Ingeniería Térmica · tema 05

El segundo principio de la termodinámica

Por qué el primer principio no basta, los enunciados de Kelvin-Planck y Clausius, y el rendimiento que ninguna máquina puede superar.

Hasta aquí, la termodinámica ha contado energía. El primer principio dice que no se crea ni se destruye, y con eso se han resuelto cilindros, toberas y condensadores.

Lo que el primer principio no dice es en qué dirección ocurren las cosas. Una taza de café que se calienta espontáneamente enfriando la habitación no viola la conservación de la energía: la energía sale de la habitación y entra en la taza, y la suma cuadra. Sencillamente, no pasa nunca.

La frase que resume el tema entero está en las transparencias y merece la pena copiarla:

El primer principio dice que calor y trabajo son cuantitativamente equivalentes. El segundo dice que son cualitativamente diferentes.

Un julio de trabajo se puede convertir entero en calor —basta con frotar—. Un julio de calor no se puede convertir entero en trabajo. Nunca.

Las dos máquinas

Todo el tema se monta sobre dos aparatos idealizados que operan en ciclo entre dos focos, uno caliente y uno frío.

El motor térmico toma calor $Q_1$ del foco caliente, produce trabajo $W$ y cede $Q_2$ al foco frío. Su rendimiento es lo que sacas partido de lo que pagas:

\eta = \frac{W}{Q_1}

La máquina frigorífica hace lo contrario: consume trabajo $W$ para sacar calor $Q_2$ del foco frío y llevarlo al caliente. Su medida de mérito no se llama rendimiento sino coeficiente de operación, porque puede ser mayor que uno:

\text{COP} = \frac{Q_2}{W}

Y el segundo principio, dicho sobre el motor, se puede escribir de tres formas que dicen lo mismo:

Q_1 > W \qquad |Q_2| > 0 \qquad \eta < 1

Es decir: siempre sobra calor que hay que tirar al foco frío. No por imperfección de la máquina, sino porque no hay otra manera.

Las flechas son las mismas y van al revés, y esa es toda la diferencia entre las dos máquinas. Fíjate en lo que eso hace con la medida de mérito: el rendimiento nunca llega a uno y el COP puede pasarlo, sin que ninguna ley se rompa.

Los enunciados

Kelvin-Planck. «Es imposible, con un motor térmico, producir un trabajo neto en un ciclo completo intercambiando calor solamente con un cuerpo a una determinada temperatura fija.»

Traducido: no existe el motor de un solo foco. Un barco que navegara enfriando el mar y sin tirar calor a ninguna parte no violaría el primer principio —hay energía de sobra en el mar— y sin embargo es imposible.

Clausius. «Es imposible construir una máquina que, funcionando en un ciclo, no produzca otro efecto que transferir calor desde un cuerpo a otro de mayor temperatura.»

Traducido: el frigorífico que enfría sin enchufarse no existe. Lo importante es «no produzca otro efecto»: un frigorífico de verdad sí lleva calor de frío a caliente, pero produce otro efecto —consume trabajo—, y por eso es legal.

Y un tercero, más informal: es imposible que un sistema pase espontáneamente de un estado de menor orden a uno de mayor orden. Una pila de ladrillos no se levanta sola.

Los tres son equivalentes: de cualquiera de ellos se deducen los otros dos.

Creer que el segundo principio prohíbe el frigorífico

El enunciado de Clausius se lee mal con facilidad, porque parece decir que el calor no puede ir de frío a caliente, y los frigoríficos existen.

Lo que prohíbe es que ocurra sin ningún otro efecto. Esas cinco palabras son el enunciado entero: llevar calor cuesta arriba se puede, pero se paga, y lo que se paga es trabajo. Lo mismo pasa con Kelvin-Planck y su «solamente con un cuerpo».

Cuando un enunciado de examen te pregunte si un dispositivo es posible, la comprobación no es si el calor sube o baja: es si hay algo más en el balance.

Qué hace falta para que un proceso sea reversible

Un proceso reversible es el que se puede invertir sin violar el segundo principio. Y para eso tiene que cumplir tres cosas:

Ser cuasiestático, porque su inverso supondría pasar de un estado de menor orden a uno de mayor orden.
Ser sin rozamiento, porque su inverso violaría el enunciado de Kelvin-Planck: el calor generado por el rozamiento tendría que volver a convertirse íntegramente en trabajo.
No tener intercambio de calor con diferencia finita de temperaturas, porque su inverso violaría el enunciado de Clausius.

