Preparar la convocatoria extraordinaria

Sistemas, rangos y operaciones con matrices

no da puntos — los sostiene todos3 escalones

No cae solo — está dentro de las 8

No lo pide con estas palabras. Lo pide con «hallar una base del núcleo», «calcular las coordenadas en la base B’», «hallar los vectores propios» y, en la extraordinaria, también con «desarrolla esta ecuación para obtener A⁴».

Ni matrices ni sistemas ocupan un hueco del examen: cero de treinta y dos entre los dos. Y aun así se usan en los cuatro. En la extraordinaria pesan además por otro sitio: el hueco 3 es de determinantes, y ahí hacen falta las potencias, la traspuesta y el producto —cosas del tema 3— antes de tocar ninguna inversa.

Clasificar antes de resolver

Decir si un sistema tiene solución, cuántas y de cuántos parámetros depende, comparando dos rangos y sin haber despejado nada.

leerRouché-Fröbenius: la clasificación en dos comparaciones

Dos comparaciones y ya está clasificado. La primera decide si hay solución; la segunda, cuántas.

ejemploClasificar un sistema en dos comparaciones
El más corto, y enseña a mirar antes de escalonar: la tercera ecuación es la suma de las dos primeras.
prácticaDos parámetros, y solo tres casos que abrir
Del boletín, con dos parámetros, y el guion los separa: uno se decide sin tocar el otro.
ejemploCramer, y el único caso en que compensa
El tercer método, y el único caso en que compensa: cuando piden una incógnita y no las tres. Aquí pesa doble, porque el hueco 3 de la extraordinaria es de determinantes y este ejercicio los usa para algo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Clasificar un sistema en dos comparaciones

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar y resolver el sistema

\begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+2z=5\\ 2x\phantom{{}+y}+3z=11 \end{cases}

La clasificación por Rouché, y la solución.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de escalonar: la tercera ecuación es la suma de las dos primeras. ¿Qué significa eso?
02
El rango de la matriz de coeficientes
COMP2
¿Cuánto vale $r\left(A\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántos parámetros tendrá la solución
COMP2
Con $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)=2$ y tres incógnitas, ¿de cuántos parámetros depende la solución?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La solución con z = 1
COMP2
Tomando $z=1$ como parámetro, ¿cuál es la solución $\left(x,y,z\right)$ ?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tercera fila de la ampliada es la suma de las dos primeras, términos independientes incluidos.
2. Por tanto $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)=2$ , y el sistema es compatible.
3. Como ese rango es menor que las tres incógnitas, el sistema es indeterminado, con $3-2=1$ parámetro.
4. Fijando $z$ como parámetro, las dos primeras ecuaciones dan $x$ e $y$ en función de él.

Resolución completa

La lectura que resuelve medio ejercicio. Antes de escalonar conviene mirar si alguna ecuación se deduce de las otras, y aquí salta a la vista:

\left(1,1,1\mid6\right)+\left(1,-1,2\mid5\right) =\left(2,0,3\mid11\right)

La tercera fila de la ampliada entera —términos independientes incluidos— es la suma de las dos primeras. Eso garantiza dos cosas de golpe: que los dos rangos coinciden, y que valen $2$ .

Rouché, en dos comparaciones.

comparación	resultado
$r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)$	compatible
$r=2<3=n$	indeterminado, con $3-2=1$ parámetro

Y la solución. Con $z=t$ :

\boxed{\;\left(x,y,z\right) =\left(\tfrac{11-3t}{2},\;\tfrac{1+t}{2},\;t\right)\;}

que con $t=1$ da $\left(4,1,1\right)$ .

El detalle que decide entre compatible e incompatible. Si la tercera ecuación fuese $2x+3z=12$ en lugar de $11$ , la matriz $A$ tendría el mismo rango $2$ pero la ampliada subiría a $3$ : sería incompatible. La diferencia entre las dos situaciones está entera en el término independiente, y por eso Rouché mira las dos matrices y no solo una.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. La prosa de este tema escribe la fórmula de Cramer y dice cuándo compensa, y ni un solo ejercicio del boletín la aplicaba paso a paso: el boletín entra directamente por discusiones con parámetro. No es de examen ni del boletín.

Cramer, y el único caso en que compensa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

De este sistema solo se pide $y$ :

$\begin{cases} 2x+y+z=5\\ x+3y+2z=9\\ x+y+z=4 \end{cases}$

Calcularla sin resolver el sistema entero.

El valor de $y$ , y por qué aquí Cramer gana a Gauss.

01
Reconocer el camino
COMP1
El tema dice que Cramer «casi nunca compensa». ¿Qué tiene este enunciado para que aquí sí?
02
El determinante del sistema
COMP2
¿Cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La incógnita que piden
COMP2
¿Cuánto vale $y$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sistema es cuadrado y $\det A=1\neq0$ , luego es de Cramer: tiene solución y es única.
2. Como solo piden $y$ , basta con el determinante de $A$ con su segunda columna cambiada por los términos independientes.
3. Ese determinante vale $2$ , así que $y=2/1=2$ , sin haber calculado $x$ ni $z$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas de antemano cuántos parámetros va a tener la respuesta —es $n-r$ — y que ante un homogéneo no escribas nunca «incompatible».

Las tres cosas que el producto de matrices no cumple

Reconocer que el producto de matrices no conmuta, que tiene divisores de cero y que no se puede simplificar, y llevar un contraejemplo de cada una en la cabeza.

leerLas operaciones, y las tres cosas que el producto no cumple

La figura trae el par de matrices de la propia hoja de teoría oficial. Vale la pena memorizarlo: cabe en el margen del examen.

ejemploLos mismos dos factores, y dos resultados distintos
Los dos productos seguidos, y la conclusión sobre simplificar.
examenUna ecuación que regala tres inversas
De la extraordinaria de 2021-2022, y es exactamente el error que este escalón previene: de un producto nulo no se sigue nada.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Los mismos dos factores, y dos resultados distintos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean

A=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}

a) Calcular $AB$ y $BA$ .

b) A la vista del resultado, ¿se puede deducir de $AX=AY$ que $X=Y$ ?

Los dos productos, y qué se puede concluir de una igualdad de productos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para calcular la entrada $\left(2,1\right)$ del producto $AB$ , ¿qué hay que combinar?
02
El primer producto
COMP2
¿Cuánto vale $AB$ ? Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2dos filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
Y el mismo producto al revés
COMP2
¿Cuánto vale $BA$ ?
Tu respuesta al paso 3dos filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena lo que se puede y no se puede concluir. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $AB$ y $BA$ salen distintos, luego el producto de matrices no es conmutativo.
2. De $AX=AY$ se sigue $A\left(X-Y\right)=0$ , por la distributiva.
3. Pero un producto de matrices puede ser nulo sin que ningún factor lo sea: hay divisores de cero.
4. Así que $X-Y$ no tiene por qué ser la matriz nula, y no se puede simplificar. Solo si $A$ es inversible se puede multiplicar por $A^{-1}$ y concluir $X=Y$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante « $\left(I+A+A^{2}+A^{3}\right)\left(I-A\right)=0$ » no escribas nunca «luego uno de los dos factores es la matriz nula».

Potencias, sin multiplicar cien veces

Bajar el grado de una potencia con una relación entre $A^{2}$ , $A$ e $I$ , sin diagonalizar y sin multiplicar la matriz por sí misma.

leerPotencias, y el atajo de Cayley-Hamilton

En orden $2$ los dos coeficientes se leen de la matriz. Es Cayley-Hamilton, y el boletín lo pide sin nombrarlo.

ejemploBajar el grado de una potencia sin multiplicar
Los coeficientes sin calcular $A^{2}$ , y luego $A^{3}$ reducido a $\alpha A+\beta I$ .
prácticaPartir una matriz en su mitad simétrica y su mitad antisimétrica
Del boletín, y es el otro uso de la traspuesta: toda cuadrada se parte en dos, de una sola manera.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Bajar el grado de una potencia sin multiplicar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}$ .

a) Encontrar dos números $m$ y $n$ tales que $A^{2}+mA+nI=0$ , sin calcular $A^{2}$ .

b) Usar esa relación para escribir $A^{3}$ como $\alpha A+\beta I$ .

