Mecánica de Fluidos · tema 19

Flujo permanente en conductos cerrados

Pérdidas menores, la línea piezométrica —que es la que avisa de la cavitación— y las dos leyes con las que se resuelve una red.

El tema 18 calcula lo que pierde un tramo recto. Una instalación real tiene codos, válvulas, filtros, contadores y bifurcaciones, y además hay que saber dónde está cada presión, no solo cuánta energía se ha ido. Ese es este tema, y es el que convierte la asignatura en algo que se puede proyectar.

Pérdidas menores

Toda singularidad —válvulas, codos, curvas, bifurcaciones, juntas, ventosas, filtros, contadores— produce una pérdida puntual. Se llaman «menores» y a veces no lo son: en una instalación industrial o doméstica pueden superar con holgura a las de los tramos rectos.

Cuándo se pueden despreciar, con la regla práctica del temario: cuando entre una pieza especial y la siguiente hay del orden de mil diámetros de separación. En una conducción de 200 mm eso son 200 metros. Una traída de agua larga cumple; el circuito de una sala de calderas, no.

Y una nota que enlaza con el tema 15: estas pérdidas se determinan experimentalmente, con una única excepción. El ensanchamiento y el estrechamiento bruscos sí se pueden deducir, aplicando el teorema de la cantidad de movimiento. Todo lo demás está tabulado.

Los dos métodos

Longitud equivalente. La $L_e$ de una pieza es la longitud de tubería del mismo diámetro que produciría la misma pérdida. Se suma a la longitud real y se sigue usando Darcy-Weisbach sin cambiar nada:

h_f = f\,\frac{L + \sum L_e}{D}\,\frac{v^{2}}{2g}

Las longitudes equivalentes están en el ábaco nº 23 de «Cuadros y ábacos».

Factor de paso. Cada pieza tiene un coeficiente $K$ adimensional:

h_f = K\,\frac{v^{2}}{2g}

Están en el cuadro nº 24, y las casas comerciales los dan para sus productos.

Los dos describen lo mismo, y la relación entre ellos se lee comparando las dos fórmulas:

K = f\,\frac{L_e}{D}

No se suman los dos métodos: se elige uno

Es el error de contabilidad del tema, y sale de mezclar dos tablas.

Si una válvula viene dada por su longitud equivalente, esa longitud ya representa toda su pérdida; añadirle además un $K$ es contarla dos veces. Y al revés.

La forma de no equivocarse es fijar el método al empezar el problema y traducir lo que venga en el otro con $K = f\,L_e/D$ . Si el enunciado da unas piezas con $L_e$ y otras con $K$ —que pasa—, se traduce, no se mezcla.

Y el segundo cuidado, con el factor de paso: $v$ es la velocidad del tramo donde está la pieza. En una conducción con cambio de diámetro, un codo de la parte estrecha y otro de la ancha con el mismo $K$ pierden cosas muy distintas, porque la velocidad va al cuadrado.

Envejecimiento

Las tuberías se vuelven más rugosas con los años: incrustaciones si el agua es dura, erosión si lleva arena, sedimentos si la velocidad es demasiado baja. Las fórmulas que lo cuantifican son empíricas y poco rigurosas; la que usa la asignatura es la más simple que existe:

h_f(t) = h_f(0)\left(1 + \frac{t}{100}\right)

es decir, un 1 % más de pérdida por cada año de servicio. A los cuarenta años, un 40 % más. No es una ley física, es una regla de proyecto, y conviene decirlo así.

Línea piezométrica y línea de altura total

Dos alturas, y la diferencia entre ellas es lo que hace útil el concepto:

Altura piezométrica: $z + p/\gamma$ . Es lo que subiría el líquido en un piezómetro abierto pinchado en ese punto.
Altura total: la anterior más $v^{2}/2g$ .

Uniendo esos puntos a lo largo de la conducción salen la línea piezométrica y la línea de alturas totales. Con diámetro constante van paralelas, separadas exactamente por la altura cinética.

La pendiente de cualquiera de las dos es la pérdida de carga unitaria:

J = \frac{h_f}{L} = \tan\alpha

La línea piezométrica por debajo del tubo significa presión negativa

Esta es la herramienta de diagnóstico del tema, y la razón de dibujarla.

La línea piezométrica vale $z + p/\gamma$ , y el perfil de la tubería vale $z$ . La distancia vertical entre las dos es la presión, en metros de columna del fluido. Por tanto:

piezométrica por encima del tubo → presión positiva, todo normal;
piezométrica por debajo del tubo → presión negativa, es decir depresión;
y si la depresión llega a la presión de vapor, el líquido hierve: cavita.

De ahí la regla de proyecto: la línea piezométrica no debe cortar al perfil de la conducción. Cuando lo hace, no hay que recalcular con más decimales, hay que cambiar el trazado, bajar el punto alto o poner una bomba.

Y el aviso fino, que es lo que se falla: el punto más desfavorable no siempre es el vértice. Aguas abajo del vértice la presión sigue bajando por rozamiento, así que si el tramo posterior es largo, el mínimo puede estar más allá.

El sifón, que es el caso donde todo esto se cobra

Un sifón es el paso de un fluido a un punto de menor cota atravesando por el camino una cota mayor (o menor, en el sifón invertido). Con el tubo lleno, Bernoulli entre las dos superficies da algo muy simple:

H = h_{f,1\text{-}2}

Toda la diferencia de cotas se gasta en pérdida de carga. Y la presión en el vértice sale aplicando Bernoulli hasta ahí:

\frac{p_0}{\gamma} = (z_1 - z_0) - \frac{v_0^{2}}{2g} - h_{f,1\text{-}0}

Los tres términos restan: cuanto más alto el vértice, más rápido el fluido y más largo el tramo, más negativa la presión.

El sifón del ejercicio 6.3 de la colección. Se puede calcular el caudal con Bernoulli entre A y B y salir tan tranquilo, pero al mirar el punto alto la presión sale de menos 11,3 metros de columna de agua: por debajo del cero absoluto, que es imposible. La instalación cavita y el caudal calculado no existe. Dibujar la línea piezométrica lo avisa antes de calcular nada.

Los otros casos particulares

Cinco situaciones más en las que la línea piezométrica hace algo característico, y saber cuál es cada una vale puntos de COMP 4:

situación	qué le pasa a la piezométrica
boquilla al final	deja de ser paralela a la de altura total: la presión se convierte en velocidad
pieza especial	escalón hacia abajo en ese punto, y después continúa con la misma pendiente
bomba	escalón hacia arriba de valor $H_m$ ; misma pendiente antes y después si el diámetro no cambia
turbina	escalón hacia abajo de valor $H_t$
aspiración de una bomba	puede cortar el perfil: es la depresión que hace cavitar la bomba

Que la pendiente sea la misma antes y después de una bomba no es un detalle de dibujo: si el diámetro y el material no cambian, tampoco cambian la velocidad, el Reynolds, la rugosidad relativa ni por tanto $f$ . La bomba sube la energía; no cambia el ritmo al que se pierde.

Hazen-Williams

Antes de Prandtl ya se calculaban tuberías, con fórmulas empíricas. De la decena que cita el temario, la que sigue usándose para cálculo rápido con agua —o con fluidos de viscosidad parecida— es la de Hazen-Williams:

Q = 0{,}849\,C_{HW}\,A\,R_H^{0{,}63}\,J^{0{,}54}

y despejando la pérdida unitaria, para tubería circular:

J = \frac{h_f}{L} = \frac{10{,}7}{C_{HW}^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}\,Q^{1{,}852} \qquad\text{(SI)}

En la práctica se usa tabulada. Llamando $J_1$ a la pérdida unitaria que produce un caudal de 1 l/s —cuadro nº 25, entrando por diámetro comercial y $C_{HW}$ —, la fórmula de trabajo es:

\boxed{h_f = J_1\,L\,Q^{1{,}852}} \qquad\text{con } Q \text{ en l/s y } D \text{ en mm}

Su ventaja es que no necesita iterar ni conocer el Reynolds: el coeficiente $C_{HW}$ no depende del caudal. Su límite, que hay que decir: vale para agua a temperatura ordinaria, y usarla con un aceite o un gas da un resultado que no significa nada.

Y una advertencia sobre el coeficiente, que se equivoca con facilidad. El cuadro n.º 25 no asigna un $C_{HW}$ a cada material: lo asigna a cada banda de rugosidad relativa. Es decir que la misma tubería cambia de coeficiente al cambiar de diámetro, porque lo que decide es $\varepsilon/D$ :

$C_{HW}$	$\varepsilon/D$
150	$\le 1{,}5\cdot 10^{-5}$
140	$1{,}5\cdot 10^{-5}$ … $2\cdot 10^{-4}$
130	$2\cdot 10^{-4}$ … $10^{-3}$
120	$10^{-3}$ … $4\cdot 10^{-3}$
110	$4\cdot 10^{-3}$ … $1{,}5\cdot 10^{-2}$
100	$> 1{,}5\cdot 10^{-2}$

Un ejemplo de lo que cuesta olvidarlo: el PVC de $\varepsilon = 0{,}0007$ cm tiene $C_{HW} = 140$ a 150 mm de diámetro — $\varepsilon/D = 4{,}7\cdot 10^{-5}$ — y 150 a partir de unos 470 mm. Tomar 150 en el tubo pequeño baja las pérdidas calculadas un 12 %.

Tuberías en serie y en paralelo

Aquí no hay fórmulas nuevas, hay dos leyes, y son literalmente las de Kirchhoff con otro nombre.

En serie —una detrás de otra— el caudal es el mismo en todas y las pérdidas se suman:

Q = \text{cte} \qquad h_{f,\text{total}} = \sum h_{f,i}

En paralelo —parten y llegan al mismo par de nudos— es al revés:

\text{ley de nudos: } \sum Q = 0 \qquad \text{ley de mallas: } h_{f,1} = h_{f,2} = h_{f,3}

La segunda tiene una justificación de una línea que conviene poder dar: aplicando Bernoulli entre los nudos A y B sale $B_A - B_B = h_{f,AB}$ , y el Bernoulli de un punto es un número, no depende del camino. Recorriendo un circuito cerrado, entonces, $\sum h_f = 0$ contando con signo.

En paralelo no se reparte el caudal a partes iguales

La intuición dice «dos tuberías, la mitad por cada una», y es falsa salvo que sean idénticas.

Lo que iguala el paralelo es la pérdida de carga, no el caudal. Como $h_f \propto f\,\dfrac{L}{D^{5}}\,Q^{2}$ , la rama más corta, más ancha o más lisa se lleva mucho más caudal: el diámetro entra a la quinta.

