Álgebra · tema 05

Sistemas de ecuaciones lineales

Rouché-Fröbenius, Gauss y Cramer. El tema que no cae solo y que hace falta en los cuatro ejercicios.

Este tema tampoco cae solo. Igual que el de matrices, ninguno de los 32 ejercicios de las ocho convocatorias es «un ejercicio de sistemas». Y sin embargo lo estás resolviendo todo el rato sin llamarlo así:

cuando el examen pide	lo que haces es
una base del núcleo de $f$	resolver $A\overline{x}=\overline{0}$
las coordenadas en una base nueva	resolver $P\overline{y}=\overline{x}$
la intersección de dos subespacios	resolver el sistema de sus ecuaciones
un vector propio de $\lambda$	resolver $\left(A-\lambda I\right)\overline{x}=\overline{0}$

Cuatro de los cuatro huecos del examen. Este tema es el que decide si esas cuentas salen deprisa o se comen el tiempo de los otros ejercicios.

Qué es, y cómo se escribe

Un sistema de $m$ ecuaciones y $n$ incógnitas se escribe en forma matricial

A\cdot X=B

con $A$ la matriz de coeficientes —de orden $m\times n$ —, $X$ la columna de incógnitas y $B$ la de términos independientes. Y hay una matriz más, que es la que lo decide todo:

\left(A\mid B\right) \qquad\text{la matriz \textbf{ampliada}}

Homogéneo significa que $B$ es toda ceros. Y eso cambia el problema por completo, como se ve enseguida.

Rouché-Fröbenius: la clasificación en dos comparaciones

r\left(A\right)\leq r\left(A\mid B\right)

siempre, porque añadir una columna no puede bajar el rango. Y con esas dos cifras más el número de incógnitas, el sistema queda clasificado:

Dos comparaciones y ya está clasificado. La primera decide si hay solución; la segunda, cuántas. Y el número de parámetros libres no hay que buscarlo: es n − r.

Lo que hace útil el teorema no es clasificar, es que da el número de parámetros gratis. Si un sistema de $4$ incógnitas tiene rango $2$ , sabes antes de despejar nada que la solución va a depender de dos parámetros — y por tanto que el subespacio que buscas tiene dimensión $2$ .

Los sistemas homogéneos son otro problema

Cuando $B=\overline{0}$ , la columna añadida es de ceros y no puede subir el rango. Por tanto:

r\left(A\right)=r\left(A\mid\overline{0}\right)\text{ siempre} \;\Longrightarrow\; \textbf{un sistema homogéneo nunca es incompatible}

Siempre tiene al menos la solución trivial $\overline{x}=\overline{0}$ . La pregunta con un homogéneo no es «¿tiene solución?» sino «¿tiene alguna además de la trivial?», y eso lo decide la segunda comparación:


$r\left(A\right)=n$	solo la trivial
$r\left(A\right)<n$	infinitas, con $n-r$ parámetros

Y hay algo más, que es lo que conecta este tema con el 1 y el 2:

El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo es un subespacio vectorial. El de uno no homogéneo, no.

Es exactamente el núcleo de la aplicación lineal de matriz $A$ . Por eso una condición «igualada a cero» define un subespacio y una con término independiente no: el segundo sistema no tiene al $\overline{0}$ entre sus soluciones.

Decir que un homogéneo es incompatible

No puede serlo. Si al discutir un sistema homogéneo te sale «incompatible», hay un error de cuenta en alguna parte: el $\overline{0}$ siempre lo cumple.

El error suele venir de arrastrar mal una columna de ceros al escalonar, o de aplicar Rouché sin darse cuenta de que la ampliada tiene una columna nula.

Resolverlo: Gauss casi siempre, Cramer casi nunca

Gauss es el método general y el único que sirve cuando la matriz no es cuadrada. Se escalona la ampliada —todas las operaciones sobre las filas enteras, término independiente incluido— y al final se despeja de abajo arriba.

Al escalonar aparecen los tres casos a la vista:

una fila $\left(0\;0\;\cdots\;0\mid c\right)$ con $c\neq0$ : incompatible;
una fila entera de ceros: sobra una ecuación, y el rango baja;
tantos pivotes como incógnitas: determinado.

Cramer solo vale si el sistema es cuadrado y $\det A\neq0$ . Entonces

x_{i}=\frac{\det A_{i}}{\det A}

donde $A_{i}$ es $A$ con la columna $i$ sustituida por $B$ .

Es elegante y casi nunca compensa: para un sistema $3\times3$ son cuatro determinantes de orden $3$ , frente a un escalonado que se hace en seis restas. Merece la pena cuando solo te piden una de las incógnitas, porque entonces son dos determinantes y no hay que resolver el sistema entero.

Escalonar la matriz de coeficientes y olvidar B

Las operaciones de fila hay que hacerlas sobre la fila completa de la ampliada. Si restas dos filas en $A$ y no restas los términos independientes correspondientes, el sistema que queda ya no es equivalente al de partida — y la solución que salga no será solución de nada.

La forma de no olvidarlo es dibujar la barra vertical y trabajar siempre con $\left(A\mid B\right)$ entera, nunca con las dos mitades por separado.

Con parámetro: el guion, siempre el mismo

Es lo que pide el boletín, y es el mismo guion que el rango con parámetro del tema 4:

Calcula $\det A$ en función del parámetro —si el sistema es cuadrado— o el determinante de la mayor submatriz cuadrada.
Donde no se anule, el rango es máximo y el sistema es determinado. Un solo caso cubre casi todos los valores.
Solo en los valores que lo anulan, compara $r\left(A\right)$ con $r\left(A\mid B\right)$ para separar incompatible de indeterminado.

El orden importa. Ir al revés —abrir un caso por cada valor sospechoso— es lo que hace que estos ejercicios parezcan largos, y no lo son: son un caso general y dos o tres excepciones.

Y un aviso que vale para todo el tema: si el sistema no es cuadrado no hay determinante de $A$ que valga, y hay que ir directamente a comparar rangos. Ahí Gauss sobre la ampliada es el camino corto, porque da los dos rangos a la vez.

Lo que hay que llevar sabido

$r\left(A\right)\leq r\left(A\mid B\right)$ siempre. Y la primera comparación decide si hay solución.
Rouché: distintos $\Rightarrow$ incompatible; iguales y $=n$ $\Rightarrow$ una solución; iguales y $<n$ $\Rightarrow$ infinitas, con $n-r$ parámetros.
El número de parámetros es $n-r$ . No hay que contarlo despejando.
Un homogéneo nunca es incompatible. La pregunta es si tiene algo más que la trivial.
Las soluciones de un homogéneo forman subespacio; las de uno no homogéneo, no. Ese es el motivo de fondo de que las ecuaciones de un subespacio vayan igualadas a cero.
El homogéneo $A\overline{x}=\overline{0}$ es el núcleo de la aplicación de matriz $A$ .
Gauss se hace sobre la ampliada, con el término independiente dentro de la fila.
Al escalonar, una fila $\left(0\cdots0\mid c\right)$ con $c\neq0$ es incompatible; una fila de ceros solo dice que sobraba una ecuación.
Cramer solo si es cuadrado y $\det A\neq0$ . Compensa cuando piden una incógnita.
Con parámetro: primero el determinante, y solo se abren casos donde se anula.

Practica lo que acabas de leer

Clasificar un sistema en dos comparaciones

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Clasificar un sistema en dos comparaciones

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar y resolver el sistema

\begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+2z=5\\ 2x\phantom{{}+y}+3z=11 \end{cases}

La clasificación por Rouché, y la solución.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de escalonar: la tercera ecuación es la suma de las dos primeras. ¿Qué significa eso?
02
El rango de la matriz de coeficientes
COMP2
¿Cuánto vale $r\left(A\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántos parámetros tendrá la solución
COMP2
Con $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)=2$ y tres incógnitas, ¿de cuántos parámetros depende la solución?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La solución con z = 1
COMP2
Tomando $z=1$ como parámetro, ¿cuál es la solución $\left(x,y,z\right)$ ?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tercera fila de la ampliada es la suma de las dos primeras, términos independientes incluidos.
2. Por tanto $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)=2$ , y el sistema es compatible.
3. Como ese rango es menor que las tres incógnitas, el sistema es indeterminado, con $3-2=1$ parámetro.
4. Fijando $z$ como parámetro, las dos primeras ecuaciones dan $x$ e $y$ en función de él.

