Álgebra · tema 01

Espacios vectoriales

Subespacios, bases y coordenadas. Y por qué lo primero que se mira siempre es si el cero está dentro.

Un espacio vectorial no es una lista de flechas. Es un conjunto donde puedes hacer dos cosas —sumar dos elementos y multiplicar uno por un número— y donde esas dos operaciones se portan bien. Nada más. Los elementos pueden ser flechas, pero también polinomios, matrices o funciones, y el tema entero consiste en darse cuenta de que da igual lo que sean.

Y hay una pregunta que decide la mitad de los ejercicios del examen: ¿esto que me han dado es un subespacio? De las ocho convocatorias publicadas de esta asignatura, siete te piden demostrar que algo lo es. Vale la pena aprender a contestarla en diez segundos cuando la respuesta es «no», y en tres líneas cuando es «sí».

Qué es un espacio vectorial, y por qué la definición es tan larga

Un espacio vectorial sobre $K$ —donde $K$ es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ — es un conjunto $V$ con dos operaciones:

una interna, la suma, que a dos elementos de $V$ les asigna otro de $V$ ;
una externa, el producto por escalar, que a un número de $K$ y un elemento de $V$ les asigna otro de $V$ .

Y ocho propiedades que tienen que cumplirse. Cinco para la suma —asociativa, conmutativa, neutro, simétrico, y que el resultado se quede dentro— y tres para el producto, más la que las mezcla:

\begin{gathered} \alpha\cdot\left(\overline{x}+\overline{y}\right) =\alpha\cdot\overline{x}+\alpha\cdot\overline{y} \\[1mm] \left(\alpha+\beta\right)\cdot\overline{x} =\alpha\cdot\overline{x}+\beta\cdot\overline{x} \\[1mm] \alpha\cdot\left(\beta\cdot\overline{x}\right) =\left(\alpha\beta\right)\cdot\overline{x} \qquad 1\cdot\overline{x}=\overline{x} \end{gathered}

La lista es larga porque es una lista de comprobaciones, y así es como se usa. Cuando el examen te da un conjunto con operaciones raras —«en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ definimos $\alpha\cdot\left(x,y\right) =\left(\alpha^{2}x,\alpha^{2}y\right)$ »— no te está pidiendo que entiendas nada profundo: te está pidiendo que recorras la lista hasta encontrar la que falla.

Y casi siempre falla una de estas dos:

propiedad	cómo se rompe
$1\cdot\overline{x}=\overline{x}$	el producto «pierde» el vector
$\left(\alpha+\beta\right)\overline{x}=\alpha\overline{x}+\beta\overline{x}$	el escalar entra elevado al cuadrado, o cambiado de sitio

Con $\alpha\cdot\left(x,y\right)=\left(\alpha^{2}x,\alpha^{2}y\right)$ , por ejemplo, la última se cumple — $1^{2}=1$ — pero la distributiva no: $\left(\alpha+\beta\right)^{2}$ no es $\alpha^{2}+\beta^{2}$ . Un contraejemplo con $\alpha=\beta=1$ lo liquida en una línea.

Comprobar las ocho propiedades una por una

Cuando la respuesta es «no es espacio vectorial», basta con una. Encuentra la que falla, escribe un contraejemplo con números concretos y termina. Recorrer las ocho cuando ya has visto que la segunda se rompe no da más puntos y te come el tiempo de los otros tres ejercicios.

Cuando la respuesta es «sí lo es», entonces sí hay que recorrerlas — pero en el examen de esta asignatura eso casi nunca pasa con operaciones inventadas: pasa con subespacios, y ahí hay un atajo que veremos ahora mismo.

Los ejemplos que vas a usar todo el curso son cuatro, y conviene tenerlos en la cabeza desde el principio porque el examen los mezcla:

espacio	quiénes son sus vectores	dimensión
$\mathbb{R}^{n}$	listas de $n$ números	$n$
$\mathcal{M}_{m\times n}\left(\mathbb{R}\right)$	matrices	$m\cdot n$
$P_{n}$	polinomios de grado $\leq n$	$n+1$
funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$	funciones	infinita

Subespacio: la comprobación que cabe en tres líneas

Un subespacio de $V$ es un subconjunto $S$ que, con las mismas operaciones, vuelve a ser espacio vectorial. Dicho así parece que hay que comprobar las ocho propiedades otra vez, y no hace falta ninguna: las hereda todas de $V$ . Lo único que puede fallar es que al operar te salgas de $S$ .

De ahí el teorema que se usa siempre:

S\subset V\text{ es subespacio} \iff \begin{cases} \;\forall\,\overline{x},\overline{y}\in S:\; \overline{x}+\overline{y}\in S\\[4pt] \;\forall\,\alpha\in K,\;\forall\,\overline{x}\in S:\; \alpha\cdot\overline{x}\in S \end{cases}

y $S$ tiene que ser no vacío. Las dos condiciones se pueden juntar en una sola, que es como se escribe en el examen para ahorrar espacio:

\forall\,\alpha,\beta\in K,\;\forall\,\overline{x},\overline{y}\in S:\quad \alpha\overline{x}+\beta\overline{y}\in S

Y antes de eso, diez segundos: ¿está el cero?

Todo subespacio contiene al vector nulo. Es consecuencia inmediata de la segunda condición con $\alpha=0$ . Así que lo primero que se mira, siempre, es si el cero está dentro, porque cuando no lo está el ejercicio se acaba ahí.

La única diferencia entre las dos rectas es un desplazamiento. Y basta: a la izquierda la suma de dos puntos vuelve a caer sobre la recta; a la derecha se sale por arriba, porque al sumar los dos vectores se suman también las dos «alturas».

Con esto, media docena de casos del boletín se resuelven de un vistazo:

conjunto	¿subespacio?	por qué
$\left\{\left(x,y,z\right)/x+y+z=0\right\}$	sí	ecuación homogénea
$\left\{\left(x,y,z,t\right)/x+2y=7\right\}$	no	el $7$ deja fuera al cero
$\left\{\left(x,y,2\right)/x,y\in\mathbb{R}\right\}$	no	la tercera coordenada nunca es $0$
$\left\{\left(a,b,a,b\right)/a,b\in\mathbb{Z}\right\}$	no	$\mathbb{Z}$ no es cuerpo: $\tfrac{1}{2}\cdot\left(1,1,1,1\right)$ se sale
$\left\{\left(x,y,z\right)/x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq1\right\}$	no	el cero no cumple la desigualdad

La regla que resume la tabla: un conjunto definido por ecuaciones lineales igualadas a cero es subespacio, y cualquier otra cosa —un término independiente, un cuadrado, una desigualdad, una restricción sobre a qué conjunto de números pertenecen los parámetros— casi seguro que no.

«Los parámetros son enteros, pero la suma también lo es»

Es verdad que la suma de dos vectores de coordenadas enteras vuelve a tener coordenadas enteras. Pero un subespacio tiene que aguantar el producto por cualquier escalar del cuerpo, y el cuerpo aquí es $\mathbb{R}$ : multiplicar por $\tfrac{1}{2}$ te saca del conjunto.

Este error aparece en el boletín dos veces seguidas —con $\mathbb{Z}$ y con $\mathbb{Q}$ — porque es cómodo de cometer: la propiedad que falla es la de la operación externa, y es en la que menos se piensa.

Generar: qué significa L(G)

Dado un puñado de vectores $G=\left\{\overline{u}_{1},\dots,\overline{u}_{n} \right\}$ , su clausura lineal $L\left(G\right)$ es el conjunto de todas sus combinaciones lineales:

L\left(G\right)=\left\{\alpha_{1}\overline{u}_{1} +\alpha_{2}\overline{u}_{2}+\dots+\alpha_{n}\overline{u}_{n} \;/\;\alpha_{i}\in K\right\}

Y aquí hay un atajo que ahorra media demostración en el examen: $L\left(G\right)$ es siempre subespacio, sea cual sea $G$ . Así que si consigues escribir tu conjunto como un generado, ya está demostrado que es subespacio y no hay nada que comprobar.

Es exactamente lo que se hace con los subespacios de matrices, que caen en cinco de las ocho convocatorias:

S=\left\{A\in\mathcal{M}_{2\times2}\left(\mathbb{R}\right) \;/\;\operatorname{traza}\left(A\right)=0\right\} =\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}\right\}

=L\left(\left\{ \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\right\}\right)

Una sola línea, y de regalo salen la base y la dimensión, que es justo lo que el enunciado pide a continuación.

El procedimiento, en tres pasos. Sirve para matrices, para polinomios y para $\mathbb{R}^{n}$ dado por ecuaciones:

Escribe el elemento genérico del conjunto, con parámetros libres.
Sepáralo como suma de «parámetro × algo».
Esos «algos» son la base. Cuántos hay es la dimensión.

Libre, ligado, y qué se está preguntando de verdad

Una familia $\left\{\overline{u}_{1},\dots,\overline{u}_{n}\right\}$ es libre si la única forma de que una combinación suya dé el vector nulo es que todos los coeficientes sean cero:

\alpha_{1}\overline{u}_{1}+\dots+\alpha_{n}\overline{u}_{n}=\overline{0} \;\Longrightarrow\; \alpha_{1}=\dots=\alpha_{n}=0

Si hay otra forma —con algún coeficiente distinto de cero— la familia es ligada.

Esa definición se recuerda mal porque se recuerda como una fórmula. Lo que dice en castellano es: ninguno de estos vectores sobra. Y el teorema que lo traduce lo dice todavía más claro:

Una familia es ligada si y solo si alguno de sus vectores es combinación lineal de los demás.

Confundir «libre» con «base»

Una familia libre garantiza que lo que se escriba con ella se escribe de una sola manera. No garantiza que se pueda escribir todo.

Para ser base hacen falta las dos cosas: libre y sistema generador. En $\mathbb{R}^{3}$ , la familia $\left\{\left(1,0,0\right)\right\}$ es libre y solo genera una recta.

La confusión aparece en el examen con esta forma exacta: se demuestra la unicidad de la expresión —que cae en tres de las ocho convocatorias— y se concluye «luego es base». No: se concluye «luego los coeficientes son únicos».

Cuatro propiedades que se usan sin pensar y conviene tener a mano:

En una familia libre ningún vector es el nulo. Si lo fuera, $1\cdot\overline{0}=\overline{0}$ ya sería una combinación no trivial.
Un solo vector no nulo forma familia libre.
Si a una familia ligada le añades vectores, sigue ligada.
Todo subconjunto de una familia libre es libre.

El teorema fundamental, y para qué sirve

Si $F$ es sistema generador de $V$ con $n$ vectores y $G$ es libre con $m$ , entonces $m\leq n$ . Y además puedes cambiar los vectores de $G$ por $m$ de los de $F$ y seguir generando.

Suena abstracto y tiene una consecuencia muy concreta: en un espacio de dimensión $n$ , más de $n$ vectores están siempre ligados. Cuando el examen te da cuatro vectores en $\mathbb{R}^{3}$ y pregunta si son independientes, la respuesta es «no» antes de escribir nada.

Base, dimensión y coordenadas

Una base es una familia que es libre y sistema generador a la vez. Todas las bases de un mismo espacio tienen el mismo número de vectores, y ese número es la dimensión.

