Álgebra · tema 02

Aplicaciones lineales

Núcleo, imagen y matriz asociada. Y por qué las imágenes van en columnas y no en filas.

Una aplicación lineal es una función entre espacios vectoriales que respeta las dos operaciones: sumar y luego aplicar da lo mismo que aplicar y luego sumar, y escalar y luego aplicar da lo mismo que aplicar y luego escalar.

f\left(\overline{x}+\overline{y}\right) =f\left(\overline{x}\right)+f\left(\overline{y}\right), \qquad f\left(\alpha\cdot\overline{x}\right) =\alpha\cdot f\left(\overline{x}\right)

Y eso, que suena a poco, lo determina todo: si sabes lo que $f$ hace sobre una base, sabes lo que hace sobre cualquier vector. De ahí sale la matriz, y de la matriz sale el resto del tema.

Este ejercicio es el segundo del examen las ocho veces, y siempre pide lo mismo: la matriz asociada —8 de 8—, bases y dimensiones del núcleo y la imagen —8 de 8— y clasificar la aplicación —7 de 8—, más una demostración de teoría en 7 de 8. Es el ejercicio más previsible de todo el examen.

¿Es lineal? La comprobación de tres segundos

Igual que en el tema anterior había que mirar si el cero estaba dentro, aquí hay un atajo equivalente:

f\text{ lineal}\;\Longrightarrow\;f\left(\overline{0}\right)=\overline{0}

Sale de tomar $\alpha=0$ en la segunda condición. Así que si al sustituir el cero no sale el cero, no es lineal y se acabó. Eso liquida de un vistazo cualquier aplicación con un término independiente:

h\left(x,y,z\right)=\left(x-1,\;y,\;z-2y\right) \;\Longrightarrow\; h\left(0,0,0\right)=\left(-1,0,0\right)\neq\overline{0}

El otro caso que aparece es el de variables multiplicadas entre sí o elevadas al cuadrado. Ahí el cero sí sale bien y hay que dar un contraejemplo con números concretos:

h\left(x,y\right)=\left(xy,\;x\right): \qquad 2\cdot h\left(1,1\right)=\left(2,2\right), \qquad h\left(2,2\right)=\left(4,2\right)

Las dos deberían coincidir y no coinciden. Un solo contraejemplo cierra el apartado.

Comprobar la linealidad «en general» y no cerrar

Cuando la respuesta es sí, hay que escribir las dos condiciones con $\overline{x}$ , $\overline{y}$ y $\alpha$ genéricos y desarrollarlas. No basta con probar con dos vectores concretos: que funcione con $\left(1,0\right)$ y $\left(0,1\right)$ no demuestra nada.

Cuando la respuesta es no, es al revés: basta un contraejemplo con números. Escribir la comprobación general para acabar diciendo «luego no se cumple» es tiempo tirado.

La matriz asociada, y por qué las imágenes van en columnas

Aquí hay algo que conviene saber antes de estudiar, porque explica una sensación de estar perdido que no es culpa tuya: la hoja de teoría de aplicaciones lineales no define la matriz asociada. Sus seis apartados son conceptos básicos, definición y propiedades, núcleo, imagen, dimensiones y existencia. La matriz asociada está en la hoja de Matrices, en su apartado 3.2. Y el ejercicio 2 del examen la pide las ocho veces.

La construcción es esta. Si $B=\left\{\overline{e}_{1},\dots, \overline{e}_{n}\right\}$ es base del espacio de partida y $B'$ del de llegada, la matriz de $f$ tiene por columnas las coordenadas en $B'$ de las imágenes de los vectores de $B$ :

A=\Big(\;f\left(\overline{e}_{1}\right)\Big|_{B'} \;\Big|\;f\left(\overline{e}_{2}\right)\Big|_{B'} \;\Big|\;\cdots\;\Big|\;f\left(\overline{e}_{n}\right)\Big|_{B'}\;\Big)

Las imágenes van en columna y no en fila por un motivo mecánico: así el producto A·x recorre las columnas con los coeficientes de x, que es exactamente escribir f(x) como combinación de las imágenes.

Y esa es la respuesta a «¿por qué columnas?»: porque al multiplicar $A\overline{x}$ , cada coordenada de $\overline{x}$ multiplica a una columna entera. Poner las imágenes en fila da una matriz traspuesta que no reproduce $f$ .

Escribir la matriz traspuesta

Es el error más repetido del ejercicio 2, y no salta solo: la matriz traspuesta tiene el mismo tamaño cuando es cuadrada, el mismo rango, y hasta el mismo determinante. Puede llegar hasta el final sin que nada chirríe.

La comprobación cuesta tres multiplicaciones y hay que hacerla siempre: sustituye los datos del enunciado. Si el enunciado dice $f\left(0,1,0\right)=\left(0,1,1\right)$ , entonces $A\left(0,1,0\right)^{T}$ tiene que dar $\left(0,1,1\right)$ exactamente. Si no lo da, la has traspuesto.

Cuando los datos vienen cruzados

El examen casi nunca te da directamente las imágenes de la base canónica. Te da tres cosas mezcladas y hay que despejarlas:

f\left(1,1,0\right)=\left(2,0,1\right), \quad f\left(0,2,-1\right)=\left(0,2,-3\right), \quad f\left(1,2,0\right)=\left(3,-1,3\right)

El procedimiento es siempre el mismo, y hay un paso previo que no se puede saltar:

Comprobar que los vectores de partida forman base. Si no lo forman, los datos o son insuficientes o son contradictorios. Un determinante.
Combinar los datos para llegar a $f\left(\overline{e}_{1}\right)$ , $f\left(\overline{e}_{2}\right)$ , … Se buscan restas: $\left(1,2,0\right)-\left(1,1,0\right)=\left(0,1,0\right)$ , así que $f\left(0,1,0\right)$ sale restando las dos imágenes.
Poner las imágenes en columna.
Comprobar contra los datos originales.

Y hay una variante que aparece y despista: en lugar de una tercera imagen, el enunciado da el núcleo. Eso también es un dato de imagen —lo que está en el núcleo va al $\overline{0}$ — y se usa igual.

\operatorname{Ker}\left(f\right) =\left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x=y,\;z=0\right\} =L\left(\left\{\left(1,1,0\right)\right\}\right) \;\Longrightarrow\; f\left(1,1,0\right)=\overline{0}

La matriz cuando las bases no son la canónica

Seis ejercicios del boletín y cuatro de las ocho convocatorias piden la matriz en bases que no son la canónica, y es donde más gente se atasca. La buena noticia es que la fórmula no cambia: sigue siendo «las columnas son las coordenadas en $B'$ de las imágenes de los vectores de $B$ ». Lo que pasa es que hasta ahora esas coordenadas venían regaladas.

Cuando $B'$ es la canónica, las coordenadas de un vector son el vector: $\left(2,0\right)$ tiene coordenadas $\left(2,0\right)$ y no hay nada que hacer. En cuanto $B'$ deja de ser la canónica, hay un paso más, y es el que se olvida:

Calcular $f$ de cada vector de la base de partida $B$ —no de la canónica—.
Escribir cada imagen en coordenadas de $B'$ , resolviendo $f\left(\overline{b}_{i}\right) =\alpha_{1}\overline{b}\,'_{1}+\cdots+\alpha_{m}\overline{b}\,'_{m}$ . Esas $\alpha$ son la columna.

Un caso pequeño, con $f\left(x,y\right)=\left(x+y,\;x-y\right)$ , $B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ y $B'=\left\{\left(1,0\right),\left(1,1\right)\right\}$ :

f\left(1,1\right)=\left(2,0\right)=2\left(1,0\right)+0\left(1,1\right) \;\Longrightarrow\; \text{primera columna }\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}

f\left(1,-1\right)=\left(0,2\right)=-2\left(1,0\right)+2\left(1,1\right) \;\Longrightarrow\; \text{segunda columna }\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}

A=\begin{pmatrix}2&-2\\0&2\end{pmatrix}

Fíjate en que la matriz no se parece a la de la canónica, que sería $\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ . Es la misma aplicación descrita con otro par de reglas de medir.

Poner las imágenes tal cual en vez de sus coordenadas

Es el fallo de este apartado, y se distingue del de trasponer en que aquí la matriz sale de un tamaño correcto y con números plausibles. En el ejemplo de arriba, poner las imágenes tal cual daría $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ , que no tiene nada que ver.

La comprobación es la misma de siempre y ahora hay que hacerla en coordenadas: si $\overline{v}$ tiene coordenadas $\overline{x}$ en $B$ , entonces $A\overline{x}$ tiene que dar las coordenadas en $B'$ de $f\left(\overline{v}\right)$ . Con $\overline{v}=\left(1,1\right)$ , que en $B$ es $\left(1,0\right)$ : $A\left(1,0\right)^{T}=\left(2,0\right)$ , y $2\left(1,0\right)+0\left(1,1\right)=\left(2,0\right)=f\left(1,1\right)$ . Cuadra.

Y cuando la base de llegada es abstracta — $\left\{\overline{u}_{1}, \overline{u}_{2},\overline{u}_{3}\right\}$ sin coordenadas—, el enunciado ya te da las imágenes escritas como combinación de esos vectores. Entonces los coeficientes que ves son directamente las columnas, y no hay nada que resolver: eso es lo que hace que esos ejercicios parezcan más difíciles y sean más fáciles.

El núcleo: qué es y qué decide

\operatorname{Ker}\left(f\right) =\left\{\overline{x}\in V\;/\;f\left(\overline{x}\right)=\overline{0}\right\}

Es subespacio de $V$ , y la demostración es de una línea: contiene al $\overline{0}$ porque $f\left(\overline{0}\right)=\overline{0}$ , y si dos vectores van a cero, cualquier combinación suya también, por linealidad. Esa demostración cae tal cual.

Y lo que hace importante al núcleo es este teorema:

f\text{ inyectiva} \iff \operatorname{Ker}\left(f\right)=\left\{\overline{0}\right\}

Se demuestra restando, igual que la unicidad de las coordenadas del tema 1. Si $f\left(\overline{x}\right)=f\left(\overline{y}\right)$ , la linealidad da $f\left(\overline{x}-\overline{y}\right)=\overline{0}$ , así que $\overline{x}-\overline{y}$ está en el núcleo; si el núcleo solo tiene al cero, $\overline{x}=\overline{y}$ .

En la práctica, calcular el núcleo es resolver $A\overline{x}=\overline{0}$ . Y hay un atajo que ahorra el sistema: cada relación entre columnas es un vector del núcleo, escrito directamente. Si la tercera columna es $-c_{1}+3c_{2}$ , entonces $-c_{1}+3c_{2}-c_{3}=\overline{0}$ y el vector $\left(-1,3,-1\right)$ está en el núcleo.

La imagen: la generan las columnas

\operatorname{Im}\left(f\right) =\left\{f\left(\overline{x}\right)\;/\;\overline{x}\in V\right\}

Es subespacio del espacio de llegada, y el teorema que lo hace calculable es este: si $\left\{\overline{u}_{i}\right\}$ genera $V$ , entonces $\left\{f\left(\overline{u}_{i}\right)\right\}$ genera $\operatorname{Im}f$ . Aplicado a la base canónica:

La imagen está generada por las columnas de la matriz. Su dimensión es el rango.

