Mecánica Aplicada · tema 05

Cables

Un cable solo tira, y su componente horizontal es la misma en todo él. Con cargas sueltas es una línea quebrada, con carga uniforme en horizontal una parábola, y con su propio peso una catenaria.

Un cable no es un sólido rígido: se dobla, se estira, cambia de forma con la carga. Y aun así se estudia con la estática, porque una vez que está en equilibrio sus puntos ya no se mueven unos respecto de otros, y cada trozo es un cuerpo en equilibrio como los del tema 3. Solo hay que añadir lo que lo distingue de una barra: un cable solo trabaja a tracción. No empuja, y no aguanta momentos.

De esa sola propiedad sale todo el tema, y la idea que lo ordena cabe en una línea: la componente horizontal de la tensión es la misma en todos los puntos del cable. Lo que cambia de un tipo de cable a otro es cómo se reparte la carga, y eso decide la forma.

Y es el tema que más cae del bloque 1: aparece en las tres convocatorias con enunciado en castellano. En enero de 2024, como cuestión de teoría —deducir la longitud y la tensión de la catenaria— y dentro del primer ejercicio; en la ordinaria de 2025, en el primer ejercicio, con un cable que pasa por una polea; y en la extraordinaria de 2025, dos veces: un cable parabólico en la teoría y una catenaria en el ejercicio.

Tres maneras de cargar un cable

Cargas concentradas, mucho mayores que el peso del cable, que se desprecia. Entre carga y carga no hay nada que curve el cable, así que es una línea quebrada de tramos rectos.
Carga uniforme por unidad de abscisa, $q$ newtons por cada metro medido en horizontal. Es el puente colgante: el tablero cuelga del cable principal por muchos tirantes verticales y su peso se reparte igual a lo largo de la luz. El cable es una parábola.
Su propio peso, $w$ newtons por cada metro de cable. La carga ya no se reparte igual en horizontal: donde el cable está más inclinado, un metro de horizontal lleva más cable encima. El cable es una catenaria.

El equilibrio de un tramo

Llama $O$ al punto más bajo, donde el cable es horizontal y su tensión es $T_0$ , y $P$ a un punto cualquiera, donde la tensión $T$ forma un ángulo $\theta$ con la horizontal. Si aíslas el tramo $OP$ y $R$ es la resultante de la carga que soporta:

T\cos\theta = T_0 \qquad T\sin\theta = R

La primera es la idea del tema: la componente horizontal de la tensión vale $T_0$ en todos los puntos. Por eso la tensión es mínima en el punto más bajo y máxima en los amarres, donde el cable está más inclinado. Y de las dos juntas:

T = \sqrt{T_0^{2} + R^{2}}

Sumar la tensión mínima y la carga como si fueran paralelas

En el amarre, la tensión tiene una componente horizontal $T_0$ y una vertical igual a la carga del tramo, $R$ . Son perpendiculares, así que se combinan con Pitágoras, $\sqrt{T_0^{2} + R^{2}}$ , y no sumándolas. Sumarlas da una tensión máxima más grande que la real, y el error no se nota porque el orden de magnitud es el mismo.

La ecuación del cable

Planteando el mismo equilibrio en un trozo diferencial de cable, sale una ecuación que vale para cualquier carga repartida por unidad de abscisa, $q(x)$ :

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{q(x)}{T_0}

Dice que la curvatura del cable es la carga dividida por la tensión horizontal: más carga, más curvado; más tenso, más recto. Y la longitud de un tramo, desde el punto más bajo, sale de sumar los $ds = \sqrt{1 + y'^{2}}\,dx$ :

s = \int_0^{x} \sqrt{1 + y'^{2}}\,dx

Cargas concentradas

Sin carga entre dos cargas, $y'' = 0$ y el tramo es recto. El cable es una línea quebrada con un vértice en cada carga. Pero la forma no está determinada solo por las cargas: un mismo conjunto de cargas cuelga igual de bien más tenso y más recto o más flojo y más curvado. Hace falta un dato más —la flecha de un punto, la tensión en un tramo, un ángulo—, y el enunciado siempre lo da.

Carga uniforme por unidad de abscisa: la parábola

Con $q = q_0$ constante, integrar dos veces con el origen en el punto más bajo, donde $y = 0$ e $y' = 0$ , da

y = \frac{q_0}{2T_0}\,x^{2}

Una parábola. Lo mismo sale del equilibrio del tramo, sin integrar: la carga del tramo $OP$ es $q_0 x$ , aplicada en su mitad, y tomando momentos en $P$ queda $T_0\,y = q_0 x \cdot x/2$ .

Con esa ecuación, lo que suelen pedir los problemas se reduce a leer dos datos de la geometría. Si conoces la luz y la flecha, $T_0$ sale de despejar la ecuación en el amarre; y la tensión máxima, en el amarre, es $\sqrt{T_0^{2} + (q_0 x)^{2}}$ .

Su propio peso: la catenaria

Si la carga es el peso del propio cable, $w$ por unidad de longitud, lo que pesa un tramo de horizontal $dx$ es lo que pesa el cable que tiene encima, $ds$ : $q\,dx = w\,ds$ . Metiéndolo en la ecuación del cable queda una ecuación diferencial que ya no es de integrar a la vista, y que conviene escribir con un parámetro nuevo, el parámetro de la catenaria:

c = \frac{T_0}{w}

que es una longitud: la de un trozo de cable que pesaría lo mismo que la tensión en el punto más bajo. Integrando, y con el origen puesto a una distancia $c$ por debajo del punto más bajo —que es la elección que limpia las ecuaciones—, salen las tres de la catenaria:

y = c\,\cosh\frac{x}{c} \qquad s = c\,\sinh\frac{x}{c} \qquad T = w\,y

La tercera se deduce de las otras dos, y es justo lo que pedía la cuestión 2 de enero de 2024. La tensión es $T = \sqrt{T_0^{2} + (ws)^{2}} = w\sqrt{c^{2} + s^{2}}$ , y como $\cosh^{2} - \sinh^{2} = 1$ , $c^{2} + s^{2} = c^{2}\cosh^{2}(x/c) = y^{2}$ . Así que la tensión en un punto es el peso de un trozo de cable tan largo como la altura de ese punto sobre el eje $x$ .

