tal cual cayó — sin cambiar un número

Ingeniería Térmica · convocatoria extraordinaria

Convocatoria extraordinaria · 2017-2018

18 de junio de 2018 · 3 ejercicios

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El ciclo reversible que rinde menos del diez por cientoPropiedades de una sustancia pura, simple y compresible
$1\ \text{kg}$ de nitrógeno desarrolla un ciclo termodinámico reversible formado por 3 procesos politrópicos. Inicalmente el nitrógeno evoluciona desde $11\ \text{bar}$ y $777\ ^\circ\text{C}$ hasta $8\ \text{bar}$ y $1367\ ^\circ\text{C}$ . A continuación, evoluciona hasta una presión de $4\ \text{bar}$ . Finalmente, regresa al estado inicial del ciclo según una politrópica de exponente $2{,}5$ . Determínese para cada uno de los procesos, el exponente politrópico y el calor específico politrópico. Calcúlese también el rendimiento del ciclo. Considérese el nitrógeno gas ideal con calores específicos constantes.

Para el nitrógeno, la resolución toma $R' = 0{,}297\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}$ y $\gamma = 1{,}4$ .
Los tres exponentes, los tres calores específicos politrópicos y el rendimiento.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Los signos antes de la cuenta, y un universo que genera aunque el proceso noLa entropía y su utilización
$100\ \text{dm}^{3}$ de aire se encuentran a $4{,}8\ \text{bar}$ y $305\ ^\circ\text{C}$ en un cilindro-pistón, que al contacto con un foco a $5\ ^\circ\text{C}$ , se enfrían hasta los $41\ ^\circ\text{C}$ según un proceso de exponente politrópico $-1{,}4$ . Calcúlese el intercambio de calor y de trabajo total, así como la entropía generada en el universo. Se valorará especialmente aquellas resoluciones que deduzcan previamente a cualquier cálculo, el signo de los resultados.

Para el aire, la resolución toma $c_p = 1{,}005$ , $c_v = 0{,}718$ y $R' = 0{,}287\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}$ .
El signo y el valor del calor, del trabajo y de la entropía generada en el universo.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
Sesenta centímetros de fachada, y tres vatios por metro cuadradoTransmisión de calor por conducción
La fachada de una vivienda está compuesta de dos capas: la del lado exterior, en contacto con aire a $5\ ^\circ\text{C}$ , tiene un espesor de $20\ \text{cm}$ y una conductividad térmica de $0{,}3\ \text{W/m}\cdot\text{K}$ . El coeficiente de convección entre el aire exterior y la superficie de esa capa es de $11\ \text{W/m}^{2}\text{K}$ . La capa del lado interior, en contacto con el aire interior, tiene un espesor de $40\ \text{cm}$ y conductividad térmica de $0{,}1\ \text{W/m}\cdot\text{K}$ . La temperatura superficial de dicha capa interior es de $20\ ^\circ\text{C}$ . Calcúlese la densidad del flujo de calor a través de la fachada, la temperatura en el medio de cada una de las capas y la temperatura superficial exterior de la fachada. Despréciese el intercambio de calor por radiación.
El flujo de calor por metro cuadrado y tres temperaturas dentro del muro.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenEjercicio 1 de la convocatoria extraordinaria de 2017-2018, celebrada el 18 de junio de 2018 · Ingeniería Térmica, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El PDF trae la resolución manuscrita del profesor; el desarrollo se hizo a ciegas desde el enunciado y se contrastó después contra ella.

El ciclo reversible que rinde menos del diez por ciento

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$1\ \text{kg}$ de nitrógeno desarrolla un ciclo termodinámico reversible formado por 3 procesos politrópicos. Inicalmente el nitrógeno evoluciona desde $11\ \text{bar}$ y $777\ ^\circ\text{C}$ hasta $8\ \text{bar}$ y $1367\ ^\circ\text{C}$ . A continuación, evoluciona hasta una presión de $4\ \text{bar}$ . Finalmente, regresa al estado inicial del ciclo según una politrópica de exponente $2{,}5$ . Determínese para cada uno de los procesos, el exponente politrópico y el calor específico politrópico. Calcúlese también el rendimiento del ciclo. Considérese el nitrógeno gas ideal con calores específicos constantes.

