Mecánica de Fluidos · tema 20

Régimen variable en tuberías

El golpe de ariete: por qué cerrar una válvula deprisa puede reventar una conducción, y qué fórmula se usa según el tiempo de cierre.

Todo lo anterior suponía régimen permanente: el caudal no cambia con el tiempo. Este tema levanta esa hipótesis una vez, para el caso que rompe tuberías: cerrar una válvula.

Al cerrar, la primera rodaja de fluido se para en seco; la segunda la comprime, la tercera a la segunda, y así hasta el depósito. Aparece un aumento de presión que se propaga aguas arriba como una onda, a una velocidad $a$ que ronda los mil metros por segundo. Eso es el golpe de ariete, y en la literatura moderna, el transitorio.

Y el aviso que hay que dar antes de nada: también hay golpe de ariete negativo. Aguas abajo de la válvula el flujo sigue tirando de la rodaja parada y produce una succión. Puede bajar hasta cerca del cero absoluto y aplastar la tubería desde fuera, que es un modo de fallo tan real como reventarla desde dentro.

De qué depende la celeridad

Al cerrar en B, ¿por qué sigue entrando fluido por A? Los tres casos del temario lo explican por eliminación:

hipótesis	qué pasa	celeridad
fluido incompresible + tubo rígido	todo se para a la vez	$a = \infty$
fluido compresible + tubo rígido	el fluido se comprime	$a = c$ , la del sonido
fluido compresible + tubo elástico	el fluido se comprime y el tubo se dilata	$a < c$

Solo el tercero existe. Los otros dos están para entender de dónde sale cada término, y el primero es además una comprobación mental útil: si nada cediera, el golpe sería infinito.

La velocidad del sonido en el propio fluido sale del módulo de elasticidad volumétrico:

c = \sqrt{\frac{K}{\rho}} \qquad \text{agua: } c = \sqrt{\frac{2{,}03\cdot 10^{9}}{1000}} = 1425\ \text{m/s}

Y la celeridad en la tubería es la de Joukowski, que añade la elasticidad del tubo:

a = \frac{\sqrt{K/\rho}}{\sqrt{1 + \dfrac{K}{E}\dfrac{D}{e}}}

con $E$ el módulo del material, $D$ el diámetro interior y $e$ el espesor. Para agua, Allievi la dejó en una forma mucho más manejable, que es la que se usa:

\boxed{\,a = \frac{9900}{\sqrt{48{,}3 + k\,\dfrac{D}{e}}}\,} \qquad k = \frac{10^{7}}{E\ (\text{N/cm}^{2})}

material	$k$
hierro y acero	0,5
fundición	1
hormigón y hormigón armado	5
fibrocemento	5,4
poliéster	6,6
plomo	5
PVC	33 (entre 20 y 50)

Se lee de un vistazo: cuanto más flexible el material, menor la celeridad, y menor el golpe. Un PVC tiene $k = 33$ frente al 0,5 del acero, y por eso una red de plástico sufre transitorios mucho más suaves que una de acero. También por eso una tubería de pared fina (mucho $D/e$ ) golpea menos que una gruesa del mismo material: se dilata más.

El golpe máximo: Allievi

Se obtiene con el teorema de la cantidad de movimiento del tema 14, aplicado a la columna de fluido que se para. El impulso de la fuerza $F = S\,\Delta p$ durante el tiempo $L/a$ que tarda en detenerse iguala a la variación de cantidad de movimiento $\rho S L \Delta v$ :

S\,\Delta p\,\frac{L}{a} = \rho\,S\,L\,\Delta v \;\Longrightarrow\; \boxed{\Delta p = \rho\,a\,\Delta v} \qquad \boxed{\Delta H = \frac{a\,\Delta v}{g}}

Con cierre total, $\Delta v = v$ : es el máximo golpe posible.

Y conviene mirar el orden de magnitud, porque es lo que justifica el tema. Agua a $2\ \text{m/s}$ por una tubería de fundición con $a \approx 1100\ \text{m/s}$ :

\Delta H = \frac{1100\cdot 2}{9{,}8} \approx 225\ \text{m de columna de agua}

Veintidós bares por cerrar una llave, en una conducción que a lo mejor trabaja a tres.

El ciclo, y por qué el periodo es 4L/a

Lo que ocurre después del cierre instantáneo es un ciclo de cuatro tiempos que se repite:

instante	qué pasa
$t = 0$	aparece el golpe en B y la onda sale hacia el depósito
$t = L/a$	la onda llega a A. Toda la tubería está dilatada y el fluido comprimido y en reposo. Es el momento más peligroso
$t = 2L/a$	la onda estabilizadora vuelve a B. El fluido entero se mueve hacia el depósito, y al no poder salir por B tira de la rodaja: golpe negativo
$t = 3L/a$	la depresión llega a A. Tubería contraída, fluido expandido
$t = 4L/a$	vuelve la situación inicial. Y otra vez.

En A no puede haber más presión que la de su altura de agua: por eso la onda «desaparece» al llegar y vuelve como onda estabilizadora. Ese rebote es lo que hace el ciclo.

La presión en la válvula no sube y se queda: oscila, con periodo igual a cuatro veces el tiempo que tarda la onda en recorrer la tubería, y la mitad del tiempo está por debajo de la estática. El rozamiento va amortiguando la onda hasta anularla, pero el primer ciclo llega entero, y es el que dimensiona la tubería. Por eso el golpe negativo se calcula igual que el positivo: puede aplastar el tubo desde fuera.

Cierre lento o rápido: la clasificación lo decide todo

El golpe completo de Allievi solo aparece si la válvula termina de cerrarse antes de que vuelva la onda estabilizadora. Ese es todo el criterio:

T = \frac{2L}{a}

condición	se llama	fórmula
$T_c < T$ , o sea $L > a\,T_c/2$	cierre rápido o conducción larga	Allievi: $\Delta H = \dfrac{a\,v}{g}$
$T_c > T$ , o sea $L < a\,T_c/2$	cierre lento o conducción corta	Michaud: $\Delta H = \dfrac{2Lv}{g\,T_c}$

La fórmula de Michaud sale por semejanza de triángulos: si el golpe crece linealmente con el tiempo y la onda estabilizadora vuelve a mitad de camino, lo que se alcanza es la fracción $\dfrac{2L/a}{T_c}$ del golpe completo. Sustituye y sale sola.

Jouguet obtuvo para cierre lento $\Delta H = \dfrac{Lv}{g\,T_c}$ , la mitad que Michaud. Las dos están en el temario. Michaud es la conservadora y es la que se usa para dimensionar; si un enunciado nombra a Jouguet, pide la suya.

La longitud crítica. Con cierre gradual, el golpe no llega entero a toda la tubería: hay un tramo junto al depósito donde va de cero al máximo. Ese tramo es

L_c = \frac{T_c\,a}{2}

y comparándolo con $L$ se tiene la misma clasificación de antes: $L > L_c$ es conducción larga, $L < L_c$ corta, $L = L_c$ crítica. La línea que une el depósito con el punto donde ya está el golpe entero es el techo de presiones, y es lo que hay que usar para calcular la resistencia de la tubería, no un valor único.

Clasificar primero, calcular después: la fórmula equivocada da un número perfectamente creíble

Es el error del tema, y no se detecta mirando el resultado.

Con una conducción de 800 m de fundición ( $a = 1119\ \text{m/s}$ ) y agua a 2 m/s, $T = 2L/a = 1{,}43\ \text{s}$ :

Cerrando en 1 s es rápido: Allievi da $\Delta H = 228\ \text{m}$ .
Cerrando en 5 s es lento: Michaud da $\Delta H = 65\ \text{m}$ .

Usar Michaud en el primer caso daría 326 m, y Allievi en el segundo, 228. Los cuatro números son del mismo orden y ninguno chirría. La única forma de saber cuál es el bueno es haber calculado $T = 2L/a$ antes.

El orden correcto, siempre el mismo:

Celeridad $a$ , con Allievi y el $k$ del material.
Periodo de ida y vuelta $T = 2L/a$ .
Comparar con $T_c$ .
Y solo entonces elegir fórmula.

Y ojo con el detalle que se cuela: en la fórmula de Allievi el golpe no depende de la longitud. En la de Michaud, sí. Si al cambiar el tiempo de cierre te encuentras usando la longitud en un caso y no en otro, no es un despiste: es la diferencia entre las dos.

En la frontera no hay salto

Leídas las dos fórmulas como acaban de leerse —una a cada lado de una frontera— es fácil quedarse con la idea de que cruzar $T_c = 2L/a$ cambia el resultado de golpe. No lo hace, y la comprobación cabe en una línea:

\text{Michaud con } T_c = \frac{2L}{a} \;\Longrightarrow\; \Delta H = \frac{2Lv}{g\,(2L/a)} = \frac{a\,v}{g} = \text{Allievi}

Las dos coinciden exactamente ahí. Así que el golpe frente al tiempo de cierre no son dos curvas: es una sola, continua, plana en el valor de Allievi mientras el cierre sea rápido y una hipérbola que cae en cuanto se pasa. Y eso cambia lo que se entiende del tema:

Antes de la frontera, cerrar más despacio no sirve de nada. El golpe es el mismo cerrando en una décima que en un segundo, si los dos son rápidos.
Después, cae con $1/T_c$ : al doble de tiempo, la mitad de golpe. Por eso «alargar el tiempo de cierre» es la medida barata — pero solo funciona si se llega a cruzar la frontera.

