Preparar la convocatoria ordinaria

Resolver sistemas y calcular rangos

no da puntos — los sostiene todos3 escalones

No cae solo — está dentro de las 8

No lo pide con estas palabras: lo pide con «hallar una base del núcleo», «calcular las coordenadas en la base B’», «hallar la intersección de los subespacios» y «hallar los vectores propios». Las cuatro son lo mismo.

Ningún ejercicio de las ocho convocatorias es «un ejercicio de sistemas»: cero de treinta y dos. Y sin embargo se resuelve un sistema en los cuatro huecos, todas las veces. Todo núcleo es un sistema homogéneo; toda coordenada en una base nueva es un sistema; toda intersección de subespacios es un sistema; todo vector propio es un sistema. Va primero por el mismo motivo que el bloque de dibujar en Cálculo: no da puntos por sí mismo, y sin él los otros cuatro no se terminan a tiempo.

Clasificar antes de resolver

Decir si un sistema tiene solución, cuántas y de cuántos parámetros depende, comparando dos rangos y sin haber despejado nada.

leerRouché-Fröbenius: la clasificación en dos comparaciones

El árbol de decisión de la figura es lo que hay que llevar en la cabeza: dos comparaciones y ya está clasificado.

ejemploClasificar un sistema en dos comparaciones
El más corto, y el que enseña a mirar antes de escalonar: la tercera ecuación es la suma de las dos primeras.
prácticaDos parámetros, y solo tres casos que abrir
Del boletín, con dos parámetros. Y el guion los separa: uno se decide sin tocar el otro.
ejemploCramer, y el único caso en que compensa
El tercer método, y el que solo se usa cuando piden una incógnita: dos determinantes en vez de resolver el sistema entero. Está aquí por lo que enseña a decidir, no por lo que enseña a calcular.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Clasificar un sistema en dos comparaciones

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Clasificar y resolver el sistema

\begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+2z=5\\ 2x\phantom{{}+y}+3z=11 \end{cases}

La clasificación por Rouché, y la solución.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de escalonar: la tercera ecuación es la suma de las dos primeras. ¿Qué significa eso?
02
El rango de la matriz de coeficientes
COMP2
¿Cuánto vale $r\left(A\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Cuántos parámetros tendrá la solución
COMP2
Con $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)=2$ y tres incógnitas, ¿de cuántos parámetros depende la solución?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La solución con z = 1
COMP2
Tomando $z=1$ como parámetro, ¿cuál es la solución $\left(x,y,z\right)$ ?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tercera fila de la ampliada es la suma de las dos primeras, términos independientes incluidos.
2. Por tanto $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)=2$ , y el sistema es compatible.
3. Como ese rango es menor que las tres incógnitas, el sistema es indeterminado, con $3-2=1$ parámetro.
4. Fijando $z$ como parámetro, las dos primeras ecuaciones dan $x$ e $y$ en función de él.

Resolución completa

La lectura que resuelve medio ejercicio. Antes de escalonar conviene mirar si alguna ecuación se deduce de las otras, y aquí salta a la vista:

\left(1,1,1\mid6\right)+\left(1,-1,2\mid5\right) =\left(2,0,3\mid11\right)

La tercera fila de la ampliada entera —términos independientes incluidos— es la suma de las dos primeras. Eso garantiza dos cosas de golpe: que los dos rangos coinciden, y que valen $2$ .

Rouché, en dos comparaciones.

comparación	resultado
$r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)$	compatible
$r=2<3=n$	indeterminado, con $3-2=1$ parámetro

Y la solución. Con $z=t$ :

\boxed{\;\left(x,y,z\right) =\left(\tfrac{11-3t}{2},\;\tfrac{1+t}{2},\;t\right)\;}

que con $t=1$ da $\left(4,1,1\right)$ .

El detalle que decide entre compatible e incompatible. Si la tercera ecuación fuese $2x+3z=12$ en lugar de $11$ , la matriz $A$ tendría el mismo rango $2$ pero la ampliada subiría a $3$ : sería incompatible. La diferencia entre las dos situaciones está entera en el término independiente, y por eso Rouché mira las dos matrices y no solo una.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. La prosa de este tema escribe la fórmula de Cramer y dice cuándo compensa, y ni un solo ejercicio del boletín la aplicaba paso a paso: el boletín entra directamente por discusiones con parámetro. No es de examen ni del boletín.

Cramer, y el único caso en que compensa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

De este sistema solo se pide $y$ :

$\begin{cases} 2x+y+z=5\\ x+3y+2z=9\\ x+y+z=4 \end{cases}$

Calcularla sin resolver el sistema entero.

El valor de $y$ , y por qué aquí Cramer gana a Gauss.

01
Reconocer el camino
COMP1
El tema dice que Cramer «casi nunca compensa». ¿Qué tiene este enunciado para que aquí sí?
02
El determinante del sistema
COMP2
¿Cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La incógnita que piden
COMP2
¿Cuánto vale $y$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El sistema es cuadrado y $\det A=1\neq0$ , luego es de Cramer: tiene solución y es única.
2. Como solo piden $y$ , basta con el determinante de $A$ con su segunda columna cambiada por los términos independientes.
3. Ese determinante vale $2$ , así que $y=2/1=2$ , sin haber calculado $x$ ni $z$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas de antemano cuántos parámetros va a tener la respuesta —es $n-r$ — y que ante un sistema con parámetro abras dos casos y no diez.

El homogéneo, que nunca es incompatible

Reconocer que un núcleo, una intersección y un subespacio propio son el mismo objeto —el conjunto solución de un homogéneo— y resolverlos con el mismo procedimiento.

leerLos sistemas homogéneos son otro problema

Y la frase que conecta el tema con los otros seis: las soluciones de un homogéneo forman subespacio; las de uno no homogéneo, no.

ejemploPor qué un sistema homogéneo siempre tiene solución
Dos ecuaciones y tres incógnitas, y el conjunto solución es una recta que pasa por el origen. Esa recta es un núcleo.
prácticaUn núcleo que es un sistema homogéneo con parámetro
Del boletín, y es literalmente un ejercicio de aplicaciones lineales resuelto como sistema, con parámetro dentro.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Por qué un sistema homogéneo siempre tiene solución

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el sistema homogéneo

\begin{cases} x+2y-z=0\\ 2x+y+z=0 \end{cases}

a) Clasificarlo sin escalonar, razonando por qué.

b) Resolverlo, y decir qué es geométricamente el conjunto de sus soluciones.

La clasificación razonada, la solución, y qué es el conjunto solución.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué un sistema homogéneo nunca puede ser incompatible?
02
La dimensión del conjunto de soluciones
COMP2
¿De cuántos parámetros depende la solución?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El generador de la recta
COMP2
¿Cuál es el vector que genera el conjunto de soluciones, con la tercera coordenada igual a $1$ ?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento sobre el conjunto de soluciones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La columna de términos independientes es de ceros, así que $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)$ y el sistema es compatible.
2. El rango vale $2$ y hay tres incógnitas, luego la solución depende de $3-2=1$ parámetro.
3. Resolviendo sale $x=-z$ e $y=z$ , así que el conjunto solución es $L\left(\left\{\left(-1,1,1\right)\right\}\right)$ .
4. Y ese conjunto es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{3}$ , de dimensión $1$ : precisamente el núcleo de la aplicación lineal de matriz $A$ .

Resolución completa

a) Compatible, y sin escalonar nada. Dos argumentos, y los dos valen:

La columna de términos independientes es de ceros, así que no puede subir el rango: $r\left(A\right)=r\left(A\mid B\right)$ siempre.
Más directo todavía: $\overline{x}=\overline{0}$ cumple las dos ecuaciones. Solución hay seguro.

Un sistema homogéneo nunca es incompatible. Si al discutir uno te sale «incompatible», hay un error de cuenta.

Y como el rango vale $2$ —las dos filas no son proporcionales— frente a $n=3$ incógnitas:

\boxed{\;\text{compatible indeterminado, con }3-2=1\text{ parámetro}\;}

b) La solución. Restando el doble de la primera a la segunda se va la $x$ :

-3y+3z=0\;\Longrightarrow\;y=z, \qquad\text{y de la primera}\quad x=-z

\boxed{\;\left\{\left(-t,t,t\right)\;/\;t\in\mathbb{R}\right\} =L\left(\left\{\left(-1,1,1\right)\right\}\right)\;}

Geométricamente es una recta que pasa por el origen, y eso no es una casualidad de este ejemplo: el conjunto de soluciones de un homogéneo es siempre un subespacio vectorial. Contiene al $\overline{0}$ y es cerrado para combinaciones lineales, porque si dos vectores anulan $A\overline{x}$ cualquier combinación suya también.

Y es exactamente el núcleo de la aplicación lineal de matriz $A$ . Ese es el puente entre este tema y el 2: cada vez que el examen pide una base de $\operatorname{Ker}f$ , lo que está pidiendo es resolver un homogéneo.

Lo que no es subespacio es el conjunto de soluciones de un sistema con términos independientes no nulos: ahí el $\overline{0}$ se queda fuera, y lo que queda es una variedad afín — el subespacio del homogéneo asociado, trasladado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «halla una base de Ker f» escribas directamente el sistema $A\overline{x}=\overline{0}$ sin preguntarte si tendrá solución.

