Mecánica Aplicada · tema 02

Geometría de masas y superficies planas

El centro de gravedad, que sustituye todo el peso por una fuerza, y el momento de inercia, que mide lo lejos del eje que está la masa. Con Pappus-Guldin, Steiner y el círculo de Mohr.

El peso de un cuerpo son millones de fuerzas paralelas, una por partícula. El tema 1 decía que un sistema de vectores paralelos se reduce a una sola fuerza aplicada en un punto: ese punto es el centro de gravedad, y encontrarlo es la primera mitad de este tema. La segunda mide otra cosa. Cuando un cuerpo gira, o una viga se dobla, no importa solo cuánta masa o cuánta sección hay, sino a qué distancia del eje está. Eso es el momento de inercia.

Los dos vuelven más adelante con otro disfraz. Una viga de sección en T del tema 6 no se resuelve sin el centro de gravedad y el momento de inercia de esa T, y en la dinámica de los temas 10 a 12 la inercia de una barra o de un disco entra en cada ecuación. Y de forma directa, la extraordinaria de junio de 2025 abre la teoría con un Pappus-Guldin.

El centro de gravedad de un sistema de partículas

Para un sistema de partículas de masas $m_i$ en posiciones $(x_i, y_i, z_i)$ , el centro de gravedad es la media de las posiciones pesada por las masas:

x_G = \frac{\sum m_i\,x_i}{M} \qquad y_G = \frac{\sum m_i\,y_i}{M} \qquad z_G = \frac{\sum m_i\,z_i}{M}

con $M = \sum m_i$ . El numerador de cada una se llama momento estático respecto del plano correspondiente. Y una propiedad que ahorra cuentas en todo el tema: el momento estático respecto de un plano que pasa por $G$ es nulo.

Líneas, superficies y volúmenes

Cuando la masa es continua las sumas pasan a integrales. Para una superficie plana homogénea, la masa es proporcional al área y el centro de gravedad es el centroide del área:

x_G = \frac{1}{A}\int_A x\,dA \qquad y_G = \frac{1}{A}\int_A y\,dA

y lo mismo con $dL$ para una línea y $dV$ para un volumen. La colección empieza calculando por integración las figuras esenciales, las que luego se usan como piezas, y conviene tener sus resultados a mano:

un triángulo, a un tercio de la altura desde la base: $h/3$ ;
un cono macizo, a un cuarto de la altura desde la base: $h/4$ ;
una semiesfera maciza, a $3R/8$ de la base;
un semicírculo, a $4R/(3\pi)$ del diámetro;
una semicircunferencia, la línea, a $2R/\pi$ .

Y si la figura tiene un eje de simetría, el centro de gravedad está en él. Es la forma más barata de ahorrarse una integral.

Figuras compuestas

Casi ningún problema pide integrar una figura rara. Pide partirla en piezas cuyo centro de gravedad se conoce y combinar:

x_G = \frac{\sum A_i\,x_{G_i}}{\sum A_i}

Un agujero entra como una pieza de área negativa: se resta en el numerador y en el denominador. Y cada $x_{G_i}$ se mide desde el mismo sistema de referencia, que es donde se cometen la mitad de los errores.

Los teoremas de Pappus-Guldin

Cuando una curva o una superficie plana gira alrededor de un eje de su plano que no la corta, genera una superficie o un volumen de revolución. Los dos teoremas los calculan sin integrar, con el centro de gravedad:

A = 2\pi\,y_G\,L \qquad V = 2\pi\,y_G\,A

donde $y_G$ es la distancia del centro de gravedad de lo que gira al eje de giro, $L$ la longitud de la curva y $A$ el área de la superficie. Se leen como «el recorrido del centro de gravedad por el tamaño de lo que gira».

Y también funcionan al revés, que es como caen en el examen: si te dan el volumen generado, despejas la posición del centro de gravedad, o una medida de la figura. La cuestión 1 de la extraordinaria de 2025 es exactamente eso: da $V = 2\pi a^{3}$ y pide una longitud $b$ de la figura.

El momento de inercia

El momento de inercia de una masa respecto de un eje es la suma de cada elemento de masa por el cuadrado de su distancia al eje:

I_\Delta = \int_M r^{2}\,dm

Como la distancia va al cuadrado, la masa lejana pesa mucho más que la cercana. Los resultados que la colección pide de memoria son estos:

una barra de masa $M$ y longitud $L$ , respecto de un eje perpendicular: $ML^{2}/12$ por su centro y $ML^{2}/3$ por un extremo;
un disco de masa $M$ y radio $R$ : $MR^{2}/2$ respecto de su eje y $MR^{2}/4$ respecto de un diámetro.

El radio de giro $k$ es la distancia a la que habría que concentrar toda la masa para tener el mismo momento de inercia: $I = Mk^{2}$ .

