Mecánica Aplicada · tema 07

Cinemática del sólido rígido

Cómo se mueve un sólido sin preguntar por qué: el campo de velocidades y el de aceleraciones, el movimiento relativo con Coriolis y el contacto entre sólidos, que rueda, pivota o desliza.

La cinemática describe el movimiento sin preguntar por sus causas: dónde está cada punto, a qué velocidad va y cómo cambia esa velocidad. Para una partícula basta con su trayectoria. Para un sólido rígido parece mucho más, porque cada uno de sus infinitos puntos se mueve a su manera; y resulta que no: basta con la velocidad de un punto y la velocidad angular del sólido, y todas las demás salen de ahí.

Si esa frase te suena, es por el tema 1. Un sistema de vectores quedaba descrito por la resultante y el momento en un punto, y el momento en cualquier otro salía del campo de momentos. Con el campo de velocidades pasa lo mismo, con la velocidad angular haciendo de resultante. El libro lo aprovecha entero, y aquí también.

El campo de velocidades

Si $A$ y $P$ son dos puntos del mismo sólido, la distancia entre ellos no cambia, así que lo único que puede hacer el vector $\overrightarrow{AP}$ es girar. De ahí sale la ecuación del campo de velocidades:

\vec{v}_P = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \overrightarrow{AP}

La velocidad de $P$ es la de $A$ —una traslación, como si todo el sólido fuera a la velocidad de $A$ — más la de un giro de $P$ alrededor de $A$ , perpendicular a $\overrightarrow{AP}$ . Y la velocidad angular $\vec{\omega}$ no depende del punto ni de los ejes que elijas: es una característica del sólido en ese instante.

Dos casos particulares que conviene reconocer a la primera:

traslación instantánea, $\vec{\omega} = \vec{0}$ : todos los puntos van a la misma velocidad;
rotación instantánea alrededor de $A$ , $\vec{v}_A = \vec{0}$ : todos los puntos giran alrededor de $A$ , con velocidad perpendicular a su radio.

El paralelismo con los sistemas de vectores

La ecuación del campo de velocidades es la del campo de momentos del tema 1 con otras letras. El libro lo escribe como una tabla de equivalencias:

sistemas de vectores (tema 1)	cinemática del sólido
resultante $\vec{R}$	velocidad angular $\vec{\omega}$
momento $\vec{M}_A$	velocidad $\vec{v}_A$
invariante escalar $\vec{M} \cdot \vec{R}$	$\vec{v}_A \cdot \vec{\omega}$
momento mínimo	velocidad de deslizamiento
eje central	eje instantáneo de rotación y deslizamiento

Así que todo lo que se hizo allí vale aquí. Los puntos de velocidad mínima forman una recta paralela a $\vec{\omega}$ , el eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIRD), y en él la velocidad es la velocidad de deslizamiento, paralela al eje. Y el invariante $\vec{v}_A \cdot \vec{\omega}$ clasifica el movimiento:

si no es nulo, el movimiento es helicoidal tangente: en ese instante, cada punto gira alrededor del EIRD y a la vez avanza a lo largo de él, como un tornillo;
si es nulo, no hay deslizamiento, y el movimiento es una traslación si $\vec{\omega} = \vec{0}$ , una rotación alrededor del eje instantáneo de rotación si $\vec{\omega} \neq \vec{0}$ , o el reposo instantáneo si además todo está parado.

Y una imagen del libro que da sentido a la palabra «instantáneo»: el EIRD cambia con el tiempo. Las posiciones que va ocupando en el espacio fijo forman una superficie, el axoide fijo; las que ocupa en el propio sólido, otra, el axoide móvil. El movimiento del sólido es el de su axoide móvil rodando sobre el fijo.

El campo de aceleraciones

Derivando el campo de velocidades aparece la aceleración angular $\vec{\alpha} = \dot{\vec{\omega}}$ , y el campo de aceleraciones:

\vec{a}_P = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \overrightarrow{AP} + \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \overrightarrow{AP} \right)

Los dos términos nuevos son las dos componentes de la aceleración de un giro: la tangencial, $\vec{\alpha} \times \overrightarrow{AP}$ , que existe si el giro se acelera, y la normal o centrípeta, $\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \overrightarrow{AP})$ , que apunta hacia el eje y existe siempre que haya giro.

La aceleración angular no es siempre la derivada del módulo

$\vec{\alpha}$ es la derivada del vector velocidad angular, y un vector cambia también si cambia de dirección. Un disco que gira a velocidad constante sobre un eje que a su vez gira —una rueda que toma una curva, el disco de una horquilla que rota— tiene aceleración angular aunque ningún giro se acelere: es $\vec{\omega}_1 \times \vec{\omega}_2$ , el producto de los dos giros. Buena parte de la colección de este tema son precisamente esos sistemas de dos giros, y ese término es el que decide el resultado.

El movimiento relativo de un punto

A veces el punto que interesa no pertenece al sólido: se mueve respecto de él, como una deslizadera que corre por una varilla que gira. Entonces su velocidad absoluta es

\vec{v}_P = \vec{v}_a + \vec{v}_r

la velocidad de arrastre —la que tendría $P$ si estuviera pegado al sólido en ese instante— más la velocidad relativa, la que se mide desde el sólido como si este estuviera quieto. Con las aceleraciones aparece un tercer término:

\vec{a}_P = \vec{a}_a + \vec{a}_r + \vec{a}_c \qquad \vec{a}_c = 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}_r

La aceleración complementaria o de Coriolis existe porque el sistema desde el que se mide el movimiento relativo está girando. No tiene nada de misterioso: es la suma de dos efectos iguales. El giro cambia la dirección de la velocidad relativa, y el movimiento relativo lleva el punto a zonas donde el arrastre es distinto. Cada uno aporta $\vec{\omega} \times \vec{v}_r$ ; de ahí el 2.

