tal cual cayó — sin cambiar un número

Álgebra · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2021-2022

curso 2021-2022 · 4 ejercicios

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

Uno viene por generadores y el otro por ecuacionesEspacios vectoriales
a) i. Si $R$ , $S$ y $T$ son subespacios de un espacio vectorial $E$ , demuestra que $R\cap S\cap T$ también es subespacio vectorial.

ii. Demuestra que si $\left\{\overline{u}_{1},\overline{u}_{2},\dots,\overline{u}_{n}\right\}$ es un sistema libre, un vector que sea combinación lineal de esos vectores se expresa de forma única.

b) Sean los siguientes subespacios de $\mathbb{R}^{4}$ :
$S=L\left(\left\{\left(1,0,0,0\right),\left(2,1,1,0\right), \left(0,0,1,0\right)\right\}\right)$ $T=\left\{\left(x,y,z,t\right)\in\mathbb{R}^{4} \;\Big|\;x-2y-z=0;\;z+t=0\right\}$
i. Calcula bases y dimensiones de $S$ , $T$ , $S+T$ y $S\cap T$ .

ii. Amplía la base de $S$ para obtener una base de $\mathbb{R}^{4}$ .

iii. Calcula las coordenadas del vector $\left(2,1,0,0\right)$ respecto de la base obtenida en el apartado anterior.
Las dos demostraciones, las cuatro bases, y unas coordenadas.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Tres imágenes sobre una base que no es la canónicaAplicaciones lineales
a) Demostrar para la aplicación lineal $f:E\longrightarrow F$ :

i. Si $\left\{\overline{u}_{1},\overline{u}_{2},\dots,\overline{u}_{n}\right\}$ es sistema generador de $E$ , entonces $\left\{f\left(\overline{u}_{1}\right),f\left(\overline{u}_{2}\right), \dots,f\left(\overline{u}_{n}\right)\right\}$ es sistema generador del subespacio imagen $\operatorname{Im}f$ .

ii. Si $\left\{\overline{u}_{1},\overline{u}_{2},\dots,\overline{u}_{n}\right\}$ es sistema libre y $f$ es inyectiva, entonces también $\left\{f\left(\overline{u}_{1}\right),f\left(\overline{u}_{2}\right), \dots,f\left(\overline{u}_{n}\right)\right\}$ es libre.

b) Sea $f:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$ la aplicación lineal definida del modo siguiente:
$\begin{gathered} f\left(1,1,0\right)=\left(2,0,1\right); \quad f\left(0,2,-1\right)=\left(0,2,-3\right) \\ f\left(1,2,0\right)=\left(3,-1,3\right) \end{gathered}$
i. Obtén la expresión de $f$ en la base canónica.

ii. Calcula $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ y halla sus bases y dimensiones.

iii. Clasifica la aplicación.
Las dos demostraciones, la matriz canónica, y las dos bases con la clasificación.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Una ecuación que regala tres inversasDeterminantes
a) Sea $A$ una matriz cuadrada que cumple la siguiente ecuación:
$\left(I+A+A^{2}+A^{3}\right)\left(I-A\right)=0$
i. Desarrolla esta ecuación para obtener $A^{4}$ .

ii. ¿Cuáles son las matrices inversas de $A$ , $A^{2}$ y $A^{3}$ ?

b) Dada la siguiente matriz, ¿para qué valor de $a$ existe la inversa? Si es posible, calcula la inversa de $A$ cuando $a=0$ .
$A=\begin{pmatrix} -3&1&-1\\ -a&5&-1\\ -6&a&-2 \end{pmatrix}$
El valor de A⁴, las tres inversas, y la inversa concreta con su condición.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Dos valores del parámetro que estropean la diagonalizaciónDiagonalización de matrices cuadradas
a) Demuestra que haciendo un cambio de base en el espacio vectorial $E$ , el polinomio característico de la matriz asociada al endomorfismo $f:E\longrightarrow E$ no varía.

