Mecánica Aplicada · tema 01

Fundamentos del cálculo vectorial

Un sistema de fuerzas se resume en dos vectores, la resultante y el momento en un punto. De ahí salen el campo de momentos, los dos invariantes, el momento mínimo y el eje central.

Este tema parece un repaso de vectores, y la primera mitad lo es. La segunda no: es la herramienta con la que se escribe toda la estática, y la idea que la sostiene cabe en una frase. Un sistema de fuerzas, por complicado que sea, se resume en dos vectores: la resultante y el momento en un punto. Con esos dos se sabe el momento en cualquier otro punto, y dos sistemas que los compartan son, a efectos de un sólido rígido, el mismo sistema.

Y cae en el examen de una forma muy concreta. En dos de las tres convocatorias con enunciado en castellano, la primera cuestión de teoría es un sistema de vectores deslizantes del que te dan unos datos —el invariante, un punto del eje central, un momento— y te piden los demás.

Tres clases de vectores, según dónde se aplican

Un vector tiene módulo, dirección y sentido. Lo que cambia de una clase a otra es qué pasa con su punto de aplicación:

libre: se puede aplicar en cualquier punto del espacio. El momento de un par de fuerzas es un vector libre;
deslizante: se puede aplicar en cualquier punto de su recta soporte, y moverlo a lo largo de ella no cambia nada. Una fuerza sobre un sólido rígido es deslizante: empujar un armario por un punto o por otro de la misma línea de acción produce el mismo efecto;
fijo o ligado: su punto de aplicación es uno y solo uno. El momento respecto de un punto es un vector ligado a ese punto.

Casi todo el tema trabaja con vectores deslizantes, porque eso son las fuerzas en la estática del sólido rígido.

El momento de un vector respecto de un punto

El momento de un vector deslizante $\vec{v}$ respecto de un punto $O$ es

\vec{M}_O = \overrightarrow{OA} \times \vec{v}

donde $A$ es cualquier punto de la recta soporte. Da igual cuál: si tomas otro punto $B$ de la misma recta, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}$ , y $\overrightarrow{AB} \times \vec{v} = \vec{0}$ porque son paralelos. Por eso el módulo del momento es el módulo del vector por la distancia perpendicular de $O$ a la recta soporte.

Las dos letras de la fórmula juegan papeles distintos, y confundirlas es el error que las notas de la colección repiten ejercicio tras ejercicio: $O$ es el punto respecto del que tomas momentos y $A$ el punto donde está aplicado el vector. El vector de posición va siempre de $O$ hacia $A$ .

Un vector llamado AB no es una longitud

En la colección los vectores se nombran por dos puntos, como $\overrightarrow{AB}$ , y eso engaña: parece un vector de posición, con metros, y en cuanto el tema avanza es una fuerza, con newtons, que va de $A$ hacia $B$ . El momento de esa fuerza respecto de $P$ es $\overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{AB}$ : el primer factor sí es una posición, del punto de momentos al punto de aplicación; el segundo es la fuerza. Escribir las fuerzas con minúscula, como aconseja la propia colección, evita mezclarlas.

El momento respecto de un eje

El momento de $\vec{v}$ respecto de un eje de vector unitario $\vec{u}$ es un escalar: la proyección sobre el eje del momento tomado en cualquier punto $P$ del eje,

M_{\Delta} = \vec{M}_P \cdot \vec{u} = \left( \overrightarrow{PA} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{u}

Y no depende de qué punto del eje elijas. La imagen que usa el propio libro es la de una puerta: de una fuerza cualquiera sobre la hoja, la parte paralela a las bisagras no la mueve, la parte que corta el eje de las bisagras tampoco, y solo la parte que cruza el eje la hace girar. El momento respecto del eje es esa componente por su distancia al eje, con el signo de la regla de la mano derecha.

Y de ahí sale un atajo que ahorra determinantes: los momentos respecto de los tres ejes coordenados son las tres componentes del momento respecto del origen. Para calcular $\vec{M}_O$ puedes ir eje por eje, mirando qué componente de la fuerza cruza cada uno y a qué distancia.

Un sistema de vectores: la resultante y el campo de momentos

Un sistema de $N$ vectores deslizantes se caracteriza con dos vectores:

\vec{R} = \sum_{i=1}^{N} \vec{v}_i \qquad \vec{M}_O = \sum_{i=1}^{N} \overrightarrow{OA_i} \times \vec{v}_i

La resultante $\vec{R}$ es un vector libre. El momento resultante $\vec{M}_O$ está ligado al punto $O$ . Y conocidos los dos, el momento en cualquier otro punto $O'$ sale de la ecuación del campo de momentos:

\vec{M}_{O'} = \vec{M}_O + \overrightarrow{O'O} \times \vec{R}

Esta ecuación es el centro del tema. Dice que el momento cambia de un punto a otro, pero no de cualquier manera: cambia sumando un producto vectorial por la resultante. Y dice también cuándo dos sistemas son equivalentes: si tienen la misma resultante y el mismo momento en un punto, tienen el mismo momento en todos.

El vector del campo va del punto nuevo al viejo

En $\vec{M}_{O'} = \vec{M}_O + \overrightarrow{O'O} \times \vec{R}$ el vector de posición sale de $O'$ , el punto donde quieres el momento, y llega a $O$ , el punto donde ya lo sabes. Escribir $\overrightarrow{OO'}$ en su lugar cambia el signo del término, y el resultado sale con la misma forma y los números equivocados. Si prefieres el vector al revés, cambia también el orden del producto: $\vec{M}_{O'} = \vec{M}_O + \vec{R} \times \overrightarrow{OO'}$ .

Los dos invariantes, el momento mínimo y el eje central

Hay dos cosas que no cambian de un punto a otro, y por eso se llaman invariantes:

el invariante vectorial, que es la propia resultante $\vec{R}$ ;
el invariante escalar, $\tau = \vec{M}_O \cdot \vec{R}$ .

Que $\tau$ no depende del punto se ve multiplicando escalarmente la ecuación del campo por $\vec{R}$ : el término $\left( \overrightarrow{O'O} \times \vec{R} \right) \cdot \vec{R}$ es nulo, porque un producto vectorial es perpendicular a sus dos factores. Dividido por el módulo de $\vec{R}$ , dice algo que se puede dibujar: la proyección del momento sobre la resultante es la misma en todos los puntos del espacio.

