Álgebra · tema 03

Matrices

Operaciones, traspuesta y las dos matrices especiales. Y las tres cosas que el producto de matrices no cumple.

Este tema no cae nunca solo. De los 32 ejercicios de las ocho convocatorias publicadas, ninguno es «un ejercicio de matrices»: los cuatro huecos del examen son espacios vectoriales, aplicaciones lineales, euclídeos o determinantes, y diagonalización.

Y sin embargo sus herramientas están dentro de los cuatro. La matriz asociada aparece en el ejercicio 2 las ocho veces; la matriz de cambio de base, en el 1; las potencias y la traspuesta, en el 3 y el 4. Este tema es el suelo del resto: no da puntos por sí mismo y sin él no se termina ninguno de los otros.

Por eso la prosa es corta y va a lo que se usa.

Lo mínimo: orden, traspuesta, simétrica

Una matriz de $\mathcal{M}\left(n\times m,K\right)$ tiene $n$ filas y $m$ columnas, y en $a_{ij}$ el primer subíndice es la fila y el segundo la columna. Ese orden se olvida y cuesta caro: es lo que decide si una matriz asociada sale bien o traspuesta.

La traspuesta $A^{T}$ intercambia filas por columnas: $\left(A^{T}\right)_{ij}=a_{ji}$ . Y con ella se definen dos familias que caen en el examen:

A\text{ simétrica}\iff A^{T}=A, \qquad A\text{ antisimétrica}\iff A^{T}=-A

Una antisimétrica tiene la diagonal nula, siempre. Sale de la propia definición: $a_{ii}=-a_{ii}$ obliga a $a_{ii}=0$ . Es una comprobación de dos segundos que descarta media respuesta equivocada.

Toda matriz cuadrada se parte en dos, y de una sola manera

A=\underbrace{\tfrac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)}_{\text{simétrica}} +\underbrace{\tfrac{1}{2}\left(A-A^{T}\right)}_{\text{antisimétrica}}

Se comprueba en una línea: la primera es igual a su traspuesta y la segunda es su opuesta. Y la descomposición es única, porque las simétricas y las antisimétricas solo comparten la matriz nula.

Es exactamente el ejercicio 1 de la ordinaria de 2021-2022, donde el examen lo pregunta al revés: pide $\dim\left(U+V\right)$ con $U$ las simétricas y $V$ las antisimétricas, y la respuesta es que llenan el espacio entero.

Las operaciones, y las tres cosas que el producto no cumple

Sumar matrices y multiplicarlas por un escalar no tiene misterio: se hace entrada a entrada, y con eso $\mathcal{M}\left(n\times m,K\right)$ es un espacio vectorial de dimensión $n\cdot m$ .

El producto es otra cosa. Existe solo si las dimensiones encajan — $A$ de $n\times m$ por $B$ de $m\times p$ da $n\times p$ — y su entrada $\left(i,j\right)$ es la fila $i$ de $A$ contra la columna $j$ de $B$ .

Y hay tres propiedades que uno da por supuestas y que son falsas. Las tres aparecen como pieza trampa en el examen, así que van con contraejemplo:

Las dos matrices son las mismas y solo cambia el orden. Este par sale de la propia hoja de teoría, y conviene tenerlo memorizado: sirve para tumbar cualquier razonamiento que dé por hecho que se puede reordenar un producto.

1 · No es conmutativo. El ejemplo de arriba. La consecuencia práctica es que en toda demostración hay que respetar el lado por el que se multiplica, y que $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$ y $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ llevan el orden invertido.

2 · Hay divisores de cero. Un producto puede dar la matriz nula sin que ningún factor lo sea:

\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

3 · No se puede simplificar. De $AB=AC$ no se sigue $B=C$ , salvo que $A$ sea inversible. Es consecuencia directa de lo anterior: $A\left(B-C\right)=0$ no obliga a $B=C$ .

«El producto es cero, luego un factor es cero»

Con números vale; con matrices, no. Y aparece tal cual en el examen: la extraordinaria de 2021-2022 da la ecuación $\left(I+A+A^{2}+A^{3}\right)\left(I-A\right)=0$ y lo único que se puede concluir es $A^{4}=I$ — desde luego no que alguno de los dos factores sea la matriz nula. De hecho $A^{4}=I$ demuestra que $A$ no puede serlo.

El contraejemplo de dos por dos de arriba cabe en el margen del examen. Vale la pena llevarlo escrito.

Lo que sí cumple, y también se usa: es asociativo, distributivo respecto de la suma, y tiene elemento neutro —la identidad $I$ —.

Las dos matrices especiales

El temario dedica su tercer apartado entero a dos matrices concretas, y son las dos que el examen pide.

La matriz de cambio de base

Sus columnas son las coordenadas de los vectores de la base nueva, escritas en la base vieja. Con esa $P$ :

de dónde a dónde	qué se hace
de la base nueva a la vieja	multiplicar por $P$
de la vieja a la nueva	resolver $P\overline{y}=\overline{x}$

Está desarrollado en el tema 1, que es donde el examen lo pregunta.

La matriz asociada a una aplicación lineal

Sus columnas son las imágenes de la base de partida, escritas en la base de llegada. Con eso, $A\overline{x}$ reproduce $f\left(\overline{x}\right)$ .

Está desarrollada en el tema 2. Y conviene saber que la hoja de teoría de aplicaciones lineales no la define: vive aquí, en el apartado 3.2 de Matrices. Si al estudiar el tema 2 te falta esa herramienta, no es cosa tuya.

Las dos comparten forma y por eso se confunden. La diferencia está en qué se pone en las columnas:

matriz	sus columnas son	va de
cambio de base	los vectores de la base nueva	un espacio a sí mismo, con otras coordenadas
asociada a $f$	las imágenes de la base de partida	un espacio a otro

Potencias, y el atajo de Cayley-Hamilton

Calcular $A^{n}$ a fuerza de multiplicar es lento y en el examen no da tiempo. Hay tres caminos, en orden de lo que cuestan:

Si la matriz es diagonal, $D^{n}$ es la diagonal con cada entrada elevada a $n$ . Directo.
Si hay un patrón, se conjetura y se demuestra por inducción. Es lo que pide el boletín con la matriz de giro.
Si no, se busca una relación entre $A^{2}$ , $A$ e $I$ que permita bajar el grado.