Resolución completa

La lectura que resuelve medio ejercicio. Antes de escalonar conviene mirar si alguna ecuación se deduce de las otras, y aquí salta a la vista:

\left(1,1,1\mid6\right)+\left(1,-1,2\mid5\right) =\left(2,0,3\mid11\right)

La tercera fila de la ampliada entera —términos independientes incluidos— es la suma de las dos primeras. Eso garantiza dos cosas de golpe: que los dos rangos coinciden, y que valen $2$ .

Rouché, en dos comparaciones.

comparación	resultado
$r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)$	compatible
$r=2<3=n$	indeterminado, con $3-2=1$ parámetro

Y la solución. Con $z=t$ :

\boxed{\;\left(x,y,z\right) =\left(\tfrac{11-3t}{2},\;\tfrac{1+t}{2},\;t\right)\;}

que con $t=1$ da $\left(4,1,1\right)$ .

El detalle que decide entre compatible e incompatible. Si la tercera ecuación fuese $2x+3z=12$ en lugar de $11$ , la matriz $A$ tendría el mismo rango $2$ pero la ampliada subiría a $3$ : sería incompatible. La diferencia entre las dos situaciones está entera en el término independiente, y por eso Rouché mira las dos matrices y no solo una.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Por qué un sistema homogéneo siempre tiene solución

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el sistema homogéneo

\begin{cases} x+2y-z=0\\ 2x+y+z=0 \end{cases}

a) Clasificarlo sin escalonar, razonando por qué.

b) Resolverlo, y decir qué es geométricamente el conjunto de sus soluciones.

La clasificación razonada, la solución, y qué es el conjunto solución.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué un sistema homogéneo nunca puede ser incompatible?
02
La dimensión del conjunto de soluciones
COMP2
¿De cuántos parámetros depende la solución?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El generador de la recta
COMP2
¿Cuál es el vector que genera el conjunto de soluciones, con la tercera coordenada igual a $1$ ?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento sobre el conjunto de soluciones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La columna de términos independientes es de ceros, así que $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)$ y el sistema es compatible.
2. El rango vale $2$ y hay tres incógnitas, luego la solución depende de $3-2=1$ parámetro.
3. Resolviendo sale $x=-z$ e $y=z$ , así que el conjunto solución es $L\left(\left\{\left(-1,1,1\right)\right\}\right)$ .
4. Y ese conjunto es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{3}$ , de dimensión $1$ : precisamente el núcleo de la aplicación lineal de matriz $A$ .

Resolución completa

a) Compatible, y sin escalonar nada. Dos argumentos, y los dos valen:

La columna de términos independientes es de ceros, así que no puede subir el rango: $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)$ siempre.
Más directo todavía: $\overline{x}=\overline{0}$ cumple las dos ecuaciones. Solución hay seguro.

Un sistema homogéneo nunca es incompatible. Si al discutir uno te sale «incompatible», hay un error de cuenta.

Y como el rango vale $2$ —las dos filas no son proporcionales— frente a $n=3$ incógnitas:

\boxed{\;\text{compatible indeterminado, con }3-2=1\text{ parámetro}\;}

b) La solución. Restando el doble de la primera a la segunda se va la $x$ :

-3y+3z=0\;\Longrightarrow\;y=z, \qquad\text{y de la primera}\quad x=-z

\boxed{\;\left\{\left(-t,t,t\right)\;/\;t\in\mathbb{R}\right\} =L\left(\left\{\left(-1,1,1\right)\right\}\right)\;}

Geométricamente es una recta que pasa por el origen, y eso no es una casualidad de este ejemplo: el conjunto de soluciones de un homogéneo es siempre un subespacio vectorial. Contiene al $\overline{0}$ y es cerrado para combinaciones lineales, porque si dos vectores anulan $A\overline{x}$ cualquier combinación suya también.

Y es exactamente el núcleo de la aplicación lineal de matriz $A$ . Ese es el puente entre este tema y el 2: cada vez que el examen pide una base de $\operatorname{Ker}f$ , lo que está pidiendo es resolver un homogéneo.

Lo que no es subespacio es el conjunto de soluciones de un sistema con términos independientes no nulos: ahí el $\overline{0}$ se queda fuera, y lo que queda es una variedad afín — el subespacio del homogéneo asociado, trasladado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. La prosa de este tema escribe la fórmula de Cramer y dice cuándo compensa, y ni un solo ejercicio del boletín la aplicaba paso a paso: el boletín entra directamente por discusiones con parámetro. No es de examen ni del boletín.

Cramer, y el único caso en que compensa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

De este sistema solo se pide $y$ :

$\begin{cases} 2x+y+z=5\\ x+3y+2z=9\\ x+y+z=4 \end{cases}$

Calcularla sin resolver el sistema entero.

El valor de $y$ , y por qué aquí Cramer gana a Gauss.

01
Reconocer el camino
COMP1
El tema dice que Cramer «casi nunca compensa». ¿Qué tiene este enunciado para que aquí sí?
02
El determinante del sistema
COMP2
¿Cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La incógnita que piden
COMP2
¿Cuánto vale $y$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sistema es cuadrado y $\det A=1\neq0$ , luego es de Cramer: tiene solución y es única.
2. Como solo piden $y$ , basta con el determinante de $A$ con su segunda columna cambiada por los términos independientes.
3. Ese determinante vale $2$ , así que $y=2/1=2$ , sin haber calculado $x$ ni $z$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.1 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos parámetros, y solo tres casos que abrir

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve el siguiente sistema en función de los parámetros $a$ y $b$ :

\begin{cases} x+2y+z=2\\ x+y+2z=3\\ x+3y+az=1\\ x+2y+z=b \end{cases}

La discusión según a y b, y la solución donde exista.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera y la cuarta ecuación tienen el mismo miembro izquierdo. ¿Qué se saca de ahí antes de tocar el parámetro $a$ ?
02
El valor de b que salva el sistema
COMP2
¿Para qué valor de $b$ puede el sistema ser compatible?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El determinante del sistema que queda
COMP2
Con $b=2$ , el sistema se reduce a las tres primeras ecuaciones. Para $a=5$ , ¿cuánto vale el determinante de su matriz de coeficientes?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La solución, que no depende de a
COMP2
Con $b=2$ y $a\neq0$ , ¿cuál es la solución $\left(x,y,z\right)$ ?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La primera y la cuarta ecuación tienen el mismo miembro izquierdo, así que si $b\neq2$ el sistema es incompatible sea cual sea $a$ .
2. Con $b=2$ la cuarta es la primera repetida y se tacha: quedan tres ecuaciones y tres incógnitas.
3. El determinante de ese sistema vale $-a$ , así que para $a\neq0$ es de Cramer: compatible determinado, con solución $\left(4,-1,0\right)$ .
4. Para $a=0$ el determinante se anula, y hay que comparar los rangos de $A$ y de la ampliada: los dos valen $2$ , luego es compatible indeterminado con un parámetro.

Resolución completa

Primero $b$ , que parte el ejercicio en dos sin tocar $a$ . La primera y la cuarta ecuación tienen el mismo miembro izquierdo:

x+2y+z=2 \qquad\text{y}\qquad x+2y+z=b

\boxed{\;b\neq2\;\Longrightarrow\;\text{INCOMPATIBLE, sea cual sea }a\;}

Con $b=2$ la cuarta ecuación es la primera repetida y se tacha. Quedan tres ecuaciones y tres incógnitas, y ahora sí entra $a$ .

El determinante decide.

\begin{vmatrix}1&2&1\\1&1&2\\1&3&a\end{vmatrix}=-a

Caso $a\neq0$ (y $b=2$ ): sistema de Cramer. Determinante no nulo, luego compatible determinado:

\boxed{\;\left(x,y,z\right)=\left(4,-1,0\right)\;}

Y esa solución no depende de $a$ , porque el único sitio donde aparece el parámetro va multiplicado por $z=0$ . Es una comprobación que sale gratis.

Caso $a=0$ (y $b=2$ ). El determinante se anula, pero eso no significa incompatible: significa que hay que mirar los rangos. Restando la primera fila a las otras dos, la ampliada queda

\left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&1&2\\ 0&-1&1&1\\ 0&1&-1&-1 \end{array}\right)

y la tercera fila es la opuesta de la segunda, también en el término independiente. Luego $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)=2<3$ :

\boxed{\;a=0,\;b=2\;\Longrightarrow\;\text{compatible indeterminado, } 1\text{ parámetro}\;}

con solución $\left(1-3t,\;t,\;1+t\right)$ , que para $t=-1$ recupera $\left(4,-1,0\right)$ .