Una varilla que gira a 2 rad/s y una deslizadera que se aleja por ella a 1 m/s constante, en el instante en que está a 0,5 m del eje. La velocidad de arrastre es la de un punto pegado a la varilla, ω·r = 1 m/s; la relativa, 1 m/s a lo largo de ella. En aceleraciones, el arrastre es la centrípeta, 2 m/s² hacia O, y la de Coriolis, 2·ω·vr = 4 m/s², el doble, perpendicular a la varilla y en el sentido del giro.

El movimiento relativo entre dos sólidos

Con dos sólidos que se mueven a la vez, el movimiento de uno visto desde el otro también es el de un sólido rígido, con una velocidad angular relativa que es la diferencia de las dos:

\vec{\omega}_r = \vec{\omega}_2 - \vec{\omega}_1

En las aceleraciones relativas aparece un término complementario más, $\vec{\omega}_r \times \vec{\omega}_1$ , que el libro llama aceleración de Resal.

Sólidos en contacto: rodar, pivotar, deslizar

Cuando dos sólidos se tocan, sus puntos de contacto no pueden separarse ni atravesarse, así que la velocidad relativa entre ellos está en el plano tangente del contacto. Esa velocidad es la velocidad de deslizamiento.

La velocidad angular relativa se descompone a su vez en dos partes: la componente normal al plano tangente es la de pivotamiento —girar sobre el punto de contacto, como una peonza—, y la componente contenida en él es la de rodadura. Con eso se nombran los tres movimientos puros:

deslizamiento puro: hay velocidad de deslizamiento y no hay giro relativo;
pivotamiento puro: solo hay giro normal al plano, y el punto de contacto no desliza;
rodadura pura: solo hay giro en el plano, y el punto de contacto no desliza.

Es lo que pedía, en euskera, la primera cuestión de teoría del examen de dinámica de junio de 2018: explicar el movimiento entre dos sólidos en contacto, precisando la rodadura y el pivotamiento.

Rodar sin deslizar no deja quieto el punto de contacto para siempre

En la rodadura pura, el punto del disco que toca el suelo tiene velocidad cero en ese instante, y por eso sirve de centro instantáneo de rotación. Pero no está quieto: un instante después ya no toca el suelo, y su aceleración no es nula, apunta hacia el centro del disco. Usar el punto de contacto como centro de giro para las velocidades es correcto; usarlo para las aceleraciones como si fuera un punto fijo da resultados falsos.

Lo que hay que llevarse

Todo el campo de velocidades sale de un punto y la velocidad angular: $\vec{v}_P = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \overrightarrow{AP}$ .
Es el campo de momentos del tema 1: el eje central es el EIRD y el momento mínimo, la velocidad de deslizamiento.
Aceleraciones: $\vec{a}_A$ , más la tangencial $\vec{\alpha} \times \overrightarrow{AP}$ , más la centrípeta. $\vec{\alpha}$ incluye el cambio de dirección de $\vec{\omega}$ .
Movimiento relativo: arrastre más relativa, y en aceleraciones, además, Coriolis, $2\vec{\omega} \times \vec{v}_r$ .
En un contacto: la velocidad relativa es de deslizamiento; el giro relativo se parte en pivotamiento y rodadura.

Practica lo que acabas de leer

Las velocidades de un disco que rueda sin deslizar

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Las velocidades de un disco que rueda sin deslizar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de radio $R = 0{,}3\ \text{m}$ rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal, girando con velocidad angular $\omega = 10\ \text{rad/s}$ en sentido horario, de modo que avanza hacia la derecha. Calcular la velocidad de su centro, la del punto más alto y la del punto delantero, en el extremo del radio horizontal.

Las velocidades del centro, del punto más alto y del punto delantero.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué punto del disco conviene usar como punto conocido del campo de velocidades?
02
La velocidad del centro
COMP2
¿A qué velocidad va el centro del disco?
Tu respuesta al paso 2una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad del punto más alto
COMP2
¿A qué velocidad va el punto más alto del disco?
Tu respuesta al paso 3una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La velocidad del punto delantero
COMP2
¿Y el punto delantero, en el extremo del radio horizontal?
Tu respuesta al paso 4una velocidad, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al rodar sin deslizar, el punto de contacto tiene velocidad nula y el disco gira alrededor de él.
2. El centro, a distancia $R$ : $v_O = 3$ m/s. El punto más alto, a $2R$ : 6 m/s.
3. El punto delantero, a $R\sqrt{2}$ del contacto, va a 4,243 m/s, perpendicular a esa distancia.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una deslizadera en una varilla que gira, y la aceleración de Coriolis

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una varilla gira en un plano horizontal alrededor de su extremo fijo $O$ con velocidad angular constante $\omega = 2\ \text{rad/s}$ . Por ella corre una deslizadera que se aleja de $O$ a velocidad constante de 1 m/s respecto de la varilla. En el instante en que está a 0,5 m de $O$ , calcular la aceleración de Coriolis y el módulo de la aceleración absoluta de la deslizadera.

La aceleración de Coriolis y el módulo de la aceleración absoluta.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuántos términos tiene la aceleración absoluta de la deslizadera en ese instante?
02
La aceleración de Coriolis
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración de Coriolis, en m/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración absoluta
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de la aceleración absoluta, en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El arrastre es el de un punto pegado a la varilla: centrípeta, $\omega^{2} r = 2$ m/s², hacia $O$ .
2. La relativa es nula, porque la deslizadera se aleja a velocidad constante respecto de la varilla.
3. Coriolis vale $2\,\omega\,v_r = 4$ m/s², perpendicular a la varilla, y el total es $\sqrt{20} = 4{,}47$ m/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.1 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. En el radio de curvatura publica 35,5 m y las dos comprobaciones nuestras dan 35,05 m, así que se publica 35,05 y se explica la diferencia.

Velocidad, componentes intrinsecas y radio de curvatura de una trayectoria

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuerpo se mueve sobre una trayectoria cuyo vector de posición es $\vec{r} = t^{2}\vec{i} + t\vec{j} + \vec{k}$ , siendo sus unidades metros. Calcular velocidad y aceleración con las dos componentes intrínsecas y el radio de curvatura de la trayectoria a los 2 segundos de iniciar el movimiento.

