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Road to IngenieríaIngeniería Térmica · tema 10

Ingeniería Térmica · tema 10

Radiación térmica

La cuarta potencia de la temperatura, el álgebra de los factores de visión, y la red de resistencias que convierte un horno en un circuito.

El tercer mecanismo, y el que se comporta distinto de los otros dos en las tres cosas que importan:

  • No necesita medio. El calor del Sol llega por el vacío. La conducción y la convección necesitan materia.
  • No depende de la diferencia de temperaturas, sino de las temperaturas. En conducción y convección el flujo es proporcional a Δθ\Delta\theta; aquí va con T14−T24T_1^{4} - T_2^{4}, que no es lo mismo ni de lejos.
  • Depende de la geometría relativa de las superficies: no basta con saber cuánto miden, hay que saber cuánto se ven.

Esa cuarta potencia es lo que hace que la radiación sea despreciable a temperatura ambiente y dominante en un horno. Y como va en cuarta potencia de la temperatura absoluta, aquí no hay ninguna discusión: todo en kelvin, siempre.

Lo que le pasa a la radiación que llega

Cuando una radiación incide sobre un cuerpo, se reparte en tres, y los tres sumandos suman uno:

α+ρ+τ=1\alpha + \rho + \tau = 1

la absortividad, la reflectividad y la transmisividad. En rigor son función de la longitud de onda —αλ\alpha_\lambda, ρλ\rho_\lambda, τλ\tau_\lambda—, y por eso un cristal es transparente a la luz visible y opaco al infrarrojo, que es exactamente el efecto invernadero.

Las tres leyes del cuerpo negro

Un cuerpo negro es el que absorbe toda la radiación que le llega, α=1\alpha = 1. Es la referencia contra la que se mide todo lo demás.

Ley de Planck. Da el poder emisivo monocromático de un cuerpo negro en función de la temperatura y de la longitud de onda:

Eb,λ(T)=C1λ5(eC2/λT−1)E_{b,\lambda}(T) = \frac{C_1}{\lambda^{5}\left(e^{C_2/\lambda T}-1\right)}

Ley de desplazamiento de Wien. La longitud de onda del máximo de esa curva es inversamente proporcional a la temperatura absoluta. Es por lo que un metal al calentarse pasa de no verse a rojo, a naranja y a blanco: el máximo se desplaza hacia el visible.

Ley de Stefan-Boltzmann. Integrando Planck sobre todo el espectro sale el poder emisivo total, y es la fórmula que se usa:

Eb(T)=σ T4σ=5,67⋅10−8 Wm2K4E_b(T) = \sigma\,T^{4} \qquad \sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\ \frac{\text{W}}{\text{m}^{2}\text{K}^{4}}

Emisividad, cuerpo gris y la ley de Kirchhoff

La emisividad compara lo que emite un cuerpo real con lo que emitiría un cuerpo negro a la misma temperatura:

ελ=EλEb,λ\varepsilon_\lambda = \frac{E_\lambda}{E_{b,\lambda}}

Un cuerpo gris es aquel cuyas propiedades no dependen de la longitud de onda: αλ=α\alpha_\lambda = \alpha, ελ=ε\varepsilon_\lambda = \varepsilon, etc. Ningún cuerpo real lo es, pero se calcula como si lo fuera usando propiedades promedio, y con eso se trabaja en toda la asignatura.

Y la ley de Kirchhoff, que ata las dos propiedades:

α=ε\alpha = \varepsilon

para un cuerpo en equilibrio térmico. De ahí que el cuerpo negro, además del que más absorbe, sea el que más emite: αb=εb=1\alpha_b = \varepsilon_b = 1.

Meter grados Celsius en la cuarta potencia

En los otros dos mecanismos la temperatura entra como diferencia y las dos escalas valen igual. Aquí entra elevada a la cuarta, y la diferencia es brutal.

Dos placas a 1.000 °C y 500 °C intercambian σ (1273,154−773,154)=128,7 kW/m2\sigma\,(1273{,}15^{4} - 773{,}15^{4}) = 128{,}7\ \text{kW/m}^{2}. Con las temperaturas en grados Celsius saldría σ (10004−5004)=53,2 kW/m2\sigma\,(1000^{4} - 500^{4}) = 53{,}2\ \text{kW/m}^{2}: menos de la mitad, y el error no avisa de ninguna manera.

Radiación es kelvin. Sin excepciones, y en los cuatro sitios donde aparece la temperatura.

