Mecánica Aplicada · tema 09

Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica

Las leyes de Newton en un sistema de partículas: momento lineal, momento angular y energía, sus teoremas y cuándo se conserva cada uno. Y D’Alembert, que devuelve la dinámica a la estática.

Con este tema empieza la dinámica: ya no basta con describir el movimiento, ahora se relaciona con las fuerzas que lo causan. La ley que lo gobierna todo es la segunda de Newton, $\vec{F} = m\vec{a}$ , pero aplicada partícula a partícula es inmanejable en cuanto el sistema tiene más de dos. Así que el tema hace lo mismo que el tema 1 con las fuerzas: resume el sistema en unas pocas magnitudes —el momento lineal, el momento angular y la energía— y da tres teoremas que dicen cómo cambian. Los tres son la segunda ley de Newton escrita de tres maneras, y cada uno tiene su terreno: el que conviene es el que hace desaparecer las incógnitas que no te interesan.

Es la base de los temas 10 a 12, que aplican estos mismos teoremas al sólido rígido.

Las leyes de Newton y el sistema de partículas

Un sistema de partículas de masas $m_i$ se mueve bajo dos clases de fuerzas: las externas, que vienen de fuera, y las internas, que se hacen unas partículas a otras. Por la tercera ley de Newton las internas van por parejas iguales y opuestas sobre la misma recta, así que su resultante y su momento resultante son nulos. Eso es lo que hace funcionar el tema entero: en los tres teoremas solo aparecen las fuerzas externas.

Las magnitudes

Momento lineal, o cantidad de movimiento, la suma de los $m_i\vec{v}_i$ . Resulta ser la masa total por la velocidad del centro de gravedad:
$\vec{L} = \sum m_i\,\vec{v}_i = M\,\vec{v}_G$
Momento angular, o momento cinético, respecto de un punto $P$ : el momento de los vectores $m_i\vec{v}_i$ respecto de $P$ , $\vec{H}_P = \sum \overrightarrow{PA_i} \times m_i\vec{v}_i$ . Como es un momento, cambia de punto con la ecuación del campo de momentos del tema 1:
$\vec{H}_P = \vec{H}_G + \overrightarrow{PG} \times \vec{L}$
Y el libro añade un resultado que se usa mucho en el tema 10, el segundo teorema de König: respecto de $G$ , el momento angular se puede calcular con las velocidades relativas a $G$ en lugar de las absolutas.
Energía cinética, $T = \sum \tfrac12 m_i v_i^{2}$ , un escalar.
Trabajo de una fuerza a lo largo de un camino, $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ . Si la fuerza es conservativa, su trabajo solo depende de dónde empieza y dónde acaba el camino, y se escribe como una diferencia de energía potencial: $W_{A\to B} = V_A - V_B$ . El peso ( $V = Mg\,h$ ) y un muelle ( $V = \tfrac12 k\,x^{2}$ , con $x$ su deformación) lo son; el rozamiento, no.

Los tres teoremas

Teorema del momento lineal. La resultante de las fuerzas externas es la derivada del momento lineal:

\vec{F} = \frac{d\vec{L}}{dt} = M\,\vec{a}_G

El centro de gravedad se mueve como si toda la masa estuviera en él y todas las fuerzas externas actuaran sobre él. Si la resultante es nula, $\vec{L}$ se conserva.

Teorema del momento angular. En general, $\dot{\vec{H}}_P = \vec{M}_P + \vec{L} \times \vec{v}_P$ , pero el segundo término se anula en los dos puntos que interesan, un punto fijo o el centro de gravedad, y queda

\frac{d\vec{H}_P}{dt} = \vec{M}_P

la derivada del momento angular es el momento de las fuerzas externas. Si ese momento es nulo, el momento angular se conserva. Es lo que pasa con una fuerza central, la que pasa siempre por el mismo punto: el libro pone el ejemplo de la Tierra alrededor del Sol, cuyo momento angular respecto del Sol no cambia, y por eso su órbita es plana.

El teorema del momento angular en un punto cualquiera

$\dot{\vec{H}}_P = \vec{M}_P$ solo vale si $P$ es un punto fijo o el centro de gravedad. En un punto que se mueve de cualquier manera sobra el término $\vec{L} \times \vec{v}_P$ , y tomar momentos allí como si fuera fijo da una ecuación falsa. La tentación aparece con el punto de contacto de un disco que rueda: su velocidad es nula en ese instante, pero no es un punto fijo, y aplicarle el teorema sin más solo funciona en casos especiales que hay que justificar.

Teorema de la energía. El trabajo de todas las fuerzas sobre el sistema es el incremento de su energía cinética:

W_{A\to B} = T_B - T_A

Y si todas las fuerzas que trabajan son conservativas, se reescribe como la conservación de la energía mecánica:

T_A + V_A = T_B + V_B

Es el teorema más cómodo cuando se pide una velocidad entre dos posiciones y no interesa lo que pasa entre medias, porque no necesita saber las fuerzas de los enlaces que no trabajan.