Para el nitrógeno, la resolución toma $R' = 0{,}297\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}$ y $\gamma = 1{,}4$ .

Los tres exponentes, los tres calores específicos politrópicos y el rendimiento.

01
Reconocer el camino
COMP1
Del tramo 2-3 solo se sabe la presión final, 4 bar. ¿Cómo se fija el estado 3?
02
El exponente del tramo 1-2
COMP2
De $11\ \text{bar}$ y $1050\ \text{K}$ a $8\ \text{bar}$ y $1640\ \text{K}$ . ¿Cuánto vale $n_{12}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La temperatura del estado 3
COMP2
Por el tramo 3-1, con $n = 2{,}5$ , ¿a qué temperatura está el estado 3?
Tu respuesta al paso 3una temperatura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El exponente del tramo 2-3
COMP2
Ahora ya se conocen los dos extremos del 2-3. ¿Cuánto vale $n_{23}$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, sin unidad y con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El calor específico del tramo 2-3
COMP2
Con $c_v = R'/(\gamma-1) = 0{,}7425\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}$ , ¿cuánto vale el calor específico politrópico del tramo de exponente negativo?
Tu respuesta al paso 5un calor específico, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
El rendimiento del ciclo
COMP2
El trabajo neto sale $97{,}4\ \text{kJ/kg}$ . El calor entra en los tramos 1-2 ( $738{,}4$ ) y 3-1 ( $260{,}1$ ). ¿Cuánto rinde el ciclo?
Tu respuesta al paso 6el rendimiento en tanto por ciento, sin el símbolo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena por qué un ciclo reversible rinde tan poco. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los tres calores específicos politrópicos son positivos, así que el calor entra donde la temperatura sube —tramos 1-2 y 3-1— y sale donde baja, en el 2-3.
2. El ciclo es reversible y rinde un 9,8 %, lejísimos del 65 % de Carnot entre 1.640 y 572 K: el calor no entra a la temperatura máxima ni sale a la mínima, sino repartido por todo el recorrido.

Resolución completa

La llave, antes de ninguna cuenta: cómo se fija el estado 3. Del tramo 2-3 solo se sabe la presión final. Pero el 3-1 tiene exponente conocido, $n = 2{,}5$ , y termina en el estado 1, que está completo:

T_3 = 1050\left(\frac{4}{11}\right)^{1{,}5/2{,}5} = 572{,}3\ \text{K}

Los tres exponentes y los tres calores específicos. Con $c_v = R'/(\gamma-1) = 0{,}297/0{,}4 = 0{,}7425\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}$ :

n_{12} = \frac{\ln(8/11)}{\ln\left[(8/11)/(1640/1050)\right]} = 0{,}4166 \qquad n_{23} = \frac{\ln(4/8)}{\ln\left[(4/8)/(572{,}3/1640)\right]} = -1{,}927

c_{n,12} = 0{,}7425\cdot\frac{1{,}4-0{,}4166}{1-0{,}4166} = 1{,}2516 \qquad c_{n,23} = 0{,}7425\cdot\frac{1{,}4+1{,}927}{1+1{,}927} = 0{,}8440 \qquad c_{n,31} = 0{,}7425\cdot\frac{1{,}4-2{,}5}{1-2{,}5} = 0{,}5445

Los tres exponentes caen en tres regiones distintas de la familia —entre 0 y 1, negativo, y mayor que $\gamma$ — y los tres dan calor específico positivo. Por eso cada calor va en el sentido en que se mueve la temperatura.