Un cable de w = 10 N/m con 20 N de tensión en su punto más bajo: parámetro c = 2 m, que es también la distancia de O al eje x. En P, a 3 m en horizontal, el cable está 4,705 m por encima del eje y la tensión vale el peso de 4,705 m de cable: 47 N. La longitud de cable de O a P es 4,259 m, y se comprueba que 4,705² = 2² + 4,259².

Medir la y de la catenaria desde el punto más bajo

Las tres fórmulas de la catenaria valen con el origen del eje $y$ a una distancia $c$ por debajo del punto más bajo, no en él. En el punto más bajo, $y = c$ , no cero. Si mides la altura desde $O$ , estás usando $y - c$ , y entonces $T = w\,y$ da la tensión de un trozo de cable $c$ más corto de la cuenta. Los enunciados suelen dar diferencias de cota entre amarres, y esas no dependen del origen; lo que sí depende es cada altura suelta.

Cuándo se puede tratar como parábola y cuándo no es una pregunta de números, así que aquí está con números: mueve la flecha y mira lo que cuesta confundirlas.

La catenaria, su directriz y la parábola que no es

mueve la flecha y mira cuánto se separan

vano 6,0 m

flecha 2,71 m

peso del cable 10,0 N/m

sección que se mide 3,0 m

casos publicados

el parámetroc = 2,00 mT0 = 20,0 N, la tensión en el punto más bajo

en la sección mediday = 4,705 m · s = 4,259 my² = c² + s², la identidad del tema

tensión ahí47,0 Nel peso de 4,705 m de cable, a 64,8°

si la tratas de parábola−4,3 %de error en la tensión máxima

Cómo se atacan los problemas de catenaria

Lo típico es que el enunciado dé algunas de estas cosas y pida las demás: la luz, la flecha o la diferencia de cota entre amarres, la longitud de cable, el ángulo en un amarre, la tensión mínima o la máxima. Las herramientas son siempre las mismas cuatro relaciones:

y = c\cosh\frac{x}{c} \qquad s = c\sinh\frac{x}{c} \qquad y^{2} = c^{2} + s^{2} \qquad \tan\theta = \sinh\frac{x}{c} = \frac{s}{c}

La tercera ahorra hiperbólicas cuando conoces una longitud y una altura. La cuarta da el ángulo en cualquier punto, y con él las componentes de la tensión: $T\cos\theta = T_0$ en horizontal y $T\sin\theta = w\,s$ en vertical. Y si en algún paso queda $c$ dentro y fuera de un coseno hiperbólico, la ecuación no se despeja: se resuelve por tanteo, y la calculadora está permitida.

Lo que hay que llevarse

Un cable solo tira. Su tensión horizontal $T_0$ es la misma en todos los puntos: mínima en el punto más bajo, máxima en los amarres, $T = \sqrt{T_0^{2} + R^{2}}$ .
Cargas concentradas: tramos rectos, y un dato extra fija la forma.
Carga uniforme por abscisa: parábola, $y = q_0 x^{2}/(2T_0)$ .
Peso propio: catenaria, con $c = T_0/w$ y el origen $c$ por debajo del punto más bajo. $y = c\cosh(x/c)$ , $s = c\sinh(x/c)$ y $T = w\,y$ .

Practica lo que acabas de leer

El cable de un puente colgante, y dónde tira más

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El cable de un puente colgante, y dónde tira más

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El cable principal de un puente colgante tiene sus dos amarres a la misma altura, separados 40 m, y su punto más bajo, en el centro, está 5 m por debajo de ellos. Soporta una carga uniforme por unidad de abscisa $q_0 = 2\ \text{kN/m}$ y su peso propio se desprecia. Calcular la tensión en el punto más bajo y la tensión máxima.

La tensión mínima, en el centro, y la máxima, en los amarres.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué forma tiene el cable, y por qué?
02
La tensión en el punto más bajo
COMP2
¿Cuánto vale $T_0$ ?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La tensión máxima
COMP2
¿Cuánto vale la tensión en los amarres?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Carga uniforme en horizontal: el cable es la parábola $y = q_0 x^{2}/(2T_0)$ , con el origen en el punto más bajo.
2. En el amarre, $x = 20$ e $y = 5$ , así que $T_0 = 2 \cdot 400/10 = 80$ kN.
3. La componente vertical en el amarre es la carga de medio cable, 40 kN, y $T_{\max} = \sqrt{80^{2} + 40^{2}} = 89{,}4$ kN.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La longitud y la tensión de una catenaria en un punto

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cable de peso $w = 10\ \text{N/m}$ cuelga de dos amarres y su tensión en el punto más bajo $O$ es de 20 N. Calcular el parámetro de la catenaria, la longitud de cable entre $O$ y el punto $P$ situado a 3 m de $O$ en horizontal, y la tensión en $P$ .

El parámetro c, la longitud de arco de O a P y la tensión en P.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Desde dónde se mide la $y$ en las fórmulas de la catenaria?
02
El parámetro de la catenaria
COMP2
¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La longitud de cable de O a P
COMP2
¿Cuánto cable hay entre $O$ y $P$ ?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La tensión en P
COMP2
¿Cuánto vale la tensión en $P$ ?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $c = T_0/w = 2$ m, y el eje $x$ está 2 m por debajo del punto más bajo.
2. $s = c\sinh(x/c) = 2\sinh(1{,}5) = 4{,}259$ m.
3. $T = w\,y = w\,c\cosh(x/c) = 47{,}05$ N, que es también $w\sqrt{c^{2} + s^{2}}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.1 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Dos cargas colgadas y un tiro horizontal que equilibra

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Si se sabe que $P_B = 70\ \text{N}$ y $P_C = 25\ \text{N}$ , determinar el valor de $P$ necesario para el equilibrio.

Cable de cuatro puntos con los amarres A y D a la misma altura. B está 5 m por debajo de ese nivel y C, 3 m. En B actúan la carga vertical PB y la fuerza horizontal P.