Los teoremas de Steiner

Si conoces el momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad, el de cualquier eje paralelo a él es

I = I_G + M\,d^{2}

con $d$ la distancia entre los dos ejes. Para una superficie plana, con el área en lugar de la masa: $I_x = I_{x'} + A\,y_G^{2}$ . De ahí sale algo que conviene recordar: entre todos los ejes paralelos, el de momento mínimo es el que pasa por $G$ .

Steiner solo se aplica desde el centro de gravedad

La fórmula relaciona el eje de $G$ con otro eje paralelo, no dos ejes cualesquiera. Si conoces el momento respecto de la base de un rectángulo y quieres el de otra línea paralela, sumar $A\,d^{2}$ entre esas dos da un número equivocado. Primero se baja a $G$ restando, $I_G = I_{\text{base}} - A\,(h/2)^{2}$ , y luego se sube al eje que quieres sumando. El segundo ejemplo de este tema lo hace con números.

Superficies planas: momentos y productos de inercia

En la flexión de vigas del tema 6 aparecen integrales de la misma forma, pero sobre el área de la sección. Por extensión se llaman también momentos de inercia, aunque no tengan masa:

I_x = \int_A y^{2}\,dA \qquad I_y = \int_A x^{2}\,dA \qquad I_{xy} = \int_A x\,y\,dA

El último es el producto de inercia, y es el único que puede ser negativo. Si uno de los dos ejes es de simetría, el producto de inercia es nulo. Su Steiner tiene la misma forma, pero con los signos de las dos coordenadas: $I_{xy} = I_{x'y'} + A\,x_G\,y_G$ .

Para un rectángulo de base $b$ y altura $h$ : $bh^{3}/12$ respecto del eje horizontal por su centro, $bh^{3}/3$ respecto de su base, y producto de inercia $b^{2}h^{2}/4$ respecto de dos lados que se cortan en un vértice.

La sección en T invertida de la viga del ejercicio 3 de enero de 2024, con las medidas en múltiplos de e. Cada pieza aporta su propio momento de inercia más su área por el cuadrado de la distancia de su centro de gravedad al eje de la sección, que pasa por G y no por la base. El alma, más lejos, aporta el doble que el ala —13,34 frente a 6,66 e⁴— con menos de un tercio de su área.

La rotación de ejes y el círculo de Mohr

En un mismo punto, los momentos de inercia cambian si giras los ejes. Para unos ejes $x'y'$ girados un ángulo $\theta$ antihorario respecto de $xy$ :

I_{x'} = I_x\cos^{2}\theta + I_y\sin^{2}\theta - 2I_{xy}\sin\theta\cos\theta

La suma $I_{x'} + I_{y'} = I_x + I_y$ no cambia al girar. Y hay dos direcciones, perpendiculares entre sí, en las que el momento de inercia es máximo y mínimo y el producto de inercia se anula: las direcciones principales. Con la convención del curso, el ángulo que las da es

\tan 2\theta_1 = -\frac{2I_{xy}}{I_x - I_y}

Las mismas ecuaciones, escritas con el ángulo doble, son las de una circunferencia en el plano $(I, I_{xy})$ : el círculo de Mohr. Su centro está en $I_C = (I_x + I_y)/2$ y su radio es

R = \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^{2} + I_{xy}^{2}}

así que los momentos principales son $I_C + R$ e $I_C - R$ , sin buscar el ángulo.

El signo del ángulo principal depende de la convención

Hay libros que definen el producto de inercia con un signo menos delante, y entonces la fórmula del ángulo principal les sale sin él. Mezclar la fórmula de un libro con la definición de otro da la dirección principal girada al revés. En este curso $I_{xy} = \int xy\,dA$ y $\tan 2\theta_1 = -2I_{xy}/(I_x - I_y)$ : con $I_x > I_y$ e $I_{xy} > 0$ la tangente es negativa y el giro hasta la dirección principal más cercana es horario. El libro de la asignatura avisa de la paradoja que eso produce en el círculo: el punto de la dirección $x$ se dibuja por encima del eje de abscisas y el de la $y$ por debajo, aunque el producto de inercia sea uno solo.

Lo que hay que llevarse

El centro de gravedad es una media pesada; en figuras compuestas, cada pieza con su área y los agujeros restando.
Pappus-Guldin: $A = 2\pi y_G L$ y $V = 2\pi y_G A$ , y al revés para despejar una medida.
Steiner, siempre desde $G$ : $I = I_G + Md^{2}$ .
Los momentos principales salen del círculo de Mohr, $I_C \pm R$ , y su dirección de $\tan 2\theta_1 = -2I_{xy}/(I_x - I_y)$ .

Practica lo que acabas de leer

El centro de gravedad de una L, pieza a pieza

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El centro de gravedad de una L, pieza a pieza

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una placa homogénea en forma de L está formada por dos rectángulos: uno vertical que ocupa $0 \le x \le 2$ , $0 \le y \le 8$ y otro horizontal que ocupa $2 \le x \le 8$ , $0 \le y \le 2$ , con las medidas en centímetros. Calcular la posición de su centro de gravedad.