El calor y el trabajo de cada tramo, por kilogramo:

tramo	exponente	calor	trabajo
1-2	0,4166	+738,4 kJ/kg	+300,4 kJ/kg
2-3	−1,927	−901,1 kJ/kg	−108,3 kJ/kg
3-1	2,5	+260,1 kJ/kg	−94,6 kJ/kg

w_{12} = \frac{0{,}297\,(1640-1050)}{1-0{,}4166} = 300{,}4 \qquad w_{23} = \frac{0{,}297\,(572{,}3-1640)}{1+1{,}927} = -108{,}3 \qquad w_{31} = \frac{0{,}297\,(1050-572{,}3)}{1-2{,}5} = -94{,}6

La comprobación que un ciclo siempre permite: el calor neto tiene que ser igual al trabajo neto. $738{,}4 - 901{,}1 + 260{,}1 = 97{,}4$ y $300{,}4 - 108{,}3 - 94{,}6 = 97{,}5$ : el mismo número salvo el redondeo.

\eta = \frac{97{,}4}{738{,}4+260{,}1} = 0{,}0975

Un 9,8 %, en un ciclo reversible. Carnot entre las temperaturas extremas del ciclo daría $1 - 572{,}3/1640 = 0{,}651$ , un 65 %. La distancia no la produce ninguna irreversibilidad —no hay ninguna—: la produce que el calor entra a temperaturas que van de 572 a 1.640 K y sale a temperaturas repartidas igual. Para rendir como Carnot haría falta tomarlo todo arriba y cederlo todo abajo. Reversible dice que no se genera entropía; no dice a qué temperatura entra el calor, y eso es lo que decide el rendimiento.

Sobre el calor específico a volumen constante. La resolución oficial escribe $c_v = R'/(\gamma-1)$ y pone 0,737, que no es lo que da esa fórmula con $R' = 0{,}297$ : da 0,7425. Con su valor, los calores salen un 0,7 % más bajos —732,8, −894,7 y 258,0— y el ciclo no cierra: el calor neto queda en 96,1 frente a un trabajo de 97,1. Con el valor coherente cierra, que es la comprobación de arriba. El rendimiento sale 9,8 % de las dos maneras.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 de la convocatoria extraordinaria de 2017-2018, celebrada el 18 de junio de 2018 · Ingeniería Térmica, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El PDF trae la resolución manuscrita del profesor; el desarrollo se hizo a ciegas desde el enunciado y se contrastó después contra ella.

Los signos antes de la cuenta, y un universo que genera aunque el proceso no

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

$100\ \text{dm}^{3}$ de aire se encuentran a $4{,}8\ \text{bar}$ y $305\ ^\circ\text{C}$ en un cilindro-pistón, que al contacto con un foco a $5\ ^\circ\text{C}$ , se enfrían hasta los $41\ ^\circ\text{C}$ según un proceso de exponente politrópico $-1{,}4$ . Calcúlese el intercambio de calor y de trabajo total, así como la entropía generada en el universo. Se valorará especialmente aquellas resoluciones que deduzcan previamente a cualquier cálculo, el signo de los resultados.

Para el aire, la resolución toma $c_p = 1{,}005$ , $c_v = 0{,}718$ y $R' = 0{,}287\ \text{kJ/kg}\cdot\text{K}$ .

El signo y el valor del calor, del trabajo y de la entropía generada en el universo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular: con $n = -1{,}4$ y el aire enfriándose, ¿qué le pasa a su volumen?
02
El trabajo
COMP2
Hay $0{,}2894\ \text{kg}$ de aire. ¿Cuánto trabajo intercambia?
Tu respuesta al paso 2un trabajo, con su unidad y con su signo — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El calor
COMP2
La energía interna del aire baja $54{,}86\ \text{kJ}$ . ¿Cuánto calor intercambia?
Tu respuesta al paso 3un calor, con su unidad y con su signo — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La entropía generada en el universo
COMP2
La entropía del aire baja $0{,}1479\ \text{kJ/K}$ , y el foco a $278\ \text{K}$ recibe los 64 kJ. ¿Cuánta entropía se genera?
Tu respuesta al paso 4una entropía, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena los signos y su porqué. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El volumen baja, así que el aire recibe trabajo: W < 0.
2. La temperatura baja, así que la energía interna baja; y como además recibe trabajo, el calor que cede es mayor que lo que baja U: Q = ΔU + W < 0.

