Mecánica Aplicada · tema 12

Dinámica del sólido con movimiento plano

La dinámica del sólido cuando todo pasa en un plano: dos ecuaciones de fuerzas y una de momentos, la energía con su traslación y su rotación, y dónde conviene tomar momentos.

El último tema junta dos cosas que ya están hechas: la dinámica del sólido del tema 10 y el movimiento plano del tema 8. En el plano, todo lo que en el tema 10 era un tensor se reduce a un número, y las ecuaciones del movimiento de un sólido quedan en tres escalares: dos de fuerzas y una de momentos. Es la herramienta de los problemas de dinámica más reconocibles: un disco que rueda por un plano, una barra que cae girando, un mecanismo que se acelera.

El momento angular y la energía en el plano

Si el sólido se mueve en un plano, su velocidad angular y su aceleración angular son perpendiculares a él: $\vec{\omega} = \omega\,\hat{k}$ y $\vec{\alpha} = \alpha\,\hat{k}$ . Y si además ese plano es un plano de simetría del cuerpo —una rueda, una barra, un disco, casi todo lo que sale en los problemas—, los productos de inercia $I_{zx}$ e $I_{yz}$ son nulos y el momento angular se queda solo con su componente perpendicular al plano:

\vec{H}_G = I_G\,\omega\,\hat{k} \qquad \frac{d\vec{H}_G}{dt} = I_G\,\alpha\,\hat{k}

con $I_G$ el momento de inercia respecto del eje perpendicular al plano por $G$ . Como ese eje no cambia de dirección, ya no hace falta ningún término de Boure. Si hay un punto fijo $O$ , lo mismo con $I_O$ .

La energía cinética es la del tema 10 con un solo término de rotación, sea o no el plano de simetría:

T = \tfrac12\,M\,v_G^{2} + \tfrac12\,I_G\,\omega^{2}

o $T = \tfrac12\,I_O\,\omega^{2}$ si el sólido gira alrededor de un punto fijo.

Las tres ecuaciones

Con el plano de simetría, los teoremas del momento lineal y del momento angular dan las tres ecuaciones del movimiento plano:

\sum F_x = M\,a_{Gx} \qquad \sum F_y = M\,a_{Gy} \qquad \sum M_G = I_G\,\alpha

o, si el sólido gira alrededor de un punto fijo $O$ , $\sum M_O = I_O\,\alpha$ . En las fuerzas entran todas las externas: las aplicadas, el peso y las reacciones de los enlaces.

Tomar momentos donde están las incógnitas

El libro subraya una idea que ahorra casi todo el trabajo. Las dos ecuaciones de arriba dicen que el sistema de fuerzas externas es equivalente, en el sentido del tema 1, al formado por el vector $M\vec{a}_G$ aplicado en $G$ y el par $I_G\,\alpha$ : tienen la misma resultante y el mismo momento respecto de $G$ . Y dos sistemas equivalentes tienen el mismo momento respecto de cualquier punto.

Así que puedes tomar momentos en otro punto $O$ , el que más te convenga, siempre que en el segundo miembro pongas el momento de todo el sistema equivalente respecto de $O$ :

\sum M_O = I_G\,\alpha + \left(\overrightarrow{OG} \times M\vec{a}_G\right)_z

Los puntos que más convienen son los que tienen reacciones desconocidas, porque desaparecen de la ecuación. El ejemplo de siempre es un disco que rueda: tomando momentos en el punto de contacto, la normal y el rozamiento no aparecen.

Un cilindro macizo de 2 kg que rueda sin deslizar por un plano de 30°. A la izquierda, las fuerzas que actúan sobre él; a la derecha, el sistema al que equivalen: M·aG en el centro y el par IG·α. Tomando momentos en el punto de contacto C, la normal y el rozamiento se van y queda una sola ecuación, que da la aceleración: aG = (2/3)·g·sen 30° = 3,27 m/s².

Tomar momentos en otro punto y olvidar el momento de M·aG

$\sum M_G = I_G\,\alpha$ solo vale tal cual en $G$ o en un punto fijo. Si tomas momentos en otro punto —el de contacto de un disco, una articulación que se mueve—, al par $I_G\,\alpha$ hay que sumarle el momento de $M\vec{a}_G$ respecto de ese punto. Escribir $\sum M_C = I_G\,\alpha$ en el punto de contacto de un disco que rueda da una aceleración tres veces mayor de la real; lo correcto es $\sum M_C = I_G\,\alpha + M\,a_G\,R$ , que para un disco es lo mismo que $(I_G + MR^{2})\,\alpha$ .

El método de la energía

Cuando se piden velocidades en dos posiciones y no interesa lo que pasa entre ellas, el teorema de la energía del tema 9 es el camino más corto, con la energía cinética del plano:

W_{nc} + T_A + V_A = T_B + V_B

En los mecanismos ayuda mucho el centro instantáneo de rotación del tema 8: con él, las velocidades de todos los puntos se escriben a partir de una sola velocidad angular, y la energía cinética queda en función de una sola incógnita.

Impulsos: los teoremas integrados

Si se integran los dos teoremas entre dos instantes, salen los teoremas del impulso:

M\,\vec{v}_{G1} + \int_1^2 \vec{F}\,dt = M\,\vec{v}_{G2} \qquad I_G\,\omega_1 + \int_1^2 M_G\,dt = I_G\,\omega_2

Relacionan velocidades con impulsos en un intervalo, y son la herramienta para los choques y las fuerzas que actúan muy poco tiempo, que se pueden tratar como constantes durante él. Igual que antes, los momentos se pueden tomar en otro punto si se cuenta el momento de $M\vec{v}_G$ .

Lo que hay que llevarse

En el plano, con un plano de simetría: $\vec{H}_G = I_G\,\omega\,\hat{k}$ , y $T = \tfrac12 M v_G^{2} + \tfrac12 I_G\,\omega^{2}$ .
Tres ecuaciones: $\sum F_x = M a_{Gx}$ , $\sum F_y = M a_{Gy}$ y $\sum M_G = I_G\,\alpha$ .
Los momentos se toman donde convenga, sumando el momento de $M\vec{a}_G$ .
Energía para relacionar dos posiciones; impulsos para relacionar dos instantes.

Practica lo que acabas de leer

Un cilindro que rueda por un plano inclinado

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un cilindro que rueda por un plano inclinado

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cilindro macizo y homogéneo de 2 kg rueda sin deslizar por un plano inclinado 30°. Tomando $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ , calcular la aceleración de su centro y el coeficiente de rozamiento mínimo para que no deslice.

La aceleración del centro y el rozamiento mínimo.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿En qué punto conviene tomar momentos para sacar la aceleración?
02
La aceleración del centro
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración del centro, en m/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en m/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El rozamiento mínimo
COMP2
¿Qué coeficiente de rozamiento mínimo hace falta para que no deslice?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en el contacto, con el sistema equivalente: $M g R \sin 30° = I_G\,\alpha + M a_G R$ .
2. Con $I_G = MR^{2}/2$ y $\alpha = a_G/R$ , $a_G = \tfrac23 g \sin 30° = 3{,}27$ m/s².
3. En $G$ , $F_r R = I_G\,\alpha$ , así que $F_r = \tfrac12 M a_G = 3{,}27$ N, y $\mu \ge 3{,}27/16{,}97 = 0{,}19$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Una barra articulada que se suelta desde la horizontal

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra homogénea de 1 m y 3 kg está articulada en su extremo $O$ y se mantiene horizontal. Se suelta desde el reposo. Tomando $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ , calcular su aceleración angular y la reacción vertical en la articulación en el instante de soltarla.