El golpe, el tiempo de cierre y la frontera entre las dos fórmulas

cruza la frontera despacio y mira que no hay salto

tiempo de cierre 1,0 s

longitud 800 m

velocidad del agua 2,0 m/s

diámetro entre espesor 30

material de la tubería

celeridad y periodoa = 1119 m/s · 2L/a = 1,43 scierre rápido: la onda vuelve después

sobrepresión228 mca23 bar por cerrar una llave

la fórmula que tocaAllievi · ΔH = a·v/gla otra daría 326 mca

longitud crítica560 mde 560 a 800 m el golpe llega entero

Los dos botones son los dos casos del error típico de arriba: los mismos 800 m de fundición con agua a 2 m/s, cerrados en 1 s y en 5 s. Pulsa uno, pulsa el otro, y mira la línea de trazos roja — es la fórmula equivocada, dibujada al lado, para ver que cae en el mismo orden de magnitud y por eso no chirría.

El panel de abajo es el techo de presiones, que el tema nombra al hablar de la longitud crítica y no dibuja: el golpe que llega a cada punto de la conducción, cero en el depósito y creciendo hasta $L_c$ . Con cierre lento $L_c$ se sale por la derecha, y entonces ni la válvula ve el golpe entero — que es otra forma de decir Michaud.

Parada de bomba: el tiempo que no se sabía

En un cierre de válvula el tiempo $T_c$ lo pone el operador. En una parada imprevista de bombeo —un corte de luz— nadie lo elige: lo pone la inercia del grupo, y hasta 1966 no se sabía estimarlo. Se calculaba en el caso más desfavorable, y salían tuberías sobredimensionadas.

Lo resolvió el español Enrique Mendiluce, en el VII Congreso Internacional de Abastecimiento de Agua:

T = C_1 + C_2\,\frac{L\,v}{g\,H_m}

con $C_1$ función de la pendiente de la tubería y $C_2$ de su longitud, los dos tabulados. Lo que hay que entender es la forma: el término que manda es $Lv/gH_m$ , es decir la inercia de la columna de agua frente a la altura que la bomba estaba dando. Una conducción larga con poca altura manométrica se para despacio; una corta a mucha presión, deprisa.

Cómo se combate

Cierra el tema lo que se hace en obra, y son las tres consecuencias directas de todo lo anterior:

Alargar el tiempo de cierre. Es la más barata: pasar de cierre rápido a lento cambia Allievi por Michaud, y con ella el golpe baja en proporción a $2L/(a\,T_c)$ . Volantes de inercia en los grupos de bombeo, y válvulas de cierre lento.
Bajar la celeridad, eligiendo material más flexible o pared más delgada: entra por la $a$ de Allievi.
Dar por dónde escapar: chimeneas de equilibrio, calderines, ventosas y válvulas de alivio. Interrumpen la columna de agua y acortan la $L$ que interviene.

Y la que no está en la lista pero está en todas las demás: bajar la velocidad. El golpe es proporcional a $v$ en las dos fórmulas, así que una conducción dimensionada con holgura sufre menos transitorios. Es otra razón, y no la menor, para no apurar los diámetros.

Practica lo que acabas de leer

La misma tubería en acero y en PVC, y el mismo cierre

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

La misma tubería en acero y en PVC, y el mismo cierre

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una conducción de $800\ \text{m}$ de longitud, $300\ \text{mm}$ de diámetro interior y $10\ \text{mm}$ de espesor lleva agua a $2\ \text{m/s}$ . Una válvula en su extremo se cierra en $2\ \text{s}$ .

Calcular la sobrepresión por golpe de ariete en dos supuestos:

a) La tubería es de acero ( $k = 0{,}5$ ).

b) La tubería es de PVC ( $k = 33$ ).

Usar la fórmula de Allievi para la celeridad, $a = 9900/\sqrt{48{,}3 + k\,D/e}$ .

La celeridad y la sobrepresión en cada material, clasificando el cierre.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de tocar ninguna fórmula de golpe, ¿qué hay que calcular?
02
La celeridad en el acero
COMP2
¿Cuánto vale la celeridad de la onda en la tubería de acero?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La sobrepresión en el acero
COMP2
Con $T_c = 2\ \text{s}$ , ¿qué sobrepresión aparece en la tubería de acero?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La sobrepresión en el PVC
COMP2
Y con la misma conducción en PVC y el mismo cierre de 2 s, ¿cuánto vale la sobrepresión?
Tu respuesta al paso 4una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El PVC es cuatro veces más flexible en términos de celeridad: 307 m/s frente a los 1244 del acero.
2. Con el mismo cierre de 2 s, en acero resulta lento (Michaud) y en PVC rápido (Allievi), porque la clasificación depende de la celeridad.
3. Aun aplicando Allievi, que es la fórmula del golpe completo, el PVC sufre 62,7 mca frente a los 163,3 del acero con la fórmula más suave.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.3 · Colección de Problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La misma válvula cerrada en cuatro segundos y en dos

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una conducción de $1200\ \text{m}$ de longitud y $400\ \text{mm}$ de diámetro se transporta un caudal de $200\ \text{l/s}$ de agua. Se conoce que la tubería, de $8\ \text{mm}$ de espesor, es de acero cuyo módulo de elasticidad es de $2\cdot 10^{7}\ \text{N/cm}^{2}$ . Si se cierra una válvula dispuesta en su extremo final se desea conocer la sobrepresión producida por golpe de ariete:

a) Si el cierre se efectúa en $4\ \text{s}$ .

b) Si el cierre se realiza en $2\ \text{s}$ .

La sobrepresión en cada uno de los dos tiempos de cierre.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da el módulo de elasticidad, no el coeficiente $k$ . ¿Cómo se pasa de uno al otro?
02
La celeridad
COMP2
¿Cuál es la celeridad de la onda?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El cierre en cuatro segundos
COMP2
¿Qué sobrepresión aparece si la válvula se cierra en 4 s?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El cierre en dos segundos
COMP2
¿Y si se cierra en 2 s?
Tu respuesta al paso 4una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $k = 0{,}5$ y $D/e = 50$ , la celeridad es de 1156 m/s y el periodo de ida y vuelta, $T = 2L/a = 2{,}08$ s.
2. Cerrando en 4 s el cierre es lento y Michaud da 97,4 mca; en 2 s es rápido y Allievi da 187,8 mca.
3. Al pasar de 4 a 2 segundos el golpe casi se duplica, y a partir de 2,08 s hacia abajo ya no crece más: 187,8 mca es el techo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.1 · Colección de Problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La columna que oscila en un tubo en U

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un líquido se desplaza sin rozamiento oscilatoriamente en el interior de un tubo en U en posición vertical. La longitud de la columna de líquido es de $1{,}225\ \text{m}$ . Cuando la diferencia de cotas entre los dos meniscos en contacto con la atmósfera local es de $0{,}5\ \text{m}$ , la velocidad de la columna es de $1\ \text{m/s}$ . Teniendo en cuenta los supuestos anteriores, se pide:

a) La diferencia de cotas máxima entre los meniscos.

b) La máxima velocidad alcanzada por el líquido en su desplazamiento, instante en que se produce y posición de los meniscos.

c) Periodo de la oscilación.

Dato: la posición de un menisco respecto del equilibrio obedece a $z = Z\cos\left(\sqrt{2g/L}\;t\right)$ .

La diferencia máxima de meniscos, la velocidad máxima y el periodo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la columna oscila con la frecuencia $\sqrt{2g/L}$ y no con $\sqrt{g/L}$ , como un péndulo?
02
La diferencia máxima de meniscos
COMP2
¿Cuánto llegan a separarse en vertical los dos meniscos?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad máxima
COMP2
¿Cuál es la mayor velocidad que alcanza la columna?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El periodo
COMP2
¿Cuánto dura una oscilación completa?
Tu respuesta al paso 4un tiempo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La columna se comporta como un oscilador armónico de pulsación $\omega = \sqrt{2g/L} = 4\ \text{s}^{-1}$ .
2. Del dato — $z = 0{,}25$ m con $\dot z = 1$ m/s— salen $Z = 0{,}354$ m y un desnivel máximo de 0,707 m.
3. La velocidad máxima es $Z\omega = 1{,}414$ m/s y ocurre al pasar por el equilibrio; el periodo es 1,571 s.

Resolución completa

Por qué este problema está en el capítulo del golpe de ariete. No hay válvula, ni sobrepresión, ni celeridad. Lo que hay es lo que el resto del capítulo da por sabido: una columna de líquido tiene inercia, y esa inercia la hace oscilar en vez de pararse. El golpe de ariete es el mismo fenómeno con el líquido comprimido en vez de desplazado.