Así que el momento más pequeño posible es el que no tiene nada más que esa proyección. Es el momento mínimo, y lleva la dirección de la resultante:

\vec{M}_{\min} = \frac{\tau}{R^{2}}\,\vec{R} \qquad \left| \vec{M}_{\min} \right| = \frac{\tau}{R}

Los puntos donde el momento vale exactamente eso forman una recta paralela a $\vec{R}$ : el eje central. Si conoces $\vec{R}$ y el momento en $O$ , un punto $P_0$ del eje central es

\overrightarrow{OP_0} = \frac{\vec{R} \times \vec{M}_O}{R^{2}}

y el eje entero es $P_0 + \lambda \vec{R}$ . Fuera del eje, el momento gana una componente perpendicular a $\vec{R}$ que crece con la distancia.

Un sistema con resultante R = 2 N y momento mínimo 3 N·m, visto en tres puntos. En C, sobre el eje central, el momento es solo esos 3 N·m, en la dirección de R. A un metro, el momento gana una componente perpendicular de R·d = 2 N·m, dibujada en perspectiva hacia el papel; a dos metros, de 4. La componente sobre R no cambia en ninguno: por eso el mínimo está en el eje.

Cómo se clasifica un sistema

El invariante escalar decide a qué se puede reducir un sistema:

$\tau \neq 0$ : es el caso general. El sistema se reduce a la resultante y al momento mínimo, los dos sobre el eje central. Ese conjunto se llama torsor, y no se puede simplificar más.
$\tau = 0$ : el momento mínimo es nulo, y hay tres posibilidades.
- Si $\vec{R} = \vec{0}$ , el sistema es un par: un momento libre, igual en todo el espacio, sin eje central.
- Si $\vec{R} \neq \vec{0}$ , el sistema se reduce a una única fuerza aplicada en el eje central, donde el momento se anula. Es el teorema de Varignon: el momento del sistema es el momento de su resultante. Aquí caen los sistemas planos, los de fuerzas concurrentes y los de fuerzas paralelas, que son los que más vas a usar.
- Si además el momento es nulo en un punto, es nulo en todos: el sistema es nulo. Esa es exactamente la condición de equilibrio, y la estática del tema 3 consiste en escribirla.

Los vectores ligados y el virial

Cuando los vectores están ligados a su punto, la resultante y el momento ya no bastan: un sistema de vectores paralelos ligados tiene además un centro, el punto por el que pasa su resultante aunque todos los vectores giren a la vez manteniéndose paralelos. El peso de un cuerpo es el ejemplo: cada partícula tiene el suyo, todos paralelos, y su centro es el centro de gravedad, que es el objeto del tema 2.

El virial de un vector ligado respecto de un punto es el producto escalar $\overrightarrow{OA} \cdot \vec{v}$ del vector de posición de su punto de aplicación por el vector. Es la herramienta con la que el libro obtiene ese centro, y aparece de vez en cuando en el examen como definición: la convocatoria de estática de mayo de 2019 —que solo está en euskera, y por eso no se transcribe— pedía definir brevemente el virial de un vector respecto de un punto.

Lo que hay que llevarse

La resultante y el momento en un punto lo dicen todo. El momento en otro punto sale del campo de momentos, con el vector del punto nuevo al viejo.
El invariante escalar $\tau = \vec{M} \cdot \vec{R}$ no depende del punto. Su cociente por $R$ es el momento mínimo, y los puntos donde se alcanza forman el eje central, paralelo a la resultante.
Si $\tau = 0$ el sistema se reduce a una fuerza o a un par; si además no hay ni fuerza ni par, está en equilibrio.

Practica lo que acabas de leer

El momento en otro punto, y el signo que se escapa

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El momento en otro punto, y el signo que se escapa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un sistema de vectores deslizantes tiene resultante $\vec{R} = \hat{\imath} + 2\hat{\jmath}$ y momento resultante en el origen $\vec{M}_O = 3\hat{k}$ . Calcular el momento resultante en el punto $P(1, 1, 0)$ .

El momento en P a partir del momento en O.

01
Reconocer el camino
COMP1
Conoces la resultante y el momento en $O$ . ¿Qué ecuación da el momento en $P$ ?
02
El producto del campo
COMP2
Calcula $\overrightarrow{PO} \times \vec{R}$ . ¿Cuánto vale su componente $z$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, la componente z — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento en P
COMP2
¿Cuánto vale la componente $z$ de $\vec{M}_P$ ? Las otras dos son nulas.
Tu respuesta al paso 3un número, la componente z — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\overrightarrow{PO} = O - P = (-1, -1, 0)$ .
2. $\overrightarrow{PO} \times \vec{R} = (0, 0, -2 + 1) = -\hat{k}$ .
3. $\vec{M}_P = \vec{M}_O + \overrightarrow{PO} \times \vec{R} = 3\hat{k} - \hat{k} = 2\hat{k}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El momento mínimo, a partir de un momento cualquiera

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un sistema de vectores deslizantes tiene resultante $\vec{R} = 3\hat{\jmath} + 4\hat{k}$ y, en el origen, momento resultante $\vec{M}_O = \hat{\imath} + 2\hat{\jmath} + 6\hat{k}$ . Calcular el invariante escalar y el módulo del momento mínimo.

El invariante escalar y el módulo del momento mínimo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tienen en común el momento en el origen y el momento en cualquier otro punto del espacio?
02
El invariante escalar
COMP2
¿Cuánto vale $\tau = \vec{M}_O \cdot \vec{R}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo del momento mínimo
COMP2
¿Cuánto mide el momento mínimo?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\tau = \vec{M}_O \cdot \vec{R} = 0 + 6 + 24 = 30$ .
2. $R = 5$ , y el momento mínimo es la proyección de cualquier momento sobre la resultante: $\tau / R = 6$ .
3. Su dirección es la de la resultante, $\vec{M}_{\min} = \frac{30}{25}(3\hat{\jmath} + 4\hat{k}) = 3{,}6\hat{\jmath} + 4{,}8\hat{k}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.1 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Tres cables y el ángulo que forman con el eje y

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para sostener el contenedor de la figura se emplean tres cables. Calcular los ángulos de todos los cables respecto al eje $y$ .

El ángulo de cada uno de los tres cables con el eje y, en grados.

