Ingeniería Térmica · tema 02

La energía y la primera ley de la termodinámica

El balance de energía en un sistema cerrado, el convenio de signos de esta asignatura, y por qué el área bajo la curva no siempre es el trabajo.

La ley que hay detrás de este tema la sabes desde el instituto: la energía ni se crea ni se destruye. Lo que trae de nuevo la asignatura es qué se hace con ella, y son dos cosas: escribir el balance sobre un sistema concreto, y —esto es lo que cuesta puntos— decidir el signo de cada término antes de sustituir ningún número.

El balance, en la forma en que se escribe aquí

Todo balance de energía sale de la misma frase:

energía que entra = energía que sale + energía almacenada

Aplicada a un sistema cerrado, donde no entra ni sale masa, lo que entra y sale es calor y trabajo, y lo almacenado es el cambio de energía interna. De ahí sale la ecuación que gobierna la primera mitad de la asignatura:

Q = \Delta U_{12} + W

O, por unidad de masa, $q = \Delta u_{12} + w$ . En un sistema cerrado la masa es constante, así que $\Delta U_{12} = m\,(u_2 - u_1)$ , y esa $m$ es la misma al principio y al final.

Escrita así, la ecuación ya lleva el convenio de signos dentro. Merece su propio apartado porque es el que decide si el resultado sale con el signo correcto, y en esta asignatura un signo equivocado no se detecta solo: la cuenta se hace igual.

El convenio de signos

\boxed{\;Q > 0 \text{ si entra al sistema} \qquad W > 0 \text{ si lo hace el sistema}\;}

Es decir: el calor es positivo cuando el sistema se calienta desde fuera, y el trabajo es positivo cuando el sistema empuja. Los dos criterios miran hacia lados contrarios, y esa asimetría no es un descuido: es lo que hace que la ecuación se lea como el balance económico de una máquina térmica —entra calor, sale trabajo, y lo que sobra se queda dentro—.

Comprobado sobre el ejercicio 1 de la convocatoria de enero de 2026, donde un cilindro-pistón se expande cediendo 240 kJ al ambiente:

W = Q - m\,c_v\,(T_2 - T_1) = -240 - 3\cdot 0{,}7175\cdot(300 - 557{,}5) = +314{,}27\ \text{kJ}

El calor entra con signo menos porque sale del sistema; el trabajo sale con signo más porque el gas se expande y empuja al pistón. Los dos signos son coherentes con la misma frase, y ninguno se elige: se lee del enunciado.

«Cede 240 kJ», y escribir Q = 240

Es el error más caro del tema, porque no rompe nada: la ecuación admite cualquier número y devuelve un trabajo con toda su pinta de resultado.

Con $Q = +240$ en el mismo ejercicio saldría $W = 794{,}27\ \text{kJ}$ en vez de 314,27, y con él se irían la variación de exergía y el rendimiento exergético de los apartados siguientes, sin que nada avise.

La costumbre que lo evita: traducir el enunciado a signos antes de escribir la ecuación, en una línea aparte del folio. «Se intercambian 240 kJ de calor hacia el medio circundante» → $Q = -240\ \text{kJ}$ . Escrito así, ya no hay nada que decidir después.

El mismo convenio vale en sistemas abiertos, donde reaparece en el tema 4. En el ejercicio 2 de esa misma convocatoria, una bomba que consume 6 kW se escribe $\dot W_B = -6\ \text{kW}$ , y de ahí sale $h_3 = h_2 - \dot W_B/\dot m$ . Otra vez: trabajo que entra, signo negativo.

Otros libros usan otro convenio

No todos los textos escriben la primera ley igual. Es frecuente encontrar $\Delta U = Q - W$ , que es esta misma con los términos cambiados de lado, y también $\Delta U = Q + W$ , que además invierte el criterio del trabajo: ahí $W$ es positivo cuando entra al sistema.

