tal cual cayó — sin cambiar un número

Mecánica Aplicada · convocatoria ordinaria

Convocatoria ordinaria · 2024-2025

6 de junio de 2025 · 6 ejercicios · 8 resoluciones

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El eje central que pasa por E, con la resultante igual al momento mínimoFundamentos del cálculo vectorial
(1,5p) En un sistema de vectores deslizantes, el momento resultante respecto al origen es $\vec{M}_O = 2\hat{k}$ . El eje central pasa por el punto E(0; 1; 0). La resultante y el momento mínimo son iguales, $\vec{R} = \vec{M}_{\min}$ . El sistema está formado por los vectores $\vec{v}_1 = a\hat{\imath} + a\hat{\jmath} + a\hat{k}$ y $\vec{v}_2 = b\hat{\jmath} + c\hat{k}$ . Determinar:

c) La resultante $\vec{R}$ y el invariante escalar $\tau$ .

d) Los parámetros $a, b, c$ .
La resultante, el invariante escalar y los tres parámetros de los dos vectores.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La rueda con par motor, y el rozamiento que empuja hacia delanteRozamiento
(1,5p) La rueda de radio $R$ de la figura. En su centro están aplicadas la fuerza conocida F, el momento $5FR$ y la fuerza horizontal desconocida $H$ . Sabiendo que rueda hacia la derecha a velocidad constante y que el coeficiente de resistencia a la rodadura es $\mu_r = 0{,}05R$ , determinar la fuerza de rozamiento en función de $F$ , indicando su sentido.

Redibujada del enunciado, con la rueda a escala. La H va en gris, como en el original, porque es la incógnita: su sentido dibujado no está garantizado. La flecha de avance es nuestra.

El valor de la fuerza de rozamiento en función de F, y hacia dónde apunta.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La resultante de una carga distribuida y dónde se colocaEstática del sólido rígido
(1p) Para una fuerza distribuida en la longitud $q(x)$ , deducir la resultante y la localización de la misma.
La expresión de la resultante y la de su posición, deducidas.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El equilibrio de la rebanada, entre la carga, el cortante y el flectorFundamentos de resistencia de materiales
(1) Deducir las ecuaciones de equilibrio de un elemento diferencial de una pieza prismática, relacionando $q$ , $V$ y $M$ .
Las dos relaciones diferenciales entre la carga, el cortante y el flector, deducidas.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La catenaria que cuelga de la polea, con el extremo libre en la directrizCables
Un bloque cuadrado de masa $M$ y lado $L$ se encuentra articulado en un punto fijo D. El bloque está unido en el punto E a un muelle ideal de constante elástica $k = \frac{Mg}{2L}$ , deformado $L$ . En el punto C está sujeto a un cable de peso por unidad de longitud $w = \frac{Mg}{L}$ que se arrolla sobre la polea B de dimensiones despreciables y cuelga por el otro lado de la polea. El punto A está en la misma horizontal que D. El ángulo del cable en C con la horizontal es de 30º. Se pide:

a) (1p) Fuerza mínima del cable $T_0$ y parámetro de la catenaria $c$ .

b) (1p) Ángulo del cable con la horizontal en B, en el lado derecho de la pole,a y longitud del cable BC

c) (1p) Componentes de la reacción en D y distancia $h$ .

Redibujada a escala con los resultados: la catenaria es la curva calculada, y por eso la polea B queda más cerca de C que en el original, que la dibuja sin escala. El tramo que cae de B hasta A mide lo mismo que la altura de B sobre la horizontal de D.

La tensión mínima y el parámetro de la catenaria, el ángulo en B y la longitud del tramo BC.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El bloque articulado en D, y dónde tiene que estar la articulaciónEstática del sólido rígido
Un bloque cuadrado de masa $M$ y lado $L$ se encuentra articulado en un punto fijo D. El bloque está unido en el punto E a un muelle ideal de constante elástica $k = \frac{Mg}{2L}$ , deformado $L$ . En el punto C está sujeto a un cable de peso por unidad de longitud $w = \frac{Mg}{L}$ que se arrolla sobre la polea B de dimensiones despreciables y cuelga por el otro lado de la polea. El punto A está en la misma horizontal que D. El ángulo del cable en C con la horizontal es de 30º. Se pide:

a) (1p) Fuerza mínima del cable $T_0$ y parámetro de la catenaria $c$ .

b) (1p) Ángulo del cable con la horizontal en B, en el lado derecho de la pole,a y longitud del cable BC

c) (1p) Componentes de la reacción en D y distancia $h$ .

