Mecánica Aplicada · tema 11

Dinámica del sólido con eje fijo

Un sólido que gira alrededor de un eje fijo: de dónde salen sus reacciones, por qué aparecen las que no existirían si no girara, y cómo se quitan equilibrando el rotor.

Una rueda de coche, el rotor de un motor, el tambor de una lavadora: casi todo lo que gira en una máquina gira alrededor de un eje fijo, sujeto por dos cojinetes. Es el caso más importante de la dinámica del sólido, y el tema lo resuelve entero, de la primera ecuación a la última. Lo que sale al final es lo que justifica estudiarlo: un rotor mal equilibrado carga sus cojinetes aunque no haya ninguna fuerza aplicada, solo por girar, y esas cargas giran con él y hacen vibrar la máquina. Equilibrar un rotor es quitarlas.

Lo pedían, en euskera, los dos exámenes de dinámica de 2018 y de 2019: las reacciones estáticas y dinámicas en los cojinetes de un sólido que gira, y dónde poner dos masas para equilibrarlo.

El planteamiento

El sólido gira alrededor del eje fijo $AB$ . Se toman unos ejes $Oxyz$ unidos al sólido, con $O$ en el eje y $z$ a lo largo de él, de modo que los momentos y productos de inercia no cambian y la velocidad angular de los ejes es la del sólido, $\vec{\omega} = \omega\,\hat{k}$ . El enlace $A$ impide los tres desplazamientos —y a menudo lleva un motor que da un par—, y el $B$ , los dos perpendiculares al eje.

El centro de gravedad describe una circunferencia alrededor del eje, y su aceleración, con $G = (x_G, y_G, z_G)$ y $\alpha = \dot{\omega}$ , es

\vec{a}_G = \left(-\alpha\,y_G - \omega^{2} x_G\right)\hat{\imath} + \left(\alpha\,x_G - \omega^{2} y_G\right)\hat{\jmath}

El momento angular respecto de $O$ , con $\vec{\omega}$ solo según $z$ , sale de la tercera columna del tensor de inercia:

\vec{H}_O = -I_{zx}\,\omega\,\hat{\imath} - I_{yz}\,\omega\,\hat{\jmath} + I_z\,\omega\,\hat{k}

y como los ejes giran con el sólido, su derivada lleva el término $\vec{\omega} \times \vec{H}_O$ :

\dot{\vec{H}}_O = \left(-I_{zx}\,\alpha + I_{yz}\,\omega^{2}\right)\hat{\imath} - \left(I_{yz}\,\alpha + I_{zx}\,\omega^{2}\right)\hat{\jmath} + I_z\,\alpha\,\hat{k}

Con eso, los dos teoremas dan seis ecuaciones escalares: tres del momento lineal, $\vec{F} = M\vec{a}_G$ , y tres del momento angular, $\vec{M}_O = \dot{\vec{H}}_O$ .

La componente $z$ del momento angular, $M_{Oz} = I_z\,\alpha$ , no lleva reacciones: da la aceleración angular a partir del par del motor y de las fuerzas aplicadas.
Las otras cuatro, dos de fuerzas y dos de momentos, dan las cuatro reacciones perpendiculares al eje, las de $A$ y las de $B$ .
La de fuerzas según $z$ da la reacción axial de $A$ .

Un consejo del libro que ahorra una ecuación: si tomas el origen en $A$ o en $B$ , las dos ecuaciones de momentos dan directamente las reacciones del otro cojinete.

Reacciones estáticas y dinámicas

Mira las ecuaciones cuando no hay ninguna fuerza aplicada: los segundos miembros — $M\vec{a}_G$ y $\dot{\vec{H}}_O$ — siguen ahí, y las reacciones no son nulas. Son las reacciones dinámicas, las que aparecen solo porque el sólido gira. Las que tendría si estuviera quieto son las estáticas. Y las dinámicas tienen una propiedad que las hace dañinas: como los ejes giran con el sólido, giran con él. Un cojinete las nota como una fuerza que da vueltas, es decir, como una vibración.

Dos rotores con cojinetes separados 0,6 m que giran a 50 rad/s, con masas de 0,1 kg a 0,2 m del eje: cada una tira hacia fuera con m·r·ω² = 50 N. Arriba, una sola masa en el centro: el centro de gravedad está fuera del eje y los dos cojinetes reaccionan con 25 N hacia el mismo lado. Abajo, dos masas opuestas en planos distintos: el centro de gravedad está en el eje y la resultante es nula, pero las dos fuerzas forman un par de 10 N·m, y los cojinetes reaccionan con 16,7 N en sentidos contrarios. Y todas esas fuerzas giran con el rotor.

El equilibrado estático y el dinámico

Para que no haya reacciones dinámicas, los segundos miembros de las cuatro ecuaciones de las reacciones tienen que ser nulos para cualquier $\omega$ y cualquier $\alpha$ . De las dos de fuerzas sale una condición, y de las dos de momentos, otra:

Equilibrado estático: el centro de gravedad está en el eje, $x_G = y_G = 0$ . Con esto el rotor ya no tiene tendencia a girar hacia una posición preferida si lo dejas quieto —de ahí el nombre—, y la resultante dinámica es nula.
Equilibrado dinámico: los productos de inercia con el eje son nulos, $I_{yz} = I_{zx} = 0$ . Es decir, el eje de giro es una dirección principal de inercia, y el momento angular va según él, sin el par que aparecía en la barra inclinada del tema 10. Se cumple, por ejemplo, si el sólido es homogéneo y simétrico respecto de un plano perpendicular al eje.