Un bloque de 2 kg que baja sin rozamiento por un plano de 30°, recorre 1 m hasta tocar un muelle de 400 N/m y lo comprime 0,247 m hasta pararse. La energía cambia de forma —del peso a la cinética y de ahí al muelle— y el total no se mueve: 12,22 J en las tres posiciones, con la potencial medida desde el punto más bajo.

El principio de D’Alembert

Los teoremas del momento lineal y del momento angular en $G$ se pueden escribir como $\vec{F} - M\vec{a}_G = \vec{0}$ y $\vec{M}_G - \dot{\vec{H}}_G = \vec{0}$ . Leídas así, dicen algo que ahorra mucho trabajo: si a las fuerzas externas les añades unas fuerzas de inercia —una resultante $-M\vec{a}_G$ aplicada en $G$ y un momento $-\dot{\vec{H}}_G$ —, el sistema queda en equilibrio, y se resuelve con la estática del tema 3, tomando momentos donde convenga. Es el principio de D’Alembert, y es la forma en que se plantean muchos ejercicios de los temas 10 a 12.

Contar la fuerza de inercia además del teorema

La fuerza de inercia $-M\vec{a}_G$ es otra forma de escribir el teorema del momento lineal, no una fuerza más. O planteas $\vec{F} = M\vec{a}_G$ , o planteas el equilibrio de $\vec{F}$ con $-M\vec{a}_G$ ; hacer las dos cosas a la vez cuenta la inercia dos veces. Y en el diagrama de D’Alembert, la fuerza de inercia va en sentido contrario a la aceleración de $G$ .

Lo que hay que llevarse

Las fuerzas internas no aparecen en ningún teorema: solo las externas.
$\vec{F} = M\vec{a}_G$ : el centro de gravedad se mueve como una partícula.
$\dot{\vec{H}}_P = \vec{M}_P$ , pero solo en un punto fijo o en $G$ .
$W = \Delta T$ , y con fuerzas conservativas, $T + V$ constante.
D’Alembert: con las fuerzas de inercia añadidas, la dinámica es estática.

Practica lo que acabas de leer

Un bloque que baja por un plano y comprime un muelle

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un bloque que baja por un plano y comprime un muelle

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un bloque de 2 kg se suelta desde el reposo en un plano inclinado 30° sin rozamiento. Después de recorrer 1 m a lo largo del plano, toca un muelle de constante $k = 400\ \text{N/m}$ , paralelo al plano, y lo comprime hasta pararse. Tomando $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ , calcular la velocidad con la que toca el muelle y la compresión máxima.

La velocidad al tocar el muelle y la compresión máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué teorema conviene usar, y por qué?
02
La velocidad al tocar el muelle
COMP2
¿A qué velocidad toca el muelle, en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La compresión máxima
COMP2
¿Cuánto comprime el muelle, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Solo trabajan el peso y el muelle, los dos conservativos; la normal no trabaja. La energía mecánica se conserva.
2. Hasta el muelle baja $0{,}5$ m: $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}5} = 3{,}13$ m/s.
3. Hasta pararse baja $(1 + x)\sin 30°$ : $9{,}8\,(1 + x) = 200\,x^{2}$ y $x = 0{,}247$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una partícula que gira atada a un hilo que se recoge

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una partícula gira sobre una mesa horizontal sin rozamiento, atada a un hilo que pasa por un agujero de la mesa. Cuando el radio es de 0,5 m, su velocidad es de 2 m/s. Se tira del hilo desde abajo hasta que el radio es de 0,25 m. Calcular la nueva velocidad.

La velocidad de la partícula con el radio reducido a la mitad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué magnitud se conserva mientras se recoge el hilo?
02
La nueva velocidad
COMP2
¿Cuál es la velocidad con el radio de 0,25 m, en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión pasa siempre por el agujero, un punto fijo, así que su momento respecto de él es nulo.
2. Por el teorema del momento angular, $H_O = m\,r\,v$ se conserva: $0{,}5 \cdot 2 = 0{,}25\,v_2$ .
3. $v_2 = 4$ m/s, y la energía cinética se multiplica por cuatro, gracias al trabajo de quien tira del hilo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.1 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo.

La esferita que gira colgada de dos hilos con la misma tensión

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El hilo de alambre $ACB$ pasa por un anillo que está unido a una esfera pequeña en el punto $C$ . La esferita se mueve girando a velocidad $v$ constante a la distancia que aparece en la figura. Sabiendo que la fuerza en los dos extremos del hilo es idéntica, calcular la velocidad $v$ .

La velocidad v con la que gira la esferita, en metros por segundo.

01
Reconocer el camino
COMP1
La esferita da vueltas con $v$ constante. ¿Cómo es su aceleración?
02
La tensión del hilo
COMP2
Escribiendo el equilibrio vertical, ¿cuánto vale la tensión $T$ , igual en los dos tramos?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad de giro
COMP2
Con esa tensión, ¿cuál es la velocidad $v$ de la esferita?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $v$ constante solo hay aceleración normal: horizontal, hacia el eje y de módulo $v^{2}/R$ .
2. En vertical no hay aceleración, así que $T\cos 30^{\circ} + T\cos 45^{\circ} = m\,g$ y $T = 31{,}18$ N.
3. En horizontal, $T\operatorname{sen}30^{\circ} + T\operatorname{sen}45^{\circ} = m\,v^{2}/R$ , de donde $v = 3{,}47$ m/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.2 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica los seis resultados y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo. Las coordenadas de las tres partículas se leen de la figura, y son las únicas que reproducen a la vez los seis valores publicados.

