Fundamentos Químicos de la Ingeniería · tema 05
Termodinámica clásica
El convenio de signos, la diferencia entre función de estado y función de camino, y cómo leer el trabajo de un ciclo en un diagrama P-V sin calcular nada.
este tema trae un simuladorEs el tema que abre el segundo cuatrimestre y el que sostiene los cuatro siguientes: la entalpía del 6, la entropía del 7 y la energía libre que decide el 8 y el 10 son todas funciones de estado, y aquí es donde se define qué significa eso.
El examen del segundo cuatrimestre de 2024-2025 lo abre con un ejercicio que no tiene ni un número: un ciclo dibujado en un diagrama P-V y la pregunta de qué signo tiene el trabajo en cada tramo.
Sistema, entorno y la primera decisión
Todo lo que sigue depende de dónde pongas la frontera. El sistema es lo que estudias; el entorno, todo lo demás. Y el convenio de signos está escrito desde el punto de vista del sistema:
| positivo cuando… | |
|---|---|
| el sistema absorbe calor | |
| el sistema recibe trabajo, o sea cuando se comprime |
Usar el convenio del motor sin decirlo
Hay dos convenios en circulación. El moderno —el de esta asignatura y el de la IUPAC— cuenta positivo lo que entra al sistema, y escribe la primera ley como .
El de la ingeniería térmica clásica cuenta positivo el trabajo que el sistema produce, y escribe . Los dos son correctos y dan la misma física; mezclarlos no.
La forma de no equivocarse: fíjate en cómo está escrita la primera ley en el enunciado o en los apuntes, y usa ese. Si ves , comprimir es positivo.
Función de estado y función de camino
Es la distinción del tema, y decide cómo se resuelve cada ejercicio.
- Una función de estado solo depende de dónde estás: , , , , y también , , . En un ciclo completo su variación es cero, sin excepción.
- Una función de camino depende de cómo has llegado: y . En un ciclo completo no valen cero — de hecho, si valieran cero no existirían los motores.
De ahí sale la propiedad que más se usa, y que ya estaba detrás de la ley de Hess del tema 6: si solo depende del estado, puedes calcular por el camino que te resulte cómodo, aunque el proceso real haya ido por otro.
La pregunta que responde: ¿qué significa exactamente que el trabajo sea función de camino? Los dos recorridos empiezan en el mismo punto 1 y acaban en el mismo 2, así que la energía interna cambia lo mismo por los dos. Pero el trabajo es el área bajo la curva, y ahí sí importa por dónde vas: expandirse a presión alta entrega mucho más que hacerlo a presión baja. Esa es toda la diferencia entre las dos familias de magnitudes.
El trabajo, leído en el diagrama
y con el convenio de arriba, el signo se lee sin integrar nada:
- el volumen aumenta → el sistema se expande, empuja al entorno, ;
- el volumen disminuye → lo comprimen, ;
- el volumen no cambia → , sea cual sea la presión.
Y el valor absoluto es el área bajo la curva en el diagrama P-V. Para un tramo a presión constante, , que es un rectángulo.
Un ciclo, y por qué el área encerrada es el trabajo neto
Recorrer un ciclo devuelve el sistema a su estado inicial, así que y, por la primera ley, : todo el calor que ha entrado ha salido como trabajo, o al revés.
El trabajo neto es el área encerrada por el ciclo, y su signo lo da el sentido:
- ciclo horario → el sistema produce trabajo neto ( con este convenio). Es un motor.
- ciclo antihorario → hay que meterle trabajo. Es un frigorífico.
Decir que en un ciclo el trabajo es cero
Lo que vale cero en un ciclo es la variación de las funciones de estado: , , . El trabajo y el calor no son funciones de estado y no tienen por qué anularse — y menos mal, porque si se anularan no habría motores.
La confusión viene de que las dos frases suenan igual: «vuelve al mismo sitio, así que no ha cambiado nada». Ha cambiado el entorno: se ha llevado trabajo y ha dado calor.