01
Reconocer el camino
COMP1
Cada cable va de $A$ a uno de los puntos de anclaje. ¿Cómo se saca el ángulo que forma, por ejemplo, $\overrightarrow{AB}$ con el eje $y$ ?
02
La longitud del cable AD
COMP2
¿Cuánto mide $\overrightarrow{AD}$ , en metros?
Tu respuesta al paso 2un número, en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El ángulo del cable AB
COMP2
¿Qué ángulo forma el cable $AB$ con el eje $y$ , en grados?
Tu respuesta al paso 3un número, en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El ángulo del cable AC
COMP2
¿Y el cable $AC$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El ángulo del cable AD
COMP2
¿Y el cable $AD$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada cable es el vector que va de $A$ a su anclaje: $\overrightarrow{AB} = (0{,}56;\ 0{,}9;\ 0)$ , $\overrightarrow{AC} = (0;\ 0{,}9;\ -0{,}48)$ y $\overrightarrow{AD} = (-0{,}52;\ 0{,}9;\ 0{,}36)$ .
2. Sus módulos son $1{,}06$ , $1{,}02$ y $1{,}1$ metros.
3. El coseno director del eje $y$ es la componente $y$ entre el módulo, y da $31{,}89^{\circ}$ , $28{,}07^{\circ}$ y $35{,}10^{\circ}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.2 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El momento de una fuerza en dos puntos de la misma barra

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el momento resultante en los puntos $A, B$ de la fuerza $T = 130\ \text{N}$ .

El momento de T respecto de A y respecto de B, como vectores según k.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para el momento de $\vec{T}$ respecto de $A$ , ¿qué vector de posición multiplica a $\vec{T}$ ?
02
La componente vertical de T
COMP2
Con $\vec{T}$ a $20^{\circ}$ por debajo de la horizontal y hacia la derecha, ¿cuánto vale $T_y$ , en newtons?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento respecto de A
COMP2
Con $\overrightarrow{AC} = 2{,}25\,(\cos 30^{\circ},\ \sin 30^{\circ})\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{M}_A$ , en N·m?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento respecto de B, por el campo
COMP2
Con la ecuación del campo, $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \overrightarrow{BA} \times \vec{T}$ , ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{M}_B$ ?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{T} = 122{,}16\,\vec{i} - 44{,}46\,\vec{j}$ N, aplicada en $C$ , con $\overrightarrow{AC} = 1{,}9486\,\vec{i} + 1{,}125\,\vec{j}$ m.
2. $\vec{M}_A = \overrightarrow{AC} \times \vec{T} = -224{,}07\,\vec{k}$ N·m.
3. $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \overrightarrow{BA} \times \vec{T} = -124{,}48\,\vec{k}$ N·m, que es lo mismo que $\overrightarrow{BC} \times \vec{T}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.3 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El cable que dobla la rama, en el espacio

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sobre la rama inclinada de la figura actúa una fuerza de $400\ \text{N}$ mediante un cable con la intención de doblarla. Encontrar el momento que realiza esta persona respecto al punto $C$ .

El momento de la fuerza del cable respecto de C, componente a componente.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la notación del dibujo la fuerza se llama $\overrightarrow{AB}$ . ¿Qué es exactamente lo que multiplica al vector de posición en $\vec{M}_C$ ?
02
La longitud del cable
COMP2
Con $A(0, 8, 11)$ y $B(6, 10, 2)$ , ¿cuánto mide $|\overrightarrow{AB}|$ , en metros?
Tu respuesta al paso 2un número, en metros — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente x del momento
COMP2
Con $C(0, 2, 8)$ , $\vec{M}_C = \overrightarrow{CA} \times \vec{F}$ . ¿Cuánto vale su componente $x$ , en N·m?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La componente y del momento
COMP2
¿Y la componente $y$ ?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La componente z del momento
COMP2
¿Y la componente $z$ ?
Tu respuesta al paso 5un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fuerza tiene la dirección de $\overrightarrow{AB} = (6, 2, -9)$ , de módulo 11, así que $\vec{F} = \tfrac{400}{11}(6, 2, -9)$ N.
2. El vector de posición va del punto de momentos al de aplicación: $\overrightarrow{CA} = (0, 6, 3)$ m.
3. $\vec{M}_C = \overrightarrow{CA} \times \vec{F} = -2181{,}8\,\vec{i} + 654{,}5\,\vec{j} - 1309{,}1\,\vec{k}$ N·m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.4 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. Los valores numéricos de prueba de los pasos son nuestros.

Tres fuerzas en el extremo de una escuadra, y sus momentos respecto de los ejes

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los momentos respecto a los ejes $x$ , $y$ , y $z$ originadas por las fuerzas $P_1, P_2, P_3$ .

Los momentos de las tres fuerzas respecto de los ejes x, y, z, en función de P1, P2, P3, a y b.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué relación hay entre los momentos respecto de los tres ejes y el momento $\vec{M}_O$ respecto del origen?
02
Reconocer el camino
COMP1
En la figura, el eje $y$ está dibujado hacia abajo y el eje $z$ en perspectiva, hacia el fondo. ¿Cuál es el vector de posición $\overrightarrow{OA}$ ?
03
El momento respecto del eje x, con números de prueba
COMP2
Las fuerzas son $\vec{P}_1 = P_1\vec{k}$ , $\vec{P}_2 = -P_2\vec{i}$ y $\vec{P}_3 = -P_3\vec{j}$ . Para comprobar tu expresión con números, toma $P_1 = 10$ , $P_2 = 20$ , $P_3 = 30$ N, $a = 3$ y $b = 2$ m, que son valores de prueba nuestros y no del enunciado. ¿Cuánto vale $M_x$ ?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento respecto del eje y
COMP2
Con los mismos valores de prueba, ¿cuánto vale $M_y$ ?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El momento respecto del eje z
COMP2
¿Y $M_z$ ?
Tu respuesta al paso 5un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las tres fuerzas están aplicadas en $A$ , así que se pueden sumar en una: $\vec{F} = -P_2\,\vec{i} - P_3\,\vec{j} + P_1\,\vec{k}$ .
2. Con $\overrightarrow{OA} = a\,\vec{i} - b\,\vec{k}$ , $\vec{M}_O = \overrightarrow{OA} \times \vec{F} = -P_3 b\,\vec{i} + (-P_1 a + P_2 b)\,\vec{j} - P_3 a\,\vec{k}$ .
3. Los momentos respecto de los ejes son las componentes de $\vec{M}_O$ : $M_x = -P_3 b$ , $M_y = -P_1 a + P_2 b$ y $M_z = -P_3 a$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.5 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Tres vectores en tres puntos, reducidos al origen

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los vectores $\vec{v}_1$ , $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ están aplicados respectivamente sobre los puntos siguientes $A_1 = (-1,0,2)$ , $A_2 = (3,-1,0)$ y $A_3 = (-1,1,-1)$ .