Fíjate en que cada condición está atada a un enunciado distinto. No es una lista de requisitos sueltos: es el segundo principio mirado desde tres sitios.

Cuando falla la primera, el proceso es internamente irreversible —la irreversibilidad está dentro del sistema—. Cuando fallan la segunda o la tercera, es externamente irreversible, porque el rozamiento vive en la frontera y el salto térmico también. Es la clasificación que el tema 2 usaba para decidir si el área bajo la curva del $P\text{-}v$ era o no era el trabajo.

Un motor reversible es el que opera según un ciclo de potencia reversible, y un ciclo reversible el formado únicamente por procesos reversibles.

El ciclo de Carnot

Carnot propuso en 1824 un ciclo de potencia reversible entre dos focos, formado por dos isotermas reversibles y dos adiabáticas reversibles. Nada más. Es el ciclo más simple que se puede construir entre dos temperaturas y respetando las tres condiciones de arriba.

En un diagrama $T\text{-}s$ es literalmente un rectángulo: dos horizontales —las isotermas— y dos verticales —las adiabáticas reversibles, que son isentrópicas—. Vale la pena tenerlo en la cabeza así, porque convierte muchas preguntas de examen en geometría.

El teorema de Carnot

Ningún motor térmico que opere entre dos focos caloríficos dados puede tener un rendimiento superior al de un motor reversible que funcione entre esos mismos focos.

Y de él sale la consecuencia que de verdad se usa: todos los motores reversibles que operen entre los mismos dos focos tienen el mismo rendimiento, que es el máximo posible.

\eta_{reversible} = \eta_{max} = \eta_C \qquad \text{COP}_{reversible} = \text{COP}_{max} = \text{COP}_C

Esto significa —y es la frase que las transparencias subrayan— que el rendimiento de un motor térmico reversible solo es función de la temperatura de los focos: ni del fluido de trabajo, ni del ciclo concreto, ni del tamaño de la máquina. Solo de las dos temperaturas.

Que sea independiente del fluido es lo que permite lo siguiente.

La escala termodinámica de temperatura

Si el rendimiento de un motor reversible solo depende de las temperaturas de los focos, entonces se puede definir la temperatura a partir de él, sin depender de las propiedades de ninguna sustancia termométrica —sin mercurio, sin gas, sin nada—.

Se toma un motor reversible entre un foco de referencia a $T_0$ y el foco cuya temperatura se quiere medir:

\eta_C = 1 - \frac{Q_0}{Q} = f(T, T_0) \;\Longrightarrow\; \frac{Q_0}{Q} = \frac{T_0}{T} \;\Longrightarrow\; T = T_0\,\frac{Q}{Q_0}

Con $T_0 = 273{,}16\ \text{K}$ , el punto triple del agua, queda fijada la escala Kelvin. Y de ahí, el resultado que se usa en todos los ejercicios:

\boxed{\;\eta_C = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_{FF}}{T_{FB}}\;}

donde $T_{FF}$ es la del foco frío y $T_{FB}$ la del caliente, las dos en kelvin, porque aquí la temperatura está en un cociente.

Usar el rendimiento de Carnot como si fuera el de la máquina

$\eta_C$ es un techo, no una predicción. Una máquina real entre 500 K y 300 K tiene $\eta_C = 40\ \%$ , y su rendimiento real será menor: 25 %, 30 %, lo que sea.

La fórmula se usa para dos cosas, y ninguna es «calcular el rendimiento»:

Comprobar si un dato es posible. Si un enunciado afirma un 45 % entre esos focos, el dato es imposible y hay que decirlo.
Medir cuánto se aleja lo real de lo ideal. El cociente $\eta/\eta_C$ es el rendimiento respecto del máximo, y es la cifra que dice si una instalación es buena.

Y el error gemelo: meter grados Celsius en $T_{FF}/T_{FB}$ . Entre 227 °C y 27 °C sale $1 - 27/227 = 88\ \%$ en vez del 40 % real. Es un cociente: van en kelvin.

La desigualdad de Clausius

Con todo lo anterior se puede cerrar el tema con el resultado que abre el siguiente.

