Álgebra · tema 07

Diagonalización de matrices cuadradas

Autovalores, autovectores y las dos multiplicidades. Y por qué el polinomio característico no decide.

Diagonalizar una matriz es encontrar una base en la que se convierta en diagonal. Y en una base así, todo lo que la matriz hace se vuelve trivial: multiplicar es multiplicar cada coordenada por su número, y elevar a la potencia $n$ es elevar $n$ cada número de la diagonal.

A=PDP^{-1} \;\Longrightarrow\; A^{n}=PD^{n}P^{-1}

Este tema ocupa el hueco del ejercicio 4 las ocho veces, sin una sola excepción. Es el más previsible del examen, y siempre pide lo mismo: una demostración de teoría y estudiar si una matriz diagonaliza, muchas veces con un parámetro dentro.

Autovalores y autovectores

A\overline{x}=\lambda\overline{x}, \qquad \overline{x}\neq\overline{0}

La condición $\overline{x}\neq\overline{0}$ no es un adorno: sin ella todo escalar sería autovalor, porque $A\overline{0}=\lambda\overline{0}$ siempre.

Reescribiendo, $\left(A-\lambda I\right)\overline{x}=\overline{0}$ tiene solución no trivial, y eso es exactamente

\det\left(A-\lambda I\right)=0

el polinomio característico. Sus raíces son los autovalores.

Leerlo sin desarrollarlo

Para una matriz de orden $3$ , los tres coeficientes salen de tres números que se leen de la matriz:

p\left(\lambda\right)=-\lambda^{3} +\left(\operatorname{traza}A\right)\lambda^{2} -\left(\textstyle\sum\text{menores principales}\right)\lambda +\det A

y con eso salen dos comprobaciones gratis que hay que hacer siempre:

\sum\lambda_{i}=\operatorname{traza}A, \qquad \prod\lambda_{i}=\det A

Y hay atajos que ahorran el desarrollo entero. Si te fijas antes de calcular:

lo que ves	lo que sabes
dos filas iguales o proporcionales	$\lambda=0$ es autovalor
todas las filas suman lo mismo, $s$	$\left(1,1,\dots,1\right)$ es autovector de $\lambda=s$
matriz triangular	los autovalores son la diagonal

La segunda es la que más rinde y casi nadie usa. Con $G=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}$ , las tres filas suman $5$ , así que $\lambda=5$ con autovector $\left(1,1,1\right)$ — sin desarrollar nada.

El subespacio propio

V\left(\lambda\right)=\operatorname{Ker}\left(A-\lambda I\right)

Es un subespacio, y calcularlo es resolver un sistema homogéneo. Todo lo del tema 5 se aplica tal cual.

Y dos propiedades que caen como demostración:

Subespacios propios de autovalores distintos se cortan solo en el $\overline{0}$ .
Autovectores de autovalores distintos son linealmente independientes.

Las dos multiplicidades, que es todo el tema

Para cada autovalor $\lambda$ hay dos números, y la diagonalización depende de si coinciden:

	qué es	cómo se calcula
algebraica $m_{a}$	cuántas veces es raíz del polinomio	factorizando
geométrica $m_{g}$	$\dim V\left(\lambda\right)$	$n-\operatorname{rg}\left(A-\lambda I\right)$

Y siempre se cumple $1\leq m_{g}\leq m_{a}$ .

$A$ es diagonalizable $\iff$ para todo autovalor, $m_{g}=m_{a}$ .

Con dos consecuencias que se usan constantemente:

Si los $n$ autovalores son distintos, diagonaliza seguro. No hay que comprobar nada más.
Los autovalores simples nunca dan problema: su $m_{a}$ vale $1$ y su $m_{g}$ también, porque $m_{g}\geq1$ siempre. Todo se juega en los repetidos.

El polinomio característico da los autovalores y su multiplicidad algebraica, y ahí se acaba lo que sabe. La geométrica es un rango, y hay que calcularlo aparte: es exactamente lo que separa las dos columnas.

Creer que el polinomio característico decide

No decide. Dice qué autovalores hay y con qué multiplicidad algebraica; lo que falta —la geométrica— es un rango que hay que calcular aparte.

La ordinaria de 2022-2023 lo pone en el enunciado: da dos matrices con el mismo polinomio característico y pregunta si diagonalizan. Una sí y la otra no. Es la forma más limpia de aprender esto, y viene servida en el examen.

El caso mínimo cabe en dos por dos: $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ tienen el mismo polinomio $\left(\lambda-2\right)^{2}$ . La primera ya es diagonal; la segunda no diagonaliza nunca.

Deducir el rango de la multiplicidad de la raíz

Que una raíz sea doble no dice cuánto vale el rango de $A-\lambda I$ , ni cuánto baja la dimensión. Son cosas de naturaleza distinta: una cuenta factores de un polinomio y la otra cuenta direcciones de un subespacio.

La única relación que hay es la desigualdad $1\leq m_{g}\leq m_{a}$ . Todo lo demás hay que mirarlo en la matriz.

Cómo se hace, en orden

Y el orden importa, porque es lo que hace corto un ejercicio con parámetro:

Polinomio característico, con los atajos de arriba si los hay.
Factorizar y ver las multiplicidades algebraicas.
Si todas son $1$ : diagonaliza, y ya está. No se calcula ningún rango.
Solo para los repetidos, calcular $m_{g}=n-\operatorname{rg}\left(A-\lambda I\right)$ y comparar.
Si diagonaliza, los autovectores por columnas dan $P$ , y los autovalores en el mismo orden dan $D$ .

P^{-1}AP=D

El orden de las columnas de $P$ y el de la diagonal de $D$ tienen que coincidir. Cambiarlos está bien siempre que se cambien los dos a la vez.

Con parámetro

El mismo guion, y evita abrir casos a ciegas:

Factoriza el polinomio en función del parámetro.
Busca para qué valores coinciden dos autovalores. Suelen ser dos o tres ecuaciones de primer grado.
Solo en esos valores calcula el rango.

Para cualquier otro valor hay $n$ autovalores distintos y diagonaliza. Es una línea que cubre casi todos los casos.

Matrices simétricas: el caso regalado

Si $A$ es real y simétrica, pasan tres cosas a la vez:

Todos sus autovalores son reales.
Autovectores de autovalores distintos son ortogonales, sin hacer nada.
Siempre diagonaliza, y con una base ortonormal.

La tercera es la que ahorra el ejercicio entero: en cuanto ves que la matriz es simétrica, la respuesta a «¿diagonaliza?» es sí sin calcular ningún rango.

Y la matriz de paso se puede tomar ortogonal, con lo que

P^{-1}=P^{T} \;\Longrightarrow\; D=P^{T}AP

que ahorra invertir una matriz. Para conseguirla basta normalizar los autovectores — y, si algún autovalor es múltiple, ortogonalizar dentro de su subespacio propio con Gram-Schmidt.

Dar P ortogonal sin normalizar, o sin ortogonalizar dentro del subespacio

Son los dos descuidos del apartado, y los dos rompen $P^{-1}=P^{T}$ .

El primero: los autovectores salen ortogonales entre autovalores distintos, pero no unitarios. Hay que dividir cada uno por su norma.

El segundo, más sutil: dentro del subespacio propio de un autovalor repetido, la ortogonalidad no sale sola. En $\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}$ , el autovalor $2$ tiene el plano $x+y+z=0$ como subespacio propio, y la base obvia $\left\{\left(1,-1,0\right),\left(1,0,-1\right)\right\}$ no es ortogonal: su producto escalar vale $1$ . Hay que aplicar Gram-Schmidt ahí dentro.

Entre autovalores distintos, en cambio, la ortogonalidad es gratis por el teorema.

Para qué sirve: potencias

A^{n}=PD^{n}P^{-1}

y $D^{n}$ es la diagonal con cada entrada elevada a $n$ . Con eso, calcular $A^{100}$ pasa de cien productos de matrices a una potencia de números.

Con $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ , cuyos autovalores son $3$ y $1$ :

A^{n}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3^{n}+1&3^{n}-1\\3^{n}-1&3^{n}+1\end{pmatrix}

que para $n=2$ da $\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ , y se puede comprobar multiplicando.

Y ese es el motivo por el que el tema existe. Diagonalizar no es un fin: es cambiar a la base donde la matriz no hace nada complicado.

Lo que hay que llevar sabido

$\det\left(A-\lambda I\right)=0$ da los autovalores. La condición $\overline{x}\neq\overline{0}$ es parte de la definición.
Comprobaciones gratis: los autovalores suman la traza y multiplican el determinante.
Atajos: filas proporcionales $\Rightarrow$ $\lambda=0$ ; filas que suman lo mismo $\Rightarrow$ ese valor es autovalor con $\left(1,\dots,1\right)$ ; triangular $\Rightarrow$ la diagonal.
$V\left(\lambda\right)=\operatorname{Ker}\left(A-\lambda I\right)$ : es resolver un homogéneo.
Diagonaliza $\iff$ $m_{g}=m_{a}$ para todo autovalor.
$n$ autovalores distintos $\Rightarrow$ diagonaliza. Y los simples nunca dan problema.
El polinomio característico NO decide. La geométrica es un rango.
La multiplicidad de la raíz no dice nada sobre el rango. Solo $1\leq m_{g}\leq m_{a}$ .
Simétrica real $\Rightarrow$ diagonaliza siempre, con base ortonormal y $P^{-1}=P^{T}$ .
En un autovalor repetido de una simétrica, hay que ortogonalizar dentro de su subespacio propio: eso no sale solo.
$P$ y $D$ en el mismo orden.
$A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ : para eso sirve todo esto.

Practica lo que acabas de leer

Los dos autovalores de una matriz de dos por dos

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Los dos autovalores de una matriz de dos por dos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ .

a) Calcular sus autovalores.

b) Dar un autovector de cada uno.