Resolución completa

Los signos, antes de calcular, que es lo que el enunciado puntúa aparte. Con exponente negativo, $P = C\,v^{1{,}4}$ : presión y volumen van juntos, y su producto —la temperatura— baja de 578 a 314 K. Así que el volumen baja y el aire recibe trabajo, $W < 0$ . La temperatura baja, así que $\Delta U < 0$ ; y $Q = \Delta U + W$ es la suma de dos negativos: el aire cede calor, más del que pierde en energía interna. Y la entropía generada en el universo es positiva, porque hay calor cruzando una diferencia finita de temperatura.

Los números. La masa sale de la ecuación de estado:

m = \frac{4{,}8\cdot 10^{5}\cdot 0{,}1}{287\cdot 578} = 0{,}2894\ \text{kg}

W = 0{,}2894\cdot\frac{0{,}287\,(314-578)}{1+1{,}4} = -9{,}14\ \text{kJ} \qquad \Delta U = 0{,}2894\cdot 0{,}718\cdot(314-578) = -54{,}86\ \text{kJ}

Q = \Delta U + W = -64{,}0\ \text{kJ}

La entropía del universo, que son el aire y el foco. La presión final sale de la politrópica, $P_2 = 4{,}8\,(314/578)^{0{,}5833} = 3{,}363$ bar:

\Delta S_{aire} = 0{,}2894\left(1{,}005\ln\frac{314}{578} - 0{,}287\ln\frac{3{,}363}{4{,}8}\right) = -0{,}1479\ \text{kJ/K}

\Delta S_{foco} = \frac{63{,}99}{278} = 0{,}2302\ \text{kJ/K} \qquad S_G = -0{,}1479 + 0{,}2302 = 0{,}0823\ \text{kJ/K}

Dónde está la irreversibilidad, que es la trampa. El proceso es politrópico y por tanto reversible por dentro: el aire no genera nada. Toda la entropía generada está en la frontera, en el calor que pasa de un aire entre 578 y 314 K a un foco a 278. Es la misma lección que los dos gases con pistón de enero de 2018: que cada parte sea reversible no hace reversible al conjunto.

Sobre las cifras oficiales. La resolución da $Q = -63{,}91$ kJ y $W = -9{,}135$ kJ. La diferencia con los de aquí está en la masa, que redondea a 0,289 en la cuenta del calor y usa sin redondear en la del trabajo. $S_G = 0{,}082$ kJ/K sale igual.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 de la convocatoria extraordinaria de 2017-2018, celebrada el 18 de junio de 2018 · Ingeniería Térmica, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El PDF trae la resolución manuscrita del profesor; el desarrollo se hizo a ciegas desde el enunciado y se contrastó después contra ella.

Sesenta centímetros de fachada, y tres vatios por metro cuadrado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La fachada de una vivienda está compuesta de dos capas: la del lado exterior, en contacto con aire a $5\ ^\circ\text{C}$ , tiene un espesor de $20\ \text{cm}$ y una conductividad térmica de $0{,}3\ \text{W/m}\cdot\text{K}$ . El coeficiente de convección entre el aire exterior y la superficie de esa capa es de $11\ \text{W/m}^{2}\text{K}$ . La capa del lado interior, en contacto con el aire interior, tiene un espesor de $40\ \text{cm}$ y conductividad térmica de $0{,}1\ \text{W/m}\cdot\text{K}$ . La temperatura superficial de dicha capa interior es de $20\ ^\circ\text{C}$ . Calcúlese la densidad del flujo de calor a través de la fachada, la temperatura en el medio de cada una de las capas y la temperatura superficial exterior de la fachada. Despréciese el intercambio de calor por radiación.