Las coordenadas del centro de gravedad de la L.

01
Reconocer el camino
COMP1
La L no tiene una fórmula propia. ¿Cómo se saca su centro de gravedad?
02
La coordenada x
COMP2
¿Cuánto vale $x_G$ , en centímetros?
Tu respuesta al paso 2un número, en cm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La coordenada y
COMP2
¿Cuánto vale $y_G$ , en centímetros?
Tu respuesta al paso 3un número, en cm — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se parte la L en dos rectángulos: $A_1 = 16$ con centro en $(1, 4)$ y $A_2 = 12$ con centro en $(5, 1)$ .
2. $x_G = (16 \cdot 1 + 12 \cdot 5)/28 = 2{,}714$ cm.
3. $y_G = (16 \cdot 4 + 12 \cdot 1)/28 = 2{,}714$ cm, y sale igual porque la L es simétrica respecto de la recta $y = x$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Steiner, pasando siempre por el centro de gravedad

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

De un rectángulo de base $b = 4\ \text{cm}$ y altura $h = 6\ \text{cm}$ se sabe que su momento de inercia respecto de la base es $I_{\text{base}} = bh^{3}/3 = 288\ \text{cm}^{4}$ . Calcular su momento de inercia respecto de una recta paralela a la base, situada 1 cm por encima de ella.

El momento de inercia respecto de una recta paralela a la base, a 1 cm.

01
Reconocer el camino
COMP1
Conoces el momento respecto de la base y quieres el de otra recta paralela. ¿Cómo se usa Steiner?
02
El momento de inercia por G
COMP2
¿Cuánto vale el momento de inercia respecto del eje paralelo a la base que pasa por $G$ , en cm⁴?
Tu respuesta al paso 2un número, en cm⁴ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento de inercia a 1 cm de la base
COMP2
¿Cuánto vale el momento de inercia respecto de la recta pedida, en cm⁴?
Tu respuesta al paso 3un número, en cm⁴ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El área es $A = 24\ \text{cm}^{2}$ y el centro de gravedad está a 3 cm de la base.
2. $I_G = 288 - 24 \cdot 3^{2} = 72\ \text{cm}^{4}$ .
3. La recta pedida está a 2 cm de $G$ , así que $I = 72 + 24 \cdot 2^{2} = 168\ \text{cm}^{4}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.1 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado 2R·sen α/α, que es el doble de lo que dan la figura y la integral: el desarrollo publica R·sen α/α y explica de dónde sale ese 2.

El centro de gravedad de un arco de circunferencia

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la posición del centro de gravedad del arco de circunferencia (elemento curvilíneo) de radio $R$ y ángulo $\alpha$ respecto al sistema de referencia indicado.

La abscisa del centro de gravedad del arco, en función de R y de α.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de integrar, ¿qué se integra y entre qué límites?
02
El coeficiente del resultado
COMP2
El resultado tiene la forma $x_G = k\,\dfrac{R\sin\alpha}{\alpha}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La semicircunferencia, como comprobación
COMP2
Con $\alpha = \pi/2$ el arco es una semicircunferencia. ¿Cuánto vale entonces $x_G$ en unidades de $R$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, x_G/R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría respecto del eje $x$ , $y_G = 0$ .
2. El arco va de $-\alpha$ a $\alpha$ : $dL = R\,d\varphi$ y su longitud es $L = 2R\alpha$ .
3. $\int x\,dL = \int_{-\alpha}^{\alpha} R^{2}\cos\varphi\,d\varphi = 2R^{2}\sin\alpha$ .
4. $x_G = 2R^{2}\sin\alpha / (2R\alpha) = R\sin\alpha/\alpha$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.2 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El centro de gravedad de un triángulo, por franjas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la posición del centro de gravedad de un triángulo de base $b$ y altura $h$ .

La altura del centro de gravedad sobre la base.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se plantea $y_G$ por integración?
02
El momento estático respecto de la base
COMP2
$\int_A y\,dA = k\,b\,h^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura del centro de gravedad
COMP2
$y_G = k\,h$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, y_G/h — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A la altura $y$ la franja horizontal mide $b(y) = b\,(1 - y/h)$ .
2. $A = \int_0^h b(y)\,dy = b\,h/2$ y $\int_A y\,dA = b\,h^{2}/6$ .
3. $y_G = (b\,h^{2}/6)/(b\,h/2) = h/3$ , medido desde la base.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.3 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El centro de gravedad de un cono macizo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la posición del centro de gravedad de un cono recto de radio $R$ y altura $h$ .