El rango, que aparece en los cuatro huecos

Calcular el rango de una matriz con y sin parámetro, y saber qué está contando en cada sitio: dimensión de la imagen, número de vectores independientes, o número de ecuaciones que de verdad restringen.

leerEl rango

La tabla de «si te dan X, usa Y» es la que ahorra tiempo: con números, Gauss; con parámetro, determinantes.

ejemploUn parámetro, y solo un valor que estropea el rango
Un solo valor estropea el rango, y ahí baja a 1 y no a 2, que es lo que casi todo el mundo contesta por inercia.
prácticaDos rangos que se ven buscando filas repetidas
Del boletín: una $5\times5$ y una $5\times6$ con fracciones, y las dos tienen rango 2. Buscar filas proporcionales antes de escalonar es lo que enseña.
prácticaExamen: la condición de invertibilidad, y un rango con parámetro
De examen: el rango de $aI+J$ según $a$ , con los dos valores que lo bajan y cuánto lo bajan.
ejemploCinco determinantes sin desarrollar ninguno
Cinco determinantes sin desarrollar ninguno. El del escalar, $\left|2A\right|$ , es el que cae en el examen.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un parámetro, y solo un valor que estropea el rango

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar el rango de

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

según los valores del parámetro $a\in\mathbb{R}$ .

El rango para cada valor del parámetro.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por dónde se empieza a discutir el rango de una matriz con parámetro?
02
El determinante en función del parámetro
COMP2
Para $a=3$ , ¿cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El valor que lo estropea
COMP2
¿Para qué valores de $a$ se anula el determinante?
Tu respuesta al paso 3los valores separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión del rango. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Restando la primera fila a las otras dos, el determinante queda $\left(a-1\right)^{2}$ .
2. Si $a\neq1$ , el determinante no es nulo y el rango vale $3$ : el máximo posible.
3. Si $a=1$ , la matriz tiene sus tres filas iguales a $\left(1,1,1\right)$ .
4. Y entonces el rango vale $1$ , porque solo hay una fila independiente.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante una matriz con parámetro calcules primero el determinante y solo abras casos donde se anula, en vez de escalonar dividiendo por expresiones que podrían ser cero.

lo tienes cuando:

Que ante un sistema con parámetro sepas que primero va el determinante y solo después los casos, y que ante un homogéneo no escribas nunca «incompatible».

Hueco 1 · Demostrar que algo es subespacio, con base y dimensión

las 8 convocatorias — 7 piden demostrar4 escalones

Cae 8 de 8 años

«Demostrar que S+T es subespacio vectorial», «estudiar si W es subespacio vectorial y hallar una base y la dimensión», «hallar las coordenadas del vector en la base B’».

El ejercicio 1 es de espacios vectoriales en las ocho convocatorias, sin una excepción. Y dentro de él: siete de ocho piden demostrar que algo es subespacio, siete de ocho piden una base o una dimensión, seis de ocho piden unas coordenadas y cinco de ocho ponen el subespacio dentro de un espacio de matrices, no de $\mathbb{R}^{n}$ .

Decidirlo, y demostrarlo en una línea

Descartar un conjunto en diez segundos mirando si contiene al vector nulo, y demostrar que otro sí lo es escribiéndolo como una clausura lineal.

leerSubespacio: la comprobación que cabe en tres líneas

La tabla de los cinco casos del boletín resume el criterio: lineal e igualada a cero, o no lo es.

ejemploLo primero que se mira, y por qué se acaba ahí
Tres conjuntos, y el tercero enseña el límite del atajo: contiene al cero y aun así no es subespacio.
prácticaOcho conjuntos, y cuáles aguantan las dos condiciones
Del boletín, ocho de golpe. Cinco lo son, y el que cuesta es el de $xyz\in\mathbb{Q}$ .
prácticaOcho candidatos a subespacio de R⁴
Ocho conjuntos de $\mathbb{R}^{4}$ y dos filtros que deciden seis: ¿está el cero? ¿los parámetros recorren $\mathbb{R}$ ?
prácticaTres conjuntos de funciones, y el criterio es el mismo
Los vectores son funciones y el criterio es el mismo. Un cuadrado, una constante, y una condición lineal homogénea.
prácticaLos polinomios de grado uno, con las operaciones de siempre
Del boletín, y es el primero de los dos de polinomios: hay que comprobar los ocho axiomas sobre el conjunto de los de grado menor o igual que uno. Sirve para ver que un espacio vectorial no tiene por qué estar hecho de flechas.
examenDos conjuntos casi iguales, y solo uno es subespacio
De la extraordinaria de 2022-2023, y con matrices de $2\times3$ : dos conjuntos casi iguales y solo uno vale.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo primero que se mira, y por qué se acaba ahí

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{3}$ se dan estos tres conjuntos:

\begin{aligned} A &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x-2y=0\right\} \\ B &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x-2y=3\right\} \\ C &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x^{2}=y\right\} \end{aligned}

Decidir cuáles son subespacios vectoriales, y dar la dimensión de los que lo sean.

Cuáles de los tres son subespacios, y la dimensión de los que lo sean.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de comprobar nada, ¿qué se mira primero en los tres?
02
La dimensión del que sí lo es
COMP2
¿Cuál es la dimensión de $A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de los tres conjuntos. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $B$ queda descartado sin hacer nada: $\left(0,0,0\right)$ no cumple $x-2y=3$ , y todo subespacio contiene al nulo.
2. $C$ sí contiene al nulo — $0^{2}=0$ —, así que hay que mirar las operaciones.
3. Y falla: $\left(1,1,0\right)$ está en $C$ , pero $2\cdot\left(1,1,0\right)=\left(2,2,0\right)$ no, porque $2^{2}=4\neq2$ .
4. $A$ sí lo es, y se ve escribiéndolo como $L\left(\left\{\left(2,1,0\right), \left(0,0,1\right)\right\}\right)$ , de dimensión $2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un término independiente no nulo, un cuadrado o una desigualdad escribas «no» sin más cuentas; y que ante un conjunto dado por parámetros escribas $L(G)$ y con eso lo des por demostrado.

Del elemento genérico a la base

Sacar una base y la dimensión de cualquier subespacio dado por parámetros o por ecuaciones, con el mismo procedimiento de tres pasos.

leerGenerar: qué significa L(G)

El procedimiento de tres pasos vale igual para $\mathbb{R}^{n}$ , para matrices y para polinomios. Es el mismo.

ejemploDel elemento genérico a la base, en tres pasos
El molde, sobre un subespacio de $\mathbb{R}^{4}$ dado por parámetros.
prácticaLa base de un hiperplano de R⁴, y completarla
Una ecuación en $\mathbb{R}^{4}$ : base de tres vectores y uno solo para completar, que tiene que salirse del hiperplano.
prácticaUn plano de R³ dado por su base, y todo lo que se le puede preguntar
Todo lo que se le puede preguntar a un plano: ecuación, pertenencia, completar, coordenadas. Cinco apartados.
prácticaLa base de los polinomios de grado dos, y una familia que también lo es
El segundo de polinomios: demostrar que 1, x y x² son base, y decidir si otra familia también lo es. El procedimiento es el mismo que con vectores de erre ene, y esa es justamente la lección — lo único que cambia es cómo se escribe el genérico.
examenLas simétricas y las antisimétricas se reparten el espacio
De la ordinaria de 2021-2022: las simétricas y las antisimétricas llenan entre las dos el espacio de las matrices.
examenDos combinaciones que a veces son dependientes
De la extraordinaria de 2023-2024, con las matrices de traza nula. Es el subespacio de matrices que más ha caído.
examenFabricar la base en la que un vector es el primero
De la ordinaria de 2023-2024, y va al revés: en vez de dar el subespacio y pedir la base, da el vector y pide la base en la que sus coordenadas son $\left(1,0,0\right)$ .

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Del elemento genérico a la base, en tres pasos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el subconjunto de $\mathbb{R}^{4}$

S=\left\{\left(a,\;2a,\;b,\;a-b\right)\;/\;a,b\in\mathbb{R}\right\}

Demostrar que es subespacio vectorial y hallar una base y su dimensión.

La demostración, una base y la dimensión.

01
Reconocer el camino
COMP1
El conjunto viene dado por parámetros, no por ecuaciones. ¿Cuál es la forma más corta de demostrar que es subespacio?
02
La dimensión
COMP2
¿Cuál es la dimensión de $S$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El vector de la base que sale con a = 1
COMP2
Poniendo $a=1$ y $b=0$ , ¿qué vector se obtiene?
Tu respuesta al paso 3cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se escribe el elemento genérico y se separa por parámetros: $\left(a,2a,b,a-b\right) =a\left(1,2,0,1\right)+b\left(0,0,1,-1\right)$ .
2. Eso dice que $S$ es exactamente el conjunto de las combinaciones lineales de esos dos vectores, es decir $S=L\left(\left\{\left(1,2,0,1\right), \left(0,0,1,-1\right)\right\}\right)$ .
3. Y como toda clausura lineal es subespacio vectorial, $S$ lo es.
4. Los dos generadores son independientes, así que además forman base y $\dim S=2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante un subespacio de matrices —traza nula, simétricas, antisimétricas— escribas el elemento genérico, lo separes por parámetros y leas la base sin dudar.

Coordenadas, y el sentido que decide el apartado

Pasar coordenadas de una base a otra sabiendo cuál de los dos sentidos es multiplicar y cuál es resolver un sistema.

leerCambiar de base, y en qué sentido va cada cosa

La tabla de dos filas es todo el apartado. El error de multiplicar cuando había que resolver produce un vector presentable y equivocado.

ejemploCoordenadas, y en qué sentido va cada cuenta
Los dos sentidos seguidos, en $\mathbb{R}^{2}$ , para que se vea la diferencia de coste.
prácticaOtra base fabricada a partir de la que había
Del boletín: demostrar que es base con un determinante, y luego unas coordenadas en el sentido caro.
prácticaUna base escalonada, y el cambio de base en los dos sentidos
La base nueva viene en escalera: matriz triangular, y el cambio inverso se despeja de abajo arriba sin invertir.
prácticaExamen: la suma de subespacios es subespacio, y coordenadas en una base nueva
De examen, con teoría delante. Las coordenadas salen con fracciones, y eso es normal: el determinante es 12.
examenLa suma se ve, la intersección hay que buscarla
De la ordinaria de 2022-2023, y trae los dos sentidos en el mismo ejercicio, uno detrás de otro.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Coordenadas, y en qué sentido va cada cuenta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{2}$ se considera $B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ , que es base.

a) Hallar las coordenadas del vector $\left(4,2\right)$ en la base $B$ .

b) Si un vector $\overline{w}$ tiene coordenadas $\left(2,-1\right)$ en la base $B$ , ¿cuál es $\overline{w}$ ?