El tercero merece nombre propio, porque el boletín lo pide sin decirlo. Para la matriz $A=\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}$ el boletín pide $m$ y $n$ con $A^{2}+mA+nI=0$ , y la respuesta sale sin multiplicar nada:

\operatorname{traza}A=5, \qquad \det A=4 \;\Longrightarrow\; A^{2}-5A+4I=0

Es el teorema de Cayley-Hamilton: toda matriz cuadrada anula su propio polinomio característico. En orden $2$ ese polinomio es $\lambda^{2}-\left(\operatorname{traza}A\right)\lambda+\det A$ , así que los dos coeficientes se leen de la matriz.

Y lo que se gana es esto: con $A^{2}=5A-4I$ , cualquier potencia se reduce a $\alpha A+\beta I$ . $A^{100}$ deja de dar miedo.

Elevar cada entrada a la potencia

$A^{2}$ no es la matriz con cada $a_{ij}$ al cuadrado. Es $A\cdot A$ , con su producto de filas por columnas. La confusión aparece porque la suma y el producto por un escalar sí se hacen entrada a entrada, y el producto rompe esa costumbre.

La única excepción, y por eso es cómoda, son las diagonales: ahí sí, cada entrada se eleva sola.

Un resultado bonito que el boletín esconde

El boletín pregunta qué matrices conmutan con $A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}$ , y el resultado merece verse porque no es lo que uno espera. Planteando $MA=AM$ con $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ salen dos ecuaciones independientes, y la solución es un espacio de dimensión $2$ :

M=\alpha I+\beta A

Es decir: las únicas matrices que conmutan con $A$ son los polinomios en $A$ . Tiene sentido — $A$ conmuta consigo misma y con la identidad, y por tanto con cualquier combinación de las dos—, y lo que sorprende es que no haya ninguna más.

Lo que hay que llevar sabido

En $a_{ij}$ , primero la fila y después la columna. De ahí sale que las matrices asociadas van por columnas.
Antisimétrica $\Rightarrow$ diagonal nula, siempre.
Toda cuadrada se parte, de forma única, en simétrica más antisimétrica: $\tfrac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)+\tfrac{1}{2}\left(A-A^{T}\right)$ .
El producto no conmuta. Lleva un contraejemplo de $2\times2$ en la cabeza.
Hay divisores de cero: $AB=0$ no obliga a que $A$ o $B$ lo sean.
No se simplifica: $AB=AC$ no da $B=C$ salvo que $A$ sea inversible.
$\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$ y $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ : el orden se invierte.
$A^{2}$ es $A\cdot A$ , no cada entrada al cuadrado. Salvo en las diagonales.
Cayley-Hamilton en orden $2$ : $A^{2}-\left(\operatorname{traza}A\right)A+\left(\det A\right)I=0$ . Sirve para bajar cualquier potencia.
Cambio de base: columnas = vectores. Asociada a $f$ : columnas = imágenes.

Practica lo que acabas de leer

Los mismos dos factores, y dos resultados distintos

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Los mismos dos factores, y dos resultados distintos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean

A=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}

a) Calcular $AB$ y $BA$ .

b) A la vista del resultado, ¿se puede deducir de $AX=AY$ que $X=Y$ ?

Los dos productos, y qué se puede concluir de una igualdad de productos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para calcular la entrada $\left(2,1\right)$ del producto $AB$ , ¿qué hay que combinar?
02
El primer producto
COMP2
¿Cuánto vale $AB$ ? Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2dos filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
Y el mismo producto al revés
COMP2
¿Cuánto vale $BA$ ?
Tu respuesta al paso 3dos filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena lo que se puede y no se puede concluir. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $AB$ y $BA$ salen distintos, luego el producto de matrices no es conmutativo.
2. De $AX=AY$ se sigue $A\left(X-Y\right)=0$ , por la distributiva.
3. Pero un producto de matrices puede ser nulo sin que ningún factor lo sea: hay divisores de cero.
4. Así que $X-Y$ no tiene por qué ser la matriz nula, y no se puede simplificar. Solo si $A$ es inversible se puede multiplicar por $A^{-1}$ y concluir $X=Y$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Bajar el grado de una potencia sin multiplicar

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}$ .

a) Encontrar dos números $m$ y $n$ tales que $A^{2}+mA+nI=0$ , sin calcular $A^{2}$ .

b) Usar esa relación para escribir $A^{3}$ como $\alpha A+\beta I$ .

Los dos coeficientes, y la reducción de A³.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De dónde salen $m$ y $n$ sin multiplicar nada?
02
El coeficiente que acompaña a A
COMP2
¿Cuánto vale $m$ en $A^{2}+mA+nI=0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de A en A³
COMP2
Usando $A^{2}=5A-4I$ , se escribe $A^{3}=\alpha A+\beta I$ . ¿Cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El polinomio característico de una matriz de orden $2$ es $\lambda^{2}-\left(\operatorname{traza}A\right)\lambda+\det A$ .
2. Por Cayley-Hamilton, la matriz anula su propio polinomio característico: $A^{2}-5A+4I=0$ .
3. De ahí $A^{2}=5A-4I$ , que permite bajar el grado de cualquier potencia.
4. Aplicándolo dos veces sale $A^{3}=21A-20I$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.1 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Partir una matriz en su mitad simétrica y su mitad antisimétrica

