tal cual cayó — sin cambiar un número

Mecánica Aplicada · examen final del primer cuatrimestre

Examen final del primer cuatrimestre · 2023-2024

17 de enero de 2024 · 7 ejercicios · 8 resoluciones

Empieza sin mirar: abre cada ejercicio cuando vayas a por él. Las resoluciones están en la otra pestaña.

El momento en el origen sabiendo por dónde pasa el eje centralFundamentos del cálculo vectorial
Sea el sistema vectorial formado por tres vectores deslizantes:
$\begin{aligned} \vec{v}_1 &= 3\hat{\imath} - 2\hat{\jmath}\\ \vec{v}_2 &= -\hat{\imath} - \hat{\jmath} - \hat{k}\\ \vec{v}_3 &= 2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} - 2\hat{k} \end{aligned}$
Se sabe que el invariante escalar del sistema es 25 y que el eje central pasa por el punto P(3;2;5). Calcular el momento que producen los vectores respecto al origen O(0;0;0).
El momento resultante del sistema respecto del origen.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La longitud de arco y la tensión de la catenaria, deducidasCables
Para un cable que pesa $w$ por unidad de longitud de cable, deducir la longitud $s$ respecto del punto más bajo y la tensión $T$ para un punto P cualquiera del cable, a partir de las siguientes relaciones:
$y = c\cosh\left(\frac{x}{c}\right) \qquad \cosh^{2}\left(\frac{x}{c}\right) - \sinh^{2}\left(\frac{x}{c}\right) = 1$
La expresión de la longitud de arco desde el punto más bajo y la de la tensión en un punto cualquiera.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La fuerza mínima para que un disco no ruede cuesta abajoRozamiento
Un disco de masa $M$ y radio $R$ y resistencia a la rodadura $\mu_r$ está colocado encima de un plano inclinado que forma un ángulo $\beta$ con la horizontal. En el centro del disco, se aplica una fuerza $F$ paralela al plano, para que el disco no comience a rodar hacia abajo. Determinar el valor mínimo de $F$ y el coeficiente de rozamiento $\mu_s$ mínimo para asegurar la rodadura.
La fuerza mínima paralela al plano y el coeficiente de rozamiento mínimo para que el disco ruede sin deslizar.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La tensión cortante y el momento torsor en una sección circularFundamentos de resistencia de materiales
Torsión en una sección circular: deducir la relación entre las tensiones cortantes y el momento torsor.
La relación entre la tensión cortante en un punto de la sección y el momento torsor, deducida.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La barra sujeta por un resorte y un cable, en sólido libreEstática del sólido rígido
El sistema plano de la figura consta de la barra AC, de masa $M$ y longitud $L$ , unida al suelo con una articulación fija en A y a la pared, en su punto C, a través de un resorte de constante $k = \frac{5}{2}\frac{Mg}{L}$ y longitud en reposo $L_0 = 0$ . En el punto B, situado a distancia $3L/4$ de A, se une un cable BD, de peso por unidad de longitud $q = \frac{2}{3}\frac{Mg}{L}$ y que soporta una fuerza mínima $T_O = \frac{4}{3}Mg$ Los puntos E, C y D están en la misma horizontal mientras que E y A se encuentran en la misma vertical. El valor del ángulo es $\alpha = 36{,}87^{\circ}$ .

Determinar:

a) (1p) Diagrama de sólido libre de la barra y componente vertical de la fuerza en B.

Redibujada a escala con los datos del enunciado, con L = 280 px. El cable está trazado con la catenaria que sale de la resolución, y por eso cuelga bastante menos que en el dibujo original, que es esquemático.

El diagrama de sólido libre de la barra y la componente vertical de la fuerza que el cable ejerce en B.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La fuerza del cable en su amarre DCables
El sistema plano de la figura consta de la barra AC, de masa $M$ y longitud $L$ , unida al suelo con una articulación fija en A y a la pared, en su punto C, a través de un resorte de constante $k = \frac{5}{2}\frac{Mg}{L}$ y longitud en reposo $L_0 = 0$ . En el punto B, situado a distancia $3L/4$ de A, se une un cable BD, de peso por unidad de longitud $q = \frac{2}{3}\frac{Mg}{L}$ y que soporta una fuerza mínima $T_O = \frac{4}{3}Mg$ Los puntos E, C y D están en la misma horizontal mientras que E y A se encuentran en la misma vertical. El valor del ángulo es $\alpha = 36{,}87^{\circ}$ .

Determinar:

b) (1p) Fuerza del cable en el punto D.

La misma figura del apartado a), a escala. D está a la altura de C, es decir, 0,15·L por encima de B: esa diferencia de cotas es la que decide la respuesta.

La tensión del cable en su amarre D, con su dirección.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La barra articulada a un disco, a punto de deslizar en ARozamiento
Una barra AB de masa $M$ y longitud $2R$ está articulada en su extremo B al centro de un disco de radio $R$ y masa $M$ , sometido a un momento $P$ . El sistema se apoya en el suelo en A y C, siendo el coeficiente de rozamiento en A $f = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Si el deslizamiento en A es inminente, determinar:

a) (0,5p) Diagramas del sólido libre del disco y de la barra.

b) (0,5p) Fuerza normal y de rozamiento en el punto A.

c) (0,5p) Momento $P$ aplicado al disco.

d) (0,5p) Fuerza normal y de rozamiento en C.