Las magnitudes de un sistema de tres partículas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Las masas y velocidades de las partículas $A$ , $B$ y $C$ de la figura son las siguientes:

\vec{v}_A = 3\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k} \qquad m_A = 1\ \text{kg}

\vec{v}_B = 4\vec{i} + 3\vec{j} \qquad m_B = 2\ \text{kg}

\vec{v}_C = 2\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k} \qquad m_C = 3\ \text{kg}

Calcular:

a) El vector de posición del centro de gravedad

b) El momento lineal del sistema

c) El momento angular del sistema respecto el punto $O$

d) El momentu angular del sistema respecto del centro de gravedad

e) La energía cinética del sistema

f) La energía potencial gravitatoria, considerando que el potencial es nulo a altura $y = 0$ .

El centro de gravedad, el momento lineal, los dos momentos angulares, la energía cinética y la energía potencial.

01
Reconocer el camino
COMP1
Ya tienes $\vec{H}_O$ . ¿Cuál es la forma más corta de sacar $\vec{H}_G$ sin repetir los tres productos vectoriales?
02
La energía cinética del sistema
COMP2
¿Cuánto vale la energía cinética total $T$ del sistema?
Tu respuesta al paso 2una energía, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La componente y del momento angular en G
COMP2
Usando el cambio de punto, ¿cuánto vale la componente $y$ de $\vec{H}_G$ , en kg·m²/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en kg·m²/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $M = 6$ kg y $\overrightarrow{OG} = \sum m_i\vec{r}_i / M = (3;\ 1{,}5;\ 1{,}5)$ m.
2. $\vec{L} = \sum m_i\vec{v}_i = (17;\ 19;\ -5)$ kg·m/s, y de ahí $\vec{v}_G = \vec{L}/M$ .
3. $\vec{H}_O = \sum \overrightarrow{OA_i}\times m_i\vec{v}_i = (-34;\ 65;\ 57)$ , y $\vec{H}_G$ sale del cambio de punto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.3 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo. Con una gravedad de 9,81 salen 2,837 m y con 9,8, los 2,838 m impresos.

La carga de la grúa que se detiene de golpe

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La grúa de la figura se mueve con una velocidad horizontal de $v = 3\ \text{m/s}$ , pero de repente se detiene. Se desea conocer la distancia horizontal máxima que recorrerá la carga que lleva la grúa después de pararse.

La distancia horizontal máxima L que recorre la carga tras la parada.

01
Reconocer el camino
COMP1
La grúa se para en seco y la carga sigue con 3 m/s. ¿Qué hace la carga y qué teorema conviene?
02
La altura que sube la carga
COMP2
¿Cuánto sube la carga sobre su posición inicial antes de pararse?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El avance horizontal
COMP2
Con esa altura, ¿cuánto avanza la carga en horizontal?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al pararse el carro, la carga conserva su velocidad de 3 m/s y queda colgando de un cable de 9 m que puede girar.
2. El cable no trabaja y no hay rozamiento: se conserva la energía mecánica, y la carga sube $h = v^{2}/2g = 0{,}4587$ m.
3. De $R(1-\cos\theta)=h$ sale $\theta = 18{,}37^{\circ}$ , y el avance horizontal es $L = R\operatorname{sen}\theta = 2{,}837$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.4 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica los dos resultados y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo.

El fardo que comprime un muelle ya precomprimido

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se emplea un muelle de constante $k = 20\ \text{kN/m}$ para detener un fardo de 60 kg que desliza. El muelle está sostenido mediante un cable, estando inicialmente comprimido 120 mm. El fardo tiene una velocidad de $2{,}5\ \text{m/s}$ en la posición que se muestra en la figura y si la compresión adicional del muelle es de 40 mm, calcular:

a. Coeficiente de rozamiento entre el fardo y la superficie

b. Velocidad del fardo cuando pasa de nuevo por la posición de la figura

El coeficiente de rozamiento y la velocidad de vuelta por la posición de la figura.