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea

M=\begin{pmatrix} 2&1&3&4\\ 4&2&1&3\\ 3&1&6&6\\ 1&1&3&4 \end{pmatrix}

Expresa la matriz $M$ como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Las dos matrices en que se parte M.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se construye la parte simétrica de una matriz cualquiera?
02
Una entrada de la parte simétrica
COMP2
¿Cuánto vale la entrada $\left(1,2\right)$ de la parte simétrica?
Tu respuesta al paso 2un número; vale la fracción — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y la misma entrada de la parte antisimétrica
COMP2
¿Cuánto vale la entrada $\left(1,2\right)$ de la parte antisimétrica?
Tu respuesta al paso 3un número; vale la fracción — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de que la descomposición existe y es única. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se define $S=\tfrac{1}{2}\left(M+M^{T}\right)$ y $A=\tfrac{1}{2}\left(M-M^{T}\right)$ .
2. $S$ es simétrica: al trasponerla, $M$ y $M^{T}$ se intercambian y la suma no cambia. $A$ es antisimétrica por el mismo motivo, con el signo al revés.
3. Y $S+A=M$ , porque los términos con $M^{T}$ se cancelan.
4. La descomposición es única porque una matriz simétrica y antisimétrica a la vez cumple $M=-M$ , luego es la nula.

Resolución completa

La receta, y por qué funciona.

M=\underbrace{\tfrac{1}{2}\left(M+M^{T}\right)}_{S} +\underbrace{\tfrac{1}{2}\left(M-M^{T}\right)}_{A}

$S$ es simétrica porque al trasponerla los dos sumandos se intercambian y la suma es la misma; $A$ es antisimétrica porque al trasponerla la resta cambia de signo. Y sumadas dan $M$ , que es lo que se pedía.

En la práctica no hace falta escribir $M^{T}$ . Basta esta lectura:

posición	parte simétrica	parte antisimétrica
$\left(i,j\right)$	$\dfrac{m_{ij}+m_{ji}}{2}$	$\dfrac{m_{ij}-m_{ji}}{2}$
$\left(i,i\right)$	$m_{ii}$	$0$

Y con eso:

\boxed{\;S=\begin{pmatrix} 2&\tfrac{5}{2}&3&\tfrac{5}{2}\\ \tfrac{5}{2}&2&1&2\\ 3&1&6&\tfrac{9}{2}\\ \tfrac{5}{2}&2&\tfrac{9}{2}&4 \end{pmatrix}\;}

\boxed{\;A=\begin{pmatrix} 0&-\tfrac{3}{2}&0&\tfrac{3}{2}\\ \tfrac{3}{2}&0&0&1\\ 0&0&0&\tfrac{3}{2}\\ -\tfrac{3}{2}&-1&-\tfrac{3}{2}&0 \end{pmatrix}\;}

Dos comprobaciones que cazan casi cualquier error: la diagonal de $S$ tiene que ser la de $M$ , y la de $A$ tiene que ser toda ceros.

Y por qué esto es un ejercicio y no una curiosidad. Lo que demuestra es que las simétricas y las antisimétricas llenan entre las dos el espacio de las matrices cuadradas, y que solo comparten la nula. Es decir: $\mathcal{M}\left(n\times n\right)=U\oplus V$ . La ordinaria de 2021-2022 pregunta exactamente eso, en el ejercicio 1, y pide las dimensiones.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.10 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

De la fórmula a la matriz, y de la matriz al núcleo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la aplicación $f:\mathbb{R}^{4}\rightarrow\mathbb{R}^{4}$ definida por

f\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) =\left(x_{1}+x_{4},\;x_{1}+x_{2},\;x_{2}+x_{3},\;x_{3}+x_{4}\right)

Comprobar que es lineal.
Hallar el núcleo y la imagen (base y dimensión).
Encontrar la matriz asociada a la aplicación lineal en la base canónica.

La comprobación, el núcleo y la imagen, y la matriz asociada.

01
Reconocer el camino
COMP1
Cada coordenada de la imagen suma dos variables. ¿Qué se puede decir ya de la matriz?
02
La matriz asociada
COMP2
La matriz de $f$ en la base canónica. Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2cuatro filas de cuatro números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
El generador del núcleo
COMP2
El núcleo es una recta. ¿Cuál es su generador, con primera coordenada $1$ ?
Tu respuesta al paso 3cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del núcleo y la imagen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las cuatro ecuaciones del núcleo encadenan los signos: $x_{2}=-x_{1}$ , $x_{3}=-x_{2}$ , $x_{4}=-x_{3}$ .
2. Y la primera, $x_{1}+x_{4}=0$ , se cumple sola con esos valores, así que el sistema es compatible indeterminado.
3. El núcleo es la recta generada por $\left(1,-1,1,-1\right)$ , de dimensión $1$ .
4. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\operatorname{Im}f=4-1=3$ , y una base son tres columnas independientes cualesquiera de $A$ .

Resolución completa

1. Es lineal, y se ve sin escribir nada: cada coordenada de la imagen es una suma de variables, sin términos independientes ni productos. Esa es exactamente la forma de una aplicación lineal. Si hay que demostrarlo formalmente, se desarrolla $f\left(\alpha\overline{u}+\beta\overline{v}\right)$ y se separan los dos sumandos.

3. La matriz —conviene hacerla antes que el apartado 2, porque el núcleo y la imagen salen de ella—:

\boxed{\;A=\begin{pmatrix} 1&0&0&1\\ 1&1&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}\;}

Cada fila son los coeficientes de una coordenada de la imagen.

2. El núcleo: una cadena de signos. Las cuatro ecuaciones son

x_{1}+x_{4}=0,\quad x_{1}+x_{2}=0,\quad x_{2}+x_{3}=0,\quad x_{3}+x_{4}=0

Las tres últimas encadenan $x_{2}=-x_{1}$ , $x_{3}=-x_{2}=x_{1}$ , $x_{4}=-x_{3}=-x_{1}$ ; y la primera se cumple sola. Que se cumpla sola es lo que hace que el núcleo no sea trivial:

\boxed{\;\operatorname{Ker}f =L\left(\left\{\left(1,-1,1,-1\right)\right\}\right),\quad\dim=1\;}

La imagen, por la fórmula de las dimensiones:

\dim\operatorname{Im}f=4-1=3

Basta con tres columnas independientes. Las tres primeras lo son —la cuarta es $c_{1}-c_{2}+c_{3}$ —, así que

\boxed{\;\operatorname{Im}f =L\left(\left\{\left(1,1,0,0\right),\left(0,1,1,0\right), \left(0,0,1,1\right)\right\}\right),\quad\dim=3\;}

Y la clasificación, que el enunciado no pide pero se sigue sola: es un endomorfismo con núcleo no nulo, así que ni inyectivo ni sobreyectivo, y $\det A=0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.2 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Las potencias de una matriz que es «i por la identidad»

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

A partir de esta matriz $A$ encuentra el conjunto de matrices $\left\{A, A^{2}, A^{3}, A^{4}\right\}$ .

A = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}

Las cuatro potencias, y qué estructura forma el conjunto.

01
Reconocer el camino
COMP1
$A = i\,I$ . ¿Qué simplifica eso al calcular potencias?
02
La primera potencia que se vuelve real
COMP2
¿Cuál es el menor exponente $n\geq1$ para el que $A^{n}$ es una matriz real?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A=iI$ , y las potencias de un múltiplo de la identidad son $\left(\lambda I\right)^{n} = \lambda^{n} I$ .
2. El conjunto es $\{iI, -I, -iI, I\}$ : las cuatro potencias de $i$ en la diagonal.
3. $A^{4}=I$ , así que el conjunto es cerrado para el producto: es un grupo cíclico de orden 4, el mismo que $\{i,-1,-i,1\}$ en los complejos.
4. Multiplicar por $A$ es «girar un cuarto de vuelta» en este conjunto: cada potencia pasa a la siguiente.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.3 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El cubo que sale nulo, con ángulo dentro y todo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla $A^{3}$ siendo $A$ la siguiente matriz:

A = \begin{pmatrix} 0 & \cos\alpha & \sin\alpha\\ \cos\alpha & 0 & -1\\ \sin\alpha & 1 & 0 \end{pmatrix}

La matriz A al cubo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de multiplicar seis veces: ¿qué conviene esperar de un resultado que el boletín pide «con $\alpha$ dentro»?
02
El elemento (1,1) del cuadrado
COMP2
Calcula el elemento $(1,1)$ de $A^{2}$ : fila 1 por columna 1.
Tu respuesta al paso 2un número (vale cos^2 + sin^2) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cuadrado se calcula entrada a entrada, usando $\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$ donde aparece.
2. Al multiplicar $A^{2}$ por $A$ , cada entrada del producto se cancela usando la misma identidad: $A^{3} = 0$ .
3. La comprobación numérica es inmediata: con $\alpha$ concreto (por ejemplo $\alpha=0$ ), $A^{3}$ da la matriz nula.
4. Una matriz no nula cuyo cubo es cero se llama nilpotente, y su determinante es obligatoriamente 0 — si no, $\det(A^{3}) = (\det A)^{3} \neq 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.4 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La potencia de una diagonal, por inducción y con las palabras justas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Utilizando el principio de inducción comprueba que si $D$ es la siguiente matriz:

D = \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & d \end{pmatrix} \qquad\text{entonces}\qquad D^{n} = \begin{pmatrix} a^{n} & 0 & 0\\ 0 & b^{n} & 0\\ 0 & 0 & d^{n} \end{pmatrix}

La demostración por inducción, con sus dos pasos bien puestos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué DOS cosas hay que probar en una inducción sobre n?
02
La entrada que sobrevive al producto
COMP2
En el paso inductivo se multiplica $D^{n}\cdot D$ . La entrada $(1,1)$ del producto es $a^{n}\cdot a + 0\cdot 0 + 0\cdot 0$ . Si $a=2$ y $n=5$ , ¿cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número entero (2^6) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Caso base, $n=1$ : $D^{1}=D$ y la fórmula con $n=1$ da exactamente $D$ . ✓
2. Hipótesis de inducción: SUPONEMOS que $D^{n} = \mathrm{diag}(a^{n}, b^{n}, d^{n})$ para un $n$ concreto.
3. Paso: $D^{n+1} = D^{n}\cdot D$ , y el producto de dos diagonales multiplica entrada a entrada: sale $\mathrm{diag}(a^{n+1}, b^{n+1}, d^{n+1})$ . ✓
4. Por el principio de inducción, la fórmula vale para todo $n\geq1$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.5 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La matriz de girar, elevada a n

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla $A^{n}$ para la siguiente matriz y comprueba el resultado por inducción.

A = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

La fórmula de A elevado a n, y su demostración por inducción.

01
Reconocer el camino
COMP1
El bloque $2\times2$ de arriba es la matriz de girar un ángulo $\alpha$ en el plano. ¿Qué debería ser entonces $A^{n}$ , antes de calcular nada?
02
El ángulo doble como comprobación
COMP2
Con $\alpha = 30°$ , la fórmula dice que $A^{2}$ es la rotación de $60°$ . ¿Cuánto vale la entrada $(1,1)$ de $A^{2}$ , es decir $\cos 60°$ ?
Tu respuesta al paso 2un número (cos 60° = 1/2) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración por inducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Conjetura: $A^{n}$ es la rotación de ángulo $n\alpha$ (con el 1 de la tercera fila intacto).
2. Caso base $n=1$ : la fórmula con $n=1$ es la propia $A$ . ✓
3. Paso: $A^{n+1} = A^{n}\cdot A$ , y al multiplicar salen $\cos(n\alpha)\cos\alpha - \sin(n\alpha)\sin\alpha = \cos\left((n+1)\alpha\right)$ y su compañera del seno: la rotación de $(n+1)\alpha$ . ✓
4. Las fórmulas de la suma de ángulos son exactamente lo que el producto de matrices reproduce: la inducción sale sola.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.6 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Todas las matrices que conmutan con una dada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dada la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}

Encuentra las matrices conmutativas para la matriz $A$ , es decir, matrices que cumplan: $MA = AM$ .