La aceleración angular y la reacción en O al soltarla.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué ecuación da directamente la aceleración angular?
02
La aceleración angular
COMP2
¿Cuánto vale la aceleración angular al soltarla, en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La reacción en O
COMP2
¿Cuánto vale la reacción vertical en $O$ en ese instante, en N?
Tu respuesta al paso 3un número, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Momentos en el punto fijo O: $M g L/2 = I_O\,\alpha$ , con $I_O = ML^{2}/3$ , así que $\alpha = 3g/(2L) = 14{,}7$ rad/s².
2. Al soltarla no hay velocidad, así que $G$ solo tiene aceleración tangencial, $\alpha L/2 = 7{,}35$ m/s², vertical.
3. Teorema del momento lineal: $M g - R = M a_G$ , y $R = 3 \cdot 2{,}45 = 7{,}35$ N.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.1 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor. Con g = 9,81 m/s2 la cuenta da 1,543 m/s; la colección imprime 1,542 y la resolución oficial, 1,543.

El engranaje que rueda por la pista dentada

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El engranaje (2) de radio $L/2$ ( $=BE$ ) tiene una masa de 3,2 kg y un radio de giro central de 60 mm. Rueda sobre la pista dentada fija (3) y está articulado en su centro $B$ a la barra (1), de masa 2,4 kg y longitud $L$ = 160 mm. Si el sistema se suelta del reposo en la posición mostrada, calcular la velocidad del punto $B$ después de que la barra $AB$ haya girado 90º.

La barra AB mide 160 mm y el engranaje (2), articulado a ella en B, tiene radio 80 mm. La pista (3) está fija: su radio es 240 mm y el contacto E queda alineado con A y B. Dibujada a escala.

La velocidad del punto B cuando la barra AB ha girado 90 grados.

01
Reconocer el camino
COMP1
El sistema parte del reposo y se pide una velocidad 90º después. ¿Qué herramienta del tema resuelve eso con menos cuentas?
02
La rodadura sobre la pista fija
COMP2
El contacto $E$ es un punto del engranaje con velocidad nula. ¿Cuántas veces mayor es $\omega_2$ , la velocidad angular del engranaje, que $\omega_1$ , la de la barra?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La velocidad de B tras el cuarto de vuelta
COMP2
Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale la velocidad de $B$ después de que la barra haya girado 90º?
Tu respuesta al paso 3en m/s, con tres cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Nada disipa energía: la articulación en A no trabaja y el contacto de rodadura tampoco, porque su punto de aplicación está parado.
2. La potencial baja $m_1 g \frac{L}{2} + m_2 g L = 6{,}906$ J, porque el centro de la barra desciende $L/2$ y el del engranaje, $L$ .
3. Rodadura en E: $\omega_2 = 2\omega_1$ , y la cinética suma la barra girando en A más el engranaje trasladando y girando.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.2 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor. El resultado es simbólico, así que las casillas piden los coeficientes de la expresión, no un número con unidades.

La barra ACB guiada por dos bloques

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

El movimiento de la barra uniforme $ACB$ de masa $M$ está guiado por dos bloques de masa despreciable que deslizan sin rozamiento en las ranuras mostradas. Una fuerza $P$ se aplica al bloque $A$ haciendo que la barra parta del reposo con una aceleración angular de valor $\alpha$ opuesta al sentido del giro de las manecillas del reloj. Calcular:

a) Fuerza necesaria $P$ .

b) Reacción en $A$ .

La barra baja 30° hacia la derecha. El bloque A corre por la ranura horizontal y el bloque C, que es el punto medio, por la vertical. La flecha de P se ha dibujado en el sentido en el que la fuerza resulta positiva.

La fuerza P y la reacción en A, en función de M, L, alfa y g.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de escribir ninguna ecuación, ¿cómo es la aceleración del centro de gravedad $G$ de la barra?
02
El coeficiente de Mg en la fuerza P
COMP2
La fuerza sale de la forma $P = M(c_1\,g + c_2\,L\alpha)$ . ¿Cuánto vale $c_1$ , el coeficiente de $Mg$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad (el coeficiente de Mg) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El coeficiente de MLalfa en la fuerza P
COMP2
En $P = M(\sqrt{3}\,g + c_2\,L\alpha)$ , ¿cuánto vale $c_2$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad (el coeficiente de MLalfa) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
El coeficiente de MLalfa en la reacción en A
COMP2
La reacción vale $R_A = M(g + c_3\,L\alpha)$ . ¿Cuánto vale $c_3$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, sin unidad (el coeficiente de MLalfa) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. C es el punto medio, así que G = C y la ranura vertical impone $a_{Gx} = 0$ ; entonces $a_{Gy} = \frac{\sqrt{3}}{4}L\alpha$ .
2. Momento lineal en vertical: $R_A - Mg = Ma_{Gy}$ , o sea $R_A = M\!\left(g + \frac{\sqrt{3}}{4}L\alpha\right)$ .
3. Momentos en G, donde solo dan momento P y $R_A$ : $P\frac{L}{4} - R_A\frac{\sqrt{3}L}{4} = \frac{ML^{2}}{12}\alpha$ , y sale $P = M\!\left(\sqrt{3}g + \frac{13}{12}L\alpha\right)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.3 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor. Ojo al apartado a: la colección imprime 36,17 rad/s2, y ese número es la aceleración angular de la BARRA AB, no la del engranaje (2), que gira al doble. La resolución oficial del profesor publica 72,36 rad/s2 para el engranaje y 36,18 para la barra, y es lo que da la cuenta; el sitio publica 72,36 y explica el otro.

Dos engranajes unidos por una barra

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos ruedas dentadas (1) y (2) engranan y están conectadas mediante la barra (3) $AB$ uniforme de longitud 200 mm. El engranaje (2) tiene una masa de 5 kg y un radio de giro central de 75 mm. La barra $AB$ tiene una masa de 3 kg. Si el sistema se suelta desde el reposo (posición de la figura), obtener:

a) Aceleración angular del engranaje (2).

b) Aceleración del punto $B$ .

Las dos ruedas son iguales, de radio 100 mm, y engranan en el punto medio de AB, que es también el centro de gravedad G de la barra. La rueda (1) está montada sobre el apoyo fijo A. Dibujada a escala.

La aceleración angular del engranaje (2) y la aceleración del punto B.

01
Reconocer el camino
COMP1
El engranaje (1) está fijo al suelo. ¿Qué relación hay entre su aceleración angular $\alpha_2$ y la $\alpha_3$ de la barra?
02
La aceleración angular de la barra
COMP2
Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale $\alpha_3$ , la aceleración angular de la barra $AB$ , en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular del engranaje (2)
COMP2
¿Y cuánto vale $\alpha_2$ , la del engranaje (2), en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración del punto B
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de la aceleración del punto $B$ ?
Tu respuesta al paso 4en m/s², con tres cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Rodadura sobre el engranaje fijo: $\alpha_2 = 2\alpha_3$ , y como se parte del reposo, $a_B = \alpha_3 L$ sin término normal.
2. La inercia equivalente respecto de A es $\frac{m_3L^{2}}{3} + m_2L^{2} + 4m_2r_G^{2} = 0{,}3525$ kg m².
3. Los pesos dan el momento motor $g\!\left(m_3\frac{L}{2}+m_2L\right) = 12{,}75$ N m, y de ahí $\alpha_3 = 36{,}18$ y $\alpha_2 = 72{,}36$ rad/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.4 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor. La colección imprime la reacción como 4/7 W g, con una g de más: el enunciado llama W al PESO, así que la reacción es 4W/7, que es lo que escribe la resolución oficial cuando la pone como 4mg/7.

La viga cuando se rompe el cable

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una viga uniforme de longitud $L$ y peso $W$ está sostenida en la forma indicada en la figura. Si el cable se rompe repentinamente, calcular:

a) Aceleración del extremo $B$ .

b) Reacción en el soporte del pasador $C$ .

El pasador C está a L/4 del extremo A, y el centro de gravedad, en el punto medio: entre los dos hay L/4. Del extremo B cuelga el cable que se rompe. Dibujada a escala.

La aceleración del extremo B y la reacción vertical del pasador C.