Y de ahí sale el teorema del que cuelga todo lo demás:

\forall\,\overline{x}\in V\;\; \exists\,!\;\left(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\right)\in K^{n}\;/\; \overline{x}=\alpha_{1}\overline{e}_{1}+\dots+\alpha_{n}\overline{e}_{n}

Esos $\alpha_{i}$ son las coordenadas de $\overline{x}$ en la base $B$ , y el « $\exists\,!$ » —existe y es único— es lo que hace que trabajar con coordenadas tenga sentido. Se pide en seis de las ocho convocatorias.

La unicidad se demuestra restando, y es una demostración de cuatro líneas que cae tal cual:

\overline{x}=\sum\alpha_{i}\overline{e}_{i}=\sum\beta_{i}\overline{e}_{i} \;\Longrightarrow\; \sum\left(\alpha_{i}-\beta_{i}\right)\overline{e}_{i}=\overline{0} \;\Longrightarrow\; \alpha_{i}=\beta_{i}

El último paso es la definición de libre. Todo el peso lo lleva ahí, y por eso la hipótesis que se usa no es « $B$ es base», sino solo « $B$ es libre».

Completar una base

Otro clásico: te dan una familia libre de $m$ vectores en un espacio de dimensión $n$ , y te piden completarla hasta base. Siempre se puede, y el método que menos falla es el más tonto:

Añade vectores de la base canónica, uno a uno, y quédate con los que aumentan el rango.

Con un ejemplo: si tienes $\left\{\left(1,0,0,0\right),\left(2,1,1,0\right), \left(0,0,1,0\right)\right\}$ en $\mathbb{R}^{4}$ , los tres tienen la cuarta coordenada nula, así que el que falta tiene que sacarte de ahí: $\left(0,0,0,1\right)$ y listo. Mirar qué le falta a la familia es más rápido que calcular rangos, y en el examen esa lectura suele estar a la vista.

Cambiar de base, y en qué sentido va cada cosa

Esta es la parte que más se falla del tema, y no por difícil: por confundir el sentido. Si $P$ es la matriz que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de $B'$ escritos en $B$ , entonces

de dónde a dónde	qué se hace	coste
de $B'$ a $B$	multiplicar por $P$	inmediato
de $B$ a $B'$	resolver $P\overline{y}=\overline{x}$	un sistema

El sentido barato es el que va hacia la base vieja, porque las columnas de $P$ ya están escritas en ella. El otro exige resolver.

Multiplicar por P cuando había que resolver

Si te piden «las coordenadas de $\overline{x}$ en la base nueva» y $\overline{x}$ te lo dan en la vieja, multiplicar por $P$ da un vector perfectamente presentable y equivocado.

La comprobación cuesta diez segundos y la deberías hacer siempre: sustituye tu resultado en la combinación lineal y mira si sale el vector de partida. Si $\overline{x}\big|_{B'}=\left(-3,-5,2,2\right)$ , entonces $-3\overline{v}_{1}-5\overline{v}_{2}+2\overline{v}_{3}+2\overline{v}_{4}$ tiene que dar exactamente $\overline{x}$ .

Suma e intersección: por qué dos y dos no dan cuatro

Dados dos subespacios $S$ y $T$ de $V$ :

su intersección $S\cap T$ es siempre subespacio;
su suma $S+T=\left\{\overline{x}_{1}+\overline{x}_{2}\;/\; \overline{x}_{1}\in S,\;\overline{x}_{2}\in T\right\}$ también.

La unión, en cambio, casi nunca lo es, y merece la pena tener el contraejemplo memorizado porque cae como pieza trampa: en $\mathbb{R}^{2}$ , la unión de los dos ejes contiene a $\left(1,0\right)$ y a $\left(0,1\right)$ pero no a su suma.

Y la fórmula que ordena el apartado, que es la de Grassmann:

\dim\left(S+T\right)=\dim S+\dim T-\dim\left(S\cap T\right)

Los dos planos comparten una recta entera. Si se sumaran las dimensiones a lo bruto saldría 4, y en un espacio de dimensión 3 eso es imposible: lo compartido se cuenta dos veces y hay que restarlo una.

Y hay un reparto de tareas que conviene tener claro antes de empezar, porque decide cuánto tiempo cuesta el apartado:

se pide	forma cómoda	qué se hace
$S+T$	generadores de los dos	se juntan y se descarta lo que sobra
$S\cap T$	ecuaciones de los dos	se juntan las ecuaciones

Si te dan uno por generadores y otro por ecuaciones —que es el caso más frecuente en el examen— ya están en las formas que hacen falta: no hay que convertir nada. Para la suma se usan los generadores del primero más los del segundo; para la intersección, se imponen las ecuaciones del segundo a los vectores del primero.

Y cuando los dos vienen por generadores, la intersección se plantea igualando dos combinaciones genéricas, una de cada uno, y comparando coeficientes. Sale un sistema, pero es el único camino.

Grassmann como comprobación

Aunque no te la pidan, calcula las cuatro dimensiones y comprueba que la fórmula cuadra. Es gratis y caza el error más común del apartado: haber perdido una dimensión al descartar generadores.

Y sirve también al revés. En la ordinaria de 2021-2022 el examen da $\dim S=2$ y $\dim T=7$ dentro de $\mathbb{R}^{10}$ y pregunta qué dimensiones son posibles. Grassmann fija la relación, la intersección está dentro de $S$ —así que va de $0$ a $2$ — y la suma cabe en $\mathbb{R}^{10}$ :

$\dim\left(S\cap T\right)$	$\dim\left(S+T\right)$
$0$	$9$
$1$	$8$
$2$	$7$

Lo que hay que llevar sabido

Sin calculadora, sin formulario y en el orden en que se usa:

¿Está el cero? Si no, no es subespacio y se acabó.
Subespacio $\iff$ cerrado para la suma y para el producto por escalar. Dos comprobaciones, no ocho.
$L\left(G\right)$ siempre es subespacio: escribir algo como generado es demostrarlo.
Elemento genérico → separar en parámetros → esa es la base, y contarla es la dimensión.
Libre $\ne$ base. Libre da unicidad; base necesita además generar.
Más de $n$ vectores en dimensión $n$ están siempre ligados.
Coordenadas: existen y son únicas, y eso se demuestra restando.
De la base nueva a la vieja se multiplica; al revés se resuelve.
Grassmann: $\dim\left(S+T\right)=\dim S+\dim T-\dim\left(S\cap T\right)$ .
La unión de subespacios casi nunca es subespacio. Los dos ejes de $\mathbb{R}^{2}$ .

Practica lo que acabas de leer

Lo primero que se mira, y por qué se acaba ahí

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Lo primero que se mira, y por qué se acaba ahí

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{3}$ se dan estos tres conjuntos:

\begin{aligned} A &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x-2y=0\right\} \\ B &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x-2y=3\right\} \\ C &= \left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x^{2}=y\right\} \end{aligned}

Decidir cuáles son subespacios vectoriales, y dar la dimensión de los que lo sean.

Cuáles de los tres son subespacios, y la dimensión de los que lo sean.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de comprobar nada, ¿qué se mira primero en los tres?
02
La dimensión del que sí lo es
COMP2
¿Cuál es la dimensión de $A$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio de los tres conjuntos. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $B$ queda descartado sin hacer nada: $\left(0,0,0\right)$ no cumple $x-2y=3$ , y todo subespacio contiene al nulo.
2. $C$ sí contiene al nulo — $0^{2}=0$ —, así que hay que mirar las operaciones.
3. Y falla: $\left(1,1,0\right)$ está en $C$ , pero $2\cdot\left(1,1,0\right)=\left(2,2,0\right)$ no, porque $2^{2}=4\neq2$ .
4. $A$ sí lo es, y se ve escribiéndolo como $L\left(\left\{\left(2,1,0\right), \left(0,0,1\right)\right\}\right)$ , de dimensión $2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Del elemento genérico a la base, en tres pasos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el subconjunto de $\mathbb{R}^{4}$

S=\left\{\left(a,\;2a,\;b,\;a-b\right)\;/\;a,b\in\mathbb{R}\right\}

Demostrar que es subespacio vectorial y hallar una base y su dimensión.

La demostración, una base y la dimensión.

01
Reconocer el camino
COMP1
El conjunto viene dado por parámetros, no por ecuaciones. ¿Cuál es la forma más corta de demostrar que es subespacio?
02
La dimensión
COMP2
¿Cuál es la dimensión de $S$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El vector de la base que sale con a = 1
COMP2
Poniendo $a=1$ y $b=0$ , ¿qué vector se obtiene?
Tu respuesta al paso 3cuatro coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se escribe el elemento genérico y se separa por parámetros: $\left(a,2a,b,a-b\right) =a\left(1,2,0,1\right)+b\left(0,0,1,-1\right)$ .
2. Eso dice que $S$ es exactamente el conjunto de las combinaciones lineales de esos dos vectores, es decir $S=L\left(\left\{\left(1,2,0,1\right), \left(0,0,1,-1\right)\right\}\right)$ .
3. Y como toda clausura lineal es subespacio vectorial, $S$ lo es.
4. Los dos generadores son independientes, así que además forman base y $\dim S=2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Coordenadas, y en qué sentido va cada cuenta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En $\mathbb{R}^{2}$ se considera $B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ , que es base.

a) Hallar las coordenadas del vector $\left(4,2\right)$ en la base $B$ .

b) Si un vector $\overline{w}$ tiene coordenadas $\left(2,-1\right)$ en la base $B$ , ¿cuál es $\overline{w}$ ?

Las coordenadas de un vector, y el vector de unas coordenadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos apartados van en sentidos contrarios. ¿Cuál de los dos se resuelve sin plantear un sistema?
02
Las coordenadas de (4,2)
COMP2
¿Cuáles son las coordenadas de $\left(4,2\right)$ en la base $B=\left\{\left(1,1\right),\left(1,-1\right)\right\}$ ?
Tu respuesta al paso 2dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
El vector que tiene coordenadas (2,−1)
COMP2
Si $\overline{w}$ tiene coordenadas $\left(2,-1\right)$ en $B$ , ¿cuál es $\overline{w}$ en coordenadas canónicas?
Tu respuesta al paso 3dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento de los dos apartados. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las coordenadas de un vector en una base son los coeficientes de la única combinación lineal de la base que da ese vector.
2. En a) se conoce el vector y se buscan los coeficientes: hay que resolver $a\left(1,1\right)+b\left(1,-1\right)=\left(4,2\right)$ , y sale $\left(3,1\right)$ .
3. En b) se conocen los coeficientes y se busca el vector: basta sustituir, y sale $\left(1,3\right)$ .
4. Los dos apartados son la misma operación en sentidos contrarios, y solo uno de ellos exige resolver un sistema.

Resolución completa

Qué son las coordenadas. Fijada una base $B$ , todo vector se escribe de una sola manera como combinación lineal de ella, y esos coeficientes son sus coordenadas en $B$ . La unicidad es lo que hace que la palabra «las» tenga sentido, y viene de que $B$ es libre.

a) De la canónica a $B$ : hay que resolver.

a\left(1,1\right)+b\left(1,-1\right)=\left(4,2\right) \;\Longrightarrow\; \begin{cases}a+b=4\\a-b=2\end{cases} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;\left(4,2\right)\big|_{B}=\left(3,1\right)\;}

b) De $B$ a la canónica: basta sustituir.