Un ejemplo del orden de magnitud: dos ramas de la misma longitud y material, una de 100 mm y otra de 150 mm. La segunda no lleva vez y media el caudal de la primera, lleva unas 2,8 veces más, porque $1{,}5^{2{,}5} = 2{,}76$ .

El procedimiento correcto es siempre el mismo: se escribe $h_f$ igual para todas las ramas, se despeja cada $Q_i$ en función de esa $h_f$ común, y se impone que la suma sea el caudal total.

Redes ramificadas son conjuntos de tuberías que parten de un nudo común, y malladas, las que forman circuitos cerrados. Se resuelven con esas mismas dos leyes, que en una malla grande se aplican por iteración (Hardy-Cross); el temario de la asignatura las plantea, y los problemas que caen son de redes pequeñas donde el sistema se resuelve a mano.

Practica lo que acabas de leer

Los dos métodos, y cuánto pesan de verdad las pérdidas menores

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Los dos métodos, y cuánto pesan de verdad las pérdidas menores

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un tramo de tubería de acero de $150\ \text{mm}$ de diámetro y $45\ \text{m}$ de longitud lleva agua a $2\ \text{m/s}$ . Su coeficiente de frotamiento es $f = 0{,}022$ .

La instalación tiene además cuatro codos de 90° con factor de paso $K = 0{,}3$ cada uno, y una válvula cuya longitud equivalente es $L_e = 12\ \text{m}$ .

a) Calcular la pérdida del tramo recto.

b) Calcular la pérdida total.

c) Determinar qué porcentaje del total son las pérdidas menores.

Las dos pérdidas y el peso de las menores sobre el total.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Se pueden despreciar aquí las pérdidas menores?
02
La pérdida del tramo recto
COMP2
¿Cuánto pierde el tramo recto?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La pérdida total
COMP2
Sumando los codos y la válvula, ¿cuánto pierde la instalación?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El peso de las menores
COMP2
¿Qué porcentaje del total son las pérdidas menores? (solo el número)
Tu respuesta al paso 4un porcentaje, solo el número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La regla de los mil diámetros pide 150 m de separación entre piezas, y toda la conducción mide 45: las menores no se pueden despreciar.
2. Con los codos por factor de paso y la válvula por longitud equivalente, las puntuales suman 0,604 m frente a 1,347 del tramo recto.
3. Eso es el 31 % del total, así que despreciarlas habría infravalorado la pérdida en casi un tercio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas de la asignatura; los datos son nuestros y el cuadro n.º 25 es el del temario.

El mismo PVC, dos diámetros y dos coeficientes

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una conducción de PVC de rugosidad absoluta $\varepsilon = 0{,}007\ \text{mm}$ transporta agua. Se pide:

a) El coeficiente de Hazen-Williams que le corresponde si el diámetro es de 150 mm, y el que le corresponde si es de 500 mm.

b) La pérdida de carga en un tramo de 1.200 m del tubo de 150 mm cuando circulan 40 l/s.

El coeficiente de Hazen-Williams de cada diámetro y la pérdida de carga del tramo pequeño.

01
Reconocer el camino
COMP1
El cuadro n.º 25 da el coeficiente $C_{HW}$ por bandas. ¿Qué es lo que decide en qué banda cae una tubería?
02
El coeficiente del tubo de 150 mm
COMP2
Calcula la rugosidad relativa del tubo de 150 mm y busca su banda en el cuadro. ¿Qué $C_{HW}$ le toca?
Tu respuesta al paso 2un número, el del cuadro — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La pérdida del tramo
COMP2
Con ese coeficiente, ¿cuánto se pierde en los 1.200 m de tubo de 150 mm con 40 l/s?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El material fija la rugosidad absoluta, que aquí vale 0,007 mm y no cambia con el diámetro.
2. El cuadro n.º 25 no entra por la rugosidad absoluta sino por la relativa, y en ella el diámetro divide.
3. A 150 mm la relativa es 4,67·10⁻⁵ y toca 140; a 500 mm es 1,40·10⁻⁵ y toca 150.
4. Tomar 150 en el tubo pequeño baja la pérdida calculada de 36,1 a 31,8 m, un 12 % menos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.3 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un sifón de keroseno, y la presión imposible del punto alto

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere hacer circular keroseno a $20\ °\text{C}$ ( $s = 0{,}77$ ) desde la cota $z_A = 240\ \text{m}$ a un depósito situado en la cota $z_B = 232\ \text{m}$ , mediante una conducción que pasa por un punto C, de cota $z_C = 247\ \text{m}$ . Se pide:

a) Caudal circulante suponiendo funcionamiento correcto.

b) Comprobar anomalías en el funcionamiento del sistema.

Para resolver estas anomalías se instala una válvula de mariposa que origina una pérdida singular localizada al final del tramo 2, cerca de B. Calcular en las condiciones límite de funcionamiento, es decir, en el mismo comienzo de la cavitación:

c) El nuevo caudal circulante.

d) Factor de paso necesario de la válvula de mariposa.

Datos: diámetro de la conducción constante, $500\ \text{mm}$ ; tubería de fundición ( $\varepsilon = 0{,}026\ \text{cm}$ ); presión atmosférica $10\ \text{mca}$ ; presión de vapor del keroseno (absoluta) $0{,}0183\ \text{kg/cm}^{2}$ ; longitud del tramo (1) A-C, $130\ \text{m}$ ; longitud del tramo (2) C-B, $35\ \text{m}$ ; $\nu = 2{,}2\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ .

El caudal, la presión en C, el caudal límite y el factor de paso de la válvula.

01
Reconocer el camino
COMP1
Bernoulli entre A y B da el caudal sin problema. ¿Por qué el enunciado pide además «comprobar anomalías»?
02
El caudal, suponiendo que todo va bien
COMP2
¿Qué caudal circularía?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La presión en el punto alto
COMP2
¿Qué presión manométrica sale en C, expresada en metros de columna de agua?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad (y con su signo) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal en el límite de la cavitación
COMP2
Con la válvula instalada, ¿qué caudal circula cuando en C se alcanza justo la presión de vapor?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El factor de paso de la válvula
COMP2
¿Qué factor de paso $K$ debe tener la válvula de mariposa?
Tu respuesta al paso 5un número sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Bernoulli entre A y B da 8 m de pérdida disponible y un caudal de 1,03 m³/s, pero no dice nada de lo que ocurre en el punto alto.
2. En C la presión saldría de −11,33 mca, por debajo del cero absoluto: imposible, así que ese caudal no existe y la instalación cavita.
3. Poniendo una válvula cerca de B se frena el flujo, y con menos velocidad la presión en C sube hasta ser posible: el límite es justo la presión de vapor.

$f$ supuesto	$v$ (m/s)	$Re$	$f$ obtenido
0,025	3,88	$8{,}8\cdot 10^{5}$	0,0174
0,0174	4,52	$1{,}03\cdot 10^{6}$	0,0173
0,0173	4,53	$1{,}03\cdot 10^{6}$	0,0173

Resolución completa

a) El caudal, si todo fuera bien. Los dos depósitos están abiertos, y Bernoulli entre A y B deja $h_f = 240 - 232 = 8$ mc keroseno. Como es constante, se usa la entrada de arriba del ábaco:

Re\sqrt f = 1{,}57\cdot 10^{5} \qquad \frac{\varepsilon}{D} = 0{,}00052 \qquad\Longrightarrow\qquad f = 0{,}01725

v = 5{,}25\ \text{m/s} \qquad Q = 1{,}03\ \text{m}^{3}/\text{s}

b) La anomalía. Bernoulli de A a C:

\frac{p_C}{\gamma} = -7 - 1{,}40 - 6{,}30 = -14{,}71\ \text{mc keroseno} = -11{,}33\ \text{mca}

Once metros de columna de agua por debajo de la atmosférica es más de lo que hay. La presión absoluta saldría negativa, que no existe. Mucho antes de llegar ahí el keroseno alcanza su presión de vapor, hierve, se rompe la vena líquida y el sifón deja de trasegar. El caudal del apartado a) es un número correcto de una instalación que no funciona.

c) El caudal límite. Se impone que en C se alcance exactamente la presión de vapor. En manométrica son $-12{,}75$ mc keroseno, y Bernoulli de A a C queda

5{,}75 = \frac{v^{2}}{2g}\,(260f + 1)

con dos incógnitas y ninguna entrada al ábaco: hay que iterar. Partiendo de $f = 0{,}025$ , en dos vueltas converge a $f = 0{,}0173$ y $v = 4{,}53$ m/s, es decir $Q = 889$ l/s.

d) La válvula. Con ese caudal la tubería pierde 5,97 m de los 8 disponibles, así que la válvula tiene que disipar los 2,03 restantes:

K = \frac{2g\,h_f}{v^{2}} = 1{,}94

Dónde va la válvula, que es la pregunta de fondo. Aguas abajo del punto alto. Una pérdida colocada antes de C aparece restando en el Bernoulli de A a C y empeoraría la depresión; puesta después, no entra en esa ecuación y sin embargo frena el caudal de toda la conducción. Es la misma idea que la válvula de regulación a la salida de una bomba.

Una nota sobre los números del boletín. La solución oficial redondea $f$ a 0,0172 y publica 891 l/s y $K = 1{,}93$ ; iterando hasta converger salen 889 l/s y 1,94. La diferencia es del 0,3 %, muy por debajo de lo que se puede leer en el ábaco a ojo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.7 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La red de cuatro tuberías y un nudo

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Según la figura adjunta, donde $K_{boquilla} = 0{,}3$ y $D_{boquilla} = 75$ mm, se pide:

a) Calcular Q₂, si un tubo de pitot colocado en el punto medio de la tubería 2 señala R₁ = 0,3 m y R₂ = 0,8 m.

b) Sabiendo que un diafragma colocado en la tubería 3 tiene las siguientes características: $D_{orificio} = 100$ mm, $C_{orificio} = 0{,}8$ , y que el manómetro diferencial con aire marca R = 0,85 m, calcular Q₃ y L₃.

c) Si un caudalímetro electromagnético situado en 1 señala 2400 l/min, calcular la potencia útil aportada por la bomba.

d) Seleccionar el diámetro D₄, para poder asegurar el reparto de caudales, cuando la válvula G no cree pérdidas de carga adicionales.

e) Calcular $h_f$ en la válvula G, para tener el reparto de caudales iniciales, con el D₄ seleccionado. ¿Cuál es la potencia perdida en esta válvula G?

Datos: líquido, agua. Tuberías de fibrocemento.

tubería	D [mm]	L [m]
1	175	500
2	200	2100
3	125	?
4	?	1500

Cuatro tuberías y un nudo. Los depósitos D y A empujan hacia dentro, la boquilla B descarga a la atmósfera, y hacia dónde va el agua de la tubería 3 es una de las cosas que hay que averiguar.