01
Reconocer el camino
COMP1
El muelle ya está comprimido 120 mm antes de que llegue el fardo. ¿Qué energía elástica hay que usar en el balance?
02
El coeficiente de rozamiento
COMP2
Aplicando el teorema de la energía entre la posición de la figura y la parada, ¿cuánto vale $\mu_k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de vuelta
COMP2
El muelle devuelve la energía y empuja el fardo hacia atrás. ¿Con qué velocidad pasa otra vez por la posición de la figura?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la figura a la parada el fardo recorre $0{,}64$ m rozando, y el muelle pasa de 120 a 160 mm de compresión.
2. $187{,}5 + 144 = 256 + \mu_k\,m\,g\,(0{,}64)$ da $\mu_k = 0{,}2$ .
3. A la vuelta el muelle devuelve 112 J, el rozamiento se lleva otros $75{,}3$ J y quedan $36{,}5$ J de energía cinética: $v = 1{,}10$ m/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.5 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. Ojo con las unidades de la ley del suelo: leyendo la fuerza en newton salen 3,41 J de trabajo resistente y el conjunto se acelera hasta 3,25 metros por segundo, mientras que el resultado publicado, 1,39, y la resolución del profesor corresponden a leerla en kilonewton. Se publica el valor de la colección porque es el que reproduce su desarrollo, y la discrepancia se explica en la resolución.

El martillo de pilotes que penetra 80 mm en el suelo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La masa de pilotes de 650 kg de un martillo de caída libre cae sobre un pilote de 140 kg. Después del impacto, el martillo y el pilote quedan unidos y tienen una velocidad de $3\ \text{m/s}$ . La fuerza vertical aplicada sobre el pilote por el suelo después del impacto está dada por $F = 0{,}02\cdot x^{2}$ , donde $x$ y $F$ están expresados en mm y N, respectivamente. Determinar la velocidad del sistema después de haber penetrado 80 mm el suelo.

La velocidad del conjunto martillo más pilote tras penetrar 80 mm.

01
Reconocer el camino
COMP1
Durante los 80 mm de hincado, ¿qué se conserva y qué no?
02
El trabajo que hace el suelo
COMP2
Con la ley del enunciado y una penetración de 80 mm, ¿cuánto vale en valor absoluto el trabajo de la fuerza del suelo, contado como lo cuenta la colección?
Tu respuesta al paso 2una energía, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad tras 80 mm
COMP2
Aplicando el teorema de la energía al tramo de hincado, ¿qué velocidad lleva el conjunto?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Tras el impacto el conjunto pesa $M = 790$ kg y baja con 3 m/s; en los 80 mm siguientes trabajan el peso y la fuerza del suelo.
2. El suelo se opone con $F = 0{,}02x^{2}$ , y su trabajo en los 80 mm es $0{,}02 \cdot 80^{3}/3 = 3413$ J.
3. $\tfrac12 M v_1^{2} + M g d - W = \tfrac12 M v_2^{2}$ , de donde $v_2 = 1{,}39$ m/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.6 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo.

La potencia que pide un tren subiendo una pendiente del 1,5 por ciento

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un tren de masa total de 500 Tn parte del reposo y acelera uniformemente hasta 90 km/h en 50 s, subiendo una pendiente del 1,5 %. Después de alcanzar esta velocidad, el tren viaja con velocidad constante. La resistencia al rodamiento produce una fuerza total de 15 kN en dirección contraria a la del movimiento. Determinar la potencia requerida después de pasar 50 segundos.

Dato: $\operatorname{sen}\alpha = 0{,}015$

La potencia requerida cuando el tren ya circula a velocidad constante.

01
Reconocer el camino
COMP1
Pasados los 50 s el tren va a 90 km/h constantes. ¿Qué cambia en el planteamiento respecto del tramo de aceleración?
02
La fuerza de tracción
COMP2
¿Cuánto vale la fuerza de tracción una vez alcanzada la velocidad de régimen?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La potencia
COMP2
Con esa tracción y 90 km/h, ¿qué potencia se necesita?
Tu respuesta al paso 3una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Pasados los 50 s la velocidad es constante, $v = 25$ m/s, y la aceleración del centro de gravedad es nula.
2. $\sum F = M a_G = 0$ a lo largo de la vía da $F_t = F_r + M g \operatorname{sen}\alpha = 88{,}58$ kN.
3. $P = F_t\,v = 88575 \cdot 25 = 2{,}21$ MW.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.7 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo. El texto castellano llama F a la fuerza vertical de 5 N y la figura la rotula P.

El collarín con una rampa soldada y el bloque que sube por ella

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un collarín $A$ tiene una rampa soldada y una fuerza $F = 5\ \text{N}$ aplicada tal y como se muestra. El collarín $A$ y la rampa pesan 3 N, y el bloque $B$ 0,8 N. Ignorando la fricción, calcular la fuerza del cable.

La fuerza que soporta el cable.

01
Reconocer el camino
COMP1
El cable baja del techo, pasa por la polea del collarín, recorre la rampa hasta la polea de $B$ y vuelve a anclarse en el collarín. Si $A$ sube una distancia $u$ , ¿cuánto se aleja $B$ de $A$ a lo largo de la rampa?
02
La aceleración del collarín
COMP2
Resolviendo el sistema de las cuatro ecuaciones, ¿cuánto vale la aceleración $a_A$ del collarín, hacia arriba?
Tu respuesta al paso 2una aceleración, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza del cable
COMP2
¿Cuánto vale la tensión $T$ del cable?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ligadura del cable da $a_{B/A} = a_A/2$ a lo largo de la rampa, así que $\vec{a}_B = (0{,}5a_A\operatorname{sen}\theta;\ a_A(1-0{,}5\cos\theta))$ .
2. Sobre B actúan su peso, la normal de la rampa y $2T$ hacia arriba de la rampa; sobre A, P, su peso, la normal de la guía, la reacción de B y las fuerzas del cable en la polea y en el anclaje.
3. Las cuatro ecuaciones dan $a_A = 4{,}10\ \text{m/s}^{2}$ , $T = 0{,}281$ N, $N_B = 0{,}869$ N y $N_A = 0{,}128$ N.