\vec{v}_1 = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k};\quad \vec{v}_2 = \vec{i} + 3\vec{j};\quad \vec{v}_3 = 2\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}

Calcular:

a. Resultante $\vec{R}$ del sistema y momento $\vec{M}_O$ sobre el origen.

b. Invariantes vectorial y escalar del sistema.

c. Vector momento mínimo del sistema.

La resultante, el momento en el origen, el invariante escalar y el vector momento mínimo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se obtiene el momento del sistema en el origen?
02
El momento en el origen
COMP2
La resultante es $\vec{R} = 6\vec{i} + \vec{j} + 6\vec{k}$ . ¿Cuánto vale $\vec{M}_O$ ?
Tu respuesta al paso 2tres componentes entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
El invariante escalar
COMP2
¿Cuánto vale $\tau = \vec{M}_O \cdot \vec{R}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El módulo del momento mínimo
COMP2
¿Cuánto mide el momento mínimo?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La componente x del momento mínimo
COMP2
El vector momento mínimo es $\vec{M}_{\min} = \dfrac{\tau}{R^{2}}\,\vec{R}$ . ¿Cuánto vale su componente $x$ ?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{R} = \sum \vec{v}_i = 6\vec{i} + \vec{j} + 6\vec{k}$ , que es además el invariante vectorial.
2. $\vec{M}_O = \sum \overrightarrow{OA_i} \times \vec{v}_i = 5\vec{i} + 10\vec{j} + 10\vec{k}$ .
3. $\tau = \vec{M}_O \cdot \vec{R} = 100$ , y $\vec{M}_{\min} = \tfrac{100}{73}\vec{R} = 8{,}22\vec{i} + 1{,}37\vec{j} + 8{,}22\vec{k}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.6 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Dos pares de fuerzas sobre un bloque

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El elemento de la figura soporta dos pares de fuerzas. Calcular la resultante del momento siendo $F_1 = 200\ \text{N}$ y $F_2 = 100\ \text{N}$ .

El momento resultante de los dos pares, como vector.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide «la resultante del momento» sin decir respecto de qué punto. ¿Por qué no hace falta?
02
El par de las fuerzas F1
COMP2
Las dos $F_1$ son verticales y están aplicadas en $(0, 0, 4)$ , hacia abajo, y en $(3, 0, 0)$ , hacia arriba. ¿Cuánto vale la componente $y$ del momento de ese par, en N·m?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo del par de las fuerzas F2
COMP2
Las dos $F_2$ son horizontales, según $y$ , en $(0, 4, 4)$ y en $(3, 4, 0)$ . ¿Cuánto mide el momento de ese par, en N·m?
Tu respuesta al paso 3un número, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento resultante
COMP2
¿Cuánto vale el momento resultante de los dos pares?
Tu respuesta al paso 4tres componentes entre paréntesis, separadas por comas, en N·m — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada par tiene resultante nula, así que el momento del sistema es el mismo en cualquier punto y se puede calcular en $O$ .
2. El par de $F_1$ vale $(3, 0, 0) \times (0, 0, 200) = -600\,\vec{j}$ N·m.
3. El de $F_2$ vale $(-3, 0, 4) \times (0, 100, 0) = -400\,\vec{i} - 300\,\vec{k}$ N·m, de módulo 500.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.7 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una viga empotrada con tres fuerzas y un momento, reducida a una fuerza

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el sistema de la figura actúan tres fuerzas y un momento. Encontrar la resultante de sistema de vectores y la distancia respecto a la pared a la debe de colocarse para que el sistema resultante sea equivalente.

La resultante del sistema y a qué distancia de la pared va la fuerza única equivalente.

01
Reconocer el camino
COMP1
El sistema equivalente es una sola fuerza. ¿Qué dos condiciones la fijan?
02
La resultante
COMP2
Con $y$ hacia arriba, ¿cuánto vale $R_y$ , en newtons?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento en el empotramiento
COMP2
Tomando el origen en el empotramiento, ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{M}_O$ , en N·m?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La distancia a la pared
COMP2
¿A qué distancia $x$ de la pared hay que colocar $\vec{R}$ para que su momento en el empotramiento sea $\vec{M}_O$ ?
Tu respuesta al paso 4una distancia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La resultante es $\vec{R} = (500 - 400 - 200)\,\vec{j} = -100\,\vec{j}$ N.
2. El momento en el empotramiento, con el par antihorario, es $\vec{M}_O = (1000 - 1600 - 1200 + 1500)\,\vec{k} = -300\,\vec{k}$ N·m.
3. La fuerza única $-100\,\vec{j}$ colocada en $x$ tiene momento $-100\,x\,\vec{k}$ , que vale $\vec{M}_O$ para $x = 3$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.8 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El cuadrado y los dos vectores que faltan

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el cuadrado $ABCD$ de la figura sobre el lado $AB$ actúa una fuerza $\vec{F}_1 = 20\vec{j}$ y sobre el lado $CD$ $\vec{F}_2 = -20\vec{j}$ . Encontrar qué vectores hay que poner en los lados $AC$ y $BD$ - $\vec{F}_3$ y $\vec{F}_4$ respectivamente - para que el sistema de vectores formado por los cuatro vectores tenga resultante nula y su momento resultante respecto al punto $0$ , origen de coordenadas sea $30\vec{i}$ .

Los vectores F3, sobre AC, y F4, sobre BD.