b) Calcula los valores del parámetro $a\in\mathbb{R}$ para que la matriz $A$ sea diagonalizable.
$A=\begin{pmatrix} 1&-2&-2\\ -2&a&8\\ 2&8&a \end{pmatrix}$
La demostración de la invariancia, y los valores del parámetro.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 · Convocatoria extraordinaria, curso 2021-2022 · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El apartado a.ii es el mismo que el 1a de la extraordinaria de 2022-2023 · El examen no publica solución ni reparto de puntos: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Uno viene por generadores y el otro por ecuaciones

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) i. Si $R$ , $S$ y $T$ son subespacios de un espacio vectorial $E$ , demuestra que $R\cap S\cap T$ también es subespacio vectorial.

ii. Demuestra que si $\left\{\overline{u}_{1},\overline{u}_{2},\dots,\overline{u}_{n}\right\}$ es un sistema libre, un vector que sea combinación lineal de esos vectores se expresa de forma única.

b) Sean los siguientes subespacios de $\mathbb{R}^{4}$ :

S=L\left(\left\{\left(1,0,0,0\right),\left(2,1,1,0\right), \left(0,0,1,0\right)\right\}\right)

T=\left\{\left(x,y,z,t\right)\in\mathbb{R}^{4} \;\Big|\;x-2y-z=0;\;z+t=0\right\}

i. Calcula bases y dimensiones de $S$ , $T$ , $S+T$ y $S\cap T$ .

ii. Amplía la base de $S$ para obtener una base de $\mathbb{R}^{4}$ .

iii. Calcula las coordenadas del vector $\left(2,1,0,0\right)$ respecto de la base obtenida en el apartado anterior.

Las dos demostraciones, las cuatro bases, y unas coordenadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
$S$ viene dado por generadores y $T$ por ecuaciones. ¿Cuál de los dos es más cómodo para calcular la intersección, y por qué?
02
La dimensión del primero
COMP2
¿Cuál es la dimensión de $S$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\left(S\cap T\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Las coordenadas en la base ampliada
COMP2
Ampliando la base de $S$ con $\left(0,0,0,1\right)$ , ¿cuáles son las coordenadas de $\left(2,1,0,0\right)$ en la base $\left\{\left(1,0,0,0\right),\left(2,1,1,0\right), \left(0,0,1,0\right),\left(0,0,0,1\right)\right\}$ ?
Tu respuesta al paso 4cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado a) i: la intersección de tres subespacios es subespacio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $R\cap S\cap T$ no es vacío: el $\overline{0}$ está en los tres, porque todo subespacio lo contiene.
2. Si $\overline{x}$ e $\overline{y}$ están en la intersección, están en $R$ , en $S$ y en $T$ a la vez.
3. Cada uno de los tres es cerrado para la combinación lineal, así que $\alpha\overline{x}+\beta\overline{y}$ está en los tres.
4. Luego la combinación vuelve a estar en la intersección, y esta es subespacio.

coordenada	ecuación	despejado
2.ª	$b=1$	$b=1$
4.ª	$d=0$	$d=0$
3.ª	$b+c=0$	$c=-1$
1.ª	$a+2b=2$	$a=0$

Resolución completa

a) i. La intersección. Los tres contienen al $\overline{0}$ , así que la intersección no es vacía. Y si $\overline{x}$ e $\overline{y}$ están en los tres, cada uno de los tres —siendo subespacio— contiene a $\alpha\overline{x}+\beta\overline{y}$ ; luego la intersección también.

Lo mismo vale para una intersección de cuantos subespacios se quiera, incluso infinitos. Con la unión el argumento falla, y ese es el contraste que hay que tener presente.

a) ii. La unicidad. Si un vector admite dos expresiones sobre la misma familia libre, restándolas queda $\sum\left(\alpha_{i}-\beta_{i}\right)\overline{u}_{i}=\overline{0}$ , y ser libre significa que todos los coeficientes son nulos.

b) i. Los dos subespacios, cada uno en su forma. $S$ viene por generadores y los tres son independientes; además todos tienen la cuarta coordenada nula, así que

\boxed{\;S=\left\{t=0\right\},\quad\dim S=3\;}

$T$ viene por dos ecuaciones independientes, luego $\dim T=2$ . Despejando $x=2y+z$ y $t=-z$ :

T=L\left(\left\{\left(2,1,0,0\right), \left(1,0,1,-1\right)\right\}\right)

La intersección se calcula con las ecuaciones, no con los generadores. Como $S$ es « $t=0$ », basta añadir esa ecuación a las de $T$ : de $z+t=0$ sale $z=0$ , y de $x-2y-z=0$ , $x=2y$ .