La altura del centro de gravedad sobre la base.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué elemento de volumen conviene tomar?
02
El volumen del cono
COMP2
$V = k\,\pi R^{2} h$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura del centro de gravedad
COMP2
$z_G = k\,h$ , medida desde la base. ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, z_G/h — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría de revolución, $G$ está sobre el eje $z$ .
2. A la altura $z$ el disco tiene radio $R\,(1 - z/h)$ y volumen $\pi R^{2}(1 - z/h)^{2}\,dz$ .
3. $V = \pi R^{2} h/3$ y $\int z\,dV = \pi R^{2} h^{2}/12$ .
4. $z_G = h/4$ , medido desde la base.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.4 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El centro de gravedad de una semiesfera maciza

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la posición del centro de gravedad de la semiesfera homogénea de radio $R$ de la figura.

La altura del centro de gravedad sobre la cara plana.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué elemento de volumen conviene tomar, y qué valor tiene que descartar tu memoria?
02
El volumen
COMP2
$V = k\,\pi R^{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La altura del centro de gravedad
COMP2
$z_G = k\,R$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, z_G/R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría de revolución, $G$ está sobre el eje $z$ .
2. A la altura $z$ el disco tiene radio $\sqrt{R^{2} - z^{2}}$ y volumen $\pi(R^{2} - z^{2})\,dz$ .
3. $V = 2\pi R^{3}/3$ y $\int z\,dV = \pi R^{4}/4$ , así que $z_G = 3R/8$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.5 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una sección en C, en tres rectángulos

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la posición del centro de gravedad de la superficie de la figura, sabiendo que las medidas están en centímetros.

Las coordenadas del centro de gravedad de la sección en C.

01
Reconocer el camino
COMP1
La C no tiene fórmula propia. ¿Cómo se saca su centro de gravedad?
02
La coordenada x
COMP2
¿Cuánto vale $x_G$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La coordenada y
COMP2
¿Cuánto vale $y_G$ ?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Tres rectángulos sin solape: $60\ \text{cm}^{2}$ en $(15, 1)$ , $32\ \text{cm}^{2}$ en $(1, 10)$ y $20\ \text{cm}^{2}$ en $(5, 19)$ .
2. $x_G = 1032/112 = 9{,}21$ cm.
3. $y_G = 760/112 = 6{,}79$ cm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.6 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El área bajo una cúbica, y el volumen que genera

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la superficie de la figura, siendo $n = 3$ , calcular:

a. Posición del centro de gravedad respecto de los ejes $x$ e $y$ .

b. Volumen del cuerpo que la superficie genera al girar respecto al eje $x$ .

Las coordenadas del centro de gravedad y el volumen generado al girar alrededor del eje x.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con franjas verticales de anchura $dx$ y altura $y = Kx^{3}$ , ¿cómo se escriben $x_G$ e $y_G$ ?
02
El área
COMP2
Con $K = a/h^{3}$ , el área es $A = k\,a\,h$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La abscisa del centro de gravedad
COMP2
$x_G = k\,h$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, x_G/h — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La ordenada del centro de gravedad
COMP2
$y_G = k\,a$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, y_G/a — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El volumen al girar alrededor del eje x
COMP2
$V = k\,\pi a^{2} h$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $K = a/h^{3}$ , $A = \int_0^h K x^{3}\,dx = a\,h/4$ .
2. $x_G = \frac{1}{A}\int_0^h x\cdot Kx^{3}\,dx = 4h/5$ .
3. $y_G = \frac{1}{A}\int_0^h \frac{y}{2}\,y\,dx = 2a/7$ .
4. $V = 2\pi\,y_G\,A = \pi a^{2} h/7$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.7 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un semidisco con un hueco semicircular

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular la posición del centro de gravedad de la figura respecto al sistema de referencia indicado.

Las coordenadas del centro de gravedad de la figura, en función de r.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo entra el hueco en la cuenta?
02
La abscisa
COMP2
$x_G = k\,r$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, x_G/r — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La ordenada
COMP2
$y_G = k\,r$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, y_G/r — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Semidisco grande: $A_1 = \pi r^{2}/2$ con centro en $(r,\ 4r/3\pi)$ .
2. Hueco: $A_2 = \pi r^{2}/8$ con centro en $(3r/2,\ 2r/3\pi)$ , que entra restando.
3. $x_G = 5r/6$ e $y_G = 14r/(9\pi)$ , con $A = 3\pi r^{2}/8$ en el denominador.

Resolución completa

Las piezas. Semidisco grande de radio $r$ y centro en $(r, 0)$ menos semidisco pequeño de radio $r/2$ y centro en $(3r/2, 0)$ . El centro de gravedad de un semidisco de radio $\rho$ está a $4\rho/(3\pi)$ del diámetro.

pieza	$A$	$x_G$	$y_G$
semidisco grande	$\pi r^{2}/2$	$r$	$4r/(3\pi)$
hueco	$-\pi r^{2}/8$	$3r/2$	$2r/(3\pi)$

La media pesada, con $A = 3\pi r^{2}/8$ :

x_G = \frac{\frac{1}{2} - \frac{3}{16}}{\frac{3}{8}}\,r = \frac{5r}{6} \qquad y_G = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{12}}{\frac{3\pi}{8}}\,r = \frac{14r}{9\pi}

Coincide con la colección. Las dos comprobaciones de sentido común: $G$ se ha ido a la izquierda de $x = r$ y ha subido por encima de $4r/(3\pi)$ , justo lo que hace quitar material abajo a la derecha.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.8 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. Ese resultado, 4254 mm³, es todo el acero quitado, taladro incluido; el avellanado solo quita 720 mm³, y el ejercicio calcula los dos.

