Mecánica Aplicada · tema 06

Fundamentos de resistencia de materiales

Lo que pasa dentro de una pieza: los esfuerzos de sección, sus diagramas y las tensiones que producen. Flexión, cortante y torsión, con el convenio de signos del curso.

Hasta aquí los cuerpos eran rígidos y lo único que importaba eran las fuerzas que les llegan de fuera. Este tema abre la pieza por dentro. Si cortas una viga por una sección, cada mitad está en equilibrio gracias a unas fuerzas internas que la otra mitad le hace a través del corte. Esas fuerzas se resumen en tres números por sección —axil, cortante y flector—, y de ellos salen las tensiones que deciden si la pieza aguanta.

Es el tema que cierra el bloque 1, y en el examen pesa como ninguno: en las dos convocatorias completas con enunciado en castellano, enero de 2024 y la ordinaria de 2025, hay un ejercicio entero de viga —diagramas, sección en T y tensión máxima— y una cuestión de teoría del tema, la torsión en una y el equilibrio del elemento diferencial en la otra.

Fuerzas y momentos de sección

Corta la pieza por una sección. Para que cada parte siga en equilibrio, en la cara del corte tiene que haber fuerzas internas repartidas, y por acción y reacción, las de una cara son iguales y opuestas a las de la otra. Reducidas al centro de gravedad de la sección, en el caso plano son tres:

$N$ , el esfuerzo axil o normal: la resultante en la dirección del eje de la pieza. Impide que dos secciones vecinas se separen o se acerquen.
$V$ , el esfuerzo cortante: la resultante en la dirección perpendicular. Impide que resbalen una sobre otra.
$M$ , el momento flector: el momento de las fuerzas axiales respecto del eje $z$ de la sección. Impide que giren una respecto de otra.

Se calculan con la estática del tema 3: aíslas la parte a un lado del corte y escribes su equilibrio.

El convenio de signos del curso

El curso toma el eje $x$ a lo largo de la pieza, hacia la derecha, y el eje $y$ de la sección hacia abajo. Con ese convenio:

$N$ es positivo a tracción: en cada cara del corte, saliendo de la pieza.
$V$ es positivo si, en la cara derecha de la parte izquierda, apunta hacia abajo. En la práctica: $V$ en una sección es la suma de las fuerzas hacia arriba que hay a su izquierda.
$M$ es positivo cuando tracciona la fibra inferior, es decir, cuando la pieza se comba hacia abajo, como una viga biapoyada bajo su propio peso. En la práctica: la suma de los momentos, respecto de la sección, de las fuerzas que hay a su izquierda, contando positivo el giro horario.

El equilibrio de un elemento diferencial

Aísla un trozo de pieza de longitud $dx$ con una carga repartida de componentes $q_x$ y $q_y$ —con $q_y$ positiva hacia abajo, como el eje $y$ —. Escribiendo su equilibrio y despreciando los infinitésimos de segundo orden:

\frac{dN}{dx} = -q_x \qquad \frac{dV}{dx} = -q_y \qquad \frac{dM}{dx} = V

y combinando las dos últimas,

\frac{d^{2}M}{dx^{2}} = -q_y

Es la cuestión 4 de teoría de la ordinaria de 2025, que pedía deducirlas. Y dicen tres cosas que se usan en cada diagrama. El axil va por su lado, desligado de la flexión. La pendiente del flector es la cortante, así que donde $V$ se anula el flector tiene un máximo o un mínimo. Y una carga hacia abajo hace bajar la cortante y curva el flector hacia abajo.

Las relaciones diferenciales con el signo de otro libro

Hay libros que toman $y$ hacia arriba o la carga positiva hacia arriba, y entonces escriben $dV/dx = q$ . Mezclar esa relación con el convenio del curso hace que la cortante suba donde tiene que bajar, y el diagrama sale con la pendiente al revés en cada tramo. Con el convenio de aquí, $y$ hacia abajo y $q_y$ hacia abajo, es $dV/dx = -q_y$ . Una comprobación que no depende de nada: en una viga biapoyada con carga hacia abajo, la cortante empieza positiva en el apoyo izquierdo y baja hacia el derecho.

Cómo se dibujan los diagramas

Los diagramas dicen cuánto vale cada esfuerzo en cada sección, y sirven para encontrar la sección más cargada. Hay tres formas de sacarlos:

Por tramos: se corta una sección genérica en cada tramo —los tramos los separan las cargas y los apoyos— y se escribe su equilibrio en función de $x$ .
Integrando las relaciones del elemento diferencial, con las constantes que dan los extremos una vez calculadas las reacciones.
Con los valores en los extremos de cada tramo y lo que dicen las derivadas sobre la forma, que es la más rápida.

Para la tercera basta con esta tabla: si la carga repartida en un tramo es un polinomio de grado $n$ , la cortante es de grado $n + 1$ y el flector de grado $n + 2$ .

carga en el tramo	cortante $V$	flector $M$
nula	constante	recta
uniforme	recta	parábola
lineal	parábola	cúbica

Y dos reglas para los puntos: una fuerza puntual hace saltar la cortante en su valor, y un momento puntual hace saltar el flector en el suyo.

Una viga biapoyada de 6 m con 2 kN/m. La carga es uniforme, así que la cortante es una recta que baja —de 6 a −6 kN— y el flector, una parábola. La pendiente del flector es la cortante: el flector sube mientras V es positiva, se para donde V = 0 y baja después. Su máximo, qL²/8 = 9 kN·m, está en el centro, justo donde la cortante cruza el cero.

Esa viga es el caso limpio: sin voladizos, el peor flector está en el vano y la cortante pasa por cero justo allí. En cuanto hay un voladizo la cosa cambia de sitio, y eso se ve mejor moviendo el apoyo que leyéndolo:

La viga, y dónde tiene de verdad su peor flector

mueve los apoyos y mira los dos diagramas a la vez

apoyo A en 2,0

apoyo B en 7,0

carga repartida 2000

y llega hasta 7,0

carga puntual 2000

y va aplicada en 10,0

casos publicados

reaccionesR_A = 8600 · R_B = 7400en kg y metros

la cortante se anulaen x = 4,30ahí el flector es extremo

flector en el vano+1290tracciona la fibra inferior

flector en el apoyo−6000tracciona la de arriba: es el que manda

Tensiones, deformaciones y la ley de Hooke

Los esfuerzos de sección son resultantes. Lo que de verdad rompe una pieza es cómo se reparten por la sección: las tensiones, fuerza por unidad de área. La tensión normal $\sigma$ va en la dirección del eje de la pieza y la tangencial $\tau$ , en el plano de la sección. Cada una produce su deformación: una deformación unitaria $\varepsilon$ , que alarga o acorta, y una deformación angular $\gamma$ , que distorsiona. En la zona elástica las liga la ley de Hooke, $\sigma = E\,\varepsilon$ y $\tau = G\,\gamma$ .

Esfuerzo axil: tracción y compresión

Si solo hay axil, la tensión se reparte uniforme por la sección:

\sigma = \frac{N}{A}

Flexión

Con flexión pura —solo momento flector— las secciones planas siguen planas y giran alrededor de un eje, el eje neutro, que pasa por el centro de gravedad de la sección. La tensión crece en línea recta con la distancia a él, la fórmula de Navier:

\sigma = \frac{M\,y}{I_z}

con $I_z$ el momento de inercia de la sección respecto del eje neutro, del tema 2. Con $M$ positivo, la parte de abajo trabaja a tracción y la de arriba a compresión, y las tensiones máximas están en las fibras más alejadas del eje neutro.