\boxed{\;S\cap T=L\left(\left\{\left(2,1,0,0\right)\right\}\right), \quad\dim=1\;}

\dim\left(S+T\right)=3+2-1=4 \;\Longrightarrow\; S+T=\mathbb{R}^{4}

b) ii. Ampliar la base de $S$ . Falta salir del hiperplano $t=0$ , y el vector más barato que lo hace es $\left(0,0,0,1\right)$ :

B=\left\{\left(1,0,0,0\right),\left(2,1,1,0\right), \left(0,0,1,0\right),\left(0,0,0,1\right)\right\}

Es base porque la matriz de sus coordenadas es triangular por bloques con determinante $1$ .

b) iii. Las coordenadas. Resolviendo de la segunda coordenada hacia atrás:

\left(2,1,0,0\right)=\left(2,1,1,0\right)-\left(0,0,1,0\right) \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\left(0,1,-1,0\right)\;}

Que el vector de este apartado sea justo el generador de $S\cap T$ no es casualidad del enunciado: el examen reutiliza el vector que ya ha aparecido, y eso da una comprobación gratis —tiene que salir con cuarta coordenada nula, porque está en $S$ —.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Convocatoria extraordinaria, curso 2021-2022 · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El apartado a) es el mismo que el 2a de la extraordinaria de 2022-2023 · El examen no publica solución ni reparto de puntos: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Tres imágenes sobre una base que no es la canónica

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Demostrar para la aplicación lineal $f:E\longrightarrow F$ :

i. Si $\left\{\overline{u}_{1},\overline{u}_{2},\dots,\overline{u}_{n}\right\}$ es sistema generador de $E$ , entonces $\left\{f\left(\overline{u}_{1}\right),f\left(\overline{u}_{2}\right), \dots,f\left(\overline{u}_{n}\right)\right\}$ es sistema generador del subespacio imagen $\operatorname{Im}f$ .

ii. Si $\left\{\overline{u}_{1},\overline{u}_{2},\dots,\overline{u}_{n}\right\}$ es sistema libre y $f$ es inyectiva, entonces también $\left\{f\left(\overline{u}_{1}\right),f\left(\overline{u}_{2}\right), \dots,f\left(\overline{u}_{n}\right)\right\}$ es libre.

b) Sea $f:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$ la aplicación lineal definida del modo siguiente:

\begin{gathered} f\left(1,1,0\right)=\left(2,0,1\right); \quad f\left(0,2,-1\right)=\left(0,2,-3\right) \\ f\left(1,2,0\right)=\left(3,-1,3\right) \end{gathered}

i. Obtén la expresión de $f$ en la base canónica.

ii. Calcula $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ y halla sus bases y dimensiones.

iii. Clasifica la aplicación.

Las dos demostraciones, la matriz canónica, y las dos bases con la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los tres vectores de partida no son la base canónica. ¿Qué hay que comprobar antes de nada?
02
La imagen del segundo vector canónico
COMP2
De $f\left(1,1,0\right)=\left(2,0,1\right)$ y $f\left(1,2,0\right)=\left(3,-1,3\right)$ , ¿cuánto vale $f\left(0,1,0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas

La matriz en la base canónica

COMP2

La matriz de $f$ en la base canónica. Escribe las filas separadas por punto y coma.