La velocidad, las componentes tangencial y normal de la aceleración y el radio de curvatura en t = 2 s.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se obtiene la componente tangencial de la aceleración?
02
La componente tangencial
COMP2
¿Cuánto vale $a_t$ en $t = 2\ \text{s}$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio de curvatura
COMP2
¿Cuánto vale el radio de curvatura en ese instante, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Derivando dos veces: $\vec{v} = 2t\vec{i}+\vec{j}$ y $\vec{a} = 2\vec{i}$ , constante.
2. En $t=2$ : $|\vec{v}| = \sqrt{17}$ y $a_t = \mathrm{d}|\vec{v}|/\mathrm{d}t = 8/\sqrt{17} = 1{,}94$ m/s².
3. $a_n = \sqrt{a^{2}-a_t^{2}} = 0{,}485$ m/s² y $\rho = v^{2}/a_n = 35{,}05$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.2 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. La colección imprime 49,95 m y el cálculo exacto da 50,06 m; la diferencia es de redondeo y la casilla admite las dos.

El radio de curvatura de una trayectoria dada por sus tres coordenadas

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una partícula móvil sigue la trayectoria determinada por los siguientes coeficientes en metros: $x = 3t - 1$ ; $y = 5t^{2} - 8t - 4$ ; $z = 15t - 6t^{2} + 1$ . Calcular el radio de curvatura de la trayectoria a los 2 segundos de iniciar el movimiento.

El radio de curvatura de la trayectoria en t = 2 s.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué fórmula del radio de curvatura conviene aquí, con la trayectoria dada en coordenadas?
02
El módulo de la velocidad
COMP2
¿Cuánto vale $|\vec{v}|$ en $t = 2\ \text{s}$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El radio de curvatura
COMP2
¿Cuánto vale el radio de curvatura en ese instante, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Derivando: $\vec{v} = (3,\ 10t-8,\ 15-12t)$ y $\vec{a} = (0,\ 10,\ -12)$ .
2. En $t=2$ : $\vec{v} = (3,\ 12,\ -9)$ con $|\vec{v}| = \sqrt{234}$ , y $\vec{v}\times\vec{a} = (-54,\ 36,\ 30)$ .
3. $\rho = |\vec{v}|^{3}/|\vec{v}\times\vec{a}| = 50{,}06$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.3 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado —60 y 160 m/s, y −640 y 640 m/s²—, que sale de tomar una derivada del ángulo de 4 rad/s; con la ley del enunciado, theta igual a dos pi te al cuadrado, esa derivada vale 4 pi, así que aquí se publican los valores con pi y los impresos aparecen como distractores.

La deslizadera de una varilla con giro acelerado, en polares

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El movimiento de la varilla se rige a través de la siguiente ley: $\theta = 2\pi t^{2}$ , con el ángulo en radianes si el tiempo está en segundos. Por otro lado, la ecuación del movimiento de la deslizadera relativo a la varilla está gobernado por: $r = 60t^{2} - 20t^{3}$ , con r en metros y t en segundos. Cuando t = 1 s, calcular:

a) Velocidad de la deslizadera.

b) Aceleración de la deslizadera.

c) Aceleración respecto de la deslizadera.

La velocidad y la aceleración absolutas de la deslizadera en t = 1 s, y su aceleración relativa a la varilla.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $t = 1\ \text{s}$ la varilla ha dado una vuelta entera ( $\theta = 2\pi$ ). ¿Qué dirección tiene entonces la componente radial de la velocidad?
02
La velocidad radial
COMP2
¿Cuánto vale $\dot{r}$ en $t = 1\ \text{s}$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad transversal
COMP2
¿Cuánto vale $r\dot{\theta}$ en $t = 1\ \text{s}$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración radial
COMP2
¿Cuánto vale la componente radial de la aceleración, $\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 4un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t=1$ : $r = 40$ m, $\dot{r} = 60$ m/s, $\ddot{r} = 0$ , $\dot{\theta} = 4\pi$ rad/s y $\ddot{\theta} = 4\pi$ rad/s².
2. Velocidad: radial $\dot{r} = 60$ m/s y transversal $r\dot{\theta} = 160\pi$ m/s.
3. Aceleración: $a_r = -r\dot{\theta}^{2} = -640\pi^{2}$ y $a_\theta = r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta} = 640\pi$ , en m/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.4 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Velocidad y aceleración de B en un cuadro de barras que gira sobre AD

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Las barras AB, BC y CD unen rígidamente los puntos A y D. El sistema gira respecto al eje AD con una velocidad constante ω = 75 rad/s, siendo el sentido de rotación desde D hacia A. Determinar la velocidad y aceleración de B.

La velocidad y la aceleración del punto B.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace falta antes de aplicar el campo de velocidades?
02
La componente y de la velocidad de B
COMP2
Tomando $A$ como punto del eje, ¿cuánto vale la componente $y$ de $\vec{v}_B$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente x de la aceleración de B
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{a}_B$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. A y D están fijos, así que el sólido gira alrededor del eje AD: $\vec{v}_A = \vec{0}$ .
2. $\vec{\omega} = 75\,\overrightarrow{DA}/|DA| = -60\vec{i}+36\vec{j}+27\vec{k}$ rad/s.
3. $\vec{v}_B = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB} = 5{,}4\vec{j}-7{,}2\vec{k}$ y $\vec{a}_B = \vec{\omega}\times\vec{v}_B$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.5 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado simbólico, contra el que está contrastado el desarrollo. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

El disco de una horquilla que gira, y su aceleración angular

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de radio r gira a una velocidad angular constante ω₂ en torno a un eje horizontal Z. La barra vertical en horquilla unida a él tiene una velocidad de rotación constante ω₁, respecto al eje Y. Hallar:

a) Aceleración angular del disco.

b) Aceleración del punto P cuando θ = 0º.

c) Aceleración del punto P cuando θ = 90º.