Las coordenadas de un vector, y el vector de unas coordenadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos apartados van en sentidos contrarios. ¿Cuál de los dos se resuelve sin plantear un sistema?
02
Las coordenadas de (4,2)
COMP2
¿Cuáles son las coordenadas de $\left(4,2\right)$ en la base $B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ ?
Tu respuesta al paso 2dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
El vector que tiene coordenadas (2,−1)
COMP2
Si $\overline{w}$ tiene coordenadas $\left(2,-1\right)$ en $B$ , ¿cuál es $\overline{w}$ en coordenadas canónicas?
Tu respuesta al paso 3dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de los dos apartados. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las coordenadas de un vector en una base son los coeficientes de la única combinación lineal de la base que da ese vector.
2. En a) se conoce el vector y se buscan los coeficientes: hay que resolver $a\left(1,1\right)+b\left(1,-1\right)=\left(4,2\right)$ , y sale $\left(3,1\right)$ .
3. En b) se conocen los coeficientes y se busca el vector: basta sustituir, y sale $\left(1,3\right)$ .
4. Los dos apartados son la misma operación en sentidos contrarios, y solo uno de ellos exige resolver un sistema.

Resolución completa

Qué son las coordenadas. Fijada una base $B$ , todo vector se escribe de una sola manera como combinación lineal de ella, y esos coeficientes son sus coordenadas en $B$ . La unicidad es lo que hace que la palabra «las» tenga sentido, y viene de que $B$ es libre.

a) De la canónica a $B$ : hay que resolver.

a\left(1,1\right)+b\left(1,-1\right)=\left(4,2\right) \;\Longrightarrow\; \begin{cases}a+b=4\\a-b=2\end{cases} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\left(4,2\right)\big|_{B}=\left(3,1\right)\;}

b) De $B$ a la canónica: basta sustituir.

\overline{w}=2\left(1,1\right)-1\left(1,-1\right) =\boxed{\;\left(1,3\right)\;}

La regla que hay que llevar aprendida, porque es la que decide el apartado de cambio de base en el examen:

de dónde a dónde	qué se hace
de la base nueva a la vieja	multiplicar
de la vieja a la nueva	resolver un sistema

El sentido barato es el que va hacia la base en la que están escritos los vectores. Y si dudas, la comprobación es siempre la misma: sustituye tus coeficientes en la combinación y mira si sale el vector de partida.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que antes de escribir nada sepas decir en voz alta si el apartado que tienes delante es «multiplicar» o «resolver», y que compruebes el resultado sustituyéndolo en la combinación lineal.

La suma se ve, la intersección hay que buscarla

Calcular bases y dimensiones de $S+T$ y $S\cap T$ eligiendo la forma cómoda de cada uno, y comprobarlo con Grassmann.

leerSuma e intersección: por qué dos y dos no dan cuatro

La tabla de «se pide / forma cómoda» es la que ahorra el apartado, y Grassmann al final es una comprobación gratis.

prácticaUn plano y una recta, y la suma que llena el espacio
Un plano y una recta que no está dentro: se cortan solo en el origen y entre los dos llenan el espacio.
prácticaDos planos de R⁴ que solo comparten el cero
Uno por generadores y otro por ecuaciones: el genérico de uno se mete en las ecuaciones del otro. Aquí no queda nada, y la suma es todo.
prácticaExamen: en un sistema ligado alguien es combinación de los demás, y dos planos de R⁴
De examen: la demostración de que en un sistema ligado alguien es combinación, y dos planos que comparten una recta.
examenUno viene por generadores y el otro por ecuaciones
De la extraordinaria de 2021-2022, y es el caso cómodo servido: uno viene por generadores y el otro por ecuaciones.
examenLa suma de dos subespacios, y una base que hay que completar
De la ordinaria de 2024-2025, con la demostración de que $S+T$ es subespacio y una base que hay que completar.

nivel: practicaEjercicio 12 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un plano y una recta, y la suma que llena el espacio

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean los siguientes subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^{3}$ :

U=\left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x+y+z=0,\;x,y,z\in\mathbb{R}\right\}, \qquad V=\left\{\left(t,2t,3t\right)\;/\;t\in\mathbb{R}\right\}

Hallar las bases y dimensiones de $U$ , $V$ , $U+V$ y $U\cap V$ .

Las cuatro bases y las cuatro dimensiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
$U$ viene por una ecuación y $V$ por un parámetro. ¿Cómo conviene calcular la intersección?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\left(U\cap V\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La dimensión de la suma
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\left(U+V\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo de los cuatro subespacios. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $U$ es un plano: una ecuación homogénea en $\mathbb{R}^{3}$ deja $3-1=2$ dimensiones, con base $\left\{\left(1,0,-1\right),\left(0,1,-1\right)\right\}$ .
2. $V$ es una recta: un solo parámetro, con base $\left\{\left(1,2,3\right)\right\}$ y dimensión $1$ .
3. La intersección se calcula metiendo el genérico de $V$ en la ecuación de $U$ : $6t=0$ , luego solo queda el nulo y la dimensión es $0$ .
4. Por Grassmann, $\dim\left(U+V\right)=2+1-0=3$ , así que $U+V=\mathbb{R}^{3}$ y la suma es directa.

Resolución completa

$U$ es un plano. Una ecuación homogénea independiente en $\mathbb{R}^{3}$ quita una dimensión. Despejando $z=-x-y$ :

\left(x,y,-x-y\right)=x\left(1,0,-1\right)+y\left(0,1,-1\right)

\boxed{\;U=L\left(\left\{\left(1,0,-1\right), \left(0,1,-1\right)\right\}\right),\quad\dim U=2\;}

$V$ es una recta. Ya viene generada por un solo vector:

\boxed{\;V=L\left(\left\{\left(1,2,3\right)\right\}\right), \quad\dim V=1\;}

La intersección, con el atajo del filtro. $U$ viene por ecuaciones y $V$ por parámetros, así que se mete el genérico de $V$ en la ecuación de $U$ :

t+2t+3t=6t=0\;\Longrightarrow\;t=0

\boxed{\;U\cap V=\left\{\overline{0}\right\},\quad \dim\left(U\cap V\right)=0\;}

La base es la familia vacía. Merece la pena escribirlo así y no «la base es $\left\{\overline{0}\right\}$ », que es falso: el vector nulo nunca forma familia libre, y por eso $\dim\left\{\overline{0}\right\}=0$ .

La suma, por Grassmann.

\dim\left(U+V\right)=2+1-0=3 \;\Longrightarrow\; \boxed{\;U\oplus V=\mathbb{R}^{3}\;}

con base la canónica, o bien la unión de las dos bases: $\left\{\left(1,0,-1\right),\left(0,1,-1\right), \left(1,2,3\right)\right\}$ , que también es base porque son tres vectores independientes en dimensión $3$ .

Y la lectura geométrica, que es la que hace que esto se recuerde: un plano y una recta que no está contenida en él se cortan solo en el origen, y entre los dos llenan el espacio. Si la recta hubiera estado dentro del plano, la intersección habría sido la recta entera y la suma se habría quedado en el plano.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante uno dado por generadores y otro por ecuaciones no conviertas nada: los generadores para la suma, las ecuaciones para la intersección.

lo tienes cuando:

Que ante cualquier conjunto sepas decidir en diez segundos si el vector nulo está dentro, y que si lo está sepas escribirlo como $L(G)$ en una línea en vez de comprobar las dos condiciones.

Hueco 2 · La matriz asociada, el núcleo y la imagen

las 8 convocatorias — matriz, núcleo e imagen4 escalones

Cae 8 de 8 años

«Calcular la matriz asociada a la aplicación lineal», «calcular bases y dimensiones de Im f y Ker f», «clasificar la aplicación».

El ejercicio 2 es de aplicaciones lineales en las ocho convocatorias. Y pide siempre lo mismo: la matriz asociada en las ocho, bases y dimensiones de Ker e Im en las ocho, clasificar en siete de ocho, y una demostración de teoría en siete de ocho. Es el ejercicio más previsible del examen entero.

La matriz, y por qué va en columnas

Escribir la matriz asociada a una aplicación lineal y comprobarla contra los datos del enunciado, sin confundirla con su traspuesta.

leerLa matriz asociada, y por qué las imágenes van en columnas

La hoja de teoría de este tema no define la matriz asociada: está en la de Matrices. No es cosa tuya.

ejemploTres candidatas, y solo una es lineal
Va el primero porque va antes en el examen: si la aplicación no es lineal, no hay ninguna matriz que escribir.
ejemploLa matriz asociada, columna a columna
El molde, con una aplicación de $\mathbb{R}^{2}$ en $\mathbb{R}^{3}$ : el orden de la matriz ya dice mucho.
prácticaTres aplicaciones de R³ en R³, y la del término independiente
Del boletín, y los mismos tres casos con otros números: un término independiente, un producto de variables, y una que sí lo es.
prácticaUna imagen, una antiimagen, y si un vector está en el núcleo
Cuatro imágenes de la base, y con ellas una imagen, una antiimagen (que es una recta, no un punto) y el núcleo.
prácticaDe la fórmula a la matriz, y de la matriz al núcleo
Del boletín de matrices, pero es este ejercicio: de la fórmula a la matriz y de la matriz al núcleo.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La matriz asociada, columna a columna

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$ la aplicación lineal que cumple

f\left(1,0\right)=\left(1,2,0\right), \qquad f\left(0,1\right)=\left(0,-1,3\right)

a) Escribir la matriz asociada a $f$ en las bases canónicas.

