Mecánica Aplicada · tema 08

Estudio del movimiento plano

Cuando todo se mueve en un plano, cada instante es un giro alrededor de un punto: el centro instantáneo de rotación. Con él se leen las velocidades de un mecanismo sin hacer cuentas.

Casi todos los mecanismos que se estudian en ingeniería se mueven en un plano: una biela y una manivela, un disco que rueda, las barras de un cuadrilátero articulado. En el plano, la cinemática del tema 7 se simplifica tanto que cambia de naturaleza: la velocidad angular es siempre perpendicular al plano, y eso basta para que cada instante del movimiento sea un giro alrededor de un punto. Encontrar ese punto, el centro instantáneo de rotación, es la mitad del tema, y con él las velocidades de un mecanismo se leen casi sin cuentas.

El campo de velocidades en el plano

Es el mismo del tema 7, $\vec{v}_P = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \overrightarrow{AP}$ , con una simplificación: como $\vec{\omega}$ es perpendicular al plano, el término del giro, $\vec{\omega} \times \overrightarrow{AP}$ , está en el plano, es perpendicular a $\overrightarrow{AP}$ y mide $\omega \cdot AP$ . Su sentido lo da el del giro.

El centro instantáneo de rotación

En el lenguaje del tema 1, la resultante $\vec{\omega}$ es perpendicular a todos los «momentos», las velocidades, así que el invariante $\vec{\omega} \cdot \vec{v}$ es nulo y el sistema se reduce a una única resultante sobre su eje central. En lenguaje cinemático: en cada instante, el movimiento es un giro puro alrededor de un eje perpendicular al plano, el eje instantáneo de rotación. Donde ese eje corta el plano está el centro instantáneo de rotación, el CIR, que se llama $I$ . Su velocidad es nula, y la de cualquier punto es

\vec{v}_P = \vec{\omega} \times \overrightarrow{IP}

perpendicular a la recta que lo une con $I$ y proporcional a su distancia.

De ahí sale cómo encontrarlo. Si conoces la dirección de la velocidad de dos puntos, el CIR está donde se cortan las perpendiculares a esas velocidades trazadas por los puntos. Y hay tres casos que conviene reconocer:

si las dos velocidades son paralelas y distintas, las perpendiculares coinciden, y el CIR se encuentra por semejanza de triángulos, uniendo los extremos de los dos vectores;
si las dos velocidades son iguales, el CIR está en el infinito: el sólido se traslada en ese instante y su velocidad angular es nula;
si un disco rueda sin deslizar sobre una superficie fija, el CIR es el punto de contacto, y la velocidad de su centro es $\omega R$ .

Una manivela de 0,1 m que gira a 10 rad/s, a 45°, con una biela de 0,3 m cuyo extremo B desliza en horizontal. A va perpendicular a la manivela y B va en horizontal, así que el CIR de la biela está donde se cortan la prolongación de la manivela y la vertical por B. Desde ahí, la biela gira a 1/0,412 = 2,43 rad/s y B va a 2,43 · 0,362 = 0,879 m/s, sin escribir una sola ecuación vectorial.

El CIR de la biela no es el de la manivela

Cada sólido de un mecanismo tiene su propio CIR y su propia velocidad angular. El de la manivela es su eje fijo, $O$ ; el de la biela es otro punto, que cambia con la posición. La velocidad de $A$ es la misma vista desde las dos, porque $A$ es de las dos, pero dividirla por la longitud de la biela, $AB$ , en lugar de por la distancia de $A$ al CIR de la biela, da una velocidad angular falsa.

La base y la ruleta

El CIR cambia de posición con el movimiento. Las posiciones que ocupa en el plano fijo dibujan una curva, la base o polar fija; las que ocupa en el propio sólido, otra, la ruleta o polar móvil. En cada instante se tocan en el CIR, y como el CIR tiene velocidad nula, la ruleta rueda sin deslizar sobre la base. Todo movimiento plano es, en el fondo, una curva rodando sobre otra.

El punto de contacto entre las dos avanza por la base con una velocidad propia, la velocidad de sucesión $v_s$ , que no es la velocidad de ningún punto del sólido. Depende de la velocidad angular y de las curvaturas de la base y la ruleta en ese punto:

v_s = \frac{\omega}{\dfrac{1}{R_f} - \dfrac{1}{R_m}}

con $R_f$ y $R_m$ los radios de curvatura de la base y de la ruleta.

La base es difícil de imaginar leyéndola, y fácil de ver dejando que el CIR vaya dejando su rastro. Aquí está la del mecanismo de arriba, con la manivela girable a mano:

El centro instantáneo, y el rastro que va dejando

gira la manivela y mira adónde se va el centro

ángulo de la manivela 45°

manivela 0,10 m

biela 0,30 m

vueltas de la manivela 10 rad/s

posiciones que enseñan algo

el centro instantáneoI = (0,362; 0,362) mIA = 0,412 m · IB = 0,362 m

gira la biela a2,43 rad/svA / IA, sin escribir una ecuación

y la deslizadera va a0,879 m/sω de la biela por IB

velocidad de A1,00 m/sω por la manivela, perpendicular a ella

El campo de aceleraciones y el polo de aceleraciones

En el plano, el término centrípeto se simplifica a $-\omega^{2}\,\overrightarrow{AP}$ , y el campo de aceleraciones queda

\vec{a}_P = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \overrightarrow{AP} - \omega^{2}\,\overrightarrow{AP}

con una aceleración tangencial, perpendicular a $\overrightarrow{AP}$ , y una normal, dirigida siempre hacia $A$ .

Igual que hay un punto de velocidad nula, en cada instante hay un punto de aceleración nula, el polo de aceleraciones, que el libro llama $C$ . Y un aviso que conviene no olvidar: el polo de aceleraciones no coincide con el CIR. Solo coinciden en casos especiales.

La aceleración del CIR

El CIR tiene velocidad nula, pero no aceleración nula. Su aceleración es

\vec{a}_I = \vec{v}_s \times \vec{\omega}

que para un disco de radio $R$ que rueda sobre un plano fijo con velocidad angular constante se reduce a $\omega^{2} R$ , dirigida hacia el centro del disco. Es la trampa que ya avisaba el tema 7: el punto de contacto sirve de centro de giro para las velocidades, no para las aceleraciones.