Los dos coeficientes, y la reducción de A³.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De dónde salen $m$ y $n$ sin multiplicar nada?
02
El coeficiente que acompaña a A
COMP2
¿Cuánto vale $m$ en $A^{2}+mA+nI=0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de A en A³
COMP2
Usando $A^{2}=5A-4I$ , se escribe $A^{3}=\alpha A+\beta I$ . ¿Cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El polinomio característico de una matriz de orden $2$ es $\lambda^{2}-\left(\operatorname{traza}A\right)\lambda+\det A$ .
2. Por Cayley-Hamilton, la matriz anula su propio polinomio característico: $A^{2}-5A+4I=0$ .
3. De ahí $A^{2}=5A-4I$ , que permite bajar el grado de cualquier potencia.
4. Aplicándolo dos veces sale $A^{3}=21A-20I$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «halla $m$ y $n$ para que $A^{2}+mA+nI=0$ » leas la traza y el determinante en vez de calcular $A^{2}$ .

lo tienes cuando:

Que sepas resolver un sistema con parámetro empezando por el determinante, y que ante un producto de matrices no des por hecho que se puede reordenar ni simplificar.

Hueco 1 · Demostrar que algo es subespacio, con base y dimensión

las 8 convocatorias — 7 piden demostrar3 escalones

Cae 8 de 8 años

«Demostrar que uno de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial y que el otro no lo es», «hallar una base y la dimensión», «calcula las coordenadas del vector respecto de la base obtenida».

El ejercicio 1 es de espacios vectoriales en las ocho convocatorias. Siete de ocho piden demostrar que algo es subespacio, siete de ocho piden base o dimensión, seis de ocho piden coordenadas y cinco de ocho ponen el subespacio dentro de un espacio de matrices. Y hay algo propio de la extraordinaria: las tres que piden demostrar la unicidad de la expresión de una combinación lineal son extraordinarias.

Decidirlo, y demostrarlo en una línea

Descartar un conjunto en diez segundos mirando si contiene al vector nulo, y demostrar que otro sí lo es escribiéndolo como una clausura lineal.

leerSubespacio: la comprobación que cabe en tres líneas

El criterio es «lineal e igualada a cero, o no lo es». Todo lo demás —un $7$ , un cuadrado, un $\geq$ — lo estropea.

ejemploLo primero que se mira, y por qué se acaba ahí
Tres conjuntos, y el tercero enseña el límite del atajo: contiene al cero y aun así no es subespacio.
prácticaOcho conjuntos, y cuáles aguantan las dos condiciones
Del boletín, ocho de golpe. Cinco lo son.
prácticaOcho candidatos a subespacio de R⁴
Ocho conjuntos de $\mathbb{R}^{4}$ y dos filtros que deciden seis: ¿está el cero? ¿los parámetros recorren $\mathbb{R}$ ?
prácticaTres conjuntos de funciones, y el criterio es el mismo
Los vectores son funciones y el criterio es el mismo. Un cuadrado, una constante, y una condición lineal homogénea.
prácticaLos polinomios de grado uno, con las operaciones de siempre
Y el mismo salto con polinomios: comprobar los ocho axiomas sobre los de grado menor o igual que uno. Funciones y polinomios están aquí seguidos a propósito — el examen puede llamar vector a cualquier cosa, y lo que hay que tener automatizado es la lista de comprobaciones, no el dibujo de la flecha.
examenDos conjuntos casi iguales, y solo uno es subespacio
De la extraordinaria de 2022-2023, y con matrices de $2\times3$ : dos conjuntos casi iguales y solo uno vale.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo primero que se mira, y por qué se acaba ahí

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{3}$ se dan estos tres conjuntos:

\begin{aligned} A &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x-2y=0\right\} \\ B &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x-2y=3\right\} \\ C &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x^{2}=y\right\} \end{aligned}

Decidir cuáles son subespacios vectoriales, y dar la dimensión de los que lo sean.

Cuáles de los tres son subespacios, y la dimensión de los que lo sean.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de comprobar nada, ¿qué se mira primero en los tres?
02
La dimensión del que sí lo es
COMP2
¿Cuál es la dimensión de $A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de los tres conjuntos. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $B$ queda descartado sin hacer nada: $\left(0,0,0\right)$ no cumple $x-2y=3$ , y todo subespacio contiene al nulo.
2. $C$ sí contiene al nulo — $0^{2}=0$ —, así que hay que mirar las operaciones.
3. Y falla: $\left(1,1,0\right)$ está en $C$ , pero $2\cdot\left(1,1,0\right)=\left(2,2,0\right)$ no, porque $2^{2}=4\neq2$ .
4. $A$ sí lo es, y se ve escribiéndolo como $L\left(\left\{\left(2,1,0\right), \left(0,0,1\right)\right\}\right)$ , de dimensión $2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un término independiente no nulo, un cuadrado o una desigualdad escribas «no» sin más cuentas; y que ante un conjunto por parámetros escribas $L(G)$ y lo des por demostrado.

Base, dimensión, y por qué las coordenadas son únicas

Sacar base y dimensión de cualquier subespacio dado por parámetros, y demostrar que la expresión de un vector sobre una familia libre es única.

leerBase, dimensión y coordenadas

La demostración se hace restando, igual que la de «inyectiva si y solo si el núcleo es nulo» del tema 2. Es la misma idea dos veces.

ejemploDel elemento genérico a la base, en tres pasos
El molde de los tres pasos: elemento genérico, separar, contar.
prácticaLa base de los polinomios de grado dos, y una familia que también lo es
Los vectores son polinomios: igualar coeficientes es la demostración de que una familia es libre.
prácticaCompletar tres vectores hasta una base de R⁵
Teorema de la base incompleta en la práctica: canónicos de uno en uno, comprobando que el rango sube.
examenPor qué las coordenadas son únicas, y un subespacio de matrices
De la extraordinaria de 2024-2025, y trae las dos cosas juntas: la unicidad y un subespacio de matrices.
examenDos combinaciones que a veces son dependientes
De la extraordinaria de 2023-2024, con un parámetro en la dependencia lineal y las matrices de traza nula.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Del elemento genérico a la base, en tres pasos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el subconjunto de $\mathbb{R}^{4}$

S=\left\{\left(a,\;2a,\;b,\;a-b\right)\;/\;a,b\in\mathbb{R}\right\}

Demostrar que es subespacio vectorial y hallar una base y su dimensión.

La demostración, una base y la dimensión.

01
Reconocer el camino
COMP1
El conjunto viene dado por parámetros, no por ecuaciones. ¿Cuál es la forma más corta de demostrar que es subespacio?
02
La dimensión
COMP2
¿Cuál es la dimensión de $S$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El vector de la base que sale con a = 1
COMP2
Poniendo $a=1$ y $b=0$ , ¿qué vector se obtiene?
Tu respuesta al paso 3cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se escribe el elemento genérico y se separa por parámetros: $\left(a,2a,b,a-b\right) =a\left(1,2,0,1\right)+b\left(0,0,1,-1\right)$ .
2. Eso dice que $S$ es exactamente el conjunto de las combinaciones lineales de esos dos vectores, es decir $S=L\left(\left\{\left(1,2,0,1\right), \left(0,0,1,-1\right)\right\}\right)$ .
3. Y como toda clausura lineal es subespacio vectorial, $S$ lo es.
4. Los dos generadores son independientes, así que además forman base y $\dim S=2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que puedas escribir de memoria la demostración de la unicidad —son cuatro líneas y todo el peso lo lleva la definición de libre— y que no la confundas con «luego es base».