Los dos autovalores, y un autovector de cada uno.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos filas de $A$ suman lo mismo, $3$ . ¿Qué se saca de ahí sin calcular nada?
02
El otro autovalor
COMP2
Sabiendo que $3$ es autovalor y que la traza vale $4$ , ¿cuál es el otro autovalor?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El autovector del otro
COMP2
Un autovector de $\lambda=1$ , con primera coordenada $1$ .
Tu respuesta al paso 3dos coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos filas suman $3$ , así que $A\left(1,1\right)^{T}=\left(3,3\right)^{T}$ y $\lambda=3$ es autovalor con autovector $\left(1,1\right)$ .
2. La traza vale $4$ y es la suma de los autovalores, luego el otro es $1$ .
3. Su autovector sale de $\left(A-I\right)\overline{x}=\overline{0}$ , que es la ecuación $x+y=0$ : por ejemplo $\left(1,-1\right)$ .
4. Los dos son perpendiculares, y eso está garantizado porque $A$ es simétrica.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Dos matrices con el mismo polinomio, y solo una diagonaliza

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sean

A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}

a) Comprobar que tienen el mismo polinomio característico.

b) Estudiar si cada una diagonaliza.

El polinomio común, y el estudio de cada una.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos son triangulares con la misma diagonal. ¿Qué se sigue de eso?
02
La dimensión del subespacio propio de A
COMP2
Para $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ y $\lambda=2$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Y la de B
COMP2
Para $B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ y $\lambda=2$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(B-2I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos son triangulares con diagonal $\left(2,2\right)$ , así que su polinomio característico es $\left(\lambda-2\right)^{2}$ en las dos.
2. El autovalor $2$ tiene multiplicidad algebraica $2$ en las dos, y todo se juega en la geométrica.
3. En $A$ , la matriz $A-2I$ es nula: rango $0$ y $m_{g}=2=m_{a}$ . Diagonaliza.
4. En $B$ , la matriz $B-2I$ tiene rango $1$ , así que $m_{g}=1<2$ . No diagonaliza.

Resolución completa

a) El mismo polinomio, sin desarrollar nada. Las dos son triangulares, y en una triangular el determinante es el producto de la diagonal. $A-\lambda I$ y $B-\lambda I$ siguen siendo triangulares, así que

p\left(\lambda\right)=\left(2-\lambda\right)^{2}

en las dos. Autovalor $\lambda=2$ con multiplicidad algebraica $2$ .

b) Y aquí se separan. Todo depende de la multiplicidad geométrica, que es un rango:

	$M-2I$	rango	$m_{g}$	¿diagonaliza?
$A$	$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$	$0$	$2$	sí
$B$	$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$	$1$	$1$	no

\boxed{\;A\text{ diagonaliza};\quad B\text{ no}\;}

Este es el ejemplo mínimo del tema, y merece la pena tenerlo memorizado: dos matrices de dos por dos, con el mismo polinomio característico factorizado, y respuestas opuestas.

Por qué $B$ no puede diagonalizar, dicho sin fórmulas. Si diagonalizara, sería semejante a $\operatorname{diag}\left(2,2\right)=2I$ . Pero $P^{-1}\left(2I\right)P=2I$ para cualquier $P$ : la única matriz semejante a $2I$ es ella misma. Y $B\neq2I$ .

Y la conexión con el examen. La ordinaria de 2022-2023 pone esta misma idea con dos matrices de orden $3$ : comprueba que sus polinomios característicos son iguales, y luego pregunta cuál diagonaliza. Una sí y la otra no.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Para qué sirve: una potencia grande sin multiplicar cien veces

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ , cuyos autovalores son $3$ y $1$ , con autovectores $\left(1,1\right)$ y $\left(1,-1\right)$ .

a) Escribir $P$ y $D$ con $P^{-1}AP=D$ .

b) Usar $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ para calcular $A^{4}$ .

La matriz de paso y la diagonal, y una potencia cuarta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se pone en las columnas de $P$ , y en qué orden?
02
La matriz de paso
COMP2
Poniendo el autovalor $3$ primero, ¿cuál es $P$ ? Escribe las filas separadas por punto y coma.
Tu respuesta al paso 2dos filas de dos números, con punto y coma entre filas — columnas con comas, filas con punto y coma
03
La entrada de arriba a la izquierda de A⁴
COMP2
Usando $A^{4}=PD^{4}P^{-1}$ , ¿cuánto vale la entrada $\left(1,1\right)$ de $A^{4}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el método. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los autovectores en columnas dan $P$ , y los autovalores en el mismo orden dan $D$ , con $AP=PD$ .
2. Como $\det P\neq0$ , se puede despejar $P^{-1}AP=D$ , o equivalentemente $A=PDP^{-1}$ .
3. Entonces $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ , porque los $P^{-1}P$ del medio se cancelan uno tras otro.
4. Y $D^{n}$ es la diagonal con cada entrada elevada a $n$ , que es lo que convierte una potencia de matrices en una de números.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.6, matriz A₄ · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una que no diagonaliza, y cómo se ve

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza, cuando sea posible, dando también la matriz de paso:

A=\begin{pmatrix}1&4&-12\\0&3&-9\\0&1&-3\end{pmatrix}

Los autovalores y si diagonaliza o no, con su razón.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las filas segunda y tercera son proporcionales. ¿Qué autovalor garantiza eso?
02
El autovalor que no es cero
COMP2
La traza vale $1$ . Sabiendo que $0$ es autovalor doble, ¿cuál es el tercero?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La multiplicidad geométrica del doble
COMP2
¿Cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(A-0\cdot I\right)$ , es decir, la dimensión del núcleo de $A$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el estudio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las filas segunda y tercera son proporcionales, luego $\det A=0$ y $\lambda=0$ es autovalor.
2. Desarrollando por la primera columna sale $p\left(\lambda\right)=\left(1-\lambda\right)\lambda^{2}$ : $1$ simple y $0$ doble.
3. El autovalor simple no da problema: su $m_{g}$ vale $1$ como su $m_{a}$ .
4. Todo depende del $0$ , y ahí $\operatorname{rg}A=2$ deja $m_{g}=1<2$ : no diagonaliza.

Resolución completa

Dos datos gratis antes de desarrollar nada.

Las filas segunda y tercera son proporcionales — $\left(0,3,-9\right)=3\left(0,1,-3\right)$ —, luego $\det A=0$ y $\lambda=0$ es autovalor.
La traza vale $1+3-3=1$ , y es la suma de los tres autovalores.

El polinomio confirma y precisa. La primera columna es $\left(1,0,0\right)$ , así que el desarrollo por ella deja un solo sumando:

p\left(\lambda\right)=\left(1-\lambda\right) \begin{vmatrix}3-\lambda&-9\\1&-3-\lambda\end{vmatrix} =\left(1-\lambda\right)\left(\lambda^{2}-9+9\right) =\left(1-\lambda\right)\lambda^{2}

\lambda=1\ \text{(simple)},\qquad\lambda=0\ \text{(doble)}

Y todo se juega en el doble. El simple nunca da problema. Para el $0$ :

m_{g}\left(0\right)=3-\operatorname{rg}A=3-2=1<2=m_{a}\left(0\right)

\boxed{\;A\text{ NO es diagonalizable}\;}

Qué hay que escribir en el examen, y no solo «no». La respuesta completa dice cuántas direcciones hay y cuántas faltan:

$\lambda$	$m_{a}$	$m_{g}$	direcciones
$1$	$1$	$1$	una
$0$	$2$	$1$	una, y falta otra

En total, dos direcciones propias independientes donde harían falta tres. Por eso no hay base de vectores propios y por eso no existe ninguna $P$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.7, matriz A₅ · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una simétrica, y la ortogonalidad que hay que fabricar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza la siguiente matriz y encuentra una matriz de paso ortogonal:

A=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}

Los autovalores, una base ortonormal de autovectores, y la matriz de paso.

01
Reconocer el camino
COMP1
$A$ es simétrica. ¿Qué se puede afirmar antes de calcular nada?
02
El autovalor que las filas regalan
COMP2
Las tres filas suman lo mismo. ¿Cuál es ese autovalor?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La dimensión del subespacio propio del doble
COMP2
Para $\lambda=2$ , ¿cuánto vale $\dim\operatorname{Ker}\left(A-2I\right)$ ?
Tu respuesta al paso 3un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El segundo vector, tras ortogonalizar dentro del plano
COMP2
Tomando $\left(1,-1,0\right)$ como primer vector del plano $x+y+z=0$ y ortogonalizando $\left(1,0,-1\right)$ contra él, ¿qué dirección entera sale?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas enteras entre paréntesis — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la diagonalización ortogonal. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A$ es simétrica real, así que por el teorema espectral diagonaliza y admite matriz de paso ortogonal.
2. Las tres filas suman $5$ , luego $\lambda=5$ con autovector $\left(1,1,1\right)$ ; y con la traza y el determinante, el otro autovalor es $2$ , doble.
3. $A-2I$ es toda unos, con rango $1$ , así que su subespacio propio es el plano $x+y+z=0$ , de dimensión $2$ .
4. Dentro de ese plano hay que ortogonalizar: la base obvia $\left\{\left(1,-1,0\right),\left(1,0,-1\right)\right\}$ no lo es, y Gram-Schmidt la convierte en $\left\{\left(1,-1,0\right),\left(1,1,-2\right)\right\}$ .

Resolución completa

La simetría contesta el apartado difícil antes de empezar. $A$ es real y simétrica, así que por el teorema espectral diagonaliza seguro, con autovalores reales, autovectores ortogonales entre autovalores distintos, y matriz de paso ortogonal.

Los autovalores, con dos atajos. Las tres filas suman $5$ :

A\left(1,1,1\right)^{T}=5\left(1,1,1\right)^{T}

Y con la traza ( $9$ ) y el determinante ( $20$ ): los otros dos suman $4$ y multiplican $4$ , luego los dos valen $2$ .

\lambda=5\ \text{(simple)},\qquad\lambda=2\ \text{(doble)}

Los subespacios propios.

A-2I=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; V\left(2\right)=\left\{x+y+z=0\right\},\ \dim=2

V\left(5\right)=L\left(\left\{\left(1,1,1\right)\right\}\right),\ \dim=1

Y aquí está el paso que se salta. La base obvia del plano, $\left\{\left(1,-1,0\right),\left(1,0,-1\right)\right\}$ , no es ortogonal: su producto escalar vale $1$ . Dentro de un subespacio propio de autovalor repetido, la ortogonalidad no sale sola y hay que fabricarla con Gram-Schmidt:

\left(1,0,-1\right)-\tfrac12\left(1,-1,0\right) =\left(\tfrac12,\tfrac12,-1\right) \ \sim\ \left(1,1,-2\right)

Entre $V\left(2\right)$ y $V\left(5\right)$ , en cambio, la ortogonalidad es gratis por el teorema: $\left(1,-1,0\right)\cdot\left(1,1,1\right)=0$ y $\left(1,1,-2\right)\cdot\left(1,1,1\right)=0$ .

