Mecánica de Fluidos · tema 22

Máquinas hidráulicas. Principios fundamentales

La ecuación de Euler, la cadena de rendimientos que hay que recorrer en orden, y la velocidad específica, que dice qué máquina toca.

Los cuatro últimos temas son máquinas, y este es el que pone los cimientos. Todo lo que viene después —Pelton, Francis, Kaplan, bombas centrífugas, instalaciones de bombeo— es este tema aplicado.

Una máquina de fluido usa un fluido como intercambiador de energía. Se parten en dos por el comportamiento del fluido:

hidráulicas, si el fluido se comporta como incompresible: bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas, aerogeneradores;
térmicas, si es compresible y los fenómenos termodinámicos mandan: compresores, turbinas de gas.

Aquí solo las primeras.

Las dos clasificaciones que hay que saber

Por principio de funcionamiento —la más importante— y es un reencuentro con dos temas anteriores:

	en qué se basa	tipos
Turbomáquinas	el teorema del momento cinético (tema 14)	radiales, axiales, mixtas
Desplazamiento positivo	el principio de Pascal (tema 4)	alternativas y rotativas

Una turbomáquina intercambia energía porque el fluido cambia su momento cinético al atravesar un rodete que gira. Una de desplazamiento positivo encierra un volumen y lo empuja: sube la presión en un punto y Pascal la transmite a todo lo que hay aguas abajo. Son mecanismos distintos, no dos versiones de lo mismo.

Por el sentido de la conversión:

motoras: el fluido mueve la máquina. Turbinas hidráulicas y eólicas, motores hidráulicos.
generadoras: la máquina energiza el fluido. Bombas y ventiladores.

Y el elemento común a todas las turbomáquinas es el rodete: el único sitio donde se transforma la energía. Todo lo demás —distribuidor, difusor, voluta— está para que el fluido entre y salga del rodete en las mejores condiciones.

La cadena de rendimientos

Aquí se pierden más puntos que en ninguna otra parte del tema, porque hay cuatro rendimientos y cada uno mide un tramo distinto del camino. En una turbobomba, el camino va del motor eléctrico al fluido:

altura	qué es
$H_a$	absorbida: la energía mecánica que la bomba pide al motor
$H_i$	interna: la parte de esa que se convierte en hidráulica en el rodete
$H_m$	manométrica o útil: la que acaba en el fluido
$H_E$	de Euler: la que daría con infinitos álabes. No es alcanzable

y las dos pérdidas que las separan:

H_a - h_{fo} = H_i \qquad\qquad H_i - h_{fh} = H_m

con $h_{fo}$ las pérdidas orgánicas (mecánicas: rozamientos, prensaestopas) y $h_{fh}$ las hidráulicas (fricción y choques dentro de la máquina).

Los cuatro rendimientos, cada uno el cociente de dos escalones consecutivos:

rendimiento	turbobomba	qué evalúa
eficiencia del álabe	$H_i/H_E$	que los álabes son finitos
hidráulico o manométrico $\eta_m$	$H_m/H_i$	pérdidas por fricción interna
volumétrico $\eta_v$	$Q_u/Q_t$	el caudal que se recircula y se fuga
orgánico o mecánico $\eta_o$	$H_i/H_a$	rozamientos mecánicos
global $\eta_g$	$P_u/P_a$	todo junto

\boxed{\eta_g = \eta_m\,\eta_v\,\eta_o}

Los tres rendimientos parecen buenos por separado y ninguno baja del 0,85. Como están en serie, se multiplican: uno de cada cuatro kilovatios que la bomba pide al motor no llega nunca al agua. Y la franja más ancha es la del rendimiento más bajo, que es donde está el margen de mejora — no en el volumétrico, que ya está casi perfecto.

Los caudales también son tres, y no son el mismo

Con las alturas se tiene cuidado; con los caudales, no, y ahí está el error.

Caudal total $Q_t$ : el que pasa por los conductos del rodete.
Caudal útil $Q_u$ : el que sale por la tubería de impulsión, que es el que se mide y el que sirve.
Caudal perdido: el que recircula en cortocircuito entre la salida y la entrada del rodete, más el que se fuga entre carcasa y eje.

Y las potencias van emparejadas con su altura y su caudal, no mezcladas:

P_u = \gamma\,H_m\,Q_u \qquad P_i = \gamma\,H_i\,Q_t \qquad P_a = \gamma\,H_a\,Q_t

Fíjate en el patrón: la útil lleva el caudal útil, y las otras dos, el total. Calcular $P_a$ con $Q_u$ es el fallo silencioso del tema, porque el número sale razonable.

En turbinas, el rendimiento volumétrico es tan alto —0,98 a 0,99— que se suele tomar 1. En bombas no siempre se puede.

La ecuación de Euler

Es el teorema del momento cinético del tema 14 aplicado a un rodete, y su deducción cabe en cuatro líneas porque casi todos los momentos se anulan.