La pulsación. Si un menisco sube $z$ , el otro baja $z$ : el desnivel que empuja es $2z$ . La fuerza es $\gamma A\,2z$ sobre una masa $\rho A L$ , luego

\ddot z = -\frac{2g}{L}\,z \qquad \omega = \sqrt{\frac{2g}{L}} = \sqrt{\frac{19{,}6}{1{,}225}} = 4\ \text{s}^{-1}

Un número redondo, y no por casualidad: el enunciado eligió $L$ para que lo fuera.

a) La amplitud. El dato da posición y velocidad en el mismo instante, y con eso se elimina el tiempo:

\tan\omega t_1 = \frac{\dot z}{\omega z} = \frac{1}{4\cdot 0{,}25} = 1 \;\Longrightarrow\; \omega t_1 = \frac{\pi}{4} \;\Longrightarrow\; Z = \frac{0{,}25}{\cos(\pi/4)} = 0{,}354\ \text{m}

El desnivel máximo es $2Z = 0{,}707$ m. Ojo al factor dos, que aquí aparece dos veces por motivos distintos: en $\omega$ porque la fuerza es doble, y en la respuesta porque se pregunta por la diferencia entre dos meniscos y no por el recorrido de uno.

b) La velocidad máxima. $Z\omega = 1{,}414$ m/s, en $t = \pi/8 = 0{,}393$ s, con los meniscos nivelados. Compruébalo con la energía: toda la energía potencial del desnivel máximo se ha convertido en cinética.

c) El periodo. $T = 2\pi/\omega = 1{,}571$ s, y no depende de la amplitud.

Lo que este ejercicio deja preparado. Sin rozamiento la columna oscilaría eternamente. Con rozamiento se amortigua, y esa oscilación amortiguada es exactamente lo que ocurre en una conducción tras cerrar una válvula: la presión sube, baja, vuelve a subir, cada vez menos. La chimenea de equilibrio del ejercicio 7.16 es un tubo en U gigante puesto ahí a propósito para que oscile despacio.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.2 · Colección de Problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Los dos casos límite, y de dónde sale Allievi

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene una conducción de $500\ \text{m}$ de longitud por la que se conduce agua a una velocidad de $1{,}2\ \text{m/s}$ . Se desea conocer la sobrepresión que se producirá si se cierra la válvula situada en su extremo final en los supuestos siguientes:

a) Si la válvula se cerrase en $1\ \text{s}$ , la tubería fuese totalmente rígida y el líquido fuese totalmente incompresible.

b) Si la válvula se cerrara instantáneamente, la tubería fuera totalmente rígida y se considerase el módulo de elasticidad volumétrico del agua $K = 2{,}14\cdot 10^{9}\ \text{N/m}^{2}$ .

La sobrepresión en cada uno de los dos supuestos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si el líquido es totalmente incompresible y la tubería totalmente rígida, ¿qué pasa con la onda de presión?
02
El caso incompresible
COMP2
Con la tubería rígida, el líquido incompresible y un cierre de $1\ \text{s}$ , ¿qué sobrepresión aparece?
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caso compresible
COMP2
Con cierre instantáneo y el agua compresible ( $K = 2{,}14\cdot 10^{9}$ ), ¿cuánto sube la presión?
Tu respuesta al paso 3una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sin compresibilidad no hay onda, así que la sobrepresión sale de $F = ma$ sobre la columna entera: $\rho L v/T = 600$ kPa.
2. Con el agua compresible y cierre instantáneo, la energía cinética se guarda como deformación y sale $\Delta p = v\sqrt{K\rho} = 1755$ kPa.
3. Y ese $\sqrt{K\rho}$ es $\rho\,a$ con $a = \sqrt{K/\rho} = 1463$ m/s: el apartado b) es Allievi, deducido por energía en vez de por cantidad de movimiento.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.4 · Colección de problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El espesor que depende de sí mismo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene una central hidroeléctrica que trabaja con un salto bruto de 350 m y con un caudal de 0,5 m³/s. La tubería forzada es de acero de 500 mm de diámetro con una pendiente media de 14,5°. Se desea conocer el espesor que deberían tener las paredes de la tubería si se adopta un cierre del inyector de la turbina Pelton de 5 s.

Para el cálculo del espesor se empleará la siguiente fórmula de Barlow:

e = \left( \frac{p\,D}{2\,\sigma} + m \right) c

donde $p$ es la presión máxima de trabajo de la tubería, $\sigma$ la tensión admisible de trabajo del material (15 000 N/cm²), $m$ la mayoración por corrosión (2 mm) y $c$ la tolerancia de la laminación (1,15). En todo caso se adoptará para el espesor en mm un número entero si es menor de 10 y número par si lo supera.

Módulo de elasticidad del acero $E = 2\cdot 10^{7}$ N/cm².

El espesor de pared de la tubería forzada, en mm.

01
Reconocer el camino
COMP1
Mira la cadena de dependencias antes de escribir nada: el espesor sale de la presión, la presión incluye el golpe de ariete, el golpe sale de la celeridad, y la celeridad depende del espesor. ¿Qué se hace con eso?
02
El espesor de la primera vuelta
COMP2
Suponiendo un golpe del 50 % del salto bruto —175 mca—, la presión de trabajo es $350 + 175 = 525$ mca. ¿Qué espesor da Barlow, en mm, antes de redondear?
Tu respuesta al paso 2el espesor en mm, sin redondear — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El golpe de ariete de verdad
COMP2
Con $e = 14$ mm, la celeridad es $a = 9900/\sqrt{48{,}3 + k\,D/e}$ con $k = 10^{7}/E = 0{,}5$ . Calcula el golpe real, en mca. La longitud de la tubería sale de la pendiente: $L = 350/\operatorname{sen}14{,}5°$ .
Tu respuesta al paso 3la sobrepresión en mca — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El espesor definitivo
COMP2
Repite Barlow con la presión de trabajo real, $350 + 146 = 496$ mca. ¿Qué espesor se adopta, en mm, ya redondeado?
Tu respuesta al paso 4el espesor comercial en mm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento que cierra el problema. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte de un golpe supuesto —175 mca, la mitad del salto— porque el espesor no se puede calcular sin una presión y la presión no se puede calcular sin el espesor.
2. Con ese supuesto sale $e = 14$ mm, y con 14 mm el golpe real resulta ser 146 mca: la suposición era conservadora, y sobra tubo.
3. Rehaciendo Barlow con 146 mca sale $e = 12$ mm, y con 12 mm el cierre sigue siendo lento, así que Michaud vuelve a dar 146 mca.
4. La iteración ha convergido: el espesor de entrada y el de salida coinciden, y el resultado es $e = 12$ mm.
5. Y converge en dos vueltas porque el espesor apenas mueve el golpe: al pasar de 14 a 12 mm la celeridad baja de 1217 a 1191 m/s, pero el cierre sigue siendo lento y Michaud no depende de la celeridad.

Resolución completa

Un problema de dimensionado donde la incógnita se calcula a sí misma.

El espesor sale de Barlow, Barlow necesita la presión, la presión incluye el golpe de ariete, el golpe necesita la celeridad y la celeridad necesita el espesor. Se rompe iterando.

Vuelta 1. Se supone un golpe del 50 % del salto: 175 mca. Presión de trabajo $525$ mca $= 514{,}5$ N/cm².

e = \left(\frac{514{,}5\cdot 50}{30000}+0{,}2\right)1{,}15 = 12{,}16\ \text{mm} \;\longrightarrow\; 14\ \text{mm}

Comprobación. Con $e = 14$ mm:

a = \frac{9900}{\sqrt{48{,}3+0{,}5\cdot 500/14}} = 1217\ \text{m/s} \qquad L = \frac{350}{\operatorname{sen}14{,}5°} = 1398\ \text{m}

T = \frac{2L}{a} = 2{,}30\ \text{s} < T_c = 5\ \text{s} \quad\Longrightarrow\quad \Delta H = \frac{2Lv}{gT_c} = \frac{2\cdot 1398\cdot 2{,}55}{49} = 146\ \text{mca}

Vuelta 2. Presión real $496$ mca $= 486{,}1$ N/cm²:

e = \left(\frac{486{,}1\cdot 50}{30000}+0{,}2\right)1{,}15 = 11{,}62\ \text{mm} \;\longrightarrow\; \mathbf{12\ mm}

Cierre de la iteración. Con 12 mm, $a = 1191$ m/s y $T = 2{,}35$ s: sigue siendo cierre lento, y Michaud —que no lleva la celeridad dentro— devuelve otra vez 146 mca. Entrada y salida coinciden: el resultado es 12 mm.

Por qué converge tan rápido, que es lo que hay que llevarse. Porque el cierre es lento. Michaud solo tiene longitud, velocidad, gravedad y tiempo de cierre: ninguno depende del espesor, así que en cuanto se sabe que el cierre es lento el golpe queda fijado y la iteración termina. Si el cierre hubiera salido rápido, Allievi habría metido la celeridad —y con ella el espesor— dentro del golpe, y habrían hecho falta varias vueltas.

Una discrepancia de la fuente, dicha en voz alta. La solución oficial escribe el periodo como $T = 2{,}36$ s, y eso sale de usar 14,1° en esa línea; con los 14,5° que da el propio enunciado sale 2,30 s. No cambia nada —los dos están muy por debajo de los 5 s del cierre y el régimen es lento en los dos casos— pero conviene saber de dónde viene la diferencia si comparas cifra a cifra con el boletín.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicios 7.5 y 7.6 · Colección de Problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Cuánto tiene que durar el cierre, y el límite que no se puede pedir

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En una tubería de acero, de $3\ \text{mm}$ de espesor, $350\ \text{mm}$ de diámetro y $1500\ \text{m}$ de longitud, circula un caudal de agua $Q = 250\ \text{l/s}$ .

a) (7.5) ¿Cuánto debe durar la maniobra de cierre de una válvula situada en el extremo final de la tubería, para que la sobrepresión no exceda de $80\ \text{mca}$ ?

b) (7.6) ¿Y para que no exceda de $300\ \text{mca}$ ? Razonar la respuesta.