Con flexión simple hay además cortante, y aparecen tensiones tangenciales. Se calculan con la fórmula de Collignon,

\tau = \frac{V\,A_1\,\overline{y}_1}{b\,I_z}

donde $A_1$ es el área de la sección por encima de la fibra que miras, $\overline{y}_1$ la distancia de su centro de gravedad al eje neutro y $b$ el ancho en esa fibra. Al revés que la normal, es máxima en el eje neutro y nula en los bordes; en un rectángulo, $\tau_{\max} = \tfrac{3}{2}\,V/(bh)$ .

Y con flexión compuesta, axil y flector a la vez, las tensiones normales se suman: $\sigma = N/A + M\,y/I_z$ .

En una sección en T, la fibra más alejada no es la de siempre

En una sección simétrica las dos fibras extremas están a la misma distancia del eje neutro y basta con una. En una T, el eje neutro pasa por $G$ , que no está en el centro de la altura, así que la fibra de arriba y la de abajo están a distancias distintas. La tensión máxima de tracción y la de compresión salen de fibras distintas y hay que calcular las dos, $M\,y_{\text{arriba}}/I$ y $M\,y_{\text{abajo}}/I$ , en la sección de flector máximo positivo y en la de flector máximo negativo: el signo del momento cambia qué fibra tracciona. Es exactamente lo que piden las vigas de enero de 2024 y de la ordinaria de 2025.

Torsión

Un momento respecto del eje de la pieza, el momento torsor $M_t$ , lo equilibran tensiones tangenciales. En una sección circular las secciones siguen planas y giran como sólidos rígidos, y la tensión crece en línea recta con la distancia al centro:

\tau = \frac{M_t\,r}{I_p}

con $I_p$ el momento de inercia polar, $\pi D^{4}/32$ para una sección llena. Es la cuestión 4 de teoría de enero de 2024. La tensión máxima está en el borde:

\tau_{\max} = \frac{16\,M_t}{\pi D^{3}}

Para una sección hueca de diámetros $D$ y $d$ , $I_p = \pi(D^{4} - d^{4})/32$ , y por eso las secciones huecas aprovechan mejor el material: quitan el que está cerca del centro, que apenas trabaja.

Lo que hay que llevarse

$N$ , $V$ y $M$ son la estática de una parte de la pieza. En el curso, $y$ hacia abajo: $V$ es la suma de fuerzas hacia arriba a la izquierda y $M$ es positivo si tracciona abajo.
$dV/dx = -q_y$ y $dM/dx = V$ : el flector es máximo donde la cortante se anula.
Flexión: $\sigma = M\,y/I_z$ , máxima en las fibras extremas; en una T, las dos.
Torsión: $\tau = M_t\,r/I_p$ , y $\tau_{\max} = 16M_t/(\pi D^{3})$ .

Practica lo que acabas de leer

La viga biapoyada, y dónde tiene el flector máximo

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La viga biapoyada, y dónde tiene el flector máximo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una viga de 6 m, apoyada en sus dos extremos, soporta una carga uniforme de $q = 2\ \text{kN/m}$ en toda su longitud. Calcular las reacciones, la cortante en la sección situada a 1 m del apoyo izquierdo y el momento flector máximo.

Las reacciones, la cortante a 1 m y el flector máximo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde está el momento flector máximo de esta viga?
02
La cortante a 1 m del apoyo
COMP2
¿Cuánto vale $V$ a 1 m del apoyo izquierdo, en kN?
Tu respuesta al paso 2un número, en kN — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector máximo
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector máximo, en kN·m?
Tu respuesta al paso 3un número, en kN·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría, cada apoyo lleva la mitad de la carga total, 12 kN, así que 6 kN.
2. $V(x) = 6 - 2x$ , que se anula en el centro, $x = 3$ m.
3. Allí el flector es máximo, $M(3) = 6 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 1{,}5 = 9$ kN·m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La tensión de torsión en un eje, macizo y hueco

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un eje macizo de sección circular, de diámetro $D = 50\ \text{mm}$ , transmite un momento torsor $M_t = 1\ \text{kN}\cdot\text{m}$ . Calcular la tensión tangencial máxima. Calcular también la de un eje hueco con el mismo diámetro exterior y un diámetro interior $d = 40\ \text{mm}$ .

La tensión tangencial máxima en el eje macizo y en el hueco.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde es máxima la tensión tangencial en una sección circular a torsión?
02
El eje macizo
COMP2
¿Cuánto vale la tensión tangencial máxima del eje macizo?
Tu respuesta al paso 2una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El eje hueco
COMP2
¿Y la del eje hueco, con $d = 40\ \text{mm}$ ?
Tu respuesta al paso 3una tensión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión de torsión crece con el radio, $\tau = M_t\,r/I_p$ , y es máxima en el borde.
2. Eje macizo: $\tau_{\max} = 16 \cdot 1000/(\pi \cdot 0{,}05^{3}) = 40{,}7$ MPa.
3. Eje hueco: $I_p$ baja en el factor $1 - 0{,}8^{4} = 0{,}59$ y la tensión sube a 69 MPa.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.1 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

La carga puntual en una viga biapoyada, y dónde tiene el flector su pico

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

La viga del ejercicio 6.1, redibujada. La carga P está a una distancia a del apoyo A y b del apoyo B, con a + b = L. El dibujo está hecho con a igual a 0,6 L.

Las reacciones, el diagrama de cortantes y el de flectores, en función de P, a, b y L.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada, ¿qué forma tienen los dos diagramas?
02
La reacción del apoyo A
COMP2
Si la carga está a $a = L/4$ del apoyo A, ¿cuánto vale la reacción $R_A$ en unidades de $P$ ? Es decir, el número $k$ tal que $R_A = k\,P$ .
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente de P — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector máximo
COMP2
Con esa misma carga a $a = L/4$ , ¿cuánto vale el flector máximo en unidades de $P\,L$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente de PL — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en cada apoyo: $R_A = P\,b/L$ y $R_B = P\,a/L$ , y la suma de las dos es P.
2. A la izquierda de la carga solo está $R_A$ , así que $V = +P\,b/L$ ; a la derecha, $V = -P\,a/L$ . El salto vale P.
3. El flector crece con pendiente $V$ desde cero en A y alcanza $P\,a\,b/L$ bajo la carga, donde la cortante cambia de signo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.2 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

Dos cargas puntuales, y el tramo donde el flector no cambia

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

La viga del ejercicio 6.2, redibujada a escala. Las cargas son de 10 Tn y 6 Tn, y los tres tramos miden 3, 4 y 5 metros.

Las reacciones y los diagramas de cortante y de flector, con sus valores.

01
Reconocer el camino
COMP1
Entre las dos cargas, ¿qué le pasa a la cortante y al flector?
02
La reacción del apoyo A
COMP2
¿Cuánto vale la reacción en A, en Tn?
Tu respuesta al paso 2un número, en Tn — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector máximo
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector máximo, en Tn·m?
Tu respuesta al paso 3un número, en Tn·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en B dan $R_A = 10$ Tn, y la suma de fuerzas, $R_B = 6$ Tn.
2. La cortante vale $+10$ Tn hasta la primera carga, $0$ entre las dos y $-6$ Tn desde la segunda hasta B.
3. El flector sube linealmente hasta 30 Tn·m, se mantiene en ese valor entre las dos cargas y baja hasta cero en B.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.3 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

La carga uniforme en toda la luz, en función de q y L

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

La viga del ejercicio 6.3, redibujada: biapoyada de luz L con una carga uniformemente repartida q en toda su longitud.