La aceleración angular del disco y la aceleración de P en las dos posiciones.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos giros son de módulo constante. ¿Por qué la aceleración angular del disco no es nula?
02
La aceleración angular del disco
COMP2
Con los valores de prueba $\omega_1 = 3\ \text{rad/s}$ y $\omega_2 = 4\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale el módulo de $\vec{\alpha}$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración de P con θ = 90°
COMP2
Con $\omega_1 = 3$ , $\omega_2 = 4\ \text{rad/s}$ y $r = 0{,}5\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{a}_P$ en $\theta = 90^\circ$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{\omega} = \omega_1\vec{j}+\omega_2\vec{k}$ y $\vec{\alpha} = \vec{\omega}_1\times\vec{\omega}_2 = \omega_1\omega_2\vec{i}$ .
2. Con $\theta = 0$ , $\overrightarrow{OP} = r\vec{i}$ : la tangencial se anula y queda $\vec{a}_P = -r(\omega_1^{2}+\omega_2^{2})\vec{i}$ .
3. Con $\theta = 90^\circ$ , $\overrightarrow{OP} = r\vec{j}$ : $\vec{a}_P = -r\omega_2^{2}\vec{j} + 2r\omega_1\omega_2\vec{k}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.6 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado simbólico, contra el que está contrastado el desarrollo. Ojo: el enunciado llama R al radio de los discos y el resultado impreso lo llama r, reservando R para el semieje; aquí se mantiene la notación del resultado y las casillas dan los dos datos por separado.

Los dos discos de un eje que rueda describiendo un círculo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos discos de radio R (A) y (B) están montados sobre un eje AB de longitud 2R y ruedan sin deslizar sobre un plano horizontal. Si el eje gira con velocidad angular constante ω₁, determinar:

a) Velocidad angular del disco (A).

b) Aceleración angular del disco (A).

c) Aceleración del punto D.

d) Representar el EIRD indicando el axoide fijo y el axoide móvil.

La velocidad angular y la aceleración angular del disco A, y la aceleración del punto D.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué condición fija la velocidad de giro propio del disco A?
02
El giro propio del disco
COMP2
Con $\omega_1 = 2\ \text{rad/s}$ , $R = 0{,}3\ \text{m}$ y radio de disco $r = 0{,}2\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $x$ de $\vec{\omega}_A$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración del punto de contacto
COMP2
Con los mismos valores, ¿cuánto vale la componente $y$ de $\vec{a}_D$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. C está fijo, así que $\vec{v}_A = \vec{\omega}_1\times\overrightarrow{CA}$ , de módulo $\omega_1 R$ .
2. Rodadura: $\vec{v}_D = \vec{0}$ da el giro propio $\omega_1 R/r$ , y $\vec{\omega}_A = (\omega_1 R/r)\vec{i} + \omega_1\vec{j}$ .
3. $\vec{\alpha} = \vec{\omega}_1\times(\omega_1R/r)\vec{i} = -(\omega_1^{2}R/r)\vec{k}$ , y de ahí sale $\vec{a}_D$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.7 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El disco del brazo ABC, con dos giros perpendiculares

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de 6 m de radio de giro a una velocidad angular constante ω₂ = 4 rad/s con respecto al brazo ABC, que a su vez gira a una velocidad constante ω₁ = 3 rad/s con respecto al eje Y. Determinar:

a) Aceleración angular del disco.

b) Aceleración del punto D.

La aceleración angular del disco y la aceleración del punto D, el más alto del disco.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es el punto de referencia más cómodo para la aceleración de D?
02
La aceleración angular del disco
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{\alpha}$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente z de la aceleración de D
COMP2
¿Cuánto vale la componente $z$ de $\vec{a}_D$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{\omega} = 3\vec{j}+4\vec{k}$ y $\vec{\alpha} = \vec{\omega}_1\times\vec{\omega}_2 = 12\vec{i}$ rad/s².
2. C gira alrededor del eje Y a 24 m del eje en proyección: $\vec{a}_C = -9\,(15;\ 0;\ -9) = (-135;\ 0;\ 81)$ m/s².
3. Con $\overrightarrow{CD} = 6\vec{j}$ salen $\vec{\alpha}\times\overrightarrow{CD} = 72\vec{k}$ y $\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{CD}) = -96\vec{j}+72\vec{k}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.8 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El brazo de robot de dos giros con aceleración angular propia

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El brazo de robot de la figura mueve la esfera A a través de dos brazos. El brazo EH está soldado al eje vertical. El brazo HKG gira alrededor del eje EH. Calcular la velocidad y aceleración de A.

Datos: ω₁ = 0,2 rad/s; α₁ = 0,1 rad/s²; ω₂ = 0,4 rad/s; α₂ = 0,3 rad/s².

La velocidad y la aceleración de la esfera A.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos ejes de giro se cortan en E. ¿Qué permite eso?
02
La velocidad de la esfera
COMP2
¿Cuánto vale la componente $z$ de $\vec{v}_A$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración de la esfera
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{a}_A$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los dos ejes se cortan en E, que es punto fijo: $\vec{\omega} = 0{,}4\vec{i}+0{,}2\vec{j}$ rad/s.
2. $\vec{\alpha} = 0{,}3\vec{i}+0{,}1\vec{j}+\vec{\omega}_1\times\vec{\omega}_2 = (0{,}3;\ 0{,}1;\ -0{,}08)$ rad/s².
3. $\vec{v}_A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{EA} = -0{,}18\vec{k}$ m/s y $\vec{a}_A = \vec{\alpha}\times\overrightarrow{EA}+\vec{\omega}\times\vec{v}_A$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.9 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La placa cuadrada articulada en AB, con giro acelerado del eje

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una placa cuadrada de 450 mm de lado está articulada en los puntos A y B. La placa gira a velocidad angular constante ω₂ = 4 rad/s respecto al eje AB y éste tiene una velocidad angular ω₁ = 3 rad/s y una aceleración angular α₁ = 2 rad/s² respecto al eje Y. En el instante mostrado, calcular:

a) Aceleración angular de la placa.

b) Velocidad y aceleración del punto C.