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ , con sus dimensiones, y clasificar la aplicación.

La matriz asociada, el núcleo, la imagen y la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
$f$ va de $\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}^{3}$ . ¿De qué orden es su matriz asociada?
02
La matriz
COMP2
La matriz asociada a $f$ . Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2tres filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
La dimensión del núcleo
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación de f. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las columnas de $A$ generan la imagen, y como no son proporcionales, $\dim\operatorname{Im}f=2$ .
2. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\operatorname{Ker}f=2-2=0$ , así que el núcleo es $\left\{\overline{0}\right\}$ y $f$ es inyectiva.
3. La imagen tiene dimensión $2$ dentro de $\mathbb{R}^{3}$ , que tiene dimensión $3$ : $f$ no es sobreyectiva.
4. Luego $f$ es un monomorfismo, y no es isomorfismo.

Resolución completa

a) La matriz. Las imágenes de la base canónica, puestas en columna:

\boxed{\;A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\\0&3\end{pmatrix}\;}

Tres filas —la dimensión del espacio de llegada— y dos columnas —la del de partida—. La regla que hay que llevar: columnas = de dónde sale, filas = a dónde llega.

b) Imagen y núcleo, sin resolver ningún sistema. La imagen la generan las columnas:

\operatorname{Im}f =L\left(\left\{\left(1,2,0\right),\left(0,-1,3\right)\right\}\right), \qquad \dim\operatorname{Im}f=2

Las dos son independientes porque no son proporcionales. Y con eso, la fórmula de las dimensiones da el núcleo de regalo:

\boxed{\;\operatorname{Ker}f=\left\{\overline{0}\right\}, \quad\dim\operatorname{Ker}f=0\;}

La clasificación, y con una lectura que se puede hacer antes de calcular:

propiedad	¿se cumple?	por qué
inyectiva	sí	el núcleo es nulo
sobreyectiva	no	$\dim\operatorname{Im}=2<3$
endomorfismo	no	sale de $\mathbb{R}^{2}$ y llega a $\mathbb{R}^{3}$

Es un monomorfismo. Y la segunda fila estaba decidida desde el principio: de un espacio de dimensión $2$ a uno de dimensión $3$ no se puede ser sobreyectivo, porque la imagen tiene como mucho dimensión $2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que después de escribir la matriz multipliques por los vectores del enunciado y compruebes que salen sus imágenes. Es lo único que caza una traspuesta.

Cuando el enunciado da los datos torcidos

Despejar las imágenes de la base canónica a partir de tres datos mezclados, y reconocer que un núcleo dado también es un dato de imagen.

leerCuando los datos vienen cruzados

Los cuatro pasos, y el primero —comprobar que son base— es el que se salta y el que decide si los datos determinan $f$ .

prácticaTres datos encadenados, y la fórmula de f
Del boletín, y las restas están servidas: cada dato sale del anterior.
prácticaReconstruir f desde tres imágenes que no son de la base canónica
Tres imágenes que no son de la base canónica, y hay que deshacerlas para llegar a la fórmula de $f$ .
prácticaExamen: inyectiva equivale a núcleo trivial, y una f dada por tres combinaciones
De examen: la equivalencia inyectiva ⟺ núcleo trivial, y una $f$ dada por tres combinaciones que hay que despejar.
examenCuando el núcleo es el tercer dato
De la ordinaria de 2022-2023: el núcleo es el tercer dato, y sin esa lectura el sistema no se cierra.
examenTres imágenes mezcladas, y un núcleo dado por ecuaciones
De la ordinaria de 2021-2022, con los datos en dos parejas y el núcleo por ecuaciones.

nivel: practicaEjercicio 9 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres datos encadenados, y la fórmula de f

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{4}$ una aplicación lineal definida de la siguiente forma:

\begin{cases} f\left(1,1,1\right)=\left(1,1,1,3\right)\\ f\left(1,1,0\right)=\left(1,1,1,2\right)\\ f\left(1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right) \end{cases}

a) Calcular la imagen del vector $\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}$ .

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ .

La fórmula general de f, y el núcleo y la imagen.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los tres vectores de partida no son la base canónica. ¿Qué hay que comprobar antes de nada?
02
La imagen del tercer vector canónico
COMP2
De $f\left(1,1,1\right)$ y $f\left(1,1,0\right)$ , ¿cuánto vale $f\left(0,0,1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
La imagen del vector genérico
COMP2
La última coordenada de $f\left(x,y,z\right)$ . ¿Cuánto vale para $\left(2,3,5\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del núcleo y la imagen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la fórmula $f\left(x,y,z\right)=\left(x,x,x,x+y+z\right)$ , el núcleo son los vectores con $x=0$ y $x+y+z=0$ .
2. Es decir, $x=0$ e $y=-z$ , que es la recta generada por $\left(0,1,-1\right)$ : el núcleo tiene dimensión $1$ .
3. La imagen la generan las columnas de la matriz: $\left(1,1,1,1\right)$ y $\left(0,0,0,1\right)$ , que son independientes, así que tiene dimensión $2$ .
4. Y la fórmula de las dimensiones cuadra: $1+2=3$ , la dimensión del espacio de partida.

Resolución completa

a) Despejar en cadena. Los tres vectores de partida son base —su matriz es triangular con unos en la diagonal, determinante $1$ —, así que los datos determinan $f$ . Y las restas están servidas:

f\left(0,0,1\right)=f\left(1,1,1\right)-f\left(1,1,0\right) =\left(0,0,0,1\right)

f\left(0,1,0\right)=f\left(1,1,0\right)-f\left(1,0,0\right) =\left(0,0,0,1\right)

f\left(1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right)

Y por linealidad:

\boxed{\;f\left(x,y,z\right)=\left(x,\;x,\;x,\;x+y+z\right)\;}

con matriz asociada

A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}

Que $f\left(0,1,0\right)$ y $f\left(0,0,1\right)$ salgan iguales no es un error, y conviene no dudar ahí: significa que $\left(0,1,-1\right)$ va al cero, es decir, que el núcleo no es trivial. El propio cálculo lo está anunciando.

b) Núcleo e imagen. Del núcleo: $x=0$ y $x+y+z=0$ , o sea $y=-z$ .

\boxed{\;\operatorname{Ker}f =L\left(\left\{\left(0,1,-1\right)\right\}\right),\quad\dim=1\;}

De la imagen, generada por las columnas —hay solo dos distintas y son independientes—:

\boxed{\;\operatorname{Im}f =L\left(\left\{\left(1,1,1,1\right), \left(0,0,0,1\right)\right\}\right),\quad\dim=2\;}

Y la comprobación, que aquí es especialmente útil porque los dos espacios tienen dimensiones distintas y es fácil restar sobre el número equivocado:

\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f =1+2=3=\dim\mathbb{R}^{3}

Sobre el $3$ del espacio de partida, no sobre el $4$ del de llegada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante «Ker f = {x = y, z = 0}» escribas $f\left(1,1,0\right)=\overline{0}$ sin pensarlo, y que compruebes que los vectores de partida forman base antes de despejar.

Núcleo, imagen y la fórmula que decide antes de calcular

Dar bases y dimensiones del núcleo y la imagen leyendo las columnas, y clasificar la aplicación con la fórmula de las dimensiones.

leerLa fórmula de las dimensiones, y lo que decide antes de calcular

La tercera fila de la tabla es la que más se falla: en un endomorfismo, inyectiva y sobreyectiva van siempre juntas.

ejemploLo que la fórmula de las dimensiones decide sin cuentas
Y es el contraejemplo de la frase de arriba: sobreyectiva y no inyectiva a la vez, porque no es un endomorfismo.
prácticaNúcleo e imagen leídos de la fórmula
Del boletín, con una variable que no aparece en la fórmula: media respuesta antes de plantear nada.
prácticaDe R⁴ en R³, con imagen llena y una recta de núcleo
Rango 3 de $\mathbb{R}^{4}$ a $\mathbb{R}^{3}$ : la imagen es todo y el núcleo, una recta que hay que encontrar y comprobar.
prácticaExamen: un sistema ligado va a un sistema ligado, y un endomorfismo de rango dos
De examen: la demostración de que un sistema ligado va a uno ligado, y un endomorfismo de rango 2 que hay que clasificar.
examenInyectiva si y solo si el núcleo es cero
De la ordinaria de 2024-2025, y trae la demostración que más cae del hueco.
examenLas imágenes de una base generan la imagen, pero no siempre son base
De la ordinaria de 2023-2024, y es la otra mitad del teorema: las imágenes de una base generan la imagen, pero no siempre son base de ella.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo que la fórmula de las dimensiones decide sin cuentas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{4}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$ la aplicación lineal

f\left(x,y,z,t\right)=\left(x+z,\;y-t\right)

a) ¿Puede ser inyectiva? Responder antes de calcular nada, y decir por qué.

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ con sus bases y dimensiones, y clasificar $f$ .

La respuesta razonada, y las dos bases con la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sin mirar la fórmula de $f$ , ¿qué se puede afirmar ya?
02
La dimensión del núcleo
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un vector del núcleo
COMP2
De los vectores del núcleo, ¿cuál es el que tiene primera coordenada $1$ y segunda $0$ ?
Tu respuesta al paso 3cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento entero. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La imagen vive en $\mathbb{R}^{2}$ , así que $\dim\operatorname{Im}f\leq2$ .
2. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\operatorname{Ker}f=4-\dim\operatorname{Im}f\geq2$ : el núcleo no puede ser nulo y $f$ no es inyectiva.
3. Calculando, el rango vale $2$ , así que $\dim\operatorname{Im}f=2$ y $\dim\operatorname{Ker}f=2$ .
4. Y como $\dim\operatorname{Im}f=2=\dim\mathbb{R}^{2}$ , la imagen es todo el espacio de llegada: $f$ es sobreyectiva pero no inyectiva.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}$ digas «no puede ser inyectiva» antes de leer los datos, y que en un endomorfismo sepas que las dos propiedades van juntas.