Tu respuesta al paso 3tres filas de tres números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma

Desarrollo

A=\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&-1&-4\\ -1&2&7 \end{pmatrix}

Y se comprueba contra los tres datos del enunciado, que es lo que convierte una matriz plausible en una matriz correcta:

vector	$A\overline{v}$	dato
$\left(1,1,0\right)$	$\left(2,0,1\right)$	✓
$\left(0,2,-1\right)$	$\left(0,2,-3\right)$	✓
$\left(1,2,0\right)$	$\left(3,-1,3\right)$	✓

04
El generador del núcleo
COMP2
El núcleo de $f$ es una recta. ¿Cuál es su generador, tomando el que tiene segunda coordenada $3$ ?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación de $f$ . Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El determinante de $A$ vale $0$ , así que el rango es menor que $3$ .
2. Las dos primeras columnas no son proporcionales, luego el rango es exactamente $2$ y $\dim\operatorname{Im}f=2$ .
3. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\ker f=3-2=1$ , así que $f$ no es inyectiva.
4. Y como la imagen tiene dimensión $2<3$ , tampoco es sobreyectiva: $f$ no es ni inyectiva ni sobreyectiva.

Resolución completa

a) i. Las imágenes de un sistema generador generan la imagen. Todo elemento de $\operatorname{Im}f$ es $f\left(\overline{x}\right)$ para algún $\overline{x}\in E$ ; escribiendo $\overline{x}$ sobre el sistema generador y aplicando linealidad,

f\left(\overline{x}\right) =f\left(\sum\alpha_{i}\overline{u}_{i}\right) =\sum\alpha_{i}f\left(\overline{u}_{i}\right)

a) ii. Y si además es inyectiva, conservan la libertad. De $\sum\alpha_{i}f\left(\overline{u}_{i}\right)=\overline{0}$ y linealidad sale $f\left(\sum\alpha_{i}\overline{u}_{i}\right)=\overline{0}$ ; la inyectividad obliga a que lo de dentro sea $\overline{0}$ , y la libertad de partida, a que todos los $\alpha_{i}$ lo sean.

Juntando los dos apartados sale el corolario que se usa a diario: una aplicación lineal inyectiva lleva bases a bases de la imagen.

b) i. Bajar a la base canónica. Los tres vectores de partida son base —su determinante vale $1$ —, así que los datos determinan $f$ . Se despejan en cadena:

f\left(0,1,0\right)=f\left(1,2,0\right)-f\left(1,1,0\right) =\left(1,-1,2\right)

f\left(1,0,0\right)=f\left(1,1,0\right)-f\left(0,1,0\right) =\left(1,1,-1\right)

f\left(0,0,1\right)=2f\left(0,1,0\right)-f\left(0,2,-1\right) =\left(2,-4,7\right)

\boxed{\;A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&-1&-4\\-1&2&7\end{pmatrix}\;}

b) ii. Núcleo e imagen. $\det A=0$ y las dos primeras columnas no son proporcionales, luego el rango vale $2$ :

\operatorname{Im}f =L\left(\left\{\left(1,1,-1\right), \left(1,-1,2\right)\right\}\right),\quad\dim=2

\boxed{\;\ker f=L\left(\left\{\left(-1,3,-1\right)\right\}\right), \quad\dim=1\;}

El generador del núcleo sale de la relación entre columnas $c_{3}=-c_{1}+3c_{2}$ : sus coeficientes, con el signo cambiado en la última, son el vector buscado. Es más rápido que resolver el sistema.

b) iii. Clasificación. Ni inyectiva ni sobreyectiva. En un endomorfismo las dos fallan a la vez o ninguna, así que basta comprobar una: el determinante nulo ya lo decide todo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Convocatoria extraordinaria, curso 2021-2022 · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El examen no publica solución ni reparto de puntos: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Una ecuación que regala tres inversas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Sea $A$ una matriz cuadrada que cumple la siguiente ecuación:

\left(I+A+A^{2}+A^{3}\right)\left(I-A\right)=0

i. Desarrolla esta ecuación para obtener $A^{4}$ .

ii. ¿Cuáles son las matrices inversas de $A$ , $A^{2}$ y $A^{3}$ ?

b) Dada la siguiente matriz, ¿para qué valor de $a$ existe la inversa? Si es posible, calcula la inversa de $A$ cuando $a=0$ .

