Álgebra · tema 06

Espacios vectoriales euclídeos

Producto escalar, norma y Gram-Schmidt. Y por qué el producto escalar del examen casi nunca es el de siempre.

Hasta aquí un espacio vectorial no tenía ni longitudes ni ángulos: se podía sumar y escalar, y nada más. El producto escalar es lo que los añade. Con él aparecen la norma, la perpendicularidad y la posibilidad de proyectar, y con eso el álgebra empieza a parecerse a la geometría.

Y hay una idea que decide la mitad de los ejercicios de este tema: el producto escalar no es uno solo. El usual —sumar los productos de las coordenadas— es solo un ejemplo. El examen define otros, y con ellos cambian las longitudes, los ángulos y hasta qué vectores son perpendiculares.

Este tema ocupa el hueco del ejercicio 3 en 4 de las 8 convocatorias, y en ellas casi siempre pide lo mismo: una demostración de teoría —desigualdad triangular, Pitágoras, Cauchy-Schwarz— y una base ortonormal por Gram-Schmidt.

Qué tiene que cumplir para ser producto escalar

Una aplicación $\left\langle\cdot,\cdot\right\rangle:V\times V\to\mathbb{R}$ es un producto escalar si cumple tres cosas:

propiedad	qué dice
bilineal	es lineal en cada argumento por separado
simétrica	$\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle=\left\langle\overline{y},\overline{x}\right\rangle$
definida positiva	$\left\langle\overline{x},\overline{x}\right\rangle>0$ para todo $\overline{x}\neq\overline{0}$

Un espacio vectorial con un producto escalar es un espacio euclídeo.

Y las tres se comprueban en ese orden, porque las dos primeras son baratas y la tercera es la que cuesta. Cuando el producto viene dado por una matriz,

\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle =\overline{x}^{T}A\,\overline{y}

las dos primeras se leen de la matriz:

bilineal: automático, siempre que sea de esta forma;
simétrica: $\iff$ $A$ es simétrica;
definida positiva: $\iff$ todos los menores principales de $A$ son positivos.

Ese último criterio es el que resuelve los ejercicios con parámetro. Para $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&12\end{pmatrix}$ : el primer menor vale $1>0$ y el determinante $11>0$ , luego sí lo es.

Olvidar la definida positiva

Es la que se salta, y es la única que puede fallar cuando la matriz ya es simétrica. Un ejemplo que lo deja claro: $\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$ es bilineal y simétrica, y no es producto escalar: con $\overline{x}=\left(0,1\right)$ da $-1$ .

Y sin definida positiva no hay norma, porque $\left\|\overline{x}\right\|=\sqrt{\left\langle\overline{x}, \overline{x}\right\rangle}$ necesita que el radicando no sea negativo. Todo el tema se cae detrás.

Norma, y las desigualdades que caen

\left\|\overline{x}\right\| =\sqrt{\left\langle\overline{x},\overline{x}\right\rangle}

Y dos desigualdades que el examen pide demostrar, en ese orden porque la segunda sale de la primera:

Cauchy-Schwarz.

\left|\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle\right| \leq\left\|\overline{x}\right\|\left\|\overline{y}\right\|

Desigualdad triangular (Minkowski).

\left\|\overline{x}+\overline{y}\right\| \leq\left\|\overline{x}\right\|+\left\|\overline{y}\right\|

Y la demostración de la segunda es siempre la misma receta, que conviene tener aprendida porque sirve para casi todo el tema: desarrollar el cuadrado.

\left\|\overline{x}+\overline{y}\right\|^{2} =\left\|\overline{x}\right\|^{2} +2\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle +\left\|\overline{y}\right\|^{2}

Acotando el término central con Cauchy-Schwarz, el miembro derecho queda $\left(\left\|\overline{x}\right\|+\left\|\overline{y}\right\|\right)^{2}$ , y como las normas no son negativas se toma raíz cuadrada.

Ese mismo desarrollo demuestra dos cosas más que también caen:

se pide	qué sale al desarrollar
Pitágoras	la igualdad equivale a $\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle=0$
identidad de polarización	$\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle=\tfrac{1}{4}\left\\|\overline{x}+\overline{y}\right\\|^{2}-\tfrac{1}{4}\left\\|\overline{x}-\overline{y}\right\\|^{2}$

La segunda dice algo bonito: la norma determina el producto escalar. Si sabes medir longitudes, ya sabes medir ángulos.

Confundir los dos casos de igualdad

En Cauchy-Schwarz, la igualdad se alcanza cuando los vectores son proporcionales. En Pitágoras, cuando son ortogonales. Son los dos casos extremos del mismo desarrollo y se confunden con facilidad.

La regla mnemotécnica: si el término cruzado $\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle$ es lo más grande posible, es Cauchy-Schwarz; si es cero, es Pitágoras.

Ortogonalidad, y la que sale gratis

\overline{x}\perp\overline{y} \iff \left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle=0

Y un teorema que ahorra trabajo constantemente:

Una familia ortogonal de vectores no nulos es siempre libre.

Se demuestra en tres líneas: si $\sum\alpha_{i}\overline{v}_{i}=\overline{0}$ , se multiplica escalarmente por $\overline{v}_{j}$ y todos los términos se anulan salvo el $j$ -ésimo, que deja $\alpha_{j}\left\|\overline{v}_{j}\right\|^{2}=0$ y por tanto $\alpha_{j}=0$ .

Lo útil es la consecuencia: en cuanto tienes $n$ vectores ortogonales no nulos en un espacio de dimensión $n$ , ya tienes una base. No hay que comprobar la independencia aparte.