\overline{w}=2\left(1,1\right)-1\left(1,-1\right) =\boxed{\;\left(1,3\right)\;}

La regla que hay que llevar aprendida, porque es la que decide el apartado de cambio de base en el examen:

de dónde a dónde	qué se hace
de la base nueva a la vieja	multiplicar
de la vieja a la nueva	resolver un sistema

El sentido barato es el que va hacia la base en la que están escritos los vectores. Y si dudas, la comprobación es siempre la misma: sustituye tus coeficientes en la combinación y mira si sale el vector de partida.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Ocho conjuntos, y cuáles aguantan las dos condiciones

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de $\left(\mathbb{R}^{3},+,\cdot\right)$ ?

a) $S=\left\{\left(x,y,0\right)\;/\;x,y\in\mathbb{R}\right\}$

b) $S=\left\{\left(x,0,0\right)\;/\;x\in\mathbb{R}\right\}$

c) $S=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}\;/\;x=y+z\right\}$

d) $S=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}\;/\;x+y+z=0\right\}$

e) $S=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}\;/\;xyz\in\mathbb{Q} \right\}$

f) $S=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}\;/\; x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq1\right\}$

g) $S=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^{3}\;/\;2x+y+z=0\right\}$

h) $S=\left\{\left(x,y,2\right)\;/\;x,y\in\mathbb{R}\right\}$

Cuáles de los ocho son subespacios vectoriales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Dos de los ocho se descartan sin escribir nada. ¿Cuáles, y por qué?

Cuántos lo son

COMP2

De los ocho conjuntos, ¿cuántos son subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^{3}$ ?

Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…

Desarrollo

	condición	¿subespacio?	por qué
a)	$z=0$	sí	ecuación homogénea; $\dim=2$
b)	$y=z=0$	sí	dos ecuaciones homogéneas; $\dim=1$
c)	$x-y-z=0$	sí	homogénea; $\dim=2$
d)	$x+y+z=0$	sí	homogénea; $\dim=2$
e)	$xyz\in\mathbb{Q}$	no	ver abajo
f)	$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq1$	no	el nulo no cumple
g)	$2x+y+z=0$	sí	homogénea; $\dim=2$
h)	$z=2$	no	el nulo no cumple

Son cinco.

El e) es el interesante, porque es el único que exige pensar. El nulo está dentro, y la suma tampoco lo rompe de forma evidente. Lo que falla es el producto por escalar:

\left(1,1,1\right)\in S\;\text{ porque }\;1\in\mathbb{Q}, \qquad \sqrt{2}\cdot\left(1,1,1\right)=\left(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2}\right)

y su producto es $2\sqrt{2}$ , que es irracional. El escalar tiene que poder ser cualquier número real, y ahí se cae.

03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el criterio que resuelve los ocho de un vistazo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Todo subespacio contiene al vector nulo, así que lo primero es sustituir $\left(0,0,0\right)$ en la condición.
2. Eso descarta el f) y el h) sin más trabajo.
3. De los que quedan, los definidos por ecuaciones lineales igualadas a cero son subespacios: a), b), c), d) y g).
4. Queda el e), que pasa el filtro del cero pero falla el producto por un escalar irracional.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un plano y una recta, y la suma que llena el espacio

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean los siguientes subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^{3}$ :

U=\left\{\left(x,y,z\right)\;/\;x+y+z=0,\;x,y,z\in\mathbb{R}\right\}, \qquad V=\left\{\left(t,2t,3t\right)\;/\;t\in\mathbb{R}\right\}

Hallar las bases y dimensiones de $U$ , $V$ , $U+V$ y $U\cap V$ .

Las cuatro bases y las cuatro dimensiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
$U$ viene por una ecuación y $V$ por un parámetro. ¿Cómo conviene calcular la intersección?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\left(U\cap V\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La dimensión de la suma
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\left(U+V\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo de los cuatro subespacios. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $U$ es un plano: una ecuación homogénea en $\mathbb{R}^{3}$ deja $3-1=2$ dimensiones, con base $\left\{\left(1,0,-1\right),\left(0,1,-1\right)\right\}$ .
2. $V$ es una recta: un solo parámetro, con base $\left\{\left(1,2,3\right)\right\}$ y dimensión $1$ .
3. La intersección se calcula metiendo el genérico de $V$ en la ecuación de $U$ : $6t=0$ , luego solo queda el nulo y la dimensión es $0$ .
4. Por Grassmann, $\dim\left(U+V\right)=2+1-0=3$ , así que $U+V=\mathbb{R}^{3}$ y la suma es directa.

Resolución completa

$U$ es un plano. Una ecuación homogénea independiente en $\mathbb{R}^{3}$ quita una dimensión. Despejando $z=-x-y$ :

\left(x,y,-x-y\right)=x\left(1,0,-1\right)+y\left(0,1,-1\right)

\boxed{\;U=L\left(\left\{\left(1,0,-1\right), \left(0,1,-1\right)\right\}\right),\quad\dim U=2\;}

$V$ es una recta. Ya viene generada por un solo vector:

\boxed{\;V=L\left(\left\{\left(1,2,3\right)\right\}\right), \quad\dim V=1\;}

La intersección, con el atajo del filtro. $U$ viene por ecuaciones y $V$ por parámetros, así que se mete el genérico de $V$ en la ecuación de $U$ :

t+2t+3t=6t=0\;\Longrightarrow\;t=0

\boxed{\;U\cap V=\left\{\overline{0}\right\},\quad \dim\left(U\cap V\right)=0\;}

La base es la familia vacía. Merece la pena escribirlo así y no «la base es $\left\{\overline{0}\right\}$ », que es falso: el vector nulo nunca forma familia libre, y por eso $\dim\left\{\overline{0}\right\}=0$ .

La suma, por Grassmann.

\dim\left(U+V\right)=2+1-0=3 \;\Longrightarrow\; \boxed{\;U\oplus V=\mathbb{R}^{3}\;}

con base la canónica, o bien la unión de las dos bases: $\left\{\left(1,0,-1\right),\left(0,1,-1\right), \left(1,2,3\right)\right\}$ , que también es base porque son tres vectores independientes en dimensión $3$ .

Y la lectura geométrica, que es la que hace que esto se recuerde: un plano y una recta que no está contenida en él se cortan solo en el origen, y entre los dos llenan el espacio. Si la recta hubiera estado dentro del plano, la intersección habría sido la recta entera y la suma se habría quedado en el plano.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 18 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Otra base fabricada a partir de la que había

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $B=\left\{\overline{u}_{1},\overline{u}_{2},\overline{u}_{3}\right\}$ una base del espacio vectorial $V$ . Demostrar que $\left\{\overline{v}_{1},\overline{v}_{2},\overline{v}_{3}\right\}$ , donde

\begin{cases} \overline{v}_{1}=\overline{u}_{1}+2\overline{u}_{2}\\ \overline{v}_{2}=2\overline{u}_{1}-\overline{u}_{2}\\ \overline{v}_{3}=\overline{u}_{3} \end{cases}

es otra base de $V$ y calcular las coordenadas del vector $\overline{u}=5\overline{u}_{1}-5\overline{u}_{2}+3\overline{u}_{3}$ en esta nueva base.

La demostración de que es base, y unas coordenadas en ella.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la forma más corta de demostrar que los tres vectores nuevos forman base?
02
El determinante que decide
COMP2
¿Cuánto vale el determinante de la matriz que tiene por columnas las coordenadas de $\overline{v}_{1}$ , $\overline{v}_{2}$ y $\overline{v}_{3}$ en la base $B$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Las coordenadas en la base nueva
COMP2
¿Cuáles son las coordenadas de $\overline{u}=5\overline{u}_{1}-5\overline{u}_{2} +3\overline{u}_{3}$ en la base $\left\{\overline{v}_{1},\overline{v}_{2}, \overline{v}_{3}\right\}$ ?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el ejercicio entero. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las coordenadas de los $\overline{v}_{i}$ en $B$ son $\left(1,2,0\right)$ , $\left(2,-1,0\right)$ y $\left(0,0,1\right)$ , y forman las columnas de $P$ .
2. $\det P=-5\neq0$ , luego los tres son independientes.
3. Y como el espacio tiene dimensión $3$ y hay tres vectores libres, forman base sin necesidad de comprobar que generan.
4. Para las coordenadas de $\overline{u}$ en la base nueva hay que resolver $P\overline{y}=\left(5,-5,3\right)$ , y sale $\left(-1,3,3\right)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Los polinomios de grado uno, con las operaciones de siempre

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $P$ el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 1. Se definen en $P$ las siguientes operaciones, teniendo en cuenta que $f = a_0+a_1x \in P$ y $g = b_0+b_1x \in P$ :

\begin{aligned} f+g &= (a_0+b_0)+(a_1+b_1)x &&\forall f,g \in P\\ \alpha\cdot f &= (\alpha a_0)+(\alpha a_1)x &&\forall\alpha \in \mathbb{R},\ \forall f \in P \end{aligned}

¿Es $\left(P,+,\cdot_{\mathbb{R}}\right)$ un espacio vectorial?

Sí o no, con la comprobación de los axiomas que lo deciden.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las operaciones suman y multiplican coeficiente a coeficiente. ¿Con qué espacio conocido se corresponde $P$ ?
02
La dimensión
COMP2
¿Cuál es la dimensión de $P$ como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La suma es interna, asociativa y conmutativa, porque lo es la suma de reales en cada coeficiente.
2. Neutro: el polinomio $0 = 0+0x$ ; opuesto de $a_0+a_1x$ : $(-a_0)+(-a_1)x$ .
3. Producto por escalar: $\alpha(f+g) = \alpha f+\alpha g$ , $(\alpha+\beta)f = \alpha f+\beta f$ , $(\alpha\beta)f = \alpha(\beta f)$ , $1\cdot f = f$ , todo coeficiente a coeficiente.
4. Luego $\left(P,+,\cdot_{\mathbb{R}}\right)$ es un espacio vectorial, isomorfo a $\mathbb{R}^{2}$ vía $a_0+a_1x \mapsto (a_0,a_1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un producto por escalar con α al cuadrado

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el conjunto $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ se definen las siguientes operaciones:

\begin{aligned} (x,y)+(x',y') &= (x+x',\ y+y') &&\forall (x,y),(x',y') \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\\ \alpha\cdot(x,y) &= (\alpha^{2}x,\ \alpha^{2}y) &&\forall\alpha \in \mathbb{R},\ \forall (x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R} \end{aligned}

¿Es $\left(\mathbb{R}\times\mathbb{R},+,\cdot\right)$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ ?

Sí o no, con el axioma concreto que falla si es que falla.

01
Reconocer el camino
COMP1
La suma es la habitual, así que los cuatro axiomas de la suma se cumplen. ¿Cuál de los del producto hay que mirar primero?
02
El contraejemplo
COMP2
¿Cuál es la primera componente de $(1+1)\cdot(1,0)$ con la operación definida?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La suma es la de $\mathbb{R}^{2}$ : grupo abeliano, sin nada que comprobar.
2. $(\alpha+\beta)\cdot(x,y) = \big((\alpha+\beta)^{2}x,\ (\alpha+\beta)^{2}y\big)$ y $\alpha\cdot(x,y)+\beta\cdot(x,y) = \big((\alpha^{2}+\beta^{2})x,\ (\alpha^{2}+\beta^{2})y\big)$ .
3. Son distintos en cuanto $2\alpha\beta x \ne 0$ : por ejemplo $\alpha = \beta = 1$ , $(x,y) = (1,0)$ da $(4,0) \ne (2,0)$ .
4. Falla un axioma: NO es espacio vectorial.
5. (Los otros tres axiomas del producto sí se cumplen: $1\cdot v = v$ , $(\alpha\beta)\cdot v = \alpha\cdot(\beta\cdot v)$ y $\alpha\cdot(u+v) = \alpha\cdot u+\alpha\cdot v$ .)