Las aceleraciones en la rodadura

Cuando dos sólidos ruedan uno sobre otro, las velocidades de los dos puntos de contacto son iguales, pero sus aceleraciones no. Lo que sí tienen igual es la proyección sobre el plano tangente: las componentes tangenciales coinciden, y la diferencia está toda en la normal. Es la condición que se añade a las ecuaciones cuando un problema de engranajes o de discos en contacto pide aceleraciones.

Lo que hay que llevarse

En el plano, cada instante es un giro alrededor del CIR: $v_P = \omega \cdot IP$ , perpendicular a $IP$ .
El CIR se encuentra cortando las perpendiculares a dos velocidades conocidas. Rodando sobre un suelo fijo, es el punto de contacto.
Cada sólido tiene su CIR; el de la biela no es el de la manivela.
El CIR tiene velocidad nula pero no aceleración nula, y no es el polo de aceleraciones.

Practica lo que acabas de leer

La velocidad de la deslizadera de una biela-manivela

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

La velocidad de la deslizadera de una biela-manivela

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un mecanismo biela-manivela, la manivela $OA$ mide 0,1 m y gira alrededor de $O$ a 10 rad/s en sentido antihorario. La biela $AB$ mide 0,3 m, y su extremo $B$ desliza por una guía horizontal que pasa por $O$ . En el instante en que la manivela forma 45° con la horizontal, calcular la velocidad angular de la biela y la velocidad de $B$ .

La velocidad angular de la biela y la velocidad de la deslizadera.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde está el centro instantáneo de rotación de la biela?
02
La velocidad angular de la biela
COMP2
El CIR queda en $I = (0{,}362;\ 0{,}362)$ m, a 0,412 m de $A$ . ¿Cuánto vale la velocidad angular de la biela, en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de B
COMP2
¿A qué velocidad va la deslizadera, en m/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $v_A = 10 \cdot 0{,}1 = 1$ m/s, perpendicular a la manivela; $v_B$ es horizontal.
2. El CIR de la biela está donde se cortan la recta $OA$ y la vertical por $B$ , a 0,412 m de $A$ y 0,362 m de $B$ .
3. $\omega_{AB} = 1/0{,}412 = 2{,}43$ rad/s y $v_B = 2{,}43 \cdot 0{,}362 = 0{,}879$ m/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El punto de contacto de un disco que rueda, quieto pero acelerado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de radio $R = 0{,}3\ \text{m}$ rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal con velocidad angular constante $\omega = 10\ \text{rad/s}$ . Calcular la aceleración de su centro y la del punto del disco que en ese instante toca el suelo.

La aceleración del centro y la del punto de contacto.

01
Reconocer el camino
COMP1
El punto de contacto tiene velocidad nula en ese instante. ¿Y su aceleración?
02
La aceleración del centro
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración del centro, en m/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración del punto de contacto
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración del punto de contacto, en m/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El centro va en línea recta a velocidad constante, así que $a_O = 0$ .
2. Con $\alpha = 0$ , cada punto tiene solo la aceleración normal respecto del centro: $\omega^{2}$ por su distancia, hacia él.
3. El punto de contacto está a $R$ del centro, así que acelera $\omega^{2}R = 30$ m/s² hacia arriba.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.1 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El resultado es simbólico, así que las casillas piden el coeficiente que multiplica a la expresión indicada en cada pregunta.

Las dos barras que cuelgan de un disco que gira

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el mecanismo de la figura, el disco gira con una velocidad angular $\omega_0$ constante. Calcular:

a) Velocidad angular de barras (1) y (2).

b) Aceleración angular de barras (1) y (2).

c) Aceleración de los centros de gravedad de barras (1) y (2).

Las dos velocidades angulares, las dos aceleraciones angulares y las aceleraciones de G1 y G2, en función de omega cero y R.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de calcular nada, mira las direcciones. ¿Qué le pasa a la barra (1), $AB$ , en este instante?
02
La velocidad angular de la barra 2
COMP2
Escribiendo $\vec{\omega}_2 = k\,\omega_0\vec{k}$ , ¿cuánto vale el coeficiente $k$ , en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a omega cero — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular de la barra 1
COMP2
Escribiendo $\vec{\alpha}_1 = k\,\omega_0^{2}\vec{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente que multiplica a omega cero al cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración del centro de gravedad de la barra 1
COMP2
Escribiendo $a_{G1} = k\,\omega_0^{2}R$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente que multiplica a omega cero al cuadrado por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $v_A$ es vertical porque $OA$ es horizontal, y $v_B$ también porque $CB$ lo es; con $AB$ vertical, la barra 1 se traslada y $\omega_1 = 0$ .
2. De $v_B = \omega_0 R$ y $CB = 2R$ sale $\omega_2 = \omega_0/2$ , en sentido contrario al del disco.
3. Proyectando el campo de aceleraciones sobre la horizontal, $\alpha_1 = \tfrac{3}{2}\omega_0^{2}$ ; sobre la vertical, $\alpha_2 = 0$ .

Resolución completa

Las direcciones, antes que los números. $A$ pertenece al disco y $OA$ es horizontal, así que $\vec{v}_A$ es vertical y vale $\omega_0 R$ . $B$ pertenece a la barra 2, que gira alrededor del punto fijo $C$ con $CB$ horizontal, así que $\vec{v}_B$ también es vertical.