El valor de la fuerza horizontal P aplicada en B.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Vale aquí que la componente horizontal de la tensión sea la misma en todo el cable?
02
La componente horizontal del tramo BCD
COMP2
Con el equilibrio del nudo $C$ , ¿cuánto vale la componente horizontal de la tensión en los tramos $BC$ y $CD$ ?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza P
COMP2
Con el equilibrio del nudo $B$ , ¿cuánto vale $P$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En C solo cuelga una carga vertical: los tramos CB y CD comparten la componente horizontal H.
2. $H(3/4 - 1/3) = 25$ , y de ahí $H = 60$ N en los tramos $BC$ y $CD$ .
3. En $B$ , la vertical de $BC$ vale $60/3 = 20$ N, así que $BA$ aporta 50 N y su horizontal es 40 N.
4. $P = 60 - 40 = 20$ N, la diferencia entre las dos componentes horizontales.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.2 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado; su apartado a rotula como y_C la elevación que el enunciado pide para D, y el desarrollo está contrastado contra los dos valores.

El cable AE con tres cargas y una cota conocida

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El cable $AE$ soporta tres cargas verticales en los puntos indicados. Si el punto $C$ está a $5\ \text{m}$ por debajo del apoyo izquierdo determinar:

a. La elevación de los puntos $B$ y $D$ .

b. La pendiente máxima y la tensión máxima en el cable.

El cable, dibujado a escala con las cotas ya resueltas. La cota conocida es la de C, 5 m por debajo de A; E está 20 m por encima de A. Las elevaciones de B y D son lo que se pide.

Las elevaciones de B y D, y la pendiente y la tensión máximas.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué dos ecuaciones dan las dos incógnitas del cable, la componente horizontal $H$ y la reacción vertical en $A$ ?
02
La componente horizontal
COMP2
¿Cuánto vale la componente horizontal $H$ de la tensión?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La elevación de B
COMP2
¿Cuánto está $B$ por debajo de $A$ ?
Tu respuesta al paso 3una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La pendiente máxima
COMP2
¿Cuántos grados forma con la horizontal el tramo más inclinado?
Tu respuesta al paso 4en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La tensión máxima
COMP2
¿Cuánto vale la tensión en ese tramo?
Tu respuesta al paso 5una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en E del cable entero y en C del trozo AC: dos ecuaciones para H y para la reacción vertical en A.
2. Resolviendo, $A_y = 5$ kN y $H = 18$ kN.
3. Momentos en $B$ del trozo $AB$ dan $y_B = 5{,}56$ m por debajo de $A$ ; en $D$ , $y_D = 5{,}83$ m por encima.
4. El tramo más inclinado es $DE$ , con $\tan\theta = 0{,}944$ , y ahí $T_{\max} = 18/\cos\theta = 24{,}76$ kN.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.3 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un cable sin peso con dos cargas repartidas distintas

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura representa un cable sin peso sometido a dos cargas distribuidas. La carga $p$ es conocida de valor $p\ (\text{N/m})$ y la distancia entre los apoyos $A$ y $B$ es $L$ . Sabiendo que $C$ es el punto más bajo y su tensión igual a la carga total soportada, calcular:

a. Valor de $q$ .

b. Tensión en $C$ .

c. Flecha del cable (en $C$ ).

d. Ecuaciones de los tramos $AC$ y $CB$ , expresadas en los ejes dados.

Los dos tramos son parábolas con la misma tensión horizontal. La carga q del tercio derecho es cuatro veces p, que es justo lo que hace que C, la frontera entre las dos, sea el punto más bajo.

El valor de q, la tensión en C, la flecha y las ecuaciones de los dos tramos.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué condición traduce que $C$ sea el punto más bajo del cable?
02
El valor de q
COMP2
El resultado tiene la forma $q = k\,p$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La tensión en C
COMP2
El enunciado dice que la tensión en $C$ es igual a la carga total soportada. Con la forma $T_C = k\,pL$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La flecha
COMP2
Con la forma $h = k\,L$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El tramo AC
COMP2
En los ejes del resultado, con el origen en $A$ y el eje $y$ hacia arriba, el tramo $AC$ es $y_{AC} = k\,x^{2}/L - x/3$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. C es el punto más bajo: los dos tramos son parábolas desde C con la misma tensión horizontal.
2. Igualando las dos flechas, $p(2L/3)^{2} = q(L/3)^{2}$ , sale $q = 4p$ .
3. La carga total es $2pL/3 + 4pL/3 = 2pL$ , que es la tensión en $C$ que da el enunciado.
4. $h = p(2L/3)^{2}/(2 \cdot 2pL) = L/9$ , y las ecuaciones salen de integrar $y'' = q_i/T_0$ en cada tramo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.4 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una parábola con los amarres a distinta altura

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El cable $AB$ soporta una carga distribuida por unidad de abscisa $q_0 = 450\ \text{N/m}$ si $\theta_B = 35^{\circ}$ , determinar:

a. La fuerza máxima en el cable.

b. La distancia vertical a desde $A$ hasta el punto más bajo del cable.

El punto marcado es el más bajo del cable, y no está en el centro del vano: queda a 4,36 m de A y a 7,64 m de B. La distancia vertical a se mide desde A hasta él.

La fuerza máxima en el cable y la distancia vertical a.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde está el punto más bajo del cable?
02
La distancia del punto más bajo a B
COMP2
¿A qué distancia horizontal de $B$ está el punto más bajo?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza máxima
COMP2
¿Cuánto vale la fuerza máxima en el cable?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La distancia vertical a
COMP2
¿Cuánto vale $a$ , la distancia vertical de $A$ al punto más bajo?
Tu respuesta al paso 4una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La parábola se mide desde el punto más bajo, que aquí no está en el centro: hay que localizarlo.
2. Con $y_B - y_A = 1{,}8$ m y $\tan 35^{\circ} = q_0x_B/T_0$ sale $x_B = 7{,}64$ m y $x_A = 4{,}36$ m.
3. $T_0 = q_0x_B/\tan 35^{\circ} = 4907$ N, y la máxima es la del amarre alto, $T_B = T_0/\cos 35^{\circ} = 5991$ N.
4. $a = q_0x_A^{2}/(2T_0) = 0{,}873$ m, y la diferencia con la flecha del otro lado son los 1,8 m de desnivel.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.5 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un cable parabólico atado a un muelle inclinado

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un muelle de constante elástica $k = 10\ \text{N/m}$ y longitud sin tensión $L_0 = \sqrt{2}$ está atado a un punto fijo $C$ . Al otro extremo $B$ se ata un cable $AB$ sin peso. Se carga este cable con un peso vertical, distribuido y constante de valor $p\ \text{N/unidad de abscisa}$ . Sabiendo que la distancia entre apoyos es $L = 5\ \text{m}$ , que $A$ y $C$ están a la misma altura y que el muelle se inclina 45°, calcular:

a. Ecuación de la curva del cable.

b. Flecha máxima.

c. Valor de la carga $p$ .

