Álgebra · tema 04

Determinantes

El determinante, la matriz inversa y el rango. Y por qué casi nunca hay que desarrollarlo entero.

El determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada y que contesta de golpe varias preguntas que sin él costarían un sistema entero:

¿Es inversible? Sí exactamente cuando $\det A\neq0$ .
¿Son independientes estos $n$ vectores? Sí exactamente cuando el determinante de la matriz que forman no es nulo.
¿Es este endomorfismo biyectivo? Lo mismo.
¿Cuál es el rango? El orden de la mayor submatriz con determinante no nulo.

Y este tema trae además la matriz inversa y el rango, que mucha gente busca en el tema de Matrices y no están ahí: son los apartados 4 y 5 de este.

Ocupa el hueco del ejercicio 3 en 4 de las 8 convocatorias —las otras cuatro son euclídeos—, y siempre de la misma forma: una matriz con un parámetro, «¿para qué valores existe la inversa?», y calcularla para uno concreto.

Las propiedades, que son el ejercicio

Casi nunca hay que desarrollar un determinante entero. Lo que se examina es usar las propiedades para no tener que hacerlo, y estas son las que rinden:

propiedad	qué dice
$\det\left(A^{T}\right)=\det A$	trasponer no lo cambia
$\det\left(AB\right)=\det A\cdot\det B$	es multiplicativo
$\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det A$	el escalar sale de cada fila
$\det\left(A^{-1}\right)=1/\det A$	sale de $AA^{-1}=I$
fila de ceros	el determinante es $0$
dos filas iguales o proporcionales	el determinante es $0$
intercambiar dos filas	cambia de signo
sumar a una fila un múltiplo de otra	no lo cambia

Las dos últimas son las que hacen posible el método de Gauss: se puede triangular sumando múltiplos de filas sin tocar el valor, y cada intercambio se paga con un signo.

La tercera es la que más se falla, y cae literalmente: la ordinaria de 2022-2023 pide $\left\lvert 2B\right\rvert$ con $B$ de orden $3$ y $\left\lvert B\right\rvert=12$ . La respuesta es $2^{3}\cdot12=96$ , no $24$ .

Sacar el escalar una sola vez

$\det\left(\lambda A\right)$ no es $\lambda\det A$ . El determinante es lineal en cada fila por separado, así que multiplicar la matriz entera por $\lambda$ multiplica el determinante por $\lambda^{n}$ , con $n$ el orden.

La forma de no olvidarlo es hacerlo despacio: se saca el $\lambda$ de la primera fila, luego de la segunda, luego de la tercera. ¿Cuántos han salido?

Y una que no está en la lista, porque es falsa y todo el mundo la usa alguna vez:

\det\left(A+B\right)\neq\det A+\det B

El determinante es multiplicativo, no aditivo. Contraejemplo en dos segundos: con $A=B=I$ de orden $2$ , la izquierda vale $4$ y la derecha $2$ .

Calcularlo: tres caminos y cuándo usar cada uno

1 · Orden 2 y 3, de memoria. En orden $2$ , $ad-bc$ . En orden $3$ , la regla de Sarrus. Más allá de $3$ , Sarrus no existe y aplicarla es un error frecuente.

2 · Por adjuntos. Se elige la fila o columna con más ceros y se desarrolla:

\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}, \qquad A_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}\alpha_{ij}

donde $\alpha_{ij}$ es el menor complementario —el determinante que queda al quitar la fila $i$ y la columna $j$ — y $A_{ij}$ es el adjunto, que es lo mismo con el signo del tablero de ajedrez.

Elegir bien la fila es la mitad del trabajo. Si una fila tiene tres ceros y un uno, el determinante de orden $4$ se convierte en uno de orden $3$ de un plumazo.

3 · Por Gauss. Se triangula sumando múltiplos de filas —que no cambia el valor— y al final el determinante es el producto de la diagonal. Cada intercambio de filas cambia el signo, y hay que anotarlo.

Dividir una fila y olvidar el factor

En el método de Gauss se puede sumar a una fila un múltiplo de otra sin tocar el determinante. Pero dividir una fila entre un número sí lo cambia: lo divide entre ese número.

Si divides para conseguir un $1$ en la diagonal, tienes que multiplicar el resultado final por ese mismo número. La forma segura de evitarlo es no dividir nunca: solo restar múltiplos.

La matriz inversa

A\text{ es inversible}\iff\det A\neq0

Y cuando existe, hay dos formas de calcularla. Las dos aparecen en el examen y conviene saber cuándo elige cada una.

Por la adjunta

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(A^{*}\right)^{T}

donde $A^{*}$ es la matriz adjunta: la que tiene en cada posición el adjunto del elemento correspondiente. Ojo a las dos operaciones que van después: se traspone y se divide por el determinante.

Cuesta $n^{2}$ determinantes de orden $n-1$ . Para orden $3$ son nueve determinantes de orden $2$ : perfectamente asumible. Para orden $4$ son dieciséis de orden $3$ , y eso ya es demasiado en un examen.

Por Gauss-Jordan

Se escribe $\left(A\mid I\right)$ y se hacen operaciones de fila hasta que la izquierda sea $I$ . Lo que quede a la derecha es $A^{-1}$ .

Para orden $4$ es el único camino razonable, y es el que piden las dos extraordinarias que traen una inversa de ese tamaño.

Funciona porque cada operación de fila es multiplicar por la izquierda por una matriz inversible: al llegar a la identidad, lo acumulado a la derecha es exactamente el producto que lleva A hasta I, o sea su inversa.

Y la comprobación no es opcional. En una inversa de orden $4$ hay dieciséis entradas y cualquiera puede llevarse un signo. Multiplicar $AA^{-1}$ cuesta menos que revisarla entrada a entrada — y hay que hacerlo por los dos lados cuando el ejercicio es de teoría, aunque para matrices cuadradas uno de los dos basta.

Las tres propiedades que caen

\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, \qquad \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}, \qquad \det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}

La primera invierte el orden, y es la que el examen pide demostrar. La demostración es exhibir la candidata y comprobar los dos lados:

\left(AB\right)\left(B^{-1}A^{-1}\right)=A\left(BB^{-1}\right)A^{-1}=AA^{-1}=I

El rango

r\left(A\right)=\text{orden de la mayor submatriz de determinante no nulo}

y equivale a el número de filas —o de columnas— linealmente independientes. Las dos definiciones son la misma y conviene tener las dos, porque cada una es cómoda en un sitio:

si te dan	usa
una matriz numérica	Gauss: escalona y cuenta filas no nulas
una matriz con parámetro	determinantes: mira dónde se anulan

Con parámetro, el procedimiento es siempre el mismo y evita discutir casos a ciegas:

Calcula el determinante de la matriz entera, en función del parámetro.
Los valores que no lo anulan dan rango máximo. Ahí se acabó.
Solo para los valores que lo anulan, se busca una submatriz menor con determinante no nulo.

