Preparar el examen del bloque 2, Cinemática y Dinámica

Derivar un vector que gira, que es lo que hay debajo de todo

no puntúa — está dentro de todos2 escalones

No cae solo — está dentro de las 3

Nada por sí mismo: es la operación que aparece dentro de cada ejercicio del bloque, desde la aceleración de Coriolis hasta el momento que piden los cojinetes.

No ocupa hueco propio en ninguno de los tres exámenes, y por eso su recuento es cero. Está dentro de todos: la aceleración complementaria del tema 7, la derivada del momento angular del 10 y el par que sostiene un rotor desequilibrado del 11 son el mismo cálculo con otro nombre.

Un vector de módulo constante que gira tiene derivada

A escribir la derivada de un vector en ejes que giran, que es de donde salen Coriolis, el término de Boure y los pares que no se ven.

leerEl campo de aceleraciones

El error típico que sigue al apartado es exactamente este: tomar la aceleración angular como la derivada del módulo cuando el eje de giro también cambia de dirección.

ejemploUna deslizadera en una varilla que gira, y la aceleración de Coriolis
El ejemplo de entrada, con los cuatro términos de la aceleración separados y la de Coriolis valiendo el doble que el arrastre.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una deslizadera en una varilla que gira, y la aceleración de Coriolis

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una varilla gira en un plano horizontal alrededor de su extremo fijo $O$ con velocidad angular constante $\omega = 2\ \text{rad/s}$ . Por ella corre una deslizadera que se aleja de $O$ a velocidad constante de 1 m/s respecto de la varilla. En el instante en que está a 0,5 m de $O$ , calcular la aceleración de Coriolis y el módulo de la aceleración absoluta de la deslizadera.

La aceleración de Coriolis y el módulo de la aceleración absoluta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántos términos tiene la aceleración absoluta de la deslizadera en ese instante?
02
La aceleración de Coriolis
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración de Coriolis, en m/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración absoluta
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de la aceleración absoluta, en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El arrastre es el de un punto pegado a la varilla: centrípeta, $\omega^{2} r = 2$ m/s², hacia $O$ .
2. La relativa es nula, porque la deslizadera se aleja a velocidad constante respecto de la varilla.
3. Coriolis vale $2\,\omega\,v_r = 4$ m/s², perpendicular a la varilla, y el total es $\sqrt{20} = 4{,}47$ m/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Separas los cuatro términos de la aceleración de un punto que se mueve sobre un sólido que gira, sin mirar la fórmula.

Lo mismo, en dinámica: por qué hace falta un par sin acelerar

A ver que un momento angular que no va en la dirección del giro exige un par aunque la velocidad angular no cambie.

leerEl momento angular y el tensor de inercia

ejemploEl momento que pide una barra que gira inclinada

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El momento que pide una barra que gira inclinada

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra delgada y homogénea de 1 m y 2 kg gira con velocidad angular constante $\omega = 5\ \text{rad/s}$ alrededor de un eje vertical que pasa por su centro $G$ , formando un ángulo constante de 30° con la horizontal. Calcular el momento que hay que aplicarle para mantener ese movimiento.

El momento necesario para que la barra siga girando así.

01
Reconocer el camino
COMP1
La velocidad angular es constante. ¿Hace falta algún momento?
02
El momento necesario
COMP2
¿Cuánto vale el momento necesario, en N·m?
Tu respuesta al paso 2un número, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En ejes principales de la barra, a lo largo de ella $I \approx 0$ y perpendicular $I = ML^{2}/12 = 0{,}167$ kg·m².
2. Solo la componente de $\vec{\omega}$ perpendicular a la barra da momento angular, así que $\vec{H}_G$ es perpendicular a la barra.
3. Con $\omega$ constante, $d\vec{H}_G/dt = \vec{\omega} \times \vec{H}_G$ , de módulo $5 \cdot 0{,}361 = 1{,}80$ N·m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Explicas con una barra inclinada por qué los cojinetes de un rotor desequilibrado sufren aunque gire a velocidad constante.

lo tienes cuando:

Sabes decir, ante cualquier vector que cambia de dirección, qué parte de su derivada viene de que cambie de módulo y qué parte de que gire.