El detalle del conducto E. La boca del pitot mira a la corriente; el mercurio del manómetro queda por encima del eje del conducto, y la rama de la derecha está abierta.

El caudal de la boquilla, la longitud de la tubería 3, la potencia de la bomba, el diámetro de la 4 y la pérdida que hay que meter en la válvula G.

01
Reconocer el camino
COMP1
El tubo de pitot del punto E, ¿qué mide exactamente?
02
El caudal de la boquilla
COMP2
Caudal Q₂ que sale por la boquilla. La tubería 2 tiene D = 200 mm y 2100 m, y para el fibrocemento el Cuadro nº 25 da $J_1 = 9{,}17\cdot 10^{-6}$ con $C_{HW} = 130$ .
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La longitud de la tubería 3
COMP2
Longitud L₃, sabiendo que el diafragma da $Q = C\,A_0\sqrt{2gR}$ y que para D = 125 mm el Cuadro nº 25 da $J_1 = 9{,}05\cdot 10^{-5}$ .
Tu respuesta al paso 3una longitud con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La potencia útil de la bomba
COMP2
Potencia útil de la bomba, si el caudalímetro de la tubería 1 marca 2400 l/min. Para D = 175 mm el Cuadro nº 25 da $J_1 = 1{,}76\cdot 10^{-5}$ .
Tu respuesta al paso 4una potencia con su unidad (kW o W) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El diámetro de la tubería 4
COMP2
Diámetro comercial D₄ que hay que instalar para que el reparto de caudales sea el calculado, con la válvula G completamente abierta.
Tu respuesta al paso 5un diámetro con su unidad (mm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena para qué sirve la válvula G. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El diámetro comercial se toma siempre por exceso, así que la tubería 4 instalada pierde menos de lo que la instalación necesita: 4,33 m en vez de 7,22.
2. Si no se hiciera nada, por la tubería 4 pasaría más caudal del previsto y el reparto del nudo dejaría de ser el calculado.
3. Por eso se cierra parcialmente la válvula G hasta introducir los 2,88 m que sobran.
4. Esa pérdida cuesta dinero todos los días: 9800 · 0,02234 · 2,88 = 631 W disipados en la válvula.

Resolución completa

Por qué este problema se resuelve con Hazen-Williams

El propio boletín lo dice: la expresión de Hazen-Williams es menos exacta que Colebrook-White, pero evita iterar, porque da la pérdida directamente en función del caudal:

h_f = J_1\,L\,Q^{1{,}852}

con Q en l/s y $J_1$ leído en el Cuadro nº 25 a partir del diámetro y de la rugosidad relativa. En una red de cuatro tuberías donde hay que probar diámetros y sentidos de circulación, esa comodidad decide. El precio está escrito en la propia fórmula: solo vale para agua o líquidos de viscosidad parecida.

Para el fibrocemento, con $\varepsilon = 0{,}01$ cm, sale $C_{HW} = 130$ , y de ahí

D	$J_1$
125 mm	9,05·10⁻⁵
175 mm	1,76·10⁻⁵
200 mm	9,17·10⁻⁶

a) El pitot, y la mitad de tubería que queda

El manómetro da la energía total del punto E:

\frac{p_E}{\gamma} + \frac{V_E^{2}}{2g} = R_1 + 13{,}6\,R_2 = 11{,}18\ \text{mca}

El detalle que más se falla está en el enunciado: el pitot está en el punto medio, así que entre E y la boquilla queda la mitad de la tubería 2 —1050 m— y solo esa mitad se descuenta.

12{,}18 = 3{,}398\cdot 10^{-3}Q_2^{2} + 9{,}629\cdot 10^{-3}Q_2^{1{,}852} \;\Longrightarrow\; Q_2 = 36{,}69\ \text{l/s}

b) El nudo, que es la pieza central

Con Q₂ conocido se puede recorrer la tubería 2 hacia atrás y llegar a la energía del nudo:

B_N = 37{,}785\ \text{mca}

Ese número es la llave del resto del problema. Con él se sabe hacia dónde va el agua en cada tubería, sin más que comparar:

	energía	comparación con $B_N$	sentido
Depósito D	45	mayor	entra al nudo
Depósito C	22	menor	sale del nudo
Depósito A + bomba	35,94 + 10	mayor	entra al nudo

El diafragma da $Q_3 = 25{,}65$ l/s, la pérdida disponible en la 3 es $37{,}785 - 22 = 15{,}785$ m y de ahí L₃ = 428,5 m.

c) La bomba

Con Q₁ = 40 l/s y $h_{f1} = 8{,}16$ m, $Hm_B = 35{,}94$ mca y $P_{util} = 14{,}1$ kW.

d) y e) El diámetro comercial, y lo que sobra

La continuidad del nudo cierra el reparto:

Q_4 = Q_2 + Q_3 - Q_1 = 36{,}69 + 25{,}65 - 40 = 22{,}34\ \text{l/s}

La tubería 4 dispone de $45 - 37{,}785 = 7{,}215$ m de pérdida, lo que pide $J_{1,\text{máx}} = 1{,}53\cdot 10^{-5}$ . El de 175 mm pierde demasiado (1,76·10⁻⁵) y el de 200 mm demasiado poco (9,17·10⁻⁶). Como no se puede instalar un diámetro que no se fabrica, se toma el de 200 mm, siempre por exceso.

Y aquí aparece lo que hace bonito el problema. Con 200 mm la tubería 4 solo pierde

h_{f4} = 9{,}17\cdot 10^{-6}\cdot 1500\cdot 22{,}34^{1{,}852} = 4{,}33\ \text{m}

de los 7,215 disponibles. Si no se hiciera nada, entraría más caudal del previsto y el reparto del nudo cambiaría. Por eso está la válvula G: para meter a mano los 2,88 m que sobran.

h_{f,G} = 7{,}215 - 4{,}33 = 2{,}88\ \text{mca} \qquad P_{perdida} = 9800\cdot 0{,}02234\cdot 2{,}88 = 631\ \text{W}

Seiscientos treinta vatios tirados a la basura de forma permanente, y no por un error de cálculo: por el simple hecho de que los diámetros se fabrican de 25 en 25 milímetros. Esa es la diferencia entre un problema de libro y una instalación: el catálogo manda, y lo que sobra hay que quemarlo en una válvula.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.12 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Cargar el camión de alcohol, con cuatro codos y dos válvulas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene almacenado alcohol etílico en un sótano situado a $6\ \text{m}$ por debajo de la calzada de la calle. Se quiere cargar este alcohol mediante una tubería de $50\ \text{mm}$ y $20\ \text{m}$ de longitud con 4 codos y 2 válvulas, por medio de una bomba de $735\ \text{W}$ de potencia bruta con un rendimiento del $50\ \%$ . La boca de entrada al depósito del camión está situada $2{,}50\ \text{m}$ sobre la calzada. La tubería es de acero estirado, la densidad relativa del alcohol $0{,}90$ , su viscosidad cinemática $1{,}4\cdot 10^{-6}\ \text{m}^{2}/\text{s}$ y las longitudes equivalentes de codo y válvula son: 5 y 10 m respectivamente. Se pide:

a) Caudal circulante.

El caudal que la bomba consigue mover hasta el camión.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da «longitudes equivalentes de codo y válvula: 5 y 10 m». ¿Qué significa eso exactamente?
02
La longitud de cálculo
COMP2
¿Con qué longitud hay que entrar en Darcy-Weisbach?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura geométrica
COMP2
¿Cuánto tiene que subir el alcohol?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal
COMP2
¿Qué caudal circula?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los cuatro codos y las dos válvulas equivalen a 40 m de tubo, que sumados a los 20 reales dan 60 m de cálculo.
2. La bomba entrega al alcohol la mitad de sus 735 W, y con ellos tiene que subirlo 8,5 m y vencer el rozamiento de esos 60 m.
3. De los 12,22 m de altura que la bomba da al caudal de equilibrio, 8,5 son de subida y 3,72 de rozamiento; el caudal sale de 3,4 l/s.

$Q$ (l/s)	$V$ (m/s)	$Re$	$f$	$H$ útil	$\Delta z + h_f$
3,0	1,53	54.567	0,0207	13,89	11,45
3,5	1,78	63.662	0,0200	11,90	12,39
3,41	1,74	62.025	0,0201	12,22	12,21

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.14 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El llenado lento de los camiones

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En una estación de almacenamiento de productos petrolíferos, se utiliza la instalación de la figura para el llenado de los camiones de reparto de gasolina. Se pide:

a) Caudal cuando la altura del nivel en el depósito es de 6 m.

b) Como el llenado de los camiones de esta forma es lento, se proyecta crear con aire comprimido una sobrepresión en el depósito. Determinar la presión a que deberá estar el aire comprimido para duplicar el caudal en las condiciones anteriores, es decir, cuando la altura del nivel en el depósito sea de 6 m.

Datos: Tubería de hierro forjado, diámetro 100 mm, longitud 100 m; temperatura de la gasolina = 10 °C. Los codos son de radio medio y la válvula de compuerta está abierta. La salida del depósito es de ángulos vivos.

Nota: Calcular las pérdidas de carga en las piezas especiales mediante los factores de paso.

Del depósito al camión, que está en una fosa. Los seis metros de gasolina y los dos que baja la tubería al final tiran en el mismo sentido: la carga disponible son ocho metros. La escala horizontal va muy comprimida.

El caudal de llenado por gravedad y la presión de aire que haría falta para duplicarlo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuánta altura motriz tiene esta instalación entre la superficie de la gasolina y la boca del camión?
02
El caudal por gravedad
COMP2
Caudal de llenado con el nivel a 6 m. El hierro forjado tiene $\varepsilon = 0{,}006$ cm (Cuadro nº 20) y la gasolina a 10 °C $\nu \approx 6\cdot 10^{-7}$ m²/s (Ábaco nº 5).
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La presión de aire para duplicar el caudal
COMP2
Presión a la que hay que poner el aire comprimido sobre la gasolina para que el caudal pase a 41,6 l/s, con el nivel todavía en 6 m. La gasolina tiene s = 0,68 (Ábaco nº 5).
Tu respuesta al paso 3una presión con su unidad (kg/cm², bar o kPa) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué duplicar el caudal cuesta tanto. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La pérdida de carga va con el cuadrado de la velocidad, así que al doblar el caudal se multiplica por casi cuatro: de 8 a 31,3 m.
2. El casi es porque el coeficiente de fricción baja algo al subir el Reynolds, de 0,0184 a 0,0179: un 3 % menos.
3. Los 8 m que ya ponía la gravedad siguen ahí, así que el aire solo tiene que aportar la diferencia, 23,3 m de columna de gasolina.
4. Y 23,3 m de gasolina, con s = 0,68, son 1,59 kg/cm² de presión de aire.