El rango es lo que conecta este tema con todos los demás: es la dimensión de la imagen de una aplicación lineal, es el número de vectores independientes de una familia, y es lo que decide si un sistema tiene solución.

Discutir todos los casos del parámetro

Cuando una matriz lleva un parámetro, la tentación es abrir un caso por cada valor posible. No hace falta: casi todos los valores dan el mismo rango.

El determinante hace el trabajo de separar los casos. Se anula en dos o tres valores concretos, y solo esos hay que estudiar aparte. Todo lo demás cae en «rango máximo» de un plumazo.

Es lo que piden las dos extraordinarias que traen una matriz con parámetro: «¿para qué valor existe la inversa?». La respuesta correcta es «para todos menos dos», aunque la pregunta esté en singular.

Lo que hay que llevar sabido

$\det A\neq0$ es inversible, es rango máximo, es filas independientes. Las tres cosas son la misma.
$\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det A$ . El escalar sale de cada fila.
$\det\left(A+B\right)\neq\det A+\det B$ . Contraejemplo: $A=B=I$ .
$\det\left(A^{T}\right)=\det A$ , y por eso todo lo que vale para filas vale para columnas.
Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante; intercambiar dos filas le cambia el signo; dividir una fila lo divide.
Sarrus solo existe en orden $3$ .
Por adjuntos, elige la fila con más ceros. Es la mitad del trabajo.
$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(A^{*}\right)^{T}$ : adjunta, traspuesta, y dividida.
Orden $4$ : Gauss-Jordan, no adjunta.
$\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ : el orden se invierte.
Con parámetro: primero el determinante, y solo se abren casos donde se anula.

Practica lo que acabas de leer

Cinco determinantes sin desarrollar ninguno

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Cinco determinantes sin desarrollar ninguno

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden $3$ con $\det A=3$ y $\det B=-2$ . Calcular, sin conocer las matrices:

\det\left(AB\right), \quad \det\left(2A\right), \quad \det\left(A^{T}B\right), \quad \det\left(A^{-1}\right), \quad \det\left(A^{3}\right)

Los cinco valores, usando solo propiedades.

01
Reconocer el camino
COMP1
De los cinco, ¿cuál es el único que depende del orden de las matrices y no solo de sus determinantes?

El del escalar

COMP2

¿Cuánto vale $\det\left(2A\right)$ ?

Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

\det\left(2A\right)=2^{3}\det A=8\cdot3=24

En general, $\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det A$ con $n$ el orden. Los otros cuatro salen de propiedades directas:

pedido	propiedad	valor
$\det\left(AB\right)$	multiplicativo	$3\cdot\left(-2\right)=-6$
$\det\left(A^{T}B\right)$	trasponer no cambia	$-6$
$\det\left(A^{-1}\right)$	$1/\det A$	$1/3$
$\det\left(A^{3}\right)$	multiplicativo, tres veces	$27$

03
El de la potencia
COMP2
¿Cuánto vale $\det\left(A^{3}\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de los cinco. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El determinante es multiplicativo, así que $\det\left(AB\right)=3\cdot\left(-2\right)=-6$ .
2. Trasponer no cambia el determinante, luego $\det\left(A^{T}B\right)$ vale lo mismo: $-6$ .
3. De $AA^{-1}=I$ y $\det I=1$ sale $\det\left(A^{-1}\right)=1/3$ .
4. El determinante es lineal en cada fila, así que $\det\left(2A\right)=2^{3}\cdot3=24$ ; y aplicando la multiplicatividad tres veces, $\det\left(A^{3}\right)=27$ .

Resolución completa

Los cinco salen de propiedades, y ninguno de desarrollar nada.

pedido	propiedad	valor
$\det\left(AB\right)$	el determinante es multiplicativo	$-6$
$\det\left(2A\right)$	$\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det A$ , con $n=3$	$8\cdot3=24$
$\det\left(A^{T}B\right)$	trasponer no lo cambia	$-6$
$\det\left(A^{-1}\right)$	de $AA^{-1}=I$	$1/3$
$\det\left(A^{3}\right)$	multiplicativo, tres veces	$27$

El único con trampa es el segundo, y por eso cae: el factor sale de cada fila, y hay tres. La ordinaria de 2022-2023 lo pregunta tal cual, con $\left\lvert 2B\right\rvert$ y $B$ de orden $3$ .

La confusión entre los dos «elevar», que conviene tener separada:

\det\left(\lambda A\right)=\lambda^{n}\det A \qquad\text{el exponente lo pone el ORDEN}

\det\left(A^{k}\right)=\left(\det A\right)^{k} \qquad\text{el exponente lo pone la POTENCIA}

Y lo que no se puede hacer: $\det\left(A+B\right)\neq\det A+\det B$ . El determinante es multiplicativo, no aditivo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una fila con tres ceros, y un orden 4 que se hace en una línea

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular

\det A=\begin{vmatrix} 2&1&0&3\\ 0&0&1&0\\ 1&4&2&1\\ 3&0&1&2 \end{vmatrix}

El valor del determinante, con el desarrollo más corto.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué fila o columna conviene desarrollar?
02
El menor que queda
COMP2
Al desarrollar por la segunda fila, el único término no nulo lleva el menor que sale de quitar la fila $2$ y la columna $3$ . ¿Cuánto vale ese determinante de orden $3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El determinante, con su signo
COMP2
¿Cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El desarrollo por adjuntos vale para cualquier fila o columna, así que se elige la que tenga más ceros: la segunda.
2. De los cuatro sumandos, tres se anulan y solo queda el de la entrada $\left(2,3\right)$ , que vale $1$ .
3. Su menor complementario, quitando la fila $2$ y la columna $3$ , vale $-19$ .
4. El adjunto lleva el signo $\left(-1\right)^{2+3}=-1$ , así que $\det A=-\left(-19\right)=19$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un parámetro, y solo un valor que estropea el rango

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar el rango de

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

según los valores del parámetro $a\in\mathbb{R}$ .