La matriz cuando las bases no son la canónica

A montar la matriz asociada cuando la base de llegada no es la canónica, que es cuando hay que escribir cada imagen en coordenadas en vez de copiarla tal cual.

leerLa matriz cuando las bases no son la canónica

La fórmula no cambia —las columnas siguen siendo las coordenadas en la base de llegada de las imágenes de la de partida—; lo que cambia es que esas coordenadas ya no vienen regaladas.

prácticaUn automorfismo de R⁴, una antiimagen, y la matriz en otra base
Un automorfismo de R4 con cinco apartados, y el último es la matriz en otra base. Los cuatro primeros son el bloque anterior, así que se llega a la parte nueva con el resto ya hecho.
prácticaExamen: la matriz en una base abstracta, y un núcleo con números feos
De examen, y es el caso que parece más difícil y es el más fácil: la base de llegada es abstracta y el enunciado ya da las imágenes como combinación de sus vectores, así que los coeficientes que ves son las columnas y no hay nada que resolver.
prácticaExamen: de R⁴ en R³ con rango dos, y la matriz en dos bases escalonadas
De examen. Aquí sí hay que resolver los sistemas de coordenadas, y además con rango dos: el núcleo y la imagen salen antes que la matriz y conviene hacerlos primero.
prácticaExamen: el núcleo es subespacio, y una f de R² en R³ en dos bases nuevas
De examen, y el más completo del escalón: la demostración de que el núcleo es subespacio, la clasificación, y la matriz de R2 en R3 con las dos bases cambiadas.
prácticaNúcleo e imagen en bases abstractas, y un cambio de coordenadas
Del boletín, con los dos espacios abstractos y un cambio de coordenadas al final. Es el que más se parece a lo que pide el enunciado cuando no dibuja ningún vector concreto.

nivel: practicaEjercicio 11 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un automorfismo de R⁴, una antiimagen, y la matriz en otra base

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $\{\overline{e}_1,\overline{e}_2,\overline{e}_3,\overline{e}_4\}$ la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^{4}$ sobre $\mathbb{R}$ . Se define la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}$ tal que

\begin{cases} f(\overline{e}_1) = \overline{e}_1+\overline{e}_2+\overline{e}_3+\overline{e}_4\\ f(\overline{e}_2) = \overline{e}_1+\overline{e}_2+\overline{e}_3\\ f(\overline{e}_3) = \overline{e}_1+\overline{e}_2\\ f(\overline{e}_4) = \overline{e}_1 \end{cases}

a) Calcular una base de $\operatorname{Ker}f+\operatorname{Im}f$ .

b) Comprobar que la aplicación lineal $f$ es biyectiva.

c) Obtener el vector $\overline{v}$ tal que $f(\overline{v}) = \overline{e}_1+\overline{e}_3+6\overline{e}_4$ .

d) Calcular $f(\overline{e}_1+4\overline{e}_2+\overline{e}_3)$ .

e) Demostrar que $B = \{\overline{e}_1+\overline{e}_2,\ \overline{e}_1+\overline{e}_3,\ \overline{e}_1+\overline{e}_4,\ \overline{e}_1\}$ es otra base de $\mathbb{R}^{4}$ y definir $f$ mediante esta nueva base.

Los cinco apartados; el e) con la matriz de $f$ en la base $B$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
La matriz es $A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$ . ¿Qué se ve?
02
La antiimagen del apartado c)
COMP2
$f(\overline{v}) = \overline{e}_1+\overline{e}_3+6\overline{e}_4$ con $\overline{v} = (a,b,c,d)$ da $a+b+c+d = 1$ , $a+b+c = 0$ , $a+b = 1$ , $a = 6$ . ¿Cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los apartados d) y e). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. d) $f(\overline{e}_1+4\overline{e}_2+\overline{e}_3) = f(\overline{e}_1)+4f(\overline{e}_2)+f(\overline{e}_3) = (6,6,5,1)$ .
2. e) Los cuatro vectores de $B$ tienen coordenadas $(1,1,0,0)$ , $(1,0,1,0)$ , $(1,0,0,1)$ , $(1,0,0,0)$ ; su determinante es $\pm1 \ne 0$ : es base.
3. e) Un vector $(p,q,r,s)$ tiene en $B$ coordenadas $(q,\ r,\ s,\ p-q-r-s)$ , porque $\overline{e}_2,\overline{e}_3,\overline{e}_4$ solo aparecen una vez cada uno.
4. e) $f(\overline{e}_1+\overline{e}_2) = (2,2,2,1)$ , $f(\overline{e}_1+\overline{e}_3) = (2,2,1,1)$ , $f(\overline{e}_1+\overline{e}_4) = (2,1,1,1)$ , $f(\overline{e}_1) = (1,1,1,1)$ .
5. e) En coordenadas de $B$ : $(2,2,1,-3)$ , $(2,1,1,-2)$ , $(1,1,1,-1)$ , $(1,1,1,-2)$ ; la matriz de $f$ en $B$ tiene esas columnas.

Resolución completa

Matriz y biyectividad (a, b).

A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix},\qquad \det A = \pm1 \ne 0

(es triangular «al revés»). Rango 4: $\operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ , $\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{4}$ , y $f$ es biyectiva. $\operatorname{Ker}f+\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{4}$ , base la canónica.

c) $f(a,b,c,d) = (a+b+c+d,\ a+b+c,\ a+b,\ a) = (1,0,1,6)$ : de abajo arriba, $a = 6$ , $b = -5$ , $c = -1$ , $d = 1$ .

\boxed{\overline{v} = 6\overline{e}_1-5\overline{e}_2-\overline{e}_3+\overline{e}_4}

d) $f(1,4,1,0) = (1+4+1,\ 1+4+1,\ 1+4,\ 1) = \boxed{(6,6,5,1)}$ .

e) $B$ es base: sus coordenadas forman una matriz de determinante $\pm1$ . Las coordenadas de $(p,q,r,s)$ en $B$ son $(q,r,s,p-q-r-s)$ . Imágenes de los vectores de $B$ y sus coordenadas en $B$ :

\begin{aligned} f(\overline{e}_1+\overline{e}_2) &= (2,2,2,1) \to (2,2,1,-3)\\ f(\overline{e}_1+\overline{e}_3) &= (2,2,1,1) \to (2,1,1,-2)\\ f(\overline{e}_1+\overline{e}_4) &= (2,1,1,1) \to (1,1,1,-1)\\ f(\overline{e}_1) &= (1,1,1,1) \to (1,1,1,-2) \end{aligned}

\boxed{A_B = \begin{pmatrix}2&2&1&1\\2&1&1&1\\1&1&1&1\\-3&-2&-1&-2\end{pmatrix}}

(es $P^{-1}AP$ con $P$ la matriz de $B$ ; se comprueba multiplicando.)

«Definir $f$ mediante esta nueva base» significa dar la matriz de $f$ cuando tanto el vector de entrada como el de salida se escriben en $B$ . El método es siempre el mismo: imágenes de los vectores de $B$ , y esas imágenes expresadas en $B$ . La fórmula $P^{-1}AP$ es lo mismo en una línea.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Escribir la matriz de una aplicación en dos bases cualesquiera y comprobarla en coordenadas: si un vector tiene coordenadas x en la base de partida, la matriz por x tiene que dar sus coordenadas en la de llegada.

lo tienes cuando:

Que ante tres datos cruzados sepas llegar a la matriz sin dudar del orden, y que la compruebes contra los datos del enunciado antes de seguir.

Hueco 3 · Producto escalar y base ortonormal

lo que distingue la ordinaria — 4 de 83 escalones

Cae 4 de 8 años

«Definir producto escalar y norma», «demostrar la desigualdad triangular», «encontrar una base ortonormal de U», «completando la base anterior, encontrar una base ortonormal de R³».

Este es el bloque que distingue la ordinaria de la extraordinaria, y no es una impresión: el hueco 3 es de espacios euclídeos en las cuatro ordinarias y de determinantes en las cuatro extraordinarias. No rota: está partido por convocatoria. Dentro de las cuatro ordinarias, las cuatro piden una base ortonormal, y tres de las ocho convocatorias definen un producto escalar que no es el usual.

Qué tiene que cumplir, y cuál falla

Decidir si una forma bilineal es producto escalar, y encontrar el valor del parámetro que lo consigue cuando el enunciado lo pide.

leerQué tiene que cumplir para ser producto escalar

El criterio de los menores principales es el que resuelve los ejercicios con parámetro, y «positivos» no es «no nulos».

ejemploTres candidatos, y por qué solo uno sirve
Tres candidatos y solo uno vale. El tercero falla de una forma más sutil que el segundo.
prácticaEl parámetro que convierte una forma en producto escalar
Del boletín, marcado como ejercicio de examen: la simetría fija el parámetro y la definida positiva lo confirma.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Tres candidatos, y por qué solo uno sirve

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sobre $\mathbb{R}^{2}$ se definen las tres aplicaciones

f\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}, \quad g\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}, \quad h\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}

Decidir cuáles son productos escalares.

Cuáles de las tres son productos escalares, y qué propiedad falla en las otras.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres son bilineales y simétricas. ¿Qué queda por comprobar, y cómo se descarta rápido?
02
El contraejemplo de g
COMP2
Con $g\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$ , ¿cuánto vale $g\left(\overline{v},\overline{v}\right)$ para $\overline{v}=\left(0,1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y el de h
COMP2
Con $h\left(\overline{x},\overline{y}\right)=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$ , ¿cuánto vale $h\left(\overline{v},\overline{v}\right)$ para $\overline{v}=\left(1,0\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de las tres. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tres son bilineales y simétricas, así que todo se juega en la definida positiva.
2. $g$ falla con $\left(0,1\right)$ , que da $-1$ : negativo sobre un vector no nulo.
3. $h$ falla con $\left(1,0\right)$ , que da $0$ : la condición exige estrictamente positivo.
4. $f$ es el producto usual, y sí las cumple las tres: su matriz es la identidad, con los dos menores principales iguales a $1$ .