Las dos son correctas y las dos describen la misma física. Lo que no se puede es mezclarlas a mitad de un ejercicio. En esta asignatura el convenio es el de arriba —el de Moran y Shapiro, que es el libro de referencia de los temas 1 a 7—, y es el que usan los enunciados y las resoluciones oficiales. Si consultas apuntes de otro sitio, lo primero que hay que mirar es de qué lado está la $W$ .

El trabajo de desplazamiento de frontera

El sistema cerrado no puede intercambiar trabajo de eje, porque no tiene por dónde meter un eje sin abrir la frontera. Lo que sí puede es mover su propia frontera: un pistón que sube, un globo que se hincha. Ese es el trabajo de desplazamiento de frontera, y es la única forma de trabajo reversible que admite un sistema cerrado.

W = \int_{V_1}^{V_2} P_e\,dV

Ojo a la letra: $P_e$ es la presión exterior, la que el sistema tiene que vencer, no la suya. Y es donde entra la condición que hace todo el trabajo del tema:

\text{si el proceso es reversible} \;\Longrightarrow\; P_e = P \;\Longrightarrow\; W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV

Solo entonces se puede integrar con la presión del sistema, que es la única que aparece en las tablas y en la ecuación de estado. Y solo entonces el área bajo la curva en el diagrama $P\text{-}v$ es el trabajo.

Cuándo el área bajo la curva es el trabajo, y cuándo no

Las transparencias del tema separan tres casos, y la diferencia entre ellos es exactamente qué se puede dibujar:

el proceso es…	$P_e$ frente a $P$	¿hay curva que dibujar?
reversible (cuasiestático, sin rozamiento)	$P_e = P$	sí, y su área es $W$
sin rozamiento pero no cuasiestático	$P_e \neq P$	no: el sistema no tiene una $P$ única
cuasiestático con rozamiento en la frontera	$P_e \neq P$	sí, pero su área no es $W$

El área bajo la curva es el trabajo solo en la fila de arriba. Las otras dos dibujan igual de bien y no valen: sin una presión única no hay curva que integrar, y con rozamiento en la frontera el área es la del gas, no la que sale del eje.

El segundo caso es el de una expansión brusca: el gas no está en equilibrio, y preguntar «cuánto vale $P$ a mitad del proceso» no tiene respuesta, porque no hay una presión sino un campo de presiones. El trabajo se calcula con $P_e$ , que sí está definida.

El tercero es más traicionero, porque sí hay curva: el proceso es cuasiestático, el sistema tiene su presión en cada instante y se puede dibujar. Lo que pasa es que parte del empuje se lo come el rozamiento del pistón, así que lo que llega al exterior es menos de lo que dice el área en una expansión, y hay que aportar más en una compresión. El rozamiento perjudica en los dos sentidos, que es la firma de toda irreversibilidad.

Integrar sin comprobar la reversibilidad

Un enunciado que da $P_1$ , $V_1$ , $P_2$ , $V_2$ y una ley $Pv^{n} = \text{cte}$ invita a integrar directamente, y casi siempre se puede. Pero la ley del proceso es la hipótesis de reversibilidad interna: escribir una relación continua entre $P$ y $v$ es afirmar que en cada instante hay un estado de equilibrio.

Por eso, cuando en un $P\text{-}v$ de examen veas una curva continua entre los dos estados, el enunciado ya te ha dicho que el proceso es internamente reversible aunque no use esa palabra. Y cuando veas una línea discontinua, o solo los dos puntos marcados, te está diciendo lo contrario: ahí no se integra.

Por qué el calor y el trabajo llevan delta y no de

En el tema 1 quedó dicho que $Q$ y $W$ no son funciones de estado. Aquí se ve la consecuencia operativa.

Entre los mismos dos estados 1 y 2 se puede ir por infinitos caminos. La diferencia $u_2 - u_1$ vale lo mismo por todos ellos, porque $u$ es una propiedad. El trabajo, no: cada camino tiene su área bajo la curva. Y como la suma de los dos tiene que dar $\Delta u$ , si cambia el trabajo tiene que cambiar el calor con él.