Resolución completa

La ligadura. El cable sale del techo, pasa por la polea del collarín, baja por la rampa hasta la polea móvil de $B$ y vuelve a anclarse en el collarín. Al subir $A$ una distancia $u$ , el tramo del techo se acorta $u$ y los dos ramales de la rampa crecen $u/2$ cada uno, así que $B$ se aleja de $A$ por la rampa esa mitad:

\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A} = \left(\tfrac12 a_A\operatorname{sen}\theta;\ a_A\left(1 - \tfrac12\cos\theta\right)\right) \qquad \theta = 50^{\circ}

Diagrama de B. Peso $m_B g$ , normal $N_B$ perpendicular a la rampa y $2T$ hacia arriba de la rampa, porque su polea es móvil:

-2T\operatorname{sen}\theta + N_B\cos\theta = m_B\,\tfrac12 a_A\operatorname{sen}\theta

2T\cos\theta + N_B\operatorname{sen}\theta - m_B g = m_B\,a_A\left(1-\tfrac12\cos\theta\right)

Diagrama de A, con la rampa soldada. Sobre la polea el cable tira con $T$ hacia el techo y con $T$ hacia abajo de la rampa; el anclaje añade otro $T$ hacia abajo de la rampa. En total el cable aporta $T(2\operatorname{sen}\theta;\ 1-2\cos\theta)$ . Con la reacción de $B$ :

P - m_A g + T\left(1-2\cos\theta\right) - N_B\operatorname{sen}\theta = m_A\,a_A

Resolviendo. Con $m_A = 3/9{,}81 = 0{,}30581$ kg y $m_B = 0{,}8/9{,}81 = 0{,}081549$ kg:

a_A = 4{,}101\ \text{m/s}^{2} \qquad T = 0{,}281\ \text{N} \qquad N_B = 0{,}869\ \text{N}

y la guía hace sobre el collarín $N_A = 0{,}128$ N en horizontal. La colección publica $T = 0{,}28$ N y la resolución del curso, $T = 0{,}281$ N con $a_A = 4{,}1\ \text{m/s}^{2}$ y $N_B = 0{,}869$ N, que es exactamente lo que sale aquí.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.8 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. Discrepancia declarada: el enunciado dice plano vertical y con él salen 27,4 N, que es lo que también obtiene la resolución del curso; los 23 N impresos en la hoja de resultados son el caso del plano horizontal, que esa misma resolución cifra en 22,5 N. Se publica el valor que dan los datos y el impreso queda como distractor. La aceleración tangencial, 64,6 metros por segundo al cuadrado, coincide con la publicada.

La deslizadera del muelle en una varilla circular

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una deslizadera de 0,5 kg está unida a un resorte y se desliza sin fricción a lo largo de una varilla circular en un plano vertical. El resorte tiene una longitud no deformada de 150 mm y una constante $K = 200\ \text{N/m}$ . Sabiendo que la deslizadera tiene una velocidad de $3\ \text{m/s}$ al pasar por el punto $B$ , determine en este instante la aceleración tangencial de la deslizadera y la fuerza de la varilla sobre la deslizadera.

La aceleración tangencial en B y la fuerza que la varilla hace sobre la deslizadera.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $B$ , el punto más bajo, ¿cómo son las direcciones tangencial y normal, y qué proyecta cada fuerza sobre ellas?
02
La aceleración tangencial en B
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración tangencial de la deslizadera al pasar por $B$ ?
Tu respuesta al paso 2una aceleración, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza de la varilla
COMP2
En el plano vertical que dice el enunciado, ¿cuánto vale la fuerza que la varilla hace sobre la deslizadera?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La distancia $DB$ vale $\sqrt{300^{2}+125^{2}} = 325$ mm, así que el muelle está estirado 175 mm y tira con 35 N.
2. En la tangente, horizontal, $F\cos\theta = m\,a_t$ da $a_t = 64{,}6\ \text{m/s}^{2}$ .
3. En la normal, hacia arriba, $N + F\operatorname{sen}\theta - m g = m v^{2}/R$ da $N = 27{,}44$ N.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.9 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica los tres resultados y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo. La figura de la colección no rotula el ángulo de OA con la horizontal; la resolución del curso lo fija en 30 grados, que es lo que exigen los tres resultados publicados, y así se ha redibujado.

La partícula cuya cuerda tropieza con un clavo a mitad de camino

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La partícula $B$ de masa $m$ se suelta desde el reposo cuando la cuerda $OB$ está en la posición horizontal. Inicialmente, $B$ gira en torno a $O$ y posteriormente en torno a $A$ . Determinar:

a. Fuerza en la cuerda justo antes de tocar $A$

b. Fuerza en la cuerda inmediatamente después de tocar $A$ .

c. Velocidad de la partícula cuando $\theta = 90^{\circ}$ .