La barra 1 se traslada. Sus dos extremos llevan velocidades verticales y la barra es vertical, de modo que $\vec{\omega}_1 \times \overrightarrow{AB}$ , que sería horizontal, tiene que anularse:

\omega_1 = 0 \qquad v_B = v_A = \omega_0 R \qquad \omega_2 = \frac{\omega_0 R}{2R} = \frac{\omega_0}{2}

Las aceleraciones. Con $\omega_0$ constante, $\vec{a}_A$ es solo normal: $\omega_0^{2}R$ hacia $O$ . Escribiendo $\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{\alpha}_1 \times \overrightarrow{AB}$ e igualándolo a lo que da la barra 2, $\vec{a}_B = \vec{\alpha}_2 \times \overrightarrow{CB} - \omega_2^{2}\overrightarrow{CB}$ :

-\omega_0^{2}R + \alpha_1 R = \frac{\omega_0^{2}}{4}\,2R \;\Longrightarrow\; \alpha_1 = \frac{3}{2}\,\omega_0^{2} \qquad \alpha_2 = 0

Los centros de gravedad. Cada uno en el punto medio de su barra:

a_{G1} = \left|-\omega_0^{2}R + \frac{3}{2}\omega_0^{2}\frac{R}{2}\right| = \frac{1}{4}\,\omega_0^{2}R \qquad a_{G2} = \omega_2^{2}R = \frac{1}{4}\,\omega_0^{2}R

Comprobación. Resolviendo el mecanismo por posiciones —imponiendo $AB = R$ y $CB = 2R$ y derivando dos veces numéricamente el ángulo de cada barra— salen los mismos $\omega_1 = 0$ , $\omega_2 = \omega_0/2$ y $\alpha_1 = 1{,}5\,\omega_0^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.2 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo.

La aceleración de dos puntos de una escuadra articulada

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El instante mostrado en la figura la barra $AB$ tiene una velocidad angular constante de 6 rad/s en el sentido de las agujas del reloj. Determinar:

a) Aceleración del punto $D$ .

b) Aceleración angular de la barra $BDE$ .

c) Aceleración del punto $E$ .

La aceleración de D, la aceleración angular de la barra BDE y la aceleración de E.

01
Reconocer el camino
COMP1
$B$ , $D$ y $E$ están alineados y las barras $AB$ y $CD$ son las dos verticales y del mismo lado. ¿Qué sale al plantear las velocidades?
02
La velocidad angular de la barra CD
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_{CD}$ , en rad/s y en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular de la barra BDE
COMP2
¿Cuánto vale $\alpha_{BDE}$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración de E
COMP2
¿Cuánto vale $a_E$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 4un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $v_B$ y $v_D$ son horizontales, y como $BD$ no lo es, la barra $BDE$ se traslada: $\omega_{BDE} = 0$ y $v_D = v_B = 0{,}54$ m/s.
2. $\omega_{CD} = 0{,}54/0{,}18 = 3$ rad/s, y las aceleraciones de $B$ y de $D$ son las normales $\omega^{2}AB$ y $\omega_{CD}^{2}CD$ más la tangencial de $CD$ .
3. Proyectando sobre la vertical sale $\alpha_{BDE} = 7{,}2$ rad/s², y con ella $a_D = 1{,}74$ m/s² y $a_E = 1{,}296$ m/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.3 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, pero su valor de la aceleración angular de BC no sale de los datos de la figura: el desarrollo publica el que sí sale, 123,73 rad/s², que es además el que da la resolución del profesor.

Velocidad y aceleración angular de dos barras en cadena

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sabiendo que en el instante representado la barra $AB$ tiene velocidad angular constante en sentido horario de 4 rad/s, hallar la velocidad angular y la aceleración angular:

a) De la barra $BC$ .

b) De la barra $CD$ .

La velocidad angular y la aceleración angular de la barra BC y de la barra CD.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cómo se plantea este mecanismo sin dibujar polígonos de velocidades?
02
La velocidad angular de CD
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_{CD}$ , en rad/s y en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular de CD
COMP2
¿Cuánto vale $\alpha_{CD}$ , en rad/s² y en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración angular de BC
COMP2
¿Cuánto vale $\alpha_{BC}$ , en rad/s² y en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 4un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{v}_B = (0;\ -1)$ m/s, y de las dos expresiones de $\vec{v}_C$ salen $\omega_{BC} = 4$ rad/s y $\omega_{CD} = 6{,}67$ rad/s.
2. Con $\omega_{AB}$ constante, $\vec{a}_B$ es solo normal y vale $\omega_{AB}^{2}AB = 4$ m/s² apuntando de $B$ hacia $A$ .
3. La vertical del campo de aceleraciones da $\alpha_{CD} = 28{,}44$ rad/s² y la horizontal, $\alpha_{BC} = 123{,}73$ rad/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.4 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo.

Dos barras de 500 mm unidas por un pasador

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos barras de 500 mm, están articuladas por medio de un pasador $D$ como se muestra en la figura. Si $B$ se mueve a la izquierda con una velocidad constante de 360 mm/s, calcular en el instante mostrado:

a) Velocidad angular de las barras (1) y (2).

b) Velocidad de $E$ .

La velocidad angular de las dos barras y la velocidad del punto E.

01
Reconocer el camino
COMP1
La barra 1 tiene $A$ sobre una pared vertical y $B$ sobre el suelo. ¿Dónde está su centro instantáneo de rotación?
02
La velocidad angular de la barra 1
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_1$ , en rad/s y en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad angular de la barra 2
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_2$ , en rad/s y en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad de E
COMP2
¿Cuánto vale $v_E$ , en mm/s?
Tu respuesta al paso 4un número, en mm/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La barra 1 es una escalera: $A$ sube por la pared y $B$ corre por el suelo, así que su CIR está en $I = (300;\ 400)$ mm.
2. $\omega_1 = 360/400 = 0{,}9$ rad/s, y con $ID = 250$ mm sale $v_D = 225$ mm/s.
3. Imponiendo que $\vec{v}_E$ sea horizontal salen $\omega_2 = 0{,}3375$ rad/s y $v_E = 78{,}75$ mm/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.5 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo.

La deslizadera de una barra movida por una manivela

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el mecanismo de la figura la barra $BC$ tiene una velocidad angular de 4 rad/s constante y en el sentido de las agujas del reloj. En el momento considerado en la figura, calcular:

a) Velocidad angular de la barra $AD$ .

b) Velocidad y aceleración de la deslizadera $D$ .