\oint du = 0 \qquad\text{pero}\qquad \oint \delta w \neq 0

De ahí sale una lectura del ciclo que se usará a partir del tema 5: recorrer un ciclo completo devuelve la energía interna a su valor inicial, así que todo el calor neto que entra en un ciclo sale como trabajo neto. El área encerrada por el ciclo en el $P\text{-}v$ es ese trabajo neto.

Los calores específicos, y la entalpía

Falta una pieza para poder poner números: $\Delta u$ no se mide, se calcula a partir de temperaturas. El puente son los calores específicos, definidos como derivadas parciales:

c_v = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v \qquad c_p = \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_P

Y ahí aparece la entalpía, que de momento es solo una combinación cómoda:

h = u + Pv

Cómoda porque el término $Pv$ es exactamente el trabajo de flujo, la energía que hace falta para empujar la masa a través de una frontera. En un sistema cerrado no hace falta, y por eso este tema se apaña con $u$ . En cuanto la masa cruce la frontera —tema 4— toda la contabilidad pasará a hacerse con $h$ , y entonces la definición dejará de parecer arbitraria.

Las relaciones que ligan $c_v$ , $c_p$ y la constante del gas — $c_p - c_v = R'$ y $c_v = R'/(\gamma-1)$ — valen solo bajo el modelo de gas ideal, así que se justifican en el tema 3. Anticipando el número que más va a aparecer, para el aire:

R'_{aire} = 0{,}287\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \qquad \gamma = 1{,}4 \qquad c_v = 0{,}7175 \qquad c_p = 1{,}0045

Ese $c_v$ conviene arrastrarlo con las cuatro cifras. Las resoluciones oficiales lo escriben redondeado a 0,718 y luego operan con 0,7175, y si sustituyes el número escrito no cuadras: en el ejercicio de arriba, 0,718 da 314,66 kJ y 0,7175 da 314,27, que es a dos centésimas de los 314,25 que imprime el examen. Media unidad en la cuarta cifra de una constante, arrastrada a través de tres apartados. La costumbre sana es no redondear ninguna constante intermedia y dejar el redondeo para el resultado final.

Usar cv cuando el sistema está abierto, o cp cuando está cerrado

La regla corta que casi siempre funciona: sistema cerrado, $c_v$ ; sistema abierto, $c_p$ . No porque uno sea de volumen constante y el otro de presión constante —el subíndice engaña—, sino porque en el cerrado se contabiliza $u$ y en el abierto se contabiliza $h$ , y cada una tiene su calor específico.

Para un gas ideal, además, $c_v$ y $c_p$ sirven sea cual sea el proceso, también si el volumen cambia: como $u$ solo depende de $T$ , la relación $\Delta u = c_v\,\Delta T$ vale igual en un proceso isóbaro que en uno politrópico. El subíndice recuerda de dónde salió la definición, no dónde se puede usar.

La excepción que rompe la regla corta —y que el examen usa— es el proceso politrópico visto desde el calor: ahí hace falta un tercer calor específico, $c_n$ , que no es ninguno de los dos. Sale en el tema 3.

Practica lo que acabas de leer

Dos caminos entre los mismos dos estados

Ejemplo introductorio, para entrar de cero. Cada paso equivocado recibe su diagnóstico, no un «incorrecto».

Hacer el ejercicio →

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre los tres casos de trabajo de frontera del Tema 2 de la asignatura. No es de examen ni de la colección.

Dos caminos entre los mismos dos estados

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Un cilindro contiene un gas ideal a $P_1 = 3\ \text{bar}$ ocupando $V_1 = 0{,}1\ \text{m}^{3}$ . El gas se expande hasta $V_2 = 0{,}3\ \text{m}^{3}$ , a temperatura constante, de dos maneras distintas:

Camino A: se quita de golpe el peso que sujetaba el pistón, y el gas se expande contra una presión exterior constante $P_e = 1\ \text{bar}$ .
Camino B: se va quitando arena del pistón grano a grano, de modo que en cada instante la presión del gas equilibra a la exterior.

a) ¿Qué trabajo realiza el gas por el camino A?

b) ¿Y por el camino B?

c) ¿Cuánto calor absorbe en cada caso?