Coordenadas, suma e intersección

Cambiar de base en los dos sentidos, y calcular $S+T$ y $S\cap T$ eligiendo la forma cómoda de cada uno.

leerCambiar de base, y en qué sentido va cada cosa

La tabla de dos filas. De la base nueva a la vieja se multiplica; al revés, se resuelve.

ejemploCoordenadas, y en qué sentido va cada cuenta
Los dos sentidos seguidos, en $\mathbb{R}^{2}$ .
prácticaUn plano y una recta, y la suma que llena el espacio
Del boletín: un plano y una recta que no está dentro.
prácticaLa base nueva leída en las ecuaciones del cambio de coordenadas
Las ecuaciones dan $X = PY$ : la base nueva son las columnas de $P$ , pero en coordenadas de la vieja. Confundir coordenadas con vector es el error del ejercicio.
prácticaExamen: dos subespacios de R⁵ por ecuaciones
De examen: los dos por ecuaciones, la intersección es el sistema conjunto y la suma sale por Grassmann.
examenUno viene por generadores y el otro por ecuaciones
De la extraordinaria de 2021-2022, y es el caso cómodo servido: uno por generadores y otro por ecuaciones.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Coordenadas, y en qué sentido va cada cuenta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{2}$ se considera $B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ , que es base.

a) Hallar las coordenadas del vector $\left(4,2\right)$ en la base $B$ .

b) Si un vector $\overline{w}$ tiene coordenadas $\left(2,-1\right)$ en la base $B$ , ¿cuál es $\overline{w}$ ?

Las coordenadas de un vector, y el vector de unas coordenadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos apartados van en sentidos contrarios. ¿Cuál de los dos se resuelve sin plantear un sistema?
02
Las coordenadas de (4,2)
COMP2
¿Cuáles son las coordenadas de $\left(4,2\right)$ en la base $B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ ?
Tu respuesta al paso 2dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
El vector que tiene coordenadas (2,−1)
COMP2
Si $\overline{w}$ tiene coordenadas $\left(2,-1\right)$ en $B$ , ¿cuál es $\overline{w}$ en coordenadas canónicas?
Tu respuesta al paso 3dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de los dos apartados. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las coordenadas de un vector en una base son los coeficientes de la única combinación lineal de la base que da ese vector.
2. En a) se conoce el vector y se buscan los coeficientes: hay que resolver $a\left(1,1\right)+b\left(1,-1\right)=\left(4,2\right)$ , y sale $\left(3,1\right)$ .
3. En b) se conocen los coeficientes y se busca el vector: basta sustituir, y sale $\left(1,3\right)$ .
4. Los dos apartados son la misma operación en sentidos contrarios, y solo uno de ellos exige resolver un sistema.

Resolución completa

Qué son las coordenadas. Fijada una base $B$ , todo vector se escribe de una sola manera como combinación lineal de ella, y esos coeficientes son sus coordenadas en $B$ . La unicidad es lo que hace que la palabra «las» tenga sentido, y viene de que $B$ es libre.

a) De la canónica a $B$ : hay que resolver.

a\left(1,1\right)+b\left(1,-1\right)=\left(4,2\right) \;\Longrightarrow\; \begin{cases}a+b=4\\a-b=2\end{cases} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\left(4,2\right)\big|_{B}=\left(3,1\right)\;}

b) De $B$ a la canónica: basta sustituir.

\overline{w}=2\left(1,1\right)-1\left(1,-1\right) =\boxed{\;\left(1,3\right)\;}

La regla que hay que llevar aprendida, porque es la que decide el apartado de cambio de base en el examen:

de dónde a dónde	qué se hace
de la base nueva a la vieja	multiplicar
de la vieja a la nueva	resolver un sistema

El sentido barato es el que va hacia la base en la que están escritos los vectores. Y si dudas, la comprobación es siempre la misma: sustituye tus coeficientes en la combinación y mira si sale el vector de partida.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que digas en voz alta si el apartado es «multiplicar» o «resolver» antes de escribir nada, y que compruebes Grassmann al final aunque no te lo pidan.

lo tienes cuando:

Que ante cualquier conjunto decidas en diez segundos si el vector nulo está dentro, y que si lo está sepas escribirlo como $L(G)$ en una línea.

Hueco 2 · La matriz asociada, el núcleo y la imagen

las 8 convocatorias — la matriz en otra base3 escalones

Cae 8 de 8 años

«Hallar la matriz de f en las bases B y B’», «calcular una base de Ker f e Im f y clasificar la aplicación», «obtén la expresión de f en la base canónica».

El ejercicio 2 es de aplicaciones lineales en las ocho convocatorias, y pide la matriz asociada en las ocho, bases y dimensiones de Ker e Im en las ocho y clasificar en siete de ocho. Es el ejercicio más previsible del examen. Y en la extraordinaria hay una vuelta de tuerca: dos de las cuatro piden además la matriz en otra base que no es la canónica.

La matriz, y por qué va en columnas

Escribir la matriz asociada y comprobarla contra los datos del enunciado, sin confundirla con su traspuesta.

leerLa matriz asociada, y por qué las imágenes van en columnas

La hoja de teoría de este tema no define la matriz asociada: está en la de Matrices, apartado 3.2.

ejemploTres candidatas, y solo una es lineal
Va el primero porque va antes en el examen: si la aplicación no es lineal, no hay ninguna matriz que escribir.
ejemploLa matriz asociada, columna a columna
El molde, con una aplicación de $\mathbb{R}^{2}$ en $\mathbb{R}^{3}$ .
prácticaTres aplicaciones de R³ en R³, y la del término independiente
Del boletín, con los mismos tres casos y otros números.
prácticaLas ecuaciones de f a partir de las imágenes de una base
Bases abstractas y matriz $4\times3$ : las ecuaciones $y_i$ salen leyendo columnas, y una relación entre ellas da el núcleo.
examenDe un espacio de dimensión 4 a uno de dimensión 3
De la extraordinaria de 2022-2023, con una matriz $3\times4$ : el orden ya avisa de que no puede ser inyectiva.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La matriz asociada, columna a columna

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$ la aplicación lineal que cumple

f\left(1,0\right)=\left(1,2,0\right), \qquad f\left(0,1\right)=\left(0,-1,3\right)

a) Escribir la matriz asociada a $f$ en las bases canónicas.

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ , con sus dimensiones, y clasificar la aplicación.

La matriz asociada, el núcleo, la imagen y la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
$f$ va de $\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}^{3}$ . ¿De qué orden es su matriz asociada?
02
La matriz
COMP2
La matriz asociada a $f$ . Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2tres filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
La dimensión del núcleo
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación de f. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las columnas de $A$ generan la imagen, y como no son proporcionales, $\dim\operatorname{Im}f=2$ .
2. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\operatorname{Ker}f=2-2=0$ , así que el núcleo es $\left\{\overline{0}\right\}$ y $f$ es inyectiva.
3. La imagen tiene dimensión $2$ dentro de $\mathbb{R}^{3}$ , que tiene dimensión $3$ : $f$ no es sobreyectiva.
4. Luego $f$ es un monomorfismo, y no es isomorfismo.

Resolución completa

a) La matriz. Las imágenes de la base canónica, puestas en columna:

\boxed{\;A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\\0&3\end{pmatrix}\;}

Tres filas —la dimensión del espacio de llegada— y dos columnas —la del de partida—. La regla que hay que llevar: columnas = de dónde sale, filas = a dónde llega.

b) Imagen y núcleo, sin resolver ningún sistema. La imagen la generan las columnas:

\operatorname{Im}f =L\left(\left\{\left(1,2,0\right),\left(0,-1,3\right)\right\}\right), \qquad \dim\operatorname{Im}f=2

Las dos son independientes porque no son proporcionales. Y con eso, la fórmula de las dimensiones da el núcleo de regalo:

\boxed{\;\operatorname{Ker}f=\left\{\overline{0}\right\}, \quad\dim\operatorname{Ker}f=0\;}

La clasificación, y con una lectura que se puede hacer antes de calcular:

propiedad	¿se cumple?	por qué
inyectiva	sí	el núcleo es nulo
sobreyectiva	no	$\dim\operatorname{Im}=2<3$
endomorfismo	no	sale de $\mathbb{R}^{2}$ y llega a $\mathbb{R}^{3}$

Es un monomorfismo. Y la segunda fila estaba decidida desde el principio: de un espacio de dimensión $2$ a uno de dimensión $3$ no se puede ser sobreyectivo, porque la imagen tiene como mucho dimensión $2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que después de escribirla multipliques por los vectores del enunciado y compruebes que salen sus imágenes.