01
Reconocer el camino
COMP1
Roto el cable, ¿dónde conviene tomar momentos y con qué momento de inercia?
02
La aceleración del extremo B
COMP2
Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale la aceleración del extremo $B$ justo al romperse el cable? Fíjate en que no depende de $L$ .
Tu respuesta al paso 2en m/s², con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La reacción del pasador
COMP2
La reacción vertical vale $C_y = c\,W$ , con $W$ el peso de la viga. ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad (el coeficiente de W) — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El pasador C es un punto fijo de la viga, así que $\sum M_C = I_C\alpha$ con $I_C = \frac{ML^{2}}{12} + M\frac{L^{2}}{16} = \frac{7ML^{2}}{48}$ .
2. El peso actúa en G, a $L/4$ del pasador, y de ahí $\alpha = \frac{12g}{7L}$ y $a_B = \alpha\frac{3L}{4} = \frac{9g}{7}$ .
3. Momento lineal en vertical: $W - C_y = M\alpha\frac{L}{4} = \frac{3}{7}W$ , luego $C_y = \frac{4}{7}W$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.5 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor. Con g = 9,81 m/s2 la cuenta da 3,839 rad/s y 2,438 m/s; la colección imprime 3,836 y 2,436, un 0,08 por ciento menos, que es redondeo y no discrepancia.

La barra con muelle que desliza en dos ranuras

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Los extremos de la barra $AB$ de 4 kg y 635 mm de longitud están obligados a moverse, como se muestra, por las ranuras abiertas en un plano vertical. Al extremo $A$ se sujeta un muelle de constante $k$ = 525 N/m de tal modo que su tensión es nula cuando $\theta$ = 0º. Si la barra se abandona en reposo cuando $\theta$ = 50º, calcular su velocidad angular y la velocidad en el extremo cuando $\theta$ = 0º.

El extremo A corre por la ranura horizontal y B por la vertical. El ángulo θ se mide desde la horizontal, y el muelle está sin deformar cuando la barra queda horizontal, es decir con θ = 0. Dibujada a escala con θ = 50°.

La velocidad angular de la barra y la velocidad de B cuando theta vale cero.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la posición final, $\theta = 0$ , ¿dónde está el centro instantáneo de rotación de la barra?
02
El alargamiento inicial del muelle
COMP2
¿Cuánto está estirado el muelle en la posición de partida, $\theta = 50^\circ$ ?
Tu respuesta al paso 2en metros, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad angular en theta igual a cero
COMP2
Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale la velocidad angular de la barra al llegar a $\theta = 0$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La velocidad del extremo B
COMP2
¿Y cuánto vale la velocidad del extremo $B$ en ese instante?
Tu respuesta al paso 4en m/s, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las ranuras no rozan y no hay más fuerzas no conservativas: se conserva la suma de energía cinética, potencial gravitatoria y elástica.
2. De 50º a 0º el muelle suelta $\tfrac12 k L^{2}(1-\cos 50^\circ)^{2} = 13{,}51$ J y el peso absorbe $Mg\frac{L}{2}\sin 50^\circ = 9{,}54$ J.
3. En θ = 0 el centro instantáneo es A, así que $T = \tfrac12 M(\omega L/2)^{2} + \tfrac12\frac{ML^{2}}{12}\omega^{2} = \frac{ML^{2}}{6}\omega^{2}$ , y sale ω = 3,84 rad/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.6 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor. Los signos son los del resultado impreso, con la fuerza P dibujada hacia la izquierda y el eje x hacia la derecha.

La barra colgada de C con una fuerza en el extremo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra uniforme de longitud $L$ = 900 mm y masa 4 kg cuelga libremente de una articulación en C. Una fuerza horizontal $P$ de 75 N de magnitud se aplica en el extremo $B$ . Si la distancia $r$ es 225 mm, calcular:

a) Aceleración angular de la barra.

b) Reacción en $C$ .

La barra mide 900 mm y cuelga de la articulación C, que está 225 mm por encima del centro de gravedad G. La fuerza P de 75 N actúa en el extremo B, horizontal y hacia la izquierda. Dibujada a escala.

La aceleración angular de la barra y las dos componentes de la reacción en C.

01
Reconocer el camino
COMP1
$C$ es una articulación fija y $G$ está $r$ por debajo. ¿Con qué momento de inercia hay que escribir $\sum M_C = I\,\alpha$ ?
02
La aceleración angular
COMP2
Tomando el eje $x$ hacia la derecha —así que $P$ es negativa—, ¿cuánto vale la aceleración angular de la barra?
Tu respuesta al paso 2un número con su signo, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente horizontal de la reacción
COMP2
¿Cuánto vale $C_x$ , la componente horizontal de la reacción en la articulación?
Tu respuesta al paso 3en newtons, con su signo — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La componente vertical de la reacción
COMP2
¿Y cuánto vale $C_y$ ?
Tu respuesta al paso 4en newtons — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. C es fijo: $\sum M_C = I_C\alpha$ con $I_C = \frac{ML^{2}}{12} + Mr^{2} = 0{,}4725$ kg m², y el peso no da momento porque G está en la vertical de C.
2. El momento de P vale $-75\cdot 0{,}675 = -50{,}6$ N m, así que $\alpha = -107{,}14$ rad/s² y $a_{Gx} = \alpha r = -24{,}1$ m/s².
3. Momento lineal: $C_x - 75 = Ma_{Gx}$ da $C_x = -21{,}43$ N, y en vertical $C_y = Mg = 39{,}24$ N porque $a_{Gy} = 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.7 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor, de la que se toma además la lectura de la figura que el enunciado no dice con palabras: el muelle tira de un hilo arrollado al disco, así que al girar un ángulo se alarga el arco correspondiente.

La varilla soldada al disco con muelle

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La varilla (1) de 5 kg está soldada al disco uniforme de 3 kg que gira sobre un pasador en $A$ . Un resorte constante 80 N/m está unido al disco y no está deformado cuando la varilla $AB$ está horizontal (caso mostrado). Si se suelta el conjunto desde el reposo como se indica, obtener su velocidad angular después de que haya girado un ángulo de 90º.

El disco, de radio 125 mm, gira sobre el pasador A; la varilla AB, de 500 mm, va soldada a él. El muelle cuelga del punto de la periferia opuesto a B. Dibujada a escala.

La velocidad angular del conjunto después de girar 90 grados.

01
Reconocer el camino
COMP1
El conjunto gira alrededor del pasador $A$ . ¿Cuál es su momento de inercia respecto de ese eje?
02
Cuánto se alarga el muelle
COMP2
El muelle tira de un hilo arrollado a la periferia del disco. ¿Cuánto se alarga al girar el conjunto 90º?
Tu respuesta al paso 2en metros, con cinco cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad angular tras el cuarto de vuelta
COMP2
Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale la velocidad angular del conjunto cuando ha girado 90º?
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El conjunto gira alrededor del punto fijo A, así que $T = \tfrac12 I_A\omega^{2}$ con $I_A = \tfrac12 m_dR^{2} + \tfrac13 m_vL^{2} = 0{,}4401$ kg m².
2. El único peso que baja es el de la varilla, cuyo centro desciende $L/2$ , y suelta $m_vg\frac{L}{2} = 12{,}26$ J.
3. El muelle se alarga el arco $R\pi/2 = 0{,}196$ m y almacena $\tfrac12 k\delta^{2} = 1{,}54$ J; con lo que queda, $\omega = 6{,}98$ rad/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.8 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor. Los números impresos en la hoja de enunciados están redondeados a la baja: dice aA = -8,44 m/s2 y F = -48,7 N, mientras que la cuenta exacta da 8,496 m/s2, que son (raiz de 3 partido por 2) por g, y 47,94 N y 8,70 N en las dos barras. La resolución oficial del profesor publica 8,5 m/s2, FE = 47,9 N y FF = -8,67 N, que es lo mismo; el sitio publica la cuenta exacta. Ojo también a que la figura de la resolución oficial intercambia las cotas de la placa: las buenas son las del enunciado, 500 por 200 mm.