01
Reconocer el camino
COMP1
$\vec{F}_3$ y $\vec{F}_4$ tienen que ir en los lados $AC$ y $BD$ . ¿Qué dice eso de ellos, junto con la condición de resultante nula?
02
El momento de las dos fuerzas dadas
COMP2
$\vec{F}_1$ está en el lado $AB$ ( $z = 2$ ) y $\vec{F}_2$ en el $CD$ ( $z = 5$ ). ¿Cuánto vale la componente $x$ de su momento en $O$ ?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El vector del lado AC
COMP2
Con $\vec{F}_3 = f_3\,\vec{k}$ en $AC$ ( $y = 1$ ) y $\vec{F}_4 = -f_3\,\vec{k}$ en $BD$ ( $y = 4$ ), ¿cuánto vale $f_3$ para que el momento total en $O$ sea $30\,\vec{i}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En los lados $AC$ y $BD$ los vectores van según $z$ : $\vec{F}_3 = f_3\,\vec{k}$ y $\vec{F}_4 = f_4\,\vec{k}$ .
2. Resultante nula: $f_3 + f_4 = 0$ , porque $\vec{F}_1$ y $\vec{F}_2$ ya se anulan.
3. Momento en $O$ : $60 + f_3 + 4 f_4 = 30$ , y con $f_4 = -f_3$ sale $f_3 = 10$ .
4. Así que $\vec{F}_3 = 10\,\vec{k}$ y $\vec{F}_4 = -10\,\vec{k}$ , y el momento no depende de a qué altura de cada lado se pongan.
5. Como la resultante es nula, el momento no depende del punto, y la condición de $30\,\vec{i}$ se puede escribir en $A$ en vez de en $O$ sin cambiar nada: basta con que se cumpla en uno.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.9 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una fuerza y un par sobre una placa, sustituidos por una fuerza

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la placa cuadrada de la figura actúan la fuerza $P$ y un par de fuerzas, siendo $P = 60\ \text{N}$ , $Q = 40\ \text{N}$ , $\alpha = 50^{\circ}$ y $a = 25\ \text{cm}$ , sustituir el sistema de fuerzas por una única fuerza si su punto de aplicación está:

a. En el lado $AB$ .

b. En el lado $AC$ .

Calcular en cada caso la distancia que existe entre el punto $A$ y el punto de aplicación de fuerza.

La distancia de A al punto de aplicación de la fuerza única, sobre el lado AB y sobre el lado AC.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué fuerza única equivale a $P$ más el par de las $Q$ ?
02
El momento del sistema en A
COMP2
Con el origen en $A$ , ¿cuánto vale la componente $z$ del momento del sistema, en N·m?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El punto sobre AB
COMP2
Si la fuerza única $\vec{P}$ va en el lado $AB$ , a una distancia $d$ de $A$ , ¿cuánto vale $d$ ?
Tu respuesta al paso 3una distancia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El punto sobre AC
COMP2
Y si va en el lado $AC$ , a una distancia $e$ de $A$ hacia abajo, ¿cuánto vale $e$ ?
Tu respuesta al paso 4una distancia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El par no tiene resultante, así que la fuerza única es $\vec{P} = 38{,}57\,\vec{i} + 45{,}96\,\vec{j}$ N.
2. El momento del sistema en $A$ es $0{,}25 \cdot 45{,}96 - 40 \cdot 0{,}25 = 1{,}491$ N·m, antihorario.
3. En $AB$ , $d \cdot 45{,}96 = 1{,}491$ da $d = 3{,}243$ cm; en $AC$ , $e \cdot 38{,}57 = 1{,}491$ da $e = 3{,}865$ cm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.10 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una columna con un brazo, y la distancia de su base al eje central

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la resultante y el momento resultante en el punto $A$ . Encontrar la distancia entre el punto $A$ y el eje central.

La resultante, el momento en A y la distancia de A al eje central.

01
Reconocer el camino
COMP1
Es un sistema plano. ¿Qué sabes de su eje central antes de calcular nada?
02
La componente x de la resultante
COMP2
¿Cuánto vale $R_x$ , en newtons?
Tu respuesta al paso 2un número, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento en A
COMP2
Con $A$ en el origen, el extremo del brazo en $(1{,}8;\ 4{,}2)$ m y el momento de 750 N·m horario, ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{M}_A$ , en N·m?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La distancia al eje central
COMP2
¿A qué distancia de $A$ está el eje central?
Tu respuesta al paso 4una distancia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{R} = 608{,}25\,\vec{i} + 62{,}5\,\vec{j}$ N, de módulo $611{,}46$ N.
2. $\vec{M}_A = -2442{,}16\,\vec{k}$ N·m, con el par de 750 N·m horario sumado tal cual.
3. El sistema es plano, así que $\tau = 0$ y en el eje central el momento es nulo.
4. Por eso $d = |M_A| / R = 3{,}994$ m, unos 4 m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.11 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El punto del eje y donde el momento se anula

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dado el sistema de vectores deslizantes, $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ y $\overrightarrow{CD}$ , encontrar el punto $P(0, y, 0)$ situado sobre el eje $y$ de forma que el momento resultante respecto de $P$ sea nulo.

Datos: $A(0, 1, 0)$ ; $B(0, 3, 2)$ ; $C(0, 5, 2)$ ; $D(0, 3, -2)$ .

La coordenada y del punto P.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se escribe el momento de $\overrightarrow{AB}$ respecto de $P$ ?
02
El momento en el origen
COMP2
Con $\overrightarrow{AB} = (0, 2, 2)$ , $\overrightarrow{BC} = (0, 2, 0)$ y $\overrightarrow{CD} = (0, -2, -4)$ , ¿cuánto vale la componente $x$ de $\vec{M}_O$ ?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La posición de P
COMP2
La resultante es $\vec{R} = (0, 2, -2)$ . Con $\vec{M}_P = \vec{M}_O + \overrightarrow{PO} \times \vec{R}$ , ¿para qué $y$ se anula el momento?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los vectores del sistema son $\overrightarrow{AB} = (0, 2, 2)$ , $\overrightarrow{BC} = (0, 2, 0)$ y $\overrightarrow{CD} = (0, -2, -4)$ , con resultante $\vec{R} = (0, 2, -2)$ .
2. Su momento en el origen es $\vec{M}_O = -18\,\vec{i}$ .
3. En $P(0, y, 0)$ , $\vec{M}_P = \vec{M}_O + \overrightarrow{PO} \times \vec{R} = (2y - 18)\,\vec{i}$ , que se anula para $y = 9$ .
4. Como $\vec{M}_O \cdot \vec{R} = 0$ y $\vec{R} \neq \vec{0}$ , el sistema se reduce a una fuerza, y P es un punto de su eje central.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.12 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El momento que forma sesenta grados con la resultante

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un sistema de vectores deslizantes, se conocen los módulos del vector resultante y del momento resultante en un punto del eje central, siendo respectivamente $R = \sqrt{2}$ y $M = \sqrt{3}$ . Calcular:

a. Invariante escalar.

b. El momento resultante respecto a otro punto denominado $O'$ si forma un ángulo de $60^{\circ}$ respecto a la resultante, y calcular el módulo de dicho momento resultante.