Resolución completa

Las tres son bilineales y simétricas, así que todo se decide en la tercera condición. Y para descartar basta un contraejemplo:

	contraejemplo	valor	qué falla
$g$	$\left(0,1\right)$	$-1$	negativo
$h$	$\left(1,0\right)$	$0$	no estrictamente positivo
$f$	—	—	nada: sí es producto escalar

\boxed{\;\text{Solo }f\text{ es producto escalar}\;}

El criterio de las matrices dice lo mismo más deprisa. Escribiendo cada una como $\left\langle\overline{x},\overline{y}\right\rangle =\overline{x}^{T}A\,\overline{y}$ :

A_{f}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad A_{g}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \qquad A_{h}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

Es producto escalar $\iff$ $A$ es simétrica y todos sus menores principales son positivos. Las tres son simétricas; $A_{f}$ tiene menores $1$ y $1$ ; $A_{g}$ tiene $1$ y $-1$ ; $A_{h}$ tiene $0$ y $-1$ .

Ojo a la palabra «positivos», que no es «no nulos». Una matriz con determinante positivo puede no ser definida positiva: $\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ tiene determinante $+1$ y da valores negativos sobre todo vector no nulo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que compruebes las tres propiedades en el orden barato —bilineal, simétrica, definida positiva— y que sepas que la tercera se lee en los menores principales de la matriz.

Gram-Schmidt, con el producto escalar que toque

Ortonormalizar una base con cualquier producto escalar, restando en cada paso las proyecciones sobre todos los vectores anteriores. - id: ejalg6-bol62-el-producto-escalar-de-matrices nota: >- Del boletín, y con el producto escalar definido sobre matrices: la traza de A por B traspuesta. Se comprueban los mismos axiomas de siempre, y de ahí sale una norma que es la raíz de la suma de todos los elementos al cuadrado.

id: ejalg6-bol63-una-familia-ortogonal-de-funciones nota: >- Y el mismo salto con funciones, donde el producto escalar es una integral entre $0$ y $2\pi$ . Este no pide los axiomas: pide comprobar que una familia de senos y cosenos es ortogonal, y eso son integrales de productos que salen cero. Los dos están aquí a propósito — el examen define el producto en el enunciado y puede definirlo sobre lo que quiera, así que lo que tiene que estar automatizado es el procedimiento, no el producto usual.

leerGram-Schmidt

La figura enseña lo único que hay que entender: se resta la sombra del vector sobre el anterior. Lo demás es aritmética.

ejemploGram-Schmidt sobre dos vectores, y el tercero de regalo
Dos vectores y el tercero de regalo, con el producto usual y números que salen enteros.
prácticaOrtonormalizar una base entera de R³
Del boletín, con los tres vectores y las restas creciendo. Aquí las normas ya no salen enteras.
examenOrtonormalizar cuando el producto escalar está torcido
De la ordinaria de 2021-2022, y es el ejercicio de este bloque: con ese producto, $\left(1,1,0\right)$ tiene norma $1$ .
examenCinco determinantes sin calcular ninguno
De la ordinaria de 2022-2023, con el producto usual y cinco determinantes de propina en el apartado a).

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Gram-Schmidt sobre dos vectores, y el tercero de regalo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{3}$ con el producto escalar usual, sea el subespacio

S=L\left(\left\{\left(2,1,2\right),\left(1,1,0\right)\right\}\right)

a) Encontrar una base ortonormal de $S$ .

b) Completarla hasta una base ortonormal de $\mathbb{R}^{3}$ .

La base ortonormal de S, y su ampliación a todo el espacio.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es exactamente lo que Gram-Schmidt le resta al segundo vector?
02
El primer vector, ya unitario
COMP2
Normalizando $\left(2,1,2\right)$ , ¿qué vector sale?
Tu respuesta al paso 2tres coordenadas entre paréntesis; valen fracciones — componentes separadas por comas
03
El segundo, tras restar la proyección
COMP2
Ortogonalizando $\left(1,1,0\right)$ respecto de $\overline{u}_{1}$ y normalizando, ¿qué vector sale?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis; valen fracciones — componentes separadas por comas
04
El tercero, para completar la base
COMP2
El vector que completa la base ortonormal de $\mathbb{R}^{3}$ , tomando $\overline{u}_{1}\times\overline{u}_{2}$ .
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis; valen fracciones — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El primer vector solo hay que normalizarlo: $\overline{u}_{1}=\left(2,1,2\right)/3$ .
2. Al segundo se le resta su proyección sobre $\overline{u}_{1}$ , que es $\left\langle\overline{v}_{2},\overline{u}_{1}\right\rangle \overline{u}_{1}$ .
3. Lo que queda es perpendicular a $\overline{u}_{1}$ por construcción, y aquí además sale ya unitario.
4. Para completar hasta $\mathbb{R}^{3}$ basta un vector perpendicular a los dos, y con el producto escalar usual lo da el producto vectorial.

Resolución completa

a) Gram-Schmidt, con dos vectores.

\left\|\left(2,1,2\right)\right\|=3 \;\Longrightarrow\; \overline{u}_{1}=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right)

\left\langle\left(1,1,0\right),\overline{u}_{1}\right\rangle=1 \;\Longrightarrow\; \overline{w}_{2}=\left(1,1,0\right)-\overline{u}_{1} =\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right)

y $\left\|\overline{w}_{2}\right\|=1$ , así que ya es unitario:

\boxed{\;\left\{ \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}\right), \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\right)\right\}\;}

b) El tercero. Con el producto escalar usual, el producto vectorial lo da directamente y sale unitario porque los dos factores lo eran y eran perpendiculares:

\boxed{\;\overline{u}_{3}=\overline{u}_{1}\times\overline{u}_{2} =\left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right)\;}

Las tres comprobaciones, que cuestan seis productos escalares y cazan cualquier error:

	valor
las tres normas	$1$
$\left\langle\overline{u}_{1},\overline{u}_{2}\right\rangle$	$0$
$\left\langle\overline{u}_{1},\overline{u}_{3}\right\rangle$ y $\left\langle\overline{u}_{2},\overline{u}_{3}\right\rangle$	$0$

Y dos advertencias que se pagan en el examen. La primera: el resultado depende del orden de los vectores de partida; empezando por el otro sale una base distinta, igual de válida. La segunda: si el enunciado define un producto escalar que no es el usual, el producto vectorial ya no sirve para completar y hay que imponer las dos ecuaciones de ortogonalidad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que al tercer vector le restes dos proyecciones y no una, y que normalices con la norma del enunciado y no con la raíz de la suma de cuadrados.

Completar la base, y el complemento ortogonal

Ampliar una base ortonormal de un subespacio hasta el espacio entero, y descomponer un vector en su parte dentro y su parte perpendicular.

leerCompletar a base de todo el espacio

La tabla de dos filas dice cuándo vale cada camino. El segundo es más largo de escribir y es el único que vale siempre.

ejemploPartir un vector en su sombra y lo que sobra
Los coeficientes de la ecuación del plano son el vector perpendicular: un atajo que ahorra plantear el sistema.
examenDos propiedades de las ortogonales, y un producto escalar torcido
De la ordinaria de 2023-2024, con otro producto escalar definido en el enunciado.
examenTres afirmaciones sobre idempotentes, y una base ortonormal rara
De la ordinaria de 2024-2025: tres afirmaciones que razonar y una base ortonormal.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Partir un vector en su sombra y lo que sobra

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{3}$ con el producto escalar usual, sea el plano

S=\left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x+y+z=0\right\}

a) Hallar $S^{\perp}$ , con su dimensión.

b) Descomponer el vector $\left(3,0,0\right)$ en su parte de $S$ y su parte de $S^{\perp}$ .

El complemento ortogonal, y la descomposición del vector.

01
Reconocer el camino
COMP1
$S$ viene dado por la ecuación $x+y+z=0$ . ¿Qué es $S^{\perp}$ ?
02
La dimensión del complemento
COMP2
¿Cuánto vale $\dim S^{\perp}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La parte perpendicular al plano
COMP2
¿Cuál es la proyección de $\left(3,0,0\right)$ sobre $S^{\perp}$ ?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la descomposición. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ecuación $x+y+z=0$ dice que $S$ son los vectores perpendiculares a $\left(1,1,1\right)$ , así que $S^{\perp}=L\left(\left\{\left(1,1,1\right)\right\}\right)$ .
2. Como $\dim S=2$ y $\dim S^{\perp}=1$ , se cumple $\dim S+\dim S^{\perp}=3$ y la suma es directa: $\mathbb{R}^{3}=S\oplus S^{\perp}$ .
3. La proyección de $\left(3,0,0\right)$ sobre $S^{\perp}$ vale $\left(1,1,1\right)$ , y restándola queda $\left(2,-1,-1\right)$ .
4. Ese resto está en $S$ , porque sus coordenadas suman cero; y la descomposición es única por ser la suma directa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas que el producto vectorial solo vale con el producto escalar usual, y que con cualquier otro hay que imponer las ecuaciones de ortogonalidad.

lo tienes cuando:

Que ortonormalices una base con el producto escalar del enunciado sin caer ni una vez en la norma de siempre, y que compruebes al final las normas y los productos cruzados.

Hueco 4 · Diagonalizar, y decidir cuándo se puede

las 8 — y siempre con demostración4 escalones

Cae 8 de 8 años

«Definir valor propio y vector propio», «demostrar que el polinomio característico no varía al cambiar de base», «¿son diagonalizables? En los casos afirmativos, diagonalizar dando la matriz de cambio de base».