Así que para dar una base de la imagen no hay que resolver nada: se escogen tantas columnas independientes como diga el rango y se acabó. Elegir las que parezcan más cómodas es legítimo; cualquier elección de columnas independientes es una base válida.

La fórmula de las dimensiones, y lo que decide antes de calcular

\dim V=\dim\operatorname{Ker}\left(f\right) +\dim\operatorname{Im}\left(f\right)

Todo lo que cae en el núcleo se aplasta contra el cero, y lo que sobra es exactamente lo que llega a la imagen: por eso las dos dimensiones suman la del espacio de partida. Y como la imagen se queda corta dentro de W, esta f no es sobreyectiva; como el núcleo no es nulo, tampoco es inyectiva.

Esta fórmula es la que más rinde del tema, porque decide cosas antes de calcular nada:

lo que se sabe	lo que se sigue
$\dim V>\dim W$	$f$ no puede ser inyectiva
$\dim V<\dim W$	$f$ no puede ser sobreyectiva
$f$ endomorfismo	inyectiva $\iff$ sobreyectiva $\iff$ biyectiva

La tercera fila es la que más se usa y la que más se falla: en un endomorfismo las dos propiedades van siempre juntas. Si el núcleo no es nulo, la imagen pierde exactamente esas dimensiones y ya no puede llenar el espacio de llegada, que tiene la misma dimensión que el de partida. Así que basta comprobar una: si $\det A=0$ , no es ni lo uno ni lo otro.

Y al revés: para una $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}$ , la inyectividad está descartada antes de leer los datos.

Clasificar: los cinco nombres

nombre	qué es
monomorfismo	lineal e inyectiva
epimorfismo	lineal y sobreyectiva
isomorfismo	lineal y biyectiva
endomorfismo	lineal de un espacio en sí mismo
automorfismo	endomorfismo biyectivo

Los dos últimos hablan de dónde va la aplicación; los tres primeros, de cómo es. Una misma $f$ puede ser endomorfismo y monomorfismo a la vez, y entonces es automorfismo.

En términos de rango, con $r=\dim\operatorname{Im}f$ :

f\text{ inyectiva}\iff r=\dim V, \qquad f\text{ sobreyectiva}\iff r=\dim W

Los dos teoremas de libre y ligado

Aparecen en las demostraciones del examen y se confunden entre sí, así que van juntos y con la dirección marcada:

hipótesis	conclusión	¿hace falta inyectividad?
$\left\{\overline{u}_{i}\right\}$ ligado	$\left\{f\left(\overline{u}_{i}\right)\right\}$ ligado	no
$\left\{f\left(\overline{u}_{i}\right)\right\}$ libre	$\left\{\overline{u}_{i}\right\}$ libre	no
$\left\{\overline{u}_{i}\right\}$ libre y $f$ inyectiva	$\left\{f\left(\overline{u}_{i}\right)\right\}$ libre	sí

La tercera es la que cae, y la inyectividad es justo el paso que no se puede saltar. El contraejemplo cabe en una línea: la aplicación nula es lineal y manda cualquier familia libre a $\left\{\overline{0},\dots,\overline{0}\right\}$ , que es lo menos libre que hay.

Lo que hay que llevar sabido

¿Es lineal? Si $f\left(\overline{0}\right)\neq\overline{0}$ , no, y se acabó. Si hay variables multiplicadas, un contraejemplo con números.
La matriz lleva las imágenes en columnas. Y se comprueba sustituyendo los datos del enunciado.
La hoja de teoría de este tema no define la matriz asociada: está en la de Matrices, apartado 3.2.
Si el enunciado da el núcleo, eso es un dato de imagen más: lo que está en el núcleo va al $\overline{0}$ .
$\operatorname{Ker}f$ es subespacio, y se demuestra en una línea con la linealidad.
Inyectiva $\iff$ núcleo nulo. Se demuestra restando.
La imagen la generan las columnas; su dimensión es el rango.
$\dim V=\dim\operatorname{Ker}+\dim\operatorname{Im}$ , siempre.
En un endomorfismo, inyectiva $\iff$ sobreyectiva $\iff$ $\det A\neq0$ .
Cada relación entre columnas es un vector del núcleo, escrito directamente.

Practica lo que acabas de leer

Tres candidatas, y solo una es lineal

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Tres candidatas, y solo una es lineal

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

De estas tres aplicaciones de $\mathbb{R}^{2}$ en $\mathbb{R}^{2}$ , decidir cuáles son lineales:

f\left(x,y\right)=\left(2x-y,\;x\right), \quad g\left(x,y\right)=\left(x+1,\;y\right), \quad h\left(x,y\right)=\left(xy,\;x\right)

Cuáles de las tres son aplicaciones lineales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de desarrollar nada, ¿qué se prueba primero en las tres?

Cuántas lo son

COMP2

De las tres, ¿cuántas son aplicaciones lineales?

Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

	por qué	¿lineal?
$f\left(x,y\right)=\left(2x-y,x\right)$	las dos coordenadas son combinaciones lineales	sí
$g\left(x,y\right)=\left(x+1,y\right)$	$g\left(0,0\right)=\left(1,0\right)$	no
$h\left(x,y\right)=\left(xy,x\right)$	$2h\left(1,1\right)=\left(2,2\right)$ pero $h\left(2,2\right)=\left(4,2\right)$	no

Solo una.

Y para $f$ , la comprobación completa —que es la que hay que escribir cuando la respuesta es «sí»— cabe en dos líneas con vectores genéricos:

f\left(\alpha\overline{u}+\beta\overline{v}\right) =\left(2\left(\alpha u_{1}+\beta v_{1}\right) -\left(\alpha u_{2}+\beta v_{2}\right),\; \alpha u_{1}+\beta v_{1}\right)

=\alpha\left(2u_{1}-u_{2},u_{1}\right) +\beta\left(2v_{1}-v_{2},v_{1}\right) =\alpha f\left(\overline{u}\right)+\beta f\left(\overline{v}\right)

03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de las tres. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $g$ se descarta sin escribir nada: $g\left(0,0\right)=\left(1,0\right)$ , y toda aplicación lineal manda el nulo al nulo.
2. $h$ sí manda el nulo al nulo, así que hace falta un contraejemplo.
3. Y lo hay: $2\cdot h\left(1,1\right)=\left(2,2\right)$ mientras que $h\left(2,2\right)=\left(4,2\right)$ , así que $h\left(2\overline{x}\right)\neq2h\left(\overline{x}\right)$ .
4. $f$ sí es lineal, y se demuestra desarrollando $f\left(\alpha\overline{u}+\beta\overline{v}\right)$ con $\overline{u}$ , $\overline{v}$ y los escalares genéricos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La matriz asociada, columna a columna

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$ la aplicación lineal que cumple

f\left(1,0\right)=\left(1,2,0\right), \qquad f\left(0,1\right)=\left(0,-1,3\right)

a) Escribir la matriz asociada a $f$ en las bases canónicas.

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ , con sus dimensiones, y clasificar la aplicación.

La matriz asociada, el núcleo, la imagen y la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
$f$ va de $\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}^{3}$ . ¿De qué orden es su matriz asociada?
02
La matriz
COMP2
La matriz asociada a $f$ . Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2tres filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
La dimensión del núcleo
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la clasificación de f. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las columnas de $A$ generan la imagen, y como no son proporcionales, $\dim\operatorname{Im}f=2$ .
2. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\operatorname{Ker}f=2-2=0$ , así que el núcleo es $\left\{\overline{0}\right\}$ y $f$ es inyectiva.
3. La imagen tiene dimensión $2$ dentro de $\mathbb{R}^{3}$ , que tiene dimensión $3$ : $f$ no es sobreyectiva.
4. Luego $f$ es un monomorfismo, y no es isomorfismo.

Resolución completa

a) La matriz. Las imágenes de la base canónica, puestas en columna:

\boxed{\;A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\\0&3\end{pmatrix}\;}

Tres filas —la dimensión del espacio de llegada— y dos columnas —la del de partida—. La regla que hay que llevar: columnas = de dónde sale, filas = a dónde llega.

b) Imagen y núcleo, sin resolver ningún sistema. La imagen la generan las columnas:

\operatorname{Im}f =L\left(\left\{\left(1,2,0\right),\left(0,-1,3\right)\right\}\right), \qquad \dim\operatorname{Im}f=2

Las dos son independientes porque no son proporcionales. Y con eso, la fórmula de las dimensiones da el núcleo de regalo:

\boxed{\;\operatorname{Ker}f=\left\{\overline{0}\right\}, \quad\dim\operatorname{Ker}f=0\;}

La clasificación, y con una lectura que se puede hacer antes de calcular:

propiedad	¿se cumple?	por qué
inyectiva	sí	el núcleo es nulo
sobreyectiva	no	$\dim\operatorname{Im}=2<3$
endomorfismo	no	sale de $\mathbb{R}^{2}$ y llega a $\mathbb{R}^{3}$

Es un monomorfismo. Y la segunda fila estaba decidida desde el principio: de un espacio de dimensión $2$ a uno de dimensión $3$ no se puede ser sobreyectivo, porque la imagen tiene como mucho dimensión $2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo que la fórmula de las dimensiones decide sin cuentas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{4}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$ la aplicación lineal

f\left(x,y,z,t\right)=\left(x+z,\;y-t\right)

a) ¿Puede ser inyectiva? Responder antes de calcular nada, y decir por qué.

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ con sus bases y dimensiones, y clasificar $f$ .

La respuesta razonada, y las dos bases con la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Sin mirar la fórmula de $f$ , ¿qué se puede afirmar ya?
02
La dimensión del núcleo
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Un vector del núcleo
COMP2
De los vectores del núcleo, ¿cuál es el que tiene primera coordenada $1$ y segunda $0$ ?
Tu respuesta al paso 3cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento entero. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La imagen vive en $\mathbb{R}^{2}$ , así que $\dim\operatorname{Im}f\leq2$ .
2. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\operatorname{Ker}f=4-\dim\operatorname{Im}f\geq2$ : el núcleo no puede ser nulo y $f$ no es inyectiva.
3. Calculando, el rango vale $2$ , así que $\dim\operatorname{Im}f=2$ y $\dim\operatorname{Ker}f=2$ .
4. Y como $\dim\operatorname{Im}f=2=\dim\mathbb{R}^{2}$ , la imagen es todo el espacio de llegada: $f$ es sobreyectiva pero no inyectiva.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres aplicaciones de R³ en R³, y la del término independiente

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

¿Cuáles de las siguientes aplicaciones definidas en el espacio vectorial $\left(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}}\right)$ son aplicaciones lineales?

a) $f\left(x,y,z\right)=\left(0,y,0\right) \quad\forall\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}$

b) $g\left(x,y,z\right)=\left(x,3y,x+z\right) \quad\forall\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}$

c) $h\left(x,y,z\right)=\left(x-1,y,z-2y\right) \quad\forall\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}$

Cuáles de las tres son aplicaciones lineales.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál de las tres se descarta sin escribir una sola cuenta, y por qué?
02
Cuántas lo son
COMP2
De las tres, ¿cuántas son aplicaciones lineales?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de las tres. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La c) se descarta sustituyendo el vector nulo: $h\left(0,0,0\right)=\left(-1,0,0\right)$ .
2. La a) y la b) tienen todas sus coordenadas como combinaciones lineales de $x$ , $y$ y $z$ , sin términos independientes.
3. Eso basta para que sean lineales, y su matriz asociada se escribe leyendo los coeficientes.
4. La a) manda todo el plano $y=0$ al vector nulo, así que su núcleo tiene dimensión $2$ y su imagen dimensión $1$ .

	coordenadas	¿lineal?
a)	$0$ , $y$ , $0$	sí
b)	$x$ , $3y$ , $x+z$	sí
c)	$x-1$ , $y$ , $z-2y$	no: el $-1$

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Núcleo e imagen leídos de la fórmula

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ definida por

f\left(x,y,z\right)=\left(2x+y,\;x-y,\;x+4y\right)

Calcular $\operatorname{Ker}f$ , $\operatorname{Im}f$ , y sus bases y dimensiones.