Normalizando, que es el otro paso que se olvida:

\boxed{\;P=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\\[3pt] -\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\\[3pt] 0&-\tfrac{2}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3} \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&5\end{pmatrix}\;}

D=P^{T}AP

Y eso último es lo que se gana al ortonormalizar: como $P$ es ortogonal, $P^{-1}=P^{T}$ y no hay que invertir nada. Por eso el enunciado pide la matriz de paso ortogonal y no una cualquiera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.1 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

¿Es autovalor? ¿Es autovector? Se comprueba, no se calcula

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la matriz:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}

¿3 es un autovalor de $A$ ?
¿ $\overline{u} = (1,1,1)$ y $\overline{v} = (0,0,1)$ son autovectores? En caso afirmativo, ¿cuáles son sus autovalores?

Las dos comprobaciones, con su porqué.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para decidir si 3 es autovalor, ¿qué es lo más barato aquí?
02
La comprobación de v
COMP2
Calcula $A\,\overline{v}$ con $\overline{v}=(0,0,1)$ y di el autovalor si lo es: ¿cuál es la tercera componente de $A\,\overline{v}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena las respuestas. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A$ es triangular: autovalores 1 (doble) y 2, leídos de la diagonal. El 3 NO es autovalor.
2. $A\overline{u} = (1,3,5)$ , que no es proporcional a $(1,1,1)$ : $\overline{u}$ no es autovector.
3. $A\overline{v} = (0,0,2) = 2\overline{v}$ : $\overline{v}$ es autovector de autovalor 2.
4. Ser autovector se comprueba con UN producto; ser autovalor, con la diagonal o con $\det(A-\lambda I)=0$ . Ninguna de las dos preguntas pide diagonalizar nada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.2 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El característico de una 4×4, contrastado con traza y determinante

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Halla el polinomio característico de $A$ .
Comprueba que son iguales los siguientes resultados: a) La traza de $A$ y la suma de los autovalores. b) $\det(A)$ y el producto de los autovalores.

El polinomio característico, y las dos comprobaciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera fila de $A$ es $(1,0,0,0)$ . ¿Qué regala eso al característico?
02
La suma de los autovalores
COMP2
Los autovalores salen $-1$ , $1$ , $2$ y $2$ . ¿Cuánto vale su suma — y la traza de $A$ , que debe coincidir?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la comprobación. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Desarrollando por la primera fila: $p(\lambda) = (1-\lambda)\cdot q(\lambda)$ con $q$ el característico de la 3×3 inferior derecha.
2. El polinomio completo factoriza como $(1-\lambda)(\lambda-2)^{2}(\lambda+1)$ : autovalores $1, 2, 2, -1$ .
3. Traza $= 4 =$ suma de autovalores ✓, y $\det A = -4 =$ producto ✓: las dos identidades del característico.
4. Esas identidades son los coeficientes del característico leídos al derecho y al revés — y son el control de calidad estándar de cualquier cálculo de autovalores.

Resolución completa

El característico. Por la primera fila:

p(\lambda) = (1-\lambda)\, \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & -1\\ 1 & 2-\lambda & 0\\ -1 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)\left(-\lambda^{3}+3\lambda^{2}-4\right)

y factorizando el cúbico (con la raíz $\lambda=-1$ a la vista):

\boxed{p(\lambda) = (1-\lambda)(\lambda+1)(\lambda-2)^{2}}

Autovalores: $1,\ -1,\ 2$ (doble).

Las dos comprobaciones.

identidad	autovalores	matriz
suma = traza	$-1+1+2+2 = 4$	$1+0+2+1 = 4$ ✓
producto = det	$(-1)(1)(2)(2) = -4$	$\det A = -4$ ✓

Para qué existen estas identidades. No son teoría suelta: son el control con el que se revisa CUALQUIER lista de autovalores en dos sumas. En el examen, comprobar traza y determinante antes de seguir con los autovectores ha salvado más de una diagonalización entera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.3 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El parámetro mueve los autovalores y deja quietos los autovectores

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Encuentra los autovalores y autovectores de la siguiente matriz:

A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & -1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \qquad a\in\mathbb{R}

Autovalores y autovectores, en función de a.

01
Reconocer el camino
COMP1
$A(a) = a\,I + B$ , con $B$ la matriz de unos y menos unos que queda al quitar la diagonal. ¿Qué relación hay entre los autovalores y autovectores de $A(a)$ y los de $B$ ?
02
El autovalor del vector fijo (0,1,1)
COMP2
$B\,(0,1,1) = (1-1,\; 0+1,\; 1+0) = (0,1,1)$ : autovalor $\mu=1$ de $B$ . ¿Cuál es el autovalor correspondiente de $A(a)$ con $a=2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El característico de $B$ sale $-\mu^{3}+\mu = -\mu(\mu-1)(\mu+1)$ : autovalores $0, 1, -1$ de B.
2. Los de $A(a)$ son $a$ , $a+1$ y $a-1$ — tres autovalores DISTINTOS para todo $a$ : la matriz diagonaliza siempre.
3. Los autovectores no dependen de $a$ : $(-1,1,1)$ para $\lambda=a$ , $(0,1,1)$ para $\lambda=a+1$ , y $(1,-1,0)$ para $\lambda=a-1$ .
4. Comprobación en $a=2$ : $A(2)(−1,1,1) = (−2,2,2)$ ✓, $A(2)(0,1,1) = (0,3,3)$ ✓, $A(2)(1,−1,0) = (1,−1,0)$ ✓.

Resolución completa

El truco del desplazamiento. $A(a) = aI + B$ con

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Sumar $aI$ conserva los autovectores y desplaza los autovalores: $Bv=\mu v \Rightarrow A(a)v = (a+\mu)v$ .

Los autovalores de $B$ . $\det(B-\mu I) = -\mu^{3}+\mu$ , con raíces $0$ , $1$ y $-1$ .

Autovectores (de $B$ , y por tanto de todos los $A(a)$ ):

$\mu$ de $B$	$\lambda$ de $A(a)$	autovector
$0$	$a$	$(-1,\,1,\,1)$
$1$	$a+1$	$(0,\,1,\,1)$
$-1$	$a-1$	$(1,\,-1,\,0)$

\boxed{\lambda \in \{a,\ a+1,\ a-1\},\ \text{con autovectores fijos: diagonalizable para todo } a}

(verificado numéricamente en $a=2$ y $a=-1$ , los seis productos).

La jugada que reaparece. «La matriz es $aI$ más algo fijo» convierte cualquier familia de matrices en UNA diagonalización. El examen la usa al revés: da la matriz con parámetro y espera que el alumno vea el desplazamiento — quien lo ve acaba en cinco minutos, quien no arrastra el parámetro por tres determinantes.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.4 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Reconstruir la matriz a partir de autovalores y autovectores

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El endomorfismo $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ posee los siguientes autovalores:

\alpha = 1,\qquad \beta = 2,\qquad \sigma = -1

y sus respectivos autovectores:

\mathbf{u}_1 = (1,1,1),\qquad \mathbf{u}_2 = (0,1,2),\qquad \mathbf{u}_3 = (1,2,1)

Encuentra la matriz asociada a $f$ en la base canónica.

La matriz de f en la base canónica.

01
Reconocer el camino
COMP1
Se conocen $f(u_1)=u_1$ , $f(u_2)=2u_2$ , $f(u_3)=-u_3$ . ¿Qué fórmula da la matriz canónica?
02
Una entrada de la matriz
COMP2
Con $P = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&2\\1&2&1\end{pmatrix}$ y $D = \operatorname{diag}(1,2,-1)$ , sale $A = \begin{pmatrix} 2&-2&1\\ \tfrac32&-3&\tfrac52\\ 0&-2&3 \end{pmatrix}$ . Comprueba con $u_2$ : la segunda componente de $A\,u_2$ tiene que ser $2\cdot1 = 2$ . ¿Cuánto da $\tfrac32\cdot0 - 3\cdot1 + \tfrac52\cdot2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $P$ con los autovectores por columnas, $D$ con los autovalores EN EL MISMO ORDEN: $A = PDP^{-1}$ .
2. $\det P = -2 \neq 0$ : los tres autovectores son base (como debía ser, con tres autovalores distintos).
3. Sale $A = \begin{pmatrix} 2&-2&1\\ \tfrac32&-3&\tfrac52\\ 0&-2&3 \end{pmatrix}$ , y se comprueba con los tres productos $Au_i = \lambda_i u_i$ .
4. Control gratis: $\operatorname{tr}A = 2-3+3 = 2 = 1+2-1$ y $\det A = -2 = 1\cdot2\cdot(-1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.5 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La antidiagonal 4×4, con dos autovalores dobles

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza, encontrando la matriz de cambio de base:

A = \begin{pmatrix} 0&0&0&a\\ 0&0&a&0\\ 0&a&0&0\\ a&0&0&0 \end{pmatrix}, \qquad a\neq0

Los autovalores, los autovectores y la matriz de paso.