Los diagramas de cortante y de flector en función de q y L.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si la carga repartida es constante, ¿de qué grado son la cortante y el flector?
02
La cortante a un cuarto de la luz
COMP2
¿Cuánto vale $V$ en la sección $x = L/4$ , en unidades de $q\,L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente de qL — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector máximo
COMP2
¿Cuánto vale el flector máximo, en unidades de $q\,L^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente de qL² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría, cada apoyo lleva media carga total: $R_A = R_B = q\,L/2$ .
2. $V(x) = q\,L/2 - q\,x$ es una recta que baja y se anula en el centro de la luz.
3. Allí el flector es máximo y vale $q\,L^{2}/8$ , con la parábola cóncava hacia abajo porque $d^{2}M/dx^{2} = -q_y < 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.4 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

Un par concentrado en el vano, y el salto que produce en el flector

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

La viga del ejercicio 6.4, redibujada. El par M0 es horario y actúa a una distancia a del apoyo A. El dibujo está hecho con a igual a 0,6 L.

Las reacciones y los diagramas de cortante y de flector en función de M0, a, b y L.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué hace en los diagramas un par concentrado aplicado en un punto?
02
La cortante
COMP2
¿Cuánto vale la cortante en toda la viga, en unidades de $M_0/L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente de M0 partido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector justo a la derecha del par
COMP2
Con $a = 0{,}6\,L$ , ¿cuánto vale el flector justo a la derecha del par, en unidades de $M_0$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente de M0 — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El equilibrio de momentos exige dos reacciones iguales y opuestas de valor $M_0/L$ : hacia abajo en A y hacia arriba en B.
2. Con eso la cortante es constante en toda la viga y vale $-M_0/L$ , sin ningún salto.
3. El flector baja linealmente hasta $-M_0\,a/L$ , salta $M_0$ al cruzar el par y vuelve a bajar hasta cero en B.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.5 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

Una viga con dos voladizos, y por qué el peor flector está en el apoyo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

La viga del ejercicio 6.5, redibujada a escala. La carga repartida de 2000 kg/m llega desde el extremo izquierdo hasta el apoyo B, y la carga puntual de 2000 kg cuelga del extremo derecho.

Las reacciones en A y en B y los diagramas de cortante y de flector.

01
Reconocer el camino
COMP1
En una viga con voladizos, ¿en qué secciones hay que mirar el flector?
02
La reacción del apoyo A
COMP2
¿Cuánto vale la reacción en A, en kg?
Tu respuesta al paso 2un número, en kg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La sección de flector máximo positivo
COMP2
¿A qué distancia del extremo izquierdo se anula la cortante dentro del vano, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El flector sobre el apoyo B
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector en la sección del apoyo B, en kg·m?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, en kg·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en B y suma de fuerzas: $R_A = 8600$ kg y $R_B = 7400$ kg.
2. La cortante baja hasta $-4000$ kg en A, salta a $+4600$ , vuelve a bajar hasta $-5400$ en B y salta a $+2000$ en el último tramo.
3. El flector vale $-4000$ kg·m en A, $+1290$ en la sección de cortante nula y $-6000$ en B, que es el máximo en valor absoluto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.6 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

Carga repartida parcial y un par en cada apoyo

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

La viga del ejercicio 6.6, redibujada a escala. El par de 25 kN·m en A es antihorario y el de 15 kN·m en B, horario; la carga de 40 kN/m cubre los primeros 2,4 m.

Las reacciones y los diagramas de cortante y de flector, con sus valores clave.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos pares están aplicados justo en los apoyos. ¿Entran en el cálculo de las reacciones?
02
La reacción del apoyo A
COMP2
¿Cuánto vale la reacción en A, en kN?
Tu respuesta al paso 2un número, en kN — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector máximo
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector máximo, en kN·m?
Tu respuesta al paso 3un número, en kN·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con los dos pares en la ecuación de momentos salen $R_A = 66{,}78$ kN y $R_B = 29{,}22$ kN.
2. La cortante baja en línea recta desde $+66{,}78$ hasta $-29{,}22$ kN al acabar la carga, y sigue constante hasta B.
3. El flector empieza en $-25$ kN·m por el par de A, sube hasta $+30{,}74$ donde la cortante se anula y acaba en $-15$ en B.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.7 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

Una viga Gerber con rótula, y el apoyo que tira hacia abajo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

La viga del ejercicio 6.7, redibujada a escala. El círculo blanco en D es la rótula que une los dos trozos; los apoyos son B, C y E.

Las reacciones en B, C y E y los diagramas de cortante y de flector.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué aporta la rótula de D al cálculo?
02
La reacción del apoyo E
COMP2
¿Cuánto vale la reacción en E, en kg?
Tu respuesta al paso 2un número, en kg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La reacción del apoyo C
COMP2
¿Cuánto vale la reacción en C, en kg? Cuidado con el signo.
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en kg; negativo si va hacia abajo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El flector máximo en valor absoluto
COMP2
¿Cuál es el mayor valor absoluto del momento flector, en kg·m?
Tu respuesta al paso 4un número, en kg·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Se empieza por el trozo de la derecha de la rótula, que se resuelve solo: $R_E = 2400$ kg y en D se transmiten 800 kg hacia abajo.
2. Con eso, el trozo izquierdo da $R_B = 1600$ kg hacia arriba y $R_C = 400$ kg hacia abajo.
3. El flector es negativo en toda la viga, vale exactamente cero en la rótula y su mayor valor absoluto, 1600 kg·m, está en E.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.8 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

Carga repartida en un extremo y una carga en la punta del voladizo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

Datos: $q = 0{,}5\ T/m$ , $P = 0{,}16\ T$ , $L_1 = 5\ m$ , $L_2 = 5\ m$ , $L_3 = 4\ m$ .

La viga del ejercicio 6.8, redibujada a escala con los datos del enunciado: la carga repartida cubre el tramo AB y la carga puntual está en el extremo libre D.

Las reacciones en A y en C y los diagramas de cortante y de flector.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué secciones puede estar el flector que dimensiona esta viga?
02
La reacción del apoyo A
COMP2
¿Cuánto vale la reacción en A, en T?
Tu respuesta al paso 2un número, en T — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde se anula la cortante
COMP2
¿A qué distancia del apoyo A se anula la cortante, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El flector máximo
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector máximo, en T·m?
Tu respuesta al paso 4un número, en T·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en C: $R_C = 0{,}849$ T, y con la suma de fuerzas, $R_A = 1{,}811$ T.
2. La cortante baja con pendiente $-q$ hasta B, se mantiene en $-0{,}689$ T hasta C y salta a $+0{,}16$ T en el voladizo.
3. El flector es máximo, 3,28 T·m, donde la cortante se anula, y vale $-0{,}64$ T·m sobre el apoyo C.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.9 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

Carga triangular en media viga, y dónde está de verdad su resultante

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

La viga del ejercicio 6.9, redibujada. La carga crece linealmente desde cero en el punto medio B hasta q0 en el apoyo C.