El punto marcado en rojo es el más bajo de la curva, y no coincide con B: queda en x = −2,1 m, entre B y A. El muelle solo puede tirar a lo largo de sí mismo, así que fija la dirección del cable en B.

La ecuación de la curva, la flecha máxima y el valor de la carga p.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $B$ solo se atan el muelle y el cable. ¿Qué se saca de ahí?
02
La tensión horizontal
COMP2
¿Cuánto vale $T_0$ , la componente horizontal de la tensión del cable?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El coeficiente de la parábola
COMP2
Con los ejes de la figura, la curva es $y = a\,x^{2} + b\,x$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La carga p
COMP2
¿Cuánto vale la carga repartida $p$ ?
Tu respuesta al paso 4una carga por unidad de longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La flecha máxima
COMP2
¿A qué profundidad por debajo de $A$ queda el punto más bajo del cable?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. B no tiene masa y solo recibe dos fuerzas: la tensión del cable tiene la dirección del muelle y su módulo.
2. $F = k(2\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 10\sqrt{2}$ N, y sus componentes son 10 N en horizontal y 10 N en vertical.
3. Con $y = ax^{2}+bx$ , el paso por $B(-3,-2)$ y la pendiente $-1$ allí dan $a = 5/9$ y $b = 7/3$ .
4. $p = 2aT_0 = 100/9$ N/m, y el mínimo de la curva cae en $x = -2{,}1$ m con $y = -2{,}45$ m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.6 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una carga que crece con el cuadrado de la abscisa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cable ligero está amarrado a dos puntos de una misma horizontal separados una distancia $L$ . Si la carga por unidad de longitud $L$ , según la dirección horizontal que soporta el cable varía desde $p_0$ en el centro hasta $p_1$ en los extremos ( $p = a + bx^{2}$ ), deducir el valor de la flecha $h$ del cable en función de la tensión $T_0$ correspondiente al punto medio de la luz.

La carga vale p0 en el centro y p1 en los extremos, con variación cuadrática. Los ejes tienen el origen en el punto más bajo, donde la tensión es T0.

La flecha h en función de L, T0, p0 y p1.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿De qué grado sale la curva de equilibrio del cable?
02
El coeficiente de p0
COMP2
El resultado tiene la forma $h = \dfrac{L^{2}}{48T_0}\left(\alpha\,p_0 + p_1\right)$ . ¿Cuánto vale $\alpha$ ?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El caso de carga uniforme, como comprobación
COMP2
Si $p_1 = p_0$ la carga es uniforme. ¿Cuánto vale entonces $h\,T_0/(p_0L^{2})$ ?
Tu respuesta al paso 3un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la deducción. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La carga es $p = p_0 + bx^{2}$ con el origen en el centro, y en el extremo vale $p_1$ : $b = 4(p_1-p_0)/L^{2}$ .
2. La ecuación del cable es $y'' = p(x)/T_0$ , y hay que integrarla dos veces desde el punto más bajo.
3. Las dos constantes de integración son cero, porque en el punto más bajo se anulan a la vez la altura y la pendiente.
4. Evaluando en $x = L/2$ queda $h = L^{2}(5p_0+p_1)/(48T_0)$ , que con $p_1 = p_0$ recupera la parábola.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.7 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una celosía tirada por un cable con peso propio

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una estructura reticular $ABCDEF$ formada por triángulos equiláteros de lado $L$ y situada en un plano vertical, está articulada en $A$ a la pared y en equilibrio. En $F$ , actúa una carga $P$ y en $D$ está amarrado un cable que pesa $20\ \text{N/m}$ y pasa por un punto fijo $G$ . La tangente al cable en $D$ es horizontal y la tangente en $G$ forma 30° con la horizontal. La longitud $GH$ es de $10\ \text{m}$ . Hallar el valor de la carga $P$ así como de los esfuerzos en las barras $BD$ y $CD$ .

El tramo GH cuelga libre, así que su peso es la tensión del cable en G. El cable sale horizontal de D, que es por tanto su punto más bajo.

La carga P y los esfuerzos en las barras BD y CD.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué se sabe de la tensión del cable en $G$ ?
02
La tensión horizontal del cable
COMP2
¿Cuánto vale $T_0$ ?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La carga P
COMP2
Tomando momentos en $A$ sobre la estructura entera, ¿cuánto vale $P$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El esfuerzo en la barra BD
COMP2
¿Cuánto vale el esfuerzo en $BD$ ?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El tramo GH cuelga libre: la tensión del cable en G es su peso, 200 N.
2. Como el cable solo pasa por $G$ , esa es la tensión de la catenaria allí, y $T_0 = 200\cos 30^{\circ} = 173{,}2$ N.
3. El cable tira de D en horizontal con $T_0$ : momentos en $A$ dan $T_0(\sqrt{3}/2)L = 2LP$ , o sea $P = 75$ N.
4. Cortando por $BD$ , $CD$ y $CE$ y tomando momentos en $C$ sale $N_{BD} = \sqrt{3}P$ , y con las fuerzas horizontales, $N_{CD} = \sqrt{3}P$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.8 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un disco a punto de deslizar que tira de un bloque

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de masa $M$ y radio $R$ está unido por su punto superior $B$ a un bloque $A$ de masa $4M$ y dimensiones despreciables mediante un cable de peso por unidad de longitud $q$ (desconocido). Bloque y disco están apoyados sobre un suelo rugoso de forma que en el contacto entre disco y suelo el coeficiente de rozamiento es $f = 3/5$ . Sobre el disco se aplica una fuerza horizontal $F$ de forma que, cuando $F = 6Mg$ , el disco se encuentra a punto de deslizar. Si el cable presenta una pendiente horizontal en el punto $A$ , calcular:

a. Tensión en el cable en el punto $B$ .

b. Parámetro de catenaria.

c. Valor de $q$ .

d. Longitud del cable.

e. Mínimo coeficiente de rozamiento entre suelo-bloque para que el bloque se mantenga en equilibrio.