Los dos trabajos y los dos calores, entre los mismos dos estados.

01
Reconocer el camino
COMP1
Los dos caminos empiezan y acaban en el mismo estado. ¿Qué magnitudes tienen que coincidir por fuerza?
02
El trabajo por el camino A
COMP2
¿Qué trabajo realiza el gas expandiéndose contra $P_e = 1\ \text{bar}$ constante?
Tu respuesta al paso 2un trabajo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El trabajo por el camino B
COMP2
Quitando la arena grano a grano el proceso es cuasiestático, y a temperatura constante un gas ideal cumple $PV = \text{cte}$ . ¿Qué trabajo realiza ahora?
Tu respuesta al paso 3un trabajo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
El calor del camino A
COMP2
El gas es ideal y la temperatura no cambia, así que $\Delta U = 0$ . ¿Cuánto calor absorbe por el camino A?
Tu respuesta al paso 4un calor, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la conclusión del ejercicio. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. La energía interna es función de estado, así que $\Delta U = 0$ por los dos caminos: mismo estado inicial y mismo estado final.
2. El trabajo vale 20 kJ por A y 32,96 kJ por B, porque el área bajo un rectángulo y bajo una hipérbola no son la misma.
3. Y como $Q = \Delta U + W$ con $\Delta U = 0$ , el calor sigue al trabajo: 20 kJ por A y 32,96 kJ por B.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: ejemploEjemplo introductorio · Road to Ingeniería, sobre la definición de la entalpía del Tema 2 de la asignatura. No es de examen ni de la colección.

Lo que le sobra a la entalpía sobre la energía interna

paso 1 de 5

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

Se calienta aire desde $T_1 = 300\ \text{K}$ hasta $T_2 = 500\ \text{K}$ . Con el modelo de gas ideal y calores específicos constantes, $R' = 0{,}287\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$ y $\gamma = 1{,}4$ :

a) ¿Cuánto aumenta su energía interna específica?

b) ¿Cuánto aumenta su entalpía específica?

c) ¿A qué corresponde la diferencia entre las dos?

Las dos variaciones específicas y el significado de su diferencia.

01
Reconocer el camino
COMP1
$h = u + Pv$ . ¿Qué representa físicamente el sumando $Pv$ ?
02
La energía interna
COMP2
¿Cuánto vale $\Delta u = c_v\,\Delta T$ ?
Tu respuesta al paso 2una energía específica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
La entalpía
COMP2
¿Y $\Delta h = c_p\,\Delta T$ ?
Tu respuesta al paso 3una energía específica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
La diferencia, por otro camino
COMP2
La diferencia entre las dos vale $200{,}9 - 143{,}5 = 57{,}4\ \text{kJ/kg}$ . Comprueba que ese número es el que tiene que ser: calcula $\Delta(Pv)$ usando la ecuación de estado del gas ideal, $Pv = R'T$ .
Tu respuesta al paso 4una energía específica, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
05
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado c). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Por definición $h = u + Pv$ , así que $\Delta h = \Delta u + \Delta(Pv)$ .
2. Con el modelo de gas ideal, $Pv = R'T$ , luego $\Delta(Pv) = R'\,\Delta T = 57{,}4\ \text{kJ/kg}$ .
3. Esos 57,4 kJ/kg son la energía de flujo, y su cociente con el salto de temperatura es $c_p - c_v = R'$ .

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaEjercicio 2 · Ejercicios del Tema 2 y Tema 4, colección de la asignatura · Ingeniería Térmica, EIG-GIE Donostia (UPV/EHU). La colección publica la respuesta final y no el desarrollo.

Los topes que se retiran de golpe, y la integral que no vale

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un dispositivo cilindro-pistón adiabático hay un gas a $900\ \text{kPa}$ y $0{,}3\ \text{m}^{3}$ . La masa del pistón es de $1.500\ \text{kg}$ y la sección transversal de $0{,}1\ \text{m}^{2}$ . Inicialmente el pistón se mantiene inmóvil mediante unos topes. Cuando se retiran los topes, se deja el pistón libre y se expande el gas hasta un nuevo estado de equilibrio. En ese estado final el volumen es de $0{,}8\ \text{m}^{3}$ . Calcúlese:

a- La presión final del gas

b- ¿Es reversible el proceso? Razónese

c- El trabajo durante el proceso

d- La variación de energía interna

La presión final, si el proceso es reversible, el trabajo y la variación de energía interna.

