Mecánica de Fluidos · tema 21

Flujo en conductos abiertos. Canales

Chezy y Manning, y por qué la sección que menos cuesta es siempre la que menos perímetro mojado tiene.

Un canal es un conducto abierto: el fluido tiene superficie libre. Eso cambia dos cosas de raíz respecto a todo lo anterior, y de esas dos sale el tema entero.

La presión en la lámina superior es la atmosférica, es decir cero manométrica. Por tanto la línea piezométrica es la superficie del agua.
Lo que mueve el fluido es su propio peso, no una diferencia de presión. En una tubería el motor es el manómetro; aquí es la pendiente.

El tema se limita al régimen normal: permanente y uniforme. Uniforme significa que la sección, el calado y la velocidad son iguales en todas las secciones, y por tanto la solera y la lámina son paralelas. Al calado de ese régimen se le llama altura normal.

La fórmula de Chezy

Sale del mismo balance de fuerzas que Darcy-Weisbach en el tema 18, con dos diferencias: aquí $p_1 = p_2$ —las dos secciones tienen el mismo calado— y aparece el peso como término motor.

\gamma\,A\,L\sin\alpha = \tau_0\,L\,P

Con $\sin\alpha = \Delta z/L$ y dividiendo por el volumen $AL$ :

\frac{\Delta z}{L} = \frac{\tau_0}{\gamma}\,\frac{P}{A} = \frac{\tau_0}{\gamma\,R_H}

Y sustituyendo la tensión de cortadura por la misma expresión de Prandtl que se usó en el tema 18, $\tau_0 = \lambda\rho v^{2}/2$ , y despejando:

\boxed{v = C\sqrt{R_H\,J}} \qquad C = \sqrt{\frac{2g}{\lambda}}

que es la fórmula de Chezy (1870). Y aquí conviene fijar una equivalencia que ahorra confusión: como la solera y la lámina son paralelas,

J = \frac{h_f}{L} = \frac{\Delta z}{L} = \text{la pendiente del canal}

Las tres cosas son la misma. En una tubería, la pendiente geométrica y la pérdida unitaria son cosas distintas; en un canal en régimen normal, no.

Manning

El coeficiente $C$ de Chezy resultó no ser constante en absoluto, y muchos investigadores propusieron expresiones para él. La que se usa hoy casi universalmente es la del irlandés Robert Manning:

C = \frac{R_H^{1/6}}{n}

que sustituida en Chezy da las dos fórmulas de trabajo del tema:

\boxed{\,v = \frac{1}{n}\,R_H^{2/3}\,J^{1/2}\,} \qquad\qquad \boxed{\,Q = \frac{1}{n}\,A\,R_H^{2/3}\,J^{1/2}\,}

con $Q$ en m³/s, $A$ en m², $R_H$ en m y $J$ en m/m. El coeficiente $n$ está tabulado en el cuadro nº 26 de «Cuadros y ábacos».

La n de Manning no es la rugosidad, ni el coeficiente de frotamiento, y tiene dimensiones

Tres coeficientes de rugosidad en dos temas seguidos, y se confunden:

	qué es	dimensiones	rango típico
$\varepsilon$	espesor medio de la rugosidad	longitud	mm
$f$	coeficiente de frotamiento (Darcy)	adimensional	0,01–0,08
$n$	coeficiente de Manning	$TL^{-1/3}$	0,010–0,035

$n$ tiene dimensiones, que es lo raro y lo que hay que recordar. Por eso la fórmula de Manning solo vale con las unidades en las que se tabuló —el SI—, y por eso $n$ no se puede convertir ni comparar con $f$ : son animales distintos.

Que $f$ y $n$ tengan valores numéricos parecidos es una coincidencia desafortunada. Un canal de hormigón en bruto tiene $n = 0{,}015$ ; una tubería semirrugosa, $f = 0{,}022$ . No significan nada parecido.

Y una consecuencia práctica: si la solera es de un material y las paredes de otro, el $n$ que se usa es la media ponderada por la longitud de perímetro mojado de cada uno.

La velocidad no es máxima en la superficie

Un detalle experimental que se pregunta y que sorprende: la velocidad máxima no está en la lámina libre, sino algo por debajo, entre 0,05 y 0,25 de la profundidad. La resistencia del aire y las corrientes secundarias frenan la superficie.

De ahí sale cómo se mide la velocidad media en un cauce real:

con un solo punto, a 0,6 de la profundidad contando desde la superficie;
mejor aún, la media de las medidas a 0,2 y 0,8 de la profundidad.

En cuanto a presiones, al ser las velocidades pequeñas la distribución es hidrostática, y por eso la piezométrica coincide con la superficie libre: $p/\gamma + z$ es la misma para todos los puntos de una sección.

La sección hidráulicamente óptima

Este es el apartado que más cae, y el argumento cabe en tres líneas. Partiendo de Manning y agrupando lo que es constante:

Q = \frac{1}{n}\,\frac{A^{5/3}}{P^{2/3}}\,J^{1/2} \;\Longrightarrow\; \frac{n\,Q}{J^{1/2}} = \frac{A^{5/3}}{P^{2/3}} = \text{cte} \;\Longrightarrow\; A = k\,P^{2/5}

Para un caudal, una pendiente y un material dados, el área es mínima exactamente cuando el perímetro mojado es mínimo. Y eso significa que la sección hidráulicamente óptima es también la más económica: menos área es menos excavación, y menos perímetro es menos revestimiento.

Sección rectangular. Con $A = bh$ y $P = b + 2h$ , se elimina $b$ :

P = \frac{A}{h} + 2h \qquad \frac{\partial P}{\partial h} = -\frac{A}{h^{2}} + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; A = 2h^{2} = bh \;\Longrightarrow\; \boxed{b = 2h}

Es decir, el semicuadrado: la solera es el doble del calado. Y su radio hidráulico sale redondo, $R_H = 2h^{2}/4h = h/2$ , lo que simplifica mucho las cuentas.

Sección trapecial. El mismo procedimiento da el semihexágono regular: taludes a 60° con la horizontal (talud $1{:}\sqrt3$ ) y solera de la misma longitud que cada pared lateral.

Y el caso general, que es el ejercicio 8.1 de la colección: para un trapecio de ángulo $\alpha$ cualquiera, la relación entre la solera $b$ y la longitud $l$ del talud en la sección óptima es

l = \frac{b}{2\,(1-\cos\alpha)}

que con $\alpha = 90°$ da $l = b/2$ —el semicuadrado— y con $\alpha = 60°$ da $l = b$ —el semihexágono—. Las dos son casos particulares de la misma expresión.

Las tres secciones llevan la misma agua. La diferencia está en cuánto contorno mojan, que es lo que las frena y lo que hay que revestir. El semicírculo gana —un 11 % menos de perímetro que el semicuadrado— y por eso es la sección hidráulicamente más favorable que existe. Que casi nunca se construya es cosa de la excavación y del encofrado, no de la hidráulica.

Los tres tipos de problema

Como en el tema 18, lo primero es saber cuál se tiene delante:

	datos	incógnita	cómo
1	sección, calado, $n$ , $J$	$Q$	Manning, directo
2	$Q$ , $n$ , $J$	la sección	muchas soluciones: hay que elegir tipología
3	sección, calado, $n$ , $Q$	$J$	Manning, directo

El primero y el tercero son sustituir. El segundo es el de proyecto y no tiene solución única: hay que fijar la forma. Si no hay condicionantes, se elige la sección óptima y sale directo; si los hay —una anchura máxima, una velocidad máxima, un calado impuesto—, se fija lo que esté impuesto y queda una ecuación en la incógnita restante.

Cuánto cuesta obedecer un condicionante

Leído lo anterior, la sección óptima parece un sitio del que no conviene moverse, y el condicionante, una desgracia. Medido, no es así, y conviene saberlo antes de pelearse con un enunciado.

Con un canal de hormigón de 5 m³/s y pendiente del uno por mil, esto es lo que cuesta apartarse del semicuadrado, en perímetro mojado — que es lo que hay que revestir:

$b/h$	perímetro de más
1	+7,6 %
1,5	+1,3 %
2	la óptima
3	+2,6 %
4	+7,6 %
6	+19,7 %
10	+44,4 %

El óptimo es plano. Entre $b/h = 1{,}5$ y $b/h = 3$ se paga menos de un 3 %, así que un condicionante moderado sale casi gratis: si el enunciado impone una anchura que deja el canal en ese tramo, se acepta y se sigue. Lo que sí se paga es el canal ancho y somero, que además va lento y sedimenta.

La sección de canal, y lo que cuesta no poder usar la óptima

mueve b/h y mira el fondo del valle

solera entre calado, b/h 2,00

caudal 5,0 m³/s

pendiente 1,0 ‰

talud del trapecio 60°

tipología y material

la secciónh = 1,26 m · b = 2,52 mA = 3,17 m² · P = 5,03 m · R = 0,63 m

velocidad1,58 m/sdentro de lo razonable para hormigón

perímetro de más0,0 %estás en la óptima de tu tipología

frente al semicírculo+16,2 %de perímetro, con el mismo caudal

Tres cosas que hacer con él. Pulsar «un canal ancho» para ver el precio del extremo. Cambiar a trapecial y mover el talud, para comprobar que el mínimo está en 60° y que ahí sale el semihexágono. Y ponerlo en semicircular, que no tiene forma que elegir porque ya es la mejor: gana un 14 % de perímetro al semicuadrado a igualdad de caudal.

Ese 14 % y el 11 % que dice el pie de la figura de más arriba no se contradicen: la figura compara las tres secciones a igualdad de área y el simulador a igualdad de caudal, que no es lo mismo. Las dos cifras están medidas en tests/fisica/canales.test.ts.

La berma, o el resguardo, que no es lo mismo que el calado

Un canal real no se construye a ras del agua: se le deja un margen por encima de la lámina para que un caudal mayor del previsto no se salga. Los enunciados lo llaman berma o resguardo, y aparece en siete de las once convocatorias finales y en uno de los cinco parciales — casi siempre como «una berma de 20 cm» o «con sus resguardos».

Tres cosas que hay que tener claras, porque las tres se equivocan:

La berma no moja. No entra ni en el área ni en el perímetro mojado del cálculo de Manning. Solo cambia la altura construida de la sección.
Y por eso una sección óptima con berma ya no es óptima como cajón. Lo óptimo se calcula sobre el agua; la berma se añade después, encima.
Salvo que el enunciado la haga trabajar. Cuando pregunta qué caudal admite el canal si el agua sube hasta el borde, la berma sí moja, y hay que rehacer $A$ y $P$ con el calado nuevo. Es la vuelta de tuerca de la ordinaria de 2026: un canal semicircular dimensionado en verano con una berma de $0{,}22R$ , al que en invierno se le levanta una pared vertical encima, de modo que el agua se come primero el resguardo y después sube todavía 20 cm por encima del diámetro.

Con una berma de altura $b_{r}$ sobre el calado de proyecto $h$ , la sección construida es la de calado $h + b_{r}$ y la de cálculo sigue siendo la de $h$ . Confundirlas es el error que más caudal falso produce en este bloque.

Con la base impuesta, Manning deja una ecuación que no se despeja a mano

Es el caso más frecuente en los enunciados: dan la solera $b$ y piden el calado $h$ . Y ahí Manning deja algo así:

\frac{A^{5/3}}{P^{2/3}} = \frac{n\,Q}{\sqrt J} \qquad\text{con } A = bh,\ P = b + 2h

Elevando al cubo para quitar las raíces queda un polinomio de quinto grado en $h$ . No se despeja. Se resuelve por tanteo o por Newton-Raphson, y eso es lo que espera el enunciado, no un truco algebraico que no existe.

Dos comprobaciones para no perderse en el tanteo:

Más pendiente, menos calado. El agua va más rápida, así que cabe en menos sección. Si al aumentar $J$ te sale más calado, hay un error de signo o de exponente.
Comprueba el resultado hacia atrás. Con el $h$ obtenido, recalcula $Q$ con Manning y mira que dé el del enunciado. Cuesta treinta segundos y caza cualquier fallo de la iteración.

Sección circular parcialmente llena

Una tubería que no va llena —una acequia, un canalón, un colector— es un canal de sección circular, y es el caso desagradable. Con calado $h$ y diámetro $D$ :

\theta = 2\arccos\frac{D/2 - h}{D/2} \qquad A = \frac{D^{2}\theta}{8} - \left(\frac{D}{2}-h\right)\sqrt{h(D-h)} \qquad P = \frac{D\,\theta}{2}

Metido en Manning, eso da una expresión que ocupa dos líneas y no se resuelve a mano en ningún sentido útil. Por eso este caso se hace con ábacos, cuadros o programa, y el temario lo dice con esas palabras.