Las reacciones y los diagramas de cortante y de flector en función de q0 y L.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde está la resultante de la carga triangular?
02
La reacción del apoyo A
COMP2
¿Cuánto vale $R_A$ en unidades de $q_0 L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente de q0L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde se anula la cortante
COMP2
¿En qué sección se anula la cortante, medida desde A en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, la fracción de L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El flector máximo
COMP2
¿Cuánto vale el flector máximo, en unidades de $q_0 L^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente de q0L² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La carga total es $q_0L/4$ y su resultante está en $5L/6$ , así que $R_A = q_0L/24$ y $R_C = 5q_0L/24$ .
2. En la mitad izquierda no hay carga: la cortante es constante y el flector, una recta que llega a $q_0L^{2}/48$ en B.
3. A partir de B la cortante baja como una parábola y se anula en $x = 0{,}704\,L$ , donde el flector alcanza $0{,}0265\,q_0L^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.10 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide los diagramas y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado integrando la carga por un segundo camino.

Una viga empotrada con la carga hacia arriba y dos pares

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores en las siguientes vigas y pórticos (6.1-6.10):

Datos: $q = 7{,}8\ T/m$ , $P = 8\ T$ , $L_1 = 1\ m$ , $L_2 = 1{,}6\ m$ , $M_1 = 1\ T \cdot m$ , $M_2 = 2{,}76\ T \cdot m$ .

La viga del ejercicio 6.10, redibujada a escala. La carga repartida actúa hacia arriba en toda la longitud; el par M1 es antihorario y el par M2, horario.

Las reacciones del empotramiento y los diagramas de cortante y de flector.

01
Reconocer el camino
COMP1
La carga repartida va hacia arriba. ¿Qué cambia respecto del caso de siempre?
02
El flector en el empotramiento
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector en la sección del empotramiento, en T·m?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, en T·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
Dónde se anula la cortante
COMP2
¿A qué distancia del empotramiento se anula la cortante, en metros?
Tu respuesta al paso 3un número, en m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El flector extremo del vano
COMP2
¿Cuánto vale el flector en esa sección, en T·m?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, en T·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La resultante de la carga hacia arriba, $7{,}8 \cdot 2{,}6 = 20{,}28$ T, menos los 8 T de P deja 12,28 T hacia arriba, que el empotramiento sujeta tirando hacia abajo.
2. La cortante sube en línea recta desde $-12{,}28$ T en el empotramiento hasta $+8$ T junto al extremo, y se anula en $x = 1{,}574$ m.
3. El flector vale $+3{,}804$ T·m en el empotramiento, salta $-1$ T·m al pasar el par de B y llega a su mínimo, $-6{,}863$ T·m, donde la cortante se anula.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.11 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección solo pide el diagrama y no publica resultado, así que el desarrollo es nuestro, contrastado sumando los pares por los dos lados de cada sección.

El diagrama de momentos torsores de un árbol empotrado

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dibujar el diagrama de momentos torsores de la figura.

Datos: $T_0 = 0{,}4\ T \cdot m$ , $L = 1\ m$ .

El árbol del ejercicio 6.11, redibujado. Las dobles flechas son los pares torsores: en C y en D apuntan hacia la izquierda, en E hacia la derecha y en el extremo B, hacia la izquierda.

El diagrama de momentos torsores, con el valor de cada tramo y el máximo.

01
Reconocer el camino
COMP1
Si el árbol solo soporta pares concentrados, ¿qué forma tiene el diagrama de momentos torsores?
02
El par que soporta el empotramiento
COMP2
¿Cuánto vale el par torsor de reacción en el empotramiento A, en T·m?
Tu respuesta al paso 2un número, en T·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El torsor del tramo DE
COMP2
¿Cuánto vale el momento torsor en el tramo DE, en T·m? Toma como positivo el torsor cuya doble flecha sale de la sección, igual que el axil de tracción.
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en T·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El tramo más solicitado
COMP2
¿Cuál es el mayor valor absoluto del momento torsor, en T·m?
Tu respuesta al paso 4un número, en T·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como no hay par repartido, $dM_t/dx = 0$ y el diagrama es constante entre pares, con un escalón en cada uno.
2. Sumando por la derecha de cada sección salen los cuatro valores: $-0{,}5$ , $+0{,}5$ , $+1{,}5$ y $-1{,}5$ veces $T_0$ .
3. El máximo en valor absoluto es $1{,}5\,T_0 = 0{,}6$ T·m, y se da en los tramos DE y EB.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.12 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección no publica número: el resultado es el propio diagrama, y el desarrollo es nuestro.

El diagrama de axiles de una columna cargada por su costado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dibujar el diagrama de esfuerzos axiales de la columna $AB$ .

El axil en B, a los dos lados de la sección donde actúa la carga de 2 kN y en la base A, con el criterio de tracción positiva.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué le hace al diagrama de axiles la carga de 2 kN que actúa hacia arriba en la sección intermedia?
02
El axil justo por encima de la carga de 2 kN
COMP2
¿Cuánto vale el axil en la sección situada 2 m por debajo de B, justo por encima de donde actúa la carga de 2 kN? Con tracción positiva, en kN.
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, en kN — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El axil en la base
COMP2
¿Y en la base $A$ , con el mismo criterio, en kN?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, en kN — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena cómo queda el diagrama. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En el tramo de arriba el axil baja en línea recta de −5 kN en B a −8 kN a los 2 m, porque la repartida es uniforme.
2. En esa sección el diagrama salta 2 kN hacia arriba, de −8 a −6 kN.
3. En los 3 m de abajo vuelve a bajar en línea recta hasta −10,5 kN en A, que es la reacción del suelo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.13 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección no publica resultado, y su figura no lleva ninguna carga exterior sobre la viga: con lo publicado, el equilibrio obliga a que la barra no trabaje y los tres diagramas salen nulos. El desarrollo y las preguntas son nuestros.

La barra inclinada y lo que le mete a la viga

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dibujar los diagramas de esfuerzos y momentos sobre el elemento $AB$ de la figura.

Qué fuerza mete la barra inclinada en la viga y cuánto valen los diagramas con la figura tal como se publica.

01
Reconocer el camino
COMP1
La barra que llega a $C$ está articulada en sus dos extremos y no lleva ninguna carga entre ellos. ¿Qué fuerza le hace entonces a la viga en $C$ ?
02
La componente que flexiona
COMP2
Si la barra transmite una fuerza de módulo $F$ , ¿qué fracción de $F$ es la componente perpendicular a la viga, la que produce cortante y flector?
Tu respuesta al paso 2un número, la fracción de F — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente que estira
COMP2
¿Y qué fracción de $F$ va en la dirección de la viga, la que produce el axil?
Tu respuesta al paso 3un número, la fracción de F — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento sobre la figura publicada. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La barra es de dos fuerzas: su fuerza va en su dirección, a 30° de la viga, y su módulo F es la única incógnita que aporta.
2. Tomando momentos en A sobre la viga, lo único que da momento es la componente perpendicular en C, así que F·sen30°·a = 0.
3. De ahí F = 0, y sin ninguna otra carga los tres diagramas —axil, cortante y flector— son idénticamente nulos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.14 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Dimensionar el canto de una viga rectangular

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para la viga de la figura, diseñar la sección transversal (dimensión $h$ ) sabiendo que la tensión normal admisible es $12\ \text{MPa}$ (tracción y compresión).