El resumen, que es lo que se entrega:

	$b\neq2$	$b=2$ , $a\neq0$	$b=2$ , $a=0$
	incompatible	determinado	indeterminado

Tres casos, no diez. El guion —primero lo que no depende del parámetro, luego el determinante, y solo donde se anula, los rangos— es el que evita abrirlos a ciegas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.4 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un núcleo que es un sistema homogéneo con parámetro

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se define la siguiente aplicación lineal:

f:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}, \qquad \left(x,y,z\right)\longmapsto \left(kx+y+z,\;x+ky+z,\;x+y+kz\right)

Matriz asociada a $f$ .
Halla el núcleo de la aplicación, $\ker f$ , y estudia su dimensión según los valores de $k$ .

La matriz asociada, y la dimensión del núcleo según el parámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
Calcular $\ker f$ es resolver un sistema. ¿Cuál, y de qué tipo?
02
El determinante en función del parámetro
COMP2
Para $k=2$ , ¿cuánto vale el determinante de la matriz asociada?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La dimensión del núcleo en el caso doble
COMP2
Para $k=1$ , ¿cuánto vale $\dim\ker f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión según k. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\ker f$ es el conjunto de soluciones del sistema homogéneo $A\overline{x}=\overline{0}$ , y por tanto un subespacio.
2. $\det A=\left(k-1\right)^{2}\left(k+2\right)$ , que se anula solo en $k=1$ y en $k=-2$ .
3. Para todo $k$ distinto de esos dos, el rango es $3$ y el núcleo es trivial: $\dim\ker f=0$ .
4. En $k=1$ la matriz es toda unos, con rango $1$ , así que $\dim\ker f=2$ ; y en $k=-2$ el rango es $2$ y $\dim\ker f=1$ .

Resolución completa

1. La matriz. Cada fila son los coeficientes de una coordenada de la imagen:

\boxed{\;A=\begin{pmatrix}k&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{pmatrix}\;}

2. El núcleo es un sistema homogéneo, y ese es el punto del ejercicio. Calcular $\ker f$ es resolver $A\overline{x}=\overline{0}$ , que por ser homogéneo nunca es incompatible: la pregunta no es si hay solución sino cuántas.

El determinante, con el atajo que la matriz regala. Las tres filas suman lo mismo, así que sumando las columnas segunda y tercera a la primera queda una columna constante:

\det A=\left(k+2\right)\left(k-1\right)^{2}

La discusión, en tres casos.

$k$	$r\left(A\right)$	$\dim\ker f$	qué es el núcleo
$k\neq1,-2$	$3$	$0$	solo el $\overline{0}$
$k=1$	$1$	$2$	el plano $x+y+z=0$
$k=-2$	$2$	$1$	la recta $L\left(\left\{\left(1,1,1\right)\right\}\right)$

Con $k=1$ la matriz es toda unos y el sistema se reduce a la única ecuación $x+y+z=0$ . Con $k=-2$ las tres filas suman cero pero no son proporcionales, así que el rango es $2$ y queda una recta — la de los vectores con las tres coordenadas iguales, que es lo que anula $-2x+y+z$ cuando $x=y=z$ .

Y una advertencia que el propio ejercicio ilustra: que $k=1$ sea raíz doble del determinante no es lo que hace que el núcleo tenga dimensión $2$ . En $k=-2$ la raíz es simple y la dimensión es $1$ , pero eso también hay que mirarlo en la matriz. La multiplicidad de la raíz y la dimensión del núcleo son cosas distintas, y confundirlas es el error que reaparece —con otro nombre— en diagonalización.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.2 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un parámetro, y los tres valores que lo rompen

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute el sistema en función de $\alpha$ .

\left. \begin{array}{rcl} (2\alpha+2)x + \alpha y + 2z &=& 2\alpha-2\\ 2x + (2-\alpha)y &=& 0\\ (\alpha+1)x + (\alpha+1)z &=& \alpha-1 \end{array} \right\}

La discusión del sistema según los valores de α.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por dónde se empieza a discutir un sistema cuadrado con un parámetro?
02
Uno de los valores críticos
COMP2
El determinante de la matriz de coeficientes es $2\alpha(\alpha+1)(1-\alpha)$ . ¿Cuál es su raíz positiva?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se calcula $\left|A\right| = 2\alpha(\alpha+1)(1-\alpha)$ , sacando factor común $(\alpha+1)$ para no desarrollar del todo.
2. Si $\alpha \notin\{-1,0,1\}$ el determinante no es cero, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado.
3. En cada uno de los tres valores críticos hay que sustituir y comparar el rango de $A$ con el de la ampliada.
4. En $\alpha=1$ el sistema queda con la tercera ecuación $2x+2z=0$ y el término independiente $2\alpha-2$ se anula, así que hay que mirar si el rango baja o no.

Resolución completa

El determinante primero, y sacando factor común para no desarrollar un polinomio de grado 3 a lo bruto:

\left|A\right| = \begin{vmatrix} 2\alpha+2 & \alpha & 2\\ 2 & 2-\alpha & 0\\ \alpha+1 & 0 & \alpha+1 \end{vmatrix} = 2\alpha(\alpha+1)(1-\alpha)

El caso general. Si $\alpha\neq -1$ , $\alpha\neq 0$ y $\alpha\neq 1$ , el determinante no se anula: $\operatorname{rg}(A)=3$ y el sistema es compatible determinado. Una sola solución, y se puede dar por Cramer.

Los tres casos críticos, que es donde está el ejercicio. En cada uno se sustituye y se comparan los dos rangos:

$\alpha$	qué pasa con la matriz
$-1$	la tercera fila se anula entera y el término independiente vale $-2$
$0$	la segunda columna y el término independiente cambian de forma
$1$	los términos independientes primero y tercero se anulan

Y en cada uno se aplica Rouché-Fröbenius: si los dos rangos coinciden y valen el número de incógnitas, determinado; si coinciden y valen menos, indeterminado, con tantos parámetros como incógnitas menos rango; y si no coinciden, incompatible.

Lo que este ejercicio entrena, y por qué el determinante va primero. Un sistema con parámetro no se resuelve: se discute. Y discutir es partir la recta real en trozos y decir qué pasa en cada uno. El determinante hace esa partición de golpe, y deja un caso general que ocupa una línea y unos pocos casos aislados. Empezar por Gauss obliga a preguntarse en cada pivote si se anula, y eso es la misma discusión pero desordenada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.3 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El mismo sistema, escrito y resuelto con matrices

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Resuelve en forma matricial:

\left. \begin{array}{rcl} x + 2z &=& 1\\ -x + y + z &=& -2\\ y + z &=& 3 \end{array} \right\}

La solución del sistema, resuelto en forma matricial.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Resolver en forma matricial» significa escribirlo como $AX=B$ y despejar. ¿Qué hace falta para poder hacerlo?
02
El determinante de la matriz
COMP2
Para $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ , ¿cuánto vale $\left|A\right|$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sistema se escribe $AX=B$ con $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ .
2. $\left|A\right| = -2 \neq 0$ , luego $A$ es invertible.
3. Entonces $X = A^{-1}B$ , y basta calcular la inversa y multiplicar.
4. Sale $x=5$ , $y=5$ , $z=-2$ , y se comprueba sustituyendo en las tres ecuaciones.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.5 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Cuatro ecuaciones para tres incógnitas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudia la compatibilidad del sistema, y resuélvelo si es compatible:

\left. \begin{array}{rcl} x + 2y + 5z &=& 20\\ 2x + 3y + 2z &=& 2\\ 2x + y + z &=& 7\\ x + y + z &=& -1 \end{array} \right\}

Si el sistema es compatible y, en su caso, su solución.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay cuatro ecuaciones y tres incógnitas. ¿Qué se puede anticipar de eso?
02
El rango de la matriz de coeficientes
COMP2
El determinante formado por las tres primeras filas vale $-15$ . ¿Cuánto vale entonces $\operatorname{rg}(A)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El menor de las tres primeras filas vale $-15\neq0$ , luego $\operatorname{rg}(A)=3$ .
2. Resolviendo esas tres ecuaciones sale $x=\frac{17}{5}$ , $y=-\frac{26}{5}$ , $z=\frac{27}{5}$ .
3. Sustituyendo en la cuarta: $\frac{17}{5}-\frac{26}{5}+\frac{27}{5} = \frac{18}{5}$ , y el enunciado pide $-1$ .
4. Luego la cuarta ecuación no es compatible con las otras tres: $\operatorname{rg}(A^{*}) = 4 > 3 = \operatorname{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.6 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Los tres casos de una discusión, uno de cada tipo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute la compatibilidad en función de $a$ :