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 3 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

R × R como espacio vectorial sobre los complejos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el conjunto $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ se definen las siguientes operaciones:

\begin{aligned} (x,y)+(x',y') &= (x+x',\ y+y') &&\forall (x,y),(x',y') \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}\\ (a+bi)\cdot(x,y) &= (ax-by,\ bx+ay) &&\forall a+bi \in \mathbb{C},\ \forall (x,y) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R} \end{aligned}

¿Es $\left(\mathbb{R}\times\mathbb{R},+,\cdot\right)$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ ?

Sí o no, con la razón; y si lo es, su dimensión sobre $\mathbb{C}$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
$(a+bi)\cdot(x,y) = (ax-by,\ bx+ay)$ . ¿Qué operación conocida es esa?
02
Un producto concreto
COMP2
¿Cuál es la segunda componente de $i\cdot(1,0)$ , es decir, de $(0+1i)\cdot(1,0)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La suma es la de $\mathbb{R}^{2}$ : grupo abeliano.
2. Identificando $(x,y)$ con $z = x+yi$ , el producto definido es $(a+bi)\cdot z$ , el producto en $\mathbb{C}$ .
3. Los axiomas del producto son propiedades de $\mathbb{C}$ : $\lambda(z+w) = \lambda z+\lambda w$ , $(\lambda+\mu)z = \lambda z+\mu z$ , $(\lambda\mu)z = \lambda(\mu z)$ , $1\cdot z = z$ .
4. Es espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ , y de dimensión 1: $\{(1,0)\}$ es base, porque $(a+bi)\cdot(1,0) = (a,b)$ alcanza todo par.
5. El mismo conjunto, sobre $\mathbb{R}$ (ejercicio 5a), tiene dimensión 2: la dimensión depende del cuerpo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 4 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un producto por escalar que borra la segunda coordenada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se definen en $\mathbb{R}^{2}$ las siguientes operaciones:

\begin{aligned} (x,y)+(x',y') &= (x+x',\ y+y') &&\forall (x,y),(x',y') \in \mathbb{R}^{2}\\ a\cdot(x,y) &= (ax,\ 0) &&\forall a \in \mathbb{R},\ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \end{aligned}

¿Es $\left(\mathbb{R}^{2},+,\cdot\right)$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ ?

Sí o no, con el axioma que falla.

01
Reconocer el camino
COMP1
El producto manda todo a la primera coordenada. ¿Qué axioma cae primero?
02
El contraejemplo
COMP2
¿Cuál es la segunda componente de $1\cdot(1,2)$ con la operación definida?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La suma es la ordinaria: grupo abeliano.
2. $a\cdot(u+v) = a\cdot u+a\cdot v$ , $(a+b)\cdot v = a\cdot v+b\cdot v$ y $(ab)\cdot v = a\cdot(b\cdot v)$ se cumplen: todas dan $(\cdot,\ 0)$ con la primera coordenada bien.
3. $1\cdot(x,y) = (x,0) \ne (x,y)$ si $y \ne 0$ : falla el axioma $1\cdot v = v$ .
4. No es espacio vectorial.
5. Basta que falle uno de los ocho axiomas.
6. Se arreglaría cambiando el conjunto por $\{(x,0) : x \in \mathbb{R}\}$ , donde sí es espacio vectorial con estas operaciones.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres productos por escalar, y solo uno funciona

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

De las siguientes leyes de composición externa definidas en $\left(\mathbb{R}^{2},+\right)$ , ¿con cuáles es $\left(\mathbb{R}^{2},+,\cdot\right)$ espacio vectorial?

a) $a\cdot(x,y) = (ax,\ ay) \quad\forall a \in \mathbb{R},\ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$

b) $a\cdot(x,y) = (ax^{2},\ ay) \quad\forall a \in \mathbb{R},\ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$

c) $a\cdot(x,y) = (ay,\ ax) \quad\forall a \in \mathbb{R},\ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$

Con cuáles sí, y para las que no, el axioma que falla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la comprobación más rápida para descartar b) y c)?
02
El contraejemplo de c)
COMP2
Con la ley c), ¿cuál es la primera componente de $1\cdot(1,2)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Es el producto usual de $\mathbb{R}^{2}$ : espacio vectorial.
2. b) $1\cdot(x,y) = (x^{2},y) \ne (x,y)$ si $x \ne 0,1$ : falla $1\cdot v = v$ . (También falla $a\cdot(u+v) = a\cdot u+a\cdot v$ , porque $(x+x')^{2} \ne x^{2}+x'^{2}$ .)
3. c) $1\cdot(x,y) = (y,x) \ne (x,y)$ si $x \ne y$ : falla $1\cdot v = v$ .
4. Solo con a) es espacio vectorial.
5. c) sí cumple $(ab)\cdot v = a\cdot(b\cdot v)$ : $a\cdot(b\cdot(x,y)) = a\cdot(by,bx) = (abx,aby)$ y $(ab)\cdot(x,y) = (aby,abx)$ — que son distintos, luego ese axioma también falla.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Ocho candidatos a subespacio de R⁴

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de $\left(\mathbb{R}^{4},+,\cdot\right)$ ?

a) $S = \{(3a,\ a,\ a+b,\ b) : a,b \in \mathbb{R}\}$

b) $S = \{(a,\ b,\ a,\ b) : a,b \in \mathbb{Z}\}$

c) $S = \{(x,y,z,t) : 2x+4y = 0\}$

d) $S = \{(x,y,z,t) : xy \in \mathbb{Z}\}$

e) $S = \{(a,a,a,a) : a \in \mathbb{R}\}$

f) $S = \{(x,y,z,t) : x+2y = 7\}$

g) $S = \{(x,y,z,t) : x+y+z+t = 0,\ x-y = 0\}$

h) $S = \{(x,y,z,t) : y-2 = 0,\ x = t = 0\}$

Cuáles son subespacios, y para cada uno que no, la razón concreta.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay dos filtros rápidos: «¿está el vector nulo?» y «¿los parámetros recorren $\mathbb{R}$ ?». ¿A cuáles descartan?
02
La dimensión de g)
COMP2
$g)$ está definido por dos ecuaciones independientes en $\mathbb{R}^{4}$ . ¿Cuál es su dimensión?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $= L\big((3,1,1,0),(0,0,1,1)\big)$ : subespacio (todo subespacio generado lo es), dimensión 2.
2. c) y g) son soluciones de sistemas lineales homogéneos: subespacios, de dimensiones 3 y 2.
3. e) $= L\big((1,1,1,1)\big)$ : subespacio de dimensión 1.
4. b) y d): no cerrados para el producto por escalar real (parámetros o condiciones en $\mathbb{Z}$ ).
5. f) y h): no contienen al vector nulo ( $0+0 \ne 7$ ; $0-2 \ne 0$ ).
6. Subespacios: a), c), e), g).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres conjuntos de funciones, y el criterio es el mismo

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El conjunto $E = \{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ /\ f \text{ aplicación}\}$ es un espacio vectorial con la suma de aplicaciones y el producto ordinario por un escalar. Indica cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de $E$ :

a) $F = \{f \in E\ /\ f(x^{2}) = f(x)^{2}\}$

b) $G = \{f \in E\ /\ f(0) = f(2)\}$

c) $H = \{f \in E\ /\ f(2) = 3+f(-1)\}$

Cuáles son subespacios, con la razón en cada caso.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los vectores ahora son funciones. ¿Qué cambia en el criterio?
02
El contraejemplo de a)
COMP2
La función constante $f = 1$ está en $F$ ( $1 = 1^{2}$ ). Para $2f$ , ¿cuánto vale $\big((2f)(x)\big)^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $f = 1 \in F$ pero $2f \notin F$ : no cerrado para el producto por escalar. No es subespacio.
2. b) La función nula cumple $0 = 0$ ; si $f(0) = f(2)$ y $g(0) = g(2)$ , entonces $(\lambda f+\mu g)(0) = \lambda f(0)+\mu g(0) = \lambda f(2)+\mu g(2) = (\lambda f+\mu g)(2)$ . Sí es subespacio.
3. c) La función nula da $0 = 3+0$ , falso: $\overline{0} \notin H$ . No es subespacio.
4. Subespacio: solo $G$ .
5. c) sería subespacio sin el $3$ : $\{f : f(2) = f(-1)\}$ sí lo es, por el mismo argumento que b).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Los dos ejes del plano

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Estudiar si los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}^{2}$ son subespacios vectoriales. En caso afirmativo calcular las bases y dimensiones.

V = \{(x,0) : x \in \mathbb{R}\}\qquad\qquad W = \{(0,y) : y \in \mathbb{R}\}

Si son subespacios, y sus bases y dimensiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué son $V$ y $W$ ?
02
Las dimensiones, y su suma
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(V+W)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $V = \{x(1,0)\} = L\big((1,0)\big)$ : subespacio, base $\{(1,0)\}$ , dimensión 1.
2. $W = \{y(0,1)\} = L\big((0,1)\big)$ : subespacio, base $\{(0,1)\}$ , dimensión 1.
3. Comprobación directa en $V$ : $(x,0)+(x',0) = (x+x',0) \in V$ y $\lambda(x,0) = (\lambda x,0) \in V$ ; $(0,0) \in V$ .
4. $V\cap W = \{(0,0)\}$ y $V+W = \mathbb{R}^{2}$ : son suplementarios, $\mathbb{R}^{2} = V\oplus W$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres subespacios de R³, una suma y una intersección

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}^{3}$ :

W_1 = \{(a,b,c) : a+b+c = 0\},\quad W_2 = \{(a,b,c) : a = b = c\},\quad W_3 = \{(a,b,c) : c = 3a\}

a) Demostrar que son subespacios vectoriales y hallar la dimensión y una base para cada uno de ellos.

b) Hallar $W_1+W_2$ , $W_1\cap W_3$ y una base y la dimensión de cada uno de ellos.