El conjunto de todas las M que conmutan con A.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de plantear nada: ¿qué matrices conmutan SIEMPRE con cualquier A, y por tanto tienen que aparecer en la respuesta?
02
La condición sobre z
COMP2
Con $M = \begin{pmatrix} x & y\\ z & t\end{pmatrix}$ , iguala la entrada $(1,1)$ de $MA$ y de $AM$ : sale $x + 3y = x - 2z$ . Si $y = 2$ , ¿cuánto vale $z$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Igualar las cuatro entradas de $MA$ y $AM$ da un sistema lineal homogéneo en $(x, y, z, t)$ .
2. De las cuatro ecuaciones solo dos son independientes: $z = -\tfrac{3}{2}\,y$ y $t = x + z$ . Quedan DOS parámetros libres.
3. El conjunto solución es un subespacio de dimensión 2 de las matrices $2\times2$ .
4. Ese subespacio es exactamente $\{\alpha I + \beta A\}$ : la identidad y la propia A lo generan.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.7 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Los coeficientes que anulan a la matriz

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dada la siguiente matriz:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}

Halla $m$ y $n$ , para que se cumpla la relación: $A^{2} + mA + nI = 0$ .

Los valores de m y n.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántas ecuaciones da la relación $A^{2}+mA+nI=0$ , y cuántas incógnitas hay?
02
El valor de m
COMP2
$A^{2} = \begin{pmatrix} 6 & 5\\ 10 & 11 \end{pmatrix}$ . Fuera de la diagonal la identidad no pinta nada, así que la entrada $(1,2)$ de la relación dice $5 + m\cdot 1 = 0$ . ¿Cuánto vale $m$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A^{2} = \begin{pmatrix} 6 & 5\\ 10 & 11\end{pmatrix}$ , y la relación se lee entrada a entrada.
2. Las entradas fuera de la diagonal dan $m=-5$ dos veces; las de la diagonal, con $m$ puesto, dan $n=4$ dos veces: el sistema cuadra por los cuatro costados.
3. $m = -\operatorname{tr}(A) = -5$ y $n = \det A = 6-2 = 4$ : es el teorema de Cayley-Hamilton para $2\times2$ , y sirve de comprobación sin multiplicar nada.
4. La relación reescrita como $A^{2} = 5A - 4I$ permite calcular potencias altas de A sin multiplicar matrices: cada $A^{2}$ se rebaja a términos en A e I.

Resolución completa

El cuadrado.

A^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5\\ 10 & 11 \end{pmatrix}

Las cuatro ecuaciones de $A^{2}+mA+nI=0$ :

entrada	ecuación	da
$(1,2)$	$5+m=0$	$m=-5$
$(2,1)$	$10+2m=0$	$m=-5$ ✓
$(1,1)$	$6+2m+n=0$	$n=4$
$(2,2)$	$11+3m+n=0$	$n=4$ ✓

\boxed{m = -5,\qquad n = 4}

Lo que había detrás: $m=-\operatorname{tr}(A)$ y $n=\det A$ . La relación es el teorema de Cayley-Hamilton en tamaño $2\times2$ : toda matriz anula su polinomio característico $\lambda^{2}-5\lambda+4$ .

Para qué se usa después. $A^{2}=5A-4I$ convierte cualquier potencia de $A$ en una combinación de $A$ e $I$ : es la máquina de bajar grados que el ejemplo introductorio de este tema ya enseñó, y que en diagonalización se volverá rutina.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.8 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El conmutador con M, visto como aplicación lineal

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se define la aplicación lineal $f$ siguiente:

f:\ \mathcal{M}(2\times2,\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{M}(2\times2,\mathbb{R}); \qquad A \longmapsto M\cdot A - A\cdot M, \qquad M = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Probar que $f$ es lineal.
Halla una base y la dimensión de $\ker f$ .
Halla una base y la dimensión de $\operatorname{Im} f$ .

La linealidad, y base y dimensión de núcleo e imagen.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es el núcleo de esta $f$ , dicho en palabras?
02
La dimensión de la imagen
COMP2
El espacio $\mathcal{M}(2\times2)$ tiene dimensión 4 y el núcleo va a salir de dimensión 2. ¿Qué dimensión tiene la imagen?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Linealidad: $f(\lambda A + \mu B) = M(\lambda A+\mu B) - (\lambda A+\mu B)M = \lambda f(A) + \mu f(B)$ , porque el producto de matrices reparte sobre la suma.
2. $\ker f$ son las matrices que conmutan con $M$ . Escribiendo $M=I+N$ con $N=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}$ , conmutar con $M$ es conmutar con $N$ , y sale $c=0$ , $a=d$ : base $\left\{I,\ \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right\}$ , dimensión 2.
3. Para la imagen basta aplicar $f$ a una base: $f(E_{11}) = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ y $f(E_{21}) = \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ son independientes, y como la dimensión es 2, ya son base.
4. Toda matriz de la imagen tiene traza cero: $\operatorname{tr}(MA-AM) = \operatorname{tr}(MA) - \operatorname{tr}(AM) = 0$ .

Resolución completa

1 · Linealidad. Directa del reparto del producto:

f(\lambda A+\mu B) = M(\lambda A+\mu B)-(\lambda A+\mu B)M = \lambda(MA-AM) + \mu(MB-BM) = \lambda f(A)+\mu f(B)

2 · El núcleo. $f(A)=0 \iff MA=AM$ . Como $M = I + N$ con $N = \begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix}$ , conmutar con $M$ equivale a conmutar con $N$ . Con $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ :

NA - AN = \begin{pmatrix} -c & a-d\\ 0 & c \end{pmatrix} = 0 \;\Longrightarrow\; c=0,\ a=d

\boxed{\ker f = \left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}\right\} = L\!\left(I,\ \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right), \quad \dim = 2}

3 · La imagen. Por dimensiones, $\dim\operatorname{Im} f = 4-2=2$ . Aplicando $f$ a la base canónica:

f(E_{11}) = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \qquad f(E_{21}) = \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}

(y $f(E_{22}) = -f(E_{11})$ , $f(E_{12})=0$ … compruébalo). Dos independientes en un espacio de dimensión 2:

\boxed{\operatorname{Im} f = L\!\left(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\right),\quad \dim = 2}

Las dos tienen traza cero — y no es casualidad: $\operatorname{tr}(MA-AM)=0$ siempre.