La misma figura que en los apartados a) y b), a escala. La h que se pide es la distancia de la esquina inferior izquierda del bloque a la articulación D, y sale de la ecuación de momentos.

Las dos componentes de la reacción en D y la distancia h.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
El muelle que sostiene la viga, y su constanteEstática del sólido rígido
La viga ABCDE de sección transversal en T soporta las siquientes fuerzas:
- Carga uniformemente distribuida de valor $q_0 = 4Mg/L$ .
- Carga concentrada horizontal de valor $2Mg$ en la sección C.
- Momento de valor $4MgL$ aplicado en la sección D.
La viga tiene una articulación fija en A y en E está unida a un muelle de longitud no deformada nula, de constante $k$ a determinar. Se pide:

a) (0,75p) Diagrama del sólido libre de la viga resuelto, indicando las reacciones que actúan sobre ella, la fuerza del muelle y su constante $k$ .

b) (1,5p) Diagramas de fuerzas axiales y cortantes y de momentos flectores en la viga. Determinar el momento máximo e indicar en qué sección ocurre.

c) (0,75p) Tensiones nomales máxima y mínima en función de $M, g, L$ y $b$ .

Redibujada del enunciado, con la viga y la sección a escala. El par de D es antihorario, la carga de C va hacia la izquierda y el muelle de E mide L con longitud natural nula: está estirado.
Las reacciones en A, la fuerza del muelle y su constante k.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Los diagramas de la viga y las tensiones de su sección en TFundamentos de resistencia de materiales
La viga ABCDE de sección transversal en T soporta las siquientes fuerzas:
- Carga uniformemente distribuida de valor $q_0 = 4Mg/L$ .
- Carga concentrada horizontal de valor $2Mg$ en la sección C.
- Momento de valor $4MgL$ aplicado en la sección D.
La viga tiene una articulación fija en A y en E está unida a un muelle de longitud no deformada nula, de constante $k$ a determinar. Se pide:

a) (0,75p) Diagrama del sólido libre de la viga resuelto, indicando las reacciones que actúan sobre ella, la fuerza del muelle y su constante $k$ .

b) (1,5p) Diagramas de fuerzas axiales y cortantes y de momentos flectores en la viga. Determinar el momento máximo e indicar en qué sección ocurre.

c) (0,75p) Tensiones nomales máxima y mínima en función de $M, g, L$ y $b$ .

La misma figura que en el apartado a). Del sólido libre salen A = 2Mg hacia la derecha y 7Mg hacia arriba, y el muelle de E tira hacia arriba con Mg: con eso se dibujan los diagramas.
Los diagramas de axiles, cortantes y flectores, el flector máximo con su sección, y las tensiones normales extremas.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenCuestión 1 de teoría · Convocatoria ordinaria de junio de 2025, bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). En la columna en castellano vale 1,5 puntos y sus apartados van rotulados c) y d); en la de euskera vale 1 punto y son a) y b). El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

El eje central que pasa por E, con la resultante igual al momento mínimo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

(1,5p) En un sistema de vectores deslizantes, el momento resultante respecto al origen es $\vec{M}_O = 2\hat{k}$ . El eje central pasa por el punto E(0; 1; 0). La resultante y el momento mínimo son iguales, $\vec{R} = \vec{M}_{\min}$ . El sistema está formado por los vectores $\vec{v}_1 = a\hat{\imath} + a\hat{\jmath} + a\hat{k}$ y $\vec{v}_2 = b\hat{\jmath} + c\hat{k}$ . Determinar:

c) La resultante $\vec{R}$ y el invariante escalar $\tau$ .

d) Los parámetros $a, b, c$ .

La resultante, el invariante escalar y los tres parámetros de los dos vectores.

01
Reconocer el camino
COMP1
E está en el eje central. ¿Qué afirma eso sobre el momento del sistema en E?
02
La resultante
COMP2
Traslada el momento de O a E e iguálalo a $\vec{R}$ . ¿Cuánto vale $\vec{R}$ ?
Tu respuesta al paso 2las tres componentes en orden, por ejemplo (2, 0, -3) — componentes separadas por comas
03
El invariante escalar
COMP2
Tomando el invariante escalar como el producto $\tau = \vec{R}\cdot\vec{M}_O$ , ¿cuánto vale?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Los tres parámetros
COMP2
La resultante es la suma de los dos vectores. ¿Cuánto valen $(a, b, c)$ ?
Tu respuesta al paso 4los tres parámetros en el orden (a, b, c) — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta de examen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El momento en E se obtiene trasladando el de O, $\vec{M}_E = \vec{M}_O + \vec{R}\times\vec{OE}$ .
2. Como E está en el eje central y $\vec{R} = \vec{M}_{\min}$ , el momento en E es $\vec{R}$ , y de ahí $\vec{R} = -\hat{\imath} + \hat{k}$ .
3. El invariante es $\tau = \vec{R}\cdot\vec{M}_O = 2$ , y $\vec{M}_{\min} = (\tau/R^{2})\,\vec{R} = \vec{R}$ confirma el dato.
4. Con $\vec{R} = (a,\ a+b,\ a+c)$ salen $a = -1$ , $b = 1$ y $c = 2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenCuestión 2 de teoría · Convocatoria ordinaria de junio de 2025, bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). En la columna en castellano vale 1,5 puntos y en la de euskera 1. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La rueda con par motor, y el rozamiento que empuja hacia delante