Redibujada a escala, con R = 90 px. El punto medio de la barra está a una distancia R de B, así que cae exactamente sobre el borde del disco, como en el original. El momento P va en sentido horario, que es el que dibuja el enunciado.

Las fuerzas normal y de rozamiento en A y en C y el momento P, con el deslizamiento en A inminente.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.
La viga con dos voladizos y el espesor de su sección en TFundamentos de resistencia de materiales
Para la viga de la figura, determinar:

a) (1p) Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en función de $q_0$ y $L$ .

b) (1p) Si $q_0$ es el peso propio por unidad de longitud de la viga y siendo el peso específico del material $18000\ \text{N/m}^{3}$ y $L = 2$ m:

b1) (0,5p) Tensión normal máxima (decir si es de tracción o compresión y la sección donde tiene lugar).

b2) (0,5p) Dimensión $e$ de la figura (en mm), siendo la tensión admisible por el material $\sigma_0 = 200$ MPa.

Redibujada a escala: la viga con L = 105 px y la sección con e = 14 px. La sección es una T invertida, con el ala abajo: el centro de gravedad queda cerca del ala y lejos de la punta del alma.

Los diagramas de cortantes y flectores, la tensión normal máxima con su signo y su sección, y la dimensión e que agota los 200 MPa.
Resolver guiado →El examen no publica solución: la resolución es propuesta nuestra, pendiente de revisión.

El examen no publica solución. Todas estas resoluciones son propuesta nuestra y están pendientes de revisión.

nivel: examenCuestión 1 de teoría · Examen de enero de 2024 del bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

El momento en el origen sabiendo por dónde pasa el eje central

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea el sistema vectorial formado por tres vectores deslizantes:

\begin{aligned} \vec{v}_1 &= 3\hat{\imath} - 2\hat{\jmath}\\ \vec{v}_2 &= -\hat{\imath} - \hat{\jmath} - \hat{k}\\ \vec{v}_3 &= 2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} - 2\hat{k} \end{aligned}

Se sabe que el invariante escalar del sistema es 25 y que el eje central pasa por el punto P(3;2;5). Calcular el momento que producen los vectores respecto al origen O(0;0;0).

El momento resultante del sistema respecto del origen.

01
Reconocer el camino
COMP1
P está en el eje central y el invariante escalar vale 25. ¿Qué momento tiene el sistema en P?
02
El módulo del momento mínimo
COMP2
Con la resultante $\vec{R} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3$ , ¿cuánto vale el módulo del momento en el eje central?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento en el origen
COMP2
Con $\vec{M}_O = \vec{M}_P + \overrightarrow{OP}\times\vec{R}$ , ¿cuánto vale $\vec{M}_O$ ?
Tu respuesta al paso 3tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La resultante es la suma de los tres vectores, $\vec{R} = (4, 0, -3)$ , con módulo 5.
2. En el eje central el momento es el mínimo y va en la dirección de la resultante: $\vec{M}_P = (\mathcal{W}/R^{2})\,\vec{R} = (4, 0, -3)$ .
3. Se lleva a O con el campo de momentos, $\vec{M}_O = \vec{M}_P + \overrightarrow{OP}\times\vec{R}$ , y sale $(-2, 29, -11)$ .
4. Y se comprueba con el invariante: $\vec{M}_O\cdot\vec{R} = 25$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenCuestión 2 de teoría · Examen de enero de 2024 del bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La longitud de arco y la tensión de la catenaria, deducidas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para un cable que pesa $w$ por unidad de longitud de cable, deducir la longitud $s$ respecto del punto más bajo y la tensión $T$ para un punto P cualquiera del cable, a partir de las siguientes relaciones:

y = c\cosh\left(\frac{x}{c}\right) \qquad \cosh^{2}\left(\frac{x}{c}\right) - \sinh^{2}\left(\frac{x}{c}\right) = 1