La velocidad angular de la barra AD, y la velocidad y la aceleración de la deslizadera D.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Dónde está el centro instantáneo de rotación de la barra $AD$ ?
02
La velocidad angular de la barra AD
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_{AD}$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de la deslizadera
COMP2
¿Cuánto vale $v_D$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración de la deslizadera
COMP2
¿Cuánto vale $a_D$ , en m/s²?
Tu respuesta al paso 4un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $v_B = 0{,}768$ m/s es horizontal y $v_D$ es vertical, así que el CIR de $AD$ está donde se cortan la vertical por $B$ y la horizontal por $D$ .
2. Anulando la componente horizontal sale $\omega_{AD} = 4{,}27$ rad/s, y con ella $v_D = 1{,}33$ m/s.
3. La misma proyección con aceleraciones da $\alpha_{AD} = 31{,}53$ rad/s² y, sumando las tres verticales, $a_D = 16{,}18$ m/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.6 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo.

Una varilla movida por otra a través de una deslizadera

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Sabiendo que en el instante representado la varilla articulada en $B$ , gira con una velocidad angular constante $\omega_b = 6$ rad/s en sentido anti horario, hallar la velocidad y aceleración angular de la varilla articulada en $A$ .

La velocidad angular y la aceleración angular de la varilla articulada en A.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué tipo de unión hay en $D$ entre las dos varillas, y qué obliga a añadir en las ecuaciones?
02
La velocidad angular de la varilla articulada en A
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_a$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular de la varilla articulada en A
COMP2
¿Cuánto vale $\alpha_a$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $D$ pertenece a la varilla 1, así que $\vec{v}_D = \vec{\omega}_b \times \overrightarrow{BD}$ , de módulo $6 \cdot 0{,}2309 = 1{,}386$ m/s y horizontal.
2. Descomponiendo $\vec{v}_D$ según $AD$ y su perpendicular salen $\omega_a = 1{,}5$ rad/s y un deslizamiento $v_{D/2} = 1{,}2$ m/s.
3. En aceleraciones hay que añadir Coriolis, $2\,\omega_a v_{D/2}$ , y queda $\alpha_a = 7{,}79$ rad/s².

Resolución completa

La geometría. Con $A$ en el origen y $B = (0{,}4;\ 0)$ , la varilla 2 baja a $30^{\circ}$ , así que $D = (0{,}4;\ -0{,}4\tan 30^{\circ}) = (0{,}4;\ -0{,}2309)$ m. Entonces $BD = 0{,}2309$ m y $AD = 0{,}4619$ m.

Velocidades. $D$ es un punto de la varilla 1, que gira alrededor de $B$ :

\vec{v}_D = \vec{\omega}_b \times \overrightarrow{BD} \qquad v_D = 6 \cdot 0{,}2309 = 1{,}386\ \text{m/s},\ \text{horizontal}

Visto desde la varilla 2, $D$ es una deslizadera: $\vec{v}_D = \vec{\omega}_a \times \overrightarrow{AD} + \vec{v}_{D/2}$ , con $\vec{v}_{D/2}$ a lo largo de $AD$ . Descomponiendo:

\omega_a = \frac{BD\operatorname{sen}30^{\circ}}{AD}\,\omega_b = 1{,}5\ \text{rad/s} \qquad v_{D/2} = \omega_b BD\cos 30^{\circ} = 1{,}2\ \text{m/s}

Aceleraciones. $\vec{a}_D = -\omega_b^{2}\overrightarrow{BD}$ , de módulo $36 \cdot 0{,}2309 = 8{,}31$ m/s² y vertical hacia $B$ . Y por el lado de la varilla 2 hay cuatro términos: normal, tangencial, relativa y Coriolis. La proyección perpendicular a $AD$ deja

\alpha_a\,AD + 2\,\omega_a v_{D/2} = \omega_b^{2}BD\cos 30^{\circ} \;\Longrightarrow\; \alpha_a = \frac{7{,}2 - 3{,}6}{0{,}4619} = 7{,}79\ \text{rad/s}^{2}

Comprobación. Resuelto en componentes con el vector completo —normal, tangencial, relativa y Coriolis— sale el mismo 7,794 rad/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.7 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El enunciado dice que el engranaje está articulado a la barra en el punto C cuando la figura lo articula en D; se reproduce tal cual y se resuelve con la figura.

Un disco en un plano inclinado unido a un engranaje

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En la figura mostrada, el disco 1 se apoya sin deslizar en un plano inclinado y está articulado a la barra $CD$ (2) en su centro. Por otro lado, la rueda dentada 3 rueda sobre una cremallera vertical (fija) y está articulada a la barra en el punto $C$ . Calcular:

a) Velocidad del punto $D$ .

b) Velocidad angular del disco (1), de la barra $CD$ (2) y velocidad de punto $C$ .

c) Aceleración angular del disco (1).

Datos: $R_1 = 0{,}3\ \text{m}$ ; $R_3 = 0{,}2\ \text{m}$ ; $CD = 5\ \text{m}$ ; $v_B = 0{,}2\ \text{m/s}$ (constante)

La velocidad de D, las velocidades angulares del disco y de la barra, la velocidad de C y la aceleración angular del disco.

01
Reconocer el camino
COMP1
La rueda dentada 3 rueda sobre una cremallera fija. ¿Cuál es su centro instantáneo de rotación, y qué velocidad tiene $D$ ?
02
La velocidad del punto D
COMP2
¿Cuánto vale $v_D$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad angular del disco 1
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_1$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración angular del disco 1
COMP2
¿Cuánto vale $\alpha_1$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 4un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La rueda 3 rueda sobre una cremallera fija, así que $\omega_3 = v_B/R_3 = 1$ rad/s y $v_D = 2R_3\omega_3 = 0{,}4$ m/s, vertical.
2. $\vec{v}_C$ es paralela al plano y vale $\omega_1 R_1$ ; igualando las proyecciones sobre la barra salen $\omega_1 = 3{,}64$ rad/s, $v_C = 1{,}093$ m/s y $\omega_2 = 0{,}267$ rad/s.
3. En aceleraciones, $\vec{a}_C$ es paralela al plano y vale $\alpha_1 R_1$ , y con la normal de la barra sale $\alpha_1 = 6{,}44$ rad/s².