Movimiento plano, que es lo que más cae

cae en los tres — 4 de los 15 huecos2 escalones

Cae 3 de 3 años

Velocidades y aceleraciones angulares de mecanismos, el centro instantáneo con su base y su velocidad de sucesión, y la rodadura de un disco sobre otro.

Cuatro de los quince huecos contados, y aparece en los tres exámenes: el mecanismo de barras de junio de 2018, la velocidad de sucesión y la rodadura de un disco sobre otro en mayo de 2019, y las angulares del cuadrilátero en junio de 2019.

El CIR, y las velocidades angulares que salen de él

A situar el centro instantáneo de cada barra y a leer de ahí todas las velocidades, que es como caen los apartados a de estos exámenes.

leerEl centro instantáneo de rotación

El simulador del tema deja girar la manivela y ver el rastro que el centro va dejando, que es la base.

ejemploLa velocidad de la deslizadera de una biela-manivela
prácticaVelocidad y aceleración angular de dos barras en cadena
Dos barras en cadena, que es el formato exacto del cuadrilátero articulado de junio de 2019.
prácticaLa deslizadera de una barra movida por una manivela

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La velocidad de la deslizadera de una biela-manivela

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un mecanismo biela-manivela, la manivela $OA$ mide 0,1 m y gira alrededor de $O$ a 10 rad/s en sentido antihorario. La biela $AB$ mide 0,3 m, y su extremo $B$ desliza por una guía horizontal que pasa por $O$ . En el instante en que la manivela forma 45° con la horizontal, calcular la velocidad angular de la biela y la velocidad de $B$ .

La velocidad angular de la biela y la velocidad de la deslizadera.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde está el centro instantáneo de rotación de la biela?
02
La velocidad angular de la biela
COMP2
El CIR queda en $I = (0{,}362;\ 0{,}362)$ m, a 0,412 m de $A$ . ¿Cuánto vale la velocidad angular de la biela, en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de B
COMP2
¿A qué velocidad va la deslizadera, en m/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $v_A = 10 \cdot 0{,}1 = 1$ m/s, perpendicular a la manivela; $v_B$ es horizontal.
2. El CIR de la biela está donde se cortan la recta $OA$ y la vertical por $B$ , a 0,412 m de $A$ y 0,362 m de $B$ .
3. $\omega_{AB} = 1/0{,}412 = 2{,}43$ rad/s y $v_B = 2{,}43 \cdot 0{,}362 = 0{,}879$ m/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Resuelves un mecanismo de tres barras con CIR y compruebas el resultado por el campo de velocidades.

Las aceleraciones, y el punto de contacto que no está quieto

A aplicar el campo de aceleraciones en el plano y a no confundir velocidad nula con aceleración nula en el contacto de un disco.

leerLas aceleraciones en la rodadura

ejemploEl punto de contacto de un disco que rueda, quieto pero acelerado
prácticaLa aceleración de dos puntos de una escuadra articulada
prácticaUn disco en un plano inclinado unido a un engranaje
Un disco que rueda unido a un engranaje: la rodadura de un disco sobre otro es la cuestión 3 de mayo de 2019.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El punto de contacto de un disco que rueda, quieto pero acelerado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de radio $R = 0{,}3\ \text{m}$ rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal con velocidad angular constante $\omega = 10\ \text{rad/s}$ . Calcular la aceleración de su centro y la del punto del disco que en ese instante toca el suelo.

La aceleración del centro y la del punto de contacto.

01
Reconocer el camino
COMP1
El punto de contacto tiene velocidad nula en ese instante. ¿Y su aceleración?
02
La aceleración del centro
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración del centro, en m/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración del punto de contacto
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración del punto de contacto, en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El centro va en línea recta a velocidad constante, así que $a_O = 0$ .
2. Con $\alpha = 0$ , cada punto tiene solo la aceleración normal respecto del centro: $\omega^{2}$ por su distancia, hacia él.
3. El punto de contacto está a $R$ del centro, así que acelera $\omega^{2}R = 30$ m/s² hacia arriba.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Calculas la aceleración del punto de contacto de un disco que rueda y sabes decir hacia dónde apunta.

lo tienes cuando:

Colocas el CIR de cualquier barra de un mecanismo, sacas de él las velocidades angulares sin escribir una ecuación vectorial, y distingues la aceleración del punto de contacto de su velocidad, que es nula.