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

(1,5p) La rueda de radio $R$ de la figura. En su centro están aplicadas la fuerza conocida F, el momento $5FR$ y la fuerza horizontal desconocida $H$ . Sabiendo que rueda hacia la derecha a velocidad constante y que el coeficiente de resistencia a la rodadura es $\mu_r = 0{,}05R$ , determinar la fuerza de rozamiento en función de $F$ , indicando su sentido.

Redibujada del enunciado, con la rueda a escala. La H va en gris, como en el original, porque es la incógnita: su sentido dibujado no está garantizado. La flecha de avance es nuestra.

El valor de la fuerza de rozamiento en función de F, y hacia dónde apunta.

01
Reconocer el camino
COMP1
El coeficiente $\mu_r = 0{,}05R$ tiene unidades de longitud. ¿Qué hace en el equilibrio de la rueda?
02
La fuerza de rozamiento
COMP2
Toma momentos respecto del centro de la rueda. ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento, en unidades de $F$ ? Con signo: positiva si apunta hacia la derecha.
Tu respuesta al paso 2un número, en unidades de F; positivo hacia la derecha — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La fuerza H
COMP2
Con el rozamiento ya calculado, ¿cuánto vale $H$ , en unidades de $F$ ? Positiva si apunta hacia la derecha, como en la figura.
Tu respuesta al paso 3un número, en unidades de F; positivo hacia la derecha — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta de examen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A velocidad constante la rueda está en equilibrio: fuerzas y momentos suman cero.
2. En vertical, $N = F$ . La normal va adelantada $0{,}05R$ y su par, $0{,}05FR$ , se opone al giro horario.
3. Momentos respecto del centro, $5FR = F_r R + 0{,}05FR$ , luego $F_r = 4{,}95F$ .
4. Sale positiva: el rozamiento apunta hacia la derecha, y $H = -4{,}95F$ apunta hacia la izquierda.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenCuestión 3 de teoría · Convocatoria ordinaria de junio de 2025, bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). Vale 1 punto en las dos columnas. El examen no publica resolución; la rúbrica y la comprobación con la carga triangular son nuestras.

La resultante de una carga distribuida y dónde se coloca

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

(1p) Para una fuerza distribuida en la longitud $q(x)$ , deducir la resultante y la localización de la misma.

La expresión de la resultante y la de su posición, deducidas.