Lo que no se puede decir es que se deje para después: quince de los veintidós problemas del capítulo de canales son exactamente esto, y se resuelven leyendo dos cuadros. Así que conviene entender qué hay dentro de esos cuadros, que es menos de lo que parece.

Por qué basta un cuadro para todas las tuberías

Si divides el caudal a calado $h$ entre el que llevaría la misma tubería llena, el diámetro, el material y la pendiente se cancelan:

\frac{Q}{Q_{ll}} = \frac{\theta-\operatorname{sen}\theta}{2\pi} \left(1-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}\right)^{2/3} \qquad \frac{V}{V_{ll}} = \left(1-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}\right)^{2/3}

Las dos dependen solo de $h/D$ . Por eso un único cuadro sirve para una acequia de PVC de 25 cm y para un colector de hormigón de metro y medio, y por eso el procedimiento de todos estos problemas es siempre el mismo: se calcula $Q_{ll}$ , que sí es una cuenta directa porque $R_{ll} = D/4$ , se forma la razón $Q/Q_{ll}$ , y se entra al cuadro a buscar $h/D$ y $V/V_{ll}$ .

Hay un punto de control que se puede hacer de cabeza y conviene usar: a media tubería el área es la mitad y el radio hidráulico es el mismo que lleno —se van la mitad del área y la mitad del perímetro—, así que la velocidad no cambia y el caudal se parte exactamente por dos. Si tu cuadro no dice $0{,}5$ y $1$ en $h/D = 0{,}5$ , lo estás leyendo mal.

Creer que llena es cuando más lleva

El caudal máximo no está a sección llena: está en $h/D \approx 0{,}938$ , y vale un 7,6 % más que lleno. La razón es geométrica: en el último tramo el perímetro mojado crece más deprisa que el área, así que el radio hidráulico baja y con él la velocidad. La velocidad máxima llega antes todavía, sobre $h/D \approx 0{,}81$ , y es un 14 % mayor que a sección llena.

No es una curiosidad. Un colector dimensionado para ir exactamente lleno está apoyado en un punto donde subir el nivel baja el caudal: no tiene margen, tiene una inestabilidad. Por eso los enunciados imponen bermas —«el nivel no debe superar el 38 % del diámetro», «berma mínima del 15 %»— y no piden nunca llenar el tubo.

Y una unidad que aparece aquí y en ningún otro sitio: la milésima. Es la pendiente en mm/m, o lo que es lo mismo en m/km. Una pendiente de $1\ \text{milésima}$ es $J = 10^{-3}$ . Se usa porque las pendientes de los canales son diminutas y escribirlas en tanto por uno llena de ceros el enunciado.

El régimen: cuándo el canal va lento y cuándo va rápido

Todo lo anterior calcula cuánto lleva el canal. Falta la otra pregunta, que es la que el examen hace sin nombrarla: en qué régimen va.

Una tubería llena no tiene superficie libre y por eso esta pregunta no existe en ella. Un canal sí, y una superficie libre admite ondas: si tiras una piedra se forman círculos que avanzan a una velocidad que depende del calado. Que esas ondas puedan o no remontar la corriente es lo que separa los dos regímenes, y el número que lo mide es el de Froude.

Los apuntes de la Escuela lo escriben así:

Fr = \frac{v^{2}}{g\,L} \qquad\text{con}\qquad L = \frac{A}{B}

donde $B$ es la anchura de la lámina libre, así que $L$ es el calado medio —en un canal rectangular, el calado a secas—.

La otra definición de Froude, la que llevan casi todos los libros

Muchos textos definen $Fr = v/\sqrt{gL}$ , que es la raíz cuadrada de este. El criterio no cambia, porque los dos valen 1 en el punto crítico, pero los números sí: donde con la definición de la Escuela sale 1,92, con la otra sale 1,39.

Así que el valor de Froude solo significa algo si dices con qué definición lo has calculado. En el examen, la de arriba.

Y con él, los tres casos:

		qué significa
$Fr < 1$	subcrítico, o lento	las ondas remontan: lo de aguas abajo se nota aguas arriba
$Fr = 1$	crítico	la frontera, y el punto de mínima energía para ese caudal
$Fr > 1$	supercrítico, o rápido	las ondas no remontan: aguas arriba no se entera de nada

El calado crítico dice lo mismo con otras palabras

En vez de calcular $Fr$ se puede comparar el calado con el que tendría el mismo caudal en régimen crítico. Para un canal rectangular de anchura $b$ :

h_c = \sqrt[3]{\frac{Q^{2}}{g\,b^{2}}}

Si $h > h_c$ , subcrítico; si $h < h_c$ , supercrítico. Es exactamente la misma afirmación que $Fr$ menor o mayor que uno, y conviene saber hacerla por los dos caminos porque el enunciado elige uno y la comprobación se hace con el otro.

Un ejemplo con los números del problema 8.22 de la colección, que es donde esto cae: un canal rectangular de 1 m de anchura con $Q = 1{,}046$ m³/s tiene $h_c = 0{,}482$ m. En su primer tramo el agua va a 0,500 m de calado —por encima, subcrítico, $Fr = 0{,}89$ — y al doblarse la pendiente baja a 0,387 m —por debajo, supercrítico, $Fr = 1{,}92$ —. Los dos criterios dicen lo mismo y cambian de lado en el mismo sitio.

Y lo que pasa al volver

Un canal puede pasar de lento a rápido sin más que empinarse, y eso es lo que hace el del ejemplo. Al revés no: para volver de supercrítico a subcrítico el agua no puede frenar poco a poco, y lo que aparece es un resalto hidráulico, un frente turbulento donde la lámina sube de golpe y se disipa una parte de la energía. Es el fenómeno que hay debajo de casi todos los cuencos amortiguadores de una presa.

Aquí se nombra para que sepas que existe y de dónde sale, no para calcularlo: ninguno de los problemas del material lo pide, y por eso este apartado se queda en el criterio de régimen, que sí cae.

Practica lo que acabas de leer

El semicuadrado, y cuánto se gana de verdad con él

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

El semicuadrado, y cuánto se gana de verdad con él

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se quiere conducir $3\ \text{m}^{3}/\text{s}$ por un canal rectangular de hormigón en bruto ( $n = 0{,}015$ ) con una pendiente de 1 milésima.

a) Calcular el calado y la solera de la sección hidráulicamente óptima.

b) Calcular la velocidad del agua.

c) Si esa misma sección se construyera con el doble de pendiente, ¿qué caudal transportaría?

Las dimensiones de la sección óptima, su velocidad y el caudal con doble pendiente.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la sección de mínimo perímetro mojado es también la de mínima área?
02
El calado óptimo
COMP2
¿Cuál es el calado de la sección óptima?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad
COMP2
¿A qué velocidad circula el agua?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Con el doble de pendiente
COMP2
Manteniendo la misma sección, ¿qué caudal llevaría con $J = 2$ milésimas?
Tu respuesta al paso 4un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción, que es la que cayó en junio de 2023. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De Manning, $A^{5/3}/P^{2/3}$ es constante para $Q$ , $n$ y $J$ dados, luego $A = kP^{2/5}$ : el área es mínima cuando lo es el perímetro.
2. En un rectángulo, eliminando la solera queda $P = A/h + 2h$ , y anulando la derivada respecto al calado sale $A = 2h^{2}$ .
3. Como $A = bh$ , eso significa $b = 2h$ : la sección óptima es el semicuadrado, con $R_H = h/2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.2 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Diseñar un canal para doce metros cúbicos por segundo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea diseñar un canal de sección rectangular, con una pendiente de $0{,}5$ milésimas, $Q = 12\ \text{m}^{3}/\text{s}$ y material hormigón en bruto ( $n = 0{,}015$ ), donde la velocidad del agua no supere los $2\ \text{m/s}$ .

a) Calcular la base $b$ , para el caso de sección hidráulicamente óptima ( $b = 2h$ ).

b) Calcular la altura $H$ , con una berma del 15 %.

c) Comprobar el condicionante de la velocidad.

d) Si la canalización, en un tramo importante, toma una pendiente mayor (1 milésima), calcular la nueva profundidad $h$ del agua en el canal.

La base, la altura total con berma, la comprobación de velocidad y el nuevo calado.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el apartado d) la pendiente se duplica y la solera sigue siendo la misma. ¿Qué le pasa al calado?
02
La base de la sección óptima
COMP2
¿Cuánto mide la solera?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura total con berma
COMP2
Con una berma del 15 %, ¿qué altura hay que darle al canal?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El nuevo calado con doble pendiente
COMP2
Con $J = 1$ milésima y la misma solera de 4 m, ¿cuál es el calado?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La sección óptima sale de $A R_H^{2/3} = nQ/\sqrt J = 8{,}05$ con $A = 2h^{2}$ y $R_H = h/2$ : da $h = 2$ m y $b = 4$ m.
2. Con la berma del 15 % el canal se construye de 2,3 m de altura, y la velocidad, $12/8 = 1{,}5$ m/s, cumple el límite de 2 m/s.
3. Al duplicar la pendiente con la misma solera queda un polinomio de quinto grado en $h$ , que por tanteo da 1,556 m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.1 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La sección trapecial que menos perímetro gasta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la relación entre la solera «b» y la longitud «l» en un canal de sección trapezoidal de ángulo $\theta$ , para obtener la sección hidráulicamente óptima, es decir aquella sección que para transportar un determinado caudal Q, en un canal de pendiente J y material n, necesita menos Área y menos Perímetro mojado.

Menos perímetro para la misma área significa menos rozamiento con las paredes: por eso la sección óptima es la que más caudal lleva con la misma excavación.

La relación b/l de la sección hidráulicamente óptima.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la sección que menos perímetro mojado tiene, para un área dada, es la que más caudal lleva?
02
La solera óptima frente al talud
COMP2
En la sección óptima con $\theta$ = 60º —la más habitual en canales de tierra—, ¿cuánto vale la relación $b/l$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio hidráulico de la sección óptima
COMP2
Cociente $R_h/y$ de cualquier sección trapecial óptima, sea cual sea su ángulo.
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el área fija, el caudal de Manning es máximo cuando el perímetro mojado es mínimo, porque Rh = A/P.
2. Escribiendo P en función del calado con A constante y derivando, sale b = 2y(√(1+m²) − m).
3. Dividiendo esa solera entre la longitud del talud queda b/l = 2(1 − cos θ), que con 60º vale 1: medio hexágono regular.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.3 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El diámetro que impone una condición de calado

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desean conducir 120 l/s de agua con una pendiente de 1 milésima.

a) Elegir el diámetro de la tubería de hormigón centrifugado ( $n = 0{,}015$ ) para que se cumpla la relación $h_c/D \le 0{,}75$ . Diámetros disponibles: 40, 45, 50 y 60 cm.

b) Calcular el calado $h_c$ y la relación $h_c/D$ .

El diámetro comercial, el calado y la relación de calado que resulta.

01
Reconocer el camino
COMP1
La condición está sobre el calado y lo que se elige es el diámetro. ¿Cómo se pasa de una cosa a la otra?
02
El caudal a sección llena mínimo
COMP2
Con $h_c/D = 0{,}75$ el cuadro da $Q_c/Q_{ll} = 0{,}91$ . Si la tubería tiene que llevar 120 l/s sin pasar de ahí, ¿cuál es el $Q_{ll}$ mínimo, en l/s?
Tu respuesta al paso 2el caudal a sección llena, en l/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro
COMP2
¿Cuál es el diámetro comercial más pequeño cuyo $Q_{ll}$ llega a 131,9 l/s, con $n = 0{,}015$ y $J = 1$ milésima? Da el diámetro en cm.
Tu respuesta al paso 3el diámetro en cm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El calado que resulta
COMP2
Con $D = 60$ cm, la razón real es $Q_c/Q_{ll} = 120/168{,}3 = 0{,}713$ , que el cuadro traduce en $h_c/D = 0{,}624$ . ¿Cuál es el calado, en cm?
Tu respuesta al paso 4el calado en cm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La condición se da sobre el calado, así que lo primero es traducirla a caudal: $h_c/D = 0{,}75$ es $Q_c/Q_{ll} = 0{,}91$ .
2. De ahí sale la capacidad mínima que se le pide a la tubería: $Q_{ll} \ge 120/0{,}91 = 131{,}9$ l/s.
3. De los cuatro diámetros disponibles solo el de 60 cm la alcanza —168,3 l/s—, así que ese es el elegido.
4. Y con él la condición se cumple de sobra: el calado real queda en 0,62 del diámetro, trece puntos por debajo del límite.

$D$	$Q_{ll}$
40 cm	57,1 l/s
45 cm	78,1 l/s
50 cm	103,5 l/s
60 cm	168,3 l/s

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.4 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El calado que sale de una razón, no de un despeje

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un canal de sección circular de diámetro 0,8 m está construido de un material con un coeficiente de Manning $n = 0{,}020$ y conduce 200 l/s. Calcular la altura de calado y la velocidad si la pendiente de la solera es 1 por 1200.