Un rotor con el centro de gravedad en el eje no está equilibrado

El equilibrado estático solo anula la resultante de las fuerzas dinámicas. Si hay masas descompensadas en planos distintos, como en la parte de abajo de la figura, sus fuerzas se cancelan pero forman un par, y los cojinetes lo notan igual, en sentidos opuestos. Un rotor está equilibrado cuando se cumplen las dos condiciones: el centro de gravedad en el eje y los productos de inercia nulos. Por eso las máquinas de equilibrar corrigen en dos planos.

Cómo se equilibra: añadiendo masas

Un rotor que no está equilibrado se corrige añadiendo masas puntuales $m_i$ en posiciones $(x_i, y_i, z_i)$ . Las condiciones son las mismas, pero para el conjunto:

M\,x_G + \sum m_i\,x_i = 0 \qquad M\,y_G + \sum m_i\,y_i = 0

para el equilibrado estático, y

I_{zx} + \sum m_i\,z_i\,x_i = 0 \qquad I_{yz} + \sum m_i\,y_i\,z_i = 0

para el dinámico. Son cuatro ecuaciones, y por eso hacen falta dos masas en dos planos distintos: cada una aporta su masa y su posición en su plano.

Lo que hay que llevarse

Con ejes unidos al sólido y $z$ en el eje: $\vec{F} = M\vec{a}_G$ y $\vec{M}_O = \dot{\vec{H}}_O$ dan la aceleración angular y las cinco reacciones.
Las reacciones dinámicas existen solo porque el sólido gira, y giran con él.
Equilibrado estático: $G$ en el eje. Dinámico: $I_{yz} = I_{zx} = 0$ . Hacen falta los dos, y se consiguen con dos masas en dos planos.

Practica lo que acabas de leer

Un milímetro de descentrado, y lo que tira del cojinete

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

Un milímetro de descentrado, y lo que tira del cojinete

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un rotor de 10 kg gira a velocidad constante de 300 rad/s alrededor de un eje fijo, pero su centro de gravedad está a 1 mm del eje. Calcular la resultante de las reacciones dinámicas en los cojinetes, y la masa que habría que añadir a 0,1 m del eje, en el mismo plano que $G$ , para equilibrarlo estáticamente.

La fuerza dinámica sobre los cojinetes y la masa de equilibrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
Con la velocidad angular constante, ¿por qué hay reacciones dinámicas?
02
La fuerza dinámica
COMP2
¿Cuánto vale la resultante de las reacciones dinámicas, en N?
Tu respuesta al paso 2un número, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La masa de equilibrado
COMP2
¿Qué masa hay que añadir a 0,1 m del eje, en el lado opuesto a $G$ , en kg?
Tu respuesta al paso 3un número, en kg — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. $G$ gira alrededor del eje a 1 mm, con aceleración centrípeta $\omega^{2} e = 90$ m/s².
2. Por el teorema del momento lineal, los cojinetes dan $M\,\omega^{2} e = 900$ N, que giran con el rotor.
3. Para equilibrarlo, $M\,e = m\,r$ : una masa de 0,1 kg a 0,1 m, en el lado opuesto a $G$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería. No es de examen ni del boletín.

El par que carga los cojinetes con el centro de gravedad en el eje

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un eje horizontal de masa despreciable gira a 50 rad/s entre dos cojinetes $A$ y $B$ separados 0,6 m. Lleva dos masas de 0,1 kg a 0,2 m del eje, en lados opuestos: una a 0,2 m de $A$ y la otra a 0,4 m de $A$ . Calcular las reacciones dinámicas en los cojinetes.

Las reacciones dinámicas en A y en B.

01
Reconocer el camino
COMP1
El centro de gravedad del conjunto está en el eje. ¿Hay reacciones dinámicas?
02
La fuerza de cada masa
COMP2
¿Con qué fuerza tira cada masa hacia fuera, en N?
Tu respuesta al paso 2un número, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
La reacción en cada cojinete
COMP2
¿Cuánto vale la reacción dinámica en cada cojinete, en N?
Tu respuesta al paso 3un número, en N — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Cada masa tira hacia fuera con $m\,r\,\omega^{2} = 50$ N, y como están en lados opuestos, la resultante es nula.
2. Pero están en planos separados 0,2 m, así que forman un par de 10 N·m.
3. Los cojinetes lo equilibran con dos fuerzas opuestas de $10/0{,}6 = 16{,}7$ N, que giran con el eje.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.1 · Tema 11, «Dinámica del sólido rígido con eje fijo» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y también se ha contrastado con la resolución oficial del profesor. El resultado es simbólico, así que las casillas usan valores de prueba nuestros, declarados en cada pregunta: masa 12 kg, radio 0,25 m, semidistancia entre cojinetes 0,4 m, velocidad angular 60 rad/s e inclinación 30 grados.

El disco inclinado, y las reacciones que aparecen solo por girar

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco circular de radio $R$ y masa $M$ gira alrededor del eje $AB$ con una velocidad angular $\omega$ constante. El disco está inclinado un ángulo $\theta$ respecto al eje de giro. Determinar las reacciones dinámicas que se producen en $A$ y en $B$ .

El disco, de radio R y masa M, gira con el eje AB a velocidad angular constante. Su centro de gravedad G está en el eje, a la misma distancia a de los dos cojinetes, pero el plano del disco forma un ángulo theta con la perpendicular al eje: los ejes principales del disco, X0 y Z0, van girados ese mismo ángulo.

Las reacciones dinámicas en los cojinetes A y B.