Cinemática del sólido y movimiento relativo

cae en los tres, casi siempre como teoría3 escalones

Cae 3 de 3 años

Campos de velocidades y aceleraciones en el espacio, componentes intrínsecas, movimiento relativo con Coriolis y el contacto entre dos sólidos: rodar, pivotar y deslizar.

Tres de los quince huecos, y dos de ellos son cuestiones de teoría —el contacto entre sólidos en junio de 2018 y las componentes intrínsecas en junio de 2019—, que es la forma en que este tema cae: se pregunta la definición, no solo el número.

Dos sólidos que se tocan: rodar, pivotar y deslizar

A descomponer la velocidad angular relativa en su parte de rodadura y su parte de pivotamiento, que es la cuestión de junio de 2018.

leerSólidos en contacto: rodar, pivotar, deslizar

ejemploLas velocidades de un disco que rueda sin deslizar
prácticaEl disco de una horquilla que gira, y su aceleración angular
Dos giros perpendiculares a la vez: es donde se ve que la velocidad angular se compone como un vector más.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Las velocidades de un disco que rueda sin deslizar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de radio $R = 0{,}3\ \text{m}$ rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal, girando con velocidad angular $\omega = 10\ \text{rad/s}$ en sentido horario, de modo que avanza hacia la derecha. Calcular la velocidad de su centro, la del punto más alto y la del punto delantero, en el extremo del radio horizontal.

Las velocidades del centro, del punto más alto y del punto delantero.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué punto del disco conviene usar como punto conocido del campo de velocidades?
02
La velocidad del centro
COMP2
¿A qué velocidad va el centro del disco?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad del punto más alto
COMP2
¿A qué velocidad va el punto más alto del disco?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La velocidad del punto delantero
COMP2
¿Y el punto delantero, en el extremo del radio horizontal?
Tu respuesta al paso 4una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al rodar sin deslizar, el punto de contacto tiene velocidad nula y el disco gira alrededor de él.
2. El centro, a distancia $R$ : $v_O = 3$ m/s. El punto más alto, a $2R$ : 6 m/s.
3. El punto delantero, a $R\sqrt{2}$ del contacto, va a 4,243 m/s, perpendicular a esa distancia.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Separas rodadura y pivotamiento en un contacto cualquiera y sabes cuál de las dos se anula al rodar sin deslizar.

Las componentes intrínsecas y el radio de curvatura

A partir la aceleración en tangencial y normal y a sacar el radio de curvatura de una trayectoria dada, que es la cuestión de junio de 2019.

leerEl campo de aceleraciones

nivel: practicaEjercicio 7.1 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. En el radio de curvatura publica 35,5 m y las dos comprobaciones nuestras dan 35,05 m, así que se publica 35,05 y se explica la diferencia.

Velocidad, componentes intrinsecas y radio de curvatura de una trayectoria

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuerpo se mueve sobre una trayectoria cuyo vector de posición es $\vec{r} = t^{2}\vec{i} + t\vec{j} + \vec{k}$ , siendo sus unidades metros. Calcular velocidad y aceleración con las dos componentes intrínsecas y el radio de curvatura de la trayectoria a los 2 segundos de iniciar el movimiento.

La velocidad, las componentes tangencial y normal de la aceleración y el radio de curvatura en t = 2 s.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se obtiene la componente tangencial de la aceleración?
02
La componente tangencial
COMP2
¿Cuánto vale $a_t$ en $t = 2\ \text{s}$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio de curvatura
COMP2
¿Cuánto vale el radio de curvatura en ese instante, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Derivando dos veces: $\vec{v} = 2t\vec{i}+\vec{j}$ y $\vec{a} = 2\vec{i}$ , constante.
2. En $t=2$ : $|\vec{v}| = \sqrt{17}$ y $a_t = \mathrm{d}|\vec{v}|/\mathrm{d}t = 8/\sqrt{17} = 1{,}94$ m/s².
3. $a_n = \sqrt{a^{2}-a_t^{2}} = 0{,}485$ m/s² y $\rho = v^{2}/a_n = 35{,}05$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Sacas ρ de una trayectoria en el espacio sin recordar la fórmula de memoria, partiendo de que la normal es lo que sobra de la total.