Bases y dimensiones de los tres, y de $W_1+W_2$ y $W_1\cap W_3$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
$W_1$ es un plano y $W_2$ una recta. ¿Cuánto vale $W_1+W_2$ ?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(W_1\cap W_3)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Los tres están dados por ecuaciones lineales homogéneas: subespacios.
2. a) $W_1$ : $c = -a-b$ , base $\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}$ , dim 2. $W_2 = L\big((1,1,1)\big)$ , dim 1. $W_3$ : base $\{(1,0,3),(0,1,0)\}$ , dim 2.
3. b) $W_1\cap W_2 = \{\overline{0}\}$ , luego $W_1+W_2 = \mathbb{R}^{3}$ , base la canónica (o $\{(1,0,-1),(0,1,-1),(1,1,1)\}$ ), dim 3.
4. b) $W_1\cap W_3$ : $b = -4a$ , $c = 3a$ : $L\big((1,-4,3)\big)$ , dim 1.
5. Comprobación: $(1,-4,3)$ cumple $1-4+3 = 0$ y $3 = 3\cdot1$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Tres rectas de R³ dadas por un parámetro

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar las bases y dimensiones de los siguientes subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^{3}$ :

V = \{(x,x,0) : x \in \mathbb{R}\},\quad W = \{(0,y,y) : y \in \mathbb{R}\},\quad U = \{(z,z,z) : z \in \mathbb{R}\}

Una base y la dimensión de cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Cada conjunto depende de un solo parámetro. ¿Qué son?
02
Las tres juntas
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(V+W+U)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $V = \{x(1,1,0)\}$ : base $\{(1,1,0)\}$ , dimensión 1.
2. $W = \{y(0,1,1)\}$ : base $\{(0,1,1)\}$ , dimensión 1.
3. $U = \{z(1,1,1)\}$ : base $\{(1,1,1)\}$ , dimensión 1.
4. Los tres generadores son independientes: $\mathbb{R}^{3} = V\oplus W\oplus U$ .
5. Cada uno se puede dar también por ecuaciones: $V$ es $\{x = y,\ z = 0\}$ , $W$ es $\{x = 0,\ y = z\}$ , $U$ es $\{x = y = z\}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 13 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La base de los polinomios de grado dos, y una familia que también lo es

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

a) Demostrar que el conjunto $\{1,\ x,\ x^{2}\}$ es una base del espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales.

b) Demostrar que la familia $\{(1+x^{2}),\ x(1+x),\ x^{2}\}$ es libre.

Las dos demostraciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para b): $a(1+x^{2})+b(x+x^{2})+cx^{2} = 0$ . ¿Cómo se concluye $a = b = c = 0$ ?
02
Libre, y además base
COMP2
La familia de b) es libre y tiene tres vectores. ¿Cuál es la dimensión del espacio de polinomios de grado $\le 2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las demostraciones. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Generador: todo polinomio de grado $\le 2$ es $a\cdot1+b\cdot x+c\cdot x^{2}$ .
2. a) Libre: $a+bx+cx^{2} = 0$ para todo $x$ obliga a $a = b = c = 0$ (un polinomio no nulo de grado $\le 2$ tiene como mucho dos raíces).
3. a) Generador y libre: base. Dimensión 3.
4. b) $a(1+x^{2})+b(x+x^{2})+cx^{2} = a+bx+(a+b+c)x^{2}$ ; igual a $0$ obliga a $a = 0$ , $b = 0$ , $c = 0$ : libre.
5. b) Tres vectores libres en dimensión 3: también son base.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 14 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un plano dado por generadores y otro por parámetros, y su intersección

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar la intersección de los siguientes subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^{3}$ :

E = L\big(\{(1,1,1),(1,2,3)\}\big)\qquad\text{y}\qquad F = \{(a,a,b) : a,b \in \mathbb{R}\}

Una base y la dimensión de $E\cap F$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Para cortar, conviene tener los dos por ecuaciones. ¿Cuál es la ecuación de $E$ ?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(E\cap F)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $E$ es un plano (dos generadores independientes) de ecuación $x-2y+z = 0$ .
2. $F = \{(a,a,b)\} = L\big((1,1,0),(0,0,1)\big)$ , plano de ecuación $x = y$ .
3. $E\cap F$ : $x = y$ y $x-2y+z = 0$ dan $z = x$ : vectores $(a,a,a)$ .
4. $E\cap F = L\big((1,1,1)\big)$ , dimensión 1; y $(1,1,1)$ es además uno de los generadores de $E$ , coherente.
5. Grassmann: $\dim(E+F) = 2+2-1 = 3$ , $E+F = \mathbb{R}^{3}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 15 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos subespacios de R⁴ por parámetros, su suma y su intersección

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $F = \{(x-2y,\ x,\ 2y,\ -y) : x,y \in \mathbb{R}\}$ y $G = \{(x,\ 2z,\ x-2y,\ 0) : x,y,z \in \mathbb{R}\}$ subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^{4}$ . Calcular bases y dimensiones de los subespacios $F$ , $G$ , $F+G$ y $F\cap G$ .

Bases y dimensiones de los cuatro.

01
Reconocer el camino
COMP1
$G$ tiene tres parámetros y su cuarta coordenada es siempre $0$ . ¿Qué es $G$ ?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(F\cap G)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $F$ : $(x-2y,x,2y,-y) = x(1,1,0,0)+y(-2,0,2,-1)$ ; base $\{(1,1,0,0),(-2,0,2,-1)\}$ , dim 2.
2. $G$ : $(x,2z,x-2y,0) = x(1,0,1,0)+y(0,0,-2,0)+z(0,2,0,0)$ ; tres independientes, dim 3, $G = \{t = 0\}$ .
3. $F+G$ : $(-2,0,2,-1) \notin G$ , luego $F+G$ contiene a $G$ y algo más: $\dim 4$ , $F+G = \mathbb{R}^{4}$ , base la canónica.
4. $F\cap G = L\big((1,1,0,0)\big)$ , dim 1; Grassmann $2+3 = 4+1$ ✓.
5. $F\cap G$ se calcula exigiendo a los vectores de $F$ la ecuación de $G$ ( $t = 0$ ): es el método general cuando uno está por ecuaciones y el otro por parámetros.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 16 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos planos de R⁴ que solo comparten el cero

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $U = L\big(\{(1,2,0,0),(1,0,0,1)\}\big)$ y $V = \{(x,y,z,t) : x+z+t = 0,\ 2x-5z = 0\}$ subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^{4}$ . Calcular las bases y dimensiones de los subespacios $U$ , $V$ , $U+V$ y $U\cap V$ .

Bases y dimensiones de los cuatro.

01
Reconocer el camino
COMP1
$U$ viene por generadores y $V$ por ecuaciones. ¿Cómo se calcula $U\cap V$ sin pasar nada de formato?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(U\cap V)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $U$ : los dos generadores no son proporcionales, base $\{(1,2,0,0),(1,0,0,1)\}$ , dim 2.
2. $V$ : $z = \tfrac25x$ , $t = -x-z = -\tfrac75x$ , $y$ libre. Con $x = 5$ : base $\{(5,0,2,-7),(0,1,0,0)\}$ , dim 2.
3. $U\cap V = \{\overline{0}\}$ , dim 0 (el vector genérico de $U$ no cumple las ecuaciones de $V$ salvo el cero).
4. $U+V$ : $2+2-0 = 4$ : $U+V = \mathbb{R}^{4}$ , base la canónica (o los cuatro generadores juntos).
5. Es una suma directa: $\mathbb{R}^{4} = U\oplus V$ .
6. $V$ tiene dimensión $4-2 = 2$ solo si sus dos ecuaciones son independientes, y lo son porque no son proporcionales.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 17 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un plano por parámetros y otro generado, y la recta común

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $E = \{(a,a,b) : a,b \in \mathbb{R}\}$ y $F = L\big(\{(3,2,3),(1,1,1)\}\big)$ subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^{3}$ . Calcular bases y dimensiones de los subespacios $E$ , $F$ , $E\cap F$ y $E+F$ .

Bases y dimensiones de los cuatro.

01
Reconocer el camino
COMP1
$E$ es el plano $x = y$ . ¿Qué vectores de $F$ están en $E$ ?
02
La dimensión de la suma
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(E+F)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $E = \{(a,a,b)\} = L\big((1,1,0),(0,0,1)\big)$ , plano $x = y$ , dim 2.
2. $F = L\big((3,2,3),(1,1,1)\big)$ : no proporcionales, dim 2.
3. $E\cap F$ : el vector genérico de $F$ cumple $x = y$ solo si $\alpha = 0$ : $L\big((1,1,1)\big)$ , dim 1.
4. $E+F$ : $2+2-1 = 3$ , $E+F = \mathbb{R}^{3}$ , base la canónica (o $\{(1,1,0),(0,0,1),(3,2,3)\}$ ).
5. Comprobación: $(1,1,1) = (1,1,0)+(0,0,1) \in E$ ✓ y es generador de $F$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 19 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La base nueva leída en las ecuaciones del cambio de coordenadas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $B$ la base de $\mathbb{R}^{3}$ formada por los vectores $\overline{u}_1 = (1,1,1)$ , $\overline{u}_2 = (0,1,1)$ , $\overline{u}_3 = (1,0,1)$ . Hallar una base $B' = \{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ sabiendo que las ecuaciones del cambio de coordenadas son las siguientes:

\begin{cases} x_1 = y_1-2y_3\\ x_2 = -y_2+5y_3\\ x_3 = y_1-3y_3 \end{cases}

Donde $x_1,x_2,x_3$ son las coordenadas en la base $B$ e $y_1,y_2,y_3$ son las coordenadas en la base $B'$ .

Los tres vectores de $B'$ , en coordenadas canónicas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las ecuaciones dan $X = PY$ (coordenadas en $B$ a partir de las de $B'$ ). ¿Dónde están los vectores de $B'$ ?
02
El tercer vector
COMP2
$\overline{v}_3 = -2\overline{u}_1+5\overline{u}_2-3\overline{u}_3$ . ¿Cuál es su primera coordenada canónica?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $P = \begin{pmatrix}1&0&-2\\0&-1&5\\1&0&-3\end{pmatrix}$ , y sus columnas son las coordenadas en $B$ de $\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3$ .
2. $\overline{v}_1 = \overline{u}_1+\overline{u}_3 = (2,1,2)$ .
3. $\overline{v}_2 = -\overline{u}_2 = (0,-1,-1)$ .
4. $\overline{v}_3 = -2\overline{u}_1+5\overline{u}_2-3\overline{u}_3 = (-5,3,0)$ .
5. Es base porque $\det P = 1 \ne 0$ (o porque los tres vectores canónicos obtenidos son independientes).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 20 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una base escalonada, y el cambio de base en los dos sentidos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $B = \{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}$ una base del espacio vectorial $V$ . Consideremos la familia de vectores $B_1 = \{\overline{u}_1,\ \overline{u}_1-\overline{u}_2,\ \overline{u}_1+\overline{u}_2-\overline{u}_3\}$ .

a) Demostrar que $B_1$ es una base de $V$ .

b) Hallar las ecuaciones del cambio de base.

c) Si el vector $\overline{w}$ tiene coordenadas $(1,1,0)$ respecto a la base $B_1$ , ¿cuáles son las coordenadas de $\overline{w}$ en la base $B$ ?

La demostración, las ecuaciones en los dos sentidos, y las coordenadas de $\overline{w}$ en $B$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Las coordenadas en $B$ de los tres vectores de $B_1$ son $(1,0,0)$ , $(1,-1,0)$ , $(1,1,-1)$ . ¿Por qué es base?
02
Las coordenadas de w en B
COMP2
$\overline{w} = 1\cdot\overline{u}_1+1\cdot(\overline{u}_1-\overline{u}_2)+0\cdot(\overline{u}_1+\overline{u}_2-\overline{u}_3)$ . ¿Cuál es su primera coordenada en $B$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Coordenadas en $B$ : $(1,0,0)$ , $(1,-1,0)$ , $(1,1,-1)$ ; determinante $1 \ne 0$ : $B_1$ es base.
2. b) De $B_1$ a $B$ : si $\overline{w} = y_1\overline{v}_1+y_2\overline{v}_2+y_3\overline{v}_3$ , entonces $x_1 = y_1+y_2+y_3$ , $x_2 = -y_2+y_3$ , $x_3 = -y_3$ .
3. b) De $B$ a $B_1$ (despejando de abajo arriba): $y_3 = -x_3$ , $y_2 = -x_2-x_3$ , $y_1 = x_1+x_2+2x_3$ .
4. c) $(1,1,0)$ en $B_1$ da $x = (1+1+0,\ -1+0,\ 0) = (2,-1,0)$ en $B$ .
5. Comprobación con las inversas: $y_1 = 2-1+0 = 1$ , $y_2 = 1-0 = 1$ , $y_3 = 0$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 21 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Completar tres vectores hasta una base de R⁵

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Obtener una base de $\mathbb{R}^{5}$ completando la familia $\{(1,-1,-2,0,0),\ (0,0,0,1,1),\ (1,2,3,4,5)\}$ .