El rango para cada valor del parámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por dónde se empieza a discutir el rango de una matriz con parámetro?
02
El determinante en función del parámetro
COMP2
Para $a=3$ , ¿cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor que lo estropea
COMP2
¿Para qué valores de $a$ se anula el determinante?
Tu respuesta al paso 3los valores separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión del rango. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Restando la primera fila a las otras dos, el determinante queda $\left(a-1\right)^{2}$ .
2. Si $a\neq1$ , el determinante no es nulo y el rango vale $3$ : el máximo posible.
3. Si $a=1$ , la matriz tiene sus tres filas iguales a $\left(1,1,1\right)$ .
4. Y entonces el rango vale $1$ , porque solo hay una fila independiente.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.6 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un orden 4 por Gauss, y la comprobación por otro camino

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula el siguiente determinante mediante el método de Gauss y comprueba el resultado mediante otro método:

\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\ 1&3&3&10\\ 1&4&10&20\\ 1&5&15&25 \end{vmatrix}

El valor del determinante, por Gauss y comprobado por otro camino.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera columna es toda unos. ¿Qué operación conviene hacer primero, y por qué no cambia el determinante?
02
La matriz después de la primera tanda
COMP2
Restando la primera fila a las otras tres, ¿qué queda en la segunda fila?
Tu respuesta al paso 2cuatro números entre paréntesis, separados por comas — componentes separadas por comas
03
El determinante
COMP2
¿Cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método de Gauss. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante, y con eso se consiguen ceros bajo la diagonal.
2. Intercambiar dos filas sí lo cambia: le da la vuelta al signo, y hay que anotarlo.
3. Cuando la matriz queda triangular, el determinante es el producto de su diagonal.
4. Aquí no hace falta ningún intercambio, así que el resultado es directamente el producto: $-27$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.14 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una inversa de orden 4, y por qué la adjunta no es el camino

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla la inversa de

A=\begin{pmatrix} 1&-1&2&1\\ -2&3&-4&1\\ 5&-8&11&-4\\ -2&3&-4&2 \end{pmatrix}

La matriz inversa.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para una matriz de orden $4$ , ¿qué método conviene?
02
El determinante, que decide si existe
COMP2
¿Cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La primera fila de la inversa
COMP2
¿Cuál es la primera fila de $A^{-1}$ ?
Tu respuesta al paso 3cuatro números entre paréntesis, separados por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La inversa existe si y solo si $\det A\neq0$ , así que lo primero es calcular el determinante: vale $1$ .
2. Se escribe $\left(A\mid I\right)$ y se hacen operaciones de fila sobre las ocho columnas a la vez.
3. Cuando la mitad izquierda llega a la identidad, la derecha es $A^{-1}$ : cada operación de fila es multiplicar por la izquierda por una matriz inversible, y lo acumulado es el producto que lleva $A$ hasta $I$ .
4. Se comprueba multiplicando $AA^{-1}$ , que tiene que dar la identidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.1 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un determinante que se cierra con una raíz de la unidad

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Si $z \in \mathbb{C}$ es un número complejo que cumple $z^{5} = 1$ , calcula el siguiente determinante:

\begin{vmatrix} z & -z & 0\\ 0 & z^{2} & -1\\ 1 & z & z+1 \end{vmatrix}

El valor del determinante, usando que $z^{5} = 1$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de desarrollar, ¿qué relación entre las potencias de $z$ da la condición $z^{5} = 1$ ?
02
El determinante, para z distinto de 1
COMP2
Desarrollando sale $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z$ . Si $z^{5} = 1$ y $z \ne 1$ , ¿cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Sarrus: $z\cdot z^{2}(z+1) + (-z)(-1)\cdot1 + 0 - \big[0 + z\cdot(-1)\cdot z + 0\big] = z^{4}+z^{3}+z+z^{2}$ .
2. El determinante es $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z$ , un polinomio en $z$ que aún no es un número.
3. $z^{5} = 1$ se factoriza como $(z-1)(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}) = 0$ .
4. Si $z = 1$ : el determinante vale $4$ . Si $z \ne 1$ : $1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4} = 0$ y el determinante vale $-1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.2 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Cinco por cinco que se vacía restando la primera fila

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla:

\begin{vmatrix} 1&1&1&1&1\\ 1&-1&1&1&1\\ 1&1&-1&1&1\\ 1&1&1&-1&1\\ 1&1&1&1&-1 \end{vmatrix}

El valor del determinante.

01
Reconocer el camino
COMP1
Todas las filas son iguales a la primera salvo en una entrada. ¿Qué operación lo aprovecha?
02
El valor
COMP2
Tras $F_i - F_1$ , la matriz es triangular con diagonal $1,-2,-2,-2,-2$ . ¿Cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Restar una fila a otra no cambia el determinante (propiedad de las combinaciones lineales de filas).
2. $F_i - F_1$ para $i = 2,3,4,5$ : cada fila queda con un $-2$ en su posición diagonal y ceros en el resto.
3. La matriz resultante es triangular superior: el determinante es el producto de la diagonal, $1\cdot(-2)^{4}$ .
4. Resultado $16$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.3 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El mismo patrón, con un parámetro en la diagonal

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula el siguiente determinante:

\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2+a&1&1\\ 1&1&2+a&1\\ 1&1&1&2+a \end{vmatrix}

El determinante en función de $a$ , factorizado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué queda en la fila 2 después de restarle la fila 1?
02
Un valor concreto
COMP2
¿Cuánto vale el determinante para $a = 1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $F_i - F_1$ para $i = 2,3,4$ no cambia el determinante.
2. Queda triangular superior con diagonal $1,\ 1+a,\ 1+a,\ 1+a$ .
3. Determinante $= (1+a)^{3}$ .
4. Se anula solo para $a = -1$ , que es cuando todas las filas se hacen iguales a la primera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.4 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Filas proporcionales, más la identidad

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla:

\begin{vmatrix} 1+a & a & a & \cdots & a\\ 2a & 1+2a & 2a & \cdots & 2a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ na & na & na & \cdots & 1+na \end{vmatrix}

El determinante de orden $n$ , en función de $a$ y $n$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
La fila $i$ es « $ia$ en todas las entradas, más un $1$ en la diagonal». ¿Qué operación de columnas limpia eso?
02
Un caso concreto
COMP2
Para $n = 3$ y $a = 2$ , ¿cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $C_j - C_1$ ( $j \ge 2$ ): fila 1 $\to (1+a,-1,\dots,-1)$ ; fila $i \ge 2$ $\to (ia,\ 0,\dots,1,\dots,0)$ con el $1$ en la columna $i$ .
2. Ahora $F_1 + F_2 + \cdots + F_n$ : la primera fila queda $(1+a+2a+\cdots+na,\ 0,\dots,0)$ , porque cada $-1$ se cancela con el $1$ de la fila correspondiente.
3. La matriz es triangular inferior con diagonal $1+a\frac{n(n+1)}{2},\ 1,\dots,1$ .
4. Determinante $= 1+a\dfrac{n(n+1)}{2}$ .
5. Comprobación: $a = 0$ da $1$ (la identidad) ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.5 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Cuatro factores lineales de una matriz simétrica de orden cuatro

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Comprueba la siguiente igualdad:

\begin{vmatrix} a&b&c&d\\ b&a&d&c\\ c&d&a&b\\ d&c&b&a \end{vmatrix} = (a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)

Una demostración de la igualdad por operaciones elementales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Todas las filas son permutaciones de $a,b,c,d$ . ¿Cómo aparece el primer factor, $a+b+c+d$ ?
02
Un valor concreto
COMP2
Para $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 3$ , $d = 5$ , ¿cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $C_1 \leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ : la primera columna es $(s,s,s,s)$ con $s = a+b+c+d$ . Sale el factor $s$ y queda $(1,1,1,1)$ .
2. $F_i - F_1$ ( $i = 2,3,4$ ) y desarrollo por la primera columna: queda $s\cdot\begin{vmatrix}a-b&d-c&c-d\\d-b&a-c&b-d\\c-b&b-c&a-d\end{vmatrix}$ .
3. $C_2 \leftarrow C_2+C_3$ : la nueva columna es $(0,\ a+b-c-d,\ a+b-c-d)$ , y sale el segundo factor.
4. Tras $F_3 - F_2$ y desarrollar por la columna $(0,1,0)$ , queda $(a-b)^{2}-(c-d)^{2} = (a-b-c+d)(a-b+c-d)$ , los dos últimos factores.