La placa colgada de dos barras paralelas

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La placa delgada $ABCD$ (3) tiene una masa de 8 kg y se mantiene en la posición indicada por medio del alambre $BH$ y dos barras articuladas (1) y (2) de igual longitud desconocida. Para el instante en el que se corta el alambre $BH$ , hallar:

a) Aceleración de los puntos $A$ , $B$ , $C$ y $D$ de la placa (3).

b) Fuerza sobre las articulaciones $E$ y $F$ .

Las dos barras miden lo mismo, 150 mm, y las dos bajan 30°: con la pared forman un paralelogramo con el lado AD de la placa. Del vértice B sube el alambre que se corta. Dibujada a escala.

La aceleración de los cuatro vértices de la placa y la fuerza en cada una de las dos barras.

01
Reconocer el camino
COMP1
Cortado el alambre, ¿cómo se mueve la placa en ese instante?
02
La aceleración de los cuatro puntos
COMP2
Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale el módulo de la aceleración de la placa en ese instante?
Tu respuesta al paso 2en m/s², con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza en la barra EA
COMP2
¿Cuánto vale, en módulo, la fuerza que soporta la barra (1), la que va de $E$ a $A$ ?
Tu respuesta al paso 3en newtons, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza en la barra FD
COMP2
¿Y cuánto vale, en módulo, la fuerza en la barra (2), la que va de $F$ a $D$ ?
Tu respuesta al paso 4en newtons, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Las dos barras son iguales y paralelas, así que EFDA es un paralelogramo, la placa traslada y $\alpha = 0$ .
2. Al partir del reposo la aceleración es perpendicular a las barras: proyectando el peso, $a = g\cos 30^\circ = 8{,}50$ m/s² para los cuatro vértices.
3. En la dirección de las barras no hay aceleración: $F_{EA} + F_{FD} = Mg\sin 30^\circ = 39{,}24$ N, y $\sum M_G = 0$ reparte 47,94 y $-8{,}70$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.9 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor. La tabla final de esa resolución trae una errata que no afecta a lo que se pide, y conviene saberla al comparar: da la velocidad angular de la biela como 1,62 rad/s en el caso de biela sin masa, cuando de sus propios v_A y v_B salen 1,27 rad/s. El caso de 10 kg sí está bien, 1,38 rad/s.

Las dos masas unidas por una biela, con dos muelles

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Las masas $A$ y $B$ de 75 kg cada una están obligadas a moverse por unas ranuras sin rozamiento. Están conectadas mediante una biela ligera de longitud $L$ = 300 mm. La masa $B$ está conectada a dos muelles de constante $k$ = 900 N/m. Si los muelles están en reposo cuando la biela está en posición vertical, calcular $v_A$ y $v_B$ cuando $A$ descienda una distancia de 25 mm si:

a) La masa de la biela es despreciable.

b) Si la masa de la biela son 10 kg.

La masa A sube y baja por la ranura vertical; B corre por la ranura del suelo, entre los dos muelles. En la posición dibujada la biela está vertical y los muelles, sin deformar. Dibujada a escala.

Las velocidades de A y de B cuando A ha bajado 25 mm, con la biela sin masa y con biela de 10 kg.

01
Reconocer el camino
COMP1
Al bajar $A$ , ¿qué relación hay entre su velocidad y la de $B$ ?
02
Cuánto se ha desplazado B
COMP2
Cuando $A$ ha bajado 25 mm, ¿cuánto se ha desplazado $B$ en horizontal desde la posición vertical?
Tu respuesta al paso 2en metros, con cinco cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad de A con la biela sin masa
COMP2
Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ y la biela de masa despreciable, ¿cuánto vale $v_A$ ?
Tu respuesta al paso 3en m/s, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La velocidad de B con la biela sin masa
COMP2
¿Y cuánto vale $v_B$ en ese mismo instante?
Tu respuesta al paso 4en m/s, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La velocidad de A con la biela de 10 kg
COMP2
Ahora la biela pesa 10 kg. ¿Cuánto vale $v_A$ ?
Tu respuesta al paso 5en m/s, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Geometría: cuando A baja 25 mm, $x = \sqrt{L^{2}-(L-d)^{2}} = 0{,}1199$ m, y derivando la ligadura, $v_B = v_A(L-d)/x = 2{,}2935\,v_A$ .
2. Los dos muelles almacenan $2\cdot\tfrac12 kx^{2} = 12{,}94$ J y el peso de A suelta $mgd = 18{,}39$ J.
3. Con biela sin masa queda $5{,}46 = \tfrac12 m (v_A^{2}+v_B^{2})$ , y salen 0,152 y 0,350 m/s.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.10 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y se ha comprobado también con la resolución oficial del profesor, que añade un dato que la hoja de enunciados no dice y hace falta para cerrar el problema: en A actúa un motor que suministra un par. El sentido de giro es el de las flechas de la figura, o sea el horario, que en los ejes de la resolución es omega1 = menos 2 k. Con el sentido contrario saldrían Ay = 85,5 N y Dy = 27,6 N, y no es lo que imprime la colección.

El entramado articulado de tres barras

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se muestra un entramado articulado de tres barras. En el instante mostrado, la barra $AB$ tiene un movimiento angular con $\omega_1$ = 2 rad/s y $\alpha_1$ = 3 rad/s $^{2}$ . Reacciones en los apoyos $A$ y $D$ .

Datos: $M_1$ = 4 kg; $M_2$ = 3 kg; $M_3$ = 6 kg; $AB$ = 0,6 m; $BC$ = 0,5 m; $CD$ = 1 m

Las tres barras, con los dos apoyos fijos A y D. Las flechas marcan el sentido del giro: los extremos B y C suben, o sea giro horario. Fíjate en que D queda 0,4 m a la derecha de A, porque CD es más larga que AB. Dibujada a escala.

Las cuatro componentes de las reacciones en los apoyos A y D.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Cuánto vale $\omega_2$ , la velocidad angular de la barra $BC$ ?
02
La aceleración angular de la barra CD
COMP2
¿Cuánto vale $\alpha_3$ , la aceleración angular de la barra $CD$ , en valor absoluto?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente horizontal de la reacción en A
COMP2
¿Cuánto vale $A_x$ ?
Tu respuesta al paso 3en newtons, con tres cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La componente vertical de la reacción en A
COMP2
¿Y cuánto vale $A_y$ ?
Tu respuesta al paso 4en newtons, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La componente vertical de la reacción en D
COMP2
¿Cuánto vale $D_y$ ?
Tu respuesta al paso 5en newtons, con cuatro cifras — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cinemática: $\omega_2 = 0$ y $\omega_3 = 1{,}2$ rad/s; después $\alpha_2 = 1{,}92$ y $\alpha_3 = 1{,}8$ rad/s², las dos en sentido horario.
2. Se empieza por la barra 3, que solo tiene dos incógnitas nuevas: momentos en $G_3$ y fuerzas dan $C_y = 33{,}03$ N y $D_y = 31{,}23$ N.
3. Subiendo por la cadena, la barra 2 da $B_y = 67{,}86$ N y la barra 1 cierra con $A_x = 7{,}92$ N y $A_y = 110{,}7$ N.

Resolución completa

La cinemática, barra a barra. Con $AB$ y $CD$ horizontales y $BC$ vertical, y tomando el sentido de las flechas — $B$ y $C$ suben, o sea giro horario:

v_B = \omega_1\,AB = 1{,}2\ \text{m/s (vertical)} \;\Longrightarrow\; \omega_2 = 0, \qquad \omega_3 = \frac{1{,}2}{CD} = 1{,}2\ \text{rad/s}

\vec{a}_B = (\omega_1^{2}AB,\; \alpha_1 AB) = (2{,}4;\ 1{,}8)\ \text{m/s}^{2} \;\Longrightarrow\; \alpha_2 = 1{,}92, \qquad \alpha_3 = 1{,}8\ \text{rad/s}^{2}

Las aceleraciones de los tres centros.