El puente que tiende este ejercicio. «Conmutar con M» (tema de matrices) y «núcleo de una aplicación» (tema de aplicaciones lineales) son la misma pregunta con dos vocabularios. El examen cruza los temas así constantemente: reconocer el disfraz es COMP1 puro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.9 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Multiplicar por X por la derecha, y su matriz 4×4

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Definimos la aplicación:

f:\ \mathcal{M}(2\times2,\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{M}(2\times2,\mathbb{R}); \qquad A \longmapsto A\,X, \qquad X = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Probar que es lineal.
Halla el núcleo y la imagen.
Halla la matriz asociada a la aplicación.

Linealidad, núcleo, imagen y la matriz 4×4 asociada.

01
Reconocer el camino
COMP1
$X$ es invertible ( $\det X = 1$ ). ¿Qué dice eso del núcleo y la imagen de f, antes de calcular nada?
02
El determinante de la matriz asociada
COMP2
La matriz asociada $4\times4$ de f resulta triangular con unos en la diagonal. ¿Cuánto vale su determinante?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Linealidad: $(\lambda A+\mu B)X = \lambda AX + \mu BX$ — el producto reparte por la izquierda sobre la suma.
2. $\ker f = \{0\}$ : de $AX=0$ , multiplicando por $X^{-1}$ a la derecha, $A=0$ .
3. $\operatorname{Im} f = \mathcal{M}(2\times2)$ : toda $B$ se alcanza desde $A = BX^{-1}$ .
4. La matriz asociada se monta por columnas: $f(E_{11}) = E_{11}X = \begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}$ da la primera columna $(1,-1,0,0)$ , y así las cuatro.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.11 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Reconstruir la matriz desde dos imágenes y el núcleo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Tomamos las bases de $\mathbb{R}^{4}$ y $\mathbb{R}^{2}$ , $\{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ y $\{u_1, u_2\}$ respectivamente, y definimos una aplicación $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{2}$ que cumple:

f(\overline{e}_1) = \overline{u}_1 + \overline{u}_2,\qquad f(\overline{e}_2) = \overline{u}_1 - 2\overline{u}_2

\ker f = L\left(\{\overline{e}_1 - 2\overline{e}_2 + \overline{e}_3,\; \overline{e}_2 - 2\overline{e}_3 + \overline{e}_4\}\right)

Halla la matriz de la aplicación lineal $f$ .

La matriz 2×4 de f.

01
Reconocer el camino
COMP1
Faltan $f(e_3)$ y $f(e_4)$ . ¿De dónde salen?
02
La segunda coordenada de f(e3)
COMP2
De $f(e_1) - 2f(e_2) + f(e_3) = 0$ : $f(e_3) = -f(e_1) + 2f(e_2) = -(1,1) + 2(1,-2)$ . ¿Cuál es su segunda coordenada?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Que $v\in\ker f$ se traduce en $f(v)=0$ , y por linealidad eso es una ecuación entre las imágenes de la base.
2. Del primer vector del núcleo: $f(e_3) = -f(e_1)+2f(e_2) = (1,-5)$ .
3. Del segundo: $f(e_4) = 2f(e_3)-f(e_2) = (1,-8)$ .
4. La matriz, con las imágenes por columnas: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -2 & -5 & -8 \end{pmatrix}$ — y se comprueba aplicándola a los dos vectores del núcleo: los dos dan $(0,0)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.12 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Componer dos endomorfismos, y combinar sus matrices

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$E$ es un espacio vectorial de dimensión 3 y $\{e_1,e_2,e_3\}$ una de sus bases. Analiza el endomorfismo definido por la matriz:

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Sea $g$ otro endomorfismo de $E$ tal que:

g(\overline{e}_1) = \overline{e}_2 + \overline{e}_3,\qquad g(\overline{e}_2) = 2\overline{e}_1 + \overline{e}_2 + 3\overline{e}_3,\qquad g(\overline{e}_3) = 3\overline{e}_1 + \overline{e}_2 + 4\overline{e}_3

Halla las matrices de $g\circ f$ y $2f - 3g$ .

El análisis de f, y las matrices de la composición y la combinación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para la matriz de $g\circ f$ , ¿en qué orden se multiplican $G$ y $A$ ?
02
Una entrada de la composición
COMP2
La matriz de $g$ por columnas es $G = \begin{pmatrix} 0&2&3\\ 1&1&1\\ 1&3&4 \end{pmatrix}$ . Calcula la entrada $(1,1)$ de $G\cdot A$ : fila 1 de $G$ por columna 1 de $A$ .
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el análisis. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = -6 \neq 0$ : $f$ es biyectivo — un automorfismo, con núcleo cero e imagen todo $E$ .
2. La matriz de $g$ se monta con las imágenes POR COLUMNAS: $g(e_1)=(0,1,1)$ es la primera columna, no la primera fila.
3. $g\circ f \leftrightarrow GA$ , y sale $\begin{pmatrix} 8&2&-6\\ 5&1&-1\\ 13&3&-7 \end{pmatrix}$ .
4. $2f-3g \leftrightarrow 2A-3G = \begin{pmatrix} 4&-6&-7\\ -1&-1&-3\\ 1&-9&-16 \end{pmatrix}$ : las operaciones lineales de aplicaciones se hacen entrada a entrada en sus matrices.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.13 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El núcleo de una 3×4, y la preimagen de un plano

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Encuentra el núcleo de la aplicación definida por $A$ y la preimagen del plano de ecuación $y_1 + y_2 + y_3 = 0$ .