La tensión antes y después de tocar el clavo, y la velocidad con la cuerda vertical.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el instante en que la cuerda apoya en el clavo $A$ , ¿qué cambia y qué no?
02
La tensión justo antes de tocar el clavo
COMP2
Justo antes de que la cuerda toque $A$ , ¿cuánto vale la tensión, en múltiplos de $m\,g$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, en múltiplos de mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La tensión justo después
COMP2
Inmediatamente después de que la cuerda apoye en $A$ , ¿cuánto vale la tensión, en múltiplos de $m\,g$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, en múltiplos de mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad con la cuerda vertical
COMP2
Cuando $\theta = 90^{\circ}$ , es decir con el tramo $AB$ vertical, ¿cuál es la velocidad de la partícula?
Tu respuesta al paso 4una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La cuerda no trabaja y no hay rozamiento, así que $v^{2} = 2gh$ en cualquier posición, con $h$ la bajada desde la horizontal.
2. Al llegar a la recta OA la partícula ha bajado $R\operatorname{sen}30^{\circ}$ , y $T = mg\operatorname{sen}30^{\circ} + mv^{2}/R = 1{,}5mg$ .
3. El clavo no cambia la velocidad pero reduce el radio a $R/2$ , así que $T$ pasa a $mg\operatorname{sen}30^{\circ} + mv^{2}/(R/2) = 2{,}5mg$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.10 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica los tres resultados y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo.

Dos bloques apilados en un plano inclinado con rozamiento

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el instante $t = 0$ los bloques $A$ y $B$ están en reposo. Calcular:

a. Las aceleraciones de $A$ y $B$ en cualquier instante.

b. Distancia recorrida por el bloque $A$ sobre el bloque $B$ , después de que el bloque $A$ haya recorrido 0,2 m sobre el plano inclinado.

Datos: $m_A = 20\ \text{kg}$ , $m_B = 30\ \text{kg}$ , $F = 500\ \text{N}$ , $\mu_{A-B} = 0{,}4$ , $\mu_{B-plano} = 0{,}1$ .

Las aceleraciones de A y de B y el desplazamiento de A sobre B.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuánto vale la normal entre $A$ y $B$ , y cuánto la de $B$ contra el plano?
02
La aceleración del bloque A
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración de $A$ a lo largo del plano?
Tu respuesta al paso 2una aceleración, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La aceleración del bloque B
COMP2
¿Y la de $B$ ?
Tu respuesta al paso 3una aceleración, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Lo que A avanza sobre B
COMP2
Cuando $A$ ha recorrido 0,2 m sobre el plano, ¿cuánto ha recorrido sobre $B$ ?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Perpendicularmente al plano no hay aceleración: $N_{AB} = m_A g\cos 10^{\circ} = 193{,}3$ N y $N_{BP} = N_{AB} + m_B g\cos 10^{\circ} = 483{,}2$ N.
2. Para A, $F + m_A g\operatorname{sen}10^{\circ} - \mu_{AB}N_{AB} = m_A a_A$ , y sale $a_A = 22{,}84\ \text{m/s}^{2}$ .
3. Para B, el rozamiento de A lo arrastra y el del plano lo frena, y sale $a_B = 2{,}67\ \text{m/s}^{2}$ ; como las dos son constantes, $x_{A/B} = x_A(1-a_B/a_A) = 0{,}177$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.11 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica la fórmula del resultado y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo. Como la respuesta es simbólica, las casillas piden el valor numérico con los datos de prueba que se declaran en cada pregunta, y un coeficiente adimensional.

La soga doblada cuyo extremo libre se suelta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El extremo libre de una soga se suelta del reposo en la situación a). Determinar la velocidad $v$ del trozo de soga móvil en función de $y$ en la situación b). ¿Qué sucede en la situación c) cuando $y = L$ ?

La velocidad del trozo móvil en función de y, y qué ocurre cuando y vale L.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la situación b), ¿qué parte de la soga se mueve y qué longitud tiene?
02
La velocidad con unos valores de prueba
COMP2
Con los valores de prueba $L = 2\ \text{m}$ , $y = 1\ \text{m}$ y $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale $v$ ?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El coeficiente en la mitad del recorrido
COMP2
Escribiendo la velocidad en $y = L/2$ como $v = k\sqrt{g\,L}$ , ¿cuánto vale el coeficiente $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidades — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con densidad lineal $\lambda = m/L$ , el ramal móvil mide $(L-y)/2$ y el fijo, $(L+y)/2$ .
2. Sumando las energías potenciales de los dos ramales, la energía liberada al pasar de $y=0$ a $y$ vale $\lambda g\,\dfrac{y}{2}\left(L-\dfrac{y}{2}\right)$ .
3. Toda esa energía se la lleva el ramal móvil, $\tfrac12\lambda\dfrac{L-y}{2}v^{2}$ , y despejando sale $v = \sqrt{2gy\,\dfrac{L-0{,}5y}{L-y}}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.12 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica los dos resultados y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo.