\vec{a}_{G1} = (1{,}2;\ 0{,}9) \qquad \vec{a}_{G2} = (1{,}92;\ 1{,}8) \qquad \vec{a}_{G3} = (0{,}72;\ 0{,}9)\ \text{m/s}^{2}

Por dónde empezar. Hay nueve incógnitas —ocho componentes de fuerza más el par del motor— y nueve ecuaciones, tres por barra. Pero no hace falta resolver el sistema entero: la barra 3 tiene solo cuatro incógnitas y tres ecuaciones, y la de momentos en $G_3$ junto con las de fuerzas cierra $C_y$ y $D_y$ :

D_y - C_y = \frac{2I_3\alpha_3}{CD} = 1{,}8 \qquad D_y + C_y = M_3(g + a_{G3y}) = 64{,}26

C_y = 33{,}03\ \text{N} \qquad D_y = 31{,}23\ \text{N}

Con los momentos de la barra 2 salen $C_x = -2{,}64$ N y $B_x = 3{,}12$ N, y con su ecuación vertical $B_y = 67{,}86$ N. Bajando a la barra 3, $D_x = M_3a_{G3x} + C_x = 6{,}96$ N; subiendo a la 1,

A_x = 7{,}92\ \text{N} \qquad A_y = 110{,}7\ \text{N}

El sentido de giro importa, y mucho. Con el giro antihorario los términos de inercia cambian de signo y salen $A_y = 85{,}5$ N y $D_y = 27{,}6$ N. Los valores publicados son los del giro horario, que es el de las flechas de la figura. Las componentes horizontales, en cambio, no cambian: solo dependen de $\omega^{2}$ y de $\alpha_2$ , que salen iguales en los dos casos.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.11 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos. El número impreso en la colección no sale de los datos; el bueno es el de la resolución del curso, y aquí se explica de dónde viene el otro.

La barra articulada a un balancín que desliza por el suelo

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La barra uniforme de 6 kg $AB$ está articulada en su extremo A a la barra $AC$ de peso despreciable y en el otro extremo $B$ desliza sin rozamiento por el suelo. En el instante señalado, la barra $AB$ parte del reposo y el punto $B$ tiene una aceleración de $3\ \text{m/s}^{2}$ hacia la izquierda debido a la fuerza $P$ . Para ese instante, calcular:

a) Valor de la fuerza $P$ .

b) Fuerza que la barra $AC$ ejerce sobre la barra $AB$ .

La fuerza P y la fuerza que la barra AC ejerce sobre AB, en newtons.

01
Reconocer el camino
COMP1
La barra $AC$ no pesa y está articulada en sus dos extremos, con $C$ fijo. ¿Qué dos cosas impone eso?
02
La aceleración angular de la barra AB
COMP2
Con $\sin\beta = 1{,}2/1{,}5 = 0{,}8$ , ¿cuánto vale el módulo de la aceleración angular de $AB$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La normal del suelo en B
COMP2
El centro de masas acelera $a_{Gy} = 1{,}125\ \text{m/s}^{2}$ hacia arriba. Tomando $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale la normal en $B$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza P
COMP2
Tomando momentos en $G$ con el sistema equivalente, ¿cuánto vale el módulo de la fuerza $P$ ?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
La fuerza que AC ejerce sobre AB
COMP2
¿Cuánto vale esa fuerza, la que la barra $AC$ hace sobre $AB$ en $A$ ?
Tu respuesta al paso 5una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La barra AC no pesa y se articula en sus dos extremos, así que su fuerza en $A$ es horizontal y $\vec{a}_A$ es vertical.
2. De $a_{Ax}=0$ sale $\alpha = a_B/(L\sin\beta) = 2{,}5$ rad/s², y con ella $a_{Gx} = -1{,}5$ y $a_{Gy} = 1{,}125$ m/s².
3. Del momento lineal en vertical, $N = m(g + a_{Gy}) = 65{,}61$ N.
4. Momentos en $G$ con $\sum M_G = I_G\alpha$ , y con la horizontal $A_x + P_x = m a_{Gx}$ , salen $P = 31{,}45$ N y $A_x = 22{,}45$ N.

Resolución completa

La geometría. Con $H = 1{,}2$ m y $AB = 1{,}5$ m, $\sin\beta = 0{,}8$ y $\cos\beta = 0{,}6$ .

Cinemática. La barra $AC$ no tiene masa y está articulada en sus dos extremos, así que solo transmite fuerza en su dirección, horizontal; y como $C$ es fijo y se parte del reposo, $\vec{a}_A$ es perpendicular a $AC$ , es decir vertical. Con $\omega = 0$ ,

\vec{a}_A = \vec{a}_B + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{BA} \;\Longrightarrow\; 0 = -3 + \alpha\,L\sin\beta \;\Longrightarrow\; \alpha = 2{,}5\ \text{rad/s}^{2}

en sentido horario. Para el centro, a media barra de $B$ ,

a_{Gx} = -1{,}5\ \text{m/s}^{2} \qquad a_{Gy} = 1{,}125\ \text{m/s}^{2}

Dinámica. En vertical solo hay peso y normal, así que $N = m(g + a_{Gy}) = 65{,}61$ N. En horizontal, $A_x + P_x = m a_{Gx} = -9$ N. Y tomando momentos en $G$ , con $I_G = mL^{2}/12 = 1{,}125\ \text{kg}\,\text{m}^{2}$ ,

-0{,}6\,A_x + 0{,}45\,N + 0{,}6\,P_x = I_G\,\alpha

De las dos últimas salen $P = 31{,}45$ N hacia la izquierda y $A_x = 22{,}45$ N hacia $C$ .

Sobre el resultado impreso. La colección publica $P = 26{,}76$ N y $A_x = 17{,}76$ N. Esos dos números se reproducen exactamente escribiendo $+I_G\alpha$ donde va $-I_G\alpha$ , y la resolución oficial del curso publica los mismos $31{,}45$ y $22{,}45$ que salen aquí, junto con la misma normal $N = 65{,}61$ N. Los dos valores impresos se diferencian en $4{,}69$ N, que es justo $2 I_G\alpha/0{,}6$ repartido por igual.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.12 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos.

Dos barras soldadas colgadas de dos eslabones paralelos

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos barras uniformes $BD$ y $EF$ cada una de 2 kg de masa están unidas mediante soldadura (rígidamente) en el punto $E$ y ligadas a dos eslabones (1) y (2), sin masa. Calcular las fuerzas sobre las barras (1) y (2) después de soltar desde el reposo. $G$ es el centro de gravedad de la estructura.

Las fuerzas sobre los eslabones (1) y (2), en newtons.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos eslabones son paralelos y de la misma longitud. ¿Qué movimiento tiene la estructura soldada al soltarla?
02
La aceleración del centro de gravedad
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de la aceleración de $G$ nada más soltar el sistema, con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ ?
Tu respuesta al paso 2una aceleración, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La fuerza del eslabón (1), el de arriba
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de la fuerza que soporta el eslabón (1), el que une $A$ con $B$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La fuerza del eslabón (2), el de abajo
COMP2
¿Y el módulo de la fuerza en el eslabón (2), el que une $C$ con $D$ ?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Los eslabones son paralelos e iguales, así que ABDC es un paralelogramo y la estructura traslada, con $\alpha = 0$ .
2. Al trasladar, $\vec{a}_G$ es perpendicular a los eslabones, y proyectando el peso, $a_G = g\cos 60^{\circ} = g/2$ .
3. Con $\alpha = 0$ , la ecuación de momentos en G queda $\sum M_G = 0$ , y de ella $F_2 = 13{,}93\,F_1$ .
4. Las dos ecuaciones de fuerzas dan $F_1 + F_2 = 33{,}98$ N, y con la de momentos, $F_1 = 2{,}28$ N y $F_2 = 31{,}71$ N.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.13 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos.

Dos barras soldadas en uve que se sueltan desde el reposo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos barras de 3 kg $AB$ y $AC$ están soldadas (rígidamente unidas) como se muestra en la figura. Si ambas se sueltan en reposo, hallar inmediatamente antes del inicio del movimiento:

Aceleración del punto $B$ .
Reacción en $A$ .