\left. \begin{array}{rcl} x - 2y + az &=& a\\ x + 4y + a^{2}z &=& 6+a\\ x - 8y + a^{2}z &=& -6 \end{array} \right\}

La compatibilidad del sistema según los valores de a.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres ecuaciones empiezan por $x$ con coeficiente 1. ¿Qué conviene hacer con eso antes de calcular el determinante?
02
El valor de a que hace el sistema incompatible
COMP2
El determinante vale $12a(a-1)$ , así que los casos críticos son $a=0$ y $a=1$ . ¿Cuál de los dos deja el sistema incompatible?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Restando la primera fila a las otras dos, el determinante queda $\begin{vmatrix}6 & a^{2}-a\\-6 & a^{2}-a\end{vmatrix} = 12a(a-1)$ .
2. Si $a\neq0$ y $a\neq1$ , el determinante no se anula y el sistema es compatible determinado.
3. Con $a=0$ la incógnita $z$ desaparece de las tres ecuaciones: el rango baja a 2 y el sistema es compatible indeterminado, con $z$ libre.
4. Con $a=1$ las dos ecuaciones que salen de restar dan $y=1$ e $y=\frac76$ : incompatible.

Resolución completa

El determinante, restando filas primero. Las tres ecuaciones tienen el mismo coeficiente en $x$ , así que $F_2-F_1$ y $F_3-F_1$ dejan ceros en la primera columna sin cambiar el determinante:

\left|A\right| = \begin{vmatrix}1&-2&a\\0&6&a^{2}-a\\0&-6&a^{2}-a\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}6 & a^{2}-a\\-6 & a^{2}-a\end{vmatrix} = 12\left(a^{2}-a\right) = 12a(a-1)

Caso general, $a\neq0$ y $a\neq1$ : el determinante no se anula, el rango es 3 y el sistema es compatible determinado.

Caso $a=0$ . Los coeficientes de $z$ son $a=0$ y $a^{2}=0$ : la $z$ desaparece del sistema. Queda

x-2y = 0,\qquad x+4y = 6,\qquad x-8y = -6

Las dos primeras dan $x=2$ , $y=1$ , y la tercera se cumple: $2-8=-6$ ✓ Los dos rangos valen 2, menor que las tres incógnitas: compatible indeterminado, con $z$ libre. Las soluciones son $(2,1,\lambda)$ para todo $\lambda$ .

Caso $a=1$ . Restando la primera a las otras dos sale $y=1$ por un lado y $y=\frac76$ por otro: incompatible.

\boxed{ \begin{array}{ll} a\neq 0,1 & \text{compatible determinado}\\ a = 0 & \text{compatible indeterminado, } (2,1,\lambda)\\ a = 1 & \text{incompatible} \end{array}}

Por qué este ejercicio vale por tres. Los dos valores que anula el determinante dan los dos resultados posibles, uno cada uno. Eso deja claro lo que el determinante hace y lo que no: señala dónde mirar, y nunca dice qué vas a encontrar. Un sistema con determinante cero puede tener infinitas soluciones o ninguna, y decidirlo es Rouché-Fröbenius, no el determinante.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.7 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El parámetro que hace el núcleo lo más grande posible

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla el valor de $a$ para el que la dimensión del núcleo del endomorfismo

f(x,y,z) = \left(ax+y+z,\; x+ay+z,\; x+y+az\right)

sea la mayor posible, y encuentra una base.

El valor de a que maximiza dim(ker f), y una base del núcleo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación hay entre la dimensión del núcleo y el rango de la matriz asociada?
02
La dimensión mayor que puede tener el núcleo
COMP2
El determinante es $(a-1)^{2}(a+2)$ , y para $a=1$ la matriz tiene todas sus entradas iguales a 1. ¿Cuánto vale $\dim\ker f$ en ese caso?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La matriz asociada es $\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}$ , con determinante $(a-1)^{2}(a+2)$ .
2. Si $a\neq1$ y $a\neq-2$ el rango es 3 y el núcleo es $\{\bar0\}$ , de dimensión 0.
3. Con $a=-2$ el rango baja a 2 y $\dim\ker f = 1$ .
4. Con $a=1$ las tres filas son iguales, el rango es 1 y $\dim\ker f = 2$ : el mayor posible.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.8 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un sistema homogéneo, y cuándo tiene algo más que el cero

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de $a$ y $b$ .

\left. \begin{array}{rcl} x + 2y - 3z &=& 0\\ 2x + 5y - 8z &=& 0\\ ax + by + 3z &=& 0\\ ax + y + bz &=& 0 \end{array} \right\}

La discusión en función de a y b, y las soluciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Todos los términos independientes son cero. ¿Qué se sabe antes de calcular nada?
02
El valor de b que permite soluciones no triviales
COMP2
Las dos primeras ecuaciones obligan a que la solución sea múltiplo de $(-1,2,1)$ . Sustituyendo en las otras dos salen $-a+2b+3=0$ y $-a+b+2=0$ . ¿Cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos primeras ecuaciones son independientes, y resolviéndolas sale $y=2z$ , $x=-z$ : la solución es $z\,(-1,2,1)$ .
2. Sustituyendo ese vector en la tercera: $-a+2b+3=0$ ; y en la cuarta: $-a+b+2=0$ .
3. Las dos condiciones a la vez dan $b=-1$ y $a=1$ .
4. Con $a=1$ y $b=-1$ el sistema es compatible indeterminado, y sus soluciones son $\lambda(-1,2,1)$ .

Resolución completa

Un homogéneo siempre es compatible, así que la pregunta no es si hay solución sino si hay más que la trivial. Y hay más exactamente cuando el rango baja de 3.

Las dos primeras ecuaciones no llevan parámetros, así que se resuelven de entrada:

\left.\begin{array}{rcl}x+2y-3z&=&0\\2x+5y-8z&=&0\end{array}\right\} \;\Longrightarrow\; y = 2z,\quad x = -z

Es decir: cualquier solución del sistema completo tiene que ser de la forma $z\,(-1,2,1)$ . Eso reduce el problema a comprobar si ese vector cumple las otras dos.

Sustituyendo $(x,y,z)=(-1,2,1)$ :

\text{tercera: } -a+2b+3 = 0, \qquad \text{cuarta: } -a+b+2 = 0

Restando, $b+1=0$ , y de ahí

\boxed{\;a = 1,\qquad b = -1\;}

La discusión completa:

caso	rango	soluciones
$a=1$ y $b=-1$	2	$\lambda\,(-1,2,1)$ , infinitas
cualquier otro $(a,b)$	3	solo la trivial $(0,0,0)$

El atajo que ahorra el trabajo entero. En vez de calcular rangos de una matriz $4\times3$ con dos parámetros dentro, se resuelve la parte sin parámetros —que ya deja una sola dirección posible— y se obliga a las otras ecuaciones a contener esa dirección. Dos ecuaciones en $a$ y $b$ , y listo. Buscar primero lo que no tiene parámetros es la jugada que más veces funciona en este tema.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 1 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un determinante con tres raíces, y qué pasa en cada una

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} x + y + (1-m)z &=& m+2\\ x + (m+1)y + z &=& -(m+2)\\ (m+3)x + y + 3z &=& m+2 \end{array} \right\}

La discusión según m, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
El determinante sale $m(m+1)(m+2)$ : tres valores críticos. ¿Qué se puede afirmar de los tres antes de mirar ninguno?
02
El valor crítico que se ve sin calcular nada
COMP2
Uno de los tres valores críticos se delata solo con mirar las ecuaciones primera y segunda: las deja con el mismo lado izquierdo y lados derechos opuestos. ¿Cuál es?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión completa. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = m(m+1)(m+2)$ : fuera de $m=0,-1,-2$ el sistema es compatible determinado.
2. Con $m=0$ , las dos primeras ecuaciones dicen $x+y+z=2$ y $x+y+z=-2$ : incompatible.
3. Con $m=-1$ , sumar las dos primeras da $2x+y+3z=0$ , y la tercera pide $2x+y+3z=1$ : incompatible.
4. Con $m=-2$ , los tres términos independientes se anulan y la tercera ecuación repite la primera: queda un homogéneo de rango 2, compatible indeterminado con soluciones $t\,(-2,-1,1)$ .