Dos vectores que completen la familia hasta una base, con la comprobación.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de añadir nada, ¿qué hay que comprobar?
02
Cuántos faltan
COMP2
¿Cuántos vectores hay que añadir para tener una base de $\mathbb{R}^{5}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los tres vectores dados son independientes (rango 3).
2. Se prueba a añadir vectores de la base canónica y se comprueba el rango: con $e_2 = (0,1,0,0,0)$ y $e_5 = (0,0,0,0,1)$ la matriz $5\times5$ tiene determinante no nulo.
3. Base: $\{(1,-1,-2,0,0),(0,0,0,1,1),(1,2,3,4,5),(0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1)\}$ .
4. Hay muchas otras completaciones válidas (por ejemplo con $e_1$ y $e_4$ ); cualquiera que dé rango 5 sirve.
5. Comprobación: escalonando la matriz de los cinco quedan cinco filas no nulas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 22 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La base de un hiperplano de R⁴, y completarla

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Obtener una base de $V = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} : x+3z = 0\}$ y completarla para obtener una base de $\mathbb{R}^{4}$ .

Una base de $V$ y un vector que la complete.

01
Reconocer el camino
COMP1
Una sola ecuación en $\mathbb{R}^{4}$ . ¿Qué dimensión tiene $V$ y cómo se saca la base?
02
La dimensión
COMP2
¿Cuánto vale $\dim V$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $x = -3z$ ; base de $V$ : $\{(-3,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}$ , dimensión 3.
2. Para completar hace falta un vector fuera de $V$ , es decir, con $x+3z \ne 0$ : por ejemplo $(1,0,0,0)$ .
3. Base de $\mathbb{R}^{4}$ : $\{(-3,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0)\}$ ; determinante no nulo.
4. También valdría $(0,0,1,0)$ ( $0+3 \ne 0$ ), o cualquier vector con $x+3z \ne 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 23 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un plano de R³ dado por su base, y todo lo que se le puede preguntar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $B = \{(1,2,2),(3,7,6)\}$ una base del subespacio $F$ de $\mathbb{R}^{3}$ .

a) Expresar $F$ analíticamente.

b) ¿El vector $(2,3,0)$ pertenece a $F$ ?

c) Obtener una base de $\mathbb{R}^{3}$ completando la base $B$ .

d) Utilizando la base obtenida en el apartado anterior hallar las coordenadas del vector $(2,3,0)$ .

e) Si $E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} : x = y\}$ es subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{3}$ hallar una base y la dimensión.

La ecuación de $F$ , la pertenencia, la base completada, las coordenadas, y la base de $E$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
«Expresar $F$ analíticamente» es dar su ecuación. ¿Cómo se obtiene?
02
Las coordenadas del apartado d)
COMP2
Completando $B$ con $(0,0,1)$ , se escribe $(2,3,0) = \alpha(1,2,2)+\beta(3,7,6)+\gamma(0,0,1)$ . ¿Cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Normal $(1,2,2)\times(3,7,6) = (12-14,\ 6-6,\ 7-6) = (-2,0,1)$ : $F = \{z = 2x\}$ .
2. b) $(2,3,0)$ : $0 \ne 2\cdot2$ . No pertenece.
3. c) Como $(2,3,0) \notin F$ , sirve para completar; también $(0,0,1)$ ( $1 \ne 0$ ). Base: $\{(1,2,2),(3,7,6),(0,0,1)\}$ .
4. d) $(2,3,0) = 5(1,2,2)-(3,7,6)-4(0,0,1)$ : coordenadas $(5,-1,-4)$ . Comprobación: $(5-3,\ 10-7,\ 10-6-4) = (2,3,0)$ ✓.
5. e) $E = \{(a,a,b)\}$ : base $\{(1,1,0),(0,0,1)\}$ , dimensión 2.
6. d) Si en c) se completa con el propio $(2,3,0)$ , sus coordenadas en esa base son $(0,0,1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 24 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un subespacio por ecuaciones y otro por generadores, en R⁴

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se definen en $\mathbb{R}^{4}$ los subconjuntos $V = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} : x+y = 0,\ z+4t-x = 0\}$ y $W = L\big(\{(1,0,0,0),(2,1,1,0),(0,0,1,0)\}\big)$ .

a) ¿Es $V$ subespacio vectorial?

b) Calcular bases y dimensiones de $V$ , $W$ , $V+W$ y $V\cap W$ .

La justificación de a), y las cuatro bases con dimensiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los tres generadores de $W$ tienen $t = 0$ y son independientes. ¿Qué es $W$ ?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(V\cap W)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) $V$ es el conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo: subespacio.
2. b) $V$ : $y = -x$ , $z = x-4t$ ; base $\{(1,-1,1,0),(0,0,-4,1)\}$ , dim 2.
3. b) $W = \{t = 0\}$ , base los tres generadores (o $e_1,e_2,e_3$ ), dim 3.
4. b) $V\cap W = L\big((1,-1,1,0)\big)$ , dim 1.
5. b) $V+W$ : $2+3-1 = 4$ , $V+W = \mathbb{R}^{4}$ , base la canónica.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 25 · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos planos de R⁴, una base completada y unas coordenadas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se definen en $\mathbb{R}^{4}$ los subconjuntos $U = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} : x+y-t = 0,\ x-z+t = 0\}$ y $S = L\big(\{(1,0,1,0),(-1,0,0,1),(0,0,1,1)\}\big)$ .

a) Demostrar que $U$ es subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{4}$ .

b) Hallar bases y dimensiones de $U$ , $S$ , $U+S$ y $U\cap S$ .

c) Obtener una base de $\mathbb{R}^{4}$ completando la base de $U$ .

d) Calcular las coordenadas del vector $(1,0,2,5)$ en la base obtenida en el apartado anterior.

Los cuatro apartados, con bases explícitas.

01
Reconocer el camino
COMP1
$S$ viene con tres generadores. ¿Cuál es su dimensión?
02
Las coordenadas del apartado d)
COMP2
Con la base $\{(1,0,2,1),(0,1,1,1),(1,0,0,0),(0,0,1,0)\}$ de c), $(1,0,2,5) = \alpha(1,0,2,1)+\beta(0,1,1,1)+\gamma(1,0,0,0)+\delta(0,0,1,0)$ . ¿Cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Sistema lineal homogéneo: $U$ es subespacio.
2. b) $U$ : $t = x+y$ , $z = 2x+y$ ; base $\{(1,0,2,1),(0,1,1,1)\}$ , dim 2. $S$ : base $\{(1,0,1,0),(-1,0,0,1)\}$ , dim 2.
3. b) $U\cap S$ : el genérico de $S$ , $(a-b,0,a,b)$ , cumple $x+y-t = a-2b = 0$ y $x-z+t = 0$ siempre; con $a = 2b$ : $L\big((1,0,2,1)\big)$ , dim 1.
4. b) $U+S$ : $2+2-1 = 3$ ; base $\{(1,0,2,1),(0,1,1,1),(1,0,1,0)\}$ .
5. c) $\{(1,0,2,1),(0,1,1,1),(1,0,0,0),(0,0,1,0)\}$ tiene rango 4: base de $\mathbb{R}^{4}$ .
6. d) $(1,0,2,5) = (5,0,-4,-8)$ en esa base; comprobación $5(1,0,2,1)-4(1,0,0,0)-8(0,0,1,0) = (1,0,2,5)$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 26 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: tres propiedades que salen de los axiomas, y dos subespacios de R³

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Demostrar que si $(V,+,\cdot_K)$ es un espacio vectorial se verifican las siguientes propiedades:

a) $\forall\alpha \in K$ , $\forall\overline{x} \in V$ : $\alpha\cdot\overline{x} = \overline{0} \Rightarrow \alpha = 0$ ó $\overline{x} = \overline{0}$

b) $\forall\overline{x} \in V-\{\overline{0}\}$ : $\alpha\cdot\overline{x} = \beta\cdot\overline{x} \Rightarrow \alpha = \beta$

c) $\forall\alpha \in K-\{0\}$ : $\alpha\cdot\overline{x} = \alpha\cdot\overline{y} \Rightarrow \overline{x} = \overline{y}$
Sean $U$ y $V$ los subespacios de $\mathbb{R}^{3}$ tales que $U = L\big(\{(1,0,1),(1,1,-1),(2,1,0)\}\big)$ y $V = L\big(\{(2,0,2),(0,0,1),(3,0,-1)\}\big)$ . Calcular bases y dimensiones de los subespacios $U$ , $V$ , $U+V$ y $U\cap V$ .

Las tres demostraciones, y las cuatro bases con dimensiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1(a): $\alpha\overline{x} = \overline{0}$ con $\alpha \ne 0$ . ¿Cómo se llega a $\overline{x} = \overline{0}$ ?
02
La dimensión de la suma
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(U+V)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $U$ : $(2,1,0) = (1,0,1)+(1,1,-1)$ ; base $\{(1,0,1),(1,1,-1)\}$ , dim 2.
2. $V$ : los tres generadores tienen $y = 0$ y dos son independientes; $V = \{y = 0\}$ , base $\{(1,0,0),(0,0,1)\}$ , dim 2.
3. $U\cap V$ : el genérico de $U$ , $(\alpha+\beta,\ \beta,\ \alpha-\beta)$ , con $y = \beta = 0$ : $L\big((1,0,1)\big)$ , dim 1.
4. $U+V$ : $2+2-1 = 3$ , $U+V = \mathbb{R}^{3}$ , base la canónica.
5. Comprobación: $(1,0,1)$ está en los dos ( $y = 0$ ✓, y es generador de $U$ ✓).

Resolución completa

1 · Propiedades.

a) Si $\alpha \ne 0$ , existe $\alpha^{-1}$ en $K$ y $\overline{x} = 1\cdot\overline{x} = (\alpha^{-1}\alpha)\overline{x} = \alpha^{-1}(\alpha\overline{x}) = \alpha^{-1}\overline{0} = \overline{0}$ . Luego, o $\alpha = 0$ , o $\overline{x} = \overline{0}$ .

b) $\alpha\overline{x} = \beta\overline{x} \Rightarrow (\alpha-\beta)\overline{x} = \overline{0}$ ; como $\overline{x} \ne \overline{0}$ , por a) $\alpha-\beta = 0$ .

c) $\alpha\overline{x} = \alpha\overline{y} \Rightarrow \alpha(\overline{x}-\overline{y}) = \overline{0}$ ; como $\alpha \ne 0$ , por a) $\overline{x}-\overline{y} = \overline{0}$ . $\blacksquare$

2 · Subespacios.

$U$ : $(2,1,0) = (1,0,1)+(1,1,-1)$ , así que $U = L\big((1,0,1),(1,1,-1)\big)$ , $\dim 2$ .