Con base ortonormal, todo es más barato

Si $B=\left\{\overline{e}_{1},\dots,\overline{e}_{n}\right\}$ es ortonormal:

\overline{x}=\sum_{i}\left\langle\overline{x},\overline{e}_{i}\right\rangle \overline{e}_{i}, \qquad \left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle=\sum_{i}x_{i}y_{i}, \qquad \left\|\overline{x}\right\|^{2}=\sum_{i}x_{i}^{2}

Las coordenadas se leen con un producto escalar en vez de resolver un sistema, y el producto escalar recupera la forma usual. Por eso merece la pena ortonormalizar antes de calcular nada.

Gram-Schmidt

El método para convertir cualquier base en una ortonormal. Se toma el primer vector y se normaliza; y a cada siguiente se le resta lo que ya está cubierto por los anteriores:

\overline{w}_{k}=\overline{v}_{k} -\sum_{i<k}\left\langle\overline{v}_{k},\overline{u}_{i}\right\rangle \overline{u}_{i}, \qquad \overline{u}_{k}=\frac{\overline{w}_{k}}{\left\|\overline{w}_{k}\right\|}

Lo que se resta es exactamente la sombra del segundo vector sobre el primero. Lo que queda no tiene nada en la dirección de u₁ — y por eso es perpendicular a él.

Los tres errores que se cometen, y los tres cuestan el apartado entero:

Restar la proyección sobre el vector sin normalizar. La fórmula de arriba usa los $\overline{u}_{i}$ ya unitarios. Si usas los originales, hay que dividir por $\left\|\overline{v}_{i}\right\|^{2}$ .
Normalizar con la norma usual cuando el producto es otro. Ver abajo.
No comprobar al final. Cuesta tres productos escalares y caza todo.

Normalizar con la raíz de la suma de cuadrados

Es el error caro de este tema, y aparece en cuanto el enunciado define un producto escalar distinto del usual. La ordinaria de 2021-2022 define

\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle =x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+2x_{2}y_{2}+2x_{3}y_{3}

y con él el vector $\left(1,1,0\right)$ tiene norma $1$ : $1-1-1+2=1$ . Con la norma de siempre valdría $\sqrt{2}$ .

Gram-Schmidt funciona igual con cualquier producto escalar —solo necesita bilinealidad, simetría y definida positiva—, pero hay que usar el del enunciado en todos los pasos: en la proyección y en la normalización.

Una señal de que vas bien: en estos ejercicios las normas suelen salir enteras. Si te salen raíces feas, revisa qué producto estás usando.

Completar a base de todo el espacio

Cuando el enunciado pide ortonormalizar un subespacio y después completar hasta el espacio entero, hay dos caminos:

camino	cuándo
el producto vectorial de los dos que tienes	solo con el producto escalar usual en $\mathbb{R}^{3}$
imponer las ecuaciones de ortogonalidad	siempre

El segundo es más largo de escribir y es el único que vale cuando el producto escalar es otro. Y no es tan largo: son dos ecuaciones lineales, y muchas veces una de las dos se simplifica sola.

El complemento ortogonal

S^{\perp}=\left\{\overline{x}\in V\;/\; \left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle=0 \ \ \forall\,\overline{y}\in S\right\}

Es subespacio, y cumple $\dim S+\dim S^{\perp}=\dim V$ y $V=S\oplus S^{\perp}$ . Con eso, todo vector se parte de forma única en su parte dentro de $S$ y su parte perpendicular:

\overline{x}=\underbrace{\overline{p}}_{\in S} +\underbrace{\overline{x}-\overline{p}}_{\in S^{\perp}}

Y para calcular $\overline{p}$ —la proyección ortogonal— basta tener una base ortonormal de $S$ :

\overline{p}=\sum_{i}\left\langle\overline{x},\overline{u}_{i}\right\rangle \overline{u}_{i}

Que es, otra vez, la misma cuenta de Gram-Schmidt.

Lo que hay que llevar sabido

Producto escalar = bilineal + simétrica + definida positiva. Las tres, y la tercera es la que falla.
Con matriz: simétrica $\iff$ $A$ simétrica; definida positiva $\iff$ menores principales todos positivos.
Sin definida positiva no hay norma, y sin norma no hay nada.
La receta de casi todas las demostraciones del tema: desarrollar $\left\|\overline{x}+\overline{y}\right\|^{2}$ .
Cauchy-Schwarz: igualdad si proporcionales. Pitágoras: igualdad si ortogonales.
Ortogonal y no nulos $\Rightarrow$ libre. Ahorra comprobar la independencia.
Con base ortonormal, las coordenadas se leen con un producto escalar.
Gram-Schmidt: al $k$ -ésimo se le resta su proyección sobre todos los anteriores ya normalizados.
Usa el producto escalar del enunciado, también al normalizar. Si el enunciado define uno raro, el usual está prohibido.
Completar a base del espacio: producto vectorial solo con el producto usual; con cualquier otro, ecuaciones de ortogonalidad.
$\dim S+\dim S^{\perp}=\dim V$ , y la proyección se calcula con una base ortonormal de $S$ .

Practica lo que acabas de leer

Tres candidatos, y por qué solo uno sirve

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Tres candidatos, y por qué solo uno sirve

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sobre $\mathbb{R}^{2}$ se definen las tres aplicaciones

f\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}, \quad g\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}, \quad h\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}

Decidir cuáles son productos escalares.

Cuáles de las tres son productos escalares, y qué propiedad falla en las otras.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres son bilineales y simétricas. ¿Qué queda por comprobar, y cómo se descarta rápido?
02
El contraejemplo de g
COMP2
Con $g\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$ , ¿cuánto vale $g\left(\overline{v},\overline{v}\right)$ para $\overline{v}=\left(0,1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y el de h
COMP2
Con $h\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$ , ¿cuánto vale $h\left(\overline{v},\overline{v}\right)$ para $\overline{v}=\left(1,0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de las tres. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tres son bilineales y simétricas, así que todo se juega en la definida positiva.
2. $g$ falla con $\left(0,1\right)$ , que da $-1$ : negativo sobre un vector no nulo.
3. $h$ falla con $\left(1,0\right)$ , que da $0$ : la condición exige estrictamente positivo.
4. $f$ es el producto usual, y sí las cumple las tres: su matriz es la identidad, con los dos menores principales iguales a $1$ .