01
Reconocer el camino
COMP1
La resultante ya es la integral de $q$ . ¿Qué condición la coloca en su sitio?
02
Redactar la demostración
COMP4
La cuestión en papel, entera: la resultante de $q(x)$ sobre un tramo $a \le x \le b$ y la abscisa donde se coloca, deducidas y no solo escritas. Media página basta.
Escríbela en papel antes de seguir. Aquí no hay hueco donde teclearla a propósito: lo que corrige el examen es tu folio, y compararlo es más útil que rellenar una casilla.
Lo que se puntúa
1. El elemento diferencial: un trozo $dx$ soporta la fuerza $dF = q(x)\,dx$ , y todas esas fuerzas son paralelas.
  Es lo que convierte una carga continua en una suma, y lo que permite tratarla como un sistema de vectores paralelos. Quien escribe la integral sin este paso la está recordando, no deduciendo, que es lo que la cuestión puntúa.
2. La resultante como suma de las elementales, $R = \int_a^b q(x)\,dx$ , y su lectura: el área bajo la curva de carga.
  La lectura geométrica es la que se usa luego en cada problema —un rectángulo, un triángulo— y es la que detecta un error de cuenta a simple vista.
3. La equivalencia de momentos respecto de un punto, escrita: $R\,\overline{x} = \int_a^b x\,q(x)\,dx$ .
  Es la mitad de la cuestión y la que más se salta. Sin decir que el sistema de una sola fuerza tiene que dar el mismo momento, la fórmula de $\overline{x}$ aparece sin justificar.
4. La posición, $\overline{x} = \int x\,q\,dx \big/ \int q\,dx$ , y que es la abscisa del centroide del área de carga.
  Enlaza con la geometría de masas del tema 2 y da la regla que se aplica sin integrar: la resultante pasa por el centro de gravedad del diagrama de carga.
5. El caso límite: si $\int q\,dx = 0$ con cargas de los dos signos, no hay una fuerza equivalente sino un par.
  Es lo que distingue a quien entiende la reducción de un sistema de vectores de quien aplica la fórmula: con $R = 0$ el cociente no existe, y el sistema se reduce a su momento.
03
La resultante de una carga triangular
COMP2
Comprueba la fórmula con $q(x) = q_0\,x/L$ en $0 \le x \le L$ . ¿Cuánto vale la resultante, en unidades de $q_0 L$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, en unidades de q0·L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Dónde se coloca
COMP2
Con la misma carga triangular, ¿a qué distancia del origen queda la resultante, en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en unidades de L; vale la forma exacta, como 2/3 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Un trozo $dx$ soporta la fuerza elemental $q(x)\,dx$ , y todas son paralelas entre sí.
2. La resultante es la suma de todas, $R = \int q\,dx$ : el área bajo la curva de carga.
3. Se coloca en $\overline{x}$ tal que $R\,\overline{x} = \int x\,q\,dx$ , para que dé el mismo momento que la carga.
4. $\overline{x}$ es la abscisa del centroide del área de carga.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenCuestión 4 de teoría · Convocatoria ordinaria de junio de 2025, bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). Vale 1 punto en las dos columnas; en la de castellano va numerada «4 (1)», sin punto ni «p». El examen no publica resolución; la rúbrica y la comprobación son nuestras.

El equilibrio de la rebanada, entre la carga, el cortante y el flector

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

(1) Deducir las ecuaciones de equilibrio de un elemento diferencial de una pieza prismática, relacionando $q$ , $V$ y $M$ .

Las dos relaciones diferenciales entre la carga, el cortante y el flector, deducidas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al tomar momentos en la rebanada aparece el término $q\,dx\cdot\dfrac{dx}{2}$ . ¿Qué se hace con él?
02
Redactar la demostración
COMP4
La cuestión en papel: la rebanada de longitud $dx$ con todas sus fuerzas dibujadas, el convenio de signos, los dos equilibrios y las dos relaciones que salen. Media página y un dibujo.
Escríbela en papel antes de seguir. Aquí no hay hueco donde teclearla a propósito: lo que corrige el examen es tu folio, y compararlo es más útil que rellenar una casilla.
Lo que se puntúa
1. El dibujo de la rebanada con la carga $q\,dx$ , el cortante y el flector en las dos caras: $V$ y $M$ en una, $V+dV$ y $M+dM$ en la otra, con sus sentidos.
  Sin el dibujo los signos no se pueden comprobar, y el signo es exactamente lo que esta cuestión evalúa. Dos alumnos con convenios distintos llegan a relaciones con signos distintos, y los dos están bien si su dibujo lo dice.
2. El convenio declarado en palabras: por ejemplo, $q$ positiva hacia abajo, cortante positivo si sube en la cara izquierda y flector positivo si tracciona la fibra inferior.
  Es el punto que más se pierde: se escribe $dV/dx = -q$ de memoria con un dibujo que corresponde al otro convenio, y el corrector ve una contradicción donde quizás solo había un descuido.
3. El equilibrio vertical, $V - q\,dx - (V + dV) = 0$ , y de ahí $dV/dx = -q$ .
  Es la primera relación, y dice algo que se usa en cada diagrama: la pendiente del cortante es la carga, así que con $q$ constante el cortante es una recta.
4. El equilibrio de momentos respecto de una cara, con el término $q\,dx^{2}/2$ despreciado explícitamente por ser de segundo orden, y de ahí $dM/dx = V$ .
  Tachar ese término sin decir por qué es la diferencia entre deducir y copiar. Y la relación que sale es la que más rinde: el flector es extremo donde el cortante se anula.
5. Las consecuencias: $d^{2}M/dx^{2} = -q$ , el máximo de $M$ donde $V = 0$ , y los saltos que dan una carga o un par concentrados, donde las derivadas no existen.
  Es lo que se hace con las ecuaciones en el ejercicio de la viga del mismo examen, y lo que demuestra que se entienden: cerca de un par aplicado, $dM/dx = V$ no vale y el diagrama salta.
03
El flector máximo de una viga biapoyada
COMP2
Comprueba las relaciones en una viga biapoyada de luz $L$ con carga uniforme $q$ : el cortante vale $qL/2$ en el apoyo izquierdo. ¿Cuánto vale el momento máximo, en unidades de $qL^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, en unidades de q·L²; vale la forma exacta, como 1/8 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En la rebanada actúan $q\,dx$ , el cortante $V$ y $V + dV$ en las caras, y los flectores $M$ y $M + dM$ .
2. Equilibrio vertical, $V - q\,dx - (V + dV) = 0$ : $dV/dx = -q$ .
3. Momentos respecto de una cara, despreciando $q\,dx^{2}/2$ por ser de segundo orden: $dM/dx = V$ .
4. Así $d^{2}M/dx^{2} = -q$ , y el flector es extremo donde se anula el cortante.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1, apartados a) y b) · Convocatoria ordinaria de junio de 2025, bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El apartado b) trae la errata «pole,a», que se conserva. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La catenaria que cuelga de la polea, con el extremo libre en la directriz