El calado de la lámina de agua y la velocidad del flujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Manning da el caudal a partir del calado. Aquí te dan el caudal y piden el calado. ¿Por qué no se despeja y ya está?
02
El caudal a sección llena
COMP2
El primer paso es el único que sí es directo: ¿cuánto llevaría esta tubería llena? Recuerda que el radio hidráulico de un círculo lleno es $D/4$ . Da el resultado en l/s.
Tu respuesta al paso 2el caudal a sección llena, en l/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El calado
COMP2
La razón $Q_c/Q_{ll}$ vale 0,806. Entrando con ella en el cuadro de sección circular sale $h_c/D = 0{,}68$ . ¿Cuál es el calado, en metros?
Tu respuesta al paso 3el calado en metros — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La velocidad
COMP2
El mismo cuadro da $V_c/V_{ll} = 1{,}11$ para ese calado. ¿Cuál es la velocidad del flujo, en m/s?
Tu respuesta al paso 4la velocidad en m/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento de por qué el cuadro sirve para cualquier tubería. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El caudal a calado $h$ y el caudal a sección llena se calculan los dos con Manning, con la misma $n$ y la misma $J$ .
2. Al dividir el uno entre el otro, $n$ y $\sqrt{J}$ se cancelan, y el diámetro también: lo que queda depende únicamente de $h/D$ .
3. Por eso una sola curva vale para una acequia de 25 cm de PVC y para un colector de hormigón de metro y medio, y por eso el procedimiento es siempre el mismo: calcular $Q_{ll}$ , formar la razón, entrar al cuadro.
4. Y hay un punto que se puede comprobar de cabeza: a media tubería el radio hidráulico es el mismo que lleno, así que la velocidad no cambia y el caudal es exactamente la mitad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.5 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El colector de Gros, y por qué lleva una media caña

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea conocer el funcionamiento del colector de la figura, que recoge las aguas negras y de lluvia del barrio de Gros. La pendiente del colector J es de 3,5 milésimas y el coeficiente de Manning n = 0,013. Se pide:

a) Caudal máximo total (l/s) que puede transportar el colector sin entrar en carga.

b) Caudal máximo (l/s) que puede transportar la sección semicircular (media caña).

c) En hora punta (14 horas), en un momento en que no llueve, se sabe que el colector transporta 8 l/s de aguas negras (residuales). Calcular el calado $h_c$ y la velocidad del flujo V.

Un cajón de 0,5 por 0,6 con una media caña de 10 cm de radio labrada en el fondo. Cuando no llueve, el agua negra circula solo por ella; cuando llueve, el cajón entero trabaja.

El caudal máximo del colector, el de la media caña sola, y el calado y la velocidad con 8 l/s.

01
Reconocer el camino
COMP1
El colector podría haberse hecho con el fondo plano. ¿Para qué sirve labrarle una media caña?
02
El caudal máximo del colector
COMP2
Caudal máximo que el colector puede transportar sin entrar en carga, en l/s. La sección es el cajón de 0,5 × 0,6 m más la media caña de 10 cm de radio.
Tu respuesta al paso 2un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal de la media caña
COMP2
Caudal máximo que puede transportar la media caña sola, en l/s.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El calado en hora punta
COMP2
Calado $h_c$ cuando el colector lleva los 8 l/s de aguas negras, en centímetros. La media caña es la mitad inferior de un círculo de 200 mm.
Tu respuesta al paso 4un calado con su unidad (cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La velocidad en hora punta
COMP2
Velocidad del flujo con esos 8 l/s, en m/s.
Tu respuesta al paso 5una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio del colector. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A sección completa, el área es la del cajón más la de la media caña, y el perímetro incluye el arco, la banqueta y las dos paredes.
2. La media caña llena lleva 9,7 l/s, porque su radio hidráulico es R/2 igual que el de una tubería llena de diámetro D es D/4.
3. Con 8 l/s el agua no llena la media caña: hay que tantear el calado en la sección circular parcial.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.6 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Del canal rectangular al túnel circular

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El canal rectangular que se muestra en la figura cambia a una tubería circular de diámetro D a medida que atraviesa un túnel en una montaña. Determinar el diámetro D si el material y la pendiente permanecen iguales y el flujo debe llenar completamente la tubería.

El mismo caudal, el mismo material y la misma pendiente: lo único que cambia es la forma. Y la forma decide cuánto perímetro hay que mojar para llevar la misma agua.

El diámetro de la tubería en función de la anchura del canal.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si el material, la pendiente y el caudal son los mismos en las dos secciones, ¿qué magnitud tiene que coincidir?
02
El factor de sección del canal
COMP2
Valor de $A\,R_h^{2/3}$ del canal rectangular, cuya anchura es $b$ y cuyo calado es $b/2$ . Se pide el coeficiente que multiplica a $b$ elevado a ocho tercios.
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El diámetro del túnel
COMP2
Diámetro D de la tubería: el coeficiente que multiplica a $b$ .
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con n y J comunes, igualar caudales es igualar el factor de sección A·Rh^(2/3).
2. El canal rectangular de anchura b y calado b/2 tiene Rh = b/4, y la tubería llena también tiene Rh = D/4: los cuatros se cancelan.
3. Queda b^(8/3)/2 = πD^(8/3)/4, y de ahí D = b(2/π)^(3/8) = 0,844 b.

Resolución completa

Lo que se conserva. Con el mismo material y la misma pendiente, la fórmula de Manning se reduce a igualar el factor de sección:

Q = \frac{1}{n}A\,R_h^{2/3}\sqrt{J} \;\Longrightarrow\; A_{canal}\,R_{h,canal}^{2/3} = A_{tubo}\,R_{h,tubo}^{2/3}

Los dos factores. El canal rectangular de anchura $b$ y calado $b/2$ es, además, el rectángulo hidráulicamente óptimo: su perímetro mojado es $b + 2(b/2) = 2b$ y su radio hidráulico $b/4$ . La tubería llena tiene $R_h = D/4$ . Los cuatros se cancelan:

\frac{b^{2}}{2}\,b^{2/3} = \frac{\pi D^{2}}{4}\,D^{2/3} \;\Longrightarrow\; D = b\left(\frac{2}{\pi}\right)^{3/8} = 0{,}844\,b

Por qué el túnel necesita más sección, y no menos. El diámetro sale menor que $b$ , pero el área no: $0{,}559\,b^{2}$ frente a $0{,}5\,b^{2}$ , un 12 % más. El agua va un 11 % más despacio, y la razón es el radio hidráulico: $0{,}211\,b$ en la tubería contra $0{,}25\,b$ en el canal.

Y eso, que parece contradecir la fama del círculo, tiene una explicación de una línea: un canal abierto tiene una lámina libre que no roza. Su perímetro mojado son $2b$ para $0{,}5b^{2}$ de área; el de la tubería llena, $2{,}65\,b$ para $0{,}56\,b^{2}$ . Por metro cuadrado de agua, la tubería moja un 18 % más de pared. El círculo es la forma óptima entre las cerradas; en cuanto se permite una superficie libre, el canal gana.

Y la advertencia que este problema deja pendiente. La tubería está calculada para ir exactamente llena, y ese es el punto de funcionamiento más incómodo que existe: un poco más de caudal y entra en carga —deja de ser un canal—, y un poco menos y baja al régimen de sección parcial, donde curiosamente lleva más caudal que llena. Un túnel así se diseña siempre con resguardo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.7 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal rectangular y la media caña, con los mismos datos

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un canal rectangular de cemento sin acabado (coeficiente de Manning $n = 0{,}014$ ) tiene $2{,}5\ \text{m}$ de ancho. La pendiente de la solera es de $1{,}5$ milésimas. Se pide:

a) Calado o altura del agua para un caudal de $6\ \text{m}^{3}/\text{s}$ .

b) Si la sección del canal fuese semicircular y fuese a sección llena, calcular el diámetro.

c) ¿Cuál de las dos opciones es mejor? ¿Por qué?

El calado del canal rectangular, el diámetro del semicircular y cuál conviene.

01
Reconocer el camino
COMP1
En Manning, $Q = \frac{1}{n}A\,R_H^{2/3}\sqrt{J}$ . ¿Qué es $R_H$ en un canal rectangular con el agua a calado $h$ ?
02
El calado del canal rectangular
COMP2
¿Qué calado alcanza el agua con $6\ \text{m}^{3}/\text{s}$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro de la media caña
COMP2
¿Qué diámetro necesita la sección semicircular a sección llena?
Tu respuesta al paso 3un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Cuánto se ahorra con la media caña
COMP2
¿Qué porcentaje de perímetro mojado ahorra la media caña respecto del rectángulo? (solo el número)
Tu respuesta al paso 4un porcentaje, solo el número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el mismo material, la misma pendiente y el mismo caudal, el rectángulo necesita 3,00 m² de sección y 4,90 m de perímetro mojado.
2. La media caña de 2,68 m necesita 2,83 m² y 4,21 m: un 6 % menos de área y un 14 % menos de perímetro.
3. Menos perímetro es menos rozamiento y menos área es menos excavación y menos hormigón, así que la media caña es mejor por las dos razones a la vez.

$h$	$A$	$P$	$R_H$	$Q$
1,00	2,50	4,50	0,556	4,66
1,20	3,00	4,90	0,612	5,99
1,21	3,03	4,92	0,615	6,06

Resolución completa

a) El calado. Manning con $A = 2{,}5h$ y $P = 2{,}5 + 2h$ no se despeja: hay que iterar. Con $h = 1{,}2$ m sale $Q = 5{,}99$ m³/s, que es el caudal pedido.

b) El diámetro. A sección llena el semicírculo deja todo en función de $D$ , porque $A = \pi D^{2}/8$ y $R_H = D/4$ :

Q = 0{,}4311\,D^{8/3} = 6 \;\Longrightarrow\; D = 2{,}68\ \text{m}

Aquí sí hay despeje directo, y es la razón de que las secciones circulares se calculen más rápido que las rectangulares.

c) Cuál es mejor, con números.

	área	perímetro mojado	$R_H$
rectángulo $2{,}5\times 1{,}2$	3,00 m²	4,90 m	0,612 m
media caña $D = 2{,}68$	2,83 m²	4,21 m	0,670 m

La media caña gana en las tres columnas: menos área —menos excavación y menos material—, menos perímetro —menos rozamiento— y más radio hidráulico, que es la otra cara de lo mismo.

Y el detalle que hace honesta la comparación. El rectángulo del enunciado está prácticamente en su óptimo: la sección rectangular óptima cumple $b = 2h$ , y aquí $2{,}5 \approx 2\cdot 1{,}2$ . Así que no se está comparando el semicírculo con un rectángulo mal hecho, sino con el mejor rectángulo posible. El 14 % de ahorro es real y es el techo de lo que se puede ganar cambiando la forma.

Por qué entonces se siguen haciendo canales rectangulares. Porque un encofrado plano es mucho más barato que una media caña de dos metros y medio de diámetro, y porque un rectángulo se limpia con una pala. El 14 % hidráulico se paga en obra, y esa es una decisión que el cálculo no toma.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.8 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La acequia de PVC, y la condición que no decide nada

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diseñar una acequia semicircular de PVC, que con una pendiente de 16 milésimas tenga una capacidad hidráulica de 230 l/s. Es necesaria una berma mínima del 15 % del diámetro. La velocidad de circulación no puede ser superior a 3,5 m/s. Diámetros comerciales: 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70 y 80 cm.

El coeficiente de Manning del PVC es $n = 0{,}009$ .

El diámetro comercial, la velocidad de circulación y la relación de calado.

01
Reconocer el camino
COMP1
La acequia es semicircular: media caña, no un tubo entero. ¿Qué significa entonces «berma mínima del 15 % del diámetro»?
02
El diámetro comercial
COMP2
Al 35 % del calado una sección circular lleva el 26,3 % de su caudal a sección llena. ¿Cuál es el diámetro comercial más pequeño que transporta 230 l/s cumpliendo la berma? Da el diámetro en cm.
Tu respuesta al paso 2el diámetro en cm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad
COMP2
Con $D = 60$ cm y $h/D = 0{,}303$ , ¿cuál es la velocidad de circulación, en m/s?
Tu respuesta al paso 3la velocidad en m/s — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
El enunciado impone dos condiciones. Ordena lo que se puede decir sobre ellas. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La berma es la que decide: obliga a que el calado no pase del 35 % del diámetro, y eso descarta los cuatro diámetros que van de 35 a 50 cm aunque los cuatro tengan capacidad de sobra.
2. El límite de velocidad, en cambio, no descarta ninguno: los cinco diámetros que llevan los 230 l/s lo hacen entre 3,12 y 3,17 m/s, todos por debajo de 3,5.
3. Y esa constancia tiene explicación: al subir el diámetro sube la velocidad a sección llena, pero baja el calado relativo y con él la razón $V/V_{ll}$ . Los dos efectos casi se cancelan.
4. Así que la respuesta al diseño es 60 cm por la berma, y el límite de velocidad hay que comprobarlo igual — pero saber que no manda ahorra volver atrás.