Resolución completa

Las tres son bilineales y simétricas, así que todo se decide en la tercera condición. Y para descartar basta un contraejemplo:

	contraejemplo	valor	qué falla
$g$	$\left(0,1\right)$	$-1$	negativo
$h$	$\left(1,0\right)$	$0$	no estrictamente positivo
$f$	—	—	nada: sí es producto escalar

\boxed{\;\text{Solo }f\text{ es producto escalar}\;}

El criterio de las matrices dice lo mismo más deprisa. Escribiendo cada una como $\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle =\overline{x}^{T}A\,\overline{y}$ :

A_{f}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad A_{g}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \qquad A_{h}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

Es producto escalar $\iff$ $A$ es simétrica y todos sus menores principales son positivos. Las tres son simétricas; $A_{f}$ tiene menores $1$ y $1$ ; $A_{g}$ tiene $1$ y $-1$ ; $A_{h}$ tiene $0$ y $-1$ .

Ojo a la palabra «positivos», que no es «no nulos». Una matriz con determinante positivo puede no ser definida positiva: $\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ tiene determinante $+1$ y da valores negativos sobre todo vector no nulo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Gram-Schmidt sobre dos vectores, y el tercero de regalo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{3}$ con el producto escalar usual, sea el subespacio

S=L\left(\left\{\left(2,1,2\right),\left(1,1,0\right)\right\}\right)

a) Encontrar una base ortonormal de $S$ .

b) Completarla hasta una base ortonormal de $\mathbb{R}^{3}$ .

La base ortonormal de S, y su ampliación a todo el espacio.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es exactamente lo que Gram-Schmidt le resta al segundo vector?
02
El primer vector, ya unitario
COMP2
Normalizando $\left(2,1,2\right)$ , ¿qué vector sale?
Tu respuesta al paso 2tres coordenadas entre paréntesis; valen fracciones — componentes separadas por comas
03
El segundo, tras restar la proyección
COMP2
Ortogonalizando $\left(1,1,0\right)$ respecto de $\overline{u}_{1}$ y normalizando, ¿qué vector sale?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis; valen fracciones — componentes separadas por comas
04
El tercero, para completar la base
COMP2
El vector que completa la base ortonormal de $\mathbb{R}^{3}$ , tomando $\overline{u}_{1}\times\overline{u}_{2}$ .
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis; valen fracciones — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El primer vector solo hay que normalizarlo: $\overline{u}_{1}=\left(2,1,2\right)/3$ .
2. Al segundo se le resta su proyección sobre $\overline{u}_{1}$ , que es $\left\langle\overline{v}_{2},\overline{u}_{1}\right\rangle \overline{u}_{1}$ .
3. Lo que queda es perpendicular a $\overline{u}_{1}$ por construcción, y aquí además sale ya unitario.
4. Para completar hasta $\mathbb{R}^{3}$ basta un vector perpendicular a los dos, y con el producto escalar usual lo da el producto vectorial.

Resolución completa

a) Gram-Schmidt, con dos vectores.

\left\|\left(2,1,2\right)\right\|=3 \;\Longrightarrow\; \overline{u}_{1}=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right)

\left\langle\left(1,1,0\right),\overline{u}_{1}\right\rangle=1 \;\Longrightarrow\; \overline{w}_{2}=\left(1,1,0\right)-\overline{u}_{1} =\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right)

y $\left\|\overline{w}_{2}\right\|=1$ , así que ya es unitario:

\boxed{\;\left\{ \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right), \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right)\right\}\;}

b) El tercero. Con el producto escalar usual, el producto vectorial lo da directamente y sale unitario porque los dos factores lo eran y eran perpendiculares:

\boxed{\;\overline{u}_{3}=\overline{u}_{1}\times\overline{u}_{2} =\left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right)\;}

Las tres comprobaciones, que cuestan seis productos escalares y cazan cualquier error:

	valor
las tres normas	$1$
$\left\langle\overline{u}_{1},\overline{u}_{2}\right\rangle$	$0$
$\left\langle\overline{u}_{1},\overline{u}_{3}\right\rangle$ y $\left\langle\overline{u}_{2},\overline{u}_{3}\right\rangle$	$0$

Y dos advertencias que se pagan en el examen. La primera: el resultado depende del orden de los vectores de partida; empezando por el otro sale una base distinta, igual de válida. La segunda: si el enunciado define un producto escalar que no es el usual, el producto vectorial ya no sirve para completar y hay que imponer las dos ecuaciones de ortogonalidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Partir un vector en su sombra y lo que sobra

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{3}$ con el producto escalar usual, sea el plano

S=\left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x+y+z=0\right\}

a) Hallar $S^{\perp}$ , con su dimensión.

b) Descomponer el vector $\left(3,0,0\right)$ en su parte de $S$ y su parte de $S^{\perp}$ .

El complemento ortogonal, y la descomposición del vector.