Dato: $k_{\text{acero}} = 0{,}5$ ; $a = 9900/\sqrt{48{,}3 + k\,D/e}$ .

El tiempo de cierre para cada límite de sobrepresión.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada: ¿qué decide si hay que usar Allievi o Micheaud?
02
La celeridad de la onda
COMP2
¿Cuánto vale la celeridad $a$ ?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El tiempo de cierre para 80 mca
COMP2
¿Cuánto tiene que durar el cierre para que la sobrepresión no pase de $80\ \text{mca}$ ?
Tu respuesta al paso 3un tiempo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La sobrepresión máxima que esta tubería puede dar
COMP2
¿Cuál es la mayor sobrepresión posible, cierre la válvula como cierre?
Tu respuesta al paso 4una sobrepresión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Aplicando Micheaud a los 300 mca sale $T = 2{,}65$ s.
2. Pero $2{,}65$ s es menor que el tiempo crítico de $3{,}13$ s, así que ese cierre no sería lento y Micheaud no le aplica: la cuenta se contradice a sí misma.
3. Lo que ocurre es que esta tubería no puede dar 300 mca ni cerrando de golpe: su techo es la sobrepresión de Allievi, 254 mca.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.6 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Régimen variable en tuberías · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

La maniobra de cierre que no hay que alargar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En una tubería de acero, de $e = 3$ mm de espesor, $D = 350$ mm de diámetro y $L = 1500$ m de longitud, circula un caudal de agua $Q = 250$ l/s. ¿Cuánto debe durar la maniobra de cierre de una válvula situada en el extremo final de la tubería para que la sobrepresión no exceda de $300$ mca? Razonar la respuesta.

El tiempo de cierre necesario, razonando la respuesta.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de despejar ningún tiempo, ¿qué conviene calcular?
02
La celeridad
COMP2
¿Cuánto vale la celeridad de la onda en esta tubería de acero?
Tu respuesta al paso 2una celeridad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El golpe máximo posible
COMP2
¿Cuál es la mayor sobrepresión que puede producirse en esta tubería?
Tu respuesta al paso 3una sobrepresión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Reconocer el camino
COMP1
El techo son $254$ mca y el límite pedido, $300$ . ¿Cuál es la respuesta?
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La celeridad sale de la fórmula de Allievi con $k = 0{,}5$ del acero: $959$ m/s.
2. La velocidad del agua sale del caudal y la sección: $2{,}60$ m/s.
3. El golpe de Allievi, $a\,v/g = 254$ mca, es el techo: ningún cierre produce más.
4. Por tanto la condición se cumple con cualquier tiempo de cierre, incluido el instantáneo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.7 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Régimen variable en tuberías · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Un cierre lento, y cuánto le faltó para ser rápido

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En una conducción de $1400$ m de longitud y $250$ mm de diámetro circula un caudal de agua de $120$ l/s. La tubería es de hormigón armado ( $k = 5$ ) y su espesor es de $25$ mm. Si se cierra una válvula situada en su extremo final en $3{,}5$ s, calcular el valor de la sobrepresión e indicar el tipo de cierre. ¿Cuál es la sobrepresión máxima que se puede generar?

La sobrepresión, el tipo de cierre y la sobrepresión máxima posible.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el primer paso, y por qué no se puede saltar?
02
El periodo de ida y vuelta
COMP2
¿Cuánto tarda la onda en ir y volver?
Tu respuesta al paso 2un tiempo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La sobrepresión
COMP2
¿Cuánto vale la sobrepresión?
Tu respuesta al paso 3una sobrepresión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La sobrepresión máxima posible
COMP2
¿Y cuál sería el golpe si la válvula se cerrase de golpe?
Tu respuesta al paso 4una sobrepresión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $k = 5$ del hormigón armado y $D/e = 10$ , la celeridad sale $998{,}5$ m/s.
2. El periodo de ida y vuelta es $2L/a = 2{,}80$ s, menor que los $3{,}5$ s de cierre: cierre lento.
3. Al ser lento se aplica Michaud, y sale $199{,}56$ mca.
4. Y el máximo posible, con cierre instantáneo, es Allievi: $249{,}08$ mca.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.8 · Colección de Problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La tubería forzada de Villariño, y sus quinientos metros de golpe

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La tubería forzada de la central hidroeléctrica de Villariño (Salamanca) es de hormigón armado ( $C_{\text{material}} = 5$ ). Tiene una longitud de $15\ \text{km}$ , el diámetro interior es de $7{,}5\ \text{m}$ y el espesor de $50\ \text{cm}$ . El máximo caudal de agua es de $287\ \text{m}^{3}/\text{s}$ . Se pide:

a) Si la válvula de mariposa situada al final de la tubería se cierra en $40\ \text{s}$ , calcular el valor de la sobrepresión generada por golpe de ariete.

b) Explicar dos maneras de atenuar dicha sobrepresión.

Dato: $a = 9900/\sqrt{48{,}3 + C_{\text{mat}}\,D/e}$ .

La sobrepresión al cerrar en 40 s, y dos formas de atenuarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
La tubería mide 15 km y el cierre dura 40 s. ¿Qué esperas antes de calcular?
02
La celeridad
COMP2
¿Cuánto vale $a$ en esta tubería?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La sobrepresión
COMP2
¿Qué sobrepresión genera el cierre en 40 s?
Tu respuesta al paso 3una sobrepresión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión y las dos medidas. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $a = 892$ m/s el tiempo crítico es de 33,6 s, y el cierre de 40 s queda por encima: es lento, y la sobrepresión son 497 mca.
2. La primera forma de atenuarlo es alargar el cierre: como Micheaud es inversamente proporcional al tiempo, doblarlo a 80 s deja la sobrepresión en 249 mca.
3. La segunda es acortar la longitud efectiva con una chimenea de equilibrio, que refleja la onda mucho antes de que llegue al embalse.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.9 · Colección de Problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Tres metros de tubo, y el golpe de ariete entero

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el laboratorio hay dos tuberías, una de PVC ( $D_i = 28{,}4\ \text{mm}$ , $e = 1{,}8\ \text{mm}$ ) y otra de cobre ( $D_i = 26\ \text{mm}$ , $e = 1{,}0\ \text{mm}$ ), ambas de longitud $L = 3\ \text{m}$ . Si circula un caudal de $1{,}5\ \text{l/s}$ por cada tubería, se pide, determinar primeramente en ambos casos qué tipo de cierre es, y calcular:

a) La sobrepresión generada en la tubería de PVC al cerrar la válvula de bola situada al final de la tubería, si el tiempo de cierre ha sido $0{,}1\ \text{s}$ .

b) Tiempo que ha durado el cierre de la válvula accionada neumáticamente situada al final de la tubería de cobre, si se ha medido una sobrepresión de $135\ \text{mca}$ .

Datos: $k_{\text{PVC}} = 33$ ; $k_{\text{cobre}} = 0{,}8$ ; $a = 9900/\sqrt{48{,}3 + k\,D/e}$ .

El tipo de cierre en los dos casos, la sobrepresión en el PVC y el tiempo en el cobre.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos tubos miden 3 m. ¿Qué orden de magnitud tiene su tiempo crítico?
02
La celeridad en el PVC
COMP2
¿Cuánto vale $a$ en el tubo de PVC?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La sobrepresión en el PVC
COMP2
Cerrando en $0{,}1\ \text{s}$ , ¿qué sobrepresión aparece?
Tu respuesta al paso 3una sobrepresión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El tiempo de la válvula neumática
COMP2
En el tubo de cobre se han medido $135\ \text{mca}$ . ¿Cuánto duró el cierre?
Tu respuesta al paso 4un tiempo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los dos cierres son lentos, porque los tiempos críticos son de 14 y 5 milésimas de segundo y las maniobras duran más.
2. El PVC, con $k = 33$ , tiene una celeridad de 415 m/s frente a los 1191 del cobre: el tubo de plástico absorbe la onda deformándose.
3. Cerrando en 0,1 s el PVC da 14,5 mca; el cobre necesita cerrar en 12,8 milésimas para llegar a 135.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.10 · Colección de problemas de Mecánica de Fluidos, Régimen variable en tuberías · Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Ingeniería Energética.

Del golpe de ariete a la tensión que aguanta el tubo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una tubería de fibrocemento de $125$ m de longitud, diámetro $D = 200$ mm y espesor $e = 12$ mm transporta un caudal de agua de $250$ l/s. Si la válvula situada en su extremo final se ha cerrado en $3$ s, indicar qué tipo de cierre ha sido y calcular la sobrepresión generada por el golpe de ariete.

Antes del golpe de ariete se ha medido la presión en el interior de la tubería mediante un manómetro, con una lectura de $0{,}3$ bar. Sabiendo que la sobrepresión generada es la máxima que soporta el material, calcular la tensión de tracción admisible del fibrocemento ( $\text{N/mm}^{2}$ ).

Datos: módulo de elasticidad volumétrico del fibrocemento $1\,825\,000\ \text{N/cm}^{2}$ y del agua $2{,}2\cdot 10^{9}$ Pa.

El tipo de cierre, la sobrepresión y la tensión de tracción admisible.