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 5\\ -1 & 2 & 3 & -4\\ 3 & 0 & 5 & 6 \end{pmatrix}

Una base del núcleo, y la ecuación de la preimagen del plano.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es «la preimagen del plano $y_1+y_2+y_3=0$ », dicho como condición sobre el vector de partida $x$ ?
02
El primer coeficiente de la preimagen
COMP2
La ecuación de la preimagen es $w\cdot x = 0$ con $w = (1,1,1)\cdot A$ — la suma de las tres filas de $A$ . ¿Cuál es su primera componente?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El rango de $A$ es 2 (la tercera fila es combinación de las otras dos), así que el núcleo tiene dimensión $4-2=2$ .
2. Resolviendo $Ax=0$ con $x_3, x_4$ libres sale la base $\{(-5,-7,3,0),\ (-2,1,0,1)\}$ — comprobación: las tres filas por cada vector dan cero.
3. La preimagen del plano es $4x_1+x_2+9x_3+7x_4=0$ : un hiperplano de dimensión 3 en $\mathbb{R}^{4}$ .
4. El núcleo está CONTENIDO en esa preimagen: si $f(x)=0$ , entonces $f(x)$ está en el plano — el cero cumple cualquier ecuación homogénea.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.14 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La matriz estándar desde la imagen y el núcleo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un endomorfismo de $\mathbb{R}^{3}$ tiene como subespacio imagen el generado por los vectores $f(e_1) = (2,1,1)$ y $f(e_2) = (3,0,-1)$ , mientras que el núcleo puede ser generado por el vector $(1,2,-1)$ .

Halla la matriz estándar de dicho endomorfismo.

La matriz 3×3 de f en la base canónica.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se conocen $f(e_1)$ y $f(e_2)$ . ¿Cómo se obtiene $f(e_3)$ ?
02
La primera componente de f(e3)
COMP2
$f(e_3) = f(e_1) + 2f(e_2) = (2,1,1) + 2(3,0,-1)$ . ¿Cuál es su primera componente?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $(1,2,-1)\in\ker f$ da, por linealidad, $f(e_3) = f(e_1) + 2f(e_2) = (8,1,-1)$ .
2. La matriz estándar lleva las tres imágenes por columnas: $\begin{pmatrix} 2&3&8\\ 1&0&1\\ 1&-1&-1 \end{pmatrix}$ .
3. Comprobación: esa matriz por $(1,2,-1)^{t}$ da $(2+6-8,\ 1+0-1,\ 1-2+1) = (0,0,0)$ . ✓
4. El determinante de la matriz sale 0 — obligatorio, porque un endomorfismo con núcleo no trivial no puede ser invertible.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.15 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La misma aplicación, contada en otra base

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se define la aplicación lineal:

f:\ \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}; \qquad (x,y,z) \longmapsto (x-y+z,\; x+y,\; y-z)

Halla la matriz asociada a $f$ en la base canónica.
Halla la matriz asociada a $f$ en la base $B = \{(1,0,1),\, (0,1,-1),\, (0,0,1)\}$ .

Las dos matrices, y el cambio de base que las une.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para la matriz en la base B, la fórmula es $P^{-1} A P$ . ¿Qué es exactamente P?
02
Una entrada de la matriz nueva
COMP2
Con $A$ la matriz canónica y $P$ la de la base B, sale $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2&-2&1\\ 1&1&0\\ -2&5&-2 \end{pmatrix}$ . Comprueba por la traza: ¿cuánto vale la traza de esa matriz (y la de A)?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La matriz canónica sale de leer los coeficientes: $A = \begin{pmatrix} 1&-1&1\\ 1&1&0\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}$ .
2. $P = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}$ , con los vectores de B por columnas.
3. $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2&-2&1\\ 1&1&0\\ -2&5&-2 \end{pmatrix}$ es la matriz de f en la base B.
4. Traza 1 en las dos y determinante igual en las dos: los invariantes confirman que representan el MISMO endomorfismo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.16 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El endomorfismo con un bloque que gira y escala

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla la matriz $M$ asociada al endomorfismo siguiente:

f:\ \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4}; \qquad (x,y,z,t) \longmapsto (x,\; y,\; az-bt,\; bz+at), \qquad a,b\in\mathbb{R}

Estudia los casos en que $A$ es invertible en función de $a$ , $b$ y halla la matriz inversa cuando sea posible.

La matriz por bloques, cuándo es invertible, y su inversa.

01
Reconocer el camino
COMP1
La matriz sale con dos bloques: la identidad 2×2 arriba y $\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}$ abajo. ¿De qué conocido es ese segundo bloque?
02
El determinante de M
COMP2
Por bloques, $\det M = \det I_2 \cdot \det\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$ . Con $a=3$ y $b=4$ , ¿cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número entero (a² + b²) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $M = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&a&-b\\ 0&0&b&a \end{pmatrix}$ , con las imágenes de la base por columnas.
2. $\det M = a^{2}+b^{2}$ : invertible SALVO cuando $a=b=0$ a la vez.
3. La inversa conserva los bloques: la identidad arriba, y abajo $\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\begin{pmatrix} a&b\\ -b&a \end{pmatrix}$ — el producto por el complejo $\frac{1}{a+bi}$ .
4. Comprobación con $a=2, b=1$ : el bloque por su inversa da la identidad. ✓

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.17 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La imagen de un vector, pedida en la base nueva

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La matriz asociada a una aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ es:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Por otro lado, los vectores siguientes constituyen una base de $\mathbb{R}^{3}$ : $u_1 = e_2 + e_3$ , $u_2 = e_1 + e_3$ , $u_3 = e_1 + e_2$ .

Halla la imagen del vector $x = u_1 + 2u_2 + 2u_3$ en esta nueva base.

Las coordenadas de f(x) en la base u.