01
Reconocer el camino
COMP1
$S$ viene dado por la ecuación $x+y+z=0$ . ¿Qué es $S^{\perp}$ ?
02
La dimensión del complemento
COMP2
¿Cuánto vale $\dim S^{\perp}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La parte perpendicular al plano
COMP2
¿Cuál es la proyección de $\left(3,0,0\right)$ sobre $S^{\perp}$ ?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descomposición. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ecuación $x+y+z=0$ dice que $S$ son los vectores perpendiculares a $\left(1,1,1\right)$ , así que $S^{\perp}=L\left(\left\{\left(1,1,1\right)\right\}\right)$ .
2. Como $\dim S=2$ y $\dim S^{\perp}=1$ , se cumple $\dim S+\dim S^{\perp}=3$ y la suma es directa: $\mathbb{R}^{3}=S\oplus S^{\perp}$ .
3. La proyección de $\left(3,0,0\right)$ sobre $S^{\perp}$ vale $\left(1,1,1\right)$ , y restándola queda $\left(2,-1,-1\right)$ .
4. Ese resto está en $S$ , porque sus coordenadas suman cero; y la descomposición es única por ser la suma directa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.4, apartado 2 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Ortonormalizar una base entera de R³

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Ortonormaliza la siguiente base de $\mathbb{R}^{3}$ , con el producto escalar usual:

\left\{\left(1,1,0\right),\left(0,1,1\right), \left(1,0,1\right)\right\}

La base ortonormal que resulta.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al llegar al tercer vector, ¿de cuántas proyecciones hay que restarle?
02
El primero
COMP2
Normalizando $\left(1,1,0\right)$ , ¿qué vector sale?
Tu respuesta al paso 2tres coordenadas entre paréntesis; valen raíces y fracciones — componentes separadas por comas
03
El segundo
COMP2
Tras ortogonalizar $\left(0,1,1\right)$ respecto de $\overline{u}_{1}$ y normalizar, ¿qué vector sale?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis; valen raíces y fracciones — componentes separadas por comas
04
El tercero
COMP2
Tras restarle las dos proyecciones y normalizar, ¿qué vector sale?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis; valen raíces y fracciones — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método y su comprobación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El primer vector solo se normaliza; el segundo pierde su proyección sobre el primero; el tercero, sus proyecciones sobre los dos anteriores.
2. Al final hay que comprobar las tres normas y los tres productos cruzados: son seis cuentas y cazan casi cualquier error.
3. La base obtenida genera el mismo subespacio que la de partida —en este caso, todo $\mathbb{R}^{3}$ —.
4. Y el resultado depende del orden en que se tomen los vectores de partida: con otro orden sale otra base ortonormal, igual de válida.

Resolución completa

El método, con las restas creciendo.

\overline{u}_{1}=\frac{\left(1,1,0\right)}{\sqrt2}

\overline{w}_{2}=\left(0,1,1\right)-\tfrac12\left(1,1,0\right) =\left(-\tfrac12,\tfrac12,1\right) \;\Longrightarrow\; \overline{u}_{2}=\frac{\left(-1,1,2\right)}{\sqrt6}

\overline{w}_{3}=\left(1,0,1\right)-\tfrac12\left(1,1,0\right) -\tfrac16\left(-1,1,2\right)=\left(\tfrac23,-\tfrac23,\tfrac23\right) \;\Longrightarrow\; \overline{u}_{3}=\frac{\left(1,-1,1\right)}{\sqrt3}

\boxed{\;\left\{ \frac{\left(1,1,0\right)}{\sqrt2}, \ \frac{\left(-1,1,2\right)}{\sqrt6}, \ \frac{\left(1,-1,1\right)}{\sqrt3}\right\}\;}

Dos costumbres que ahorran errores. La primera: multiplicar por lo que haga falta antes de normalizar. La dirección de $\left(-\tfrac12,\tfrac12,1\right)$ es la misma que la de $\left(-1,1,2\right)$ , y con enteros la norma se calcula mejor. La segunda: normalizar solo al final de cada paso, nunca a medias.

Y la comprobación, que aquí son seis cuentas:

	valor
las tres normas	$1$
los tres productos cruzados	$0$

Por qué el tercero necesita dos restas. Es el error más repetido del método: restar solo la proyección sobre el anterior. Con eso el tercero queda perpendicular a $\overline{u}_{2}$ y no a $\overline{u}_{1}$ , y la base no es ortogonal. La fórmula resta sobre todos los anteriores.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.6 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada · El boletín lo marca como «ejercicio de examen».

El parámetro que convierte una forma en producto escalar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}$ la aplicación definida por

f\left(\overline{x},\overline{y}\right) =\left(x_{1},x_{2}\right) \begin{pmatrix}1&1\\\lambda-2&4\lambda\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}

a) Hallar el valor de $\lambda$ para que $f$ sea un producto escalar.

b) Calcular la relación entre $a$ y $b$ para que el vector $\left(a,b\right)$ sea ortogonal a $\left(2,1\right)$ .

El valor del parámetro, y la relación entre a y b.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué condición sobre la matriz hay que imponer primero, y por qué?
02
El parámetro
COMP2
¿Para qué valor de $\lambda$ es $f$ un producto escalar?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El producto escalar de (1,0) con (2,1)
COMP2
Con $\lambda=3$ , ¿cuánto vale $\left\langle\left(1,0\right),\left(2,1\right)\right\rangle$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el ejercicio entero. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Para que $f$ sea producto escalar, su matriz tiene que ser simétrica: $1=\lambda-2$ , luego $\lambda=3$ .
2. Con ese valor la matriz es $\begin{pmatrix}1&1\\1&12\end{pmatrix}$ , cuyos menores principales valen $1$ y $11$ : definida positiva.
3. Por bilinealidad, $\left\langle\left(a,b\right),\left(2,1\right)\right\rangle =a\left\langle\left(1,0\right),\left(2,1\right)\right\rangle +b\left\langle\left(0,1\right),\left(2,1\right)\right\rangle$ .
4. Esos dos productos valen $3$ y $14$ , así que la condición de ortogonalidad es $3a+14b=0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.1 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Que el producto de siempre cumple los axiomas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$\langle\,,\rangle : \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}$ es una aplicación definida de la siguiente forma:

\langle\overline{x},\overline{y}\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i, \qquad \overline{x}=(x_1,\ldots,x_n),\;\overline{y}=(y_1,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^{n}

Prueba que es un producto escalar definido en $\mathbb{R}^{n}$ y halla la norma.

La comprobación de los axiomas y la norma que induce.