La expresión de la longitud de arco desde el punto más bajo y la de la tensión en un punto cualquiera.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para sacar $s$ de la curva $y(x)$ , ¿de qué se parte?
02
Redactar la demostración
COMP4
En papel, como lo entregarías: deduce $s(x)$ y $T(x)$ a partir de las dos relaciones del enunciado, y termina escribiendo $T$ en función de $y$ . Media cara.
Escríbela en papel antes de seguir. Aquí no hay hueco donde teclearla a propósito: lo que corrige el examen es tu folio, y compararlo es más útil que rellenar una casilla.
Lo que se puntúa
1. El elemento de arco y la derivada. Escribir $ds = \sqrt{1 + y'^{2}}\,dx$ y derivar la curva: $y' = \sinh(x/c)$ .
  Es el arranque obligado. Sin escribir $ds$ no hay nada que integrar, y quien pone directamente $s = c\sinh(x/c)$ está recitando el resultado, que es lo que la cuestión no pide.
2. Usar la identidad del enunciado para la raíz. $\sqrt{1 + \sinh^{2}(x/c)} = \cosh(x/c)$ , y de ahí $s = \int_0^{x}\cosh(x/c)\,dx = c\sinh(x/c)$ .
  El enunciado da la identidad precisamente para este paso. Si no aparece en tu desarrollo, el corrector entiende que no has visto dónde se usa. Y los límites importan: se integra desde el punto más bajo, que es el origen de $s$ .
3. Las dos componentes de la tensión. La horizontal es constante e igual a la del punto más bajo, $T_0 = wc$ ; la vertical equilibra el peso del tramo OP, $ws$ .
  Es el único paso de estática del ejercicio, y se razona aislando el tramo OP. Decir de dónde sale $T_0 = wc$ —de la definición del parámetro, $c = T_0/w$ — es lo que separa una deducción de una lista de fórmulas.
4. Componer y simplificar. $T = \sqrt{T_0^{2} + w^{2}s^{2}} = w\sqrt{c^{2} + s^{2}} = wc\cosh(x/c) = wy$ .
  La identidad se usa una segunda vez, ahora al revés: $1 + \sinh^{2} = \cosh^{2}$ . Y el final $T = wy$ es el resultado que se usa en los problemas, así que no hay que dejarlo a medias en función de $x$ .
5. Una frase de lectura. La tensión crece con la altura: es mínima en el punto más bajo ( $T_0$ ) y máxima en el amarre más alto.
  Es la consecuencia que cae en los ejercicios —el cable BD del ejercicio 1 de este mismo examen se resuelve con ella— y demuestra que se entiende lo deducido.
03
La longitud a una distancia c del vértice
COMP2
Comprobación con números: en el punto de abscisa $x = c$ , ¿cuánto vale $s/c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La tensión en ese mismo punto
COMP2
Y en $x = c$ , ¿cuánto vale $T$ en unidades de $wc$ ?
Tu respuesta al paso 4un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El elemento de arco es $ds = \sqrt{1 + y'^{2}}\,dx$ , y derivando la curva, $y' = \sinh(x/c)$ .
2. Con la identidad, $\sqrt{1 + \sinh^{2}(x/c)} = \cosh(x/c)$ , e integrando desde el punto más bajo, $s = c\sinh(x/c)$ .
3. Aislando el tramo OP, la componente horizontal de la tensión es $T_0 = wc$ y la vertical es el peso del tramo, $ws$ .
4. Así que $T = \sqrt{T_0^{2} + w^{2}s^{2}} = wc\cosh(x/c) = wy$ .

Resolución completa

La longitud. El elemento de arco de una curva $y(x)$ es $ds = \sqrt{1 + y'^{2}}\,dx$ . De la curva del enunciado:

y' = \frac{dy}{dx} = \sinh\left(\frac{x}{c}\right) \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1 + y'^{2}} = \sqrt{1 + \sinh^{2}\left(\frac{x}{c}\right)} = \cosh\left(\frac{x}{c}\right)

donde se ha usado la identidad $\cosh^{2} - \sinh^{2} = 1$ . Integrando desde el punto más bajo, que está en $x = 0$ :

s = \int_0^{x}\cosh\left(\frac{x}{c}\right)dx = c\,\sinh\left(\frac{x}{c}\right)

La tensión. Aislando el tramo OP, la componente horizontal de la tensión es la misma que en el punto más bajo, $T_0$ , y por la definición del parámetro de la catenaria, $c = T_0/w$ , vale $T_0 = wc$ . La componente vertical equilibra el peso del tramo, $ws$ . Componiendo:

T = \sqrt{T_0^{2} + w^{2}s^{2}} = w\sqrt{c^{2} + s^{2}} = wc\sqrt{1 + \sinh^{2}\left(\frac{x}{c}\right)} = wc\,\cosh\left(\frac{x}{c}\right)

y como $y = c\cosh(x/c)$ :

T = w\,y

Lectura. La tensión es proporcional a la ordenada medida desde la directriz, así que es mínima en el punto más bajo — $T_0 = wc$ — y máxima en el amarre más alto. Entre dos puntos cualesquiera, $T_2 - T_1 = w\,(y_2 - y_1)$ : es la forma que resuelve el apartado b) del ejercicio 1 de este mismo examen.

Comprobación con números. En $x = c$ : $s/c = \sinh 1 = 1{,}1752$ y $T/(wc) = \cosh 1 = 1{,}5431$ , y una integración numérica del elemento de arco da la misma longitud.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenCuestión 3 de teoría · Examen de enero de 2024 del bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La fuerza mínima para que un disco no ruede cuesta abajo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de masa $M$ y radio $R$ y resistencia a la rodadura $\mu_r$ está colocado encima de un plano inclinado que forma un ángulo $\beta$ con la horizontal. En el centro del disco, se aplica una fuerza $F$ paralela al plano, para que el disco no comience a rodar hacia abajo. Determinar el valor mínimo de $F$ y el coeficiente de rozamiento $\mu_s$ mínimo para asegurar la rodadura.