$D$	$Q_{ll}$	$h/D$ que resulta	¿berma?
35 cm	267 l/s	0,717	no
40 cm	381 l/s	0,561	no
45 cm	521 l/s	0,465	no
50 cm	690 l/s	0,398	no
60 cm	1122 l/s	0,307	sí

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.9 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Dimensionar la media caña, y volver atrás a por el calado

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar el diámetro de un canal semicircular, de hormigón en bruto (coeficiente de Manning $n = 0{,}015$ ). El caudal $Q = 2\ \text{m}^{3}/\text{s}$ . La pendiente del canal es $J = 8$ milésimas. Los diámetros comerciales van de 100 en 100 mm. Una vez seleccionado el diámetro, calcular el calado y la velocidad del flujo.

El diámetro comercial, y el calado y la velocidad reales con ese diámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se dimensiona a sección llena y sale un diámetro; se redondea al comercial superior. ¿Por qué hay que volver a calcular el calado?
02
El diámetro a sección llena
COMP2
¿Qué diámetro llenaría exactamente la media caña con $2\ \text{m}^{3}/\text{s}$ ?
Tu respuesta al paso 2un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal que cabe en el tubo elegido
COMP2
Con $D = 1{,}4\ \text{m}$ , ¿qué caudal llevaría la media caña a sección llena?
Tu respuesta al paso 3un caudal, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El calado real
COMP2
¿A qué calado circulan los $2\ \text{m}^{3}/\text{s}$ ?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La velocidad real
COMP2
¿A qué velocidad circula el agua?
Tu respuesta al paso 5una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A sección llena harían falta 1,33 m, y como los comerciales van de 100 en 100 mm se instala el de 1,4.
2. Con 1,4 m la media caña admite 2,28 m³/s, un 14 % más de lo necesario, así que los 2 m³/s no la llenan.
3. Entrando en el cuadro n.º 27 con $Q_c/Q_{\text{ll}} = 2/4{,}56 = 0{,}44$ salen $h_c = 0{,}65$ m y $v_c = 2{,}87$ m/s.

Resolución completa

La secuencia, que es la del tema entero. Dimensionar a sección llena → redondear al comercial → volver atrás y calcular el calado real. El tercer paso es el que se olvida, y es el que da la respuesta que se pregunta.

1 · El diámetro. A sección llena todo queda en $D$ :

Q = \frac{1}{n}\,\frac{\pi D^{2}}{8}\left(\frac{D}{4}\right)^{2/3} \sqrt{J} = 0{,}9293\,D^{8/3} = 2 \;\Longrightarrow\; D = 1{,}33\ \text{m}

Comercial: 1,4 m, con el que caben 2,28 m³/s.

2 · El calado. Aquí entra el cuadro n.º 27, y hay que leerlo con cuidado: sus relaciones están referidas a la tubería a sección llena, no a la media caña. Y resulta que $Q_{\text{tubería llena}} = 2\,Q_{\text{media caña llena}}$ exactamente, porque al cerrar el círculo el área se dobla y el radio hidráulico — $D/4$ en los dos casos— no cambia. Así que la referencia es 4,56 m³/s:

\frac{Q_c}{Q_{\text{ll}}} = 0{,}44 \;\Longrightarrow\; \frac{h_c}{D} = 0{,}464,\quad \frac{v_c}{v_{\text{ll}}} = 0{,}968

h_c = 0{,}65\ \text{m} \qquad v_c = 2{,}87\ \text{m/s}

3 · La comprobación, que no cuesta nada. El área mojada a 0,65 m es un segmento circular de 0,70 m², y $2/0{,}70 = 2{,}87$ m/s. Los dos caminos coinciden, lo que dice que el cuadro se ha leído bien.

Lo que hay que llevarse. De los 2,28 m³/s que caben se usan 2, un 88 %, y con eso el agua sube al 46 % del diámetro. La relación entre caudal y calado no es proporcional ni de lejos: en una sección circular el último tramo de altura aporta muchísimo caudal, porque es donde la sección es más ancha. Ese es todo el contenido del cuadro n.º 27, y es la razón de que exista.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.10 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un colector, y la zanja que lo cuadruplica

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea diseñar un colector de aguas para una ciudad del medio oeste americano. La pendiente del colector es de 2 milésimas y el coeficiente de Manning es de 0,017. La sección transversal es la sección trapezoidal representada en la figura (a). Se pide:

a) Calcular la altura H con un margen de seguridad del 30 %, si se desea transportar un caudal de diseño máximo de 1800 l/s.

Figura (a). Solera de 3 m, paredes a 60 grados y el agua de diseño a siete décimas de la altura de la pared. Está dibujada a escala: un colector de este caudal es ancho y poco profundo.

Debido a los problemas de inundaciones vividos los últimos años, se decidió realizar una zanja en la parte central del canal para incorporar un volumen semicilíndrico al canal.

b) Se desea conocer el máximo caudal a transportar.

Figura (b). La misma sección con una media caña de 1 m de radio excavada en el centro de la solera, y el agua ya al borde. La línea de puntos es la solera de antes.

La altura H de las paredes con el resguardo del 30 %, y el caudal máximo una vez excavada la media caña.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide H «con un margen de seguridad del 30 %». En la figura (a) el agua está acotada a 0,7H. ¿Qué hay que hacer con ese 30 %?
02
La altura de la pared
COMP2
Altura total H de las paredes. La solera mide 3 m, los taludes forman 60° con la horizontal, J = 0,002 y n = 0,017.
Tu respuesta al paso 2una longitud con su unidad (mm, cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal con la media caña
COMP2
Caudal máximo, en m³/s, una vez excavada la media caña de 1 m de radio en el centro de la solera y con el agua al borde de las paredes.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (m³/s o l/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué la zanja multiplica el caudal por 2,2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La media caña añade 1,571 m² de área —un 77 % más— y solo 1,14 m de perímetro mojado —un 26 % más—, porque el arco sustituye a 2 m de solera que ya estaban mojados.
2. Con más área y menos rozamiento por metro cuadrado, $R_H$ pasa de 0,463 a 0,651 m: un 41 % más.
3. En Manning el caudal va con $A\,R_H^{2/3}$ , así que las dos mejoras se multiplican: $1{,}77 \cdot 1{,}405^{2/3} = 2{,}22$ .
4. Una zanja rectangular de 2 m de ancho con esa misma área daría 6,79 m³/s, un 5 % menos: la media caña es la forma que más área encierra por metro de perímetro.

Resolución completa

El resguardo no es agua

Lo primero que hay que leer bien es la figura: el agua de diseño está acotada a 0,7H, y H es la pared entera. Ese 30 % de arriba es aire —el resguardo, el margen de seguridad—, y no transporta nada. Así que el cálculo va en dos tiempos: primero el calado que mueve los 1800 l/s, después la pared que lo deja a siete décimas.

Con solera $b = 3$ m y taludes a 60° medidos desde la horizontal, cada pared se abre $y/\tan 60°$ y moja $y/\sin 60°$ :

A = 3y + \frac{y^{2}}{\sqrt 3} \qquad P = 3 + \frac{4y}{\sqrt 3}

Manning con $n = 0{,}017$ y $J = 0{,}002$ no se despeja: se tantea. Sale $y = 0{,}4265$ m, y con él $A = 1{,}3845$ m², $P = 3{,}9849$ m, $R_H = 0{,}3474$ m y $v = 1{,}30$ m/s.

H = \frac{0{,}4265}{0{,}7} = 609{,}28\ \text{mm}

Fíjate en la proporción, que la figura respeta: 3 m de solera contra 61 cm de pared. Un colector de este caudal es una bandeja, no un pozo.

Tres caudales, no dos

El apartado b) parece un problema nuevo y en realidad es el mismo canal en su tercer estado. Conviene ponerlos en fila:

	calado	A [m²]	P [m]	$R_H$ [m]	Q [m³/s]
Diseño, con resguardo	0,4265	1,384	3,985	0,347	1,80
Al borde, sin zanja	0,6093	2,042	4,407	0,463	3,22
Al borde, con zanja	0,6093 + 1	3,613	5,549	0,651	7,14

Renunciar al resguardo ya casi duplica el caudal: 3,22 m³/s. Es lo que pasa el día de la inundación, y por eso el resguardo no es un lujo. La zanja lo duplica otra vez.

Por qué la media caña rinde tanto

Excavar la media caña añade $\pi R^{2}/2 = 1{,}571$ m² de área, un 77 % más. Y de perímetro mojado añade solo $\pi R - 2R = 1{,}14$ m, un 26 %, porque el arco sustituye a los 2 m de solera plana que ya estaban mojados de todas formas. Área que crece mucho, rozamiento que crece poco: eso es exactamente lo que mide el radio hidráulico, y pasa de 0,463 a 0,651 m.

Los dos efectos se multiplican en Manning:

\frac{Q_b}{Q_a} = \frac{A_b}{A_a}\left(\frac{R_{H,b}}{R_{H,a}}\right)^{2/3} = 1{,}77 \cdot 1{,}405^{2/3} = 2{,}22

y $3{,}217 \cdot 2{,}22 = 7{,}14$ m³/s.

La forma importa, y se puede medir: una zanja rectangular de 2 m de ancho con esa misma área de 1,571 m² —o sea 78,5 cm de honda— tendría que mojar 2 m de fondo y 1,57 m de paredes, y daría 6,79 m³/s. Un 5 % menos con la misma excavación, por haber elegido mal la forma. Es la misma idea del canal hidráulicamente óptimo: de todas las secciones con un área dada, el semicírculo es la de menor perímetro.

Lo que hay que mirar antes de firmar

La velocidad máxima queda en 1,98 m/s. Está por encima del mínimo de autolimpieza que se exige en saneamiento y muy por debajo de lo que erosiona el hormigón, así que la sección vale. Si hubiera salido disparada, la zanja habría resuelto la inundación creando otro problema.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.11 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Cinco secciones y una tabla a medio llenar

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Conocidos los siguientes datos para canales de igual material, pendiente y caudal, definir y justificar cuál de las secciones de la tabla es la sección hidráulicamente óptima.

	$R_H$ [m]	A [m²]	P [m]	v [m/s]
Sección 1		3,629
Sección 2	0,737		4,633
Sección 3	0,674
Sección 4	0,711	3,501
Sección 5			5,800	1,605

Con el mismo caudal, material y pendiente, las cinco secciones caen en una sola curva descendente: más perímetro, menos radio hidráulico. La mejor es la que está más arriba y más a la izquierda.

Cuál de las cinco secciones es la hidráulicamente óptima, y por qué.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las cinco secciones llevan el mismo caudal con el mismo material y la misma pendiente. ¿Qué magnitud es igual en todas?
02
El factor de sección común
COMP2
Valor del factor de sección $A\,R_H^{2/3}$ , común a las cinco. La sección 2 tiene $R_H$ = 0,737 m y P = 4,633 m.
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El caudal que llevan todas
COMP2
Caudal común, en m³/s. La sección 5 tiene P = 5,800 m y v = 1,605 m/s.
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (m³/s o l/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El perímetro de la sección 4
COMP2
Perímetro mojado de la sección 4, en metros. Tiene $R_H$ = 0,711 m y A = 3,501 m².
Tu respuesta al paso 4una longitud con su unidad (m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La velocidad de la sección óptima
COMP2
Velocidad en la sección 2, en m/s.
Tu respuesta al paso 5una velocidad con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con n, J y Q comunes, el factor de sección A·RH^(2/3) es el mismo en las cinco, y con RH = A/P la tabla se completa entera.
2. La sección 2 resulta tener a la vez el mayor radio hidráulico, la menor área, el menor perímetro y la mayor velocidad: es la óptima por los cuatro criterios a la vez.
3. Las secciones 1 y 3 salen prácticamente iguales —RH de 0,673 y 0,674, áreas de 3,629 y 3,626—, lo que confirma que el método es consistente.

Resolución completa

Lo que hace resoluble la tabla. Con el mismo material, la misma pendiente y el mismo caudal, la fórmula de Manning deja una sola cantidad común:

Q = \frac{1}{n}A\,R_H^{2/3}\sqrt J \;\Longrightarrow\; A\,R_H^{2/3} = \frac{Q\,n}{\sqrt J} = \text{constante}

Con eso y con $R_H = A/P$ , cada fila se completa a partir de un solo dato.