01
Reconocer el camino
COMP1
El centro de gravedad está en el eje y $\omega$ es constante, así que $\vec{a}_G = 0$ . ¿De dónde salen entonces las reacciones dinámicas?
02
El par que hay que dar al disco
COMP2
Tomando los ejes principales del disco, $I_{X_0} = I_{Y_0} = MR^{2}/4$ y $I_{Z_0} = MR^{2}/2$ . Con $M = 12$ kg, $R = 0{,}25$ m, $\omega = 60$ rad/s y $\theta = 30^{\circ}$ , ¿cuánto vale el módulo de $\dot{\vec{H}}_G$ ?
Tu respuesta al paso 2un par, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La reacción en cada cojinete
COMP2
Los dos cojinetes están a la misma distancia $a = 0{,}4$ m de $G$ , y la resultante de sus reacciones dinámicas es nula. ¿Cuánto vale $A_x$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La inclinación más dañina
COMP2
Manteniendo todo lo demás igual, ¿para qué ángulo $\theta$ , en grados entre $0$ y $90$ , es máxima la reacción dinámica?
Tu respuesta al paso 4un número, en grados — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En ejes principales del disco, $\vec{\omega}$ tiene componentes según $X_0$ y según $Z_0$ , con $I_{X_0} = MR^{2}/4$ y $I_{Z_0} = MR^{2}/2$ .
2. Entonces $\vec{H}_G$ no es paralelo a $\vec{\omega}$ , y al girar con el disco su derivada vale $\tfrac{1}{8}MR^{2}\omega^{2}\operatorname{sen}(2\theta)$ según $Y$ .
3. Ese par lo dan dos fuerzas iguales y opuestas separadas $2a$ : $A_x = -B_x = MR^{2}\omega^{2}\operatorname{sen}(2\theta)/(16a)$ .

Resolución completa

Los ejes. Se toman en $G$ los ejes principales del disco: $Z_0$ perpendicular al disco y $X_0$ en su plano, girados $\theta$ respecto de los del eje de giro. Ahí $I_{X_0} = I_{Y_0} = MR^{2}/4$ y $I_{Z_0} = MR^{2}/2$ , y la velocidad angular se descompone:

\vec{\omega} = \omega\operatorname{sen}\theta\,\hat{e}_1 + \omega\cos\theta\,\hat{e}_3

El momento angular. Multiplicando componente a componente:

\vec{H}_G = I_{X_0}\,\omega\operatorname{sen}\theta\,\hat{e}_1 + I_{Z_0}\,\omega\cos\theta\,\hat{e}_3

No es paralelo a $\vec{\omega}$ , y ahí está todo el problema: al girar con el disco, $\vec{H}_G$ describe un cono y su derivada no es nula aunque $\omega$ lo sea.

La derivada. Como los ejes van unidos al sólido, las componentes de $\vec{H}_G$ son constantes y solo queda el arrastre:

\dot{\vec{H}}_G = \vec{\omega} \times \vec{H}_G = \left(I_{Z_0} - I_{X_0}\right)\omega^{2}\operatorname{sen}\theta\cos\theta\,\hat{e}_2 = \frac{1}{8}MR^{2}\omega^{2}\operatorname{sen}(2\theta)\,\hat{e}_2

Las reacciones. El centro de gravedad está en el eje, así que $\vec{a}_G = 0$ y la resultante es nula: $A_x = -B_x$ y $A_y = -B_y$ . Tomando momentos en $G$ , con los cojinetes a $\pm a$ :

2a\,A_x = \frac{1}{8}MR^{2}\omega^{2}\operatorname{sen}(2\theta) \;\Longrightarrow\; A_x = -B_x = \frac{1}{16a}MR^{2}\omega^{2}\operatorname{sen}(2\theta)

y $A_y = B_y = 0$ , porque el par solo tiene componente según $Y$ .

Comprobación. Con $M = 12$ kg, $R = 0{,}25$ m, $a = 0{,}4$ m, $\omega = 60$ rad/s y $\theta = 30^{\circ}$ salen 292,3 N·m de par y 365,4 N en cada cojinete, y el mismo número sale resolviendo las seis ecuaciones con el tensor de inercia del disco calculado por integración numérica. El máximo está en $\theta = 45^{\circ}$ : los dos extremos son montajes principales y no cargan nada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.2 · Tema 11, «Dinámica del sólido rígido con eje fijo» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y también se ha contrastado con la resolución oficial del profesor. El resultado es simbólico, así que las casillas usan valores de prueba nuestros, declarados en cada pregunta: masa 20 kg, radio 0,4 m, semidistancia entre apoyos 0,5 m, velocidad angular 15 rad/s, aceleración angular 6 rad/s cuadrado y gravedad 9,8 metros por segundo al cuadrado.

El disco soldado al eje fuera de su centro, con par motor

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un disco de masa $M$ y radio $R$ está soldado al eje vertical $AB$ en el punto $C$ , que está a una distancia $R/4$ del centro de gravedad. En el instante mostrado, dicho eje rota con una velocidad angular $\omega$ y una aceleración angular $\alpha$ , ambas positivas en el eje $Z$ . Sobre el eje se aplica un par $T$ , también positivo en el eje $Z$ . Calcular las reacciones estáticas y dinámicas en los apoyos $A$ y $B$ y el valor del par $T$ necesario en función de $\omega$ y $\alpha$ .

El disco está soldado al eje en C, y su centro de gravedad G queda a R/4 de él, sobre el eje X. Los dos apoyos están a la misma distancia a del plano del disco: B arriba y A abajo. El par T y la rotación son positivos según Z.