01
Reconocer el camino
COMP1
Antes de tocar ningún número: los topes se retiran de golpe y el gas se expande solo. ¿Qué se puede usar para calcular el trabajo?
02
La presión final
COMP2
Con el pistón ya libre y en equilibrio, ¿cuánto vale la presión del gas? Toma la atmósfera como $101{,}325\ \text{kPa}$ y $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .
Tu respuesta al paso 2una presión, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El trabajo
COMP2
¿Cuánto trabajo hace el gas al expandirse de $0{,}3$ a $0{,}8\ \text{m}^{3}$ ?
Tu respuesta al paso 3un trabajo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la respuesta al apartado b). Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. Al soltar los topes el gas se expande sin pasar por estados de equilibrio, así que el proceso es irreversible.
2. Por eso el trabajo se calcula con la presión exterior y no integrando la del gas, que durante la expansión ni siquiera está definida.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

nivel: practicaApartado del ejercicio 1 de la convocatoria ordinaria de enero de 2026 · Ingeniería Térmica, Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa (UPV/EHU). El examen publica su resolución oficial, y el desarrollo está contrastado contra ella.

El trabajo de una expansión que cede calor

paso 1 de 4

1.er intento a pelo · al 2.º aparece la pista, al 3.º el desarrollo — la solución nunca se da al fallar: se te dice en qué te has ido y por qué.

Enunciado

En un cilindro-pistón se expanden $m = 3\ \text{kg}$ de aire desde $557{,}5\ \text{K}$ hasta $\theta_2 = 27\ \text{°C}$ . Durante el proceso se intercambian 240 kJ de calor hacia el medio circundante.

Datos del aire: $R' = 0{,}287\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}$ , $\gamma = 1{,}4$ .

a) ¿Cuánto vale la variación de energía interna del aire?

b) ¿Qué trabajo realiza el gas?

La variación de energía interna y el trabajo, cada uno con su signo.

01
Reconocer el camino
COMP1
«Se intercambian 240 kJ de calor hacia el medio circundante». ¿Con qué signo entra ese dato en la ecuación?
02
La variación de energía interna
COMP2
¿Cuánto vale $\Delta U = m\,c_v\,(T_2 - T_1)$ ?
Tu respuesta al paso 2una energía, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
03
El trabajo
COMP2
Con $Q = \Delta U + W$ , ¿qué trabajo realiza el gas?
Tu respuesta al paso 3un trabajo, con su unidad — con su unidad; vale cualquiera de la misma magnitud
04
Justificar el argumento
COMP4
Ordena la lectura física del resultado. Una pieza es falsa.
1. Ve eligiendo las piezas en orden.
El razonamiento, en orden
1. El aire se enfría de 557,5 K a 300 K, así que pierde 554,27 kJ de energía interna.
2. De esa energía, 240 kJ se van como calor al medio circundante, porque el enunciado dice que el intercambio va hacia fuera.
3. Los 314,27 kJ restantes salen como trabajo, empujando el pistón: por eso $W$ es positivo.

¿Esto está mal? Dilo →La resolución es nuestra y puede tener fallos. El enunciado es el original.

La energía y la primera ley de la termodinámica

El balance, en la forma en que se escribe aquí

El convenio de signos

El trabajo de desplazamiento de frontera

Cuándo el área bajo la curva es el trabajo, y cuándo no

Por qué el calor y el trabajo llevan delta y no de

Los calores específicos, y la entalpía

Reconocer el camino

El trabajo por el camino A

El trabajo por el camino B

El calor del camino A

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La energía interna

La entalpía

La diferencia, por otro camino

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La presión final

El trabajo

Justificar el argumento

Reconocer el camino

La variación de energía interna

El trabajo

Justificar el argumento