El módulo de la aceleración de B y la reacción en A, en N.

01
Reconocer el camino
COMP1
Las dos barras están soldadas y articuladas en $A$ . ¿Qué ecuación da directamente la aceleración angular?
02
La aceleración angular del conjunto
COMP2
Con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ , ¿cuánto vale el módulo de la aceleración angular nada más soltar, en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración del punto B
COMP2
¿Cuánto vale el módulo de la aceleración de $B$ en ese instante?
Tu respuesta al paso 3una aceleración, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La reacción en A
COMP2
¿Cuánto vale la componente vertical de la reacción en $A$ ?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por simetría $G$ está sobre la horizontal de A, a $x_G = \tfrac{\sqrt{3}}{4}L = 0{,}26$ m, y $I_A = 2mL^{2}/3 = 0{,}72$ kg m².
2. Momentos en el punto fijo A, $2mg\,x_G = I_A\,\alpha$ , y sale $\alpha = \tfrac{3\sqrt{3}}{4}\,g/L = 21{,}24$ rad/s².
3. Con $\omega = 0$ , $a_B = \alpha\,AB = 12{,}74$ m/s², perpendicular a la barra AB.
4. El centro baja con $a_{Gy} = -\alpha x_G = -5{,}52$ m/s², y del momento lineal $A_y = 2m(g + a_{Gy}) = 25{,}75$ N, con $A_x = 0$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.14 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos. La colección intercambia los apartados a) y c) al imprimir el resultado, y la resolución del curso da la versión correcta, que es la que se publica aquí.

La barra con un disco apoyado encima cuando se corta el hilo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra $AB$ de masa $M$ y longitud $4R$ está suspendida en un plano vertical mediante un hilo $BC$ y un muelle ideal $OA$ de constante $k = Mg/(2R)$ que forma 45º con la vertical. Sobre el punto medio de la barra se apoya un disco de masa $M$ y radio $R$ , no existiendo rozamiento entre ambos. Estando en equilibrio con la barra $AB$ horizontal, se corta el hilo $BC$ . Determinar en ese instante (inmediatamente antes de que se inicie el movimiento):

a) La aceleración del punto medio de la barra.

b) La aceleración angular de la barra.

c) La aceleración del centro del disco.

d) La aceleración angular del disco.

e) La reacción entre disco y barra.

Las aceleraciones de los dos sólidos y la reacción entre ellos, en función de M, g y R.

01
Reconocer el camino
COMP1
Entre el disco y la barra no hay rozamiento. ¿Qué impone eso sobre el disco justo después de cortar el hilo?
02
La reacción entre el disco y la barra
COMP2
Escribiendo la normal como $N = c\,Mg$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La componente horizontal del punto medio de la barra
COMP2
Con $x$ hacia la derecha, escribe la aceleración del punto medio de la barra como $a_{x} = c\,g$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración angular de la barra
COMP2
Escribiendo $\alpha_{b} = c\,g/R$ , ¿cuánto vale $c$ ? Cuenta positivo el sentido antihorario.
Tu respuesta al paso 4un número, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. De la estática previa, el muelle tira de A con $\sqrt{2}Mg$ a 45º, o sea $Mg$ en horizontal y $Mg$ en vertical, y esa fuerza no cambia al cortar el hilo.
2. Sin rozamiento la normal es vertical y pasa por el centro del disco, así que $a_{Gd,x} = 0$ y $\alpha_d = 0$ .
3. El contacto obliga a que las dos aceleraciones verticales coincidan, y con las dos ecuaciones verticales sale $N = Mg/2$ y $a_y = -g/2$ para los dos.
4. En horizontal, sobre la barra solo actúa el muelle, $a_{Gb,x} = -g$ ; y momentos en el centro de la barra dan $\alpha_b = -3g/(2R)$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.15 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos.

El disco tirado por un muelle que acaba deslizando

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco circular homogéneo de masa $M$ y radio $R$ se apoya verticalmente sobre un suelo horizontal. El centro del disco está conectado a un resorte de constante elástica $k$ . Se comunica al resorte un alargamiento $\delta = Mg/k$ y, en esa posición, se suelta el sistema sin velocidad. Calcular la aceleración inicial del punto $A$ del disco (opuesto diametralmente al punto de contacto con el suelo) si el coeficiente de rozamiento entre disco y suelo vale f = 0.25.

La aceleración inicial del punto A del disco, en función de g.

01
Reconocer el camino
COMP1
Lo primero es decidir si el disco rueda sin deslizar. ¿Cómo se decide?
02
El rozamiento que exigiría rodar sin deslizar
COMP2
Suponiendo rodadura pura, escribe el rozamiento necesario como $F_r = c\,Mg$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración del centro con deslizamiento
COMP2
Ya sabiendo que desliza, y con $F_r = f\,N = 0{,}25\,Mg$ , escribe $a_G = c\,g$ . ¿Cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La aceleración del punto A
COMP2
Escribiendo $a_A = c\,g$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El muelle tira del centro con $k\delta = Mg$ , y la normal es $N = Mg$ porque no hay aceleración vertical.
2. Suponiendo rodadura salen $a_G = \tfrac23 g$ y $F_r = Mg/3$ , mayor que el máximo $f N = Mg/4$ , así que el disco desliza.
3. Deslizando, $F_r = 0{,}25 Mg$ y de las ecuaciones de fuerzas y momentos, $a_G = \tfrac34 g$ y $\alpha = g/(2R)$ .
4. Componiendo, $a_A = a_G + \alpha R = \tfrac54 g$ , ya sin la relación $a_G = \alpha R$ , que solo vale rodando.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.16 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos.

La barra con una masa puntual encima al quitar el tirante

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una barra $AB$ de masa $M$ y longitud $3L$ soporta una masa puntual $M$ , no existiendo rozamiento entre ambas. El sistema está en equilibrio mediante el muelle ideal $AC$ de constante $k$ y la barra rígida $BD$ , observándose que ésta soporta un esfuerzo de magnitud $Mg$ . Determinar:

a) El valor de la constante $k$ en el equilibrio.

b) La reacción entre la masa puntual y la barra $AB$ inmediatamente después de eliminar la barra $BD$ .

La constante k del muelle y la reacción entre la masa puntual y la barra, en función de M, g y L.

01
Reconocer el camino
COMP1
La masa puntual se apoya sobre la barra, sin rozamiento y sin estar soldada. ¿Qué se sigue de eso al quitar la barra $BD$ ?
02
La constante del muelle
COMP2
Escribiendo $k = c\,Mg/L$ , ¿cuánto vale $c$ ? Ten en cuenta que la barra $BD$ aguanta un esfuerzo de magnitud $Mg$ .
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular al quitar BD
COMP2
Escribiendo $\alpha = c\,g/L$ , ¿cuánto vale $c$ ? El momento de inercia del conjunto respecto de $O$ hay que montarlo.
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La reacción sobre la masa puntual
COMP2
Escribiendo $N = c\,Mg$ , ¿cuánto vale $c$ justo después de quitar $BD$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En equilibrio, momentos en O con el muelle a $L$ , los dos pesos a $L/2$ y el esfuerzo de BD a $2L$ , y sale $k = 3Mg/L$ con BD comprimida.
2. Quitada BD, $I_O = ML^{2} + M(L/2)^{2} = \tfrac54 ML^{2}$ , contando la barra y la masa puntual.
3. Momentos en O con lo que queda, $3MgL - MgL = \tfrac54 ML^{2}\alpha$ , y $\alpha = \tfrac85 g/L$ en sentido antihorario.
4. La masa puntual sube con $a_y = \alpha L/2 = \tfrac45 g$ , y de su ecuación en vertical $N = \tfrac95 Mg$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.17 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos. En el apartado a) la resolución del curso encuadra un resultado que sus propias ecuaciones no dan; el desarrollo de aquí coincide con el resultado impreso en la colección.