Datos torcidos, y la matriz en otra base

Despejar las imágenes de la base canónica a partir de datos mezclados, y reescribir la matriz en una base distinta.

leerLa matriz cuando las bases no son la canónica

Este escalón junta dos asuntos y el apartado enlazado es el del segundo, que es el que costaba: la fórmula de la matriz no cambia al cambiar de base, lo que cambia es que las coordenadas ya no vienen regaladas. El apartado de al lado, «Cuando los datos vienen cruzados», cubre el primero, y su paso que más se salta es comprobar que los vectores de partida son base.

prácticaTres datos encadenados, y la fórmula de f
Del boletín, con las restas servidas: cada dato sale del anterior.
prácticaUn automorfismo de R⁴, una antiimagen, y la matriz en otra base
Cinco apartados sobre un automorfismo, y el último es la matriz en otra base: imágenes de $B$ , escritas en $B$ .
prácticaExamen: el núcleo es subespacio, y una f de R² en R³ en dos bases nuevas
De examen: cambiar la base de llegada obliga a resolver un sistema por columna. Sin atajo, y con comprobación.
examenTres datos torcidos, y la aplicación que sale de ellos
De la extraordinaria de 2023-2024, y pide la matriz en una base $B'$ que da el enunciado.
examenUna aplicación que llega dada por tres datos sueltos
De la extraordinaria de 2024-2025, con la misma vuelta de tuerca: la matriz asociada en otra base.

nivel: practicaEjercicio 9 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres datos encadenados, y la fórmula de f

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{4}$ una aplicación lineal definida de la siguiente forma:

\begin{cases} f\left(1,1,1\right)=\left(1,1,1,3\right)\\ f\left(1,1,0\right)=\left(1,1,1,2\right)\\ f\left(1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right) \end{cases}

a) Calcular la imagen del vector $\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}$ .

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ .

La fórmula general de f, y el núcleo y la imagen.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los tres vectores de partida no son la base canónica. ¿Qué hay que comprobar antes de nada?
02
La imagen del tercer vector canónico
COMP2
De $f\left(1,1,1\right)$ y $f\left(1,1,0\right)$ , ¿cuánto vale $f\left(0,0,1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
La imagen del vector genérico
COMP2
La última coordenada de $f\left(x,y,z\right)$ . ¿Cuánto vale para $\left(2,3,5\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del núcleo y la imagen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la fórmula $f\left(x,y,z\right)=\left(x,x,x,x+y+z\right)$ , el núcleo son los vectores con $x=0$ y $x+y+z=0$ .
2. Es decir, $x=0$ e $y=-z$ , que es la recta generada por $\left(0,1,-1\right)$ : el núcleo tiene dimensión $1$ .
3. La imagen la generan las columnas de la matriz: $\left(1,1,1,1\right)$ y $\left(0,0,0,1\right)$ , que son independientes, así que tiene dimensión $2$ .
4. Y la fórmula de las dimensiones cuadra: $1+2=3$ , la dimensión del espacio de partida.

Resolución completa

a) Despejar en cadena. Los tres vectores de partida son base —su matriz es triangular con unos en la diagonal, determinante $1$ —, así que los datos determinan $f$ . Y las restas están servidas:

f\left(0,0,1\right)=f\left(1,1,1\right)-f\left(1,1,0\right) =\left(0,0,0,1\right)

f\left(0,1,0\right)=f\left(1,1,0\right)-f\left(1,0,0\right) =\left(0,0,0,1\right)

f\left(1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right)

Y por linealidad:

\boxed{\;f\left(x,y,z\right)=\left(x,\;x,\;x,\;x+y+z\right)\;}

con matriz asociada

A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}

Que $f\left(0,1,0\right)$ y $f\left(0,0,1\right)$ salgan iguales no es un error, y conviene no dudar ahí: significa que $\left(0,1,-1\right)$ va al cero, es decir, que el núcleo no es trivial. El propio cálculo lo está anunciando.

b) Núcleo e imagen. Del núcleo: $x=0$ y $x+y+z=0$ , o sea $y=-z$ .

\boxed{\;\operatorname{Ker}f =L\left(\left\{\left(0,1,-1\right)\right\}\right),\quad\dim=1\;}

De la imagen, generada por las columnas —hay solo dos distintas y son independientes—:

\boxed{\;\operatorname{Im}f =L\left(\left\{\left(1,1,1,1\right), \left(0,0,0,1\right)\right\}\right),\quad\dim=2\;}

Y la comprobación, que aquí es especialmente útil porque los dos espacios tienen dimensiones distintas y es fácil restar sobre el número equivocado:

\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f =1+2=3=\dim\mathbb{R}^{3}

Sobre el $3$ del espacio de partida, no sobre el $4$ del de llegada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un núcleo dado por ecuaciones escribas $f\left(\overline{v}\right)=\overline{0}$ y lo uses como un dato más; y que sepas que la matriz en otra base se obtiene con el cambio de base por los dos lados.

Núcleo, imagen y la fórmula que decide antes de calcular

Dar bases y dimensiones del núcleo y la imagen leyendo las columnas, y clasificar la aplicación con la fórmula de las dimensiones.

leerLa fórmula de las dimensiones, y lo que decide antes de calcular

La tercera fila de la tabla es la que más se falla, y solo vale en un endomorfismo.

ejemploLo que la fórmula de las dimensiones decide sin cuentas
El contraejemplo de esa frase: sobreyectiva y no inyectiva a la vez, porque no es un endomorfismo.
prácticaNúcleo e imagen leídos de la fórmula
Del boletín, con una variable que no aparece en la fórmula.
prácticaInyectiva pero no suprayectiva, y por qué no puede ser de otra forma
De $\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}^{3}$ nunca es suprayectiva; lo único que hay que comprobar es el rango.
prácticaExamen: rango, inyectividad y suprayectividad, y una f definida sobre matrices
De examen: rango e inyectividad, el argumento de paridad de « $\operatorname{Ker}f \ne \operatorname{Im}f$ », y una $f$ sobre matrices $2\times2$ .
examenTres imágenes sobre una base que no es la canónica
De la extraordinaria de 2021-2022: tres datos sobre una base que no es la canónica, y un determinante nulo al final.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo que la fórmula de las dimensiones decide sin cuentas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{4}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$ la aplicación lineal

f\left(x,y,z,t\right)=\left(x+z,\;y-t\right)

a) ¿Puede ser inyectiva? Responder antes de calcular nada, y decir por qué.

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ con sus bases y dimensiones, y clasificar $f$ .

La respuesta razonada, y las dos bases con la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sin mirar la fórmula de $f$ , ¿qué se puede afirmar ya?
02
La dimensión del núcleo
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un vector del núcleo
COMP2
De los vectores del núcleo, ¿cuál es el que tiene primera coordenada $1$ y segunda $0$ ?
Tu respuesta al paso 3cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento entero. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La imagen vive en $\mathbb{R}^{2}$ , así que $\dim\operatorname{Im}f\leq2$ .
2. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\operatorname{Ker}f=4-\dim\operatorname{Im}f\geq2$ : el núcleo no puede ser nulo y $f$ no es inyectiva.
3. Calculando, el rango vale $2$ , así que $\dim\operatorname{Im}f=2$ y $\dim\operatorname{Ker}f=2$ .
4. Y como $\dim\operatorname{Im}f=2=\dim\mathbb{R}^{2}$ , la imagen es todo el espacio de llegada: $f$ es sobreyectiva pero no inyectiva.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}$ digas «no puede ser inyectiva» antes de leer los datos, y que en un endomorfismo sepas que las dos propiedades van juntas.

lo tienes cuando:

Que ante tres datos cruzados llegues a la matriz sin dudar del orden, y que la compruebes contra los datos del enunciado antes de seguir.