La fuerza mínima paralela al plano y el coeficiente de rozamiento mínimo para que el disco ruede sin deslizar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con el disco a punto de rodar hacia abajo, ¿dónde actúa la resultante de la reacción del plano?
02
La fuerza mínima, con números
COMP2
Para comprobar la expresión con números —no son del enunciado—, toma $\beta = 30^{\circ}$ y $\mu_r = 0{,}05\,R$ . ¿Cuánto vale $F_{\min}$ en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El rozamiento mínimo
COMP2
Con los mismos valores, ¿cuánto vale el coeficiente $\mu_s$ mínimo para que ruede sin deslizar?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A punto de rodar hacia abajo, la reacción del plano actúa a una distancia $\mu_r$ por debajo del punto de contacto geométrico.
2. Normal al plano, $N = Mg\cos\beta$ ; y tomando momentos respecto del punto donde actúa la reacción, $F R + N\mu_r = Mg\sin\beta\,R$ .
3. De ahí, $F_{\min} = Mg\,(\sin\beta - (\mu_r/R)\cos\beta)$ .
4. A lo largo del plano, el rozamiento vale $F_r = Mg\sin\beta - F = (\mu_r/R)\,Mg\cos\beta$ , y rodar sin deslizar exige $F_r \le \mu_s N$ , así que $\mu_{s,\min} = \mu_r/R$ .

Resolución completa

Hipótesis. El disco está a punto de rodar hacia abajo. Por la resistencia a la rodadura, la resultante de la reacción del plano —la normal $N$ y el rozamiento $F_r$ — actúa en un punto I’ situado una distancia $\mu_r$ por debajo del punto de contacto geométrico, del lado hacia el que tiende a moverse el disco. $F$ va hacia arriba del plano.

Normal. Perpendicular al plano, $N = Mg\cos\beta$ .

Momentos respecto de I’. La normal y el rozamiento no dan momento. La componente del peso paralela al plano, $Mg\sin\beta$ , y la fuerza $F$ actúan en el centro, a una altura $R$ ; la componente normal, $Mg\cos\beta$ , pasa a una distancia $\mu_r$ de I’:

F\,R + Mg\cos\beta\;\mu_r = Mg\sin\beta\;R \quad\Rightarrow\quad F_{\min} = Mg\left(\sin\beta - \frac{\mu_r}{R}\cos\beta\right)

Si $\tan\beta \le \mu_r/R$ la expresión sale negativa: el disco se sostiene solo y no hace falta ninguna fuerza.

Rozamiento. Equilibrio a lo largo del plano:

F_r = Mg\sin\beta - F_{\min} = \frac{\mu_r}{R}\,Mg\cos\beta

y como rodar sin deslizar exige $F_r \le \mu_s N$ :

\mu_{s,\min} = \frac{F_r}{N} = \frac{\mu_r}{R}

Comprobación con números nuestros, $\beta = 30^{\circ}$ y $\mu_r = 0{,}05\,R$ : $F_{\min} = 0{,}4567\,Mg$ y $\mu_{s,\min} = 0{,}05$ . Los momentos tomados respecto del contacto geométrico, con la normal desplazada, dan la misma fuerza.

Nota sobre $\mu_r$ . En los apuntes del tema 4 la resistencia a la rodadura es una longitud —el desplazamiento máximo de la resultante—, y $\mu_r/R$ es el coeficiente equivalente. Si alguien lo leyera como adimensional, las fórmulas no cuadrarían en unidades.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenCuestión 4 de teoría · Examen de enero de 2024 del bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La tensión cortante y el momento torsor en una sección circular

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Torsión en una sección circular: deducir la relación entre las tensiones cortantes y el momento torsor.

La relación entre la tensión cortante en un punto de la sección y el momento torsor, deducida.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hipótesis de deformación sostiene toda la deducción?
02
Redactar la demostración
COMP4
En papel, como lo entregarías: deduce $\tau(r)$ en función del momento torsor $M_t$ para una sección circular llena de diámetro $D$ , y termina con la tensión máxima. Con un croquis del elemento de longitud $dx$ .
Escríbela en papel antes de seguir. Aquí no hay hueco donde teclearla a propósito: lo que corrige el examen es tu folio, y compararlo es más útil que rellenar una casilla.
Lo que se puntúa
1. La hipótesis, dicha. Secciones planas y radios rectos: un elemento de longitud $dx$ gira $d\varphi$ respecto del anterior, como un sólido rígido.
  Es la premisa, y la que solo vale en la sección circular. Una deducción que no la enuncia vale igual para una sección cuadrada, donde el resultado es falso: las secciones no circulares se alabean.
2. La distorsión. Un punto a distancia $r$ se desplaza $r\,d\varphi$ , así que la generatriz se inclina $\gamma = r\,d\varphi/dx = r\,\theta'$ .
  Aquí aparece la dependencia lineal con el radio, que es el resultado entero de la cuestión. Sin el croquis del elemento, el corrector no puede ver de dónde sale.
3. Hooke en cortadura. $\tau = G\gamma = G\,r\,\theta'$ , con dirección tangencial, perpendicular al radio.
  La dirección cuenta: una tensión radial no daría momento respecto del centro, y es la componente tangencial la que equilibra el torsor.
4. El momento de las tensiones. $M_t = \int_A \tau\,r\,dA = G\theta'\int_A r^{2}\,dA = G\,I_p\,\theta'$ , nombrando $I_p$ como momento de inercia polar.
  Es el paso de equilibrio: el torsor es la resultante de momentos de las tensiones. Llamar $I_p$ a la integral —y no $I_z$ — es donde se decide si luego sale $\pi D^{4}/32$ o la mitad.
5. Eliminar $\theta'$ y dar el máximo. $\tau = M_t\,r/I_p$ y, con $I_p = \pi D^{4}/32$ , $\tau_{\max} = 16\,M_t/(\pi D^{3})$ en el contorno.
  Es la relación que pide el enunciado, y la tensión máxima es la que se usa para dimensionar. Decir que el centro está descargado y el contorno trabaja al máximo es la lectura que se espera.
03
La tensión máxima de un eje concreto
COMP2
Para comprobar la fórmula con números —no son del enunciado—: un eje macizo de $D = 40$ mm transmite $M_t = 500$ N·m. ¿Cuánto vale $\tau_{\max}$ ?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
A mitad de radio
COMP2
En ese eje, ¿qué fracción de $\tau_{\max}$ soporta un punto situado a $r = D/4$ , a mitad de camino entre el centro y el contorno?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las secciones permanecen planas y sus radios rectos: una rebanada de espesor $dx$ gira $d\varphi$ como un sólido rígido.
2. Un punto a distancia $r$ se desplaza $r\,d\varphi$ , así que la distorsión es $\gamma = r\,\theta'$ .
3. Por Hooke, $\tau = G\,r\,\theta'$ , tangencial y lineal en el radio.
4. El torsor es el momento de esas tensiones, $M_t = G\theta'\int r^{2}dA = G I_p\theta'$ , y dividiendo, $\tau = M_t\,r/I_p$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenApartado a) del ejercicio 1 · Examen de enero de 2024 del bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). La hoja de ejercicios del original lleva impresa la fecha 18 de enero de 2023, aunque va en el mismo PDF que la teoría del 17 de enero de 2024. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La barra sujeta por un resorte y un cable, en sólido libre