Las dos bases y las dos dimensiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la fórmula de $f$ no aparece la $z$ . ¿Qué significa eso?
02
La matriz asociada
COMP2
La matriz de $f$ en la base canónica. Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2tres filas de tres números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
La dimensión de la imagen
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Im}f$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El generador del núcleo
COMP2
El núcleo es una recta. ¿Cuál es su generador, con la tercera coordenada igual a $1$ ?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el ejercicio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fórmula no depende de $z$ , así que $f\left(0,0,1\right)=\overline{0}$ y la tercera columna de la matriz es nula.
2. Con la tercera columna nula y las otras dos independientes, el rango vale $2$ y $\dim\operatorname{Im}f=2$ .
3. Por la fórmula de las dimensiones, $\dim\operatorname{Ker}f=3-2=1$ .
4. Y como $\left(0,0,1\right)$ está en el núcleo y el núcleo tiene dimensión $1$ , ese vector solo ya es su base.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres datos encadenados, y la fórmula de f

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{4}$ una aplicación lineal definida de la siguiente forma:

\begin{cases} f\left(1,1,1\right)=\left(1,1,1,3\right)\\ f\left(1,1,0\right)=\left(1,1,1,2\right)\\ f\left(1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right) \end{cases}

a) Calcular la imagen del vector $\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}$ .

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ .

La fórmula general de f, y el núcleo y la imagen.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los tres vectores de partida no son la base canónica. ¿Qué hay que comprobar antes de nada?
02
La imagen del tercer vector canónico
COMP2
De $f\left(1,1,1\right)$ y $f\left(1,1,0\right)$ , ¿cuánto vale $f\left(0,0,1\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
La imagen del vector genérico
COMP2
La última coordenada de $f\left(x,y,z\right)$ . ¿Cuánto vale para $\left(2,3,5\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del núcleo y la imagen. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la fórmula $f\left(x,y,z\right)=\left(x,x,x,x+y+z\right)$ , el núcleo son los vectores con $x=0$ y $x+y+z=0$ .
2. Es decir, $x=0$ e $y=-z$ , que es la recta generada por $\left(0,1,-1\right)$ : el núcleo tiene dimensión $1$ .
3. La imagen la generan las columnas de la matriz: $\left(1,1,1,1\right)$ y $\left(0,0,0,1\right)$ , que son independientes, así que tiene dimensión $2$ .
4. Y la fórmula de las dimensiones cuadra: $1+2=3$ , la dimensión del espacio de partida.

Resolución completa

a) Despejar en cadena. Los tres vectores de partida son base —su matriz es triangular con unos en la diagonal, determinante $1$ —, así que los datos determinan $f$ . Y las restas están servidas:

f\left(0,0,1\right)=f\left(1,1,1\right)-f\left(1,1,0\right) =\left(0,0,0,1\right)

f\left(0,1,0\right)=f\left(1,1,0\right)-f\left(1,0,0\right) =\left(0,0,0,1\right)

f\left(1,0,0\right)=\left(1,1,1,1\right)

Y por linealidad:

\boxed{\;f\left(x,y,z\right)=\left(x,\;x,\;x,\;x+y+z\right)\;}

con matriz asociada

A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}

Que $f\left(0,1,0\right)$ y $f\left(0,0,1\right)$ salgan iguales no es un error, y conviene no dudar ahí: significa que $\left(0,1,-1\right)$ va al cero, es decir, que el núcleo no es trivial. El propio cálculo lo está anunciando.

b) Núcleo e imagen. Del núcleo: $x=0$ y $x+y+z=0$ , o sea $y=-z$ .

\boxed{\;\operatorname{Ker}f =L\left(\left\{\left(0,1,-1\right)\right\}\right),\quad\dim=1\;}

De la imagen, generada por las columnas —hay solo dos distintas y son independientes—:

\boxed{\;\operatorname{Im}f =L\left(\left\{\left(1,1,1,1\right), \left(0,0,0,1\right)\right\}\right),\quad\dim=2\;}

Y la comprobación, que aquí es especialmente útil porque los dos espacios tienen dimensiones distintas y es fácil restar sobre el número equivocado:

\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f =1+2=3=\dim\mathbb{R}^{3}

Sobre el $3$ del espacio de partida, no sobre el $4$ del de llegada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

De R² en R³, y otra vez una que suma una constante

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

De las siguientes aplicaciones definidas de $\left(\mathbb{R}^{2},+,\cdot_{\mathbb{R}}\right)$ en $\left(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}}\right)$ , ¿cuáles son aplicaciones lineales?

a) $f(x,y) = (x,\ 0,\ x-y) \quad\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$

b) $g(x,y) = (x+y,\ y+2,\ y) \quad\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$

c) $h(x,y) = (3x,\ -x,\ x) \quad\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$

Cuáles son lineales, con la razón en cada caso.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de comprobar nada con $u+v$ y $\lambda u$ : ¿cuál de las tres se descarta mirando una sola cosa?
02
El cero, en la que falla
COMP2
¿Cuánto vale la segunda componente de $g(0,0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x,y) = (x,0,x-y)$ : $f(u+v) = f(u)+f(v)$ y $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ se comprueban componente a componente. Lineal.
2. $g(0,0) = (0,2,0) \ne \overline{0}$ : $g$ no es lineal.
3. $h(x,y) = (3x,-x,x) = x\,(3,-1,1)$ : lineal (y su imagen es la recta generada por $(3,-1,1)$ ).
4. Las lineales son $f$ y $h$ ; sus matrices son $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\1&-1\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}3&0\\-1&0\\1&0\end{pmatrix}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La suma de dos subespacios, vista como aplicación lineal

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dados $F$ y $G$ subespacios vectoriales de $E$ , se define la siguiente aplicación:

f: F\times G \to E,\qquad (\overline{x},\overline{y}) \mapsto \overline{x}+\overline{y}

¿Es $f$ una aplicación lineal? Calcular $\operatorname{Im}f$ y $\operatorname{Ker}f$ .

La linealidad, y la imagen y el núcleo descritos en términos de $F$ y $G$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué es $\operatorname{Im}f$ ?
02
Las dimensiones en un caso concreto
COMP2
Si $\dim F = 3$ , $\dim G = 2$ y $\dim(F\cap G) = 1$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Im}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Linealidad: $f\big((\overline{x},\overline{y})+(\overline{x}',\overline{y}')\big) = (\overline{x}+\overline{x}')+(\overline{y}+\overline{y}') = f(\overline{x},\overline{y})+f(\overline{x}',\overline{y}')$ , y $f\big(\lambda(\overline{x},\overline{y})\big) = \lambda\overline{x}+\lambda\overline{y} = \lambda f(\overline{x},\overline{y})$ .
2. $\operatorname{Im}f = \{\overline{x}+\overline{y} : \overline{x} \in F,\ \overline{y} \in G\} = F+G$ .
3. $\operatorname{Ker}f = \{(\overline{x},\overline{y}) : \overline{x}+\overline{y} = \overline{0}\} = \{(\overline{x},-\overline{x}) : \overline{x} \in F,\ -\overline{x} \in G\}$ .
4. Como $-\overline{x} \in G \iff \overline{x} \in G$ , el núcleo es $\{(\overline{x},-\overline{x}) : \overline{x} \in F\cap G\}$ , y $\dim\operatorname{Ker}f = \dim(F\cap G)$ .
5. Consecuencia: $\dim(F\times G) = \dim(F\cap G)+\dim(F+G)$ , que es la fórmula de Grassmann.

Resolución completa

Linealidad. Para $(\overline{x},\overline{y}),(\overline{x}',\overline{y}') \in F\times G$ y $\lambda \in \mathbb{R}$ :

f\big((\overline{x},\overline{y})+(\overline{x}',\overline{y}')\big) = (\overline{x}+\overline{x}')+(\overline{y}+\overline{y}') = f(\overline{x},\overline{y})+f(\overline{x}',\overline{y}'),\qquad f\big(\lambda(\overline{x},\overline{y})\big) = \lambda f(\overline{x},\overline{y})

Imagen. Todas las sumas de un vector de $F$ y uno de $G$ :

\boxed{\operatorname{Im}f = F+G}

Núcleo. $\overline{x}+\overline{y} = \overline{0}$ significa $\overline{y} = -\overline{x}$ ; como $\overline{y} \in G$ y $G$ es subespacio, $\overline{x} \in G$ ; y $\overline{x} \in F$ de partida:

\boxed{\operatorname{Ker}f = \{(\overline{x},-\overline{x}) : \overline{x} \in F\cap G\}}

que es isomorfo a $F\cap G$ (la aplicación $\overline{x} \mapsto (\overline{x},-\overline{x})$ es lineal y biyectiva entre ellos).

De propina, la fórmula de Grassmann. Aplicando $\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f = \dim(F\times G) = \dim F+\dim G$ :

\dim(F\cap G)+\dim(F+G) = \dim F+\dim G

Un ejercicio que es una demostración. Es la forma más limpia de probar Grassmann: construir la aplicación suma y aplicar el teorema de las dimensiones. El examen lo pregunta a veces al revés («demuestra la fórmula de las dimensiones de $F+G$ »), y esta es la respuesta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

De R⁴ en R³, con imagen llena y una recta de núcleo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}$ , $f(x,y,z,t) = (x+3z-t,\ 2x+y-4z,\ 3x+2z-2t)$ una aplicación lineal. Calcular $\operatorname{Im}f$ y $\operatorname{Ker}f$ .