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un bloque cuadrado de masa $M$ y lado $L$ se encuentra articulado en un punto fijo D. El bloque está unido en el punto E a un muelle ideal de constante elástica $k = \frac{Mg}{2L}$ , deformado $L$ . En el punto C está sujeto a un cable de peso por unidad de longitud $w = \frac{Mg}{L}$ que se arrolla sobre la polea B de dimensiones despreciables y cuelga por el otro lado de la polea. El punto A está en la misma horizontal que D. El ángulo del cable en C con la horizontal es de 30º. Se pide:

a) (1p) Fuerza mínima del cable $T_0$ y parámetro de la catenaria $c$ .

b) (1p) Ángulo del cable con la horizontal en B, en el lado derecho de la pole,a y longitud del cable BC

c) (1p) Componentes de la reacción en D y distancia $h$ .

Redibujada a escala con los resultados: la catenaria es la curva calculada, y por eso la polea B queda más cerca de C que en el original, que la dibuja sin escala. El tramo que cae de B hasta A mide lo mismo que la altura de B sobre la horizontal de D.

La tensión mínima y el parámetro de la catenaria, el ángulo en B y la longitud del tramo BC.

01
Reconocer el camino
COMP1
Del otro lado de la polea el cable cuelga libre hasta A, que está a la altura de D. ¿Qué te da ese tramo?
02
La fuerza mínima del cable
COMP2
¿Cuánto vale $T_0$ , en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, en unidades de Mg; en forma exacta (√3/2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El parámetro de la catenaria
COMP2
¿Cuánto vale $c$ , en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, en unidades de L; en forma exacta (√3/2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El ángulo en B
COMP2
¿Qué ángulo forma el cable con la horizontal en B, del lado derecho de la polea? En grados.
Tu respuesta al paso 4un número, en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La longitud del tramo BC
COMP2
¿Cuánto mide el cable entre C y B, en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, en unidades de L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En la catenaria $T = w\,y$ , con $y$ desde la directriz; en el tramo que cuelga, $T$ es el peso de lo que cuelga por debajo.
2. La polea ideal conserva la tensión: $T_B = w\cdot 7L/5$ , luego $y_B = 7L/5$ y la directriz pasa por A.
3. En C, $y_C = L$ : $T_C = Mg$ , $T_0 = T_C\cos 30^{\circ} = (\sqrt{3}/2)\,Mg$ y $c = (\sqrt{3}/2)\,L$ .
4. $\cos\theta_B = T_0/T_B$ da $\theta_B \approx 51{,}8^{\circ}$ , y $s = \sqrt{y^{2} - c^{2}}$ da $\overline{BC} = 1{,}1L - 0{,}5L = 0{,}6L$ .

Resolución completa

La idea que lo resuelve todo. En una catenaria la tensión vale $T = w\,y$ , con $y$ medida desde la directriz. Del otro lado de la polea el cable cuelga en vertical hasta su extremo libre A, y ahí la tensión en B es el peso de lo que cuelga: $T_B = w\cdot\tfrac{7}{5}L$ , porque B está $2L/5 + L$ por encima de A. La polea es ideal y conserva el módulo de la tensión, así que en el lado de la catenaria también $T_B = w\,y_B$ con $y_B = 7L/5$ : la directriz es la horizontal de A, que es también la de D.

a) Tensión mínima y parámetro. C está a altura $L$ sobre la directriz:

T_C = w\,y_C = Mg, \qquad T_0 = T_C\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,Mg \approx 0{,}866\,Mg, \qquad c = \frac{T_0}{w} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,L \approx 0{,}866\,L

b) El ángulo en B. La componente horizontal es $T_0$ en todo el cable:

\cos\theta_B = \frac{T_0}{T_B} = \frac{\sqrt{3}/2}{7/5} = 0{,}6186 \;\Longrightarrow\; \theta_B \approx 51{,}79^{\circ}

b) La longitud BC. El arco desde el vértice cumple $s^{2} = y^{2} - c^{2}$ :

s_B = \sqrt{1{,}96 - 0{,}75}\,L = 1{,}1\,L, \qquad s_C = \sqrt{1 - 0{,}75}\,L = 0{,}5\,L, \qquad \overline{BC} = 0{,}6\,L

C y B están del mismo lado del vértice —el cable sube de C a B empinándose—, así que los arcos se restan.