Resolución completa

Primer factor. $C_1 \leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ deja la columna $(s,s,s,s)$ , $s = a+b+c+d$ ; sale $s$ y queda $(1,1,1,1)$ . Luego $F_i - F_1$ para $i = 2,3,4$ y desarrollo por la primera columna:

s\cdot\begin{vmatrix}a-b&d-c&c-d\\d-b&a-c&b-d\\c-b&b-c&a-d\end{vmatrix}

Segundo factor. $C_2 \leftarrow C_2+C_3$ : la columna queda $(0,\ a+b-c-d,\ a+b-c-d)$ . Sale $t = a+b-c-d$ y la columna es $(0,1,1)$ . Ahora $F_3 - F_2$ :

s\,t\cdot\begin{vmatrix}a-b&0&c-d\\d-b&1&b-d\\c-d&0&a-b\end{vmatrix} = s\,t\,\big[(a-b)^{2}-(c-d)^{2}\big]

Los dos últimos, por diferencia de cuadrados:

(a-b)^{2}-(c-d)^{2} = (a-b-c+d)(a-b+c-d)

\boxed{\;(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)\;}

Comprobación con $(a,b,c,d) = (1,2,3,5)$ : $11\cdot(-5)\cdot(-3)\cdot1 = 165$ , y el determinante calculado a pelo da $165$ ✓.

Por qué salen esos cuatro factores. Los vectores $(1,1,1,1)$ , $(1,1,-1,-1)$ , $(1,-1,1,-1)$ y $(1,-1,-1,1)$ son autovectores de la matriz, y los cuatro factores son sus autovalores. Es el tema 7 asomando: el determinante es el producto de los autovalores.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.7 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El determinante de Vandermonde, en orden tres

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Prueba la siguiente igualdad (Determinante de Vandermonde):

\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&d\\ a^{2}&b^{2}&d^{2} \end{vmatrix} = (b-a)(d-a)(d-b)

Una demostración por operaciones elementales.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué operación hace aparecer los factores $b-a$ y $d-a$ ?
02
Un valor concreto
COMP2
Para $a = 1$ , $b = 2$ , $d = 4$ , ¿cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $C_2 - C_1$ , $C_3 - C_1$ (no cambian el determinante): $\begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&d-a\\a^{2}&b^{2}-a^{2}&d^{2}-a^{2}\end{vmatrix}$ .
2. Desarrollo por la primera fila: $\begin{vmatrix}b-a&d-a\\b^{2}-a^{2}&d^{2}-a^{2}\end{vmatrix}$ .
3. Factor $(b-a)$ de la primera columna y $(d-a)$ de la segunda: $(b-a)(d-a)\begin{vmatrix}1&1\\b+a&d+a\end{vmatrix}$ .
4. El $2\times2$ vale $(d+a)-(b+a) = d-b$ . Total $(b-a)(d-a)(d-b)$ .
5. Consecuencia: el determinante se anula si y solo si dos de los tres números coinciden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.8 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos determinantes con letras, y en los dos manda un cero

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla los siguientes determinantes:

\begin{vmatrix} 1&a&b&ab\\ 1&a'&b&a'\\ 1&a&b&ab'\\ 1&a'&b'&a' \end{vmatrix} \qquad\qquad \begin{vmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&a&b\\ 0&a&0&d\\ 0&b&d&0 \end{vmatrix}

Los dos determinantes, factorizados.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el primero, las filas 1 y 3 solo se diferencian en la última entrada, y las filas 2 y 4 solo en la tercera. ¿Qué se hace?
02
El primero, con números
COMP2
El primer determinante vale $a(a-a')(b'-b)^{2}$ . Para $a = 2$ , $a' = 5$ , $b = 3$ , $b' = 7$ , ¿cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El segundo, con números
COMP2
El segundo determinante, desarrollado por la primera columna, da $d(d-a-b)$ . Para $a = 3$ , $b = 2$ , $d = 1$ , ¿cuánto vale?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución del primer determinante. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $F_3 - F_1 = (0,0,0,\ a(b'-b))$ y $F_4 - F_2 = (0,0,\ b'-b,\ 0)$ , sin cambiar el determinante.
2. Desarrollando por la fila 3 (un solo elemento, en la columna 4, signo $(-1)^{3+4} = -1$ ) y luego por la fila que queda con $b'-b$ en la columna 3 (signo $+$ ): $-a(b'-b)(b'-b)\begin{vmatrix}1&a\\1&a'\end{vmatrix}$ .
3. $\begin{vmatrix}1&a\\1&a'\end{vmatrix} = a'-a$ , luego el total es $-a(b'-b)^{2}(a'-a) = a(a-a')(b'-b)^{2}$ .
4. Se anula si $a = 0$ , si $a = a'$ o si $b = b'$ : en los dos últimos casos hay dos filas iguales.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.9 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Doses en todas partes y un cubo en la diagonal

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla una expresión para el determinante de la siguiente matriz, y analiza en qué casos su valor es nulo:

\begin{pmatrix} x^{3}&2&2&\cdots&2&2\\ 2&x^{3}&2&\cdots&2&2\\ 2&2&x^{3}&\cdots&2&2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 2&2&2&\cdots&x^{3}&2\\ 2&2&2&\cdots&2&x^{3} \end{pmatrix}

El determinante de orden $n$ factorizado, y los valores de $x$ que lo anulan.

01
Reconocer el camino
COMP1
Todas las filas suman lo mismo, $x^{3}+2(n-1)$ . ¿Qué operación lo aprovecha?
02
Un caso concreto
COMP2
El determinante vale $(x^{3}-2)^{n-1}\big(x^{3}+2(n-1)\big)$ . Para $n = 3$ y $x = 2$ , ¿cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $C_1 \leftarrow C_1+C_2+\cdots+C_n$ : la primera columna queda constante, $x^{3}+2(n-1)$ ; sale como factor y queda $(1,\dots,1)$ .
2. $F_i - F_1$ para $i \ge 2$ : cada fila queda con $x^{3}-2$ en la diagonal y ceros en el resto (la primera fila se queda como está).
3. Triangular: determinante $\big(x^{3}+2(n-1)\big)\,(x^{3}-2)^{n-1}$ .
4. Se anula si $x^{3} = 2$ , es decir $x = \sqrt[3]{2}$ , o si $x^{3} = -2(n-1)$ , es decir $x = -\sqrt[3]{2(n-1)}$ .
5. Con $n = 1$ la fórmula da $x^{3}$ , coherente: la matriz es $(x^{3})$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.10 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La matriz de α y β, que es la del 4.5 disfrazada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Comprueba la igualdad:

\begin{vmatrix} \alpha^{2}&\alpha\beta&\alpha\beta&\beta^{2}\\ \alpha\beta&\alpha^{2}&\beta^{2}&\alpha\beta\\ \alpha\beta&\beta^{2}&\alpha^{2}&\alpha\beta\\ \beta^{2}&\alpha\beta&\alpha\beta&\alpha^{2} \end{vmatrix} = \left(\alpha^{2}-\beta^{2}\right)^{4}

Una comprobación de la igualdad, a ser posible reutilizando el 4.5.