La primera ley
La energía interna no se crea ni se destruye: entra como calor, entra como trabajo, o sale por alguno de los dos.
Dos casos que se usan constantemente y conviene tener automatizados:
- A volumen constante, y por tanto .
- A presión constante, que es el caso normal en un laboratorio abierto, . Esa es la definición de la entalpía y la razón de que el tema 6 exista: es el calor que se mide cuando no controlas el volumen.
Y de ahí sale la relación que ya se usó en termoquímica:
Cómo saber que has terminado
- Decir el signo del trabajo de un tramo mirando solo si el volumen sube o baja, sin calcular.
- Saber cuál es el trabajo de un tramo a volumen constante sin pensarlo.
- Explicar por qué de un ciclo es cero y el trabajo no.
- Leer el sentido de un ciclo y decir si es motor o frigorífico.
- Y relacionar con y con , que es el puente hacia el tema siguiente.
Practica lo que acabas de leer
Un gas que se expande, y el signo que casi todo el mundo pone al revés
Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».
Hacer el ejercicio →Un gas que se expande, y el signo que casi todo el mundo pone al revés
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Un gas se expande de 1,0 L a 5,0 L contra una presión exterior constante de 2,0 atm.
Calcular el trabajo, con su signo, en julios.
Dato: 1 atm·L = 101,325 J. Convenio: .
El trabajo intercambiado, con su signo, en julios.
- 01
Reconocer el camino
COMP1El gas se expande. Con el convenio , ¿qué signo tiene el trabajo?
El volumen aumenta y por eso el trabajo es negativo: la fórmula lleva un menos delante, .
Eso es. Con este convenio lo positivo es lo que entra al sistema. Al expandirse, el gas gasta energía apartando la atmósfera, así que sale.
Realiza trabajo, sí — y por eso pierde energía. Con el convenio eso es negativo. El signo contrario corresponde al otro convenio, el de .
La reversibilidad cambia el valor —un proceso reversible entrega más trabajo— pero no el signo. Expandirse siempre entrega energía al entorno.
- 02
El trabajo
COMP2¿Cuánto vale el trabajo, en julios?
el trabajo en julios, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…El valor está bien y el signo no. Con , una expansión da trabajo negativo: el sistema entrega energía.
Has usado el volumen final en vez de la variación. Lo que cuenta es cuánto se ha desplazado el entorno: L.
, con la variación y no el volumen final. El resultado sale en atm·L y hay que pasarlo a julios.
Desarrollo
- 03
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
No se sigue. La primera ley es : el trabajo es solo uno de los dos términos.
Si mientras se expande el gas absorbe calor —y en una expansión isoterma absorbe exactamente el mismo que entrega como trabajo— su energía interna no cambia en absoluto. Para saber qué pasa con hace falta conocer también .
El razonamiento, en orden
La presión exterior es constante, así que sin integrar nada.
L, la variación y no el volumen final.
atm·L, negativo porque el gas se expande.
En julios, J.
El signo lo decide una sola pregunta: ¿sube el volumen o baja? Y el trabajo por sí solo no dice qué le pasa a la energía interna.
Resolución completa
La idea. Con presión exterior constante el trabajo es un rectángulo, y su signo se lee del sentido en que se mueve el volumen.
Los dos descuidos, y los dos dan un número que no parece raro:
- usar en vez de —salen −1013 J—, porque lo que importa es cuánto se ha apartado el entorno, no dónde ha acabado el pistón;
- poner el signo al revés, que es lo que pasa al arrastrar el convenio de los motores.
Y una advertencia sobre el valor. Estos 811 J son el trabajo contra una presión exterior constante. Si la expansión fuera reversible —el gas empujando siempre contra una presión infinitesimalmente menor que la suya— el trabajo entregado sería mayor, y saldría de integrar con la del gas. La expansión irreversible contra presión fija es siempre la que menos trabajo rinde.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Un ciclo rectangular, y por qué su trabajo no es cero
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Un gas recorre un ciclo de cuatro tramos, en este orden:
- se expande de 2,0 L a 6,0 L a la presión constante de 3,0 atm;
- se enfría a volumen constante hasta 1,0 atm;
- se comprime de 6,0 L a 2,0 L a la presión constante de 1,0 atm;
- se calienta a volumen constante hasta volver a 3,0 atm.