Una base de la imagen y una del núcleo, con sus dimensiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
La matriz es $A = \begin{pmatrix}1&0&3&-1\\2&1&-4&0\\3&0&2&-2\end{pmatrix}$ . ¿Qué determina todo lo demás?
02
La dimensión del núcleo
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\operatorname{rg}A = 3$ (menor de las columnas 1, 2, 4 no nulo).
2. $\operatorname{Im}f$ tiene dimensión 3 dentro de $\mathbb{R}^{3}$ : $\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{3}$ , base la canónica (o tres columnas independientes de $A$ ).
3. $\operatorname{Ker}f$ : de $x+3z-t = 0$ y $3x+2z-2t = 0$ sale $x = 4z$ , $t = 7z$ ; de $2x+y-4z = 0$ , $y = -4z$ .
4. $\operatorname{Ker}f = L\big((4,-4,1,7)\big)$ , dimensión 1; comprobación $f(4,-4,1,7) = (4+3-7,\ 8-4-4,\ 12+2-14) = (0,0,0)$ ✓.
5. $\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f = 1+3 = 4 = \dim\mathbb{R}^{4}$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Inyectiva pero no suprayectiva, y por qué no puede ser de otra forma

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que la aplicación lineal $f:\left(\mathbb{R}^{2},+,\cdot_{\mathbb{R}}\right)\to\left(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}}\right)$ , $f(x,y) = (x+y,\ x,\ x-y)$ , es inyectiva pero no suprayectiva.

Las dos demostraciones, con el núcleo y la imagen explícitos.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para una aplicación lineal, ¿qué hay que comprobar para la inyectividad?
02
La dimensión de la imagen
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Im}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(x,y) = (0,0,0) \Rightarrow x = 0$ (segunda componente) y $x+y = 0 \Rightarrow y = 0$ : $\operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ .
2. Núcleo trivial en una lineal: $f$ es inyectiva.
3. $\operatorname{Im}f = L\big((1,1,1),(1,0,-1)\big)$ , de dimensión $2$ ; es el plano $y_1-2y_2+y_3 = 0$ de $\mathbb{R}^{3}$ .
4. Como $\operatorname{Im}f \ne \mathbb{R}^{3}$ (por ejemplo $(0,0,1)$ no está: $0-0+1 \ne 0$ ), $f$ no es suprayectiva.
5. En general, ninguna lineal de $\mathbb{R}^{2}$ en $\mathbb{R}^{3}$ es suprayectiva: $\dim\operatorname{Im}f \le 2 < 3$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Demostrar la linealidad, y un determinante que lo decide todo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ , $f(x,y,z) = (x-y+z,\ x+y,\ y-z)$ .

a) Demostrar que $f$ es una aplicación lineal.

b) Calcular $\operatorname{Im}f$ y $\operatorname{Ker}f$ .

La demostración de linealidad, y el núcleo y la imagen.

01
Reconocer el camino
COMP1
La matriz es $A = \begin{pmatrix}1&-1&1\\1&1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}$ y $\det A = -1$ . ¿Qué se concluye sin más cuentas?
02
El determinante
COMP2
Comprueba: ¿cuánto vale $\det A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Para $u = (x,y,z)$ , $v = (x',y',z')$ : $f(u+v) = \big((x+x')-(y+y')+(z+z'),\ \dots\big) = f(u)+f(v)$ , componente a componente.
2. a) $f(\lambda u) = (\lambda x-\lambda y+\lambda z,\ \lambda x+\lambda y,\ \lambda y-\lambda z) = \lambda f(u)$ .
3. b) $\det A = -1 \ne 0$ : rango 3.
4. b) $\operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ (dimensión 0) e $\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{3}$ (dimensión 3); $0+3 = 3$ ✓.
5. b) Como $f$ es biyectiva, existe $f^{-1}$ , y su matriz es $A^{-1}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una imagen, una antiimagen, y si un vector está en el núcleo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $\{\overline{e}_1,\overline{e}_2,\overline{e}_3,\overline{e}_4\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^{4}$ . Se define la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}$ de la siguiente forma:

f(\overline{e}_1) = (2,-1,-1,0),\quad f(\overline{e}_2) = (-1,1,0,-1),\quad f(\overline{e}_3) = (1,0,1,-1),\quad f(\overline{e}_4) = (0,-1,-1,2)

Calcular $f(2,5,6,8)$ , $f^{-1}(0,-2,-4,4)$ , $f(\mathbb{R}^{4})$ y $\operatorname{Ker}f$ . ¿ $(1,2,3,4) \in \operatorname{Ker}f$ ?

Las cuatro cosas, y la respuesta a la pregunta final con su razón.

01
Reconocer el camino
COMP1
$f^{-1}(0,-2,-4,4)$ es un conjunto de vectores. ¿Cómo es?
02
La imagen de un vector
COMP2
$f(2,5,6,8) = 2f(\overline{e}_1)+5f(\overline{e}_2)+6f(\overline{e}_3)+8f(\overline{e}_4)$ . ¿Cuánto vale su primera componente?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $f(2,5,6,8) = (5,-5,-4,5)$ .
2. La matriz (columnas $f(\overline{e}_i)$ ) tiene rango 3: $f(\overline{e}_4) = -f(\overline{e}_2)-f(\overline{e}_3)$ .
3. $\operatorname{Ker}f = L\big((0,1,1,1)\big)$ ; comprobación $f(0,1,1,1) = f(\overline{e}_2)+f(\overline{e}_3)+f(\overline{e}_4) = \overline{0}$ ✓.
4. $f(\mathbb{R}^{4}) = L\big(f(\overline{e}_1),f(\overline{e}_2),f(\overline{e}_3)\big) = \{y_1+2y_2+y_4 = 0\}$ , dimensión 3.
5. $f^{-1}(0,-2,-4,4) = (1,-1,-3,0)+L\big((0,1,1,1)\big)$ , porque $f(1,-1,-3,0) = (0,-2,-4,4)$ .
6. $(1,2,3,4) \notin \operatorname{Ker}f$ : $f(1,2,3,4) = (3,-3,-2,3) \ne \overline{0}$ .

Resolución completa

La matriz, con las imágenes por columnas:

A = \begin{pmatrix}2&-1&1&0\\-1&1&0&-1\\-1&0&1&-1\\0&-1&-1&2\end{pmatrix}

$f(2,5,6,8)$ . $A\,(2,5,6,8)^{t}$ :

\boxed{f(2,5,6,8) = (5,-5,-4,5)}

Rango y núcleo. $f(\overline{e}_4) = -f(\overline{e}_2)-f(\overline{e}_3)$ , y las tres primeras columnas son independientes: rango 3. Resolviendo $A\overline{x} = \overline{0}$ : $x_1 = 0$ , $x_2 = x_3 = x_4$ .

\boxed{\operatorname{Ker}f = L\big((0,1,1,1)\big)}

$f(\mathbb{R}^{4})$ . Generado por $f(\overline{e}_1),f(\overline{e}_2),f(\overline{e}_3)$ ; dimensión 3, así que es un hiperplano. Su ecuación: el vector $(1,2,0,1)$ es ortogonal a las tres columnas, luego

\boxed{f(\mathbb{R}^{4}) = \{(y_1,y_2,y_3,y_4) : y_1+2y_2+y_4 = 0\}}

(comprobación: $(5,-5,-4,5)$ cumple $5-10+5 = 0$ ✓.)

$f^{-1}(0,-2,-4,4)$ . $(0,-2,-4,4)$ está en la imagen ( $0-4+4 = 0$ ). Resolviendo $A\overline{x} = (0,-2,-4,4)^{t}$ sale $x_1 = 1$ , $x_2 = -1+\lambda$ , $x_3 = -3+\lambda$ , $x_4 = \lambda$ :

\boxed{f^{-1}(0,-2,-4,4) = (1,-1,-3,0)+L\big((0,1,1,1)\big)}

¿ $(1,2,3,4) \in \operatorname{Ker}f$ ? No: $f(1,2,3,4) = (2-2+3+0,\ -1+2+0-4,\ -1+0+3-4,\ 0-2-3+8) = (3,-3,-2,3) \ne \overline{0}$ .

La antiimagen no es «la inversa». $f^{-1}(\overline{w})$ es un conjunto: vacío si $\overline{w}$ no está en la imagen, y una solución particular más el núcleo si lo está. Solo cuando $f$ es biyectiva se reduce a un vector y $f^{-1}$ es una aplicación.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Las ecuaciones de f a partir de las imágenes de una base

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ . Dadas una base de $V$ , $B_1 = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ , y otra de $W$ , $B_2 = \{\overline{w}_1,\overline{w}_2,\overline{w}_3,\overline{w}_4\}$ , se define la siguiente aplicación lineal:

\begin{cases} f(\overline{v}_1) = 2\overline{w}_1-\overline{w}_2+\overline{w}_3+\overline{w}_4\\ f(\overline{v}_2) = \overline{w}_2-2\overline{w}_3+\overline{w}_4\\ f(\overline{v}_3) = 4\overline{w}_1-\overline{w}_2+3\overline{w}_4 \end{cases}

Calcular:

a) Las ecuaciones de la aplicación lineal.

b) $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ .

Las ecuaciones $y_i$ en función de $x_j$ , y el núcleo y la imagen con bases.

01
Reconocer el camino
COMP1
Un vector $\overline{v} = x_1\overline{v}_1+x_2\overline{v}_2+x_3\overline{v}_3$ tiene imagen $x_1f(\overline{v}_1)+x_2f(\overline{v}_2)+x_3f(\overline{v}_3)$ . ¿Cómo se leen las ecuaciones?
02
La dimensión del núcleo
COMP2
Se cumple $f(\overline{v}_3) = 2f(\overline{v}_1)+f(\overline{v}_2)$ . ¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $A = \begin{pmatrix}2&0&4\\-1&1&-1\\1&-2&0\\1&1&3\end{pmatrix}$ , y las ecuaciones son $y_1 = 2x_1+4x_3$ , $y_2 = -x_1+x_2-x_3$ , $y_3 = x_1-2x_2$ , $y_4 = x_1+x_2+3x_3$ .
2. b) Tercera columna $= 2\cdot$ (primera) $+$ (segunda): rango 2.
3. b) $\operatorname{Ker}f = L\big(2\overline{v}_1+\overline{v}_2-\overline{v}_3\big)$ ; comprobación con las ecuaciones: $(x_1,x_2,x_3) = (2,1,-1)$ da $y = (4-4,\ -2+1+1,\ 2-2,\ 2+1-3) = \overline{0}$ ✓.
4. b) $\operatorname{Im}f = L\big(f(\overline{v}_1),f(\overline{v}_2)\big) = L\big((2,-1,1,1),(0,1,-2,1)\big)$ en coordenadas de $B_2$ , dimensión 2.
5. $1+2 = 3 = \dim V$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un automorfismo de R⁴, una antiimagen, y la matriz en otra base

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $\{\overline{e}_1,\overline{e}_2,\overline{e}_3,\overline{e}_4\}$ la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^{4}$ sobre $\mathbb{R}$ . Se define la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}$ tal que

\begin{cases} f(\overline{e}_1) = \overline{e}_1+\overline{e}_2+\overline{e}_3+\overline{e}_4\\ f(\overline{e}_2) = \overline{e}_1+\overline{e}_2+\overline{e}_3\\ f(\overline{e}_3) = \overline{e}_1+\overline{e}_2\\ f(\overline{e}_4) = \overline{e}_1 \end{cases}

a) Calcular una base de $\operatorname{Ker}f+\operatorname{Im}f$ .

b) Comprobar que la aplicación lineal $f$ es biyectiva.

c) Obtener el vector $\overline{v}$ tal que $f(\overline{v}) = \overline{e}_1+\overline{e}_3+6\overline{e}_4$ .

d) Calcular $f(\overline{e}_1+4\overline{e}_2+\overline{e}_3)$ .

e) Demostrar que $B = \{\overline{e}_1+\overline{e}_2,\ \overline{e}_1+\overline{e}_3,\ \overline{e}_1+\overline{e}_4,\ \overline{e}_1\}$ es otra base de $\mathbb{R}^{4}$ y definir $f$ mediante esta nueva base.