01
La sobrepresión
COMP2
Clasifica el cierre y calcula la sobrepresión.
Tu respuesta al paso 1una sobrepresión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
02
Reconocer el camino
COMP1
Para pasar de la presión a la tensión del material, ¿qué hay que usar?
03
La tensión admisible
COMP2
Con la presión previa de $0{,}3$ bar más la sobrepresión, ¿cuál es la tensión de tracción admisible?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $k = 5{,}4$ del fibrocemento y $D/e = 16{,}7$ , la celeridad es $841{,}8$ m/s.
2. El periodo, $0{,}297$ s, es diez veces menor que el tiempo de cierre: cierre lento y Michaud.
3. La sobrepresión sale $67{,}67$ mca, que sumada a los $0{,}3$ bar previos da $693$ kPa dentro del tubo.
4. La tensión circunferencial de un tubo delgado, $\sigma = pD/(2e)$ , da $5{,}78\ \text{N/mm}^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.11 · Colección de problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El diámetro que sale de exigir que el cierre sea rápido

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una tubería de fibrocemento, de espesor $e = 12$ mm y longitud $L = 1500$ m, circula agua a 1,5 m/s. Si el tiempo de cierre de una válvula situada en el extremo final de la tubería es 3 s, calcular el diámetro mínimo de la tubería para que el cierre sea rápido. Los diámetros comerciales van de 50 en 50 mm. ¿Cuál es la sobrepresión generada (mca)? Enumera y describe brevemente dos elementos que permiten atenuar el golpe de ariete.

Datos: módulo de elasticidad volumétrico del fibrocemento 1.825.000 N/cm² y del agua $2,2 \cdot 10^{9}$ Pa.

El diámetro comercial más pequeño que hace rápido el cierre, y el golpe que produce.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide un diámetro a partir de una condición sobre el tiempo. ¿Por dónde entra el diámetro en la condición de cierre rápido?
02
La celeridad que como mucho se puede admitir
COMP2
Para que el cierre sea rápido hace falta $T_c < 2L/a$ , o sea $a < 2L/T_c$ . ¿Cuánto vale ese tope, con $L = 1500$ m y $T_c = 3$ s?
Tu respuesta al paso 2la velocidad en m/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro comercial
COMP2
Con $a = \sqrt{K/\rho} \,/\, \sqrt{1 + (K/E)(D/e)}$ , $K = 2,2 \cdot 10^{9}$ Pa, $E = 1{,}825 \cdot 10^{10}$ Pa y $e = 12$ mm, ¿cuál es el diámetro comercial más pequeño que deja la celeridad por debajo de 1000 m/s?
Tu respuesta al paso 3el diámetro en mm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La sobrepresión
COMP2
Con $D = 150$ mm el cierre ya es rápido. ¿Cuánto vale la sobrepresión, en mca?
Tu respuesta al paso 4la sobrepresión en mca — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
El enunciado pide además dos elementos que atenúen el golpe. Ordena la respuesta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Chimenea de equilibrio: un depósito abierto conectado a la conducción, que recibe el agua sobrante y devuelve la que falta. Interrumpe la columna, y la $L$ que interviene en el golpe pasa a ser solo la del tramo que queda por debajo.
2. Calderín antiariete: un recipiente cerrado con aire a presión. El aire se comprime al llegar la onda y se expande después, así que absorbe la sobrepresión y también rellena la depresión que viene detrás.
3. Los dos hacen lo mismo por el mismo sitio: dar por dónde escapar, que es una de las tres vías del tema junto con alargar el tiempo de cierre y bajar la celeridad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.12 · Colección de problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El golpe negativo, y el suelo que la presión no puede cruzar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

A través de una tubería de 1250 m de longitud y 300 mm de diámetro se transporta un caudal de 80 l/s. El tubo es de acero de 9 mm de espesor. Al comienzo de la tubería hay una válvula. La presión del flujo aguas abajo de la válvula es 6,4 bar. La válvula se cierra en 3 segundos y se produce un golpe de ariete negativo. Se pide:

a) Calcular la variación de presión por golpe de ariete en el flujo aguas abajo de la válvula, indicando el tipo de cierre.

b) Realizar una gráfica indicando la variación de presión respecto al tiempo en el flujo aguas abajo de la válvula. Razonar la gráfica.

Datos: módulo de elasticidad del acero $2 \cdot 10^{11}$ Pa; del agua, $2,2 \cdot 10^{9}$ Pa.

La variación de presión aguas abajo de la válvula, y el tipo de cierre.

01
Reconocer el camino
COMP1
La válvula está al comienzo de la tubería, y lo que se pide es lo que pasa aguas abajo de ella. ¿Por qué el golpe sale negativo?
02
La celeridad
COMP2
Con $K = 2,2 \cdot 10^{9}$ Pa, $E = 2 \cdot 10^{11}$ Pa, $D = 300$ mm y $e = 9$ mm, ¿cuánto vale la celeridad?
Tu respuesta al paso 2la celeridad en m/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La variación de presión
COMP2
Clasifica el cierre y calcula la variación de presión, en mca. El caudal es de 80 l/s por una tubería de 300 mm.
Tu respuesta al paso 3el valor absoluto de la variación, en mca — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Falta razonar la gráfica del apartado b). Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La presión de partida aguas abajo es 6,4 bar, o sea 65,3 mca, y al cerrar cae de golpe 96,24 mca: la cuenta pide bajar hasta $-31$ mca relativos, casi tres atmósferas por debajo de la presión atmosférica.
2. Eso es imposible. Por debajo del cero absoluto no hay presión, y mucho antes —sobre los $-10$ mca relativos— el agua alcanza su presión de vapor y hierve en frío.
3. Así que la gráfica no baja hasta $-31$ : se aplana en torno a $-10$ mca y ahí se queda mientras dura la cavitación. Se forma una bolsa de vapor que separa la columna.
4. El peligro no es la depresión en sí, sino lo que viene después: cuando la bolsa colapsa, las dos columnas chocan y producen una sobrepresión que puede superar con mucho a la que se ha evitado.

Resolución completa

La parte que se calcula, y la parte que hay que razonar.

a) El número. Tres pasos en el orden de siempre, y el orden importa:

v = \frac{0{,}080}{\pi\cdot 0{,}3^{2}/4} = 1{,}132 \ \text{m/s} \qquad a = \frac{1483{,}2}{\sqrt{1+0{,}011\cdot 33{,}33}} = 1268{,}8 \ \text{m/s}

T = \frac{2L}{a} = 1{,}97 \ \text{s} < T_c = 3 \ \text{s} \;\Longrightarrow\; \text{cierre lento}

|\Delta H| = \frac{2Lv}{g T_c} = 96{,}24 \ \text{mca}

Aguas abajo de la válvula el golpe es negativo: $-96{,}24$ mca.

b) La gráfica, y por qué no es la del libro. Lo habitual es dibujar la onda rectangular: la presión cae el golpe entero, se mantiene $2L/a$ , sube otro tanto por encima de la inicial, y así. Aquí esa gráfica no se puede dibujar, y verlo es el ejercicio.

La presión de partida son 6,4 bar $= 65{,}3$ mca. Restar 96,24 daría $-31$ mca relativos, y eso está por debajo del vacío absoluto: no existe. Lo que pasa de verdad es que la presión cae hasta la presión de vapor del agua —del orden de $-10$ mca relativos a temperatura ambiente—, ahí se detiene, y el agua empieza a hervir. Se forma una bolsa de vapor que separa la columna en dos.

La gráfica, por tanto, tiene tres tramos: la caída rápida durante el cierre, una meseta plana en la presión de vapor mientras la bolsa existe, y un pico cuando la bolsa colapsa y las dos columnas vuelven a juntarse. Ese pico es el que rompe tuberías, y puede ser mayor que la sobrepresión que uno estaba intentando evitar.

La lección, que es de método. Michaud y Allievi devuelven un número sin preguntar de dónde se parte, y por eso hay que comprobar siempre contra qué se aplica esa variación. Un golpe de 96 mca sobre una conducción a 30 bar es una molestia; el mismo golpe sobre una a 6,4 bar, y en negativo, es cavitación. El signo y el punto de partida son parte del resultado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.13 · Colección de Problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Comprobar el cierre que hay, y diseñar el que hace falta

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por una conducción de $1200\ \text{m}$ de longitud y $400\ \text{mm}$ de diámetro se transporta un caudal de $200\ \text{l/s}$ de agua. Se conoce que la tubería de $12\ \text{mm}$ de espesor es de fundición, cuyo módulo de elasticidad es $10\cdot 10^{6}\ \text{N/cm}^{2}$ .

a) Si se cierra una válvula dispuesta en su extremo final en $2\ \text{s}$ , determinar qué tipo de cierre es y calcular la sobrepresión producida por golpe de ariete.

b) Si se quiere limitar la sobrepresión a $100\ \text{m.c.a.}$ , ¿qué tipo de cierre será necesario? Justificarlo sin realizar ningún cálculo y, si es posible, determinar a continuación el tiempo que debe durar la maniobra de cierre de la válvula.

Dato: $k_{\text{fundición}} = 1$ ; $a = 9900/\sqrt{48{,}3 + k\,D/e}$ .