La aceleración angular de la placa y la velocidad y aceleración del punto C.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dos sumandos tiene aquí la aceleración angular de la placa?
02
La aceleración angular de la placa
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{\alpha}$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de C
COMP2
¿Cuánto vale la componente $y$ de $\vec{v}_C$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración de C
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{a}_C$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 4un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El eje AB va según $z$ y O es punto fijo: $\vec{\omega} = 3\vec{j}+4\vec{k}$ rad/s.
2. $\vec{\alpha} = 2\vec{j} + 3\vec{j}\times 4\vec{k} = 12\vec{i}+2\vec{j}$ rad/s².
3. Con $\overrightarrow{OC} = (0{,}423;\ -0{,}154;\ 0)$ m: $\vec{v}_C = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}$ y $\vec{a}_C = \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OC}+\vec{\omega}\times\vec{v}_C$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.10 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. Las cotas de la figura están en milímetros, así que las velocidades salen en mm/s y las aceleraciones en mm/s².

El brazo CD sobre una barra que gira, con el ángulo en el plano XY

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sólido AB y la barra BC giran a una velocidad constante ω₁ = 0.6 rad/s alrededor de Y. Simultáneamente el brazo CD gira a velocidad constante ω₂ = 0.45 rad/s. Sabiendo que β = 120º, calcular:

a) Aceleración angular del brazo CD.

b) Velocidad de D.

c) Aceleración de D.

La aceleración angular del brazo CD y la velocidad y aceleración del punto D.

01
Reconocer el camino
COMP1
El ángulo β está contenido en el plano XY. ¿Qué dirección tiene entonces $\vec{\omega}_2$ ?
02
La aceleración angular del brazo
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{\alpha}$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de D
COMP2
¿Cuánto vale la componente $z$ de $\vec{v}_D$ , en mm/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en mm/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración de D
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{a}_D$ , en mm/s²?
Tu respuesta al paso 4un número, en mm/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con β = 120° medido desde CB: $\overrightarrow{CD} = 16(\cos 60^\circ;\ \sin 60^\circ;\ 0)$ mm.
2. $\vec{\omega} = 0{,}6\vec{j}-0{,}45\vec{k}$ rad/s y $\vec{\alpha} = \vec{\omega}_1\times\vec{\omega}_2 = -0{,}27\vec{i}$ rad/s².
3. C gira alrededor de Y a 20 mm del eje: $\vec{v}_C = -12\vec{k}$ mm/s y $\vec{a}_C = -7{,}2\vec{i}$ mm/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.11 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

El disco horizontal del brazo BCD que gira alrededor de Z

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El brazo BCD gira con respecto al eje Z con una velocidad constante ω₁ = 5 rad/s. El disco gira a su vez con una velocidad angular constante ω₂ = 4 rad/s. Determinar:

a) Aceleración angular del disco.

b) Velocidad y aceleración del punto A.

La aceleración angular del disco y la velocidad y aceleración del punto A del borde.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué se puede tomar C como punto fijo del disco?
02
La aceleración angular del disco
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{\alpha}$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de A
COMP2
¿Cuánto vale la componente $y$ de $\vec{v}_A$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración de A
COMP2
¿Cuánto vale la componente $x$ de $\vec{a}_A$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 4un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los ejes Z y CB se cortan en C, que es punto fijo: $\vec{\omega} = 4\vec{j}+5\vec{k}$ rad/s.
2. $\vec{\alpha} = \vec{\omega}_1\times\vec{\omega}_2 = -20\vec{i}$ rad/s².
3. Con $\overrightarrow{CA} = (0{,}15;\ 0{,}12;\ 0)$ m salen $\vec{v}_A = (-0{,}6;\ 0{,}75;\ -0{,}6)$ m/s y $\vec{a}_A = (-6{,}15;\ -3;\ 0)$ m/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.12 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

El cono que rueda sin deslizar sobre un disco que gira

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El disco de radio R de la figura gira respecto al eje OO’ con velocidad angular constante ω, siendo el sentido de giro positivo en el eje Z. A su vez el cono de vértice O se mueve sobre dicho disco sin deslizar de manera que el punto B, centro de su base, sigue una trayectoria circular respecto del eje OO’ y con velocidad angular constante 2ω, siendo también el sentido de giro positivo en el eje Z. Si el ángulo medio del cono es 30º y su generatriz mide R, calcular:

a) La velocidad angular del cono.

b) Las componentes de pivotamiento y rodadura del movimiento relativo del cono sobre el disco.

La velocidad angular del cono y las componentes de pivotamiento y rodadura de su movimiento relativo al disco.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué condición traduce que el cono ruede sin deslizar sobre el disco?
02
El giro propio del cono
COMP2
Con el valor de prueba $\omega = 2\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale la componente $y$ de $\vec{\omega}_c$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El pivotamiento
COMP2
Con $\omega = 2\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale la componente de pivotamiento del movimiento relativo del cono sobre el disco, en rad/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El eje del cono forma 30° con la generatriz apoyada: $\vec{u} = (0;\ \cos 30^\circ;\ \sin 30^\circ)$ .
2. $\vec{\omega}_c = 2\omega\vec{k}+\omega_s\vec{u}$ , y la igualdad de velocidades en la generatriz da $\omega_s = -2\omega$ .
3. $\vec{\omega}_c = -\sqrt{3}\omega\vec{j}+\omega\vec{k}$ y $\vec{\omega}_{rel} = \vec{\omega}_c-\omega\vec{k} = -\sqrt{3}\omega\vec{j}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.13 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. En el apartado e la colección imprime la aceleración de B —que aquí se reproduce y se comprueba— cuando el enunciado pide las de A y C; las de A y C son nuestras, contrastadas con una derivación numérica del mecanismo. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

Dos barras articuladas dentro de un plano vertical que gira

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El plano π vertical gira alrededor del eje vertical z con velocidad angular ω constante y sentido de giro dado en la figura. Dos barras 1 (AB) y 2 (BC) de longitud L√2 permanecen siempre en el plano π. La velocidad angular de la barra 1 relativa al plano π es 2ω constante y de sentido antihorario (ver figura). La barra 1 está articulada en A, punto solidario al plano, y en B a la barra 2. Por su parte, la barra 2 está articulada a una deslizadera C que se mueve siempre sobre una guía horizontal a la altura de A. En la posición de la figura, determinar:

a) Velocidad angular de la barra 1.

b) Velocidades lineales de los puntos A y B.

c) Velocidad angular de la barra 2, velocidad del punto C para un observador situado en el plano π y velocidad lineal (absoluta) del punto C.

d) Aceleraciones angulares de las barras 1 y 2.

e) Aceleraciones lineales de los puntos A y C.