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sistema plano de la figura consta de la barra AC, de masa $M$ y longitud $L$ , unida al suelo con una articulación fija en A y a la pared, en su punto C, a través de un resorte de constante $k = \frac{5}{2}\frac{Mg}{L}$ y longitud en reposo $L_0 = 0$ . En el punto B, situado a distancia $3L/4$ de A, se une un cable BD, de peso por unidad de longitud $q = \frac{2}{3}\frac{Mg}{L}$ y que soporta una fuerza mínima $T_O = \frac{4}{3}Mg$ Los puntos E, C y D están en la misma horizontal mientras que E y A se encuentran en la misma vertical. El valor del ángulo es $\alpha = 36{,}87^{\circ}$ .

Determinar:

a) (1p) Diagrama de sólido libre de la barra y componente vertical de la fuerza en B.

Redibujada a escala con los datos del enunciado, con L = 280 px. El cable está trazado con la catenaria que sale de la resolución, y por eso cuelga bastante menos que en el dibujo original, que es esquemático.

El diagrama de sólido libre de la barra y la componente vertical de la fuerza que el cable ejerce en B.

01
Reconocer el camino
COMP1
El resorte tiene longitud en reposo $L_0 = 0$ . ¿Qué fuerza hace sobre la barra en C?
02
La fuerza del resorte
COMP2
Con $\cos\alpha = 0{,}8$ , ¿cuánto vale la fuerza del resorte, en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se sabe de la fuerza que el cable hace en B antes de calcular nada?
04
La componente vertical en B
COMP2
Tomando momentos respecto de A, ¿cuánto vale la componente vertical de la fuerza del cable sobre la barra en B, en unidades de $Mg$ ? Da el módulo; el sentido se discute en el paso siguiente.
Tu respuesta al paso 4un número, vale la forma exacta — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución del apartado a). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En el sólido libre entran la reacción en A, con dos componentes; el peso $Mg$ en el centro; el resorte en C, y el cable en B, tangente al cable.
2. El resorte tiene longitud natural nula, así que su fuerza es $k$ por su longitud, $0{,}8L$ : vale $2Mg$ y tira de C hacia E.
3. La componente horizontal del cable en B es la fuerza mínima, $\frac{4}{3}Mg$ , hacia la derecha.
4. Momentos respecto de A: $V_B = Mg/3$ , hacia abajo. Y de las fuerzas, $A_x = \frac{2}{3}Mg$ y $A_y = \frac{4}{3}Mg$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenApartado b) del ejercicio 1 · Examen de enero de 2024 del bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). La hoja de ejercicios del original lleva impresa la fecha 18 de enero de 2023, aunque va en el mismo PDF que la teoría del 17 de enero de 2024. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La fuerza del cable en su amarre D

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Determinar:

b) (1p) Fuerza del cable en el punto D.

La misma figura del apartado a), a escala. D está a la altura de C, es decir, 0,15·L por encima de B: esa diferencia de cotas es la que decide la respuesta.

La tensión del cable en su amarre D, con su dirección.