El canto h de la sección, sabiendo que el ancho es 40 mm y la tensión admisible 12 MPa.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué sección hay que dimensionar, y por qué?
02
El flector máximo
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector máximo de la viga, en kN·m?
Tu respuesta al paso 2un número, en kN·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El canto
COMP2
Con $b = 40\ \text{mm}$ y $\sigma_{\text{adm}} = 12\ \text{MPa}$ , ¿cuánto vale el canto $h$ ?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el dimensionamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las reacciones salen de los momentos: 2,4 kN en A y 3 kN en D, que suman las dos cargas.
2. El flector es una poligonal con vértices en B y en C, y el mayor es el de C, 2,4 kN·m.
3. Con W = bh²/6 e imponiendo σ = M/W ≤ 12 MPa sale h = 173,2 mm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.15 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La carga máxima de una viga con sección en T

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Calcular el valor máximo de la carga $P$ de la figura sabiendo que la tensión normal admisible de tracción es $20\ \text{kg}/\text{cm}^{2}$ y de compresión $150\ \text{kg}/\text{cm}^{2}$ .

El valor máximo de la carga P, en kilogramos-fuerza.

01
Reconocer el camino
COMP1
La sección es una T y el material aguanta muy distinto a tracción (20) que a compresión (150). ¿Qué hay que comprobar?
02
El centro de gravedad de la sección
COMP2
¿A qué distancia de la fibra inferior está el centro de gravedad de la sección?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El momento de inercia
COMP2
¿Cuánto vale el momento de inercia de la sección respecto del eje neutro?
Tu respuesta al paso 3un número, en cm a la cuarta — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La carga máxima
COMP2
¿Cuál es el valor máximo de $P$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en kg* (kilogramos-fuerza) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el razonamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría cada apoyo lleva P/2, y el flector vale 0,75P en el centro y −0,75P en los apoyos: el mismo valor con los dos signos.
2. El eje neutro pasa a 31 cm de la fibra inferior, así que la superior está a 59 cm, casi al doble.
3. En el apoyo el flector es negativo y tracciona la fibra de arriba, la más alejada, justo la que solo aguanta 20.

Resolución completa

Las reacciones y el flector. La carga total es $P$ y el problema es simétrico, así que cada apoyo lleva $P/2$ . En el apoyo $A$ , con el voladizo de la izquierda:

M_A = -\frac{P}{4}\cdot 3 = -0{,}75P \qquad M_{\text{centro}} = \frac{P}{2}\cdot 6 - \frac{P}{4}\cdot 9 = +0{,}75P

Los dos valen lo mismo, en kg·m, y con signos opuestos. Eso es lo que hace interesante al problema.

La sección. Con el ala abajo, el centro de gravedad queda a

\overline{y} = \frac{1600 \cdot 10 + 1400 \cdot 55}{3000} = 31\ \text{cm}

de la fibra inferior, y la superior queda a $90 - 31 = 59$ cm. El momento de inercia respecto del eje neutro, con Steiner:

I = 53\,333 + 705\,600 + 571\,667 + 806\,400 = 2\,137\,000\ \text{cm}^{4}

Las cuatro comprobaciones. Con $M = 75P$ en kg·cm:

sección	fibra	trabaja a	admisible	P máximo
centro	inferior, 31 cm	tracción	20	18 383
centro	superior, 59 cm	compresión	150	72 441
apoyo	superior, 59 cm	tracción	20	9 659
apoyo	inferior, 31 cm	compresión	150	137 870

Manda la tercera, con quince veces menos margen que la cuarta:

P_{\max} = \frac{20 \cdot 2\,137\,000}{75 \cdot 59} = 9658{,}7\ \text{kg}^{*}

que es el resultado publicado, 9658,75 kg*. La lección está en la tabla: la sección más cargada y la fibra más alejada no bastan por separado cuando el material tiene dos admisibles distintas.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.16 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica D = 3,99 cm; ese valor sale de dimensionar solo el tramo BC y deja el tramo AB a 3200 kg/cm2, más de cinco veces la admisible, así que aquí se publica el diámetro que cumplen los dos tramos, 6,98 cm. Justo antes de este ejercicio la colección abre su bloque marcado como de nivel de examen.

El eje escalonado a torsión, y qué tramo manda

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La viga circular de la figura posee el tramo $AB$ con un diámetro $D$ y el tramo $BC$ con un diámetro $2D$ . Calcular:

a. El diagrama de momentos torsores en función de $M_O$ .

b. El valor del diámetro D siendo $M_O = 0{,}2\ \text{T}\cdot\text{m}$ , $\tau_{adm} = 600\ \text{kg}/\text{cm}^{2}$ , $a = 1\ \text{m}$ .

El diagrama de momentos torsores en función de M sub o y el diámetro D que cumple en los dos tramos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué fija el momento torsor de cada tramo?
02
El torsor del tramo delgado
COMP2
¿Cuánto vale el momento torsor del tramo $AB$ , en unidades de $M_O$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a M sub o — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El diámetro
COMP2
¿Qué diámetro $D$ hace falta para que los dos tramos aguanten?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el dimensionamiento. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El diagrama de torsores es uniforme a trozos: 2Mo en AB y 3Mo en BC, con un escalón de Mo en B.
2. La tensión máxima de cada tramo va como el torsor partido por el cubo del diámetro, y en AB eso es 2Mo/D³ frente a 3Mo/8D³ en BC.
3. El tramo delgado está más de cinco veces más solicitado, así que es el que dimensiona: D = 6,98 cm.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.17 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La ménsula con carga repartida, par y fuerza en el extremo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La viga $AB$ soporta una carga uniformemente repartida en $CD$ , una carga puntual en $B$ y un momento en $E$ . Las dimensiones de la sección de están en $cm$ . Determinar:

a. Diagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en función de $q_0$ y $a$ .

b. Si $a = 1\ m$ , calcular $q_0$ teniendo en cuenta que $\sigma_{max} = 1.200\ kg/cm^2$ .

Los diagramas de cortante y flector en función de q sub cero y a, y el valor de q sub cero.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué le hace al diagrama el momento aplicado en $E$ ?
02
El flector en el empotramiento
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector en el empotramiento $A$ , en unidades de $q_0 a^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente de q0 a al cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector máximo
COMP2
¿Y el mayor momento flector de toda la viga, en unidades de $q_0 a^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente de q0 a al cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La carga
COMP2
Con $a = 1$ m y $\sigma_{\max} = 1200\ \text{kg}/\text{cm}^{2}$ , ¿cuánto vale $q_0$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, en kg/m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El equilibrio vertical da la reacción del empotramiento: q0·a hacia arriba, porque la repartida vale 2q0a y en B suben q0a.
2. La cortante vale q0a hasta C, baja hasta −q0a en D y se queda ahí hasta B, donde la fuerza del extremo la devuelve a cero.
3. El flector sube de 2q0a² en A hasta 3,5q0a² en el centro del tramo cargado, que es donde V se anula, y baja después con el escalón del par en E.

Resolución completa

La reacción. El equilibrio vertical de toda la viga da $R_A = 2q_0a - q_0a = q_0a$ hacia arriba.

La cortante. Con el convenio del curso, $V$ es la suma de las fuerzas hacia arriba a la izquierda:

V = q_0 a \quad (0 \le x \le a) \qquad V = q_0a - q_0(x-a) \quad (a \le x \le 3a) \qquad V = -q_0 a \quad (3a \le x \le 5a)

y se anula en $x = 2a$ , el centro del tramo cargado.

El flector. Integrando $dM/dx = V$ desde el extremo libre y contando el escalón del par en E:

sección	M
A	2 q0a²
C	3 q0a²
x = 2a	3,5 q0a²
D	3 q0a²
E por la izquierda	2 q0a²
E por la derecha	1 q0a²
B	0

El máximo es $3{,}5\,q_0a^{2}$ en $x = 2a$ , justo donde la cortante cruza el cero, y el diagrama es positivo en toda la viga: tracciona siempre la fibra inferior.