El invariante escalar y el momento en O’, en particular su módulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tiene de especial el momento en un punto del eje central?
02
El invariante escalar
COMP2
¿Cuánto vale $\tau$ ?
Tu respuesta al paso 2en forma exacta (√6) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El módulo del momento en O'
COMP2
En $O'$ el momento forma $60^{\circ}$ con $\vec{R}$ . ¿Cuánto mide?
Tu respuesta al paso 3en forma exacta (2√3) o con cuatro decimales — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La parte perpendicular a R
COMP2
¿Cuánto mide la componente de $\vec{M}_{O'}$ perpendicular a $\vec{R}$ ?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En el eje central el momento es el mínimo y es paralelo a $\vec{R}$ , así que $\tau = \sqrt{3}\,\sqrt{2} = \sqrt{6}$ .
2. La proyección del momento sobre $\vec{R}$ vale $\sqrt{3}$ en todos los puntos, también en $O'$ .
3. En $O'$ , $M_{O'}\cos 60^{\circ} = \sqrt{3}$ , y $M_{O'} = 2\sqrt{3}$ .
4. Su parte perpendicular a $\vec{R}$ mide 3.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.13 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Dos vectores sobre el eje x con el eje central en el eje y

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El eje $y$ es el eje central de un sistema de vectores. En el dibujo, aparecen representados el momento mínimo de módulo $M$ y la resultante de módulo $R$ . El sistema de vectores formado por los vectores $\vec{v}_A$ y $\vec{v}_B$ está aplicado en los puntos $A$ y $B$ situados sobre el eje $x$ , estando ambos vectores situados en planos perpendiculares a dicho eje $x$ . Calcular las componentes de estos vectores respecto el sistema de referencia $Oxyz$ de la figura.

Datos: $R = 150\ \text{N}$ , $M = 20\ \text{N}\cdot\text{m}$ , $a = 125\ \text{mm}$ , $b = 50\ \text{mm}$ .

Las componentes de los vectores aplicados en A y en B.

01
Reconocer el camino
COMP1
El origen $O$ está en el eje central. ¿Qué dos ecuaciones vectoriales tiene que cumplir el sistema?
02
La componente y del vector en A
COMP2
Con $\vec{v}_A = (0, y_A, z_A)$ en $(a, 0, 0)$ y $\vec{v}_B = (0, y_B, z_B)$ en $(a + b, 0, 0)$ , ¿cuánto vale $y_A$ , en newtons?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente y del vector en B
COMP2
¿Y $y_B$ ?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La componente z del vector en A
COMP2
La componente $y$ del momento en $O$ tiene que valer $M = 20$ N·m. ¿Cuánto vale $z_A$ , en newtons?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La componente z del vector en B
COMP2
¿Y $z_B$ ?
Tu respuesta al paso 5un número con su signo, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $O$ está en el eje central, así que $\vec{v}_A + \vec{v}_B = 150\,\vec{j}$ N y el momento en $O$ es $20\,\vec{j}$ N·m.
2. Con $\overrightarrow{OA} = a\,\vec{i}$ y $\overrightarrow{OB} = (a + b)\,\vec{i}$ , el momento en $O$ es $(0,\ -a z_A - (a + b) z_B,\ a y_A + (a + b) y_B)$ .
3. De $z$ : $a\,y_A + (a + b)\,y_B = 0$ , que con $y_A + y_B = 150$ da $y_A = 525$ e $y_B = -375$ N.
4. De $y$ : $b\,z_A = 20$ con $z_B = -z_A$ , que da $z_A = 400$ y $z_B = -400$ N.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.14 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo; sus dos últimas cifras salen de redondear a medio camino, como se explica en la resolución.

Dos sistemas de vectores que se suman en uno

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se tienen dos sistemas de vectores deslizantes en el mismo espacio. El eje central del primer sistema $S_1$ pasa por el origen $O(0,0,0)$ , su resultante es $\vec{R}_1 = 3{,}4\vec{j} + 9{,}4\vec{k}\ [\text{N}]$ y su invariante escalar es $\tau_1 = 80\ \text{N}^{2}\text{m}$ . La resultante del segundo sistema $S_2$ , en cambio, es $\vec{R}_2 = 2\vec{j}$ y su momento resultante en el punto $A(3,0,4)$ es $\vec{M}_A = 5\vec{j}$ .

Si con la unión de todos los vectores que forman los dos sistemas se forma un sistema completo $S$ , calcular:

a. Resultante del sistema completo.

b. Momento resultante del sistema completo respecto al origen $O$ .

c. Invariante escalar del sistema completo.

La resultante del sistema unión, su momento en el origen y su invariante escalar.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al juntar dos sistemas, ¿qué se puede sumar directamente?
02
El momento del primer sistema en O
COMP2
El eje central de $S_1$ pasa por $O$ , así que ahí su momento es el mínimo, $\dfrac{\tau_1}{R_1^{2}}\,\vec{R}_1$ . ¿Cuánto vale su componente $z$ , en N·m?
Tu respuesta al paso 2un número, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento del segundo sistema en O
COMP2
Con $\vec{M}_{O,2} = \vec{M}_A + \overrightarrow{OA} \times \vec{R}_2$ , ¿cuánto vale su componente $x$ ?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento total en O
COMP2
¿Cuánto vale la componente $z$ del momento del sistema completo en $O$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El invariante escalar del sistema completo
COMP2
Con $\vec{R} = 5{,}4\,\vec{j} + 9{,}4\,\vec{k}$ , ¿cuánto vale $\tau = \vec{M}_O \cdot \vec{R}$ , en N²·m?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{R} = \vec{R}_1 + \vec{R}_2 = 5{,}4\,\vec{j} + 9{,}4\,\vec{k}$ N.
2. $S_1$ tiene su eje central en $O$ , así que su momento ahí es $\tfrac{80}{99{,}92}\vec{R}_1 = 2{,}722\,\vec{j} + 7{,}526\,\vec{k}$ N·m.
3. El de $S_2$ en $O$ es $5\,\vec{j} + \overrightarrow{OA} \times 2\,\vec{j} = -8\,\vec{i} + 5\,\vec{j} + 6\,\vec{k}$ N·m.
4. Sumando, $\vec{M}_O = -8\,\vec{i} + 7{,}722\,\vec{j} + 13{,}526\,\vec{k}$ N·m y $\tau = \vec{M}_O \cdot \vec{R} = 168{,}84$ N²·m.