El factor de visión

Aquí está la parte específica del tema. El factor de visión F12F_{12} es la fracción de la radiación emitida por la superficie 1 que llega a la 2. Depende solo de la geometría y de la posición relativa.

Su definición es una integral doble sobre las dos superficies que nadie calcula a mano: se leen de gráficas publicadas para las configuraciones habituales —dos planos paralelos, dos planos con arista común, discos coaxiales—. Lo que sí hay que saber es el álgebra que permite llevar un caso cualquiera a esas configuraciones.

1 · Reciprocidad.

Ai Fij=Aj FjiA_i\,F_{ij} = A_j\,F_{ji}

2 · Suma sobre un recinto cerrado. Toda la radiación que sale de una superficie tiene que llegar a alguna parte:

∑j=1nFij=1\sum_{j=1}^{n} F_{ij} = 1

3 · Factor propio. Fii=0F_{ii} = 0 si la superficie es plana o convexa —no se ve a sí misma—, y Fii>0F_{ii} > 0 si es cóncava.

4 · Rango. 0<Fij<10 < F_{ij} < 1.

5 · Superposición. Si Aj=Aj1+Aj2A_j = A_{j1} + A_{j2}, entonces Fij=Fij1+Fij2F_{ij} = F_{ij1} + F_{ij2}.

Buscar en la gráfica un caso que no está publicado

Las gráficas cubren unas pocas configuraciones, y el enunciado casi siempre pide otra. La salida no es interpolar a ojo: es escribir el factor que quieres en función de los que sí están publicados, con las cinco reglas.

El ejemplo que traen las transparencias: para dos planos desplazados, Fi1−j2F_{i1-j2} no tiene gráfica, pero los planos con arista común sí. Aplicando superposición y reciprocidad,

Ai1Fi1−j=Ai1Fi1−j1+Ai1Fi1−j2  ⟹  Fi1−j2=Fi1−j−Fi1−j1A_{i1}F_{i1-j} = A_{i1}F_{i1-j1} + A_{i1}F_{i1-j2} \;\Longrightarrow\; F_{i1-j2} = F_{i1-j} - F_{i1-j1}

y los dos de la derecha sí se leen. Es álgebra, no geometría: el trabajo es descomponer, no dibujar.

La analogía eléctrica, otra vez

Igual que en conducción, el intercambio radiante se monta como un circuito. Y aquí hay dos tipos de resistencia, que es lo que hay que tener claro.

La radiosidad JJ es todo lo que sale de una superficie: lo que emite más lo que refleja. Con ella:

Resistencia superficial, una por cada superficie gris, entre su poder emisivo de cuerpo negro y su radiosidad:

Rsup=1−εA εR_{sup} = \frac{1-\varepsilon}{A\,\varepsilon}

Vale cero si la superficie es negra: en un cuerpo negro no hay nada reflejado, así que J=EbJ = E_b y los dos nodos se cortocircuitan.

Resistencia geométrica, una por cada par de superficies que se ven, entre sus radiosidades:

Rgeo=1A1 F12R_{geo} = \frac{1}{A_1\,F_{12}}
Los dos tipos de resistencia de la radiaciónRed de radiación entre dos superficies grises. En los extremos, sus poderes emisivos de cuerpo negro; en el medio, sus radiosidades. Entre cada poder emisivo y su radiosidad hay una resistencia superficial, que depende solo de la emisividad y del área de esa superficie y vale cero si la superficie es negra. Entre las dos radiosidades hay una resistencia geométrica, que depende del área y del factor de visión y es la única que sobrevive cuando las dos superficies son negras. Debajo, el mismo circuito con las superficies negras: las dos resistencias superficiales se han cortocircuitado y solo queda la del medio.Eb1J₁J₂Eb2(1−ε₁)/ε₁A₁1/A₁F₁₂(1−ε₂)/ε₂A₂superficialgeométricasuperficial— cortocircuito —— cortocircuito —si las dos son negrasuna superficie negra no refleja, así que su radiosidad es su poder emisivo

Dos resistencias con dibujo distinto porque son cosas distintas: la superficial depende de lo que la superficie es —su emisividad— y la geométrica de dónde está puesta respecto a la otra. Un cuerpo negro no tiene la primera, y por eso su circuito se acorta.