El cable sale horizontal de A, que es por tanto su punto más bajo, y llega al punto más alto del disco, B, a 2R del suelo. La directriz de la catenaria queda 3R por debajo de A.

La tensión en B, el parámetro de catenaria, q, la longitud del cable y el coeficiente mínimo bajo el bloque.

01
Reconocer el camino
COMP1
Para usar $T = q\,y$ en el punto $B$ , ¿desde dónde se mide esa $y$ ?
02
La tensión en B
COMP2
Con el equilibrio del disco, ¿cuánto vale $T_B$ en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, T_B dividido por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El parámetro de catenaria
COMP2
¿Cuánto vale $c$ en unidades de $R$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, c dividido por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El peso por unidad de longitud
COMP2
¿Cuánto vale $q$ en unidades de $Mg/R$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, q dividido por Mg entre R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El coeficiente mínimo bajo el bloque
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de rozamiento mínimo entre el bloque y el suelo?
Tu respuesta al paso 5un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en el contacto del disco dan $T_{Bx} = 3Mg$ , y el deslizamiento inminente, $T_{By} = 4Mg$ , o sea $T_B = 5Mg$ .
2. Con la directriz a $c$ bajo $A$ : $T_{Bx} = qc$ y $T_B = q(c+2R)$ , y dividiendo sale $c = 3R$ y $q = Mg/R$ .
3. La longitud es $s = T_{By}/q = 4R$ , y cuadra con $y^{2} = c^{2}+s^{2}$ , porque $25 = 9 + 16$ .
4. En $A$ el cable tira en horizontal con $3Mg$ y el bloque pesa $4Mg$ , así que $\mu_{\min} = 3/4$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.9 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen. Publica los apartados a, b, c y d, contra los que está contrastado el desarrollo; el apartado e, las reacciones en D, no lo imprime y esa parte es nuestra.

Un cable entre una barra empotrada y un disco

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sistema plano de la figura consta de una barra vertical $BD$ de masa $M$ y longitud $L$ empotrada en el suelo, un resorte ideal de constante elástica $k = \dfrac{Mg}{L}$ , un cable $CEF$ de peso por unidad de longitud $q = \dfrac{Mg}{L}$ y longitud $s_{CEF} = (3 + 2\sqrt{3})L/4$ y un disco de masa $M$ y radio $L/4$ unido en $F$ al cable. Sabiendo que el conjunto está en equilibrio por la acción del par $P$ y que la tensión en $C$ es horizontal, hallar:

a. Fuerza interna del cable en $C$ .

b. Fuerza interna del cable en $F$ .

c. Valor del par $P$ .

d. Fuerza de rozamiento disco-suelo (en $G$ ).

e. Reacciones en $D$ .

La tangente del cable en C es horizontal, así que C es el punto más bajo de la catenaria. El tramo EF es vertical y mide 3L/4, desde la altura L hasta el punto izquierdo del disco, a L/4 del suelo.

Las fuerzas del cable en C y en F, el par P, el rozamiento en G y las reacciones en D.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado da la longitud total $s_{CEF}$ . ¿Cuánto mide la parte que forma catenaria?
02
El parámetro de catenaria
COMP2
¿Cuánto vale $c$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, c dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La fuerza del cable en C
COMP2
¿Cuánto vale $T_C$ en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, T_C dividido por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La fuerza del cable en F
COMP2
¿Cuánto vale $T_F$ en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, T_F dividido por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El par P
COMP2
¿Cuánto vale $P$ en unidades de $MgL$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, P dividido por Mg por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
El rozamiento en G
COMP2
¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento entre el disco y el suelo, en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 6un número, la fuerza de rozamiento dividida por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El tramo EF es vertical y mide 3L/4, así que la catenaria CE mide raíz de tres por L medios.
2. Con $C$ como punto más bajo, $(c+L/2)^{2} = c^{2}+s_{CE}^{2}$ da $c = L/2$ , y $T_C = qc = Mg/2$ .
3. $T_E = q(c+L/2) = Mg$ y, descontando el peso del tramo vertical, $T_F = Mg/4$ .
4. Momentos en el centro del disco dan $P = T_F\,L/4 = MgL/16$ , y el equilibrio horizontal, $F_r = 0$ .

Resolución completa

La catenaria. El tramo $EF$ es vertical y va de la altura $L$ a la altura $L/4$ , así que mide $3L/4$ y el arco de catenaria es

s_{CE} = \frac{(3+2\sqrt{3})L}{4} - \frac{3L}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}L

En $C$ la tangente es horizontal: $C$ es el punto más bajo, $y_C = c$ e $y_E = c + L/2$ . Con $y^{2} = c^{2}+s^{2}$ :

\left(c+\frac{L}{2}\right)^{2} = c^{2}+\frac{3L^{2}}{4} \;\Longrightarrow\; c = \frac{L}{2}

Las fuerzas del cable.