El volumen de un avellanado, con Pappus-Guldin

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se taladra un agujero de $15\ \text{mm}$ de diámetro en una pieza de acero de $20\ \text{mm}$ de espesor y después se avellana como indica la figura. Calcular el volumen de acero removido durante el proceso de avellanado. La densidad del acero es $\rho = 7{,}85\ \text{kg}/\text{dm}^{3}$ .

El volumen quitado al avellanar, y el total quitado contando el taladro, que es el que da la colección.

01
Reconocer el camino
COMP1
El avellanado es un sólido de revolución alrededor del eje del agujero. ¿Qué superficie gira para generar lo que quita?
02
La profundidad del cono
COMP2
¿Hasta qué profundidad baja el avellanado?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Lo que quita el avellanado
COMP2
¿Qué volumen quita el avellanado, sin contar el taladro?
Tu respuesta al paso 3un volumen, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Todo el acero quitado
COMP2
¿Cuánto acero se ha quitado en total, taladro y avellanado juntos?
Tu respuesta al paso 4un volumen, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cono de 90° baja 5 mm, lo que tarda en pasar del radio 12,5 al 7,5.
2. El anillo del avellanado tiene por sección un triángulo de catetos 5 y 5 mm, con el ángulo recto en $r = 7{,}5$ mm.
3. $V_{\text{av}} = 2\pi \cdot (7{,}5 + 5/3) \cdot 12{,}5 = 720\ \text{mm}^{3}$ .
4. Con el taladro, $3534 + 720 = 4254\ \text{mm}^{3}$ en total.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.9 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El alambre cuyo centro de gravedad cae en C

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra un alambre homogéneo delgado. Calcular la longitud $l$ del tramo $CE$ del alambre para el cual el centro de gravedad de la figura se localiza en el punto $C$ cuando: a) $\vartheta = 15^{\circ}$ ; b) $\vartheta = 60^{\circ}$ .

La longitud l del tramo CE, en unidades de r, para cada ángulo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Es un alambre homogéneo: pesa la longitud. ¿Qué piezas entran, y dónde está el centro de gravedad de cada una?
02
El caso a, con 15 grados
COMP2
Para $\vartheta = 15^{\circ}$ , ¿cuánto vale $l$ en unidades de $r$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, l/r — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El caso b, con 60 grados
COMP2
Para $\vartheta = 60^{\circ}$ , ¿cuánto vale $l$ en unidades de $r$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, l/r — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Arco: longitud $2r\vartheta$ , centro de gravedad a $r\sin\vartheta/\vartheta$ de $C$ , del lado de $D$ .
2. Tramo recto $DE$ : longitud $r + l$ , centro de gravedad a $(l - r)/2$ de $C$ .
3. $G$ en $C$ exige momento nulo respecto de $C$ , y de ahí $l = r\sqrt{1 + 4\sin\vartheta}$ .
4. Resultados: $1{,}427\,r$ con 15° y $2{,}113\,r$ con 60°.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.10 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El volumen de revolución de una figura con muesca

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Obtener el volumen del cuerpo de revolución que se genera al hacer girar la superficie de la figura alrededor del eje $e$ .

El volumen del cuerpo de revolución, en función de R.

01
Reconocer el camino
COMP1
La figura gira alrededor de $e$ , que es vertical. ¿Cómo se usa Pappus-Guldin?
02
El área
COMP2
$A = k\,R^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento estático respecto del eje
COMP2
$\sum A_i\,x_i = k\,R^{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El volumen
COMP2
$V = k\,\pi R^{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Tres piezas: triángulo de catetos $R$ arriba, rectángulo $R/3 \times 2R/3$ junto al eje y triángulo de catetos $2R/3$ abajo.
2. Sus distancias al eje $e$ son $R/3$ , $R/6$ y $5R/9$ .
3. $\sum A_i x_i = 53R^{3}/162$ y $V = 2\pi \cdot 53R^{3}/162 = 53\pi R^{3}/81$ .