El tipo de cierre y la sobrepresión, y el tiempo necesario para bajar a 100 mca.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado b) pide justificar sin calcular qué tipo de cierre hará falta para bajar de 177,9 a 100 mca. ¿Cuál es el argumento?
02
La celeridad
COMP2
¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La sobrepresión del cierre en 2 s
COMP2
¿Qué sobrepresión produce cerrar en $2\ \text{s}$ ?
Tu respuesta al paso 3una sobrepresión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El tiempo para bajar a 100 mca
COMP2
¿Cuánto tiene que durar la maniobra para no pasar de $100\ \text{mca}$ ?
Tu respuesta al paso 4un tiempo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $a = 1096$ m/s el tiempo crítico es de 2,19 s, y el cierre de 2 s queda por debajo: es rápido, y la sobrepresión es la de Allievi, 178 mca.
2. Para bajar a 100 mca hace falta un cierre lento, porque 178 es el máximo que la instalación puede dar y solo se baja de él alargando la maniobra.
3. Micheaud da $T = 3{,}9$ s, que es mayor que el tiempo crítico: el resultado es coherente con la hipótesis de cierre lento.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.14 · Colección de problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La misma tubería, con los dos tipos de cierre

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para regar una huerta se recoge agua de lluvia en el depósito A. Mediante una tubería de polietileno PE, con un diámetro de 20 mm, una longitud de 3,5 m y un espesor de 1 mm, se abastece con un caudal de agua de 1,1 l/s el sistema de riego. Al final de la tubería se ha instalado una válvula de bola V. En un momento dado, se cierra dicha válvula.

a) Determinar qué tipo de cierre es y cuál será la sobrepresión producida por golpe de ariete para los siguientes tiempos de cierre de la válvula: 0,2 s y 0,01 s. Razonar la respuesta.

b) Debido a un fallo de fabricación se ha producido una rotura en la tubería. El fabricante nos ofrece como compensación una tubería nueva del mismo diámetro, de polipropileno (PP) junto con una válvula neumática cuyo tiempo de cierre es de 0,02 s. ¿Cuál debe ser el espesor máximo de la tubería para que el cierre sea rápido?

Datos: módulo de elasticidad del agua $2,1 \cdot 10^{9}$ Pa; módulo de elasticidad del PE 900 MPa; módulo de elasticidad del polipropileno PP 1300 MPa.

El tipo de cierre y la sobrepresión con cada tiempo, y el espesor máximo del tubo nuevo.

01
Reconocer el camino
COMP1
La tubería mide 3,5 metros. Antes de calcular nada: ¿qué esperas de la frontera entre cierre rápido y lento en una instalación tan corta?
02
La celeridad en el tubo de polietileno
COMP2
Con $K = 2,1 \cdot 10^{9}$ Pa, $E_{PE} = 9 \cdot 10^{8}$ Pa, $D = 20$ mm y $e = 1$ mm, ¿cuánto vale la celeridad?
Tu respuesta al paso 2la celeridad en m/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El cierre de 0,2 s
COMP2
Con $T_c = 0{,}2$ s, ¿cuánto vale la sobrepresión en mca? El caudal es 1,1 l/s por una tubería de 20 mm.
Tu respuesta al paso 3la sobrepresión en mca — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El cierre de 0,01 s
COMP2
Y ahora con $T_c = 0{,}01$ s. ¿Cuánto vale la sobrepresión, en mca?
Tu respuesta al paso 4la sobrepresión en mca — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El espesor máximo del tubo de polipropileno
COMP2
El tubo nuevo es de PP ( $E = 1300$ MPa), del mismo diámetro, y la válvula cierra en 0,02 s. ¿Cuál es el espesor máximo para que el cierre siga siendo rápido?
Tu respuesta al paso 5el espesor en mm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
El apartado a) pide razonar la respuesta, no solo darla. Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La frontera entre los dos regímenes es $2L/a = 0{,}033$ s, y sale tan pequeña porque la tubería mide 3,5 m: la onda va y vuelve treinta veces por segundo.
2. Con $T_c = 0{,}2$ s la válvula tarda seis veces más que eso: la onda vuelve, se encuentra la válvula todavía abriendo paso, y parte del golpe se descarga hacia el depósito. Cierre lento, Michaud, 12,5 mca.
3. Con $T_c = 0{,}01$ s la válvula termina de cerrar antes de que la onda vuelva: no hay por dónde descargar y el golpe llega entero. Cierre rápido, Allievi, 74,99 mca.
4. Y a partir de ahí cerrar aún más deprisa no cambia nada, porque Allievi no depende del tiempo de cierre: 74,99 mca es el techo de esta instalación.

Resolución completa

Dos cierres, una tubería, y una frontera de treinta milésimas.

Lo primero es medir dónde está la frontera, porque todo lo demás depende de a qué lado caiga cada caso:

a = \frac{\sqrt{K/\rho}}{\sqrt{1+(K/E)(D/e)}} = \frac{1449{,}1}{\sqrt{1+2{,}333\cdot 20}} = 209{,}9 \ \text{m/s} \qquad T = \frac{2L}{a} = 0{,}033 \ \text{s}

Con $v = Q/A = 3{,}50$ m/s:

$T_c$	frente a 0,033 s	régimen	fórmula	$\Delta H$
0,2 s	seis veces mayor	lento	Michaud	12,5 mca
0,01 s	tres veces menor	rápido	Allievi	74,99 mca

b) El tubo de repuesto. Ahora el tiempo de cierre está fijado por la válvula neumática —0,02 s— y lo que se busca es el tubo. Rápido exige $a < 2L/T_c = 350$ m/s, y despejando de la celeridad con $E_{PP} = 1{,}3\cdot 10^{9}$ Pa sale $e < 2{,}00$ mm. Espesor máximo, 2 mm.

Lo que este ejercicio enseña y no dice. La tubería del apartado b) es más rígida que la original —el PP dobla al PE en módulo— y aun así admite el doble de espesor. Las dos cosas empujan en el mismo sentido: subir $E$ y subir $e$ suben la celeridad. Lo que pasa es que el PP parte de más lejos, y por eso le sobra margen.

Y una advertencia de fondo. Todo el apartado b) consiste en conseguir un cierre rápido, que es el que más golpea. No es un despiste del enunciado: es el ejercicio pidiendo que domines la condición en los dos sentidos. En obra, lo que se busca casi siempre es lo contrario.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.15 · Colección de problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal de montaña, y la válvula que se quiere automática

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Al diseñar la instalación de montaña que se muestra en la figura, el embalse A y el depósito B se unirán mediante un canal, cuya tipología se muestra en la figura. El canal es de madera sin cepillar y la pendiente es de 1,5 milésimas. Como hay una gran variación de caudal entre el invierno y el verano se quiere lograr que en verano el nivel del agua no supere el 45 % del diámetro.

a) Si el caudal medio en verano es de 440 l/s, calcula el nivel de agua h y la velocidad de flujo vc. Los diámetros comerciales aumentan cada 10 cm.

La sección es un cajón ancho con una media caña en el fondo. El caudal pequeño del verano circula por la media caña, y lo que se limita al 45 % es la altura dentro de ella. Dibujada a escala con el resultado: el agua se queda 9 cm por debajo de la solera plana.

La superficie libre del depósito B está en la cota zB = 1550 m. Del depósito sale una tubería de acero con un diámetro de 430 mm y una pendiente del 18 %. En el camino hay una válvula de guillotina a una altitud de zC = 250 m, y aguas abajo de la válvula, a una altitud de zD = 200 m, una pequeña central hidroeléctrica con una turbina Pelton con dos inyectores para turbinar el agua que transporta la tubería. Después de la central, se vierte el agua en el río a una altitud de zE = 100 m. Si el caudal que se transportará a través de la tubería debe ser de 390 l/s y el cierre de la válvula, manualmente, se realizará en 25 segundos:

b) Calcular el grosor de la tubería utilizando la expresión de Barlow y seleccionar el espesor comercial adecuado sabiendo que son múltiplos de 2 mm. Explicar y razonar el procedimiento.

c) El cliente desea que la válvula se cierre automáticamente en 10 segundos. Explicar con valores si es una buena idea o no. El cliente no aceptará opiniones contrarias que no estén respaldadas con valores.

Ayuda:

e = \left(\frac{p\,D}{2\sigma} + m\right) c

con $\sigma$ la tensión admisible del material (355 MPa), $m$ el aumento debido a la corrosión (1 mm) y $c$ el margen de fabricación (1,25).

a = \frac{9900}{\sqrt{48{,}3 + k\,D/e}}

Allievi: $\Delta H = a\,v/g$ · Micheaud: $\Delta H = 2Lv/(g\,t)$

Esquema, no a escala. Del embalse A el agua llega por el canal al depósito B, y de ahí cae mil trescientos metros hasta la válvula C. Esa caída es la que decide el espesor de la tubería.