Para el ciclo de Carnot reversible, $\eta_C = 1 - |Q_2|/Q_1 = 1 - T_2/T_1$ , así que $|Q_2|/Q_1 = T_2/T_1$ y, con los signos puestos:

\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} = 0 \qquad\text{es decir}\qquad \sum_{i=1}^{2}\frac{Q_i}{T_i} = 0

Cualquier ciclo reversible se puede descomponer en muchísimos ciclos de Carnot infinitesimales, cada uno cumpliendo lo mismo, y sumando todos:

\oint \frac{\delta Q}{T} = 0 \qquad\text{(ciclo reversible)}

Si el ciclo es irreversible, su rendimiento es menor que el de Carnot, $|Q_2|/Q_1 > T_2/T_1$ , y la suma se hace negativa:

\oint \frac{\delta Q}{T} < 0 \qquad\text{(ciclo irreversible)}

Los dos casos juntos son la desigualdad de Clausius:

\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0

Y aquí es donde el tema se acaba y empieza el siguiente. Que la integral cíclica de $\delta Q/T$ valga cero en los procesos reversibles significa que ahí $\delta Q/T$ es la diferencial de una función de estado. Esa función tiene nombre —entropía— y es el tema 6. Lo que le falta a $\delta Q/T$ para ser exacta en los procesos irreversibles también tiene nombre: entropía generada.

Practica lo que acabas de leer

El motor que promete un 45 %

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre el teorema de Carnot del Tema 5 de la asignatura. No es de examen ni de la colección.

El motor que promete un 45 %

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un fabricante ofrece un motor térmico que opera entre un foco caliente a $227\ \text{°C}$ y uno frío a $27\ \text{°C}$ , y afirma que su rendimiento es del $45\ \%$ .

a) ¿Cuál es el rendimiento máximo que puede tener un motor entre esos dos focos?

b) ¿Es posible lo que afirma el fabricante?

c) Si el motor absorbiera $100\ \text{kJ}$ del foco caliente, ¿cuál es el mínimo calor que tendría que ceder al foco frío?

El rendimiento máximo, si la afirmación es posible, y el calor mínimo cedido.

01
Reconocer el camino
COMP1
El fabricante no dice si su motor es reversible ni qué fluido usa. ¿Se puede juzgar la afirmación sin esos datos?
02
El rendimiento máximo
COMP2
¿Cuál es el rendimiento de Carnot entre esos dos focos?
Tu respuesta al paso 2un número entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El calor mínimo que hay que tirar
COMP2
Si el motor absorbiera 100 kJ del foco caliente, ¿cuánto calor tendría que ceder como mínimo al foco frío?
Tu respuesta al paso 3un calor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El teorema de Carnot fija un techo que solo depende de las temperaturas de los focos: 40 % entre 500 K y 300 K.
2. El fabricante afirma un 45 %, que está por encima de ese techo.
3. Luego la afirmación es imposible: viola el segundo principio, aunque no viole el primero.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre la máquina frigorífica y el coeficiente de operación del Tema 5 de la asignatura. No es de examen ni de la colección.

El frigorífico, y por qué su medida no es un rendimiento

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un frigorífico mantiene su congelador a $-18\ \text{°C}$ en una cocina que está a $22\ \text{°C}$ . Consume $200\ \text{W}$ y el fabricante afirma que extrae $900\ \text{W}$ de calor del congelador.

a) ¿Cuál es el coeficiente de operación que afirma el fabricante?

b) ¿Cuál es el máximo posible entre esas dos temperaturas?

c) ¿Es creíble la afirmación?

El COP declarado, el COP máximo y si el dato es posible.

01
Reconocer el camino
COMP1
El COP declarado sale mayor que 1. ¿Es eso un problema?
02
El COP declarado
COMP2
¿Qué coeficiente de operación afirma el fabricante?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El COP máximo
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de operación de una máquina reversible entre esas dos temperaturas?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El COP declarado es 4,5 y el máximo teórico entre esas dos temperaturas es 6,38.
2. 4,5 está por debajo de 6,38, así que la afirmación no viola el segundo principio.
3. Y es además un valor plausible: un 71 % del máximo teórico es buena máquina, pero no imposible.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

El segundo principio de la termodinámica

Las dos máquinas

Los enunciados

Qué hace falta para que un proceso sea reversible

El ciclo de Carnot

El teorema de Carnot

La escala termodinámica de temperatura

La desigualdad de Clausius

Reconocer el camino

El rendimiento máximo

El calor mínimo que hay que tirar

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El COP declarado

El COP máximo

Justificar el argumento