01
Reconocer el camino
COMP1
De las cuatro condiciones que definen un producto escalar, ¿cuál es la que no sale sola y hay que mirar con cuidado?
02
El producto de un vector por sí mismo
COMP2
Para $\overline{x}=(3,-4)$ , ¿cuánto vale $\langle\overline{x},\overline{x}\rangle$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación de la definida positiva. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\langle\overline{x},\overline{x}\rangle = \sum x_i^{2}$ , una suma de cuadrados de números reales.
2. Cada sumando es mayor o igual que cero, así que la suma entera también lo es.
3. Y la suma vale cero solo si todos los sumandos valen cero, es decir si $x_i = 0$ para todo $i$ .
4. Luego $\langle\overline{x},\overline{x}\rangle > 0$ salvo para el vector nulo, que es la definición de definida positiva.

Resolución completa

Las cuatro condiciones, y cuál cuesta. Un producto escalar es una aplicación que a dos vectores les asigna un número, y tiene que ser simétrica, lineal en cada componente y definida positiva. Las tres primeras salen de las propiedades de los números reales; la cuarta es la que se comprueba de verdad.

Simetría. $x_iy_i = y_ix_i$ para cada $i$ , así que

\langle\overline{x},\overline{y}\rangle = \sum x_iy_i = \sum y_ix_i = \langle\overline{y},\overline{x}\rangle

Linealidad en la primera componente. Con $\overline{x}=\alpha\overline{u}+\beta\overline{v}$ :

\sum(\alpha u_i + \beta v_i)y_i = \alpha\sum u_iy_i + \beta\sum v_iy_i = \alpha\langle\overline{u},\overline{y}\rangle+\beta\langle\overline{v},\overline{y}\rangle

Es la distributiva y nada más. Y por la simetría ya probada, la linealidad en la segunda sale gratis.

Definida positiva, que es la interesante:

\langle\overline{x},\overline{x}\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^{2}

Una suma de cuadrados nunca es negativa, y solo vale cero si todos los sumandos son cero, o sea si $\overline{x}=\overline{0}$ .

La norma asociada es la raíz del producto de un vector por sí mismo:

\boxed{\;\lVert\overline{x}\rVert = \sqrt{\langle\overline{x},\overline{x}\rangle} = \sqrt{x_1^{2}+\cdots+x_n^{2}}\;}

que es exactamente el teorema de Pitágoras en $n$ dimensiones.

Para qué sirve haber hecho este. Es el producto escalar que todo el mundo da por supuesto, y verlo comprobado deja claro qué se comprueba: los otros ejercicios del tema cambian la fórmula —una integral, una traza, una matriz de por medio— y lo único que hay que repetir es esta misma lista de cuatro. Y en el 6.7 hay uno que no pasa la última.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.2 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un producto escalar entre matrices, con la traza

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se define el siguiente producto interno:

\langle\,,\rangle : \mathcal{M}(n,\mathbb{R})\times \mathcal{M}(n,\mathbb{R})\longrightarrow\mathbb{R}

\langle A,B\rangle = \operatorname{traza}\left(A\cdot B^{T}\right) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}b_{ij}, \qquad A=(a_{ij}),\; B=(b_{ij})

$B^{T}$ es la traspuesta de $B$ . Comprueba que es un producto escalar definido en $\mathcal{M}(n,\mathbb{R})$ y halla la norma que le corresponde.

La comprobación de los axiomas y la norma asociada.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da dos expresiones del mismo producto. ¿Qué gana usar la del sumatorio en vez de la de la traza?
02
La norma de una matriz concreta
COMP2
Para $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix}$ , ¿cuánto vale $\langle A,A\rangle$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La entrada $(i,i)$ de $A\cdot B^{T}$ es $\sum_j a_{ij}b_{ij}$ , así que su traza es $\sum_i\sum_j a_{ij}b_{ij}$ .
2. Escrito así, es el producto usual sobre las entradas de las dos matrices.
3. Luego hereda la simetría y la bilinealidad del producto usual, sin más que comprobar.
4. Y es definido positivo porque $\langle A,A\rangle=\sum a_{ij}^{2}$ es una suma de cuadrados que solo se anula con la matriz nula.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.3 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una familia ortogonal, pero de funciones

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$\langle\,,\rangle:\mathcal{C}\left(\left[0,2\pi\right],\mathbb{R}\right) \times\mathcal{C}\left(\left[0,2\pi\right],\mathbb{R}\right) \longrightarrow\mathbb{R}$ se define de la siguiente forma:

\langle f,g\rangle = \int_{0}^{2\pi} f(x)\cdot g(x)\,dx

Comprueba que $S$ es una familia ortogonal:

S=\left\{f_0(x)=1,\; f_1(x)=\cos x,\; f_2(x)=\operatorname{sen} x,\; f_3(x)=\cos 2x,\right.

\left. f_4(x)=\operatorname{sen} 2x,\;\ldots,\; f_{2n-1}(x)=\cos nx,\; f_{2n}(x)=\operatorname{sen} nx\right\}

Que todos los productos entre funciones distintas de S valen cero.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa aquí que dos funciones sean ortogonales?
02
El primer producto que hay que comprobar
COMP2
¿Cuánto vale $\displaystyle\int_{0}^{2\pi} 1\cdot\cos x\,dx$ , o sea $\langle f_0,f_1\rangle$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\langle f_0, f_k\rangle = \int_0^{2\pi}\cos kx\,dx = 0$ , y lo mismo con el seno: un periodo entero de una sinusoide integra cero.
2. Para dos cosenos distintos se usa $\cos a\cos b=\frac12\left[\cos(a-b)+\cos(a+b)\right]$ , y las dos integrales que quedan son de sinusoides sobre periodos enteros.
3. El producto de un seno por un coseno es impar respecto del centro del intervalo, y su integral también se anula.
4. Luego todos los productos entre funciones distintas de $S$ valen cero: la familia es ortogonal.