El disco que rueda arrastrado por una barra en una guía vertical

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco homogéneo de masa $M$ y radio $R$ contacta sin deslizamiento sobre un suelo horizontal. Una barra homogénea $AB$ también de masa $M$ y de longitud $L$ articula en el centro geométrico del disco y en una corredera sin masa que desliza sin rozamiento en una guía vertical fija. El conjunto se mantiene inmóvil en la posición indicada en la figura, esto es, formando la barra $AB$ un ángulo de 60º con la guía vertical. Dejado el conjunto en libertad, se inicia el movimiento. Calcular:

a) Velocidad angular de rotación del disco en el instante en el que la barra $AB$ se coloca en posición vertical.

b) Diagramas del cuerpo libre en la posición inicial.

c) Aceleración angular del disco en el instante de inicio del movimiento.

La velocidad angular del disco cuando la barra queda vertical y su aceleración angular al inicio, en función de g, L y R.

01
Reconocer el camino
COMP1
En la posición final la barra está vertical, con $A$ abajo en la guía y $B$ arriba. ¿Cuál es el centro instantáneo de rotación de la barra?
02
La velocidad angular del disco con la barra vertical
COMP2
Escribiendo el resultado como $\omega_d = \dfrac{\sqrt{c\,gL}}{R}$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular del disco al empezar
COMP2
Escribiendo $\alpha_d = c\,g/R$ , ¿cuánto vale $c$ en el instante inicial, con la barra a 60º?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como no hay rozamiento en la corredera ni deslizamiento en el disco, no hay trabajo no conservativo y vale $T_A + V_A = T_B + V_B$ .
2. De 60º a la vertical solo baja el centro de la barra, un cuarto de L; el centro del disco se mueve en horizontal y no cambia de altura.
3. Con la barra vertical, A es el centro instantáneo de la barra, así que $v_B = \omega R$ , $\omega_{\text{barra}} = \omega R/L$ y $T = \tfrac{11}{12}MR^{2}\omega^{2}$ .
4. Para el apartado c) se plantean las tres ecuaciones de cada sólido con $\omega = 0$ y las relaciones cinemáticas, y sale $\alpha_d = 3\sqrt{3}g/(17R)$ .

Resolución completa

Apartado a), por energía. No hay trabajo no conservativo, porque el rozamiento actúa en un punto de velocidad nula y la corredera no roza. Con el origen de alturas en la posición final de $A$ , el centro del disco está siempre a la misma altura y el de la barra baja de $\tfrac34 L$ a $\tfrac12 L$ . Se liberan $Mg\,L/4$ .

En la posición final, la barra está vertical y $A$ es su centro instantáneo, así que con $v_B = \omega R$ ,

T = \underbrace{\frac{1}{2}M(\omega R)^{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{MR^{2}}{2}\,\omega^{2}}_{\text{disco}} + \underbrace{\frac{1}{2}M\left(\frac{\omega R}{2}\right)^{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{ML^{2}}{12}\left(\frac{\omega R}{L}\right)^{2}}_{\text{barra}} = \frac{11}{12}MR^{2}\omega^{2}

\frac{MgL}{4} = \frac{11}{12}MR^{2}\omega^{2} \;\Longrightarrow\; \omega_d = \sqrt{\frac{3gL}{11R^{2}}}

Apartado c), por las ecuaciones del movimiento. Al empezar, $\omega = 0$ en los dos sólidos. Rodando, $\vec{a}_B = -\alpha_d R\,\hat{\imath}$ ; la corredera obliga a $a_{Ax} = 0$ , y de ahí $\alpha_{\text{barra}} = 2R\,\alpha_d/L$ y

\vec{a}_C = -\frac{\alpha_d R}{2}\,\hat{\imath} - \frac{\sqrt{3}}{2}\alpha_d R\,\hat{\jmath}

Con las tres ecuaciones de la barra, las tres del disco y la corredera sin masa —que solo transmite fuerza horizontal—, el sistema da

\alpha_d = \frac{3\sqrt{3}}{17}\,\frac{g}{R}

Sobre el resultado impreso. La colección publica $\omega_d = \sqrt{3gL/(11R^{2})}$ , que es lo que sale aquí. La resolución del curso plantea exactamente las mismas energías —se pueden leer una a una y coinciden— pero encuadra $\sqrt{13gL/(11R^{2})}$ ; despejando de sus propias ecuaciones sale el $3$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.18 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos.

El par motor de una rectificadora de mesa alternativa

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura representa un proceso de rectificado con mesa alternativa horizontal. En el instante considerado, la herramienta de corte con forma de disco (5) produce únicamente una fuerza normal vertical hacia abajo sobre el conjunto pieza-mesa (4) de valor $F = 1$ kN. El conjunto pieza-mesa (4) tiene una masa $m_4 = 5$ kg y se desplaza horizontalmente hacia la izquierda. Está articulado a la barra $AB$ (3) mediante un pasador situado en su centro de gravedad $B$ . La barra $AB$ tiene masa despreciable y longitud $L = 3$ m y está a su vez articulada en el punto $A$ de la periferia de un disco (2) de masa $m_2 = 5$ kg y radio $R = 0{,}50$ m cuyo centro de gravedad $O$ es fijo. El disco (2) gira con velocidad $\omega_2 = 4\ \text{rad/s}$ y aceleración $\alpha_2 = 8\ \text{rad/s}^{2}$ (ambas positivas, sentido antihorario) impulsado por un par motor $T$ . En la posición de la figura:

a) Calcular la velocidad $\omega_3$ y aceleración angular $\alpha_3$ de la barra (3).

b) Representar los diagramas de sólido libre de los elementos (2), (3) y (4).

c) Obtener el par motor $T$ aplicado sobre el disco (2).

NOTAS:

cualquier referencia fija se nota como (1).
despreciar el rozamiento entre el conjunto mesa-pieza (4) y el suelo (1).

La velocidad y la aceleración angular de la biela y el par motor sobre el disco.

01
Reconocer el camino
COMP1
La muela aprieta la mesa con $F = 1$ kN hacia abajo. ¿Cómo entra esa fuerza en el cálculo del par motor $T$ ?
02
La aceleración angular de la biela
COMP2
En esta posición $A$ es el punto más alto del disco y $\omega_3 = 0$ . ¿Cuánto vale $\alpha_3$ , en rad/s²?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s² — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El par motor
COMP2
¿Cuánto vale el par motor $T$ sobre el disco, en N·m?
Tu respuesta al paso 3un número, en N·m — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Como B solo se mueve en horizontal y A es el punto más alto del disco, de $v_{By} = 0$ sale $\omega_3 = 0$ .
2. De $a_{By} = 0$ , con la parte normal $\omega_2^{2}R$ de la aceleración de A, sale $\alpha_3 = 2\sqrt{3}R\,\omega_2^{2}/(3L) = 3{,}08$ rad/s².
3. La biela no pesa y se articula en sus dos extremos, así que su fuerza va en su dirección; de la horizontal de la mesa, $F_3 = 49{,}76$ N.
4. Momentos en O para el disco, $T - F_3\tfrac{\sqrt3}{2}R = \tfrac12 MR^{2}\alpha_2$ , y $T = 26{,}55$ N·m.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.19 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos.

El cuadrado colgado de una barra cuando se corta el hilo

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cuadrado $ABCD$ (2) de masa $M$ y lado $2L$ se encuentra suspendido del techo mediante una barra $OA$ (1) de masa $M$ y longitud $L$ (articulada en A y O), y un hilo h. Se corta el hilo h. En el instante inmediatamente siguiente, se pide:

a) Obtener la relación entre las aceleraciones angulares de ambos elementos.

b) Dibujar los diagramas de sólido libre expresando las ecuaciones correspondientes.

c) Calcular la reacción en $A$ .

NOTA: el momento de inercia de la placa de masa $M$ y lado $2L$ respecto del eje Z que pasa por su centro de gravedad es $\tfrac{2}{3}ML^{2}$ .

La relación entre las dos aceleraciones angulares y la reacción en A, en función de M, g y L.