Calcular el trabajo neto del ciclo, en atm·L, y decir si el gas produce trabajo o lo consume.
El trabajo neto del ciclo y su interpretación.
- 01
Reconocer el camino
COMP1El gas vuelve exactamente a su estado inicial. ¿Qué vale cero en un ciclo?
Se compensarían si la expansión y la compresión ocurrieran a la misma presión, y no es el caso: se expande a 3 atm y se comprime a 1. Esa diferencia es todo el ciclo.
Hay dos tramos a volumen constante en los que el gas se enfría y se calienta: ahí entra y sale calor sin que haya trabajo.
No ha cambiado nada en el sistema. En el entorno sí: le han dado calor y ha recibido trabajo. Si no fuera así no existirían los motores.
Exacto, y es la distinción central del tema. depende solo de dónde estás; y dependen del camino, y en un ciclo el camino no ha sido nulo aunque el punto sí.
- 02
El trabajo neto
COMP2¿Cuánto vale el trabajo neto del ciclo, en atm·L?
el trabajo en atm·L, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Sería cero si la expansión y la compresión ocurrieran a la misma presión. Aquí se expande a 3 atm y se comprime a 1: la ida cuesta 12 y la vuelta devuelve solo 4.
El valor está bien y el signo al revés. El ciclo es horario —se expande arriba y se comprime abajo—, así que el gas produce trabajo neto, que con este convenio es negativo.
Los dos tramos a volumen constante no aportan nada. Suma los otros dos, cada uno con su presión y su signo.
Desarrollo
Que es exactamente el área del rectángulo que encierra el ciclo: .
- 03
Justificar el argumento
COMP4Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
No hay trabajo, pero sí hay calor, y mucho: son los dos tramos donde el gas se enfría y se calienta. Con , la primera ley queda , así que ahí toda la energía intercambiada va a energía interna.
De hecho son imprescindibles: sin ellos el gas no podría volver a su presión inicial y no habría ciclo.
El razonamiento, en orden
Los dos tramos a volumen constante tienen , sea cual sea la presión.
La expansión a 3 atm da atm·L y la compresión a 1 atm devuelve .
El neto son atm·L, que es el área encerrada por el ciclo.
Negativo significa que el gas produce trabajo neto: el ciclo es horario y funciona como un motor.
Como en el ciclo, el calor neto absorbido es atm·L: todo lo que entra como calor sale como trabajo.
El área encerrada es el trabajo neto, y el sentido de giro da el signo. Horario, motor; antihorario, frigorífico.
Resolución completa
La idea. En un ciclo, porque es función de estado. El trabajo no es cero porque no lo es — y esa diferencia es la que hace posibles los motores.
| tramo | qué pasa | (atm·L) |
|---|---|---|
| 1 · expansión a 3,0 atm | sube | |
| 2 · enfriar a constante | nada se mueve | |
| 3 · compresión a 1,0 atm | baja | |
| 4 · calentar a constante | nada se mueve | |
El atajo que conviene reconocer: ese es exactamente el área del rectángulo que encierra el ciclo, . Vale para cualquier ciclo, tenga la forma que tenga: el trabajo neto es el área encerrada, y el sentido de giro da el signo.
- Horario —expandir arriba, comprimir abajo— el gas produce trabajo. Es un motor.
- Antihorario, hay que dárselo. Es un frigorífico.
Y de dónde sale esa energía. Como , la primera ley obliga a que atm·L: el gas ha absorbido justo ese calor y lo ha entregado como trabajo. No se ha creado nada — se ha convertido.