El factor de sección sale de la fila 2, que trae dos datos:

A_2 = 0{,}737 \cdot 4{,}633 = 3{,}415 \qquad A_2R_H^{2/3} = 2{,}786

y la fila 4 lo confirma: $3{,}501 \cdot 0{,}711^{2/3} = 2{,}789$ .

La tabla completa, con $Q = 6{,}00$ m³/s deducido de la fila 5:

	$R_H$ [m]	A [m²]	P [m]	v [m/s]
Sección 1	0,673	3,629	5,391	1,653
Sección 2	0,737	3,415	4,633	1,757
Sección 3	0,674	3,626	5,380	1,655
Sección 4	0,711	3,501	4,924	1,714
Sección 5	0,644	3,737	5,800	1,605

La respuesta. La sección 2 es la hidráulicamente óptima, y lo es por los cuatro criterios a la vez: mayor radio hidráulico, menor área, menor perímetro mojado y mayor velocidad. No es casualidad que coincidan: con el factor de sección fijo, más radio hidráulico obliga a menos área, y menos área con más radio obliga a menos perímetro.

Dos comprobaciones que conviene hacer siempre. La primera: las secciones 1 y 3 salen prácticamente idénticas, lo que dice que los datos de partida son consistentes entre sí. La segunda, y es la que da sentido al problema: entre la mejor y la peor de las cinco hay un 25 % más de perímetro para el mismo servicio. Eso es un 25 % más de revestimiento y de mantenimiento en toda la longitud del canal, que en obra hidráulica es la partida que decide.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.12 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La acequia con el nivel limitado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diseñar un canal semicircular, de madera sin cepillar, con una pendiente de 10 milésimas, para que pueda transportar un caudal de 400 l/s. El nivel de agua no debe superar el 38 % del diámetro. Calcular el nivel de agua $h$ y la velocidad del flujo $v_c$ . Diámetros comerciales: 70, 80, 90, 100, 110 y 120 cm.

El coeficiente de Manning de la madera sin cepillar es $n = 0{,}013$ .

El diámetro comercial, el nivel de agua y la velocidad del flujo.

01
Reconocer el camino
COMP1
«El nivel de agua no debe superar el 38 % del diámetro.» ¿Qué papel juega esa frase en el diseño?
02
El diámetro comercial
COMP2
Al 38 % del calado, una tubería lleva el 30,6 % de lo que llevaría llena. ¿Cuál es el diámetro comercial más pequeño que transporta los 400 l/s en esas condiciones? Da el diámetro en cm.
Tu respuesta al paso 2el diámetro en cm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El nivel de agua y la velocidad
COMP2
Con $D = 80$ cm la razón real es $Q_c/Q_{ll} = 400/1322 = 0{,}3026$ , que corresponde a $h/D = 0{,}377$ . ¿Cuál es el nivel de agua, en metros?
Tu respuesta al paso 3el nivel de agua en metros — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del diseño. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La condición de nivel convierte el problema: no basta con que el tubo pueda llevar 400 l/s, tiene que llevarlos sin pasar del 38 % de su altura.
2. Al 38 % del calado una tubería circular lleva solo el 30,6 % de su caudal a sección llena, así que hace falta una capacidad de $400/0{,}306 = 1307$ l/s.
3. El menor diámetro comercial que la alcanza es el de 80 cm, con 1322 l/s a sección llena.
4. Con él, el nivel real queda en 30 cm —el 37,7 % del diámetro, justo por debajo del límite— y la velocidad en 2,30 m/s.

$D$	$Q_{ll}$	al 38 % del calado
70 cm	926 l/s	284 l/s
80 cm	1322 l/s	405 l/s
90 cm	1810 l/s	555 l/s

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.13 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La óptima, la media caña, cuál es mejor, y el calado real

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un canal rectangular de hormigón acabado tiene una pendiente de 2 milésimas y lleva un caudal de $5\ \text{m}^{3}/\text{s}$ .

a) Calcular la altura de calado si la sección es la hidráulicamente óptima.

b) Si la sección del canal fuese semicircular y fuese a sección llena, calcular el diámetro.

c) ¿Cuál de las dos opciones es hidráulicamente mejor? ¿Por qué?

d) Suponiendo un diámetro $D = 2{,}5\ \text{m}$ para la sección semicircular, y si el caudal se reduce a $3\ \text{m}^{3}/\text{s}$ , calcular el calado $h_c$ y la velocidad del flujo $v_c$ .

El calado óptimo, el diámetro equivalente, cuál conviene y el calado real con 3 m³/s.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la sección rectangular hidráulicamente óptima, ¿cuánto vale el radio hidráulico en función del calado?
02
El calado de la sección óptima
COMP2
¿Qué calado tiene el canal rectangular óptimo?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El diámetro de la media caña
COMP2
¿Qué diámetro necesitaría la sección semicircular a sección llena?
Tu respuesta al paso 3un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El calado con el caudal reducido
COMP2
Con $D = 2{,}5\ \text{m}$ y solo $3\ \text{m}^{3}/\text{s}$ , ¿a qué calado circula el agua?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La velocidad con el caudal reducido
COMP2
¿Y a qué velocidad?
Tu respuesta al paso 5una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La óptima rectangular es $2{,}05\times 1{,}02$ : área $2{,}10\ \text{m}^{2}$ y perímetro mojado $4{,}10$ m.
2. La media caña equivalente tiene $D = 2{,}24$ m: área $1{,}97\ \text{m}^{2}$ y perímetro mojado $3{,}52$ m.
3. La semicircular gana en las dos, así que es hidráulicamente mejor: menos perímetro es menos rozamiento y menos área es menos obra.

Resolución completa

a) La óptima rectangular. Con $A = 2h^{2}$ y $R_H = h/2$ , Manning deja una sola incógnita:

h = 1{,}024\ \text{m} \qquad b = 2{,}048\ \text{m}

b) La media caña equivalente. $D = 2{,}242$ m.

c) Cuál es mejor.

	área	perímetro mojado	$R_H$
rectángulo óptimo	2,10 m²	4,10 m	0,512 m
media caña	1,97 m²	3,52 m	0,561 m

El semicírculo gana un 6 % de área y un 14 % de perímetro. Y la comparación es honesta porque el rectángulo está en su óptimo: el semicírculo no le gana a un rectángulo mal hecho, le gana al mejor rectángulo que existe. Es la sección hidráulicamente óptima absoluta, y la razón es la misma por la que la pompa de jabón es esférica: encierra el máximo de área con el mínimo de contorno.

d) El apartado que cambia de pregunta. Aquí el canal ya está construido — $D = 2{,}5$ m, más grande que los 2,24 necesarios— y el caudal ha bajado a 3 m³/s. La sección deja de estar llena y hay que ir al cuadro n.º 27, con la tubería llena como referencia:

\frac{Q_c}{Q_{\text{ll}}} = \frac{3}{13{,}37} = 0{,}224 \;\Longrightarrow\; h_c = 0{,}80\ \text{m} \qquad v_c = 2{,}20\ \text{m/s}

Y el número que hay que mirar. El caudal ha bajado un 55 % respecto del de sección llena y la velocidad solo un 19 %. Esa es la propiedad que hace insustituibles a las secciones circulares en saneamiento: el colector que se dimensiona para la tormenta sigue arrastrando los sólidos el día que solo lleva aguas negras.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.14 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El colector de Vitoria, y su cuneta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea diseñar un canal o colector de aguas fluviales y de aguas fecales domésticas para la ciudad de Vitoria-Gasteiz. La pendiente del colector es de 3,2 milésimas y el coeficiente de Manning es de 0,015. La sección transversal es la representada en la figura. Se pide:

a) Calcular la altura H con un margen de seguridad del 30 %, si se desea transportar un caudal de diseño máximo de pluviales + domésticas de 1100 l/s.

b) En caso de No lluvia, se desea conocer el máximo caudal de aguas fecales a transportar, sabiendo que solamente se llena la sección central inferior (Y = 0).

Tres tramos de 0,6 m, con el central rebajado 0,3 m: esa es la cuneta. Cuando no llueve el agua circula solo por ella, y su lámina coincide con el nivel de las banquetas. Está dibujada a escala.

La altura H de las paredes con el resguardo del 30 %, y el caudal de fecales que lleva la cuneta sola.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Para qué se rebaja el tramo central de la solera en vez de dejarla plana de lado a lado?
02
La altura de la pared
COMP2
Altura H, medida desde el nivel de las banquetas. El agua de diseño llega a Y = 0,7H, J = 0,0032 y n = 0,015.
Tu respuesta al paso 2una longitud con su unidad (mm, cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El caudal de fecales
COMP2
Caudal máximo de aguas fecales, en l/s, cuando no llueve y solo va llena la cuneta central (Y = 0).
Tu respuesta al paso 3un caudal con su unidad (l/s o m³/s) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena para qué sirve la cuneta. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sin lluvia el agua llena solo la cuneta: 0,6 m de ancho por 0,3 de hondo, con A = 0,18 m² y P = 1,2 m.
2. Ese radio hidráulico, 0,15 m, da 191,64 l/s a 1,06 m/s: calado suficiente y velocidad suficiente.
3. Los mismos 191,64 l/s repartidos sobre una solera plana de 1,8 m irían a 12,4 cm de calado y 0,86 m/s, por debajo del umbral de autolimpieza que se exige en saneamiento.
4. Y en tormenta la cuneta ni estorba ni ayuda mucho: para los mismos 1100 l/s hacen falta 0,985 m² de sección excavada con ella y 0,996 m² sin ella.

Resolución completa

Dos caudales, una sección

Un colector unitario recoge dos cosas muy distintas por el mismo tubo. Las fecales domésticas llegan todos los días y son pocas; la lluvia llega de vez en cuando y es mucha. Aquí la relación es de 1100 a 192, casi seis a uno, y la sección tiene que servir a las dos.

La de tormenta manda el tamaño; la de fecales manda la forma del fondo.

a) La altura, con el resguardo puesto

El agua de diseño llega a $Y = 0{,}7H$ : el 30 % de arriba es resguardo, aire. Con el agua por encima de las banquetas la cuneta va llena y suma su área entera:

A = 1{,}8\,Y + 0{,}18 \qquad P = 2Y + 2{,}4

El perímetro merece un segundo de atención. El recorrido del fondo son 2,4 m y no depende del calado: 0,6 de banqueta, 0,3 de escalón, 0,6 de cuneta, 0,3 de escalón y 0,6 de banqueta. Contarlo como 1,8 m es el error más frecuente de esta sección, y deja la pared en 390 mm.

Tanteando Manning con $n = 0{,}015$ y $J = 0{,}0032$ hasta los 1100 l/s: $Y = 0{,}3131$ m, $A = 0{,}7435$ m², $P = 3{,}0262$ m, $R_H = 0{,}2457$ m, $v = 1{,}48$ m/s. Y la pared:

H = \frac{0{,}3131}{0{,}7} = 0{,}447\ \text{m}

b) El día que no llueve

Con Y = 0 el agua llega justo al filo de las banquetas y no las moja. La sección mojada es la cuneta y nada más:

A = 0{,}18\ \text{m}^{2} \qquad P = 0{,}6 + 2\cdot 0{,}3 = 1{,}2\ \text{m} \qquad R_H = 0{,}15\ \text{m}

Q = \frac{1}{0{,}015}\cdot 0{,}18\cdot 0{,}15^{2/3}\cdot \sqrt{0{,}0032} = 191{,}64\ \text{l/s}

Por qué el escalón, medido

La tentación es pensar que la cuneta está ahí para llevar más agua. Se puede comprobar, y no es eso. Comparemos la sección escalonada con una solera plana de 1,8 m, las dos dimensionadas para los mismos 1100 l/s:

	calado	A [m²]	P [m]	$R_H$ [m]	H [m]	excavación
Con cuneta	0,313	0,744	3,026	0,246	0,447	0,985 m²
Solera plana	0,387	0,697	2,574	0,271	0,553	0,996 m²

Empate. La cuneta ahorra 11 cm de pared y los gasta en 0,18 m² de zanja: el hoyo total es prácticamente el mismo. Hidráulicamente incluso pierde, porque el escalón añade 0,6 m de perímetro mojado y baja el radio hidráulico de 0,271 a 0,246 m.

Lo que gana está en el otro extremo del rango. Los 191,64 l/s de fecales repartidos sobre 1,8 m de solera plana irían a 12,4 cm de calado y 0,86 m/s; concentrados en la cuneta van a 30 cm y 1,06 m/s. La diferencia entre esas dos velocidades es la diferencia entre un colector que se limpia solo y uno que hay que ir a limpiar.