Las reacciones estáticas y dinámicas en A y en B, y el par T.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué son aquí las reacciones estáticas?
02
Las reacciones según Y
COMP2
Con $M = 20$ kg, $R = 0{,}4$ m, $a = 0{,}5$ m y $\alpha = 6$ rad/s², ¿cuánto vale $A_y$ ?
Tu respuesta al paso 2una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La reacción en A según X
COMP2
Con $\omega = 15$ rad/s y $g = 9{,}8$ m/s², ¿cuánto vale $A_x$ , con su signo?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El par necesario
COMP2
¿Cuánto vale el par $T$ ?
Tu respuesta al paso 4un par, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $G$ a $R/4$ del eje, su aceleración vale $a_{Gx} = -\omega^{2}R/4$ y $a_{Gy} = \alpha R/4$ .
2. De $\vec{F} = M\vec{a}_G$ salen las dos sumas $A_x + B_x$ y $A_y + B_y$ , y de los momentos, las dos diferencias.
3. La ecuación según $Z$ , sin reacciones, da $T = 9MR^{2}\alpha/16$ .

Resolución completa

Los ejes y los datos de inercia. Origen en $G$ , con $z$ paralelo al eje de giro y el disco en el plano $xy$ : $I_{Gx} = I_{Gy} = MR^{2}/4$ , $I_{Gz} = MR^{2}/2$ y los tres productos de inercia nulos. El eje de giro pasa por $C$ , a $R/4$ de $G$ , así que $G$ describe una circunferencia de radio $R/4$ .

La aceleración de G.

\vec{a}_G = -\omega^{2}\frac{R}{4}\,\hat{\imath} + \alpha\frac{R}{4}\,\hat{\jmath}

El momento angular. Al ser nulos los productos de inercia, $\vec{H}_G = I_{Gz}\,\omega\,\hat{k}$ y $\dot{\vec{H}}_G = I_{Gz}\,\alpha\,\hat{k}$ : el término $\vec{\omega} \times \vec{H}_G$ se anula.

Las seis ecuaciones. Con $A$ y $B$ a $\mp a$ del plano del disco y el peso aplicado en $G$ :

A_x + B_x = -\frac{M\omega^{2}R}{4} \qquad A_y + B_y = \frac{M\alpha R}{4} \qquad A_z + B_z = Mg

a\left(A_y - B_y\right) = 0 \qquad \frac{R}{4}\left(A_z + B_z\right) - a\left(A_x - B_x\right) = 0 \qquad T - \frac{R}{4}\left(A_y + B_y\right) = \frac{MR^{2}}{2}\alpha

El resultado.

A_y = B_y = \frac{MR\alpha}{8} \qquad A_x = -\frac{MR}{8}\left(\omega^{2} - \frac{g}{a}\right) \qquad B_x = -\frac{MR}{8}\left(\omega^{2} + \frac{g}{a}\right) \qquad T = \frac{9MR^{2}\alpha}{16}

Separando las dos familias: la estática es la que queda con $\omega = \alpha = 0$ , o sea $\pm MgR/(8a)$ en $A_x$ y $B_x$ ; todo lo demás es dinámica. Con los valores de prueba, $A_y = B_y = 6$ N, $A_x = -205{,}4$ N, $B_x = -244{,}6$ N y $T = 10{,}8$ N·m, y los mismos números salen resolviendo las seis ecuaciones con el tensor de inercia obtenido por integración numérica.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.3 · Tema 11, «Dinámica del sólido rígido con eje fijo» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y también se ha contrastado con la resolución oficial del profesor. El resultado es simbólico, así que las casillas usan valores de prueba nuestros, declarados en cada pregunta: masa 6 kg por cuadrado, lado 0,4 m y gravedad 9,8 metros por segundo al cuadrado.

Dos cuadrados en planos perpendiculares, y las dos masas que los equilibran

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Dos cuadrados iguales, de masa $M$ y lado $L$ , están situados en planos perpendiculares y giran alrededor del eje $AD$ vertical con $\omega$ por la acción del par $P$ . Sabiendo que $D$ no puede absorber esfuerzos verticales, calcular:

a) Valor del par $P$ en $t = 0$ .

b) Reacciones en $A$ y $D$ en $t = 0$ .

c) Si se equilibra el sistema con 2 masas iguales de valor $M$ , colocadas respectivamente en dos planos perpendiculares al eje $Z$ que pasan por $B$ y por $C$ , determinar su posición.

DATOS:

Velocidad angular

\omega = \sqrt{\frac{2g}{L}}\,\operatorname{sen}\!\left(\sqrt{\frac{2g}{L}}\,t\right)

Matriz de inercia del conjunto referida al sistema de ejes centrados en $A$ .

[I_A] = \begin{bmatrix} 9ML^{2} & 0 & -\dfrac{5ML^{2}}{4} \\[4pt] 0 & 9ML^{2} & -\dfrac{3ML^{2}}{4} \\[4pt] -\dfrac{5ML^{2}}{4} & -\dfrac{3ML^{2}}{4} & \dfrac{2ML^{2}}{3} \end{bmatrix}

El eje AD mide 4L. El cuadrado de abajo, entre B y la altura 2L, está en el plano YZ; el de arriba, entre 2L y C, está en el plano XZ. En A el eje está empotrado y en D solo guiado, así que D no puede dar reacción vertical.