El flujo de calor por metro cuadrado y tres temperaturas dentro del muro.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado no da el coeficiente de convección del aire interior. ¿Falta un dato?
02
El flujo de calor
COMP2
¿Cuánto calor atraviesa cada metro cuadrado de fachada?
Tu respuesta al paso 2una densidad de flujo de calor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La temperatura de la superficie exterior
COMP2
Bajando por el circuito desde los $20\ ^\circ\text{C}$ , ¿a qué temperatura está la cara exterior de la fachada?
Tu respuesta al paso 3una temperatura, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura del reparto de resistencias. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La capa interior sola vale 4 de los 4,758 de resistencia total: el 84 %.
2. Y la película de aire exterior, 0,091, es cincuenta y una veces menor que las dos capas juntas — por eso la cara exterior está a 5,28 y el aire a 5,0.

Resolución completa

Por qué no falta el coeficiente del aire interior. Es lo primero que uno echa en falta, y no hace falta: el enunciado da la temperatura de la superficie interior, que es justo el otro extremo de ese tramo. El circuito arranca ahí y termina en el aire de fuera.

Las tres resistencias, por metro cuadrado:

tramo	resistencia	del total
capa interior, 40 cm con $k=0{,}1$	4,000	84 %
capa exterior, 20 cm con $k=0{,}3$	0,667	14 %
película de aire exterior, $h=11$	0,091	2 %

q = \frac{20-5}{4{,}758} = 3{,}15\ \text{W/m}^{2}

Las temperaturas, bajando por el circuito y perdiendo en cada tramo lo que su resistencia se lleva:

\theta(\text{media de la capa interior}) = 20 - 3{,}15 \cdot 2 = 13{,}69\ ^\circ\text{C}

\theta(\text{junta}) = 20 - 3{,}15 \cdot 4 = 7{,}39\ ^\circ\text{C}

\theta(\text{media de la capa exterior}) = 7{,}39 - 3{,}15 \cdot 0{,}333 = 6{,}34\ ^\circ\text{C}

\theta(\text{superficie exterior}) = 7{,}39 - 3{,}15 \cdot 0{,}667 = 5{,}28\ ^\circ\text{C}

La comprobación que cierra el problema: desde esos 5,28 hasta el aire de 5,0 hay $3{,}15/11 = 0{,}29$ grados, y cuadra.

Lo que hay que llevarse, y son tres cosas.

La primera es el reparto: la capa interior sola es el 84 % del aislamiento. Si alguien quiere que esa fachada pierda menos, ahí es donde tiene que gastar el dinero; engordar la capa exterior rinde seis veces menos por centímetro.

La segunda es la película de aire, que vale un 2 %. Aunque soplara un vendaval y el coeficiente se multiplicara por diez, el flujo apenas cambiaría. En una serie de resistencias manda la mayor, y el resto es casi decorativo — que es exactamente lo contrario de lo que pasa en un intercambiador con aceite, donde la película lo era todo.

Y la tercera se ve mirando el número final: sesenta centímetros de muro dejan pasar 3,15 W por metro cuadrado. Una fachada de cien metros cuadrados pierde 315 vatios, menos que tres bombillas viejas. Es el orden de magnitud con el que se dimensiona una calefacción, y conviene tenerlo en la cabeza para saber cuándo un resultado es absurdo.

Un apunte sobre el método. La resolución oficial no usa el circuito de resistencias: integra la ecuación del calor en cada capa y determina las cuatro constantes con las condiciones de contorno. Sale lo mismo, claro, y merece leerse — el circuito es el camino corto para una pared plana con conductividades constantes, y la integración es el que sigue valiendo cuando alguna de esas dos cosas deja de cumplirse.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Convocatoria extraordinaria · 2017-2018

Reconocer el camino

El exponente del tramo 1-2

La temperatura del estado 3

El exponente del tramo 2-3

El calor específico del tramo 2-3

El rendimiento del ciclo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El trabajo

El calor

La entropía generada en el universo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El flujo de calor

La temperatura de la superficie exterior

Justificar el argumento