Las velocidades y aceleraciones angulares de las dos barras y las velocidades y aceleraciones de A, B y C.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué condición determina la velocidad angular de la barra 2?
02
La velocidad relativa de la deslizadera
COMP2
Con los valores de prueba $\omega = 1\ \text{rad/s}$ y $L = 1\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $y$ de la velocidad de C vista desde el plano, en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración de C
COMP2
Con $\omega = 1\ \text{rad/s}$ y $L = 1\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $x$ de la aceleración absoluta de C, en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $A = (0;\ L;\ 0)$ , $B = (0;\ 0;\ -L)$ y $C = (0;\ -L;\ 0)$ , el plano gira a $-\omega\vec{k}$ y la barra 1 a $2\omega\vec{i}$ respecto del plano.
2. $\vec{\omega}_1 = 2\omega\vec{i}-\omega\vec{k}$ y $\vec{\omega}_2 = -2\omega\vec{i}-\omega\vec{k}$ , y por Resal $\vec{\alpha}_1 = -2\omega^{2}\vec{j}$ , $\vec{\alpha}_2 = 2\omega^{2}\vec{j}$ .
3. La guía obliga a $\vec{v}_{C/\pi} = 4\omega L\vec{j}$ , y con el arrastre: $\vec{v}_C = -\omega L\vec{i}+4\omega L\vec{j}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.14 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. En la aceleración de M relativa al disco la colección imprime más cuatro omega uve según i, y las dos comprobaciones nuestras dan menos cuatro omega uve según i, con el signo contrario; se publica el nuestro y el impreso queda de distractor. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

El disco que rueda y el punto que sube por el eje vertical

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco vertical de radio R rueda sobre un plano horizontal fijo π con rotación angular constante 2ω relativa a la barra AB. Sobre el eje OZ se mueve con velocidad contante v positiva un punto material M. Si la longitud de la barra es 2R, calcular:

a) La rotación y aceleración angular del movimiento absoluto del disco para que no exista deslizamiento entre disco y plano π.

b) Velocidad y aceleración del punto M respecto al disco cuando el punto está a una altura R.

c) Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIRD) del disco.

La velocidad y aceleración angular del disco, la velocidad y aceleración de M relativas al disco, y el EIRD.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué fija la velocidad de giro de la barra AB alrededor del eje vertical?
02
El giro de la barra
COMP2
Con el valor de prueba $\omega = 3\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{\omega}_D$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración de M vista desde el disco
COMP2
Con $\omega = 3\ \text{rad/s}$ , $v = 2\ \text{m/s}$ y $R = 1\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $x$ de la aceleración de M relativa al disco, en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Rodadura: $\vec{v}_C = \vec{0}$ da $\vec{\omega}_D = 2\omega\vec{j}-\omega\vec{k}$ , y por Resal $\vec{\alpha}_D = 2\omega^{2}\vec{i}$ .
2. En la altura R, M coincide con A, que está sobre el EIRD: el punto del disco que pasa por ahí tiene velocidad nula.
3. El EIRD pasa por C con la dirección de $\vec{\omega}_D$ : $x = 0$ , $y+2z-2R = 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.15 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. Con los ejes de la figura —X hacia el observador, Y a la derecha, Z vertical— la velocidad angular y la aceleración del centro salen según j, mientras que la colección las imprime según i; los módulos coinciden con los nuestros. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

La esfera que rueda entre un cilindro que gira, un plano y un cono

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sistema de la figura consta de un cilindro de revolución de radio (1+√3)R/2, una esfera de radio R, un plano horizontal y la superficie interior de un cono de semiángulo 30º y eje coincidente con el del cilindro. El cilindro gira alrededor de su eje con rotación constante ω, el plano y el cono están fijos, y la esfera rueda y pivota sobre ellos. Calcular:

a) Velocidad angular de la esfera.

b) Eje instantáneo de rotación y deslizamiento de la esfera.

c) Velocidades angulares de rodadura y pivotamiento de la esfera relativas al cilindro, al plano y al cono.

d) Velocidad y aceleración del centro de la esfera.

e) Aceleración angular de la esfera.

La velocidad angular de la esfera, su EIRD, las componentes de rodadura y pivotamiento, y la velocidad y aceleración de su centro.

01
Reconocer el camino
COMP1
La esfera toca dos superficies fijas —el plano y el cono— sin deslizar. ¿Qué se deduce de ahí?
02
La velocidad del centro
COMP2
Con los valores de prueba $\omega = 4\ \text{rad/s}$ y $R = 0{,}5\ \text{m}$ , ¿cuánto vale el módulo de $\vec{v}_G$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración del centro
COMP2
Con los mismos valores, ¿cuánto vale el módulo de $\vec{a}_G$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El centro G está a $(3+\sqrt{3})R/2$ del eje y a altura R: toca el plano en B, justo debajo, y el cono en A, según la normal a 30°.
2. A y B están fijos y no desliza: el EIRD es la recta AB, de dirección $(0;\ \sqrt{3};\ -1)$ , y $\vec{\omega}_e = \lambda(0;\ \sqrt{3};\ -1)$ .
3. La rodadura sobre el cilindro fija $\lambda = \omega/2$ , y de ahí $\vec{v}_G = (\sqrt{3}/2)\omega R\,\vec{i}$ .