Comprobación independiente. Integrando el cable paso a paso desde C, con $T_0$ como incógnita y la condición de que la tensión a la altura de B valga $7Mg/5$ , sale $T_0 = 0{,}8660\,Mg$ , la directriz a la altura de A, $\theta_B = 51{,}79^{\circ}$ y $\overline{BC} = 0{,}6000\,L$ . La polea queda $0{,}442\,L$ a la izquierda de C, que es como está en la figura redibujada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 1, apartado c) · Convocatoria ordinaria de junio de 2025, bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El apartado b) trae la errata «pole,a», que se conserva. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

El bloque articulado en D, y dónde tiene que estar la articulación

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) (1p) Fuerza mínima del cable $T_0$ y parámetro de la catenaria $c$ .

b) (1p) Ángulo del cable con la horizontal en B, en el lado derecho de la pole,a y longitud del cable BC

c) (1p) Componentes de la reacción en D y distancia $h$ .

La misma figura que en los apartados a) y b), a escala. La h que se pide es la distancia de la esquina inferior izquierda del bloque a la articulación D, y sale de la ecuación de momentos.

Las dos componentes de la reacción en D y la distancia h.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de escribir ecuaciones, ¿qué fuerzas actúan sobre el bloque?
02
La componente horizontal de la reacción
COMP2
¿Cuánto vale la componente horizontal de la reacción en D, en unidades de $Mg$ ? Positiva hacia la derecha.
Tu respuesta al paso 2un número, en unidades de Mg; en forma exacta (√3/2 - 1/2) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente vertical de la reacción
COMP2
¿Cuánto vale la componente vertical de la reacción en D, en unidades de $Mg$ ? Positiva hacia arriba.
Tu respuesta al paso 3un número, en unidades de Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La distancia h
COMP2
Toma momentos respecto de D. ¿Cuánto vale $h$ , en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en unidades de L; en forma exacta (2 - √3) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión en C es la de la catenaria en ese punto, $T_C = w\,y_C = Mg$ , a 30° hacia B.
2. $\sum F_x = 0$ : $D_x = Mg\cos 30^{\circ} - Mg/2 \approx 0{,}366\,Mg$ , hacia la derecha.
3. $\sum F_y = 0$ : $D_y = Mg - Mg\sin 30^{\circ} = Mg/2$ , hacia arriba.
4. Momentos respecto de D con el peso, el muelle y las dos componentes del cable: $h = (2 - \sqrt{3})\,L \approx 0{,}268\,L$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2, apartado a) · Convocatoria ordinaria de junio de 2025, bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). La cabecera castellana de esta página dice «Dinámica» (la de euskera, «Estatika»), y el texto trae las erratas «siquientes» y «nomales», que se conservan. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

El muelle que sostiene la viga, y su constante

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La viga ABCDE de sección transversal en T soporta las siquientes fuerzas:

Carga uniformemente distribuida de valor $q_0 = 4Mg/L$ .
Carga concentrada horizontal de valor $2Mg$ en la sección C.
Momento de valor $4MgL$ aplicado en la sección D.

La viga tiene una articulación fija en A y en E está unida a un muelle de longitud no deformada nula, de constante $k$ a determinar. Se pide:

a) (0,75p) Diagrama del sólido libre de la viga resuelto, indicando las reacciones que actúan sobre ella, la fuerza del muelle y su constante $k$ .

b) (1,5p) Diagramas de fuerzas axiales y cortantes y de momentos flectores en la viga. Determinar el momento máximo e indicar en qué sección ocurre.

c) (0,75p) Tensiones nomales máxima y mínima en función de $M, g, L$ y $b$ .

Redibujada del enunciado, con la viga y la sección a escala. El par de D es antihorario, la carga de C va hacia la izquierda y el muelle de E mide L con longitud natural nula: está estirado.