$V$ : los tres generadores tienen $y = 0$ , y $(2,0,2)$ , $(0,0,1)$ son independientes: $V = \{y = 0\}$ , $\dim 2$ , base $\{(1,0,0),(0,0,1)\}$ .

$U\cap V$ : genérico de $U$ , $\alpha(1,0,1)+\beta(1,1,-1) = (\alpha+\beta,\ \beta,\ \alpha-\beta)$ , con $y = 0$ : $\beta = 0$ .

\boxed{U\cap V = L\big((1,0,1)\big),\ \dim 1;\qquad U+V = \mathbb{R}^{3},\ \dim 3}

Las tres propiedades son una. b) y c) se reducen a a) pasando todo a un lado; y a) es «los escalares no nulos se pueden invertir». En el examen, escribir a) con los axiomas y deducir las otras dos en una línea cada una es la respuesta completa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 27 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la suma de subespacios es subespacio, y coordenadas en una base nueva

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $S$ y $T$ subespacios vectoriales de $V$ . Definir $S+T$ y demostrar que es subespacio vectorial de $V$ .
Sea $B = \{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}$ una base del espacio vectorial $V$ .

a) Demostrar que $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ donde $\overline{v}_1 = 4\overline{u}_1$ , $\overline{v}_2 = \overline{u}_1-3\overline{u}_2$ , $\overline{v}_3 = -3\overline{u}_1+\overline{u}_2-\overline{u}_3$ es otra base de $V$ .

b) Calcular las coordenadas del vector $\overline{u} = 3\overline{u}_1+\overline{u}_2-3\overline{u}_3$ en la base $\{\overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3\}$ .

La definición y demostración, la prueba de que es base, y las coordenadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1: $S+T = \{\overline{s}+\overline{t} : \overline{s} \in S,\ \overline{t} \in T\}$ . ¿Por qué es cerrado para la suma?
02
Una coordenada
COMP2
$\overline{u} = a\overline{v}_1+b\overline{v}_2+c\overline{v}_3$ . Comparando el coeficiente de $\overline{u}_3$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. a) Coordenadas en $B$ : $(4,0,0)$ , $(1,-3,0)$ , $(-3,1,-1)$ ; matriz triangular, determinante $4\cdot(-3)\cdot(-1) = 12 \ne 0$ : base.
2. b) $\overline{u} = a\overline{v}_1+b\overline{v}_2+c\overline{v}_3$ da $4a+b-3c = 3$ , $-3b+c = 1$ , $-c = -3$ .
3. b) De abajo arriba: $c = 3$ , $b = \tfrac23$ , $a = \tfrac{17}{6}$ .
4. b) Comprobación: $\tfrac{17}{6}\cdot4+\tfrac23-9 = \tfrac{34}{3}+\tfrac23-9 = 12-9 = 3$ ✓.
5. Coordenadas: $\big(\tfrac{17}{6},\ \tfrac23,\ 3\big)$ .

Resolución completa

1 · $S+T = \{\overline{s}+\overline{t} : \overline{s} \in S,\ \overline{t} \in T\}$ . Contiene a $\overline{0} = \overline{0}+\overline{0}$ . Si $\overline{s}+\overline{t}$ y $\overline{s}'+\overline{t}'$ están en $S+T$ y $\lambda,\mu \in K$ :

\lambda(\overline{s}+\overline{t})+\mu(\overline{s}'+\overline{t}') = (\lambda\overline{s}+\mu\overline{s}')+(\lambda\overline{t}+\mu\overline{t}') \in S+T

porque $S$ y $T$ son subespacios. $\blacksquare$

2a) En coordenadas de $B$ , $\overline{v}_1 = (4,0,0)$ , $\overline{v}_2 = (1,-3,0)$ , $\overline{v}_3 = (-3,1,-1)$ . La matriz (columnas) es triangular superior con determinante $4\cdot(-3)\cdot(-1) = 12 \ne 0$ : tres vectores independientes en dimensión 3, base.

2b) $\overline{u} = a\overline{v}_1+b\overline{v}_2+c\overline{v}_3$ ; igualando coeficientes de $\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3$ :

\begin{cases}4a+b-3c = 3\\ -3b+c = 1\\ -c = -3\end{cases} \;\Rightarrow\; c = 3,\quad b = \tfrac23,\quad a = \tfrac{17}{6}

\boxed{\overline{u}\big|_{\{\overline{v}_i\}} = \Big(\tfrac{17}{6},\ \tfrac23,\ 3\Big)}

Comprobación: $\tfrac{17}{6}\cdot4\overline{u}_1+\tfrac23(\overline{u}_1-3\overline{u}_2)+3(-3\overline{u}_1+\overline{u}_2-\overline{u}_3) = (\tfrac{34}{3}+\tfrac23-9)\overline{u}_1+(-2+3)\overline{u}_2-3\overline{u}_3 = 3\overline{u}_1+\overline{u}_2-3\overline{u}_3$ ✓.

Triangular otra vez. La base nueva viene «en escalera» y el sistema de las coordenadas se resuelve de abajo arriba sin invertir. Las fracciones son normales: el determinante es 12, y los denominadores lo dividen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 28 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la intersección es subespacio, y tres vectores que resultan ser base

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Definir la suma e intersección de subespacios vectoriales. Demostrar que si $S$ y $T$ son subespacios vectoriales de $V$ entonces $S\cap T$ es subespacio vectorial de $V$ .
Sean los vectores de $\mathbb{R}^{3}$ $\overline{u}_1 = (1,-1,3)$ , $\overline{u}_2 = (3,1,-2)$ y $\overline{u}_3 = (-5,1,8)$ .

a) ¿Se verifica que $(-10,-2,16) \in L\big(\{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}\big)$ ? En caso afirmativo calcular los escalares de la combinación lineal.

b) ¿Se verifica que $\mathbb{R}^{3} = L\big(\{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}\big)$ ? Si no se cumple obtener una base de $\mathbb{R}^{3}$ partiendo de la familia $\{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}$ .

Las definiciones y la demostración; y para 2, el rango de la familia y lo que decide.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 2: antes de plantear ninguna combinación, ¿qué conviene calcular?
02
El rango de la familia
COMP2
¿Cuál es el rango de $\{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. 1. $S+T = \{\overline{s}+\overline{t}\}$ ; $S\cap T = \{\overline{v} : \overline{v} \in S \text{ y } \overline{v} \in T\}$ .
2. 1. $\overline{0} \in S\cap T$ ; y si $\overline{u},\overline{v} \in S\cap T$ , $\lambda\overline{u}+\mu\overline{v}$ está en $S$ (subespacio) y en $T$ (subespacio), luego en $S\cap T$ . Es subespacio.
3. 1. $\det(\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3) \ne 0$ : los tres son base de $\mathbb{R}^{3}$ .
4. 2a) Sí: todo vector de $\mathbb{R}^{3}$ es combinación. Resolviendo $a\overline{u}_1+b\overline{u}_2+c\overline{u}_3 = (-10,-2,16)$ : $a = \tfrac76$ , $b = -\tfrac{23}{12}$ , $c = \tfrac{13}{12}$ .
5. 2b) Sí, $\mathbb{R}^{3} = L(\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3)$ ; la familia ya es base, no hay nada que completar.

Resolución completa

1 · $S+T = \{\overline{s}+\overline{t} : \overline{s} \in S,\ \overline{t} \in T\}$ y $S\cap T = \{\overline{v} \in V : \overline{v} \in S,\ \overline{v} \in T\}$ . $S\cap T$ es subespacio: contiene a $\overline{0}$ (está en los dos), y si $\overline{u},\overline{v} \in S\cap T$ , entonces $\lambda\overline{u}+\mu\overline{v} \in S$ y $\in T$ por ser cada uno subespacio, luego $\in S\cap T$ . $\blacksquare$

2 · El determinante de los tres vectores es

\begin{vmatrix}1&-1&3\\3&1&-2\\-5&1&8\end{vmatrix} = 48 \ne 0

así que $\{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3\}$ es base de $\mathbb{R}^{3}$ .

a) Sí, como cualquier vector. Los escalares, resolviendo $a\overline{u}_1+b\overline{u}_2+c\overline{u}_3 = (-10,-2,16)$ :

\boxed{a = \tfrac76,\quad b = -\tfrac{23}{12},\quad c = \tfrac{13}{12}}

(comprobación en la primera coordenada: $\tfrac76-\tfrac{69}{12}-\tfrac{65}{12} = \tfrac{14-134}{12} = -10$ ✓.)

b) Sí, $\mathbb{R}^{3} = L(\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3)$ : la familia ya es base y no hay nada que completar.

Un enunciado con trampa involuntaria. Tal como está impreso, los tres vectores son independientes y las dos preguntas se responden con un determinante; el «si no se cumple, completar» no llega a activarse. Es probable que en el original algún signo fuera otro y la familia tuviera rango 2 — con estos datos, la respuesta honesta es la de arriba, y el método (rango primero) es el mismo en cualquier versión.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 29 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: cuatro diferencias que siempre son ligadas, y dos subespacios de R⁴

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Definir sistema libre, sistema generador y base. En el espacio vectorial $(V,+,\cdot_K)$ se definen las familias de vectores $F = \{\overline{u}_1,\overline{u}_2,\overline{u}_3,\overline{u}_4\}$ y $G = \{\overline{u}_1-\overline{u}_2,\ \overline{u}_2-\overline{u}_3,\ \overline{u}_3-\overline{u}_4,\ \overline{u}_4-\overline{u}_1\}$ . Decir si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas razonando la respuesta:

a) Si $F$ es libre entonces $G$ es libre.

b) $G$ puede ser libre, aunque $F$ sea ligado.

c) $G$ siempre es ligado.
Sean $S = L\big(\{(1,0,1,1),(0,1,1,1)\}\big)$ y $T = L\big(\{(1,-1,0,0),(1,1,1,1),(1,0,0,0)\}\big)$ dos subespacios de $\left(\mathbb{R}^{4},+,\cdot\right)$ . Calcular bases y dimensiones de los subespacios $S$ , $T$ , $S+T$ y $S\cap T$ .

Las definiciones, las tres respuestas razonadas, y las cuatro bases.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los cuatro vectores de $G$ tienen una propiedad que decide las tres afirmaciones de golpe. ¿Cuál?
02
La intersección de la parte 2
COMP2
$T = \{z = t\}$ (dimensión 3) y los dos generadores de $S$ cumplen $z = t$ . ¿Cuánto vale $\dim(S\cap T)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
- $\dim(S+T) = \dim S+\dim T-\dim(S\cap T) = 2+3-2 = 3$ . Ni 5 ni 4: la suma es $T$ mismo, porque $S$ ya está dentro.
El razonamiento, en orden
1. 1. Libre: la única combinación nula es la trivial. Generador: todo vector es combinación. Base: libre y generador.
2. 1. Los cuatro vectores de $G$ suman $\overline{0}$ : $G$ es ligado siempre. a) falsa, b) falsa, c) cierta.
3. 1. $S$ : base $\{(1,0,1,1),(0,1,1,1)\}$ , dim 2.
4. 1. $T$ : los tres generadores son independientes, dim 3; todos cumplen $z = t$ , luego $T = \{z = t\}$ .
5. 1. $S \subset T$ : $S\cap T = S$ (dim 2) y $S+T = T$ (dim 3).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 30 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: dos subespacios de R⁵ por ecuaciones

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $U = \{(x,y,z,t,w) \in \mathbb{R}^{5} : x+y = 0,\ z+t = 0\}$ y $V = \{(x,y,z,t,w) \in \mathbb{R}^{5} : x-t = 0\}$ dos subespacios de $\mathbb{R}^{5}$ .