Resolución completa

La geometría. El centro G está a $R$ de altura sobre el plano y a $(1+\sqrt{3})R/2 + R = (3+\sqrt{3})R/2$ del eje. El contacto con el plano, B, queda justo debajo; el contacto con el cono, A, en la dirección de la normal a la pared, que forma 30° con la vertical.

a) y b). El plano y el cono están fijos y la esfera no desliza, así que $\vec{v}_A = \vec{v}_B = \vec{0}$ : el EIRD es la recta AB, cuya dirección es $(0;\ \sqrt{3};\ -1)$ . Escribiendo $\vec{\omega}_e = \lambda\,(0;\ \sqrt{3};\ -1)$ e imponiendo que en el contacto C la esfera lleve la misma velocidad que el cilindro — $\omega\,(1+\sqrt{3})R/2$ — sale $\lambda = \omega/2$ :

\vec{\omega}_e = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega\,\vec{j} - \frac{\omega}{2}\,\vec{k}

c) Rodadura y pivotamiento. Contra el plano, de normal $\vec{k}$ : pivotamiento $-(\omega/2)\vec{k}$ y rodadura $(\sqrt{3}/2)\omega\vec{j}$ . Contra el cono, de normal $(0;\ \sqrt{3}/2;\ 1/2)$ : pivotamiento $(\omega/2)$ por esa normal, y el resto, rodadura. Contra el cilindro hay que restar antes su giro: $\vec{\omega}_{rel} = (\sqrt{3}/2)\omega\vec{j} - (3/2)\omega\vec{k}$ , y con la normal $\vec{j}$ el pivotamiento es $(\sqrt{3}/2)\omega\vec{j}$ y la rodadura $-(3/2)\omega\vec{k}$ .

d) El centro.

\vec{v}_G = \vec{\omega}_e\times\overrightarrow{BG} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega R\,\vec{i} \qquad \vec{a}_G = (3-\sqrt{3})\,\frac{\omega^{2}R}{4}\,\vec{j}

e) La aceleración angular. El vector $\vec{\omega}_e$ mantiene su módulo pero gira con el centro, a $\Omega = (\sqrt{3}-1)\omega/2$ :

\vec{\alpha}_e = -(3-\sqrt{3})\,\frac{\omega^{2}}{4}\,\vec{i}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.16 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. Los apartados de pivotamiento y rodadura salen exactamente como los imprime la colección; en la velocidad angular la colección escribe j donde, con esos mismos ejes, corresponde i. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

La esfera entre dos conos de 30 grados y un plano que la tapa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sistema mostrado se compone de una pista cónica fija de eje vertical y semi-ángulo en el vértice de 30°. Con el mismo eje, se tiene un cono de revolución del mismo semi-ángulo que gira con velocidad angular de módulo constante (positivo). Entre ambos conos, se dispone una esfera de radio R/(2√3). El conjunto se tapa con un plano fijo horizontal. Sabiendo que la esfera no desliza en ninguno de sus contactos, calcular:

a) Velocidad angular de la esfera.

b) Componentes de pivotamiento y rodadura en el movimiento de la esfera relativo al cono móvil. Dibujar los vectores sobre la figura.

c) Velocidad del punto G y aceleración angular de la esfera.

La velocidad angular de la esfera, sus componentes de pivotamiento y rodadura sobre el cono móvil, la velocidad de G y la aceleración angular.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuáles son aquí los dos puntos de velocidad nula de la esfera?
02
La velocidad angular de la esfera
COMP2
Con el valor de prueba $\omega = 6\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale la componente $x$ de $\vec{\omega}_e$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El pivotamiento sobre el cono móvil
COMP2
Con $\omega = 6\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale el módulo de la componente de pivotamiento del movimiento de la esfera relativo al cono móvil, en rad/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La geometría da el centro a $R/2$ del eje y a $R/(2\sqrt{3})$ por debajo del plano: los contactos son T con el plano, P con el cono fijo y M con el móvil.
2. T y P están fijos: el EIRD es la recta TP, de dirección $(1;\ 0;\ -\sqrt{3})$ .
3. La rodadura sobre el cono móvil en M fija el módulo y da $\vec{\omega}_e = (\sqrt{3}\omega/6)\vec{i} - (\omega/2)\vec{k}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.17 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. La colección solo imprime la aceleración relativa al satélite; nuestra comprobación muestra que la absoluta coincide con ella, y las dos se publican. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

El satélite con una barra articulada y una masa que desliza por ella

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra un esquema similar al usado por un satélite de comunicaciones. Un cilindro de radio R, gira con velocidad angular constante ω alrededor de su eje de revolución. Una barra AB, está articulada en la periferia del cilindro (punto A) y se mueve relativamente a éste en un plano perpendicular OXZ con velocidad angular relativa constante ω. Finalmente, una masa M se desplaza a lo largo de AB con velocidad relativa a la barra constante de valor $v_M = \omega R\sqrt{2}$ . Cuando AB forma 45º con la superficie superior del cilindro, la distancia AM es R√2. Calcular en ese instante:

a) Velocidad angular absoluta de la barra AB.

b) Velocidad absoluta de la masa M.

c) Aceleración angular absoluta de la barra AB.

d) Aceleración absoluta de la masa M.

e) Aceleración de la masa M relativa al satélite.

La velocidad y aceleración angulares de la barra y la velocidad y aceleración de la masa, absolutas y relativas al satélite.