Las reacciones en A, la fuerza del muelle y su constante k.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace el muelle de E sobre la viga?
02
La constante del muelle
COMP2
Toma momentos respecto de A. ¿Cuánto vale $k$ , en unidades de $Mg/L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, en unidades de Mg/L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La reacción vertical en A
COMP2
¿Cuánto vale la componente vertical de la reacción en A, en unidades de $Mg$ ? Positiva hacia arriba.
Tu respuesta al paso 3un número, en unidades de Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el sólido libre resuelto. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\sum F_x = 0$ : $A_x = 2Mg$ , hacia la derecha, porque la carga de C va hacia la izquierda.
2. $\sum M_A = 0$ : $-8Mg\cdot L + 4MgL + F_m\cdot 4L = 0$ , luego $F_m = Mg$ , hacia arriba.
3. El muelle está estirado $L$ desde longitud natural nula: $k = F_m/L = Mg/L$ .
4. $\sum F_y = 0$ : $A_y = 8Mg - Mg = 7Mg$ , hacia arriba.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2, apartados b) y c) · Convocatoria ordinaria de junio de 2025, bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). La cabecera castellana de esta página dice «Dinámica» (la de euskera, «Estatika»), y el texto trae las erratas «siquientes» y «nomales», que se conservan. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

Los diagramas de la viga y las tensiones de su sección en T

paso 1 de 8

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La viga ABCDE de sección transversal en T soporta las siquientes fuerzas:

Carga uniformemente distribuida de valor $q_0 = 4Mg/L$ .
Carga concentrada horizontal de valor $2Mg$ en la sección C.
Momento de valor $4MgL$ aplicado en la sección D.

La viga tiene una articulación fija en A y en E está unida a un muelle de longitud no deformada nula, de constante $k$ a determinar. Se pide:

a) (0,75p) Diagrama del sólido libre de la viga resuelto, indicando las reacciones que actúan sobre ella, la fuerza del muelle y su constante $k$ .

b) (1,5p) Diagramas de fuerzas axiales y cortantes y de momentos flectores en la viga. Determinar el momento máximo e indicar en qué sección ocurre.

c) (0,75p) Tensiones nomales máxima y mínima en función de $M, g, L$ y $b$ .

La misma figura que en el apartado a). Del sólido libre salen A = 2Mg hacia la derecha y 7Mg hacia arriba, y el muelle de E tira hacia arriba con Mg: con eso se dibujan los diagramas.

Los diagramas de axiles, cortantes y flectores, el flector máximo con su sección, y las tensiones normales extremas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde hay que buscar el momento flector máximo?
02
El flector máximo
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector máximo, en unidades de $MgL$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, en unidades de MgL; vale la forma exacta, como 49/8 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El centro de gravedad de la T
COMP2
¿A qué altura sobre la base del alma está el centro de gravedad de la sección, en unidades de $b$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, en unidades de b — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento de inercia de la T
COMP2
¿Cuánto vale el momento de inercia de la sección respecto de su eje horizontal por el centro de gravedad, en unidades de $b^{4}$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en unidades de b⁴; vale la forma exacta, como 100/3 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La parte del axil
COMP2
En la sección del flector máximo, la tensión normal tiene una parte uniforme, $N/A$ . Escrita como $\alpha\,Mg/b^{2}$ , ¿cuánto vale $\alpha$ ? Con signo: tracción positiva.
Tu respuesta al paso 5un número, en unidades de Mg/b² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
La fibra superior
COMP2
En la fibra superior de esa sección, la parte de flexión se escribe $\beta\,MgL/b^{3}$ . ¿Cuánto vale $\beta$ ? Con signo: tracción positiva.
Tu respuesta al paso 6un número, en unidades de MgL/b³; vale la forma exacta, como -147/400 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
La fibra inferior
COMP2
Y en la fibra inferior de la misma sección, ¿cuánto vale el coeficiente de $MgL/b^{3}$ de la parte de flexión? Con signo.
Tu respuesta al paso 7un número, en unidades de MgL/b³; vale la forma exacta, como 147/200 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
08
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución de b) y c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En AC el axil es $-2Mg$ , de compresión, y en CE es nulo.
2. El cortante baja de $7Mg$ en A a $-Mg$ en C y se anula en $x = 7L/4$ ; de C a E vale $-Mg$ .
3. El flector máximo es $49MgL/8$ en $x = 7L/4$ ; en D salta de $5MgL$ a $MgL$ por el par, y en E vale cero.
4. Con $\overline{y} = 4b$ e $I = 100b^{4}/3$ , la fibra inferior de esa sección da la tracción máxima y la superior la compresión máxima.