Resolución completa

Leer la figura antes que nada

Este problema se juega en un detalle del dibujo: el camión está en una fosa. El suelo cae al llegar a él, y el último tramo de tubería no sube los dos metros, los baja. Por eso la altura motriz no son 6 m ni 4, sino

H = 6 + 2 = 8\ \text{m}

Con 6 m el caudal saldría 18 l/s y con 4 m, 14,6. La diferencia entre leer bien y leer mal la figura es de un 40 %.

a) El caudal por gravedad

Del Cuadro nº 20, el hierro forjado tiene $\varepsilon = 0{,}006$ cm, y del Ábaco nº 5 la gasolina a 10 °C ronda $\nu = 6\cdot 10^{-7}$ m²/s con s = 0,68. Ninguno de los dos datos está en el enunciado.

Los factores de paso (Cuadro nº 24) son salida de ángulos vivos 0,5, válvula de compuerta abierta 0,19 y tres codos de radio medio a 0,75 cada uno, más la energía cinética que se pierde al descargar:

8 = \left(f\,\frac{100}{0{,}1} + 2{,}94 + 1\right)\frac{V^{2}}{2g}

Iterando con Moody sale f = 0,0184, V = 2,65 m/s y Q = 20,8 l/s.

El reparto merece un vistazo:

	m	%
fricción en los 100 m de tubería	6,59	82 %
piezas especiales	1,06	13 %
energía cinética de salida	0,36	5 %

Con L/D = 1000, la tubería se lo come casi todo. Las piezas, que en una instalación corta serían decisivas, aquí son un decimal.

b) Lo que cuesta ir al doble

Y aquí está la lección. La pérdida de carga va con $V^{2}$ , así que doblar el caudal multiplica la pérdida por casi cuatro: de 8 m se pasa a 31,3. El «casi» es porque el coeficiente de fricción baja un poco al subir el Reynolds —de 0,0184 a 0,0179—, pero es un efecto del 3 %.

La gravedad sigue poniendo sus 8 m, así que el aire comprimido tiene que aportar los 23,3 restantes:

p = 23{,}3\cdot 0{,}68\cdot 9800 = 155{,}6\ \text{kPa} = 1{,}59\ \text{kg/cm}^{2}

Dicho al revés, que es como se entiende mejor: el caudal crece con la raíz cuadrada de la altura motriz. Cuadruplicar la altura para doblar el caudal no es un mal negocio ni un buen negocio: es la ley, y conviene tenerla en la cabeza antes de prometerle a nadie que una bomba mayor resolverá un cuello de botella.

Sobre el modelo

El enunciado no dice cuántos codos hay: hay que contarlos en la figura, y son tres —uno al salir del depósito, otro al llegar al suelo y otro al bajar al camión—. Con esos tres y con la altura motriz de 8 m, los dos resultados publicados salen a la primera: 20,83 l/s contra los 20,8 publicados y 1,59 kg/cm² contra 1,6. Que un solo modelo reproduzca los dos números es la comprobación de que la lectura de la figura era la buena.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.16 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El oleoducto que pasa raspando por el alto

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere transportar 180 l/s de keroseno (densidad relativa = 0,98; viscosidad = $2{,}8\cdot 10^{-6}$ m²/s) mediante un oleoducto cuyo perfil longitudinal se indica en la figura. Se pide:

Del punto A al C hay 55 metros de subida neta, pero por el camino se pasa por el alto B, doscientos metros más arriba. La escala vertical va muy exagerada: son 123 kilómetros de tubería.

a) Seleccionar el diámetro de la tubería de fundición a instalar, igual para todo el oleoducto, teniendo en cuenta que la velocidad del flujo debe estar comprendida entre 0,8 y 1 m/s y que los diámetros comerciales se fabrican de 50 en 50 mm.

b) Potencia bruta de la bomba necesaria para que el keroseno llegue a C a la presión atmosférica siendo el rendimiento de aquella de 0,75.

c) Dibujar la línea piezométrica.

d) Presión con que llegará el líquido a B.

El diámetro comercial, la potencia bruta de la bomba y con qué presión pasa el keroseno por el alto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué desnivel tiene que vencer la bomba, si el líquido debe llegar a C a la presión atmosférica?
02
El diámetro comercial
COMP2
Diámetro de la tubería, sabiendo que se fabrican de 50 en 50 mm y que la velocidad tiene que quedar entre 0,8 y 1 m/s con los 180 l/s.
Tu respuesta al paso 2un diámetro con su unidad (mm, cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia bruta de la bomba
COMP2
Potencia bruta de la bomba, con un rendimiento de 0,75, para que el keroseno llegue a C a la presión atmosférica. La fundición tiene $\varepsilon = 0{,}026$ cm.
Tu respuesta al paso 3una potencia con su unidad (kW o W) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena qué dice la línea piezométrica sobre el alto de B. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La piezométrica arranca en A a la cota 358 —los 100 del terreno más los 258 que pone la bomba— y baja en línea recta, porque el diámetro y el caudal no cambian.
2. Hasta B se pierden 49,6 m, así que allí la piezométrica va por 309, y el terreno está a 305.
3. Es decir, el keroseno pasa por el alto con menos de cuatro metros de columna: si la piezométrica bajara por debajo del terreno, en B habría depresión y el oleoducto se cortaría.
4. Y ese número está mal condicionado, porque es la diferencia entre los 154 m que se pierden de B a C y los 150 m que se baja: un 1,5 % de error en f lo mueve un 70 %.

Resolución completa

Un perfil con un alto en medio

El oleoducto sube 205 m hasta B y baja 150 hasta C. Lo primero que hay que tener claro es que la subida no se paga: la energía potencial que el líquido gana subiendo la devuelve entera al bajar, así que el desnivel que la bomba tiene que vencer son los 55 m netos entre A y C.

Lo que el alto sí impone es una restricción, y de eso va el apartado d).

a) El diámetro, por la ventana de velocidad

D	V = Q/A
450 mm	1,132 m/s
500 mm	0,917 m/s
550 mm	0,758 m/s

Solo el de 500 mm entra en la ventana 0,8–1 m/s.

b) La potencia

Con V = 0,917 m/s, $Re = 1{,}64\cdot 10^{5}$ y $\varepsilon/D = 0{,}026/50 = 0{,}00052$ , el ábaco da f = 0,0193, y sobre los 123 km:

h_f = 0{,}0193\cdot\frac{123\,000}{0{,}5}\cdot 0{,}0429 = 203\ \text{m}

Fíjate en la proporción: 203 m de fricción contra 55 m de desnivel. En un oleoducto largo el terreno casi no cuenta; lo que cuenta son los kilómetros.

Hm = 55 + 203 = 258\ \text{m} \qquad P_{bruta} = \frac{258\cdot 0{,}18\cdot 9604}{0{,}75} = 596\ \text{kW}

(El boletín publica 599 kW; la diferencia es la tercera cifra de f.)

c) La línea piezométrica

Como el diámetro y el caudal son constantes, la altura cinética no cambia y la piezométrica es una recta que cae con pendiente uniforme:

	terreno	piezométrica	presión
A (tras la bomba)	100	358	258 mcl
B	305	309	4 mcl
C	155	155	0

Dibujarla es unir esos tres puntos de la columna del medio con dos rectas de la misma pendiente —0,00165 m/m—, y comprobar que la línea queda por encima del terreno en todo el recorrido.

d) Los cuatro metros de B, y por qué hay que desconfiar de ellos

El keroseno pasa por el alto con unos 4 metros de columna de presión. Ese es el margen de toda la instalación: si la piezométrica bajara por debajo de la cota 305, en B habría depresión, el keroseno tendería a vaporizarse y la vena se cortaría.

Pero conviene decir en voz alta que ese número es frágil. Sale como diferencia entre dos cantidades grandes y parecidas —los 154 m que se pierden de B a C y los 150 m que se baja—, así que un error pequeño en f se amplifica muchísimo:

f	potencia bruta	presión en B
0,0192	594 kW	3,1 mcl
0,0193	596 kW	3,9 mcl
0,0194	598 kW	4,7 mcl
0,0195	601 kW	5,5 mcl

Un 1,5 % de diferencia en f mueve la potencia un 1 % y la presión en B un 77 %. El boletín publica 4,6 mcl, que corresponde a leer f ≈ 0,0194; con la expresión de Colebrook salen 3,8.

La lección no es cuál de los dos números es el bueno —los dos lo son, dentro de lo que se puede leer en un ábaco—, sino que hay resultados robustos y resultados mal condicionados, y hay que saber cuál se tiene entre manos. Con 4 metros de margen sobre un alto de 205, este oleoducto está diseñado al límite, y esa es la conclusión que sobrevive a la incertidumbre.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.17 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El llenado del camión de keroseno

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene una instalación de llenado de camiones de reparto de keroseno a partir de un depósito de almacenamiento, mediante el sistema de tuberías indicado en la figura. Se pide:

a) Caudal circulante en la posición de la figura.

Datos: Temperatura del keroseno = 20 ºC; peso específico relativo del keroseno = 0,77; longitud de la tubería = 25 m; diámetro = 100 mm; tubería de acero comercial.

Nota: Se ha de utilizar el método de los factores de paso para calcular la pérdida de carga de las piezas especiales. Solo se tendrán en cuenta las piezas especiales resaltadas.

El depósito descarga por gravedad sobre el camión, que está cuatro metros más abajo. Las piezas resaltadas en rojo son las únicas que cuentan, y los tres codos comerciales están repartidos por el recorrido.

El caudal de keroseno que llena el camión con la válvula en la posición de la figura.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde interviene el peso específico relativo 0,77 del keroseno?
02
La suma de factores de paso
COMP2
Suma de los factores de paso K de las piezas resaltadas.
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El caudal
COMP2
Caudal circulante, en litros por segundo.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena en qué se van los cuatro metros de carga. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fricción de los 25 m de tubería se lleva 2,13 m, algo más de la mitad.
2. Las cuatro piezas especiales se llevan 1,46 m entre todas.
3. Y los 0,42 m que quedan no son una pérdida: son la energía cinética con la que el chorro entra en el camión.
4. Sumados, 2,13 más 1,46 más 0,42 dan los cuatro metros de partida.

Resolución completa

Un problema donde la mitad del dato sobra

El enunciado da la temperatura del keroseno, su peso específico relativo, la longitud, el diámetro y el material. De todo eso, el peso específico no se usa. Merece la pena entender por qué antes de calcular nada.

La instalación descarga de la atmósfera —la superficie libre del depósito— a la atmósfera —el chorro que entra en el camión—. Al escribir la ecuación de la energía en metros de columna del propio líquido, la presión se va porque es la misma arriba y abajo, y la densidad se va porque divide a todos los términos por igual. Quedan cuatro metros de desnivel, y da lo mismo que dentro haya keroseno, agua o mercurio.