El nivel y la velocidad en el canal en verano, el espesor comercial de la tubería y si conviene cerrar la válvula en diez segundos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con 440 l/s en verano, ¿qué parte de la sección lleva el agua, y respecto de qué se mide el 45 %?
02
El diámetro comercial
COMP2
Diámetro D de la media caña, en metros, sabiendo que los comerciales van de 10 en 10 cm.
Tu respuesta al paso 2una longitud con su unidad (m o cm) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El nivel de verano
COMP2
Nivel de agua h dentro de la media caña, en centímetros.
Tu respuesta al paso 3una longitud con su unidad (cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La velocidad en el canal
COMP2
Velocidad del flujo en el canal en verano, en m/s.
Tu respuesta al paso 4una velocidad con su unidad (m/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El espesor de la tubería
COMP2
Espesor comercial de la tubería de acero, en milímetros, con el cierre manual de 25 segundos.
Tu respuesta al paso 5una longitud con su unidad (mm) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al cliente sobre el cierre en 10 s. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el espesor ya elegido, e = 14 mm, la celeridad es 1241 m/s y la onda tarda 2L/a = 11,6 s en ir y volver.
2. Cerrar en 10 s es menos que esos 11,6 s, así que el cierre deja de ser lento y pasa a ser rápido: manda Allievi.
3. La sobrepresión sube de 158 a 340 mca, más del doble, y la presión en la válvula pasa de 1458 a 1640 mca.
4. Con esa presión, Barlow pide 13,4 mm, y la tubería de 14 mm que ya se había elegido los tiene: el cambio es aceptable.

D	h	h/D
1,00 m	48,5 cm	48,5 % — se pasa
1,10 m	46,2 cm	42,0 % — vale
1,20 m	44,4 cm	37,0 % — vale, pero sobra

Resolución completa

Tres problemas encadenados por una decisión

Este ejercicio pone un canal, una tubería y un golpe de ariete en el mismo enunciado, y lo interesante es que no son tres problemas sueltos: el espesor que se calcula al final depende de un diámetro que se elige al principio.

a) Un canal con dos regímenes

La sección no es caprichosa. Un cajón de nueve metros de ancho es lo que hace falta para las crecidas del invierno, pero con 440 l/s el agua formaría una lámina de centímetros repartida por toda la solera: mucha superficie mojada, poco radio hidráulico, velocidad baja y sedimentos depositándose. La media caña del fondo concentra el caudal pequeño en una sección circular y le devuelve la velocidad.

Así que el problema del verano es un conducto circular parcialmente lleno. Con $n = 0{,}013$ e $I = 0{,}0015$ , se tantea:

D	h	h/D	vc
1,00 m	48,5 cm	48,5 %	1,17 m/s
1,10 m	46,3 cm	42,0 %	1,17 m/s
1,20 m	44,4 cm	37,0 %	1,16 m/s

El primero que cumple el 45 % es D = 1,10 m, con h = 46,3 cm y vc = 1,17 m/s.

Fíjate en la última columna: la velocidad es la misma en los tres. En un conducto circular la velocidad apenas se mueve entre el 40 % y el 100 % de llenado, porque el radio hidráulico crece muy poco. Por eso el criterio de diseño se pone sobre el calado y no sobre la velocidad — la velocidad no distingue.

b) El espesor, y por qué 12 no vale

Los 1300 m de desnivel entre B y C son la clave del problema. La presión estática en la válvula son ya 1300 mca, es decir 127 bar, y el golpe de ariete solo añade un 12 % más:

L = \frac{1300}{0{,}18} = 7222\ \text{m} \qquad v = 2{,}686\ \text{m/s} \qquad \Delta H = \frac{2Lv}{9{,}8\cdot 25} = 158{,}3\ \text{mca}

Con 1458,3 mca en la válvula, Barlow da 12,07 mm. Y ahí está la gracia del apartado: los espesores comerciales son múltiplos de 2 mm, así que el candidato natural sería 12… y no llega por siete centésimas de milímetro. Hay que ir a 14.

Un espesor se redondea siempre hacia arriba, sin discutirlo, porque hacia abajo el que paga es el tubo. Y conviene ver de dónde salen los tres términos de la fórmula: $pD/2\sigma$ son 8,7 mm de resistencia pura, el milímetro de corrosión es lo que se va a comer el óxido en la vida de la instalación, y el 1,25 es lo que la fábrica no garantiza. Quitando los dos últimos saldría 8,7 mm, un 28 % menos, y ese es exactamente el tipo de recorte que hace que una tubería reviente a los quince años.

c) La respuesta al cliente, con valores

El cliente quiere cerrar en 10 s y no acepta opiniones. Se le dan números.

Con el espesor de 14 mm, la celeridad de la onda es

a = \frac{9900}{\sqrt{48{,}3 + 0{,}5\cdot 430/14}} = 1241\ \text{m/s} \qquad \frac{2L}{a} = 11{,}6\ \text{s}

Diez segundos es menos que 11,6, así que el cierre pasa de lento a rápido y cambia la fórmula: ya no vale Micheaud, manda Allievi.

\Delta H = \frac{a\,v}{g} = \frac{1241\cdot 2{,}686}{9{,}8} = 340\ \text{mca}

La sobrepresión se dobla. Pero la presión total en la válvula pasa de 1458 a 1640 mca, que es solo un 12 % más, porque los 1300 estáticos dominan. Y Barlow con esa presión pide 13,4 mm.

La tubería de 14 mm ya los tiene. El cambio es aceptable, y no porque la sobrepresión sea pequeña —se ha doblado— sino porque el redondeo al múltiplo de 2 mm había dejado 1,9 mm de margen sin querer. Esa es la respuesta honesta al cliente: se puede hacer, y se puede hacer con la tubería que ya estaba proyectada, no porque el golpe dé igual.

Y una advertencia sobre el método. Si alguien aplica Micheaud a los 10 s por inercia obtiene 396 mca y un espesor necesario de 13,8 mm: redondea igual a 14 y llega a la misma conclusión, así que el error no se ve en el resultado. Pero el margen que informa es 0,2 mm en vez de 0,6, y basta con que la tubería fuera algo más larga para que ese 16 % de sobrepresión inventada le hiciera decir que no a un cambio que sí se puede hacer. Un acierto por casualidad no es un acierto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.16 · Colección de problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La Pelton del Pirineo, y su chimenea de equilibrio

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En una central hidroeléctrica de los Pirineos hay instalada una turbina Pelton. La tubería forzada que va del embalse a la central es de fundición, tiene una longitud de L = 10 km, el diámetro interno es D = 630 mm y el espesor e = 10 mm. El caudal turbinado es Q = 1,25 m³/s. Se pide:

a) Tiempo de cierre (minutos) del inyector de la turbina, para que la sobrepresión no supere los 40 mca. Razonar la resolución.

b) Dicho tiempo de cierre se considera excesivo. Se estudia la posibilidad de instalar una chimenea de equilibrio en la tubería forzada. Calcular a qué distancia del embalse ha de ser instalada la chimenea, si se quiere cerrar el inyector en 30 segundos, limitando la sobrepresión a 40 mca.

c) ¿Cuál es la velocidad del sonido en el seno del fluido?

Datos: módulo de elasticidad de la fundición, $E = 1\,700\,000$ kg/cm²; módulo de compresibilidad del agua, $K = 2100$ MPa.

Ayuda:

a = \frac{\sqrt{K/\rho}}{\sqrt{1 + (K/E)(D/e)}}

Allievi: $\Delta H = a\,v/g$ · Micheaud: $\Delta H = 2Lv/(g\,T_{cierre})$

Diez kilómetros de tubería forzada entre el embalse y la central. La chimenea de equilibrio es un tubo abierto por arriba que se levanta en un punto del recorrido; lo que se pide es a qué distancia del embalse ponerla.

El tiempo de cierre sin chimenea, la distancia a la que instalarla y la velocidad del sonido en el agua.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para limitar la sobrepresión a 40 mca hay dos fórmulas. ¿Cuál se usa y por qué?
02
El tiempo de cierre
COMP2
Tiempo de cierre del inyector, en minutos, para que la sobrepresión no pase de 40 mca sin chimenea.
Tu respuesta al paso 2un tiempo con su unidad (min o s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Dónde poner la chimenea
COMP2
Distancia desde el embalse a la que hay que instalar la chimenea de equilibrio para poder cerrar en 30 s sin pasar de 40 mca.
Tu respuesta al paso 3una distancia con su unidad (m o km) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La velocidad del sonido en el agua
COMP2
Velocidad del sonido en el seno del fluido.
Tu respuesta al paso 4una velocidad con su unidad (m/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena qué hace la chimenea de equilibrio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sin chimenea, cerrar en 30 s daría una sobrepresión de 273 mca: casi siete veces el límite.
2. La chimenea es un tubo abierto por arriba, así que cuando la onda de presión llega a ella el agua sube y la sobrepresión se descarga a la atmósfera.
3. De la chimenea hacia el embalse, la tubería ya no sufre el golpe: la longitud que interviene pasa de 10 000 a 1466 m.
4. Y como la sobrepresión de Micheaud es proporcional a esa longitud, dividirla por siete divide la sobrepresión por siete.

Resolución completa

La primera decisión no es una fórmula, es cuál de las dos

El enunciado da las dos y pide razonar. La diferencia está en el tiempo que tarda la onda en ir hasta el embalse y volver:

\frac{2L}{a} = \frac{20\,000}{1082} = 18{,}5\ \text{s}

Si el inyector se cierra más deprisa que eso, la onda de descarga no ha vuelto todavía cuando el cierre termina, y la sobrepresión llega al máximo de Allievi, $av/g = 443$ mca. Si se cierra más despacio, la onda vuelve a tiempo y frena la subida: es Micheaud, y entonces la sobrepresión depende del tiempo.