01
Reconocer el camino
COMP1
Del apartado a) sale la componente vertical en B, $V_B = Mg/3$ . ¿Qué dice ese número del cable?
02
El parámetro de la catenaria
COMP2
¿Cuánto vale el parámetro $c = T_O/q$ , en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La longitud de cable hasta el punto más bajo
COMP2
Con $V_B = q\,s_B$ , ¿cuánto vale $s_B$ , en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La fuerza en D
COMP2
¿Cuánto vale la tensión del cable en D, en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 4un número con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución del apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El parámetro de la catenaria es $c = T_O/q = 2L$ .
2. En B la componente vertical es el peso del cable hasta el punto más bajo: $s_B = V_B/q = L/2$ .
3. La tensión es $T = qy$ , con $y$ desde la directriz, así que entre dos puntos cambia en $q$ por su diferencia de cotas.
4. D está a la altura de C, $0{,}15L$ por encima de B: $T_D = \frac{\sqrt{17}}{3}Mg + \frac{2}{3}\cdot 0{,}15\,Mg = 1{,}474\,Mg$ .

Resolución completa

El parámetro. Con el peso por unidad de longitud de cable y la fuerza mínima, que es la del punto más bajo:

c = \frac{T_O}{q} = \frac{\frac{4}{3}Mg}{\frac{2}{3}Mg/L} = 2L

Dónde está B en la catenaria. Del apartado a), la componente vertical en B es $V_B = Mg/3$ , y es el peso del tramo de cable entre el punto más bajo y B:

s_B = \frac{V_B}{q} = \frac{L}{2} \qquad T_B = \sqrt{T_O^{2} + V_B^{2}} = \frac{\sqrt{17}}{3}\,Mg = 1{,}3744\,Mg

Con $s = c\sinh(x/c)$ , B está a $0{,}495L$ en horizontal del punto más bajo y $c\,(\cosh - 1) = 0{,}0616L$ por encima de él: el cable cuelga muy poco.

La tensión en D. La tensión de la catenaria es $T = qy$ , con $y$ medida desde la directriz, así que entre dos puntos cualesquiera $T_2 - T_1 = q\,(y_2 - y_1)$ . D está a la altura de C, $0{,}6L$ , y B a $0{,}45L$ :

T_D = T_B + q\cdot 0{,}15L = \frac{\sqrt{17}}{3}Mg + \frac{1}{10}Mg = 1{,}4744\,Mg

Su dirección. La horizontal es $T_O = \frac{4}{3}Mg$ y la vertical $\sqrt{T_D^{2} - T_O^{2}} = 0{,}6293\,Mg$ , así que el cable llega a D formando $25{,}3^{\circ}$ con la horizontal. Sobre el amarre, la fuerza tira hacia abajo y hacia la izquierda, hacia el cable.

Comprobación. Por la otra vía, $s_D = 0{,}6293Mg/q = 0{,}944L$ da una abscisa de $0{,}912L$ a la derecha del punto más bajo, y la catenaria $y = c\cosh(x/c)$ evaluada en B y en D devuelve exactamente los $0{,}15L$ de desnivel. D queda a $2{,}007L$ de la vertical de A, que es donde está dibujado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 2 · Examen de enero de 2024 del bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). La hoja de ejercicios del original lleva impresa la fecha 18 de enero de 2023, aunque va en el mismo PDF que la teoría del 17 de enero de 2024. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La barra articulada a un disco, a punto de deslizar en A

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra AB de masa $M$ y longitud $2R$ está articulada en su extremo B al centro de un disco de radio $R$ y masa $M$ , sometido a un momento $P$ . El sistema se apoya en el suelo en A y C, siendo el coeficiente de rozamiento en A $f = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Si el deslizamiento en A es inminente, determinar:

a) (0,5p) Diagramas del sólido libre del disco y de la barra.

b) (0,5p) Fuerza normal y de rozamiento en el punto A.

c) (0,5p) Momento $P$ aplicado al disco.

d) (0,5p) Fuerza normal y de rozamiento en C.

Redibujada a escala, con R = 90 px. El punto medio de la barra está a una distancia R de B, así que cae exactamente sobre el borde del disco, como en el original. El momento P va en sentido horario, que es el que dibuja el enunciado.

Las fuerzas normal y de rozamiento en A y en C y el momento P, con el deslizamiento en A inminente.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con $P$ en sentido horario, como en la figura, ¿hacia dónde tiende a deslizar el extremo A?
02
La normal en A
COMP2
Tomando momentos respecto de B en la barra, ¿cuánto vale $N_A$ , en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, vale la forma exacta — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El rozamiento en A
COMP2
¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento en A, en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, vale la forma exacta — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento P
COMP2
Del equilibrio del disco, ¿cuánto vale $P$ , en unidades de $MgR$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, vale la forma exacta — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La normal en C
COMP2
¿Cuánto vale $N_C$ , en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, vale la forma exacta — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
El rozamiento en C
COMP2
¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento en C, en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 6un número, vale la forma exacta — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El par horario hace tender el disco a rodar hacia la derecha, y arrastra la barra: el rozamiento en A va hacia la izquierda y vale $f\,N_A$ .
2. Momentos en la barra respecto de B: $N_A = Mg/3$ y $F_A = \frac{\sqrt{3}}{6}Mg$ ; la articulación sostiene $\frac{2}{3}Mg$ de la barra.
3. En el disco, el rozamiento en C equilibra la fuerza horizontal de la barra y da el par: $P = F_C R = \frac{\sqrt{3}}{6}MgR$ .
4. Y la normal en C recoge el disco y lo que le pasa la barra: $N_C = \frac{5}{3}Mg$ , que con $N_A$ suma el peso total, $2Mg$ .