El par P y las reacciones en A y D en t igual a cero, y la posición de las dos masas de equilibrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
En $t = 0$ , ¿qué valen $\omega$ y $\alpha$ , y qué consecuencia tiene?
02
La aceleración angular en el arranque
COMP2
Con $L = 0{,}4$ m y $g = 9{,}8$ m/s², ¿cuánto vale $\alpha$ en $t = 0$ ?
Tu respuesta al paso 2un número, en rad/s al cuadrado — vale la forma exacta: pi/4, sqrt(3)/2, (e^2-1)/2…
03
El par P en el arranque
COMP2
Con $M = 6$ kg, ¿cuánto vale el par $P$ en $t = 0$ ?
Tu respuesta al paso 3un par, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La reacción horizontal en D
COMP2
El centro de gravedad del conjunto está en $(L/4,\ L/4,\ 2L)$ . Tomando momentos en $A$ , ¿cuánto vale $D_y$ ?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Dónde va la masa del plano de B
COMP2
Para equilibrar se colocan dos masas de valor $M$ en los planos $z = L$ (por $B$ ) y $z = 3L$ (por $C$ ). ¿Cuánto vale $y_1$ , la coordenada $y$ de la masa del plano de $B$ , en milímetros?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. En $t = 0$ , $\omega = 0$ y $\alpha = 2g/L$ , así que $\dot{\vec{H}}_A = [I_A]\,\vec{\alpha}$ y el término del arrastre desaparece.
2. La tercera columna de la matriz da $\dot{\vec{H}}_A = \left(-\tfrac{5}{2}MgL,\ -\tfrac{3}{2}MgL,\ \tfrac{4}{3}MgL\right)$ , y de la componente $z$ sale $P = 4MgL/3$ .
3. Con las dos componentes horizontales y los momentos del peso salen $D_x = -Mg/2$ y $D_y = Mg/2$ , y de las fuerzas, las de $A$ .

Resolución completa

El instante t = 0. De $\omega = k\operatorname{sen}(kt)$ con $k = \sqrt{2g/L}$ sale $\omega(0) = 0$ y $\alpha(0) = k^{2} = 2g/L$ . La velocidad angular es nula y la aceleración angular, máxima.

La cinemática de G. El centro de gravedad del conjunto está en $(L/4,\ L/4,\ 2L)$ , y con $\omega = 0$ :

\vec{a}_G = \vec{\alpha} \times \vec{r}_G = \frac{2g}{L}\left(-\frac{L}{4},\ \frac{L}{4},\ 0\right) = \left(-\frac{g}{2},\ \frac{g}{2},\ 0\right)

La derivada del momento angular. Con $\vec{\omega} = 0$ solo queda $[I_A]\vec{\alpha}$ , o sea la tercera columna de la matriz por $\alpha$ :

\dot{\vec{H}}_A = \left(-\frac{5ML^{2}}{4},\ -\frac{3ML^{2}}{4},\ \frac{2ML^{2}}{3}\right)\frac{2g}{L} = \left(-\frac{5MgL}{2},\ -\frac{3MgL}{2},\ \frac{4MgL}{3}\right)

Los momentos en A. El peso $2Mg$ aplicado en $G$ y las reacciones de $D$ , con brazo $4L$ :

-\frac{MgL}{2} - 4L\,D_y = -\frac{5MgL}{2} \qquad \frac{MgL}{2} + 4L\,D_x = -\frac{3MgL}{2} \qquad P = \frac{4MgL}{3}

de donde $D_y = Mg/2$ y $D_x = -Mg/2$ .

Las fuerzas. $A_x + D_x = 2M(-g/2)$ y $A_y + D_y = 2M(g/2)$ dan $A_x = -Mg/2$ y $A_y = Mg/2$ ; y como $D_z = 0$ , $A_z = 2Mg$ .

El equilibrado. Cuatro condiciones para las dos masas: las dos de $G$ en el eje y las dos de productos de inercia nulos, tomando los productos de la matriz, no los de una masa puntual en $G$ :

M_1\left(-\frac{L}{8},\ -\frac{3L}{8},\ L\right) \qquad M_2\left(-\frac{3L}{8},\ -\frac{L}{8},\ 3L\right)

Comprobación. Con $M = 6$ kg y $L = 0{,}4$ m: $\alpha = 49$ rad/s², $P = 31{,}36$ N·m, $A = (-29{,}4;\ 29{,}4;\ 117{,}6)$ N, $D = (-29{,}4;\ 29{,}4;\ 0)$ N y las masas en $(-50;\ -150;\ 400)$ mm y $(-150;\ -50;\ 1200)$ mm. Los mismos números salen discretizando las dos placas en masas puntuales y resolviendo el sistema de seis ecuaciones, y la matriz de inercia discretizada reproduce la del enunciado.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.4 · Tema 11, «Dinámica del sólido rígido con eje fijo» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y también se ha contrastado con la resolución oficial del profesor. En la posición de la masa de equilibrado los dos no coinciden y aquí se publica la de la colección, que es la que reproducen las cuentas; la resolución oficial da menos R partido por 6 porque en esa última línea usa el producto de inercia de una masa puntual en G en vez del que da su propia matriz. El resultado es simbólico, así que las casillas usan valores de prueba nuestros, declarados en cada pregunta: masa 9 kg cada cuerpo, radio 0,3 m, velocidad angular 20 rad/s y gravedad 9,8 metros por segundo al cuadrado.

La placa triangular con el semiaro, y la masa que la equilibra

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una placa triangular de masa $M$ y espesor despreciable está soldada a un eje vertical. En el mismo plano vertical y soldado a ese eje hay un semiaro de masa $M$ y radio $R$ , tal y como se indica en la figura. El sistema gira con velocidad angular $\omega$ constante alrededor del eje accionado por un par $P$ . Calcular:

DATO: Tensor axil en O:

[I_O] = \begin{bmatrix} 4/3 & 0 & 0 \\ 0 & 2/3 & -1/12 \\ 0 & -1/12 & 2/3 \end{bmatrix}

a) Reacciones en los apoyos.

b) Para equilibrar el sistema, se coloca una masa $m$ a una distancia $+R$ del eje. Hallar el valor de esta masa en función de $M$ y situar su posición.