01
Reconocer el camino
COMP1
Compara con la matriz del 4.5, $\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&a&d&c\\c&d&a&b\\d&c&b&a\end{pmatrix}$ . ¿Qué relación hay?
02
Un valor concreto
COMP2
Para $\alpha = 2$ y $\beta = 3$ , ¿cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La matriz es la del 4.5 con $a = \alpha^{2}$ , $b = c = \alpha\beta$ , $d = \beta^{2}$ .
2. Por el 4.5, el determinante es $(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)$ .
3. Con $b = c$ : $(a+2b+d)(a-d)(a-d)(a-2b+d)$ .
4. Sustituyendo: $a+2b+d = (\alpha+\beta)^{2}$ , $a-d = \alpha^{2}-\beta^{2}$ , $a-2b+d = (\alpha-\beta)^{2}$ .
5. Producto: $(\alpha+\beta)^{2}(\alpha-\beta)^{2}(\alpha^{2}-\beta^{2})^{2} = (\alpha^{2}-\beta^{2})^{4}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.11 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una a en la diagonal y las mismas x en todas las filas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula el determinante:

\begin{vmatrix} a+x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots&x_{n}\\ x_{1}&a+x_{2}&x_{3}&\cdots&x_{n}\\ x_{1}&x_{2}&a+x_{3}&\cdots&x_{n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots&a+x_{n} \end{vmatrix}

El determinante de orden $n$ , factorizado.

01
Reconocer el camino
COMP1
Todas las filas son $(x_1,\dots,x_n)$ más una $a$ en la diagonal. ¿Qué deja $F_i - F_1$ para $i \ge 2$ ?
02
Un caso concreto
COMP2
El determinante vale $a^{n-1}\big(a+x_1+\cdots+x_n\big)$ . Para $n = 3$ , $a = 2$ y $(x_1,x_2,x_3) = (1,3,5)$ , ¿cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $F_i - F_1$ ( $i \ge 2$ ): fila $i$ $\to (-a,\ 0,\dots,a,\dots,0)$ con la $a$ en la columna $i$ .
2. $C_1 \leftarrow C_1+C_2+\cdots+C_n$ : en las filas $i \ge 2$ el $-a$ se cancela con la $a$ ; en la fila 1 queda $a+x_1+x_2+\cdots+x_n$ .
3. La matriz es triangular superior con diagonal $a+\sum x_i,\ a,\dots,a$ .
4. Determinante $= a^{n-1}\big(a+\sum x_i\big)$ .
5. Se anula si $a = 0$ (y $n \ge 2$ ) o si $a = -\sum x_i$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.12 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Cinco factores lineales de una cinco por cinco

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Comprueba la siguiente igualdad, mencionando las propiedades que utilices para ello:

\begin{vmatrix} x&a&b&c&d\\ a&x&b&c&d\\ a&b&x&c&d\\ a&b&c&x&d\\ a&b&c&d&x \end{vmatrix} = (x+a+b+c+d)\cdot(x-a)\cdot(x-b)\cdot(x-c)\cdot(x-d)

Una demostración, nombrando cada propiedad usada.

01
Reconocer el camino
COMP1
Todas las filas suman $x+a+b+c+d$ . Y después de sacar ese factor, ¿qué operación produce los otros cuatro?
02
Un valor concreto
COMP2
Para $x = 7$ , $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 3$ , $d = 5$ , ¿cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración, con la propiedad que usa cada paso. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $C_1 \leftarrow C_1+C_2+\cdots+C_5$ (sumar a una columna otras no cambia el determinante): la columna 1 queda constante, $s = x+a+b+c+d$ .
2. Sacar el factor $s$ de la columna 1 (linealidad en cada columna): queda $(1,1,1,1,1)$ .
3. $F_1-F_2$ , $F_2-F_3$ , $F_3-F_4$ , $F_4-F_5$ (restar filas no cambia el determinante): las cuatro primeras filas quedan con un $0$ en la columna 1.
4. Desarrollo por la columna 1 (solo la fila 5 tiene un $1$ , signo $(-1)^{5+1} = +$ ): queda un $4\times4$ triangular inferior con diagonal $a-x,\ b-x,\ c-x,\ d-x$ .
5. Producto de la diagonal (determinante de una triangular): $(a-x)(b-x)(c-x)(d-x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ , cuatro cambios de signo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.13 · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos inversas que salen con patrón

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla las matrices inversas de $A$ y $B$ :

A = \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-1&-1&-1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1&-a&0&0\\ 0&1&-a&0\\ 0&0&1&-a\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}

$A^{-1}$ y $B^{-1}$ , con comprobación.

01
Reconocer el camino
COMP1
$B$ es triangular superior con diagonal $(1,1,1,-1)$ . ¿Qué se sabe de $B^{-1}$ antes de calcular nada?
02
Una entrada de la inversa de A
COMP2
Resolviendo por Gauss–Jordan, ¿cuánto vale la entrada $(1,1)$ de $A^{-1}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Una entrada de la inversa de B
COMP2
$B^{-1}$ tiene la forma $\begin{pmatrix}1&a&a^{2}&-a^{3}\\0&1&a&-a^{2}\\0&0&1&-a\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$ . Para $a = 2$ , ¿cuánto vale su entrada $(1,4)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = -8 \ne 0$ y $\det B = -1 \ne 0$ : las dos son invertibles.
2. $A^{-1}$ por Gauss–Jordan: $\tfrac12\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$ ; comprobación $AA^{-1} = I$ .
3. $B^{-1}$ resolviendo de abajo arriba (es triangular): la última fila es $(0,0,0,-1)$ , y cada fila superior arrastra una potencia de $a$ más.
4. $B^{-1} = \begin{pmatrix}1&a&a^{2}&-a^{3}\\0&1&a&-a^{2}\\0&0&1&-a\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$ ; comprobación $BB^{-1} = I$ .
5. Como $A$ es simétrica, $A^{-1}$ también lo es — y se ve en el resultado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.15 · Boletín de problemas, Determinantes (rango de una matriz) · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos rangos que se ven buscando filas repetidas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla el rango de las matrices siguientes:

\begin{pmatrix} 0&0&1&-3&-2\\ 2&2&3&-1&6\\ 3&3&5&-3&8\\ 4&4&8&-8&8\\ 6&6&11&-9&14 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1&-3&5&0&2&1/2\\ -2&6&-10&0&-4&-1\\ -2&6&0&1&4&-3\\ 0&0&10&1&8&-2\\ -1&3&0&1/2&2&-3/2 \end{pmatrix}