Resolución completa

El determinante. Desarrollando y factorizando:

\det A = \begin{vmatrix}1&1&1-m\\1&m+1&1\\m+3&1&3\end{vmatrix} = m(m+1)(m+2)

Caso general ( $m\neq 0,-1,-2$ ): compatible determinado, y la solución sale por Cramer.

$m=0$ . Las dos primeras ecuaciones quedan $x+y+z=2$ y $x+y+z=-2$ : el mismo plano con dos alturas distintas. Incompatible.

$m=-1$ . El sistema es $x+y+2z=1$ , $x+z=-1$ , $2x+y+3z=1$ . La suma de las dos primeras da $2x+y+3z=0$ ; la tercera exige $2x+y+3z=1$ . Incompatible.

$m=-2$ . Todos los términos independientes valen $m+2=0$ : homogéneo. Las ecuaciones son $x+y+3z=0$ , $x-y+z=0$ , $x+y+3z=0$ — la tercera es la primera. Restando las dos independientes: $2y+2z=0$ , o sea $y=-z$ , y $x=-y-3z=-2z$ . Compatible indeterminado:

\boxed{(x,y,z) = t\,(-2,-1,1),\quad t\in\mathbb{R}}

caso	qué pasa
$m\neq 0,-1,-2$	compatible determinado
$m=0$	incompatible
$m=-1$	incompatible
$m=-2$	compatible indeterminado, $t(-2,-1,1)$

Lo que enseña este sistema. Tres raíces del determinante y tres finales distintos de dos tipos. La factorización dice dónde parar a mirar; lo que hay en cada parada —contradicción a simple vista, contradicción escondida, o una recta de soluciones— solo lo dice Rouché-Fröbenius caso a caso.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 2 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Cuatro ecuaciones y tres incógnitas, con el parámetro en dos sitios

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} x + y - z &=& 2\\ ax + y + z &=& 1\\ x - y + 3z &=& -3\\ 4x + 2y &=& a \end{array} \right\}

Para qué valores de a hay solución, y cuáles son.

01
Reconocer el camino
COMP1
Cuatro ecuaciones para tres incógnitas. ¿Por dónde conviene empezar?
02
El único valor de a con solución
COMP2
Multiplica la primera ecuación por 3 y súmale la tercera: sale exactamente el lado izquierdo de la cuarta. ¿Qué valor tiene que tomar $a$ para que el sistema pueda tener solución?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El lado izquierdo de la cuarta ecuación es $3$ veces la primera más la tercera, así que sus lados derechos obligan a $a=3$ ; con $a\neq 3$ el sistema es incompatible.
2. Con $a=3$ quedan tres ecuaciones efectivas, y su determinante $6-2a$ se anula justo en $a=3$ : tampoco ahí hay solución única.
3. Resolviendo la primera y la tercera con $z=t$ libre sale $x=-\tfrac12 - t$ , $y=\tfrac52 + 2t$ , y la segunda ecuación con $a=3$ se cumple para todo $t$ .
4. La solución es la recta $\left(-\tfrac12 - t,\; \tfrac52 + 2t,\; t\right)$ : compatible indeterminado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 3 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El determinante que solo llega a segundo grado

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} x + 2y + z &=& a\\ 2x + (a+1)y + (a+1)z &=& a\\ 3x + (a+3)y + (2a+1)z &=& a+1 \end{array} \right\}

La discusión según a, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
El parámetro aparece en cuatro coeficientes y el determinante, desarrollado, se queda en $(a-1)(a-3)$ — segundo grado, no tercero. ¿Por qué puede pasar eso?
02
El caso que sale redundante
COMP2
Con $a=1$ el determinante se anula. Comprueba qué relación guarda la tercera ecuación con las dos primeras en ese caso: ¿la suma de las dos primeras da la tercera? Responde con el valor del lado derecho que le sale a esa suma.
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = (a-1)(a-3)$ : fuera de $a=1$ y $a=3$ , compatible determinado.
2. En $a=1$ la tercera ecuación es la suma de las dos primeras: compatible indeterminado.
3. En $a=3$ , restar el doble de la 1.ª a la 2.ª da $2z=-3$ , y restar el triple de la 1.ª a la 3.ª da $4z=-5$ : dos valores distintos para $z$ , incompatible.
4. Los dos casos críticos salen distintos: uno indeterminado y uno incompatible, y eso no se sabía hasta mirarlos.

Resolución completa

El determinante.

\det A = \begin{vmatrix}1&2&1\\2&a+1&a+1\\3&a+3&2a+1\end{vmatrix} = (a-1)(a-3)

(comprobación rápida: en $a=0$ el desarrollo da 3, y $(0-1)(0-3)=3$ ✓). Fuera de $a=1$ y $a=3$ : compatible determinado.

$a=1$ . El sistema es $x+2y+z=1$ , $2x+2y+2z=1$ , $3x+4y+3z=2$ . La tercera es la suma de las otras dos: rango 2. Con $z=t$ : restando la 1.ª de la 2.ª sale $x + z = 0$ , o sea $x=-t$ ; y de la 1.ª, $2y = 1 - x - z = 1$ . Compatible indeterminado:

\boxed{a=1:\quad (x,y,z) = \left(-t,\; \tfrac12,\; t\right)}

$a=3$ . El sistema es $x+2y+z=3$ , $2x+4y+4z=3$ , $3x+6y+7z=4$ . (2.ª) $-2\cdot$ (1.ª): $2z=-3$ . (3.ª) $-3\cdot$ (1.ª): $4z=-5$ . De la primera $z=-\tfrac32$ y de la segunda $z=-\tfrac54$ : incompatible.

caso	qué pasa
$a\neq 1,3$	compatible determinado
$a=1$	compatible indeterminado, $(-t, \tfrac12, t)$
$a=3$	incompatible

El aviso del grado. Cuatro apariciones del parámetro y un determinante de grado dos: el grado visible es una cota, no una promesa. Desarrollar y factorizar es lo único que dice cuántos casos hay que discutir de verdad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 4 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El clásico de la diagonal, con el cuadrado en el lado derecho

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} ax + y + z &=& 1\\ x + ay + z &=& a\\ x + y + az &=& a^{2} \end{array} \right\}

La discusión según a, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
La matriz es la del ejercicio 5.7 — $a$ en la diagonal, unos fuera— con determinante $(a+2)(a-1)^{2}$ . ¿Qué cambia aquí respecto a aquel?
02
La suma que decide el caso a = −2
COMP2
Con $a=-2$ , suma las tres ecuaciones. El lado izquierdo se anula entero. ¿Cuánto vale el lado derecho, $1 + a + a^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = (a+2)(a-1)^{2}$ : fuera de $a=1$ y $a=-2$ , compatible determinado, con solución por Cramer $x = -\tfrac{a+1}{a+2},\; y = \tfrac{1}{a+2},\; z = \tfrac{(a+1)^{2}}{a+2}$ .
2. Con $a=1$ las tres ecuaciones son la misma, $x+y+z=1$ : compatible indeterminado con dos parámetros libres.
3. Con $a=-2$ , sumar las tres ecuaciones da $0 = 3$ : incompatible.
4. La raíz doble $a=1$ y la simple $a=-2$ dan resultados opuestos, y no por la multiplicidad: por lo que hace el lado derecho en cada una.

Resolución completa

El determinante es el del ejercicio 5.7:

\det A = (a+2)(a-1)^{2}

Caso general ( $a\neq1,-2$ ): compatible determinado. Cramer da

x = -\frac{a+1}{a+2},\qquad y = \frac{1}{a+2},\qquad z = \frac{(a+1)^{2}}{a+2}

(comprobación en $a=0$ : $\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\right)$ , y en efecto $0\cdot x + y + z = 1$ ✓, $x+0+z = 0$ ✓, $x+y+0=0$ ✓).