Un punto que se mueve sobre algo que gira

A montar el movimiento relativo con sus tres términos cuando el sólido de arrastre es un plano o una varilla que gira.

leerEl movimiento relativo de un punto

prácticaLa deslizadera de una varilla con giro acelerado, en polares
prácticaVelocidad y aceleración de B en un cuadro de barras que gira sobre AD
Un cuadro que gira alrededor de uno de sus lados: el formato del plano vertical girando de mayo de 2019.

Lo tienes cuando

Eliges los ejes de arrastre que simplifican el problema y justificas el signo del término de Coriolis.

lo tienes cuando:

Sabes explicar por escrito el movimiento entre dos sólidos en contacto y calcular la aceleración de un punto que se mueve sobre un sólido que gira, con su término de Coriolis.

Dinámica del sólido: momento angular y energía

3 de los 15 — y siempre hay que deducirlo2 escalones

Cae 3 de 3 años

El momento angular de un sólido con su tensor de inercia y la energía cinética en el caso general, casi siempre pedidas como definición razonada.

Tres de los quince huecos, y las tres veces como teoría de peso: el momento angular respecto de G en mayo de 2019, la energía cinética de un sólido en junio de 2019 y el apartado a del cilindro en junio de 2018.

El momento angular con el tensor de inercia

A escribir H_G en ejes solidarios, con los productos de inercia en su sitio y su signo, y a derivarlo con la fórmula de Boure.

leerEl momento angular y el tensor de inercia

nivel: practicaEjercicio 10.1 · Tema 10, «Dinámica del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y también se ha usado la resolución oficial del curso para comprobarlo. Los valores numéricos de las casillas son nuestros y se declaran en cada pregunta.

El disco de la horquilla, su energía cinética y su momento angular en O

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra un disco (d) de masa $m$ y radio $r$ , que gira con respecto a una horquilla (h) con velocidad angular $p$ . Esta horquilla conecta con un eje vertical y posee dos movimientos angulares $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ , con los sentidos mostrados. Calcular en el instante representado, donde el plano del disco $xy$ coincide con el plano $XY$ :

a) La energía cinética $T$ del disco.

b) Momento angular del disco respecto del punto $O$ .

La energía cinética del disco y su momento angular respecto de O, en función de m, r, b y las tres velocidades angulares.

01
Reconocer el camino
COMP1
En los ejes $xyz$ del dibujo, ligados al disco, ¿qué momentos de inercia hay que meter en el tensor?
02
La energía cinética del disco
COMP2
Con los valores de prueba $m = 2\ \text{kg}$ , $r = 0{,}2\ \text{m}$ , $b = 0{,}3\ \text{m}$ , $\omega_{1} = 3$ , $\omega_{2} = 4$ y $p = 10\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale $T$ , en julios?
Tu respuesta al paso 2un número, en J — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente vertical del momento angular en O
COMP2
Con los mismos valores, ¿cuánto vale la componente según $\vec{\jmath}$ (la vertical $y$ ) de $\vec{H}_O$ , en kg·m²/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en kg·m²/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el cálculo del momento angular en O. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En ejes principales del disco, $\vec{H}_G = -\tfrac14 mr^{2}\omega_{1}\vec{\imath} + \tfrac14 mr^{2}\omega_{2}\vec{\jmath} + \tfrac12 mr^{2}p\,\vec{k}$ .
2. El centro $G$ gira alrededor del eje vertical con $\omega_{2}$ a distancia $b$ , así que $\vec{v}_G = -\omega_{2}b\,\vec{k}$ .
3. El cambio de punto añade $\overrightarrow{OG} \times m\vec{v}_G = +m\omega_{2}b^{2}\,\vec{\jmath}$ , que suma a la componente vertical.