La sección y la carga. La doble T da

I = \frac{10 \cdot 20^{3}}{12} - \frac{8 \cdot 16^{3}}{12} = 3936\ \text{cm}^{4} \qquad W = 393{,}6\ \text{cm}^{3}

y con la admisible:

3{,}5\,q_0 a^{2} = \sigma_{\max} W = 4723{,}2\ \text{kg}\cdot\text{m} \;\Longrightarrow\; q_0 = 1349{,}5\ \text{kg/m}

que es el resultado publicado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.18 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La viga con voladizo y el apoyo que tira hacia abajo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Para la viga de la figura:

a. Calcular los diagramas de esfuerzo tangencial, momento flector indicando los valores representativos en cada diagrama.

b. Dimensionar una viga de sección rectangular, sabiendo que la relación altura-base es $\frac{h}{b} = 3$ y que se emplea un material $A-42$ de limite elástico (tracción y compresión) $\sigma_y = 250\ MPa$ , y siendo el coeficiente de seguridad de 1,5.

Los diagramas de cortante y flector con sus valores representativos, y las dimensiones b y h de la sección rectangular.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular: ¿qué esperas de la reacción del apoyo $A$ ?
02
La reacción del apoyo intermedio
COMP2
¿Cuánto vale la reacción del apoyo $C$ , en kN?
Tu respuesta al paso 2un número, en kN — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector que dimensiona
COMP2
¿Cuál es el mayor momento flector en valor absoluto, en kN·m?
Tu respuesta al paso 3un número, en kN·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La base de la sección
COMP2
Con $h = 3b$ , $\sigma_y = 250$ MPa y coeficiente de seguridad 1,5, ¿cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en A: R_C = 18,6 kN hacia arriba, y con el equilibrio vertical R_A = 11,2 kN hacia abajo.
2. La cortante baja de −11,2 a −12 kN en AC, salta a +6,6 kN al pasar el apoyo C y baja hasta +5 kN en B, donde la carga puntual la anula.
3. El flector es nulo en los dos extremos y máximo en C, con −4,64 kN·m: la viga tracciona ahí la fibra de arriba.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.19 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen. Publica Ox = 8Mg/3 y Cx = -8Mg/3, y con la geometría de la figura esas dos componentes no cierran el equilibrio de momentos del conjunto: sobra 2MgL. Aquí se publica el valor que sí lo cierra, 4Mg/3, comprobado por dos caminos independientes. Lo demás que publica la colección -Oy = 0, Cy = 6Mg y la sección y la fibra más solicitadas- sí se reproduce.

La viga con la celosía articulada encima

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sistema mecánico de la figura está en equilibrio estático. Está formado por una viga de longitud $2L$ , articulada en $O$ a un apoyo fijo, y unida en $A$ con la estructura articulada superior (a su vez articulada en el apoyo fijo $C$ ). La viga soporta una carga distribuida de valor constante $Mg/L$ (unidades de $N/m$ ), mientras que la estructura articulada soporta cuatro cargas puntuales de valor $Mg$ .

a. Reacciones en los apoyos $O$ y $C$ .

b. Diagramas de esfuerzos axiales, cortantes y momentos flectores en la viga.

c. Suponiendo la viga de sección transversal rectangular ( $b\ x\ h$ ), discutir cual es la sección más solicitada de la viga, y dentro de la propia sección, señalar el/los puntos de tensión normal máxima (en valor absoluto). Plantear el cálculo de dicha tensión máxima en función de $b$ y $h$ .

Las reacciones en O y en C, los diagramas de la viga y la sección y la fibra más solicitadas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la componente vertical de la reacción en $O$ vale cero?
02
La reacción vertical del apoyo fijo
COMP2
¿Cuánto vale $C_y$ , en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La reacción horizontal
COMP2
¿Cuánto vale $O_x$ , en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente que multiplica a Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El flector de la viga
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector de la viga en $A$ , en unidades de $Mg\,L$ , con su signo?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, el coeficiente de Mg por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la discusión del apartado c. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La sección más solicitada es A, y por el lado izquierdo: ahí coinciden el flector máximo, MgL/2, y el axil de compresión del tramo OA, 4Mg/3.
2. Justo a la derecha de A el axil se anula, porque la celosía mete en ese nudo una fuerza horizontal que compensa la reacción de O.
3. En esa sección el flector es negativo y comprime la fibra inferior, y el axil de compresión se suma a él precisamente ahí.

Resolución completa

La viga, primero. Su carga repartida vale $Mg/L$ en una longitud $2L$ , o sea $2Mg$ , con la resultante en el centro, que es justo $A$ . Tomando momentos en $A$ para la viga sola, ni esa resultante ni la fuerza que la celosía le hace en $A$ dan momento:

O_y \cdot L = 0 \;\Longrightarrow\; O_y = 0

y del equilibrio vertical, la celosía tira de la viga hacia arriba en $A$ con $2Mg$ .

El sistema completo. Verticalmente,

C_y = 4Mg + 2Mg = 6\,Mg

y tomando momentos respecto de $C$ , que está en $(L/2,\ 3L/2)$ si $O$ es el origen:

\frac{3L}{2}\,O_x = 2\,Mg\,L \;\Longrightarrow\; O_x = \frac{4}{3}Mg \qquad C_x = -\frac{4}{3}Mg

Los diagramas de la viga. El axil vale $-4Mg/3$ en el tramo $OA$ —compresión— y cero en $AB$ , porque la celosía mete en $A$ la horizontal que compensa la reacción de $O$ . La cortante baja de 0 a $-Mg$ en $A^{-}$ , salta a $+Mg$ con la fuerza de la celosía y vuelve a 0 en $B$ . El flector es negativo en toda la viga, nulo en los extremos y mínimo en $A$ :

M_A = -\frac{Mg}{L}\cdot L\cdot\frac{L}{2} = -\frac{MgL}{2}

La sección más solicitada, que es el apartado c. Es $A$ por el lado izquierdo: ahí el flector es máximo en valor absoluto y además todavía hay axil de compresión, que a la derecha ya no está. Dentro de la sección, el flector negativo comprime la fibra inferior y tracciona la superior, mientras que el axil comprime las dos por igual; los dos efectos se suman abajo:

|\sigma|_{\max} = \frac{4Mg}{3bh} + \frac{6\,(MgL/2)}{b h^{2}} = \frac{4Mg}{3bh} + \frac{3MgL}{b h^{2}}

que coincide con lo publicado: la peor sección es A desde la izquierda y, dentro de ella, la fibra más baja.

La discrepancia, dicha entera. La colección publica $O_x = 8Mg/3$ y $C_x = -8Mg/3$ , el doble de lo que sale aquí. Con la geometría de la figura — $C$ a $L/2$ de $O$ y a $3L/2$ de altura— esos valores no cierran los momentos del sistema respecto de $O$ : dejan un residuo de $2MgL$ . El valor de arriba se ha comprobado por dos caminos independientes —momentos del conjunto respecto de $C$ y equilibrio de la celosía sola— y anula todas las ecuaciones. Los otros tres resultados publicados sí se reproducen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.20 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen y no publica resultado: imprime «Resultado: [-]». Su figura tampoco incluye la sección transversal, así que los apartados c y d no se pueden resolver con lo publicado; aquí se resuelven a y b, y el desarrollo es nuestro.