Los cinco apartados; el e) con la matriz de $f$ en la base $B$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
La matriz es $A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$ . ¿Qué se ve?
02
La antiimagen del apartado c)
COMP2
$f(\overline{v}) = \overline{e}_1+\overline{e}_3+6\overline{e}_4$ con $\overline{v} = (a,b,c,d)$ da $a+b+c+d = 1$ , $a+b+c = 0$ , $a+b = 1$ , $a = 6$ . ¿Cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los apartados d) y e). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. d) $f(\overline{e}_1+4\overline{e}_2+\overline{e}_3) = f(\overline{e}_1)+4f(\overline{e}_2)+f(\overline{e}_3) = (6,6,5,1)$ .
2. e) Los cuatro vectores de $B$ tienen coordenadas $(1,1,0,0)$ , $(1,0,1,0)$ , $(1,0,0,1)$ , $(1,0,0,0)$ ; su determinante es $\pm1 \ne 0$ : es base.
3. e) Un vector $(p,q,r,s)$ tiene en $B$ coordenadas $(q,\ r,\ s,\ p-q-r-s)$ , porque $\overline{e}_2,\overline{e}_3,\overline{e}_4$ solo aparecen una vez cada uno.
4. e) $f(\overline{e}_1+\overline{e}_2) = (2,2,2,1)$ , $f(\overline{e}_1+\overline{e}_3) = (2,2,1,1)$ , $f(\overline{e}_1+\overline{e}_4) = (2,1,1,1)$ , $f(\overline{e}_1) = (1,1,1,1)$ .
5. e) En coordenadas de $B$ : $(2,2,1,-3)$ , $(2,1,1,-2)$ , $(1,1,1,-1)$ , $(1,1,1,-2)$ ; la matriz de $f$ en $B$ tiene esas columnas.

Resolución completa

Matriz y biyectividad (a, b).

A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix},\qquad \det A = \pm1 \ne 0

(es triangular «al revés»). Rango 4: $\operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ , $\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{4}$ , y $f$ es biyectiva. $\operatorname{Ker}f+\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{4}$ , base la canónica.

c) $f(a,b,c,d) = (a+b+c+d,\ a+b+c,\ a+b,\ a) = (1,0,1,6)$ : de abajo arriba, $a = 6$ , $b = -5$ , $c = -1$ , $d = 1$ .

\boxed{\overline{v} = 6\overline{e}_1-5\overline{e}_2-\overline{e}_3+\overline{e}_4}

d) $f(1,4,1,0) = (1+4+1,\ 1+4+1,\ 1+4,\ 1) = \boxed{(6,6,5,1)}$ .

e) $B$ es base: sus coordenadas forman una matriz de determinante $\pm1$ . Las coordenadas de $(p,q,r,s)$ en $B$ son $(q,r,s,p-q-r-s)$ . Imágenes de los vectores de $B$ y sus coordenadas en $B$ :

\begin{aligned} f(\overline{e}_1+\overline{e}_2) &= (2,2,2,1) \to (2,2,1,-3)\\ f(\overline{e}_1+\overline{e}_3) &= (2,2,1,1) \to (2,1,1,-2)\\ f(\overline{e}_1+\overline{e}_4) &= (2,1,1,1) \to (1,1,1,-1)\\ f(\overline{e}_1) &= (1,1,1,1) \to (1,1,1,-2) \end{aligned}

\boxed{A_B = \begin{pmatrix}2&2&1&1\\2&1&1&1\\1&1&1&1\\-3&-2&-1&-2\end{pmatrix}}

(es $P^{-1}AP$ con $P$ la matriz de $B$ ; se comprueba multiplicando.)

«Definir $f$ mediante esta nueva base» significa dar la matriz de $f$ cuando tanto el vector de entrada como el de salida se escriben en $B$ . El método es siempre el mismo: imágenes de los vectores de $B$ , y esas imágenes expresadas en $B$ . La fórmula $P^{-1}AP$ es lo mismo en una línea.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Núcleo e imagen en bases abstractas, y un cambio de coordenadas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales sobre $K$ . Dadas una base de $V$ , $\{\overline{e}_1,\overline{e}_2,\overline{e}_3,\overline{e}_4\}$ , y otra de $W$ , $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ , se define la siguiente aplicación lineal:

f:V\to W\ /\ f(x\overline{e}_1+y\overline{e}_2+z\overline{e}_3+t\overline{e}_4) = (x+y)\overline{v}_1+(z-t)\overline{v}_2+(x+z-y)\overline{v}_3

a) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ , sus bases y dimensiones.

b) Se realiza en $V$ el siguiente cambio de coordenadas:

\begin{cases} x_1' = x+y\\ x_2' = y\\ x_3' = y+z+t\\ x_4' = 2x-y+z+5t \end{cases}

Obtener la nueva base de $V$ y la expresión de $f$ en esta nueva base.

Núcleo e imagen con bases; la nueva base de $V$ ; y las ecuaciones de $f$ en las nuevas coordenadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
El cambio $X' = PX$ con $P = \begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&1\\2&-1&1&5\end{pmatrix}$ . ¿Dónde está la nueva base?
02
Que el cambio es válido
COMP2
Para que el sistema defina un cambio de base hace falta $\det P \ne 0$ . ¿Cuánto vale $\det P$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $A = \begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&-1\\1&-1&1&0\end{pmatrix}$ , rango 3: $\operatorname{Im}f = W$ , dimensión 3, base $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ .
2. a) $\operatorname{Ker}f$ : $x+y = 0$ , $z = t$ , $x+z-y = 0$ dan $y = -x$ , $z = t = -2x$ : $\operatorname{Ker}f = L(\overline{e}_1-\overline{e}_2-2\overline{e}_3-2\overline{e}_4)$ , dimensión 1.
3. b) $P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&1&0&0\\\tfrac12&-2&\tfrac54&-\tfrac14\\-\tfrac12&1&-\tfrac14&\tfrac14\end{pmatrix}$ ; la base nueva son sus columnas.
4. b) $\overline{e}_1' = \overline{e}_1+\tfrac12\overline{e}_3-\tfrac12\overline{e}_4$ , $\overline{e}_2' = -\overline{e}_1+\overline{e}_2-2\overline{e}_3+\overline{e}_4$ , $\overline{e}_3' = \tfrac54\overline{e}_3-\tfrac14\overline{e}_4$ , $\overline{e}_4' = -\tfrac14\overline{e}_3+\tfrac14\overline{e}_4$ .
5. b) $AP^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&-3&\tfrac32&-\tfrac12\\\tfrac32&-4&\tfrac54&-\tfrac14\end{pmatrix}$ : $y_1 = x_1'$ , $y_2 = x_1'-3x_2'+\tfrac32x_3'-\tfrac12x_4'$ , $y_3 = \tfrac32x_1'-4x_2'+\tfrac54x_3'-\tfrac14x_4'$ .

Resolución completa

a) Núcleo e imagen. Matriz en las bases dadas:

A = \begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&-1\\1&-1&1&0\end{pmatrix},\qquad \operatorname{rg}A = 3

\boxed{\operatorname{Im}f = W \ (\dim 3),\qquad \operatorname{Ker}f = L\big(\overline{e}_1-\overline{e}_2-2\overline{e}_3-2\overline{e}_4\big)\ (\dim 1)}

(comprobación: $x = 1$ , $y = -1$ , $z = t = -2$ da $x+y = 0$ , $z-t = 0$ , $x+z-y = 1-2+1 = 0$ ✓.)

b) La nueva base. El sistema es $X' = PX$ con $P = \begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&1\\2&-1&1&5\end{pmatrix}$ , $\det P = 4$ . Invirtiendo, $X = P^{-1}X'$ , y las columnas de $P^{-1}$ son la base nueva:

\boxed{\begin{aligned} \overline{e}_1' &= \overline{e}_1+\tfrac12\overline{e}_3-\tfrac12\overline{e}_4\\ \overline{e}_2' &= -\overline{e}_1+\overline{e}_2-2\overline{e}_3+\overline{e}_4\\ \overline{e}_3' &= \tfrac54\overline{e}_3-\tfrac14\overline{e}_4\\ \overline{e}_4' &= -\tfrac14\overline{e}_3+\tfrac14\overline{e}_4 \end{aligned}}

$f$ en las nuevas coordenadas. $Y = AX = AP^{-1}X'$ :

\boxed{\begin{cases} y_1 = x_1'\\ y_2 = x_1'-3x_2'+\tfrac32x_3'-\tfrac12x_4'\\ y_3 = \tfrac32x_1'-4x_2'+\tfrac54x_3'-\tfrac14x_4' \end{cases}}

(comprobación directa: $x = x_1'-x_2'$ , $y = x_2'$ , y despejando $z$ y $t$ de las dos últimas ecuaciones se llega a lo mismo.)

Cambiar solo una base. Cuando el cambio es únicamente en el espacio de partida, la matriz nueva es $A\cdot Q$ , con $Q$ la matriz cuyas columnas son la base nueva. Aquí $Q = P^{-1}$ porque el enunciado da las coordenadas nuevas en función de las viejas, que es el sentido contrario al que se necesita.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 13 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Rango dos, núcleo de dimensión dos, y un subespacio que completa la imagen

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ . Dadas una base de $V$ , $\{\overline{e}_1,\overline{e}_2,\overline{e}_3,\overline{e}_4\}$ , y otra de $W$ , $\{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}$ , se define la siguiente aplicación lineal:

\begin{cases} f(\overline{e}_1) = \overline{u}_1+\overline{u}_2-4\overline{u}_3\\ f(\overline{e}_2) = 2\overline{u}_1+\overline{u}_2-2\overline{u}_3\\ f(\overline{e}_3) = 3\overline{u}_1+\overline{u}_2\\ f(\overline{e}_4) = \overline{u}_1+2\overline{u}_3 \end{cases}

a) Obtener la expresión de $f$ en función de las coordenadas.

b) Calcular las bases de $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ .

c) Comprobar que el subespacio $S = \{\overline{x} = x_1\overline{u}_1+x_2\overline{u}_2+x_3\overline{u}_3 \in W\ /\ x_1 = 2x_2\}$ de $W$ verifica que $\operatorname{Im}f+S = W$ .

Las ecuaciones, las dos bases, y la comprobación del apartado c).