Los dos tramos a volumen constante parecen no hacer nada porque su trabajo es cero, pero son los que mueven el calor: con , allí . Sin ellos el ciclo no podría cerrarse.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Un gas que se comprime y suelta calor, y dos signos que decidirlo todo
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
El trabajo realizado cuando se comprime un gas en un cilindro es de 450 J. Durante este proceso, hay transferencia de calor de 125 J del gas hacia el entorno. Calcular el cambio de energía interna en este proceso.
La variación de energía interna del gas.
- 01
Reconocer el camino
COMP1El enunciado da dos números positivos, 450 y 125. ¿Con qué signo entra cada uno en la primera ley?
El gas no pierde en los dos casos: pierde calor, pero recibe trabajo. Comprimirlo es empujarlo, y empujar es dar energía.
Eso es. El convenio cuenta positivo lo que entra al sistema. Comprimir es hacerle trabajo al gas, así que ; y el calor va del gas hacia el entorno, o sea sale, así que .
Justo al revés. Comprimir es trabajo que recibe el gas, y «del gas hacia el entorno» es calor que cede. Con estos signos saldría J, y un gas comprimido que además no recibe calor no puede perder energía interna.
El enunciado da módulos y describe el sentido con palabras —«se comprime», «del gas hacia el entorno»—. El signo lo pones tú al leer esas palabras; si no lo haces, la primera ley da cualquier cosa.
- 02
La variación de energía interna
COMP2Aplicando , ¿cuánto vale , en julios?
un número entero, en julios — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Tienes los dos signos cambiados. Comprueba el sentido físico: al gas se le ha hecho trabajo y solo ha devuelto una parte como calor, así que se queda con energía. tiene que ser positivo.
Has sumado los dos como positivos. El calor sale del gas, así que resta.
Has sumado los dos como negativos. El trabajo de compresión entra al gas y suma.
Lo que entra suma y lo que sale resta. Entran 450 J de trabajo y salen 125 J de calor.
Desarrollo
- 03
Justificar el argumento
COMP4Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
El calor es solo una de las dos vías. Aquí el gas cede 125 J por una y recibe 450 J por la otra, así que el balance es a favor. Mirar solo el calor es olvidarse de la mitad de la primera ley.
El razonamiento, en orden
El convenio de la asignatura cuenta positivo lo que entra al sistema, y la primera ley se escribe ΔE = q + W.
Comprimir el gas es hacerle trabajo desde fuera, así que W = +450 J.
El calor va «del gas hacia el entorno», o sea que sale: q = −125 J.
ΔE = −125 + 450 = 325 J, positivo, y eso cuadra: al gas le han dado más de lo que ha devuelto.
Resolución completa
Todo el problema es leer dos frases. Los números no tienen ninguna dificultad; la tiene decidir su signo, y por eso este ejercicio abre la colección del tema.
El convenio de la asignatura —el de la IUPAC— cuenta positivo lo que entra al sistema, y la primera ley se escribe
«Se comprime un gas»: alguien empuja el émbolo desde fuera, así que el trabajo entra. J.
«Transferencia de calor de 125 J del gas hacia el entorno»: el calor sale. J.
La comprobación que evita el 90 % de los fallos de este tema. Antes de escribir el resultado, pregúntate si el signo tiene sentido: al gas se le ha dado trabajo y solo ha devuelto parte en forma de calor, así que se ha quedado con energía y tiene que ser positivo. Si te sale negativo, no repases la aritmética — repasa los signos.
Y un aviso que cuesta caro en la práctica: hay otro convenio en circulación, el de la ingeniería térmica, que cuenta positivo el trabajo que el sistema produce y escribe . Con él, este mismo problema tendría y daría el mismo 325 J. Los dos son correctos; mezclarlos no. Mira siempre cómo está escrita la primera ley en el enunciado o en los apuntes que estés usando.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Comprimir helio a temperatura constante, y por qué la energía no cambia
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Dos moles de helio gas, inicialmente a 1 atm y 300 K, se comprimen reversible e isotérmicamente hasta una presión de 4 atm. Calcular el trabajo y calor intercambiados y la variación de energía interna de este proceso, suponiendo que se comporta como un gas ideal.