Resolución completa

El engranaje. Rueda sobre una cremallera fija, así que su CIR es el punto de contacto:

\omega_3 = \frac{v_B}{R_3} = 1\ \text{rad/s} \qquad v_D = \omega_3\,(2R_3) = 0{,}4\ \text{m/s}\ \text{hacia abajo}

La barra. El plano baja hacia la derecha a $30^{\circ}$ y la barra sube a $45^{\circ}$ , así que entre $\vec{v}_C$ —paralela al plano— y la barra hay $75^{\circ}$ . Igualando las proyecciones de $\vec{v}_C$ y $\vec{v}_D$ sobre la barra:

\omega_1 R_1(\cos 30^{\circ} - \operatorname{sen}30^{\circ}) = v_D \;\Longrightarrow\; \omega_1 = 3{,}64\ \text{rad/s}

v_C = \omega_1 R_1 = 1{,}093\ \text{m/s} \qquad \omega_2 = \frac{\omega_1 R_1\cos 30^{\circ}}{CD\cos 45^{\circ}} = 0{,}267\ \text{rad/s}

Aceleraciones. $B$ baja a velocidad constante, así que $a_B = 0$ y $\alpha_3 = 0$ : a $D$ solo le queda la normal respecto de $B$ , $\omega_3^{2}R_3 = 0{,}2$ m/s², horizontal. Y $C$ , centro de un disco que rueda sobre una recta, describe una recta paralela al plano: su aceleración es tangencial y vale $\alpha_1 R_1$ . Con eso,

\alpha_1 = \frac{\omega_3^{2}R_3 + 2\,\omega_2^{2}CD\cos 45^{\circ}} {R_1(\cos 30^{\circ} - \operatorname{sen}30^{\circ})} = 6{,}44\ \text{rad/s}^{2}

Sobre la geometría. El resultado depende de que el plano baje hacia la derecha, como está dibujado: si subiera, entre $\vec{v}_C$ y la barra habría $15^{\circ}$ y saldría $\omega_1 = 0{,}98$ rad/s en vez de 3,64.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.8 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo.

La velocidad máxima del émbolo de un compresor

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El mecanismo que se observa en la figura se emplea para comprimir aire. Si la pieza giratoria de 30 cm de longitud gira a una velocidad angular constante de 15 rpm, determinar cuándo se da la velocidad máxima del émbolo y su valor en ese instante. Se recomienda tomar como origen temporal la posición con $x = 0$ .

El instante en que el émbolo alcanza su velocidad máxima y el valor de esa velocidad.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con el origen de tiempos en $x = 0$ , ¿cómo se mueve el émbolo?
02
La velocidad angular en unidades del SI
COMP2
¿A cuántos rad/s equivalen 15 rpm?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s (vale la forma exacta pi/2) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad máxima del émbolo
COMP2
¿Cuánto vale la velocidad máxima del émbolo, en mm/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en mm/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El instante en que se alcanza
COMP2
La colección responde con el primer instante posterior al origen de tiempos en que el émbolo vuelve a ir a la velocidad máxima. ¿Cuál es, en segundos?
Tu respuesta al paso 4un número, en segundos — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La ranura vertical hace que el émbolo copie la abscisa del pasador: $x(t) = b\operatorname{sen}(\omega t)$ , con $\omega = \pi/2$ rad/s.
2. Derivando, $v(t) = \omega b\cos(\omega t)$ , cuyo máximo en módulo es $\omega b = 471{,}2$ mm/s.
3. Se alcanza cuando $\cos(\omega t) = \pm 1$ , o sea al pasar por $x = 0$ : en $t = 0$ y otra vez en $t = 2$ s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.9 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo.

Un disco que rueda sobre una barra apoyada en él

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el sistema de la figura, la barra $OA$ (1) gira con velocidad angular $\omega_1 = 10$ rad/s en sentido antihorario y está articulada a una deslizadera vertical (punto $O$ ) y al disco (2) de radio $R$ . El punto $A$ puede moverse a lo largo de una ranura horizontal. La barra $BC$ (3) está apoyada sobre el disco (2) existiendo rodadura en el punto de contacto $E$ . Calcular:

a) Velocidades de los puntos $O$ y $A$ .

b) Velocidades angulares del disco y de la barra $BC$ .

c) Velocidad del centro $A$ del disco con respecto a la barra $BC$ . Dibujar dirección y sentido del vector.

Las velocidades de O y A, las velocidades angulares del disco y de la barra BC, y la velocidad de A respecto de BC.

01
Reconocer el camino
COMP1
$O$ corre por una guía vertical y $A$ por una ranura horizontal. ¿Dónde está el CIR de la barra $OA$ ?
02
La velocidad del punto A
COMP2
¿Cuánto vale $v_A$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad angular del disco
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_2$ , en rad/s y en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad angular de la barra BC
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_3$ , en rad/s y en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 4un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La velocidad de A respecto de la barra BC
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de $\vec{v}_{A/BC}$ , en m/s?
Tu respuesta al paso 5un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El CIR de la barra $OA$ está a $2R$ de $O$ y a $R$ de $A$ , así que $v_O = 2$ m/s hacia abajo y $v_A = 1$ m/s hacia la izquierda.
2. De $\cos(45^{\circ}+\beta) = \sqrt{2}/4$ sale $\beta = 24{,}3^{\circ}$ , y descomponiendo $\vec{v}_A$ en $E$ , $\omega_2 = 9{,}11$ rad/s y $\omega_3 = 1{,}56$ rad/s.
3. Restando a $\vec{v}_A$ la velocidad del punto de $BC$ que coincide con $A$ , queda $\vec{v}_{A/BC} = (-0{,}689;\ 0{,}311)$ m/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.10 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo.

La placa triangular colgada de dos barras iguales

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el sistema de la figura las barras $AB$ y $CD$ tienen la misma longitud y sostienen una placa triangular a través de las articulaciones $B$ y $D$ . Sabiendo que la barra $CD$ tiene en este instante una velocidad angular $\omega_{CD} = 4$ rad/s y una aceleración angular $\alpha_{CD} = 2$ rad/s² calcule la velocidad angular y la aceleración angular de la placa.