Y el calor intercambiado es la diferencia de potencial —de poderes emisivos— partida por la resistencia total:

Q˙12=Eb1−Eb2∑R=σ(T14−T24)∑R\dot Q_{12} = \frac{E_{b1} - E_{b2}}{\sum R} = \frac{\sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right)}{\sum R}

Dos casos que salen de memoria

Dos planos paralelos grandes, con F12=1F_{12} = 1 y áreas iguales:

Q˙12A=σ(T14−T24)1ε1+1ε2−1\frac{\dot Q_{12}}{A} = \frac{\sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right)} {\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1}

Un cuerpo pequeño dentro de un recinto grande, con A1≪A2A_1 \ll A_2: la resistencia superficial del recinto se hace despreciable y el grande se comporta como un cuerpo negro, porque acaba absorbiendo todo lo que le llega:

Q˙12=A1 ε1 σ(T14−T24)\dot Q_{12} = A_1\,\varepsilon_1\,\sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right)

Es el caso de un tubo caliente en una nave, y el que más aparece.

Pantallas de radiación

Intercalar una lámina delgada de emisividad baja entre dos superficies añade dos resistencias superficiales y una geométrica más, y eso reduce mucho el intercambio:

Q˙12A∣sin pantalla=σ ΔT41ε1+1ε2−1Q˙12A∣con pantalla=σ ΔT41ε1+2ε3+1ε2−2\left.\frac{\dot Q_{12}}{A}\right|_{\text{sin pantalla}} = \frac{\sigma\,\Delta T^{4}}{\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1} \qquad \left.\frac{\dot Q_{12}}{A}\right|_{\text{con pantalla}} = \frac{\sigma\,\Delta T^{4}}{\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{2}{\varepsilon_3}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-2}

Con superficies negras —ε=1\varepsilon = 1 en todas— eso es exactamente la mitad: una pantalla negra divide el intercambio por dos, dos pantallas por tres, y nn pantallas por n+1n+1. Con una pantalla de emisividad baja, mucho más. Es el principio del termo de café y el de las mantas térmicas.

Usar la fórmula corta cuando las áreas no son muy distintas

Q˙=A1ε1σ(T14−T24)\dot Q = A_1\varepsilon_1\sigma(T_1^{4}-T_2^{4}) es cómoda y solo vale cuando A1≪A2A_1 \ll A_2. Aplicarla a dos superficies parecidas sobreestima, y mucho.

En el ejercicio 10.3 de la colección —un conducto de 0,8 m dentro de otro de 1 m, con emisividades 0,5 y 0,3— la fórmula corta daría 5.943 W/m5.943\ \text{W/m}, y el circuito completo da 3.074. Casi el doble.

El criterio: si el enunciado te da la emisividad de la superficie grande, es porque la vas a necesitar. Cuando de verdad se puede despreciar, el enunciado no suele ni mencionarla.

Y con esto se cierra la asignatura

Vale la pena mirar los tres mecanismos juntos, porque el examen los mezcla:

de qué dependeresistencia
conduccióndel material y del espesorL/kAL/kA, ln⁡(r2/r1)/2πkL\ln(r_2/r_1)/2\pi kL
conveccióndel fluido y de cómo se mueve1/hA1/hA
radiaciónde las temperaturas absolutas y de la geometría1−εAε\dfrac{1-\varepsilon}{A\varepsilon}, 1A1F12\dfrac{1}{A_1F_{12}}

Los tres se montan como circuitos y los tres se suman en serie o en paralelo según toque. La diferencia práctica es que los dos primeros son lineales en la temperatura y el tercero no, así que un problema que mezcle convección y radiación sobre la misma superficie no se resuelve despejando: se resuelve iterando, o dejando la ecuación en cuarta potencia y buscando su raíz.

Practica lo que acabas de leer

Por qué la radiación va a la cuarta

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre la ley de Stefan-Boltzmann del Tema 10 de la asignatura. No es de examen ni de la colección.

Por qué la radiación va a la cuarta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una superficie negra a 327 °C327\ \text{°C} está dentro de una sala muy grande cuyas paredes están a 27 °C27\ \text{°C}.

a) ¿Cuánto calor neto emite por radiación, por metro cuadrado?

b) ¿Qué fracción de lo que emite acaba siendo calor neto?

Datos: σ=5,67⋅10−8 W/(m2⋅K4)\sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\ \text{W/(m}^{2}\text{·K}^{4}), y T=θ+273T = \theta + 273.

El calor neto por radiación y qué fracción es de lo emitido.