T_C = qc = \frac{Mg}{2} \qquad T_E = q\left(c+\frac{L}{2}\right) = Mg \qquad T_F = T_E - q\,\frac{3L}{4} = \frac{Mg}{4}

El disco. La tensión en $F$ es vertical y está a un radio del centro:

P = \frac{Mg}{4}\cdot\frac{L}{4} = \frac{MgL}{16} \qquad F_r = 0 \qquad N = Mg - \frac{Mg}{4} = \frac{3Mg}{4}

Las reacciones en D, que la colección no imprime. Aquí hay que declarar un supuesto: se toma el «resorte ideal» con longitud natural nula, que es como lo usa la propia colección en el ejercicio 5.16, donde su figura escribe que la deformación del muelle es toda su longitud $\Delta x = \overline{OB}$ . Con ese supuesto el muelle tira de $B$ hacia la pared con $kL = Mg$ , y el empotramiento equilibra eso, el peso de la barra y el tiro horizontal del cable en $C$ :

D_x = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2} \qquad D_y = Mg \qquad M_D = Mg\,L - \frac{Mg}{2}\cdot\frac{L}{2} = \frac{3MgL}{4}

Si el muelle tuviera otra longitud natural, $D_x$ y $M_D$ cambiarían; los cuatro apartados que la colección sí publica no dependen del supuesto.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.10 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una anilla lisa entre un cable con carga triangular y otro con peso

paso 1 de 7

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cable de masa despreciable está suspendido entre el punto fijo $A$ y una anilla sin masa $B$ que puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una guía horizontal. La tensión de $AB$ en $B$ forma 45° con la horizontal y la carga que soporta es de forma triangular continua por unidad de abscisa $(x)$ , de valor nulo en $A$ y $10\ \text{N/m}$ en $B$ . Otro cable pesado $BCD$ de $37\ \text{m}$ de longitud y $10\ \text{N/m}$ de peso por unidad de longitud está atado a la anilla $B$ y pasa por una polea $C$ de radio despreciable, de forma que el tramo vertical $CD$ mide $13\ \text{m}$ . Sabiendo que $A$ , $B$ y $C$ están a la misma altura, calcular:

a. Tensión (fuerza interna) en $C$ del cable $BCD$ .

b. Fuerza de enlace de la polea $C$ sobre el cable.

c. Distancia entre $A$ y $B$ .

d. Ecuación de la curva del cable $AB$ en los ejes de la figura.

La anilla B desliza sin rozamiento por la guía, así que solo puede recibir fuerza vertical de ella: las componentes horizontales de los dos cables tienen que ser iguales.

La tensión en C, la fuerza de la polea sobre el cable, la distancia AB y la ecuación del cable AB.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué aporta al problema que la anilla $B$ sea lisa y sin masa?
02
El parámetro del cable pesado
COMP2
¿Cuánto vale el parámetro de catenaria $c$ del cable $BCD$ ?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La componente horizontal en C
COMP2
¿Cuánto vale la componente horizontal de la tensión en $C$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza de la polea sobre el cable
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de la fuerza que la polea $C$ hace sobre el cable?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La distancia AB
COMP2
¿Cuánto vale la distancia entre $A$ y $B$ ?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
La curva del cable AB
COMP2
La ecuación queda $y = \dfrac{x^{3}}{k} - \dfrac{x}{2}$ . ¿Cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 6un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
07
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El tramo CD cuelga libre: su peso, 130 N, es la tensión en C, y como T = wy, la altura de C sobre la directriz es 13 m.
2. B y C están a la misma altura: el arco BC mide 24 m, su mitad es 12 m, y $c = \sqrt{169-144} = 5$ m.
3. La anilla es lisa, así que la horizontal pasa entera al cable $AB$ , donde a 45 grados da $V_B = 50$ N.
4. Momentos en $A$ con la carga triangular dan $d = 15$ m, e integrando $y'' = x/75$ sale $y = x^{3}/450 - x/2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.11 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Dos cables, una polea y un tramo apoyado en el suelo

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra el sistema en equilibrio formado por dos cables $AB$ y $CDEF$ , a punto de deslizar. El cable $AB$ sin masa soporta una carga distribuida de $800\ \text{N}$ con reparto triangular. Está atado a la articulación fija $A$ y en $C$ a otro cable $CDEF$ de peso $100\ \text{N/m}$ . El cable $CDEF$ se arrolla por una polea $D$ , de radio y rozamiento despreciables y situada a la misma altura que $A$ , y tiene otra parte apoyada sobre un suelo horizontal rugoso. La longitud del cable $CDEF$ es $21,5\ \text{m}$ . Calcular:

a. Tensión (fuerza interna) en los puntos $B$ y $C$ .

b. Fuerza interna del cable $CDEF$ en $D$ .

c. Coeficiente de rozamiento mínimo entre cable y suelo.

d. Fuerza de enlace sobre la polea $D$ .

El cable AB llega horizontal a B, así que ahí está su punto más bajo y también el de la catenaria CD. La polea D conserva el módulo de la tensión, no su componente horizontal: CD y DE son dos catenarias con parámetros distintos.

Las tensiones en B, C y D, el coeficiente de rozamiento mínimo y la fuerza sobre la polea.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Con qué tensión horizontal se calcula el rozamiento del tramo apoyado en el suelo?
02
La tensión en B y en C
COMP2
¿Cuánto vale la tensión en el empalme $B$ y $C$ ?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La tensión en D
COMP2
¿Cuánto vale la tensión del cable en $D$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El coeficiente de rozamiento mínimo
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de rozamiento mínimo entre el cable y el suelo?
Tu respuesta al paso 4un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La fuerza sobre la polea
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de la fuerza de enlace sobre la polea $D$ ?
Tu respuesta al paso 5una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El cable AB llega horizontal a B: momentos en A con la carga triangular a 2 m dan T = 800 N.
2. La catenaria $CD$ tiene $c = 8$ m, y $D$ está 2 m más arriba: $T_D = w(c+2) = 1000$ N y $s_{CD} = 6$ m.
3. Tras la polea, $DE$ tiene $c' = y_D - 4 = 6$ m y $s_{DE} = 8$ m, así que en el suelo quedan 7,5 m.
4. $f = 600/750 = 0{,}8$ , y la fuerza sobre la polea es la suma vectorial de los dos tiros, 1414,2 N.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.12 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una barra apoyada en el suelo y un cable que pasa por una polea

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El extremo $A$ de la barra $AB$ de masa $M$ y longitud $L$ está apoyado en una superficie rugosa con coeficiente de rozamiento al deslizamiento de valor $f = 2/3$ . El otro extremo $B$ está amarrado a un cable $BCD$ de peso propio $q = Mg/L$ que pasa por una polea $C$ de radio despreciable y tiene su extremo $D$ atado a un punto fijo. La tangente al cable en $B$ es horizontal y la tensión en $D$ forma con la horizontal $\varphi = \text{arctg}(4/3)$ . Calcular:

a. Fuerza de rozamiento en $A$ .

b. Tensión (fuerza interna) en $B$ .

c. Longitud del tramo del cable $BC$ .

d. Expresión vectorial de la tensión (fuerza interna) del cable en $D$ .

e. Fuerza de enlace sobre la polea $C$ .

f. Longitud del cable $BCD$ .