Resolución completa

a. Resultante. $\vec{R} = \vec{R}_1 + \vec{R}_2 = 5{,}4\,\vec{j} + 9{,}4\,\vec{k}$ N. La colección lo escribe $\vec{R}_1$ , que es una errata de nombre: el vector es la resultante del sistema completo.

b. Momento en O. Los momentos se suman solo en el mismo punto. El eje central de $S_1$ pasa por $O$ , así que ahí su momento es el mínimo:

\vec{M}_{O,1} = \frac{\tau_1}{R_1^{2}}\,\vec{R}_1 = \frac{80}{99{,}92}\,(0,\ 3{,}4,\ 9{,}4) = 2{,}722\,\vec{j} + 7{,}526\,\vec{k}

El de $S_2$ se lleva de $A$ a $O$ con el campo:

\vec{M}_{O,2} = \vec{M}_A + \overrightarrow{OA} \times \vec{R}_2 = 5\,\vec{j} + (3, 0, 4) \times (0, 2, 0) = -8\,\vec{i} + 5\,\vec{j} + 6\,\vec{k}

Y la suma: $\vec{M}_O = -8\,\vec{i} + 7{,}722\,\vec{j} + 13{,}526\,\vec{k}$ N·m.

c. Invariante.

\tau = \vec{M}_O \cdot \vec{R} = 7{,}722 \cdot 5{,}4 + 13{,}526 \cdot 9{,}4 = 168{,}84\ \text{N}^{2}\text{m}

Por el otro camino, $\tau = \tau_1 + \tau_2 + \vec{M}_{O,1} \cdot \vec{R}_2 + \vec{M}_{O,2} \cdot \vec{R}_1 = 80 + 10 + 5{,}44 + 73{,}4 = 168{,}84$ .

Contra la colección. Publica $13{,}52$ y $168{,}78$ . Las dos diferencias son de redondeo: $7{,}526 + 6 = 13{,}526$ , que redondeado es $13{,}53$ , y con $7{,}72$ y $13{,}52$ ya truncados el producto escalar da $168{,}776$ . La cuenta sin redondear a medio camino da $168{,}84$ ; la casilla acepta los dos valores.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.15 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Tres momentos con incógnitas, la resultante y el eje central

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los momentos generados en los puntos $A(0,0,0)$ , $B(1,1,0)$ y $C(0,0,1)$ por un sistema de vectores deslizantes son respectivamente:

\begin{aligned} \vec{M}_A &= \vec{i} + \vec{j} - \vec{k} \\ \vec{M}_B &= 2\vec{i} + a\vec{j} + b\vec{k} \\ \vec{M}_C &= -4\vec{i} + c\vec{k} \end{aligned}

Calcular:

a. Valores de $a$ , $b$ y $c$ .

b. Resultante del sistema.

c. Ecuaciones del eje central.

Los valores de a, b y c, la resultante y el eje central.

01
Reconocer el camino
COMP1
La resultante es desconocida, y $\vec{M}_A$ es el único momento completo. ¿Qué ecuaciones hay que plantear?
02
La resultante
COMP2
De $\vec{M}_C = \vec{M}_A + \overrightarrow{CA} \times \vec{R}$ salen $R_x$ y $R_y$ ; de la componente $x$ de la ecuación en $B$ , $R_z$ . ¿Cuánto vale $\vec{R}$ ?
Tu respuesta al paso 2tres componentes entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
Los valores de a, b y c
COMP2
¿Cuánto valen $a$ , $b$ y $c$ ?
Tu respuesta al paso 3tres números entre paréntesis, en el orden a, b, c — componentes separadas por comas
04
Un punto del eje central
COMP2
Con $A$ en el origen, un punto del eje central es $P_0 = \dfrac{\vec{R} \times \vec{M}_A}{R^{2}}$ . ¿Cuánto vale su coordenada $x$ ?
Tu respuesta al paso 4un número; vale 2/9 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El campo de $A$ a $C$ da $R_x = 1$ , $R_y = -5$ y $c = -1$ ; el de $A$ a $B$ da $R_z = -1$ , $a = 0$ y $b = 5$ .
2. $\tau = \vec{M}_A \cdot \vec{R} = 1 - 5 + 1 = -3$ , y el eje central pasa por $P_0 = (2/9,\ 0,\ 2/9)$ .
3. El eje es $P_0 + \lambda\,(1, -5, -1)$ ; eliminando $\lambda$ , $x + z = 4/9$ y $5x + y = 10/9$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.16 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Tres momentos y un eje central que pasa por uno de los puntos

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dado un sistema de vectores definido por los momentos en tres puntos:

En $A(1,1,1)$ , el momento es $\vec{M}_A = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

En $B(1,0,0)$ , el momento es $\vec{M}_B = \vec{i} - \vec{j} + a\vec{k}$

En $C(0,0,1)$ , el momento es $\vec{M}_C = b\vec{i} + c\vec{j} + \vec{k}$

Calcular:

a. Valores de $a$ , $b$ y $c$ .

b. Ecuaciones del eje central.

Los valores de a, b y c, y el eje central.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué punto conviene salir en el campo de momentos?
02
La resultante
COMP2
¿Cuánto vale $\vec{R}$ ?
Tu respuesta al paso 2tres componentes entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
Los valores de a, b y c
COMP2
¿Cuánto valen $a$ , $b$ y $c$ ?
Tu respuesta al paso 3tres números entre paréntesis, en el orden a, b, c — componentes separadas por comas
04
El invariante escalar
COMP2
¿Cuánto vale $\tau$ ?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Reconocer el camino
COMP1
$\vec{M}_A = (1, 1, 1)$ resulta paralelo a $\vec{R} = (-2, -2, -2)$ . ¿Qué dice eso?
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El campo desde $A$ da $\vec{R} = (-2, -2, -2)$ , $a = 3$ , $b = -1$ y $c = 3$ .
2. $\tau = -6$ y $\tfrac{\tau}{R^{2}}\vec{R} = (1, 1, 1) = \vec{M}_A$ : $A$ está en el eje central.
3. El eje pasa por $A(1, 1, 1)$ con la dirección de $(1, 1, 1)$ , así que sus ecuaciones son $x = y$ y $x = z$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.17 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Tres momentos y los tres parámetros compatibles

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un sistema de vectores deslizantes origina en los puntos $A$ , $B$ y $O$ los siguientes momentos resultantes:

\begin{aligned} &A\,(1,1,1), \quad \vec{M}_A = \varepsilon\vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k} \\ &B\,(2,1,-1), \quad \vec{M}_B = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k} \\ &O\,(0,0,0), \quad \vec{M}_O = 2\vec{i} + \lambda\vec{j} + \gamma\vec{k} \end{aligned}

Calcular:

a. Valores $\varepsilon - \lambda - \gamma$ compatibles con el sistema.

b. Invariantes escalar y vectorial.