La pista y el tiempo que necesita un avión con resistencia cuadrática

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los motores de un avión de masa $25\cdot 10^{3}$ kg le provocan una empuje de 40 kN. La fuerza de resistencia del aire tiene un módulo $D = 2{,}25v^{2}$ , siendo $v$ (m/s) y $D$ (N). Si el avión empieza el vuelo con 240 km/h:

a. ¿Qué longitud de la pista de aterrizaje será necesaria?

b. ¿Cuánto tiempo necesitará para despegar?

La longitud de pista y el tiempo hasta alcanzar los 240 km/h.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué no vale aquí la fórmula $v^{2} = 2\,a\,x$ del movimiento uniformemente acelerado?
02
La longitud de pista
COMP2
¿Qué longitud de pista necesita el avión para alcanzar los 240 km/h?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El tiempo de carrera
COMP2
¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar esa velocidad?
Tu respuesta al paso 3un tiempo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La fuerza neta es $F - Kv^{2}$ con $K = 2{,}25$ , así que la aceleración no es constante y hay que integrar.
2. Para la distancia se escribe $a = v\,dv/dx$ , y la integral da $x = \dfrac{m}{2K}\ln\dfrac{1}{1-Kv^{2}/F} = 1598$ m.
3. Para el tiempo se escribe $a = dv/dt$ , y la integral da $t = 45{,}8$ s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.13 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica los cinco resultados y contra ellos está contrastado este desarrollo; los tres casos salen exactos. En la resolución del curso el caso a aparece como 1,5 metros por segundo, que no reproduce ningún reparto de masas del enunciado, y la hoja de resultados rotula el tercer caso como b en lugar de c.

Los dos bañistas que saltan de la popa de una barca

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los bañistas $A$ y $B$ tienen unas masas de 75 kg y 50 kg respectivamente. Realizan un salto desde la popa de la barca con una velocidad relativa respecto de la barca de valor 3 m/s en dirección horizontal. Si la barca está en reposo, se pide determinar la velocidad final de la barca en los siguientes tres casos:

a. Los dos bañistas saltan a la vez

b. Primero salta $A$ y después $B$ .

c. Primero salta $B$ y después $A$

La velocidad final de la barca en los tres casos, en metros por segundo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se conserva durante cada salto, y qué significa que la velocidad sea relativa a la barca?
02
Los dos a la vez
COMP2
Si los dos bañistas saltan a la vez, ¿qué velocidad final coge la barca?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
Primero A y después B
COMP2
Si salta primero $A$ y después $B$ , ¿con qué velocidad se queda finalmente la barca?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Primero B y después A
COMP2
Y si salta primero $B$ y después $A$ , ¿cuál es la velocidad final de la barca?
Tu respuesta al paso 4una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En horizontal no hay fuerzas exteriores, así que en cada salto se conserva el momento lineal del conjunto; las velocidades hay que escribirlas respecto del suelo.
2. Saltando a la vez, $0 = (m_A+m_B)(v_C+v_r) + m_C v_C$ y la barca queda a $1{,}154$ m/s.
3. Por separado la barca queda más rápida — $1{,}292$ m/s si va primero A y $1{,}280$ si va primero B—, porque en el segundo salto la masa que queda a bordo es menor.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.14 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica los dos resultados y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo.

El barco remolcado y la potencia de los remolcadores

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La fuerza de rozamiento entre un barco y el agua viene dada por la siguiente expresión $F = K\cdot v^{1,75}$ , donde $k$ es una constante y $v$ la velocidad del barco. Un único remolcador puede llemar el barco a una velociad de 4,5 km/h, haciendo una fuerza constante de 300 kN.

Determinar:

a. Potencia desarrollada por el remolcador

b. La velocidad del barco, si se unen dos remolcadores de la potencia calculada en a).

La potencia del remolcador y la velocidad con dos remolcadores iguales.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con dos remolcadores de la misma potencia, ¿qué es lo que se duplica y qué no?
02
La potencia del remolcador
COMP2
¿Qué potencia desarrolla el único remolcador?
Tu respuesta al paso 2una potencia, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad con dos remolcadores
COMP2
Con dos remolcadores de esa misma potencia, ¿a qué velocidad se mueve el barco?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A velocidad constante la aceleración es nula, así que el tiro del remolcador iguala a la resistencia del agua.
2. $P = F v = 300 \cdot 1{,}25 = 375$ kW, y de $F = K v^{1{,}75}$ sale $K = 203015$ .
3. Con dos remolcadores, $2P = K v^{2{,}75}$ y $v = 1{,}608$ m/s, o sea $5{,}79$ km/h.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 9.15 · Tema 9, «Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica los dos resultados y el curso publica su resolución; contra los dos está contrastado este desarrollo. En la resolución del curso, la ecuación de la normal de B lleva escrito por error la masa de A, aunque su fórmula final y su resultado usan la de B, que es lo correcto.