La velocidad angular y la aceleración angular de la placa triangular.

01
Reconocer el camino
COMP1
$AB$ y $CD$ son iguales y paralelas, y la placa las une por $B$ y $D$ . ¿Cómo se mueve la placa?
02
La velocidad angular de la placa
COMP2
¿Cuánto vale $\omega_{BDE}$ , en rad/s?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de cualquier punto de la placa
COMP2
Si la placa se traslada, todos sus puntos van igual. ¿A qué velocidad, en m/s?
Tu respuesta al paso 3un número, en m/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración de cualquier punto de la placa
COMP2
¿Y cuánto vale la aceleración de cualquier punto de la placa, en m/s²?
Tu respuesta al paso 4un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $AB$ y $CD$ son iguales y paralelas, así que $ABDC$ es un paralelogramo articulado y las dos barras giran igual.
2. Entonces $\vec{v}_B = \vec{v}_D$ y $\vec{\omega}_{BDE}\times\overrightarrow{BD} = 0$ , de donde $\omega_{BDE} = 0$ .
3. Repitiendo el argumento con aceleraciones, $\vec{a}_B = \vec{a}_D$ y también $\alpha_{BDE} = 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.11 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El resultado es simbólico, así que las casillas piden el coeficiente que multiplica a la expresión indicada en cada pregunta.

Un disco cuyo centro instantáneo está en el extremo de la barra

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En el sistema de la figura, el centro $C$ del disco de radio $R$ se mueve con velocidad $v$ constante. En el sistema representado, el CIR del disco se encuentra en la posición del punto $A$ , cumpliéndose que $\omega_1 = v/(2R)$ y $\omega_2 = -v/(2R)$ . Calcular para ese instante:

a) Velocidad relativa de los puntos $C$ y $D$ del disco respecto a la barra.

b) Aceleración relativa del punto $D$ del disco respecto a la barra.

c) Aceleración angular de la barra (1).

d) Aceleración angular del disco (2).

Las velocidades relativas de C y de D respecto de la barra, la aceleración relativa de D y las dos aceleraciones angulares.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice que el CIR del disco está en $A$ . ¿Qué significa eso exactamente?
02
La velocidad de C respecto de la barra
COMP2
Escribiendo $|\vec{v}_{C/1}| = k\,v$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a v — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular de la barra
COMP2
Escribiendo $\alpha_1 = k\,\dfrac{v^{2}}{R^{2}}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente que multiplica a v cuadrado partido por R cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración de D respecto de la barra
COMP2
Escribiendo $|\vec{a}_{D/1}| = k\,\dfrac{v^{2}}{R}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente que multiplica a v cuadrado partido por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con el CIR del disco en $A$ y $|AC| = 2R$ , sale $v_C = \omega_2\,2R = v$ , horizontal, que es el dato del enunciado.
2. Restando la velocidad del punto de la barra que coincide con cada uno, $\vec{v}_{C/1}$ tiene módulo $v$ y $\vec{v}_{D/1} = 0$ .
3. Con $\vec{a}_C = 0$ y el término de Coriolis, la proyección perpendicular a la barra da $\alpha_1 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}\,v^{2}/R^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.12 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El resultado es simbólico, así que las casillas piden el coeficiente que multiplica a la expresión indicada en cada pregunta.

Una barra que pasa por dos puntos opuestos de un disco que rueda

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra $AB$ pasa permanentemente por 2 puntos $C$ y $D$ , diametralmente opuestos de una circunferencia de radio $R$ , y su extremo $A$ recorre una línea recta horizontal. El disco rueda sin deslizar sobre la recta con velocidad angular conocida saliente $\omega$ al plano y una aceleración angular con el mismo sentido $2\sqrt{3}\,\omega^{2}$ . En el instante mostrado en la figura, calcular:

a) Velocidad del punto $A$ .

b) Aceleración del punto $A$ .

La velocidad y la aceleración del punto A, en función de omega y R.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Por qué la barra gira con la misma velocidad angular que el disco?
02
La velocidad del punto A
COMP2
Escribiendo $v_A = k\,\omega R$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a omega por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El deslizamiento del disco a lo largo de la barra
COMP2
Escribiendo $|\vec{v}_{O/2}| = k\,\omega R$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente que multiplica a omega por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración del punto A
COMP2
Escribiendo $a_A = k\,\omega^{2}R$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente que multiplica a omega cuadrado por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $C$ y $D$ son materiales del disco, así que la barra contiene siempre ese diámetro y $\omega_2 = \omega$ , $\alpha_2 = 2\sqrt{3}\,\omega^{2}$ .
2. El disco rueda sin deslizar, así que su CIR es el contacto y $v_O = \omega R$ ; imponiendo que $\vec{v}_A$ sea horizontal sale $v_A = 3\,\omega R$ .
3. En aceleraciones, $\vec{a}_O = \alpha R$ a lo largo de la recta, y con el término de Coriolis queda $a_A = 14\sqrt{3}\,\omega^{2}R$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.13 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El resultado es simbólico, así que las casillas piden el coeficiente que multiplica a la expresión indicada en cada pregunta.

Dos discos en contacto con una chapa que bascula

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El mecanismo de la figura consta de un disco (1) de centro $E$ y radio $R$ que gira alrededor del punto fijo $G$ con velocidad angular constante $\omega$ en sentido antihorario. Otro disco 2 igual gira alrededor del punto fijo $H$ . Finalmente una chapa $OAB$ (3) gira alrededor de otro punto fijo $O$ siempre en contacto con ambos discos. Calcular:

a) Velocidad angular del disco (2).

b) Velocidad de deslizamiento en el contacto entre disco (2) y chapa (3).

c) Aceleración angular del disco (2).