Y esa es la lección que se repite en todo el capítulo: el caudal máximo decide el tamaño de la sección, pero el caudal mínimo decide su forma.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.15 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal en V, donde no hay fórmula que recordar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un canal abierto en forma de V, siendo el ángulo $90°$ , transporta $45\ \text{l/s}$ cuando la profundidad es de $h = 230\ \text{mm}$ . Calcular la pendiente del canal en milésimas.

Dato: coeficiente de Manning $n = 0{,}013$ .

La pendiente del canal, en milésimas.

01
Reconocer el camino
COMP1
En una V de $90°$ con el vértice abajo y calado $h$ , ¿cuánto valen el área y el perímetro mojados?
02
El radio hidráulico
COMP2
¿Cuánto vale $R_H$ con $h = 230\ \text{mm}$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La pendiente
COMP2
¿Cuál es la pendiente del canal, en milésimas? (solo el número)
Tu respuesta al paso 3un número en milésimas, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $90°$ de abertura, $A = h^{2} = 0{,}0529$ m² y $P = 2h\sqrt2 = 0{,}65$ m.
2. El radio hidráulico es $h/(2\sqrt2) = 0{,}081$ m, apenas un tercio del calado.
3. De ahí $v = 0{,}85$ m/s y una pendiente de 3,47 milésimas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.16 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La acequia del foso, y el 70 % de qué

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Mediante un canal semicircular de madera cepillada, cuya pendiente es 5 milésimas, se desea suministrar un caudal de $6\ \text{m}^{3}/\text{s}$ de agua al foso que rodea un castillo. Calcular el diámetro exacto del canal para que el calado sea como máximo el $70\ \%$ del radio.

Dato: madera cepillada, $n = 0{,}012$ (cuadro n.º 26).

El diámetro exacto del canal.

01
Reconocer el camino
COMP1
«El calado será como máximo el 70 % del radio». ¿Qué fracción del diámetro es eso, y cuánto se llena la media caña?
02
El diámetro
COMP2
¿Qué diámetro exacto hace falta?
Tu respuesta al paso 2un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. «El 70 % del radio» es $h = 0{,}35\,D$ : la media caña va a siete décimas de su altura útil y deja tres de berma.
2. Con esa relación, el segmento mojado da $A = 0{,}2447\,D^{2}$ y $R_H = 0{,}1933\,D$ .
3. Manning deja todo en $D^{8/3}$ y sale $D = 2{,}57$ m; a sección llena habrían bastado 2,02.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.17 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Un canal para el verano y para el invierno

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea diseñar un canal de tierra para recoger las aguas de lluvia en un parque fluvial. La pendiente del canal es de 2,3 milésimas y la sección transversal está compuesta por una sección trapezoidal con talud H/V = 1,5/1 y una sección central semicircular, tal y como se presenta en la figura. Se pide:

a) En verano, se desea que el canal sea transitable en las secciones laterales, de forma que solo se transporte agua por la sección central semicircular (media caña). Si el caudal de diseño estival es de 200 l/s, ¿cuál deberá ser el diámetro comercial del canal semicircular? ¿Y cuál será el calado?

b) Calcular la altura L con un resguardo del 30 % si el caudal punta en otoño-invierno es de 30 m³/s.

Nota: los diámetros comerciales son cada 5 cm.

Arriba, la sección entera a escala: casi dieciocho metros de ancho por poco más de dos de hondo, con la media caña convertida en una muesca. Abajo, esa muesca ampliada, con el agua del verano.

El diámetro comercial de la media caña y su calado en verano, y la altura L con el resguardo del 30 % para el caudal de invierno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Una media caña llena justo hasta el diámetro y un tubo circular completo del mismo diámetro, con el mismo material y la misma pendiente. ¿Qué caudal lleva cada uno?
02
El diámetro comercial
COMP2
Diámetro comercial de la media caña —los hay cada 5 cm— para que lleve los 200 l/s del verano sin desbordar a las banquetas. El canal es de tierra, y el Cuadro nº 26 de la Escuela le asigna n = 0,026.
Tu respuesta al paso 2un diámetro con su unidad (cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El calado del verano
COMP2
Calado en la media caña de 90 cm con los 200 l/s del verano.
Tu respuesta al paso 3un calado con su unidad (cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La altura de la pared
COMP2
Altura L de las paredes, con el resguardo del 30 %, para los 30 m³/s del invierno. La solera son 6 m + D + 6 m y los taludes son 1,5 en horizontal por 1 en vertical.
Tu respuesta al paso 4una altura con su unidad (m o cm) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué la sección tiene esa forma. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En verano los 200 l/s caben enteros en la media caña de 90 cm, con 42,8 cm de calado: las banquetas quedan secas y el parque es transitable.
2. En invierno los 30 m³/s son 150 veces más, ocupan 16,74 m² y suben 1,13 m por encima de las banquetas, que quedan bajo el agua.
3. La media caña aporta entonces 0,318 m² de esos 16,74: un 2 % escaso. En invierno da casi igual que esté.
4. Por eso cada apartado dimensiona una cosa distinta: el caudal de verano fija D, y el de invierno fija L.

Resolución completa

Un canal con dos vidas

Este canal tiene que hacer dos cosas incompatibles. En verano el parque se pasea: los 200 l/s que baja el arroyo deben ir por un hilo estrecho y las banquetas tienen que estar secas. En invierno bajan 30 m³/s —150 veces más— y el canal entero es cauce. La solución es la sección compuesta: una media caña para el estiaje y un trapecio de dieciocho metros para la avenida.

El material es tierra, y el Cuadro nº 26 de la Escuela le asigna n = 0,026. Ese dato no está en el enunciado: hay que ir a buscarlo.

a) La media caña, dimensionada por el verano

El tope de una media caña es llenarse hasta el diámetro. Ahí $A = \pi R^{2}/2$ y $P = \pi R$ , de modo que $R_H = R/2 = D/4$ — el mismo radio hidráulico que el tubo entero, y por eso la media caña lleva exactamente la mitad que él.

D	Q a media caña llena
80 cm	158,5 l/s
85 cm	186,4 l/s
90 cm	217,0 l/s

La de 85 no llega a 200: se desbordaría a las banquetas. D = 90 cm.

Y el calado se saca del Cuadro nº 27, que va referido a la sección llena del tubo entero: $Q_{ll} = 434$ l/s, luego $Q_c/Q_{ll} = 0{,}46$ y $h_c/D = 0{,}476$ , es decir $h_c = 42{,}84$ cm. A mano, resolviendo la sección circular parcialmente llena, salen 42,90 cm: un 0,1 % de diferencia, que es lo que cabe en leer una tabla.

Merece la pena mirar lo que significa: 42,84 de 45 cm de radio. La media caña de 90 cm va al 95 % de su capacidad en verano. No es holgura, es lo justo — y eso pasa siempre que se elige el primer diámetro comercial que cumple.

b) La pared, dimensionada por el invierno

Con el agua por encima de las banquetas la sección es el trapecio entero más la media caña llena:

A = 12{,}9\,Y + 1{,}5\,Y^{2} + 0{,}318 \qquad P = 13{,}414 + 3{,}606\,Y

Los 12 m de banqueta y el arco de la media caña no dependen del calado; lo que crece con Y son las dos paredes inclinadas, y cada metro de calado moja 1,803 m de talud, no 1 m.

Tanteando hasta 30 m³/s: $Y = 1{,}125$ m, $A = 16{,}74$ m², $P = 17{,}47$ m, $R_H = 0{,}958$ m, $v = 1{,}79$ m/s. Con el resguardo del 30 %:

L = \frac{1{,}125}{0{,}7} = 1{,}61\ \text{m}

La media caña en invierno no pinta nada

Es la comprobación que cierra el problema. En la sección de invierno la media caña aporta 0,318 m² de los 16,74: un 1,9 %. Si se hubiera diseñado sin ella, la altura de pared saldría 1,62 m en vez de 1,61.

Dicho de otro modo: el apartado a) y el apartado b) son dos problemas distintos que comparten una figura. El caudal mínimo dimensiona la forma del fondo; el máximo dimensiona el tamaño de la sección. Y la prueba de que es así es que cada uno ignora al otro: la media caña no le importa al invierno, y el trapecio no existe para el verano.

Los números del régimen también son otros: 0,67 m/s en verano contra 1,79 en invierno, con la misma pendiente y el mismo material. Lo único que ha cambiado es el radio hidráulico, de 0,22 a 0,96 m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.18 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La pendiente que se deduce del calado

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Por un canal de arena, de sección circular y 1,6 m de diámetro, discurre un caudal de agua de 3,7 m³/s. El calado del flujo es de 1,12 m. Se pide:

a) Calcular la pendiente exacta del canal en milésimas y la velocidad del flujo.

En otro punto de la instalación se pretende instalar un canal con la sección hidráulicamente óptima rectangular, con una pendiente de 5 milésimas. El caudal de agua y el material del canal se mantienen igual que en el apartado anterior. Se pide:

b) Calcular las dimensiones de la sección transversal del canal.

El coeficiente de Manning de la arena es $n = 0{,}020$ .

La pendiente y la velocidad del canal circular, y las dimensiones del rectángulo óptimo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Este problema no se resuelve con el cuadro de razones, aunque el canal sea circular. ¿Por qué?
02
El radio hidráulico
COMP2
Con $D = 1{,}6$ m y $h = 1{,}12$ m, el ángulo mojado es $\theta = 2\arccos(1-2h/D) = 3{,}965$ rad. ¿Cuánto vale el radio hidráulico, en metros?
Tu respuesta al paso 2el radio hidráulico en metros — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La pendiente
COMP2
Despeja $J$ de Manning y da la pendiente en milésimas.
Tu respuesta al paso 3la pendiente en milésimas, o sea en mm/m — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La solera del rectángulo óptimo
COMP2
El apartado b) cambia a sección rectangular hidráulicamente óptima, con $J = 5$ milésimas, mismo caudal y mismo material. ¿Cuánto mide la solera $b$ , en metros?
Tu respuesta al paso 4la solera en metros — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comparación entre las dos secciones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El canal circular lleva 3,7 m³/s a 2,46 m/s con una pendiente de 6,56 milésimas y un área mojada de 1,503 m².
2. El rectángulo óptimo lleva el mismo caudal con una pendiente menor —5 milésimas— y una sección de 1,866 × 0,933 m, es decir 1,741 m².
3. Es decir: el rectángulo mueve el mismo caudal con menos pendiente, y a cambio necesita más sección y va más despacio —2,13 m/s frente a 2,46—. Menos desnivel se paga con más excavación, y esa es la elección real.
4. Y eso deja claro que «hidráulicamente óptima» no significa «la mejor de todas las secciones»: significa la mejor dentro de su tipología. El rectángulo óptimo sigue siendo peor que un semicírculo.

Resolución completa

Dos secciones, y el cuadro no hace falta en ninguna.

a) El canal circular. El calado es dato, así que la geometría es directa. Con $y = h/D = 0{,}70$ :

\theta = 2\arccos(1-2y) = 3{,}965\ \text{rad} \qquad A = \frac{D^{2}}{8}(\theta-\operatorname{sen}\theta) = 1{,}503\ \text{m}^{2} \qquad P = \frac{D\theta}{2} = 3{,}172\ \text{m}

R = 0{,}474\ \text{m} \qquad \sqrt{J} = \frac{Qn}{AR^{2/3}} = 0{,}0810 \qquad J = 6{,}56\ \text{milésimas}

V = \frac{Q}{A} = 2{,}46\ \text{m/s}

b) El rectángulo óptimo. $b = 2h$ , $R = h/2$ , y Manning con $J = 5$ milésimas:

3{,}7 = \frac{2h^{2}}{0{,}020}\left(\frac{h}{2}\right)^{2/3}\sqrt{0{,}005} \;\Longrightarrow\; h = 0{,}933\ \text{m} \qquad b = 1{,}866\ \text{m}

Lo que compara el problema sin decirlo. Los dos llevan 3,7 m³/s, y así quedan:

	pendiente	área	velocidad
circular, $D = 1{,}6$ m	6,56 milésimas	1,503 m²	2,46 m/s
rectángulo óptimo	5 milésimas	1,741 m²	2,13 m/s

El rectángulo se conforma con menos pendiente y a cambio pide más sección. No es una casualidad ni una contradicción: menos pendiente es menos empuje, menos velocidad, y para el mismo caudal eso obliga a más área. La elección real es esa — desnivel de terreno contra volumen de excavación—, y ningún criterio hidráulico la decide solo.