01
Reconocer el camino
COMP1
En ese instante, ¿dónde está la masa M?
02
La velocidad absoluta de la masa
COMP2
Con los valores de prueba $\omega = 2\ \text{rad/s}$ y $R = 0{,}5\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{v}_M$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración absoluta de la masa
COMP2
Con los mismos valores, ¿cuánto vale la componente $x$ de $\vec{a}_M$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{\omega}_{AB} = \omega\vec{j}+\omega\vec{k}$ y, por Resal, $\vec{\alpha}_{AB} = \omega\vec{k}\times\omega\vec{j} = -\omega^{2}\vec{i}$ .
2. Con $A = (R;\ 0;\ 0)$ y $M = (0;\ 0;\ R)$ : $\vec{v}_A = \omega R\vec{j}$ y $\vec{v}_{rel} = \omega R(-\vec{i}+\vec{k})$ .
3. Sumando arrastre y relativa, $\vec{v}_M = 2\omega R\vec{k}$ ; y con Coriolis, $\vec{a}_M = 3\omega^{2}R\vec{i}+\omega^{2}R\vec{k}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.18 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, incluida una derivación numérica de la posición de M. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

El plano giratorio con el eje AB, la barra CD y una masa que desliza

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un plano π gira alrededor del eje fijo OZ con velocidad angular constante ω. En ese plano, se encuentra definido el sistema siguiente:

Un eje horizontal AB soldado al eje vertical a una altura L.
Una barra CD cuyo extremo C desliza con velocidad relativa constante v (respecto de AB). La barra gira al mismo tiempo alrededor de C con velocidad angular ω.
Una masa puntual M que desliza a lo largo de CD con velocidad relativa constante v.

En el instante ωt = π/2, la masa M se sitúa en el extremo C de la barra y la distancia AC = L. Para ese instante, calcular:

a) Velocidad angular absoluta del eje AB.

b) Aceleración angular absoluta de la barra AB.

c) Velocidad angular absoluta de la barra CD.

d) Aceleración angular absoluta de la barra CD.

e) Aceleración absoluta de la masa puntual M.

Las velocidades y aceleraciones angulares del eje AB y de la barra CD, y la aceleración absoluta de M.

01
Reconocer el camino
COMP1
En el instante ωt = π/2 la barra CD ha girado 90° desde la vertical, así que queda horizontal. ¿Cuánto vale entonces la velocidad de M respecto del plano π?
02
La aceleración angular de la barra CD
COMP2
Con el valor de prueba $\omega = 3\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale la componente $y$ de $\vec{\alpha}_{CD}$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración de la masa
COMP2
Con $\omega = 3\ \text{rad/s}$ , $v = 2\ \text{m/s}$ y $L = 1\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{a}_M$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. AB está soldado al eje vertical: $\vec{\omega}_{AB} = \omega\vec{k}$ y $\vec{\alpha}_{AB} = \vec{0}$ .
2. CD gira además dentro del plano: $\vec{\omega}_{CD} = \omega\vec{i}+\omega\vec{k}$ y $\vec{\alpha}_{CD} = \omega^{2}\vec{j}$ .
3. En ese instante la barra está horizontal y M se acerca a C: la velocidad de M respecto del plano es nula.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 7.19 · Tema 7, «Cinemática del sólido rígido» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo. Las casillas piden el número con los valores de prueba que se declaran en cada pregunta.

El cono que rueda sin deslizar sobre otro cono que gira

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El cono (1) gira alrededor de su eje fijo OZ con velocidad angular constante y positiva 3ω. Otro cono (2) rueda sin deslizar sobre el anterior de forma que su eje OY gira con velocidad angular constante, también positiva, 2ω y también alrededor del eje OZ. Calcular:

a) Velocidad angular del cono (2).

b) Componentes de rodadura y pivotamiento en el movimiento del cono (2) sobre (1).

c) Aceleración angular absoluta del cono (2).

d) Aceleración absoluta del punto A (0; R; R).

e) Aceleración del punto A del cono 2 respecto al cono (1).

La velocidad y aceleración angulares del cono 2, sus componentes de rodadura y pivotamiento, y la aceleración de A absoluta y relativa al cono 1.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿A lo largo de qué recta se tocan los dos conos?
02
La velocidad angular del cono 2
COMP2
Con el valor de prueba $\omega = 5\ \text{rad/s}$ , ¿cuánto vale la componente $y$ de $\vec{\omega}_2$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración del punto A
COMP2
Con $\omega = 5\ \text{rad/s}$ y $R = 0{,}2\ \text{m}$ , ¿cuánto vale la componente $z$ de $\vec{a}_A$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s², con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Rodadura en la generatriz $(0;\ 1;\ -1)$ : el giro propio sale $\omega$ y $\vec{\omega}_2 = \omega\vec{j}+2\omega\vec{k}$ .
2. $\vec{\omega}_{rel} = \vec{\omega}_2-\vec{\omega}_1 = \omega\vec{j}-\omega\vec{k}$ , que va a lo largo de la generatriz de contacto: todo es rodadura y el pivotamiento es nulo.
3. $\vec{\alpha}_2 = 2\omega\vec{k}\times\omega\vec{j} = -2\omega^{2}\vec{i}$ , y con O fijo, $\vec{a}_A = -\omega^{2}R\vec{k}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cinemática del sólido rígido

El campo de velocidades

El paralelismo con los sistemas de vectores

El campo de aceleraciones

El movimiento relativo de un punto

El movimiento relativo entre dos sólidos

Sólidos en contacto: rodar, pivotar, deslizar

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

La velocidad del centro

La velocidad del punto más alto

La velocidad del punto delantero

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración de Coriolis

La aceleración absoluta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente tangencial

El radio de curvatura

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El módulo de la velocidad

El radio de curvatura

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad radial

La velocidad transversal

La aceleración radial

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente y de la velocidad de B

La componente x de la aceleración de B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular del disco

La aceleración de P con θ = 90°

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El giro propio del disco

La aceleración del punto de contacto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular del disco

La componente z de la aceleración de D

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad de la esfera

La aceleración de la esfera

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular de la placa

La velocidad de C

La aceleración de C

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular del brazo

La velocidad de D

La aceleración de D

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular del disco

La velocidad de A

La aceleración de A

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El giro propio del cono

El pivotamiento

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad relativa de la deslizadera

La aceleración de C

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El giro de la barra

La aceleración de M vista desde el disco

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad del centro

La aceleración del centro