Lo que no da lo mismo es la viscosidad, y ahí sí entra el keroseno: a 20 ºC su viscosidad cinemática es $2{,}5\cdot 10^{-6}$ m²/s, unas dos veces y media la del agua. Eso baja el Reynolds y sube algo la fricción.

Las piezas, que aquí mandan

La instalación mide 25 m. Con esa longitud, las piezas especiales dejan de ser una corrección y pasan a ser la mitad del problema:

pieza	K
orificio de borda	1
válvula de compuerta abierta	0,19
válvula esférica a 5º	0,05
tres codos comerciales de radio medio	2,25
suma	3,49

Los 3,49 equivalen a $3{,}49\,D/f = 17$ m de tubería recta, es decir a dos tercios más de instalación. Y el reparto sorprende: el orificio de borda, que ni siquiera parece una pieza, vale más que las dos válvulas juntas; y la válvula esférica abierta a 5º, con K = 0,05, es prácticamente transparente. Basta con cerrarla hasta los 15º para que su K pase a 0,75 y valga ella sola lo que los tres codos.

El cálculo, que hay que iterar

4 = \left(1 + 3{,}49 + f\,\frac{25}{0{,}1}\right)\frac{v^{2}}{2g}

El factor de fricción depende de la velocidad y la velocidad depende del factor de fricción, así que se supone una y se corrige. Con $\varepsilon/D = 6\cdot 10^{-4}$ y Reynolds del orden de $10^{5}$ , Colebrook da $f = 0{,}0204$ , y de ahí

v = 2{,}86\ \text{m/s} \qquad Q = 22{,}5\ \text{l/s}

A ese caudal, llenar una cisterna de 20 m³ lleva un cuarto de hora largo.

Dónde se van los cuatro metros

concepto	metros	del total
fricción en los 25 m	2,13	53 %
las cuatro piezas especiales	1,46	37 %
energía cinética del chorro	0,42	10 %

Esa última fila es la que más se olvida, y no es una pérdida: es energía que el líquido se lleva puesta al salir del tubo. Si el enunciado hubiera dicho que la tubería termina sumergida en el camión, ese término seguiría estando, pero como pérdida de entrada a depósito — con K = 1, exactamente el mismo número. Es una de esas coincidencias que conviene entender y no memorizar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.18 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El petrolero, y el sifón que se da la vuelta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un petrolero que transporta un hidrocarburo de peso específico relativo 0,86 y viscosidad cinemática 0,05 St, cuando llega a puerto debe trasvasarlo a un depósito de almacenamiento. Para ello se dispone de una bomba autocebante de 15 kW y 70 % de rendimiento. El diámetro de la tubería de trasvase es de 200 mm y 150 m de longitud, disponiendo además de 3 codos y una válvula. Se pide:

a) Caudal trasvasado.

b) Qué sucedería en el caso de que la lámina superior del depósito alcanzase la cota 26 y en ese instante se parara la bomba.

Datos: Longitud equivalente de un codo = 5 m; ídem de la válvula = 25 m.

El hidrocarburo tiene que subir del barco a la colina pasando por encima del depósito. La coronación del sifón está 25 m por encima del tramo horizontal y la lámina del barco, un metro por debajo.

El caudal trasvasado y qué pasa si se para la bomba con el depósito lleno hasta la cota 26.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué altura estática tiene que vencer la bomba?
02
El caudal trasvasado
COMP2
Caudal que trasvasa la bomba. El hidrocarburo tiene s = 0,86 y $\nu = 0{,}05$ St, y la tubería de fundición $\varepsilon = 0{,}026$ cm.
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Cuánto se pierde por fricción
COMP2
Pérdida de carga total en la instalación, en ese punto de funcionamiento.
Tu respuesta al paso 3una altura con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena qué pasa si se para la bomba con el depósito lleno hasta la cota 26. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La coronación del sifón está en la cota 26 y la lámina del depósito acaba de llegar a esa misma cota, mientras la del barco sigue en la cota 0.
2. Sin bomba, la tubería es un sifón cebado que une dos láminas a 26 m de diferencia, y el líquido se mueve hacia la más baja.
3. Así que el hidrocarburo empieza a volver del depósito al barco, en sentido contrario al del trasvase.
4. Y sigue volviendo hasta que la lámina del depósito baja por debajo de la coronación y entra aire por el punto alto: el sifón se desceba y el flujo se corta solo.

Resolución completa

Las dos cotas se suman

Lo primero que hay que leer bien es la geometría. Los 25 m van del tramo horizontal de la tubería a la coronación del sifón, por encima del depósito; el metro del barco va del mismo tramo horizontal hacia abajo, hasta la lámina de la bodega. Están a lados distintos, así que se suman:

\Delta z = 25 + 1 = 26\ \text{m}

El propio enunciado lo confirma en el apartado b) al hablar de «la cota 26»: es la coronación del sifón medida desde la lámina del barco.

a) El caudal

Las piezas se cuentan por longitud equivalente:

L_{eq} = 150 + 3\cdot 5 + 25 = 190\ \text{m}

Los tres codos y la válvula añaden 40 m a los 150 de tubería: un 27 % más. La bomba consume 15 kW y rinde el 70 %, así que entrega 10,5 kW al fluido:

Hm_B = \frac{10\,500}{Q\cdot 0{,}86\cdot 9800} = \frac{1{,}246}{Q}

y la instalación pide $26 + (950f + 1)V^{2}/2g$ . Con $\nu = 0{,}05$ St $= 5\cdot 10^{-6}$ m²/s y $\varepsilon/D = 0{,}0013$ , iterando sale

V = 1{,}396\ \text{m/s} \qquad Re = 5{,}6\cdot 10^{4} \qquad f = 0{,}0245 \qquad \boxed{Q = 43{,}8\ \text{l/s}}

Dónde va la energía

	m	%
elevación	26,00	91,5 %
fricción (tubería y piezas)	2,31	8,1 %
energía cinética de salida	0,10	0,4 %
total	28,41

Compáralo con un oleoducto, donde la fricción es el 80 % y el desnivel el 20. Aquí es al revés, y por una razón sencilla: 190 metros de tubería no son nada. Lo caro es subir.

b) La bomba que se para, y el sifón que se da la vuelta

Cuando la lámina del depósito llega a la cota 26 está exactamente a la altura de la coronación del sifón, mientras la del barco sigue en la cota 0. Si en ese instante se para la bomba, la tubería no se queda quieta: sigue siendo un sifón cebado que une dos láminas separadas 26 m, y el líquido empieza a volver del depósito al barco.

Ese retorno dura hasta que la lámina del depósito baja por debajo de la coronación y entra aire por el punto alto. Ahí el sifón se desceba y el flujo se corta solo.

Dicho de otro modo: se perdería parte del trasvase ya hecho, y la cantidad exacta dependería de la geometría del depósito. La forma de evitarlo es la de siempre —una válvula de retención a la salida de la bomba—, y ese es el motivo por el que se ponen: no para que la bomba funcione, sino para lo que pasa cuando deja de hacerlo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.19 · Colección de Problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Dos tuberías en serie, y cuál de las dos manda

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los depósitos A y C están conectados por el siguiente sistema de tuberías de fibrocemento en serie: la tubería (A-B) de $50\ \text{cm}$ de diámetro y $1800\ \text{m}$ de longitud y la (B-C) de diámetro desconocido y $600\ \text{m}$ de longitud. La diferencia de altura entre las superficies libres de los depósitos es de $25\ \text{m}$ . Se pide:

a) Diámetro de la tubería BC para que el caudal de agua que circula entre A y C sea mayor de $180\ \text{l/s}$ .

b) Caudal que circularía entre A y C si la tubería BC fuese de $350\ \text{mm}$ de diámetro.

El diámetro comercial de la tubería BC, y el caudal si fuera de 350 mm.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos tuberías están en serie. ¿Qué se conserva y qué se suma?
02
El caudal con una BC de 250 mm
COMP2
Con la tubería BC de $250\ \text{mm}$ , ¿qué caudal circula?
Tu respuesta al paso 2un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro que hay que instalar
COMP2
¿Qué diámetro comercial hay que poner en BC?
Tu respuesta al paso 3un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El caudal con una BC de 350 mm
COMP2
Si la tubería BC fuese de $350\ \text{mm}$ , ¿cuánto pasaría?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En serie circula el mismo caudal por las dos tuberías, y las dos pérdidas suman los 25 m de desnivel.
2. Con BC de 250 mm pasan 165 l/s, por debajo de los 180 pedidos; el diámetro exacto sería 259, y el comercial siguiente, 300.
3. Ensanchando BC de 250 a 350 mm el caudal pasa de 165 a 335 l/s: se dobla cambiando diez centímetros en la cuarta parte del recorrido.

tramo	$D$	$L$	$V$	$f$	$h_f$
AB	0,50	1800	0,84	0,0157	2,04
BC	0,25	600	3,36	0,0166	22,96

tramo	$D$	$L$	$V$	$f$	$h_f$
AB	0,50	1800	1,73	0,0148	8,16
BC	0,35	600	3,54	0,0154	16,84

Resolución completa

Qué significa «en serie». El mismo caudal por las dos tuberías, y las pérdidas sumándose:

25 = f_{AB}\,\frac{1800}{0{,}5}\,\frac{V_{AB}^{2}}{2g} + f_{BC}\,\frac{600}{D_{BC}}\,\frac{V_{BC}^{2}}{2g}

Hay dos incógnitas escondidas —el caudal y el coeficiente de cada tramo— así que se itera: se supone $Q$ , se calculan las dos pérdidas y se corrige.

a) El diámetro. Con BC de 250 mm salen 165 l/s, que no llegan a los 180 pedidos. El diámetro exacto que daría justo 180 es 259 mm, y como las tuberías se fabrican de 50 en 50, hay que subir a 300 mm —con los que pasan 251 l/s—. Redondear hacia abajo dejaría la instalación por debajo de lo especificado, que es justamente lo que no se puede hacer.

b) Con 350 mm. Rehaciendo la iteración, $Q = 335$ l/s.

Lo que enseña el reparto de pérdidas. Con BC de 250 mm:

	longitud	pérdida
AB (500 mm)	1800 m, el 75 %	2,04 m, el 8 %
BC (250 mm)	600 m, el 25 %	22,96 m, el 92 %

Tres cuartas partes de la conducción producen un doceavo de la pérdida. La razón está en el exponente: a igualdad de caudal, $h_f \propto 1/D^{5}$ , así que doblar el diámetro divide la pérdida por 32. En una conducción en serie manda el tramo más estrecho, y el resto casi no cuenta — que es por lo que un estrangulamiento local puede arruinar una traída de kilómetros.