01
Reconocer el camino
COMP1
A intercambia las coordenadas por parejas —(1↔4) y (2↔3)— y las multiplica por a. ¿Qué vectores «no notan» el intercambio?
02
El autovalor del vector (0,1,−1,0)
COMP2
Con $a = 3$ , calcula $A\,(0,1,-1,0)$ : ¿cuál es su segunda componente?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la diagonalización. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A^{2} = a^{2}I$ , así que todo autovalor cumple $\lambda^{2}=a^{2}$ : solo pueden ser $a$ y $-a$ .
2. $\lambda=a$ : autovectores $(1,0,0,1)$ y $(0,1,1,0)$ ; $\lambda=-a$ : $(1,0,0,-1)$ y $(0,1,-1,0)$ . Dos subespacios propios de dimensión 2.
3. Cuatro autovectores independientes en $\mathbb{R}^{4}$ : A diagonaliza, con $D = \operatorname{diag}(a,a,-a,-a)$ y P esos cuatro vectores por columnas.
4. Como A es simétrica, los cuatro autovectores son ortogonales entre sí, y dividiendo por $\sqrt2$ la P sale ortogonal.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.8 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una simétrica con tres autovalores distintos y su P ortogonal

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza la siguiente matriz utilizando una matriz de cambio de base ortogonal:

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Autovalores, autovectores ortonormales y la matriz P ortogonal.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los autovalores salen $-1$ , $2$ y $3$ : tres distintos. ¿Qué trabajo se ahorra por ser A simétrica?
02
La norma del autovector de λ = −1
COMP2
Para $\lambda=-1$ sale el autovector $(1,2,-1)$ . ¿Cuánto vale su módulo al cuadrado, por el que habrá que dividir para normalizar?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la diagonalización. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico: $-\lambda^{3}+4\lambda^{2}-\lambda-6 = -(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-3)$ . Traza $4 = -1+2+3$ ✓.
2. Autovectores: $(1,2,-1)$ para $-1$ , $(1,-1,-1)$ para $2$ , $(1,0,1)$ para $3$ — y sus productos escalares dos a dos dan cero.
3. $P$ con los tres normalizados por columnas es ortogonal: $P^{-1} = P^{t}$ , y $P^{t}AP = \operatorname{diag}(-1,2,3)$ .
4. Ortogonal significa columnas unitarias Y perpendiculares: las dos cosas, no basta con una.

Resolución completa

Autovalores. $\det(A-\lambda I) = -(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-3)$ :

\lambda = -1,\ 2,\ 3 \qquad(\text{traza } 4 = -1+2+3\ \checkmark,\quad \det A = -6 = (-1)(2)(3)\ \checkmark)

Autovectores (resolviendo $(A-\lambda I)v=0$ ):

$\lambda$	autovector	normalizado
$-1$	$(1,2,-1)$	$\frac{1}{\sqrt6}(1,2,-1)$
$2$	$(1,-1,-1)$	$\frac{1}{\sqrt3}(1,-1,-1)$
$3$	$(1,0,1)$	$\frac{1}{\sqrt2}(1,0,1)$

Ortogonales entre sí (compruébalo: $1-2+1=0$ , $1+0-1=0$ , $1+0-1=0$ ) — como corresponde a una simétrica con autovalores distintos.

\boxed{P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt6} & \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt2}\\ \frac2{\sqrt6} & -\frac1{\sqrt3} & 0\\ -\frac1{\sqrt6} & -\frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt2} \end{pmatrix},\qquad P^{t}AP = \operatorname{diag}(-1,\,2,\,3)}

El caso limpio del simétrico. Tres autovalores distintos: nada que ortogonalizar, solo normalizar. Es el ejercicio para fijar el protocolo — característico, traza, autovectores, producto escalar, normalizar, P— antes de los casos con autovalor doble (7.7 y 7.24), donde sí entra Gram-Schmidt.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.9 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un autovalor doble que sí llena su subespacio

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el endomorfismo $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$

f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 - 3x_2 + 3x_3,\; 3x_1 - 5x_2 + 3x_3,\; 6x_1 - 6x_2 + 4x_3)

Halla sus autovalores y autovectores. ¿Es diagonalizable la matriz estándar de $f$ ?

Autovalores, autovectores, y si diagonaliza.

01
Reconocer el camino
COMP1
El característico da $-(\lambda-4)(\lambda+2)^{2}$ : un autovalor simple y uno doble. ¿Qué decide si la matriz diagonaliza?
02
El rango de A + 2I
COMP2
$A + 2I = \begin{pmatrix} 3&-3&3\\ 3&-3&3\\ 6&-6&6 \end{pmatrix}$ . ¿Cuál es su rango?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Matriz estándar $A = \begin{pmatrix} 1&-3&3\\ 3&-5&3\\ 6&-6&4 \end{pmatrix}$ , característico $-(\lambda-4)(\lambda+2)^{2}$ ; traza $0 = 4-2-2$ ✓.
2. $\lambda=4$ : $(A-4I)v=0$ da la recta de $(1,1,2)$ — comprobación: $A(1,1,2) = (4,4,8)$ ✓.
3. $\lambda=-2$ : $A+2I$ tiene rango 1, el subespacio es el plano $x_1-x_2+x_3=0$ , con base $(1,1,0)$ y $(-1,0,1)$ .
4. $1+2 = 3$ autovectores independientes: diagonaliza, con $D = \operatorname{diag}(4,-2,-2)$ y $P$ esos tres vectores por columnas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.10 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Cuándo diagonaliza una triangular con parámetros

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Halla $a$ , $b$ y $d$ para que $A$ sea diagonalizable.

A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}

Las condiciones sobre los parámetros.

01
Reconocer el camino
COMP1
A es triangular: sus autovalores son $1$ , $1$ y $c$ . ¿Dónde está el único obstáculo para diagonalizar?
02
El rango de A − I con a = 0 y c = 2
COMP2
$A - I = \begin{pmatrix} 0&a&1\\ 0&0&b\\ 0&0&c-1 \end{pmatrix}$ . Con $a=0$ , $b=5$ , $c=2$ : ¿cuál es su rango?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Autovalores $1, 1, c$ (triangular). Si $c\neq1$ : hace falta $\dim E_1 = 2$ , o sea $\operatorname{rg}(A-I) = 1$ .
2. $\operatorname{rg}(A-I)=1$ exige que la columna $(a,0,0)$ desaparezca: $a=0$ . La $b$ queda libre.
3. Si $c=1$ el autovalor 1 es triple y haría falta $A-I=0$ , pero la entrada $(1,3)$ de $A-I$ vale 1 pase lo que pase: con $c=1$ NUNCA diagonaliza.
4. Respuesta: diagonalizable si y solo si $a=0$ y $c\neq1$ , con $b$ cualquiera.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.11 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Dos parámetros, y el rango que decide en cada autovalor

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcula $a$ y $b$ para que $A$ sea diagonalizable:

A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\ 0 & -1 & b\\ 3 & 0 & a \end{pmatrix}

Las condiciones sobre a y b.

01
Reconocer el camino
COMP1
Desarrollando por la segunda columna (que solo tiene el $-1-\lambda$ ), el característico es $(-1-\lambda)(5-\lambda)(a-\lambda)$ . ¿Cuándo hace falta mirar rangos?
02
El rango de A + I con a = −1
COMP2
Con $a=-1$ : $A + I = \begin{pmatrix} 6&0&0\\ 0&0&b\\ 3&0&0 \end{pmatrix}$ . ¿Para qué valor de $b$ tiene rango 1?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Autovalores $5$ , $-1$ y $a$ : si $a\notin\{5,-1\}$ , tres distintos → diagonaliza para todo $b$ .
2. $a=5$ : $A-5I = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&-6&b\\3&0&0\end{pmatrix}$ tiene rango 2 sea cual sea $b$ → NO diagonaliza.
3. $a=-1$ : $A+I$ tiene rango 1 solo si $b=0$ → diagonaliza exactamente cuando $b=0$ .
4. Respuesta: $a\notin\{5,-1\}$ (con $b$ libre), ó $a=-1$ y $b=0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.12 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una base ortonormal de R⁴ que diagonaliza la aplicación

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea la aplicación lineal $f$ :

f:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4}\ \big|\ f(x,y,z,t) = (x-y,\; y-x,\; 0,\; t)

Halla una base ortonormal de $\mathbb{R}^{4}$ tal que la matriz asociada a $f$ en dicha base sea diagonalizable.

La base ortonormal de autovectores.

01
Reconocer el camino
COMP1
La matriz de f es simétrica y por bloques: $\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ en $(x,y)$ , un 0 en $z$ y un 1 en $t$ . ¿Qué garantiza la simetría?
02
El autovalor del vector (1,−1,0,0)
COMP2
Aplica $f$ a $(1,-1,0,0)$ : sale $(x-y,\ y-x,\ 0,\ t) = (2,-2,0,0)$ . ¿Cuál es su autovalor?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Matriz $A = \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ , simétrica: autovalores $2, 0, 0, 1$ (traza $3$ ✓).
2. Autovectores: $(1,-1,0,0)$ para $2$ ; $(1,1,0,0)$ y $(0,0,1,0)$ para $0$ ; $(0,0,0,1)$ para $1$ .
3. Los cuatro son ortogonales dos a dos (los dos del 0 lo son entre sí de partida), y basta normalizar los dos primeros con $\tfrac1{\sqrt2}$ .
4. Base ortonormal: $\left\{\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1,0,0),\ \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0),\ (0,0,1,0),\ (0,0,0,1)\right\}$ , y en ella la matriz de $f$ es $\operatorname{diag}(2,0,0,1)$ .

Resolución completa

La matriz (simétrica, por bloques):

A = \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

Autovalores y autovectores, bloque a bloque:

$\lambda$	autovector	comprobación
$2$	$(1,-1,0,0)$	$f = (2,-2,0,0)$ ✓
$0$	$(1,1,0,0)$	$f = 0$ ✓
$0$	$(0,0,1,0)$	$f = 0$ ✓
$1$	$(0,0,0,1)$	$f = (0,0,0,1)$ ✓

Ortogonales dos a dos; normalizando:

\boxed{B = \left\{\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1,0,0),\ \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0),\ (0,0,1,0),\ (0,0,0,1)\right\}}

y en $B$ la matriz de $f$ es $\operatorname{diag}(2,\,0,\,0,\,1)$ .

Leer la fórmula como bloques. $f$ hace tres cosas independientes: en el plano $(x,y)$ resta y devuelve la diferencia con signo, aplasta la $z$ , y deja la $t$ . Cada bloque se diagonaliza solo, y la base ortonormal es la unión de las tres — sin un solo determinante 4×4.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.13 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Diagonalizar con dos parámetros, y la P ortogonal que no depende de ellos

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza la siguiente matriz en función de los parámetros $x$ y $m\neq0$ , y encuentra una matriz de cambio de base ortogonal.

A = \begin{pmatrix} x & m & 0\\ m & x & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Autovalores en función de x y m, y la P ortogonal.