El rango de cada matriz, con la justificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la primera matriz, ¿qué se ve antes de hacer ninguna cuenta?
02
El rango de la segunda
COMP2
En la segunda matriz, $F_2 = -2F_1$ y $F_5 = \tfrac12F_3$ . ¿Cuál es su rango?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Primera matriz: $C_2 = C_1$ , y las filas 3, 4, 5 son combinaciones de $F_1$ y $F_2$ ( $F_4 = 2F_1+2F_2$ , etc.).
2. $F_1 = (0,0,1,-3,-2)$ y $F_2 = (2,2,3,-1,6)$ no son proporcionales: rango de la primera $= 2$ .
3. Segunda matriz: $F_2 = -2F_1$ , $F_5 = \tfrac12F_3$ , $F_4 = F_3+2F_1$ .
4. $F_1$ y $F_3$ independientes: rango de la segunda $= 2$ .
5. Comprobación por menores: en las dos matrices hay un menor de orden 2 no nulo (por ejemplo $\begin{vmatrix}0&1\\2&3\end{vmatrix} = -2$ en la primera) y todos los de orden 3 son nulos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.15 (ejercicios de examen) · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: cuándo existe la inversa, y un determinante que gira

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dadas las matrices $A_{n\times n}$ :

(a) Define matriz inversa.

(b) Demuestra que $\exists A^{-1} \Longleftrightarrow |A| \ne 0$ .

(c) Sea $A_{n\times n}$ una matriz que cumple $A^{2}-A-I = 0$ . Demuestra que existe $A^{-1}$ .
Halla este determinante, indicando las propiedades utilizadas para ello:
$\begin{vmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&3&4&5&1\\ 3&4&5&1&2\\ 4&5&1&2&3\\ 5&1&2&3&4 \end{vmatrix}$

Las tres partes de teoría, y el determinante con sus propiedades.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1(c): $A^{2}-A-I = 0$ . ¿Cómo se ve que $A$ es invertible?
02
El determinante
COMP2
Sumando todas las columnas a la primera sale el factor $15$ , y el $4\times4$ que queda tras restar filas consecutivas vale $125$ . ¿Cuánto vale el determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 1(b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Definición: $A^{-1}$ es la matriz que cumple $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ .
2. ( $\Rightarrow$ ) Si existe $A^{-1}$ : $|A|\cdot|A^{-1}| = |AA^{-1}| = |I| = 1$ , luego $|A| \ne 0$ .
3. ( $\Leftarrow$ ) Si $|A| \ne 0$ : la matriz $\frac{1}{|A|}(A^{*})^{t}$ cumple $A\cdot\frac{1}{|A|}(A^{*})^{t} = I$ , porque $A(A^{*})^{t} = |A|\,I$ .
4. Luego $A$ es invertible si y solo si $|A| \ne 0$ , y en ese caso $A^{-1} = \frac{1}{|A|}(A^{*})^{t}$ .
5. ( $\Rightarrow$ ) también se puede ver así: si $|A| = 0$ , $|A|\cdot|B| = 0 \ne 1$ para toda $B$ , así que ninguna $B$ puede ser la inversa.

Resolución completa

1(a). $A^{-1}$ es la matriz cuadrada que cumple $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ . Si existe, es única.

1(b). ( $\Rightarrow$ ) Si existe $A^{-1}$ , tomando determinantes en $AA^{-1} = I$ : $|A|\,|A^{-1}| = 1$ , luego $|A| \ne 0$ . ( $\Leftarrow$ ) Si $|A| \ne 0$ , la identidad $A(A^{*})^{t} = (A^{*})^{t}A = |A|\,I$ (la adjunta traspuesta, ejercicio 4.20) permite dividir: $A^{-1} = \frac{1}{|A|}(A^{*})^{t}$ . $\blacksquare$

1(c). $A^{2}-A-I = 0 \Rightarrow A^{2}-A = I \Rightarrow A(A-I) = (A-I)A = I$ . Por definición, $A$ es invertible y $A^{-1} = A-I$ . $\blacksquare$

2 · El determinante.

$C_1 \leftarrow C_1+\cdots+C_5$ (no cambia el determinante): cada fila suma $15$ . Sale el factor $15$ (linealidad en la columna) y la columna 1 queda de unos.
$F_1-F_2$ , $F_2-F_3$ , $F_3-F_4$ , $F_4-F_5$ (no cambia): las cuatro primeras filas quedan $(0,-1,-1,-1,4)$ , $(0,-1,-1,4,-1)$ , $(0,-1,4,-1,-1)$ , $(0,4,-1,-1,-1)$ ; la quinta, $(1,1,2,3,4)$ .
Desarrollo por la columna 1 (Laplace; signo $(-1)^{5+1} = +$ ): queda el $4\times4$ de $-1$ con cuatros en la antidiagonal.
En ese $4\times4$ , $C_1 \leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ deja unos; luego $F_i - F_4$ ( $i = 1,2,3$ ) deja $(0,0,0,5)$ , $(0,0,5,0)$ , $(0,5,0,0)$ y $F_4 = (1,-1,-1,-1)$ : un único producto no nulo, $5\cdot5\cdot5\cdot1$ con la permutación $(4,3,2,1)$ , que es par. Vale $125$ .

\boxed{\;15\cdot125 = 1875\;}

Circulantes. Cada fila es la anterior girada una posición. Todas tienen la misma suma, así que «sumar columnas a la primera» es siempre el primer paso; después, restar filas consecutivas aprovecha que solo cambian en dos posiciones. El mismo guion sirve para cualquier circulante de examen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.16 (ejercicios de examen) · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: por qué AᵀA es simétrica, y cuándo existe una inversa con x, y, z