01
Reconocer el camino
COMP1
Las columnas son $(1,1,-4)$ , $(2,1,-2)$ , $(3,1,0)$ , $(1,0,2)$ . ¿Qué relaciones hay entre ellas?
02
La intersección del apartado c)
COMP2
$\dim\operatorname{Im}f = 2$ , $\dim S = 2$ y $\operatorname{Im}f+S = W$ (dimensión 3). ¿Cuánto vale $\dim(\operatorname{Im}f\cap S)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $y_1 = x_1+2x_2+3x_3+x_4$ , $y_2 = x_1+x_2+x_3$ , $y_3 = -4x_1-2x_2+2x_4$ .
2. b) Rango 2: $\operatorname{Im}f = L\big(\overline{u}_1+\overline{u}_2-4\overline{u}_3,\ 2\overline{u}_1+\overline{u}_2-2\overline{u}_3\big)$ .
3. b) $\operatorname{Ker}f = L\big(\overline{e}_1-2\overline{e}_2+\overline{e}_3,\ \overline{e}_1-\overline{e}_2+\overline{e}_4\big)$ , dimensión $4-2 = 2$ .
4. c) $S = \{x_1 = 2x_2\}$ tiene base $\{2\overline{u}_1+\overline{u}_2,\ \overline{u}_3\}$ .
5. c) Los cuatro vectores $(1,1,-4)$ , $(2,1,-2)$ , $(2,1,0)$ , $(0,0,1)$ tienen rango 3: $\operatorname{Im}f+S = W$ .

Resolución completa

a) Ecuaciones. Matriz con las imágenes por columnas:

A = \begin{pmatrix}1&2&3&1\\1&1&1&0\\-4&-2&0&2\end{pmatrix},\qquad \boxed{\begin{cases}y_1 = x_1+2x_2+3x_3+x_4\\ y_2 = x_1+x_2+x_3\\ y_3 = -4x_1-2x_2+2x_4\end{cases}}

b) Rango 2 ( $C_3 = 2C_2-C_1$ , $C_4 = C_2-C_1$ ).

\boxed{\operatorname{Im}f = L\big(\overline{u}_1+\overline{u}_2-4\overline{u}_3,\ 2\overline{u}_1+\overline{u}_2-2\overline{u}_3\big)}

\boxed{\operatorname{Ker}f = L\big(\overline{e}_1-2\overline{e}_2+\overline{e}_3,\ \overline{e}_1-\overline{e}_2+\overline{e}_4\big)}

(comprobación: $(1,-2,1,0)$ en las ecuaciones da $(1-4+3,\ 1-2+1,\ -4+4) = \overline{0}$ ✓; $(1,-1,0,1)$ da $(1-2+1,\ 1-1,\ -4+2+2) = \overline{0}$ ✓.)

c) $S$ tiene base $\{(2,1,0),(0,0,1)\}$ en coordenadas de $W$ . Los cuatro generadores de $\operatorname{Im}f+S$ :

\operatorname{rg}\begin{pmatrix}1&2&2&0\\1&1&1&0\\-4&-2&0&1\end{pmatrix} = 3 \;\Rightarrow\; \boxed{\operatorname{Im}f+S = W}

(Grassmann: $\dim(\operatorname{Im}f\cap S) = 2+2-3 = 1$ ; la suma no es directa.)

Las relaciones entre columnas son el núcleo. Cada dependencia $\sum a_j f(\overline{e}_j) = \overline{0}$ es un vector $\sum a_j\overline{e}_j$ del núcleo. Cuando el rango se ve por relaciones —como aquí—, el núcleo sale gratis, sin resolver el sistema homogéneo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 14 · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Reconstruir f desde tres imágenes que no son de la base canónica

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ una aplicación lineal definida por:

\begin{cases} f(2,3,5) = (1,1,1)\\ f(0,1,2) = (1,1,-1)\\ f(1,0,0) = (2,1,2) \end{cases}

a) Obtener la expresión de $f$ en la base canónica.

b) Obtener $\operatorname{Ker}f$ , una base y la dimensión.

c) Obtener $\operatorname{Im}f$ , una base y la dimensión.

La fórmula de $f(x,y,z)$ , y el núcleo y la imagen.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se conoce $f(\overline{e}_1) = (2,1,2)$ directamente. ¿Cómo se sacan $f(\overline{e}_2)$ y $f(\overline{e}_3)$ ?
02
Una imagen deducida
COMP2
¿Cuánto vale la primera componente de $f(\overline{e}_3)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $f(\overline{e}_1) = (2,1,2)$ , $f(\overline{e}_2) = (-11,-7,-1)$ , $f(\overline{e}_3) = (6,4,0)$ .
2. a) $f(x,y,z) = (2x-11y+6z,\ x-7y+4z,\ 2x-y)$ ; comprobación $f(2,3,5) = (4-33+30,\ 2-21+20,\ 4-3) = (1,1,1)$ ✓.
3. b) $\det A = \begin{vmatrix}2&-11&6\\1&-7&4\\2&-1&0\end{vmatrix} \ne 0$ : $\operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ , dimensión 0.
4. c) $\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{3}$ , dimensión 3, base la canónica.
5. También se ve sin la matriz: las tres imágenes dadas, $(1,1,1)$ , $(1,1,-1)$ , $(2,1,2)$ , son independientes, luego $f$ manda una base a una base.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 15 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: un sistema ligado va a un sistema ligado, y un endomorfismo de rango dos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $f:V\to V'$ una aplicación lineal y un sistema de vectores $\{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\dots,\overline{u}_n\} \subset V$ ligado. Demostrar que $\{f(\overline{u}_1),f(\overline{u}_2),\dots,f(\overline{u}_n)\} \subset V'$ es ligado.
Sea la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ , $f(x,y,z) = (x+y+z,\ -x+3z,\ y+4z)$ .

a) Calcular bases de $\operatorname{Im}f$ y $\operatorname{Ker}f$ .

b) Clasificar la aplicación.

La demostración, y las bases con la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1: el sistema es ligado, así que existe una combinación $\sum a_i\overline{u}_i = \overline{0}$ con algún $a_i \ne 0$ . ¿Y luego?
02
La dimensión del núcleo
COMP2
$A = \begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&3\\0&1&4\end{pmatrix}$ tiene $\det A = 0$ . ¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución de la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\det A = 1\cdot(0-3)-1\cdot(-4-0)+1\cdot(-1-0) = -3+4-1 = 0$ ; rango 2.
2. $\operatorname{Ker}f = L\big((3,-4,1)\big)$ ; comprobación $f(3,-4,1) = (3-4+1,\ -3+3,\ -4+4) = \overline{0}$ ✓.
3. $\operatorname{Im}f = L\big((1,-1,0),(1,0,1)\big)$ (dos columnas independientes; la tercera es $-3C_1+4C_2$ ).
4. Clasificación: endomorfismo no inyectivo (núcleo no trivial) y no suprayectivo (imagen de dimensión $2 < 3$ ).
5. $1+2 = 3$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 16 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: inyectiva equivale a núcleo trivial, y una f dada por tres combinaciones

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Definir el núcleo y la imagen de una aplicación lineal. Demostrar que una aplicación lineal es inyectiva $\Longleftrightarrow \operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ .
Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales sobre $K$ , y $B_1 = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ y $B_2 = \{\overline{w}_1,\overline{w}_2,\overline{w}_3,\overline{w}_4\}$ bases de $V$ y de $W$ , respectivamente. Se define una aplicación lineal $f:V\to W$ tal que:
$\begin{cases} f(\overline{v}_1+2\overline{v}_2-3\overline{v}_3) = \overline{w}_1-\overline{w}_3+\overline{w}_4\\ f(2\overline{v}_1+\overline{v}_3) = 2\overline{w}_1-\overline{w}_4\\ f(3\overline{v}_1+\overline{v}_2) = \overline{w}_2+2\overline{w}_3 \end{cases}$
Obtener la expresión de $f$ en función de las coordenadas de los vectores de las bases.

Las definiciones y la demostración, y las ecuaciones de $f$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1, sentido ( $\Leftarrow$ ): $\operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ y $f(\overline{u}) = f(\overline{v})$ . ¿Cómo se concluye $\overline{u} = \overline{v}$ ?
02
La primera imagen despejada
COMP2
Llamando $a = f(\overline{v}_1)$ , $b = f(\overline{v}_2)$ , $c = f(\overline{v}_3)$ (en coordenadas de $B_2$ ), se despeja $c = (2,0,0,-1)-2a$ y $b = (0,1,2,0)-3a$ , y de la primera ecuación sale $a$ . ¿Cuánto vale la primera coordenada de $a = f(\overline{v}_1)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los tres vectores $\overline{v}_1+2\overline{v}_2-3\overline{v}_3$ , $2\overline{v}_1+\overline{v}_3$ , $3\overline{v}_1+\overline{v}_2$ son independientes (determinante $\ne 0$ ): forman base, y $f$ queda determinada.
2. Por linealidad, $a+2b-3c = (1,0,-1,1)$ , $2a+c = (2,0,0,-1)$ , $3a+b = (0,1,2,0)$ .
3. $a = (7,-2,-5,-2)$ , $b = (0,1,2,0)-3a = (-21,7,17,6)$ , $c = (2,0,0,-1)-2a = (-12,4,10,3)$ .
4. Comprobación: $2a+c = (14-12,\ -4+4,\ -10+10,\ -4+3) = (2,0,0,-1)$ ✓.
5. Ecuaciones: $y_1 = 7x_1-21x_2-12x_3$ , $y_2 = -2x_1+7x_2+4x_3$ , $y_3 = -5x_1+17x_2+10x_3$ , $y_4 = -2x_1+6x_2+3x_3$ .

Resolución completa

1 · Definiciones. $\operatorname{Ker}f = \{\overline{u} \in V : f(\overline{u}) = \overline{0}\}$ ; $\operatorname{Im}f = \{f(\overline{u}) : \overline{u} \in V\}$ .

Inyectiva $\Rightarrow$ núcleo trivial: si $f(\overline{u}) = \overline{0} = f(\overline{0})$ , la inyectividad da $\overline{u} = \overline{0}$ . Núcleo trivial $\Rightarrow$ inyectiva: si $f(\overline{u}) = f(\overline{v})$ , entonces $f(\overline{u}-\overline{v}) = \overline{0}$ , luego $\overline{u}-\overline{v} \in \operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ y $\overline{u} = \overline{v}$ . $\blacksquare$

2 · Despejar las imágenes de la base. Con $a,b,c$ las coordenadas de $f(\overline{v}_1),f(\overline{v}_2),f(\overline{v}_3)$ en $B_2$ :

\begin{cases}a+2b-3c = (1,0,-1,1)\\ 2a+c = (2,0,0,-1)\\ 3a+b = (0,1,2,0)\end{cases} \;\Rightarrow\; a = (7,-2,-5,-2),\quad b = (-21,7,17,6),\quad c = (-12,4,10,3)

Ecuaciones ( $Y = AX$ , columnas $a,b,c$ ):

\boxed{\begin{cases} y_1 = 7x_1-21x_2-12x_3\\ y_2 = -2x_1+7x_2+4x_3\\ y_3 = -5x_1+17x_2+10x_3\\ y_4 = -2x_1+6x_2+3x_3 \end{cases}}

(comprobación: $3a+b = (21-21,\ -6+7,\ -15+17,\ -6+6) = (0,1,2,0)$ ✓.)