01
Reconocer el camino
COMP1
El vector $x$ viene en coordenadas de la base $u$ y la matriz $A$ trabaja en la canónica. ¿Cuál es el plan?
02
x en coordenadas canónicas
COMP2
$x = u_1 + 2u_2 + 2u_3 = (0,1,1) + 2(1,0,1) + 2(1,1,0)$ . ¿Cuál es su primera coordenada canónica?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Ida: $x = (4,3,3)$ en canónicas.
2. Trabajo: $f(x) = A\,x = (7,\,7,\,6)$ en canónicas.
3. Vuelta: resolver $c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 = (7,7,6)$ da el sistema $c_2+c_3=7$ , $c_1+c_3=7$ , $c_1+c_2=6$ .
4. Sumando las tres ecuaciones: $c_1+c_2+c_3 = 10$ , y restando cada una sale $c_1=3$ , $c_2=3$ , $c_3=4$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.18 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Probar con matrices que una composición se anula

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el endomorfismo de $\mathbb{R}^{3}$ :

f(x,\,y,\,z) = (3x,\; x-y,\; 2x+y+z)

Prueba utilizando matrices que $\left(f^{2}-I\right)\circ(f-3I) = 0$ .

La comprobación matricial de la identidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa la identidad $(f^{2}-I)\circ(f-3I)=0$ traducida a la matriz A de f?
02
La primera entrada del primer factor
COMP2
Con $A = \begin{pmatrix} 3&0&0\\ 1&-1&0\\ 2&1&1 \end{pmatrix}$ , calcula la entrada $(1,1)$ de $A^{2}-I$ .
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La matriz de f, por columnas: $A = \begin{pmatrix} 3&0&0\\ 1&-1&0\\ 2&1&1 \end{pmatrix}$ .
2. $A^{2}-I$ tiene solo la primera columna no nula, y $A-3I$ tiene la primera FILA nula.
3. El producto $(A^{2}-I)(A-3I)$ combina columnas de uno con filas del otro que nunca coinciden en algo no nulo: sale la matriz cero. ✓
4. La razón de fondo: los autovalores de A son 3, −1 y 1 (la diagonal de una triangular), y el polinomio $(\lambda^{2}-1)(\lambda-3)$ los anula a los tres.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.19 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La matriz estándar, y la misma f en una base encadenada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se define la siguiente aplicación lineal:

f:\ \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}; \qquad (x,y,z) \longmapsto (x+y+z,\; -x+3z,\; y+4z)

Halla la matriz estándar de $f$ .
Halla la matriz de $f$ en la siguiente base: $\{(1,1,1),\, (0,1,2),\, (0,0,1)\}$ .

Las dos matrices de f.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la fórmula de f, el segundo componente es « $-x+3z$ »: no lleva y. ¿Qué entrada de la matriz estándar refleja eso?
02
La traza como control del cambio de base
COMP2
La matriz en la base nueva sale $\begin{pmatrix} 3&3&1\\ -1&3&2\\ 4&0&-1 \end{pmatrix}$ . Su traza debe coincidir con la de la estándar. ¿Cuánto vale?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La estándar, leyendo coeficientes: $A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ -1&0&3\\ 0&1&4 \end{pmatrix}$ .
2. $P$ lleva la base nueva por columnas: $P = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&2&1 \end{pmatrix}$ .
3. $M_B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 3&3&1\\ -1&3&2\\ 4&0&-1 \end{pmatrix}$ .
4. Trazas iguales (5) y determinantes iguales: el cálculo pasa los dos controles.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3.20 · Boletín de problemas, Matrices · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una aplicación de R² a R³, con una base en cada lado

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la aplicación lineal siguiente:

f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3};\qquad f(x,\,y) = (2x+y,\; x-y,\; x+4y)

Consideremos las bases siguientes: $B_1 = \{(1,1),\,(0,1)\}$ en $\mathbb{R}^{2}$ y $B_2 = \{(1,0,1),\,(0,1,0),\,(0,0,2)\}$ en $\mathbb{R}^{3}$ .

Halla la matriz estándar de $f$ .
Halla la matriz de $f$ en las bases $B_1$ y $B_2$ .

La matriz estándar 3×2, y la matriz en las bases B1 y B2.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué tamaño es la matriz de f, y por qué?
02
La tercera coordenada del primer vector transformado
COMP2
Para la matriz en las bases nuevas se calcula $f$ sobre $B_1$ . Primero: $f(1,1) = (3,\,0,\,5)$ . Su expresión en $B_2$ es $3\,(1,0,1) + 0\,(0,1,0) + c\,(0,0,2)$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La estándar, coeficientes por filas: $A = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&-1\\ 1&4 \end{pmatrix}$ .
2. Se aplica f a los vectores de $B_1$ : $f(1,1)=(3,0,5)$ y $f(0,1)=(1,-1,4)$ .
3. Cada imagen se traduce a coordenadas de $B_2$ y va POR COLUMNAS: la matriz pedida es $\begin{pmatrix} 3&1\\ 0&-1\\ 1&\frac32 \end{pmatrix}$ .
4. Aparece un $\tfrac32$ : las matrices en bases no canónicas pueden tener fracciones aunque la fórmula de f sea entera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Matrices

Lo mínimo: orden, traspuesta, simétrica

Toda matriz cuadrada se parte en dos, y de una sola manera

Las operaciones, y las tres cosas que el producto no cumple

Las dos matrices especiales

La matriz de cambio de base

La matriz asociada a una aplicación lineal

Potencias, y el atajo de Cayley-Hamilton

Un resultado bonito que el boletín esconde

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El primer producto

Y el mismo producto al revés

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente que acompaña a A

El coeficiente de A en A³

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Una entrada de la parte simétrica

Y la misma entrada de la parte antisimétrica

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La matriz asociada

El generador del núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La primera potencia que se vuelve real

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El elemento (1,1) del cuadrado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La entrada que sobrevive al producto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El ángulo doble como comprobación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La condición sobre z

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor de m

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de la imagen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante de la matriz asociada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La segunda coordenada de f(e3)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Una entrada de la composición

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El primer coeficiente de la preimagen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La primera componente de f(e3)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Una entrada de la matriz nueva

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante de M

Justificar el argumento

Reconocer el camino

x en coordenadas canónicas

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La primera entrada del primer factor

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La traza como control del cambio de base

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tercera coordenada del primer vector transformado

Justificar el argumento