Resolución completa

Reacciones (apartado a): $A_x = 2Mg$ hacia la derecha, $A_y = 7Mg$ hacia arriba y el muelle $Mg$ hacia arriba en E. Convenio: axil positivo de tracción, cortante positivo si sube en la cara izquierda y flector positivo si tracciona abajo; con él, $dV/dx = -q$ y $dM/dx = V$ (cuestión 4 de este mismo examen).

Axiles. Entre A y C, $N = -2Mg$ : la articulación tira hacia la derecha y la carga de C empuja hacia la izquierda, y el tramo queda comprimido. De C a E, $N = 0$ .

Cortantes. En AC, $V = 7Mg - 4Mg\,x/L$ : vale $7Mg$ en A, $3Mg$ en B y $-Mg$ en C, y se anula en $x = 7L/4$ . De C a E, $V = -Mg$ , que en E compensa el muelle.

Flectores.

0 \le x \le 2L:\quad M = 7Mg\,x - \frac{2Mg}{L}x^{2}

2L \le x < 3L:\quad M = Mg\,(8L - x), \qquad 3L < x \le 4L:\quad M = Mg\,(4L - x)

Valores: $M(A) = 0$ , $M(B) = 5MgL$ , $M(C) = 6MgL$ , $5MgL$ justo antes de D, $MgL$ justo después —el par antihorario lo hace bajar $4MgL$ — y $M(E) = 0$ . El máximo es $49MgL/8 \approx 6{,}125\,MgL$ , en la sección a $7L/4$ de A, entre B y C, donde se anula el cortante.

Los tres diagramas a escala, con el flector positivo hacia arriba. El máximo del flector no cae en ningún punto con letra: está a 7L/4 de A, donde el cortante cruza el cero.

La sección. Ala de $5b\times b$ arriba y alma de $b\times 5b$ debajo, las dos de área $5b^{2}$ : $A = 10b^{2}$ , centro de gravedad a $\overline{y} = 4b$ de la base (a $2b$ de la fibra superior) y

I = \frac{5b\cdot b^{3}}{12} + 5b^{2}(1{,}5b)^{2} + \frac{b\,(5b)^{3}}{12} + 5b^{2}(1{,}5b)^{2} = \frac{100}{3}\,b^{4}

Tensiones en la sección del máximo, con tracción positiva y $y$ hacia arriba desde el centro de gravedad, $\sigma = N/A - M\,y/I$ , $N = -2Mg$ y $M = 49MgL/8$ :

\sigma_{\max} = \sigma_{\text{inf}} = \frac{147}{200}\frac{MgL}{b^{3}} - \frac{Mg}{5b^{2}} \approx 0{,}735\,\frac{MgL}{b^{3}} - 0{,}2\,\frac{Mg}{b^{2}}

\sigma_{\min} = \sigma_{\text{sup}} = -\frac{147}{400}\frac{MgL}{b^{3}} - \frac{Mg}{5b^{2}} \approx -0{,}3675\,\frac{MgL}{b^{3}} - 0{,}2\,\frac{Mg}{b^{2}}

Un matiz que el enunciado no resuelve. La compresión máxima está seguro en esa sección: ahí coinciden el mayor flector y el axil de compresión. La tracción máxima, no del todo: justo a la derecha de C el flector vale $6MgL$ y el axil ya es nulo, y la fibra inferior da $0{,}72\,MgL/b^{3}$ . Gana la sección de $7L/4$ solo si $0{,}015\,L/b > 0{,}2$ , es decir, si $L > 40b/3$ , que es lo esperable en una viga pero el enunciado no lo dice. La resolución de examen da la sección del máximo, y conviene dejar escrita la comprobación.

Comprobación independiente. Integrando la carga numéricamente a lo largo de la viga, con el salto del par en D, sale $M_{\max} = 6{,}125\,MgL$ en $x = 1{,}75L$ y $M(E) = 0$ ; y la sección integrada por franjas da $\overline{y} = 4b$ e $I = 33{,}33\,b^{4}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria ordinaria · 2024-2025

Reconocer el camino

La resultante

El invariante escalar

Los tres parámetros

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La fuerza de rozamiento

La fuerza H

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Redactar la demostración

La resultante de una carga triangular

Dónde se coloca

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Redactar la demostración

El flector máximo de una viga biapoyada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La fuerza mínima del cable

El parámetro de la catenaria

El ángulo en B

La longitud del tramo BC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente horizontal de la reacción

La componente vertical de la reacción

La distancia h

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La constante del muelle

La reacción vertical en A

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El flector máximo

El centro de gravedad de la T

El momento de inercia de la T

La parte del axil

La fibra superior

La fibra inferior

Justificar el argumento