El trabajo, el calor y la variación de energía interna.
- 01
Reconocer el camino
COMP1El enunciado da presiones y la fórmula del trabajo isotermo lleva volúmenes. ¿Hace falta calcularlos?
Exacto. Con constante, , así que . El logaritmo se puede escribir directamente con las presiones y no hace falta ni un volumen.
Sí depende, y mucho: comprimir a la mitad y comprimir a la cuarta parte dan trabajos distintos. Lo que pasa es que depende del cociente, no de los valores sueltos.
Se puede hacer así y sale lo mismo, pero es trabajo de más y una oportunidad más de equivocarse. El cociente es lo único que entra en el logaritmo, y ese cociente ya lo tienes.
El helio es un gas ideal aquí por hipótesis del enunciado, así que no tiene volumen propio que consultar.
- 02
El trabajo
COMP2¿Cuánto vale el trabajo, en julios, con el convenio de que es positivo lo que entra al sistema?
un número entero, en julios — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Signo cambiado. El gas se comprime, así que recibe trabajo del exterior y con este convenio es positivo. En una expansión sería al revés.
Eso es a secas, sin el logaritmo. Es el factor que va delante, no el resultado.
Parece que has usado un mol en vez de dos, o que has olvidado alguno de los factores. Comprueba .
, y .
Desarrollo
La colección publica J; la diferencia de tres julios sale del valor de que se use y no cambia nada.
- 03
El calor
COMP2¿Y el calor intercambiado, en julios?
un número entero, en julios — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Signo cambiado. Como , el calor tiene que ser opuesto al trabajo: todo lo que entra como trabajo sale como calor, o el gas se calentaría y dejaría de ser isotermo.
Cero sería un proceso adiabático. Aquí el calor tiene que salir precisamente para que la temperatura no suba mientras se comprime.
, y en un gas ideal a temperatura constante .
Desarrollo
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
La reversibilidad no tiene nada que ver. Lo que hace es que sea isotermo y el gas ideal: la energía interna de un gas ideal solo depende de . Una compresión isoterma irreversible también tendría , aunque su trabajo fuera otro.
El razonamiento, en orden
En un gas ideal la energía interna solo depende de la temperatura, así que en un proceso isotermo ΔE = 0.
A temperatura constante P₁V₁ = P₂V₂, así que V₂/V₁ = P₁/P₂ = 1/4 y no hacen falta los volúmenes.
W = −nRT ln(1/4) = +6915 J, positivo porque el gas se comprime y recibe trabajo.
Y como ΔE = q + W = 0, el calor es q = −6915 J: sale todo lo que entra como trabajo.
Resolución completa
Lo que sale gratis. El helio se supone gas ideal y el proceso es isotermo, así que
La energía interna de un gas ideal solo depende de la temperatura, y no cambia. Ojo con el motivo: es ideal + isotermo, no «reversible».
El trabajo, sin calcular volúmenes. A constante se cumple , así que
Positivo, porque el gas recibe trabajo: lo están comprimiendo.
El calor sale de la primera ley y no hay que calcularlo aparte.
Es decir: todo el trabajo que entra sale como calor. Tiene que ser así, y conviene entender por qué antes que memorizarlo. Comprimir un gas lo calienta; si además se quiere que la temperatura no cambie, hay que ir retirando exactamente ese calor. Eso es lo que significa hacer una compresión isoterma en la práctica: comprimir despacio, en contacto con un baño que absorba el calor.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.
Dos compresiones seguidas, y por qué no se pueden sumar los volúmenes
1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.
Enunciado
Una masa de aire, inicialmente a 80 kPa, ocupa un volumen de 100 dm³. Se comprime isotérmicamente hasta reducir su volumen a la mitad. Posteriormente, se vuelve a reducir el volumen a la mitad mediante un proceso isobaro. Suponiendo comportamiento ideal del gas, determina el trabajo total del proceso.