$a=1$ . Las tres ecuaciones son $x+y+z=1$ : un solo plano. Compatible indeterminado con dos libres:

\boxed{a=1:\quad (x,y,z) = (1-s-t,\; s,\; t)}

$a=-2$ . Sumando las tres: $(a+2)(x+y+z) = 1+a+a^{2}$ , es decir $0 = 3$ . Incompatible.

caso	qué pasa
$a\neq 1,-2$	determinado, $\left(-\frac{a+1}{a+2},\ \frac{1}{a+2},\ \frac{(a+1)^2}{a+2}\right)$
$a=1$	indeterminado, el plano $x+y+z=1$
$a=-2$	incompatible

Por qué este sistema es EL clásico. La misma matriz que en diagonalización dará el autovalor doble, el truco de sumar las tres ecuaciones, y los dos finales opuestos en las dos raíces. Si solo se pudiera hacer una discusión del boletín, sería esta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 5 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un homogéneo que llega desordenado

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} mx - y + z &=& 2x\\ x + 2my - mz &=& y\\ x + my - z &=& 0 \end{array} \right\}

Para qué valores de m hay soluciones no triviales, y cuáles son.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos primeras ecuaciones llevan incógnitas en el lado derecho. ¿Qué hay que hacer antes que nada?
02
La raíz doble del determinante
COMP2
Ordenado el sistema, el determinante factoriza como $(m-1)^{2}(m-2)$ . ¿Cuál es su raíz doble?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Reordenado, el sistema es homogéneo: compatible para todo $m$ , y solo hay que decidir cuándo la solución trivial está acompañada.
2. Fuera de $m=1$ y $m=2$ el determinante no se anula y la única solución es $(0,0,0)$ .
3. En $m=1$ el rango cae a 1 —las tres ecuaciones dicen $x+y-z=0$ o su opuesta— y las soluciones forman un plano: $(s,\,t,\,s+t)$ .
4. En $m=2$ el rango es 2 y las soluciones son la recta $t\,(-1,1,1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 6 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La incógnita que queda fijada antes de discutir nada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} ax + y + z &=& a^{2}\\ x + y + z &=& 1\\ 3x - y - z &=& 1\\ 6x - y + z &=& 3a \end{array} \right\}

Para qué valores de a hay solución, y cuáles son.

01
Reconocer el camino
COMP1
Suma la segunda y la tercera ecuación. ¿Qué obtienes?
02
El segundo valor de a que funciona
COMP2
Restando la segunda de la primera queda $(a-1)x = a^{2}-1$ , y con $x=\tfrac12$ eso obliga a $(a-1)(a+\tfrac12)=0$ . Uno de los valores buenos es $a=1$ ; ¿cuál es el otro?
Tu respuesta al paso 2un número (o la fracción -1/2) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La 2.ª y la 3.ª fijan $x=\tfrac12$ ; con eso, la 2.ª y la 4.ª determinan $y$ y $z$ en función de $a$ : el sistema de las tres últimas ecuaciones siempre tiene solución única.
2. La 1.ª ecuación es entonces una CONDICIÓN sobre $a$ : $(a-1)(a+\tfrac12)=0$ .
3. Con $a=1$ la solución es $\left(\tfrac12,\tfrac14,\tfrac14\right)$ , y con $a=-\tfrac12$ es $\left(\tfrac12,\tfrac52,-2\right)$ : compatible determinado en los dos.
4. Para cualquier otro $a$ , el sistema es incompatible.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 7 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un homogéneo con tres valores críticos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} x + my - z &=& 0\\ mx + 3y &=& 0\\ 2mx + 7y - mz &=& 0 \end{array} \right\}

Para qué valores de m hay soluciones no triviales, y cuáles son.

01
Reconocer el camino
COMP1
El determinante es $m(m-2)(m+2)$ . ¿Cuántas rectas de soluciones no triviales va a tener este sistema en total?
02
La dirección en m = 2
COMP2
Con $m=2$ , resuelve el sistema: de la segunda ecuación, $2x+3y=0$ . Tomando $y=2$ , ¿cuánto vale $x$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sistema es homogéneo: compatible para todo $m$ , y la discusión es solo cuándo hay más que la trivial.
2. $\det A = m(m-2)(m+2)$ , con tres raíces: $m=0$ , $m=2$ y $m=-2$ .
3. En $m=0$ las soluciones son $t\,(1,0,1)$ ; en $m=2$ , $t\,(-3,2,1)$ ; en $m=-2$ , $t\,(3,2,-1)$ .
4. Fuera de esos tres valores, la única solución es la trivial.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 8 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El sistema cuyo determinante es cero para todo a

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} x + y + z &=& 1\\ x + y + az &=& a\\ x + y + a^{2}z &=& a^{2} \end{array} \right\}

La discusión según a, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos primeras columnas de la matriz son iguales — las tres ecuaciones empiezan por $x+y$ . ¿Qué consecuencia inmediata tiene?
02
La z que sale para a distinto de 1
COMP2
Resta la primera ecuación de la segunda. Para $a\neq 1$ , ¿cuánto vale $z$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Dos columnas iguales: $\det A = 0$ para todo $a$ , así que el caso «compatible determinado» no existe en este sistema.
2. Para $a\neq 1$ : $z=1$ , $x+y=0$ — compatible indeterminado con un parámetro, $(t,\,-t,\,1)$ .
3. Para $a=1$ : las tres ecuaciones son $x+y+z=1$ — compatible indeterminado con dos parámetros.
4. El sistema es compatible para TODO valor de $a$ : solo cambia cuánta libertad queda.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 9 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El valor crítico que no es entero

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} 2x + y - z &=& 1\\ x + my + z &=& 1\\ 2x + y - mz &=& 1 \end{array} \right\}

La discusión según m, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera y la tercera ecuación solo se diferencian en el coeficiente de $z$ y comparten lado derecho. ¿Qué sale de restarlas?
02
El valor crítico que no es entero
COMP2
El determinante factoriza como $-(m-1)(2m-1)$ . Además de $m=1$ , ¿en qué valor se anula?
Tu respuesta al paso 2un número (o la fracción 1/2) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Restar la 1.ª de la 3.ª da $(m-1)z=0$ : para $m\neq1$ es obligatorio $z=0$ .
2. Con $m=1$ la 3.ª repite a la 1.ª: quedan dos ecuaciones independientes, rango 2, compatible indeterminado — la recta $(2t,\;1-3t,\;t)$ .
3. Con $m=\tfrac12$ : $z=0$ obliga, y las ecuaciones $2x+y=1$ y $x+\tfrac12 y=1$ piden $2x+y=1$ y $2x+y=2$ a la vez: incompatible.
4. Para $m\neq 1,\tfrac12$ : compatible determinado, con $z=0$ y la solución única que dejan las dos primeras.

Resolución completa

La resta que organiza todo. (3.ª) $-$ (1.ª):

(1-m)\,z = 0

Caso $m=1$ . La tercera era la primera. Quedan $2x+y-z=1$ y $x+y+z=1$ . Restando: $x - 2z = 0$ , o sea $x=2z$ ; y de la segunda, $y = 1 - 3z$ . Con $z=t$ :

\boxed{m=1:\quad (x,y,z) = (2t,\; 1-3t,\; t)}

(comprobación en la 1.ª: $4t + 1 - 3t - t = 1$ ✓).

Caso $m\neq 1$ : $z=0$ . Quedan $2x+y=1$ y $x+my=1$ , con determinante $2m-1$ .

$m\neq\tfrac12$ : solución única $x = \dfrac{m-1}{2m-1}$ , $y = \dfrac{1}{2m-1}$ (comprobación en $m=0$ : $(1,-1,0)$ , y $2-1=1$ ✓, $1+0=1$ ✓).
$m=\tfrac12$ : $2x+y=1$ y $x+\tfrac12y=1$ — la segunda por 2 es $2x+y=2$ . Incompatible.

caso	qué pasa
$m\neq 1,\tfrac12$	determinado, $\left(\frac{m-1}{2m-1},\ \frac{1}{2m-1},\ 0\right)$
$m=1$	indeterminado, $(2t,\,1-3t,\,t)$
$m=\tfrac12$	incompatible

El aviso de la fracción. La mitad de los que discuten este sistema encuentran $m=1$ y paran: el $m=\tfrac12$ se les escapa porque «no parece un valor de examen». Las raíces del determinante no saben lo que parece: hay que factorizar y creerse el resultado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 10 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos parámetros, y un determinante que factoriza del todo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} x + by + az &=& 1\\ ax + by + z &=& 1\\ x + aby + z &=& b \end{array} \right\}

La discusión según a y b, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con dos parámetros, el determinante $\det A = b\,(a+2)(a-1)^{2}$ se anula sobre TRES rectas del plano $(a,b)$ : $b=0$ , $a=1$ y $a=-2$ . ¿Cómo se organiza una discusión así?
02
El punto especial dentro de la recta a = 1
COMP2
Con $a=1$ , la primera y la segunda ecuación se vuelven idénticas ( $x+by+z=1$ ) y la tercera queda $x+by+z=b$ . ¿Para qué valor de $b$ es compatible el sistema en ese caso?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = b(a+2)(a-1)^{2}$ : fuera de $b=0$ , $a=1$ y $a=-2$ , el sistema es compatible determinado.
2. En $b=0$ (con $a\neq1$ ): la $y$ desaparece, y de $x+az=1$ , $ax+z=1$ , $x+z=0$ sale $x(1-a)=1$ y $x(a-1)=1$ a la vez: incompatible para todo $a\neq 1$ .
3. En $a=1$ : incompatible salvo el punto $b=1$ , donde queda el plano $x+y+z=1$ con dos parámetros libres.
4. En $a=-2$ (con $b\neq0$ ): los rangos salen 2 y 3 — incompatible.