Y una advertencia sobre la palabra «óptima». Es óptima entre los rectángulos, no entre todas las formas. La forma que menos perímetro mojado tiene para un área dada es siempre el semicírculo, y por eso los enunciados que buscan de verdad lo mejor piden media caña. «Óptima» aquí es una condición de forma, como decir «cuadrado»: no es un superlativo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.19 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

Bajar la pendiente, o cambiar de material

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se desea diseñar un canal circular de hormigón en bruto ( $n = 0{,}015$ ), con una pendiente de 5 milésimas, para que por él circule un caudal de agua de 50 l/s. Se pide:

a) Determinar el diámetro del canal si los diámetros comerciales van de 5 en 5 cm.

b) Calcular la altura de calado de la lámina de agua.

c) Si el canal fuera semicircular, determinar la pendiente del canal para que transportara el mismo caudal (50 l/s).

d) Si la pendiente obtenida se considera demasiado grande, ¿qué coeficiente de Manning se debería emplear en el diseño del canal para reducir dicha pendiente? ¿Por qué? Opciones: $n = 0{,}009$ o $n = 0{,}035$ .

El diámetro comercial, el calado, y qué material baja la pendiente.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado a) no impone ninguna condición de calado ni de velocidad. ¿Qué criterio queda entonces para elegir el diámetro?
02
El diámetro
COMP2
¿Cuál es el diámetro comercial más pequeño que lleva 50 l/s a sección llena, con $n = 0{,}015$ y $J = 5$ milésimas? Da el diámetro en cm.
Tu respuesta al paso 2el diámetro en cm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El calado
COMP2
Con $D = 30$ cm la razón es $Q_c/Q_{ll} = 50/59{,}3 = 0{,}844$ , que corresponde a $h_c/D = 0{,}702$ . ¿Cuál es el calado, en cm?
Tu respuesta al paso 3el calado en cm — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Responde al apartado d). Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En Manning, $Q = (1/n)\,A\,R^{2/3}\sqrt{J}$ : para un caudal y una geometría fijos, $\sqrt{J}$ es proporcional a $n$ .
2. Así que reducir la pendiente exige reducir la $n$ : hay que elegir el material más liso, y entre las dos opciones ese es $n = 0{,}009$ .
3. El efecto no es pequeño: como $J$ va con $n^{2}$ , pasar de 0,015 a 0,009 divide la pendiente necesaria por 2,8.
4. Y tiene sentido físico directo: un canal más liso opone menos rozamiento, así que necesita menos desnivel para que el agua baje a la velocidad que hace falta.

Resolución completa

a) y b) · El diámetro y el calado.

Sin condición de nivel, el criterio es el mínimo que quepa:

$D$	$Q_{ll}$
20 cm	20,1 l/s
25 cm	36,4 l/s
30 cm	59,3 l/s

\frac{Q_c}{Q_{ll}} = \frac{50}{59{,}3} = 0{,}844 \;\longrightarrow\; \frac{h_c}{D} = 0{,}702 \;\longrightarrow\; h_c = 21{,}06\ \text{cm}

c) · La pendiente de la sección semicircular. Una media caña que va llena tiene $A = \pi D^{2}/8$ y $R = D/4$ , así que con el mismo diámetro de 30 cm:

\sqrt{J} = \frac{Q\,n}{A\,R^{2/3}} = \frac{0{,}050\cdot 0{,}015}{0{,}03534\cdot 0{,}075^{2/3}} = 0{,}1193 \;\Longrightarrow\; J = 14{,}2\ \text{milésimas}

Una discrepancia con el boletín, dicha en voz alta. El resultado publicado para este apartado es 15 milésimas, y la cuenta directa da 14,2 — un 5 % de diferencia. No se ha tocado ningún dato para hacerla desaparecer. La explicación más probable es un redondeo al alza a un valor de obra, pero es una suposición y como tal queda dicha: si comparas cifra a cifra con el boletín, la diferencia está aquí y no en tu cuenta.

El salto sí es real e importante: de 5 milésimas a más de 14. La media caña necesita casi el triple de pendiente para el mismo caudal, porque a igualdad de diámetro tiene la mitad de área.

d) · Qué material. Con caudal y geometría fijos, $\sqrt{J} \propto n$ , luego $J \propto n^{2}$ :

$n$	$J$ necesaria
0,009	5,1 milésimas
0,015	14,2 milésimas
0,035	77 milésimas

$n = 0{,}009$ , el más liso. Y el efecto es enorme porque va al cuadrado: elegir bien el material puede ahorrar más desnivel que cualquier ajuste de sección.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.20 · Colección de Problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal de desagüe, y elegir las tres variables a la vez

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El agua turbinada en una central del Pirineo se descarga al canal de desagüe, para devolverla al río. El canal es de hormigón en bruto, de sección rectangular y de $1\ \text{m}$ de ancho. El caudal es $1{,}25\ \text{m}^{3}/\text{s}$ . Se pide:

a) Pendiente de la solera del canal (milésimas), para que el calado sea de $0{,}5\ \text{m}$ .

b) Velocidad del agua en el canal.

c) El canal es antiguo y está en mal estado, por lo que se ha decidido renovarlo. Se puede elegir el material, la pendiente (9, 15 ó 20 milésimas) y la sección transversal del canal. Elegir de forma justificada las tres variables para que la velocidad del agua en el canal sea máxima. Calcular dicha velocidad máxima.

Materiales disponibles (cuadro n.º 26): hormigón acabado 0,012; hormigón en bruto 0,015; arena 0,020; mampostería 0,026; tierra 0,026; tierra con piedras o hierba 0,035; piedras 0,037; rocas medias 0,042; rocas grandes 0,060.

La pendiente y la velocidad actuales, y las tres elecciones que hacen máxima la velocidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $v = \frac{1}{n}R_H^{2/3}\sqrt{J}$ , ¿hacia dónde hay que mover cada variable para que la velocidad sea máxima?
02
La velocidad actual
COMP2
Con $1\ \text{m}$ de ancho y $0{,}5\ \text{m}$ de calado, ¿a qué velocidad va el agua?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La pendiente actual
COMP2
¿Qué pendiente tiene la solera, en milésimas? (solo el número)
Tu respuesta al paso 3un número en milésimas, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El diámetro del canal renovado
COMP2
Con hormigón acabado, 20 milésimas de pendiente y sección semicircular a sección llena, ¿qué diámetro hace falta?
Tu respuesta al paso 4un diámetro, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La velocidad máxima
COMP2
¿Cuál es entonces la velocidad máxima alcanzable?
Tu respuesta al paso 5una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la justificación del apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El coeficiente de Manning está en el denominador, así que se elige el material más liso disponible: hormigón acabado, $n = 0{,}012$ .
2. La pendiente entra bajo raíz en el numerador, así que se elige la mayor de las tres ofrecidas: 20 milésimas.
3. Y la sección se elige por su radio hidráulico, que es máximo en la hidráulicamente óptima; entre todas las formas, la óptima absoluta es el semicírculo.

Resolución completa

a) y b), que van al revés de como parece. El calado y el ancho dan el área, y el área con el caudal da la velocidad sin usar Manning: $v = 1{,}25/0{,}5 = 2{,}5$ m/s. Solo entonces se entra en Manning, con $v$ conocida, para despejar la pendiente:

R_H = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25\ \text{m} \qquad J = \left(\frac{2{,}5\cdot 0{,}015}{0{,}25^{2/3}}\right)^{2} = 8{,}93\ \text{milésimas}

El orden importa: quien empieza por Manning se encuentra con dos incógnitas y se atasca.

c) Las tres elecciones, una por término. La fórmula $v = \frac{1}{n}R_H^{2/3}\sqrt J$ tiene tres factores y cada variable toca uno solo, así que se decide por separado:

variable	dónde entra	elección
material	$1/n$	hormigón acabado, $n = 0{,}012$
pendiente	$\sqrt J$	20 milésimas, la mayor ofrecida
sección	$R_H^{2/3}$	semicircular, la óptima absoluta

Y entonces se dimensiona: $D = 0{,}866$ m, $A = 0{,}294$ m², y

v = \frac{1{,}25}{0{,}294} = 4{,}25\ \text{m/s}

Cuánto aporta cada decisión, que es lo que el ejercicio no dice y conviene ver. Se parte del canal original y se cambia una cosa cada vez, redimensionando el calado para que sigan pasando los mismos 1,25 m³/s:

	$n$	$J$ (‰)	sección	$v$ (m/s)
original	0,015	8,93	rect. $1\times 0{,}50$	2,50
+ pendiente	0,015	20	rect. $1\times 0{,}37$	3,36
+ material	0,012	20	rect. $1\times 0{,}32$	3,95
+ sección	0,012	20	media caña $D = 0{,}87$	4,25

La pendiente es la palanca más fuerte —vale ella sola tanto como las otras dos juntas— y es también la única que muchas veces no se puede elegir: la marca el terreno. La forma es la que menos aporta, un 8 %, y es la más cara de construir. Ese orden es el que hay que tener en la cabeza antes de optimizar nada.

Y el aviso que este ejercicio no pide pero un proyecto sí. Cuatro metros y cuarto por segundo en hormigón es mucho: el límite habitual para no erosionar anda entre 2 y 3 m/s en hormigón corriente. El enunciado pide maximizar la velocidad como ejercicio de manejo de la fórmula; en obra, la pregunta suele ser la contraria — cómo mantenerla por debajo de un tope sin que el canal sedimente.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.21 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

El canal que se dimensiona con el mes más seco

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tiene un canal de hormigón acabado, como el indicado en la figura, compuesto por una parte inferior semi-circular y una parte superior trapezoidal, y una pendiente de 10 milésimas. El gráfico adjunto representa la variabilidad estacional del caudal que circulará por dicho canal.

a) Deducir el diámetro (cm) que deberá tener la parte semi-circular inferior para que el caudal mínimo estacional lo llene completamente.

b) Diámetro comercial a instalar.

c) Altura H (m) para que en el máximo estacional se tenga una berma de seguridad del 15 %, una vez instalada la parte semi-circular comercial.

Dato: los diámetros comerciales están disponibles cada 25 cm.

La variabilidad estacional del caudal, redibujada punto a punto del gráfico del boletín. Los dos valores que dimensionan el canal están en los extremos de la curva.

Media caña abajo, dos banquetas de sesenta centímetros y las paredes a 35 grados. Está dibujada a escala con el diámetro comercial ya instalado y el agua del máximo estacional.

El diámetro exacto de la media caña, el comercial a instalar y la altura H con la berma del 15 %.

01
Reconocer el camino
COMP1
El apartado a) dimensiona la media caña con el caudal mínimo del año. ¿Por qué con el mínimo y no con el máximo?
02
El diámetro exacto de la media caña
COMP2
Diámetro que hace que el caudal mínimo estacional —el que se lee en el gráfico— llene la media caña justo hasta el diámetro. Hormigón acabado, n = 0,012 en el Cuadro nº 26, y J = 10 milésimas.
Tu respuesta al paso 2un diámetro con su unidad (cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La altura de la pared
COMP2
Altura H, con la berma de seguridad del 15 %, para el máximo estacional y con la media caña comercial de 175 cm ya instalada. Las banquetas son de 0,6 m y las paredes forman 35° con la horizontal.
Tu respuesta al paso 3una altura con su unidad (cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lógica del dimensionamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El mínimo del año, 5000 l/s, llena justo la media caña: ese es su punto de diseño, y sale D = 165,79 cm.
2. Como los diámetros van de 25 en 25 cm hay que subir a 175, y con ese diámetro el mes más seco ya no la llena: se queda en 80 cm de calado sobre los 87,5 de radio.
3. El máximo del año, 17000 l/s, ocupa la sección entera —3,08 m²— y sube 51 cm por encima de las banquetas.
4. De ahí la pared: 51,12 cm de agua más el 15 % de berma dan H = 60,14 cm.

Resolución completa

El gráfico es el enunciado

Todo el problema cuelga de dos lecturas del hidrograma: el mínimo estacional, 5000 l/s en el mes 3, y el máximo, 17000 l/s en el mes 9. El resto de la curva no interviene en ningún cálculo, y sin embargo está dibujada por algo: enseña que el canal tiene que servir un caudal que cambia por un factor de 3,4 a lo largo del año.

El material es hormigón acabado, y el Cuadro nº 26 de la Escuela le asigna n = 0,012. Ese dato tampoco está en el enunciado.

a) y b) La media caña, dimensionada por el mes más seco

«Que el caudal mínimo lo llene completamente» significa que la media caña trabaja justo a media sección, que es su configuración óptima: ahí $A = \pi R^{2}/2$ , $P = \pi R$ y $R_H = D/4$ .

\frac{1}{0{,}012}\cdot\frac{\pi D^{2}}{8}\cdot\left(\frac{D}{4}\right)^{2/3}\sqrt{0{,}01} = 5\ \text{m}^{3}/\text{s} \;\Longrightarrow\; D = 1{,}6579\ \text{m}

Y como los comerciales van de 25 en 25, se instala el de 175 cm.