Hueco 3 · La inversa, y para qué valores existe

lo que distingue la extraordinaria — 4 de 84 escalones

Cae 4 de 8 años

«¿Para qué valor de a existe la inversa? Si es posible, calcula la inversa de A cuando a = 0», «calcular el valor de x para que exista A⁻¹», «para el caso x = −2, calcular A⁻¹».

Este es el bloque que distingue la extraordinaria de la ordinaria. El hueco 3 es de determinantes en las cuatro convocatorias extraordinarias y de espacios euclídeos en las cuatro ordinarias: no rota, está partido por convocatoria. Y dentro de las cuatro extraordinarias, las cuatro piden una inversa y las cuatro la condicionan a un parámetro.

Las propiedades, que son el ejercicio

Calcular determinantes de productos, traspuestas, potencias, inversas y múltiplos sin desarrollar ninguno.

leerLas propiedades, que son el ejercicio

La tabla de ocho propiedades. La del escalar es la que cae y la que más se falla: el factor sale de cada fila.

ejemploCinco determinantes sin desarrollar ninguno
Cinco determinantes sin desarrollar ninguno.
prácticaCinco factores lineales de una cinco por cinco
Una $5\times5$ que se factoriza en cinco factores lineales, y el enunciado pide nombrar la propiedad de cada paso.
prácticaExamen: la identidad de la adjunta, y un determinante que es (λ−1)⁶
De examen: la identidad $A(A^{*})^{T} = |A|\,I$ demostrada, y un determinante que es $(\lambda-1)^{6}$ .
examenCinco determinantes sin calcular ninguno
De la ordinaria de 2022-2023 —el único año en que estas propiedades caen fuera de una extraordinaria—, y pide exactamente los cinco.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Cinco determinantes sin desarrollar ninguno

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden $3$ con $\det A=3$ y $\det B=-2$ . Calcular, sin conocer las matrices:

\det\left(AB\right), \quad \det\left(2A\right), \quad \det\left(A^{T}B\right), \quad \det\left(A^{-1}\right), \quad \det\left(A^{3}\right)

Los cinco valores, usando solo propiedades.

01
Reconocer el camino
COMP1
De los cinco, ¿cuál es el único que depende del orden de las matrices y no solo de sus determinantes?

02

El del escalar

COMP2

¿Cuánto vale $\det\left(2A\right)$ ?

Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

\det\left(2A\right)=2^{3}\det A=8\cdot3=24

En general, $\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det A$ con $n$ el orden. Los otros cuatro salen de propiedades directas:

pedido	propiedad	valor
$\det\left(AB\right)$	multiplicativo	$3\cdot\left(-2\right)=-6$
$\det\left(A^{T}B\right)$	trasponer no cambia	$-6$
$\det\left(A^{-1}\right)$	$1/\det A$	$1/3$
$\det\left(A^{3}\right)$	multiplicativo, tres veces	$27$

03
El de la potencia
COMP2
¿Cuánto vale $\det\left(A^{3}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de los cinco. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El determinante es multiplicativo, así que $\det\left(AB\right)=3\cdot\left(-2\right)=-6$ .
2. Trasponer no cambia el determinante, luego $\det\left(A^{T}B\right)$ vale lo mismo: $-6$ .
3. De $AA^{-1}=I$ y $\det I=1$ sale $\det\left(A^{-1}\right)=1/3$ .
4. El determinante es lineal en cada fila, así que $\det\left(2A\right)=2^{3}\cdot3=24$ ; y aplicando la multiplicatividad tres veces, $\det\left(A^{3}\right)=27$ .

Resolución completa

Los cinco salen de propiedades, y ninguno de desarrollar nada.

pedido	propiedad	valor
$\det\left(AB\right)$	el determinante es multiplicativo	$-6$
$\det\left(2A\right)$	$\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det A$ , con $n=3$	$8\cdot3=24$
$\det\left(A^{T}B\right)$	trasponer no lo cambia	$-6$
$\det\left(A^{-1}\right)$	de $AA^{-1}=I$	$1/3$
$\det\left(A^{3}\right)$	multiplicativo, tres veces	$27$

El único con trampa es el segundo, y por eso cae: el factor sale de cada fila, y hay tres. La ordinaria de 2022-2023 lo pregunta tal cual, con $\left\lvert 2B\right\rvert$ y $B$ de orden $3$ .

La confusión entre los dos «elevar», que conviene tener separada:

\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det A \qquad\text{el exponente lo pone el ORDEN}

\det\left(A^{k}\right)=\left(\det A\right)^{k} \qquad\text{el exponente lo pone la POTENCIA}

Y lo que no se puede hacer: $\det\left(A+B\right)\neq\det A+\det B$ . El determinante es multiplicativo, no aditivo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Calcularlo eligiendo bien por dónde

Elegir entre Sarrus, adjuntos y Gauss según la matriz, y fabricar ceros antes de desarrollar cuando no los hay.

leerCalcularlo: tres caminos y cuándo usar cada uno

Elegir bien la fila es la mitad del trabajo: una fila con tres ceros convierte un orden $4$ en un orden $3$ .

ejemploUna fila con tres ceros, y un orden 4 que se hace en una línea
Un orden $4$ resuelto con un determinante de orden $3$ .
prácticaCinco por cinco que se vacía restando la primera fila
El patrón «todas las filas casi iguales»: restar la primera a las demás y queda triangular.
prácticaExamen: cuándo existe la inversa, y un determinante que gira
De examen: cuándo existe la inversa, $A^{2}-A-I = 0$ , y un determinante circulante que vale $1875$ .
prácticaUn orden 4 por Gauss, y la comprobación por otro camino
Del boletín, y la mitad del enunciado es comprobarlo por otro camino. En un examen sin calculadora eso no es un lujo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una fila con tres ceros, y un orden 4 que se hace en una línea

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular

\det A=\begin{vmatrix} 2&1&0&3\\ 0&0&1&0\\ 1&4&2&1\\ 3&0&1&2 \end{vmatrix}

El valor del determinante, con el desarrollo más corto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué fila o columna conviene desarrollar?
02
El menor que queda
COMP2
Al desarrollar por la segunda fila, el único término no nulo lleva el menor que sale de quitar la fila $2$ y la columna $3$ . ¿Cuánto vale ese determinante de orden $3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El determinante, con su signo
COMP2
¿Cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El desarrollo por adjuntos vale para cualquier fila o columna, así que se elige la que tenga más ceros: la segunda.
2. De los cuatro sumandos, tres se anulan y solo queda el de la entrada $\left(2,3\right)$ , que vale $1$ .
3. Su menor complementario, quitando la fila $2$ y la columna $3$ , vale $-19$ .
4. El adjunto lleva el signo $\left(-1\right)^{2+3}=-1$ , así que $\det A=-\left(-19\right)=19$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que antes de empezar mires dónde hay ceros; que sepas que Sarrus solo existe en orden $3$ ; y que si divides una fila en Gauss recuerdes multiplicar el resultado por ese factor.