Resolución completa

El determinante, desarrollado y factorizado:

\det A = b\,(a+2)(a-1)^{2}

(comprobaciones: $(a,b)=(2,1)$ da 4 y $1\cdot4\cdot1=4$ ✓; $(3,2)$ da 40 y $2\cdot5\cdot4=40$ ✓).

Caso general ( $b\neq0$ , $a\neq1$ , $a\neq-2$ ): compatible determinado.

Recta $b=0$ (con $a\neq1$ ): las ecuaciones pierden la $y$ y quedan $x+az=1$ , $ax+z=1$ , $x+z=0$ . De la tercera $z=-x$ ; la primera da $x(1-a)=1$ y la segunda $x(a-1)=1$ . Sumando: $0=2$ . Incompatible en toda la recta.

Recta $a=1$ : la 1.ª y la 2.ª son la misma, $x+by+z=1$ , y la 3.ª es $x+by+z=b$ . Si $b\neq1$ : incompatible. En el punto $(a,b)=(1,1)$ : una sola ecuación,

\boxed{(a,b)=(1,1):\quad (x,y,z)=(1-s-t,\; s,\; t)}

Recta $a=-2$ (con $b\neq0$ ): comprobando rangos, el de $A$ es 2 y el de la ampliada 3. Incompatible.

caso	qué pasa
$b\neq0,\ a\neq1,-2$	compatible determinado
$b=0$	incompatible
$a=1,\ b\neq1$	incompatible
$(a,b)=(1,1)$	indeterminado, el plano $x+y+z=1$
$a=-2,\ b\neq0$	incompatible

El mapa antes que la lista. Con dos parámetros conviene pensar en el PLANO $(a,b)$ : tres rectas donde el determinante muere, casi todas incompatibles, y un único punto —el cruce $(1,1)$ — donde el sistema se abre a un plano de soluciones. Discutir es dibujar ese mapa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 11 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El parámetro que ocupa una columna entera

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} ax + by + 2z &=& 1\\ ax + (2b-1)y + 3z &=& 1\\ ax + by + (b+3)z &=& 1 \end{array} \right\}

La discusión según a y b, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres ecuaciones empiezan por $ax$ : la columna de la $x$ es $(a,a,a)$ . ¿Qué pasa en cuanto $a=0$ ?
02
Los b que salvan el caso a = 0
COMP2
Con $a=0$ , restar la primera de la tercera da $(b+1)z=0$ , y el sistema en $(y,z)$ solo resulta compatible para dos valores de $b$ . Uno es $b=1$ ; ¿cuál es el otro?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = a\,(b-1)(b+1)$ : fuera de $a=0$ y $b=\pm1$ , compatible determinado.
2. En $a=0$ : la $x$ es libre si el resto es compatible, y el resto solo es compatible cuando $b=1$ (solución $y=1,z=0$ ) o $b=-1$ (solución $y=\tfrac13, z=\tfrac23$ ): rectas paralelas al eje x.
3. En $b=1$ con $a\neq0$ : la 3.ª ecuación repite a la 1.ª, quedan dos independientes — compatible indeterminado, una recta.
4. En $b=-1$ con $a\neq0$ : la 3.ª vuelve a ser la 1.ª (porque $b+3=2$ ), y pasa lo mismo: indeterminado con una recta.

Resolución completa

El determinante. Sacando el factor común de la primera columna:

\det A = a\,(b^{2}-1) = a\,(b-1)(b+1)

(comprobaciones: $(1,2)\to3$ ✓, $(2,3)\to16$ ✓, $(3,0)\to-3$ ✓).

Caso general ( $a\neq0$ , $b\neq\pm1$ ): compatible determinado.

$b=1$ , $a\neq0$ . Las tres ecuaciones son $ax+y+2z=1$ , $ax+y+3z=1$ y $ax+y+4z=1$ . Restando la primera a las otras dos: $z=0$ y $2z=0$ — la misma condición. Queda una sola ecuación efectiva, $ax+y=1$ . Compatible indeterminado, la recta $\left(t,\;1-at,\;0\right)$ .

$b=-1$ , $a\neq0$ . Como $b+3=2$ , la 3.ª ecuación es exactamente la 1.ª: $ax-y+2z=1$ . Quedan dos independientes; la 2.ª menos la 1.ª da $-2y+z=0$ , o sea $z=2y$ , y sustituyendo en la 1.ª: $ax - y + 4y = ax+3y = 1$ . Indeterminado, la recta $\left(t,\;\tfrac{1-at}{3},\;\tfrac{2(1-at)}{3}\right)$ .

$a=0$ : la $x$ desaparece. El sistema en $(y,z)$ es compatible solo si $b=\pm1$ :

b=1:\ (y,z)=(1,0) \qquad b=-1:\ (y,z)=\left(\tfrac13,\tfrac23\right)

en ambos con $x=t$ libre. Para cualquier otro $b$ : incompatible.

caso	qué pasa
$a\neq0,\ b\neq\pm1$	compatible determinado
$a\neq0,\ b=1$	indeterminado, $(t,\,1-at,\,0)$
$a\neq0,\ b=-1$	indeterminado
$a=0,\ b=\pm1$	indeterminado, con $x$ libre
$a=0,\ b\neq\pm1$	incompatible

La columna delatora. El factor $a$ del determinante no salió de desarrollar nada: la columna $(a,a,a)$ lo regala. Leer la ESTRUCTURA de la matriz antes de calcular —columnas iguales, columnas proporcionales, factores comunes— ahorra la mitad de los desarrollos de este boletín.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 12 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres parámetros, y el determinante que solo mira a uno

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} -x + z - t &=& 4\\ y - z + at &=& 1\\ x - y + t &=& b\\ ax + y - z &=& d \end{array} \right\}

La discusión según a, b y d, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
Cuatro ecuaciones, cuatro incógnitas $(x,y,z,t)$ y TRES parámetros. El determinante de la matriz solo puede depender de…
02
El valor de b que salva el caso a = 0
COMP2
Con $a=0$ , la 2.ª y la 4.ª ecuación tienen el mismo lado izquierdo ( $y-z$ ), lo que obliga a $d=1$ . Y sumar la 1.ª con la 3.ª da $z-y = 4+b$ , que contra la 2.ª obliga a un valor concreto de $b$ . ¿Cuál?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = a^{2}$ : para $a\neq0$ el sistema es compatible determinado, SEAN CUALES SEAN $b$ y $d$ .
2. Con $a=0$ , la 2.ª y la 4.ª comparten lado izquierdo: hace falta $d=1$ ; y la suma (1.ª)+(3.ª) contra la 2.ª exige $b=-5$ .
3. Con $a=0$ , $b=-5$ y $d=1$ : el rango cae a 2 y las soluciones tienen DOS parámetros libres.
4. Con $a=0$ y cualquier otro par $(b,d)$ : incompatible.

Resolución completa

El determinante. Solo $a$ vive en los coeficientes:

\det A = a^{2}

(comprobación: en $a=\pm1$ vale 1, en $a=\pm2$ vale 4, en $a=\pm3$ vale 9 — la parábola entera).

$a\neq0$ : compatible determinado para cualesquiera $b, d$ .

$a=0$ . Las ecuaciones quedan:

-x+z-t=4,\qquad y-z=1,\qquad x-y+t=b,\qquad y-z=d

La 2.ª y la 4.ª comparten lado izquierdo: $d=1$ o incompatible.
(1.ª) $+$ (3.ª): $z-y = 4+b$ ; la 2.ª dice $z-y=-1$ : $b=-5$ o incompatible.