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Define matriz simétrica y matriz traspuesta. Si $A$ es una matriz cuadrada, ¿la matriz $A^{T}A$ es simétrica? Razona la respuesta.
Halla los valores $x$ , $y$ , $z$ para los que existe $A^{-1}$ :
$A = \begin{pmatrix} x-y-z & 2x & 2x & 0\\ 2y & y-z-x & 2y & 0\\ 2z & 2z & z-x-y & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Las definiciones y la razón de la simetría, y la condición sobre $x,y,z$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1: ¿es $A^{T}A$ simétrica?
02
El determinante para unos valores
COMP2
$\det A = (x+y+z)^{3}$ . Para $(x,y,z) = (1,2,3)$ , ¿cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La cuarta fila y columna son $(0,0,0,1)$ : $\det A$ es el determinante del bloque $3\times3$ de arriba a la izquierda.
2. $F_1 \leftarrow F_1+F_2+F_3$ : la primera fila queda $(s,s,s)$ con $s = x+y+z$ . Sale $s$ y queda $(1,1,1)$ .
3. $C_2-C_1$ y $C_3-C_1$ : fila 1 $\to (1,0,0)$ ; fila 2 $\to (2y,\ -s,\ 0)$ ; fila 3 $\to (2z,\ 0,\ -s)$ .
4. Desarrollo por la fila 1: $s\cdot(-s)(-s) = s^{3}$ . Luego $\det A = (x+y+z)^{3}$ .
5. Existe $A^{-1}$ si y solo si $x+y+z \ne 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.17 (ejercicios de examen) · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la condición de invertibilidad, y un rango con parámetro

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Enuncia y demuestra la condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible.
Estudia el rango de $A$ en función del valor del parámetro $a$ , indicando los casos para los que existe $A^{-1}$ :
$A = \begin{pmatrix} a+1&1&1\\ 1&a+1&1\\ 1&1&a+1 \end{pmatrix}$

El teorema con su demostración, y el rango de $A$ según $a$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
$A = aI + J$ , con $J$ la matriz de unos. ¿Cómo sale el determinante en dos pasos?
02
Un valor del determinante
COMP2
¿Cuánto vale $\det A$ para $a = 2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = a^{2}(a+3)$ .
2. Si $a \ne 0$ y $a \ne -3$ : $\det A \ne 0$ , rango 3, y existe $A^{-1}$ .
3. Si $a = 0$ : $A$ es la matriz de unos, todas las filas iguales, rango 1.
4. Si $a = -3$ : $A = \begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$ , con el menor $\begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix} = 3 \ne 0$ : rango 2.
5. Existe $A^{-1}$ exactamente cuando el rango es 3, es decir, $a \notin \{0,-3\}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.18 (ejercicios de examen) · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: dos afirmaciones falsas sobre A² = I, y una inversa con α

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dada una matriz $A \in \mathcal{M}(n\times n, K)$ , comprueba que las siguientes expresiones son falsas:

(a) $A^{2} = I_{n} \Rightarrow A = I_{n}$ ó $A = -I_{n}$

(b) $A^{2} = I_{n} \Rightarrow A^{k} = I_{n}$ , $\forall k \ge 2$ , $k \in \mathbb{Z}$
Halla el rango de $A$ en función de $\alpha$ , indicando cuándo es invertible y, en caso de que lo sea cuando $\alpha = 0$ , halla la matriz inversa para ese caso.
$A = \begin{pmatrix} 1&2&1&1\\ 2&5&0&1\\ 1&0&\alpha&\alpha-2\\ 1&1&\alpha-2&2 \end{pmatrix}$

Un contraejemplo para cada afirmación, el rango según $\alpha$ , y $A^{-1}$ para $\alpha = 0$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Para tumbar (a) y (b) basta UNA matriz. ¿Cuál sirve para las dos?
02
El rango en el caso singular
COMP2
$\det A = -(\alpha-5)^{2}$ , que se anula solo en $\alpha = 5$ . ¿Cuál es el rango de $A$ para $\alpha = 5$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $F_2-2F_1$ , $F_3-F_1$ , $F_4-F_1$ y desarrollo por la primera columna: $\det A = \begin{vmatrix}1&-2&-1\\-2&\alpha-1&\alpha-3\\-1&\alpha-3&1\end{vmatrix}$ .
2. $F_2+2F_1$ y $F_3+F_1$ en ese $3\times3$ : quedan $(0,\ \alpha-5,\ \alpha-5)$ y $(0,\ \alpha-5,\ 0)$ , y $\det A = -(\alpha-5)^{2}$ .
3. Rango 4 (invertible) si $\alpha \ne 5$ ; rango 2 si $\alpha = 5$ .
4. Para $\alpha = 0$ , $\det A = -25$ y $A^{-1} = \frac15\begin{pmatrix}4&-2&3&2\\-2&2&-1&-1\\3&-1&0&-1\\2&-1&-1&1\end{pmatrix}$ .
5. Comprobación: fila 1 de $A$ por columna 1 de $A^{-1}$ : $\frac15(4-4+3+2) = 1$ ✓; fila 1 por columna 2: $\frac15(-2+4-1-1) = 0$ ✓.

Resolución completa

1 · Los contraejemplos. $A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ cumple $A^{2} = I$ .

(a) $A \ne I$ y $A \ne -I$ : la implicación es falsa. (En matrices, $(A-I)(A+I) = 0$ no obliga a que un factor sea $0$ .)

(b) $A^{3} = A^{2}A = A \ne I$ : falsa para $k = 3$ y para todo $k$ impar.

2 · El determinante. $F_2-2F_1$ , $F_3-F_1$ , $F_4-F_1$ y desarrollo por la primera columna:

\det A = \begin{vmatrix}1&-2&-1\\-2&\alpha-1&\alpha-3\\-1&\alpha-3&1\end{vmatrix} \;\xrightarrow{F_2+2F_1,\ F_3+F_1}\; \begin{vmatrix}1&-2&-1\\0&\alpha-5&\alpha-5\\0&\alpha-5&0\end{vmatrix} = -(\alpha-5)^{2}

El rango.

$\alpha \ne 5$ : $\det A \ne 0$ , rango 4, invertible.
$\alpha = 5$ : las dos últimas filas del $3\times3$ se anulan; rango 2.

La inversa para $\alpha = 0$ ( $\det A = -25$ ), por Gauss–Jordan:

\boxed{A^{-1} = \frac15\begin{pmatrix}4&-2&3&2\\-2&2&-1&-1\\3&-1&0&-1\\2&-1&-1&1\end{pmatrix}}

Comprobación de dos productos: fila 1 de $A$ , $(1,2,1,1)$ , por las columnas 1 y 2 de $A^{-1}$ : $\frac15(4-4+3+2) = 1$ y $\frac15(-2+4-1-1) = 0$ ✓.

Contraejemplos y divisores de cero. Lo que hace falsas las dos afirmaciones es que en matrices $BC = 0$ no implica $B = 0$ ó $C = 0$ . Cualquier simetría (una matriz con $A^{2} = I$ que no sea $\pm I$ ) lo demuestra, y la más sencilla es el intercambio de coordenadas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.19 (ejercicios de examen) · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: cuándo existe la inversa con una k en la diagonal, y cuánto vale para k = 1

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Si $A \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ , enuncia y comprueba la condición necesaria y suficiente para que exista $A^{-1}$ .
Dada la siguiente matriz:
$A = \begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&k&0&0\\ 1&0&k&0\\ 1&0&0&k \end{pmatrix}$
Analiza la existencia de su inversa según el valor del parámetro $k$ y, si es posible, hállala para $k = 1$ .