La inversa, y los valores que la estropean

Decidir para qué valores del parámetro existe la inversa, y calcularla para uno concreto por el camino que corresponda al orden.

leerLa matriz inversa

Los dos caminos y cuándo compensa cada uno. La figura enseña por qué Gauss-Jordan funciona.

prácticaUna inversa de orden 4, y por qué la adjunta no es el camino
Del boletín, orden $4$ y determinante $1$ : la inversa sale con todo enteros.
prácticaExamen: dos afirmaciones falsas sobre A² = I, y una inversa con α
De examen: dos contraejemplos a « $A^{2} = I$ », el rango según $\alpha$ y la inversa entera para $\alpha = 0$ .
prácticaExamen: cuándo existe la inversa con una k en la diagonal, y cuánto vale para k = 1
De examen: $\det = k^{2}(k-3)$ dividiendo entre $k$ , con el caso $k = 0$ aparte, y la inversa para $k = 1$ .
examenUn parámetro que decide si hay inversa
De la extraordinaria de 2022-2023: una matriz $4\times4$ con parámetro, y el determinante sale $x^{2}-1$ .
examenUna ecuación que regala tres inversas
De la extraordinaria de 2021-2022, y trae las dos formas: una inversa regalada por una ecuación, y otra con parámetro.
examenUna identidad que recupera el producto escalar, y una inversa
De la extraordinaria de 2023-2024, con la identidad de polarización en el apartado a) y la inversa en el b).
examenLa desigualdad triangular, y una matriz que falla en tres sitios
De la extraordinaria de 2024-2025, con Minkowsky delante y la misma inversa con parámetro detrás.

nivel: practicaEjercicio 4.14 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una inversa de orden 4, y por qué la adjunta no es el camino

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla la inversa de

A=\begin{pmatrix} 1&-1&2&1\\ -2&3&-4&1\\ 5&-8&11&-4\\ -2&3&-4&2 \end{pmatrix}

La matriz inversa.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para una matriz de orden $4$ , ¿qué método conviene?
02
El determinante, que decide si existe
COMP2
¿Cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La primera fila de la inversa
COMP2
¿Cuál es la primera fila de $A^{-1}$ ?
Tu respuesta al paso 3cuatro números entre paréntesis, separados por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La inversa existe si y solo si $\det A\neq0$ , así que lo primero es calcular el determinante: vale $1$ .
2. Se escribe $\left(A\mid I\right)$ y se hacen operaciones de fila sobre las ocho columnas a la vez.
3. Cuando la mitad izquierda llega a la identidad, la derecha es $A^{-1}$ : cada operación de fila es multiplicar por la izquierda por una matriz inversible, y lo acumulado es el producto que lleva $A$ hasta $I$ .
4. Se comprueba multiplicando $AA^{-1}$ , que tiene que dar la identidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que la respuesta a «¿para qué valor existe?» sea «para todos menos estos dos», y que en orden $4$ no intentes la adjunta: son dieciséis determinantes de orden $3$ .

El rango, cuando el determinante se anula

Discutir el rango de una matriz con parámetro sin abrir un caso por cada valor.

leerEl rango

El procedimiento de tres pasos, y el aviso de que los valores que anulan el determinante son los únicos que hay que estudiar aparte.

ejemploUn parámetro, y solo un valor que estropea el rango
Un solo valor lo estropea, y ahí el rango baja a $1$ y no a $2$ .
prácticaExamen: la condición de invertibilidad, y un rango con parámetro
De examen: el rango de $aI+J$ según $a$ , con los dos valores que lo bajan y cuánto lo bajan.
prácticaUn núcleo que es un sistema homogéneo con parámetro
Del boletín de sistemas, y es el mismo cálculo con otro nombre: la dimensión del núcleo según el parámetro.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un parámetro, y solo un valor que estropea el rango

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar el rango de

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

según los valores del parámetro $a\in\mathbb{R}$ .

El rango para cada valor del parámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por dónde se empieza a discutir el rango de una matriz con parámetro?
02
El determinante en función del parámetro
COMP2
Para $a=3$ , ¿cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor que lo estropea
COMP2
¿Para qué valores de $a$ se anula el determinante?
Tu respuesta al paso 3los valores separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión del rango. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Restando la primera fila a las otras dos, el determinante queda $\left(a-1\right)^{2}$ .
2. Si $a\neq1$ , el determinante no es nulo y el rango vale $3$ : el máximo posible.
3. Si $a=1$ , la matriz tiene sus tres filas iguales a $\left(1,1,1\right)$ .
4. Y entonces el rango vale $1$ , porque solo hay una fila independiente.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que cuando el determinante de orden $3$ se anule no contestes «rango 2» por inercia: hay que mirar la matriz en ese valor.

lo tienes cuando:

Que ante una matriz con parámetro calcules el determinante primero, digas «existe para todos menos estos» aunque la pregunta esté en singular, y elijas Gauss-Jordan si el orden es 4.

Hueco 4 · Diagonalizar, y decidir cuándo se puede

las 8 — con teoría de autovalores4 escalones

Cae 8 de 8 años

«Demostrar que los autovectores asociados a autovalores diferentes son linealmente independientes», «calcula los valores del parámetro a para que la matriz A sea diagonalizable», «en caso de ser diagonalizable, diagonalizar A dando la matriz de cambio de base».

El ejercicio 4 es de diagonalización en las ocho convocatorias, y en las ocho pide una demostración de teoría además del cálculo. Seis de las ocho meten un parámetro, y las cuatro extraordinarias están entre esas seis: en la extraordinaria el parámetro es la norma, no la excepción.

Los autovalores, sin desarrollar el determinante

Sacar autovalores con la traza, el determinante y los tres atajos, antes de desarrollar nada.

leerLeerlo sin desarrollarlo

Y las dos comprobaciones gratis: los autovalores suman la traza y multiplican el determinante.

ejemploLos dos autovalores de una matriz de dos por dos
El más pequeño posible, y ya usa el atajo de las filas.
prácticaEl característico de una 4×4, contrastado con traza y determinante
Del boletín: la traza y el determinante como comprobación gratis de los autovalores, antes de creerse el polinomio.
prácticaUn bloque de dos por dos y una coordenada que va sola
Una coordenada que va sola y un bloque $2\times2$ de filas de igual suma: los tres autovalores sin un solo determinante.
examenEl autovector como ecuación, y tres parámetros que caen
De la extraordinaria de 2022-2023, y la idea es al revés: el autovector dado es un sistema de tres ecuaciones.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Los dos autovalores de una matriz de dos por dos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ .

a) Calcular sus autovalores.

b) Dar un autovector de cada uno.

Los dos autovalores, y un autovector de cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos filas de $A$ suman lo mismo, $3$ . ¿Qué se saca de ahí sin calcular nada?
02
El otro autovalor
COMP2
Sabiendo que $3$ es autovalor y que la traza vale $4$ , ¿cuál es el otro autovalor?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El autovector del otro
COMP2
Un autovector de $\lambda=1$ , con primera coordenada $1$ .
Tu respuesta al paso 3dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos filas suman $3$ , así que $A\left(1,1\right)^{T}=\left(3,3\right)^{T}$ y $\lambda=3$ es autovalor con autovector $\left(1,1\right)$ .
2. La traza vale $4$ y es la suma de los autovalores, luego el otro es $1$ .
3. Su autovector sale de $\left(A-I\right)\overline{x}=\overline{0}$ , que es la ecuación $x+y=0$ : por ejemplo $\left(1,-1\right)$ .
4. Los dos son perpendiculares, y eso está garantizado porque $A$ es simétrica.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante una matriz cuyas filas suman lo mismo escribas ese número como autovalor y $\left(1,\dots,1\right)$ como su autovector.

Las dos multiplicidades, que es lo que se examina

Decidir si una matriz diagonaliza comparando, para cada autovalor repetido, la multiplicidad algebraica con el rango de $A-\lambda I$ .

leerLas dos multiplicidades, que es todo el tema

La figura lo resume: dos columnas que parten del mismo polinomio y acaban en respuestas opuestas.

ejemploDos matrices con el mismo polinomio, y solo una diagonaliza
El caso mínimo, en dos por dos. Vale la pena memorizarlo.
prácticaUna que no diagonaliza, y cómo se ve
Del boletín, con dos filas proporcionales que regalan el autovalor cero.
prácticaUn autovalor doble que sí llena su subespacio
La pareja buena: autovalor doble con rango 1, y diagonaliza.
prácticaExamen: la demostración de independencia y la matriz que no diagonaliza
De examen: la demostración de que autovectores de autovalores distintos son libres, y la matriz que no diagonaliza.
examenEsta sí se diagonaliza, y no por ser simétrica
De la extraordinaria de 2023-2024, y la que sí se diagonaliza — y no por ser simétrica, que es lo que uno esperaría.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dos matrices con el mismo polinomio, y solo una diagonaliza

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}

a) Comprobar que tienen el mismo polinomio característico.

b) Estudiar si cada una diagonaliza.