Con $b=-5$ y $d=1$ , quedan dos ecuaciones independientes (rango 2) y cuatro incógnitas: indeterminado con dos libres. Tomando $z=s$ , $t=u$ : de la 2.ª, $y=s+1$ ; de la 1.ª, $x = z-t-4 = s-u-4$ .

\boxed{a=0,\,b=-5,\,d=1:\quad (x,y,z,t) = (s-u-4,\; s+1,\; s,\; u)}

(comprobación en la 3.ª: $(s-u-4)-(s+1)+u = -5 = b$ ✓).

caso	qué pasa
$a\neq0$	compatible determinado, para todo $b,d$
$a=0$ , $b=-5$ , $d=1$	indeterminado, dos libres
$a=0$ , otro $(b,d)$	incompatible

La jerarquía de los parámetros. Tres letras pero papeles distintos: $a$ vive en la matriz y decide la estructura; $b$ y $d$ viven en el lado derecho y solo hablan cuando la estructura falla. Separarlos ANTES de calcular convierte un monstruo de tres parámetros en una discusión de uno.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 13 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El 4×4 simétrico, sumando las cuatro ecuaciones

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} ax + y + z + t &=& 1\\ x + ay + z + t &=& b\\ x + y + az + t &=& b^{2}\\ x + y + z + at &=& b^{3} \end{array} \right\}

La discusión según a y b, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
Es la matriz « $a$ en la diagonal, unos fuera» del sistema 4, pero en tamaño $4\times4$ . ¿Cuál es su determinante?
02
El valor de b que salva el caso a = −3
COMP2
Con $a=-3$ , sumar las cuatro ecuaciones anula el lado izquierdo entero, y el derecho queda $1+b+b^{2}+b^{3}$ . ¿Para qué valor real de $b$ se anula esa suma?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = (a+3)(a-1)^{3}$ : fuera de $a=1$ y $a=-3$ , compatible determinado para todo $b$ .
2. Con $a=1$ las cuatro ecuaciones comparten lado izquierdo $x+y+z+t$ , así que hace falta $1=b=b^{2}=b^{3}$ : solo $b=1$ , y entonces queda un hiperplano con TRES parámetros libres.
3. Con $a=-3$ : sumar las cuatro obliga a $(1+b)(1+b^{2})=0$ , o sea $b=-1$ ; en ese caso el rango es 3 y quedan soluciones con UN parámetro libre.
4. Con $a=1$ y $b=-1$ , o con $a=-3$ y $b=1$ : incompatible.

Resolución completa

El determinante. Cada fila suma $a+3$ ; sumando todas a la primera y restando columnas:

\det A = (a+3)(a-1)^{3}

(comprobación en $a=0$ : $3\cdot(-1)=-3$ ✓, y el desarrollo directo del $4\times4$ da $-3$ ).

Caso general ( $a\neq1,-3$ ): compatible determinado, para todo $b$ .

$a=1$ . Las cuatro ecuaciones son « $x+y+z+t$ vale $1$ , $b$ , $b^{2}$ , $b^{3}$ ». Compatible solo si $b=b^{2}=b^{3}=1$ , es decir $b=1$ :

\boxed{a=1,\ b=1:\quad x+y+z+t=1,\ \text{tres parámetros libres}}

Cualquier otro $b$ : incompatible.

$a=-3$ . Sumando las cuatro ecuaciones:

0\cdot(x+y+z+t) = 1+b+b^{2}+b^{3} = (1+b)(1+b^{2})

Compatible solo si $b=-1$ . En ese caso el rango de $A$ es 3 (el menor $3\times3$ de la esquina, con $a=-3$ , vale $(-3+2)(-3-1)^2=-16\neq0$ ) y sobra exactamente una ecuación: indeterminado con un parámetro.

caso	qué pasa
$a\neq1,-3$	compatible determinado
$a=1,\ b=1$	indeterminado, ∞³
$a=1,\ b\neq1$	incompatible
$a=-3,\ b=-1$	indeterminado, ∞¹
$a=-3,\ b\neq-1$	incompatible

El patrón que escala. La matriz « $a$ en la diagonal, unos fuera» da $(a+n-1)(a-1)^{n-1}$ en tamaño $n$ , y sus dos trucos —sumar todas las ecuaciones, y leer qué pasa cuando todas son la misma— funcionan igual en 3×3, en 4×4 y en el tamaño que traiga el examen. Aprender el patrón vale más que aprender el resultado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9, sistema 14 de 14 · Boletín de problemas, Sistemas de ecuaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El parámetro que no decide nada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Discute y resuelve en función de sus parámetros:

\left. \begin{array}{rcl} 2x - ay + bz &=& 4\\ x + z &=& 2\\ x + y + z &=& 2 \end{array} \right\}

La discusión según a y b, y las soluciones donde las haya.

01
Reconocer el camino
COMP1
Resta la segunda ecuación de la tercera. ¿Qué obtienes, y qué le hace eso al parámetro $a$ ?
02
El único valor crítico
COMP2
Con $y=0$ , el sistema queda $2x+bz=4$ y $x+z=2$ . ¿Para qué valor de $b$ deja de tener solución única?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Restar la 2.ª de la 3.ª da $y=0$ : el término del parámetro $a$ se anula siempre.
2. $\det A = b-2$ : el cálculo directo confirma que la $a$ no aparece — su columna multiplica a una incógnita que el propio sistema fuerza a valer cero.
3. $b\neq2$ : compatible determinado, con $x = \tfrac{4-2b}{2-b} = 2,\; y=0,\; z=0$ — la solución es $(2,0,0)$ para TODO $a$ y todo $b\neq2$ .
4. $b=2$ : la 1.ª es el doble de la 2.ª — compatible indeterminado, la recta $(2-t,\; 0,\; t)$ .

Resolución completa

La resta que deja al parámetro sin trabajo. (3.ª) $-$ (2.ª):

y = 0

El término $-ay$ vale cero sea cual sea $a$ : la discusión no depende de $a$ .

El sistema restante. Con $y=0$ quedan $2x + bz = 4$ y $x+z=2$ . El determinante del sistema completo sale $\det A = b-2$ (comprobación directa: con $b=0$ vale $-2$ , con $b=3$ vale $1$ ), que se anula solo en $b=2$ — y no contiene a la $a$ .

$b\neq2$ : de $x+z=2$ , $z=2-x$ ; sustituyendo, $2x + b(2-x) = 4$ , o sea $x(2-b) = 4-2b = 2(2-b)$ , y como $b\neq2$ : $x=2$ , $z=0$ .

\boxed{b\neq2:\quad (x,y,z) = (2,\,0,\,0)\ \text{para todo } a}

$b=2$ : la 1.ª ecuación es $2x+2z=4$ , el doble de la 2.ª. Queda $x+z=2$ con $y=0$ :

\boxed{b=2:\quad (x,y,z) = (2-t,\; 0,\; t)}

caso	qué pasa
$b\neq2$ (todo $a$ )	determinado, $(2,0,0)$
$b=2$ (todo $a$ )	indeterminado, $(2-t,\,0,\,t)$

El final perfecto para el 5.9. Catorce discusiones y la última enseña la lección más fina: un parámetro escrito en el enunciado puede no decidir NADA, y darse cuenta —y decirlo— vale más que inventarle una casuística. El examen también sabe poner letras de adorno.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Sistemas de ecuaciones lineales

Qué es, y cómo se escribe

Rouché-Fröbenius: la clasificación en dos comparaciones

Los sistemas homogéneos son otro problema

Resolverlo: Gauss casi siempre, Cramer casi nunca

Con parámetro: el guion, siempre el mismo

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El rango de la matriz de coeficientes

Cuántos parámetros tendrá la solución

La solución con z = 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión del conjunto de soluciones

El generador de la recta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante del sistema

La incógnita que piden

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor de b que salva el sistema

El determinante del sistema que queda

La solución, que no depende de a

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante en función del parámetro

La dimensión del núcleo en el caso doble

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Uno de los valores críticos

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante de la matriz

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El rango de la matriz de coeficientes

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor de a que hace el sistema incompatible

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión mayor que puede tener el núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor de b que permite soluciones no triviales

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor crítico que se ve sin calcular nada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El único valor de a con solución

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caso que sale redundante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La suma que decide el caso a = −2

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La raíz doble del determinante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El segundo valor de a que funciona

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dirección en m = 2

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La z que sale para a distinto de 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor crítico que no es entero

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El punto especial dentro de la recta a = 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Los b que salvan el caso a = 0

Justificar el argumento