01
Reconocer el camino
COMP1
Justo después de cortar el hilo, ¿cómo se relaciona la aceleración del centro del cuadrado con la de $A$ ?
02
La relación entre las dos aceleraciones angulares
COMP2
¿Cuánto vale el cociente $\alpha_2/\alpha_1$ , con su signo?
Tu respuesta al paso 2un número, con su signo — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La aceleración angular de la barra
COMP2
Escribiendo $\alpha_1 = c\,g/L$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 3un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
La componente vertical de la reacción en A
COMP2
Escribiendo esa componente como $|A_y| = c\,Mg$ , ¿cuánto vale $c$ ?
Tu respuesta al paso 4un número, sin unidad — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Son dos sólidos con dos giros, unidos en A; con $\omega = 0$ , $\vec{a}_A = \alpha_1 L\,\hat{\imath}$ y $\vec{a}_{G2} = \vec{a}_A + \vec{\alpha}_2\times\overrightarrow{AG_2}$ .
2. Momentos de la barra en O y ecuación horizontal del cuadrado, que comparten $A_x$ , y sale $\alpha_2/\alpha_1 = -4/3$ .
3. Con las otras dos ecuaciones del cuadrado se cierra el sistema, $\alpha_1 = 9g/(23L)$ y $\alpha_2 = -12g/(23L)$ .
4. El centro del cuadrado baja con $\tfrac{12}{23}g$ , y de su ecuación vertical $|A_y| = \tfrac{11}{23}Mg$ , con $|A_x| = \tfrac{3}{23}Mg$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 12.20 · Tema 12, «Dinámica del sólido con movimiento plano» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado y el curso su resolución, y el desarrollo está contrastado contra los dos. El valor impreso en la colección para el apartado b) no sale de los datos; el bueno es el de la resolución del curso, que es el que se publica aquí.

Energía del disco con barra y resorte tras un cuarto de vuelta

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra el estado inicial del sistema compuesto por:

un disco de masa $M = 10$ kg y radio $R = 0.5$ m, que gira con rotación $\omega = 5\ \text{rad/s}$ en sentido horario alrededor de su punto fijo $O$ .
una barra $AB$ de masa $M = 10$ kg y longitud $L = 2R$ . Esta barra está articulada al disco en el punto $A$ y a una deslizadera sin masa que se desplaza verticalmente en $B$ .
un resorte ideal (Longitud sin fuerza aplicada = 0) cuya constante es $k = 100$ N/m, atado entre el suelo y el punto diametralmente opuesto al punto $A$ .

Calcular:

a) Energía cinética del sistema en el estado inicial.

b) Valor de $\omega$ cuando el disco ha girado 90º en sentido horario.

La energía cinética inicial en julios y la velocidad angular tras un cuarto de vuelta.

01
Reconocer el camino
COMP1
El resorte tiene longitud natural nula. ¿Cómo se escribe su energía elástica en cada posición?
02
La energía cinética inicial
COMP2
¿Cuánto vale la energía cinética del sistema en el estado inicial?
Tu respuesta al paso 2una energía, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La velocidad angular tras un cuarto de vuelta
COMP2
¿Cuánto vale $\omega$ cuando el disco ha girado 90º en sentido horario, en rad/s? Toma $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ .
Tu respuesta al paso 3un número, en rad/s — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. No hay fuerzas no conservativas, así que $T_1 + V_1 = T_2 + V_2$ contando la energía del resorte como $\tfrac12 k l^{2}$ .
2. En el estado inicial B es el centro instantáneo de la barra, y sale $T_1 = \tfrac{5}{12}MR^{2}\omega_0^{2} = 26{,}04$ J.
3. Tras 90º, el punto A queda a un lado, la barra forma 30º con la vertical, G baja de $4R$ a $2R + \tfrac{\sqrt3}{2}R$ y el resorte pasa de $R$ a $\sqrt5 R$ .
4. En esa posición la barra no gira, así que $T_2 = \tfrac34 MR^{2}\omega^{2}$ , y del balance $\omega = 4{,}11$ rad/s.

Resolución completa

Estado inicial. El disco gira alrededor de su punto fijo $O$ , así que $T_{\text{disco}} = \tfrac12\left(\tfrac12 MR^{2}\right)\omega_0^{2} = 15{,}63$ J. La barra es vertical, $A$ va con $v_A = \omega_0 R$ horizontal y $B$ solo puede moverse en vertical; como $B$ está justo encima de $A$ , resulta $v_B = 0$ y $B$ es el centro instantáneo de la barra. Entonces $\omega_{\text{barra}} = \omega_0 R/L = 2{,}5$ rad/s y $v_G = 1{,}25$ m/s, de donde $T_{\text{barra}} = 10{,}42$ J.

T_1 = \frac{5}{12}MR^{2}\omega_0^{2} = 26{,}04\ \text{J}

Tras un cuarto de vuelta. $A$ pasa del punto más alto al lateral, a la altura de $O$ . Con $B$ en la guía vertical y $AB = 2R$ , la barra forma 30º con la vertical, su centro baja de $4R$ a $2R + \tfrac{\sqrt3}{2}R$ , y el punto del resorte —diametralmente opuesto a $A$ — se va al otro lado, con lo que el resorte pasa de medir $R$ a medir $\sqrt5 R$ .

En esa posición, $\vec{v}_A$ es vertical y $B$ solo se mueve en vertical, así que la barra no gira: traslada con $v = \omega R$ y $T_2 = \tfrac34 MR^{2}\omega^{2}$ .

El balance. Sin fuerzas no conservativas,

T_1 + 6MgR + \tfrac12 kR^{2} = T_2 + \left(4 + \tfrac{\sqrt3}{2}\right)MgR + \tfrac12 k\,5R^{2}

26{,}04 + 294{,}3 + 12{,}5 = \frac{3}{4}MR^{2}\omega^{2} + 238{,}68 + 62{,}5 \;\Longrightarrow\; \omega = 4{,}11\ \text{rad/s}

Sobre el resultado impreso. La colección publica $1{,}3$ rad/s en el apartado b), y ese número no se reproduce con estos datos: ni con el resorte, ni sin él, ni olvidando la energía cinética inicial. La resolución del curso publica $4{,}11$ , que es lo que sale aquí por energía y lo que se obtiene también construyendo la energía del mecanismo posición a posición.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Dinámica del sólido con movimiento plano

El momento angular y la energía en el plano

Las tres ecuaciones

Tomar momentos donde están las incógnitas

El método de la energía

Impulsos: los teoremas integrados

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

La aceleración del centro

El rozamiento mínimo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular

La reacción en O

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La rodadura sobre la pista fija

La velocidad de B tras el cuarto de vuelta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El coeficiente de Mg en la fuerza P

El coeficiente de MLalfa en la fuerza P

El coeficiente de MLalfa en la reacción en A

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular de la barra

La aceleración angular del engranaje (2)

La aceleración del punto B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración del extremo B

La reacción del pasador

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El alargamiento inicial del muelle

La velocidad angular en theta igual a cero

La velocidad del extremo B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular

La componente horizontal de la reacción

La componente vertical de la reacción

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuánto se alarga el muelle

La velocidad angular tras el cuarto de vuelta

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración de los cuatro puntos

La fuerza en la barra EA

La fuerza en la barra FD

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Cuánto se ha desplazado B

La velocidad de A con la biela sin masa

La velocidad de B con la biela sin masa

La velocidad de A con la biela de 10 kg

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular de la barra CD

La componente horizontal de la reacción en A

La componente vertical de la reacción en A

La componente vertical de la reacción en D

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular de la barra AB

La normal del suelo en B

La fuerza P

La fuerza que AC ejerce sobre AB

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Reconocer el camino

La aceleración del centro de gravedad

La fuerza del eslabón (1), el de arriba

La fuerza del eslabón (2), el de abajo

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Reconocer el camino

La aceleración angular del conjunto

La aceleración del punto B

La reacción en A

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