El polinomio común, y el estudio de cada una.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos son triangulares con la misma diagonal. ¿Qué se sigue de eso?
02
La dimensión del subespacio propio de A
COMP2
Para $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ y $\lambda=2$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y la de B
COMP2
Para $B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ y $\lambda=2$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(B-2I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos son triangulares con diagonal $\left(2,2\right)$ , así que su polinomio característico es $\left(\lambda-2\right)^{2}$ en las dos.
2. El autovalor $2$ tiene multiplicidad algebraica $2$ en las dos, y todo se juega en la geométrica.
3. En $A$ , la matriz $A-2I$ es nula: rango $0$ y $m_{g}=2=m_{a}$ . Diagonaliza.
4. En $B$ , la matriz $B-2I$ tiene rango $1$ , así que $m_{g}=1<2$ . No diagonaliza.

Resolución completa

a) El mismo polinomio, sin desarrollar nada. Las dos son triangulares, y en una triangular el determinante es el producto de la diagonal. $A-\lambda I$ y $B-\lambda I$ siguen siendo triangulares, así que

p\left(\lambda\right)=\left(2-\lambda\right)^{2}

en las dos. Autovalor $\lambda=2$ con multiplicidad algebraica $2$ .

b) Y aquí se separan. Todo depende de la multiplicidad geométrica, que es un rango:

	$M-2I$	rango	$m_{g}$	¿diagonaliza?
$A$	$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$	$0$	$2$	sí
$B$	$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$	$1$	$1$	no

\boxed{\;A\text{ diagonaliza};\quad B\text{ no}\;}

Este es el ejemplo mínimo del tema, y merece la pena tenerlo memorizado: dos matrices de dos por dos, con el mismo polinomio característico factorizado, y respuestas opuestas.

Por qué $B$ no puede diagonalizar, dicho sin fórmulas. Si diagonalizara, sería semejante a $\operatorname{diag}\left(2,2\right)=2I$ . Pero $P^{-1}\left(2I\right)P=2I$ para cualquier $P$ : la única matriz semejante a $2I$ es ella misma. Y $B\neq2I$ .

Y la conexión con el examen. La ordinaria de 2022-2023 pone esta misma idea con dos matrices de orden $3$ : comprueba que sus polinomios característicos son iguales, y luego pregunta cuál diagonaliza. Una sí y la otra no.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que solo calcules rangos en los autovalores repetidos, y que si sale «no diagonaliza» escribas cuántas direcciones hay y cuántas faltan.

El parámetro, y los dos valores que lo estropean

Encontrar los valores del parámetro para los que una matriz deja de diagonalizar, sin abrir un caso por cada número.

leerCon parámetro

Tres pasos, y el orden es lo que hace corto el ejercicio. Ir al revés lo alarga sin necesidad.

ejemploDos matrices con el mismo polinomio, y solo una diagonaliza
Las dos multiplicidades, que son lo que el parámetro pone en juego.
prácticaUna simétrica, y la ortogonalidad que hay que fabricar
Del boletín, y trae el paso que se salta: dentro del autovalor doble hay que ortogonalizar.
prácticaCuándo diagonaliza una triangular con parámetros
Tres parámetros en una triangular, y solo dos deciden: el rango de $A-I$ y de $A-cI$ .
prácticaEl parámetro que decide si el autovalor doble llena su plano
El parámetro desaparece del polinomio característico y aun así manda, a través del rango de $A-I$ .
prácticaDiagonalizar con dos parámetros, y la P ortogonal que no depende de ellos
Dos parámetros a la vez, y el mejor final del boletín: los autovalores salen $x+m$ , $x-m$ y $2$ —dependen de todo— y la matriz de paso no depende de ninguno de los dos. Sale ortogonal sin tocar Gram-Schmidt.
examenDos valores del parámetro que estropean la diagonalización
De la extraordinaria de 2021-2022, y es el molde: los autovalores salen $1$ , $a+8$ y $a-8$ , y solo dos valores los hacen coincidir.
examenDiagonalizar con una base ortonormal, que aquí sí se puede
De la extraordinaria de 2024-2025, que además pide la matriz de paso ortogonal.

nivel: examenEjercicio 4 · Convocatoria extraordinaria, curso 2021-2022 · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · El apartado a) es el mismo que el 4a de las ordinarias de 2023-2024 y 2024-2025: tres de las ocho convocatorias · El examen no publica solución ni reparto de puntos: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

Dos valores del parámetro que estropean la diagonalización

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Demuestra que haciendo un cambio de base en el espacio vectorial $E$ , el polinomio característico de la matriz asociada al endomorfismo $f:E\longrightarrow E$ no varía.

b) Calcula los valores del parámetro $a\in\mathbb{R}$ para que la matriz $A$ sea diagonalizable.

A=\begin{pmatrix} 1&-2&-2\\ -2&a&8\\ 2&8&a \end{pmatrix}

La demostración de la invariancia, y los valores del parámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
El polinomio característico sale $-\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-a-8\right) \left(\lambda-a+8\right)$ . ¿Qué hay que estudiar para decidir la diagonalización?
02
El autovalor que no depende del parámetro
COMP2
Uno de los tres autovalores es el mismo para cualquier valor de $a$ . ¿Cuál es?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Los valores de a con autovalor repetido
COMP2
¿Para qué valores de $a$ dos de los tres autovalores $1$ , $a+8$ y $a-8$ coinciden?
Tu respuesta al paso 3los valores separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La multiplicidad geométrica en el caso conflictivo
COMP2
Para $a=-7$ , el autovalor $1$ es doble. ¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(A-I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 4un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración del apartado a): el polinomio característico no cambia al cambiar de base. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Dos matrices del mismo endomorfismo en bases distintas son semejantes: $A'=P^{-1}AP$ , con $P$ la matriz de cambio.
2. Entonces $A'-\lambda I=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P =P^{-1}\left(A-\lambda I\right)P$ .
3. Tomando determinantes y usando que es multiplicativo, $\det\left(A'-\lambda I\right) =\det\left(P^{-1}\right)\det\left(A-\lambda I\right)\det P$ .
4. Y como $\det\left(P^{-1}\right)\det P=1$ , los dos polinomios característicos coinciden.

ecuación	valor de $a$	autovalores
$a+8=1$	$a=-7$	$1$ , $1$ , $-15$
$a-8=1$	$a=9$	$1$ , $17$ , $1$

Resolución completa

a) La invariancia del polinomio característico. Dos matrices del mismo endomorfismo en bases distintas son semejantes, $A'=P^{-1}AP$ . La clave está en meter también el $\lambda I$ dentro del sándwich:

A'-\lambda I=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P =P^{-1}\left(A-\lambda I\right)P

Y tomando determinantes, que son multiplicativos:

\det\left(A'-\lambda I\right) =\frac{1}{\det P}\det\left(A-\lambda I\right)\det P =\det\left(A-\lambda I\right)

La consecuencia es la que importa: los autovalores son del endomorfismo, no de la matriz. Cambiar de base cambia los números de la tabla, no lo que la aplicación hace.

b) El polinomio, factorizado. Traza $1+2a$ , suma de menores principales $a^{2}+2a-64$ y determinante $a^{2}-64$ dan

p\left(\lambda\right)=-\left(\lambda-1\right) \left(\lambda-a-8\right)\left(\lambda-a+8\right)

\text{autovalores: }\quad 1,\quad a+8,\quad a-8

Que el $1$ salga fijo es lo que hace tratable el ejercicio: solo hay dos formas de que haya repetición, y las dos son ecuaciones de primer grado.

Los dos casos conflictivos.

$a$	autovalores	$A-I$	rango	$\dim\operatorname{Ker}$	¿diagonaliza?
$-7$	$1$ , $1$ , $-15$	3.ª fila $=-$ 2.ª	$2$	$1$	no
$9$	$1$ , $17$ , $1$	rango $2$	$2$	$1$	no

En los dos, la multiplicidad algebraica del $1$ vale $2$ y la geométrica solo $1$ : falta una dirección propia.