Resolución completa

El sólido y sus ejes. El disco tiene tres movimientos a la vez, y lo primero es sumarlos en una sola velocidad angular. En los ejes $xyz$ del dibujo, que son principales de inercia:

\vec{\omega}_d = -\omega_{1}\vec{\imath} + \omega_{2}\vec{\jmath} + p\,\vec{k} \qquad I_{Gx} = I_{Gy} = \tfrac14 m r^{2}, \quad I_{Gz} = \tfrac12 m r^{2}

a) La energía cinética. König: la traslación del centro más la rotación alrededor de él. El centro $G$ describe una circunferencia de radio $b$ alrededor del eje vertical, así que $v_G = \omega_{2}b$ :

T = \tfrac12 m \omega_{2}^{2}b^{2} + \tfrac12\left(\tfrac{mr^{2}}{4}\omega_{1}^{2} + \tfrac{mr^{2}}{4}\omega_{2}^{2} + \tfrac{mr^{2}}{2}p^{2}\right)

T = \frac{mr^{2}}{8}\left[\omega_{1}^{2} + \left(1+\frac{4b^{2}}{r^{2}}\right)\omega_{2}^{2} + 2p^{2}\right]

b) El momento angular en O. Primero en $G$ , con el tensor:

\vec{H}_G = -\tfrac14 mr^{2}\omega_{1}\vec{\imath} + \tfrac14 mr^{2}\omega_{2}\vec{\jmath} + \tfrac12 mr^{2}p\,\vec{k}

y después se cambia de punto con $\vec{H}_O = \vec{H}_G + \overrightarrow{OG} \times m\vec{v}_G$ . Con $\overrightarrow{OG} = b\,\vec{\imath}$ y $\vec{v}_G = -\omega_{2}b\,\vec{k}$ , ese producto vale $+m\omega_{2}b^{2}\vec{\jmath}$ :

\vec{H}_O = \frac{mr^{2}}{4}\left[-\omega_{1}\vec{\imath} + \left(1+\frac{4b^{2}}{r^{2}}\right)\omega_{2}\vec{\jmath} + 2p\,\vec{k}\right]

La comprobación. Con los valores de prueba del paso 2, $T = 3{,}69\ \text{J}$ y $H_{Oy} = 0{,}80\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}/\text{s}$ . Los dos salen igual sumando masa a masa sobre el disco discretizado, sin usar el tensor.

Un aviso sobre el signo. La resolución oficial del curso escribe en este apartado $\overrightarrow{GO}$ donde va $\overrightarrow{OG}$ y le sale un signo menos en la componente vertical. El resultado impreso en la colección lleva el signo más, que es el correcto: la vuelta que da el disco alrededor del eje vertical suma momento angular vertical, no lo resta.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Montas el tensor de un sólido sencillo y explicas por qué H no es paralelo a ω salvo en las direcciones principales.

La energía cinética de un sólido, caso general

A partir la energía en la del centro de gravedad más la de rotación, y a justificar de dónde sale esa separación.

leerLa energía cinética de un sólido

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La energía cinética de un disco que rueda

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco macizo y homogéneo de masa 4 kg rueda sin deslizar por un suelo horizontal, con su centro avanzando a 2 m/s. Calcular su energía cinética.

La energía cinética total del disco.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué se compone la energía cinética del disco?
02
La energía cinética total
COMP2
¿Cuánto vale la energía cinética del disco, en julios?
Tu respuesta al paso 2un número, en J — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La energía de traslación es $\tfrac12 M v_G^{2} = \tfrac12 \cdot 4 \cdot 4 = 8$ J.
2. Rodando sin deslizar, $\omega = v_G/R$ , y la de rotación es $\tfrac12 \cdot \tfrac{MR^{2}}{2}\,\omega^{2} = 4$ J.
3. La total es 12 J, y el radio no hace falta porque se simplifica.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Escribes la energía cinética de un sólido cualquiera y sabes qué término desaparece cuando hay un punto fijo.

lo tienes cuando:

Deduces por escrito H_G y la energía cinética de un sólido en el caso general, y sabes cuándo el tensor se reduce a un número.

Eje fijo: reacciones y equilibrado

solo 2 huecos — pero los dos de 3 puntos2 escalones

Cae 2 de 3 años

Las reacciones estáticas y dinámicas en los cojinetes de un sólido que gira, y las masas que hay que añadir en dos planos para equilibrarlo.

Dos de los quince huecos, pero los dos son ejercicio largo, no cuestión: el cilindro de junio de 2018 y la placa cuadrada de mayo de 2019, que además pide el equilibrado con dos masas en dos planos.