Cuando los datos no son imágenes de la base. Primero hay que asegurarse de que los tres vectores de partida forman base (si no, $f$ no estaría bien definida, o no sería única). Después, despejar. Los números feos del resultado son normales: el examen los pone para que se compruebe.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 17 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: rango, inyectividad y suprayectividad, y una f definida sobre matrices

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:V\to V'$ una aplicación lineal tal que $V$ y $V'$ tienen dimensiones finitas. Demostrar que:

a) $f$ inyectiva $\Longleftrightarrow r(f) = \dim(V)$

b) $f$ suprayectiva $\Longleftrightarrow r(f) = \dim(V')$

c) Si $f:V\to V$ es una aplicación lineal y $\dim(V)$ es impar $\Rightarrow \operatorname{Ker}f \ne \operatorname{Im}f$ .
Sea el espacio vectorial de matrices $M(2,\mathbb{R})$ . Se define la aplicación lineal $f:M(2,\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{3}$ tal que $f\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = (a,\ d,\ b-c)$ .

a) Calcular $\operatorname{Ker}f$ .

b) Sea $S$ el subespacio vectorial de matrices simétricas del espacio vectorial $M(2,\mathbb{R})$ . Calcular $f(S)$ .

Las tres demostraciones, el núcleo, y $f(S)$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1(c): ¿por qué $\operatorname{Ker}f = \operatorname{Im}f$ es imposible si $\dim V$ es impar?
02
La dimensión de f(S)
COMP2
$S$ son las matrices con $b = c$ . ¿Cuánto vale $\dim f(S)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las demostraciones de la parte 1 y la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. 1a) $f$ inyectiva $\iff \operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\} \iff \dim\operatorname{Ker}f = 0 \iff r(f) = \dim V-0 = \dim V$ (fórmula de las dimensiones).
2. 1b) $f$ suprayectiva $\iff \operatorname{Im}f = V' \iff \dim\operatorname{Im}f = \dim V' \iff r(f) = \dim V'$ (un subespacio con la dimensión del total es el total).
3. 1c) Si $\operatorname{Ker}f = \operatorname{Im}f$ , entonces $\dim V = 2\dim\operatorname{Ker}f$ es par; contradicción con $\dim V$ impar.
4. 2a) $f(M) = \overline{0} \iff a = 0,\ d = 0,\ b = c$ : $\operatorname{Ker}f = L\left(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\right)$ , dimensión 1.
5. 2b) $f(S) = \{(a,d,0)\} = L\big((1,0,0),(0,1,0)\big)$ , dimensión 2.

Resolución completa

1 · Demostraciones. En todas, $r(f) = \dim\operatorname{Im}f$ y $\dim V = \dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f$ .

a) $f$ inyectiva $\iff \operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\} \iff \dim\operatorname{Ker}f = 0 \iff r(f) = \dim V$ .

b) $f$ suprayectiva $\iff \operatorname{Im}f = V' \iff \dim\operatorname{Im}f = \dim V'$ (un subespacio de $V'$ con su misma dimensión es $V'$ ).

c) Si fuera $\operatorname{Ker}f = \operatorname{Im}f$ , entonces $\dim V = \dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f = 2\dim\operatorname{Ker}f$ , par. Contradicción. $\blacksquare$

2a) Núcleo. $f\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = (0,0,0)$ da $a = 0$ , $d = 0$ , $b = c$ :

\boxed{\operatorname{Ker}f = L\left(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\right),\quad \dim 1}

2b) $f(S)$ . Una simétrica tiene $b = c$ , luego $b-c = 0$ :

\boxed{f(S) = \{(a,d,0)\} = L\big((1,0,0),(0,1,0)\big),\quad \dim 2}

(coherente: $\dim S = 3$ , $S\cap\operatorname{Ker}f = \operatorname{Ker}f$ de dimensión 1, y $\dim f(S) = 3-1 = 2$ .)

Matrices como vectores. $M(2,\mathbb{R})$ es $\mathbb{R}^{4}$ con otro nombre: $(a,b,c,d)$ . La aplicación es $(a,b,c,d) \mapsto (a,d,b-c)$ , de rango 3, y todo lo del tema se aplica igual. La única novedad es escribir el núcleo como matriz.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 18 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: un sistema libre no siempre va a un sistema libre, y una matriz en bases raras

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:V\to W$ una aplicación lineal. Decir si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:

a) Si $\{\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_n\} \subset V$ es un sistema libre entonces $\{f(\overline{u}_1),\dots,f(\overline{u}_n)\} \subset W$ es libre.

b) Si $\{f(\overline{u}_1),\dots,f(\overline{u}_n)\} \subset W$ es una familia libre entonces $\{\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_n\} \subset V$ es libre.
Sea la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ , $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1,\ -x_1+x_2)$ .

a) Calcular bases de $\operatorname{Im}f$ y $\operatorname{Ker}f$ .

b) Obtener la matriz asociada a la aplicación $f$ en las siguientes bases: $B_{\mathbb{R}^{3}} = \{(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}$ , $B_{\mathbb{R}^{2}} = \{(1,1),(-1,1)\}$ .

Verdadero o falso con razón, las bases, y la matriz en las bases dadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1: ¿cuál de las dos afirmaciones es falsa, y con qué contraejemplo?
02
Una entrada de la matriz en las bases nuevas
COMP2
$f(1,0,1) = (1,-1)$ , y en la base $\{(1,1),(-1,1)\}$ un vector $(p,q)$ tiene coordenadas $\big(\tfrac{p+q}{2},\ \tfrac{q-p}{2}\big)$ . ¿Cuál es la segunda coordenada de $f(1,0,1)$ en esa base, es decir, la entrada $(2,1)$ de la matriz?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $A = \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\end{pmatrix}$ , rango 2: $\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{2}$ , base la canónica.
2. a) $\operatorname{Ker}f$ : $x_1 = 0$ , $x_2 = 0$ , $x_3$ libre: $\operatorname{Ker}f = L\big((0,0,1)\big)$ .
3. b) $f(1,0,1) = (1,-1)$ , $f(1,1,0) = (1,0)$ , $f(1,1,1) = (1,0)$ .
4. b) En la base $\{(1,1),(-1,1)\}$ : $(1,-1) \to (0,-1)$ , $(1,0) \to \big(\tfrac12,-\tfrac12\big)$ (dos veces).
5. b) Matriz $\begin{pmatrix}0&\tfrac12&\tfrac12\\-1&-\tfrac12&-\tfrac12\end{pmatrix}$ ; tiene dos columnas iguales, coherente con que $(1,1,1)-(1,1,0) = (0,0,1) \in \operatorname{Ker}f$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 19 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la imagen de un subespacio es subespacio, y una f de R³ en R² por tres datos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $f:V\to V'$ una aplicación lineal y $\varnothing \ne S \subset V$ un subespacio de $V$ . Definir $f(S)$ y demostrar que es un subespacio vectorial de $V'$ .
Sea $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ una aplicación lineal definida de la siguiente forma:
$\begin{cases} f(1,1,0) = (2,1)\\ f(0,1,1) = (1,2)\\ f(1,0,1) = (1,1) \end{cases}$
a) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ .

b) Calcular la matriz asociada a la aplicación $f$ en las bases canónicas.

La definición y demostración, el núcleo y la imagen, y la matriz canónica.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 2: los tres datos son $f(\overline{e}_1)+f(\overline{e}_2)$ , $f(\overline{e}_2)+f(\overline{e}_3)$ y $f(\overline{e}_1)+f(\overline{e}_3)$ . ¿Cuál es el atajo?
02
La suma de las tres imágenes canónicas
COMP2
¿Cuánto vale la primera componente de $f(\overline{e}_1)+f(\overline{e}_2)+f(\overline{e}_3)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 1 y la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
- No hace falta inyectividad: la demostración usa solo que $f$ es lineal y $S$ subespacio. $f(S)$ es subespacio aunque $f$ aplaste $S$ entero al cero.
El razonamiento, en orden
1. 1. $f(S) = \{f(\overline{s}) : \overline{s} \in S\}$ . No es vacío: $\overline{0} = f(\overline{0}) \in f(S)$ .
2. 1. Si $\overline{a} = f(\overline{s}_1)$ , $\overline{b} = f(\overline{s}_2)$ y $\lambda,\mu \in K$ : $\lambda\overline{a}+\mu\overline{b} = f(\lambda\overline{s}_1+\mu\overline{s}_2)$ , y $\lambda\overline{s}_1+\mu\overline{s}_2 \in S$ por ser $S$ subespacio. Luego $f(S)$ es subespacio.
3. 2b) $f(\overline{e}_1) = (1,0)$ , $f(\overline{e}_2) = (1,1)$ , $f(\overline{e}_3) = (0,1)$ : $A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ , $f(x,y,z) = (x+y,\ y+z)$ .
4. 2a) Rango 2: $\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{2}$ ; $\operatorname{Ker}f$ : $x = -y$ , $z = -y$ , luego $L\big((1,-1,1)\big)$ .
5. Comprobación: $f(1,1,0) = (2,1)$ ✓, $f(0,1,1) = (1,2)$ ✓, $f(1,0,1) = (1,1)$ ✓, $f(1,-1,1) = (0,0)$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 20 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: de R⁴ en R³ con rango dos, y la matriz en dos bases escalonadas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}$ una aplicación lineal definida por:

f(\overline{e}_1) = (1,1,1),\quad f(\overline{e}_2) = (1,1,1),\quad f(\overline{e}_3) = (1,0,1),\quad f(\overline{e}_4) = (1,0,1)

donde $\{\overline{e}_1,\overline{e}_2,\overline{e}_3,\overline{e}_4\}$ es la base canónica de $\mathbb{R}^{4}$ .

Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ .
Sean $B_1 = \{(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)\}$ y $B_2 = \{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\}$ bases de $\mathbb{R}^{4}$ y $\mathbb{R}^{3}$ respectivamente. Calcular la matriz asociada a la aplicación $f$ en dichas bases.