Los dos cuerpos están en el mismo plano vertical, el que contiene al eje Z y al eje Y. El semiaro, de radio R, cae del lado de las y negativas; el triángulo, con catetos R y R, del lado positivo. Los apoyos A y B están a 2R del origen O.

Las reacciones en A y en B, el par P, y el valor y la posición de la masa de equilibrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
La velocidad angular es constante, así que $\alpha = 0$ . ¿Qué queda entonces en $\dot{\vec{H}}_O$ , y por qué?
02
El centro de gravedad del conjunto
COMP2
El centroide de un alambre semicircular está a $2R/\pi$ del centro. Con $R = 0{,}3$ m, ¿cuánto vale $y_G$ del conjunto, en milímetros y con su signo?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La reacción en el apoyo de abajo
COMP2
Con $M = 9$ kg y $\omega = 20$ rad/s, ¿cuánto vale $B_y$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La masa de equilibrado
COMP2
Se coloca una masa $m$ en $y = +R$ . ¿Cuánto vale, en kg?
Tu respuesta al paso 4una masa, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
A qué altura va esa masa
COMP2
¿A qué cota $z_m$ hay que ponerla para que el equilibrado sea también dinámico, en milímetros y con su signo?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $\alpha = 0$ , $\dot{\vec{H}}_O = \vec{\omega} \times \vec{H}_O = I_{yz}\,\omega^{2}\,\hat{\imath}$ , y de la ecuación según $z$ sale $P = 0$ .
2. Las fuerzas dan $A_y + B_y = -2M\omega^{2}y_G$ y $B_z = 2Mg$ ; los momentos en $O$ según $x$ reparten esa resultante entre los dos apoyos.
3. Para equilibrar, $2M y_G + mR = 0$ da la masa, y $I_{yz} + m R z_m = 0$ da su cota.

Resolución completa

La geometría de masas. Todo está en el plano $x = 0$ , así que $x_G = 0$ , $I_{xy} = I_{xz} = 0$ . El centroide del alambre semicircular está a $2R/\pi$ del centro, del lado de las $y$ negativas, y el del triángulo rectángulo a un tercio de cada cateto:

y_G = \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{\pi}\right)R = -0{,}1516\,R \qquad z_G = \frac{R}{6}

El tensor del enunciado da $I_{yz} = MR^{2}/12$ y $I_z = 2MR^{2}/3$ ; la colección imprime la matriz sin el factor $MR^{2}$ , que sí escribe la resolución oficial.

La dinámica. Con $\omega$ constante:

\vec{a}_G = -\omega^{2} y_G\,\hat{\jmath} \qquad \dot{\vec{H}}_O = \vec{\omega} \times \vec{H}_O = I_{yz}\,\omega^{2}\,\hat{\imath}

Las seis ecuaciones. Con $A$ en $z = 2R$ , $B$ en $z = -2R$ y el peso $2Mg$ aplicado en $G$ :

A_x + B_x = 0 \qquad A_y + B_y = -2M\omega^{2}y_G \qquad B_z = 2Mg

-2R\left(A_y - B_y\right) - 2Mg\,y_G = I_{yz}\,\omega^{2} \qquad 2R\left(A_x - B_x\right) = 0 \qquad P = 0

de donde $A_x = B_x = 0$ , $P = 0$ y

A_y = MR\omega^{2}\left(\frac{1}{\pi} - \frac{3}{16}\right) + Mg\left(\frac{1}{2\pi} - \frac{1}{12}\right) \qquad B_y = MR\omega^{2}\left(\frac{1}{\pi} - \frac{7}{48}\right) + Mg\left(\frac{1}{12} - \frac{1}{2\pi}\right)

El equilibrado. Con la masa en $y = +R$ , la condición estática da $m = \left(2/\pi - 1/3\right)M$ y la dinámica, $z_m = -\pi R/\left[4(6-\pi)\right] = -0{,}2748\,R$ .

Comprobación. Con $M = 9$ kg, $R = 0{,}3$ m y $\omega = 20$ rad/s: $y_G = -45{,}5$ mm, $A_y = 147{,}96$ N, $B_y = 179{,}59$ N, $B_z = 176{,}4$ N, $m = 2{,}73$ kg y $z_m = -82{,}4$ mm. Los mismos números salen discretizando el triángulo y el alambre en masas puntuales: el tensor discretizado reproduce el del enunciado con cuatro cifras, y las reacciones salen del sistema de seis ecuaciones sin usar ninguna fórmula cerrada.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.5 · Tema 11, «Dinámica del sólido rígido con eje fijo» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. La colección publica el resultado, contra el que está contrastado el desarrollo, y también se ha contrastado con la resolución oficial del profesor. Las cuentas están hechas con g igual a 9,8 metros por segundo al cuadrado, que es con lo que salen los valores publicados.

La muela mal montada, y las dos masas que la equilibran

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Una muela, disco de masa $M$ = 4 kg y radio $R$ = 100 mm, está girando a una velocidad angular $\omega$ = 10 rad/s y $\alpha$ = 2 rad/s² accionada por el par $P$ . Debido a una imprecisión en el montaje, el centro de gravedad está fuerza del eje de giro $Z$ una distancia $0{,}1R$ .

a) Calcular las reacciones sobre los ejes en los apoyos $A$ y $B$ , incluido el par $P$ .

b) Se desea equilibrar el conjunto con 2 masas puntuales ( $m = 0{,}1M$ ) situadas según los planos $z = -R$ y $z = 0{,}5R$ , indicados en la figura. Calcular las posiciones de ambas masas y dibujar el conjunto equilibrado.