La tangente en B es horizontal, así que B es el punto más bajo del tramo BC. Al otro lado de la polea, el tramo CD cuelga entre dos puntos a la misma altura y tiene su propio parámetro.

El rozamiento en A, la tensión en B, las longitudes BC y BCD, la tensión en D y la fuerza sobre la polea.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Se puede escribir directamente $F_r = f\,N$ en el apoyo $A$ ?
02
La tensión en B
COMP2
¿Cuánto vale $T_B$ en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, T_B dividido por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La longitud del tramo BC
COMP2
¿Cuánto vale $s_{BC}$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, s_BC dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La componente vertical en D
COMP2
¿Cuánto vale la componente vertical de la tensión en $D$ , en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, la componente vertical dividida por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La longitud del cable entero
COMP2
¿Cuánto vale $s_{BCD}$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, s_BCD dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en A de la barra dan T = Mg/2, y el equilibrio horizontal, un rozamiento de Mg/2 con N = Mg.
2. B es el punto más bajo: $c = T_B/q = L/2$ , $y_C = 5L/8$ y $s_{BC} = 3L/8$ .
3. La polea conserva el módulo: $T_D = q\,y_C = 5Mg/8$ , y con $\tan\varphi = 4/3$ queda $\vec{T}_D = \frac{Mg}{8}(3\hat{i}+4\hat{j})$ .
4. El tramo $CD$ cuelga entre dos puntos a la misma altura y mide $L$ , así que $s_{BCD} = 11L/8$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.13 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un cable que no sale horizontal, con barra y disco

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sistema plano de la figura consta de un cable $AB$ de peso por unidad de longitud $q = Mg/R$ , una barra $BC$ de masa $M$ y longitud $2R$ y un disco de masa $M$ y radio $R$ . La barra tiene el extremo $B$ unido al cable y el $C$ está articulado al disco. Sabiendo que el sistema está en reposo en la posición indicada ( $BC$ horizontal y $C$ a la misma altura que $O$ ), calcular:

a. Diagramas de sólido libre en cable, barra y disco.

b. Coeficiente de rozamiento mínimo para que se de rodadura entre suelo y disco.

c. Parámetro de catenaria $c$ .

d. Longitud del cable $AB$ .

El cable llega a B con pendiente 45 grados, no horizontal: el punto más bajo de su catenaria queda fuera del tramo dibujado, a la izquierda de B. Por eso la longitud AB es la diferencia de dos arcos.

El coeficiente de rozamiento mínimo, el parámetro de catenaria y la longitud del cable AB.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Puede el cable salir horizontal de $B$ ?
02
El coeficiente de rozamiento mínimo
COMP2
¿Cuál es el coeficiente de rozamiento mínimo entre el disco y el suelo?
Tu respuesta al paso 2un número — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El parámetro de catenaria
COMP2
¿Cuánto vale $c$ en unidades de $R$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, c dividido por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La longitud del cable AB
COMP2
¿Cuánto vale $s_{AB}$ en unidades de $R$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, s_AB dividido por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La barra se reparte entre sus extremos: el cable sostiene Mg/2 en B y el disco recibe Mg/2 en C.
2. Momentos en el centro del disco dan $F_r = Mg/2$ , y con $N = 3Mg/2$ sale $f_{\min} = 1/3$ .
3. La tensión en $B$ es $(Mg/2,\ Mg/2)$ , así que $c = T_0/q = R/2$ y el arco hasta $B$ vale $s_B = R/2$ .
4. Con $y_A = \sqrt{5}R/2$ sale $s_A = R$ , y la longitud del cable es la diferencia, $s_{AB} = R/2$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.14 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una celosía, un cable por una polea y una deslizadera

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El sistema mecánico de la figura consta de 1) una estructura formada por barras biarticuladas que en $C$ está articulada en un punto fijo y en $D$ tiene un apoyo simple sobre el plano horizontal sin rozamiento; 2) un cable de peso por unidad de longitud conocido $q\ [\text{N/m}]$ que se articula en $A$ a la estructura, pasa por una polea de dimensiones despreciables en $F$ , y se articula en $G$ a una deslizadera que se mueve sin rozamiento por un mástil fijo $OZ$ . Las dimensiones necesarias se indican en la figura, y se conoce además que la tensión en $A$ sobre el cable es horizontal, y que la reacción vertical en $D$ es $2qL\ [\text{N}]$ . Calcular:

a. Parámetros de la catenaria.

b. Longitud del cable $s_{AFG}$ .

c. Fuerza de enlace en la polea $F$ .

d. Fuerzas en las barras $CE$ y $CD$ .

El cable sale horizontal de A, así que A es el punto más bajo del tramo AF. La deslizadera de G corre por un mástil vertical sin rozamiento: solo puede recibir fuerza horizontal, de modo que G es a su vez el punto más bajo del tramo FG.

Los dos parámetros de catenaria, la longitud del cable, la fuerza sobre la polea y las fuerzas en CE y CD.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué aporta que la deslizadera de $G$ corra sin rozamiento por un mástil vertical?
02
El parámetro del tramo AF
COMP2
¿Cuánto vale $c$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, c dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El parámetro del tramo FG
COMP2
¿Cuánto vale $c'$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, c prima dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La longitud del cable
COMP2
¿Cuánto vale $s_{AFG}$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, s_AFG dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La barra CE
COMP2
¿Cuánto vale la fuerza en la barra $CE$ , en unidades de $qL$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, la fuerza dividida por q por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La tensión en A es horizontal: A es el punto más bajo del tramo AF, y momentos en C dan T0 = 2qL, o sea c = 2L.
2. La deslizadera de G solo recibe fuerza horizontal: G es el punto más bajo del tramo FG.
3. En la polea se conserva el módulo, así que la altura de $F$ sobre la directriz es la misma por los dos lados, y de ahí sale el segundo parámetro, $3L$ .
4. $s_{AF} = 2\sqrt{3}L$ y $s_{FG} = \sqrt{7}L$ , y del nudo $A$ sale $N_{CE} = 2\sqrt{2}qL$ con $N_{CD} = 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.15 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Un cable en equilibrio estricto con una masa colgada