Como se quieren 40 mca y Allievi daría 443, el cierre tiene que ser lento a la fuerza. Se usa Micheaud, se calcula T y después se comprueba que efectivamente sale mayor que 18,5 s.

a) El tiempo, y por qué es inaceptable

T = \frac{2Lv}{g\,\Delta H} = \frac{2\cdot 10\,000\cdot 4{,}01}{9{,}8\cdot 40} = 204{,}6\ \text{s} = 3{,}41\ \text{min}

Tres minutos y medio para cerrar un inyector. Una central tiene que poder responder a un disparo de la red en segundos, así que el número es correcto y a la vez inservible: de ahí el apartado b).

b) La chimenea, y qué es lo que acorta

Una chimenea de equilibrio es un tubo vertical abierto por arriba. Cuando la onda de presión llega a ella, el agua sube por el tubo en vez de comprimirse, y la sobrepresión se descarga contra la atmósfera. Aguas arriba de la chimenea, la tubería no se entera del golpe.

Así que en Micheaud ya no entra L sino la longitud que queda entre la chimenea y la turbina:

L' = \frac{g\,\Delta H\,T}{2v} = \frac{9{,}8\cdot 40\cdot 30}{2\cdot 4{,}01} = 1466\ \text{m} \;\Longrightarrow\; x = 8534\ \text{m}

Es decir, la chimenea va muy cerca de la central: a 8,5 km del embalse, en el último 15 % del recorrido. Tiene sentido, porque lo que hay que proteger es el tramo corto que queda por debajo.

c) Dos velocidades que no son la misma

Aquí está el detalle que el enunciado quiere separar:

	valor
sonido en el agua, $\sqrt{K/\rho}$	1449 m/s
celeridad de la onda en la tubería, $a$	1082 m/s

La onda de presión viaja más despacio que el sonido en el agua porque la tubería se deforma: parte de la energía que debería ir en comprimir el líquido se va en dilatar el tubo. Con una tubería infinitamente rígida las dos coincidirían.

Y ese 25 % de diferencia no es un detalle académico: es exactamente lo que separa la frontera de cierre rápido en 18,5 s de los 13,8 que saldrían con la tubería rígida.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.17 · Colección de problemas, capítulo 7 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La válvula de retención que recibe el golpe

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La instalación de bombeo de la figura está ubicada en una zona donde el corte en el suministro eléctrico sin previo aviso es frecuente. Cuando ocurre esto la bomba se para y el agua retorna por gravedad desde el depósito B al A, vaciándose el depósito B.

Para evitar el vaciado del depósito B, se ha decidido instalar una válvula de retención aguas abajo de la bomba, de clapeta. Cuando se bombea agua la válvula está abierta, pero cuando el flujo retorna en el sentido contrario, el flujo cierra la válvula.

Se desea estudiar la sobrepresión generada por golpe de ariete. La tubería es de acero (k = 0,5), de 600 mm de diámetro interior y 5 mm de espesor. La tensión de tracción admisible del acero es $\sigma = 2600$ kg/cm². Si el caudal de retorno es 1,23 m³/s y el cierre de la válvula dura 5 s, se pide:

a) Valor de la sobrepresión generada por golpe de ariete, en mca.

b) Tensión de tracción a la que se somete a la tubería de acero. ¿Aguantará la tubería?

c) Razonar cuál será la presión mínima que alcanzará el flujo aguas abajo de la válvula.

Ayuda:

a = \frac{9900}{\sqrt{48{,}3 + k\,D/e}} \qquad e = \frac{p\,D}{2\,\sigma}

Allievi: $\Delta H = a\,v/g$ · Micheaud: $\Delta H = 2Lv/(g\,t)$

Cuando se corta la luz, la bomba se para y el agua de B se vuelve hacia A por los dos mil metros de la tubería 2. La válvula de retención, justo detrás de la bomba, es la que tiene que pararla.

La sobrepresión del golpe, la tensión que produce en el acero y hasta dónde puede bajar la presión al otro lado de la válvula.

01
Reconocer el camino
COMP1
Cuando la válvula se cierra al volver el agua, ¿qué columna de agua es la que se frena y genera el golpe?
02
La sobrepresión
COMP2
Sobrepresión del golpe de ariete, en mca, con un cierre de 5 s.
Tu respuesta al paso 2una presión con su unidad (mca, kPa o bar) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La tensión en el acero
COMP2
Tensión de tracción en la pared de la tubería, en kg/cm², producida por esa sobrepresión.
Tu respuesta al paso 3una tensión con su unidad (kg/cm², MPa o Pa) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena qué pasa al otro lado de la válvula. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La válvula parte la tubería en dos: en la tubería 2 el agua se detiene contra ella y la presión sube.
2. En la tubería 1, en cambio, el agua que ya había pasado sigue alejándose y deja un hueco detrás.
3. Ese hueco solo se puede llenar bajando la presión, y la presión absoluta no puede ser negativa.
4. Así que el límite es el cero absoluto, o sea una presión manométrica de menos una atmósfera, y en la práctica se llega antes a la tensión de vapor y el agua cavita.

Resolución completa

Una válvula que resuelve un problema y crea otro

El planteamiento es honesto: sin válvula de retención, cada corte de luz vacía el depósito B por gravedad. Con ella, el vaciado se evita. Pero parar dos kilómetros de agua en marcha tiene un precio, y el problema consiste en ponerle número.

a) Rápido o lento, esa es la primera pregunta

a = \frac{9900}{\sqrt{48{,}3 + 0{,}5\cdot 120}} = 951{,}3\ \text{m/s} \qquad v = 4{,}35\ \text{m/s}

El tiempo de ida y vuelta de la onda es $2L/a = 4{,}20$ s y el cierre dura 5. Por ocho décimas de segundo, el cierre es lento y vale Micheaud:

\Delta H = \frac{2\cdot 2000\cdot 4{,}35}{9{,}8\cdot 5} = 355{,}1\ \text{mca}

Con Allievi habrían salido 422. La diferencia entre las dos, 67 mca, la decide un margen de 0,8 s en el cierre de una clapeta que nadie controla: es exactamente el tipo de dato que conviene mirar dos veces.

b) Lo que aguanta el tubo

\sigma = \frac{p\,D}{2e} = \frac{3{,}48\cdot 10^{6}\cdot 0{,}6}{0{,}01} = 209\ \text{MPa} = 2131\ \text{kg/cm}^{2}

Contra los 2600 admisibles, aguanta. Y aguanta también si se cuenta la columna estática: entre B (cota 50) y la válvula (cota 6) hay 44 m, que suben la tensión a 2395 kg/cm². El margen pasa del 18 % al 8 %, así que la respuesta no cambia pero la holgura sí.

Merece la pena ver de dónde sale ese 209 MPa: la relación $D/2e$ vale 60. Una tubería de pared delgada multiplica por sesenta la presión que lleva dentro, y por eso el espesor es lo primero que se calcula.

c) Y el otro lado, que es donde está la trampa

La válvula parte la tubería en dos y les hace cosas opuestas. Aguas arriba —la tubería 2— el agua se detiene contra ella y la presión sube. Aguas abajo —hacia A— el agua que ya había pasado sigue su camino y deja un hueco.

Ese hueco solo se puede llenar bajando la presión, y ahí aparece el límite que no tiene la sobrepresión: la presión absoluta no puede ser negativa. El mínimo teórico es el cero absoluto, o sea

p_{min} = -p_{atm}

en manométrica. Y en la práctica ni siquiera eso: al llegar a la tensión de vapor —unos 0,24 mca a 20 °C— el agua hierve, se forma una bolsa de vapor y la columna se separa. Cuando esa bolsa colapsa, el agua vuelve a juntarse de golpe y produce otro golpe de ariete, esta vez sin ninguna válvula que lo module.

Esa asimetría es la idea que hay que llevarse: el golpe de ariete sube todo lo que haga falta y baja solo hasta cero. Por eso las depresiones dan menos números y más problemas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Régimen variable en tuberías

De qué depende la celeridad

El golpe máximo: Allievi

El ciclo, y por qué el periodo es 4L/a

Cierre lento o rápido: la clasificación lo decide todo

En la frontera no hay salto

El golpe, el tiempo de cierre y la frontera entre las dos fórmulas

Parada de bomba: el tiempo que no se sabía

Cómo se combate

Reconocer el camino

La celeridad en el acero

La sobrepresión en el acero

La sobrepresión en el PVC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad

El cierre en cuatro segundos

El cierre en dos segundos

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La diferencia máxima de meniscos

La velocidad máxima

El periodo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caso incompresible

El caso compresible

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El espesor de la primera vuelta

El golpe de ariete de verdad

El espesor definitivo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad de la onda

El tiempo de cierre para 80 mca

La sobrepresión máxima que esta tubería puede dar

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad

El golpe máximo posible

Reconocer el camino

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El periodo de ida y vuelta

La sobrepresión

La sobrepresión máxima posible

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad

La sobrepresión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad en el PVC

La sobrepresión en el PVC

El tiempo de la válvula neumática

Justificar el argumento

La sobrepresión

Reconocer el camino

La tensión admisible

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad que como mucho se puede admitir

El diámetro comercial

La sobrepresión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad

La variación de presión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad

La sobrepresión del cierre en 2 s

El tiempo para bajar a 100 mca

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La celeridad en el tubo de polietileno

El cierre de 0,2 s

El cierre de 0,01 s

El espesor máximo del tubo de polipropileno