Vista lateral y vista frontal. El apoyo A está a 2R del plano del disco y el B, a R por el otro lado. El centro de gravedad G queda 0,1R por encima del eje —en el dibujo va exagerado para que se vea— y los dos planos de equilibrado son los de z = −R y z = 0,5R.

Las reacciones en A y B, el par P, y las posiciones de las dos masas de equilibrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
¿Qué clase de desequilibrio tiene esta muela antes de corregirla?
02
El par motor
COMP2
El momento de inercia respecto del eje de giro es $I_{Oz} = \tfrac{1}{2}MR^{2} + M(0{,}1R)^{2}$ . ¿Cuánto vale el par $P$ ?
Tu respuesta al paso 2un par, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La reacción vertical en A
COMP2
Con $g = 9{,}8$ m/s², ¿cuánto vale $A_y$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La reacción horizontal en A
COMP2
¿Cuánto vale $A_x$ , con su signo?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Dónde va la masa del plano z = −R
COMP2
Las dos masas valen $m = 0{,}1M$ y van en $z_1 = -R$ y $z_2 = 0{,}5R$ . ¿Cuál es la coordenada $y_1$ de la primera, en milímetros y con su signo?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Toda la masa está en el plano del disco, así que $I_{xz} = I_{yz} = 0$ y $\dot{\vec{H}}_O = I_{Oz}\,\alpha\,\hat{k}$ .
2. De la ecuación según el eje, $P = 0{,}51\,MR^{2}\alpha = 0{,}0408$ N·m; de las de fuerzas, las resultantes $-0{,}08$ N y $35{,}2$ N.
3. Los momentos dan $B_x = 2A_x$ y $B_y = 2A_y$ , y de ahí las cuatro reacciones perpendiculares al eje.

Resolución completa

La geometría de masas. El disco está entero en el plano $z = 0$ , así que $I_{xz} = I_{yz} = 0$ y el eje es dirección principal. El único defecto es que $G$ está a $0{,}1R = 10$ mm del eje, en $y$ . Respecto del eje real de giro,

I_{Oz} = \frac{1}{2}MR^{2} + M\left(0{,}1R\right)^{2} = 0{,}51\,MR^{2} = 0{,}0204\ \text{kg}\,\text{m}^{2}

La cinemática de G.

a_{Gx} = -\alpha\left(0{,}1R\right) = -0{,}02\ \text{m/s}^{2} \qquad a_{Gy} = -\omega^{2}\left(0{,}1R\right) = -1\ \text{m/s}^{2}

Las ecuaciones. Con $A$ a $2R$ a un lado del disco y $B$ a $R$ al otro, y $\dot{\vec{H}}_O = I_{Oz}\,\alpha\,\hat{k}$ :

A_x + B_x = -0{,}08\ \text{N} \qquad A_y + B_y = Mg - 4 = 35{,}2\ \text{N} \qquad A_z = 0

2R\,A_y - R\,B_y = 0 \qquad -2R\,A_x + R\,B_x = 0 \qquad P = I_{Oz}\,\alpha

El resultado.

A_x = -0{,}027\ \text{N} \qquad B_x = -0{,}053\ \text{N} \qquad A_y = 11{,}73\ \text{N} \qquad B_y = 23{,}47\ \text{N} \qquad P = 0{,}041\ \text{N}\cdot\text{m}

El equilibrado. Con $m = 0{,}1M$ en cada plano, las cuatro condiciones dan $x_1 = x_2 = 0$ , $y_1 = -R/3$ e $y_2 = -2R/3$ :

M_1\left(0,\ -\frac{R}{3},\ -R\right) \qquad M_2\left(0,\ -\frac{2R}{3},\ \frac{R}{2}\right)

o sea $(0;\ -33{,}3;\ -100)$ mm y $(0;\ -66{,}7;\ 50)$ mm. En el conjunto equilibrado las dos masas quedan por debajo del eje, en el lado opuesto a $G$ , y la más alejada del disco es la más pequeña.

Comprobación. Los mismos números salen discretizando el disco en masas puntuales y resolviendo el sistema de seis ecuaciones, con $g = 9{,}8$ m/s².

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 11.6 · Tema 11, «Dinámica del sólido rígido con eje fijo» · Mecánica Aplicada, UPV/EHU, curso 2025-2026. El desarrollo está contrastado contra el resultado publicado y contra la resolución oficial del profesor. En el apartado b los dos no coinciden y aquí se publica lo que dan las cuentas, que es lo mismo que la resolución oficial: las masas van en y igual a 675 mm y menos 975 mm, no en menos 450 mm y 150 mm como imprime la colección, que en esa línea se deja el producto de inercia de la placa. En el apartado a el valor exacto con g igual a 9,8 metros por segundo al cuadrado es 22,69 N y la colección imprime 22,67 N.

La placa cuadrada en voladizo sobre un eje horizontal

paso 1 de 6

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

La figura muestra una placa cuadrada de 2 kg de masa soldada sobre un eje horizontal. Si el eje gira con velocidad angular positiva constante $\omega$ = 5 rad/s:

a) Calcular las reacciones estáticas y dinámicas en los apoyos A y B para la posición mostrada.

b) Calcular las posiciones de dos masas $M$ = 1kg colocadas sobre los planos verticales $Z$ = 100 mm y $Z$ = 300 mm para conseguir el equilibrado del sistema.

La placa está en voladizo: los dos apoyos, A y B, quedan a un lado y toda la placa al otro. Su borde más cercano está a 600 mm de B y el más lejano a 900 mm, y sube 300 mm por encima del eje. Entre los dos apoyos hay 400 mm.