Resolución completa

Lo primero, el cambio de significado. «Ortogonal» aquí no habla de ángulos: significa que el producto escalar vale cero, y el producto escalar es una integral. Comprobar la familia es comprobar que todas esas integrales se anulan.

Con la función constante. Para cualquier $k\ge 1$ ,

\int_{0}^{2\pi}\cos kx\,dx = \left[\frac{\operatorname{sen} kx}{k}\right]_{0}^{2\pi} = 0, \qquad \int_{0}^{2\pi}\operatorname{sen} kx\,dx = \left[\frac{-\cos kx}{k}\right]_{0}^{2\pi} = 0

porque $\left[0,2\pi\right]$ contiene un número entero de periodos de cada una: lo que sube por encima del eje es exactamente lo que baja.

Entre dos cosenos, con $m\neq n$ , se usa la fórmula del producto:

\cos mx\cos nx = \tfrac12\left[\cos(m-n)x + \cos(m+n)x\right]

y las dos integrales que quedan vuelven a ser sinusoides sobre periodos enteros: cero. Igual con dos senos, usando $\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b =\frac12\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$ .

Entre un seno y un coseno el argumento es aún más corto: el producto es impar respecto del punto medio del intervalo, así que lo de un lado cancela lo del otro.

\boxed{\;\langle f_i,f_j\rangle = 0 \text{ para todo } i\neq j\;}

Dónde reaparece esto. Esta familia es la base de las series de Fourier, y su ortogonalidad es la razón de que los coeficientes se calculen con una integral cada uno, sin resolver ningún sistema: al multiplicar la serie por $\cos kx$ e integrar, todos los términos desaparecen menos uno. Es el mismo mecanismo que hace útil una base ortonormal en $\mathbb{R}^{n}$ , con funciones en vez de flechas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.4, apartado 1 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una base que ya viene casi ortogonal

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Ortonormaliza la siguiente base, con el producto escalar usual:

\left\{\left(2,0,0\right),\left(0,1,2\right),\left(0,0,1\right)\right\}

La base ortonormal que resulta.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de aplicar Gram-Schmidt, ¿qué conviene mirar en estos tres vectores?
02
El segundo vector de la base
COMP2
Normalizando $\left(0,1,2\right)$ , ¿qué vector sale?
Tu respuesta al paso 2tres coordenadas entre paréntesis; valen raíces y fracciones — componentes separadas por comas
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el proceso. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\overline{u}_1 = \frac{(2,0,0)}{2} = (1,0,0)$ .
2. $\langle(0,1,2),\overline{u}_1\rangle = 0$ , así que el segundo vector ya es ortogonal al primero y solo hay que normalizarlo: $\overline{u}_2=\left(0,\frac{1}{\sqrt5},\frac{2}{\sqrt5}\right)$ .
3. Para el tercero, $\langle(0,0,1),\overline{u}_1\rangle = 0$ y $\langle(0,0,1),\overline{u}_2\rangle = \frac{2}{\sqrt5}$ , así que hay una proyección que restar.
4. Restando queda $\left(0,-\frac{2}{5},\frac{1}{5}\right)$ , de norma $\frac{1}{\sqrt5}$ , y normalizado $\overline{u}_3=\left(0,-\frac{2}{\sqrt5},\frac{1}{\sqrt5}\right)$ .

Resolución completa

Mirar antes de calcular, que aquí ahorra la mitad del trabajo:

\langle(2,0,0),(0,1,2)\rangle = 0, \qquad \langle(0,1,2),(0,0,1)\rangle = 2 \neq 0

Los dos primeros ya son perpendiculares; el tercero no lo es del segundo.

Primero. Solo normalizar, porque no hay nada anterior:

\overline{u}_1 = \frac{(2,0,0)}{2} = (1,0,0)

Segundo. La proyección sobre $\overline{u}_1$ vale cero, así que pasa intacto y solo se normaliza:

\overline{u}_2 = \frac{(0,1,2)}{\sqrt5} = \left(0,\tfrac{1}{\sqrt5},\tfrac{2}{\sqrt5}\right)

Tercero. Aquí sí hay que restar, y solo la segunda proyección:

\overline{w}_3 = (0,0,1) - \langle(0,0,1),\overline{u}_2\rangle\,\overline{u}_2 = (0,0,1) - \frac{2}{\sqrt5}\left(0,\tfrac{1}{\sqrt5},\tfrac{2}{\sqrt5}\right) = \left(0,-\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5}\right)

Su norma es $\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{1}{25}}=\frac{1}{\sqrt5}$ , así que

\overline{u}_3 = \left(0,-\tfrac{2}{\sqrt5},\tfrac{1}{\sqrt5}\right)

\boxed{\;\left\{(1,0,0),\; \left(0,\tfrac{1}{\sqrt5},\tfrac{2}{\sqrt5}\right),\; \left(0,-\tfrac{2}{\sqrt5},\tfrac{1}{\sqrt5}\right)\right\}\;}

La comprobación de treinta segundos, y conviene hacerla siempre: los tres productos cruzados valen cero y las tres normas valen uno.

Fíjate en la forma del tercero: es el segundo con las coordenadas cambiadas de sitio y una con el signo cambiado. En el plano $YZ$ eso es girar 90°, y no es casualidad: en dos dimensiones solo hay una dirección perpendicular a una dada, salvo el signo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.4, apartado 3 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Gram-Schmidt con vectores de cuatro coordenadas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Ortonormaliza la siguiente base, con el producto escalar usual:

\left\{\left(1,1,0,-1\right),\left(1,0,0,4\right), \left(2,0,1,-1\right)\right\}

La familia ortonormal que resulta.

