaco: $\nu \approx 10^{-5}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ .

La potencia bruta por estación, y el caudal cuando la instalación se degrada.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide «potencia bruta» y da un rendimiento del 75 %. ¿Qué relación hay entre esa potencia y $\gamma Q H$ ?
02
La pérdida en un tramo
COMP2
¿Cuánta carga pierde el crudo en los 80 km que separan dos estaciones?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia bruta por estación
COMP2
¿Qué potencia bruta necesita cada estación de bombeo?
Tu respuesta al paso 3una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal de la instalación envejecida
COMP2
Con el rendimiento en el 70 %, el coeficiente de frotamiento un 10 % mayor y la misma potencia bruta, ¿cuánto caudal pasa?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada estación tiene que vencer 454 m de pérdida y consume 2785 kW brutos para hacerlo.
2. Al envejecer, el rendimiento baja del 75 al 70 % y el rozamiento sube un 10 %, pero la potencia contratada sigue siendo la misma.
3. Como la potencia va con el cubo del caudal, esas dos pérdidas juntas solo se llevan un 5 % del transporte: de 544 a 515 l/s.

Resolución completa

Por qué este ejercicio va el último del capítulo. Recorre las dos direcciones del cálculo de conducciones: de caudal a potencia, que es directo, y de potencia a caudal, que no lo es.

a) De caudal a potencia. $Q = 47.000/86.400 = 0{,}544$ m³/s, $V = 1{,}924$ m/s, $Re = 1{,}15\cdot 10^{5}$ , y con $\varepsilon/D = 10^{-4}$ el ábaco da $f = 0{,}0180$ . La pérdida en los 80 km es de 454 m de columna de crudo, y la potencia bruta,

P = \frac{0{,}86\cdot 9800\cdot 0{,}544\cdot 454}{0{,}75} = 2785\ \text{kW}

b) De potencia a caudal. Aquí está lo que hay que ver: si se sustituye $h_f$ por su expresión, la potencia queda proporcional a $Q^{3}$ . Eso cambia toda la intuición del apartado — un cambio grande en la potencia se traduce en uno pequeño en el caudal, y al revés.

Q = \sqrt[3]{\frac{P\,\eta\,D\,A^{2}\,2g}{\gamma\,f'\,L}} = 515\ \text{l/s}

Lo que sale de comparar los dos apartados. El rendimiento cae un 6,7 % relativo y el rozamiento sube un 10 %: entre las dos, la potencia útil disponible baja un 15 %. Y el caudal solo baja un 5,3 %, porque la raíz cúbica amortigua. Esa es la razón de que un oleoducto degradado siga funcionando sin que se note: el síntoma no aparece en el caudal, aparece en la factura.

Sobre la viscosidad, y por qué la tolerancia de este ejercicio es más ancha. El crudo a 10 °C no está en ningún cuadro numérico: se lee en el ábaco de viscosidades, y de ahí sale $\nu \approx 10^{-5}$ m²/s. Con ese valor la potencia sale 2775 kW frente a los 2785 publicados —un 0,4 %—, que es la precisión con la que se lee una escala logarítmica a ojo.

Y hay una segunda holgura, más interesante. $Re = 1{,}15\cdot 10^{5}$ queda por debajo de la primera frontera, $Re' = 23/10^{-4} = 2{,}3\cdot 10^{5}$ : según el criterio del tema, la tubería todavía se comporta como lisa. Si se toma así, $f = 0{,}0175$ y la potencia sale 2688 kW. Colebrook-White completo, que es lo que reproduce el número del boletín, da $0{,}0180$ y 2785 kW. La diferencia es del 3,5 %, y las dos lecturas son defendibles: por eso este paso admite un 4 % en vez del 2 % habitual. La frontera no es una pared, es el sitio donde el segundo término empieza a no importar — y aquí todavía importa un poco.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.15 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Fuel-oil entre dos puntos con presión y cota conocidas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los puntos $A$ y $B$ de una conducción están unidos por una tubería de acero comercial de $15\ \text{cm}$ de diámetro interior y $1200\ \text{m}$ de longitud. El punto $B$ está situado $15\ \text{m}$ por encima de $A$ y las presiones en $A$ y $B$ son respectivamente $8{,}6$ y $3{,}4\ \text{kg/cm}^{2}$ . Se pide:

a) Caudal de fuel-oil a $21\ °\text{C}$ que circulará entre $A$ y $B$ .

Datos: viscosidad $= 3{,}83\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ ; densidad relativa $s = 0{,}854$ .

El caudal de fuel-oil que circula.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de problema es y qué permite resolverlo sin iterar?
02
La pérdida de carga
COMP2
¿Cuánta carga se pierde entre $A$ y $B$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal
COMP2
¿Qué caudal circula?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De las presiones y la cota sale la pérdida de carga: 45,89 metros de columna de fuel-oil.
2. Como es un número, se puede formar $Re\sqrt f = 13.132$ sin conocer la velocidad, y entrar al ábaco por arriba.
3. Con $\varepsilon/D = 4\cdot 10^{-4}$ sale $f = 0{,}0201$ y de ahí $V = 2{,}36$ m/s, es decir 41,8 l/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Pérdidas de carga en conductos cerrados

La ecuación de Darcy-Weisbach

Liso, semirrugoso y rugoso: no es el tubo, es el flujo

De dónde salen el 23 y el 560

El ábaco de Moody, y la subcapa que hay debajo

Las cinco fórmulas, y cuándo se usa cada una

El ábaco de Moody

Los tres tipos de problema

Tipo I — directo

Tipo II — el truco de la entrada de arriba

Tipo III — iterar siempre

Flujo compresible

Reconocer el camino

La rugosidad relativa

La primera frontera

La velocidad correspondiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El número de Reynolds

La pérdida de carga

La potencia perdida

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La pérdida de carga disponible

La entrada de arriba del ábaco

El caudal

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad a la salida del quemador

La potencia útil en el caso desfavorable

El caudal con el fuel caliente

Justificar el argumento

El quemador manda en la aritmética

b) La altura de la instalación, término a término

c) A 30 °C el fuel es un jarabe

d) A 60 °C hay que iterar

e) La anomalía está en medio, no en los extremos

Reconocer el camino

La potencia de la bomba

El caudal a los cinco años

Justificar el argumento

Lo que hay que leer antes de calcular

a) La bomba a instalar

b) Cinco años después

Lo que enseña

Reconocer el camino

El caudal inicial

La rugosidad que haría falta

El diámetro útil que queda

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La longitud equivalente de la tubería 1

El caudal de la ducha fría

El caudal de la ducha caliente

Justificar el argumento

Dos caminos y un metro de altura

a) Las piezas, contadas de dos maneras

b) La ducha de los alumnos

c) La ducha de los líderes

Quién gana, y por qué

Reconocer el camino

La pérdida por metro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La altura útil, en metros de aceite

El coeficiente de frotamiento

La separación entre estaciones

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad en el tubo

El Reynolds, que hay que comprobar

Justificar el argumento

Un capilar de cien metros

a) El caudal

b) La comprobación

c) Y aquí hay que declarar un desacuerdo

Reconocer el camino

La pérdida en un tramo

La potencia bruta por estación

El caudal de la instalación envejecida