Los valores de épsilon, lambda y gamma, y los dos invariantes.

01
Reconocer el camino
COMP1
Ahora el momento completo es el de $B$ . ¿Cuántas incógnitas hay, y de dónde salen las ecuaciones?
02
La resultante
COMP2
Con $\vec{M}_A = \vec{M}_B + \overrightarrow{AB} \times \vec{R}$ y $\vec{M}_O = \vec{M}_B + \overrightarrow{OB} \times \vec{R}$ , ¿cuánto vale $\vec{R}$ ?
Tu respuesta al paso 2tres componentes entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
03
Los tres parámetros
COMP2
¿Cuánto valen $\varepsilon$ , $\lambda$ y $\gamma$ ?
Tu respuesta al paso 3tres números entre paréntesis, en el orden épsilon, lambda, gamma — componentes separadas por comas
04
El invariante escalar
COMP2
¿Cuánto vale $\tau$ ?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El campo de $B$ a $A$ da $R_y = 0$ , $\varepsilon = 2$ y $2R_x + R_z = 4$ .
2. El de $B$ a $O$ da $R_z + R_y = 0$ , así que $R_z = 0$ y $R_x = 2$ ; con ellos, $\lambda = 0$ y $\gamma = 0$ .
3. Invariante vectorial $\vec{R} = 2\,\vec{i}$ y escalar $\tau = 4$ , el mismo con los tres momentos.
4. Como $\vec{M}_O = 2\,\vec{i}$ es paralelo a $\vec{R}$ , el origen está en el eje central, que es el eje $x$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 1.18 · Tema 1, «Fundamentos de cálculo vectorial» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. Publica una de las dos soluciones que admiten los datos; la segunda, y su discusión, son nuestras.

Dos vectores paralelos ligados, uno desconocido

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sea un sistema de dos vectores paralelos ligados, formado por:

$\vec{v}_1$ desconocido aplicado en $A_1(x_1, y_1, z_1)$

$\vec{v}_2 = 6\vec{i} + 3\vec{k}$ , aplicado en $A_2(0,1,0)$

Sabiendo que: 1) ambos puntos de aplicación pertenecen al plano de ecuación $2x + z = 0$ , 2) que el módulo de la resultante es $\sqrt{80}$ y 3) que el sistema produce un momento en el origen de valor $\vec{M}_O = 3\vec{i} - 6\vec{k}$ , calcular:

a. Vector $\vec{v}_1$ .

b. Punto de aplicación $A_1$ .

El vector v1 y su punto de aplicación A1.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué forma tiene $\vec{v}_1$ , sabiendo que el sistema es de vectores paralelos?
02
Los valores posibles de k
COMP2
Con $\vec{R} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 = (3 + k)(2, 0, 1)$ y $|\vec{R}| = \sqrt{80}$ , ¿qué valores puede tomar $k$ ?
Tu respuesta al paso 2los valores separados por comas — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento de v2 en el origen
COMP2
¿Cuánto vale $\overrightarrow{OA_2} \times \vec{v}_2$ ?
Tu respuesta al paso 3tres componentes entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
04
El punto de aplicación de v1
COMP2
$\overrightarrow{OA_1} \times \vec{v}_1 = \vec{0}$ pone $A_1$ en la recta que pasa por $O$ con la dirección $(2, 0, 1)$ . Con el plano $2x + z = 0$ , ¿cuál es $A_1$ ?
Tu respuesta al paso 4tres coordenadas entre paréntesis, separadas por comas — componentes separadas por comas
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{v}_1 = k\,(2, 0, 1)$ y $\vec{R} = (3 + k)(2, 0, 1)$ , así que $|3 + k| = 4$ : $k = 1$ o $k = -7$ .
2. $\overrightarrow{OA_2} \times \vec{v}_2 = 3\vec{i} - 6\vec{k}$ ya es $\vec{M}_O$ , así que $\overrightarrow{OA_1} \times \vec{v}_1 = \vec{0}$ .
3. $A_1$ está en la recta $t\,(2, 0, 1)$ y en el plano $2x + z = 0$ : $A_1 = (0, 0, 0)$ , para las dos soluciones.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Fundamentos del cálculo vectorial

Tres clases de vectores, según dónde se aplican

El momento de un vector respecto de un punto

El momento respecto de un eje

Un sistema de vectores: la resultante y el campo de momentos

Los dos invariantes, el momento mínimo y el eje central

Cómo se clasifica un sistema

Los vectores ligados y el virial

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

El producto del campo

El momento en P

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El invariante escalar

El módulo del momento mínimo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La longitud del cable AD

El ángulo del cable AB

El ángulo del cable AC

El ángulo del cable AD

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente vertical de T

El momento respecto de A

El momento respecto de B, por el campo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La longitud del cable

La componente x del momento

La componente y del momento

La componente z del momento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Reconocer el camino

El momento respecto del eje x, con números de prueba

El momento respecto del eje y

El momento respecto del eje z

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El momento en el origen

El invariante escalar

El módulo del momento mínimo

La componente x del momento mínimo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El par de las fuerzas F1

El módulo del par de las fuerzas F2

El momento resultante

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La resultante

El momento en el empotramiento

La distancia a la pared

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El momento de las dos fuerzas dadas

El vector del lado AC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El momento del sistema en A

El punto sobre AB

El punto sobre AC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente x de la resultante

El momento en A

La distancia al eje central

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El momento en el origen

La posición de P

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El invariante escalar

El módulo del momento en O'

La parte perpendicular a R

Justificar el argumento

Reconocer el camino