Merece la pena mirar qué le hace ese redondeo al diseño. Con 175 cm la media caña llena llevaría 5,776 m³/s, así que en el mes seco ya no va llena: con 5000 l/s se queda en 80 cm de calado sobre 87,5 de radio. Y la velocidad, que era lo que se quería proteger, se queda igual —4,63 m/s con el diámetro exacto, 4,63 con el comercial—. El óptimo de una sección es plano: redondear el diámetro al alza un 5,6 % no le cuesta nada al diseño.

c) La pared, dimensionada por la punta

Con el agua por encima de las banquetas la solera efectiva mide $0{,}6 + 1{,}75 + 0{,}6 = 2{,}95$ m, y la media caña aporta su área entera:

A = 2{,}95\,y + \frac{y^{2}}{\tan 35°} + 1{,}203 \qquad P = 1{,}2 + 2{,}749 + \frac{2y}{\sin 35°}

Ojo con el perímetro: los 1,2 m de banquetas y los 2,749 m del arco no dependen del calado. Lo único que crece con y son las dos paredes, y cada metro de calado moja 1,743 m de talud.

Tanteando hasta los 17 m³/s: $y = 0{,}5112$ m, $A = 3{,}084$ m², $P = 5{,}731$ m, $R_H = 0{,}538$ m, $v = 5{,}51$ m/s. Con la berma:

H = \frac{0{,}5112}{0{,}85} = 60{,}14\ \text{cm}

El reparto, que es lo que hay que llevarse

	mes 3	mes 9
Q	5000 l/s	17000 l/s
dónde va el agua	solo la media caña	toda la sección
A	1,08 m²	3,08 m²
v	4,6 m/s	5,5 m/s

El caudal se multiplica por 3,4 y la velocidad sube solo un 19 %. Todo lo demás lo absorbe el área, que casi se triplica. Esa es la ventaja de una sección compuesta frente a una rectangular: el canal se ensancha cuando el agua lo necesita, en vez de acelerarla.

Y el reparto de papeles es el mismo que en los otros colectores del capítulo. El mes más seco decide la forma del fondo; el mes más húmedo decide la altura de la pared. Ningún apartado necesita al otro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.22 · Colección de problemas, capítulo 8 · Mecánica de Fluidos, UPV/EHU

La pendiente que se dobla, y el flujo que se dispara

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un canal transporta un caudal Q en régimen permanente. En una primera parte, el canal tiene una pendiente J₁, siendo las propiedades del flujo longitudinalmente uniformes. En un punto dado, la pendiente aumenta y pasa a doblar su valor J₂ = 2·J₁. Al darse la transición de una pendiente a la otra, el flujo varía sus propiedades a lo largo de una zona de transición, como se indica en la figura. Aguas abajo de dicha zona de transición las propiedades del flujo pueden de nuevo considerarse longitudinalmente uniformes. El material del que está compuesto el canal es hormigón acabado. Se sabe que éste es un flujo en superficie y se desea que el valor del número adimensional característico de este tipo de flujos sea inferior a la unidad, situación que se denomina como flujo subcrítico.

La pendiente se dobla y la lámina se adelgaza. Las pendientes van exageradas para poder dibujarlas; lo que sí está a escala es la proporción entre las dos láminas y entre las dos pendientes.

Para el caso en el que el canal sea rectangular y de un metro de ancho en todo su recorrido, y teniendo en cuenta que en la primera parte la sección es hidráulicamente óptima:

a) Calcular el calado h₁, la sección A, el perímetro mojado P y el radio hidráulico R_H en la primera parte del canal.

b) Calcular el calado h₂ en la sección 2 del canal, compararlo con el calado h₁ y razonar si esta nueva configuración es hidráulicamente óptima. Demostrar haciendo uso de la ecuación de Manning y la ecuación de la continuidad que la velocidad debe ser mayor en la segunda sección en comparación con la primera.

c) Para el caso particular en el que la pendiente J₁ sea de cuatro milésimas, demostrar que el flujo es subcrítico en la primera parte del canal y no lo es en la segunda.

A la vista de los resultados del apartado anterior se decide sustituir la sección 2 por una de geometría semi-circular y configuración hidráulicamente óptima, siendo de nuevo la pendiente J₁ y J₂ de cuatro y ocho milésimas respectivamente. En este caso:

d) Deducir el diámetro exacto que debería tener la segunda sección del canal y seleccionar un diámetro comercial adecuado. Los diámetros comerciales están disponibles cada 25 cm.

e) Para el caso en el que se instale el diámetro comercial calculado en el apartado anterior, calcular el calado y la velocidad del flujo.

Ayuda: la longitud característica (D) relevante para el número adimensional involucrado es el cociente de la sección transversal del flujo (A) y el ancho de la superficie libre (B).

La ayuda del enunciado, dibujada: A es toda el área mojada y B solo el ancho de la lámina libre. En un canal rectangular ese cociente es justo el calado; en cualquier otro, no.

Los calados de las dos secciones, el número adimensional en cada una, y el diámetro de la media caña que sustituiría a la segunda.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el «número adimensional característico» de un flujo con superficie libre, y cómo lo definen los apuntes de la Escuela?
02
El calado de la sección óptima
COMP2
Calado h₁ en la primera parte, sabiendo que el canal es rectangular de 1 m de ancho y que esa sección es la hidráulicamente óptima.
Tu respuesta al paso 2un calado con su unidad (m o cm) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El calado de la segunda parte
COMP2
Calado h₂, aguas abajo de la zona de transición, donde la pendiente es el doble. El caudal y el ancho son los mismos.
Tu respuesta al paso 3un calado con su unidad (m o cm) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El número de Froude en la segunda parte
COMP2
Valor de $Fr = v^{2}/(g\,A/B)$ en la sección 2, para el caso particular $J_1 = 4$ milésimas. El hormigón acabado tiene n = 0,012 en el Cuadro nº 26.
Tu respuesta al paso 4un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El diámetro exacto de la media caña
COMP2
Diámetro exacto de la sección semicircular que sustituiría a la segunda parte, en configuración hidráulicamente óptima, con J₂ = 8 milésimas.
Tu respuesta al paso 5un diámetro con su unidad (cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
El calado con el diámetro comercial
COMP2
Calado del flujo una vez instalada la media caña comercial de 100 cm, con J₂ = 8 milésimas.
Tu respuesta al paso 6un calado con su unidad (cm o m) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué doblar la pendiente cambia el régimen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el caudal fijo, doblar J obliga a bajar el calado: de 0,500 a 0,387 m.
2. Menos área con el mismo caudal significa más velocidad: por continuidad, un 29 % más.
3. Fr sube por los dos lados a la vez, porque la velocidad va al cuadrado en el numerador y el calado está en el denominador.
4. Y el calado crítico de este caudal es 0,482 m: el de la primera parte lo supera y el de la segunda no, que es otra forma de decir lo mismo.

Resolución completa

El enunciado no dice «Froude», y hay que reconocerlo

«El número adimensional característico de un flujo en superficie» es el de Froude, y los apuntes de la Escuela lo escriben así:

Fr = \frac{v^{2}}{g\,L}

con $L = A/B$ , como recuerda la ayuda. Conviene tenerlo claro desde el principio porque muchos libros lo definen como $v/\sqrt{gL}$ , que es su raíz cuadrada. El criterio no cambia —los dos valen 1 en el punto crítico— pero los números sí: donde aquí sale 1,92, con la otra definición saldría 1,39.

a) La sección óptima, que es medio cuadrado tumbado

Para un rectángulo de área dada, $P = A/h + 2h$ se minimiza en $A = 2h^{2}$ , o sea $b = 2h$ . Con $b = 1$ m:

h_1 = 0{,}5\ \text{m} \quad A_1 = 0{,}5\ \text{m}^{2} \quad P_1 = 2\ \text{m} \quad R_{H1} = 0{,}25\ \text{m}

Y ahí aparece la relación que conviene recordar: en el rectángulo óptimo el radio hidráulico es la mitad del calado.

b) La segunda parte, sin pendiente en la ecuación

El caudal es el mismo a un lado y a otro, así que

A_1R_{H1}^{2/3}\sqrt{J_1} = A_2R_{H2}^{2/3}\sqrt{2J_1}

y $J_1$ se cancela: h₂ no depende de cuánto valga la pendiente, solo de que se doble. Tanteando sale $h_2 = 0{,}387$ m, con $A_2 = 0{,}387$ m², $P_2 = 1{,}774$ m y $R_{H2} = 0{,}218$ m.

La velocidad sale de la continuidad sin tocar Manning:

\frac{v_2}{v_1} = \frac{A_1}{A_2} = 1{,}291

Y no, esa sección ya no es la óptima: lo óptimo para $b = 1$ m sigue siendo $h = 0{,}5$ m. La geometría del canal está construida; lo que se mueve es el agua.

c) El caso particular, y la frontera cruzada

Con $J_1 = 0{,}004$ y n = 0,012 (hormigón acabado, Cuadro nº 26) el canal lleva $Q = 1{,}046$ m³/s. En un canal rectangular $A/B = h$ , así que

	h [m]	v [m/s]	Fr
Sección 1	0,500	2,092	0,89
Sección 2	0,387	2,701	1,92

Subcrítico arriba, supercrítico abajo. Y se puede comprobar por otro camino: el calado crítico de este caudal es $h_c = \sqrt[3]{Q^{2}/(g b^{2})} = 0{,}482$ m. El calado de la primera parte lo supera y el de la segunda no, que es exactamente la misma afirmación dicha con otras palabras.

Fíjate en que Fr sube por los dos sitios a la vez: la velocidad crece y entra al cuadrado, y el calado baja y está en el denominador. Un cambio del 29 % en la velocidad y del 23 % en el calado se convierten en un 116 % en Fr.

d) y e) La media caña, que arregla una cosa y no la otra

La configuración óptima de una media caña es llenarse justo hasta el diámetro, donde $R_H = D/4$ . Con $J_2 = 0{,}008$ y el mismo caudal sale $D = 96{,}15$ cm, y hay que instalar el comercial de 100 cm.

Con ese diámetro el agua no llega al diámetro: $Q_c/Q_{ll} = 0{,}45$ contra el tubo entero, y el Cuadro nº 27 da $h_c/D = 0{,}470$ y $v_c/v_{ll} = 0{,}973$ , es decir 47 cm de calado y 2,878 m/s.

Ahora bien, conviene terminar el problema en vez de pararlo aquí. ¿Qué ha ganado el canal con el cambio?

Rendimiento, sí. Para el mismo caudal, la media caña necesita 0,363 m² de área contra los 0,387 del rectángulo (un 6 % menos) y moja 1,510 m contra 1,774 (un 15 % menos). Menos excavación y menos revestimiento.
Régimen, no. Con $A/B = 0{,}363$ m y 2,878 m/s, el número de Froude sale 2,33, todavía mayor que el 1,92 que tenía el rectángulo.

Eso no contradice al enunciado, que en los apartados d) y e) no pide Froude: pide el diámetro y el calado. Pero deja la lección donde tiene que estar. El régimen no lo decide la forma de la sección: lo decide la pendiente. Si lo que se quiere es volver a subcrítico, hay que tocar la pendiente —o el ancho, o el material—, no redondear la solera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Flujo en conductos abiertos. Canales

La fórmula de Chezy

Manning

La velocidad no es máxima en la superficie

La sección hidráulicamente óptima

Los tres tipos de problema

Cuánto cuesta obedecer un condicionante

La sección de canal, y lo que cuesta no poder usar la óptima

La berma, o el resguardo, que no es lo mismo que el calado

Sección circular parcialmente llena

Por qué basta un cuadro para todas las tuberías

El régimen: cuándo el canal va lento y cuándo va rápido

El calado crítico dice lo mismo con otras palabras

Y lo que pasa al volver

Reconocer el camino

El calado óptimo

La velocidad

Con el doble de pendiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La base de la sección óptima

La altura total con berma

El nuevo calado con doble pendiente

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La solera óptima frente al talud

El radio hidráulico de la sección óptima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal a sección llena mínimo

El diámetro

El calado que resulta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal a sección llena

El calado

La velocidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caudal máximo del colector

El caudal de la media caña

El calado en hora punta

La velocidad en hora punta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El factor de sección del canal

El diámetro del túnel

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El calado del canal rectangular

El diámetro de la media caña

Cuánto se ahorra con la media caña

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El diámetro comercial

La velocidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El diámetro a sección llena

El caudal que cabe en el tubo elegido

El calado real

La velocidad real

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La altura de la pared

El caudal con la media caña

Justificar el argumento

El resguardo no es agua

Tres caudales, no dos

Por qué la media caña rinde tanto

Lo que hay que mirar antes de firmar

Reconocer el camino

El factor de sección común

El caudal que llevan todas

El perímetro de la sección 4

La velocidad de la sección óptima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El diámetro comercial

El nivel de agua y la velocidad