Sobre el número publicado. El boletín da 335 l/s en el apartado b); iterando Colebrook-White hasta converger salen 340. La diferencia es del 1,6 %, del orden de lo que se lee en el ábaco.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.21 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Los tres depósitos, y el que no se sabe qué hace

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Teniendo en cuenta los datos de la figura, se pide:

a) Caudales de agua circulante.

b) Cota piezométrica que debería tener C para que no circulara caudal por la tubería 3. Deducir si ello es posible.

c) Cota que debería tener B para que circulara por la tubería 2 un caudal de 10 l/s en dirección al depósito.

Nota: Prescíndase de las pérdidas menores y de las energías cinéticas. Las tuberías son de fibrocemento.

Tres depósitos abiertos que se juntan en un nudo. La figura no dice hacia dónde va el agua en cada tubería, y averiguarlo es la mitad del problema.

Los tres caudales con su sentido, la cota que anularía la tubería 3 y la cota de B que llevaría 10 l/s hacia el depósito.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada, ¿qué se puede afirmar de los sentidos con solo mirar las tres cotas?
02
La cota piezométrica del nudo
COMP2
Cota piezométrica del nudo N, en metros.
Tu respuesta al paso 2una cota con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal que baja de C
COMP2
Caudal que circula por la tubería 3, en litros por segundo.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La cota que anularía la tubería 3
COMP2
Cota piezométrica que debería tener C para que no circulara caudal por la tubería 3, en metros.
Tu respuesta al paso 4una cota con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La cota de B para llevarle 10 l/s
COMP2
Cota que debería tener B para que la tubería 2 llevara 10 l/s hacia el depósito, en metros.
Tu respuesta al paso 5una cota con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué el resultado del apartado b) no se puede conseguir. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. C es un depósito abierto, así que su cota piezométrica es la de su lámina libre y nada más.
2. Para que la 3 no lleve nada, esa lámina tendría que estar en 34,28 m en vez de en 50.
3. Serían 15,72 m de vaciado, y C pasaría a estar por debajo de A, que está en 40.
4. Es decir, no se consigue tocando C: manteniéndolo como está, la 3 siempre lleva caudal.

tubería	J1
1 (200 mm)	9,17·10⁻⁶
2 (150 mm)	3,72·10⁻⁵
3 (250 mm)	3,09·10⁻⁶

Resolución completa

El problema clásico de los tres depósitos

Tres láminas libres, tres tuberías y un nudo. Lo que lo hace distinto de una red cualquiera es que no se sabe de antemano hacia dónde va el agua en una de las tres ramas, y no se puede empezar a calcular sin decidirlo.

Dos de los tres sentidos sí se saben sin cuentas. La cota piezométrica del nudo tiene que quedar entre la más alta y la más baja de las tres —si estuviera por encima de todas, el agua saldría de la nada, y si estuviera por debajo, desaparecería—. Así que C, el de 50, aporta; B, el de 25, recibe. El que no se sabe es A, y ahí está el problema.

a) Tantear el nudo

Fibrocemento en los tres tramos, con $\varepsilon/D$ entre $4\cdot 10^{-4}$ y $6{,}7\cdot 10^{-4}$ : C = 130 para las tres. Se prueba una cota del nudo y se mira si los caudales cierran.

Con $H_N = 41{,}52$ m:

tubería	desnivel	caudal	sentido
3 (C, 700 m, 250 mm)	8,48 m	87,1 l/s	de C al nudo
1 (A, 500 m, 200 mm)	1,52 m	23,0 l/s	del nudo a A
2 (B, 200 m, 150 mm)	16,52 m	64,1 l/s	del nudo a B

El nudo queda por encima de A, así que A recibe. Y merece la pena ver por qué: con el nudo justo en la cota de A —el caso en que la 1 no llevaría nada— la 3 traería 95,2 l/s y la 2 solo podría llevarse 60,9. Sobrarían 34 l/s, y el sistema no tiene otro sitio donde meterlos que la tubería 1. Esa comprobación de una línea vale más que el tanteo entero.

Fíjate también en el desnivel de la 1: metro y medio. Con quinientos metros de tubería de 200 mm, metro y medio bastan para mover 23 l/s. Los otros 16,5 m de desnivel se los come la tubería 2, que es corta pero estrecha.

b) La cota que anularía la tubería 3, y por qué no vale

Si la 3 no lleva nada, el sistema es A → nudo → B, en serie:

H_N = 34{,}28\ \text{m} \qquad Q = 46{,}9\ \text{l/s de A a B}

Para que la 3 esté parada, C tiene que tener exactamente esa cota piezométrica. Y ahí está el «no»: C es un depósito abierto, de modo que su cota piezométrica es su lámina libre. Habría que vaciarlo 15,72 m, y entonces C dejaría de ser el depósito alto del sistema —quedaría por debajo de A—. No es un ajuste, es otra instalación.

La tentación es responder «pues se cierra una válvula». Anula el caudal, sí, pero no es lo que se pregunta: una válvula introduce una pérdida entre C y el nudo, no cambia la cota de C.

c) Subir B veinte metros

Ahora se fija el caudal de la 2 en 10 l/s hacia B y se pregunta dónde tiene que estar B. La clave es que con el caudal de la 2 conocido, la continuidad del nudo queda con una sola incógnita:

Q_3(50 \to H_N) = Q_1(H_N \to 40) + 10 \;\Longrightarrow\; H_N = 45{,}99\ \text{m}

z_B = 45{,}99 - h_{f2} = 45{,}99 - 0{,}53 = 45{,}46\ \text{m}

Es decir, hay que subir B más de veinte metros, de 25 a 45,46, para bajarle el caudal de 64 a 10 l/s. Y de esos veinte metros y medio, la pérdida de la tubería solo explica medio; el resto es cota pura.

Esa es la moraleja del apartado. En Hazen-Williams la pérdida va con $Q^{1{,}852}$ , así que dividir el caudal por 6,4 divide la pérdida por 31: el caudal no se regula con la tubería, se regula con la cota.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.22 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La red abierta que se resuelve desde el final

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la figura se representa una red abierta. Se desea que el caudal de agua que llegue al depósito C sea de 25 l/s. Para ello se dispone de una bomba de 4,5 kW con un rendimiento del 73 %. Calcular:

a) Caudales circulantes con su sentido.

b) Cotas piezométricas de E y F.

c) Altura manométrica de la bomba.

d) Diámetro de la tubería 1.

e) Dibujar la línea piezométrica.

Nota: Las tuberías son de fibrocemento.

tubería	1	2	3	4	5
L (m)	2850	500	1970	400	600
D (mm)	?	100	250	200	200

Dos depósitos que aportan por la izquierda, dos que reciben por la derecha y una bomba en medio. La figura solo marca el sentido de la bomba; los demás hay que deducirlos.

Los cinco caudales, las cotas piezométricas de los dos nudos, la altura de la bomba y el diámetro que falta.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con cinco tuberías, dos nudos y un diámetro desconocido, ¿por dónde se entra?
- Eso es. Los 25 l/s de la tubería 5 son el único caudal conocido del sistema, y con ellos sale la cota de F, luego el caudal de la 4, luego la de E, luego la bomba y por último el diámetro de la
  1. Cada paso da exactamente lo que necesita el siguiente.
02
La cota piezométrica de F
COMP2
Cota piezométrica del nudo F, en metros.
Tu respuesta al paso 2una cota con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal que va a D
COMP2
Caudal que circula por la tubería 4, en litros por segundo.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La cota piezométrica de E
COMP2
Cota piezométrica del nudo E, en metros.
Tu respuesta al paso 4una cota con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La altura manométrica de la bomba
COMP2
Altura manométrica de la bomba, en metros de columna de agua.
Tu respuesta al paso 5una altura con su unidad (mca o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
El diámetro de la tubería 1
COMP2
Diámetro comercial de la tubería 1, en milímetros.
Tu respuesta al paso 6una longitud con su unidad (mm) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena cómo queda la línea piezométrica del apartado e). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Arranca en 30, la lámina de A, y baja suavemente hasta 27,71 en el nudo E: solo 2,29 m en 2850.
2. De B, en la cota 0, la bomba la sube de golpe hasta 36 m, y la tubería 2 la deja también en 27,71 al llegar a E.
3. Del nudo E al F cae de 27,71 a 17,14, diez metros y medio: es el tramo que más se come.
4. Y de F salen dos ramas que bajan las dos a 15, la de D y la de C, cada una con sus 2,14 m.

Resolución completa

Una red que se lee al revés

Este enunciado parece más difícil de lo que es. Hay cinco tuberías, dos nudos, una bomba y un diámetro desconocido, y sin embargo no hay que resolver ningún sistema de ecuaciones: basta con recorrer la red de atrás hacia delante.

El motivo es que la red es abierta y el único caudal conocido —los 25 l/s que se quieren en C— está en un extremo. Desde ahí, cada cálculo entrega exactamente lo que pide el siguiente:

paso	de qué sale	qué da
1	los 25 l/s de la 5	la cota de F, 17,14
2	la cota de F	el caudal de la 4, 31,13
3	los dos caudales	la cota de E, 27,71
4	la cota de E y la potencia	la bomba, 36 mca, y Q2 = 9,3
5	la continuidad en E	Q1 = 46,82 y el diámetro, 350 mm

a) y b) La cadena, tramo a tramo

Todas las tuberías son de fibrocemento y todas caen en la banda de C = 130.

h_{f5} = 9{,}17\cdot 10^{-6}\cdot 600\cdot 25^{1{,}852} = 2{,}14\ \text{m} \;\Longrightarrow\; H_F = 17{,}14\ \text{m}

D está en la misma cota que C, así que la rama 4 arranca del mismo desnivel de 2,14 m y solo se diferencia en la longitud: 400 m contra 600.

Q_4 = 31{,}13\ \text{l/s} \qquad Q_3 = 56{,}13\ \text{l/s}

h_{f3} = 10{,}57\ \text{m} \;\Longrightarrow\; H_E = 27{,}71\ \text{m}

c) La bomba, donde sí hay que iterar

Aquí aparece la única ecuación implícita del problema. La potencia útil es fija —3,285 kW— pero se reparte entre altura y caudal, y el caudal determina la pérdida de la tubería 2:

\frac{3285}{\gamma\,Q_2} = 27{,}71 + 2{,}68\cdot 10^{-4}\cdot 500\cdot Q_2^{1{,}852}

Sale $Q_2 = 9{,}30$ l/s con $H_b = 36{,}0$ mca. De esos 36 metros, 27,71 son para llegar a la cota piezométrica del nudo y 8,34 se pierden en los 500 m de la propia tubería de impulsión, que es de 100 mm. Casi la cuarta parte de lo que da la bomba se queda en el camino más corto de la red.

d) El diámetro que falta

Q_1 = 56{,}13 - 9{,}30 = 46{,}82\ \text{l/s} \qquad h_{f1} = 2{,}29\ \text{m}

2,29 metros de pérdida en 2850 de tubería. Despejando, 344,6 mm, y el comercial es 350 mm.