El trabajo total de las dos etapas.
- 01
Reconocer el camino
COMP1La segunda etapa es isobara. ¿A qué presión ocurre?
Al comprimir un gas la presión sube, no baja. A temperatura constante, la mitad de volumen es el doble de presión.
La presión ya no es 80 kPa cuando empieza la segunda etapa: la primera la ha subido. Con este error el trabajo de la segunda sale la mitad de lo que es.
No hace falta: la primera etapa es isoterma, así que y la presión final sale del cociente de volúmenes sin saber a qué temperatura ocurre todo.
Eso es lo que más se falla aquí. «Isobaro» significa presión constante durante esa etapa, no igual a la del principio del problema. Y al final de la primera el volumen es la mitad, así que la presión ha doblado.
- 02
El trabajo de la primera etapa
COMP2Comprimiendo isotérmicamente de 100 a 50 dm³ desde 80 kPa, ¿cuánto trabajo entra al gas, en julios?
un número entero, en julios — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Signo cambiado. Es una compresión: el gas recibe trabajo.
Eso es sin el logaritmo, es decir . Es el factor de delante, no el resultado.
Eso es , que sería el trabajo si la presión no cambiara. Pero en una isoterma la presión sube mientras comprimes, así que hay que integrar y sale el logaritmo.
, con . Pasa el volumen a metros cúbicos.
Desarrollo
- 03
El trabajo total
COMP2Sumando la segunda etapa, isobara a 160 kPa de 50 a 25 dm³, ¿cuánto vale el trabajo total, en julios?
un número entero, en julios — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…Ese es solo el de la primera etapa. Falta sumarle el de la segunda, que son 4000 J más.
Ese es solo el de la segunda. El trabajo total es la suma de las dos, porque el trabajo es función de camino y se acumula tramo a tramo.
Parece que has usado 80 kPa en la segunda etapa en vez de 160. La presión ha doblado al terminar la primera.
En una isobara , con kPa y m³.
Desarrollo
- 04
Justificar el argumento
COMP4Ordena el argumento. Una pieza es falsa.
- Ve eligiendo las piezas en orden.
El trabajo es función de camino, no de estado: dos caminos distintos entre los mismos extremos dan trabajos distintos. De hecho una isoterma de 100 a 25 dm³ daría J, que no son los 9545 de aquí. Lo que sí se podría juntar es o .
El razonamiento, en orden
La primera etapa es isoterma, así que W₁ = −P₁V₁ ln(V₂/V₁) = −8000 × ln 0,5 = 5545 J.
Al terminar la primera, el volumen es la mitad y la presión el doble: 160 kPa.
La segunda es isobara a esos 160 kPa, así que W₂ = −P ΔV = −160 000 × (−0,025) = 4000 J.
El trabajo total es la suma de los dos tramos, 9545 J, y entra al gas en los dos.
Resolución completa
Dos etapas, dos fórmulas distintas, y una presión que cambia entre medias. Ese es todo el problema.
Etapa 1, isoterma, de 100 a 50 dm³. En una isoterma la presión sube mientras comprimes, así que hay que integrar y aparece el logaritmo:
El eslabón que se olvida. Al terminar esa etapa la presión ya no es 80 kPa. Con constante y el volumen a la mitad:
Etapa 2, isobara, de 50 a 25 dm³ a 160 kPa. Aquí la presión no cambia, así que no hay logaritmo:
Y lo que el problema enseña de fondo. El trabajo es función de camino. Si en vez de estas dos etapas se hiciera una sola isoterma de 100 a 25 dm³ —los mismos extremos de volumen— saldría
Mil quinientos julios más, por el mismo cambio de volumen. Por eso no se pueden juntar tramos ni «atajar» un camino: hay que recorrerlo entero, etapa por etapa, arrastrando el estado que deja cada una.
¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.