Resolución completa

Las piezas. Leyendo la figura: arriba, un triángulo rectángulo de catetos $R$ y $R$ con el cateto vertical sobre el eje; abajo, un rectángulo de $R/3 \times 2R/3$ junto al eje y un triángulo de catetos $2R/3$ , con el ángulo recto en $(R/3, 0)$ . La muesca es lo que queda entre los dos triángulos.

pieza	$A$	distancia a $e$	$A\,x$
triángulo de arriba	$R^{2}/2$	$R/3$	$R^{3}/6$
rectángulo	$2R^{2}/9$	$R/6$	$R^{3}/27$
triángulo de abajo	$2R^{2}/9$	$5R/9$	$10R^{3}/81$

Pappus-Guldin. No hace falta $x_G$ , solo el momento estático:

V = 2\pi\sum A_i x_i = 2\pi\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{27} + \frac{10}{81}\right)R^{3} = \frac{53\pi R^{3}}{81}

Coincide con la colección. Como dice su nota, aquí no entra ningún momento de inercia: solo áreas y centros de gravedad.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.11 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La barra, por el centro y por el extremo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar el momento de inercia de una barra homogénea de masa $M$ y longitud $L$ respecto al eje $z$ , siendo éste perpendicular a la barra, para los casos:

a. Eje $z$ que pasa por su centro de gravedad.

b. Eje $z$ que pasa por un extremo.

Los dos momentos de inercia de la barra.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué integral da el momento de inercia de la barra?
02
Por el centro de gravedad
COMP2
$I_z = k\,M L^{2}$ con el eje por el centro. ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Por un extremo
COMP2
$I_z = k\,M L^{2}$ con el eje por un extremo. ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La barra es homogénea, $dm = (M/L)\,dx$ , e $I = \int x^{2}\,dm$ .
2. De $-L/2$ a $L/2$ sale $I_G = ML^{2}/12$ .
3. De $0$ a $L$ sale $ML^{2}/3$ , lo mismo que $I_G + M(L/2)^{2}$ por Steiner.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.12 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El disco, respecto de su eje y de un diámetro

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Hallar el momento de inercia de un disco homogéneo de masa $M$ y de radio $R$ :

a. Respecto al eje $z$ .

b. Respecto a un eje cualquiera en el plano $xy$ que pase por su centro.

El momento de inercia axial y el diametral del disco.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para el eje $z$ , perpendicular al disco por su centro, ¿qué elemento de masa conviene?
02
Respecto del eje z
COMP2
$I_z = k\,M R^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Respecto de un diámetro
COMP2
$I_x = k\,M R^{2}$ para un eje del plano $xy$ que pasa por el centro. ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada anillo de radio $r$ tiene masa $\frac{2M}{R^{2}}\,r\,dr$ y está entero a distancia $r$ del eje $z$ .
2. $I_z = \frac{2M}{R^{2}}\int_0^R r^{3}\,dr = MR^{2}/2$ .
3. En el plano, $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , así que $I_x + I_y = I_z$ ; y por simetría $I_x = I_y = MR^{2}/4$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.13 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El rectángulo, con sus momentos y productos de inercia

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular para el rectángulo (dimensiones $bxh$ ) de la figura los momentos de inercia y los productos de inercia respecto al sistema de referencia de la figura $xy$ y $x'y'$ .

Los momentos y productos de inercia del rectángulo respecto de xy, en el vértice, y de x′y′, por su centro.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con la convención del curso, ¿qué integrales son $I_x$ y $C_{xy}$ ?
02
El momento respecto de la base
COMP2
$I_x = k\,b\,h^{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El producto de inercia en el vértice
COMP2
$C_{xy} = k\,b^{2} h^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento respecto de x prima
COMP2
$I_{x'} = k\,b\,h^{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El producto de inercia por el centro
COMP2
$C_{x'y'} = k\,b^{2} h^{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $I_x = \int y^{2}\,dA = bh^{3}/3$ e $I_y = \int x^{2}\,dA = hb^{3}/3$ .
2. $C_{xy} = \int xy\,dA = b^{2}h^{2}/4$ , positivo porque todo el rectángulo está en el primer cuadrante.
3. Restando con Steiner, $I_{x'} = bh^{3}/12$ e $I_{y'} = hb^{3}/12$ .
4. $C_{x'y'} = 0$ , porque $x'$ e $y'$ son ejes de simetría.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.14 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Los momentos de inercia de la región sobre una parábola

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular para la superficie de la figura los momentos de inercia respecto a los ejes $x$ e $y$ .

Los momentos de inercia de la superficie respecto de los ejes x e y.

01
Reconocer el camino
COMP1
La superficie está por encima de la parábola. ¿Qué franjas conviene usar para cada momento?
02
El área
COMP2
$A = k\,a\,b$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento respecto del eje x
COMP2
$I_x = k\,a\,b^{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento respecto del eje y
COMP2
$I_y = k\,b\,a^{3}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La parábola pasa por $(a, b)$ , así que $K = b/a^{2}$ y $x(y) = a\sqrt{y/b}$ .
2. Con franjas horizontales, $I_x = \int_0^b y^{2}\,x(y)\,dy = 2ab^{3}/7$ .
3. Con franjas verticales, $I_y = \int_0^a x^{2}(b - Kx^{2})\,dx = 2ba^{3}/15$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.15 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un rectángulo con una ventana, de la base al centro

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular para la superficie plana de la figura:

a. Posición del centro de gravedad respecto al sistema de referencia $x'y'$ de la figura.

b. Momentos de inercia respecto a los ejes $x'$ e $y'$ de la figura.

c. Momentos de inercia respecto a los ejes $x$ e $y$ que son paralelos a los ejes $x'$ e $y'$ , y que pasan por el centro de gravedad.

d. Volumen que se origina al girar la superficie de la figura respecto al eje $x'$ .