  1. 01

    Reconocer el camino

    COMP1

    La superficie emite σT4\sigma T^{4}. ¿Por qué eso no es todavía el calor que pierde?

  2. 02

    El calor neto

    COMP2

    ¿Cuánto calor neto emite por metro cuadrado?

    una potencia por unidad de área, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
  3. 03

    Qué fracción es

    COMP2

    La superficie emite 7348 W/m27348\ \text{W/m}^{2} y el neto son 68896889. ¿Qué fracción del total es el neto?

    una fracción entre 0 y 1 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
  4. 04

    Justificar el argumento

    COMP4

    Ordena la lectura del resultado. Una pieza es falsa.

    1. Ve eligiendo las piezas en orden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10.2 de la colección de problemas del Tema 10 · Ingeniería Térmica, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El material no publica sus resultados; el desarrollo es nuestro y sale de las fórmulas del propio tema, con la comprobación de que los tres casos ordenan como la física exige.

Dos placas, y qué cambia poner una pantalla

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos placas paralelas se encuentran muy próximas entre sí. Una está a 1.000 °C1.000\ \text{°C} y la otra a 500 °C500\ \text{°C}. Calcúlese el intercambio neto de calor por radiación entre ambas, por unidad de superficie, en tres casos:

a) Ambas placas son negras.

b) Ambas son grises, con emisividad 0,60{,}6.

c) Ambas son negras y entre ellas se interpone una tercera placa negra.

Dato: σ=5,67⋅10−8 W/(m2K4)\sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\ \text{W/(m}^{2}\text{K}^{4}).

Los tres intercambios netos por unidad de superficie.

  1. 01

    Reconocer el camino

    COMP1

    Las placas están «muy próximas entre sí». ¿Qué simplifica eso?

  2. 02

    Con las dos placas negras

    COMP2

    ¿Cuánto vale el intercambio neto por metro cuadrado si las dos son negras?

    una densidad de flujo de calor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
  3. 03

    Con las dos placas grises

    COMP2

    Con emisividad 0,6 en las dos, ¿cuánto vale ahora?

    una densidad de flujo de calor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
  4. 04

    Con una pantalla negra en medio

    COMP2

    Volviendo a las dos placas negras, ¿cuánto intercambian si se interpone una tercera placa negra?

    una densidad de flujo de calor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
  5. 05

    Justificar el argumento

    COMP4

    Ordena la comparación de los tres casos. Una pieza es falsa.

    1. Ve eligiendo las piezas en orden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 10.3 de la colección de problemas del Tema 10 · Ingeniería Térmica, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El material no publica sus resultados; el desarrollo es nuestro, con el circuito completo de resistencias del propio tema.

El conducto dentro del conducto, y la fórmula corta que no vale

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un conducto transporta un líquido caliente. Su diámetro exterior es de 0,8 m0{,}8\ \text{m} y la emisividad de su superficie exterior, 0,50{,}5. Está embebido en otro conducto de 1 m1\ \text{m} de diámetro interior y emisividad interior 0,30{,}3. Entre ambos se ha hecho el vacío para reducir las pérdidas. El conducto interior está a 550 K550\ \text{K} y el exterior a 300 K300\ \text{K}.

a) Las pérdidas de calor por metro de longitud.

b) La reducción de esas pérdidas si el conducto interior se pinta con una pintura de emisividad 0,150{,}15.

Las pérdidas por metro y la reducción porcentual al bajar la emisividad.

  1. 01

    Reconocer el camino

    COMP1

    Entre los dos conductos se ha hecho el vacío. ¿Qué implica eso para el cálculo?

  2. 02

    Las pérdidas por metro

    COMP2

    ¿Cuánto calor pierde el conducto interior por metro de longitud?

    una potencia por unidad de longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
  3. 03

    Con la pintura de baja emisividad

    COMP2

    Pintando el conducto interior con ε1=0,15\varepsilon_1 = 0{,}15, ¿cuánto pierde ahora?

    una potencia por unidad de longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
  4. 04

    Justificar el argumento

    COMP4

    Ordena por qué no vale la fórmula corta. Una pieza es falsa.

    1. Ve eligiendo las piezas en orden.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Entrena COMP1 · COMP2

Adaptado del Tema 10, «Transmisión de calor por radiación térmica» · Departamento de Ingeniería Energética, UPV/EHU. Las gráficas de factores de visión no se reproducen aquí; se explica el álgebra que permite reducir un caso a los que sí están publicados.