Las reacciones estáticas y dinámicas en A y B, y la posición de las dos masas de equilibrado.

01
Reconocer el camino
COMP1
El enunciado pide las reacciones «estáticas y dinámicas». ¿Cómo se combinan aquí las dos partes?
02
Dónde está el centro de gravedad
COMP2
Midiendo desde $B$ a lo largo del eje, ¿a qué distancia está el centro de gravedad de la placa?
Tu respuesta al paso 2una longitud, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La reacción en A
COMP2
Con $M = 2$ kg, $\omega = 5$ rad/s y $g = 9{,}8$ m/s², ¿cuánto vale $A_y$ ?
Tu respuesta al paso 3una fuerza, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La reacción en B
COMP2
¿Cuánto vale $B_y$ , con su signo?
Tu respuesta al paso 4una fuerza, con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Dónde va la masa del plano Z = 100 mm
COMP2
Se colocan dos masas de 1 kg en los planos $Z = 100$ mm y $Z = 300$ mm. ¿Cuál es la coordenada $y_1$ de la del plano $Z = 100$ mm, en milímetros y con su signo?
Tu respuesta al paso 5una longitud, con su signo y su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
06
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la resolución. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Con $\omega$ constante y la placa simétrica, $\dot{\vec{H}}_G = 0$ , así que $P = 0$ y las dos ecuaciones de momentos solo llevan reacciones.
2. La resultante vale $Mg - M\omega^{2}y_G = 12{,}1$ N y los momentos en $G$ dan $7A_y + 15B_y = 0$ , de donde $A_y = 22{,}69$ N y $B_y = -10{,}59$ N.
3. Para equilibrar hay que anular a la vez $\sum m_i y_i$ y el producto de inercia del conjunto, que incluye el de la placa, $M y_G z_G$ .

Resolución completa

La geometría. Midiendo desde $B$ a lo largo del eje, la placa va de 600 a 900 mm, así que $z_G = 750$ mm, e $y_G = 150$ mm. El apoyo $A$ está a 400 mm de $B$ . Con $a = 100$ mm: $GA = 3{,}5a$ y $GB = 7{,}5a$ , los dos al mismo lado, porque la placa está en voladizo.

La dinámica. La placa es simétrica respecto de sus dos ejes centrales, así que en ejes de $G$ los productos de inercia son nulos y $\vec{H}_G = I_{Gz}\,\omega\,\hat{k}$ es constante: $\dot{\vec{H}}_G = 0$ . Y con $\omega$ constante,

\vec{a}_G = -\omega^{2}y_G\,\hat{\jmath} = -3{,}75\,\hat{\jmath}\ \text{m/s}^{2}

Las ecuaciones.

A_x + B_x = 0 \qquad A_y + B_y - Mg = -M\omega^{2}y_G \qquad \frac{7}{2}a\,A_y + \frac{15}{2}a\,B_y = 0 \qquad P = 0

El resultado.

A_y = \frac{15}{8}Mg - \frac{45}{16}M\omega^{2}a = 22{,}69\ \text{N} \qquad B_y = -\frac{7}{8}Mg + \frac{21}{16}M\omega^{2}a = -10{,}59\ \text{N}

con $A_x = B_x = 0$ . El signo de $B_y$ no es un error: la placa está fuera de los dos apoyos, así que $B$ tiene que tirar hacia abajo. Y la parte dinámica descarga los dos apoyos en esta posición, porque $G$ está arriba; media vuelta después los cargaría.

El equilibrado. Dos condiciones con las dos masas de 1 kg, y en la segunda entra el producto de inercia de la placa, $I_{yz} = M y_G z_G = 225$ kg·mm²:

y_1 + y_2 = -300\ \text{mm} \qquad 100\,y_1 + 300\,y_2 = -225\,000\ \text{kg}\,\text{mm}^{2}

M_1\left(0,\ 675,\ 100\right)\ \text{mm} \qquad M_2\left(0,\ -975,\ 300\right)\ \text{mm}

Comprobación y discrepancia. Los números salen también discretizando la placa en masas puntuales y resolviendo el sistema de seis ecuaciones. La colección publica para este apartado $(0,\ -450,\ 100)$ y $(0,\ 150,\ 300)$ , que cumplen la condición estática pero dejan el producto de inercia del conjunto en 225 kg·mm², o sea sin equilibrar: son las posiciones que salen si se olvida el término de la placa. La resolución oficial del profesor da 675 mm y $-975$ mm, igual que aquí.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

Dinámica del sólido con eje fijo

El planteamiento

Reacciones estáticas y dinámicas

El equilibrado estático y el dinámico

Cómo se equilibra: añadiendo masas

Lo que hay que llevarse

Reconocer el camino

La fuerza dinámica

La masa de equilibrado

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La fuerza de cada masa

La reacción en cada cojinete

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El par que hay que dar al disco

La reacción en cada cojinete

La inclinación más dañina

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Las reacciones según Y

La reacción en A según X

El par necesario

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La aceleración angular en el arranque

El par P en el arranque

La reacción horizontal en D

Dónde va la masa del plano de B

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El centro de gravedad del conjunto

La reacción en el apoyo de abajo

La masa de equilibrado

A qué altura va esa masa

Justificar el argumento

Reconocer el camino

El par motor

La reacción vertical en A

La reacción horizontal en A

Dónde va la masa del plano z = −R

Justificar el argumento

Reconocer el camino

Dónde está el centro de gravedad

La reacción en A

La reacción en B

Dónde va la masa del plano Z = 100 mm

Justificar el argumento