01
Reconocer el camino
COMP1
Son tres vectores de cuatro coordenadas. ¿Qué se obtiene al ortonormalizarlos?
02
La norma del primero
COMP2
¿Cuánto vale $\lVert(1,1,0,-1)\rVert^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el proceso. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\overline{u}_1 = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,0,-1)$ , normalizando el primero.
2. $\langle(1,0,0,4),\overline{u}_1\rangle = \frac{1-4}{\sqrt3} = -\frac{3}{\sqrt3} = -\sqrt3$ , así que la proyección no es cero y hay que restarla.
3. $\overline{w}_2 = (1,0,0,4) + (1,1,0,-1) = (2,1,0,3)$ , que ya es perpendicular a $\overline{u}_1$ .
4. Se normaliza: $\lVert(2,1,0,3)\rVert = \sqrt{14}$ , luego $\overline{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{14}}(2,1,0,3)$ .

Resolución completa

El primero, normalizado sin más:

\lVert(1,1,0,-1)\rVert = \sqrt3, \qquad \overline{u}_1 = \tfrac{1}{\sqrt3}\left(1,1,0,-1\right)

El segundo. Su proyección sobre $\overline{u}_1$ no es cero:

\langle(1,0,0,4),\overline{u}_1\rangle = \frac{1\cdot1+0\cdot1+0\cdot0+4\cdot(-1)}{\sqrt3} = \frac{-3}{\sqrt3} = -\sqrt3

\overline{w}_2 = (1,0,0,4) - \left(-\sqrt3\right)\overline{u}_1 = (1,0,0,4) + (1,1,0,-1) = (2,1,0,3)

Comprobación de un segundo: $\langle(2,1,0,3),(1,1,0,-1)\rangle = 2+1+0-3 = 0$ ✓

\lVert(2,1,0,3)\rVert = \sqrt{4+1+0+9} = \sqrt{14}, \qquad \overline{u}_2 = \tfrac{1}{\sqrt{14}}\left(2,1,0,3\right)

El tercero, restando las dos proyecciones:

\langle(2,0,1,-1),\overline{u}_1\rangle = \frac{2+0+0+1}{\sqrt3} = \sqrt3, \qquad \langle(2,0,1,-1),\overline{u}_2\rangle = \frac{4+0+0-3}{\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}

\overline{w}_3 = (2,0,1,-1) - (1,1,0,-1) - \tfrac{1}{14}(2,1,0,3) = \left(\tfrac{6}{7},-\tfrac{15}{14},1,-\tfrac{3}{14}\right)

Y normalizándolo se obtiene $\overline{u}_3$ .

La comprobación que evita rehacerlo entero. Después de cada resta, multiplica el vector recién obtenido por los anteriores: tiene que dar cero. Si no da, el error está en ese paso y no en los siguientes, y eso ahorra buscarlo en toda la cuenta. En cuatro coordenadas y con fracciones, es la diferencia entre corregir una línea y repetirlo todo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.5 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Ortonormalizar polinomios, con una integral por producto

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se define el siguiente producto escalar entre polinomios de grado menor o igual a 2, $P_2[x]$ :

\langle p(x),q(x)\rangle = \int_{-1}^{1} p(x)\cdot q(x)\,dx

Ortonormaliza la base $\left\{1,\;x,\;x^{2}\right\}$ .

La base ortonormal de P₂[x] con ese producto.

01
Reconocer el camino
COMP1
El intervalo de integración es simétrico. ¿Qué se puede decir sin integrar de $\langle 1, x\rangle$ ?
02
El primer polinomio de la base
COMP2
$\langle 1,1\rangle = \int_{-1}^{1} dx = 2$ . Normalizando el polinomio constante $1$ , ¿por qué número hay que dividir?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (sqrt(2)), o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el proceso. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\langle 1,1\rangle = 2$ , luego $u_0 = \frac{1}{\sqrt2}$ .
2. $\langle x,1\rangle = 0$ por paridad, así que $x$ ya es ortogonal al primero: solo se normaliza.
3. $\langle x,x\rangle = \int_{-1}^{1}x^{2}dx = \frac23$ , luego $u_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ .
4. Para $x^{2}$ , la proyección sobre $u_1$ es cero por paridad, pero la de $u_0$ no: $\langle x^{2},1\rangle = \frac23$ .

Resolución completa

La paridad hace casi todo el trabajo. El intervalo es simétrico, así que el producto de un polinomio par por uno impar integra cero:

\langle 1,x\rangle = 0, \qquad \langle x,x^{2}\rangle = 0

Solo queda un producto cruzado que no se anula, y es el único sitio donde hay que restar algo.

El primero. $\langle 1,1\rangle = \int_{-1}^{1}dx = 2$ :

u_0(x) = \frac{1}{\sqrt2}

El segundo. Ya es ortogonal al primero, así que solo se normaliza:

\langle x,x\rangle = \int_{-1}^{1}x^{2}dx = \frac23 \qquad\Longrightarrow\qquad u_1(x) = \sqrt{\frac32}\,x

El tercero. La proyección sobre $u_1$ es cero por paridad; la de $u_0$ , no:

\langle x^{2},u_0\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\int_{-1}^{1}x^{2}dx = \frac{2}{3\sqrt2}

w_2(x) = x^{2} - \frac{2}{3\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2} = x^{2}-\frac13

Y su norma:

\langle w_2,w_2\rangle = \int_{-1}^{1}\left(x^{2}-\tfrac13\right)^{2}dx = \frac{8}{45} \qquad\Longrightarrow\qquad u_2(x) = \sqrt{\frac{45}{8}}\left(x^{2}-\frac13\right)

\boxed{\;\left\{\frac{1}{\sqrt2},\;\sqrt{\tfrac32}\,x,\; \sqrt{\tfrac{45}{8}}\left(x^{2}-\tfrac13\right)\right\}\;}

Estos polinomios tienen nombre. Salvo la normalización son los polinomios de Legendre, y aparecen en cuanto hay que aproximar una función por otra de grado bajo en $[-1,1]$ . Que salgan de aplicar Gram-Schmidt a $\{1,x,x^{2}\}$ es la forma más rápida de ver de dónde vienen: no son una lista que alguien inventó, son lo que queda al exigirle a las potencias que sean perpendiculares entre sí.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.7 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales euclídeos · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada · Atención: el enunciado va tal cual, y la expresión que propone NO es un producto escalar. Está explicado en la resolución.