\boxed{\;A\text{ es diagonalizable si y solo si } a\neq-7\text{ y }a\neq9\;}

Y conviene fijarse en el orden del razonamiento, porque es lo que hace corto un ejercicio con parámetro: primero se factoriza el polinomio, después se buscan las coincidencias, y solo en esos pocos casos se calculan rangos. Ir al revés —calcular $\operatorname{rg}\left(A-\lambda I\right)$ con $a$ dentro— es un cálculo con parámetro mucho más caro y mucho más fácil de equivocar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que factorices el polinomio en función del parámetro, busques dónde coinciden dos autovalores —dos ecuaciones de primer grado— y solo ahí calcules rangos.

Y para qué sirve: potencias

Usar $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ para calcular una potencia grande sin multiplicar la matriz por sí misma.

leerPara qué sirve: potencias

ejemploPara qué sirve: una potencia grande sin multiplicar cien veces
La potencia cuarta con la fórmula, y la general de propina.
prácticaExamen: diagonalizar para calcular una potencia
De examen: $A^{20}$ con $D^{20} = I$ . Y la trampa de creer que $P$ y $P^{-1}$ se cancelan con la $D$ en medio.
prácticaExamen: la matriz que intercambia, y sus potencias
De examen: $A^{6}$ y $A^{-1}$ con $P$ ortogonal, sin invertir nada.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Para qué sirve: una potencia grande sin multiplicar cien veces

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ , cuyos autovalores son $3$ y $1$ , con autovectores $\left(1,1\right)$ y $\left(1,-1\right)$ .

a) Escribir $P$ y $D$ con $P^{-1}AP=D$ .

b) Usar $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ para calcular $A^{4}$ .

La matriz de paso y la diagonal, y una potencia cuarta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se pone en las columnas de $P$ , y en qué orden?
02
La matriz de paso
COMP2
Poniendo el autovalor $3$ primero, ¿cuál es $P$ ? Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2dos filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
La entrada de arriba a la izquierda de A⁴
COMP2
Usando $A^{4}=PD^{4}P^{-1}$ , ¿cuánto vale la entrada $\left(1,1\right)$ de $A^{4}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los autovectores en columnas dan $P$ , y los autovalores en el mismo orden dan $D$ , con $AP=PD$ .
2. Como $\det P\neq0$ , se puede despejar $P^{-1}AP=D$ , o equivalentemente $A=PDP^{-1}$ .
3. Entonces $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , porque los $P^{-1}P$ del medio se cancelan uno tras otro.
4. Y $D^{n}$ es la diagonal con cada entrada elevada a $n$ , que es lo que convierte una potencia de matrices en una de números.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas decir en una frase por qué se diagonaliza: para cambiar a la base donde la matriz no hace nada complicado.

lo tienes cuando:

Que ante una matriz con parámetro factorices el polinomio primero y solo calcules rangos donde dos autovalores coinciden.

Lo que hay que llevar en la cabeza

el apartado a) es teoría pura7 referencias

Nada, directamente. Pero las cuatro extraordinarias empiezan cada ejercicio con una definición o una demostración, y eso no se improvisa.

En las ocho convocatorias los cuatro ejercicios llevan un apartado (a) de teoría pura. Y leídas las cuatro extraordinarias una a una, se repiten dos, las dos en tres de los cuatro años. La primera es la unicidad de la expresión —que sobre una familia libre un vector se escribe de una sola forma—, y siempre en el ejercicio 1: 2021-22, 2022-23 y 2024-25, esta última con el nombre de «las coordenadas de un vector son únicas». La segunda es una desigualdad de espacios euclídeos: Pitágoras en 2022-23, la identidad de polarización en 2023-24 y Minkowsky en 2024-25 — y eso pese a que el hueco 3 de la extraordinaria sea de determinantes. Va el último porque es repaso.

leerLo que hay que llevar sabido
Diez puntos. El primero —¿está el cero?— resuelve más ejercicios que los otros nueve juntos.
leerLo que hay que llevar sabido
Y el punto 3 avisa de algo que no es culpa tuya: la matriz asociada no está en la hoja de teoría de este tema.
leerLo que hay que llevar sabido
Once puntos, y el décimo —el orden se invierte en la inversa de un producto— hace falta para operar en el hueco 3, aunque no sea una de las demostraciones que caen aquí: $\left(AB\right)^{-1} =B^{-1}A^{-1}$ se ha pedido demostrar una vez en ocho convocatorias, la ordinaria de 2022-23, y en 2023-24 aparece como paso dentro de otra. En extraordinaria, ninguna.
leerLo que hay que llevar sabido
Doce puntos. El séptimo es el que más veces se ha preguntado sin preguntarlo: el polinomio característico no decide.
examenDos conjuntos casi iguales, y solo uno es subespacio
Y aquí las dos que se repiten, escritas. Esta es la unicidad de la expresión tal como cayó en 2022-23, con esas palabras exactas. Sale de restar dos expresiones del mismo vector y usar que la familia es libre: tres líneas.
examenLa desigualdad triangular, y una matriz que falla en tres sitios
Y esta es la desigualdad de euclídeos de 2024-25, Minkowsky. Vale por las tres: Pitágoras, polarización y Minkowsky salen todas de desarrollar $\left\|x+y\right\|^{2}$ y quedarse con un trozo distinto.
prácticaExamen: por qué el polinomio característico no depende de la base
Y la invarianza del polinomio característico, que aquí ha caído una vez de cuatro pero es corta y no cuesta llevarla.

lo tienes cuando:

Que puedas escribir de memoria las dos que se repiten: la unicidad de la expresión de un vector sobre una familia libre, y una desigualdad de euclídeos —Pitágoras, polarización o Minkowsky—, que son la misma cuenta con tres finales distintos. La invarianza del polinomio característico conviene llevarla también, pero sabiendo el dato: en extraordinaria ha caído una vez de cuatro, en 2021-22; donde se repite es en la ordinaria.

Preparar la convocatoria extraordinaria

Sistemas, rangos y operaciones con matrices

Clasificar antes de resolver

Reconocer el camino

El rango de la matriz de coeficientes

Cuántos parámetros tendrá la solución

La solución con z = 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante del sistema

La incógnita que piden

Justificar el argumento

Las tres cosas que el producto de matrices no cumple

Reconocer el camino

El primer producto

Y el mismo producto al revés

Justificar el argumento

Potencias, sin multiplicar cien veces

Reconocer el camino

El coeficiente que acompaña a A

El coeficiente de A en A³

Justificar el argumento

Hueco 1 · Demostrar que algo es subespacio, con base y dimensión

Decidirlo, y demostrarlo en una línea

Reconocer el camino

La dimensión del que sí lo es

Justificar el argumento

Base, dimensión, y por qué las coordenadas son únicas

Reconocer el camino

La dimensión

El vector de la base que sale con a = 1

Justificar el argumento

Coordenadas, suma e intersección

Reconocer el camino

Las coordenadas de (4,2)

El vector que tiene coordenadas (2,−1)

Justificar el argumento

Hueco 2 · La matriz asociada, el núcleo y la imagen

La matriz, y por qué va en columnas

Reconocer el camino

La matriz

La dimensión del núcleo

Justificar el argumento

Datos torcidos, y la matriz en otra base

Reconocer el camino

La imagen del tercer vector canónico

La imagen del vector genérico

Justificar el argumento

Núcleo, imagen y la fórmula que decide antes de calcular

Reconocer el camino

La dimensión del núcleo

Un vector del núcleo

Justificar el argumento

Hueco 3 · La inversa, y para qué valores existe

Las propiedades, que son el ejercicio

Reconocer el camino

El del escalar

El de la potencia

Justificar el argumento

Calcularlo eligiendo bien por dónde

Reconocer el camino

El menor que queda

El determinante, con su signo

Justificar el argumento

La inversa, y los valores que la estropean

Reconocer el camino

El determinante, que decide si existe

La primera fila de la inversa

Justificar el argumento

El rango, cuando el determinante se anula

Reconocer el camino

El determinante en función del parámetro

El valor que lo estropea

Justificar el argumento

Hueco 4 · Diagonalizar, y decidir cuándo se puede

Los autovalores, sin desarrollar el determinante

Reconocer el camino

El otro autovalor

El autovector del otro

Justificar el argumento