Resolución completa

Geometría. Con C en el origen, B está en $(0,\,R)$ . La barra mide $2R$ y B está a una altura $R$ , así que forma $30^{\circ}$ con el suelo y A está en $(-\sqrt{3}R,\,0)$ . Su centro G, en $(-\frac{\sqrt{3}}{2}R,\,\frac{R}{2})$ , queda a una distancia $R$ de B: justo sobre el borde del disco.

a) Sólidos libres.

Barra: en A, la normal $N_A$ hacia arriba y el rozamiento $F_A$ horizontal; su peso $Mg$ en G; en B, la fuerza del disco, con dos componentes $B_x$ y $B_y$ .
Disco: su peso $Mg$ en B; la fuerza de la barra en B, igual y contraria; el par $P$ ; y en C, la normal $N_C$ y el rozamiento $F_C$ .

El sentido del deslizamiento. Con $P$ horario, como en la figura, el disco tiende a rodar hacia la derecha y arrastra la barra: A tiende a deslizar hacia C, y el rozamiento en A apunta hacia la izquierda, con $F_A = f\,N_A$ .

b) En A. Momentos en la barra respecto de B, antihorario positivo:

-\sqrt{3}R\,N_A - R\,F_A + \frac{\sqrt{3}}{2}R\,Mg = 0 \qquad F_A = \frac{\sqrt{3}}{2}N_A

N_A = \frac{Mg}{3} \qquad F_A = \frac{\sqrt{3}}{6}\,Mg \approx 0{,}289\,Mg

Y de las fuerzas en la barra, la articulación le da $B_x = \frac{\sqrt{3}}{6}Mg$ hacia la derecha y $B_y = \frac{2}{3}Mg$ hacia arriba.

c) El par. En el disco, la barra tira de B con $\frac{\sqrt{3}}{6}Mg$ hacia la izquierda y empuja con $\frac{2}{3}Mg$ hacia abajo. Equilibrio horizontal: $F_C = \frac{\sqrt{3}}{6}Mg$ hacia la derecha. Momentos respecto de B, donde solo dan momento el rozamiento en C y el par:

P = F_C\,R = \frac{\sqrt{3}}{6}\,MgR \approx 0{,}289\,MgR \quad\text{(horario)}

d) En C.

N_C = Mg + \frac{2}{3}Mg = \frac{5}{3}\,Mg \qquad F_C = \frac{\sqrt{3}}{6}\,Mg

Comprobación del conjunto. Vertical: $N_A + N_C = 2Mg$ . Horizontal: $F_A + F_C = 0$ . Momentos respecto de C: $-\sqrt{3}R\cdot\frac{Mg}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}R\,Mg - \frac{\sqrt{3}}{6}MgR = 0$ .

El otro estado límite. Si el par fuera antihorario, la barra sería empujada, A tendería a alejarse de C y saldría $N_A = Mg$ , $F_A = \frac{\sqrt{3}}{2}Mg$ , $P = \frac{\sqrt{3}}{2}MgR$ , $N_C = Mg$ y $F_C = \frac{\sqrt{3}}{2}Mg$ . El enunciado no nombra el sentido; lo dibuja, y aquí se sigue el dibujo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: examenEjercicio 3 · Examen de enero de 2024 del bloque 1 (Estática) · Mecánica Aplicada, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). La hoja de ejercicios del original lleva impresa la fecha 18 de enero de 2023, aunque va en el mismo PDF que la teoría del 17 de enero de 2024. El examen no publica resolución; el desarrollo es nuestro.

La viga con dos voladizos y el espesor de su sección en T

paso 1 de 9

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para la viga de la figura, determinar:

a) (1p) Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en función de $q_0$ y $L$ .

b) (1p) Si $q_0$ es el peso propio por unidad de longitud de la viga y siendo el peso específico del material $18000\ \text{N/m}^{3}$ y $L = 2$ m:

b1) (0,5p) Tensión normal máxima (decir si es de tracción o compresión y la sección donde tiene lugar).

b2) (0,5p) Dimensión $e$ de la figura (en mm), siendo la tensión admisible por el material $\sigma_0 = 200$ MPa.

Redibujada a escala: la viga con L = 105 px y la sección con e = 14 px. La sección es una T invertida, con el ala abajo: el centro de gravedad queda cerca del ala y lejos de la punta del alma.