A=\begin{pmatrix} -3&1&-1\\ -a&5&-1\\ -6&a&-2 \end{pmatrix}

El valor de A⁴, las tres inversas, y la inversa concreta con su condición.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al desarrollar $\left(I+A+A^{2}+A^{3}\right)\left(I-A\right)$ , ¿qué pasa con los términos intermedios?
02
Los valores donde no hay inversa
COMP2
El determinante de la matriz del apartado b) vale $a^{2}-5a+6$ . ¿Para qué valores de $a$ no existe $A^{-1}$ ?
Tu respuesta al paso 2los valores separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La primera fila de la inversa
COMP2
Para $a=0$ , ¿cuál es la primera fila de $A^{-1}$ ?
Tu respuesta al paso 3tres números entre paréntesis; valen fracciones — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Desarrollando el producto sale $I-A+A-A^{2}+A^{2}-A^{3}+A^{3}-A^{4}$ , donde todo se cancela salvo los extremos.
2. Queda $I-A^{4}=0$ , es decir $A^{4}=I$ .
3. De $A\cdot A^{3}=I$ se deduce que $A$ es inversible y que $A^{-1}=A^{3}$ .
4. Con el mismo argumento, $\left(A^{2}\right)^{-1}=A^{2}$ y $\left(A^{3}\right)^{-1}=A$ .

Resolución completa

a) i. La cuarta potencia, por telescopio. El producto se desarrolla y casi todo se cancela:

\left(I+A+A^{2}+A^{3}\right)\left(I-A\right) =I-A+A-A^{2}+A^{2}-A^{3}+A^{3}-A^{4} =I-A^{4}

\boxed{\;A^{4}=I\;}

Merece la pena ver por qué se puede desarrollar tan alegremente aunque el producto de matrices no sea conmutativo: todas las potencias de una misma matriz conmutan entre sí, así que aquí la no conmutatividad no estorba.

a) ii. Las tres inversas, sin invertir nada. De $A^{4}=I$ salen directas:

matriz	inversa	por qué
$A$	$A^{3}$	$A\cdot A^{3}=A^{4}=I$
$A^{2}$	$A^{2}$	$A^{2}\cdot A^{2}=I$
$A^{3}$	$A$	lo mismo del revés

Y $A^{2}$ es su propia inversa, o sea una involución. No hay que calcular ningún determinante: la ecuación lo da todo.

b) Dónde existe la inversa. Desarrollando el determinante:

\det A=a^{2}-5a+6=\left(a-2\right)\left(a-3\right)

\boxed{\;A^{-1}\text{ existe si y solo si }a\neq2\text{ y }a\neq3\;}

La inversa en $a=0$ , donde el determinante vale $6$ :

\boxed{\;A^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} -10&2&4\\ 6&0&-3\\ 30&-6&-15 \end{pmatrix}\;}

Comprobada por los dos lados. En una inversa de orden $3$ con entradas grandes, multiplicar cuesta menos que revisar la adjunta signo a signo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 4 · Convocatoria extraordinaria, curso 2021-2022 · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El apartado a) es el mismo que el 4a de las ordinarias de 2023-2024 y 2024-2025: tres de las ocho convocatorias · El examen no publica solución ni reparto de puntos: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos valores del parámetro que estropean la diagonalización

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Demuestra que haciendo un cambio de base en el espacio vectorial $E$ , el polinomio característico de la matriz asociada al endomorfismo $f:E\longrightarrow E$ no varía.

b) Calcula los valores del parámetro $a\in\mathbb{R}$ para que la matriz $A$ sea diagonalizable.