01
Reconocer el camino
COMP1
El bloque $\begin{pmatrix}x&m\\m&x\end{pmatrix}$ tiene las dos filas con la misma suma, $x+m$ . ¿Qué regala eso?
02
El autovalor de (1,−1,0) con x = 3 y m = 2
COMP2
Con $x=3$ y $m=2$ , calcula $A\,(1,-1,0)$ : ¿por qué número sale multiplicado el vector?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la diagonalización. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Autovalores: $x+m$ , $x-m$ y $2$ — los dos primeros del bloque $2\times2$ , el tercero del 2 aislado.
2. Autovectores: $(1,1,0)$ , $(1,-1,0)$ y $(0,0,1)$ , para CUALQUIER valor de $x$ y $m$ : los parámetros mueven los autovalores y no los autovectores.
3. $P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}&0\\ \frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ es ortogonal y $P^{t}AP = \operatorname{diag}(x+m,\ x-m,\ 2)$ .
4. La condición $m\neq0$ del enunciado solo evita el caso trivial en que $A$ ya es diagonal.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.14 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El autovalor doble con un solo autovector

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La matriz estándar del endomorfismo $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ es la siguiente:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}

Encuentra los autovalores de $f$ .
Halla una base para cada subespacio propio.
¿ $f$ es diagonalizable? En caso afirmativo halla la matriz diagonal y la de cambio de base.

Autovalores, bases de los subespacios propios, y el veredicto.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera columna es $(2,0,0)$ : desarrollando por ella, el característico es $(2-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}1-\lambda&-1\\2&4-\lambda\end{pmatrix}$ . ¿Qué sale del bloque?
02
El rango de A − 2I
COMP2
$A - 2I = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&-1&-1\\ 0&2&2 \end{pmatrix}$ . ¿Cuál es su rango?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico $-(\lambda-2)^{2}(\lambda-3)$ : autovalores $2$ (doble) y $3$ .
2. $E_2$ : de $(A-2I)v=0$ sale $y=0$ , $z=0$ — la recta de $(1,0,0)$ ; comprobación $A(1,0,0) = (2,0,0)$ ✓.
3. $E_3$ : de $(A-3I)v=0$ sale $x=y$ , $z=-2y$ — la recta de $(1,1,-2)$ ; comprobación $A(1,1,-2) = (3,3,-6)$ ✓.
4. $1+1 = 2 < 3$ autovectores independientes: $f$ NO es diagonalizable, y por tanto no hay D ni P que dar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.15 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El mismo endomorfismo, escrito con fórmulas

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ es el siguiente endomorfismo:

f(x,y,z) = (2x+y,\ y-z,\ 2y+4z)

Halla los valores propios de $f$ .
Encuentra los autovectores correspondientes.
¿ $f$ es diagonalizable? En caso afirmativo halla la matriz diagonal y la de cambio de base.

Autovalores, autovectores, y el veredicto sobre si diagonaliza.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada hay que pasar de las fórmulas a la matriz estándar. ¿Cuál es?
02
Cuántos autovectores independientes hay
COMP2
Los autovalores son $2$ (doble) y $3$ , como en el 7.14. Sumando las dimensiones de los subespacios propios, ¿cuántos autovectores linealmente independientes tiene $f$ en total?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Matriz estándar $A = \begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&-1\\0&2&4\end{pmatrix}$ , característico $-(\lambda-2)^{2}(\lambda-3)$ .
2. Autovalores $2$ (doble) y $3$ ; traza $2+1+4 = 7 = 2+2+3$ ✓.
3. $E_2 = L\big((1,0,0)\big)$ , $E_3 = L\big((1,1,-2)\big)$ , cada uno de dimensión 1.
4. Dos autovectores independientes en $\mathbb{R}^{3}$ : $f$ no es diagonalizable.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.16 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Sumar uno a la diagonal y ver tres filas proporcionales

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ es el endomorfismo definido como:

f(x,y,z) = (x+2y+10z,\ 2x+y+10z,\ -x-y-6z)

Halla los autovalores de $f$ .
Encuentra las bases de los subespacios propios.
¿ $f$ es diagonalizable? En caso afirmativo halla la matriz diagonal y la de cambio de base.

Autovalores, bases de los subespacios propios, y $D$ y $P$ si existen.

01
Reconocer el camino
COMP1
$A = \begin{pmatrix}1&2&10\\2&1&10\\-1&-1&-6\end{pmatrix}$ . Si sumas $1$ a cada elemento de la diagonal obtienes $A+I = \begin{pmatrix}2&2&10\\2&2&10\\-1&-1&-5\end{pmatrix}$ . ¿Qué dice eso?
02
El tercer autovalor
COMP2
Sabiendo que $-1$ es autovalor doble, ¿cuál es el tercer autovalor?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A+I$ tiene rango 1: $-1$ es autovalor con $E_{-1} = \{x+y+5z=0\}$ , de dimensión 2.
2. Traza $-4$ da el tercero, $\lambda_3 = -2$ ; y $(A+2I)v = 0$ da $E_{-2} = L\big((2,2,-1)\big)$ .
3. Base de $E_{-1}$ : $(1,-1,0)$ y $(5,0,-1)$ . Comprobación: $A(5,0,-1) = (-5,0,1)$ ✓.
4. $2+1 = 3$ autovectores independientes: diagonaliza, con $D = \operatorname{diag}(-2,-1,-1)$ y $P$ de columnas $(2,2,-1)$ , $(1,-1,0)$ , $(5,0,-1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.17 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

El parámetro que decide si el autovalor doble llena su plano

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ es el siguiente endomorfismo:

f(x,y,z) = (x+2y+cz,\ y,\ 4y+3z)

Halla los autovalores de $f$ .
Encuentra las bases de los subespacios propios.
Analiza si $f$ es diagonalizable en función de $c$ , y en los casos en que lo sea halla la matriz diagonalizable y la de cambio de base.

Los autovalores, las bases de los subespacios propios y la discusión en $c$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
$A = \begin{pmatrix}1&2&c\\0&1&0\\0&4&3\end{pmatrix}$ . ¿Por dónde conviene desarrollar el característico?
02
El valor de c que hace diagonalizable a f
COMP2
$A - I = \begin{pmatrix}0&2&c\\0&0&0\\0&4&2\end{pmatrix}$ . Para que $\dim E_1 = 2$ hace falta rango 1, es decir, filas $(0,2,c)$ y $(0,4,2)$ proporcionales. ¿Para qué $c$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico $(1-\lambda)^{2}(3-\lambda)$ para todo $c$ : autovalores $1$ (doble) y $3$ .
2. $\operatorname{rg}(A-I) = 1$ si y solo si $c = 1$ ; en ese caso $E_1 = \{2y+z=0\} = L\big((1,0,0),(0,1,-2)\big)$ .
3. Si $c \ne 1$ , $E_1 = L\big((1,0,0)\big)$ tiene dimensión 1 y $f$ no diagonaliza.
4. $E_3 = L\big((c,0,2)\big)$ para todo $c$ ; con $c = 1$ , $(1,0,2)$ , y $A(1,0,2) = (3,0,6)$ ✓.
5. Con $c = 1$ : $D = \operatorname{diag}(1,1,3)$ y $P = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&-2&2\end{pmatrix}$ .

Resolución completa

1 · Autovalores. Por la primera columna:

\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\begin{vmatrix}1-\lambda&0\\4&3-\lambda\end{vmatrix} = (1-\lambda)^{2}(3-\lambda)

$\lambda = 1$ (doble) y $\lambda = 3$ , sea cual sea $c$ .

2 · Subespacios propios.

A-I = \begin{pmatrix}0&2&c\\0&0&0\\0&4&2\end{pmatrix}:\quad \operatorname{rg}(A-I) = \begin{cases}1 & c = 1\\ 2 & c \ne 1\end{cases}

$c = 1$ : $E_1 = \{2y+z = 0\} = L\big((1,0,0),\ (0,1,-2)\big)$ , dimensión 2.
$c \ne 1$ : $2y+cz = 0$ y $4y+2z = 0$ fuerzan $y = z = 0$ : $E_1 = L\big((1,0,0)\big)$ , dimensión 1.

Para el 3: $A-3I = \begin{pmatrix}-2&2&c\\0&-2&0\\0&4&0\end{pmatrix}$ da $y = 0$ y $-2x+cz = 0$ , luego $E_3 = L\big((c,0,2)\big)$ .

3 · Discusión.

\boxed{f \text{ diagonaliza} \iff c = 1}

Con $c = 1$ :

D = \operatorname{diag}(1,1,3),\qquad P = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&-2&2\end{pmatrix}

(comprobación: $A(0,1,-2) = (0,1,-2)$ ✓ y $A(1,0,2) = (3,0,6)$ ✓ con $c=1$ .)

Un parámetro que no toca los autovalores pero sí decide. Es la segunda vez en el boletín (después del 7.10) que $c$ desaparece del polinomio característico y aun así manda: lo que cambia es el rango de $A-\lambda I$ para el autovalor doble. El examen pregunta «en función de $c$ » precisamente para ver si sabes que ese rango es la pregunta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.18 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Un bloque de dos por dos y una coordenada que va sola

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dado el endomorfismo $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ , $f(x,y,z) = (3x-y,\ -x+3y,\ 2z)$ :

Halla los autovalores.
Encuentra los subespacios asociados, base y dimensión.
¿ $f$ es diagonalizable? En caso afirmativo halla la matriz diagonal y la de cambio de base.

Autovalores, subespacios propios con base y dimensión, y $D$ y $P$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
$A = \begin{pmatrix}3&-1&0\\-1&3&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ . La tercera coordenada no se mezcla con las otras dos. ¿Qué da eso gratis?
02
La dimensión del subespacio del 2
COMP2
El $2$ es autovalor doble. ¿Cuánto vale $\dim E_2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico $-(\lambda-2)^{2}(\lambda-4)$ : autovalores $2$ (doble) y $4$ . Traza $8 = 2+2+4$ ✓.
2. $E_2 = \{x = y\} = L\big((1,1,0),(0,0,1)\big)$ , dimensión 2.
3. $E_4 = \{x = -y,\ z = 0\} = L\big((1,-1,0)\big)$ , dimensión 1; $A(1,-1,0) = (4,-4,0)$ ✓.
4. $2+1 = 3$ : diagonaliza, con $D = \operatorname{diag}(2,2,4)$ y $P$ de columnas $(1,1,0)$ , $(0,0,1)$ , $(1,-1,0)$ .
5. Como la matriz es simétrica y los tres autovectores ya son ortogonales, normalizándolos $P$ es ortogonal y $P^{-1} = P^{t}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.19 · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Una cuatro por cuatro que se rompe en dos bloques

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza la matriz $A$ utilizando para ello una base ortonormal.