Las reacciones que solo existen porque gira

A calcular la parte de la reacción que viene del giro, que crece con ω² y gira con el rotor.

leerReacciones estáticas y dinámicas

ejemploUn milímetro de descentrado, y lo que tira del cojinete
prácticaLa placa cuadrada en voladizo sobre un eje horizontal
Es el ejercicio 2 del examen del 30 de mayo de 2019: la misma placa cuadrada soldada a un eje horizontal entre dos apoyos.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un milímetro de descentrado, y lo que tira del cojinete

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un rotor de 10 kg gira a velocidad constante de 300 rad/s alrededor de un eje fijo, pero su centro de gravedad está a 1 mm del eje. Calcular la resultante de las reacciones dinámicas en los cojinetes, y la masa que habría que añadir a 0,1 m del eje, en el mismo plano que $G$ , para equilibrarlo estáticamente.

La fuerza dinámica sobre los cojinetes y la masa de equilibrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con la velocidad angular constante, ¿por qué hay reacciones dinámicas?
02
La fuerza dinámica
COMP2
¿Cuánto vale la resultante de las reacciones dinámicas, en N?
Tu respuesta al paso 2un número, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La masa de equilibrado
COMP2
¿Qué masa hay que añadir a 0,1 m del eje, en el lado opuesto a $G$ , en kg?
Tu respuesta al paso 3un número, en kg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $G$ gira alrededor del eje a 1 mm, con aceleración centrípeta $\omega^{2} e = 90$ m/s².
2. Por el teorema del momento lineal, los cojinetes dan $M\,\omega^{2} e = 900$ N, que giran con el rotor.
3. Para equilibrarlo, $M\,e = m\,r$ : una masa de 0,1 kg a 0,1 m, en el lado opuesto a $G$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Das las dos reacciones por separado y sabes cuál de las dos gira con el eje.

Equilibrar con dos masas en dos planos

A imponer las cuatro condiciones del equilibrado —el centro de gravedad en el eje y los dos productos de inercia nulos— y a repartirlas entre dos planos.

leerCómo se equilibra: añadiendo masas

ejemploEl par que carga los cojinetes con el centro de gravedad en el eje
El caso que explica por qué no basta con el centro de gravedad en el eje.
prácticaLa muela mal montada, y las dos masas que la equilibran
prácticaDos cuadrados en planos perpendiculares, y las dos masas que los equilibran

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El par que carga los cojinetes con el centro de gravedad en el eje

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un eje horizontal de masa despreciable gira a 50 rad/s entre dos cojinetes $A$ y $B$ separados 0,6 m. Lleva dos masas de 0,1 kg a 0,2 m del eje, en lados opuestos: una a 0,2 m de $A$ y la otra a 0,4 m de $A$ . Calcular las reacciones dinámicas en los cojinetes.

Las reacciones dinámicas en A y en B.

01
Reconocer el camino
COMP1
El centro de gravedad del conjunto está en el eje. ¿Hay reacciones dinámicas?
02
La fuerza de cada masa
COMP2
¿Con qué fuerza tira cada masa hacia fuera, en N?
Tu respuesta al paso 2un número, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La reacción en cada cojinete
COMP2
¿Cuánto vale la reacción dinámica en cada cojinete, en N?
Tu respuesta al paso 3un número, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada masa tira hacia fuera con $m\,r\,\omega^{2} = 50$ N, y como están en lados opuestos, la resultante es nula.
2. Pero están en planos separados 0,2 m, así que forman un par de 10 N·m.
3. Los cojinetes lo equilibran con dos fuerzas opuestas de $10/0{,}6 = 16{,}7$ N, que giran con el eje.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Colocas dos masas en dos planos dados y compruebas que anulan a la vez la resultante y el par.

lo tienes cuando:

Separas la reacción estática de la dinámica en cada cojinete y colocas las dos masas de equilibrado con su posición y su plano.

Dinámica del movimiento plano

7 de los 10 puntos de junio de 20192 escalones

Cae 1 de 3 años

Aceleraciones angulares y reacciones de mecanismos con masa, y problemas de energía con un par constante aplicado.