El centro de gravedad, los momentos de inercia respecto de x′ e y′ y respecto de los ejes paralelos por G, y el volumen al girar alrededor de x′.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se plantea la superficie, y qué se puede decir de $G$ sin calcular?
02
El momento respecto de x prima
COMP2
¿Cuánto vale $I_{x'}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, en cm⁴ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El momento respecto de y prima
COMP2
¿Cuánto vale $I_{y'}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, en cm⁴ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento respecto del eje x por G
COMP2
¿Cuánto vale $I_x$ , respecto del eje paralelo a $x'$ que pasa por $G$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en cm⁴ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El momento respecto del eje y por G
COMP2
¿Cuánto vale $I_y$ , respecto del eje paralelo a $y'$ que pasa por $G$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, en cm⁴ — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
El volumen al girar alrededor de x prima
COMP2
¿Qué volumen genera la superficie al girar alrededor del eje $x'$ ?
Tu respuesta al paso 6un volumen, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por la doble simetría, $G = (3, 5)$ cm, y el área es $60 - 12 = 48\ \text{cm}^{2}$ .
2. $I_{x'} = 2000 - (36 + 300) = 1664$ e $I_{y'} = 720 - (4 + 108) = 608\ \text{cm}^{4}$ .
3. $I_x = 1664 - 48 \cdot 25 = 464$ e $I_y = 608 - 48 \cdot 9 = 176\ \text{cm}^{4}$ .
4. $V = 2\pi \cdot 5 \cdot 48 = 1508\ \text{cm}^{3}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.16 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen, e indica que está resuelto en el libro de la asignatura. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una T de dos barras soldadas, respecto de G y de O

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Las dos barras homogéneas de la figura están en un plano vertical, soldadas en el punto $A$ en forma de $T$ y articuladas en $O$ . Siendo la masa de cada barra $8\ \text{kg}$ , calcular:

a. La posición del centro de gravedad del sistema $G$ .

b. El momento de inercia del elemento $T$ respecto al punto $G$ .

c. El momento de inercia del elemento $T$ respecto al punto $O$ .

La posición de G y los momentos de inercia de la T respecto de G y de O.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos barras están en un plano. ¿Qué es el momento de inercia «respecto de un punto» de este sistema?
02
El centro de gravedad
COMP2
Con el origen en $O$ y el eje $x$ a lo largo de $OA$ , ¿cuánto vale $x_G$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Respecto de G
COMP2
¿Cuánto vale el momento de inercia de la T respecto de $G$ ?
Tu respuesta al paso 3un momento de inercia, con su unidad (kg·m²) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Respecto de O
COMP2
¿Cuánto vale el momento de inercia de la T respecto de $O$ ?
Tu respuesta al paso 4un momento de inercia, con su unidad (kg·m²) — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $x_G = (8 \cdot 0{,}125 + 8 \cdot 0{,}25)/16 = 0{,}1875$ m, e $y_G = 0$ por simetría.
2. Cada barra aporta $ML^{2}/12$ más $8 \cdot 0{,}0625^{2}$ , y $I_G = 13/48$ kg·m².
3. Por Steiner, $I_O = 13/48 + 16 \cdot 0{,}1875^{2} = 5/6$ kg·m².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2.17 · Tema 2, «Geometría de masas y superficies» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo; dos de sus cifras, los momentos respecto de x y de y, llevan una errata, y aquí se publican los que dan los datos.

Una placa con un agujero circular, hasta el producto de inercia

paso 1 de 9

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular para la superficie plana de la figura:

a. Posición del centro de gravedad respecto al sistema de referencia $xy$ de la figura.

b. Momentos de inercia respecto a los ejes $x$ e $y$ de la figura.

c. Momentos de inercia respecto a los ejes $x'$ e $y'$ que son paralelos a los ejes $x$ e $y$ , y que pasan por el centro de gravedad.

d. Productos de inercia respecto a los ejes $x'y'$ .

El centro de gravedad, los momentos de inercia respecto de x e y y respecto de x′ e y′ por G, y el producto de inercia respecto de x′y′.