Los diagramas de cortantes y flectores, la tensión normal máxima con su signo y su sección, y la dimensión e que agota los 200 MPa.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular: ¿dónde está el momento flector de mayor valor absoluto en esta viga?
02
La reacción en B
COMP2
¿Cuánto vale la reacción en B, en unidades de $q_0L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector en el apoyo
COMP2
Con el convenio del tema 6 —flector positivo el que comprime la fibra superior—, ¿cuánto vale el flector en B, en unidades de $q_0L^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El flector en el centro del vano
COMP2
¿Y en el centro del vano, a $2L$ de A, en unidades de $q_0L^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El centro de gravedad de la T
COMP2
Medido desde la base del ala, ¿a qué altura está el centro de gravedad de la sección, en unidades de $e$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, vale la forma exacta — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
El momento de inercia
COMP2
¿Cuánto vale el momento de inercia de la sección respecto de su eje neutro, en unidades de $e^{4}$ ?
Tu respuesta al paso 6un número con tres decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
La tensión máxima para un e concreto
COMP2
Con $q_0 = 18000\cdot 13e^{2}$ y $L = 2$ m, la tensión máxima va como $1/e$ . Como comprobación: ¿cuánto valdría si $e = 1$ mm?
Tu respuesta al paso 7una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
08
La dimensión e
COMP2
¿Qué valor de $e$ agota la tensión admisible, $\sigma_0 = 200$ MPa?
Tu respuesta al paso 8una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
09
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría, $R_B = R_C = 2q_0L$ .
2. Cada voladizo da en su apoyo $M = -q_0L^{2}/2$ , y en el centro del vano el flector vuelve a cero: el máximo en valor absoluto está en B y en C.
3. Con flector negativo la fibra superior tracciona; la punta del alma está a $3{,}423e$ del eje neutro, más lejos que la base del ala, así que la tensión máxima es de tracción, arriba, en B y C.
4. Como $q_0 = \gamma\cdot 13e^{2}$ , la tensión máxima vale $80{,}07/e$ MPa con $e$ en mm, y agotar 200 MPa da $e = 0{,}400$ mm.

Resolución completa

Reacciones. La carga total es $4q_0L$ y la viga es simétrica: $R_B = R_C = 2q_0L$ .

a) Diagramas. Con $x$ desde A, $dM/dx = V$ y el convenio del tema 6 (flector positivo el que tracciona la fibra inferior):

tramo	cortante $V(x)$	flector $M(x)$
AB, $0 < x < L$	$-q_0x$	$-q_0x^{2}/2$
BC, $L < x < 3L$	$q_0\,(2L - x)$	$-q_0x^{2}/2 + 2q_0L\,(x - L)$
CD, $3L < x < 4L$	$q_0\,(4L - x)$	$-q_0\,(4L - x)^{2}/2$

El cortante salta de $-q_0L$ a $+q_0L$ en cada apoyo y se anula en el centro del vano. El flector vale $-q_0L^{2}/2$ en B y en C y cero en el centro del vano y en los extremos: toda la viga trabaja con flector negativo o nulo.

A escala, con los negativos hacia abajo. El flector es negativo en toda la viga salvo en tres puntos donde vale cero: los dos extremos y el centro del vano.

La sección. Ala $5e\times 2e$ abajo y alma $e\times 3e$ encima:

A = 13e^{2} \qquad y_G = \frac{10e^{2}\cdot e + 3e^{2}\cdot 3{,}5e}{13e^{2}} = 1{,}577\,e

I = \frac{5e\,(2e)^{3}}{12} + 10e^{2}\,(0{,}577e)^{2} + \frac{e\,(3e)^{3}}{12} + 3e^{2}\,(1{,}923e)^{2} = 20{,}006\,e^{4}

La punta del alma está a $5e - 1{,}577e = 3{,}423e$ del eje neutro, y la base del ala a $1{,}577e$ .

b1) Tensión normal máxima. El flector de mayor valor absoluto es $-q_0L^{2}/2$ , en B y en C. Al ser negativo tracciona la fibra superior, que además es la más alejada del eje neutro. Con $q_0 = 18000\cdot 13e^{2}$ N/m y $L = 2$ m:

\sigma_{\max} = \frac{q_0L^{2}}{2}\cdot\frac{3{,}423e}{20{,}006e^{4}} = \frac{18000\cdot 13\cdot 2\cdot 3{,}423}{20{,}006}\cdot\frac{1}{e} = \frac{80\,074}{e}\ \text{Pa}

con $e$ en metros: es de tracción, en la fibra superior —la punta del alma— de las secciones de los apoyos B y C. La fibra inferior de esas mismas secciones está comprimida, con $36\,888/e$ Pa.

b2) La dimensión e. Igualando a la admisible:

\frac{80\,074}{e} = 200\cdot 10^{6} \quad\Rightarrow\quad e = 4{,}004\cdot 10^{-4}\ \text{m} = 0{,}400\ \text{mm}

Comprobación. Con $e = 0{,}4004$ mm, $q_0 = 0{,}0375$ N/m, $|M|_{\max} = 0{,}0750$ N·m e $I = 5{,}13\cdot 10^{-13}$ m⁴, y la fibra superior da exactamente 200 MPa. El resultado es pequeño porque la viga solo soporta su propio peso: la tensión va como $1/e$ , así que una viga más gruesa trabaja menos, no más.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Examen final del primer cuatrimestre · 2023-2024

Reconocer el camino

El módulo del momento mínimo

El momento en el origen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Redactar la demostración

La longitud a una distancia c del vértice

La tensión en ese mismo punto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La fuerza mínima, con números

El rozamiento mínimo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Redactar la demostración

La tensión máxima de un eje concreto

A mitad de radio

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La fuerza del resorte

Reconocer el camino

La componente vertical en B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El parámetro de la catenaria

La longitud de cable hasta el punto más bajo

La fuerza en D

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La normal en A

El rozamiento en A

El momento P

La normal en C

El rozamiento en C

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La reacción en B

El flector en el apoyo

El flector en el centro del vano

El centro de gravedad de la T

El momento de inercia

La tensión máxima para un e concreto

La dimensión e

Justificar el argumento