El contraste con la tubería 2 es la lección del problema. La 1 lleva cinco veces más caudal que la 2, es casi seis veces más larga, y aun así pierde casi cuatro veces menos: 2,29 m contra 8,34. La diferencia está entera en el diámetro —350 mm contra 100—, y en Hazen-Williams el diámetro entra elevado a 4,87. Multiplicar el diámetro por tres y medio divide la pérdida por más de cuatrocientos.

e) La línea piezométrica

Arranca en 30 en A y baja apenas dos metros y pico hasta E. Del lado de B, la bomba la levanta de 0 a 36 y la tubería 2 se come 8,34 hasta llegar también a 27,71: las dos ramas tienen que juntarse en el mismo punto, porque el nudo es uno solo. De E a F cae diez metros y medio, y de F salen dos ramas que bajan las dos a 15.

El único tramo donde la línea sube es la bomba, y sube en vertical. En todo lo demás baja, siempre, y esa es la comprobación de que un dibujo de línea piezométrica está bien hecho.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.25 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El riego y el sobrepresor que se reparten el depósito

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una fábrica es abastecida de agua a partir de un depósito D situado en la cota 231. La tubería de suministro tiene una longitud de 730 m hasta el nudo N, donde se bifurca en dos, una para abastecer a un sistema de riego formado por doce boquillas situadas en paralelo y la otra para introducir el agua en un depósito presurizado. La tubería que suministra agua al riego —NR— tiene una longitud de 500 m y la del sobrepresor —NS— 200 m. La cota de salida del riego es la 193 y la del sobrepresor la 167. Cada boquilla tiene un diámetro de salida de 20 mm y se desea salga por cada una un caudal de 5 l/s. La presión del depósito presurizado es de 35 mca; el diámetro de la tubería NR es 200 mm y el de la NS 150 mm. Se supondrán despreciables la pérdida de carga del colector que suministra agua a las boquillas y la energía cinética en las tuberías. Con todo lo anterior se pide:

a) Esquema de la instalación con las correspondientes líneas piezométricas, indicando las cotas de los puntos singulares.

b) Caudal que llegará al sobrepresor.

c) Diámetro de la tubería de suministro DN.

Notas: Las tuberías son de fibrocemento.

Las tres líneas piezométricas del apartado a). El hueco de la derecha, entre la línea del riego y la cota de las boquillas, es la energía cinética del chorro; el de abajo, entre la línea del sobrepresor y su cota, es la presión del depósito.

El caudal que llega al sobrepresor y el diámetro de la tubería de suministro.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice que la energía cinética en las tuberías es despreciable. ¿Vale eso también para la salida de las boquillas?
02
La altura de velocidad de una boquilla
COMP2
Altura de velocidad del chorro que sale de una boquilla, en metros.
Tu respuesta al paso 2una longitud con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal al sobrepresor
COMP2
Caudal que llegará al depósito presurizado, en litros por segundo.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El diámetro de la tubería de suministro
COMP2
Diámetro comercial de la tubería DN, en milímetros.
Tu respuesta al paso 4una longitud con su unidad (mm) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué el problema se resuelve empezando por el riego. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La rama del riego es la única con el caudal fijado de antemano: doce boquillas a 5 l/s son 60 l/s.
2. Con ese caudal se sube desde el extremo del riego hasta el nudo y se obtiene su cota piezométrica, 214,93.
3. Ya con el nudo conocido, la rama del sobrepresor se resuelve sola, porque su otro extremo también está fijado, en 202.
4. Y solo al final, con los dos caudales sumados, se puede dimensionar la tubería de suministro.

Resolución completa

Una red abierta que se resuelve al revés

La tentación es empezar por el depósito, que es de donde sale el agua. Pero el depósito no impone caudal: impone una cota. El único sitio de la red donde el caudal está fijado es el extremo del riego —doce boquillas a 5 l/s—, y por eso el problema se resuelve de aguas abajo hacia aguas arriba.

a) Las líneas piezométricas, que son la respuesta

El esquema de la figura no es una ilustración: es el apartado a). Y leyéndolo se ve la estructura entera del problema en dos huecos.

El hueco de la derecha, entre la línea piezométrica del riego (205,92) y la cota de las boquillas (193), son 12,92 m de energía cinética. El hueco de abajo, entre la línea del sobrepresor (202) y la cota del depósito (167), son los 35 mca de presión que hay dentro. Los dos huecos son carga que el sistema tiene que entregar y que no se ve en la cota.

b) Trece metros que deciden todo

Cada boquilla lleva 5 l/s por 20 mm:

v_b = 15{,}92\ \text{m/s} \qquad \frac{v_b^{2}}{2g} = 12{,}92\ \text{m}

Doce boquillas en paralelo son 60 l/s por la NR, que cuesta 9,01 m de pérdida con C = 130. La cota del nudo sale

H_N = 193 + 12{,}92 + 9{,}01 = 214{,}93\ \text{m}

Y con 202 en el sobrepresor quedan 12,93 m para los 200 m de la NS:

Q_S = 56{,}16\ \text{l/s}

Aquí hay una coincidencia que vale la pena mirar. Si alguien despreciara la energía cinética de las boquillas, la cota del nudo saldría $193 + 9{,}01 = 202{,}01$ — es decir, prácticamente los 202 del sobrepresor— y el caudal al sobrepresor daría cero. El error no produce un número raro: produce un sistema que parece no funcionar. Es la mejor demostración de que esos 12,92 m son el motor de la rama del sobrepresor entera.

c) El diámetro, con todo el caudal dentro

Por la DN pasan los dos caudales juntos, 116,16 l/s, y la carga disponible son los $231 - 214{,}93 = 16{,}07$ m que van de la lámina del depósito a la piezométrica del nudo. Despejando,

D = 246{,}7\ \text{mm} \;\longrightarrow\; \textbf{250 mm}

Y conviene ver lo sensible que es: con 200 mm —el comercial anterior— la pérdida se dispara a 44,7 m, casi tres veces la disponible, y al nudo llegarían 186 m de cota piezométrica. Ni el riego funcionaría. En Hazen-Williams la pérdida va con $D^{-4{,}87}$ : bajar un escalón de diámetro multiplica la pérdida por casi tres.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.27 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Tres depósitos, y la tubería que va al revés

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la red hidráulica de la figura, si Q₄ = 750 l/s, calcular:

a) Caudales en todas las tuberías.

b) Cota del depósito A (Z_A).

c) Se desea sustituir las tuberías 1 y 2 por una única tubería (5) de $\phi_5 = 700$ mm. Calcular la longitud L₅ de la misma para que el comportamiento hidráulico no varíe, es decir, para que no varíen los caudales.

d) Calcular la cota que debería tener la lámina superior de agua en el depósito superior (Z_A) para que todo el caudal que sale de A a través de la tubería 5 vaya directamente a C, siendo Q₃ = 0.

Nota: utilizar la fórmula de Hazen-Williams. Datos: tuberías de fibrocemento.

	1	2	3	4
L [m]	1800	2400	2400	3000
D [mm]	500	600	700	800

Dos tuberías en paralelo del depósito A al nudo, y desde el nudo una a B y otra a C. Las cotas de B y C están dadas; la de A y el sentido de la tubería 3 son parte de lo que hay que averiguar.

Los caudales de las cuatro tuberías, la cota de A, la longitud de la tubería que sustituiría a las dos en paralelo, y la cota que haría que la 3 no llevase nada.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tuberías 1 y 2 unen los mismos dos puntos, el depósito A y el nudo N. ¿Qué tienen en común?
02
El reparto entre las dos en paralelo
COMP2
Caudal Q₁, sabiendo que entre las dos tuberías en paralelo llevan 146 l/s. Para el fibrocemento, el Cuadro nº 25 da $C_{HW} = 140$ en estos cuatro diámetros.
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal de la tubería 3
COMP2
Caudal Q₃, y en qué sentido circula. La tubería 4 lleva 750 l/s del nudo al depósito C.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La cota del depósito A
COMP2
Cota Z_A de la lámina del depósito A.
Tu respuesta al paso 4una cota con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La tubería única que sustituye a las dos
COMP2
Longitud L₅ de una única tubería de 700 mm que sustituya a las dos en paralelo sin que cambien los caudales.
Tu respuesta al paso 5una longitud con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado d), la cota que dejaría la tubería 3 sin caudal. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Si Q₃ = 0, la tubería 3 no pierde nada, así que la energía del nudo pasa a ser exactamente la cota de B: 60 m.
2. Con el nudo a 60 y C a 48, la tubería 4 dispone de 12 m de pérdida, y eso la hace llevar 1098 l/s en vez de 750.
3. Todo ese caudal tiene que venir por la tubería 5, que pierde entonces 14,2 m.
4. Luego la lámina de A tendría que estar a 60 + 14,2 = 74,2 m, veinte metros por encima de donde está.

Resolución completa

Lo primero es averiguar hacia dónde va el agua

Una red de tres depósitos tiene una pregunta antes que cualquier cálculo: ¿en qué sentido circula cada tubería? Y se responde comparando la energía del nudo con las cotas.

Aquí hay un dato que lo desbloquea todo: Q₄ = 750 l/s. Con él,

h_{f4} = J_1(800)\cdot 3000\cdot 750^{1{,}852} = 5{,}92\ \text{m} \;\Longrightarrow\; B_N = 48 + 5{,}92 = 53{,}92\ \text{m}

Y como 53,92 es menor que los 60 de B, el depósito B no recibe: da. La tubería 3 va de B al nudo. Con eso, la continuidad se escribe con los tres entrando y uno saliendo:

Q_1 + Q_2 + Q_3 = Q_4 = 750\ \text{l/s}

El reparto de las dos en paralelo

Las tuberías 1 y 2 unen los mismos dos puntos, así que pierden lo mismo. Con Hazen-Williams y el mismo $C_{HW} = 140$ para todas —el fibrocemento tiene ε = 0,01 cm y en estos diámetros la relación ε/D cae entre 1,25 y 2·10⁻⁴, que es la banda del 140 en el Cuadro nº 25—:

\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)^{1{,}852} = \frac{L_1}{L_2}\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^{4{,}87} = 1{,}8225 \;\Longrightarrow\; \frac{Q_2}{Q_1} = 1{,}383

El exponente 4,87 del diámetro es el que manda: un 20 % más de diámetro compensa de sobra un 33 % más de longitud.