01
Reconocer el camino
COMP1
La placa es un rectángulo menos un círculo. ¿Qué aporta el círculo a los momentos, y qué pasa con el producto de inercia?
02
La abscisa del centro de gravedad
COMP2
¿Cuánto vale $x_G$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La ordenada del centro de gravedad
COMP2
¿Cuánto vale $y_G$ ?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El momento respecto del eje x
COMP2
¿Cuánto vale $I_x$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en cm⁴ y sin puntos de millar — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El momento respecto del eje y
COMP2
¿Cuánto vale $I_y$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, en cm⁴ y sin puntos de millar — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
El momento respecto de x prima
COMP2
¿Cuánto vale $I_{x'}$ , respecto del eje paralelo a $x$ por $G$ ?
Tu respuesta al paso 6un número, en cm⁴ y sin puntos de millar — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
El momento respecto de y prima
COMP2
¿Cuánto vale $I_{y'}$ , respecto del eje paralelo a $y$ por $G$ ?
Tu respuesta al paso 7un número, en cm⁴ y sin puntos de millar — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
08
El producto de inercia por G
COMP2
¿Cuánto vale $C_{x'y'}$ , con la convención del curso, $C_{x'y'} = \int x'\,y'\,dA$ ?
Tu respuesta al paso 8un número, en cm⁴, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
09
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Placa = rectángulo de 1750 cm² menos círculo de $100\pi$ cm², y $G = (18{,}05;\ 23{,}91)$ cm.
2. $I_x = 1.458.333 - 290.597 = 1.167.736$ e $I_y = 714.583 - 78.540 = 636.043\ \text{cm}^{4}$ .
3. Bajando a $G$ : $I_{x'} = 347.157$ e $I_{y'} = 168.399\ \text{cm}^{4}$ .
4. $C_{x'y'} = -1048 + 5834 = 4786\ \text{cm}^{4}$ , positivo porque se ha quitado material donde $x'y' < 0$ .

Resolución completa

a) El centro de gravedad. Rectángulo de $35 \times 50$ con centro en $(17{,}5;\ 25)$ , menos círculo de radio 10 con centro en $(15;\ 30)$ . Con $A = 1750 - 100\pi = 1435{,}84\ \text{cm}^{2}$ :

x_G = \frac{30625 - 1500\pi}{1435{,}84} = 18{,}05\ \text{cm} \qquad y_G = \frac{43750 - 3000\pi}{1435{,}84} = 23{,}91\ \text{cm}

b) Respecto de x e y. El círculo resta su momento diametral más Steiner:

I_x = \frac{35 \cdot 50^{3}}{3} - \left(\frac{\pi \cdot 10^{4}}{4} + 100\pi \cdot 30^{2}\right) = 1.167.736\ \text{cm}^{4}

I_y = \frac{50 \cdot 35^{3}}{3} - \left(\frac{\pi \cdot 10^{4}}{4} + 100\pi \cdot 15^{2}\right) = 636.043\ \text{cm}^{4}

c) Respecto de x′ e y′. $I_{x'} = I_x - A\,y_G^{2} = 347.157$ e $I_{y'} = I_y - A\,x_G^{2} = 168.399\ \text{cm}^{4}$ .

d) El producto de inercia. Pieza a pieza respecto de $G$ :

C_{x'y'} = 1750\,(-0{,}547)(1{,}094) - 100\pi\,(-3{,}047)(6{,}094) = 4786\ \text{cm}^{4}

Sobre el resultado de la colección. Imprime $I_x = 1.166.736$ e $I_y = 603.043\ \text{cm}^{4}$ . Las dos son erratas de transcripción: los datos dan $1.167.736$ y $636.043$ , y los $I_{x'} = 347.157$ e $I_{y'} = 168.399$ que imprime la propia colección solo salen de estos, no de los impresos. Los de c y d coinciden.

Lo que el enunciado no pide. Con la convención del curso, $\tan 2\theta_1 = -2 \cdot 4786/(347.157 - 168.399) = -0{,}0535$ , así que $\theta_1 = -1{,}53^{\circ}$ : los ejes principales por $G$ están girados un grado y medio en sentido horario respecto de $x'y'$ , con momentos principales de 347.285 y 168.271 cm⁴. El agujero apenas tuerce la placa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Geometría de masas y superficies planas

El centro de gravedad de un sistema de partículas

Líneas, superficies y volúmenes

Figuras compuestas

Los teoremas de Pappus-Guldin

El momento de inercia

Los teoremas de Steiner

Superficies planas: momentos y productos de inercia

La rotación de ejes y el círculo de Mohr

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

La coordenada x

La coordenada y

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El momento de inercia por G

El momento de inercia a 1 cm de la base

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente del resultado

La semicircunferencia, como comprobación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El momento estático respecto de la base

La altura del centro de gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen del cono

La altura del centro de gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El volumen

La altura del centro de gravedad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La coordenada x

La coordenada y

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área

La abscisa del centro de gravedad

La ordenada del centro de gravedad

El volumen al girar alrededor del eje x

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La abscisa

La ordenada

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La profundidad del cono

Lo que quita el avellanado

Todo el acero quitado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El caso a, con 15 grados

El caso b, con 60 grados

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área

El momento estático respecto del eje

El volumen

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Por el centro de gravedad

Por un extremo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Respecto del eje z

Respecto de un diámetro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El momento respecto de la base

El producto de inercia en el vértice

El momento respecto de x prima

El producto de inercia por el centro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El área

El momento respecto del eje x

El momento respecto del eje y