Dos de los quince huecos, los dos en junio de 2019 y los dos de 3,5 puntos: el cuadrilátero articulado con su barra pesada y el mecanismo de dos barras al que se le aplica un par constante desde el reposo.

Las tres ecuaciones, y dónde tomar momentos

A resolver un mecanismo con masa planteando ΣF = M·a_G y ΣM = I·α, y a tomar momentos en el punto que elimina las incógnitas.

leerTomar momentos donde están las incógnitas

ejemploUn cilindro que rueda por un plano inclinado
prácticaLa barra ACB guiada por dos bloques
prácticaEl entramado articulado de tres barras
Tres barras con sus reacciones: el formato del cuadrilátero articulado de junio de 2019.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un cilindro que rueda por un plano inclinado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cilindro macizo y homogéneo de 2 kg rueda sin deslizar por un plano inclinado 30°. Tomando $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ , calcular la aceleración de su centro y el coeficiente de rozamiento mínimo para que no deslice.

La aceleración del centro y el rozamiento mínimo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué punto conviene tomar momentos para sacar la aceleración?
02
La aceleración del centro
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración del centro, en m/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El rozamiento mínimo
COMP2
¿Qué coeficiente de rozamiento mínimo hace falta para que no deslice?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en el contacto, con el sistema equivalente: $M g R \sin 30° = I_G\,\alpha + M a_G R$ .
2. Con $I_G = MR^{2}/2$ y $\alpha = a_G/R$ , $a_G = \tfrac23 g \sin 30° = 3{,}27$ m/s².
3. En $G$ , $F_r R = I_G\,\alpha$ , así que $F_r = \tfrac12 M a_G = 3{,}27$ N, y $\mu \ge 3{,}27/16{,}97 = 0{,}19$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Ante un mecanismo con dos barras sabes en qué punto tomar momentos para no arrastrar reacciones desconocidas.

El par constante, resuelto por energía

A usar el teorema de la energía cuando el enunciado da dos posiciones y un par constante, que es el ejercicio 2 de junio de 2019.

leerEl método de la energía

prácticaLa barra con muelle que desliza en dos ranuras
prácticaEnergía del disco con barra y resorte tras un cuarto de vuelta
Con muelle y disco: la energía es aquí mucho más corta que las tres ecuaciones.

Lo tienes cuando

Decides, mirando lo que pide el enunciado, si te conviene energía o las tres ecuaciones, y lo justificas.

lo tienes cuando:

Escribes las tres ecuaciones del movimiento plano de cada barra, tomas momentos donde te conviene sin olvidar el momento de M·a_G, y sabes cuándo sale más barato el teorema de la energía.

Los teoremas de la dinámica, que es la base de los dos anteriores

1 hueco — y está dentro de los otros2 escalones

Cae 1 de 3 años

El trabajo de una fuerza y la energía cinética de una partícula, deducidos, y los tres teoremas con sus condiciones de conservación.

Un solo hueco de los quince —la cuestión 2 de junio de 2018—, pero va aquí y no fuera porque los bloques de dinámica del sólido y de movimiento plano son este mismo teorema aplicado a un sólido: sin él, se estudian de memoria.

Los tres teoremas y cuándo se conserva cada magnitud

A elegir entre momento lineal, momento angular y energía según lo que el enunciado dé y lo que pida.

leerLos tres teoremas

ejemploUna partícula que gira atada a un hilo que se recoge
Una fuerza central: el momento angular se conserva y la energía no, que es la pareja que más se confunde.
prácticaLas magnitudes de un sistema de tres partículas

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una partícula que gira atada a un hilo que se recoge

paso 1 de 3

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una partícula gira sobre una mesa horizontal sin rozamiento, atada a un hilo que pasa por un agujero de la mesa. Cuando el radio es de 0,5 m, su velocidad es de 2 m/s. Se tira del hilo desde abajo hasta que el radio es de 0,25 m. Calcular la nueva velocidad.

La velocidad de la partícula con el radio reducido a la mitad.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué magnitud se conserva mientras se recoge el hilo?
02
La nueva velocidad
COMP2
¿Cuál es la velocidad con el radio de 0,25 m, en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión pasa siempre por el agujero, un punto fijo, así que su momento respecto de él es nulo.
2. Por el teorema del momento angular, $H_O = m\,r\,v$ se conserva: $0{,}5 \cdot 2 = 0{,}25\,v_2$ .
3. $v_2 = 4$ m/s, y la energía cinética se multiplica por cuatro, gracias al trabajo de quien tira del hilo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Justificas la conservación con la fuerza que la produce, no con la costumbre.