Núcleo e imagen con bases, y la matriz $3\times4$ en las bases $B_1$ , $B_2$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
$f(\overline{e}_1) = f(\overline{e}_2)$ y $f(\overline{e}_3) = f(\overline{e}_4)$ . ¿Qué da eso directamente?
02
Una entrada de la matriz en las bases nuevas
COMP2
$f(1,1,1,0) = (3,2,3)$ , y en $B_2$ un vector $(p,q,r)$ tiene coordenadas $(p,\ q-p,\ r-q)$ . ¿Cuál es la entrada $(2,3)$ de la matriz, la segunda coordenada de $f(1,1,1,0)$ en $B_2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
- No es cuadrada (es $3\times4$ ) y no tiene por qué ser triangular: la forma de la matriz depende de $f$ , no solo de las bases. De hecho su primera fila es $(1,2,3,4)$ , nada triangular.
El razonamiento, en orden
1. 1. $\operatorname{Ker}f = L\big((1,-1,0,0),(0,0,1,-1)\big)$ , dimensión 2; $\operatorname{Im}f = L\big((1,1,1),(1,0,1)\big) = \{y_1 = y_3\}$ , dimensión 2.
2. 1. Imágenes de $B_1$ : $f(1,0,0,0) = (1,1,1)$ , $f(1,1,0,0) = (2,2,2)$ , $f(1,1,1,0) = (3,2,3)$ , $f(1,1,1,1) = (4,2,4)$ .
3. 1. En $B_2$ , $(p,q,r) \to (p,\ q-p,\ r-q)$ : $(1,0,0)$ , $(2,0,0)$ , $(3,-1,1)$ , $(4,-2,2)$ .
4. 1. $A' = \begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&0&-1&-2\\0&0&1&2\end{pmatrix}$ , de rango 2 como debe.
5. Comprobación: la columna 2 es el doble de la 1 porque $(1,1,0,0) = (1,0,0,0)+\overline{e}_2$ y $f(\overline{e}_2) = f(\overline{e}_1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 21 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la matriz en una base abstracta, y un núcleo con números feos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $B = \{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}$ una base de $\mathbb{R}^{3}$ y $f$ una aplicación lineal definida por $f(\overline{u}_1) = 3\overline{u}_1+2\overline{u}_2$ , $f(\overline{u}_2) = -5\overline{u}_1+\overline{u}_2$ , $f(\overline{u}_3) = 4\overline{u}_2$ .

Calcular la matriz asociada a la aplicación $f$ en la base $B$ .
Calcular $\operatorname{Ker}f$ y obtener una base.
Calcular $\operatorname{Im}f$ y obtener una base.

La matriz en $B$ , y el núcleo y la imagen con bases (en la base $B$ ).

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres imágenes no tienen componente en $\overline{u}_3$ . ¿Qué dice eso de $\operatorname{Im}f$ ?
02
La dimensión de la imagen
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Im}f$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
- $f(\overline{u}_3) = 4\overline{u}_2 \ne \overline{0}$ . El núcleo sale de resolver el sistema, y es la recta de $20\overline{u}_1+12\overline{u}_2-13\overline{u}_3$ : hace falta combinar los tres para anular las dos ecuaciones.
El razonamiento, en orden
1. 1. $A_B = \begin{pmatrix}3&-5&0\\2&1&4\\0&0&0\end{pmatrix}$ (columnas: coordenadas de $f(\overline{u}_i)$ en $B$ ).
2. 1. $\operatorname{Ker}f$ : $3x-5y = 0$ y $2x+y+4z = 0$ . Con $x = 20$ : $y = 12$ , $z = -13$ .
3. 1. $\operatorname{Ker}f = L\big(20\overline{u}_1+12\overline{u}_2-13\overline{u}_3\big)$ ; comprobación $3\cdot20-5\cdot12 = 0$ , $40+12-52 = 0$ ✓.
4. 1. $\operatorname{Im}f = L\big(3\overline{u}_1+2\overline{u}_2,\ -5\overline{u}_1+\overline{u}_2\big) = L(\overline{u}_1,\overline{u}_2)$ , base $\{\overline{u}_1,\overline{u}_2\}$ .
5. $1+2 = 3$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 22 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: los generadores van a generadores, y una f de R⁴ en R³ suprayectiva

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $f:V\to V'$ una aplicación lineal. Demostrar que si $\{\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_n\} \subset V$ es un sistema generador del subespacio vectorial $S \subset V$ entonces $\{f(\overline{u}_1),\dots,f(\overline{u}_n)\} \subset V'$ es un sistema generador de $f(S)$ .
Sea $f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}$ una aplicación lineal definida de la siguiente forma:
$f(\overline{u}_1) = \overline{v}_1+\overline{v}_2-\overline{v}_3,\quad f(\overline{u}_2) = \overline{v}_1-\overline{v}_2,\quad f(\overline{u}_3) = \overline{v}_1,\quad f(\overline{u}_4) = \overline{v}_2$
donde $\{\overline{u}_1,\dots,\overline{u}_4\}$ es la base canónica de $\mathbb{R}^{4}$ y $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^{3}$ .

a) Calcular la imagen del vector $(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4}$ .

b) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ , así como sus bases y dimensiones.

c) Clasificar la aplicación.

La demostración, la fórmula de $f$ , núcleo e imagen, y la clasificación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1: hay que ver que todo $\overline{w} \in f(S)$ es combinación de los $f(\overline{u}_i)$ . ¿Cómo?
02
Una imagen concreta
COMP2
$f(x,y,z,t) = (x+y+z,\ x-y+t,\ -x)$ . ¿Cuál es la segunda componente de $f(1,2,3,4)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Columnas $(1,1,-1)$ , $(1,-1,0)$ , $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ : $f(x,y,z,t) = (x+y+z,\ x-y+t,\ -x)$ .
2. b) Rango 3 (las columnas 3, 4 y 1 dan la base canónica salvo signo): $\operatorname{Im}f = \mathbb{R}^{3}$ , dimensión 3.
3. b) $\operatorname{Ker}f$ : $-x = 0$ , $y+z = 0$ , $-y+t = 0$ : $L\big((0,1,-1,1)\big)$ , dimensión $4-3 = 1$ .
4. c) Suprayectiva (imagen total), no inyectiva (núcleo no trivial): epimorfismo, no isomorfismo.
5. Comprobación: $f(0,1,-1,1) = (0+1-1,\ 0-1+1,\ 0) = \overline{0}$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 23 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Aplicaciones lineales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: el núcleo es subespacio, y una f de R² en R³ en dos bases nuevas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Definir el núcleo y la imagen de una aplicación lineal $f:V\to V'$ . Demostrar que $\operatorname{Ker}f$ es un subespacio vectorial de $V$ .
Sea la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$ , $f(x,y) = (x+y,\ x-y,\ 3y)$ , y $\{\overline{e}_1,\overline{e}_2\}$ y $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ las bases canónicas de $\mathbb{R}^{2}$ y $\mathbb{R}^{3}$ , respectivamente.

a) Calcular $\operatorname{Ker}f$ e $\operatorname{Im}f$ , sus bases y dimensiones. Clasificar la aplicación.

b) Sean $B = \{(1,-1),(0,1)\}$ base de $\mathbb{R}^{2}$ y $B' = \{(1,3,4),(0,1,2),(-1,0,1)\}$ base de $\mathbb{R}^{3}$ . Calcular la matriz asociada a la aplicación $f$ en estas bases.

La definición y demostración, núcleo e imagen con clasificación, y la matriz $3\times2$ en $B$ , $B'$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1: para que $\operatorname{Ker}f$ sea subespacio hay que ver tres cosas. ¿Cuáles?
02
Una coordenada en la base nueva
COMP2
$f(1,-1) = (0,2,-3)$ . Escribiéndolo como $\alpha(1,3,4)+\beta(0,1,2)+\gamma(-1,0,1)$ , ¿cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&3\end{pmatrix}$ , rango 2: $\operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}$ (dimensión 0), $\operatorname{Im}f = L\big((1,1,0),(1,-1,3)\big)$ (dimensión 2).
2. a) Inyectiva (núcleo trivial), no suprayectiva ( $2 < 3$ ): monomorfismo.
3. b) $f(1,-1) = (0,2,-3)$ y $f(0,1) = (1,-1,3)$ .
4. b) En $B'$ : $(0,2,-3) \to (7,-19,7)$ y $(1,-1,3) \to (-6,17,-7)$ .
5. b) $A' = \begin{pmatrix}7&-6\\-19&17\\7&-7\end{pmatrix}$ ; comprobación $-6(1,3,4)+17(0,1,2)-7(-1,0,1) = (1,-1,3)$ ✓.

Resolución completa

1 · Definiciones y demostración. $\operatorname{Ker}f = \{\overline{u} \in V : f(\overline{u}) = \overline{0}\}$ , $\operatorname{Im}f = \{f(\overline{u}) : \overline{u} \in V\}$ .

$\operatorname{Ker}f$ es subespacio: $f(\overline{0}) = \overline{0}$ , luego no es vacío; y si $f(\overline{u}) = f(\overline{v}) = \overline{0}$ ,

f(\lambda\overline{u}+\mu\overline{v}) = \lambda f(\overline{u})+\mu f(\overline{v}) = \overline{0} \;\Rightarrow\; \lambda\overline{u}+\mu\overline{v} \in \operatorname{Ker}f.\ \blacksquare

2a) $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&3\end{pmatrix}$ , rango 2.

\boxed{\operatorname{Ker}f = \{\overline{0}\}\ (\dim 0),\qquad \operatorname{Im}f = L\big((1,1,0),\ (1,-1,3)\big)\ (\dim 2)}

Inyectiva, no suprayectiva.

2b) Imágenes de $B$ : $f(1,-1) = (0,2,-3)$ , $f(0,1) = (1,-1,3)$ . En coordenadas de $B'$ (resolviendo $\alpha(1,3,4)+\beta(0,1,2)+\gamma(-1,0,1) = \overline{w}$ ):

(0,2,-3) \to (7,-19,7),\qquad (1,-1,3) \to (-6,17,-7)

\boxed{A' = \begin{pmatrix}7&-6\\-19&17\\7&-7\end{pmatrix}}

(comprobación: $7(1,3,4)-19(0,1,2)+7(-1,0,1) = (7-7,\ 21-19,\ 28-38+7) = (0,2,-3)$ ✓.)

La base de llegada manda en el trabajo. Cambiar la base de partida es fácil (imágenes de sus vectores); cambiar la de llegada obliga a resolver un sistema por cada columna. Con $B'$ sin estructura, como aquí, no hay atajo: dos sistemas $3\times3$ y la comprobación de cada uno.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Aplicaciones lineales

¿Es lineal? La comprobación de tres segundos

La matriz asociada, y por qué las imágenes van en columnas

Cuando los datos vienen cruzados

La matriz cuando las bases no son la canónica

El núcleo: qué es y qué decide

La imagen: la generan las columnas

La fórmula de las dimensiones, y lo que decide antes de calcular

Clasificar: los cinco nombres

Los dos teoremas de libre y ligado

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

Cuántas lo son

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La matriz

La dimensión del núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión del núcleo

Un vector del núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántas lo son

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La matriz asociada

La dimensión de la imagen

El generador del núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La imagen del tercer vector canónico

La imagen del vector genérico

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El cero, en la que falla

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Las dimensiones en un caso concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión del núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de la imagen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La imagen de un vector

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión del núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La antiimagen del apartado c)

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Reconocer el camino

Que el cambio es válido

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La intersección del apartado c)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Una imagen deducida

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión del núcleo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La primera imagen despejada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de f(S)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Una entrada de la matriz en las bases nuevas

Justificar el argumento

Reconocer el camino