Sobre el volumen de control que es el rodete, las fuerzas de presión en la entrada y en la salida y el peso no crean momento respecto al eje. El único momento exterior es el del rodete sobre el fluido, opuesto al momento motor. Entonces:

M = \rho\,Q\,(r_1 c_{u1} - r_2 c_{u2}) \quad\text{(turbina)}

Multiplicando por la velocidad angular $\omega$ y usando $u = \omega r$ :

\boxed{H_e = \frac{u_1 c_{u1} - u_2 c_{u2}}{g}} \quad\text{(turbina)} \qquad \boxed{H_E = \frac{u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1}}{g}} \quad\text{(bomba)}

Los subíndices: $u$ es la velocidad de arrastre del rodete, $c$ la absoluta del fluido, $w$ la relativa, y $c_u = c\cos\alpha$ es la componente de la absoluta en la dirección de $u$ . Los triángulos de velocidades son la herramienta de todo el tema 23.

Turbina y bomba llevan la resta al revés, y las conclusiones también son opuestas

Es lo primero que hay que fijar y lo que más se confunde.

En una turbina el fluido entrega energía, así que el término de entrada va primero: $u_1c_{u1} - u_2c_{u2}$ . En una bomba la recibe, y va al revés: $u_2c_{u2} - u_1c_{u1}$ .

Y de ahí salen condiciones de diseño opuestas:

	turbina	bomba
condición de máximo rendimiento	$c_{u2}=0$ , es decir $\alpha_2 = 90°$	$c_{u1}=0$ , es decir $\alpha_1 = 90°$
velocidades absolutas	$c_2 < c_1$	$c_1 < c_2$
radios	$r_2 < r_1$ : el flujo va hacia el eje	$r_1 < r_2$ : el flujo va hacia fuera
velocidad relativa	$w_2 > w_1$ : canales convergentes	$w_1 > w_2$ : canales divergentes

Todo esto sale de escribir Euler con el teorema del coseno $w^{2} = u^{2} + c^{2} - 2uc\cos\alpha$ :

H_e = \frac{(c_1^{2}-c_2^{2}) + (u_1^{2}-u_2^{2}) + (w_2^{2}-w_1^{2})}{2g}

Los tres paréntesis dicen lo mismo tres veces: para sacar energía del fluido hay que frenarlo, traerlo hacia el eje y acelerarlo dentro del canal. En una bomba, las tres al revés.

Y la razón física de que el máximo pida $c_{u2}=0$ en turbinas es la más intuitiva del tema: el agua que sale girando se lleva energía consigo. Que salga radial es que ha entregado todo lo que podía.

Semejanza: los parámetros de Rateau

Aquí vuelve el tema 16, y con el mismo final. Aplicando Buckingham a una turbomáquina con $D$ , $N$ y $\rho$ como variables repetidas salen cuatro parámetros, que reordenados dan los de Rateau:

\mu_R = \frac{gH}{N^{2}D^{2}} \;\text{(coeficiente manométrico)} \qquad \delta_R = \frac{Q}{N D^{3}} \;\text{(coeficiente de caudal)}

más Reynolds y Froude. Y el fenómeno queda descrito por $\mu_R = F(\delta_R, Re, Fr)$ .

Y entonces se repite el argumento del tema 16. Igualar los cuatro obligaría a fluidos imposibles o a escala unidad, así que hay que renunciar a alguno. En una turbomáquina se puede renunciar a dos, y con buena conciencia:

Froude, porque la diferencia de cotas entre entrada y salida de la máquina es despreciable;
Reynolds, porque el flujo es turbulento del todo y las fuerzas viscosas no gobiernan.

Queda la semejanza restringida geométrica, $\mu_R = F(\delta_R)$ , y con ella el teorema de Combes-Bertrand-Rateau:

Si una serie de turbomáquinas geométricamente semejantes tienen el mismo coeficiente de caudal, funcionan de manera semejante: son homólogas, y comparten todos los demás parámetros, incluido el rendimiento.

Es lo que permite ensayar un modelo pequeño y comprar la máquina grande.

La velocidad específica

Combinando los dos parámetros de Rateau se puede eliminar el diámetro, y eso da un número que caracteriza a la familia entera, no al tamaño. Hay tres versiones y conviene tenerlas separadas porque los enunciados usan las tres:

	fórmula	unidades	qué es
$n_s$ , número de Camerer	$n_s = N\dfrac{P_e^{1/2}}{H_n^{5/4}}$	rpm, dimensional	las rpm de la máquina homóloga que con 1 m de salto diera 1 CV
$N_s$ , adimensional	$N_s = n\dfrac{Q^{1/2}}{(gH)^{3/4}}$	adimensional, $n$ en rev/s	el mismo concepto sin unidades
$n_q$ , convencional	$n_q = N\dfrac{Q^{1/2}}{H^{3/4}}$	rpm	el de los catálogos de fabricante

Las tres dicen lo mismo con distinta escala. $N_s$ es la correcta y da valores incómodamente pequeños; $n_q$ es la que usan los fabricantes porque da números manejables; $n_s$ es la clásica y es la que emplean los apuntes.