La viga con rótula intermedia y carga triangular

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La viga $AF$ de $8\ m$ de longitud está empotrada en $A$ , articulada en $C$ y tiene un apoyo móvil en $F$ . Soporta una carga distribuida triangular con $q_{max} = 2\ kN/m$ , una carga puntual $P = 4\ kN$ en D y una carga axial $Q = 3\ kN$ , como aparece en la figura. Calcular:

a. Reacciones en los puntos $A$ y $F$ .

b. Diagramas de esfuerzo cortante ( $V$ ) y momento flector ( $M$ ).

c. Posición del centro de gravedad de la sección y momento de inercia respecto del eje horizontal que pasa por el centro de gravedad.

d. Tensión normal máxima.

Las reacciones en A y en F y los diagramas de cortante y de momento flector.

01
Reconocer el camino
COMP1
Hay cuatro incógnitas de reacción —tres del empotramiento y una del apoyo móvil— y solo tres ecuaciones de equilibrio. ¿Qué aporta la rótula de $C$ ?
02
La reacción del apoyo móvil
COMP2
¿Cuánto vale la reacción vertical en $F$ , en kN?
Tu respuesta al paso 2un número, en kN — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La reacción vertical del empotramiento
COMP2
¿Cuánto vale la reacción vertical en $A$ , en kN?
Tu respuesta al paso 3un número, en kN — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento del empotramiento
COMP2
¿Cuánto vale el momento flector en $A$ , en kN·m, con su signo?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, en kN·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El tramo CF, con momentos en C, da R_F = 1 kN, y la rótula transmite 3 kN hacia arriba al tramo de la izquierda.
2. El tramo AC lleva la carga triangular de 2 kN y esos 3 kN, así que A_y = 5 kN y M_A = −14,67 kN·m.
3. El axil vale 3 kN de tracción entre A y E, y cero entre E y F, porque la carga axial se aplica en E.

Resolución completa

La rótula es la clave. Con empotramiento en $A$ (tres reacciones) y apoyo móvil en $F$ (una), hay cuatro incógnitas y tres ecuaciones. La articulación de $C$ añade la que falta: $M_C = 0$ .

El tramo CF. Aislándolo, con la rótula a la izquierda y el apoyo móvil a la derecha, y tomando momentos en C:

R_F \cdot 4 = 4 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; R_F = 1\ \text{kN}

así que por la rótula pasan $4 - 1 = 3$ kN verticales. La carga axial $Q$ va por el eje, no da momento, y se transmite entera hacia el empotramiento: el apoyo móvil no puede recogerla.

El tramo AC. Soporta la carga triangular —resultante $2$ kN a $\frac{2}{3}\cdot 2 = 1{,}33$ m de A— y los 3 kN de la rótula a 4 m:

A_x = 3\ \text{kN (hacia la izquierda)} \qquad A_y = 5\ \text{kN} \qquad M_A = -14{,}67\ \text{kN}\cdot\text{m}

Los diagramas. El axil vale $+3$ kN entre A y E y cero entre E y F. La cortante parte de 5 kN, baja como una parábola hasta 3 kN en B —la carga es lineal, así que $V$ es de segundo grado—, se mantiene en 3 kN hasta D, salta a $-1$ kN y se queda ahí hasta F, donde la reacción la cierra. El flector va de $-14{,}67$ kN·m en A a cero en la rótula, sube hasta $+3$ kN·m en D —donde la cortante cambia de signo— y vuelve a cero en el apoyo móvil.

Qué no se puede resolver, y por qué. Los apartados c y d piden el centro de gravedad, la inercia y la tensión máxima de la sección, y la figura publicada no la incluye: no hay ninguna sección dibujada ni acotada en el enunciado. La colección tampoco publica resultado —imprime «Resultado: [-]»—. Con lo publicado, esos dos apartados no tienen datos, y no se inventan: en cuanto se conozca la sección, el camino es el de siempre, $\sigma_{\max} = M_{\max}\,y_{\max}/I$ con $M_{\max} = 14{,}67$ kN·m en el empotramiento, sumando el axil $N/A = 3\ \text{kN}/A$ en las secciones entre A y E.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.21 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen y publica los apartados a, b y c, contra los que está contrastado el desarrollo. Sus valores del apartado c son numéricos y llaman A al empotramiento que el enunciado llama G; solo se reproducen tomando P = 1.000 kg y L = 1 m, que el enunciado no da: con esos dos valores salen exactamente sus 2.000 kg, 4.744 kg y 761.303 kg por cm.

La celosía atada por un hilo y la viga empotrada

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sistema mecánico de la figura está en equilibrio en la posición mostrada. La estructura articulada $OABCDEF$ está atada a un hilo $OO'$ (peso despreciable) y en $F$ está articulada a una vida $FG$ . La viga $EF$ soporta una carga distribuida de valor $\frac{P}{L}$ , está empotrada en $G$ y tiene sección rectangular $b\ x\ h$ :

a. Tensión (fuerza interna) en el hilo $OO'$ .

b. Fuerzas internas en barras $OB$ , $AB$ y $AC$ .

c. Reacciones en el empotramiento $G$ .

d. Diagramas de esfuerzos axiales, cortantes y momentos flectores en la viga $FG$ , indicando los valores máximos.

e. Obtener la tensión normal máxima señalando la sección donde se produce.

La tensión del hilo, las fuerzas en las barras, las reacciones en G, los diagramas de FG y la tensión normal máxima.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuál es la forma más corta de sacar la tensión del hilo $OO'$ ?
02
La tensión del hilo
COMP2
¿Cuánto vale la tensión del hilo $OO'$ , en unidades de $P$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a P — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La barra del cordón superior
COMP2
¿Cuánto vale la fuerza interna de la barra $OB$ , en unidades de $P$ , con su signo?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, el coeficiente de P — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El momento del empotramiento
COMP2
¿Cuánto vale el momento en el empotramiento $G$ , en unidades de $P\,L$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente de P por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena el apartado e. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La sección más solicitada de FG es la del empotramiento G, donde el flector vale 7,613 PL, el mayor de la viga.
2. Ahí hay además axil: la celosía tira de F hacia la izquierda con 2P, así que toda la viga está traccionada con N = 2P.
3. El flector de G es negativo y tracciona la fibra superior, justo donde el axil de tracción también suma.

Resolución completa

El hilo. La celosía tiene tres incógnitas exteriores: la tensión $T$ del hilo, vertical, y las dos componentes del pasador $F$ . Tomando momentos respecto de $F$ , con la altura de los triángulos equiláteros $L\sqrt{3}/2$ , la fuerza de $2P$ aplicada en A también aporta:

3L\,T = \frac{5}{2}PL + \frac{3}{2}PL - \sqrt{3}\,PL \;\Longrightarrow\; T = \frac{4-\sqrt{3}}{3}P = 0{,}756\,P

que es el resultado publicado.

Las barras. En el nudo O, con el hilo vertical y las barras OB y OA:

N_{OA} = \frac{2T}{\sqrt{3}} = 0{,}873\,P \qquad N_{OB} = -\frac{N_{OA}}{2} = -\frac{4\sqrt{3}-3}{9}P = -0{,}4365\,P

y en el nudo A, con las dos cargas:

N_{AB} = \frac{6-2\sqrt{3}}{9}P = 0{,}282\,P \qquad N_{AC} = \frac{12+5\sqrt{3}}{9}P = 2{,}296\,P

Las tres de tracción salvo OB, comprimida, como publica la colección.