	Q [l/s]	$h_f$ [m]
1 (500 mm, 1800 m)	61,2	0,339
2 (600 mm, 2400 m)	84,7	0,339
3 (700 mm, 2400 m)	604	6,08
4 (800 mm, 3000 m)	750	5,92

Y de ahí $Z_A = 53{,}92 + 0{,}34 = 54{,}26$ m.

A está más bajo que B, y eso no es un error: el depósito que manda en esta red es B, que aporta 604 de los 750 l/s. A pone los otros 146 con apenas 34 centímetros de desnivel, porque sus tuberías son cortas y anchas para el poco caudal que llevan.

c) Dos en paralelo son una sola equivalente

Que «el comportamiento hidráulico no varíe» quiere decir que la tubería 5 pierda los mismos 0,339 m llevando los mismos 146 l/s:

L_5 = \frac{0{,}339}{J_1(700)\cdot 146^{1{,}852}} = 1856\ \text{m}

Es decir: 1800 m de 500 mm más 2400 m de 600 mm equivalen a 1856 m de 700 mm. Cuatro mil doscientos metros de tubería sustituidos por mil ochocientos.

d) Y qué pasa si se sube A

El apartado d) pide la cota que dejaría la tubería 3 sin caudal. Si Q₃ = 0, la 3 no pierde nada y el nudo se pone exactamente a la cota de B: $B_N = 60$ m.

Ahora la tubería 4 tiene 12 m de pérdida disponible en vez de 5,92, y el caudal sube con ella:

Q_4 = \left(\frac{12}{J_1(800)\cdot 3000}\right)^{1/1{,}852} = 1098\ \text{l/s}

Todo eso tiene que venir por la tubería 5, que pierde entonces 14,2 m, y la lámina de A tiene que estar en

Z_A = 60 + 14{,}2 = 74{,}2\ \text{m}

Veinte metros más arriba. La lección de la red es esa: no se puede mover una cota y esperar que lo demás se quede quieto. Subir A no solo apaga la tubería 3; también acelera la 4, porque la energía del nudo ha subido y con ella la pérdida disponible aguas abajo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.29 · Colección de problemas, capítulo 6 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La bomba con by-pass, y las dos válvulas

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una instalación de bombeo para llevar agua alimenta a dos depósitos E y F. La bomba, que absorbe 50 kW del motor de arrastre ( $\eta = 0{,}7$ ), dispone de un by-pass con una válvula esférica de regulación V₁. Despreciando las pérdidas menores, excepto las producidas en las válvulas esféricas V₁ y V₂, cuyo factor de paso depende del grado de apertura, siendo 0 cuando la válvula está completamente abierta, se pide:

a) Factor de paso de las válvulas V₁ y V₂ para que Q₂ = Q₃ = 40 l/s. ¿Cuál será el punto de funcionamiento de la bomba (H, Q)?

b) ¿Cuál será el máximo caudal Q₃ posible? ¿Con qué posición de las válvulas se producirá?

c) Si las válvulas V₁ y V₂ están cerradas y la bomba parada, no creando ésta ninguna pérdida adicional, ¿qué caudal retornará del depósito F al depósito de aspiración A?

Nota: tuberías de acero comercial. Utilícese Hazen-Williams. Despreciar la longitud de tubería AB.

	0	1	2	3
D [mm]	200	200	150	150
L [m]	0	40	35	50

El by-pass devuelve al aspirador parte de lo que la bomba impulsa, así que la bomba mueve más caudal del que llega a los depósitos. Las dos válvulas son lo único que pierde carga fuera de las tuberías.

Los factores de paso de las dos válvulas, el punto de funcionamiento de la bomba, el caudal máximo que puede llegar a F y el que volvería con la bomba parada.

01
Reconocer el camino
COMP1
El by-pass conecta la salida de la bomba con su aspiración. ¿Qué consecuencia tiene sobre los caudales?
02
El factor de paso de V2
COMP2
Factor de paso de V₂ para que las tuberías 2 y 3 lleven 40 l/s cada una. Para el acero comercial, el Cuadro nº 25 da $C_{HW} = 130$ en los dos diámetros.
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto de funcionamiento de la bomba
COMP2
Caudal que mueve la bomba, sabiendo que absorbe 50 kW con un rendimiento de 0,7 y que a los depósitos llegan 80 l/s.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El factor de paso de V1
COMP2
Factor de paso de V₁, sabiendo que por el by-pass —de 200 mm— vuelven 28,4 l/s y que su longitud es despreciable.
Tu respuesta al paso 4un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El caudal máximo que puede llegar a F
COMP2
Caudal máximo Q₃ posible, y con qué posición de las válvulas.
Tu respuesta al paso 5un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena qué pasa con la bomba parada y las dos válvulas cerradas. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El depósito F está en la cota 30 y el de aspiración A en la 0, y la tubería que los une sigue llena.
2. La bomba parada no crea pérdida adicional, y V1 y V2 cerradas no dejan pasar nada por el by-pass ni por la rama 2: el único camino es F, tubería 3, tubería 1, bomba, depósito A.
3. Los 30 m de desnivel se gastan enteros en las dos tuberías, y de ahí sale el caudal de retorno.
4. Salen 169,7 l/s, casi el doble de lo que la bomba conseguía impulsar en el mejor de los casos.

Resolución completa

Un by-pass no es un adorno

La primera idea que hay que tener clara es que la bomba y la instalación no mueven el mismo caudal. La bomba impulsa Q; una parte se va por la tubería 1 hacia los depósitos y el resto vuelve a la aspiración por el by-pass. Regular con un by-pass, en vez de estrangulando la impulsión, es lo habitual cuando la bomba no admite variación de velocidad.

a) Las dos válvulas

V₂ es la fácil, y sale sin tocar la bomba. Las tuberías 2 y 3 salen del mismo nudo y descargan en dos depósitos que están a la misma cota, así que tienen que perder lo mismo. La 3 es 15 m más larga:

K_2\frac{V^{2}}{2g} = J_1(150)\,(50 - 35)\,40^{1{,}852} = 0{,}518\ \text{m} \;\Longrightarrow\; K_2 = 1{,}98

Medio metro de columna, y con eso basta. V₁ es otra historia. Antes hay que saber la altura de la bomba, y esa se obtiene subiendo desde los depósitos:

B_D = 30 + 1{,}725 = 31{,}725 \qquad H = B_C = 31{,}725 + 1{,}227 = 32{,}95\ \text{m}

Q_{bomba} = \frac{35\,000}{9800\cdot 32{,}95} = 108{,}4\ \text{l/s}

De esos, 80 se van a los depósitos y 28,4 vuelven por el by-pass. Y como el by-pass no tiene longitud ni desnivel, V₁ tiene que quemar los 32,95 m ella sola:

K_1 = \frac{32{,}95}{0{,}0417} = 791

Un 791 frente a un 1,98. Esa desproporción no es un error de cálculo: es lo que cuesta frenar un caudal en un camino que no ofrece ninguna resistencia propia.

b) El máximo a F

Se consigue cerrando las dos válvulas: sin by-pass no vuelve nada y sin rama 2 no se desvía nada.

\frac{35\,000}{9800\,Q} = 30 + \left[J_1(200)\cdot 40 + J_1(150)\cdot 50\right]Q^{1{,}852} \;\Longrightarrow\; Q_3 = 90{,}7\ \text{l/s}

Fíjate en que es menos que los 108,4 que la bomba movía en el apartado a). No hay contradicción: allí buena parte del caudal daba una vuelta corta por el by-pass, que apenas cuesta altura; aquí todo tiene que subir 30 m y atravesar la tubería de 150. La altura necesaria pasa de 32,95 a 39,4 m, y a potencia constante más altura es menos caudal.

c) La bomba parada, y los 170 l/s que vuelven

Con V₁ y V₂ cerradas y la bomba parada sin crear pérdida, queda un único camino abierto: de F, por la tubería 3, por la 1, a través de la bomba, hasta A. Y ahí hay 30 m de desnivel a favor:

30 = \left[J_1(200)\cdot 40 + J_1(150)\cdot 50\right]Q^{1{,}852} \;\Longrightarrow\; Q = 169{,}7\ \text{l/s}

Casi el doble de lo que la bomba conseguía impulsar en el mejor de los casos, y en sentido contrario. La razón es sencilla: subiendo, los 30 m de desnivel se restan de lo que aporta la bomba; bajando, se suman a favor.

Es el mismo final que el del petrolero del 6.18, y la misma moraleja: una bomba parada no es un tapón. Lo que impide el retorno es una válvula de retención, y por eso se ponen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Flujo permanente en conductos cerrados

Pérdidas menores

Los dos métodos

Envejecimiento

Línea piezométrica y línea de altura total

El sifón, que es el caso donde todo esto se cobra

Los otros casos particulares

Hazen-Williams

Tuberías en serie y en paralelo

Reconocer el camino

La pérdida del tramo recto

La pérdida total

El peso de las menores

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente del tubo de 150 mm

La pérdida del tramo

Justificar el argumento

El cuadro no va por material

Reconocer el camino

El caudal, suponiendo que todo va bien

La presión en el punto alto

El caudal en el límite de la cavitación

El factor de paso de la válvula

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal de la boquilla

La longitud de la tubería 3

La potencia útil de la bomba

El diámetro de la tubería 4

Justificar el argumento

Por qué este problema se resuelve con Hazen-Williams

a) El pitot, y la mitad de tubería que queda

b) El nudo, que es la pieza central

c) La bomba

d) y e) El diámetro comercial, y lo que sobra

Reconocer el camino

La longitud de cálculo

La altura geométrica

El caudal

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal por gravedad

La presión de aire para duplicar el caudal

Justificar el argumento

Leer la figura antes que nada

a) El caudal por gravedad

b) Lo que cuesta ir al doble

Sobre el modelo

Reconocer el camino

El diámetro comercial

La potencia bruta de la bomba

Justificar el argumento

Un perfil con un alto en medio

a) El diámetro, por la ventana de velocidad

b) La potencia

c) La línea piezométrica

d) Los cuatro metros de B, y por qué hay que desconfiar de ellos

Reconocer el camino

La suma de factores de paso

El caudal

Justificar el argumento

Un problema donde la mitad del dato sobra

Las piezas, que aquí mandan

El cálculo, que hay que iterar

Dónde se van los cuatro metros

Reconocer el camino

El caudal trasvasado

Cuánto se pierde por fricción

Justificar el argumento

Las dos cotas se suman

a) El caudal

Dónde va la energía

b) La bomba que se para, y el sifón que se da la vuelta

Reconocer el camino

El caudal con una BC de 250 mm

El diámetro que hay que instalar

El caudal con una BC de 350 mm

Justificar el argumento

Reconocer el camino