Calcular bases y dimensiones de los subespacios $U$ y $V$ .
Calcular bases y dimensiones de los subespacios $U+V$ y $U\cap V$ .

Las cuatro bases con dimensiones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos vienen por ecuaciones. ¿Cómo se calcula $U\cap V$ ?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
¿Cuánto vale $\dim(U\cap V)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
- $U+V = V$ exigiría $U \subset V$ , y $(1,-1,0,0,0) \in U$ no cumple $x-t = 0$ . La suma se sale de $V$ y llena $\mathbb{R}^{5}$ .
El razonamiento, en orden
1. 1. $U$ : $y = -x$ , $t = -z$ ; base $\{(1,-1,0,0,0),(0,0,1,-1,0),(0,0,0,0,1)\}$ , dim 3.
2. 1. $V$ : $t = x$ ; base $\{(1,0,0,1,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1)\}$ , dim 4.
3. 1. $U\cap V$ : las tres ecuaciones juntas; base $\{(1,-1,-1,1,0),(0,0,0,0,1)\}$ , dim 2.
4. 1. $U+V$ : $3+4-2 = 5$ ; $U+V = \mathbb{R}^{5}$ , base la canónica.
5. Comprobación: $(1,-1,-1,1,0)$ cumple $x+y = 0$ , $z+t = 0$ y $x-t = 0$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 31 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: dos familias de R⁴, y un vector con parámetros que tiene que caer dentro

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Consideremos las siguientes familias de vectores del espacio vectorial $\left(\mathbb{R}^{4},+,\cdot\right)$ :

S = \{\overline{u} = (2,3,1,-5),\ \overline{v} = (0,2,-1,3),\ \overline{w} = (4,0,5,19),\ \overline{t} = (-2,1,-3,11)\}

T = \{\overline{p} = (2,5,0,-1),\ \overline{q} = (2,1,2,-7)\}

Sean $F$ y $G$ los subespacios vectoriales generados por $S$ y $T$ respectivamente.

Calcular $a$ y $b$ para que $(2,a,3,-b) \in F$ .
Calcular bases y dimensiones de los subespacios $F$ , $G$ , $F+G$ y $F\cap G$ .

El rango de $S$ , la condición sobre $a$ y $b$ , y las cuatro bases.

01
Reconocer el camino
COMP1
Lo primero es el rango de $S$ . ¿Qué relaciones hay entre sus cuatro vectores?
02
El valor de a
COMP2
$(2,a,3,-b) \in F$ exige cumplir la ecuación de $F$ , $-5x+2y+4z = 0$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución (con el enunciado tal como está impreso). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\overline{t} = -\overline{u}+2\overline{v}$ ; $\overline{u},\overline{v},\overline{w}$ independientes: $F = L(\overline{u},\overline{v},\overline{w})$ , dim 3, ecuación $-5x+2y+4z = 0$ .
2. $(2,a,3,-b) \in F \iff a = -1$ ( $b$ cualquiera).
3. $G = L(\overline{p},\overline{q})$ , dim 2 (no proporcionales).
4. $\overline{p}$ y $\overline{q}$ cumplen $-5x+2y+4z = 0$ : $G \subset F$ .
5. $F+G = F$ (dim 3) y $F\cap G = G$ (dim 2).

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 32 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: en un sistema ligado alguien es combinación de los demás, y dos planos de R⁴

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $(V,+,\cdot_K)$ un espacio vectorial. Definir sistema libre y sistema ligado. Demostrar que si $\{\overline{v}_1,\dots,\overline{v}_n\}$ es un sistema ligado existe un vector del sistema que es combinación lineal de los demás vectores.
Se definen en $\mathbb{R}^{4}$ los subespacios vectoriales $U = L\big(\{(1,0,1,1),(2,1,-1,0),(0,-1,3,2)\}\big)$ y $V = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^{4} : x+t = 0,\ 2x+y+z+t = 0\}$ .
1. Calcular bases y dimensiones de los subespacios $U$ y $V$ .
2. Calcular bases y dimensiones de los subespacios $U+V$ y $U\cap V$ .

Las definiciones y la demostración, y las cuatro bases.

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1: ligado significa que hay $a_1\overline{v}_1+\cdots+a_n\overline{v}_n = \overline{0}$ con algún $a_k \ne 0$ . ¿Y entonces?
02
La dimensión de la intersección
COMP2
$\dim U = 2$ , $\dim V = 2$ y $\dim(U+V) = 3$ . ¿Cuánto vale $\dim(U\cap V)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $U$ : $(0,-1,3,2) = 2(1,0,1,1)-(2,1,-1,0)$ ; base $\{(1,0,1,1),(2,1,-1,0)\}$ , dim 2.
2. $V$ : $t = -x$ , $y = -x-z$ ; base $\{(1,-1,0,-1),(0,-1,1,0)\}$ , dim 2.
3. $U\cap V$ : el genérico de $U$ , $(\alpha+2\beta,\ \beta,\ \alpha-\beta,\ \alpha)$ , en las ecuaciones de $V$ : $x+t = 2\alpha+2\beta = 0$ (y la segunda da lo mismo). $\beta = -\alpha$ : $L\big((1,1,-2,-1)\big)$ , dim 1.
4. $U+V$ : $2+2-1 = 3$ ; base $\{(1,0,1,1),(2,1,-1,0),(1,-1,0,-1)\}$ .
5. Comprobación: $(1,1,-2,-1)$ cumple $x+t = 0$ y $2+1-2-1 = 0$ ✓.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 33 (problemas de exámenes) · Boletín de problemas, Espacios vectoriales · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: un subespacio que depende de un parámetro, y qué pasa en a = 1

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean $S$ y $T$ subespacios vectoriales de $V$ . Definir $S+T$ y $S\cap T$ y demostrar que son subespacios vectoriales.
Se definen para $a \in \mathbb{R}$ los siguientes subespacios de $\mathbb{R}^{4}$ :
$S(a) = L\big(\{(1,2a,2,1),\ (1,a,1-a,0),\ (-a,0,2a,1)\}\big)$
a) Calcular, en función de $a$ , las bases y dimensiones de $S(a)$ .

b) Calcular las bases y dimensiones de los subespacios $S(0)+S(1)$ y $S(0)\cap S(1)$ .

Las definiciones y demostraciones, la discusión en $a$ , y las dos bases de b).

01
Reconocer el camino
COMP1
Para el rango de tres vectores de $\mathbb{R}^{4}$ con parámetro, ¿qué se mira?
02
El valor crítico
COMP2
¿Para qué valor de $a$ baja el rango de $S(a)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. 1. $S+T = \{\overline{s}+\overline{t}\}$ y $S\cap T$ son subespacios: contienen al $\overline{0}$ y son cerrados para combinaciones lineales (reagrupando en la suma; por estar en los dos en la intersección).
2. 2a) $a \ne 1$ : rango 3, base los tres vectores. $a = 1$ : rango 2, base $\{(1,2,2,1),(1,1,0,0)\}$ .
3. 2b) $S(0) = L\big((1,0,2,1),(1,0,1,0),(0,0,0,1)\big) = \{y = 0\}$ , dim 3; $S(1) = L\big((1,2,2,1),(1,1,0,0)\big)$ , dim 2.
4. 2b) $S(0)\cap S(1)$ : el genérico de $S(1)$ , $\alpha(1,2,2,1)+\beta(1,1,0,0)$ , con $y = 2\alpha+\beta = 0$ : $\beta = -2\alpha$ , vector $(-1,0,2,1)$ ; dim 1.
5. 2b) $S(0)+S(1)$ : $3+2-1 = 4$ , es $\mathbb{R}^{4}$ .

Resolución completa

1 · $S+T = \{\overline{s}+\overline{t} : \overline{s} \in S,\ \overline{t} \in T\}$ , $S\cap T = \{\overline{v} : \overline{v} \in S \text{ y } \overline{v} \in T\}$ . Los dos contienen a $\overline{0}$ ; en $S+T$ , $\lambda(\overline{s}+\overline{t})+\mu(\overline{s}'+\overline{t}') = (\lambda\overline{s}+\mu\overline{s}')+(\lambda\overline{t}+\mu\overline{t}') \in S+T$ ; en $S\cap T$ , una combinación de vectores que están en $S$ y en $T$ está en $S$ y en $T$ . $\blacksquare$

2a) Menores de orden 3 de la matriz de los tres vectores (por filas):

\text{cols } 1,3,4:\ -(a-1)^{2};\qquad \text{cols } 1,2,4:\ a(a-1);\qquad \text{cols } 1,2,3:\ 2a^{2}(a-1);\qquad \text{cols } 2,3,4:\ 0

Se anulan todos solo en $a = 1$ .

\boxed{a \ne 1:\ \dim S(a) = 3,\ \text{base los tres};\qquad a = 1:\ \dim S(1) = 2,\ \text{base } \{(1,2,2,1),(1,1,0,0)\}}

2b) $S(0) = L\big((1,0,2,1),(1,0,1,0),(0,0,0,1)\big)$ : tres independientes con $y = 0$ , luego $S(0) = \{y = 0\}$ , $\dim 3$ . $S(1) = L\big((1,2,2,1),(1,1,0,0)\big)$ , $\dim 2$ .

Intersección: el genérico de $S(1)$ con $y = 0$ : $2\alpha+\beta = 0$ , $\beta = -2\alpha$ , vector $(1,2,2,1)-2(1,1,0,0) = (-1,0,2,1)$ .

\boxed{S(0)\cap S(1) = L\big((-1,0,2,1)\big),\ \dim 1;\qquad S(0)+S(1) = \mathbb{R}^{4},\ \dim 4}

Menores con parámetro. El rango baja solo donde TODOS los menores de orden máximo se anulan. Basta encontrar uno que sea distinto de cero para un valor de $a$ para descartar ese valor; el candidato $a = 1$ aparece en todos, y en él hay que comprobar el rango a mano.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Espacios vectoriales

Qué es un espacio vectorial, y por qué la definición es tan larga

Subespacio: la comprobación que cabe en tres líneas

Y antes de eso, diez segundos: ¿está el cero?

Generar: qué significa L(G)

Libre, ligado, y qué se está preguntando de verdad

El teorema fundamental, y para qué sirve

Base, dimensión y coordenadas

Completar una base

Cambiar de base, y en qué sentido va cada cosa

Suma e intersección: por qué dos y dos no dan cuatro

Grassmann como comprobación

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

La dimensión del que sí lo es

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión

El vector de la base que sale con a = 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Las coordenadas de (4,2)

El vector que tiene coordenadas (2,−1)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuántos lo son

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de la intersección

La dimensión de la suma

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El determinante que decide

Las coordenadas en la base nueva

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El contraejemplo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Un producto concreto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El contraejemplo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El contraejemplo de c)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de g)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El contraejemplo de a)

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Las dimensiones, y su suma

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de la intersección

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Las tres juntas

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Libre, y además base

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de la intersección

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de la intersección

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de la intersección

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión de la suma

Justificar el argumento