El ejercicio 4 es de diagonalización en las ocho convocatorias, sin una excepción, y en las ocho pide una demostración de teoría además del cálculo. Seis de las ocho meten un parámetro dentro. Y el enunciado de esa demostración se repite: «el polinomio característico no varía al cambiar de base» sale tres veces de ocho.

Los autovalores, sin desarrollar el determinante

Sacar autovalores usando la traza, el determinante y los tres atajos —filas proporcionales, filas que suman igual, matriz triangular— antes de desarrollar nada.

leerLeerlo sin desarrollarlo

La tabla de tres atajos, y las dos comprobaciones gratis: los autovalores suman la traza y multiplican el determinante.

ejemploLos dos autovalores de una matriz de dos por dos
El más pequeño posible, y ya usa el atajo de las filas que suman igual.
prácticaEl característico de una 4×4, contrastado con traza y determinante
Del boletín: la traza y el determinante como comprobación gratis de los autovalores, antes de creerse el polinomio.
prácticaSumar uno a la diagonal y ver tres filas proporcionales
Sumar 1 a la diagonal deja tres filas proporcionales: un autovalor doble con su plano, sin polinomio característico.
examenMismo polinomio característico, distinto final
De la ordinaria de 2022-2023, y es el ejercicio del tema: dos matrices con el mismo polinomio, y una sí y otra no.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Los dos autovalores de una matriz de dos por dos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ .

a) Calcular sus autovalores.

b) Dar un autovector de cada uno.

Los dos autovalores, y un autovector de cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos filas de $A$ suman lo mismo, $3$ . ¿Qué se saca de ahí sin calcular nada?
02
El otro autovalor
COMP2
Sabiendo que $3$ es autovalor y que la traza vale $4$ , ¿cuál es el otro autovalor?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El autovector del otro
COMP2
Un autovector de $\lambda=1$ , con primera coordenada $1$ .
Tu respuesta al paso 3dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos filas suman $3$ , así que $A\left(1,1\right)^{T}=\left(3,3\right)^{T}$ y $\lambda=3$ es autovalor con autovector $\left(1,1\right)$ .
2. La traza vale $4$ y es la suma de los autovalores, luego el otro es $1$ .
3. Su autovector sale de $\left(A-I\right)\overline{x}=\overline{0}$ , que es la ecuación $x+y=0$ : por ejemplo $\left(1,-1\right)$ .
4. Los dos son perpendiculares, y eso está garantizado porque $A$ es simétrica.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante una matriz cuyas filas suman lo mismo escribas ese número como autovalor y $\left(1,\dots,1\right)$ como su autovector, sin cuentas.

Las dos multiplicidades, que es lo que se examina

Decidir si una matriz diagonaliza comparando, para cada autovalor repetido, la multiplicidad algebraica con el rango de $A-\lambda I$ .

leerLas dos multiplicidades, que es todo el tema

La figura es el resumen: dos columnas que parten del mismo polinomio y acaban en respuestas opuestas.

ejemploDos matrices con el mismo polinomio, y solo una diagonaliza
El caso mínimo, en dos por dos. Vale la pena memorizarlo.
prácticaUna que no diagonaliza, y cómo se ve
Del boletín, con dos filas proporcionales que regalan el autovalor cero.
prácticaUn autovalor doble que sí llena su subespacio
La pareja buena: autovalor doble con rango 1, y diagonaliza.
prácticaEl autovalor doble con un solo autovector
La pareja mala: mismo esquema, rango 2, y no diagonaliza. El boletín repite esta matriz tres veces porque es EL caso.
examenEl polinomio característico, y una matriz que no se deja
De la ordinaria de 2024-2025, con la demostración de la invariancia y una matriz que no se deja.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dos matrices con el mismo polinomio, y solo una diagonaliza

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}

a) Comprobar que tienen el mismo polinomio característico.

b) Estudiar si cada una diagonaliza.

El polinomio común, y el estudio de cada una.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos son triangulares con la misma diagonal. ¿Qué se sigue de eso?
02
La dimensión del subespacio propio de A
COMP2
Para $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ y $\lambda=2$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y la de B
COMP2
Para $B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ y $\lambda=2$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(B-2I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos son triangulares con diagonal $\left(2,2\right)$ , así que su polinomio característico es $\left(\lambda-2\right)^{2}$ en las dos.
2. El autovalor $2$ tiene multiplicidad algebraica $2$ en las dos, y todo se juega en la geométrica.
3. En $A$ , la matriz $A-2I$ es nula: rango $0$ y $m_{g}=2=m_{a}$ . Diagonaliza.
4. En $B$ , la matriz $B-2I$ tiene rango $1$ , así que $m_{g}=1<2$ . No diagonaliza.

Resolución completa

a) El mismo polinomio, sin desarrollar nada. Las dos son triangulares, y en una triangular el determinante es el producto de la diagonal. $A-\lambda I$ y $B-\lambda I$ siguen siendo triangulares, así que

p\left(\lambda\right)=\left(2-\lambda\right)^{2}

en las dos. Autovalor $\lambda=2$ con multiplicidad algebraica $2$ .

b) Y aquí se separan. Todo depende de la multiplicidad geométrica, que es un rango:

	$M-2I$	rango	$m_{g}$	¿diagonaliza?
$A$	$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$	$0$	$2$	sí
$B$	$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$	$1$	$1$	no

\boxed{\;A\text{ diagonaliza};\quad B\text{ no}\;}

Este es el ejemplo mínimo del tema, y merece la pena tenerlo memorizado: dos matrices de dos por dos, con el mismo polinomio característico factorizado, y respuestas opuestas.

Por qué $B$ no puede diagonalizar, dicho sin fórmulas. Si diagonalizara, sería semejante a $\operatorname{diag}\left(2,2\right)=2I$ . Pero $P^{-1}\left(2I\right)P=2I$ para cualquier $P$ : la única matriz semejante a $2I$ es ella misma. Y $B\neq2I$ .

Y la conexión con el examen. La ordinaria de 2022-2023 pone esta misma idea con dos matrices de orden $3$ : comprueba que sus polinomios característicos son iguales, y luego pregunta cuál diagonaliza. Una sí y la otra no.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas que los autovalores simples nunca dan problema y que solo calcules rangos en los repetidos; y que si te sale «no diagonaliza» escribas cuántas direcciones hay y cuántas faltan.

Las simétricas, y la matriz de paso ortogonal

Reconocer que una matriz simétrica diagonaliza siempre, y construir una matriz de paso ortogonal normalizando y ortogonalizando dentro de cada subespacio propio repetido.

leerMatrices simétricas: el caso regalado

Los tres teoremas, y el aviso de que la ortogonalidad dentro de un subespacio propio repetido no sale sola.

prácticaUna simétrica, y la ortogonalidad que hay que fabricar
Del boletín, y trae el paso que se salta: dentro del autovalor doble hay que aplicar Gram-Schmidt.
prácticaLa segunda del 7.7: rango uno, y hay que ortogonalizar
Autovalor doble en una simétrica, y los dos vectores del plano no salen perpendiculares: hay que ortogonalizar a mano.
prácticaExamen: la norma, Minkowski, y una simétrica con autovalor doble
De examen: la norma y Minkowski delante, y una simétrica con autovalor doble donde hay que elegir bien la base del plano.
prácticaDiagonalizar con dos parámetros, y la P ortogonal que no depende de ellos
Del boletín, y es el que junta las dos cosas de este escalón: parámetros y paso ortogonal. Los autovalores dependen de $x$ y de $m$ , y la matriz de paso no depende de ninguno de los dos — sale ortogonal sola, sin Gram-Schmidt.
examenUna simétrica, y por qué sus direcciones salen perpendiculares
De la ordinaria de 2021-2022, con tres autovalores distintos: ahí la ortogonalidad sale gratis del todo.
examenTres autovalores distintos, y la ortogonalidad que sale sola
De la ordinaria de 2023-2024, que pide expresamente la matriz de paso ortogonal.

nivel: practicaEjercicio 7.7, matriz A₅ · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una simétrica, y la ortogonalidad que hay que fabricar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza la siguiente matriz y encuentra una matriz de paso ortogonal:

A=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}

Los autovalores, una base ortonormal de autovectores, y la matriz de paso.

01
Reconocer el camino
COMP1
$A$ es simétrica. ¿Qué se puede afirmar antes de calcular nada?
02
El autovalor que las filas regalan
COMP2
Las tres filas suman lo mismo. ¿Cuál es ese autovalor?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La dimensión del subespacio propio del doble
COMP2
Para $\lambda=2$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El segundo vector, tras ortogonalizar dentro del plano
COMP2
Tomando $\left(1,-1,0\right)$ como primer vector del plano $x+y+z=0$ y ortogonalizando $\left(1,0,-1\right)$ contra él, ¿qué dirección entera sale?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas enteras entre paréntesis — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la diagonalización ortogonal. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A$ es simétrica real, así que por el teorema espectral diagonaliza y admite matriz de paso ortogonal.
2. Las tres filas suman $5$ , luego $\lambda=5$ con autovector $\left(1,1,1\right)$ ; y con la traza y el determinante, el otro autovalor es $2$ , doble.
3. $A-2I$ es toda unos, con rango $1$ , así que su subespacio propio es el plano $x+y+z=0$ , de dimensión $2$ .
4. Dentro de ese plano hay que ortogonalizar: la base obvia $\left\{\left(1,-1,0\right),\left(1,0,-1\right)\right\}$ no lo es, y Gram-Schmidt la convierte en $\left\{\left(1,-1,0\right),\left(1,1,-2\right)\right\}$ .

Resolución completa

La simetría contesta el apartado difícil antes de empezar. $A$ es real y simétrica, así que por el teorema espectral diagonaliza seguro, con autovalores reales, autovectores ortogonales entre autovalores distintos, y matriz de paso ortogonal.