El trabajo de una fuerza y la energía cinética

A deducir W = ΔT para una partícula, que es literalmente lo que pide la cuestión de junio de 2018.

leerLas magnitudes

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un bloque que baja por un plano y comprime un muelle

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un bloque de 2 kg se suelta desde el reposo en un plano inclinado 30° sin rozamiento. Después de recorrer 1 m a lo largo del plano, toca un muelle de constante $k = 400\ \text{N/m}$ , paralelo al plano, y lo comprime hasta pararse. Tomando $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ , calcular la velocidad con la que toca el muelle y la compresión máxima.

La velocidad al tocar el muelle y la compresión máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué teorema conviene usar, y por qué?
02
La velocidad al tocar el muelle
COMP2
¿A qué velocidad toca el muelle, en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La compresión máxima
COMP2
¿Cuánto comprime el muelle, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Solo trabajan el peso y el muelle, los dos conservativos; la normal no trabaja. La energía mecánica se conserva.
2. Hasta el muelle baja $0{,}5$ m: $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}5} = 3{,}13$ m/s.
3. Hasta pararse baja $(1 + x)\sin 30°$ : $9{,}8\,(1 + x) = 200\,x^{2}$ y $x = 0{,}247$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Lo tienes cuando

Escribes la deducción entera sin copiarla, partiendo de la segunda ley y del producto escalar por el desplazamiento.

lo tienes cuando:

Deduces el teorema de la energía para una partícula y sabes decir, ante un problema, cuál de las tres magnitudes se conserva y por qué.

Preparar el examen del bloque 2, Cinemática y Dinámica

Derivar un vector que gira, que es lo que hay debajo de todo

Un vector de módulo constante que gira tiene derivada

Reconocer el camino

La aceleración de Coriolis

La aceleración absoluta

Justificar el argumento

Lo mismo, en dinámica: por qué hace falta un par sin acelerar

Reconocer el camino

El momento necesario

Justificar el argumento

Movimiento plano, que es lo que más cae

El CIR, y las velocidades angulares que salen de él

Reconocer el camino

La velocidad angular de la biela

La velocidad de B

Justificar el argumento

Las aceleraciones, y el punto de contacto que no está quieto

Reconocer el camino

La aceleración del centro

La aceleración del punto de contacto

Justificar el argumento

Cinemática del sólido y movimiento relativo

Dos sólidos que se tocan: rodar, pivotar y deslizar

Reconocer el camino

La velocidad del centro

La velocidad del punto más alto

La velocidad del punto delantero

Justificar el argumento

Las componentes intrínsecas y el radio de curvatura

Reconocer el camino

La componente tangencial

El radio de curvatura

Justificar el argumento

Un punto que se mueve sobre algo que gira

Dinámica del sólido: momento angular y energía

El momento angular con el tensor de inercia

Reconocer el camino

La energía cinética del disco

La componente vertical del momento angular en O

Justificar el argumento

La energía cinética de un sólido, caso general

Reconocer el camino

La energía cinética total

Justificar el argumento

Eje fijo: reacciones y equilibrado

Las reacciones que solo existen porque gira

Reconocer el camino

La fuerza dinámica

La masa de equilibrado

Justificar el argumento

Equilibrar con dos masas en dos planos

Reconocer el camino

La fuerza de cada masa

La reacción en cada cojinete

Justificar el argumento

Dinámica del movimiento plano

Las tres ecuaciones, y dónde tomar momentos

Reconocer el camino

La aceleración del centro

El rozamiento mínimo

Justificar el argumento

El par constante, resuelto por energía

Los teoremas de la dinámica, que es la base de los dos anteriores

Los tres teoremas y cuándo se conserva cada magnitud

Reconocer el camino

La nueva velocidad

Justificar el argumento

El trabajo de una fuerza y la energía cinética

Reconocer el camino

La velocidad al tocar el muelle

La compresión máxima

Justificar el argumento