El pasador y las reacciones en G. Del equilibrio de la celosía, el pasador $F$ le hace $2P$ hacia la derecha y $(8+\sqrt{3})P/3 = 3{,}244P$ hacia arriba; sobre la viga, lo contrario. Entonces:

G_x = 2P \qquad G_y = 3{,}244P + 1{,}5P = 4{,}744\,P \qquad M_G = 7{,}613\,PL

Con $P = 1000$ kg y $L = 1$ m son 2 000 kg, 4 744 kg y 761 303 kg·cm, exactamente los tres valores publicados.

Los diagramas de FG. El axil es constante, $N = 2P$ de tracción: la celosía tira del extremo libre en sentido contrario a la pared. La cortante vale $-3{,}244P$ en el tramo descargado y baja en línea recta hasta $-4{,}744P$ en G. El flector es nulo en F —es una articulación— y crece en valor absoluto hasta $-7{,}613\,PL$ en el empotramiento.

La tensión máxima. En la sección de G, con la sección rectangular $b \times h$ , el flector negativo tracciona la fibra superior y el axil tracciona toda la sección: los dos se suman arriba.

\sigma_{\max} = \frac{N}{bh} + \frac{6M_G}{b h^{2}} = \frac{2P}{bh} + \frac{45{,}68\,PL}{b h^{2}}

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 6.22 · Tema 6, «Principios de resistencia de materiales» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo marca como de nivel de examen y publica los resultados de los apartados b, c y d, contra los que está contrastado el desarrollo: los cuatro se reproducen.

El pórtico con dos cables, y la sección que vale para los dos

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La columna $ABC$ y la viga $BDF$ poseen la misma sección rectangular, siendo $h = 2b$ . Se pide:

a. Sobre la viga $BDF$ , expresar los esfuerzos axiales, cortantes y momentos flectores en función de $q_0$ y de $a$ .

b. Sobre la columna $ABC$ , expresar los momentos flectores y el esfuerzo axial máximo en función de $q_0$ y de $a$ .

c. Si $a = 500\ mm$ y $q_0 = 10\ N/mm$ , dimensión $b$ de la sección si $\sigma_{adm} = 50\ MPa$ en los dos elementos.

d. Bajo las mismas condiciones del apartado anterior, determinar el radio de los cables $CD$ y $GH$ si ambos son de la misma sección teniendo en cuenta que $\sigma_{adm} = 200\ MPa$ .

Los esfuerzos de la viga y de la columna en función de q sub cero y a, la dimensión b y el radio de los cables.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Con qué ecuación sale la tensión del cable $CD$ de un tirón?
02
La tensión del cable inclinado
COMP2
¿Cuánto vale la tensión del cable $CD$ , en unidades de $q_0 a$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente de q0 por a — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El flector que dimensiona
COMP2
¿Cuál es el mayor momento flector de todo el conjunto, en unidades de $q_0 a^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente de q0 a al cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La dimensión de la sección
COMP2
Con $a = 500$ mm, $q_0 = 10$ N/mm y $\sigma_{adm} = 50$ MPa, ¿cuánto vale $b$ ?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
El radio de los cables
COMP2
Con $\sigma_{adm} = 200$ MPa para los cables, ¿qué radio hace falta?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en B sobre la viga: el cable CD lleva 80 q0a/3, y con él la viga tiene axil de compresión 64 q0a/3 en BD y flector máximo 32 q0a² en D.
2. Momentos en A sobre la columna: el cable GH lleva 80 q0a/9, y la reacción horizontal de A vale 16 q0a/3.
3. El flector de la columna crece hasta 48 q0a² en B y baja a cero en C, y el axil máximo es 208 q0a/9 en el tramo BC.

Resolución completa

La viga BDF. Tiene tres incógnitas: las dos componentes del nudo B y la tensión del cable CD, que va de D a C subiendo $3a$ y retrocediendo $4a$ , o sea con longitud $5a$ . Momentos en B:

\frac{3}{5}T_{CD}\cdot 4a = 8q_0a\cdot 8a \;\Longrightarrow\; T_{CD} = \frac{80}{3}q_0a

Con ella, el nudo B recibe $\frac{64}{3}q_0a$ horizontales y la viga queda con axil de compresión $\frac{64}{3}q_0a$ en BD y nulo en DF —el cable lo cancela—, cortante de $-8q_0a$ en BD, $+8q_0a$ justo pasado D y cero en F, y flector que baja hasta $-32q_0a^{2}$ en D y vuelve a cero en el extremo libre.

La columna ABC. Sobre ella actúan la reacción de A, el cable GH —que baja $12a$ y retrocede $9a$ , longitud $15a$ — y lo que le pasa la viga en B. Momentos en A:

T_{GH} = \frac{80}{9}q_0a \qquad A_x = \frac{16}{3}q_0a \qquad A_y = \frac{136}{9}q_0a

El flector de la columna crece linealmente desde cero en A hasta

M_B = \frac{16}{3}q_0a\cdot 9a = 48\,q_0a^{2}

y vuelve a cero en C, donde solo hay cables. El axil es de compresión: $\frac{136}{9}q_0a$ en AB y

N_{\max} = \frac{208}{9}q_0a

en BC, los dos valores publicados.

La sección. La peor combinación está en B, en la columna: el flector máximo y el axil máximo a la vez. Con $h = 2b$ , $A = 2b^{2}$ y $W = 2b^{3}/3$ :

\frac{N}{2b^{2}} + \frac{3M}{2b^{3}} \le \sigma_{adm}

y con $M = 1{,}2\cdot 10^{8}$ N·mm y $N = 115\,556$ N sale $b = 155{,}8$ mm, o sea b = 156 mm. Conviene ver cuánto aporta el axil: solo con flexión saldrían 153,3 mm, así que despreciarlo dejaría la pieza un 2 % corta.

Los cables. El más cargado es CD, con $\frac{80}{3}q_0a = 133\,333$ N:

A \ge \frac{133\,333}{200} = 666{,}7\ \text{mm}^{2} \qquad R = \sqrt{\frac{666{,}7}{\pi}} = 14{,}6\ \text{mm}

Los cuatro resultados publicados se reproducen.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Fundamentos de resistencia de materiales

Fuerzas y momentos de sección

El convenio de signos del curso

El equilibrio de un elemento diferencial

Cómo se dibujan los diagramas

La viga, y dónde tiene de verdad su peor flector

Tensiones, deformaciones y la ley de Hooke

Esfuerzo axil: tracción y compresión

Flexión

Torsión

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

La cortante a 1 m del apoyo

El flector máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El eje macizo

El eje hueco

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La reacción del apoyo A

El flector máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La reacción del apoyo A

El flector máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La cortante a un cuarto de la luz

El flector máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La cortante

El flector justo a la derecha del par

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La reacción del apoyo A

La sección de flector máximo positivo

El flector sobre el apoyo B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La reacción del apoyo A

El flector máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La reacción del apoyo E

La reacción del apoyo C

El flector máximo en valor absoluto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La reacción del apoyo A

Dónde se anula la cortante

El flector máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La reacción del apoyo A

Dónde se anula la cortante

El flector máximo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El flector en el empotramiento

Dónde se anula la cortante

El flector extremo del vano

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El par que soporta el empotramiento

El torsor del tramo DE

El tramo más solicitado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El axil justo por encima de la carga de 2 kN

El axil en la base

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente que flexiona

La componente que estira

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El flector máximo

El canto