Los autovalores, con dos atajos. Las tres filas suman $5$ :

A\left(1,1,1\right)^{T}=5\left(1,1,1\right)^{T}

Y con la traza ( $9$ ) y el determinante ( $20$ ): los otros dos suman $4$ y multiplican $4$ , luego los dos valen $2$ .

\lambda=5\ \text{(simple)},\qquad\lambda=2\ \text{(doble)}

Los subespacios propios.

A-2I=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; V\left(2\right)=\left\{x+y+z=0\right\},\ \dim=2

V\left(5\right)=L\left(\left\{\left(1,1,1\right)\right\}\right),\ \dim=1

Y aquí está el paso que se salta. La base obvia del plano, $\left\{\left(1,-1,0\right),\left(1,0,-1\right)\right\}$ , no es ortogonal: su producto escalar vale $1$ . Dentro de un subespacio propio de autovalor repetido, la ortogonalidad no sale sola y hay que fabricarla con Gram-Schmidt:

\left(1,0,-1\right)-\tfrac12\left(1,-1,0\right) =\left(\tfrac12,\tfrac12,-1\right) \ \sim\ \left(1,1,-2\right)

Entre $V\left(2\right)$ y $V\left(5\right)$ , en cambio, la ortogonalidad es gratis por el teorema: $\left(1,-1,0\right)\cdot\left(1,1,1\right)=0$ y $\left(1,1,-2\right)\cdot\left(1,1,1\right)=0$ .

Normalizando, que es el otro paso que se olvida:

\boxed{\;P=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\\[3pt] -\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\\[3pt] 0&-\tfrac{2}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3} \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&5\end{pmatrix}\;}

D=P^{T}AP

Y eso último es lo que se gana al ortonormalizar: como $P$ es ortogonal, $P^{-1}=P^{T}$ y no hay que invertir nada. Por eso el enunciado pide la matriz de paso ortogonal y no una cualquiera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que ante una simétrica contestes «sí diagonaliza» antes de calcular nada, y que no entregues $P$ sin normalizar ni sin haber ortogonalizado dentro del autovalor múltiple.

Y para qué sirve: potencias

Usar $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ para calcular una potencia grande sin multiplicar la matriz por sí misma.

leerPara qué sirve: potencias

ejemploPara qué sirve: una potencia grande sin multiplicar cien veces
La potencia cuarta con la fórmula, y la general de propina.
prácticaExamen: diagonalizar para calcular una potencia
De examen: $A^{20}$ con $D^{20} = I$ . Y la trampa de creer que $P$ y $P^{-1}$ se cancelan con la $D$ en medio.
prácticaExamen: la matriz que intercambia, y sus potencias
De examen: $A^{6}$ y $A^{-1}$ con $P$ ortogonal, sin invertir nada.
ejemploBajar el grado de una potencia sin multiplicar
El otro camino para lo mismo, sin diagonalizar: Cayley-Hamilton baja el grado de cualquier potencia.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Para qué sirve: una potencia grande sin multiplicar cien veces

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ , cuyos autovalores son $3$ y $1$ , con autovectores $\left(1,1\right)$ y $\left(1,-1\right)$ .

a) Escribir $P$ y $D$ con $P^{-1}AP=D$ .

b) Usar $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ para calcular $A^{4}$ .

La matriz de paso y la diagonal, y una potencia cuarta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se pone en las columnas de $P$ , y en qué orden?
02
La matriz de paso
COMP2
Poniendo el autovalor $3$ primero, ¿cuál es $P$ ? Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2dos filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
La entrada de arriba a la izquierda de A⁴
COMP2
Usando $A^{4}=PD^{4}P^{-1}$ , ¿cuánto vale la entrada $\left(1,1\right)$ de $A^{4}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los autovectores en columnas dan $P$ , y los autovalores en el mismo orden dan $D$ , con $AP=PD$ .
2. Como $\det P\neq0$ , se puede despejar $P^{-1}AP=D$ , o equivalentemente $A=PDP^{-1}$ .
3. Entonces $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , porque los $P^{-1}P$ del medio se cancelan uno tras otro.
4. Y $D^{n}$ es la diagonal con cada entrada elevada a $n$ , que es lo que convierte una potencia de matrices en una de números.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Que sepas decir en una frase por qué se diagonaliza: para cambiar a la base donde la matriz no hace nada complicado.

lo tienes cuando:

Que ante una matriz con parámetro factorices el polinomio primero y solo calcules rangos en los valores donde dos autovalores coinciden, y que ante una simétrica contestes «diagonaliza» sin calcular ningún rango.

Lo que hay que llevar en la cabeza

el apartado a) es teoría pura7 referencias

Nada, directamente. Pero las ocho convocatorias empiezan cada ejercicio con una definición o una demostración de teoría, y eso no se improvisa.

En las ocho convocatorias, los cuatro ejercicios llevan un apartado (a) de teoría pura: una definición, una demostración o las dos, y ninguno depende de los números del examen. Leídas las cuatro ordinarias una por una, tres se repiten y las tres en dos de los cuatro años: inyectiva equivale a núcleo nulo —2021-22 y 2024-25—, la invarianza del polinomio característico —2023-24 y 2024-25—, y definir un subconjunto y demostrar que es subespacio —el núcleo en 2022-23, la suma $S+T$ en 2024-25, y en 2023-24 la definición sin la demostración—. El hueco 3, en cambio, no repite ninguna: Minkowsky y Pitágoras en 2021-22, propiedades de determinantes en 2022-23, matrices ortogonales en 2023-24 e idempotentes en 2024-25, una distinta cada año. Va el último porque es repaso: cuando llegues aquí ya lo habrás usado todo.

leerLo que hay que llevar sabido
Diez puntos. El primero —¿está el cero?— resuelve más ejercicios que los otros nueve juntos.
leerLo que hay que llevar sabido
Y el punto 3 avisa de algo que no es culpa tuya: la matriz asociada no está en la hoja de teoría de este tema.
leerLo que hay que llevar sabido
Once puntos, y el noveno es el que decide el hueco 3 de la ordinaria: usa el producto escalar del enunciado, también al normalizar.
leerLo que hay que llevar sabido
Doce puntos. El séptimo es el que más veces se ha preguntado sin preguntarlo: el polinomio característico no decide.
prácticaExamen: inyectiva equivale a núcleo trivial, y una f dada por tres combinaciones
Y aquí las tres, escritas. Esta es inyectiva equivale a núcleo nulo, la que cayó en 2021-22 y en 2024-25. La demostración va en el apartado (a) y es corta: las dos implicaciones salen de la linealidad y de nada más.
prácticaExamen: el núcleo es subespacio, y una f de R² en R³ en dos bases nuevas
El núcleo es subespacio, que en 2022-23 se pedía definido y demostrado. Es la misma comprobación de tres puntos que el tema 1 hace con conjuntos de vectores, aplicada a un conjunto que viene descrito por una condición.
prácticaExamen: por qué el polinomio característico no depende de la base
La invarianza del polinomio característico, la de 2023-24 y 2024-25. Tres líneas con $P^{-1}AP$ dentro del determinante, y es la demostración que más veces se ha pedido sin que ningún apartado la nombrara: es la que justifica que diagonalizar tenga sentido.

lo tienes cuando:

Que puedas escribir de memoria las tres que se repiten —inyectiva equivale a núcleo nulo, el polinomio característico no varía al cambiar de base, y el núcleo y la suma de subespacios son subespacios— y que tengas claro que la del hueco 3 no se puede llevar preparada: en las cuatro ordinarias ha caído una distinta cada vez.

Preparar la convocatoria ordinaria

Resolver sistemas y calcular rangos

Clasificar antes de resolver

Reconocer el camino

El rango de la matriz de coeficientes

Cuántos parámetros tendrá la solución

La solución con z = 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante del sistema

La incógnita que piden

Justificar el argumento

El homogéneo, que nunca es incompatible

Reconocer el camino

La dimensión del conjunto de soluciones

El generador de la recta

Justificar el argumento

El rango, que aparece en los cuatro huecos

Reconocer el camino

El determinante en función del parámetro

El valor que lo estropea

Justificar el argumento

Hueco 1 · Demostrar que algo es subespacio, con base y dimensión

Decidirlo, y demostrarlo en una línea

Reconocer el camino

La dimensión del que sí lo es

Justificar el argumento

Del elemento genérico a la base

Reconocer el camino

La dimensión

El vector de la base que sale con a = 1

Justificar el argumento

Coordenadas, y el sentido que decide el apartado

Reconocer el camino

Las coordenadas de (4,2)

El vector que tiene coordenadas (2,−1)

Justificar el argumento

La suma se ve, la intersección hay que buscarla

Reconocer el camino

La dimensión de la intersección

La dimensión de la suma

Justificar el argumento

Hueco 2 · La matriz asociada, el núcleo y la imagen

La matriz, y por qué va en columnas

Reconocer el camino

La matriz

La dimensión del núcleo

Justificar el argumento

Cuando el enunciado da los datos torcidos

Reconocer el camino

La imagen del tercer vector canónico

La imagen del vector genérico

Justificar el argumento

Núcleo, imagen y la fórmula que decide antes de calcular

Reconocer el camino

La dimensión del núcleo

Un vector del núcleo

Justificar el argumento

La matriz cuando las bases no son la canónica

Reconocer el camino

La antiimagen del apartado c)

Justificar el argumento

Hueco 3 · Producto escalar y base ortonormal

Qué tiene que cumplir, y cuál falla

Reconocer el camino

El contraejemplo de g

Y el de h

Justificar el argumento

Gram-Schmidt, con el producto escalar que toque

Reconocer el camino

El primer vector, ya unitario

El segundo, tras restar la proyección

El tercero, para completar la base

Justificar el argumento

Completar la base, y el complemento ortogonal

Reconocer el camino

La dimensión del complemento

La parte perpendicular al plano

Justificar el argumento

Hueco 4 · Diagonalizar, y decidir cuándo se puede