A=\begin{pmatrix} 1&-2&-2\\ -2&a&8\\ 2&8&a \end{pmatrix}

La demostración de la invariancia, y los valores del parámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
El polinomio característico sale $-\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-a-8\right) \left(\lambda-a+8\right)$ . ¿Qué hay que estudiar para decidir la diagonalización?
02
El autovalor que no depende del parámetro
COMP2
Uno de los tres autovalores es el mismo para cualquier valor de $a$ . ¿Cuál es?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los valores de a con autovalor repetido
COMP2
¿Para qué valores de $a$ dos de los tres autovalores $1$ , $a+8$ y $a-8$ coinciden?
Tu respuesta al paso 3los valores separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La multiplicidad geométrica en el caso conflictivo
COMP2
Para $a=-7$ , el autovalor $1$ es doble. ¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(A-I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 4un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado a): el polinomio característico no cambia al cambiar de base. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Dos matrices del mismo endomorfismo en bases distintas son semejantes: $A'=P^{-1}AP$ , con $P$ la matriz de cambio.
2. Entonces $A'-\lambda I=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P =P^{-1}\left(A-\lambda I\right)P$ .
3. Tomando determinantes y usando que es multiplicativo, $\det\left(A'-\lambda I\right) =\det\left(P^{-1}\right)\det\left(A-\lambda I\right)\det P$ .
4. Y como $\det\left(P^{-1}\right)\det P=1$ , los dos polinomios característicos coinciden.

ecuación	valor de $a$	autovalores
$a+8=1$	$a=-7$	$1$ , $1$ , $-15$
$a-8=1$	$a=9$	$1$ , $17$ , $1$

Resolución completa

a) La invariancia del polinomio característico. Dos matrices del mismo endomorfismo en bases distintas son semejantes, $A'=P^{-1}AP$ . La clave está en meter también el $\lambda I$ dentro del sándwich:

A'-\lambda I=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P =P^{-1}\left(A-\lambda I\right)P

Y tomando determinantes, que son multiplicativos:

\det\left(A'-\lambda I\right) =\frac{1}{\det P}\det\left(A-\lambda I\right)\det P =\det\left(A-\lambda I\right)

La consecuencia es la que importa: los autovalores son del endomorfismo, no de la matriz. Cambiar de base cambia los números de la tabla, no lo que la aplicación hace.

b) El polinomio, factorizado. Traza $1+2a$ , suma de menores principales $a^{2}+2a-64$ y determinante $a^{2}-64$ dan

p\left(\lambda\right)=-\left(\lambda-1\right) \left(\lambda-a-8\right)\left(\lambda-a+8\right)

\text{autovalores: }\quad 1,\quad a+8,\quad a-8

Que el $1$ salga fijo es lo que hace tratable el ejercicio: solo hay dos formas de que haya repetición, y las dos son ecuaciones de primer grado.

Los dos casos conflictivos.

$a$	autovalores	$A-I$	rango	$\dim\operatorname{Ker}$	¿diagonaliza?
$-7$	$1$ , $1$ , $-15$	3.ª fila $=-$ 2.ª	$2$	$1$	no
$9$	$1$ , $17$ , $1$	rango $2$	$2$	$1$	no

En los dos, la multiplicidad algebraica del $1$ vale $2$ y la geométrica solo $1$ : falta una dirección propia.

\boxed{\;A\text{ es diagonalizable si y solo si } a\neq-7\text{ y }a\neq9\;}

Y conviene fijarse en el orden del razonamiento, porque es lo que hace corto un ejercicio con parámetro: primero se factoriza el polinomio, después se buscan las coincidencias, y solo en esos pocos casos se calculan rangos. Ir al revés —calcular $\operatorname{rg}\left(A-\lambda I\right)$ con $a$ dentro— es un cálculo con parámetro mucho más caro y mucho más fácil de equivocar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2021-2022

Reconocer el camino

La dimensión del primero

La dimensión de la intersección

Las coordenadas en la base ampliada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La imagen del segundo vector canónico

La matriz en la base canónica

El generador del núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Los valores donde no hay inversa

La primera fila de la inversa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El autovalor que no depende del parámetro

Los valores de a con autovalor repetido

La multiplicidad geométrica en el caso conflictivo

Justificar el argumento