Para qué sirve, que es lo importante. Ensayada una familia de máquinas, la curva de rendimiento frente a la velocidad específica tiene un máximo, y ese máximo caracteriza el tipo de máquina:

Velocidad específica pequeña, máquina radial. Velocidad específica grande, máquina axial.

Y ahí está la utilidad de proyecto: con el salto y el caudal de un aprovechamiento se calcula $n_s$ , y el número dice si toca Pelton, Francis o Kaplan antes de dimensionar nada. Es lo que hace el tema 23.

Qué se mete en la velocidad específica no es lo mismo en turbina que en bomba

Los símbolos son los mismos y significan cosas distintas:

	$H$	$P$	$Q$
turbina	$H_n$ , altura neta	$P_e$ , potencia efectiva	$Q_t$ , caudal total
turbobomba	$H_m$ , altura manométrica	$P_u$ , potencia útil	$Q_u$ , caudal útil

Es coherente con la cadena de rendimientos: en cada máquina se toma la altura y la potencia del lado por donde sale el producto. Una turbina vende potencia en el eje; una bomba, altura y caudal en la tubería.

Y una comprobación de unidades: en $n_s$ la potencia va en CV, porque la definición es «1 CV con 1 m». Meterla en kW da un número que no se parece a ninguna tabla y no hay forma de darse cuenta si no se tienen las tablas al lado.

Practica lo que acabas de leer

Del enchufe al agua, escalón por escalón

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

Del enchufe al agua, escalón por escalón

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una turbobomba impulsa $40\ \text{l/s}$ de agua con una altura manométrica de $45\ \text{m}$ . Sus rendimientos son: hidráulico $\eta_m = 0{,}85$ , volumétrico $\eta_v = 0{,}95$ y orgánico $\eta_o = 0{,}92$ .

a) Calcular la potencia útil.

b) Calcular el rendimiento global.

c) Calcular la potencia que la bomba pide al motor.

La potencia útil, el rendimiento global y la potencia absorbida.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $P_u = \gamma\,H\,Q$ , ¿qué altura y qué caudal hay que meter?
02
La potencia útil
COMP2
¿Qué potencia recibe el agua?
Tu respuesta al paso 2una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El rendimiento global
COMP2
¿Cuál es el rendimiento global de la bomba? (en tanto por uno)
Tu respuesta al paso 3un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La potencia absorbida
COMP2
¿Qué potencia le pide la bomba al motor?
Tu respuesta al paso 4una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La potencia útil se calcula con las magnitudes útiles: 9800 por 45 por 0,04, es decir 17,64 kW.
2. Los tres rendimientos son escalones en serie del mismo camino, así que se multiplican: 0,743.
3. La absorbida es la útil dividida entre el global, 23,74 kW, y es mayor porque incluye todo lo que se pierde por el camino.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni de la colección de problemas.

La altura de Euler de un rodete centrífugo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El rodete de una bomba centrífuga tiene $300\ \text{mm}$ de diámetro exterior y $20\ \text{mm}$ de ancho a la salida, y gira a $1450\ \text{rpm}$ . Los álabes salen con un ángulo $\beta_2 = 30°$ respecto de la dirección tangencial, y la bomba impulsa $50\ \text{l/s}$ .

La entrada es radial, es decir $c_{u1} = 0$ .

a) Calcular la velocidad de arrastre a la salida, $u_2$ .

b) Calcular la componente meridiana $c_{m2}$ .

c) Calcular la altura de Euler.

Las dos componentes del triángulo de salida y la altura de Euler.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice «la entrada es radial». ¿Qué significa eso y por qué simplifica?
02
La velocidad de arrastre
COMP2
¿Cuánto vale $u_2$ ?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La componente meridiana
COMP2
¿Cuánto vale $c_{m2}$ ?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La altura de Euler
COMP2
¿Cuál es la altura de Euler de este rodete?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con entrada radial, $c_{u1} = 0$ y la ecuación de Euler se reduce a $H_E = u_2 c_{u2}/g$ .
2. La componente meridiana sale de la continuidad sobre la superficie lateral del rodete, $c_{m2} = Q/(\pi D_2 b_2)$ .
3. Del triángulo de salida, $c_{u2} = u_2 - c_{m2}/\tan\beta_2 = 18{,}18$ m/s, y de ahí $H_E = 42{,}3$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Máquinas hidráulicas. Principios fundamentales

Las dos clasificaciones que hay que saber

La cadena de rendimientos

La ecuación de Euler

Semejanza: los parámetros de Rateau

La velocidad específica

Reconocer el camino

La potencia útil

El rendimiento global

La potencia absorbida

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad de arrastre

La componente meridiana

La altura de Euler

Justificar el argumento