A = \begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}

Los autovalores, una base ortonormal de autovectores, y $P$ y $D$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
La matriz solo mezcla la primera coordenada con la cuarta; la segunda y la tercera van solas. ¿Cómo se organiza el cálculo?
02
La dimensión del subespacio del 1
COMP2
¿Cuánto vale $\dim E_1$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $A$ es simétrica: diagonaliza con base ortonormal, seguro.
2. Característico $(1-\lambda)^{2}(\lambda^{2}-1) = -(\lambda-1)^{3}(\lambda+1)$ : autovalores $1$ (triple) y $-1$ .
3. $E_1 = \{x = t\} = L\big((1,0,0,1),\ e_2,\ e_3\big)$ y $E_{-1} = L\big((1,0,0,-1)\big)$ ; los cuatro vectores ya son ortogonales.
4. Normalizando: $P$ de columnas $\tfrac1{\sqrt2}(1,0,0,1)$ , $e_2$ , $e_3$ , $\tfrac1{\sqrt2}(1,0,0,-1)$ , y $D = P^{t}AP = \operatorname{diag}(1,1,1,-1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.20 · Boletín de problemas, Diagonalización (ejercicios de examen) · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la demostración de independencia y la matriz que no diagonaliza

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Define autovalores y autovectores de un endomorfismo. Demuestra que los autovectores de diferentes autovalores forman un sistema de vectores libre.
$f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ ,
$A = \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&1&-1\\ 0&2&4 \end{pmatrix}$
(a) Halla los autovalores de $f$ .

(b) Encuentra las bases de los correspondientes subespacios asociados.

(c) ¿Es $f$ diagonalizable? En caso afirmativo hallar la matriz diagonal y la de paso.

Las definiciones, la demostración, y la resolución completa de la matriz.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para demostrar que autovectores $v_1,\dots,v_k$ de autovalores distintos $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ son libres, se parte de $a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0$ . ¿Cuál es el movimiento clave?
02
El rango que decide
COMP2
Los autovalores de $A$ son $2$ (doble) y $3$ . ¿Cuánto vale $\operatorname{rg}(A-2I)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de la parte 1. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Definición: $\lambda$ es autovalor de $f$ si existe $v \ne 0$ con $f(v) = \lambda v$ ; ese $v$ es un autovector asociado a $\lambda$ .
2. Inducción en $k$ . Para $k = 1$ : un autovector es no nulo, luego $\{v_1\}$ es libre.
3. Paso: supuesto cierto para $k-1$ , sea $a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0$ . Aplicando $f$ : $a_1\lambda_1v_1+\cdots+a_k\lambda_kv_k = 0$ .
4. Restando $\lambda_k$ veces la primera igualdad: $\sum_{i<k}a_i(\lambda_i-\lambda_k)v_i = 0$ ; por hipótesis de inducción $a_i(\lambda_i-\lambda_k) = 0$ , y como $\lambda_i \ne \lambda_k$ , $a_i = 0$ para $i<k$ .
5. Queda $a_kv_k = 0$ con $v_k \ne 0$ : $a_k = 0$ . Todos los coeficientes son nulos, el sistema es libre.

Resolución completa

1 · Definiciones y demostración.

$\lambda \in \mathbb{R}$ es autovalor de $f$ si existe $v \ne 0$ con $f(v) = \lambda v$ . Cada $v \ne 0$ que lo cumple es un autovector asociado a $\lambda$ .

Teorema. Si $v_1,\dots,v_k$ son autovectores de autovalores distintos dos a dos, entonces $\{v_1,\dots,v_k\}$ es libre.

Demostración, por inducción en $k$ . Para $k = 1$ , $v_1 \ne 0$ y un vector no nulo es libre. Supongámoslo para $k-1$ y sea

a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0 \qquad (1)

Aplicando $f$ : $a_1\lambda_1v_1+\cdots+a_k\lambda_kv_k = 0$ . Restando $\lambda_k\cdot(1)$ :

a_1(\lambda_1-\lambda_k)v_1+\cdots+a_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)v_{k-1} = 0

Por hipótesis de inducción todos los coeficientes son cero, y como $\lambda_i-\lambda_k \ne 0$ , resulta $a_1 = \cdots = a_{k-1} = 0$ . Entonces (1) queda $a_kv_k = 0$ , y $v_k \ne 0$ obliga a $a_k = 0$ . $\blacksquare$

2 · La matriz. Es la del 7.14:

\det(A-\lambda I) = -(\lambda-2)^{2}(\lambda-3),\qquad E_2 = L\big((1,0,0)\big),\quad E_3 = L\big((1,1,-2)\big)

\boxed{\text{NO diagonaliza: } \dim E_2 = 1 < 2}

Por qué el examen junta estas dos cosas. El teorema dice que autovalores distintos regalan autovectores independientes; la matriz enseña que un autovalor repetido no regala nada — hay que mirar el rango. Quien entiende la demostración entiende por qué el caso « $n$ autovalores distintos» es el cómodo y el doble es el que se examina.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.21 · Boletín de problemas, Diagonalización (ejercicios de examen) · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: diagonalizar para calcular una potencia

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Define autovalores y autovectores de un endomorfismo. Demuestra que los autovectores de diferentes autovalores forman un sistema de vectores libre.
$A = \begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&-2\\ -2&2&-3 \end{pmatrix}$
(a) Encuentra sus valores y vectores propios.

(b) ¿Es diagonalizable? En caso afirmativo encuentra la matriz diagonal y la de cambio de base.

(c) Utilizando el resultado anterior, calcula $A^{20}$ .

Autovalores y autovectores, $D$ y $P$ , y $A^{20}$ . La teoría es la del 7.20.

01
Reconocer el camino
COMP1
$A+I = \begin{pmatrix}2&-2&2\\-2&2&-2\\-2&2&-2\end{pmatrix}$ . ¿Qué se lee ahí?
02
Un cálculo previo a la potencia
COMP2
Con $D = \operatorname{diag}(1,-1,-1)$ , $A^{20} = PD^{20}P^{-1}$ . ¿Cuánto vale el elemento $(1,1)$ de $A^{20}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\operatorname{rg}(A+I) = 1$ : $\lambda = -1$ doble con $E_{-1} = \{x-y+z=0\} = L\big((1,1,0),(1,0,-1)\big)$ .
2. Traza $-1$ da $\lambda_3 = 1$ ; $(A-I)v = 0$ da $E_1 = L\big((1,-1,-1)\big)$ ; comprobación $A(1,-1,-1) = (1,-1,-1)$ ✓.
3. $2+1 = 3$ : diagonaliza. $D = \operatorname{diag}(1,-1,-1)$ , $P$ de columnas $(1,-1,-1)$ , $(1,1,0)$ , $(1,0,-1)$ .
4. $A^{20} = PD^{20}P^{-1}$ y $D^{20} = I$ , luego $A^{20} = I$ .
5. Como $A^{20} = I$ , en particular $A$ es su propia inversa y $A^{2} = I$ ; se comprueba multiplicando.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.22 · Boletín de problemas, Diagonalización (ejercicios de examen) · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la matriz que intercambia, y sus potencias

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Define autovalores y autovectores. Prueba que los autovectores asociados a diferentes autovalores $\lambda_1 \ne \lambda_2 \ne \dots \ne \lambda_n$ conforman un sistema de vectores libre.
Diagonaliza $A$ mediante una matriz de cambio de base ortogonal y, utilizando ese resultado, calcula $A^{6}$ y $A^{-1}$ .
$A = \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$

La diagonalización ortogonal, y con ella $A^{6}$ y $A^{-1}$ . La teoría es la del 7.20.

01
Reconocer el camino
COMP1
$A$ intercambia la primera coordenada con la tercera y deja la segunda quieta. ¿Qué autovectores se ven sin calcular?
02
Una entrada de la potencia sexta
COMP2
Con $D = \operatorname{diag}(1,1,-1)$ y $P$ ortogonal, $A^{6} = PD^{6}P^{t}$ . ¿Cuánto vale el elemento $(1,3)$ de $A^{6}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico $(1-\lambda)(\lambda^{2}-1) = -(\lambda-1)^{2}(\lambda+1)$ : autovalores $1$ (doble) y $-1$ .
2. $E_1 = \{x = z\} = L\big((1,0,1),(0,1,0)\big)$ , $E_{-1} = L\big((1,0,-1)\big)$ ; los tres ya son ortogonales.
3. $P = \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\\0&1&0\\\frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}$ ortogonal, $P^{t}AP = \operatorname{diag}(1,1,-1)$ .
4. $A^{6} = PD^{6}P^{t}$ con $D^{6} = I$ : $A^{6} = I$ .
5. $A^{-1} = PD^{-1}P^{t}$ con $D^{-1} = \operatorname{diag}(1,1,-1) = D$ : $A^{-1} = PDP^{t} = A$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.23 · Boletín de problemas, Diagonalización (ejercicios de examen) · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: por qué el polinomio característico no depende de la base

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Define polinomio característico, autovalores y autovectores. Demuestra que haciendo un cambio de base en la matriz asociada al endomorfismo $f \in \mathcal{L}(F)$ el polinomio característico no cambia.
$A = \begin{pmatrix} 1&2&-2\\ 2&1&-2\\ 2&2&-3 \end{pmatrix}$
(a) Halla sus valores y vectores propios.

(b) Si es diagonalizable, encuentra la matriz diagonal y la de cambio de base.