La velocidad angular del disco 2, la velocidad de deslizamiento en su contacto con la chapa y su aceleración angular.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $C$ y en $D$ los discos tocan la chapa, pero hay deslizamiento. ¿Qué condición se puede imponer entonces en cada contacto?
02
La velocidad angular de la chapa
COMP2
Escribiendo $\omega_3 = k\,\omega$ , ¿cuánto vale $k$ en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a omega — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad angular del disco 2
COMP2
Escribiendo $\vec{\omega}_2 = k\,\omega\,\vec{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente que multiplica a omega — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad de deslizamiento en D
COMP2
Escribiendo $|\vec{v}_d| = k\,\omega R$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente que multiplica a omega por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
La aceleración angular del disco 2
COMP2
Escribiendo $\vec{\alpha}_2 = k\,\omega^{2}\vec{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, el coeficiente que multiplica a omega cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $C$ las componentes verticales de las velocidades del disco 1 y de la chapa coinciden, y de ahí $\omega_3 = \omega/2$ .
2. Repitiendo en $D$ con el disco 2, que pivota en $H$ a $R/2$ de su centro, sale $\omega_2 = 2\omega$ y un deslizamiento de $1{,}5\,\omega R$ .
3. Los centros $E$ y $F$ se mueven respecto de la chapa por una paralela a $AB$ , y con esa condición y el Coriolis salen $\alpha_3 = \omega^{2}/4$ y $\alpha_2 = 2\omega^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.14 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El resultado es simbólico, así que las casillas piden el coeficiente que multiplica a la expresión indicada en cada pregunta.

Una barra vertical que se traslada entre dos deslizaderas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La barra vertical $AB$ de longitud $L$ se traslada con velocidad $v$ constante hacia la derecha. Está articulada en sus extremos a 2 deslizaderas. La deslizadera en $A$ se mueve por la horizontal y la deslizadera en $B$ se mueve sobre la barra $CD$ que está articulada en $C$ a una deslizadera vertical. Calcular:

a) Velocidad angular de la barra $CD$ (3).

b) Aceleración angular de la barra $CD$ (3).

La velocidad angular y la aceleración angular de la barra CD.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado dice que $AB$ se traslada. ¿Qué se saca de ahí?
02
La velocidad angular de la barra CD
COMP2
Escribiendo $\omega_3 = k\,\dfrac{v}{L}$ , ¿cuánto vale $k$ en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a v partido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración de la deslizadera C
COMP2
Escribiendo $a_C = k\,\dfrac{v^{2}}{L}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente que multiplica a v cuadrado partido por L — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración angular de la barra CD
COMP2
Escribiendo $\alpha_3 = k\,\dfrac{v^{2}}{L^{2}}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente que multiplica a v cuadrado partido por L cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $AB$ se traslada, así que $\vec{v}_A = \vec{v}_B = v\,\vec{\imath}$ y $\vec{a}_A = \vec{a}_B = 0$ .
2. De la barra $CA$ , imponiendo que $C$ solo pueda subir o bajar, salen $\omega_2 = v/L$ y $v_C = \tfrac{\sqrt{3}}{3}v$ .
3. En la barra $CD$ , con $B$ deslizando y $v_{B/3} = v$ , salen $\omega_3 = v/L$ y, con el Coriolis, $\alpha_3 = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\,v^{2}/L^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.15 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El resultado es simbólico, así que las casillas piden el coeficiente que multiplica a la expresión indicada en cada pregunta.

Un disco que rueda sobre una barra que a su vez gira

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra rígida $O_1A$ gira alrededor del punto fijo $O_1$ con una velocidad angular $\omega$ constante y con sentido horario. Sobre esta barra contacta sin deslizamiento un disco de radio $R$ . Este disco articula en su centro $C$ con la barra rígida $BC$ , de longitud $2R$ , que a su vez articula en $B$ con la barra $O_2B$ , con punto fijo en $O_2$ , de longitud $R$ , y con velocidad angular $2\omega$ constante y con sentido horario. En el instante representado, las barras $O_1A$ y $BC$ pasan por la horizontal, y la barra $O_2B$ pasa por la vertical. Para este instante, calcular:

a) Velocidad angular del disco y de la barra $BC$ .

b) Centro instantáneo de rotación del disco y de la barra $BC$ .

c) Aceleración angular del disco y de la barra $BC$ .

Las velocidades angulares del disco y de BC, sus centros instantáneos de rotación y sus aceleraciones angulares.

01
Reconocer el camino
COMP1
El disco contacta sin deslizamiento con la barra $O_1A$ , que a su vez gira. ¿Qué impone eso en el punto $A$ ?
02
La velocidad angular del disco
COMP2
Escribiendo $\vec{\omega}_d = k\,\omega\vec{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, el coeficiente que multiplica a omega — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El centro instantáneo de rotación del disco
COMP2
¿A qué distancia de $A$ está el CIR del disco, medida en unidades de $R$ sobre la recta de la barra $O_1A$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, la distancia en unidades de R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración angular del disco
COMP2
Escribiendo $\vec{\alpha}_d = k\,\omega^{2}\vec{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente que multiplica a omega cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{v}_B = 2\omega R$ horizontal y $\vec{v}_A = 2\omega R$ vertical; igualando las dos expresiones de $\vec{v}_C$ salen $\omega_d = -2\omega$ y $\omega_{BC} = \omega$ .
2. Los CIR salen de $v = \omega\,d$ : el del disco a $R$ de $A$ sobre la barra, y el de $BC$ a $2R$ por encima de $B$ .
3. En aceleraciones, la rodadura iguala las componentes tangenciales en $A$ y $C$ desliza respecto de la barra 4, y salen $\alpha_d = 4\omega^{2}$ y $\alpha_{BC} = 0{,}5\,\omega^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.16 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El resultado es simbólico, así que las casillas piden el coeficiente que multiplica a la expresión indicada en cada pregunta.