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El cable $ABCD$ de peso por unidad de longitud $q = \dfrac{Mg}{L}$ y longitud total $s_{ABCD} = 7L$ está en equilibrio estricto. Se sabe que el coeficiente de fricción entre cable y suelo es $f = 0{,}5$ . En $C$ , está apoyado en una polea de dimensiones despreciables y sin rozamiento, con una masa de valor $2M$ colgando en su extremo $D$ y siendo $s_{CD} = L$ . En $B$ , la tangente al cable es horizontal. Calcular:

a. Tensión en $C$ .

b. Longitud del cable $s_{BC}$ .

c. Parámetro de catenaria c.

d. Altura $h$ de la masa con respecto al suelo.

El tramo AB está tumbado en el suelo y es el que aguanta, por rozamiento, el tirón horizontal de la catenaria. En B la tangente es horizontal, así que ahí está el punto más bajo.

La tensión en C, la longitud del tramo BC, el parámetro de catenaria y la altura h de la masa.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué significa aquí que el cable esté en «equilibrio estricto»?
02
La tensión en C
COMP2
¿Cuánto vale $T_C$ en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, T_C dividido por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La longitud del tramo BC
COMP2
¿Cuánto vale $s_{BC}$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, s_BC dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El parámetro de catenaria
COMP2
¿Cuánto vale $c$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, c dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La altura de la masa
COMP2
¿Cuánto vale $h$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, h dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Del lado de D cuelgan la masa 2M y el tramo CD, que pesa Mg: la tensión en C es 3Mg y la altura de C sobre la directriz, 3L.
2. Equilibrio estricto: el tirón horizontal es $f$ por el peso apoyado, o sea $c = (6L-s)/2$ .
3. Metiendo eso en $y_C^{2} = c^{2}+s^{2}$ sale $s_{BC} = 12L/5$ y $c = 9L/5$ .
4. $C$ está $y_C - c = 6L/5$ sobre el suelo, y la masa cuelga $L$ por debajo, así que $h = L/5$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 5.16 · Tema 5, «Cables» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección lo incluye en el bloque que marca como de nivel de examen, y publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

Una catenaria entre un muelle y un disco a punto de deslizar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La estructura de la figura está en equilibrio con el disco a punto de deslizar. Está formada por un cable de peso por unidad de cable $w = \dfrac{2Mg}{L}$ , el cual está unido en $B$ a un muelle ideal cuya deformación $\Delta x = \dfrac{L}{2}$ y constante $k = \dfrac{2\sqrt{2}Mg}{L}$ son conocidas. Este muelle está atado a un punto fijo y forma 45° con el cable en $B$ . Por otro lado, el cable está atado a un disco de masa $M$ y radio $R$ en el punto $A$ . La distancia horizontal entre los puntos $A$ y $B$ es de valor $L$ . Finalmente, el sistema está en equilibrio debido a una fuerza $F$ desconocida aplicada sobre el centro del disco. Calcular:

a. Parámetro de catenaria y tensión mínima del cable.

b. Componentes horizontal y vertical de la fuerza del cable en el punto $A$ .

c. Fuerza $F$ , y fuerzas normal y de rozamiento necesarias para mantener el sistema en equilibrio.

El punto más bajo del cable no está en el centro del vano: queda a 0,44 L de B y a 0,56 L de A, porque el cable llega a B con 45 grados y a A más inclinado.

El parámetro de catenaria y la tensión mínima, las componentes en A y la fuerza F con la normal y el rozamiento.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué fija la tensión del cable en $B$ ?
02
El parámetro y la tensión mínima
COMP2
¿Cuánto vale $c$ en unidades de $L$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, c dividido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente vertical en A
COMP2
¿Cuánto vale $T_{Ay}$ en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, T_Ay dividido por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La fuerza F
COMP2
¿Cuánto vale $F$ en unidades de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, F dividido por Mg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. B no tiene masa: la tensión del cable allí es la del muelle, raíz de dos por Mg a 45 grados, así que T0 = Mg y c = L/2.
2. En $B$ la pendiente vale 1, así que el punto más bajo está a $c\,\text{argsinh}(1) = 0{,}441L$ a su derecha.
3. $A$ queda a $0{,}559L$ del punto más bajo, y ahí $T_{Ay} = w\,c\sinh(x_A/c) = 1{,}367Mg$ , con $T_{Ax} = Mg$ .
4. Momentos en el centro del disco dan $F_r = 1{,}367Mg$ , y el equilibrio horizontal, $F = 2{,}367Mg$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Cables

Tres maneras de cargar un cable

El equilibrio de un tramo

La ecuación del cable

Cargas concentradas

Carga uniforme por unidad de abscisa: la parábola

Su propio peso: la catenaria

La catenaria, su directriz y la parábola que no es

Cómo se atacan los problemas de catenaria

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

La tensión en el punto más bajo

La tensión máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El parámetro de la catenaria

La longitud de cable de O a P

La tensión en P

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente horizontal del tramo BCD

La fuerza P

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La componente horizontal

La elevación de B

La pendiente máxima

La tensión máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El valor de q

La tensión en C

La flecha

El tramo AC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La distancia del punto más bajo a B

La fuerza máxima

La distancia vertical a

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión horizontal

El coeficiente de la parábola

La carga p

La flecha máxima

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de p0

El caso de carga uniforme, como comprobación

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión horizontal del cable

La carga P

El esfuerzo en la barra BD

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión en B

El parámetro de catenaria

El peso por unidad de longitud

El coeficiente mínimo bajo el bloque

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El parámetro de catenaria

La fuerza del cable en C

La fuerza del cable en F

El par P

El rozamiento en G

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El parámetro del cable pesado

La componente horizontal en C

La fuerza de la polea sobre el cable

La distancia AB

La curva del cable AB

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La tensión en B y en C

La tensión en D

El coeficiente de rozamiento mínimo

La fuerza sobre la polea