Dos bloques en superficies perpendiculares unidos por una polea móvil

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los bloques $A$ y $B$ están sobre dos superficies que forman entre sí $90^{\circ}$ .

Determinar la aceleración de los bloques y la fuerza de la soga, estando los bloques al inicio en reposo.

Datos: $\mu_s = 0{,}25$ ; $\mu_k = 0{,}20$ ; $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ ; $m_A = 100\ \text{kg}$ ; $m_B = 150\ \text{kg}$ ; $\beta = 20^{\circ}$ .

Las aceleraciones de los dos bloques y la fuerza de la soga.

01
Reconocer el camino
COMP1
$B$ cuelga de una polea móvil por la que pasa la soga que viene de $A$ . ¿Qué relación hay entre las dos aceleraciones y qué tensión soporta $B$ ?
02
La aceleración de B
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración de $B$ a lo largo de su superficie?
Tu respuesta al paso 2una aceleración, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza de la soga
COMP2
¿Cuánto vale la tensión $T$ de la soga?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se comprueba primero que arranca: con $\mu_s = 0{,}25$ , B pediría $T = 628{,}5$ N y A solo aguanta $566{,}0$ N, así que el sistema se mueve y a partir de ahí manda $\mu_k$ .
2. Las normales salen del equilibrio perpendicular: $N_A = m_A g\cos\beta = 921{,}8$ N y $N_B = m_B g\operatorname{sen}\beta = 503{,}3$ N.
3. Con $a_A = 2a_B$ y $2T$ sobre B, las dos ecuaciones dan $a_B = 0{,}4405\ \text{m/s}^{2}$ , $a_A = 0{,}881\ \text{m/s}^{2}$ y $T = 608$ N.

Resolución completa

Primero, ¿se mueve? Con los bloques en reposo manda $\mu_s = 0{,}25$ . Si el sistema aguantara, $A$ podría resistir como mucho $T = \mu_s m_A g\cos\beta + m_A g\operatorname{sen}\beta = 566{,}0$ N, mientras que $B$ exigiría $2T = m_B g\cos\beta - \mu_s m_B g\operatorname{sen}\beta$ , o sea $T = 628{,}5$ N. Como se pide más de lo que se aguanta, el sistema arranca y a partir de ahí el rozamiento es el dinámico, $\mu_k = 0{,}20$ .

La ligadura. La soga pasa por la polea fija de la esquina, rodea la polea móvil de $B$ y se ancla en la segunda cara. $B$ recibe dos ramales, $2T$ , y se desplaza la mitad que $A$ :

x_A = 2x_B \;\Longrightarrow\; a_A = 2a_B

Las normales. Las dos caras son perpendiculares, así que lo que en una es coseno en la otra es seno:

N_A = m_A g\cos\beta = 921{,}84\ \text{N} \qquad N_B = m_B g\operatorname{sen}\beta = 503{,}28\ \text{N}

Las ecuaciones. $A$ sube por su plano tirado por la soga; $B$ baja por el suyo:

T - \mu_k N_A - m_A g\operatorname{sen}\beta = m_A a_A = 2 m_A a_B

m_B g\cos\beta - \mu_k N_B - 2T = m_B a_B

Eliminando $T$ :

a_B = \frac{m_B g\left(\cos\beta - \mu_k\operatorname{sen}\beta\right) - 2m_A g\left(\operatorname{sen}\beta + \mu_k\cos\beta\right)}{4m_A + m_B} = \frac{242{,}31}{550} = 0{,}4406\ \text{m/s}^{2}

a_A = 0{,}8812\ \text{m/s}^{2} \qquad T = m_A a_A + m_A g\left(\mu_k\cos\beta + \operatorname{sen}\beta\right) = 608{,}0\ \text{N}

Los resultados publicados son $T = 608{,}0$ N y $a_B = 0{,}4405\ \text{m/s}^{2}$ con $a_A = 2a_B$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Magnitudes y teoremas fundamentales de la dinámica

Las leyes de Newton y el sistema de partículas

Las magnitudes

Los tres teoremas

El principio de D’Alembert

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

La velocidad al tocar el muelle

La compresión máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La nueva velocidad

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión del hilo

La velocidad de giro

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La energía cinética del sistema

La componente y del momento angular en G

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La altura que sube la carga

El avance horizontal

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de rozamiento

La velocidad de vuelta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El trabajo que hace el suelo

La velocidad tras 80 mm

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La fuerza de tracción

La potencia

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración del collarín

La fuerza del cable

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración tangencial en B

La fuerza de la varilla

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión justo antes de tocar el clavo

La tensión justo después

La velocidad con la cuerda vertical

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración del bloque A

La aceleración del bloque B

Lo que A avanza sobre B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad con unos valores de prueba

El coeficiente en la mitad del recorrido

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La longitud de pista

El tiempo de carrera

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Los dos a la vez

Primero A y después B

Primero B y después A

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La potencia del remolcador

La velocidad con dos remolcadores

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración de B

La fuerza de la soga

Justificar el argumento