La demostración de invariancia, y los autovalores, autovectores, $D$ y $P$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Si $B = P^{-1}AP$ es la matriz de $f$ en otra base, ¿por qué $\det(B-\lambda I) = \det(A-\lambda I)$ ?
02
La dimensión del subespacio del autovalor doble
COMP2
$A+I = \begin{pmatrix}2&2&-2\\2&2&-2\\2&2&-2\end{pmatrix}$ . ¿Cuánto vale $\dim E_{-1}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la demostración de la parte 1. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Definiciones: $p(\lambda) = \det(A-\lambda I)$ es el polinomio característico; sus raíces reales son los autovalores; los autovectores de $\lambda$ son los $v \ne 0$ con $Av = \lambda v$ .
2. Si $B$ es la matriz de $f$ en otra base, existe $P$ invertible con $B = P^{-1}AP$ .
3. $B-\lambda I = P^{-1}AP - P^{-1}(\lambda I)P = P^{-1}(A-\lambda I)P$ .
4. $\det(B-\lambda I) = \det(P^{-1})\det(A-\lambda I)\det(P) = \det(A-\lambda I)$ , porque $\det(P^{-1}) = 1/\det(P)$ .
5. Luego el polinomio característico, y con él los autovalores, la traza y el determinante, no dependen de la base.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.24 · Boletín de problemas, Diagonalización (ejercicios de examen) · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la norma, Minkowski, y una simétrica con autovalor doble

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea $V$ un espacio vectorial euclídeo, define norma de un vector. Prueba que $\forall\alpha \in \mathbb{R}$ , $\forall x \in V$ , $\|\alpha x\| = |\alpha|\,\|x\|$ . Enuncia y demuestra también la desigualdad triangular o de Minkowski.
$A$ es la siguiente matriz simétrica asociada a un endomorfismo en $\mathbb{R}^{3}$ :
$A = \begin{pmatrix} 7&-2&1\\ -2&10&-2\\ 1&-2&7 \end{pmatrix}$
(a) Encuentra una base ortogonal formada por autovectores.

(b) Diagonaliza $A$ utilizando una matriz de cambio de base ortogonal.

Las dos demostraciones sobre la norma, y la diagonalización ortogonal de $A$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres filas de $A$ suman $6$ . ¿Qué se obtiene de eso?
02
El tercer autovalor
COMP2
Sabiendo que $6$ es autovalor doble, ¿cuál es el tercer autovalor?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Autovalores $6$ (doble) y $12$ ; $E_6 = \{x-2y+z = 0\}$ , $E_{12} = L\big((1,-2,1)\big)$ .
2. En $E_6$ hay que elegir dos vectores ORTOGONALES entre sí: $(1,1,1)$ y $(1,0,-1)$ están en el plano y su producto escalar es $0$ .
3. $(1,-2,1)$ es perpendicular a los dos anteriores: base ortogonal de autovectores $\{(1,1,1),\ (1,0,-1),\ (1,-2,1)\}$ .
4. Normalizando por $\sqrt3$ , $\sqrt2$ , $\sqrt6$ : $P$ ortogonal y $P^{t}AP = \operatorname{diag}(6,6,12)$ .

Resolución completa

1 · La norma. En un espacio euclídeo, $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ .

Homogeneidad. $\|\alpha x\|^{2} = \langle\alpha x,\alpha x\rangle = \alpha^{2}\langle x,x\rangle = \alpha^{2}\|x\|^{2}$ , y tomando raíces positivas, $\|\alpha x\| = |\alpha|\,\|x\|$ .

Minkowski: $\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ . Se desarrolla el cuadrado:

\|x+y\|^{2} = \|x\|^{2}+2\langle x,y\rangle+\|y\|^{2} \le \|x\|^{2}+2\|x\|\,\|y\|+\|y\|^{2} = \big(\|x\|+\|y\|\big)^{2}

usando Cauchy–Schwarz, $\langle x,y\rangle \le |\langle x,y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|$ . Raíz cuadrada y listo. $\blacksquare$

2(a) · Base ortogonal de autovectores. Filas de suma $6$ : $(1,1,1)$ es autovector de $6$ . $A-6I$ tiene rango 1, luego $E_6 = \{x-2y+z = 0\}$ es un plano y $6$ es doble. Traza $24$ : $\lambda_3 = 12$ , con autovector la normal del plano, $(1,-2,1)$ .

En $E_6$ se eligen dos vectores ortogonales: $(1,1,1)$ y $(1,0,-1)$ (producto escalar $1+0-1 = 0$ ). Y $(1,-2,1)$ es perpendicular a ambos.

\boxed{\{(1,1,1),\ (1,0,-1),\ (1,-2,1)\}}

2(b) · Diagonalización ortogonal. Normas $\sqrt3$ , $\sqrt2$ , $\sqrt6$ :

\boxed{P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&0&-\frac2{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6} \end{pmatrix},\qquad P^{t}AP = \operatorname{diag}(6,6,12)}

Lo que cambia cuando piden ortogonal y hay un autovalor doble. Con autovalores distintos, la ortogonalidad viene sola. Con uno doble, dentro de su plano hay que ELEGIR dos vectores perpendiculares — y es el único sitio donde el examen puede pillar a quien ya sabe diagonalizar.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.25 · Boletín de problemas, Diagonalización (ejercicios de examen) · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

Examen: la matriz que conmuta con A, y la de ceros en la diagonal

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el espacio vectorial $E$ , el endomorfismo $f:E \to E$ y su matriz asociada $A$ .

(a) Define autovectores de $f$ asociados a un autovalor $\lambda$ . Prueba que generan un subespacio de $E$ .

(b) Sea $B$ una matriz cuyo producto con la matriz $A$ es conmutativo y $u \in E$ un autovector de $A$ con autovalor $\lambda$ . Demuestra que el vector $v = Bu$ es autovector de $A$ y halla el autovalor correspondiente.
Diagonaliza $A$ , mediante una matriz de cambio de base ortogonal.
$A = \begin{pmatrix} 0&2&2\\ 2&0&2\\ 2&2&0 \end{pmatrix}$

Las dos pruebas de la parte 1, y la diagonalización ortogonal de $A$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Parte 1(b): $AB = BA$ , $Au = \lambda u$ , $v = Bu$ . ¿Cuál es la cuenta?
02
El rango que da el autovalor doble
COMP2
Las filas de $A$ suman $4$ , así que $4$ es autovalor. Para el resto: ¿cuánto vale $\operatorname{rg}(A+2I)$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la parte 1(a) y la parte 2. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Autovector de $\lambda$ : $v \ne 0$ con $Av = \lambda v$ . El conjunto $E_\lambda = \{v : Av = \lambda v\}$ es $\ker(A-\lambda I)$ , núcleo de una aplicación lineal, luego subespacio.
2. $E_{-2} = \{x+y+z = 0\}$ , y en él se eligen ortogonales $(1,-1,0)$ y $(1,1,-2)$ ; $E_4 = L\big((1,1,1)\big)$ .
3. Normas $\sqrt2$ , $\sqrt6$ , $\sqrt3$ : $P$ ortogonal con esas columnas y $P^{t}AP = \operatorname{diag}(-2,-2,4)$ .
4. Comprobación: $(1,-1,0)\cdot(1,1,-2) = 0$ , y los dos son perpendiculares a $(1,1,1)$ .

Resolución completa

1(a). $v \ne 0$ es autovector de $\lambda$ si $Av = \lambda v$ . El conjunto de esos vectores, junto con el $0$ , es $E_\lambda = \{v \in E : (A-\lambda I)v = 0\} = \ker(A-\lambda I)$ , y el núcleo de una aplicación lineal es siempre un subespacio (si $(A-\lambda I)v = 0$ y $(A-\lambda I)w = 0$ , entonces $(A-\lambda I)(\alpha v+\beta w) = 0$ ). $\blacksquare$

1(b). Con $AB = BA$ y $Au = \lambda u$ :

A v = A(Bu) = (AB)u = (BA)u = B(Au) = B(\lambda u) = \lambda\,Bu = \lambda v

Luego $v = Bu$ es autovector de $A$ con el mismo autovalor $\lambda$ (siempre que $Bu \ne 0$ ). $\blacksquare$

2 · Diagonalización ortogonal. $A$ es simétrica. Filas de suma $4$ : $(1,1,1)$ es autovector de $4$ . $A+2I$ tiene rango 1: $-2$ es doble, $E_{-2} = \{x+y+z = 0\}$ . Traza $0 = 4-2-2$ ✓.

En $E_{-2}$ , dos vectores ortogonales: $(1,-1,0)$ y $(1,1,-2)$ (producto escalar $1-1+0 = 0$ ). Ambos perpendiculares a $(1,1,1)$ .

\boxed{P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\\ -\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3}\\ 0&-\frac2{\sqrt6}&\frac1{\sqrt3} \end{pmatrix},\qquad P^{t}AP = \operatorname{diag}(-2,-2,4)}

La misma matriz con otro disfraz. $A = 2(J-I)$ , donde $J$ es la matriz de unos: los autovectores de $J$ ( $(1,1,1)$ con $3$ y el plano $x+y+z = 0$ con $0$ ) son los de $A$ , con autovalores $2(3-1) = 4$ y $2(0-1) = -2$ . Es la misma estructura que el 7.7 $A_5$ ( $2I+J$ ): el plano $x+y+z = 0$ aparece en media docena de exámenes.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.6 (matriz A1) · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La primera del 7.6: un autovalor doble que llena su plano

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza las siguientes matrices cuando sea posible, dando también la matriz de paso:

A_1 = \begin{pmatrix} 4&-2&2\\ 2&0&2\\ -1&1&1 \end{pmatrix}

Autovalores, subespacios propios, y $D$ y $P$ si existen.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los autovalores son $1$ , $2$ y $2$ (traza $5$ , $\det A_1 = 4$ ). ¿Qué hay que comprobar antes de dar la $P$ ?
02
La dimensión de E₂
COMP2
¿Cuánto vale $\dim E_2$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico $-(\lambda-1)(\lambda-2)^{2}$ : autovalores $1$ y $2$ (doble). Traza $5 = 1+2+2$ ✓.
2. $E_2 = \{x-y+z = 0\} = L\big((1,1,0),(1,0,-1)\big)$ , dimensión 2.
3. $E_1$ : de $(A_1-I)v = 0$ sale $L\big((2,2,-1)\big)$ ; comprobación $A_1(2,2,-1) = (2,2,-1)$ ✓.
4. $2+1 = 3$ : diagonaliza con $D = \operatorname{diag}(2,2,1)$ y $P = \begin{pmatrix}1&1&2\\1&0&2\\0&-1&-1\end{pmatrix}$ .
5. El orden de las columnas de $P$ es libre, pero tiene que coincidir con el orden de los autovalores en $D$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.6 (matriz A2) · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La segunda del 7.6: tres autovalores distintos, sin discusión