El que dice ser producto escalar y no lo es

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Define: producto escalar, norma asociada, vectores ortogonales.

Prueba:

(a) $\lVert\overline{u}\rVert=\lVert\overline{v}\rVert=1$ y $\langle\overline{u},\overline{v}\rangle=0 \Rightarrow \lVert\overline{u}-\overline{v}\rVert=\sqrt2$

(b) $\langle\overline{u},\overline{v}\rangle = \frac14\lVert\overline{u}+\overline{v}\rVert^{2} - \frac14\lVert\overline{u}-\overline{v}\rVert^{2}$
En $\mathbb{R}^{3}$ se define el producto escalar:

\langle(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\rangle = x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 + x_3y_3

Halla una base de $\mathbb{R}^{3}$ ortonormal respecto a este producto escalar.

Las definiciones, las dos demostraciones, y la base ortonormal del apartado 2.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de ponerte con Gram-Schmidt en el apartado 2, ¿qué hay que comprobar de la expresión que da el enunciado?
02
El vector que lo delata
COMP2
Con esa expresión, ¿cuánto vale $\langle(0,1,0),(0,1,0)\rangle$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta del apartado 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La matriz asociada es $\begin{pmatrix}1&2&0\\2&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ , simétrica.
2. Su menor principal de orden 2 vale $1\cdot0-2\cdot2 = -4 < 0$ , así que la forma no es definida positiva.
3. El contraejemplo más corto es $(0,1,0)$ : no es el vector nulo y su producto por sí mismo vale $0$ .
4. Luego la expresión no es un producto escalar, y la pregunta no tiene respuesta tal como está planteada.

Resolución completa

Las definiciones del apartado 1, que valen puntos por sí solas:

Producto escalar: aplicación $\langle\,,\rangle: V\times V\to\mathbb{R}$ simétrica, lineal en cada componente y definida positiva — $\langle\overline{x},\overline{x}\rangle>0$ para todo $\overline{x}\neq\overline{0}$ —.
Norma asociada: $\lVert\overline{x}\rVert = \sqrt{\langle\overline{x},\overline{x}\rangle}$ , que existe porque el producto es definido positivo.
Vectores ortogonales: los que cumplen $\langle\overline{u},\overline{v}\rangle = 0$ .

(a) Desarrollando la norma al cuadrado por bilinealidad:

\lVert\overline{u}-\overline{v}\rVert^{2} = \lVert\overline{u}\rVert^{2} - 2\langle\overline{u},\overline{v}\rangle + \lVert\overline{v}\rVert^{2} = 1 - 0 + 1 = 2

y tomando raíces, $\lVert\overline{u}-\overline{v}\rVert=\sqrt2$ . Es el teorema de Pitágoras escrito con productos escalares.

(b) Las dos normas desarrolladas se diferencian solo en el signo del término cruzado:

\lVert\overline{u}+\overline{v}\rVert^{2} - \lVert\overline{u}-\overline{v}\rVert^{2} = 4\langle\overline{u},\overline{v}\rangle

Dividiendo entre 4 sale la igualdad pedida. Lo que dice es que el producto escalar se puede recuperar solo con longitudes: la norma determina el producto, no solo al revés.

El apartado 2, y por qué no tiene la respuesta que pide

La forma del enunciado tiene por matriz

A = \begin{pmatrix}1&2&0\\2&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Es simétrica y bilineal, pero no es definida positiva, y hay dos formas de verlo en diez segundos:

el menor principal de orden 2 vale $1\cdot0 - 2\cdot2 = -4 < 0$ ;
o directamente, $\langle(0,1,0),(0,1,0)\rangle = 0$ con un vector que no es el nulo. Y peor: $\langle(1,-1,0),(1,-1,0)\rangle = -3$ , un «cuadrado» negativo.

\boxed{\;\text{No es un producto escalar, así que no hay base ortonormal respecto a él.}\;}

Esto es una errata del boletín, y se reproduce tal cual a propósito: aquí los enunciados no se retocan, ni siquiera para arreglarlos. Falta un término $x_2y_2$ : con $x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+5x_2y_2+x_3y_3$ los tres menores serían $1$ , $1$ y $1$ , y entonces sí. Se deja el enunciado como está porque el ejercicio que sale es mejor que el que se pretendía: la respuesta correcta no es una base, es darse cuenta de que no la hay — y eso es exactamente lo que el apartado 1 acaba de pedirte definir.

Si en un examen te encuentras algo así, la respuesta que puntúa es escribir el contraejemplo. Un vector no nulo con producto por sí mismo menor o igual que cero cierra la cuestión en una línea.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Espacios vectoriales euclídeos

Qué tiene que cumplir para ser producto escalar

Norma, y las desigualdades que caen

Ortogonalidad, y la que sale gratis

Con base ortonormal, todo es más barato

Gram-Schmidt

Completar a base de todo el espacio

El complemento ortogonal

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El contraejemplo de g

Y el de h

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer vector, ya unitario

El segundo, tras restar la proyección

El tercero, para completar la base

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión del complemento

La parte perpendicular al plano

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primero

El segundo

El tercero

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El parámetro

El producto escalar de (1,0) con (2,1)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El producto de un vector por sí mismo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La norma de una matriz concreta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer producto que hay que comprobar

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El segundo vector de la base

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La norma del primero

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer polinomio de la base

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El vector que lo delata

Justificar el argumento

El apartado 2, y por qué no tiene la respuesta que pide