El teorema, la discusión en $k$ y la inversa para $k = 1$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Las filas 2, 3 y 4 son $(1,\ k\,e_i)$ . Para $k \ne 0$ , ¿qué operación limpia la primera columna?
02
Una entrada de la inversa
COMP2
Para $k = 1$ , $\det A = -2$ y por Gauss–Jordan $A^{-1} = \tfrac12\begin{pmatrix}-1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$ . ¿Cuánto vale la entrada $(1,1)$ de $A^{-1}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = k^{2}(k-3)$ (para $k \ne 0$ por la operación de columnas; para $k = 0$ directamente $0$ , que la fórmula también da).
2. Existe $A^{-1}$ si y solo si $k \ne 0$ y $k \ne 3$ .
3. Para $k = 0$ el rango es 2 (tres filas iguales); para $k = 3$ es 3 (determinante nulo pero un menor $3\times3$ no nulo).
4. Para $k = 1$ , $\det A = -2 \ne 0$ : existe, y por Gauss–Jordan sale $\tfrac12\begin{pmatrix}-1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$ .
5. Comprobación: $AA^{-1} = I$ (fila 2 de $A$ , $(1,1,0,0)$ , por columna 1: $\tfrac12(-1+1) = 0$ ✓; por columna 2: $\tfrac12(1+1) = 1$ ✓).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4.20 (ejercicios de examen) · Boletín de problemas, Determinantes · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la identidad de la adjunta, y un determinante que es (λ−1)⁶

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Siendo $A$ una matriz de orden $n$ y $A^{*}$ su matriz adjunta, demuestra que:
$A\,(A^{*})^{T} = |A|\,I_{n}$
Resuelve la siguiente ecuación:
$\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&\lambda&\lambda^{2}&\lambda^{3}\\ 3&\lambda+2&2\lambda+1&3\lambda\\ 3&2\lambda+1&\lambda^{2}+2\lambda&3\lambda^{2} \end{vmatrix} = 0$

La demostración de la identidad, y las soluciones de la ecuación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1: la entrada $(i,j)$ de $A(A^{*})^{T}$ es $\sum_k a_{ik}A_{jk}$ (elementos de la fila $i$ por adjuntos de la fila $j$ ). ¿Qué vale?
02
El determinante para un valor
COMP2
El determinante factoriza como $(\lambda-1)^{6}$ . ¿Cuánto vale para $\lambda = 3$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $F_2-F_1 = (\lambda-1)(0,\ 1,\ \lambda+1,\ \lambda^{2}+\lambda+1)$ , $F_3-3F_1 = (\lambda-1)(0,1,2,3)$ , $F_4-3F_1 = (\lambda-1)(0,\ 2,\ \lambda+3,\ 3\lambda+3)$ .
2. Sale $(\lambda-1)^{3}$ y, desarrollando por la columna 1, queda $\begin{vmatrix}1&\lambda+1&\lambda^{2}+\lambda+1\\1&2&3\\2&\lambda+3&3\lambda+3\end{vmatrix}$ .
3. En ese $3\times3$ , $F_1-F_2 = (\lambda-1)(0,\ 1,\ \lambda+2)$ y $F_3-2F_2 = (\lambda-1)(0,1,3)$ : sale $(\lambda-1)^{2}$ .
4. Queda $\begin{vmatrix}0&1&\lambda+2\\1&2&3\\0&1&3\end{vmatrix} = -(3-\lambda-2) = \lambda-1$ .
5. Total $(\lambda-1)^{6}$ : la única solución es $\lambda = 1$ .

Resolución completa

1 · La identidad. La entrada $(i,j)$ de $A(A^{*})^{T}$ es $\sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{jk}$ , donde $A_{jk}$ es el adjunto de $a_{jk}$ .

Si $i = j$ : $\sum_k a_{ik}A_{ik} = |A|$ , el desarrollo de Laplace por la fila $i$ .
Si $i \ne j$ : es el desarrollo por la fila $j$ del determinante de la matriz que tiene la fila $i$ de $A$ puesta también en el lugar de la fila $j$ . Ese determinante tiene dos filas iguales, luego vale $0$ .

Por tanto $A(A^{*})^{T} = |A|\,I_n$ . $\blacksquare$ (Y de aquí, $A^{-1} = \frac{1}{|A|}(A^{*})^{T}$ cuando $|A| \ne 0$ .)

2 · La ecuación. Restar a cada fila el múltiplo adecuado de la primera:

\begin{aligned} F_2-F_1 &= (\lambda-1)\,(0,\ 1,\ \lambda+1,\ \lambda^{2}+\lambda+1)\\ F_3-3F_1 &= (\lambda-1)\,(0,\ 1,\ 2,\ 3)\\ F_4-3F_1 &= (\lambda-1)\,(0,\ 2,\ \lambda+3,\ 3\lambda+3) \end{aligned}

Sale $(\lambda-1)^{3}$ y, desarrollando por la primera columna,

(\lambda-1)^{3}\begin{vmatrix}1&\lambda+1&\lambda^{2}+\lambda+1\\1&2&3\\2&\lambda+3&3\lambda+3\end{vmatrix}

En el $3\times3$ : $F_1-F_2 = (\lambda-1)(0,1,\lambda+2)$ y $F_3-2F_2 = (\lambda-1)(0,1,3)$ :

(\lambda-1)^{2}\begin{vmatrix}0&1&\lambda+2\\1&2&3\\0&1&3\end{vmatrix} = (\lambda-1)^{2}\cdot\big(-(3-\lambda-2)\big) = (\lambda-1)^{3}

\boxed{\;\det = (\lambda-1)^{6} = 0 \iff \lambda = 1\;}

(comprobación: $\lambda = 3$ da $64$ , igual que el determinante numérico; $\lambda = 0$ da $1$ ✓.)

Ver la raíz antes de calcular. Con $\lambda = 1$ las filas 1 y 2 son iguales, así que $\lambda = 1$ es solución seguro. Lo que la cuenta añade es que es la ÚNICA: el determinante es $(\lambda-1)^{6}$ y no tiene otras raíces, ni reales ni complejas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Determinantes

Las propiedades, que son el ejercicio

Calcularlo: tres caminos y cuándo usar cada uno

La matriz inversa

Por la adjunta

Por Gauss-Jordan

Las tres propiedades que caen

El rango

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El del escalar

El de la potencia

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El menor que queda

El determinante, con su signo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante en función del parámetro

El valor que lo estropea

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La matriz después de la primera tanda

El determinante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante, que decide si existe

La primera fila de la inversa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante, para z distinto de 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un valor concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un caso concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un valor concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un valor concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primero, con números

El segundo, con números

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un caso concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un valor concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un caso concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un valor concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Una entrada de la inversa de A

Una entrada de la inversa de B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El rango de la segunda

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante para unos valores

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un valor del determinante

Justificar el argumento

Reconocer el camino