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza las siguientes matrices cuando sea posible, dando también la matriz de paso:

A_2 = \begin{pmatrix} 0&-1&-1\\ 1&2&5\\ 2&2&-1 \end{pmatrix}

Autovalores, un autovector de cada uno, y $D$ y $P$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
El característico es $-\lambda^{3}+\lambda^{2}+9\lambda-9$ . ¿Cómo se factoriza sin tantear a ciegas?
02
El autovector del 1
COMP2
$A_2-I = \begin{pmatrix}-1&-1&-1\\1&1&5\\2&2&-2\end{pmatrix}$ . El autovector del $1$ es $(1,a,0)$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico $(\lambda-1)(9-\lambda^{2})$ : autovalores $1$ , $3$ , $-3$ , todos simples.
2. Tres autovalores distintos en $\mathbb{R}^{3}$ : diagonaliza, seguro, antes de calcular ningún autovector.
3. $E_1 = L\big((1,-1,0)\big)$ , $E_{-3} = L\big((0,-1,1)\big)$ , $E_3 = L\big((-3,7,2)\big)$ .
4. Comprobación del más feo: $A_2(-3,7,2) = (-9,21,6) = 3\,(-3,7,2)$ ✓.
5. $D = \operatorname{diag}(1,-3,3)$ y $P$ con columnas $(1,-1,0)$ , $(0,-1,1)$ , $(-3,7,2)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.6 (matriz A3) · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La tercera del 7.6: la primera fila ya da un autovalor

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza las siguientes matrices cuando sea posible, dando también la matriz de paso:

A_3 = \begin{pmatrix} 2&0&0\\ -3&-1&3\\ 3&3&-1 \end{pmatrix}

Autovalores, subespacios propios, y $D$ y $P$ si existen.

01
Reconocer el camino
COMP1
La primera fila es $(2,0,0)$ . ¿Qué se gana desarrollando por ella?
02
El rango de A₃ − 2I
COMP2
$A_3-2I = \begin{pmatrix}0&0&0\\-3&-3&3\\3&3&-3\end{pmatrix}$ . ¿Cuál es su rango?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico $-(\lambda-2)^{2}(\lambda+4)$ : autovalores $2$ (doble) y $-4$ . Traza $0 = 2+2-4$ ✓.
2. $E_2 = \{x+y-z = 0\} = L\big((1,0,1),(0,1,1)\big)$ , dimensión 2.
3. $E_{-4}$ : de $(A_3+4I)v = 0$ sale $x = 0$ , $z = -y$ : $L\big((0,-1,1)\big)$ ; comprobación $A_3(0,-1,1) = (0,4,-4)$ ✓.
4. $2+1 = 3$ : diagonaliza con $D = \operatorname{diag}(2,2,-4)$ y $P = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\1&1&1\end{pmatrix}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.7 (matriz A1) · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La primera del 7.7: filas que suman cero

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza estas matrices y encuentra una matriz de paso ortogonal:

A_1 = \begin{pmatrix} -1&1&0\\ 1&-2&1\\ 0&1&-1 \end{pmatrix}

Autovalores, una base ortonormal de autovectores, y $P$ ortogonal con $D$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres filas suman $0$ . ¿Qué se lee?
02
El tercer autovalor
COMP2
Los autovalores son $0$ , $-1$ y un tercero. Sabiendo que $(1,0,-1)$ es autovector de $-1$ , ¿cuál es el tercero?
Tu respuesta al paso 2un número entero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Autovalores $0$ , $-1$ , $-3$ , distintos: diagonaliza; simétrica: con base ortonormal.
2. $E_0 = L\big((1,1,1)\big)$ , $E_{-1} = L\big((1,0,-1)\big)$ , $E_{-3} = L\big((1,-2,1)\big)$ .
3. Los tres son ortogonales dos a dos, como debe ser en una simétrica con autovalores distintos: $(1,1,1)\cdot(1,0,-1) = 0$ , etc.
4. Normalizando por $\sqrt3$ , $\sqrt2$ , $\sqrt6$ , $P$ es ortogonal y $P^{t}A_1P = \operatorname{diag}(0,-1,-3)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.7 (matriz A2) · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La segunda del 7.7: rango uno, y hay que ortogonalizar

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza estas matrices y encuentra una matriz de paso ortogonal:

A_2 = \begin{pmatrix} -4&4&-2\\ 4&-4&2\\ -2&2&-1 \end{pmatrix}

Autovalores, una base ortonormal de autovectores, y $P$ ortogonal con $D$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
Las tres filas de $A_2$ son múltiplos de $(2,-2,1)$ . ¿Qué dice eso de los autovalores?
02
Ortogonalizar dentro del plano
COMP2
En $E_0 = \{2x-2y+z = 0\}$ se toman $u_1 = (1,1,0)$ y $u_2 = (1,0,-2)$ , que no son ortogonales. Gram–Schmidt: $w = u_2 - \dfrac{u_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}u_1$ . ¿Cuánto vale la primera coordenada de $2w$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\operatorname{rg}A_2 = 1$ : $0$ doble con $E_0 = \{2x-2y+z = 0\}$ ; traza $-9$ : $E_{-9} = L\big((2,-2,1)\big)$ .
2. Base ortogonal de $E_0$ por Gram–Schmidt: $(1,1,0)$ y $(1,-1,-4)$ .
3. $(2,-2,1)$ es perpendicular a ambos (es la normal del plano).
4. Normas $\sqrt2$ , $\sqrt{18} = 3\sqrt2$ , $3$ : $P$ ortogonal y $P^{t}A_2P = \operatorname{diag}(0,0,-9)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.7 (matriz A3) · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La tercera del 7.7: tres autovectores de norma tres

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza estas matrices y encuentra una matriz de paso ortogonal:

A_3 = \begin{pmatrix} 1&-2&0\\ -2&2&-2\\ 0&-2&3 \end{pmatrix}

Autovalores, una base ortonormal de autovectores, y $P$ ortogonal con $D$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
El característico es $-\lambda^{3}+6\lambda^{2}-3\lambda-10$ . Sus raíces enteras están entre los divisores de $10$ . ¿Cuáles son?
02
La norma común
COMP2
Los autovectores son $(2,2,1)$ , $(2,-1,-2)$ y $(1,-2,2)$ . ¿Cuál es la norma de cada uno?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Autovalores $-1$ , $2$ , $5$ , distintos: diagonaliza; simétrica: base ortonormal.
2. $E_{-1} = L\big((2,2,1)\big)$ , $E_2 = L\big((2,-1,-2)\big)$ , $E_5 = L\big((1,-2,2)\big)$ ; comprobación $A_3(1,-2,2) = (5,-10,10)$ ✓.
3. Los tres tienen norma $3$ y son ortogonales dos a dos.
4. $P = \tfrac13\begin{pmatrix}2&2&1\\2&-1&-2\\1&-2&2\end{pmatrix}$ es ortogonal y $P^{t}A_3P = \operatorname{diag}(-1,2,5)$ .
5. Como $P$ es simétrica, $P^{t} = P$ y por tanto $P^{2} = I$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.7 (matriz A4) · Boletín de problemas, Diagonalización · Álgebra, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU) · Departamento de Matemática Aplicada.

La cuarta del 7.7: la más pequeña, por bloques

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Diagonaliza estas matrices y encuentra una matriz de paso ortogonal:

A_4 = \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

Autovalores, una base ortonormal de autovectores, y $P$ ortogonal con $D$ .

01
Reconocer el camino
COMP1
La tercera coordenada va sola, y el bloque $\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ tiene filas de suma $0$ . ¿Autovalores?
02
La entrada de P
COMP2
Normalizando $(1,1,0)$ , $(1,-1,0)$ y $(0,0,1)$ y poniéndolos como columnas, ¿cuánto vale el cuadrado de la entrada $(1,1)$ de $P$ ?
Tu respuesta al paso 2un número decimal — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la solución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Característico $(1-\lambda)\big[(1-\lambda)^{2}-1\big] = -\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)$ .
2. $E_0 = L\big((1,1,0)\big)$ , $E_2 = L\big((1,-1,0)\big)$ , $E_1 = L\big((0,0,1)\big)$ , ortogonales dos a dos.
3. $P$ con columnas $\tfrac1{\sqrt2}(1,1,0)$ , $\tfrac1{\sqrt2}(1,-1,0)$ , $(0,0,1)$ es ortogonal y $P^{t}A_4P = \operatorname{diag}(0,2,1)$ .
4. Comprobación: $A_4(1,1,0) = (0,0,0)$ , $A_4(1,-1,0) = (2,-2,0)$ , $A_4(0,0,1) = (0,0,1)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Diagonalización de matrices cuadradas

Autovalores y autovectores

Leerlo sin desarrollarlo

El subespacio propio

Las dos multiplicidades, que es todo el tema

Cómo se hace, en orden

Con parámetro

Matrices simétricas: el caso regalado

Para qué sirve: potencias

Lo que hay que llevar sabido

Reconocer el camino

El otro autovalor

El autovector del otro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La dimensión del subespacio propio de A

Y la de B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La matriz de paso

La entrada de arriba a la izquierda de A⁴

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Reconocer el camino

El autovalor que no es cero

La multiplicidad geométrica del doble

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Reconocer el camino

El autovalor que las filas regalan

La dimensión del subespacio propio del doble

El segundo vector, tras ortogonalizar dentro del plano

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Reconocer el camino

La comprobación de v

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Reconocer el camino

La suma de los autovalores

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Reconocer el camino

El autovalor del vector fijo (0,1,1)

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Reconocer el camino

Una entrada de la matriz

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Reconocer el camino

El autovalor del vector (0,1,−1,0)

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Reconocer el camino

La norma del autovector de λ = −1

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Reconocer el camino

El rango de A + 2I

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Reconocer el camino

El rango de A − I con a = 0 y c = 2

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El rango de A + I con a = −1

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Reconocer el camino

El autovalor del vector (1,−1,0,0)

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Reconocer el camino

El autovalor de (1,−1,0) con x = 3 y m = 2

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Reconocer el camino

El rango de A − 2I

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Reconocer el camino

Cuántos autovectores independientes hay

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Reconocer el camino

El tercer autovalor

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Reconocer el camino

El valor de c que hace diagonalizable a f

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La dimensión del subespacio del 2

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Reconocer el camino