Una corredera que recorre el contorno de un aro giratorio

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra rígida $O_1A$ , de longitud $R\sqrt{2}$ , gira alrededor del punto fijo $O_1$ con una velocidad angular $\omega$ de sentido horario, y con una aceleración angular $\alpha = \omega^{2}$ de sentido antihorario. El extremo de esta barra articula con una corredera $A$ que discurre por el contorno de un aro rígido de radio $R$ , que puede girar alrededor del punto fijo $O_2$ . Los puntos fijos $O_1$ y $O_2$ se encuentran sobre la misma horizontal y en el instante considerado la barra $O_1A$ forma con la horizontal un ángulo de 45º, y el punto $A$ y el centro del aro están alineados en la misma horizontal, tal y como se muestra en la figura. Para este instante, calcular:

a) Velocidad angular del aro.

b) Aceleración angular del aro.

La velocidad angular y la aceleración angular del aro.

01
Reconocer el camino
COMP1
$A$ es una corredera que recorre el contorno del aro. ¿Qué añade eso respecto de una articulación?
02
La velocidad angular del aro
COMP2
Escribiendo $\vec{\omega}_{\text{aro}} = k\,\omega\vec{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, el coeficiente que multiplica a omega — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de la corredera respecto del aro
COMP2
Escribiendo $|\vec{v}_{A/2}| = k\,\omega R$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, el coeficiente que multiplica a omega por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración angular del aro
COMP2
Escribiendo $\vec{\alpha}_{\text{aro}} = k\,\omega^{2}\vec{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, el coeficiente que multiplica a omega cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $\vec{v}_A = (\omega R;\ -\omega R)$ , y como el radio $CA$ es horizontal, el deslizamiento por el aro es vertical.
2. Igualando las componentes horizontales sale $\vec{\omega}_{\text{aro}} = -\omega\vec{k}$ , y restando, $v_{A/2} = 2\omega R$ .
3. En aceleraciones hay que añadir la normal relativa $v_{A/2}^{2}/R$ y el Coriolis, y la proyección horizontal da $\alpha_{\text{aro}} = 3\omega^{2}$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 8.17 · Tema 8, «Análisis del movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el profesor su resolución, contra los que está contrastado el desarrollo. El resultado es simbólico, así que las casillas piden el coeficiente que multiplica a la expresión indicada; los ejes son los del plano, con el eje x hacia arriba a lo largo de él.

Un disco que sube un plano inclinado arrastrando una barra

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de radio $R$ asciende con velocidad angular constante $\omega$ por un plano inclinado $\pi$ (fijo) que forma 45° con la horizontal. No hay deslizamiento entre plano y disco. En el punto $B$ del disco, está articulada una barra de longitud $2R\sqrt{2}$ cuyo otro extremo recorre el plano mediante una deslizadera en el punto $A$ . En el instante en que la barra $AB$ forma 45° con el plano $\pi$ , calcular:

a) Velocidad angular de la barra $AB$ .

b) Velocidad de la deslizadera en $A$ .

c) Aceleración angular de la barra $AB$ .

d) Aceleración de la deslizadera en $A$ .

e) Polo de aceleraciones de $AB$ .

La velocidad angular y la aceleración angular de AB, la velocidad y la aceleración de A, y el polo de aceleraciones de AB.

01
Reconocer el camino
COMP1
El disco sube rodando con $\omega$ constante. ¿Cuánto valen la aceleración de su centro $O$ y la de su punto de contacto con el plano?
02
La velocidad de la deslizadera A
COMP2
Escribiendo $v_A = k\,\omega R$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, el coeficiente que multiplica a omega por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular de la barra AB
COMP2
Escribiendo $\vec{\alpha}_{AB} = k\,\omega^{2}\vec{k}$ , ¿cuánto vale $k$ ?
Tu respuesta al paso 3un número con su signo, el coeficiente que multiplica a omega cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración de la deslizadera A
COMP2
Escribiendo $a_A = k\,\omega^{2}R$ sobre el eje que apunta plano arriba, ¿cuánto vale $k$ con su signo?
Tu respuesta al paso 4un número con su signo, el coeficiente que multiplica a omega cuadrado por R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
El polo de aceleraciones de la barra
COMP2
El polo de aceleraciones de $AB$ está sobre la perpendicular al plano trazada por $A$ . ¿A qué distancia de $A$ , en unidades de $R$ ?
Tu respuesta al paso 5un número, la distancia en unidades de R — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El disco rueda sobre un plano fijo, así que su CIR es el contacto y $v_B = 2\omega R$ , paralela al plano.
2. Como $\vec{v}_A$ también es paralela al plano y la barra no lo es, $\omega_{AB} = 0$ y $v_A = v_B = 2\omega R$ .
3. Con $\vec{a}_O = 0$ , $\vec{a}_B = \omega^{2}R$ hacia $O$ , y de ahí $\alpha_{AB} = -\omega^{2}/2$ , $a_A = \omega^{2}R$ plano abajo y el polo a $2R$ de $A$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Estudio del movimiento plano

El campo de velocidades en el plano

El centro instantáneo de rotación

La base y la ruleta

El centro instantáneo, y el rastro que va dejando

El campo de aceleraciones y el polo de aceleraciones

La aceleración del CIR

Las aceleraciones en la rodadura

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

La velocidad angular de la biela

La velocidad de B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración del centro

La aceleración del punto de contacto

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de la barra 2

La aceleración angular de la barra 1

La aceleración del centro de gravedad de la barra 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de la barra CD

La aceleración angular de la barra BDE

La aceleración de E

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de CD

La aceleración angular de CD

La aceleración angular de BC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de la barra 1

La velocidad angular de la barra 2

La velocidad de E

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de la barra AD

La velocidad de la deslizadera

La aceleración de la deslizadera

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de la varilla articulada en A

La aceleración angular de la varilla articulada en A

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad del punto D

La velocidad angular del disco 1

La aceleración angular del disco 1

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular en unidades del SI

La velocidad máxima del émbolo

El instante en que se alcanza

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad del punto A

La velocidad angular del disco

La velocidad angular de la barra BC

La velocidad de A respecto de la barra BC

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de la placa

La velocidad de cualquier punto de la placa

La aceleración de cualquier punto de la placa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad de C respecto de la barra

La aceleración angular de la barra

La aceleración de D respecto de la barra

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad del punto A

El deslizamiento del disco a lo largo de la barra

La aceleración del punto A

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La velocidad angular de la chapa

La velocidad angular del disco 2